"분수 합리적인 방정식의 결정" 합리적인 방정식

T. Kosyakova,
학교 N№ 80, Krasnodar.

매개 변수가 포함 된 광장 및 분수 합리적 방정식의 솔루션

제 4 절.

테마 레슨 :

공과의 목적 :매개 변수를 포함하는 분수 합리적 방정식을 해결하는 능력을 형성하는 능력을 형성합니다.

교훈 유형 : 소개 새로운 소재.

1. (구두로) 방정식 결정 :

예제 1....에 방정식을 결정하십시오

결정.

잘못된 값을 찾으십시오 ㅏ.:

대답. 만약 만약 ㅏ. = – 19 , 뿌리가 없어.

예 2....에 방정식을 결정하십시오

결정.

잘못된 매개 변수 값을 찾으십시오 ㅏ. :

10 – ㅏ. = 5, ㅏ. = 5;

10 – ㅏ. = ㅏ., ㅏ. = 5.

대답. 만약 ㅏ. = 5 ㅏ. № 5 티. x \u003d 10- ㅏ. .

예 3....에 매개 변수의 값에서 비. 방정식 그것은 다음과 같습니다 :

a) 두 개의 뿌리; b) 유일한 뿌리?

결정.

1) 잘못된 매개 변수 값을 찾습니다 비. :

x \u003d. 비., 비. 2 (비. 2 – 1) – 2비. 3 + 비. 2 = 0, 비. 4 – 2비. 3 = 0,
비. \u003d 0 또는 비. = 2;
x \u003d 2, 4 ( 비. 2 – 1) – 4비. 2 + 비. 2 = 0, 비. 2 – 4 = 0, (비. – 2)(비. + 2) = 0,
비. \u003d 2 ~ 비. = – 2.

2) 해결책 방정식 x 2 ( 비. 2 – 1) – 2비. 2 x +. 비. 2 = 0:

d \u003d 4. 비. 4 – 4비. 2 (비. 2 - 1), D \u003d 4. 비. 2 .

그러나)

잘못된 매개 변수 값을 제외합니다 비. , 방정식은 두 개의 뿌리가 있다면 비. № – 2, 비. № – 1, 비. № 0, 비. № 1, 비. № 2 .

비) 4비. 2 = 0, 비. = 0, 그러나 이것은 매개 변수의 잘못된 값입니다 비. ; 만약 비. 2 –1=0 , 나. 비.=1 또는.

답변 : a) if. 비. № –2 , 비. № –1, 비. № 0, 비. № 1, 비. № 2 , 그런 다음 두 개의 뿌리; b) if. 비.=1 또는 b \u003d -1. 그런 다음 유일한 루트.

독립적 인 일

옵션 1

방정식 결정 :

옵션 2.

방정식 결정 :

대답

1에...에 만약 ㅏ.=3 , 뿌리가 없어. 만약 b) if. ㅏ. № 2 , 뿌리가 없어.

2에서. 만약 ㅏ.=2 , 뿌리가 없어. 만약 ㅏ.=0 , 뿌리가 없어. 만약
b) if. ㅏ.=– 1 방정식은 그 의미를 잃습니다. 뿌리가없는 경우;
만약

집에서의 과제.

방정식 결정 :

답변 : a) if. ㅏ. № –2 티. x \u003d. ㅏ. ; 만약 ㅏ.=–2 그런 다음 해결책이 없습니다. b) if. ㅏ. № –2 티. x \u003d 2. ; 만약 ㅏ.=–2 그런 다음 해결책이 없습니다. c) if. ㅏ.=–2 티. 엑스. - 모든 숫자는 제외하고 있습니다 3 ; 만약 ㅏ. № –2 티. x \u003d 2. ; d) if. ㅏ.=–8 , 뿌리가 없어. 만약 ㅏ.=2 , 뿌리가 없어. 만약

수업 5.

테마 레슨 : "매개 변수가 포함 된 분수 합리적 방정식의 해결책"

목표 수업 :

비표준 상태와 방정식을 해결하는 법을 배우는 것;
대수 개념과 그들 사이의 연결의 학생들을 의식적으로 동화시킵니다.

교훈 유형 : 체계화 및 일반화.

숙제를 확인하십시오.

예제 1....에 방정식을 결정하십시오

a) x와 관련하여; b) Y에 비해.

결정.

a) 허용 할 수없는 가치를 찾으십시오 와이.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2Y,

y \u003d 0. - 매개 변수의 값이 잘못되었습니다 와이..

만약 와이.№ 0 티. x \u003d y-2. ; 만약 y \u003d 0. , 방정식은 그 의미를 잃습니다.

b) 유효하지 않은 매개 변수 값을 찾을 것입니다 엑스.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - 매개 변수의 값이 잘못되었습니다 엑스.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 또는 y \u003d 2 + x;

y \u003d 0. 조건을 만족시키지 못한다 y (y-x)№ 0 .

답변 : a) if. y \u003d 0. 방정식은 그 의미를 잃습니다. 만약 와이.№ 0 티. x \u003d y-2. ; b) if. x \u003d 0. 엑스.№ 0 티. y \u003d 2 + x. .

예 2....에 매개 변수의 어떤 가치가 방정식의 뿌리 갭에 속한다

D \u003d (3. ㅏ. + 2) 2 – 4ㅏ.(ㅏ. + 1) · 2 \u003d 9. ㅏ. 2 + 12ㅏ. + 4 – 8ㅏ. 2 – 8ㅏ.,

d \u003d ( ㅏ. + 2) 2 .

만약 ㅏ. № 0 또는 ㅏ. № – 1 티.

대답: 5 .

예 3....에 상대적으로 찾는다 엑스. 방정식의 솔루션

대답. 만약 y \u003d 0. , 방정식은 의미가 없습니다. 만약 y \u003d -1. 티. 엑스. - 0 이외의 정수; 만약 Y№ 0, Yū-1., 나는 솔루션이 없다.

예 4. 방정식을 결정하십시오 매개 변수로 ㅏ. 과 비. .

만약 ㅏ.№ - B. 티.

대답. 만약 a \u003d.0 또는 b \u003d0 방정식은 그 의미를 잃습니다. 만약 ㅏ.№ 0, B.№ 0, a \u003d -b. 티. 엑스. - 0을 제외한 모든 숫자; 만약 ㅏ.№ 0, B.№ 0, A.№ -비, 그 x \u003d -a, x \u003d -b. .

예 5....에 매개 변수 n의 값이 0, 방정식과 다르게 표시된다는 것을 증명하십시오. 유일한 루트가 같습니다 - N. .

결정.

나는 x \u003d -n. 증명하기 위해서는 필요에 따라

집에서의 과제.

1. 방정식의 전체 솔루션을 찾으십시오

2. 매개 변수의 값에서 씨. 방정식 그것은 다음과 같습니다 :
a) 두 개의 뿌리; b) 유일한 뿌리?

3. 방정식의 모든 뿌리를 찾으십시오 만약 ㅏ.약 엔. .

4. 방정식을 결정하십시오 3xy - 5x + 5y \u003d 7 :a) 약 와이. ; b) 약 엑스. .

1. 방정식은 0이 아닌 다른 정수와 동일한 값 x 및 y를 만족시킵니다.
2. a) 언제
b) 또는
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) 뿌리가 아닌 경우; 만약
b) 뿌리가없는 경우; 만약

테스트

옵션 1

1. 방정식의 유형을 결정하십시오 7C (C + 3) x 2 + (C-2) X-8 \u003d 0 a) c \u003d -3. ; 비) c \u003d 2; 에) c \u003d 4. .

2. 방정식을 결정하십시오 : a) x 2 -BX \u003d 0; 비) cX 2 -6x + 1 \u003d 0. ; 에)

3. 방정식을 결정하십시오 3x-xy-2y \u003d 1 :

a) 약 엑스. ;
b) 약 와이. .

NX 2 - 26x + n \u003d 0, 매개 변수 n이 정수 값만 사용한다는 것을 알고 있습니다.

5. 어떤 가치 B 방정식에서 그것은 다음과 같습니다 :

a) 두 개의 뿌리;
b) 유일한 뿌리?

옵션 2.

1. 방정식의 유형을 결정하십시오 5C (C + 4) x 2 + (C-7) x + 7 \u003d 0 a) C \u003d -4; 비) c \u003d 7; 에) c \u003d 1. .

2. 방정식을 결정하십시오 : a) y 2 + cy \u003d 0; 비) NY 2 -8Y + 2 \u003d 0; 에)

3. 방정식을 결정하십시오 6x-xy + 2y \u003d 5 :

a) 약 엑스. ;
b) 약 와이. .

4. 전체 뿌리 방정식을 찾으십시오 NX 2 -22x + 2N \u003d 0, 매개 변수 n이 정수 값만 사용한다는 것을 알고 있습니다.

5. 수학 식물의 매개 변수의 값에서 그것은 다음과 같습니다 :

a) 두 개의 뿌리;
b) 유일한 뿌리?

대답

1에서. 1.) 선형 방정식;
b) 불완전한 정사각형 방정식; c) 정사각형 방정식.
2.) if. b \u003d 0. 티. x \u003d 0. ; 만약 b № 0. 티. x \u003d 0, x \u003d B.;
비) 만약 cO (9; + ґ) , 뿌리가 없어.
c) if. ㅏ.=–4 방정식은 그 의미를 잃습니다. 만약 ㅏ.№ –4 티. x \u003d - ㅏ. .
3. a) if. y \u003d 3. , 뿌리가 없어. 만약);
비) ㅏ.=–3, ㅏ.=1.

추가 작업

방정식 결정 :

문학

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeyev G.V. 처음부터 매개 변수에 대해서. - 튜터, No. 2/1991, p. 3-13.
2. Gronostein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.s. 매개 변수가있는 작업의 전제 조건. - quant, No. 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeyev G.V., Zatakai V.V. 작업 해결매개 변수가 포함됩니다. Part 2. - M., Perspective, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. 매개 변수가있는 500 개의 14 개의 작업. - Volgograd, 1991.
5. Yarstresicky G.a. 매개 변수가있는 작업. - M., 계발, 1986.

분수 방정식. 이상한

주의!
이 주제에는 추가가 있습니다
특별 섹션 555의 재료.
강하게 "별로 ..."
그리고 "매우 ..."인 사람들에게는)

우리는 계속해서 방정식을 탐구합니다. 우리는 이미 선형 방정식과 정사각형으로 일하는 방법을 알고 있습니다. 마지막보기 남아 있음 - 분수 방정식...에 또는 그들은 훨씬 더 견고한 것으로 부른다 - 분수 합리적인 방정식...에 이것은 동일합니다.

분수 방정식.

이름으로부터 명확하게 그렇듯이 분수는 반드시 이러한 방정식에 존재합니다. 그러나 단지 분수가 아니라, 누가있는 fraraty 분모에서 알 수 없었다...에 적어도 하나에서. 예 :

분모에만 해당하는지 알려주십시오 번호이들은 선형 방정식입니다.

결정 방법 분수 방정식~을 빼앗아가는 것 우선 - 분수를 제거하십시오! 그 후, 방정식은 가장 자주 선형 또는 정사각형으로 전환됩니다. 그리고 우리는 무엇을 해야할지 압니다 ... 어떤 경우에는 ID, 5 \u003d 5 또는 잘못된 표현식을 입력 할 수 있습니다. 7 \u003d 2를 입력하십시오. 그러나 거의 일어나지 않습니다. 아래에서 나는 그것에 대해 이야기하고있다.

그러나 분수를 제거하는 방법!? 매우 간단합니다. 동일한 동일한 정체성 전환을 모두 적용합니다.

우리는 모든 방정식을 동일한 표현식으로 곱해야합니다. 모든 분모가 조용해질 수 있습니다! 모든 것이 즉시 쉬울 것입니다. 나는 그 예를 설명한다. 방정식을 해결해야합니다.

중학교 학년을 어떻게 배웠습니까? 우리는 모든 것을 한 방향으로 운반하고 공통 분모 등으로 이어집니다. 끔찍한 꿈을 잊어 버려라! 그래서 당신이 분수 표현식을 접거나 공제 할 때해야합니다. 또는 불평등으로 일하십시오. 그리고 방정식에서 우리는 모든 분모기 (즉, 일반 분모에서 본질적으로)를 줄이는 기회를 제공 할 수있는 표현에 대한 두 부분을 즉시 곱합니다. 그리고이 표현은 무엇입니까?

왼쪽 부분에서는 분모를 줄이기 위해 곱셈이 필요합니다. x + 2. ...에 그리고 오른쪽에 필요한 곱셈에서 2. 그래서 방정식을 곱해야합니다. 2 (x + 2)...에 곱하다:

이것은 평소의 분수의 곱셈이지만, 나는 자세히 쓸 것입니다 :

참고, 나는 아직도 브래킷을 밝히지 않는다 (x + 2)...에! 그래서, 나는 완전히 글을 쓸 것입니다 :

왼쪽에는 완전히 감소됩니다 (x + 2), 오른쪽에 2. 무엇이 필요했는지! 절단 후, 우리는 얻는다 선의 방정식:

그리고이 방정식은 이미 누군가를 결정합니다! x \u003d 2..

나는 또 다른 예를 결정하고 조금 더 복잡합니다.

당신이 3 \u003d 3/1, 그리고 2x \u003d 2x /1, 당신은 쓸 수 있습니다 :

그리고 우리는 우리가 실제로 좋아하지 않는 것을 제거합니다.

우리는 XA와의 분모를 줄이려면 분수를 곱해야한다는 것을 알 수 있습니다. (x - 2)...에 그리고 우리가 방해하지 않는 유닛. 잘, 곱하기. 모두 왼쪽 부분 I. 모두 오른쪽 부분 :

위의 괄호 위에 (x - 2) 나는 공개하지 않는다. 나는 하나의 숫자 인 것처럼 브래킷 전체로 일합니다! 따라서 항상 그렇게해야합니다. 그렇지 않으면 아무 것도 줄일 것입니다.

깊은 만족감을 느끼게합니다 (x - 2) 우리는 Lineshek에서 분수없이 방정식을 얻습니다!

그러나 이제 우리는 이미 괄호를 드러냅니다.

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"분수 합리적 방정식의 결정"

목표 수업 :

교육적인:

분수 합리적 방정식의 개념의 형성; 분수 합리적 방정식을 해결하는 다양한 방법을 고려하십시오. 분수 합리적 방정식을 해결하기위한 알고리즘을 고려하여 0의 평등 조건을 포함합니다. 알고리즘에 대한 분수 합리적 방정식의 해결책을 가르칩니다. 테스트 작업을 수행하여 주제의 동화 수준을 확인하십시오.

개발 중:

지식을 올바르게 운영하는 능력 개발은 논리적으로 생각합니다. 지적 기술 및 정신 운영의 개발 - 분석, 합성, 비교 및 \u200b\u200b일반화; 이니셔티브의 개발, 달성에 머물지 않도록 결정을 내릴 수있는 능력; 비판적 사고의 개발; 연구 기술 개발.

인상:

직무

교훈의 유형: 강의 - 새로운 소재의 설명.

수업 중

1. 조직의 순간.

안녕하세요! 이사회에서 그들은 방정식을 썼습니다. 그들을 조심스럽게보십시오. 이 모든 방정식을 해결할 수 있습니까? 왜 그렇지 않은 이유는 무엇입니까?

좌우 부품이 분수 합리적 표현식 인 방정식을 분수 합리적 방정식이라고합니다. 우리가 오늘 교훈에서 우리가 배울 것이라고 생각합니까? Word 수업의 주제. 그래서 우리는 노트북을 열고 "분수 합리적 방정식의 결정"의 주제를 적어 두십시오.

2. 지식의 실현. 정면 설문 조사, 구강 수업과의 작업.

이제 우리는 당신이 공부 해야하는 주요 이론적 물질을 반복 할 것입니다. 새로운 주제...에 다음 질문에 답하십시오.

1. 방정식은 무엇입니까? ( 변수 또는 변수가있는 평등.)

2. 방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 해결하는 방법. ( 방정식의 왼쪽 부분으로 전송하기 위해 알 수없는 모든 숫자는 모든 숫자가 맞습니다. 유사한 구성 요소를 만듭니다. 알 수없는 승산기를 찾으십시오).

3. 방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 광장.) 사각형 방정식을 해결하는 방법. ( Vieta의 정리와 그 결과를 사용하는 수식에 따르면 전체 광장의 선택.)

4. 비율은 무엇입니까? ( 두 관계의 평등.) 기본 재산 비율. ( 비율이 사실이면 극단적 인 회원의 제품은 중간 구성원의 제품과 동일합니다..)

5. 방정식을 해결할 때 어떤 특성이 사용됩니까? ( 1. 방정식에서 한 부분에서 다른 부분으로 용어를 전송할 경우, 그 기호를 변경하면 방정식이 이에 해당합니다. 2. 방정식의 두 부분이 모두 곱하기 또는 분할 된 경우 0에서 동일한 다른 수로, 방정식은 이와 같습니다..)

6. 분수가 0 일 때? ( 분자가 0이면 분수가 0이고 분모가 0이 아닌 경우.)

3. 새로운 소재에 대한 설명.

노트북 및 보드 방정식 번호 2에서 해결하십시오.

대답: 10.

비율의 기본 특성을 사용하여 분수 합리적인 방정식을 시도 할 수있는 것은 무엇입니까? (⇨ 5).

(x - 2) (x - 4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8.

노트북 및 보드 방정식 번호 4에서 해결하십시오.

대답: 1,5.

어떤 종류의 분수 합리적 방정식을 해결하려고 시도 할 수 있으며, 방정식의 방정식의 두 부분을 모두 곱합니다. (χ6).

d \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

대답: 3;4.

이제 방식 중 하나에서 방정식 번호 7을 해결하려고 노력하십시오.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(X2-2X-5) X (X-5) -M (X-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2x-5-x-5 \u003d 0.
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49.

대답: 0;5;-2.			대답: 5;-2.

왜 일어 났는지 설명해 주시겠습니까? 왜 하나의 경우 3 개의 뿌리, 다른 하나는 2 개입니까? 이 분수 합리적인 방정식의 뿌리는 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외부의 뿌리의 개념으로 만나지 않았습니다. 왜 그런 일이 일어 났는지 이해하기가 정말 어렵습니다. 교실 에서이 상황에 대해 명확한 설명을 줄 수없는 경우 교사는 선도적 인 질문을합니다.

분모수의 수학 식 2 및 4에서, 5-7 번, 변수가있는 표현식

방정식이 올바른 평등에 항소하는 변수의 가치

확인하십시오

확인할 때 일부 학생들은 당신이 0으로 공유해야한다는 것을 알아 차릴 것입니다. 그들은 숫자가 0과 5 가이 방정식의 뿌리가 아님이 아닙니다. 문제가 발생합니다 :이 오류를 제외 할 수 있도록 분수 합리적 방정식을 해결할 수있는 방법이 있습니까? 예,이 방법은 분수 0의 평등 상태를 기반으로합니다.

x2-3x-10 \u003d 0, d \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0, 5-firentraine root

x \u003d -2이면 x (x-5) ≠ 0입니다.

대답: -2.

이 방법으로 분수 합리적인 방정식을 해결하기위한 알고리즘을 공식화하려고 노력합시다. 아이들은 알고리즘을 공식화합니다.

분수 합리적인 방정식을 해결하기위한 알고리즘 :

1. 모든 것을 왼쪽으로 전송합니다.

2. 공통 분모에 대한 분수를 만듭니다.

3. 시스템 만들기 : 분자가 0이면 분수가 0이고 분모가 0이 아닙니다.

4. 방정식을 해결하십시오.

5. 불평등을 점검하여 외국 뿌리를 제거하십시오.

6. 대답을 기록하십시오.

토론 : 비율의 주요 특성이있는 경우 솔루션을 만드는 방법은 일반 분모에 방정식의 두 부분을 곱하면 사용됩니다. (결정을 추가하기 위해 : 공통 분모를 제로로 변하는 뿌리에서 제외됩니다).

4. 새로운 물질에 대한 주요 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식 유형에 따라 방정식 자체를 해결하는 방법을 선택합니다. 교과서 "Algebra 8", 2007 년 : ø000 (B, B 및)의 작업; № 000 (A, D, G). 교사는 그 일의 성취를 통제하고, 발생하는 문제에 대응하고, 약하게 말하기 학생들을 돕는다. 자가 테스트 : 답변이 보드에 기록됩니다.

b) 2 - 외부의 뿌리. 답변 : 3.

c) 2 - 외부 뿌리. 답변 : 1.5.

a) 답변 : -12.5.

g) 답변 : 1; 1.5.

5. 숙제를 취급하십시오.

2. 분수 합리적 방정식을 해결하기위한 알고리즘을 배우려면.

3. 노트북에서 해결하기 000 (A, G, D); № 000 (g, h).

4. 000 (a) (선택 사항)을 풀어보십시오.

6. 연구 된 주제에서 제어 작업을 수행하십시오.

일은 잎에 수행됩니다.

작업의 예 :

a) 어떤 방정식이 분수 합리적입니까?

b) 분수가 0이고, 분자가 ______________________ 및 분모 _______________________.

c) 방정식 번호 6의 숫자 -3 루트인가?

d) 방정식 번호를 해결할 수 있습니다.

작업 평가 기준 :

"5"는 학생이 작업의 90 % 이상을 충족하면 배치됩니다. "4"- 75 % -89 % "3"- 50 % -74 % "2"는 업무의 50 % 미만을 완료 한 학생이 제기합니다. 등급 2 로그가 꺼져 있지 않습니다, 3 - AT.

7. 반사.

독립적 인 작업으로 나뭇잎에, 장소 :

1 - 당신이 교훈에 관심이 있고 이해할 수있는 경우; 2 - 흥미롭지 만 이해할 수는 없습니다. 3 - 흥미롭지는 않지만 이해할 수있는; 4 - 흥미롭지 않아서는 분명하지 않습니다.

8. 수업을 합산하십시오.

그래서, 오늘날 우리는 분수 합리적인 방정식을 만났고, 다양한 방법으로 이러한 방정식을 해결하는 방법을 배웠고, 가르침을 사용하여 지식을 확인했습니다. 독립적 인 일...에 독립적 인 업무의 결과는 다음과 같은 수업에서 배우게 될 것이며, 얻은 지식을 통합 할 수있는 기회를 얻을 수 있습니다.

귀하의 의견으로 분수 합리적 방정식을 해결하는 방법은 쉽고 저렴하고 합리적입니까? 분수 합리적 방정식을 해결하는 방법에 따라, 잊지 않아야합니까? 분수 합리적인 방정식의 "교활한"은 무엇입니까?

감사합니다. 모두가 끝났습니다.

분수 자체가있는 방정식은 어렵고 매우 흥미롭지 않습니다. 고려하십시오 분수 방정식 그리고 어떻게 해결하는 방법.

분수가있는 방정식을 해결하는 방법 - x 분자에 x

분수 방정식이 주어지는 경우 알려지지 않은 경우, 해결책은 추가 조건을 필요로하지 않으며 불필요한 문제없이 해결됩니다. 일반 형식 이러한 방정식은 X / A + B \u003d C이며, 여기서 x는 알 수 없음, A, B 및 C- 일반 숫자입니다.

x : x / 5 + 10 \u003d 70을 찾습니다.

방정식을 해결하기 위해서는 분수를 제거해야합니다. 방정식의 각 구성원을 5 : 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5로 곱하십시오. 5x 및 5가 감소되고, 10 및 70은 5를 곱하고, 우리는 얻어졌으며, X + 50 \u003d 350 \u003d\u003e x \u003d 350 - 50 \u003d 300.

x : x / 5 + x / 10 \u003d 90을 찾습니다.

이 예제는 첫 번째 첫 번째 버전의 복잡한 버전입니다. 두 가지 솔루션 옵션이 있습니다.

옵션 1 : 더 큰 분모, 즉 10 : 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10x / 2x + x \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.
옵션 2 : 방정식의 왼쪽 부분을 접습니다. x / 5 + x / 10 \u003d 90. 공통 분모 10. 10 우리는 5 번을 나누고 x를 곱한다, 우리는 2 배를 얻습니다. 10 우리는 10을 나눕니다. X : 2x + x / 10 \u003d 90을 곱한 X : 2x + x / 10 \u003d 90 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300 \u003d 900 \u003d 300 \u003d 900 \u003d 300 \u003d 300 \u003d\u003e x \u003d 300 \u003d\u003e

종종 xers가 동등한 서명의 다른 측면에 위치하는 분수 방정식이 있습니다. 이러한 상황에서는 모든 방향으로 모든 분획을 공동으로 전송할 필요가 있으며 숫자를 다른 방향으로 옮길 필요가 있습니다.

x : 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5 찾기.
우리는 2 배 / 5를 오른쪽으로 나른다 : 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
5x / 5를 줄이고 GET : x \u003d 130.

분수가있는 방정식을 해결하는 방법 - 분모의 x

이러한 유형의 분수 방정식은 추가 조건을 기록해야합니다. 이러한 조건을 지정하는 것은 올바른 결정의 필수 및 필수적인 부분입니다. 그들을 ascribing하지 않고, 당신은 대답 (그것이 올바른 경우에도)이기 때문에 위험을 가질 수 있습니다.

X가 분모에있는 분수 방정식의 일반적인 형태는 A / X + B \u003d C : X는 A, B, C- 일반 숫자입니다. x는 숫자가 아닙니다. 예를 들어, x는 0을 나눌 수 없기 때문에 x는 0 일 수 없습니다. 이것은 우리가 나타내야하는 추가적인 조건입니다. 이것은 허용 가능한 가치의 영역이라고 불리며, OTZ.

x : 15 / x + 18 \u003d 21을 찾습니다.

즉시 X에 대한 OTZ를 쓰십시오 : X ± 0. 이제 ODB가 지정되면 표준 계획에 따라 방정식을 해결하여 분수를 제거하십시오. 방정식의 모든 구성원을 x의 모든 구성원을 곱하십시오. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

분모가 X뿐만 아니라 첨가 또는 뺄셈과 같은 일부 동작이있는 경우가 많습니다.

찾기 x : 15 / (x-3) + 18 \u003d 21.

우리는 이미 분모가 0 일 수 없다는 것을 이미 알고 있습니다. 이는 X-3 ≈ 0을 의미합니다. 오른쪽에서 -3을 전환하고, "-" "+"에서 "-"를 획득하십시오. 3. OTZ가 표시됩니다.

우리는 방정식을 해결하고, 우리는 X-3 : 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63의 모든 것을 곱합니다.

우리는 오른쪽으로 휴대합니다. 왼쪽의 숫자 : 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

주제에 대한 프리젠 테이션 및 수업 : "합리적인 방정식, 알고리즘 및 합리적 방정식 해결 예"

추가 자료
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교과서의 설명서 Makarycheva Yu.n. TextBook Mordkovich A.g의 설명서

비합리적인 방정식을 가진 지인

남자들, 우리는 결정하는 법을 배웠습니다 2 차 방정식...에 그러나 수학은 그들에게만 국한되지 않습니다. 오늘날 우리는 합리적인 방정식을 해결하는 법을 배울 것입니다. 합리적인 방정식의 개념은 합리적인 숫자의 개념과 크게 유사합니다. 이제 숫자 외에도 우리는 특정 변수 $ x $가 있습니다. 그래서 우리는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 분열 및 전체 정도의 구성의 작동이 존재하는 표현을 얻습니다.

$ r (x) $를 놓칩니다 합리적인 표현...에 이러한 표현은 $ x $ 변수 또는 다항식 비율로부터 간단한 다항식 일 수 있습니다 (이는 나누기 작업은 합리적인 숫자와 같이 도입됩니다).
방정식 $ r (x) \u003d 0 $ 호출 합리적인 방정식.
$ p (x) \u003d q (x) $의 방정식은 $ p (x) $ q (x) $ ritional 표현식이며, 여기서도 합리적인 방정식.

합리적인 방정식을 해결하는 예를 고려하십시오.

예제 1.
해결 방정식 : $ \\ fRAC (5x-3) (X-3) \u003d \\ FRAC (2x-3) (x) $.

결정.
우리는 모든 표현식을 왼쪽으로 옮깁니다 : $ \\ fRAC (5x-3) (x-3) - \\ fRAC (2x-3) (x) \u003d 0 $.
기존의 숫자가 방정식의 왼쪽에 제시된 경우 두 가지 분획을 공통 분모에 이끌 것입니다.
이렇게하고 할 수있게 해 봅시다 : $ \\ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \\ fRAC (((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) \u003d \\ FRAC (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d \\ FRAC (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3 ) * x) \u003d frac (3 (x-3) * x) $.
방정식이 얻어졌습니다 : $ \\ fRAC (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

분획은 0이고, 그 다음, 분수 분자가 0이고, 분모가 0과 상이한 경우에만 그런 다음 분자를 별도로 0으로 설정하고 분자의 뿌리를 찾습니다.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ 또는 $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (-3))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
이제 Denomote Dentor : $ (x-3) * x ≠ $ 0을 확인하십시오.
이 숫자 중 적어도 하나가 0 일 때 두 숫자의 생성물은 0입니다. 그런 다음 $ x ≠ 0 $ 또는 $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ $ 0 또는 $ x ≠ $ 3.
분자 및 분모에서 얻은 뿌리는 일치하지 않습니다. 따라서 응답으로 우리는 분자의 두 루트를 작성합니다.
답변 : $ x \u003d 1 $ 또는 $ x \u003d -3 $.

갑자기 분자의 뿌리 중 하나가 분모의 뿌리와 일치하며 제외해야합니다. 그러한 뿌리는 외부인이라고합니다!

합리적인 방정식을 해결하기위한 알고리즘 :

1. 방정식에 포함 된 모든 표현식은 부호의 왼쪽으로 전달됩니다.
2. 방정식 의이 부분을 변화 시키십시오 대수 Fraci.: $ \\ frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. 결과 분기자를 0으로 동등한 경우, 즉 수학 식 $ P (x) \u003d 0 $를 해결하기 위해.
4. 분모를 0으로 동등하고 얻은 방정식을 해결하십시오. 분모의 뿌리가 분자의 뿌리와 일치하면 대답에서 제외되어야합니다.

예 2.
방정식을 결정하십시오 : $ \\ fRAC (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) \u003d \\ fRAC (6) (x ^ 2-1) $.

결정.
나는 알고리즘의 지점에 따라 결정합니다.
1. $ \\ fRAC (3x) (x-1) + frac (4) (x + 1) - \\ fRAC (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ fRAC (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d frac (3x) (x - 1) + FRAC (4) (x + 1) - \\ FRAC (6) ((x-1) (x + 1)) \u003d \\ FRAC (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) ((x -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d \\ fRAC (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ FRAC (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ fRAC (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. 우리는 분자를 0으로 평가시킵니다 : $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ fRAC (-7 ± 3 * (-10-4 * 3 * (-10))))) (6) \u003d \\ fRAC (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ FRAC ( 1) (3); $ 1.
4. 우리는 분모와 0으로 동등합니다.
$ (x-1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ 및 $ x \u003d -1 $.
$ x \u003d $ 1의 뿌리 중 하나는 분자에서 루트와 일치하며, 응답으로 쓰지 않습니다.
답변 : $ x \u003d -1 $.

변수 대체 방법을 사용하여 합리적인 방정식을 해결하는 것이 편리합니다. 그것을 보여 봅시다.

예 3.
해결 방정식 : $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

결정.
우리는 대체품을 소개합니다 : $ t \u003d x ^ 2 $.
그렇다면 우리의 방정식은 다음과 같은 양식을 취할 것입니다.
$ T ^ 2 + 12T-64 \u003d 0 $은 기존의 정사각형 방정식입니다.
$ T_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-12 ± sqrt (12 ^ 2-4 * (-64))))))) (2) \u003d FRAC (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; $ 4.
우리는 $ x ^ 2 \u003d 4 $ 또는 $ x ^ 2 \u003d -16 $를 소개합니다.
첫 번째 방정식의 뿌리는 숫자가 $ x \u003d ± 2 $입니다. 두 번째는 뿌리가 없습니다.
답변 : $ x \u003d $ 2.

예 4.
해결 방정식 : $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ fRAC (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
결정.
우리는 새로운 변수를 소개합니다 : $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
그런 다음 방정식은 $ T \u003d \\ FRAC (15) (t + 2) $의 형식을 취합니다.
우리는 알고리즘에 더 많은 행동을 할 것입니다.
1. $ t- \\ frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-2 ± 15))) (2) \u003d \\ FRAC (-2 ± sqrt (64)) (2) \u003d FRAC ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5; $ 3.
4. $ T ≠ -2 $ 뿌리가 일치하지 않습니다.
우리는 역방향 교체를 소개합니다.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
각 방정식을 별도로주십시오.
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ fRAC (-1 ± \\ sqrt (1-4 * (- 6)))) (2) \u003d FRAC (-1 ± \\ sqrt (-23)) (2) $ - 아니오 뿌리.
두 번째 방정식 : $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
이 방정식의 뿌리는 $ x \u003d -2 $ 및 $ x \u003d 1 $입니다.
답변 : $ x \u003d -2 $ 및 $ x \u003d 1 $.

예 5.
해결 방정식 : $ x ^ 2 + \\ fRAC (1) (x ^ 2) + x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 4.

결정.
우리는 $ t \u003d x + \\ frac (1) (x) $를 소개합니다.
그때:
$ t ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + frac (1) (x ^ 2) $ 또는 $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
수식 방정식 : $ t ^ 2-2 + t \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
이 방정식의 뿌리는 몇 가지입니다.
$ t \u003d -3 $ 및 $ t \u003d $ 2.
우리는 역방향을 소개합니다.
$ x + frac (1) (x) \u003d - $ 3.
$ x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 2.
우리는 별도로 결정합니다.
$ x + frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ fRAC (-3 ± \\ sqrt (9-4)) (2) \u003d \\ frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $.
두 번째 방정식 해결 :
$ x + \\ frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
이 방정식의 루트는 $ x \u003d 1 $입니다.
답변 : $ x \u003d frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

자체 솔루션을위한 작업

방정식 해결 :

1. $ \\ fRAC (3x + 2) (x) \u003d \\ fRAC (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \\ fRAC (5x) (x + 2) - \\ fRAC (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ FRAC (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d \\ fRAC (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d $ 3.