Je známo, že v matematice se neobejdete bez zjednodušení výrazů. To je nezbytné pro správné a rychlé řešení široké škály problémů a také různých druhů rovnic. Diskutované zjednodušení znamená snížení počtu kroků nutných k dosažení cíle. Díky tomu jsou výpočty znatelně jednodušší a výrazně se šetří čas. Jak ale výraz zjednodušit? K tomu se používají zavedené matematické vztahy, často nazývané vzorce nebo zákony, díky nimž jsou výrazy mnohem kratší, čímž se výpočty zjednodušují.

Není žádným tajemstvím, že dnes není obtížné zjednodušit výraz online. Zde jsou odkazy na některé z populárnějších:

Nelze to však provést s každým výrazem. Podívejme se proto blíže na tradičnější metody.

Vyjmutí společného dělitele

V případě, že v jednom výrazu jsou monomie se stejnými faktory, můžete pro ně najít součet koeficientů a poté je vynásobit společným faktorem. Tato operace se také nazývá „vyjmutí společného dělitele“. Důsledné používání tuto metodu, někdy můžete výraz výrazně zjednodušit. Algebra je koneckonců obecně jako celek postavena na seskupování a přeskupování faktorů a dělitelů.

Nejjednodušší vzorce pro redukované násobení

Jedním z důsledků dříve popsané metody jsou zkrácené multiplikační vzorce. Jak zjednodušit výrazy s jejich pomocí, je mnohem jasnější pro ty, kteří si tyto vzorce ani nezapamatovali nazpaměť, ale vědí, jak jsou odvozeny, tedy odkud pocházejí a podle toho i jejich matematická podstata. Předchozí tvrzení platí v zásadě ve všech moderních matematikách, od prvního ročníku do vyšší kurzy Fakulty mechaniky a matematiky. Rozdíl čtverců, čtverec rozdílu a součtu, součet a rozdíl kostek - všechny tyto vzorce jsou široce používány v elementární i vyšší matematice, v případech, kdy je nutné zjednodušit výraz pro řešení nastaly problémy. Příklady takových transformací lze snadno najít v jakékoli školní učebnici algebry, nebo, což je ještě jednodušší, v rozlehlosti celosvětové sítě.

Kořeny stupňů

Elementární matematika, pokud se na ni podíváte jako na celek, je vyzbrojena ne tak mnoha způsoby, jak můžete zjednodušit výraz. Stupně a činnosti s nimi bývají pro většinu studentů relativně snadné. Až nyní má mnoho moderních školáků a studentů značné potíže, když je nutné zjednodušit výraz s kořeny. A to je zcela neopodstatněné. Protože matematická povaha kořenů se neliší od povahy stejných stupňů, s nimiž je zpravidla mnohem méně obtíží. Je známo že Odmocninačísla, proměnné nebo výrazu není nic jiného než stejné číslo, proměnná nebo výraz pro „poloviční“ mocninu, kořen krychle je stejný jako pro „třetinovou“ moc atd. korespondencí.

Zjednodušení výrazů pomocí zlomků

Zvažte také běžný příklad, jak zjednodušit výraz pomocí zlomků. V případech, kdy jsou výrazy přirozené zlomky, byste měli vybrat společný faktor ze jmenovatele a čitatele a poté zrušit jeho zlomek. Když mají monomialy stejné faktory, které jsou získány na síle, je nutné je při jejich součtu pro rovnost stupňů dodržovat.

Zjednodušení základních trigonometrických výrazů

Někteří lidé stojí stranou mluvení o tom, jak zjednodušit goniometrické výrazy. Nejširší část trigonometrie je možná první fází, ve které budou studenti matematiky muset čelit několika abstraktním konceptům, problémům a metodám jejich řešení. Zde existují odpovídající vzorce, z nichž první je základní goniometrická identita. S dostatečným matematickým myšlením lze vysledovat systematické dedukce z této identity všech základních goniometrické identity a vzorce, včetně vzorců pro rozdíl a součty argumentů, dvojité, trojité argumenty, redukční vzorce a mnoho dalších. Samozřejmě by se na to nemělo zapomínat a na úplně první metody, jako je vyjmutí společného faktoru, které se plně používají společně s novými metodami a vzorci.

Abychom to shrnuli, poskytneme čtenáři několik obecných rad:

• Polynomy by měly být faktorizovány, to znamená, že by měly být reprezentovány ve formě součinu řady faktorů - monomiálů a polynomů. Pokud existuje taková možnost, společný faktor by měl být vyjmut ze závorek.
• Stále je lepší pamatovat si všechny zkrácené multiplikační vzorce bez výjimky. Není jich tolik, ale jsou základem pro zjednodušení matematických výrazů. Nezapomeňte také na způsob výběru celých čtverců v trojčlenech, což je reverzní akce na jeden ze zkrácených multiplikačních vzorců.
• Všechny zlomky ve výrazu by měly být zkráceny tak často, jak je to možné. Nezapomeňte, že jsou zrušeny pouze multiplikátory. V případě, že je jmenovatel a čitatel algebraické zlomky vynásobené stejným číslem, které se liší od nuly, hodnoty zlomků se nemění.
• Obecně lze všechny výrazy transformovat pomocí akcí nebo pomocí řetězce. První metoda je výhodnější, protože výsledky mezilehlých akcí lze snadněji ověřit.
• Poměrně často v matematických výrazech musíte extrahovat kořeny. Je třeba mít na paměti, že kořeny sudých mocnin lze extrahovat pouze z nezáporného čísla nebo výrazu a kořeny lichých mocností jsou zcela z jakéhokoli výrazu nebo čísla.

Doufáme, že vám náš článek v budoucnu pomůže porozumět matematickým vzorcům a naučí vás je aplikovat v praxi.

První úroveň

Převádění výrazů. Podrobná teorie (2019)

Převádění výrazů

Často slýcháme tuto nepříjemnou frázi: „zjednodušit výraz“. V tomto případě obvykle máme nějakého bogeymana, jako je tento:

"Je to mnohem jednodušší," říkáme, ale tato odpověď obvykle nefunguje.

Nyní vás naučím nebát se žádných takových úkolů. Na konci lekce navíc tento příklad sami zjednodušíte na (jen!) Běžné číslo (ano, s těmito písmeny, do háje).

Než však začnete tuto lekci, musíte být schopni zvládnout zlomky a faktorové polynomy. Proto nejprve, pokud jste to ještě neudělali, určitě zvládněte témata „“ a „“.

Četl jsi to? Pokud ano, nyní jste připraveni.

Základní operace zjednodušení

Nyní se podívejme na základní techniky, které se používají ke zjednodušení výrazů.

Nejjednodušší je

1. Přináší podobné

Jaké jsou podobné? Prošli jste si tím v 7. třídě, jakmile se v matematice poprvé objevila písmena místo čísel. Podobné - jedná se o termíny (monomials) se stejnou písmennou částí. Například v součtu jsou podobné výrazy a.

Pamatujete?

Přinášet podobné znamená přidat k sobě několik podobných výrazů a získat jeden výraz.

Jak ale dáme dohromady písmena? - ptáte se.

To je velmi snadné pochopit, když si představíte, že písmena jsou nějaký druh předmětů. Například dopis je židle. Čemu se tedy výraz rovná? Dvě židle plus tři židle, kolik to bude? Přesně tak, židle :.

Nyní zkuste tento výraz :.

Aby nedošlo k záměně, nechte různá písmena reprezentovat různé objekty. Například je (jako obvykle) židle a je stůl. Pak:

židle stoly židle stoly židle židle stoly

Volají se čísla, kterými se písmena v takových termínech násobí koeficienty... Například v monomiální je koeficient. A v tom je si rovna.

Takže pravidlo castingu takto:

Příklady:

Dejte podobné:

Odpovědi:

2. (a jsou si podobné, protože tyto termíny mají tedy stejnou část dopisu).

2. Faktoring

Toto je obvykle nejdůležitější část při zjednodušování výrazů. Poté, co jste zadali podobné, musí být výsledný výraz nejčastěji faktorizován, tj. Prezentován ve formě produktu. To je zvláště důležité u zlomků: koneckonců, aby se zlomek snížil, musí být čitatel a jmenovatel reprezentován jako součin.

Prošli jste podrobnými metodami faktoringových výrazů v tématu „“, takže zde si musíte jen pamatovat, co jste se naučili. Chcete -li to provést, vyřešte několik příklady(je třeba faktorizovat):

Řešení:

3. Redukční frakce.

Co může být hezčího, než škrtnout část čitatele a jmenovatele a vyhodit je ze svého života?

To je krása kontrakce.

Je to jednoduché:

Pokud čitatel a jmenovatel obsahují stejné faktory, mohou být redukovány, tj. Odstraněny ze zlomku.

Toto pravidlo vyplývá ze základní vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou redukční operace je to čitatel a jmenovatel zlomku se dělí stejným číslem (nebo stejným výrazem).

Ke snížení zlomku potřebujete:

1) čitatel a jmenovatel faktor

2) pokud čitatel a jmenovatel obsahují společné faktory, lze je smazat.

Myslím, že princip je jasný?

Na jednu bych vás chtěl upozornit typická chyba při zkracování. Přestože je toto téma jednoduché, mnoho lidí dělá všechno špatně, aniž by si to uvědomovali střih- to znamená rozdělitčitatel a jmenovatel jsou stejné číslo.

Žádné zkratky, pokud je čitatelem nebo jmenovatelem součet.

Například: musíte zjednodušit.

Někteří lidé to dělají: což je naprosto špatné.

Další příklad: řez.

„Nejchytřejší“ to udělá :.

Řekni mi, co se tady děje? Zdálo by se: - toto je multiplikátor, takže můžete snížit.

Ale ne: - toto je faktor pouze jednoho výrazu v čitateli, ale samotný čitatel jako celek není faktorizován na faktory.

Zde je další příklad :.

Tento výraz byl rozložen na faktory, což znamená, že můžete snížit, tj. Rozdělit čitatele a jmenovatele na a poté:

Okamžitě se můžete rozdělit na:

Abyste se vyvarovali takových chyb, pamatujte lehká cesta Jak zjistit, zda je výraz faktorizován:

Aritmetická akce, která se při výpočtu hodnoty výrazu provádí jako poslední, je „hlavní“. To znamená, že pokud nahradíte libovolná (libovolná) čísla namísto písmen a pokusíte se vypočítat hodnotu výrazu, pak pokud je poslední akcí násobení, pak máme součin (výraz je faktorizovaný). Pokud je poslední akcí sčítání nebo odčítání, znamená to, že výraz není faktorizován (a proto jej nelze zrušit).

Chcete -li to opravit, rozhodněte se sami příklady:

Odpovědi:

1. Doufám, že jsi hned nespěchal, abys mě pořezal? Stále to nestačilo „řezat“ jednotky takto:

První akce by měla být faktoring:

4. Sčítání a odčítání zlomků. Přinášení zlomků ke společnému jmenovateli.

Sčítání a odčítání obyčejných zlomků je velmi známá operace: hledáme společného jmenovatele, každý zlomek vynásobíme chybějícím faktorem a sčítáme / odčítáme čitatele. Pamatujme si:

Odpovědi:

1. Jmenovatelé a jsou vzájemně primární, tj. Nemají žádné společné faktory. LCM těchto čísel se proto rovná jejich produktu. Toto bude společný jmenovatel:

2. Zde je společným jmenovatelem:

3. Zde nejprve proměníme smíšené zlomky na nesprávné a pak - podle obvyklého schématu:

Je úplně jiné, pokud zlomky obsahují písmena, například:

Začněme jednoduše:

a) Jmenovatelé neobsahují písmena

Zde je vše stejné jako u běžných číselných zlomků: najděte společného jmenovatele, každý zlomek vynásobte chybějícím faktorem a čitatele sečtěte / odečtěte:

nyní v čitateli můžete přinést podobné, pokud existují, a rozložit na faktory:

Zkus to sám:

b) Jmenovatelé obsahují písmena

Připomeňme si princip nalezení společného jmenovatele bez písmen:

· Nejprve určíme společné faktory;

· Poté jednou napište všechny běžné faktory;

· A vynásobte je všemi ostatními faktory, které nejsou běžné.

Abychom určili společné faktory jmenovatelů, nejprve je rozložíme na primární faktory:

Zdůrazněme společné faktory:

Nyní jednou napíšeme společné faktory a přidáme k nim všechny neobvyklé (nepodtržené) faktory:

Toto je společný jmenovatel.

Vraťme se k písmenům. Jmenovatelé jsou zobrazeni přesně stejným způsobem:

· Rozložíme jmenovatele na faktory;

· Určit společné (shodné) faktory;

· Zapište jednou všechny běžné faktory;

· Rozmnožujeme je všemi ostatními faktory, které nejsou běžné.

Takže v pořadí:

1) rozložíme jmenovatele na faktory:

2) určíme společné (shodné) faktory:

3) vypíšeme všechny společné faktory jednou a vynásobíme je všemi ostatními (nepřízvučnými) faktory:

Společný jmenovatel je tedy zde. První zlomek musí být vynásoben, druhý:

Mimochodem, existuje jeden trik:

Například: .

Ve jmenovatelích vidíme stejné faktory, pouze všechny s různými ukazateli. Společným jmenovatelem bude:

do té míry

do té míry

do té míry

ve stupních.

Zkomplikujme úkol:

Jak vytvoříte zlomky se stejným jmenovatelem?

Vzpomeňme si na základní vlastnost zlomku:

Nikde není řečeno, že stejné číslo lze odečíst (nebo přidat) od čitatele a jmenovatele zlomku. Protože to není pravda!

Posuďte sami: vezměte například libovolný zlomek a přidejte například nějaké číslo do čitatele a jmenovatele. Co se naučil?

Takže další neotřesitelné pravidlo:

Když do něj přinesete zlomky Společným jmenovatelem, použijte pouze operaci násobení!

Co však musí být vynásobeno, aby bylo možné přijímat?

Tady dál a množte se. A vynásobte:

Výrazy, které nelze faktorizovat, se budou nazývat „elementární faktory“. Je například elementárním faktorem. - také. Ale - ne: je to faktorizované.

Co si myslíš o výrazu? Je to elementární?

Ne, protože to lze faktorizovat:

(o faktorizaci jste si již přečetli v tématu „“).

Elementární faktory, do kterých rozbalíte výraz pomocí písmen, jsou tedy analogické prvočinitelům, do kterých rozšiřujete čísla. A budeme s nimi jednat stejně.

Vidíme, že v obou jmenovatelích existuje faktor. Půjde ke společnému jmenovateli u moci (pamatujete si proč?).

Tento faktor je elementární a není pro ně běžný, což znamená, že první zlomek jím prostě bude muset být vynásoben:

Další příklad:

Řešení:

Než v panice znásobíte tyto jmenovatele, musíte přemýšlet o tom, jak je zohlednit? Oba představují:

Vynikající! Pak:

Další příklad:

Řešení:

Jako obvykle zohledněte jmenovatele. V prvním jmenovateli to jednoduše dáme mimo závorky; ve druhém - rozdíl čtverců:

Zdá se, že neexistují žádné společné faktory. Ale pokud se podíváte pozorně, pak jsou si tak podobní ... A pravda:

Napíšeme tedy:

To znamená, že to dopadlo takto: uvnitř závorek jsme změnili místa výrazů a současně se znaménko před zlomkem změnilo na opak. Vezměte na vědomí, budete to muset dělat často.

Nyní přejdeme ke společnému jmenovateli:

Mám to? Pojďme se na to teď podívat.

Úkoly pro nezávislé řešení:

Odpovědi:

Zde si musíme pamatovat ještě jednu - rozdíl mezi kostkami:

Vezměte prosím na vědomí, že jmenovatel druhého zlomku není vzorec „čtverec součtu“! Čtverec součtu by vypadal takto :.

A je takzvaný neúplný čtverec součtu: druhý člen v něm je součinem prvního a posledního, a nikoli jejich zdvojeného součinu. Neúplný čtverec součtu je jedním z faktorů rozšíření rozdílu kostek:

Co když už existují tři zlomky?

Ano, to samé! Nejprve to uděláme tak, aby maximální počet faktorů ve jmenovatelích byl stejný:

Dávejte pozor: pokud změníte znaménka uvnitř jedné závorky, znaménko před zlomkem se změní na opak. Když změníme znaménka v druhé závorce, znaménko před zlomkem se opět obrátí. V důsledku toho se to (znaménko před zlomkem) nezměnilo.

Prvního jmenovatele zapíšeme úplně do společného jmenovatele a pak k němu přidáme všechny faktory, které ještě nebyly zapsány, od druhého a poté od třetího (a tak dále, pokud existuje více zlomků). To znamená, že to dopadne takto:

Hmm ... U zlomků je jasné, co dělat. Ale co ta dvojka?

Je to jednoduché: můžete přidat zlomky, že? To znamená, že musíme z dvojky udělat zlomek! Pamatujte: zlomek je operace dělení (čitatel je dělen jmenovatelem, kdybyste najednou zapomněli). A není nic jednoduššího než vydělit číslo. V tomto případě se samotné číslo nezmění, ale změní se na zlomek:

Přesně to, co je potřeba!

5. Násobení a dělení zlomků.

No, to nejtěžší teď skončilo. A před námi je to nejjednodušší, ale zároveň nejdůležitější:

Postup

Jaký je postup pro výpočet číselného výrazu? Zapamatujte si počítáním významu takového výrazu:

Počítal jsi?

Mělo by to fungovat.

Takže připomínám.

Prvním krokem je výpočet stupně.

Druhým je násobení a dělení. Pokud existuje několik násobení a dělení současně, lze je provést v libovolném pořadí.

A nakonec provedeme sčítání a odčítání. Opět v libovolném pořadí.

Ale: výraz v závorkách je vyhodnocen mimo pořadí!

Pokud je několik hranatých závorek násobeno nebo děleno navzájem, nejprve vypočítáme výraz v každé z hranatých závorek a poté je vynásobíme nebo rozdělíme.

Co když je v závorkách více závorek? Pojďme se nad tím zamyslet: v závorkách je napsán nějaký výraz. A co je třeba při hodnocení výrazu udělat jako první? Přesně tak, spočítejte závorky. No, přišli jsme na to: nejprve vypočítáme vnitřní závorky, pak všechno ostatní.

Postup pro výše uvedený výraz je tedy následující (aktuální akce je zvýrazněna červeně, tj. Akce, kterou právě provádím):

Dobře, je to všechno jednoduché.

Ale to není totéž jako výraz s písmeny?

Ne, je to stejné! Pouze namísto aritmetických operací musíte provádět algebraické operace, tj. Akce popsané v předchozí části: přinášet podobné, sčítání zlomků, redukce zlomků atd. Jediným rozdílem je účinek faktoringových polynomů (často jej používáme při práci se zlomky). Pro factoring nejčastěji potřebujete použít i nebo jen dát společný faktor mimo závorky.

Obvykle je naším cílem představit výraz ve formě díla nebo konkrétního.

Například:

Pojďme zjednodušit výraz.

1) První je zjednodušit výraz v závorkách. Zde máme rozdíl zlomků a naším cílem je prezentovat jej jako součin nebo kvocient. Přeneseme tedy zlomky na společného jmenovatele a přidáme:

Zjednodušit tento výraz už není možné, všechny faktory jsou zde elementární (pamatujete si ještě, co to znamená?).

2) Získáme:

Násobení zlomků: co by mohlo být jednodušší.

3) Nyní můžete zkrátit:

A je to. Nic složitého, že?

Další příklad:

Zjednodušte výraz.

Zkuste to nejprve vyřešit sami a teprve potom uvidíte řešení.

Nejprve definujme pořadí akcí. Nejprve přidáme zlomky do závorek, místo dvou zlomků dostaneme jeden. Poté zlomky rozdělíme. Přidejte výsledek s posledním zlomkem. Schematicky vyjmenuji akce:

Nyní ukážu celý proces a vybarví aktuální akci červeně:

Na závěr vám dám dva užitečné tipy:

1. Pokud existují podobné, musí být okamžitě přineseny. V každém okamžiku máme podobné, je vhodné je přinést hned.

2. Totéž platí pro redukci frakcí: jakmile existuje příležitost ke snížení, musí být použita. Výjimkou jsou zlomky, které přidáte nebo odečtete: pokud mají nyní stejné jmenovatele, pak by snížení mělo být ponecháno na později.

Zde je několik úkolů, které musíte vyřešit sami:

A hned na začátku slíbil:

Řešení (stručné):

Pokud jste se vyrovnali alespoň s prvními třemi příklady, pak jste téma zvládli.

Nyní kupředu k učení!

TRANSFORMACE VÝRAZŮ. SOUHRN A ZÁKLADNÍ VZORCE

Základní operace zjednodušení:

• Přináší podobné: Chcete -li přidat (přivést) takové výrazy, musíte přidat jejich koeficienty a přiřadit písmennou část.
• Faktorizace: rozložení společného faktoru, uplatnění atd.
• Redukce frakce: čitatel a jmenovatel zlomku lze vynásobit nebo dělit stejným nenulovým číslem, čímž se hodnota zlomku nemění.
  1) čitatel a jmenovatel faktor
  2) pokud v čitateli a jmenovateli existují společné faktory, lze je přeškrtnout.

  DŮLEŽITÉ: redukovat lze pouze multiplikátory!

• Sčítání a odčítání zlomků:
  ;
• Násobení a dělení zlomků:
  ;

I. Výrazy, ve kterých lze spolu s písmeny použít čísla, aritmetické znaky a závorky, se nazývají algebraické výrazy.

Příklady algebraických výrazů:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Protože písmeno v algebraickém výrazu může být nahrazeno nějakým druhem různých čísel, písmeno se nazývá proměnná a samo algebraický výraz- výraz s proměnnou.

II. Pokud jsou v algebraickém výrazu písmena (proměnné) nahrazena jejich hodnotami a jsou provedeny uvedené akce, pak se výsledné číslo nazývá hodnotou algebraického výrazu.

Příklady Najděte hodnotu výrazu:

1) a + 2b -c pro a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) | x | + | y ​​| - | z | při x = -8; y = -5; z = 6.

Řešení.

1) a + 2b -c pro a = -2; b = 10; c = -3,5. Nahraďme jejich hodnoty místo proměnných. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y ​​| - | z | při x = -8; y = -5; z = 6. Nahraďte uvedené hodnoty. Pamatujte, že absolutní hodnota záporného čísla se rovná jeho opačnému číslu a absolutní hodnota kladného čísla se rovná tomuto číslu samotnému. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmene (proměnné), pro které má algebraický výraz smysl, se nazývají platné hodnoty písmene (proměnné).

Příklady Pro jaké hodnoty proměnné výraz nedává smysl?

Řešení. Víme, že není možné dělit nulou, proto každý z těchto výrazů nebude mít smysl pro hodnotu písmene (proměnné), která mění jmenovatele zlomku na nulu!

V příkladu 1) je tato hodnota a = 0. Pokud je za a nahrazeno 0, pak bude číslo 6 nutné vydělit 0, ale to nelze provést. Odpověď: výraz 1) nedává smysl pro a = 0.

V příkladu 2) jmenovatel x - 4 = 0 při x = 4, proto tuto hodnotu x = 4 nelze vzít. Odpověď: výraz 2) nedává smysl pro x = 4.

V příkladu 3) jmenovatel x + 2 = 0 při x = -2. Odpověď: výraz 3) je bezvýznamný, když x = -2.

V příkladu 4) je jmenovatel 5 - | x | = 0 pro | x | = 5. A protože | 5 | = 5 a | -5 | = 5, pak nemůžete vzít x = 5 a x = -5. Odpověď: výraz 4) nemá význam, když x = -5 a když x = 5.
IV. Říká se, že dva výrazy jsou shodné, pokud jsou pro všechny přípustné hodnoty proměnných stejné hodnoty těchto výrazů.

Příklad: 5 (a - b) a 5a - 5b jsou stejně stejné, protože rovnost 5 (a - b) = 5a - 5b bude platit pro všechny hodnoty a a b. Rovnost 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita Je rovnost platná pro všechny přípustné hodnoty v ní obsažených proměnných. Příklady identit, které již znáte, jsou například vlastnosti sčítání a násobení, distribuční vlastnost.

Nahrazení jednoho výrazu jiným, který je mu identický, se nazývá identická transformace nebo jednoduše transformace výrazu. Identické transformace výrazy s proměnnými se provádějí na základě vlastností akcí s čísly.

Příklady

A) převeďte výraz na identicky stejný pomocí distribuční vlastnosti násobení:

1) 10 * (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 * (a -2b + 4c); 3) a (6 m -2n + k).

Řešení... Připomeňme distribuční vlastnost (zákon) násobení:

(a + b) c = a c + b c(distribuční zákon násobení s ohledem na sčítání: za účelem vynásobení součtu dvou čísel třetím číslem můžete vynásobit každý výraz tímto číslem a sečíst získané výsledky).
(a-b) c = a c-b c(distribuční zákon násobení s ohledem na odčítání: za účelem vynásobení rozdílu dvou čísel třetím číslem můžete vynásobit toto číslo, které se sníží a odečte samostatně, a od prvního výsledku odečíst druhé).

1) 10 * (1,2x + 2,3y) = 10 * 1,2x + 10 * 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5 * (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.

b) transformujte výraz na identicky stejný pomocí posunovacích a kombinačních vlastností (zákonů) sčítání:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Řešení. Aplikujme zákony (vlastnosti) sčítání:

a + b = b + a(transponovatelné: součet se nemění z permutace výrazů).
(a + b) + c = a + (b + c)(kombinační: abyste mohli přidat třetí číslo k součtu dvou výrazů, můžete k prvnímu číslu přidat součet druhého a třetího).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) transformujte výraz na identicky stejný pomocí posunutí a kombinačních vlastností (zákonů) násobení:

7) 4 · NS · (-2,5); 8) -3,5 · 2 roky · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2c.

Řešení. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobení:

a b = b a(transponovatelné: produkt se nemění z permutace faktorů).
(a b) c = a (b c)(kombinační: pro vynásobení součinu dvou čísel třetím číslem můžete vynásobit první číslo součinem druhého a třetího).

7) 4 · NS · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 roky · (-1) = 7 let.

9) 3a · (-3) · 2s = -18ac.

Pokud je algebraický výraz uveden ve formě zrušitelného zlomku, lze jej pomocí pravidla zrušení zlomku zjednodušit, tj. nahraďte jej jednodušším výrazem, který je mu identický.

Příklady Zjednodušte pomocí redukce zlomků.

Řešení. Redukce zlomku znamená dělení jeho čitatele a jmenovatele stejným nenulovým číslem (výrazem). Frakce 10) se sníží o 3b; zlomek 11) lze snížit o ale a zlomek 12) lze snížit o 7n... Dostaneme:

Algebraické výrazy se používají k vytváření vzorců.

Vzorec je algebraický výraz psaný jako rovnost a vyjadřující vztah mezi dvěma nebo více proměnnými. Příklad: vzorec cesty, který znáte s = v t(s - ujetá vzdálenost, v - rychlost, t - čas). Pamatujte si, jaké další vzorce znáte.

Stránka 1 z 1 1

Mezi různými výrazy, které jsou uvažovány v algebře, zaujímají součty monomiálů důležité místo. Zde jsou příklady takových výrazů:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)

Součet monomiálů se nazývá polynom. Termíny v polynomu se nazývají termíny polynomu. Monomie jsou také označovány jako polynomy, přičemž monomie je polynom sestávající z jednoho výrazu.

Například polynom
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
lze zjednodušit.

Všechny termíny zastupujeme jako monomály standardního formuláře:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)

Pojďme si ve výsledném polynomu představit podobné výrazy:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Výsledkem je polynom, jehož všechny členy jsou monomie standardní formy a podobné mezi nimi nejsou. Takovým polynomům se říká polynomy standardní formy.

Za polynomiální stupeň standardní formy mají největší ze stupňů jeho členů. Binomická \ (12a ^ 2b - 7b \) má tedy třetí stupeň a trinomiální \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - druhý.

Členy standardních polynomů obsahujících jednu proměnnou jsou obvykle uspořádány sestupně podle exponentů jejího exponentu. Například:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)

Součet několika polynomů lze převést (zjednodušit) na standardní polynom.

Někdy je třeba členy polynomu rozdělit do skupin a každou skupinu uzavřít do závorek. Vzhledem k tomu, že závorky jsou opakem expanze závorek, je snadné je formulovat Pravidla rozšíření závorek:

Pokud je před závorkami umístěn znak „+“, pak jsou členy uzavřené v závorkách zapsány stejnými znaky.

Pokud je znak „-“ umístěn před závorkami, pak jsou členy uzavřené v závorkách zapsány s opačnými znaky.

Transformace (zjednodušení) součinu monomického a polynomu

Pomocí distribuční vlastnosti násobení můžete transformovat (zjednodušit) součin monomia a polynomu na polynom. Například:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)

Součin monomia a polynomu je identicky roven součtu součinů tohoto monomia a každého z členů polynomu.

Tento výsledek je obvykle formulován jako pravidlo.

Chcete -li znásobit monomiál polynomem, musíte jej znásobit každým z členů polynomu.

Toto pravidlo pro násobení součtem jsme již použili mnohokrát.

Součin polynomů. Transformace (zjednodušení) součinu dvou polynomů

Obecně platí, že součin dvou polynomů je identicky roven součtu součinů každého člena jednoho polynomu a každého člena druhého.

Obvykle se používá následující pravidlo.

Chcete -li znásobit polynom polynomem, musíte znásobit každý člen jednoho polynomu každým členem druhého a přidat výsledné součiny.

Zkrácené multiplikační vzorce. Součtové čtverce, rozdíly a rozdíly čtverců

Některé výrazy v algebraických transformacích je třeba řešit častěji než jiné. Snad nejběžnější výrazy \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) a \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), tj. Čtverec součtu, čtverec rozdílu a rozdílu čtverců. Všimli jste si, že názvy těchto výrazů se zdají být neúplné, takže například \ ((a + b) ^ 2 \) samozřejmě není jen čtverec součtu, ale čtverec součtu a a b. Čtverec součtu a a b však není tak běžný, zpravidla místo písmen a a b obsahuje různé, někdy spíše složité výrazy.

Výrazy \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) lze snadno převést (zjednodušit) na polynomy standardního tvaru, ve skutečnosti jste se s tímto úkolem již setkali při násobení polynomů:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

Získané identity jsou užitečné k zapamatování a aplikaci bez mezilehlých výpočtů. Pomáhají tomu krátké verbální formulace.

\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - čtverec součtu se rovná součtu čtverců a zdvojeného součinu.

\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - čtverec rozdílu se rovná součtu čtverců bez zdvojeného součinu.

\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - rozdíl čtverců se rovná součinu rozdílu součtem.

Tyto tři identity umožňují v transformacích nahradit jejich levé strany pravými a naopak-pravé strany levými. Nejtěžší je vidět odpovídající výrazy a porozumět tomu, co v nich nahrazuje proměnné a a b. Podívejme se na několik příkladů použití zkrácených multiplikačních vzorců.

Stejný údaj může vyjádřit jakýkoli jazyk různými slovy a obraty. Matematický jazyk není výjimkou. Ale stejný výraz může být napsán ekvivalentním způsobem různými způsoby. A v některých situacích je jeden ze záznamů jednodušší. V této lekci si povíme o zjednodušení výrazů.

Lidé komunikují dál různé jazyky... Pro nás je důležitým porovnáním dvojice „ruský jazyk - matematický jazyk“. Stejné informace lze nahlásit v různých jazycích. Kromě toho však může být v jednom jazyce vyslovován odlišně.

Například: „Petya je přítel s Vasyou“, „Vasya je přítel s Petyou“, „Petya je přítel s Vasyou“. Říká se to jinak, ale totéž. U kterékoli z těchto frází bychom pochopili, o co jde.

Podívejme se na tuto frázi: „Chlapec Petya a chlapec Vasya jsou přátelé.“ Rozuměli jsme co v otázce... Nelíbí se nám však, jak tato fráze zní. Nemůžeme to zjednodušit, říci totéž, ale jednodušeji? „Chlapec a chlapec“ - můžete jednou říci: „Kluci Petya a Vasya jsou přátelé“.

„Kluci“ ... Není z jejich jmen jasné, že nejsou dívky. Odstraňujeme „chlapce“: „Petya a Vasya jsou přátelé.“ A slovo „jsou přátelé“ lze nahradit slovem „přátelé“: „Petya a Vasya jsou přátelé.“ Výsledkem bylo, že první, dlouhá, ošklivá fráze byla nahrazena ekvivalentním tvrzením, které se snáze říká a je srozumitelnější. Tuto frázi jsme zjednodušili. Zjednodušit znamená říci snadněji, ale neztratit, nezkreslit význam.

Totéž se děje v matematickém jazyce. Totéž lze říci, zapsáno různými způsoby. Co to znamená zjednodušit výraz? To znamená, že existuje mnoho ekvivalentních výrazů pro původní výraz, tedy ty, které znamenají totéž. A z celé této sady si musíme vybrat to nejjednodušší, podle našeho názoru, nebo nejvhodnější pro naše další cíle.

Zvažte například číselný výraz. Jeho ekvivalent bude.

Bude také ekvivalentní prvním dvěma: .

Ukázalo se, že jsme zjednodušili naše výrazy a našli nejkratší ekvivalentní výraz.

U číselných výrazů musíte vždy udělat vše a získat ekvivalentní výraz jako jedno číslo.

Zvažte příklad doslovného výrazu . Očividně to bude jednodušší.

Při zjednodušování doslovných výrazů musíte postupovat podle všech možných kroků.

Je vždy nutné výraz zjednodušit? Ne, někdy bude pro nás výhodnější mít ekvivalentní, ale delší záznam.

Příklad: odečtěte číslo od čísla.

Je možné vypočítat, ale pokud by první číslo bylo reprezentováno ekvivalentním zápisem :, pak by výpočty byly okamžité :.

To znamená, že zjednodušený výraz pro nás není vždy výhodný pro další výpočty.

Přesto velmi často stojíme před úkolem, který zní jako „zjednodušit výraz“.

Zjednodušte výraz :.

Řešení

1) Proveďme akce v první a druhé závorce :.

2) Počítejme produkty: .

Poslední výraz je zjevně jednodušší než počáteční. Zjednodušili jsme to.

Aby se výraz zjednodušil, musí být nahrazen ekvivalentem (rovným).

Chcete -li definovat ekvivalentní výraz, musíte:

1) proveďte všechny možné akce,

2) pro zjednodušení výpočtů použijte vlastnosti sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Vlastnosti sčítání a odčítání:

1. Vlastnost posunutí sčítání: součet se nemění z permutace výrazů.

2. Kombinační vlastnost sčítání: Chcete -li přidat třetí číslo k součtu dvou čísel, můžete k prvnímu číslu přidat součet druhého a třetího čísla.

3. Vlastnost odečtení součtu od čísla: k odečtení součtu od čísla můžete odečíst každý výraz samostatně.

Vlastnosti násobení a dělení

1. Vlastnost posunutí násobení: produkt se nemění z permutace faktorů.

2. Kombinační vlastnost: Chcete -li číslo vynásobit součinem dvou čísel, můžete jej nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný produkt druhým faktorem.

3. Distribuční vlastnost násobení: abyste vynásobili číslo součtem, musíte ho vynásobit každým výrazem zvlášť.

Podívejme se, jak ve skutečnosti provádíme výpočty v naší mysli.

Vypočítat:

Řešení

1) Představme jako

2) Představujeme první faktor jako součet bitových výrazů a provádíme násobení:

3) umíte si představit, jak a provést násobení:

4) Nahraďte první faktor ekvivalentním součtem:

Distribuční zákon lze použít v opačném směru :.

Následuj kroky:

1) 2)

Řešení

1) Pro pohodlí můžete použít distribuční zákon, použít jej pouze v opačném směru - vyjměte společný faktor ze závorek.

2) Vyjměte společný faktor z hranatých závorek

V kuchyni a na chodbě je nutné zakoupit linoleum. Kuchyňský kout - chodba -. Existují tři druhy linolea: pro a rubly pro. Kolik bude stát každý ze tří typů linolea? (Obr. 1)

Rýže. 1. Ilustrace pro prohlášení o problému

Řešení

Metoda 1. Můžete samostatně zjistit, kolik peněz je zapotřebí na nákup linolea v kuchyni, a poté výsledné práce dát na chodbu.