Hosilda x0 ni qanday topish mumkin. Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping

1-misol

Malumot: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir: Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

, , to'liq o'rganish funktsiyalari va boshq.

3-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang. Keling, avval hosilasini topamiz:

Xo'sh, bu butunlay boshqa masala. Nuqtadagi hosilaning qiymatini hisoblang:

Agar hosila qanday topilganligini tushunmasangiz, mavzuning dastlabki ikki darsiga qayting. Ark tangensi va uning ma'nolari bilan bog'liq qiyinchiliklar (tushunmovchilik) bo'lsa, Majburiy o'rganish uslubiy material Grafiklar va xossalar elementar funktsiyalar - oxirgi xatboshi. Chunki talabalik yoshi uchun arktangentlar hali yetarli.

4-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang.

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Oldingi paragrafni birlashtirish uchun tegni topish masalasini ko'rib chiqing funktsiya grafikasi ayni paytda. Biz bu vazifani maktabda uchratganmiz va u oliy matematika kursida ham uchraydi.

"Namoyish" elementar misolini ko'rib chiqing.

Funksiya grafigiga abtsissa bilan nuqtada teginish tenglamasini yozing. Men darhol muammoga tayyor grafik echimni beraman (amalda, bu ko'p hollarda kerak emas):

Tangensning qat'iy ta'rifi tomonidan berilgan funktsiya hosilasining ta'riflari, lekin hozircha biz masalaning texnik qismini o'zlashtiramiz. Shubhasiz, deyarli hamma intuitiv ravishda tangens nima ekanligini tushunadi. Agar siz "barmoqlarda" ni tushuntirsangiz, u holda funktsiya grafigiga teginish bo'ladi Streyt, bu funksiya grafigiga tegishli faqat nuqta. Bunday holda, to'g'ri chiziqning barcha yaqin nuqtalari funksiya grafigiga imkon qadar yaqin joylashgan.

Bizning holatimizga nisbatan qo'llaniladigan: da, tangens (standart yozuv) funksiya grafigiga bir nuqtada tegadi.

Va bizning vazifamiz to'g'ri chiziq tenglamasini topishdir.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qanday topiladi? Ushbu vazifaning ikkita aniq nuqtasi so'zlardan kelib chiqadi:

1) hosilani topish kerak.

2) Berilgan nuqtada hosilaning qiymatini hisoblash kerak.

1-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

Yordam: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir:


Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

Umid qilamanki, ko'pchilik allaqachon bunday lotinlarni og'zaki ravishda topishga moslashgan.

Ikkinchi bosqichda hosilaning qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Mustaqil yechim uchun kichik isitish misoli:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bir nuqtada hosilani topish zarurati quyidagi vazifalarda paydo bo'ladi: funktsiya grafigiga tangensni qurish (keyingi paragraf), ekstremum uchun funktsiyani o'rganish , grafikning burilish funksiyasini o'rganish , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

Lekin ko'rib chiqilayotgan vazifa ichida sodir bo'ladi nazorat ishlari va o'z-o'zidan. Va, qoida tariqasida, bunday hollarda, funktsiya ancha murakkab berilgan. Shu munosabat bilan yana ikkita misolni ko'rib chiqing.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini hisoblang nuqtada.
Keling, avval hosilasini topamiz:

Asosan, lotin topiladi va kerakli qiymat almashtirilishi mumkin. Lekin men hech narsa qilishni xohlamayman. Ifoda juda uzun va "x" qiymati kasrdir. Shuning uchun biz lotinimizni iloji boricha soddalashtirishga harakat qilamiz. IN bu holat olib borishga harakat qilaylik umumiy maxraj oxirgi uchta atama: nuqtada.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

F(x) funksiyaning Ho nuqtadagi hosilasining qiymati qanday topiladi? Umuman olganda buni qanday hal qilish mumkin?

Agar formula berilgan bo'lsa, hosilani toping va X o'rniga X-nolni qo'ying. hisoblash
Agar gaplashamiz o b-8 FOYDALANISH, grafik, keyin X o'qiga tangens hosil qiluvchi burchakning tangensini (o'tkir yoki o'tkir) topish kerak (to'g'ri burchakli uchburchakning aqliy konstruktsiyasidan foydalanib va ​​burchak tangensini aniqlash)

Timur Adilxo'jaev

Birinchidan, siz belgi haqida qaror qabul qilishingiz kerak. Agar x0 nuqta koordinata tekisligining pastki qismida bo'lsa, javobdagi belgi minus, undan yuqori bo'lsa, + bo'ladi.
Ikkinchidan, to'rtburchaklar to'rtburchakda tange nima ekanligini bilishingiz kerak. Va bu qarama-qarshi tomonning (oyoq) qo'shni tomonga (shuningdek, oyoq) nisbati. Odatda rasmda bir nechta qora belgilar mavjud. Ushbu belgilardan siz yaratasiz to'g'ri uchburchak va tangalarni toping.

f x funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymati qanday topiladi?

aniq savol yo'q - 3 yil oldin

Umumiy holatda funktsiyaning biron bir o'zgaruvchiga nisbatan hosilasining qiymatini istalgan nuqtada topish uchun berilgan funksiyani shu o'zgaruvchiga nisbatan differentsiallash kerak bo'ladi. Sizning holatingizda, X o'zgaruvchisi tomonidan. Olingan ifodada X o'rniga, x ning qiymatini lotin qiymatini topishingiz kerak bo'lgan nuqtaga qo'ying, ya'ni. sizning holatingizda, nol X o'rniga qo'ying va olingan ifodani hisoblang.

Xo'sh, bu masalani tushunishga bo'lgan xohishingiz, menimcha, shubhasiz, men toza vijdon bilan qo'ygan + ga loyiqdir.

Hosilni topish muammosining bu formulasi ko'pincha materialni tuzatish uchun qo'yiladi geometrik ma'no hosila. Muayyan funktsiyaning grafigi taklif qilinadi, butunlay ixtiyoriy va tenglama bilan berilmaydi va ko'rsatilgan X0 nuqtasida hosilaning qiymatini (hosilaning o'zi emas!) topish talab qilinadi. Buning uchun berilgan funksiyaga tangens quriladi va uning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Keyin bu tegning tenglamasi y=kx+b ko'rinishda tuziladi.

Bu tenglamada k va koeffitsienti hosilaning qiymati bo'ladi. faqat b koeffitsientining qiymatini topish uchun qoladi. Buning uchun biz x \u003d o da y qiymatini topamiz, u 3 ga teng bo'lsin - bu b koeffitsientining qiymati. Biz X0 va Y0 qiymatlarini asl tenglamaga almashtiramiz va k ni topamiz - bu nuqtadagi hosilaning qiymati.

B9 masalada funktsiya yoki hosila grafigi berilgan, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash talab etiladi:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Yuqori yoki past nuqtalar (ekstremal nuqtalar),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo'lib, bu yechimni ancha soddalashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, u hatto eng zaif o'quvchilarning kuchiga kiradi, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va universal algoritmlar mavjud - ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Axmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartini diqqat bilan o'qing: ba'zida juda katta matnlar paydo bo'ladi, ammo yechim yo'nalishiga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar masalaga x 0 nuqtada shu grafaga tangens bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, siz funktsiya o'sishini argument o'sishiga bo'lishingiz kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor ta'kidlaymiz: A va B nuqtalarni ko'pincha bo'lgani kabi f(x) funksiya grafigida emas, balki aniq tangens bo'yicha izlash kerak. Tangensda kamida ikkita shunday nuqta bo'lishi kerak, aks holda muammo noto'g'ri tuzilgan.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Kimdan oxirgi misol qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, aloqa nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Yuqori va past ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masaladagi funksiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab qilinadi. Ushbu stsenariyda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. X 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosila grafigida maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha ma'lumotlar faqat yechimga xalaqit beradi. Shuning uchun biz belgilaymiz koordinata o'qi lotinning nollari - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: agar hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Aksincha, hosila grafik OX oʻqidan pastda joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nol va belgilarini yana tekshiramiz. Belgisi minusdan plyusga o'zgargan joyda minimal nuqta mavjud. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.

Vazifa. Rasmda [−5] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 5]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi minimal nuqtasini toping.

Keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik - biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, belgilarga e'tibor bering:

Shubhasiz, x = -3 nuqtada hosila belgisi minusdan ortiqchaga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda [−3] segmentda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = -1.7 va x = 5. Hosil boʻlgan grafikdagi hosilaning belgilariga eʼtibor bering. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning [−4 oraliqga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [−4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, nuqtalar x = -3,5 va x = 2. Biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan unda hosila belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, butun sonli nuqtalar bilan bunday hiyla ishlamaydi.

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi, hosila grafigidan funksiyaning o‘zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish taklif etiladi. Birinchidan, ko'tarilish va pasayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. f(x) funksiya, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa, segmentda ortib boruvchi deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Boshqacha qilib aytganda, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya segmentdagi kamayuvchi deyiladi, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

Biz oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlarni shakllantiramiz:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≤ 0.

Biz bu da'volarni isbotsiz qabul qilamiz. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremal nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosilaning belgilarini belgilang. f'(x) ≥ 0 bo'lgan joyda funksiya ortadi, f'(x) ≤ 0 bo'lsa, u kamayadi. Muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi diagrammada belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovni bilganimizdan so'ng, muammoda kerakli qiymatni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda [−3] segmentda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini yozing.

Odatdagidek, biz grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek, x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini belgilaymiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Bu oraliq ichidagi barcha butun sonlarni yig'ish uchun qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda [−10] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funktsiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Keling, ortiqcha ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ular to'rtta bo'lib chiqdi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilariga e'tibor bering va quyidagi rasmni oling:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. Bu yerda f'(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaylik:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topish talab qilinganligi uchun javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.