Абсолютна похибка. Абсолютна і відносна похибка обчислень

Х \u003d Х ср Х

абсолютна

похибка

відносна

похибка

a + b

a + b

Нехай деяка випадкова величина a вимірюється n раз в однакових умовах. Результати вимірювань дали набір nрізних чисел

абсолютна похибка - величина розмірна. серед n значень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, так і негативні.

За найбільш ймовірне значення величини а зазвичай приймають середнє арифметичне значення результатів вимірювань

.

Чим більше число вимірювань, тим ближче середнє значення до істинного.

абсолютною похибкоюi

.

відносною похибкоюi-го виміру називається величина

Відносна похибка - величина безрозмірна. Обичноотносітельная похибка виражається у відсотках, для цього e i домножают на 100%. Величина відносної похибки характеризує точність вимірювання.

Середня абсолютна похибка визначається так:

.

Підкреслимо необхідність підсумовування абсолютних значень (модулів) величин D а i.В іншому випадку вийде тотожний нульовий результат.

Середній відносною похибкою називається величина

.

При великому числі вимірювань.

Відносну похибку можна розглядати як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.

Про точність вимірювань судять на підставі порівняння похибок результатів вимірювань. Тому похибки вимірювань виражають в такій формі, щоб для оцінки точності досить було зіставити тільки одні похибки результатів, що не порівнюючи при цьому розміри вимірюваних об'єктів або знаючи ці розміри дуже наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка вимірювання кута не залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значення довжини, тим при даному методі і умовах вимірювання абсолютна похибка буде більше. Отже, по абсолютної похибки результату про точність вимірювання кута судити можна, а про точність вимірювання довжини можна. Вираз похибки у відносній формі дозволяє порівнювати в відомих випадках точність кутових і лінійних вимірювань.

Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.

випадкової похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірів однієї і тієї ж постійної незмінні величини ми отримуємо результати вимірювань - деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності в результатах вимірювань говорять про наявність в них випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі надає непомітне вплив на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкові помилки є неминучим наслідком будь-яких вимірювань і обумовлені:

а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;

б) ідентичністю умов повторних вимірів;

в) безладними змінами зовнішніх умов (температури, тиску, силового поля і т.д.), які неможливо контролювати;

г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту і відповідної математичної обробки отриманих результатів.

Випадкова помилка може приймати різні за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акту вимірювання неможливо. Ця помилка в рівній мірі може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди присутні в експерименті. При відсутності систематичних помилок вони служать причиною розкиду повторних вимірів щодо істинного значення.

Припустимо, що за допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску і зупинки секундоміра, помилка в величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника - все це викликає розкид результатів повторних вимірів і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші трохи заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстають, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно і систематичні і випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску і зупинки годин щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми кожен раз поспішаємо включити секундомір і кілька запізнюємося вимкнути його, то це призведе до систематичної помилку.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралакса при відліку поділок шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря і т.п.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяємо зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірювань. Нижче буде показано, що для цього необхідно провести не одне, а кілька вимірів, причому, чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірів потрібно провести.

У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче й непереборно, основним завданням якого процесу вимірювання є доведення похибок до мінімуму.

В основі теорії похибок лежать два основних припущення, що підтверджуються досвідом:

1. При великому числі вимірювань випадкові похибки однакової величини, але різного знака, Тобто похибки в бік збільшення і зменшення результату зустрічаються досить часто.

2. Великі по абсолютній величині похибки зустрічаються рідше, ніж малі, таким чином, вірогідність виникнення похибки зменшується з ростом її величини.

Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, які є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначенням ймовірності w i події i є ставлення

де n - загальне число дослідів, n i - число дослідів, в яких подія iвідбулося. При цьому загальне число дослідів повинне бути дуже велике ( n ® ¥). При великому числі вимірювань випадкові помилки підкоряються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є наступні:

1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менше ймовірність такого результату.

2. Відхилення в обидві сторони від істинного значення рівноймовірно.

З наведених вище припущень випливає, що для зменшення впливу випадкових помилок необхідно провести вимірювання даної величини кілька разів. Припустимо, що ми вимірюємо деяку величину x. нехай вироблено nвимірювань: x 1, x 2, ... x n - одним і тим же методом і з однаковою ретельністю. Можна очікувати, що число dnотриманих результатів, які лежать в деякому досить вузькому інтервалі від x до x + dx, Має бути пропорційно:

Величиною взятого інтервалу dx;

Загальної кількості вимірювань n.

імовірність dw(x) Того, що деяке значення x лежить в інтервалі від x до x + dx, визначається наступним чином :

(При числі вимірювань n ®¥).

функція f(х) Називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.

Як постулату теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань і їх випадкові похибки при великій їхній кількості підкоряються закону нормального розподілу.

Знайдена Гауссом функція розподілу неперервної випадкової величини x має наступний вигляд:

, Де mіs - параметри розподілу .

Параметрmнормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яке при довільній відомої функції розподілу визначається інтегралом

.

Таким чином, величина m є найбільш імовірним значенням вимірюваної величини x, тобто її найкращою оцінкою.

Параметр s 2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, яка в загальному випадку визначається наступним інтегралом

.

Квадратний корінь з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Середнє відхилення (похибка) випадкової величини ásñ визначається за допомогою функції розподілу наступним чином

Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гаусса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:

< s > \u003d 0,8s.

Параметри s і m пов'язані між собою в такий спосіб:

.

Цей вислів дозволяє знаходити середнє відхилення s, якщо є крива нормального розподілу.

Графік функції Гаусса представлений на малюнках. функція f(x) Симетрична щодо ординати, проведеної в точці x \u003dm; проходить через максимум в точці x \u003dm і має перегин в точках m ± s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу, або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше вимірювання, тим ближче до істинного значення результати окремих вимірювань, тобто величина s - менше. На малюнку A зображена функція f(x) Для трьох значень s .

Площа фігури, обмеженої кривою f(x) І вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 і x 2 (ріс.б) , чисельно дорівнює ймовірності попадання результату вимірювання в інтервал D x \u003d x 1 - x 2, яка називається довірчою ймовірністю. Площа під всієї кривої f(x) Дорівнює ймовірності попадання випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто

,

тому що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить і вирішує дві основні задачі. Перша - оцінка точності проведених вимірювань. Друга - оцінка точності середнього арифметичного значення результатів ізмереній.5. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.

Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, в якому з відомою ймовірністю w знаходяться результати окремих вимірювань. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, А відповідний інтервал (<x\u003e ± D x) w називається довірчим інтервалом. Довірча ймовірність також дорівнює відносній частці результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.

Якщо число вимірювань n досить велике, то довірча ймовірність висловлює частку з загального числа n тих вимірів, в яких вимірювана величина виявилася в межах довірчого інтервалу. кожній довірчої ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал.w 2 80%. Чим ширше довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат всередині цього інтервалу. У теорії ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірювань.

Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, відповідний середній помилці, тобто D a \u003dáD аñ, то при досить великій кількості ізмеренійон відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні числа вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчого інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.

Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої погрешностіáD аñ .

Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме, величину довірчого інтервалу і величину довірчої ймовірності . Вказівка \u200b\u200bоднієї тільки величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлене сенсу.

Якщо відома середня похибка вимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x\u003e ± ásñ) w, Визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.

Якщо відомо середньоквадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, вказаний інтервал має вигляд (<x>± t ws) w, де t w - коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і розраховується за розподілом Гаусса.

Найбільш часто використовувані велічіниD x наведені в таблиці 1.

На практиці зазвичай числа, над якими проводяться обчислення, є наближеними значеннями тих чи інших величин. Для стислості промови наближене значення величини називають наближеним числом. Істинне значення величини називають точним числом. Наближене число має практичну цінність лише тоді, коли ми можемо визначити, з яким ступенем точності воно дано, тобто оцінити його похибку. Нагадаємо основні поняття з загального курсу математики.

позначимо: x - точне число (справжнє значення величини), а -прібліженное число (наближене значення величини).

визначення 1. Похибкою (або істинної похибкою) наближеного числа називається різниця між числом x і його наближеним значенням а. Похибка наближеного числа а будемо позначати. Отже,

точне число x найчастіше буває невідомо, тому знайти справжню і абсолютну похибки не представляє можливим. З іншого боку, буває необхідно оцінити абсолютну похибку, тобто вказати число, якого не може перевищити абсолютна похибка. Наприклад, вимірюючи довжину предмета даним інструментом, ми повинні бути впевнені в тому, що похибка отриманого числового значення не перевищить деякого числа, наприклад 0,1 мм. Іншими словами, ми повинні знати межу абсолютної похибки. Цю кордон будемо називати граничною абсолютною похибкою.

визначення 3. Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називається позитивне число таке, що, тобто

значить, х через брак, - по надлишку. Застосовують також такий запис:

Ясно, що гранична абсолютна похибка визначається неоднозначно: якщо певна кількість є гранична абсолютна похибка, то будь-який більше число теж є гранична абсолютна похибка. На практиці намагаються вибирати якомога меншу і просте по запису (з 1-2 значущими цифрами) число, яке задовольняє нерівності (2.3).

Приклад. Визначити справжню, абсолютну і граничну абсолютну похибки числа а \u003d 0,17, взятого в якості наближеного значення числа.

Справжня похибка:

Абсолютна похибка:

За граничну абсолютну похибку можна прийняти число і будь-який більше число. В десяткового запису матимемо: Замінюючи це число великим і можливо більш простим по запису, приймемо:

зауваження. якщо а є наближене значення числа х, Причому гранична абсолютна похибка дорівнює h, То говорять, що ає наближене значення числа х з точністю до h.

Знання абсолютної похибки недостатньо для характеристики якості вимірювання або обчислення. Нехай, наприклад, отримані такі результати при вимірюванні довжини. Відстань між двома містами S 1\u003d 500 1 км і відстань між двома будівлями в місті S 2\u003d 10 1 км. Хоча абсолютні похибки обох результатів однакові, проте істотне значення має те, що в першому випадку абсолютна похибка в 1 км припадає на 500 км, у другому - на 10 км. Якість вимірювання в першому випадку краще, ніж у другому. Якість результату вимірювання або обчислення характеризується відносною похибкою.

Визначення 4. Відносною похибкою наближеного значення а числа х називається відношення абсолютної похибки числа адо абсолютним значенням числа х:

Визначення 5. Граничною відносною похибкою наближеного числа а називається позитивне число таке, що.

Так як, то з формули (2.7) випливає, що можна обчислити за формулою

Для стислості промови в тих випадках, коли це не викликає непорозумінь, замість "гранична відносна похибка" кажуть просто "відносна похибка".

Граничну відносну похибка часто висловлюють у відсотках.

приклад 1. . Вважаючи, можемо прийняти \u003d. Виробляючи поділ і округляючи (обов'язково в сторону збільшення), отримаємо \u003d 0,0008 \u003d 0,08%.

Приклад 2.При зважуванні тіла отриманий результат: p \u003d 23,4 0,2 м Маємо \u003d 0,2. . Виробляючи поділ і округляючи, отримаємо \u003d 0,9%.

Формула (2.8) визначає залежність між абсолютною і відносною похибками. З формули (2.8) випливає:

Користуючись формулами (2.8) і (2.9), ми можемо, якщо відомо число а, По даній абсолютної похибки знаходити відносну похибку і навпаки.

Зауважимо, що формули (2.8) і (2.9) часто доводиться застосовувати і тоді, коли ми ще не знаємо наближеного числа аз необхідною точністю, а знаємо грубе наближене значення а. Наприклад, потрібно виміряти довжину предмета з відносною похибкою не вище 0,1%. Питається: чи можливо виміряти довжину з потрібною точністю за допомогою штангенциркуля, що дозволяє виміряти довжину з абсолютною похибкою до 0,1 мм? Нехай ми ще не вимірювали предмет точним інструментом, але знаємо, що грубе наближене значення довжини - близько 12 см. За формулою (1.9) знаходимо абсолютну похибка:

Звідси видно, що за допомогою штангенциркуля можливо виконати вимір з необхідною точністю.

В процесі обчислювальної роботи часто доводиться переходити від абсолютної похибки до відносної, і навпаки, що робиться за допомогою формул (1.8) і (1.9).

Жодне вимір не є вільним від похибок, або, точніше, вірогідність вимірювання без похибок наближається до нуля. Рід і причини похибок дуже різні і на них впливають багато факторів (рис.1.2).

Загальна характеристика факторів, що впливають може бути систематизована з різних точок зору, наприклад, щодо впливу перерахованих факторів (Рис.1.2).

За результатами вимірювання похибки можна розділити на три види: систематичні, випадкові і промахи.

Систематичні похибки, в свою чергу, ділять на групи по причині їх виникнення і характеру прояву. Вони можуть бути усунені різними способами, наприклад, введенням поправок.

мал. 1.2

випадкові похибки викликаються складною сукупністю змінюються чинників, зазвичай невідомих і важко піддаються аналізу. Їх вплив на результат вимірювання можна зменшити, наприклад, шляхом багаторазових вимірювань з подальшою статистичною обробкою отриманих результатів методом теорії ймовірностей.

До промахів відносяться грубі похибки, які виникають при раптових змінах умови експерименту. Ці похибки за своєю природою теж випадкові, і після виявлення повинні бути виключені.

Точність вимірювань оцінюється похибками вимірювань, які поділяються за природою виникнення на інструментальну та методичну і по методу обчислень на абсолютну, відносну і приведену.

інструментальна похибка характеризується класом точності вимірювального приладу, який наведено в його паспорті у вигляді нормованих основної та додаткових похибок.

методична похибка обумовлена \u200b\u200bнедосконалістю методів і засобів вимірювань.

абсолютна похибка є різниця між виміряним G u і істинним G значеннями величини, яка визначається за формулою:

Δ \u003d ΔG \u003d G u -G

Зауважимо, що величина має розмірність вимірюваної величини.

відносну похибка знаходять з рівності

δ \u003d ± ΔG / G u · 100%

наведену похибка розраховують за формулою (клас точності вимірювального приладу)

δ \u003d ± ΔG / G норм · 100%

де G норм - нормирующее значення вимірюваної величини. Отож її приймають рівною:

а) кінцевому значенню шкали приладу, якщо нульова відмітка знаходиться на краю або поза шкалою;

б) сумі кінцевих значень шкали без урахування знаків, якщо нульова відмітка розташована всередині шкали;

в) довжині шкали, якщо шкала нерівномірна.

Клас точності приладу встановлюється при його перевірці і є нормованої похибкою, обчислюється за формулами

γ \u003d ± ΔG / G норм · 100%, якщоΔG m \u003d const

де ΔG m - найбільша можлива абсолютна похибка приладу;

G k - кінцеве значення межі вимірювання приладу; з і d - коефіцієнти, що враховують конструктивні параметри і властивості вимірювального механізму приладу.

Наприклад, для вольтметра з постійною відносною похибкою має місце рівність

δ m \u003d ± c

Відносна і приведена похибки пов'язані наступними залежностями:

а) для будь-якого значення зведеної похибки

δ \u003d ± γ · G норм / G u

б) для найбільшої зведеної похибки

δ \u003d ± γ m · G норм / G u

З цих співвідношень випливає, що при вимірах, наприклад вольтметром, в ланцюзі при одному і тому ж значенні напруги відносна похибка тим більше, чим менше вимірюється напруга. І якщо цей вольтметр обраний неправильно, то відносна похибка може бути порівнянна зі значеннямG н , Що є неприпустимим. Зауважимо, що відповідно до термінологією вирішуваних завдань, наприклад, при вимірюванні напруги G \u003d U, при вимірюванні струму C \u003d I, буквені позначення в формулах для обчислення похибок необхідно замінювати на відповідні символи.

Приклад 1.1. Вольтметром, які мають значення γ m \u003d 1,0%, U н \u003d G норм, G k \u003d 450 В, Вимірюють напругу U u, що дорівнює 10 В. Оцінимо похибки вимірювань.

Рішення.

Відповідь. Похибка вимірювань становить 45%. При такій похибки виміряна напруга не можна вважати достовірним.

При обмежених можливостях вибору приладу (вольтметра), методична похибка може бути врахована поправкою, обчисленої за формулою

Приклад 1.2. Обчислити абсолютну похибку вольтметра В7-26 при вимірах напруги в ланцюзі постійного струму. Клас точності вольтметра заданий максимально наведеної похибкою γ m \u003d ± 2,5%. Використовуваний в роботі межа шкали вольтметра U норм \u003d 30 В.

Рішення.Абсолютна похибка обчислюється за відомими формулами:

(Так як наведена похибка, за визначенням, виражається формулою , То звідси можна знайти і абсолютну похибку:

Відповідь. ΔU \u003d ± 0,75 В.

Важливими етапами в процесі вимірювань є обробка результатів і правила округлення. Теорія наближених обчислень дозволяє, знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності результатів ще до виконання дій: відібрати дані з належної ступенем точності, достатньої для забезпечення необхідної точності результату, але не занадто велику, щоб позбавити обчислювача від непотрібних розрахунків; раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результати.

При обробці результатів застосовують правила округлення.

• Правило 1. Якщо перша з відкинутих цифр більше п'яти, то остання з зберігаються цифр збільшується на одиницю.

• Правило 2. Якщо перша з відкинутих цифр менше п'яти, то збільшення не робиться.

• Правило 3. Якщо відкидається цифра дорівнює п'яти, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближчий парне число, Тобто остання зберігається цифра залишається незмінною, якщо вона парна, і збільшується, якщо вона не парна.

Якщо за цифрою п'ять є значущі цифри, то округлення проводиться за правилом 2.

Застосовуючи правило 3 до округлення одного числа, ми не збільшуємо точність округлення. Але при численних округлення надлишкові числа будуть зустрічатися приблизно настільки ж часто, як недостатньо. Взаємна компенсація похибки забезпечить найбільшу точність результату.

Число, свідомо перевищує абсолютну похибку (або в гіршому випадку рівне їй), називається граничної абсолютної похибкою.

Величина граничної похибки не є цілком реальною. Для кожного наближеного числа повинна бути відома його гранична похибка (абсолютна або відносна).

Коли вона прямо не вказана, то мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить половину одиниці останнього виписаного розряду. Так, якщо наведено наближене число 4,78 без вказівки граничної похибки, то мається на увазі, що гранична абсолютна похибка становить 0,005. Внаслідок цієї угоди завжди можна обійтися без вказівки граничної похибки числа, округленого за правилами 1-3, тобто, якщо наближене число позначити буквою α, то

Де Δn - гранична абсолютна похибка; а δ n - гранична відносна похибка.

Крім того, при обробці результатів використовуються правила перебування похибки суми, різниці, добутку і частки.

• Правило 1. Гранична абсолютна похибка суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок окремих складових, але при значному числі похибок доданків зазвичай відбувається взаємна компенсація похибок, тому справжня похибка суми лише у виняткових випадках збігається з граничною похибкою або близька до неї.

• Правило 2. Гранична абсолютна похибка різниці дорівнює сумі граничних абсолютних похибок зменшуваного або від'ємника.

Граничну відносну похибку легко знайти, обчисливши граничну абсолютну похибку.

• Правило 3. Гранична відносна похибка суми (але не різниці) лежить між найменшою і найбільшою з відносних похибок доданків.

Якщо всі складові мають одну і ту ж граничну відносну похибку, то і сума має ту ж граничну відносну похибку. Іншими словами, в цьому випадку точність суми (в процентному вираженні) не поступається точності доданків.

На противагу сумі різниця наближених чисел може бути менш точними, ніж зменшуване і від'ємник. Втрата точності особливо велика в тому випадку, коли зменшуване і від'ємник мало відрізняються один від одного.

• Правило 4. Гранична відносна похибка добутку наближено дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників: δ \u003d δ 1 + δ 2, або, точніше, δ \u003d δ 1 + δ 2 + δ 1 δ 2 де δ - відносна похибка твори, δ 1 δ 2 - відносні похибки сомножителей.

Примітки:

1. Якщо перемножуються наближені числа з одним і тим же кількістю значущих цифр, то в творі слід зберегти стільки ж значущих цифр. Остання з зберігаються цифр буде не зовсім надійна.

2. Якщо деякі співмножники мають більше значущих цифр, ніж інші, то до множення слід перші округлити, зберігши в них стільки цифр, скільки має найменш точний співмножник або ще одну (як запасний), подальші цифри зберігати марно.

3. Якщо потрібно, щоб твір двох чисел мало заздалегідь дане число цілком надійне, то в кожному з співмножників число точних цифр (отримане вимірюванням або обчисленням) має бути на одиницю більше. Якщо кількість співмножників більше двох і менше десяти, то в кожному з співмножників число точних цифр для повної гарантії повинно бути на дві одиниці більше, ніж необхідне число точних цифр. Практично ж цілком достатньо взяти лише одну зайву цифру.

• Правило 5. Гранична відносна похибка приватного наближено дорівнює сумі граничних відносних похибок діленого і дільника. Точна величина граничної відносної похибки завжди перевищує наближену. Відсоток перевищення приблизно дорівнює гранично відносної похибки подільника.

Приклад 1.3. Знайти граничну абсолютну похибку приватного 2,81: 0,571.

Рішення.Гранична відносна похибка діленого є 0,005: 2,81 \u003d 0,2%; подільника - 0,005: 0,571 \u003d 0,1%; приватного - 0,2% + 0,1% \u003d 0,3%. Гранична абсолютна похибка приватного наближено складе 2,81: 0,571 · 0,0030 \u003d 0,015

Значить, в приватному 2,81: 0,571 \u003d 4,92 вже третя значуща цифра не надійна.

Відповідь.0,015.

Приклад 1.4. Обчислити відносну похибку показань вольтметра, включеного за схемою (рис. 1.3), яка виходить, якщо припустити, що вольтметр має нескінченно великий опір і не вносить спотворень в вимірювану ланцюг. Класифікувати похибка вимірювання для цього завдання.

мал. 1.3

Рішення.Позначимо свідчення реального вольтметра через І, а вольтметра з нескінченно великим сопротівленіемчерез І ∞. Шукана відносна похибка

Зауважимо, що

тоді отримаємо

Так як R І \u003e\u003e R і R\u003e r, то дріб в знаменнику останнього рівності багато менше одиниці. Тому можна скористатися наближеною формулою , Справедливої \u200b\u200bпри λ≤1 для будь-якого α. Припустивши, що в цій формулі α \u003d -1 і λ \u003d rR (r + R) -1 R І -1, отримаємо δ ≈ rR / (r + R) R І.

Чим більше опір вольтметра в порівнянні із зовнішнім опором ланцюга, тим менше похибка. Але умова R<

Відповідь.Похибка систематична методична.

Приклад 1.5. У ланцюг постійного струму (рис.1.4) включені прилади: А - амперметр типу М 330 класу точності К А \u003d 1,5 з межею вимірювання I k \u003d 20 А; А 1 - амперметр типу М 366 класу точності До А1 \u003d 1,0 з межею вимірювання I к1 \u003d 7,5 А. Знайти найбільшу можливу відносну похибку вимірювання струму I 2 і можливі межі його дійсного значення, якщо прилади показали, що I \u003d 8 , 0А. і I 1 \u003d 6,0А. Класифікувати вимір.

мал. 1.4

Рішення.Визначаємо струм I 2 за показниками приладу (без урахування їх похибок): I 2 \u003d I-I 1 \u003d 8,0-6,0 \u003d 2,0 А.

Знайдемо модулі абсолютних похибок амперметрів А і А 1

Для А маємо рівність для амперметра

Знайдемо суму модулів абсолютних похибок:

Отже, найбільша можлива і тієї ж величини, виражена в частках цієї величини, дорівнює 1. 10 3 - для одного приладу; 2 · 10 3 - для іншого приладу. Який з цих приладів буде найбільш точним?

Рішення.Точність приладу характеризується значенням, зворотним похибки (чим точніше прилад, тим менше похибка), тобто для першого приладу це складе 1 / (1. 10 3) \u003d 1000, для другого - 1 / (2. 10 3) \u003d 500. Зауважимо, щоб 1000\u003e 500. Отже, перший прилад точніше другого в два рази.

Аналогічного висновку можна прийти, перевіривши відповідність похибок: 2. 10 3/1. 10 3 \u003d 2.

Відповідь.Перший прилад в два рази точніше другого.

Приклад 1.6. Знайти суму наближених вимірів приладу. Знайти кількість вірних знаків: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Рішення.Склавши всі результати вимірів, отримаємо 0,6187. Гранична максимальна похибка суми 0,00005 · 9 \u003d 0,00045. Значить, в останньому четвертому знаку суми можлива помилка до 5 одиниць. Тому округляем суму до третього знака, тобто тисячних, отримуємо 0,619 - результат, в якому все знаки вірні.

Відповідь.0,619. Кількість вірних знаків - три знаки після коми.

Популярне

Превентивна консервація як перспективний напрямок забезпечення збереження фондів наукових бібліотек беляева ирина михайловна Програми збереження ...

Методика КОТ (Короткий орієнтовний, відбірковий тест, В : Рівень інтелекту ...

Старт в професію пілота: поради абітурієнтам і адреси навчальних закладів Льотчик - одна з найбільш ...

Як зробити так, щоб тебе поважали? Ви коли-небудь...

Алгоритм як почати заробляти на знаннях! Марка. Бренд Метод №2 -...

Нове на сайті

Чи здатна на подвиг сучасна молодь?

Транскрипція, вимова і переклад англійських слів онлайн

Як навчитися розмовляти мовою глухонімих

Короткий словник жестової мови як влаштований словник і як ним користуватися

Характеристика на кухаря доу для нагородження почесною грамотою Характеристика на кухаря школи