Twierdzenie Pitagorasa proste i odwrotne z dowodem. Lekcja „twierdzenie - odwrotność twierdzenia Pitagorasa”

Cele Lekcji:

ogólne wykształcenie:

• sprawdzić wiedzę teoretyczną studentów (właściwości trójkąta prostokątnego, twierdzenie Pitagorasa), umiejętność wykorzystania ich w rozwiązywaniu problemów;
• tworzenie sytuacja problemowa, doprowadzić uczniów do „odkrycia” odwrotnego twierdzenia Pitagorasa.

rozwijanie:

• rozwój umiejętności stosowania wiedzy teoretycznej w praktyce;
• rozwijanie umiejętności formułowania wniosków podczas obserwacji;
• rozwój pamięci, uwagi, obserwacji:
• rozwijanie motywacji do nauki poprzez emocjonalną satysfakcję z odkryć, poprzez wprowadzanie elementów historii rozwoju pojęć matematycznych.

edukacyjny:

• pielęgnować stałe zainteresowanie tematem poprzez studiowanie życia Pitagorasa;
• wspieranie wzajemnej pomocy i obiektywnej oceny wiedzy kolegów z klasy poprzez recenzowanie.

Forma lekcji: lekcja-klasa.

Plan lekcji:

• Organizowanie czasu.
• Badanie Praca domowa. Aktualizacja wiedzy.
• Rozwiązywanie problemów praktycznych z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.
• Nowy temat.
• Pierwotna konsolidacja wiedzy.
• Praca domowa.
• Wyniki lekcji.
• Niezależna praca (według indywidualnych kart z odgadywaniem aforyzmów Pitagorasa).

Podczas zajęć.

Organizowanie czasu.

Sprawdzanie pracy domowej. Aktualizacja wiedzy.

Nauczyciel: Jakie zadanie wykonałeś w domu?

Studenci: Mając dane dwa boki trójkąta prostokątnego, znajdź trzeci bok, ułóż odpowiedzi w formie tabeli. Powtórz właściwości rombu i prostokąta. Powtórz to, co nazywa się warunkiem i jaki jest wniosek twierdzenia. Przygotuj raporty z życia i działalności Pitagorasa. Weź ze sobą linę z zawiązanymi 12 węzłami.

Nauczyciel: Sprawdź odpowiedzi na pracę domową zgodnie z tabelą

(dane na czarno, odpowiedzi na czerwono).

Nauczyciel: Oświadczenia są zapisywane na tablicy. Jeśli zgadzasz się z nimi, na kartkach obok odpowiedniego numeru pytania wpisz „+”, jeśli się nie zgadzasz, wpisz „-”.

Oświadczenia są zapisywane na tablicy.

1. Przeciwprostokątna jest większa niż noga.
2. Suma ostre rogi trójkąt prostokątny to 180 0 .
3. Obszar trójkąta prostokątnego z nogami A I V obliczone według wzoru S=ab/2.
4. Twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe dla wszystkich trójkątów równoramiennych.
5. W trójkącie prostokątnym noga naprzeciw kąta 30 0 jest równa połowie przeciwprostokątnej.
6. Suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
7. Kwadrat nogi jest równy różnicy kwadratów przeciwprostokątnej i drugiej nogi.
8. Bok trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych boków.

Prace są sprawdzane przez recenzentów. Omawiane są kontrowersyjne stwierdzenia.

Klucz do pytań teoretycznych.

Studenci oceniają się nawzajem według następującego systemu:

8 poprawnych odpowiedzi „5”;
6-7 poprawnych odpowiedzi „4”;
4-5 poprawnych odpowiedzi „3”;
mniej niż 4 poprawne odpowiedzi „2”.

Nauczyciel: O czym rozmawialiśmy na ostatniej lekcji?

Student: O Pitagorasie i jego twierdzeniu.

Nauczyciel: Sformułuj twierdzenie Pitagorasa. (Kilku uczniów czyta sformułowanie, w tym czasie 2-3 uczniów udowadnia to przy tablicy, 6 uczniów przy pierwszych ławkach na kartkach).

Wzory matematyczne są zapisane na tablicy magnetycznej na kartach. Wybierz te, które odzwierciedlają znaczenie twierdzenia Pitagorasa, gdzie A I V - cewniki, Z - przeciwprostokątna.

1) do 2 \u003d za 2 + b 2	2) c \u003d za + b	3) a 2 \u003d od 2 do 2
4) c 2 \u003d za 2 - w 2	5) w 2 \u003d do 2 - za 2	6) za 2 \u003d do 2 + w 2

Podczas gdy uczniowie dowodzący twierdzenia przy tablicy iw terenie nie są gotowi, głos oddaje się tym, którzy przygotowali sprawozdania z życia i twórczości Pitagorasa.

Uczniowie pracujący w terenie przekazują ulotki i wysłuchują zeznań tych, którzy pracowali przy tablicy.

Rozwiązywanie problemów praktycznych z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.

Nauczyciel: Oferuję praktyczne zadania z wykorzystaniem badanego twierdzenia. Najpierw odwiedzimy las, po burzy, potem na wsi.

Zadanie 1. Po burzy świerk się złamał. Wysokość pozostałej części wynosi 4,2 m. Odległość od podstawy do przewróconego wierzchołka wynosi 5,6 m. Znajdź wysokość świerka przed burzą.

Zadanie 2. Wysokość domu wynosi 4,4 m. Szerokość trawnika wokół domu wynosi 1,4 m. Jaką długość powinna mieć drabina, aby nie nadepnęła na trawnik i sięgnęła dachu domu?

Nowy temat.

Nauczyciel:(gra muzyka) Zamknij oczy, na kilka minut zanurzymy się w historię. Jesteśmy z tobą w Starożytny Egipt. Tutaj w stoczniach Egipcjanie budują swoje słynne statki. Ale geodeci mierzą działki, których granice zostały zmyte po wylewie Nilu. Budowniczowie budują okazałe piramidy, które wciąż zadziwiają nas swoją wspaniałością. We wszystkich tych czynnościach Egipcjanie musieli posługiwać się kątami prostymi. Wiedzieli, jak je zbudować, używając liny z 12 węzłami zawiązanymi w tej samej odległości od siebie. Spróbujcie, argumentując jak starożytni Egipcjanie, zbudować trójkąty prostokątne za pomocą lin. (Rozwiązując to zadanie chłopaki pracują w 4-osobowych grupach. Po chwili ktoś pokazuje na tablecie przy tablicy konstrukcję trójkąta).

Boki powstałego trójkąta to 3, 4 i 5. Jeśli zawiążesz jeszcze jeden węzeł między tymi węzłami, wówczas jego boki staną się 6, 8 i 10. Jeśli po dwa - 9, 12 i 15. Wszystkie te trójkąty są prostokątne, ponieważ .

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 itd.

Jaką właściwość musi mieć trójkąt, aby był prostokątny? (Uczniowie próbują sami sformułować odwrotne twierdzenie Pitagorasa, w końcu komuś się to udaje).

Czym to twierdzenie różni się od twierdzenia Pitagorasa?

Student: Warunek i wniosek są odwrócone.

Nauczyciel: W domu powtarzałeś, jak nazywają się takie twierdzenia. Więc co teraz robimy?

Student: Z odwrotnym twierdzeniem Pitagorasa.

Nauczyciel: Zapisz temat lekcji w zeszycie. Otwórzcie podręczniki na stronie 127, przeczytajcie to stwierdzenie jeszcze raz, zapiszcie w zeszycie i przeanalizujcie dowód.

(Po kilku minutach samodzielnej pracy z podręcznikiem, w razie potrzeby jedna osoba przy tablicy podaje dowód twierdzenia).

1. Jak nazywa się trójkąt o bokach 3,4,5? Dlaczego?
2. Jakie trójkąty nazywamy trójkątami pitagorejskimi?
3. Z jakimi trójkątami pracowałeś w swojej pracy domowej? A w problemach z sosną i drabiną?

Pierwotna konsolidacja wiedzy

.

To twierdzenie pomaga rozwiązywać problemy, w których konieczne jest sprawdzenie, czy trójkąty są trójkątami prostokątnymi.

Zadania:

1) Dowiedz się, czy trójkąt jest prostokątny, jeśli jego boki są równe:

a) 12.37 i 35; b) 21, 29 i 24.

2) Oblicz wysokości trójkąta o bokach 6, 8 i 10 cm.

Praca domowa

.

Strona 127: Odwrotne twierdzenie Pitagorasa. Nr 498 (a, b, c) Nr 497.

Wyniki lekcji.

Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?

Jak Egipcjanie wykorzystali odwrotne twierdzenie Pitagorasa?

Do jakich zadań jest używany?

Jakie trójkąty spotkałeś?

Co najbardziej pamiętasz i lubisz?

Praca samodzielna (wykonywana na indywidualnych kartach).

Nauczyciel: W domu powtórzyłeś właściwości rombu i prostokąta. Wypisz je (jest rozmowa z klasą). Na ostatniej lekcji rozmawialiśmy o tym, że Pitagoras był wszechstronną osobą. Zajmował się medycyną, muzyką i astronomią, był także sportowcem i brał udział w Igrzyska Olimpijskie. Pitagoras był także filozofem. Wiele jego aforyzmów jest dla nas nadal aktualnych. Teraz wystąpisz niezależna praca. Do każdego zadania podano kilka odpowiedzi, obok których zapisane są fragmenty aforyzmów Pitagorasa. Twoim zadaniem jest rozwiązanie wszystkich zadań, złożenie oświadczenia z otrzymanych fragmentów i zapisanie go.

Według van der Waerdena jest bardzo prawdopodobne, że stosunek w ogólna perspektywa znany był w Babilonie już około XVIII wieku pne. mi.

Około 400 pne. e., według Proclus, Platon podał metodę znajdowania trójek pitagorejskich, łącząc algebrę i geometrię. około 300 r. p.n.e. mi. w „Elementach” Euklidesa pojawił się najstarszy aksjomatyczny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Sformułowanie

Główne sformułowanie to działania algebraiczne- w prawym trójkącie, którego długości nóg są równe za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b), a długość przeciwprostokątnej wynosi do (\ displaystyle c), spełniona jest zależność:

.

Równoważne sformułowanie geometryczne jest również możliwe, odwołując się do pojęcia pola figury: w trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach. W tej formie twierdzenie jest sformułowane w Principia Euklidesa.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa- stwierdzenie o prostokątności dowolnego trójkąta, którego długości boków są powiązane relacją za 2 + b 2 = do 2 (\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) = c ^ (2)). W konsekwencji dla dowolnej trójki liczb dodatnich za (\ displaystyle a), b (\ displaystyle b) I do (\ displaystyle c), takie że za 2 + b 2 = do 2 (\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) = c ^ (2)) istnieje trójkąt prostokątny z nogami za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) i przeciwprostokątna do (\ displaystyle c).

Dowód

W literatura naukowa zarejestrowano co najmniej 400 dowodów twierdzenia Pitagorasa, co tłumaczy się zarówno jego fundamentalnym znaczeniem dla geometrii, jak i elementarnością wyniku. Głównymi kierunkami dowodów są: algebraiczne wykorzystanie stosunków elementów trójkąt (taka jest np. popularna metoda podobieństwa), metoda powierzchniowa, są też różne dowody egzotyczne (np. za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Klasyczny dowód Euklidesa ma na celu ustalenie równości pól między prostokątami utworzonymi przez przecięcie kwadratu na przeciwprostokątnej o wysokości prosty kąt z kwadratami nad nogawkami.

Konstrukcja zastosowana do dowodu jest następująca: dla trójkąta prostokątnego o kącie prostym do (\ Displaystyle C), kwadraty nad nogami i kwadraty nad przeciwprostokątną ZA b ja K (\ Displaystyle ABIK) wysokość jest budowana do H. (\ Displaystyle CH) i promień, który go kontynuuje s (\ displaystyle s), dzieląc kwadrat nad przeciwprostokątną na dwa prostokąty i . Dowód ma na celu ustalenie równości pól prostokąta ZAHJK (\ displaystyle AHJK) z kwadratem nad nogawką ZA C (\ displaystyle AC); równość pól drugiego prostokąta, który jest kwadratem nad przeciwprostokątną, i prostokąta nad drugą nogą ustala się w podobny sposób.

Równość pól prostokąta ZAHJK (\ displaystyle AHJK) I ZA do mi re (\ displaystyle ACED) ustalona przez przystawanie trójkątów △ ZA C K ​​​​(\ Displaystyle \ trójkąt ACK) I △ ZA b re (\ Displaystyle \ trójkąt ABD), z których każdy jest równy połowie powierzchni kwadratów ZAHJK (\ displaystyle AHJK) I ZA do mi re (\ displaystyle ACED) odpowiednio, w związku z następującą właściwością: pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta, jeżeli figury mają wspólny bok, a wysokość trójkąta jest równa wspólna strona jest drugim bokiem prostokąta. Przystawanie trójkątów wynika z równości dwóch boków (boków kwadratów) i kąta między nimi (składającego się z kąta prostego i kąta ZA (\ Displaystyle A).

W ten sposób dowód ustala, że ​​\u200b\u200bpole kwadratu nad przeciwprostokątną składa się z prostokątów ZAHJK (\ displaystyle AHJK) I B H J I (\ displaystyle BHJI), jest równa sumie pól kwadratów nad nogami.

Dowód Leonarda da Vinci

Metoda powierzchni obejmuje również dowód znaleziony przez Leonarda da Vinci. Niech będzie trójkąt prostokątny △ ZA b do (\ Displaystyle \ trójkąt ABC) prosty kąt do (\ Displaystyle C) i kwadraty ZA do mi re (\ displaystyle ACED), b do fa sol (\ displaystyle BCFG) I ZA BH J (\ displaystyle ABHJ)(widzieć zdjęcie). W tym dowodzie z boku HJ (\ displaystyle HJ) w tym ostatnim trójkąt jest zbudowany na zewnątrz, przystający △ ZA b do (\ Displaystyle \ trójkąt ABC), co więcej, odbijało się zarówno w stosunku do przeciwprostokątnej, jak i w stosunku do wysokości do niej (to znaczy jot ja = b do (\ displaystyle JI = pne) I HI = ZA do (\ Displaystyle HI = AC)). Prosty do ja (\ Displaystyle CI) dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej na dwie równe części, ponieważ trójkąty △ ZA b do (\ Displaystyle \ trójkąt ABC) I △ JH ja (\ Displaystyle \ trójkąt JHI) są równe w budowie. Dowód ustala zgodność czworokątów do jot ja (\ Displaystyle CAJI) I DABG (\ Displaystyle DABG), z których pole każdego z nich jest z jednej strony równe sumie połowy powierzchni kwadratów na nogach i powierzchni trójkąta pierwotnego, z drugiej strony połowie powierzchni ​​kwadrat na przeciwprostokątnej plus pole pierwotnego trójkąta. W sumie połowa sumy pól kwadratów na nogach jest równa połowie pola kwadratu na przeciwprostokątnej, co odpowiada geometrycznemu sformułowaniu twierdzenia Pitagorasa.

Dowód metodą nieskończenie małych

Istnieje kilka dowodów wykorzystujących technikę równań różniczkowych. W szczególności Hardy'emu przypisuje się dowód wykorzystujący nieskończenie małe przyrosty nóg za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) i przeciwprostokątna do (\ displaystyle c), oraz zachowanie podobieństwa z oryginalnym prostokątem, czyli zapewnienie spełnienia następujących relacji różniczkowych:

re za re do = do za (\ Displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), re b re do = do b (\ Displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

Metodą rozdzielania zmiennych wyprowadza się z nich równanie różniczkowe do re do = za re za + b re b (\ Displaystyle c \ dc = a \, da + b \, db), którego całkowanie daje zależność do 2 = za 2 + b 2 + do o n s t (\ Displaystyle c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) + \ operatorname (Const) ). Aplikacja warunki początkowe za = b = do = 0 (\ Displaystyle a = b = c = 0) definiuje stałą jako 0, co skutkuje stwierdzeniem twierdzenia.

Kwadratowa zależność w ostatecznym wzorze pojawia się z powodu liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma wynika z niezależnych wkładów z przyrostu różnych nóg.

Wariacje i uogólnienia

Podobne geometryczne kształty z trzech stron

Ważne geometryczne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa zostało podane przez Euklidesa w Elementach, przechodząc od obszarów kwadratów po bokach do obszarów dowolnych podobnych figury geometryczne: suma pól takich figur zbudowanych na nogach będzie równa polu figury podobnej do nich, zbudowanej na przeciwprostokątnej.

Główną ideą tego uogólnienia jest to, że pole takiej figury geometrycznej jest proporcjonalne do kwadratu dowolnego z jej wymiarów liniowych, aw szczególności do kwadratu długości dowolnego boku. Dlatego dla podobnych figur z obszarami ZA (\ Displaystyle A), B (\ Displaystyle B) I do (\ Displaystyle C) zbudowany na nogach o długości za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) i przeciwprostokątna do (\ displaystyle c) w związku z tym istnieje zależność:

ZA za 2 = b b 2 = do do 2 ⇒ ZA + B = za 2 do 2 do + b 2 do 2 do (\ Displaystyle (\ Frac (A) (a ^ (2))) = (\ Frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\strzałka w prawo \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa za 2 + b 2 = do 2 (\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) = c ^ (2)), to jest zrobione.

Ponadto, jeśli można udowodnić bez użycia twierdzenia Pitagorasa, że ​​dla pól trzech podobnych figur geometrycznych o bokach trójkąta prostokątnego zależność ZA + B = do (\ Displaystyle A + B = C), to korzystając z odwrotności dowodu uogólnienia Euklidesa, możemy wyprowadzić dowód twierdzenia Pitagorasa. Na przykład, jeśli na przeciwprostokątnej zbudujemy trójkąt prostokątny przystający do trójkąta początkowego o polu do (\ Displaystyle C), a na nogach - dwa podobne trójkąty prostokątne z obszarami ZA (\ Displaystyle A) I B (\ Displaystyle B), to okazuje się, że trójkąty na nogach powstają w wyniku podzielenia trójkąta początkowego przez jego wysokość, czyli suma dwóch mniejszych pól trójkątów jest równa polu trzeciego, a więc ZA + B = do (\ Displaystyle A + B = C) i stosując zależność dla podobnych figur, wyprowadza się twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie cosinusowe

Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia cosinusowego, które wiąże długości boków dowolnego trójkąta:

za 2 + b 2 - 2 za b sałata ⁡ θ = do 2 (\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) -2ab \ cos (\ teta) = c ^ (2)),

gdzie jest kąt między bokami za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b). Jeśli kąt ma 90°, to sałata ⁡ θ = 0 (\ Displaystyle \ cos \ teta = 0), a wzór upraszcza się do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.

Dowolny trójkąt

Istnieje uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt, działający wyłącznie na podstawie stosunku długości boków. Uważa się, że zostało ono po raz pierwszy ustalone przez astronoma Sabiusza Sabit ibn Kurra. W nim, dla dowolnego trójkąta z bokami, trójkąt równoramienny z podstawą na boku do (\ displaystyle c), wierzchołek pokrywający się z wierzchołkiem oryginalnego trójkąta, naprzeciwko boku do (\ displaystyle c) i kąty u podstawy równe kątowi θ (\ Displaystyle \ teta) Przeciwna strona do (\ displaystyle c). W efekcie powstają dwa trójkąty, podobne do pierwotnego: pierwszy z bokami za (\ displaystyle a), boczny bok wpisanego trójkąta równoramiennego daleko od niego, oraz r (\ displaystyle r)- części boczne do (\ displaystyle c); drugi jest do niego symetryczny z boku b (\ displaystyle b) z przyjęciem s (\ displaystyle s)- odpowiednia część boku do (\ displaystyle c). W rezultacie spełniona jest zależność:

za 2 + b 2 = do (r + s) (\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) = c (r + s)),

które przeradza się w twierdzenie Pitagorasa w θ = π / 2 (\ Displaystyle \ teta = \ pi / 2). Stosunek jest konsekwencją podobieństwa utworzonych trójkątów:

do za = za r , do b = b s ⇒ do r + do s = za 2 + b 2 (\ Displaystyle (\ Frac (c) (a)) = (\ Frac (a) (r)), \, (\ Frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\strzałka w prawo \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Twierdzenie o powierzchni Pappusa

Geometria nieeuklidesowa

Twierdzenie Pitagorasa wywodzi się z aksjomatów geometrii euklidesowej i jest nieważne dla geometrii nieeuklidesowej - spełnienie twierdzenia Pitagorasa jest równoznaczne z postulatem równoległości euklidesowej.

W geometrii nieeuklidesowej związek między bokami trójkąta prostokątnego z konieczności będzie miał postać inną niż w twierdzeniu Pitagorasa. Na przykład w geometrii sferycznej wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, które ograniczają oktant sfery jednostkowej, mają długość π / 2 (\ Displaystyle \ pi / 2), co jest sprzeczne z twierdzeniem Pitagorasa.

Co więcej, twierdzenie Pitagorasa obowiązuje w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej, jeśli warunek, że trójkąt jest prostokątny, zostanie zastąpiony warunkiem, że suma dwóch kątów trójkąta musi być równa trzeciemu.

sferyczna geometria

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego na kuli o promieniu R (\ displaystyle R)(na przykład, jeśli kąt w trójkącie jest prosty) z bokami za , b , do (\ Displaystyle a, b, c) związek między stronami to:

sałata ⁡ (c R) = sałata ⁡ (a R) ⋅ sałata ⁡ (b R) (\ Displaystyle \ cos \ lewo ((\ Frac (c) (R)) \ prawej) = \ cos \ lewo ((\ frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Tę równość można wyprowadzić jako szczególny przypadek twierdzenie o cosinusie sferycznym, które obowiązuje dla wszystkich trójkątów sferycznych:

sałata ⁡ (c R) = sałata ⁡ (a R) ⋅ sałata ⁡ (b R) + grzech ⁡ (a R) ⋅ grzech ⁡ (b R) ⋅ sałata ⁡ γ (\ Displaystyle \ cos \ lewo ((\ frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ do = ch ⁡ za ⋅ ch ⁡ b (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b),

Gdzie ch (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) )- cosinus hiperboliczny. Ta formuła jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o cosinusie hiperbolicznym, które jest ważne dla wszystkich trójkątów:

ch ⁡ do = ch ⁡ za ⋅ ch ⁡ b - sh ⁡ za ⋅ sh ⁡ b ⋅ sałata ⁡ γ (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b- \ nazwa operatora (sh) a\cdot \nazwa_operatora (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Gdzie γ (\ Displaystyle \ gamma )- kąt, którego wierzchołek jest przeciwny do boku do (\ displaystyle c).

Używając szeregu Taylora dla cosinusa hiperbolicznego ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) x \ około 1 + x ^ (2) / 2)) można wykazać, że jeśli trójkąt hiperboliczny maleje (czyli kiedy za (\ displaystyle a), b (\ displaystyle b) I do (\ displaystyle c) dążą do zera), to relacje hiperboliczne w trójkącie prostokątnym zbliżają się do relacji z klasycznego twierdzenia Pitagorasa.

Aplikacja

Odległość w dwuwymiarowych układach prostokątnych

Najważniejszym zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa jest wyznaczenie odległości między dwoma punktami we współrzędnych układu prostokątnego: odległość s (\ displaystyle s) między punktami o współrzędnych (a, b) (\ Displaystyle (a, b)) I (c, re) (\ Displaystyle (c, d)) równa się:

s = (a - c) 2 + (b - re) 2 (\ Displaystyle s = (\ sqrt ((ac) ^ (2) + (bd) ^ (2)))).

W przypadku liczb zespolonych twierdzenie Pitagorasa podaje naturalny wzór na znalezienie liczby modułowej zespolonej - dla z = x + y ja (\ Displaystyle z = x + yi) jest równa długości

Rozważanie tematów program nauczania z pomocą lekcji wideo to wygodny sposób na naukę i przyswojenie materiału. Wideo pomaga skupić uwagę uczniów na głównych punktach teoretycznych i nie przegapić ważnych szczegółów. W razie potrzeby uczniowie zawsze mogą ponownie wysłuchać lekcji wideo lub cofnąć się o kilka tematów.

Ta lekcja wideo dla ósmej klasy pomoże uczniom w nauce nowy temat według geometrii.

W poprzednim temacie studiowaliśmy twierdzenie Pitagorasa i analizowaliśmy jego dowód.

Istnieje również twierdzenie, które jest znane jako odwrotne twierdzenie Pitagorasa. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Twierdzenie. Trójkąt jest prostokątny, jeśli spełnia równość: wartość jednego boku trójkąta do kwadratu jest taka sama jak suma kwadratów pozostałych dwóch boków.

Dowód. Załóżmy, że mamy dany trójkąt ABC, w którym równość AB 2 = CA 2 + CB 2 jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że kąt C ma miarę 90 stopni. Rozważmy trójkąt A 1 B 1 C 1, w którym kąt C 1 wynosi 90 stopni, bok C 1 A 1 jest równy CA i bok B 1 C 1 jest równy BC.

Stosując twierdzenie Pitagorasa, zapisujemy stosunek boków w trójkącie A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Zastępując wyrażenie przez równe strony, otrzymujemy ZA 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Z warunków twierdzenia wiemy, że AB 2 = CA 2 + CB 2 . Wtedy możemy napisać A 1 B 1 2 = AB 2 , co implikuje, że A 1 B 1 = AB.

Stwierdziliśmy, że w trójkątach ABC i A 1 B 1 C 1 trzy boki są równe: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Więc te trójkąty są przystające. Z równości trójkątów wynika, że ​​\u200b\u200bkąt C jest równy kątowi C 1 i odpowiednio jest równy 90 stopni. Ustaliliśmy, że trójkąt ABC jest prostokątny, a jego kąt C wynosi 90 stopni. Udowodniliśmy to twierdzenie.

Następnie autor podaje przykład. Załóżmy, że dany jest dowolny trójkąt. Znane są wymiary jego boków: 5, 4 i 3 jednostki. Sprawdźmy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Jeśli stwierdzenie jest poprawne, to dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

W poniższych przykładach trójkąty będą również prostokątne, jeśli ich boki są równe:

5, 12, 13 jednostek; równość 13 2 = 5 2 + 12 2 jest prawdziwa;

8, 15, 17 jednostek; równanie 17 2 = 8 2 + 15 2 jest prawdziwe;

7, 24, 25 jednostek; równanie 25 2 = 7 2 + 24 2 jest prawdziwe.

Znana jest koncepcja trójkąta pitagorejskiego. Jest to trójkąt prostokątny, którego boki są liczbami całkowitymi. Jeśli nogi trójkąta pitagorejskiego są oznaczone przez a i c, a przeciwprostokątna b, to wartości boków tego trójkąta można zapisać za pomocą następujących wzorów:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

gdzie m, n, k są dowolne liczby całkowite, a wartość m jest większa niż wartość n.

Ciekawostka: trójkąt o bokach 5, 4 i 3 nazywany jest również trójkątem egipskim, taki trójkąt był znany w starożytnym Egipcie.

W tym samouczku wideo zapoznaliśmy się z twierdzeniem, odwrotnością twierdzenia Pitagorasa. Rozważ szczegółowo dowód. Uczniowie dowiedzieli się również, które trójkąty nazywane są trójkątami pitagorejskimi.

Studenci mogą łatwo zapoznać się z tematem „Twierdzenie, twierdzenie odwrotne Pythagoras” niezależnie za pomocą tego samouczka wideo.

Cele Lekcji:

Edukacyjne: sformułować i udowodnić twierdzenie Pitagorasa i odwrotność twierdzenia Pitagorasa. Wskaż ich historyczne i praktyczne znaczenie.

Rozwijanie: rozwijanie uwagi, pamięci, logiczne myślenie studentów, umiejętność rozumowania, porównywania, wyciągania wniosków.

Edukacyjne: pielęgnowanie zainteresowania i miłości do przedmiotu, dokładności, umiejętności słuchania towarzyszy i nauczycieli.

Wyposażenie: Portret Pitagorasa, plakaty z zadaniami do konsolidacji, podręcznik „Geometria” klas 7-9 (I.F. Sharygin).

Plan lekcji:

I. Moment organizacyjny - 1 min.

II. Sprawdzenie pracy domowej - 7 min.

III. wstęp nauczyciele, tło historyczne - 4-5 min.

IV. Sformułowanie i dowód twierdzenia Pitagorasa - 7 min.

V. Sformułowanie i dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa - 5 min.

Naprawa nowego materiału:

a) ustny - 5-6 minut.
b) pisemny - 7-10 min.

VII. Praca domowa - 1 min.

VIII. Podsumowanie lekcji - 3 min.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

II. Sprawdzanie pracy domowej.

s.7.1, nr 3 (przy tablicy wg gotowego rysunku).

Stan : schorzenie: Wysokość trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 1 i 2. Znajdź nogi tego trójkąta.

pne = a; CA=b; BA=c; BD = a 1; DA = b1; CD = hC

Pytanie dodatkowe: zapisz stosunki w trójkącie prostokątnym.

poz. 7.1, nr 5. Przetnij prawy trójkąt na trzy trójkąty podobne do siebie.

Wyjaśnić.

ASN ~ ABC ~ SVN

(zwróć uwagę uczniów na poprawne zapisanie odpowiednich wierzchołków trójkątów podobnych)

III. Przemówienie wprowadzające nauczyciela, tło historyczne.

Prawda pozostanie wieczna, gdy tylko pozna ją słaba osoba!

A teraz twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe, jak w jego odległej epoce.

To nie przypadek, że zacząłem swoją lekcję od słów niemieckiego pisarza Chamisso. Nasza dzisiejsza lekcja dotyczy twierdzenia Pitagorasa. Napiszmy temat lekcji.

Przed tobą portret wielkiego Pitagorasa. Urodzony w 576 pne. Żyjąc 80 lat, zmarł w 496 pne. Znany jako starożytny grecki filozof i nauczyciel. Był synem kupca Mnesarchusa, który często zabierał go w podróże, dzięki czemu u chłopca rozwinęła się ciekawość i chęć poznawania nowych rzeczy. Pitagoras to przezwisko nadane mu za elokwencję („Pitagoras” oznacza „przekonującą mowę”). On sam nic nie napisał. Wszystkie jego myśli zostały zapisane przez jego uczniów. W wyniku pierwszego wykładu Pitagoras pozyskał 2000 uczniów, którzy wraz z żonami i dziećmi utworzyli ogromną szkołę i stworzyli państwo zwane „Wielką Grecją”, oparte na prawach i zasadach Pitagorasa, czczonego jako boskie przykazania. Jako pierwszy nazwał swoje rozumowanie nad sensem życia filozofią (filozofią). Był skłonny do mistyfikacji i demonstracyjnych zachowań. Pewnego razu Pitagoras ukrył się pod ziemią i o wszystkim, co się działo, dowiedział się od swojej matki. Następnie, wyschnięty jak szkielet, oświadczył na zgromadzeniu publicznym, że był w Hadesie i wykazał się niezwykłą świadomością ziemskich wydarzeń. Za to wzruszeni mieszkańcy uznali go za Boga. Pitagoras nigdy nie płakał i był na ogół niedostępny dla namiętności i podniecenia. Wierzył, że pochodzi z nasienia, które jest lepsze w porównaniu z człowiekiem. Całe życie Pitagorasa to legenda, która dotarła do naszych czasów i opowiedziała nam o najbardziej utalentowanym człowieku starożytnego świata.

IV. Sformułowanie i dowód twierdzenia Pitagorasa.

Sformułowanie twierdzenia Pitagorasa jest ci znane z kursu algebry. Pamiętajmy o niej.

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych.

Twierdzenie to było jednak znane na wiele lat przed Pitagorasem. Przez 1500 lat przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątny i używali tej właściwości do budowania kątów prostych podczas planowania terenu i konstruowania budynków. W najstarszym chińskim dziele matematyczno-astronomicznym, które do nas dotarło, „Zhiu-bi”, napisanym 600 lat przed Pitagorasem, wśród innych zdań związanych z trójkątem prostokątnym, zawarte jest również twierdzenie Pitagorasa. Jeszcze wcześniej twierdzenie to było znane Hindusom. Tak więc Pitagoras nie odkrył tej własności trójkąta prostokątnego; prawdopodobnie jako pierwszy ją uogólnił i udowodnił, przenosząc ją z dziedziny praktyki na dziedzinę nauki.

Od czasów starożytnych matematycy znajdowali coraz więcej dowodów na twierdzenie Pitagorasa. Znanych jest ponad sto pięćdziesiąt. Przypomnijmy znany nam z kursu algebry algebraiczny dowód twierdzenia Pitagorasa. („Matematyka. Algebra. Funkcje. Analiza danych” G.V. Dorofeev, M., „Bubblehead”, 2000).

Poproś uczniów, aby zapamiętali dowód rysunku i zapisali go na tablicy.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 za * b + do 2 b za

za 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + do 2

za 2 + b 2 = do 2 za za b

Starożytni Hindusi, do których należy to rozumowanie, zwykle go nie spisywali, ale towarzyszyli rysunkowi tylko jednym słowem: „Patrz”.

Rozważmy we współczesnej prezentacji jeden z dowodów należących do Pitagorasa. Na początku lekcji przypomnieliśmy sobie twierdzenie o stosunkach w trójkącie prostokątnym:

h 2 \u003d za 1 * b 1 za 2 \u003d za 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Dodajemy dwie ostatnie równości termin po terminie:

b 2 + za 2 \u003d b 1 * do + za 1 * do \u003d (b 1 + za 1) * do 1 \u003d do * c \u003d do 2; za 2 + b 2 = do 2

Pomimo pozornej prostoty tego dowodu, jest on daleki od bycia najprostszym. W końcu do tego konieczne było narysowanie wysokości w trójkącie prostokątnym i rozważenie podobnych trójkątów. Proszę zapisać ten dowód w zeszycie.

V. Stwierdzenie i dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Jaka jest odwrotność tego twierdzenia? (... jeśli warunek i wniosek są odwrócone.)

Spróbujmy teraz sformułować twierdzenie, odwrotność twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli w trójkącie o bokach a, b i c równość z 2 \u003d a 2 + b 2 jest prawdziwa, to ten trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty jest przeciwny do boku c.

(Dowód twierdzenia odwrotnego na plakacie)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = do.

za 2 + b 2 = do 2

Udowodnić:

ABC - prostokątny,

Dowód:

Rozważmy trójkąt prostokątny A 1 B 1 C 1,

gdzie C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Następnie, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

To znaczy B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC z trzech stron ABC - prostokąt

C = 90°, co należało udowodnić.

VI. Konsolidacja przerobionego materiału (ustnie).

1. Według plakatu z gotowymi rysunkami.

Rys. 1: znajdź AD, jeśli BD = 8, BDA = 30°.

Rys. 2: znajdź CD, jeśli BE = 5, BAE = 45°.

Ryc. 3: znajdź BD, jeśli BC = 17, AD = 16.

2. Czy trójkąt jest prostokątny, jeśli jego boki są wyrażone liczbami:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (nie)	9 2 + 12 2 = 15 2 (tak)	15 2 + 20 2 = 25 2 (tak)

Jak nazywają się trójki liczb w dwóch ostatnich przypadkach? (Pitagorejski).

VI. Rozwiązywanie problemów (na piśmie).

Nr 9. Bok trójkąta równobocznego jest równy a. Znajdź wysokość tego trójkąta, promień okręgu opisanego, promień okręgu wpisanego.

Nr 14. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym promień opisanego koła jest równy środkowej poprowadzonej do przeciwprostokątnej i równy połowie przeciwprostokątnej.

VII. Praca domowa.

Pozycja 7.1, s. 175-177, analiza twierdzenia 7.4 (uogólnione twierdzenie Pitagorasa), nr 1 (ustne), nr 2, nr 4.

VIII. Wyniki lekcji.

Czego nowego nauczyłeś się na dzisiejszej lekcji? …………

Pitagoras był przede wszystkim filozofem. Teraz chcę wam przeczytać kilka jego wypowiedzi, które są istotne w naszych czasach dla was i dla mnie.

• Nie wzbijaj kurzu na ścieżce życia.
• Rób tylko to, co w przyszłości cię nie zmartwi i nie zmusi do pokuty.
• Nigdy nie rób tego, czego nie wiesz, ale naucz się wszystkiego, co musisz wiedzieć, a wtedy będziesz wiódł spokojne życie.
• Nie zamykaj oczu, gdy chcesz spać, nie rozumiejąc wszystkich swoich działań z poprzedniego dnia.
• Naucz się żyć prosto i bez luksusów.

Temat: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Cele Lekcji: 1) rozważyć twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; jego zastosowanie w procesie rozwiązywania problemów; skonsolidować twierdzenie Pitagorasa i poprawić umiejętności rozwiązywania problemów w celu jego zastosowania;

2) rozwijać logiczne myślenie, twórcze poszukiwania, zainteresowania poznawcze;

3) wychowanie uczniów w odpowiedzialnym podejściu do nauki, kulturze mowy matematycznej.

Rodzaj lekcji. Lekcja zdobywania nowej wiedzy.

Podczas zajęć

І. Organizowanie czasu

ІІ. Aktualizacja wiedza

Lekcja dla mniezrobiłbymposzukiwanyzacznij od czterowiersza.

Tak, ścieżka wiedzy nie jest gładka

Ale znamy z lat szkolnych

Więcej tajemnic niż zagadek

I nie ma ograniczeń w wyszukiwaniu!

Tak więc na ostatniej lekcji nauczyłeś się twierdzenia Pitagorasa. Pytania:

Twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe dla jakiej figury?

Który trójkąt nazywamy trójkątem prostokątnym?

Sformułuj twierdzenie Pitagorasa.

Jak zostanie zapisane twierdzenie Pitagorasa dla każdego trójkąta?

Jakie trójkąty nazywamy równymi?

Formułować znaki równości trójkątów?

A teraz wykonajmy trochę samodzielną pracę:

Rozwiązywanie zadań zgodnie z rysunkami.

№1

(1 b.) Znajdź: AB.

№2

(1 b.) Znajdź: pne.

№3

( 2 B.)Znajdź: AC

№4

(1 b.)Znajdź: AC

№5 Podane: ABCDromb

(2 b.) AB \u003d 13 cm

prąd przemienny = 10 cm

Znaleźć wD

Samokontrola nr 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Uczenie się nowy materiał.

Starożytni Egipcjanie budowali kąty proste na ziemi w ten sposób: podzielili linę węzłami na 12 równych części, związali jej końce, po czym linę naciągnięto na ziemi tak, że powstał trójkąt o bokach 3, 4 i 5 dywizji. Kąt trójkąta leżącego naprzeciw boku z 5 podziałami był prosty.

Czy możesz wyjaśnić słuszność tego wyroku?

W wyniku poszukiwania odpowiedzi na to pytanie uczniowie powinni zrozumieć, że z matematycznego punktu widzenia pytanie brzmi: czy trójkąt będzie prostokątny.

Stawiamy problem: jak bez pomiarów określić, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny. Rozwiązanie tego problemu jest celem lekcji.

Zapisz temat lekcji.

Twierdzenie. Jeżeli suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Samodzielnie udowodnij twierdzenie (ułóż plan dowodu zgodnie z podręcznikiem).

Z tego twierdzenia wynika, że ​​trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny (egipski).

Ogólnie rzecz biorąc, liczby, dla których zachodzi równość nazywane są trójkami pitagorejskimi. A trójkąty, których długości boków są wyrażone przez trójki pitagorejskie (6, 8, 10) to trójkąty pitagorejskie.

Konsolidacja.

Ponieważ , to trójkąt o bokach 12, 13, 5 nie jest trójkątem prostokątnym.

Ponieważ , to trójkąt o bokach 1, 5, 6 jest prostokątny.

№ 430 (a, b, c)

( - nie jest)