انتقال اپراتور برای معادله نوع هذلولی. روش های عددی برای حل معادلات در مشتقات جزئی نوع هیپربولیک (بر روی مثال معادله انتقال)

وظیفه کوشی را برای معادله مشاهده در نظر بگیرید

که در آن نرخ انتقال v. ممکن است تابع باشد ایکس. برای معادله (6.1)، بسیاری از طرح های تفاوت که در روش تقریب متفاوت هستند، روش نمایندگی مشتقات و غیره متفاوت است. بگذارید ابتدا در طرح های تفاوت های واضح متوقف شویم که در آن هر معادله سیستم تنها یک مقدار ناشناخته را شامل می شود) "، که به شما اجازه می دهد تا به طور مداوم مقادیر راه حل را بر روی یک لایه موقت جدید محاسبه کنید.

شناخته شده است که طرح های تفاوت صریح باید مهم ترین اموال داشته باشند، ثبات توانایی طرح برای جمع آوری اختلالات محاسباتی است. پایداری طرح مورد نیاز مورد نیاز برای اطمینان از همگرایی راه حل اختلاف به دقیق است. برای یک معادله هذلولی، پایداری داده های اولیه معمولا بر اساس طیف خاصی از اپراتور انتقال به یک لایه زمانی جدید انجام می شود، بر اساس طرح های تفاوت قابل قبول برای محاسبات. بنابراین، طرح اختلاف متقارن

این شرایط پایداری بسیار سفت و سخت (T 2 VH) و NS مورد استفاده برای آن است الگوریتم عملی. طرح های تفاوت

به طور شرطی پایدار هستند برای اطمینان از ثبات آنها، ابتدا لازم است، تحقق کلار فریدریش - لوی (KFL):

و دوم، استفاده از تفاوت های به سمت جریان، I.E. استفاده از طرح (6.3) با V. \u003e 0 و (6.4) زمانی که v 0.

یک طرح صریح با تفاوت های نسبت به جریان. اگر ما به طور انتخابی دو طرح قبلی را اعمال کنیم، یعنی زمانی که v\u003e\u003e 0 طرح (6.3)، و زمانی که v.

به جهت سرعت و پایدار ارائه خواهد شد v / h. ^ 1. دشوار نیست توجه داشته باشید که تفاوت یک طرفه در این طرح برای دیدار با جریان گرفته شده است (آنها می گویند که این طرح دارایی است mpanenopmuenoemu). طرح ها) "چنین گونه ای به نام ضد اثبات یا طرح با تفاوت به سمت جریان.

در مورد معادله با یک مقدار ثابت از مشکل انتقال مشکلات با طراحی طرح تفاوت مخالف، وجود ندارد. نرخ انتقال مربوط به نرخ انتقال انتخاب شده است، که در تمام گره های منطقه محاسبه شده استفاده می شود. وضعیت (6.5) محدودیت نسبت به تنظیمات شبکه محاسباتی را اعمال می کند. به طور معمول، در یک گام داده شده در فضا از رابطه (6.5)، یک گام مجاز گام T H / V تعیین می شود.

اما اگر نرخ انتقال عملکرد مختصات (یا زمان) باشد، انتخاب نوع تقریبی تفاوت باید بر اساس تجزیه و تحلیل علامت نرخ انتقال، به عنوان مثال، استفاده از اپراتور شرطی انجام شود. علاوه بر گوت، با سرعت انتقال متغیر v \u003d v (x) شرایط ثبات باید برای تمام گره های مش و از این مجموعه از مقادیر گام موقت برای انتخاب حداقل: T Min، بررسی شود؛ h / VJ.

در کار جامعه ای با همکاران (1952)، یک روش جالب برای ساخت یک طرح برابری پیشنهاد شد که اپراتور شرطی مورد استفاده قرار نگرفت. مهم این است که توجه داشته باشید که این فقط یک پذیرش رسمی نیست، بلکه یک رویکرد حاوی ایده های عمیق بر اساس آن می تواند مقایسه شود و برای پیدا کردن انطباق بین جریان ضد جریان (نامتقارن) و طرح های اختلاف متقارن. این نزدیک به ایده تقسیم اپراتورهای طرح های تفاوت است.

تصور کنید نرخ انتقال به شکل مجموع اجزای مثبت و منفی آن:

این اجازه می دهد اپراتور انتقال به شکل مجموع دو اپراتور:

در حال حاضر هر یک از اپراتورها دارای ضریب ثبت نام ثبت نام هستند، که به شما اجازه می دهد تا تقریب اختلافات متفاوتی را به آن اعمال کنید. توجه داشته باشید که طرح تفاوت نسبت به جریان تقریبی اعضای کنتراست به طور گسترده ای در وظایف مختلف محاسبات هیدرودینامیک مورد استفاده قرار می گیرد. سابقه زیر از الگوریتم محاسباتی اغلب با توجه به طرح (6.6) اعمال می شود:

اگر ما در حال حاضر در قسمت راست (6.7) قرار داریم، تحولات ابتدایی را انجام خواهیم داد و مشتق کننده اختلاف متقارن را برجسته خواهیم کرد، این طرح به عنوان معرفی خواهد شد

می توان نتیجه گرفت که طرح تفاوت هنوز هم قدرتمند (6.7) معادل متقارن (6.2) است که افزودنی های ناشی از آن را ارائه می دهد که ثبات شرطی طرح را تضمین می کند.

طرح LAX این طرح به عمل محاسبات در سپیده دم توسعه پویایی گاز محاسباتی معرفی شد. II هر چند اشاره به طرح این نوع در آثار نویسندگان مختلف ملاقات شد، افکار عمومی آن را با نام ریاضیات آمریکایی LAX، PD، منتشر شده در 50S مجموعه ای از آثار در جنبه های مختلف از نظریه تفاوت طرح ها در ارتباط با معادله انتقال (6.1)، این طرح دارای فرم است

ویژگی طرح این است که به منظور اطمینان از ثبات آن در تقریب، مشتق از زمان ارزش عملکرد شبکه در گره (g، پ) جایگزین نصف مقادیر در گره های همسایه از همان لایه موقت. این عملیات با تقریب مرکزی مشتقات فضایی پایداری شرطی طرح اختلاف را فراهم می کند (هنگام انجام وضعیت KuRANTA - Friedrichs - Levi v / h. ^ 1).

اگر چه در اینجا مشتق شده است h. ارائه شده با روش دوم برای تقریب، طرح به دلیل نمایش مشخصی از جدول زمانی مشتق از مشتقات قابل توجهی است. این به وضوح از تقریب اول دیفرانسیل دیده می شود:

ضریب ایستاده در سمت راست قبل از مشتق دوم می تواند به عنوان ضریب ویسکوزیته مدار تفسیر شود. پس از تحولات ساده، این مقدار را می توان به عنوان نشان داد

از کجا ولی تعداد زنگ ها را اعلام کرد. از تقریب دیفرانسیل، بسیاری از خواص این طرح را می توان شناسایی کرد:

• - این طرح توسط تعداد یک زنگ ها، برابر با یک نفر ناتمام می شود؛
• - طرح به جهت جریان حساس نیست؛

با یک عدد قرنطینه، یک واحد کوچکتر، یک ویسکوزیته مدار دارای اثر تثبیت کننده (ضریب نفوذ مثبت) با تعداد قرنطینه، واحدهای بزرگتر، ضریب ویسکوزیته مدار منفی است، که منجر به تشدید فرآیند انتشار می شود و در نهایت ، به از دست دادن ثبات محاسباتی طرح؛

با کاهش زمان، خواص تخریب مدار رشد می کند.

در میان ویژگی های ذکر شده، کسانی هستند که به طور قابل توجهی شرافت طرح را کاهش می دهند. با این حال، سادگی الگوریتم اغلب پایه ای برای استفاده از آن در مراحل اولیه (اشکال زدایی) برنامه های حل و فصل ساخت و ساز است. علاوه بر این، طرح LAX، همانطور که ما بیشتر خواهیم دید، بخشی جدایی ناپذیر از الگوریتم های چند مرحله ای موثر است که پیش از مرحله (مرحله پیش بینی) انجام می شود.

طرح دوم سفارش. طرح های تفاوت قبلا مورد بحث قرار گرفتند، طرح های مرتبه اول (در یک متغیر فضایی یا موقت) بود. هنگام ساخت طرح های مرتبه دوم، لازم است که یک روش افزایش یافته برای تقریب به عنوان یک فضا، گاز و یک تغییر موقت را تضمین کنید. چندین طرح از این نوع را در نظر بگیرید.

طرح "چچار". طرح دوم سفارش هر دو در متغیر فضایی و زمان ساده ترین نوع می تواند به عنوان نشان داده شود

این طرح یک طرح با افزایش بیش از حد نامیده می شود، اما بیشتر شناخته شده است "Leapfrog" (طرح جهش قورباغه). این طرح سه لایه است و یک راه حل را در دو لایه زمان قبلی ایجاد می کند. بنابراین، هنگامی که از آن استفاده می شود، مشکلات با آغاز محاسبات بوجود می آیند، که باید در هر روش دیگری انجام شود.

لاکس - طرح Vendroff. یکی از مشهورترین طرح های این نوع، طرح مرکزی به نام نویسندگان آن، طرح LAX - Vendroff نامیده می شود. این یک طاقچه خاص در تئوری طرح های تفاوت برای معادلات هیپربولیک رتبه بندی شده است، بسیاری از ایده های بسیار تولیدی با آن ارتباط دارد، اما مزیت اصلی آن این است که به راحتی خلاصه شده و به موارد پیچیده تر تبدیل می شود - مشکلات جریان گاز فشرده شده توسط سیستم های معادلات شسیفیل توصیف شده، جایی که او یکی از ابزارهای اصلی محاسباتی برای مدت زمان طولانی بوده است.

مفید است که ویژگی های این طرح را در یک مثال از اعمال آن به معادله مهاجرت یاد بگیریم (6.1). برای ساخت یک طرح سفارش دوم، ما تیلور فرمول را دفع می کنیم:

که همراه با معادله اولیه (6.1) در نظر گرفته می شود، این معادله برای جایگزینی مشتقات موقت در تجزیه با فضایی استفاده می شود. این ممکن است به دلیل اولین مشتق، اما زمان به طور مستقیم از (6.1) بیان شده است: du / dt \u003d -vdu / dx. مشتق دوم نیز به راحتی از زنجیره ای از روابط زیر قرار دارد:

توجه داشته باشید که این نمایندگی تنها در سرعت انتقال ثابت است: v \u003d. const در غیر این صورت، تقریبی است، با این حال، اگر نرخ انتقال باشد v (x) کافی تابع صافاین می تواند مورد استفاده قرار گیرد برای تبدیل نسبت های تفاوت هایی که در طبیعت محلی هستند.

جایگزینی بیان با استفاده از معادله دیفرانسیل اولیه برای مشتقات در فرمول بالا تیلور، ما را به دست می آوریم

و جایگزینی مشتقات در فضا با نسبت های مرتبه دوم نهایی، ما (پس از برخی از تحولات ساده) به دست می آوریم

به نام طرح Lax Vendroff. این طرح به عمل محاسبات همراه با تعدادی از دیگر آثار منتشر شده توسط LAX و VNDFFT در سال های 1960-1964 معرفی شد.

نوع دو مرحله ای از طرح LAX - VENDROFF. بعدها، Richt-Mayer نسخه اصلی دوربینی را پیشنهاد کرد که یکی از الگوریتم های اصلی محاسبات پویایی گاز برای مدت طولانی به دلیل راحتی بود. ما این گزینه را می دهیم

در اولین نیمکره ای، ما مقدار متوسط \u200b\u200bراه حل را در طرح ساده ای از خط اول مرتبه محاسبه می کنیم. این مقدار متوسط \u200b\u200bما شاخص برتر را تایید خواهیم کرد p + 1/2 و ما در نظر داریم که نیمی از زمان نیز استفاده می شود. با استفاده از این طرح، ما مقادیر محلول را در لایه موقت متوسط \u200b\u200bبه دست می آوریم: t \u003d t n + l / 2. در عین حال، ما توجه داریم که به دلیل استفاده از طرح LAX که در آن لایه پایین تر هیچ گره مرکزی وجود ندارد، راه حل بر روی لایه متوسط \u200b\u200bنیز در سیستم نیمه بخاری تولید می شود.

ما یک رکورد از روابط تفاوت برای دو فواصل مجاور را ارائه می دهیم:

نیمکره دوم شامل محاسبه تصمیم بر روی لایه موقت جدید است پ + 1 بر اساس نمودار با تفاوت های مرکزی هر دو در فضا و در زمان - طرح "صلیب". برای محاسبه مشتقات فضایی، مقادیر راه حل در لایه متوسط \u200b\u200bدر سیستم صندلی ها استفاده می شود، راه حل خود را در همان سیستم از نقاط بازسازی شده است که در آن آغاز شده توسط آغاز مرحله زمانی تعیین شده است :

روابط (6.12) و (6.13) با هم، طرح دو هولت را از لکس Veidroff تعیین می کنند. در مرحله اول، شرایط پایداری انجام می شود. این مرحله گاهی اوقات نامیده می شود پیشگو. مرحله دوم اجرای صحت لازم را تضمین می کند و آن را نامیده می شود اصلاح کننده روشهای پیش بینی پروژکتور اغلب در آن استفاده می شود محاسبات ریاضیاتدر همان زمان، مرحله اصلاح ممکن است شامل یک بلوک تکراری باشد.

این را می توان به راحتی نشان داد که، به استثنای مقادیر متوسط \u200b\u200bاز (6.13)، با کمک روابط (6.12) ما به یکی از اصلی ها می رسیم - انتخاب طرح. به معنای نظم تقریبی و ثبات، هر دو گزینه معادل هستند، اما دو بار در حین محاسبات راحت تر است، بنابراین معمولا نام این طرح تفاوت است که معمولا مرتبط است. نوع دو مرحله ای به ویژه برای استفاده در ساخت طرح های مختلف برای کارهای پیچیده تر، به ویژه برای سیستم های معادلات شسیلینیک پویایی گاز غیر ثابت استفاده می شود.

یکنواختی از راه حل ها در طرح های مرتبه دوم. آخرین عضو در سمت راست (6.11) یک فرم غیر از نوع اعضای متفاوتی از طرح های مرتبه اول (6.8) و (6.10) دارد. در این مورد، این یک خطا در ارتباط با روش اول برای تقریب مشتق زمان فراهم می کند. بنابراین، این طرح یک طرح سفارش دوم به عنوان یک زمان، یک گاز و یک متغیر فضایی است. اولین تقریب دیفرانسیل آن دیگر شامل یک عضو غیرقانونی نخواهد بود، اما یک جزء پراکندگی با یک مشتق سوم را ارائه می دهد که باعث خطاهای فاز طرح می شود. می توان انتظار داشت که این طرح تصمیم گیری را ضعیف کند، اما نوسانات غیر فیزیکی ناشی از پراکندگی ممکن است در منطقه تغییر شدید آن ظاهر شود.

یک طرح تفاوت که راه حل را ترجمه می کند با توجه به عملکرد یکنواخت مختصات طولی در محلول یکنواخت نامیده می شود طرح اختلاف یکنواخت. با توجه به این تعریف، طرح LAX - Veidroff غیر یکنواخت است.

S.K. Godunov قضیه یکنواخت را تاسیس کرد که یکی از مکان های مرکزی را در تئوری طرح های تفاوت قرار داد. با توجه به این قضیه، برای یک معادله خطی فرم (6.1)، هیچ طرح یکنواختی با سفارش بالاتر از اول وجود ندارد.

از دست دادن یکنواختی طرح تفاوت، مشخصه یک درجه یا دیگری برای تمام طرح های افزایش نظم تقریبی است. برای غلبه بر راه حل عددی غیر مونوتونیک از طرح های بلند بالا، به اصطلاح ترکیبی طرح های تفاوت آنها متعلق به کلاس غیر خطی هستند، در آنها، بر اساس تجزیه و تحلیل رفتار محلول، سوئیچینگ به نمودارهای یکنواخت سفارش اول در مناطق، که در آن خطاهای فاز به طور خاص قوی هستند و به طرح های مرتبه بالا در مناطق بازگردانده می شوند تغییر صاف در راه حل.

طرح MAC خوراک این یک نمودار دو مرتبه دو مرتبه است که بی تفاوت به جهت جریان است. راحت تر برای نشان دادن فرم محافظه کارانه معادله انتقال است:

این طرح شامل دو مرحله متوالی است:

در مرحله اول (6.15)، ارزش اولیه تصمیم گیری sh در گره های شبکه بر اساس یک طرح اختلاف یک طرفه. با توجه به راه حل که به این ترتیب یافت شد، مقادیر اولیه جریان / G. بیشتر، بر اساس مدارهای یک طرفه دارای جهت مخالف (6.16)، راه حل در لایه دفعه بعد تعیین می شود.

این الگوریتم به تغییرات مختلف اجازه می دهد، به خوبی به یک راه حل از هر دو سیستم Quasilinear و وظایف چند بعدی هیپربولیک اقتباس شده است. در دهه 1970، این طرح یکی از پیشگامان اصلی رایانه های خارجی (عمدتا آمریکایی) بود، اما در حال حاضر، بر اساس ایده های هیبریداسیون، مدرن تر است.

در حال حاضر ساده ترین طرح های تفاوت برای معادله هوپ را در نظر بگیرید.

تعمیم در مورد معادله Hopf طرح P.Lax دارای فرم است

در اینجا، بدیهی است، نوع واگرا معادله (3.6) استفاده می شود.

تمرین. طرح LAX - Vendroff را برای معادله هوپ در نظر بگیرید. اجازه دهید شرایط اولیه برای مشکل کوشی به شرح زیر عرضه شود: U (X، 0) \u003d CH - 2 (X). سپس معادله Hopf اولین انتگرال است: . بررسی کنید که طرح فوق است محافظه کار. در آن، در سطح شبکه، قانون حفاظت همان به طور خودکار انجام می شود.

ساخت یک طرح مشابه با استفاده از شکل مشخص سوابق معادله هوپ (3.9). آیا او محافظه کار خواهد بود؟

این طرح در صورت انجام وضعیت زنگ ها (دقیق تر، تعمیم شرایط کلارا) پایدار است

در اینجا و در زیر، همانطور که قبلا در (3.7)، f \u003d 0، 5U 2. فرض بر این است که این دوره کاملا صاف است، لحظه ای از فاجعه گرادیان هنوز مشخص نشده است، هیچ موج شوک و شکاف های دیگر وجود ندارد.

طرح Kuralta - ایزاکسون - برنج. تعمیم طرح های کوروش بر روی یک مورد Quasilinear (زمانی که استفاده می شود فرم واگرا معادلات ثبت شده) بدیهی است.

طرح پایدار است در هنگام انجام وضعیت زنگ ها

تعمیم دادن طرح های لاکس - Vendroff (طرح پیش بینی کننده - Corector). برای معادلات Quasilinear (و همچنین معادلات خطی با ضرایب متغیر، معادلات نامناسبی، و غیره)، طرح LAX - Vendroff پیچیده تر می شود. برای ساخت آن، باید به اصطلاح به اصطلاح نصف هدف (نقاط با شاخص های کسری) وارد کنید. در مرحله اول (پیش بینی کننده)، مقادیر در نقاط نیمه منظوره بر اساس طرح فوق محاسبه می شود - تعمیم در مورد Quasilinear طرح LAX:

در مرحله دوم (CORRECTOR) از طرح چک (طرح سه لایه در یک الگوی متقابل شکل، که در خانواده (3.8) گنجانده نشده است) استفاده می کند:

طرح Laksa - Vendroff متعلق به به اصطلاح است مرکزی طرح ها قالب آن متقارن است. در مرحله اول، مقادیر تابع شبکه در انتخاب قالب بر روی لایه متوسط \u200b\u200b(TM - 1/2، XM - 1/2) محاسبه می شود (TN + 1/2، XM + 1 / 2)، راه حل در لایه بالا در مرحله دوم محاسبه می شود. در نقطه (TN + 1، XM). این طرح در هنگام انجام وضعیت زنگ ها پایدار است.

به طور مشابه، طرح های LAX - Vendroff برای معادلات نامناسب خطی ساخته شده است.

Nezentral Mac - Kormak (پیش بینی کننده - اصلاح).

به عنوان طرح فوق العاده LAX - VENDROFF، طرح MCCORMACA شامل دو مرحله است. در نظر بگیرید ساخت یک طرح MacCock برای معادله یکنواخت (3.7). مرحله اول (پیش بینی کننده) دارای فرم است

کسانی که. طرح "گوشه سمت راست خارجی" استفاده می شود. مرحله دوم اصلاح کننده است:

بنابراین، محاسبه در مرحله اول با توجه به طرح "گوشه سمت راست"، در دوم - "گوشه چپ".

یکی دیگر از طرح های مک - Kormaka دارای نظر است

چنین طرح های تفاوت نامیده می شود غیر مرکزی. مزایای آنها عبارتند از عدم وجود شاخص های نیمه منظوره، فرمول بندی ساده تر از شرایط مرزی. در مورد خطی Mac - Kormak Scheme همزمان با طرح LAX - VENDROFF است. طرح ها روش دوم را برای تقریب در هر دو متغیر دارند، این طرح پایدار است، زمانی که شرایط ناز انجام می شود.

طرح Rusanova (طرح مرکزی مرتبه سوم دقت).

برای ساخت طرح روسن، نه تنها نقاط نیمه هدف، بلکه دو لایه از نقاط متوسط \u200b\u200bبا شاخص های کسری است. مرحله اول طرح Rusanov (انتقال به لایه 1/3) دارای فرم است

مرحله دوم او طرح "چچار" است

و مرحله سوم

در مرحله اول، با توجه به طرح LAX، بر اساس طرح "صلیب" ("چچار") محاسبه می شود. آخرین دوره مرحله سوم برای اطمینان از ثبات طرح (یک عضو، تقریب تفاوت متناسب از مشتق 4) معرفی شده است.

این طرح در صورت انجام وضعیت زنگ ها و شرایط، پایدار است.

غیر مرکزی طرح گرمایش - Cutler - Lomax ترتیب 3 نانوایی.

مرحله اول:

مرحله دوم:

مرحله سوم:

آخرین اصطلاح به ثبات طرح اضافه شده است، که در هنگام انجام شرایط ناز پایدار است.

اندازه: PX.

شروع به نمایش از صفحه:

رونوشت.

2 وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه فدراسیون دانشگاه ایالتی نووسیبیرسک و دانشکده ریاضی گروه مدل سازی ریاضی G. S. Khakimzyanov، S. G. روش های سیاه و سفید از محاسبات بخش 4. روش های عددی برای حل مشکلات برای معادلات آموزش نوع هیپربولیک Novosibirsk 014

3 BBK B.193 UDC X 16 Resertion Cand. مات فیزیکی Sciences A. S. Lebedev Edition به عنوان بخشی از اجرای برنامه برای توسعه موسسه آموزشی دولتی بالاتر تهیه شد آموزش حرفه ای "دانشگاه دولتی نووسیبیرسک" سالها. X 16 Khakimzyanov، G.S. روش های محاسبات: در 4 ساعت: مطالعات. کمک هزینه / G. S. Khatzyzyanov، S. G. سیاه؛ novosib دولت un-t Novosibirsk: RIC NSU، 014. بخش 4: روش های عددی برای حل مشکلات برای معادلات نوع هیپربولیک. 07 p. ISBN Tutorial با برنامه سخنرانی "روش های محاسبات"، که در مکانیک و دانشکده ریاضیات NSU خوانده می شود، مطابقت دارد. در بخش چهارم، مبانی روش های عددی حل مشکلات ارزش مرزی اولیه برای معادلات نوع هیپربولیک حل می شود، وظایف برای سمینارها فرموله شده است، نمونه های کار تست و وظایف برای تمرینات عملی ارائه شده است. این کتاب برای دانش آموزان و معلمان تخصص های ریاضی بالاتر است موسسات آموزشی. Isbn BBK B.193 UDC C Novosibirsk دانشگاه دولتی، 014 C G. S. Khatzynanov، S. G. Black، 014

4 جدول محتویات مقدمه طرح های پیشگویی برای معادله خطی انتقال خط از طرح های تفاوت طرح ساختارهای یکنواخت بر اساس تقریب دیفرانسیل طرح برای یک معادله انتقال غیر خطی بر روی یک شبکه تطبیقی \u200b\u200bبرای اندازه گیری معادلات انتقال برای معادله نوسان، تفاوت طرح های یک سیستم هیپربولیک از معادلات با ضرایب دائمی طرح های تفاوت برای سیستم های معادلات معادلات آب کم عمق غیر خطی طرح های تفاوت برای وظایف پویایی گاز در مورد موضوع "تحقیق از طرح های تفاوت برای معادله انتقال" وظایف کار آزمایشگاهی پاسخ ها، دستورالعمل ها، فهرست کتابشناختی راه حل ها

5 مقدمه در بخش چهارم این کتابچه، مبانی روشهای عددی حل مشکلات ارزش مرزی اولیه را برای معادلات نوع هیپربولیک تعیین می کند، وظایف بر روی این موضوع برای سمینارها فرموله شده است، وظایف برای تمرینات عملی بر روی کامپیوتر و یک مثال. کار تست. مسائل نظری به اندازه کافی کوتاه است. برای مطالعه عمیق تر از مسائل مورد توجه، ما توصیه می کنیم تماس با کتاب درسی S. K. Godunova و V. S. Ryabnyk، و همچنین به کتاب های G. I. Marchuk، A. A. Samarsky، A. A. Samarasky، AA Samarsky، AA Samarsky و ES Nikolaeva، BL کریسمس و NN یاننکو و مزایای آموزشی منتشر شده در NSU. سخنرانی ها در مورد مسائل نظری مربوط به مطالعه تنها طرح های خاص تفاوت ها مورد بحث قرار می گیرد. به عنوان مثال، طرح ها برای معادله انتقال خطی، معادله غیر خطی اسکالر مرتبه اول، معادله مرتبه دوم توصیف نوسانات رشته، سیستم خطی معادلات اول، سیستم آب کم عمق معادلات و معادلات پویایی گاز در نظر گرفته شده است. هر پاراگراف با وظایفی که باید در سمینارها حل شود، همراه است. بسیاری از وظایف با دستورالعمل ها و راه حل های دقیق ارائه می شود. مواد اضافی برای جلسات سمینار را می توان در وظایف یافت. این راهنما نمونه هایی از وظایف را برای کلاس های عملی در کلاس های کامپیوتری ارائه می دهد، با توجه به توصیه های انجام وظایف، مسائل مربوط به توسعه برنامه ها و نمایندگی نتایج مورد بحث قرار می گیرد. وظایف اضافی شما می توانید خارج شوید راهنماهای روشلی . بخش چهارم این مزایا دارای شماره گیری مستقل عبور از پاراگراف ها و نقاشی ها و یک لیست کتابشناسی مستقل است. به عنوان مثال، در داخل پاراگراف ها برای فرمول ها و اظهارات (Lemmas و Theorems)، شماره گیری دو شاخص مورد استفاده قرار گرفت، به عنوان مثال 4. مراجعه به فرمول ها، Lemmas، Theorems از سه بخش قبلی کتابچه راهنمای کاربر با اضافه کردن اعداد به شماره 1 آنها داده می شود ، یا 3. به عنوان مثال، به جای "با توجه به فرمول (4) از مزایای، ما" با توجه به فرمول (1.4) "، به جای" قضیه 8.3 از کتابچه راهنمای "" توسط قضیه 8.3 "بنویسید. نویسندگان ابراز قدردانی عمیق به نظرسنجی الکساندر استپانوویچ لبوبف برای مشاوره ارزشمند و نظرات انتقادیکه به بهبود این امر کمک کرد تدبیر. 4

6 1. طرح های یک معادله انتقال خطی 1.1. برخی از اطلاعات از نظریه سیستم های هیپربولیک. مشکل کوشی را برای یک سیستم خطی معادلات دیفرانسیل از اولین مرتبه U T + A U \u003d F (X، T) در نظر بگیرید< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0) در جهت کاهش زمان T، عبور از محور OX در M نقاط مختلف. سفارش مقادیر خود را از سیستم هیپربولیک (1.1) (λ 1 (x، t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 بخش بنابراین، اگر اطلاعات اولیه خارج از بخش به دیگران تغییر کند، سپس راه حل در نقطه (X، T) تغییر نخواهد کرد. تعریف. منطقه اثر نقطه (x، 0، 0) مجموعه ای از نقاط (x، t) از نیمه بالایی بالا، محدود شده توسط ویژگی های شدید سیستم (1.1)، گسترش از (x 0 ، 0)، یعنی ویژگی های مربوط به ارزش های خود را λ 1 و λ m. منطقه نفوذ نقطه (x 0، 0) در شکل نشان داده شده است. 1، ب اگر داده های اولیه تنها در نقطه (x 0، 0) تغییر کرده باشد، راه حل سیستم هیپربولیک تنها در نقاط (x، t) متعلق به منطقه اثر نقطه (x 0، 0 تغییر خواهد کرد ) فرض کنید اکنون ما به جای مشکل کوشی هستیم (1.1) شما باید کار اولیه-مرز را در بخش حل کنید. سپس، علاوه بر شرایط اولیه، لازم است شرایط مرزی را تنظیم کنید. تعداد شرایط مرزی بر هر یک از مرزها با مقدار ویژگی های موجود در داخل تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر شامل ویژگی های m 0 از طریق مرز چپ X \u003d 0، I.E. m 0 از مقادیر ویژه λ k مثبت در x \u003d 0 مثبت باشد، سپس m 0 از شرایط مرزی باید در این مرز تنظیم شود. اگر در مرز X \u003d L، تعداد مقادیر مقادیر منفی M L باشد، بنابراین دقیقا مشخصه های M L به منطقه از طریق مرز راست وارد می شود، سپس در این مرز لازم است شرایط مرزی M L را تنظیم کنید. از آنجا که مقادیر خاصی به زمان بستگی دارد، تعداد شرایط مرزی بر هر یک از مرزها ممکن است با زمان متفاوت باشد. t dx dt \u003d m λ m (x، t) dx dt \u003d λ 1 t dx dt \u003d λ 1 dx dt \u003d m λ x l a x r x (x 0،0) b x شکل. 1. ویژگی های سیستم معادلات (1.1)، محدود کردن وابستگی وابستگی نقطه (x، t) (a) و اثرات نقطه (x 0، 0) (b) 6

8 ما در حال حاضر یک سیستم هیپربولیک همگن معادلات (1.1) با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم. برای یک ماتریس دائمی A، بردارهای خود و مقادیر خاص آن ثابت هستند، به عنوان مثال به X و T بستگی ندارد. اجازه دهید l k-th سمت چپ از ماتریس ماتریس مربوط به مقدار خود را به مقدار خود را λ k: l k a \u003d λ k l k (k \u003d 1، ...، m). سیستم چندگانه (1.1) در سمت چپ به بردار LK: یا جایی که Lkut + L KA UX \u003d 0. این معادله را می توان به صورت زیر نوشته شده است: lkut + λ klkuxskt + λ skkx \u003d 0، \u003d 0، (1.3) sk \u003d lku، k \u003d 1، ... m. (1.4) راه حل SK (X، T) معادله (1.3) در امتداد ویژگی های بدون تغییر انتقال داده می شود و بنابراین در T\u003e 0 با مقدار اولیه SK در نقطه تقاطع ویژگی K-OH با OX محاسبه می شود محور: SK (X، T) \u003d SK (x λ kt، 0). (1.5) توابع S K نام های Riemann نامیده می شود. 1 .. مدل خطی آب کم عمق. ساده ترین مدل ریاضی، که در آن می توان حرکت مایع را با امواج سطح توصیف کرد، یک مدل خطی از آب کم عمق است: η T + U 0 \u003d 0، (1.6) xut + g η \u003d 0، (1.7) x η ( x، 0) \u003d η 0 (x)، U (x، 0) \u003d U 0 (x)، (1.8) که η (x، t) ارتفاع سطح مایع بیش از سطح ناخوشایند (نگاه کنید به شکل) ، η 0 (x، t) سرعت مایع، η 0 (x) و U 0 (x) ارتفاع و سرعت در لحظه اولیه زمان t \u003d 0، 0 \u003d عمق Const استخر، G \u003d شتاب Const از سقوط آزاد . 7

9 سیستم معادلات (1.6)، (1.7) را می توان به صورت یک سیستم همگن (1.1) با یک ماتریس A و بردار راه حل U: A \u003d (0 0 0) (η، U \u003d U) نوشته شده است ) (1.9) ماتریس A دارای دو مقدار مختلف مقادیر معتبر λ 1 \u003d c 0، λ \u003d c 0 \u003d g 0، (1.10) بنابراین سیستم معادلات (1.6)، (1.7) دارای نوع هیپربولیک است. معادلات ویژگی ها (1.) این نوع را مصرف کنید: DX DT \u003d C 0، DX DT \u003d C 0، (1.11)، ویژگی ها خطوط مستقیم هستند. ویژگی های عبور از نقطه (x، t)، t\u003e 0 توسط محور OX در نقاط X L و X R عبور می کنند، جایی که x l \u003d x c 0 t، x r \u003d x + c 0 t. (1.1) برداشت های ترک خوردگی ماتریس مربوط به مقادیر خودشان (1.10) توسط فرمول های L 1 \u003d (C 0، 0)، L \u003d (C 0، 0) تنظیم می شوند. (1.13) y 0 η y \u003d (x، t) lxy \u003d - 0 برنج .. نامگذاری در مشکل توزیع و تحول امواج در استخر با دیوارهای عمودی با توجه به (1.4) رابطه بین Riemann invariats r \u003d s 1 ، s \u003d s و متغیرهای وابسته اولیه توسط فرمول r \u003d c 0 η 0 u، s \u003d c 0 η + 0 U، (1.14) 8 داده می شود

10 از جایی که η \u003d r + sc 0، u \u003d sr 0. (1.15) از فرمول (1.5)، با توجه به معادلات حساب (1.14)، ما فرمول ها را برای حل مسئله کوشی در invariats r (x، t) \u003d r به دست می آوریم (x λ 1 t، 0) \u003d r (x + c 0 t، 0) \u003d c 0 η 0 (xr) 0 u 0 (xr)، (1.16) s (x، t) \u003d s (x λ t، 0) \u003d S (XC 0 T، 0) \u003d C 0 η 0 (XL) + 0 U 0 (XL). (1.17) و در نهایت، استفاده از روابط (1.15)، ما یک راه حل دقیق از مشکل کوشی (1.6)، (1.7)، (1.8) η (x، t) \u003d η 0 (xL) + η 0 (xr) به دست می آوریم + 0 U0 (XL) U 0 (XR)، C 0 U (X، T) \u003d U 0 (XL) + U 0 (XR) + C 0 η0 (XL) η 0 (xr). 0 (1.18) هنگام حل وظیفه اولیه مرزی در سوال، لازم است یک شرط را در هر یک از انتهای بخش قرار دهیم. به عنوان مثال، ما فرض خواهیم کرد که دیوارهای حوضه برای مایع غیر قابل نفوذ هستند، که به معنی برابری صفر از سرعت مایع بر روی این دیوارها است: U (0، T) \u003d U (L، T) \u003d 0. (1.19) بیایید فرمول ریاضی کار را در فرم نهایی بر روی حرکت مایع با امواج سطح در یک استخر محدود ارائه دهیم: برای پیدا کردن پیوسته در یک منطقه بسته D \u003d محلول η (X، T)، U (x ، t) از مشکل بعدی مرزی بعدی η T + U 0 x \u003d 0، ut + g η \u003d 0، 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 در همان زمان، معادلات برای Riemann inviants به یکدیگر بستگی ندارد و هر یک از آنها فرم U T + Au X \u003d 0، a \u003d const را دارد. (1.1) این معادله ساده ترین معادله هذلولی است و معادله انتقال خطی نامیده می شود. در این معادله، خواص طرح های مختلف مورد استفاده برای حل سیستم های هیپربولیک معادلات مورد استفاده قرار می گیرد. برای معادله انتقال خطی (1.1) کار Couchy U T + Au X \u003d 0 را در نظر بگیرید،< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 و بالعکس) برای معادله انتقال با ضریب ثابت A، آسان است برای نوشتن یک راه حل دقیق برای کار اولیه محدود. به عنوان مثال، A \u003d const\u003e 0. سپس کار بعدی راه اندازی U T + Au X \u003d 0، 0 درست خواهد بود< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 بیایید با یک مدار صریح با تفاوت در برابر جریان (طرح ضد جریان) شروع کنیم تا مقدار اولیه مرزی اولیه U T + Au X \u003d F (X، T)، 0< x l, 0 < t T, a = const > 0، U (0، t) \u003d μ 0 (t)، 0 T t، U (x، 0) \u003d U 0 (x)، 0 لیتر، U 0 (0) \u003d μ 0 (0). (1.7) ما همچنان تنها مش های یکنواخت را در نظر می گیریم که منطقه بسته را پوشش می دهند. ما طرح تفاوت های زیر را UN + یک سازمان ملل متحد واحد 1 \u003d Fn، \u003d 1، ...، n، un 0 \u003d μ n 0، n \u003d 0، ...، m، u 0 \u003d U 0 (x)، \u003d 0، ...، n، (1.8) تقریب کار (1.7) با ORDER O (+). همانطور که قبلا، این طرح را می توان در فرم اپراتور L U \u003d f نوشته شده است. این نام به این دلیل است که اگر معادله انتقال را به عنوان یک معادله مدل برای یک سیستم معادلات که جریان مایع یا گاز را توصیف می کنیم، در نظر بگیریم و ضریب A با سرعت مایع را شناسایی کنیم، سپس با سرعت مثبت، یعنی در A\u003e 0، در طرح، مشتقات اختلاف سمت چپ با استفاده از گره x 1، واقع در برابر "جریان" (واقع در بالادست). ما استانداردهای یکنواخت را در فضای توابع شبکه U و فضای قسمت های سمت راست معرفی می کنیم: جایی که FF (\u003d max max max max nun c \u003d max 0 n un، \u003d max n un c، (1.9)) μn 0، (U 0) C، Max Fnn C، (1.30) FN C \u003d Max 1 N FN استانداردهای یکنواخت در لایه t \u003d t n. با کمک حداکثر اصل، شما می توانید ادعای زیر را اثبات کنید. قضیه 1.1. انجام شرط 1 (1.31) 11

13 برای پایداری طرح مخالف (1.8) در یک هنجار یکنواخت کافی است. d o k a و t e l اجازه دهید x یک گره از شبکه با شماره 1 n باشد. من معادله تفاوت مدار را در این گره بازنویسی می کنم \u003d (1 R) U N + Ru n 1 + F n، جایی که r \u003d a /. از شرط قضیه این به این معنی است که 1 R 0، بنابراین، برآورد زیر (1 R) Un + Run 1 + Fn (1 R) Un C + اجرا C + C + C + MFM C منصفانه خواهد بود (1 R) Un C + MFM C. در گره مرزی، ما امتیاز زیر را 0 \u003d μ n + 1 0 max m μm 0. بنابراین، حداکثر قسمت های چپ این نابرابری ها نمی تواند بیش از حداکثر دو عدد در قسمت های مناسب این نابرابری ها: (C Max Max M) μM 0، UN C + MAX FMM C، و این حداکثر اصل است. دریافت کرد که ارائه شده (1.31)، طرح (1.8) حداکثر اصل را برآورده می کند. بنابراین (به تئوری 3.1.1 مراجعه کنید) آن را با توجه به داده های اولیه مقاوم خواهد شد شرایط منطقه ای و در سمت راست شرایط مشابه (1.31) یک شرط لازم برای ثبات طرح (1.8) است که از نشانه طیفی از ثبات نئیمان پیروی می کند. ما آن را اثبات می کنیم. هارمونیک U n \u003d λ n e i iφ (1.3) را انتخاب کنید و آن را به یک معادله اختلاف همگن جایگزین کنید. به عنوان یک نتیجه، برای عامل انتقال، معادله را به دست آورد، λ \u003d 1 r (1 e iφ) \u003d 1 R (1 cos φ) IR sin φ. λ \u003d 1 R (1 cos φ) + R (1 cos φ) + r sin φ \u003d 1

14 \u003d 1 R (1 cos φ) [R (1 cos φ) R (1 + cos φ)] \u003d 1 R (1 cos φ) (1 R). فرض کنید در طرح (1.8) گام ها و با قانون انتقال محدودیت R \u003d a \u003d const همراه است. (1.33) سپس مقدار ویژه λ (φ) بستگی ندارد، بنابراین شرط لازم برای ثبات Neiman به نیاز به نیاز یا λ (φ) 1، φ R. (1.34) R (1 cos φ) کاهش می یابد (1 R) 0، φ r. (1.35) بدیهی است، این نابرابری در شرایط A\u003e معادل است (1.31). بنابراین، شرایط (1.31) در A\u003e 0 یک شرط ضروری و کافی برای ثبات طرح مخالف در یک هنجار یکنواخت است. توجه داشته باشید که وقتی یک< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a > 0 طرح (1.37) کاملا ناپایدار خواهد بود (نگاه کنید به وظیفه 1). 13

در نتیجه، ما دو طرح صریح پایدار پایدار را با تفاوت های در برابر جریان به تفاوت برای معادله انتقال با یک ضریب ثابت Aunun + A یک واحد 1 + 1 UNI UNI متصل کردیم، آنها در هنگام انجام نابرابری \u003d Fn مقاوم هستند ، اگر a\u003e 0، \u003d fn، اگر A.< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) > 0، a (l، t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 با کمک حداکثر اصل، ممکن است ثابت شود (به مشکل 1.10 مراجعه کنید)، که به اندازه کافی برای مقاومت در برابر طرح مخالف (1.41) با ضریب متغیر a (x، t)، شرایط حداکثر a (x ، T) 1. (1.44) X، T 1.5. طرح LAX علاوه بر این، برای سادگی، ما مشکل اولیه لبه (1.7) را با یک معادله انتقال ITH + Au X \u003d 0 همگن بررسی خواهیم کرد. (1.45) در طرح LAX، معادله تفاوت، معادله انتقال تقریبی (1.45) نوشته شده است SO 0، 5 (UN +1 +) UN 1 + 1 UN +1 UN 1 \u003d 0، \u003d 1، ...، n 1. (1.46) برای خطای تقریبی محلی، ما یک عبارت ψ n، \u003d U داریم TT U XX + ... بنابراین، AT \u003d O () طرح LAX معادله انتقال را تقریبی نمی کند، و با قانون انتقال محدودیت R \u003d a \u003d const (1.47) با ORDER O (+ + ) بنابراین، تقریب فقط در یک ارتباط خاص بین مراحل اتفاق می افتد و به عنوان مثال، طرح LAX متعلق به کلاس طرح های تقریبی مشروط است. برای چند ضلعی انتقال، فرمول λ (φ) \u003d cos φ sin φ را به دست می آوریم. در نتیجه، با قانون انتقال حاشیه ای (1.47)، شرایط پایداری مورد نیاز طرح LAX این است که نابرابری R 1 را انجام دهیم، به عنوان مثال، 1. (1.48) 15

17 1.6 طرح لاکسا Vendroff. معادلات تفاوت این طرح شبیه U + 1/0، 5 (UN +1 +) UN + 1 UN +1 UN \u003d 0، / UN + Au + 1 / (1.49) U 1 / \u003d 0. طرح از Lax Vendroff به خانواده طرح های دو مرحله ای اشاره دارد. در این طرح، ابتدا در گره های نیمه هوا X + 1 / \u003d X + / با توجه به طرح LAX، مقادیر کمکی U + 1 / مربوط به زمان T N + / محاسبه می شود. سپس، در مرحله دوم، مقادیر تابع شبکه مورد نظر بر روی لایه (N + 1) -M در زمان محاسبه شد. برای مطالعه تقریبی و پایداری طرح های دو مرحله ای، یک استثنا از پیش تعیین شده از طرح مقادیر کمکی U. به عنوان یک نتیجه از استثنا، ما طرح یک مرحله ای از LAX VENDROFF U N + A UN +1 UN 1 \u003d 1 UN +1 UN + UN 1، (1.50) را دریافت می کنیم که، نحوه بررسی، تقریب معادله انتقال (1.45 ) با سفارش دوم نرم افزار و. برای عامل انتقال، ما چنین بیان λ \u003d 1 IR sin φ r sin φ را داریم. بنابراین، شرایط مورد نیاز ثبات λ 1 معادل اجرای نابرابری (1 R SIN φ) + R SIN φ 1، OR 1 4R SIN φ + 4R4 SIN 4 φ + 4R SIN φ (1 sin φ) 1 . آخرین نابرابری معادل شرایط R است. بنابراین، شرایط لازم برای ثبات طرح واژینال لاک با پیش نیاز (1.48) پایداری دیاگرام Diagram Laks و پراکندگی، هماهنگ است. همراه با معادله انتقال U T + Au X \u003d 0، A \u003d const (1.51) 16

18 دو معادله دیگر را در نظر بگیرید. U T + Au X \u003d μu XX، μ \u003d const\u003e 0، (1.5) U T + Au X + νu XXX \u003d 0، ν \u003d const. (1.53) اجازه دهید عملکرد اولیه در مشکل کوشی برای این معادلات به نظر می رسد به شکل یک سری از UXIER FIRIER (X، 0) \u003d M B M E IMX. (1.54) ما به دنبال راه حل هر یک از این معادلات با جدا کردن متغیرهای U (x، t) \u003d bm λ te imx \u003d bmum (x، t)، (1.55) میلی متر که در آن um (x، t) هارمونیک با شماره موج MUM (X، T) \u003d λ TE IMX، (1.56) λ به تعریفی تعریف شده است. بخش واقعی و خیالی از هارمونیک ها عبارتند از: M-waves، طول L از آن همراه با تعداد موج فرمول L \u003d π M است. (1.57) از آنجا که معادلات (1.51) (1.53) خطی هستند، پس از آن رفتار هر یک از هارمونیک ها می تواند به طور مستقل در نظر گرفته شود. جایگزینی هارمونیک با شماره موج M به معادله انتقال (1.51)، ما دریافت یا LN (λ) + AIM \u003d 0 λ \u003d e هدف. بنابراین، اگر هارمونیک (1.56) یک راه حل معادله انتقال است، این فرم را نشان می دهد که نشان می دهد ξ \u003d x در، ما U را به دست می آوریم (x، t) \u003d im (x at). (1.58) U m (x، t) \u003d e imξ \u003d u m (ξ، 0). (1.59) 17

19 بنابراین، در هر زمان t\u003e 0، هارمونیک U M با تغییر هماهنگی اولیه در AT به دست می آید. در نتیجه، معادله انتقال، جنبش M-Waves را توصیف می کند، که، صرف نظر از طول آنها، با سرعت ثابت V m \u003d a بدون تحریف فرم آن، پخش می شود. آسان است که اطمینان حاصل شود که هارمونیک (1.56) راه حل معادله دوم (1.5)، اگر LN (λ) + AIM \u003d μM یا λ \u003d e هدف E μM، یعنی هارمونیک در این مورد فرم UM باشد (x، t) \u003d e μmt e im (x AT). بنابراین، برای همه هارمونیک، ضعف دامنه موج وجود دارد (تخلیه موج). از آنجا که M \u003d π / L، پس از آن امواج کوتاه سریعتر از طولانی تر می شوند. سرعت انتشار امواج سرعت V m به طول موج بستگی ندارد و هنوز هم یک است. برای از دست دادن امواج، عضو μU XX مسئول مشتق دوم راه حل است. در نهایت، جایگزینی هارمونیک به معادله (1.53) LN (λ) + AIM + ν (IM) 3 \u003d 0 یا جایی که ما دریافت می کنیم λ \u003d e im (νM)، um (x، t) \u003d im (x (a νm) t). بنابراین، معادله سوم جنبش موج را بدون تغییر دامنه آن (بدون تخلیه) توصیف می کند. اما میزان انتشار آن بستگی به طول موج V m \u003d a νm دارد. (1.60) از این فرمول، می توان دید که امواج طول های مختلف در سرعت های مختلف گسترش می یابد (امواج پراکنده). تغییرات قابل توجهی بیشتر میزان انتشار اختلالات موج کوتاه (بزرگ M) است. پراکندگی امواج توسط یک عضو از νu XXX با سومین مشتق از راه حل پاسخ داده شده است. هجده

20 با توجه به رفتار هارمونیک های فردی، اکنون می توانیم رفتار کیفی تصمیم گیری (1.55) چالش های کوشی را برای این معادلات پیش بینی کنیم. به عنوان مثال، تابع اولیه U (x، 0) دارای نوع مراحل (1، x، u (x، 0، 0) \u003d (1.61) 0، x\u003e 0 و a\u003e 0. تجزیه چنین عملکرد است در یک سری فوریه (1.54) کل مجموعه هارمونیک ها را شامل می شود. راه حل مشکل کوشی برای معادله انتقال (1.51) در این فرم U (X، T) \u003d MBME IM (X AT) \u003d MBME IMξ ارائه شده است \u003d U (ξ، 0)، (1.6) یعنی مشکل این کار با سرعت یک نمایه اولیه حرکت می کند. راه حل U (X، T) \u003d MBME μMT E IM (x AT) \u003d MBME μMT E IMξ ( 1.63) وظایف کوشی برای معادله (1.5) با یک عضو از دست رفته که در آن امواج کوتاه به شدت لعنتی، آن را یک شکل از یک مرحله پراکنده داشته باشد. در نهایت، راه حل U (x، t) \u003d MBME IM (x (a νM) T ) (1.64) وظایف کوشی برای معادله (1.53)، که در آن امواج طول های مختلف با سرعت های مختلف حرکت می کنند، دارای شخصیت غیر مونوتونیک، نوسان است. با توجه به فرمول (1.60)، در ν\u003e 0، امواج طول کوچک سرعت m.nachy را نسبت به امواج یک طول بزرگ و با ν داشته باشد< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν > 0 و، بر این اساس، هنگامی که ν حرکت می کنید< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x > x 0 19

21 و ما بر اساس یک طرح ضد بحران صریح Un + یک واحد واحد 1 \u003d 0، a \u003d const\u003e 0. (1.66) به عنوان یک نتیجه، ما یک راه حل را به صورت یک گام به دست می آوریم (شکل 3) ، یعنی این تصمیم به صورت کیفی همانند و راه حل معادله (1.5) با یک عضو از دست رفته خواهد بود. موضوع چیه؟ پس از همه، ما می خواستیم معادله انتقال را حل کنیم، که در آن هیچ عضو غیرقانونی وجود ندارد. واقعیت این است که ما به دنبال عددی بودیم راه حل معادله انتقال نیست، بلکه راه حل طرح تفاوت است. بنابراین، خواص راه حل های معادله دیفرانسیل تقریبی و معادله تفاوت تقریبی ممکن است همزمان نباشد. چگونه، در این مورد، خواص معادله تفاوت را پیش بینی کنید؟ y x 30 شکل. 3. نمودارهای راه حل دقیق (خطوط نوار) \u200b\u200bو راه حل های عددی (خطوط جامد) با استفاده از یک مدار ضد جریان (1.66) به دست آمده در زمان t \u003d 1 (1)؛ t \u003d 8 ()؛ t \u003d 15 (3). a \u003d 1؛ x 0 \u003d 10؛ A / \u003d 0، 5 این را می توان با استفاده از روش تقریبی دیفرانسیل انجام داد، که اکنون ما هم اکنون همراه خواهیم بود. ماهیت این روش جایگزینی معادله تفاوت اولیه با یک معادله دیفرانسیل ویژه است که تمام خواص معادله تفاوت های مورد مطالعه را دارد. بنابراین، به جای مطالعه معادله تفاوت، این معادله دیفرانسیل مورد بررسی قرار گرفته است، که در بسیاری از موارد بسیار ساده تر می شود. بدست آوردن معادله دیفرانسیل مربوط به معادله تفاوت در رکورد این معادله تفاوت در قالب یک طرح تقسیم نظری به اصطلاح آغاز می شود که در آن اپراتورهای تفاوت در همان فضای عملکردی به عنوان اپراتورهای دیفرانسیل تقریبی عمل می کنند. به عنوان مثال، معادله تفاوت (1.66) به صورت تفاوت نظری زیر نوشته شده است 0

22 طرح U (x، t +) U (x، t) U (x، t) U (x، t) + a \u003d 0. (1.67) راه حل چنین طرح عملکرد U (x، t) از استدلال های مداوم X و T در حالی که راه حل معادله (1.66) یک تابع شبکه است که تنها در گره های شبکه تعریف شده است. اجازه دهید یک عملکرد نسبتا صاف شما (x، t) یک راه حل طرح تفاوت نظری (1.67) باشد. ما آن را در این طرح جایگزین می کنیم و از طریق مقادیر تابع و مشتقات آن در نقطه (x، t) با استفاده از فرمول تیلور، آن را به این طرح جایگزین می کنیم و از طریق مقادیر تابع و مشتقات آن در نقطه (X، T) با استفاده از فرمول تیلور بیان می کنیم. در نتیجه، ما معادله دیفرانسیل معادل با طرح تفاوت (1.67) U T + Au X + U TT + 6 U TTT A U XX + A 6 U XXX + ... \u003d 0. (1.68) تعریف می کنیم. معادله دیفرانسیل نظم بی نهایت (1.68)، پس از تجزیه فرمول تیلور از راه حل U (X، T) طرح تفاوت نظری (1.67) به دست آمد، نمایندگی دیفرانسیل طرح تفاوت (1.66) نامیده می شود. برخی از ویژگی های طرح تفاوت در حال حاضر می تواند توسط این نمایندگی دیفرانسیل مورد بررسی قرار گیرد، اما برای اهداف ما راحت تر از فرم دیگری از نمایندگی دیفرانسیل استفاده می شود که حاصل از یک استثنا از (1.68) تمام مشتقات زمانی به جز کسانی که وارد معادله تقریبی می شوند (1.51) ،. e به جز تو به عنوان مثال، ما را نشان می دهیم که چگونه مشتقات را در زمان عضو به دست آوریم و. برای انجام این کار، معادله بازنویسی (1.68)، با توجه به اجزای تنها O () و O () UT + Au X + U TT + 6 U TTT AU XX + A 6 U XXX \u003d O () (1.69) و ما با استفاده از معادله به دست آمده ut مشتق شده است: ut \u003d au xu tt 6 U TTT + au xx a 6 u xxx + o () (1.70) این جایگزین مشتق شده به شرایط معادلات (1.69) حاوی مشتقات (UT) T و (ut) tt. با توجه به نظم کمبود ضرایب در مشتقات دوم و سوم در زمان، ما آن را در (U T) T 1 به دست می آوریم

23 کافی است که جایگزین مشتق (1.70) با دقت O (+) محاسبه شود: UT \u003d Au Xu TT + Au XX + O (+)، (1.71) و در (UT) TT با دقت O ( +): ut \u003d au x + o (+). (1.7) به عنوان یک نتیجه از چنین جایگزینی، معادله (1.69) فرم زیر را به دست می آورد: UT + Au X + (Au Xu TT + A) U XX + T 6 (AU X) TT \u003d \u003d AU XX A 6 U XXX + O ()، یا UT + AU XAU TX 4 U TTT + A 4 U TXX A 6 U TTX \u003d AU XX A 6 U XXX + O (). (1.73) پس از جایگزینی به معادله (1.69)، اقدامات بیشتر با معادله انجام می شود (1.73). در حال حاضر لازم است جایگزین مشتق UT، تعیین شده از معادله (1.73)، به چهار اصطلاح از همان معادله: UT + AU XA (Au X + Au TX + Au XX) X 4 (Au X) TT + + 4 (au x) xx 6 (au x) tx \u003d au xx a 6 u xxx + o (). پس از آوردن Likes، ما ET + AU XA معادله 1 U TXX + A 4 U TTX \u003d a (a) (1 R) U xx + au xxx + o ()، 6 (1.74) که در آن، در مقایسه با (1.69) هیچ مشتقات بار دوم. باقی مانده در (1.74) مشتقات مخلوط U TXX و U TTX بر اساس برابری محاسبه می شود (1.7): U TXX \u003d Au XXX + O (+)، U TTX \u003d A U XXX + O (+). (1.75)

24 بنابراین، نمایندگی دیفرانسیل (1.74) فرم U T + Au X \u003d A (1 R) U XX A 6 (R 3R + 1) U XXX + O () را می گیرد. (1.76) بنابراین، ما از مشتقات زمانی خلاص شد و. اما مشتقات در T به مدت طولانی با درجه های مسن تر در قسمت راست O () باقی مانده است. اگر قبلا روش شرح داده شده را ادامه دهید، سپس در نظر (1.68)، شما می توانید مشتقات زمان را به یک سفارش دائمی به دست آورید. به عنوان یک نتیجه، ما یک نمایندگی دیفرانسیل از طرح را در فرم یا UT + Au XX \u003d A (1 R) U XX + A 6 (1 R) (R 1) U XXX + ... (1.77) UT + به دست می آوریم au x \u003d k \u003d ckkkux k. (1.78) تعریف. معادله سفارش بی نهایت (1.78) یک شکل از نمایندگی دیفرانسیل طرح تفاوت نامیده می شود. اجازه دهید طرح تفاوت او دستورات تقریبی تقریبی γ 1 و نرم افزار γ را داشته باشد و به همین ترتیب. تعریف. معادله دیفرانسیل به دست آمده از فرم های P نشانگر دیفرانسیل با حذف اعضای سفارش O (γ1 + 1، γ + 1) و بالاتر از تقریب دیفرانسیل اول (p.) از طرح تفاوت است. برای طرح مخالف (1.66) ص. P. این یک معادله دیفرانسیل دوم مرتبه UT + Au X \u003d μu XX، μ \u003d a (1 R)، (1.79) است که، همانطور که می بینیم، با معادله همزمان می شود (1.5) با عضو انزجار بنابراین، در R 1، طرح ما به طور ضمنی ویسکوزیته (تخریب) را معرفی می کند، که یک ویسکوزیته تقریبی یا مدار در یک معادله انتقال تقریبی نامیده می شود. حضور ویسکوزیته تقریبی و منجر به تخلیه مرحله اولیه می شود. تعریف. اموال طرح تفاوت ناشی از حضور در پاراگراف های آن است. N. مشتقات حتی نظم، تخلیه عددی نامیده می شود. 3

25 p-Form از نمایندگی دیفرانسیل طرح تفاوت از Lax Vendroff ظاهر UT + Au X \u003d A 6 (1 R) U XXX A3 8 R (1 R) U XXXX + ... و p. د . ut + au x + νu xxx \u003d 0، ν \u003d A 6 (1 R) (1.80) همزمان با معادله (1.53) با عضو پراکندگی است. در نتیجه، در R 1، طرح LAX Vendroff به طور ضمنی پراکندگی را به معادله انتقال تقریبی معرفی می کند، بنابراین راه حل طرح تفاوت می تواند نوسان شود (شکل 4). یخی 4. نمودارهای راه حل دقیق (خطوط نوار) \u200b\u200bو راه حل های عددی (خطوط جامد) با استفاده از طرح LAX Vendroff در زمان t \u003d 1 (1) به دست آمده است. t \u003d 8 ()؛ t \u003d 15 (3). a \u003d 1؛ x 0 \u003d 10؛ A / \u003d 0، 5 تعریف. اموال طرح تفاوت ناشی از حضور در P. D. مشتقات یک نظم عجیب و غریب، پراکندگی عددی نامیده می شود. بیایید خلاصه ای را خلاصه کنیم. برای وظایف با یک راه حل هماهنگ در حال تغییر، کمک به آن هارمونیک های فرکانس بالا کوچک است، دقت طرح واژینال لمسی بالاتر از دقت طرح مخالف است. اگر ما مشکل را حل کنیم که در آن راه حل به شدت تغییر مشخصات monoton را تغییر می دهد، استفاده از طرح ضد تراز اول سفارش یک پروفیل غیرقابل انطباق یکنواخت را ارائه می دهد، اما به شدت صاف شده است. این نتیجه اثر اتلاف عددی است. طرح LAX Vendroff، که دارای پراکندگی عددی است، می تواند پروفایل های غیر مونوتونیک یک راه حل عددی را در محیط اطراف یک شکست یا تغییر شدید راه حل های تحریف شده توسط نوسانات غیر فیزیکی ارائه دهد. x 4

26 Z و D و H و 1.1. نشان می دهد که وقتی یک< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a > 0 کاملا ناپایدار با کمک یک روش طیفی Neimane برای به دست آوردن شرط لازم برای مقاومت در برابر طرح سه لایه "Leap-Frog" (طرح با بیش از حد، طرح "CHECHHARD") برای معادله (1.1) سازمان ملل متحد 1 + سازمان ملل متحد +1 UN 1 \u003d 0، n \u003d 1، ...، m 1، \u003d 0، ± 1، ±، ...، ±، ...، (1.8) اگر قانون انتقال محدود در فرم مشخص شده باشد (1.33) روش را تعیین می کند تقریب یک مدار صریح با یک تفاوت مرکزی UN + 1 UN +1 UN 1 \u003d 0، (1.83) برای معادله انتقال (1.1) ساخته شده است. با استفاده از روش طیفی Neiman برای کشف ثبات این طرح، اگر قانون انتقال محدود به عنوان A \u003d Const مشخص شود. (1.84) 1.5. تعیین روش برای تقریب طرح Majaran U N + A UN +1 UN 1 \u003d 1 UN +1 UN + UN 1، (1.85) برای معادله انتقال (1.1) ساخته شده است. با استفاده از روش طیفی Neiman، برای کشف ثبات این طرح، اگر قانون انتقال محدود در فرم مشخص شود (1.84). پنج

27 1.6 روش تقریبی نقشه McForms U UN + A UN +1 UN \u003d 0، 0، 5 (U +) UN / + A U U 1 \u003d 0، (1.86) برای معادله انتقال (1.1) ساخته شده است. با استفاده از روش طیفی Neuran، برای بررسی ثبات این طرح اگر قانون انتقال محدود در فرم (1.84) مشخص شود تا روش تقریبی طرح مخالف با وزن UN + σa σ (1 σ) a را تعیین کند واحد 1 \u003d 0، (1.87) برای معادله انتقال (1.1) با ضریب a\u003e 0. با استفاده از روش طیفی Neimane ساخته شده است، شرایط لازم برای ثبات مدار (1.87) را از بین می برد، اگر قانون انتقال محدود شود در فرم (1.84) با استفاده از حداکثر اصل مشخص شده است، برای بررسی ثبات در هنجارهای یکنواخت طرح ضد جریان ضمنی Un + 1 UN + 1 1 \u003d F N + 1، \u003d 1، ...، N، سازمان ملل متحد 0 \u003d μ n 0، n \u003d 0، ...، m، u 0 \u003d U 0 (x)، \u003d 0، ...، n، (1.88) ساخته شده برای مشکل (1.7) با استفاده از حداکثر اصل، پیدا کردن یک شرایط کافی پایداری در نرخ یکنواخت طرح مخالف با مقیاس های UN + σa un (1 σ) 1 \u003d Fn + 1 /، un 0 \u003d μ n 0، n \u003d 0، ...، m، U 0 \u003d U 0 (x)، \u003d 0، ...، n، (1.89) ساخته شده برای مشکل (1.7). اینجا 0 σ 1. 6

28 1.10 با استفاده از حداکثر اصل، برای اثبات این که اجرای شرایط (1.44) برای پایداری مدار ضد جریان (1.41) کافی است با ضریب متغیر a (x، t) برای به دست آوردن پاراگراف ها (1.80) از طرح های واکسن لم برای پیدا کردن ص. طرح های ضمنی Un + 1 1 1 \u003d 1 \u003d 0، (1.90) ساخته شده برای معادله انتقال (1.1) با ضریب A\u003e 0. توضیح کیفی از رفتار راه حل طرح تفاوت در T را ارائه می دهد \u003e 0، اگر مرحله در لحظه اولیه تنظیم شده باشد t \u003d 0 (مرحله تنظیم شده است (1.61) .. اموال یکنواخت از طرح های تفاوت .1. یکی از الزامات اساسی برای طرح های تفاوت این است که راه حل معادله تفاوت باید رفتار تصمیم گیری معادله دیفرانسیل تقریبی را انتقال دهد. به عنوان مثال، مشکل کوشی برای یک معادله انتقال خطی U T + Au X \u003d 0، a \u003d const\u003e 0،< x <, t > 0، (.1) U (x، 0) \u003d U 0 (x). (.) اگر شما 0 (x) دیگر (غیر ریوی) تابع متغیر x، سپس با هر T\u003e 0 ثابت، راه حل U (x، t) از وظایف (.1)، (.)، همچنین یک تابع غیر شکست (غیر انتفاعی) متغیر x خواهد بود. این به دنبال این واقعیت است که در هر زمان راه حل توسط فرمول U (x، t) \u003d U 0 (x در) داده می شود. (.3) به طور طبیعی نیاز به راه حل طرح تفاوت، مشکل تقریبی (.1)، (.)، همچنین دارایی مشابهی داشت. اما معلوم می شود که بسیاری از طرح های تفاوت یکنواختی یک راه حل عددی را نقض می کنند: به جای پروفیل های یکنواخت پیش بینی شده، راه حل هایی که حاوی نوسانات غیر فیزیکی هستند (شکل 4). دلیل وقوع آنها پراکندگی عددی تفاوت 7 است

29 طرح مورد بحث در پاراگراف قبلی. در این پاراگراف، ما شرایطی را در هنگام انجام طرح تفاوت ارائه می دهیم، یکنواختی از راه حل عددی را حفظ می کند. یک طرح اختلاف نظر صریح دلخواه را در نظر بگیرید \u003d α B α U N + α (.4) که در آن α یک عدد صحیح است، α \u003d α 1، α 1 + 1، ...، α، x + α گره های تعیین الگوی جریان. تعریف. طرح تفاوت (.4) یک نمودار نامیده می شود که یکنواخت یک راه حل عددی (نمودار یکنواخت) را حفظ می کند، اگر عملکرد یکنواخت منووتون به یکنواخت (N + 1) -M، عملکرد لایه زمانی، و با رشد مشابهی ترجمه شود جهت. مثال 1 معادله تقریبی (.1) بر روی یک شبکه یکنواخت توسط طرح مخالف U N + یک واحد واحد 1 \u003d 0. (.5) این طرح اولین روش برای تقریبی نرم افزار و. اجازه دهید تابع مش در N-OHM زمان لایه Monotone، به عنوان مثال، به عنوان مثال، توسط یک عملکرد یکنواخت افزایش می یابد، یعنی U N UN 1 برای خودسرانه. در این مورد، هنگام انجام وضعیت ثبات طرح دارای دیدگاه Aæ 1، جایی که æ \u003d /، ما به دست آمده 1 \u003d (UN Aæ (UNUN 1)) (UN 1 Aæ (UN 1 UN)) \u003d \u003d ( 1 Aæ) (Unun 1) + Aæ (UN 1 UN) 0. بنابراین، راه حل یکنواخت به طور یکنواخت بر روی لایه N + 1) افزایش می یابد. بنابراین، طرح مخالف (از دست دادن در Aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 در نتیجه، عملکرد شبکه اولیه (U 0 1، در 0، \u003d U 0 (x) \u003d 0، در\u003e 0، در 0 به طور یکپارچه کاهش می یابد. ما مدار را به عنوان یک مدار یک مرحله ای بازنویسی می کنیم (1.50)، و سپس به عنوان یک طرح (.4) با ضرایب b 1 \u003d a æ + aæ، b 0 \u003d 1 a æ، b 1 \u003d a æ a. (6) پس از آن مطمئن نیست که برابری 1 اتفاق می افتد اولین لایه در 1، U 1 B \u003d 1 + B 0، AT \u003d 0، B 1، AT \u003d 1، 0، با. در Aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 > 1، به عنوان مثال، عملکرد شبکه U 1 به طور یکنواخت کاهش نمی یابد. یکنواختی مدارهای معادلات با ضرایب دائمی می تواند با استفاده از قضیه زیر مورد بررسی قرار گیرد. قضیه 1. به منظور طرح تفاوت (.4) با ضرایب دائمی B α، یکنواختی حفظ شده، لازم است و اجرای کامل برای تمام شرایط α b α 0. (.7) d o k a و t e l در حدود. ضرورت فرض کنید که طرح (.4) یکنواختی را حفظ می کند، اما ضریب منفی B α0 وجود دارد< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 I.E. این تابع به طور یکنواخت افزایش نمی یابد، و بنابراین، طرح (.4) یکنواختی را حفظ نمی کند، که با فرض اولیه مخالفت می کند. تضاد حاصل ثابت می کند که تمام ضرایب B α غیر منفی است. کفایت به عنوان مثال، به عنوان مثال، یک تابع یکنواختی افزایش می یابد. سپس 1 \u003d α B α U N + α α B α U N 1 + α \u003d α b α (α n + α u n 1 + α) 0، I.E.، همچنین یک عملکرد یکنواخت افزایش یافته است. بنابراین، طرح (.4) یکنواختی را حفظ می کند. دوباره به نمونه ها بازگردانده شود. 1 و.، و در حال حاضر ما فرض نمی کنیم که A\u003e 0. طرح ضد جریان برای معادله (.1) با نشانه دلخواه از ضریب به نظر می رسد: از کجا می تواند آن را بازنویسی کند فرم (.4) + A + Un 1 A + \u003d \u003d A + A + A UN +1 UN، A \u003d a. \u003d 0، (9) کجا \u003d B 1 U N 1 + B 0 U N + B 1 U N +1، (.10) b 1 \u003d æa +، b 0 \u003d 1 æ a، b 1 \u003d æa. هنگام انجام وضعیت پایداری a æ 1 (.11)، تمام این ضرایب غیر منفی هستند. علاوه بر این، آنها ثابت هستند، بنابراین، با توجه به قضیه 1، ضد طرح (.9) یکنواختی راه حل را تحت شرایط (11) حفظ می کند. طرح LAX Vendroff مقاوم در برابر شرایط مشابه (.11)، به عنوان طرح مخالف، و می توان آن را در فرم (.10) با ضرایب (.6) نوشته شده است، از جایی که روشن است که تحت شرایط a æ< 1 один из 30

32 ضرایب B 1 یا B 1 منفی هستند. با توجه به Theorem.1، این به این معنی است که طرح Lax Vendroff، که روش دوم برای تقریب بر اساس و حفظ یکنواختی یک راه حل عددی نیست. اما ممکن است طرح های دیگری از نظم دوم تقریبی وجود داشته باشد، که دارایی یکنواختی است. به نظر می رسد که چنین طرح هایی وجود ندارد. در این مقاله نشان داده شده است که برای معادله انتقال خطی (.1) یک طرح یکنواخت را با ضرایب ثابت از ترتیب دوم تقریب ساخت ... در حال حاضر طرح (4) با ضرایب متغیر B α در نظر بگیرید . آیا شرایط (7) غیر منفی ضرایب کافی برای حفظ یکنواختی یک راه حل عددی برای چنین طرح هایی وجود دارد؟ معلوم نیست ما نمونه ای مناسب را ارائه می دهیم. مثال 3. اجازه دهید مشکل کوشی برای معادله U t + a (x) U x \u003d 0، (.1)، (x)، (.1)، که در آن a (x)، به شدت افزایش عملکرد مثبت مثبت: 0< a(x) < 1 и a > 0. برای حل این طرح مشکل با ضرایب متغیر 0، 5 (U N +1 +) UN 1 + AUN +1 UN 1 \u003d 0، (.13) که در آن a \u003d a (x)، x گره یک مش . طرح تخلیه یک آنالوگ از طرح LAX (1.46) است که تک سلولی از راه حل عددی را حفظ می کند (نگاه کنید به task.1). ما فرض می کنیم که برای هر شرایطی، شرایط æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33 در این مورد، ضرایب B α با یک شاخص اضافی مجهز شده است، زیرا آنها ضرایب متغیر هستند و زمانی که از یک گره به دیگری حرکت می کنند، تغییر می کنند. با توجه به شرایط (.14)، هر دو ضرایب مثبت هستند، اما طرح (.13) یکنواختی از راه حل عددی را حفظ نمی کند. در حقیقت، گرفتن یک تابع افزایش یکنواخت (U N 0< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 > بنابراین، عملکرد شبکه افزایش می یابد. این یک مثال یکنواخت نیست، نشان می دهد که علائم دیگر یکنواختی باید برای طرح هایی با ضرایب متغیر استفاده شود، نه علامت (7) مشخص شده در قضیه .1. قضیه .. اجازه دهید ضرایب طرح تفاوت \u003d B 1، UN 1 + B 0، UN + B 1، UN +1 (.17) در هر گره X شرط بندی را برآورده می کند و سپس در تمام شرایط B 1، + B 0 انجام می شود ، + b 1، \u003d 1. (.18) b ± 1، 0، b 1، + b 1، 1 1 (.19) ضروری و کافی است به طوری که طرح (.17) با ضرایب متغیر، یکنواختی را حفظ کرد راه حل عددی. d o k a و t e l ما طرح (.17) را با ضرایب متغیر که رضایتمندی وضعیت (.18) را به صورت زیر بنویسد، بنویسید: \u003d U N B 1، (U N B 1) + B1، (U N +1 U N). (.0) 3

34 سپس +1 \u003d UN +1 B 1، + 1 (U N +1 U N) + B1، + 1 (U N + U N +1). در نتیجه، +1 UN + 1 \u003d (UN +1 UN) (1 B 1، + 1 B 1،) + (+ B 1، + 1 UN + UN (+1) + B 1، UNUN) (.1) 1. نیاز. اجازه دهید طرح (.17) monotonne. ما ثابت می کنیم که ضرایب آن نابرابری ها را برآورده می کند (.19). فرض کنید که این به همان اندازه از شرایط نیست (.19) در بعضی از گره های X 0 انجام نمی شود، به عنوان مثال B 1.0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 d o k a و t e l در حدود. طرح (.) شما می توانید در فرم (.17)، با b 1، \u003d æc 1 /، b 1، \u003d æc + 1 /، b 0، \u003d 1 æc 1 / æc + + 1 /. سپس، برای ضرایب B α، برابری (.18) انجام می شود، و شرایط (.19) معادل شرایط (.3) است. اظهار نظر. ثابت شده است که عملکرد نابرابری ها (.3) کافی است تا اطمینان حاصل شود که نمودار (.) یک طرح TVD (تراکم کل تغییرات کاهش یافته)، یعنی طرح، راه حل، مگر اینکه با هیچ N 0 شرایط را برآورده کند از عدم بازپرداخت تلویزیون تنیو کامل () تلویزیون (سازمان ملل متحد)، (.4) که در آن تحت تنوع کلی عملکرد شبکه سازمان ملل متحد، تلویزیون ارزش (UN) \u003d \u003d UN +1 U N را درک کرد. (.5) در حال حاضر، طرح های TVD و تغییرات متنوع آنها در حل بسیاری از وظایف با راه حل های متداول استفاده می شود. دلیل چنین محبوبیت بزرگی از این روش ها این است که آنها پروفیل های راه حل های غیر سازگار، انعطاف پذیری بالا را در زمینه شکاف ها ارائه می دهند و دقت بالا را در زمینه صافی راه حل حفظ می کنند. طرح های مدرن TVD از نظم بالا تقریبی بر اساس روش های خاص بهبود (بازسازی) توابع توابع عملکرد در مرزهای سلول ها با مقادیر آنها در مراکز سلول های همسایه است. در این مورد، الگوی طرح متغیر است و بستگی به رفتار محلول عددی دارد. الگوریتم های بازسازی بر اساس استفاده از محدود کننده های جریان ویژه هستند که ساخته شده اند به طوری که طرح با محدودیت های TVD (.4) .. 3. monotonization از طرح لاکس Vendroff. اگر عملکرد اولیه در t \u003d 0 به صورت یک مرحله تنظیم شده باشد، سپس در لایه های زیر در زمانی که ما بر اساس مرحله Vendroff Lax به دست می آید، توسط نوسانات تحریف شده (نگاه کنید به شکل 4). اما معلوم می شود که طرح Wendroff LAX را می توان تغییر داد تا 34 سالگی باشد

36 املاک TVD (.4)، و بنابراین، با توجه به قضیه .3، تبدیل به یک طرح می شود که یکنواختی از راه حل عددی را حفظ می کند. با این حال، ضرایب طرح اصلاح شده دائمی نخواهد بود، ممکن است به تصمیم گیری بستگی داشته باشند لایه n-m، به عنوان مثال، طرح اصلاح شده غیر خطی خواهد بود. معادله انتقال را در نظر بگیرید (.1) در مورد a \u003d const\u003e 0. طرح Lax Vendroff (1.50) را می توان بازنویسی یا UN + A UN X، + 1 / + UN X، 1 / \u200b\u200bA () UNX، + 1 / UN X، 1 / \u200b\u200b\u003d 0، (.6) یا UN + AU NX، 1 / \u200b\u200b+ A (1 aæ) UN X، + 1 / UN X، 1 / \u200b\u200bUN \u003d 0، (7) + au nx، \u003d a (1 aæ) un xx ،. (.8) P.d. (1.79) طرح مخالف شامل عضو غیرقانونی 0، 5a (1 a) U xx، و در نظر (.8) همان عضو غیرقانونی در فرم تفاوت دارای علامت مخالف است. بنابراین، طرح واژینال LAX به عنوان یک نمودار یکنواخت با یک تفاوت در برابر جریان، یک عضو به اصطلاح به اصطلاح ضد انتشار، که از دست رفته اعضای متفاوتی در پاراگراف ها حذف می شود، نشان داده شده است. کنترل طرح، تبدیل آن به طرح وندروف LAX. کاهش یک عضو ضد تزریق در مکان های ظاهر احتمالی نوسان ها، می توانید سعی کنید از آنها جلوگیری کنید. عضو ضددردی در طرح LAX Vendroff (.7) با استفاده از تابع محدود کننده φ (ξ) یک استدلال خاص ξ: UN + AU NX، 1 / \u200b\u200b+ a (1 aæ) ((φu nx) + 1 / (φu nx) 1 /) \u003d 0. (.9) اگر φ 0، پس ما یک طرح ضد جریان یکنواخت از اولین سفارش تقریبی داریم. اگر φ 1، ما طرح LAX Vendroff را از ترتیب دوم تقریبی در راه حل های صاف به دست می آوریم، اما نوسان در راه حل های متداول. 35

37 در طرح تفاوت (9) φ + 1 / \u003d φ (ξ + 1 /). به عنوان یک استدلال گسسته ξ + 1 / ارزش UNX، 1 / \u200b\u200bξ + 1 / \u003d UNX، 1/1/0، X، + 1 / (.30) 1 در UNX، + 1 / \u003d 0. را انتخاب کنید راه حل نوسان نسبت OULX، 1 / \u200b\u200b/ UN X، + 1 / منفی، بنابراین، در ξ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ > 0. ما تابع محدود کننده را انتخاب خواهیم کرد، به طوری که طرح TVD (.3) را برآورده می کند و روش دوم را برای تقریبی در راه حل های صاف حفظ می کند. برای انجام این کار، طرح اصلاح شده از Lax Vendroff (.9) را به فرم (.): یا UN + AU NX، 1 / \u200b\u200b+ A (1 aæ) (φ ξ) [+ aa (φ) ξ ) + 1 / + 1 / φ 1 /) UNX، 1 / \u200b\u200b\u003d 0، φ 1 /)] UNX، 1 / \u200b\u200b\u003d 0. بنابراین ضرایب طرح (9) ثبت شده در فرم (.) تعیین می شود توسط فرمول [C + +1 / \u003d 0، C 1 / \u003d a æ ((φ))] ξ φ 1 /. + 1 / با توجه به قضیه 3، شرایط 0 C 1/1 æ (.31) اطمینان حاصل خواهد کرد که طرح Lax Wendroff با محدود کننده وارد شده به آن، یکنواختی از راه حل عددی را حفظ خواهد کرد. بعد، فرض کنیم وضعیت پایداری طرح لاک 36 است

38 SA Vendroff انجام شده است، یعنی Aæ 1. سپس به منظور نابرابری (.31) برای همه ی Aæ 1 منصفانه است، لازم است و به اندازه کافی برای انجام نابرابری (φ) ξ + 1 / φ 1 /، و برای این کافی است که نیاز به اعدام برای تمام نابرابری های زیر داشته باشید: (φ) 0، 0 φ + 1 /. ξ + 1 / منطقه در هواپیما متغیرها φ و ξ، که در آن این نابرابری ها انجام می شود، در شکل نشان داده شده است. 5، a اگر نمودار تابع φ \u003d φ (ξ) در این منطقه قرار دارد، طرح اصلاح شده (9) یکنواختی از راه حل عددی را حفظ خواهد کرد. φ φ \u003d φ φ \u003d φ \u003d ξ φ \u003d ξ φ \u003d ξ 1 1 φ \u003d a ξ b ξ. 5. و در منطقه سایه دار، طرح اصلاح شده از Lax Vendroff (.9) یک طرح TVD است؛ B در یک منطقه دو نفره، طرح اصلاح شده از Lax Vendroff، طرح TVD از ترتیب دوم تقریبی است، بنابراین ما فرض می کنیم که φ (ξ) \u003d 0 در ξ 0، 0 φ (ξ) دقیقه (، ξ) در ξ\u003e 0. (.3) ما در حال حاضر منظور از تقریب طرح اصلاح شده را بررسی می کنیم، فرض کنیم که عملکرد مداوم φ \u003d φ (ξ) 37 را برآورده می کند

39 محدودیت های بعدی بعدی: φ (ξ 1) φ (ξ) l ξ 1 ξ، ξ 1، ξ، (.33) φ (1) \u003d 1، (34)، من. ما نیاز به تابع φ \u003d φ (ξ) شرایط Lipschitz را با برخی از دائمی L\u003e 0 راضی بود و گراف این تابع از طریق نقطه (1، 1) منتقل شد. ما طرح اصلاح شده از Lax Vendroff (.9) را به صورت طرح اولیه Lax Vendroff (7) با یک عضو اضافی که Un + Au NX، 1 / \u200b\u200b+ A (1 Aæ) (UNX، + 1 / UN X، 1 /) + + A (1 aæ) rn \u003d 0، (.35) r n \u003d (φ + 1/1) UNX، + 1 / (φ 1/1) UNX، 1 /. (.36) اجازه دهید U \u003d U (x، t) اجازه دهید یک راه حل نسبتا صاف از مشکل کوشی (.1)، (.). ما این راه حل را در عبارت (36) جایگزین خواهیم کرد، در حالی که تمام نام های قبلی را در آن حفظ می کنیم، اما با توجه به اینکه در حال حاضر U N X، + 1 / \u003d U (x +1، t n) U (x، t n) است. (.37) بدیهی است، اگر تابع U (X، TN) خطی باشد، U (x، tn) \u003d bx + c، سپس r n 0. با استفاده از شرایط (.33)، (. 34)، آسان است آن را بررسی کنید تابع درجه دوم U (x، tn) \u003d ax + bx + c (a 0) برابری R n \u003d o () برای تمام گره های یک شکاف عددی دلخواه (α، β) که حاوی نقطه افراطی x \u003d b / آ. به طور کلی، بیانیه زیر منصفانه است. Lemma.1 اجازه دهید شرایط (.33)، (.34) و یک راه حل نسبتا صاف از مشکل کوشی (.1)، (.)، وضعیت UX (X، TN) 0 x [α، β] را بر روی برخی از بخش های عددی رضایت بخش می دهد [α، β]. (.38) سپس r n \u003d o () x (α، β). (.39) 38

طرح های تفاوت برای وظایف غیر خطی. معادله انتقال Quasilinear. برای راه حل عددی از وظایف غیر خطی در موقعیت های مختلف، هر دو طرح خطی و غیر خطی استفاده می شود. پایداری مربوطه

آژانس فدرال برای آموزش و پرورش مکانیک دانشگاه ایالتی نووسیبیر و ریاضیات دانشکده S. Khakimzyanov، S. G. روش های سیاه و سفید از محاسبات قسمت 3. روش های عددی برای حل مشکلات

تئوری پایداری طرح های تفاوت 1 پایداری حل مسئله کوشی با توجه به داده های اولیه و بخش سمت راست Banachovo B Banachovo (یعنی کامل نرمال شده) فضا از توابع مشخص شده در برخی از منطقه

مفاهیم اصلی تئوری طرح های تفاوت. نمونه هایی از ساخت طرح های مختلف برای وظایف اولیه مرزی. تعداد زیادی از وظایف فیزیک و فناوری منجر به وظایف خوراکی یا بوزمیک برای خطی می شود

معادلات دیفرانسیل. 1999. T.35. 6. S.784-792. UDC 517.957 انعطاف پذیری یکپارچه مشکلات ارزش مرزی برای معادلات بیضوی با غیر خطی Yu. V. Zhernov 1. مقدمه. فرمول بندی مشکل اکثر

تقریب متفاوتی از مسئله ارزش مرزی اولیه برای معادله نوسان. صریح (طرح "صلیب") و طرح های تفاوت ضمنی. چندین نوع از تقریب تفاوت معادله نوسان خطی را در نظر بگیرید:

فصل چهارم اولین انتگرال سیستم های ODU 1. اولین انتگرال سیستم های خودمختار معادلات دیفرانسیل عادی در این پاراگراف، سیستم های خودمختار فرم F x \u003d F 1 x، F n x C 1 را در نظر می گیرد

تقریبی مختلف از مشکل اولیه مرزی اولیه برای معادله هدایت حرارتی. مفهوم طرح صریح و ضمنی. 1 تقریبی تفاوت معادله هدایت حرارتی، تفاوت های مختلفی را در نظر بگیرید

تئوری پایداری طرح های تفاوت 1 طرح تفاوت اپراتور 1.1 مقدمه اجازه B Banach (I.E.، یک فضای کامل نرمال شده) از توابع مشخص شده در برخی از منطقه G R M، و اجازه دهید شما (t) انتزاعی

معادلات انتقال طرح های حساب "در حال اجرا" تعدادی از طرح های مختلف اغلب استفاده شده را در نظر می گیرند، تقریب وظایف مرزی اولیه برای معادله انتقال خطی: U T + C (X، T) U x \u003d F (x،

Scalo Yuri Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander موج معادله دوم سفارش معادله موج به شکل معادله دوم سفارش به عنوان 2 U T 2 \u003d C2 2 U X 2 + F اضافه می کند معادله

روش ها برای محاسبه سخنرانان: پروفسور. B. I. Kvasov، Prof. G. S. Khakimzyanov 5 6 ترم 1. مدل های ریاضی و آزمایش محاسبات طبقه بندی معادلات فیزیک ریاضی. نمونه های صحیح

طرح های تفاوت برای معادله نوسان در یک مورد چند بعدی برای معادلات نوسان چند بعدی می تواند آنالوگ طرح "صلیب" و یک طرح ضمنی ایجاد شود. در این مورد، طرح صریح "صلیب" و همچنین در یک بعدی

روش های اصلی روش تفصیلی فضایی تفاوت های محدود. مقادیر مورد نیاز از مقادیر متغیرها در برخی از نقاط، گره های شبکه محدود. خطا کاهش می یابد مانند n، جایی که گام شبکه

معادلات جبر، دو نوع معادلات هویت را در نظر می گیرند و معادله هویت برابری است که با تمام مقادیر معتبر حروف هویت در آن انجام می شود

ساده ترین روش های مطالعه طرح های تفاوت برای پایداری به یاد بیاورید که طرح تفاوت l hyh (φ h (x)، x ω h (x)، x ω h، l hyh (x (x)، x γ h، یک لبه تقریبی یا وظیفه شروع به کار LU

سر از ثبات سیستم های خطی این فصل به بررسی پایداری ساده ترین کلاس های سیستم های دیفرانسیل سیستم های خطی به طور خاص، مشخص می شود که برای سیستم های خطی با ثابت

مجله ریاضی سیبری ژانویه 2001. دوره 42، 1 UDC 517.929 روش های مطالعه ثبات سیستم ها با تاخیر خطی B. G. Grebenshchikov خلاصه: روش های مطالعه آستانه

فصل 1 معادلات دیفرانسیل 1.1 مفهوم معادله دیفرانسیل 1.1.1 از وظایف منجر به معادلات دیفرانسیل. در فیزیک کلاسیک هر کدام اندازه فیزیکی قرار دادن انطباق

سخنرانی ها 8 9 تئوری هیل Yosidi S 3. تعریف و خواص ابتدایی اپراتورهای حداکثر یکنوتون در این دو سخنرانی نماد H توسط فضای هیلبرت با فضای اسکالر نشان داده شده است

آژانس فدرال برای آموزش و پرورش دولت فدرال موسسه تحصیلی آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فدرال جنوبی R. M. Gavrilova، G. S. Kostotskaya روش

à à ì à ì à à à à à à ò Ãòó دولت مسکو دانشگاه فنی نام پس از n.e. دانشکده Bauman از "علوم بنیادی" بخش "مدل سازی ریاضی" à.í. صفحه، à.Ï. اشغال

توالی های عملکردی ماژول و ویژگی های سری همگرایی یکنواخت توالی ها و سریال های سریال قدرت، تعریف سخنرانی از توالی های عملکردی و ردیف به طور مساوی

معادلات دیفرانسیل اول مرتبه نسبت به مشتق از قضیه موجود و منحصر به فرد راه حل در مورد عمومی حل می شود، معادله دیفرانسیل اول مرتبه فرم F ()

فصل: روش تفاوت های محدود. سخنرانی 5: پایداری طرح های تفاوت (10 اسلاید، 6 نقشه) اسلاید 1: طبقه بندی RS با انواع ثبات. با توجه به نوع ثبات، Rs زیر متمایز است: کاملا

دانشگاه فنی فنی دانشگاه صنعتی مسکو Lyubimov، E.A. Zhukova، v.A. Wokova، Yu.A. Shurinov Ma T E M A T و K A R I برای مطالعه رشته ها و اصطلاحات منتشر می کند

سخنرانی 9 خطی سازی معادلات دیفرانسیل خطی معادلات دیفرانسیل خطی از معادلات همگن از خواص راه حل های آنها، ویژگی راه حل های محلول معادلات نامناسب 9 خطی

آژانس فدرال برای آموزش و پرورش دانشگاه ایالتی دانشگاه ساخت و ساز دانشگاه موسسه آموزش بنیادی دانشکده غیر مادری - ارتعاشات رشته ای از یک رشته بی پایان. فرمول Dalamber.

سخنرانی 3 قضیه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل معادله اسکالر حل مشکل نتیجه اصلی در نظر گرفتن کار کوشی D F () D \u003d، () \u003d عملکرد F (،) در منطقه G از هواپیما داده شده است ( ،

روشهای ساخت ساختارهای مختلف طرح های یکنواخت برای معادله مرتبه دوم با ضرایب متغیر تحت طرح های اختلاف همگن، طرح های تفاوت، نوع آن بستگی ندارد

تنوع و افراطوم شده از عملکردی A. n. معادلات یکپارچه نرمال و سخنرانی محاسبات مختلف اجازه می دهد عملکرد v \u003d v، y (x) m E. ثابت عملکرد Y (x) M. سپس هر گونه عملکرد دیگر

طرح های تفاوت اقتصادی برای مشکلات چند بعدی فیزیک ریاضی. طرح جهت متغیر برای مشکل اولیه مرزی اولیه برای معادله هدایت حرارتی در مستطیل. همانطور که قبلا نشان داده شده است

مفهوم تابع مشتق شده به آنها اجازه می دهد تا یک تابع را بر روی مجموعه X تعریف کرده و اجازه دهید نقطه X - نقطه درونی نقطه ای که یک محله X وجود دارد هر نقطه ای را انجام می دهد و نام آن را نشان می دهد

معادلات نوع هیپربولیک. نوسانات رشته ای بی پایان و نیمه بی نهایت. روش فوریه روش فوریه روش امواج امواج 4 سخنرانی 4.1 معادلات نوع هذلولی. نوسانات بی نهایت و نیمه بی نهایت

اطلاعات اولیه از تئوری طرح های تفاوت 1 فرمول جمع بندی برای قطعات و فرمول های تفاوت سبز برای توابع شبکه، تعدادی از روابط را که در مطالعه ادامه می یابد، به دست می آوریم

سخنرانی 8 4 وظیفه Sturm Liouville مسئله مرزی اولیه را برای یک معادله دیفرانسیل در مشتقات جزئی مرتبه دوم توصیف می کند که نشان دهنده نوسانات عرضی کوچک رشته رشته در نظر گرفته شده است

معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل تعریف اول تعریف روابط که متغیرهای ناشناخته و توابع آنها تحت نشانه ای از مشتق یا دیفرانسیل قرار می گیرند نامیده می شوند

سخنرانی 5 5 قضیه وجود و منحصر به فرد بودن حل مسئله کوشی برای سیستم نرمال ODU. تنظیم مشکل مشکل کوشی برای سیستم عادی Ode X \u003d F (، X)، () شامل یافتن یک راه حل X است \u003d

کامپایلر Viper 1 سخنرانی 1 تابع از چندین متغیر 1 مفاهیم اساسی وابستگی \u003d F (1، n) متغیر از متغیرها 1، n تابع A استدلال 1 نامیده می شود، N به نظر می رسد

فصل 4. روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل عادی و سیستم های آنها در این فصل، روش های اصلی عددی را برای حل مسئله کوشی برای معادلات دیفرانسیل معمولی مورد بحث قرار می دهد.

روش های حل معادلات خالص 1 روش های مستقیم و تکراری به عنوان یک نتیجه از تقریب تفاوت از مشکلات ارزش مرزی فیزیک ریاضی، شیب به دست آمده، ماتریس هایی که خواص زیر دارند:

شرح محاسبات Modulatio Sectio Sectio .. طرح های تفاوت برای معادلات نوع پارابولیک، ساده ترین معادله هدایت حرارتی اولین بار: U، T UXX هزینه (.) شکل .. ما در منطقه معرفی می کنیم

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه موسسه آموزش عالی آموزش عالی حرفه ای "تحقیقات ملی تامسک دانشگاه پلی تکنیک"

مشکل کوشی برای معادله موج. فرمول Dalamber 37، 438، I، II، 385، 439، 445، 37، III، IV، 37، 446 .. 37 پیدا کردن تصمیم مشترک معادلات U TT A XX ..) گام. ما جایگزینی روش متغیر را از طریق

دستورالعمل های متداول برای تخصیص های حل و فصل در نرخ ریاضیات بالاتر "معادلات دیفرانسیل عادی سری دو انتگرال" قسمت ش موضوع جدول مقادیر سطوح ردیف ردیف های عددی از همگرایی و واگرایی

گروه های ریاضیات و عناصر اطلاعاتی مجتمع ریاضیات بالاتر ریاضیات و روش های ریاضی برای دانش آموزان CPA، دانش آموزان با استفاده از فن آوری های از راه دور فناوری محاسبات دیفرانسیل محاسبات محاسبات محاسبات:

فصل پایداری سیستم های خطی 8 درجه با علامت +، از نتیجه آن به شرح زیر است که () π از π افزایش می یابد. بنابراین، اصطلاحات φ i () و k () +، I.E.، بردار (i) φ یکنواخت φ افزایش می یابد

à à ì à à à ì à à à  ì ì à à à à à  ì ì à à à à à à ì دانشکده Bauman از "علوم بنیادی" بخش "مدل سازی ریاضی" à.í. ،

فصل 6 مبانی نظریه پایداری سخنرانی این مسئله، مفاهیم اساسی قبلا نشان داده شده است که راه حل مشکل کوشی برای سیستم عادی ODU \u003d F، () به طور مداوم بستگی دارد شرایط اولیه برای

فصل 9. روش های عددی. سخنرانی 4. روش تفاوت Euler حل مشکل کوشی برای معادلات دیفرانسیل .. وظایف دیفرانسیل و متفاوت اویلر. تعریف. وظیفه دیفرانسیل اویلر

معادلات دیفرانسیل مفاهیم عمومی معادلات دیفرانسیل دارای بسیاری از برنامه های کاربردی در مکانیک تکنیک فیزیک نجوم و در بخش های دیگر از بالاترین ریاضیات (به عنوان مثال

معادلات فیزیک خطی و غیر خطی معادله لاپلاس در سیستم مختصات قطبی. مدرس ارشد بخش WAMF Levchenko Evgeny Anatolyevich 518 فصل 5. معادلات نوع بیضوی 25.2. جدایش، جدایی

سخنرانی 3 پایداری تعادل تعادل و حرکت سیستم هنگام با توجه به حرکات ثابت معادله خشمگین از جنبش خشمگین در فرم D DT Y جایی که ستون بردار یک ماتریس مربع ضرایب ثابت است

ردیف شماره ردیف شماره ORD توالی عددی یک عدد عددی را که در مجموعه تعریف شده است، تماس بگیرید اعداد طبیعی x - عضو عمومی دنباله X \u003d، x \u003d، x \u003d، x \u003d،

5 ردیف قدرت 5 ردیف قدرت: تعریف، منطقه Region Region Round (A + A) + a () + k + a () + k a) (، (5) که در آن، a، k، a، k برخی از اعداد یک شماره قدرتمند نامیده می شود

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه Mati - دانشگاه تکنولوژیک دولتی روسیه همدلی به وزارت دفاع از ریاضیات بالاتر در Gorbatsevich به یو اسپیپنکو معادلات با خصوصی