Ilmiy darajasi o'zlari sonining ko'payishini yozishni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Masalan, yozish o'rniga yozishingiz mumkin 4 5 (\\ displey 4 ^ (5)) (Ushbu o'tishning izohi ushbu moddaning birinchi qismida keltirilgan). Darajalaringiz uzoq yoki murakkab iboralar yoki tenglamalarni yozishni soddalashtirishga imkon beradi; Shuningdek, darajalar osongina katlanmış va chiqarib tashlanadi, bu ifoda yoki tenglamani soddalashtirishga olib keladi (masalan, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ displeystle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Eslatma: Agar siz indikatsion tenglamani hal qilishingiz kerak bo'lsa (ushbu tenglamada noma'lum darajaning ko'rsatkichida), o'qing.

Qadamlar

Oddiy vazifalarni darajadagi echim

Asoratning asosini indikatorga teng marta ko'paytirish. Agar sizga darajani qo'lda hal qilish kerak bo'lsa, ilmiy asosga ega bo'lgan ko'paytirish operatsiyasi shaklida darajani qayta yozing. Masalan, daraja 3 4 (\\ displey 3 ^ (4)). Bunday holda, 3 darajasining asosi 4 marta ko'paytirilishi kerak: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displey 3 * 3 * 3 * 3). Boshqa misollar:

Boshlash uchun dastlabki ikki raqamni ko'paytiring. Masalan, 4 5 (\\ displey 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displey soat 4 * 4 * 4 * 4). Xavotir olmang - hisoblash jarayoni unchalik murakkab emas, chunki u birinchi qarashda ko'rinadi. Birinchidan, birinchi ikkita to'rtlikni ko'paytiring, so'ngra ularni natija bilan almashtiring. Mana bunday:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displeystle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displey 4 * 4 \u003d 16)

1. Natijani ko'paytiring (bizning misolda) keyingi raqamga. Har bir keyingi natija mutanosib ravishda oshadi. Bizning misolda, ko'prog'i 16 ga ko'paytiring:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * (\\ displeySty 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ displeystle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displey soat 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ displeystle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displey soat 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ displey 256 * 4 \u003d 1024)
   • Yakuniy javobni olmaguningizcha birinchi raqamni keyingi raqamga ko'paytirish natijasini davom ettiring. Buning uchun birinchi ikkita raqamni o'zgartiring, so'ngra natijaning keyingi raqami ketma-ketlikda ko'payadi. Ushbu usul har qanday daraja uchun amal qiladi. Bizning misolda quyidagilarni olishingiz kerak: 4, 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * \u003d 1024 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 * 4) .

2. Quyidagi vazifalarni hal qiling. Kalkulyator yordamida javobni tekshiring.

   • 8 2 (\\ displey 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displey 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displey 10 ^ (7))

3. Kalkulyatorda "EXED" yoki "OXI" yoki "deb ko'rsatilgan kalitni toping x n (\\ displeyst x ^ (n))"Yoki" ^ ". Ushbu kalit bilan siz raqamni darajangiz oshirasiz. Katta indikatorni qo'lda imkonsiz holda hisoblang (masalan, darajasi 9 15 (\\ displey 9 ^ (15))), Ammo kalkulyator ushbu vazifani osongina engish mumkin. Windows 7-da standart kalkulyator muhandislik rejimiga o'tishi mumkin; Buning uchun "Ko'rish" -\u003e "Muhina mashina" ni bosing. Oddiy rejimga o'tish uchun "Ko'rish" -\u003e normal "ni bosing.

   • Qidiruv mexaniziga javobni (Google yoki Yandex) tekshiring. Kompyuter klaviaturasida "^" tugmachasini bosib, to'g'ri javobni darhol ko'rsatadigan qidiruv tizimining ifodasini kiriting (va shu kabi iboralarni taklif qilishi mumkin).

   Qo'shimcha, ajratish, darajalarni ko'paytirish

   1. Siz faqat bir xil bazalarga ega bo'lsa, darajani qo'shishingiz va ajratishingiz mumkin. Agar siz bir xil asoslar va ko'rsatkichlar bilan daraja qo'shishingiz kerak bo'lsa, siz ko'paytirish qo'shilgan qo'shimcha mahsulotni almashtirishingiz mumkin. Masalan, ibora beriladi 4 5 + 4 5 (\\ displey 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Daraja ekanligini unutmang 4 5 (\\ displey 4 ^ (5)) sifatida tasvirlangan 1 * 4 5 (\\ displey 1 * 4 ^ (5)); Shunday qilib, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (qaerda 1 +1 \u003d 2). Ya'ni, shunga o'xshash darajadagi sonni ko'rib chiqing, so'ngra bunday darajaga ko'paytiring va bu raqam. Bizning misolda beshinchi darajani 4-ni tashkil qiling, shunda hosil bo'lgan natijasi 2-ga ko'payadi. Esda tutingki, qo'shimcha natijani ko'paytirish operatsiyasi bilan almashtirish mumkin, masalan, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displey 3 + 3 \u003d 2 * 3). Boshqa misollar:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displeystle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ displeystle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displeySty 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displeystle 4x ^ (2) ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Xuddi shu asosda darajadagi darajaga ko'payganda, ularning ko'rsatkichlari katlanmoqda (bazasi o'zgarmaydi). Masalan, ibora beriladi x 2 * x 5 (\\ displeystle x ^ (2) * x ^ (5)). Bunday holda, siz ko'rsatkichlarni o'zgarishsiz qoldirib, ko'rsatkichlarni katlab qo'yishingiz kerak. Shunday qilib, x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displeystle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Bu qoidaning vizual izohi:

      Bir daraja qurishda ko'rsatkichlar ko'payadi. Masalan, bir darajaga qarab. Ilmiy ko'rsatkichlari o'zgaruvchan bo'lganligi sababli, keyin (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (x \\ displeystle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Ushbu qoidaning ma'nosi shundaki, siz darajani ko'paytirasiz (x 2) (\\ displeystle (x ^ (2))) Besh marta o'zi uchun o'zini o'zi. Mana bunday:

      • (x 2) 5 (\\ displeystle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * (x ^ (2) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Baza bir xil bo'lganligi sababli, darajaning ko'rsatkichlari shunchaki qo'shing: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 * (X 10) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * X ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Salbiy ko'rsatkichi bilan ilmiy daraja kasrga aylantirilishi kerak (tetersetiv darajaga). Agar sizga qaytish darajasi nima ekanligini bilmasangiz, qiyin emas. Agar sizga salbiy ko'rsatkichiga ega bo'lsa, masalan, 3 - 2 (\\ displey 3 ^ (- 2)), Ushbu haqni shim-shodlom deb yozing (son raqami, 1-joy, joy, 1) va indikatorni ijobiy qiling. Bizning misolda: 1 3 2 (\\ displeystle (\\ frac (1) (3 ^ (2))))). Boshqa misollar:

      Xuddi shu asosda darajani ajratishda ularning ko'rsatkichlari ushlab qolinadi (asos o'zgarmaydi). Bo'limning ishlashi ko'payish operatsiyasining aksi hisoblanadi. Masalan, ibora beriladi 4 4 4 2 (\\ displeystle (\\ FRACT (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))))). Hisobotchining yo'nalishi ko'rsatkichidan denominatorning (bazasini o'zgartirmang) denominatorining darajasini o'chiring. Shunday qilib, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ FRACTSSTLAT (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Ushbu shaklda denominatorga qaratish mumkin: 1 4 2 (\\ displeystle (\\ frac (1) (4 ^ (2))))) = 4 - 2 (\\ displey 4 ^ (- 2)). Shuni yodda tutingki, fraktsiya bu ko'rsatkichning salbiy ko'rsatkichi bilan raqam (daraja, ifoda).

   4. Quyida sizga vazifalarni darajadagi vazifalarni hal qilishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi iboralar mavjud. Ushbu iboralar ushbu bo'limda keltirilgan materialni qamrab oladi. Javobni ko'rish uchun tenglik belgisidan keyin bo'sh joyni ta'kidlang.

   Formalarni kasr ko'rsatkichlari bilan hal qilish

   Fraktsion ko'rsatkich bo'yicha daraja (masalan,) ildiz qazib olishning ishlashiga aylantiriladi. Bizning misolda: x 1 2 (\\ displeystle x ^ (\\ frac (1) (2))) = X (\\ displeystle (\\ sqrt (x))). Fraktsion indikatorning mazhabida nima bo'lishining ahamiyati yo'q. Masalan, x 1 4 (\\ displeyst x ^ (\\ frac (1) (4))) - "X", ya'ni to'rtinchi darajali ildizi x 4 (\\ displeystle (\\ SQRT [(4)] (x)))) .

   1. Agar daraja ko'rsatkichlari bo'lsa tartibsiz kassaAgar bunday daraja muammoni hal qilish uchun ikki daraja uchun ajratilishi mumkin. Bunda murakkab narsa yo'q - shunchaki darajama-chuyda ko'payish qoidasini eslang. Masalan, bir darajaga qarab. Ildizga shunday darajada, uning darajasi fraktal ko'rsatkichning chiquvchisi bilan teng bo'ladi va keyin ushbu ildizni kasr ko'rsatgichning hisoblagichiga teng darajada oling. Buni qilish uchun buni eslang 5 3 (\\ displeystle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 ((\\ displeystle ((1) (3))) * 5). Bizning misolda:

      • x 5 3 (\\ displeyst x ^ (\\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displeystle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d ((3) (3)) (x)))))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displeystle x ^ (5) (3)) \u003d x ^ (5) * X ^ (3))) = (x 3) 5 (\\ displeystle ((\\ SQRT [(3)])) ^ (5))
   2. Ba'zi kalkulyatorlarda darajani hisoblash uchun tugma mavjud (avval bazani kiritishingiz kerak, so'ng esa tugmani bosing va shundan so'ng indikatorni kiriting). Bu ^ yoki x ^ y deb topiladi.
   3. Birinchi darajali har qanday raqam o'zini bir xil darajada o'ziga teng, masalan, 4 1 \u003d 4. (\\ displey 4 ^ (1) \u003d 4.) Bundan tashqari, har qanday raqam ko'paytiriladi yoki birinchisi, masalan, 5 * 1 \u003d 5 (\\ displey 5 * 1 \u003d 5) va 5/1 \u003d 5 (\\ displey 0/1 \u003d 5).
   4. 0 0 mavjud emasligini biling (bunday darajada hal qilinmaydi). Agar siz kalkulyator yoki kompyuterda bunday darajada hal qilishga urinayotganingizda, siz xato olasiz. Ammo nol darajadagi har qanday raqam 1, masalan, 4 0 \u003d 1. (\\ displey 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Eng oliy matematikada xayoliy sonlar bilan ishlaydigan eng oliy matematikada: E a a i X \u003d c o s a x + i s i n a x (a) ix \u003d COSAS + Isinax)qayerda i \u003d (- 1) (\\ displeystle i \u003d (\\ sqrt ((()) - 1)); E - doimiy, taxminan 2.7 ga teng; A - o'zboshimchalik doimiy doimiy. Ushbu tenglikning isboti har qanday darslikda oliy matematikadagi darsliklar mavjud.

   Ogohlantirish

   • Ilmiy ko'rsatkichning o'sishi bilan uning qiymati oshadi. Shuning uchun, agar javob sizga noto'g'ri ko'rinsa, u sodiq bo'lishi mumkin. Siz uni har qanday jadvalni shakllantirish orqali tekshirishingiz mumkin indikativ funktsiyaMasalan, 2 x.

Bir darajadagi iborani o'zgartirishning mavzusini ko'rib chiqing, ammo avval har qanday iboralar, shu jumladan hokimiyat bilan amalga oshiriladigan bir qator o'zgarishlardan to'xtamaylik. Biz qavslarni oshkor qilishni o'rganamiz, shunga o'xshash shartlarni, darajani belgilash, darajadagi xususiyatlaridan foydalanishni o'rganamiz.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Kuchli ifodalar nima?

Ichida maktab kursi "Kuchli iboralar" iborasining kamroq foydasi, ammo bu muddat imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun doimiy ravishda yig'ilishlarda bo'lib o'tadi. Aksariyat hollarda, iboralar ularning yozuvlarida ko'rsatilgan iboralar bilan ko'rsatilgan. Bu bizning ta'rifimizda aks etamiz.

1-ta'rif.

Quvvat ifodasi - Bu darajani o'z ichiga olgan ibora.

Keling, tabiiy indikator bilan va real indikator bilan tugaydigan bir nechta namunalarni keltiraylik.

Eng oddiy kuch ifodalari Tabiiy indikator bilan raqam darajasi deb hisoblanishi mumkin: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 · 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Nol ko'rsatkichi bilan, shuningdek, ko'rsatkichi: 5 0, (A + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Va eng salbiy darajalarga ega bo'lgan daraja: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga ega bo'lgan daraja bilan ishlash osonroq: 264 1 4 - 3 1, 2 3, 5 2 - 1, 1 1 4 - 2 - 2 · A - 1 6 · B 1 2, x p lagan 1 - p, 2 3 3 + 5.

Indikator sifatida, o'zgaruvchan 3 x - 54 - 7 · 3 X - 58 yoki logarifm bo'lishi mumkin x 2 · l g g - 5 · x l g x.

Qanday kuch-ilohlar ekanligi haqida savol bilan biz buni angladik. Endi Biz ularning tavbasini qabul qilamiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Avvalo, biz kuch-iboralar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan iboralarning asosiy identifikatorlarining asosiy identifikatsiyasini o'zgartiramiz.

1-misol.

Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 33 (4 2 - 12).

Qaror

Biz har qanday o'zgarishlar harakatlarni bajarish tartibiga muvofiq amalga oshiriladi. Bunday holda biz qavs ichida harakatlarni amalga oshirishdan boshlaymiz: raqamli qiymat darajasini almashtiring va ikki raqamning farqini hisoblang. Bor 2 3 3 · (4 2 - 12) \u003d 2 3 · dan (16 - 12) \u003d 2 3 · 4.

Biz hali ham darajani almashtirishimiz kerak 2 3 Uning ma'nosi 8 va ishni hisoblang 8 · 4 32. Mana bizning javobimiz.

Javob: 2 3 3 (4 2 - 12) \u003d 32.

2-misol.

Rangni daraja bilan soddalashtirish 3 · 4 - 1 + 2 · B 4 B - 7.

Qaror

Vazifani bajarishda bizga berilgan ibora biz boshimizga olib kelishi mumkin: 3 · 4 - 1 + 2 · A - 7 \u003d 5 · 4 - 1 - 1.

Javob: 3 · 4 - 1 + 2 · 2 - 7 \u003d 5 - 5-B - 7 - 1.

3-misol.

1 darajali iborani tayyorlang - B 3 3 p - 1 2.

Qaror

Daraja sifatida 9 raqamini tasavvur qiling 3 2 va qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llang:

9 - b \u003cpe p - 1 2 \u003d 3 2 - 1 2 \u003d \u003d 3 - 1 - 1 3 - 1 b 3 pe yirt

Javob: 9 - B 3 pe 1 2 \u003d 3 - b 3 peçu - 1 3 + b 3 peçu.

Va endi biz falokatka murojaat qilamiz bir xil o'zgarishlarQaysi biri aniq elektrotmalarga nisbatan foydalanish mumkin.

Darajasi asoslari va ko'rsatkichi bilan ishlash

Baza yoki indikatorning darajasi, shuningdek raqamlar, o'zgaruvchilar va ba'zi iboralar bo'lishi mumkin. Masalan, (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7 va . Bunday yozuvlar bilan ishlash qiyin. Indikatorda bir xil ifodaga teng darajadagi yoki ifoda shaklida ifodani almashtirish ancha oson.

Ilmiy darajasi va indikator o'zgarishlari bir-biridan alohida ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Eng muhimi shundaki, o'zgarishi natijasida ifoda boshlang'ichga bir xil.

O'zgarishlarning maqsadi dastlabki ifodani soddalashtirish yoki muammoni hal qilishdir. Masalan, yuqorida keltirgan misolda (2 + 0, 3 · 7) 5 - 3, 7, siz ilmiy darajaga o'tishingiz mumkin 4 , 1 1 , 3 . Ochiq qavslar, biz shunga o'xshash atamalarni pastki qismida olib boramiz (A · (A + 1) - a 2) 2 ta · (x + 1) va soddalashtirilgan turdagi kuchli ifoda eting a 2 · (x + 1).

Darajalarning xususiyatlaridan foydalaning

Tenglik shaklida qayd etilgan darajalarning xususiyatlari darajalar bilan ifoda etish uchun asosiy vositalardan biridir. Bu erda ularning asosiylari A. va B. - Bu ijobiy raqamlar va R. va S. - O'zboshimchalik bilan haqiqiy raqamlar:

2-ta'rif.

• a r las s \u003d a r + s;
• a r: s \u003d a r;
• (A b) r \u003d a r · r;
• (A: b) r \u003d a r: b r;
• (A r) s \u003d a.

Biz tabiiy, butun son bilan shug'ullanayotgan holatlarda, darajadagi ijobiy ko'rsatkichlar, A va B raqamidagi cheklovlar unchalik jiddiy emas. Shunday qilib, masalan, tenglikni ko'rib chiqsak m · n \u003d a m + nqayerda M. va N. - tabiiy sonlar, bu a ning har qanday qadriyatlari uchun ham, ham salbiy, shuningdek a \u003d 0.

Noma'lum qiymatlar ijobiy bo'lsa yoki o'zgaruvchilar bo'lsa, ruxsat etilgan qiymatlar maydoni faqat ijobiy qiymatlar olib borilishi mumkin bo'lgan darajadagi xususiyatlarni cheklovlarsiz qo'llash mumkin. Aslida, ichkarida maktab dasturi Matematikada talabaning vazifasi munosib mulkni va uning to'g'ri qo'llanilishini tanlashdir.

Universitetlarga kirish uchun tayyorgarlik ko'rayotganda, vazifalar, mulklardan etishmas mulkni etishmay, eritmaning buzilishiga olib keladi va eritma bilan boshqa qiyinchiliklar. Ushbu bo'limda biz faqat ikkita bunday holatlarni tahlil qilamiz. Muammo bo'yicha ko'proq ma'lumotni "darajalarning xususiyatlaridan foydalangan holda konvertatsiya qilish" mavzusida topilishi mumkin.

4 misol.

Ifodasini tasavvur qiling A 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 daraja shaklida A..

Qaror

Avvaliga, biz jismoniy mashqlar mulkidan foydalanamiz va biz uning ustidagi ikkinchi omilni o'zgartiramiz. (A 2) - 3 . Keyin bir xil asosi bilan darajalar sonining ko'payishi va bo'linishining xususiyatlaridan foydalaning:

a 2, 5 va a - 5, 5 \u003d a 2, 5 - 6: a - 5 \u003d a - 5 \u003d a - 5 \u003d a - 5 - 3, 5 - (- 5, a 5) \u003d a 2.

Javob: A 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 \u003d a 2.

Elektr ifodalarining darajasiga qarab o'zgarishi chapdan o'ngga va qarama-qarshi yo'nalishda amalga oshirilishi mumkin.

5-misol.

Quvvat ifodasi qiymatini toping 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Qaror

Agar biz tenglikni qo'llasak (A ↓ b) r \u003d a r · b r, o'ngga, keyin biz 3 1 3 · 21 va 21 3 3 · 2 2. Ko'rsatkichlarni bir xil asoslarga ko'paytirishda: 21 1 3 · 21 2 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1.

Konversiyani o'tkazishning yana bir usuli bor:

3 1 3 1 3 3 · 21 \u003d 3 1 3 · 7 1 3 · 1. 1 3 1 3 · 7 1 3 3 · 7 2 3 3 · 3 1 3 1 3 1 3 1 3 · 7 1 3 · 7 2 3 \u003d 3 1 3 3 3 · 7 1 3 3 \u003d 3 1 · 1 \u003d 21

Javob: 3 1 3 3 1 3 · 21 \u003d 3 1 · 7 1 \u003d 21

6-misol.

Quvvat ifodasi berilgan A 1, 5 - 0, 5 - 6Yangi o'zgaruvchini kiriting T \u003d a 0, 5.

Qaror

Bir daraja tasavvur qiling A 1, 5 kabi a 0, 5 · 3 . Darajadagi mulkni darajaga sarflang (A r) s \u003d a O'ng tomonda va olishda (0, 5) 3: 1, 5 - 0 - 5 - 6 \u003d (0, 5) 3 - 0, 5 - 6. Olingan ifodada siz osongina yangi o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin. T \u003d a 0, 5: Qabul qiling T 3 - T - 6.

Javob: T 3 - T - 6.

Darajadagi fraktsiyalarning o'zgarishi

Odatda biz fraktsiyalar bilan ikkita variantlarning ikkita variantlari bilan shug'ullanamiz: ibora bir daraja bilan fraktsiya yoki bunday kasrni o'z ichiga oladi. Ushbu iboralar fraktsiyalarning barcha asosiy o'zgarishlarini cheklovlarsiz qo'llaydi. Ular qisqartirilishi mumkin, yangi denominatorga olib keladi, raqamli va denominator bilan alohida ishlang. Biz buni misollar bilan tasvirlaymiz.

7 misol.

5 - - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 quvvat ifodasini 3 · 5 2 3 · 5 1 3 soddalashtiring.

Qaror

Biz kasr bilan shug'ullanmoqdamiz, shuning uchun biz hisoblagichdagi o'zgarishlarni va denominatorda amalga oshiramiz:

3 · 5 2 3 1 - 5 - 2 3 1 + 2 - 3 - 3 - 3 2 2 - 5 1 3 - 5 1 3 - 5 - 2 3 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - x 2 \u003d \u003d 3 · 5 2 3 + 1 - 2 2 3 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 1 - 3 1 - 2 - 2 - X 2

Fortusni favvoz favvordan oldin favqulodda holatni aniqlash uchun: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Javob: 3 · 5 2 3 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 12 2 + x 2

Ilmiy tarkibni o'z ichiga olgan fraksiyalar yangi fraksiyalar bilan aniq bir xil denominatorga beriladi. Buning uchun siz qo'shimcha multiplikatorni topishingiz va kasrning sonini ko'paytirishingiz va denroinatorni ko'paytirishingiz kerak. Bunday tarzda o'zgaruvchilarning o'zgaruvchilarining har qanday qiymatlari ostida nolga taalluqli emas, chunki u boshlang'ich ifoda uchun har qanday qiymatga nisbatan qo'llanilmaydi.

8 misol.

Fraksiyalarni yangi denominatorga bering: a) a) a denominatorga A., b) 1 x 2 3 - 2 x x 1 3-y 1 6 + 4 ° 1 - Denominator X + 8-y 1 2.

Qaror

a) Biz yangi denominatorga olib kelishimizga imkon beradigan multipliyerni tanlaymiz. a 0, 7 · 0, 3 \u003d 0, 7 + 0, 3 \u003d a,shuning uchun, qo'shimcha multiplikator sifatida biz olamiz A 0, 3. O'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari sohasi ko'plab ijobiy raqamlarni o'z ichiga oladi. Ushbu sohada A 0, 3 Nolga kirmaydi.

Fraktsiyaning raqami va mazhabini ko'paytirishni amalga oshiring A 0, 3:

a + 1 a 0, 7 \u003d A + 1 · A 0, 3 0, 7 · 0, 3 \u003d A + 1 · 0, 3 a

b) denominatorga e'tibor bering:

x 2 3 - 2-x 1 3 · y 1 6 + 4 · 1 2 - x 1 3 2 - X 1 + 2 · 2 2 - 1 6 2

X 1 3 + 2 Y 1 6-oynani ko'paytiring, biz x 1 3 va 2 kubometr 1 6, i.e. X + 8 yoshda 1 2. Bu bizning yangi kasrni olib kelishimiz kerak bo'lgan yangi denominatorimiz.

Shunday qilib, biz qo'shimcha multiplier x 1 3 + 2 Y 1 6 ni topdik. O'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari sohasida X. va y. X 1 3 + 2 lamas 1 6 nolga aylanmaydi, shuning uchun biz kasrning hisobotchini va mazhabini ko'paytiramiz:
1 x 2 3 - 2-x 1 3 · y 1 + 4 № 1 + 25 3 + 2 № 1 1 6 x 2 3 - 2 · 1 3 - 2 · 1 3 № 1 1 6 + 4 · y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 3 3 + 2 lamas 1 6 3 \u003d x 1 3 № 1 1 6 x + 8 · y 1 2

Javob: a) a + 1 a 0, 7 \u003d a + 1 a, b) 1 x 2 3 - 2 3 № 1 1 3 \u003d x 1 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 6 x + 8 · y 1 2.

9-misol.

Fradingni kamaytiring: a) 30 · X 3, 5 + 1 + 1 + 2 - 5 3 - 5 3 - 2 45 · 2 45 · 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - B 1 4 - B 1 - B 1 2.

Qaror

a) Biz eng katta umumiy denominator (tugun) dan raqamni kamaytirish mumkin bo'lgan eng katta denominator (tugun) ishlatamiz. 30 va 45 raqamlari uchun bu 15. Biz ham qisqartiramiz x 0, 5 + 1 va X + 2 x x 1 1 - 5 3.

Biz olamiz:

30 · X (X 0, 5 + 1) · X + 2 - 5 3 - 5 3 - 5 3 - 2 · 1 2 - 5 3 - 5 3 - 2 \u003d 2 3 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Bu erda bir xil muloziklar mavjudligi aniq emas. Hisoblovor va denominatorda bir xil takroriylarni olish uchun siz bir nechta suhbatlar o'tkazishingiz kerak. Buning uchun, kvadrat farq formulasidan foydalanib, denominatorni qo'ying:

a 1 4 - B 1 - B 1 - B 1 - B 1 - B 1 - 1 1 - B 1 1 - B 1 - B 1 - 1 1 - B 1 4 A 1 4 1 - b 1 4 \u003d 1 a 1 4 + b 1 4

Javob:a) 30 · X 0, 5 + 1) · X + 2 № 1 - 5 3 - 5 3 - 5 3 - 2 45 - 2 - 5 3 - 2 \u003d 2 · X (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - B 1 - B 1 2 - 1 1 1 + B 1 4.

Fraktsiyalar bilan asosiy harakatlar yangi denominator va kremniylarni kesish kiradi. Ikkala harakat ham bir qator qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Fraktsiyalarni birinchi marta qo'shishda va ajratishda kasrlar beriladi umumiy maxraj, shundan so'ng, harakatlar (qo'shimcha yoki ajratish) hisoblagich bilan amalga oshiriladi. Denominator bir xil bo'lib qolmoqda. Bizning harakatlarimizning natijasi yangi fraktsiya, uning hisoblagichidir, uning hisoblagichidir va ssumerlar va denominator - bu denominatorlarning mahsulotidir.

Masalan 10.

Harakatlarni amalga oshirish X 1 2 + 1 x 1 - 1 - x 1 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2.

Qaror

Qavslar ichida joylashgan fraktsiyalarni ajratishdan boshlaylik. Biz ularni umumiy denomoratorga beramiz:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Subscribe sonlar:

x 1 2 + 1 x 1 - 1 - x 1 - 1 x 1 2 \u003d x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 - 1 2 x 1 - 1 2 x 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 x 1 - 1 + 1 x 1 2 \u003d x 1 2 2 + 2 2 + 1 - 2 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 · x 1 2 x 1 - 1 · X 1 2 + 1 x 1 2

Endi biz kasrlarni ko'paytiramiz:

4 · X 1 2 x 1 2 - 1 x x 1 2 2 \u003d 4 · 1 2 x 1 - 1 · 1 2 + 1 · 1 2

Biz darajani kamaytiramiz x 1 2., biz 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 olamiz.

Bundan tashqari, Squominatordagi quvvat ifodasini soddalashtirish mumkin: kvadrat farq formulasi: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 2 \u003d 4 X - 1.

Javob: x 1 2 + 1 x 1 - 1 - x 1 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 \u003d 4 X - 1

11 misol.

X 3 4 4 · x 2, 7 + 1 x - 5 8 · 7 + 1 3 ni soddalashtiring.
Qaror

Biz kasrni kamaytirishimiz mumkin (x 2, 7 + 1) 2. Biz fraktsiya x 3 4 x - 5 8 · 5 8, 7 + 1.

X 3 4 X - 5 8 X 2, 7 + 1 darajasini o'zgartirishni davom ettiramiz. Endi siz bir xil bazalarni bir xil bazalardan foydalanishingiz mumkin: x 3 4 x - 5 8, 7 + 1 + 1 x 3, 7 + 1 4 x 1 8 8 1 x 2, 7 + 1.

So'nggi ishdan fraktsiyagacha x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Javob: x 3 4 x x 5, 7 + 1 2 x - 5 8 8, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8, 7 + 1.

Ko'p hollarda salbiy ko'rsatkichlar bilan ko'paytirgichlar hisoblovchi belgisini o'zgartirish, hisoblash belgisini o'zgartirib, hisoblovchi va orqaga qaytish uchun salbiy ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish qulayroqdir. Ushbu harakat sizga keyingi echimni soddalashtirishga imkon beradi. Keling, misol keltiraylik: kuch ifodasi (x + 1) - 0, 2 3 · X - 1 ni x 3 · (x + 1) 0, 2 ga almashtirish mumkin.

Ildiz va darajadagi iboralardan aylanish

Vazifalarda nafaqat fraksiya ko'rsatkichlari, balki ildizlari bo'lgan vazifalarda muhim iboralar mavjud. Bunday ifodalar faqat ildizlarga yoki faqat darajalarga olib kelish maqsadga muvofiqdir. Darajlarga o'tish afzal, chunki ular bilan ishlash osonroq. Bunday o'tish ayniqsa, asl ifoda o'zgaruvchilari ildizlarni modulga aylantirish yoki bir nechta bo'shliqlarga aylantirish kerak bo'lmagan darajada ildizlarni darajaga almashtirishga imkon beradi.

12 misol.

Xufak x 1 9 · x · 3 6 iborasini bir daraja sifatida tayyorlang.

Qaror

Ruxsat etilgan o'zgaruvchi qiymatlar maydoni X. Ikki tengsizlik bilan belgilanadi x ≥ 0. va x · x 3 ≥ 0, bu juda ko'p [ 0 , + ∞) .

Ushbu to'plamda biz ildizlardan darajaga o'tish huquqiga egamiz:

x 1 9 9 x x x 3 6 \u003d x 1 9 x x x 1 6

Natijalar xususiyatlaridan foydalanish natijasida hosil bo'lgan kuch ifodasini soddalashtiradi.

x 1 9 · X 1 \u003d x 1 9 x x 1 6 · 1 6 · 1 6 · 1 3 · 1 9 · 1 3 · 1 X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 + 1 18 \u003d x 1 3

Javob: x 1 9 · X x 3 6 \u003d x 1 3.

Ko'rsatkichni indikatordagi o'zgaruvchilar bilan o'zgartirish

Konversiya ma'lumotlari shunchaki darajadagi darajadagi darajalardan foydalana oladigan bo'lsa. Masalan, 5 2 2 x x X + 1 - 3 X · 7 X - 14 · 7 2 x x - 1 \u003d 0.

Biz bir necha o'zgaruvchan va raqamning yig'indisi mavjud bo'lgan ko'rsatkichni almashtirishimiz mumkin. Chap tomonda bu iboraning chap qismining birinchi va oxirgi muddatlari bilan amalga oshirilishi mumkin:

5 2 2 2 1 - 3 X · 1 X - 14 · 14 · 14 · 14 · 14 · 1 2, 5 X · XE - 2 X · X 2 X - 2 X · X \u003d 0.

Endi ham tenglikning ikkala qismini baham ko'ring 7 2 · X. Otz o'zgaruvchisidagi bu ibora faqat ijobiy qiymatlarni oladi:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x \u003d 0 7 2 · x, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · X - 2 · 7 2 · X 7 · XE \u003d 0, 5 · 5 X7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 XE · X 7 0.

Biz fraktsiyalarni darajalar bilan kamaytiramiz, biz olamiz: 5 · 5 2 · X 7 2 x X 7 X - 2 \u003d 0.

Va nihoyat, bir xil ko'rsatkichlar bilan darajalarning nisbati 5 · 5 7 2 · X 2 tenglamaga olib boradi, bu 5 · 5 7 x 2 ga teng - 3 · 5 7 X - 2 \u003d 0.

Biz yangi ko'rsatkichning echimiga 5 - 3 va 2 \u003d 0 ni kamaytiradigan yangi o'zgaruvchan T \u003d 5 7 x ni tanishtiramiz.

Dars va logaritmlar bilan ifodalarni o'zgartirish

Doimiy yoki logarifm yozuvlarini o'z ichiga olgan iboralar ham vazifalarda ham uchraydi. Bunday iboralarning misoli: 1 4 1 - 5 27 9 + 5 (1 - log 3 27 + 5) · LOG 5 3. Bunday ifodalarning o'zgarishi yuqoridagi "Logarifmik iborani o'zgartirish" mavzusida batafsil demontaj qilinganligimizni demontaj qilganimizda, siz batafsil demontaj qilingan.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Formulas darajalari Qisqartirish jarayonida qo'llaniladi va tenglamalar va tengsizliklarni hal qilishda murakkab iboralar soddalashtirilgan.

Raqam c. bu n.Oz daraja a. qachon:

Darajadagi operatsiyalar.

1. Ilmiy darajani bir xil asosda ko'paytiring, ularning ko'rsatkichlari katlanadi:

m.· A n \u003d a m + n.

2. Bir darajaga bo'lingan holda, ularning ko'rsatkichlari ushlab qolinadi:

3. 2 yoki undan ortiq ko'paytirgichlarning ish darajasi ushbu omillarning mahsulotiga teng:

(ABC ...) n \u003d a ni n · n · n ...

4. Fraktsiya darajasi tenglik va bo'linadigan darajalar darajasiga teng:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Ilmiy darajaga qadar, darajaning ko'rsatkichlari muddati uzaytirildi:

(A m) n \u003d a n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

masalan. (2 · 3/15) ² \u003d 22 · 5² · 5 · · 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Ildiz operatsiyalari.

1. Bir necha omillarning ildizi ushbu omillarning ildizlari uchun tengdir:

2. munosabatlardan ildiz aloqada teng Dividlaning, ildizlar:

3. Ildiz barpo etilgach, u shu darajada shu darajada qurilgan.

4. Agar siz ildiz darajasini oshirsangiz n. bir vaqtning o'zida qurilish n.Ozuqa raqami darajasi, ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. Agar siz ildiz darajasini pasaytirsangiz n. bir vaqtning o'zida ildizni chiqarib oling n.Qattiq bo'lmagan raqamdan darajasi, ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkich bilan ilmiy daraja.Muayyan raqam darajasi shubhasiz indikatori bir xil raqam darajasida ajratilgan indikator bilan ijobiy bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng bo'lgan indikator bilan ajratiladi:

Formula m.: a n \u003d a m - n nafaqat bilan foydalanish mumkin m.> n. Biroq shu bilan birga m.< n..

masalan. a. 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

Formulaga m.: a n \u003d a m - n kabi adolatli bo'ldi m \u003d n.Nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkich bilan daraja.Nolga teng bo'lmagan har qanday raqam darajasi, nol ko'rsatkichlari birlikka teng.

masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Frakal ko'rsatkich darajasi.Haqiqiy raqamni yaratish uchun ammo darajasida m / n., ildizni olish kerak n.daraja m.Ushbu raqam darajasi ammo.

YouTube-dagi kanalda bizning saytimiz saytida barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish.

Birinchidan, darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning ishi a. O'z-o'zi n TVT, biz a ... a \u003d a n deb yoza olamiz

1. a 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. a n b n \u003d (ab) n

7. N / A m \u003d a n - m

Kuch yoki ko'rsatkichli tenglamalar - Bular o'zgaruvchilar darajadagi tenglamalar (yoki ko'rsatkichlar) va asos - bu raqam.

Ko'rsatkichli tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda, 6 raqami har doim pastda va o'zgaruvchan asosdir x. daraja yoki indikator.

Keling, indikatsion tenglamalar haqida ko'proq misollar keltiraylik.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Endi namoyish tenglamalari qanday hal qilinayotganini tahlil qilamiz?

Oddiy tenglamani oling:

2 x \u003d 2 3

Ushbu misol hatto ongda ham hal qilinishi mumkin. Buni x \u003d 3 ni ko'rish mumkin. Axir, chap va o'ng qism x o'rniga 3 raqamiga teng bo'lishi kerak.
Endi ushbu qarorni berish kerakligini ko'rib chiqaylik:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

Bunday tenglamani echish uchun biz olib tashladik bir xil maydonchalar (I.E. ikkitasi) va qolgan narsalarni yozib olish, bu daraja. Kerakli javobni qabul qildi.

Endi bizning qarorimizni umumlashtiring.

Ko'rsatkichni aniqlash uchun algoritm:
1. tekshirish kerak xuddi shu O'ng va chap tenglamadagi lee fondlari. Agar asoslar ushbu misolni hal qilish variantlarini qidirish bilan bir xil bo'lmasa.
2. O'rtalar bir xil bo'lgandan keyin, teng darajalarni va natijada yangi tenglamani hal qiling.

Endi bir nechta misollarni qayta yozing:

Keling, oddiydan boshlaylik.

Chap va o'ng qismdagi bazalar 2 raqamiga teng, bu ularning darajasini rad etishimiz va tenglashtirishni anglatadi.

x + 2 \u003d 4 bu eng oddiy tenglamani chiqardi.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Javob: x \u003d 2

Keyingi misolda, bu asoslar boshqacha ekanligini ko'rish mumkin. Bu 3 va 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Avvaliga, to'qqiz tomonni o'ng tomonga o'tkazamiz, biz olamiz:

Endi siz bir xil poydevor qilishingiz kerak. Biz 9 \u003d 3 2 ni bilamiz. Biz daraja formulasini (A N) m \u003d nm dan foydalanamiz.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Biz 9 X + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Endi chapda va o'ng tomon Asoslar bir xil va tokikaga teng, keyin biz ularni tashlab, unchalik tenglashtiramiz.

3x \u003d 2x + 16 eng oddiy tenglamani qabul qildi
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Javob: X \u003d 16.

Biz quyidagi misolni ko'rib chiqamiz:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Birinchidan, biz poydevorga qaraymiz, poydevorlar ikki va to'rt. Va biz bir xil bo'lishimiz kerak. Biz to'rtni formulasi bilan (a n) m \u003d nm bilan o'zgartiramiz.

4 X \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Shuningdek, bitta formuladan n a m \u003d n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Tenglama qo'shish:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Biz bir xil sabablarga ko'ra misol keltirdik. Ammo biz 10 va 24 raqamlarga aralashamiz. Ular bilan nima qilish kerak? Agar biz shuni aniq ekanligi aniq ekanligini ko'rsangiz, bizda 2 2 2 bor, bu javob - 2 2, biz qavslarni chiqara olamiz:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Bizni qavs ichida hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Barcha tenglama 6 ga:

Tasavvur qiling 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 ta asoslar bir xil, ularni tashlab, unchalik moslashadi.
2x \u003d 2 Bu eng oddiy tenglama paydo bo'ldi. Biz uni 2 da ajratamiz
x \u003d 1.
Javob: x \u003d 1.

Tenglamani hal qilish:

9 X - 12 * 3 x 27 \u003d 0

Biz o'zgartiramiz:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Bizda bir xil poydevorlar uchtaga teng. Ushbu misolda, birinchi uch daraja ikki marta (2x) ikkinchisidan kattaroqdir (shunchaki x). Bunday holda, siz hal qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Eng kichik darajadagi almashtirish:

Keyin 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Biz barcha darajadagi tenglamalarni T:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Qabul qilmoq kvadratli tenglama. Biz kamsituvchi bilan qaror qilamiz, biz olamiz:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

O'zgaruvchiga qaytish x..

T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Anavi,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Bitta iliq topildi. Ikkinchi o'rinni qidirmoqdamiz, T 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Javob: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Saytda siz yordam bo'limida foydalanishingiz mumkin.

Guruhga qo'shiling

Birinchi daraja

Daraja va xususiyatlar. To'liq qo'llanma (2019)

Nega kerak? Ular sizga qayerga kelishadi? Nega ular o'qish uchun vaqt o'tkazishingiz kerak?

Narxlar haqida ma'lumotni bilish uchun ular o'z bilimlaridan qanday foydalanish kerakligini bilishadi kundalik hayot Ushbu maqolani o'qing.

Va, albatta, darajadagi bilimlar sizni muvaffaqiyatli olib keladi olov ustiga qo'ling yoki imtihon va orzularingiz universitetiga kirish.

"Ketmoq ... (hayvonlar!)

Muhim eslatma! Agar siz Formulalarning o'rniga IRACABABRA-ni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL + F5 ni (Windows-da) yoki CMD + R (Mac-da) bosing.

Birinchi daraja

Jismoniy mashqlar qo'shimcha, ajratish, ko'paytirish yoki bo'linish kabi matematik operatsiyadir.

Endi men barcha inson tilini juda oddiy misollar bilan tushuntirib beraman. Diqqat qilish. Boshlang'ich, ammo muhim narsalarni tushuntirish.

Keling, qo'shimcha ravishda boshlaymiz.

Bu erda tushuntirish uchun hech narsa yo'q. Siz hamma narsani bilasiz: biz sakkiz kishilikmiz. Hammada ikkita shisha kola bor. Cola qancha turadi? O'ng - 16 shisha.

Endi ko'paytirish.

Kola bilan bir xil misol boshqalarni yozib olish mumkin:. Matematika - odamlar ayyor va dangasa. Ular avval ba'zi naqshlarni payqashadi va keyin ularni qanday tezroq bilishadi. Bizning holatda, ular sakkiz kishining har biri bir xil kolaviy idishlarga ega bo'lishgan va ko'paytirish deb nomlangan qabul bilan kelishganini payqadi. Qabul qiling, bu osonroq va tezroq hisoblanadi.

Shunday qilib, tezroq o'qish uchun, osonroq va xatosiz, siz shunchaki eslab qolishingiz kerak jadvalni ko'paytirish. Albatta, siz hamma narsani asta-sekin, qiyin va xatolar qilishingiz mumkin! Ammo ...

Mana ko'payish jadvali. Takrorlang.

Ikkinchisi, yanada chiroyli:

Dangasa matematiklar bilan yana qanday hiylalar paydo bo'ldi? O'ng - erektsiya.

Erektsiya

Agar siz besh marta o'z raqamingizni o'zingiz uchun ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, matematikadan beshinchi darajali bu raqamni qurishingiz kerakligini aytadi. Masalan, . Matematikani eslash, ikkitasi beshinchi darajali. Va ular bunday vazifalarni ongda hal qiladilar - tezroq, oson va xatosiz.

Buning uchun sizga faqat kerak raqamlar jadvalida qanday ta'kidlangan narsani eslang. Bunga ishoning, bu sizning hayotingizni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Aytgancha, nima uchun ikkinchi darajali deyiladi kvadrat Raqamlar, va uchinchi - kubalik? Bu nimani anglatadi? Juda yaxshi savol. Endi sizga va kvadratlar va Kuba bo'ladi.

Hayotning namunasi 1

Keling, kvadrat yoki ikkinchi raqamdan boshlaylik.

Metrda metr miqdoridagi kvadrat metr maydonini tasavvur qiling. Hovuz sizning iachda. Issiqlik va haqiqatan ham suzishni xohlaydi. Ammo ... poavol tubsiz! Hovuz plitkalarining pastki qismini saqlashingiz kerak. Sizga qancha plitkalar kerak? Buni aniqlash uchun siz hovuzning pastki qismini aniqlashingiz kerak.

Siz shunchaki barmoq bilan hisoblashingiz mumkin, barbodning pastki qismi hisoblagichi uchun metrli kublardan iborat. Agar metr uchun metrli plitka bo'lsa, siz bo'laklarga bo'lishingiz kerak. Bu oson ... lekin bunday plitka qaerdan ko'rdingiz? Plitka ko'rishni va keyin "barmoq" qiynoqlarni hisoblash uchun ko'rish ehtimoli ko'proq. Keyin ko'payishingiz kerak. Shunday qilib, basseyn tubining bir tomonida biz plitkalar (bo'laklarga) va boshqa plitkalarga joylashtiramiz. Ko'p sonli plitkalarni olasiz ().

Hovuzning pastki qismini aniqlash uchun siz o'zingiz bilan bir xil miqdorni ko'paytirganimizni payqadingizmi? Bu nimani anglatadi? Bu bir xil raqamga ko'paytiriladi, biz "yo'q qilishning qurilishi" dan foydalanishimiz mumkin. (Albatta, siz atigi ikki raqamingiz bo'lsa, ularni ko'paytiring yoki darajaga ko'taring. Ammo agar sizda juda ko'p bo'lsa, ularni hisoblash nuqtai nazaridan ularni hisoblash uchun ularni hisoblash juda oson. Imtihon uchun, bu juda muhim).
Shunday qilib, o'ttizinchi darajagacha (). Yoki biz maydonda o'ttizta bo'ladi, deyishimiz mumkin. Boshqacha aytganda, ikkinchi darajali raqam har doim kvadrat sifatida taqdim etilishi mumkin. Va aksincha, agar siz kvadratni ko'rsangiz - har doim ba'zi raqamlarning ikkinchi darajali bo'ladi. Kvadrat - bu ikkinchi darajali raqamning tasviri.

2-sonning misoli 2

Mana, bu vazifa, shaxmat taxtasida qancha kvadratlar sonini, hujayralarning bir tomonida va boshqa tomondan ham hisoblang. Ularning miqdorini hisoblash uchun siz sakkiz yoki ..., agar siz shaxmat taxtasi yon tomonda bo'lsa, unda siz sakkiz maydon uchun sakkizta qurishingiz mumkin. U hujayralar paydo bo'ladi. () Xo'sh?

Hayotdan 3-misol

Endi kub yoki uchinchi daraja. Bir xil basseyn. Ammo endi siz ushbu hovuzni to'ldirish uchun qancha suvni to'ldirish kerakligini bilishingiz kerak. Ovozni hisoblashingiz kerak. (Aytgancha, ovoz va suyuqlik o'lchanadi kubometr. To'satdan, to'g'ri?) Hovuzni chizish: metrning chuqurligi va bir metr uchun qancha kub chuqurligi sizning basseyningizga qancha kirishini hisobga olishga harakat qiling.

Barmog'ingizni to'g'ri ko'rsating va hisoblang! Bir marta, ikki, uch, to'rt ... yigirma ikki, yigirma uch ... Bu qancha sodir bo'ldi? Tushmadimi? Barmog'ingizni hisoblash qiyinmi? Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida! Matematiklar bilan misol keltiring. Ular dangasalar, shuning uchun basseynning hajmini hisoblash uchun bir-birlarini uzunligi, kengligi va balandligini ko'paytirish kerakligini payqadi. Bizning holatda, basseynning hajmi kublarga teng ... haqiqat uchun osonroq bo'ladimi?

Va endi matematikadan ko'ra, matematikadan ko'ra, agar ular soddalashtirilgan bo'lsa, tasavvur qiling. Barcha bir harakatni olib keldi. Ular uzunligi, kengligi, kengligi va balandligi tengligini sezishdi va xuddi shu raqam o'z-o'zidan o'zgaradi va bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, siz darajangizdan foydalanishingiz mumkin. Xo'sh, barmog'ingiz bilan nima deb o'yladingiz, ular bitta amalda qiladi: Kuba tengdir. Bu shunday yozilgan :.

Bu faqat qoladi yo'l darajalarini eslab qoling. Agar siz, albatta, bir xil dangasa va matematika kabi ayyor bo'lsangiz. Agar siz ko'p ishlayotganingizni va xato qilsangiz - barmog'ingizni sanashni davom ettirishingiz mumkin.

Va nihoyat, sizga diplom loy va kunniyalar bilan tanishish uchun keltirishiga ishontirish hayot muammolari, muammolarni keltirib chiqarmaslik, bu erda hayotdan yana bir juftlik.

Hayotdan 4-misol

Sizda million rubl bor. Har yilning boshida siz har millionni bir millionga ko'p pul ishlaysiz. Ya'ni har million har yil boshida ikki baravar ko'payadi. Yillarda qancha pul bor? Agar siz hozir o'tirgan bo'lsangiz va "Siz barmog'ingizni o'ylaysiz", keyin siz juda mehnatsevar odamsiz va. Ammo ehtimol siz bir necha soniya ichida javob berasiz, chunki siz aqllisiz! Shunday qilib, birinchi yilda - ikkita ko'p sonli ... Ikkinchi yilda - yana ikkitasi, uchinchi yil ... to'xtang ... to'xtang! Siz raqam ko'payishini sezdingiz. Shunday qilib, beshinchi darajali ikki - million! Va endi sizda raqobat borligini tasavvur qiling va bu millionerni tezroq topadigan odamni qabul qiladi ... Bu sizning fikrlarni eslaysiz, nima deb o'ylaysiz?

5-sonli misol 5

Sizda million bor. Har yilning boshida siz har million ikkita pul olasiz. Buyuk haqiqatmi? Har million uch baravar. Bir yildan keyin qancha pulga ega bo'lasiz? Keling, hisoblaylik. Birinchi yil ko'payadi, keyin natija hali ham davom etmoqda ... allaqachon zerikarli, chunki siz hamma narsani allaqachon tushungansiz: uchtasi o'zi ko'paytiriladi. Shuning uchun to'rtinchi darajali millionga teng. Faqat to'rtinchi darajali uchta yoki uchinchi darajali ekanligini eslash kerak.

Endi bilasizki, raqamni enatish yordamida hayotingizni sezilarli darajada osonlashtirasiz. Keling, darajalar bilan qila oladigan va siz ular haqida nimani bilishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik.

Shartlar va tushunchalar ... shuning uchun chalkashib ketmaslik uchun

Shunday qilib, boshlang'ichlar uchun tushunchalarni aniqlaylik. Nima deb o'ylaysan, daraja ko'rsatkichlari nima? Bu juda oddiy - bu raqam darajasining "yuqori qismida" raqami. Ilmiy emas, lekin aniq va eslab qolish juda oson ...

Xo'sh, bir vaqtning o'zida bunday jamg'arma darajasi? Bundan ham osonroq - bu bazada, quyida keltirilgan raqam.

Bu sadoqat uchun rasm.

Xo'sh, B. umumiyImzolash va yaxshiroq eslab qolish uchun ... "" va indikator "" "deb" o'qilishi "va quyidagicha yoziladi:

Tabiiy ko'rsatkich bilan raqam darajasi

Siz allaqachon taxmin qilgan, chunki indikator tabiiy son. Ha, lekin nima tabiiy son? Boshlang'ich! Biz ma'lumotlar muhokamalarsiz uch ... Biz, aytmayapman bir, ikki,: Tabiiy Bu ma'lumotlar ro'yxati qachon hisob ishlatiladi raqamlari "Minus besh", "minus olti", "minus etti". Shuningdek, biz: "bir uchdan biri" yoki "butunlay, beshdan beshgacha." Bular tabiiy raqamlar emas. Va bu raqamlar nima deb o'ylaysiz?

"Minus besh", "minus olti", "minus yetti" kabi raqamlar tegishli butun sonlar. Umuman olganda, butun son raqamlariga barcha tabiiy sonlar kiradi, raqamlar tabiiy tomondan (ya'ni minus belgisi bilan olingan) va raqamga ega. Nol tushuning - bu hech narsa emas. Va ular salbiy ("minus") raqamlarini nimani anglatadi? Ammo ular birinchi navbatda qarzlarni belgilash uchun ixtiro qilingan: agar sizda telefon raqami bo'yicha muvozanat bo'lsa, bu operator rubl kerakligini anglatadi.

Fraktsiyalarning har xil raqamlari. Qanday qilib ular paydo bo'ldi, nima deb o'ylaysiz? Juda onson. Bir necha ming yil oldin, bizning ota-bobolarimiz uzoq, vazn, kvadrat va boshqalarni o'lchash uchun tabiiy raqamlarga ega emasliklarini aniqladilar. Va ular ixtiro qildilar ratsional raqamlar... bu haqiqatmi deb hayron bo'lasizmi?

Shuningdek, irratsional raqamlar mavjud. Bu raqam nima? Qisqa, keyin cheksiz o'nlik kasr. Masalan, agar aylana uning diametriga bo'linsa, unda irratsional raqam bo'ladi.

Xulosa:

Biz mos keladigan kontseptsiyani belgilaymiz, uning ko'rsatkichi - bu tabiiy son (i.e., umuman va ijobiy).

1. Birinchi darajali raqamga teng darajada:
2. Maydondagi raqamni baholang - bu uni o'zi ko'paytirishni anglatadi:
3. Cube raqamini baholang - bu uni uch marta ko'paytirishni anglatadi:

Ta'rif. Raqamni tabiiy darajaga baholang - bu o'zingiz uchun barcha vaqtni ko'paytirishni anglatadi:
.

Darajalarning xususiyatlari

Ushbu xususiyatlar qaerdan paydo bo'ldi? Men hozir sizga ko'rsataman.

Qabul qilaylik: nima va ?

A-Priory:

Qancha ko'paytirgich bu erda?

Juda oddiy: ko'paytiruvchilarni ko'paytiruvchilarni ko'paytirdik, u omillarni chiqardi.

Ammo ta'rifi bo'yicha bu ko'rsatkich bilan raqam darajasi, ya'ni isbotlash kerak edi.

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Qaror:

Misol: Ifodani soddalashtiring.

Qaror: Bizning qoidamizda buni payqash muhimdir oldin Bir xil poydevor bo'lishi kerak!
Shuning uchun biz darajalarni asos bilan birlashtiramiz, ammo alohida multiplier bo'lib qoladi:

faqat darajalar uchun!

Hech qanday holatda buni yoza olmaydi.

2. ya'ni Raqam darajasi darajasi

Avvalgi mulk bilan bo'lgani kabi, biz darajani ta'rifga aylantiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, bu ifoda o'zini bir marta ko'paytiradi, ya'ni, ya'ni, bu aniqlangan raqamlar mavjudligi:

Aslida, bu "qavslar uchun indikator" deb atash mumkin. Ammo hech qachon buni amalga oshira olmaydi:

Qisqartirilgan ko'payish formulasini eslang: biz necha marta yozishni xohladik?

Ammo bu noto'g'ri, chunki.

Salbiy

Shu paytgacha biz indikator nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik.

Ammo nima bo'lishi kerak?

S. darajalarida tabiiy ko'rsatkich Baza bo'lishi mumkin har qanday raqam. Va haqiqat, biz ijobiy, salbiy yoki hatto har qanday raqamni ko'paytiramiz.

Keling, qanday alomatlar ("yoki" "") ijobiy va salbiy raqamlarning darajasiga ega bo'ladi?

Masalan, ijobiy yoki salbiy sonmi? Ammo? ? Birinchisi, hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy raqamlar bir-birimiz tomonidan ko'paytirilmaymiz, natijasi ijobiy bo'ladi.

Lekin salbiy biroz qiziqarli. Axir biz 6-sinfning oddiy qoidasini eslaymiz: "minus uchun minus plyus beradi." Ya'ni yoki. Agar biz ko'paytirsak, u amalga oshadi.

Mustaqil ravishda aniqlang, quyidagi jumlalarni qanday imzolashi mumkin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Dosh berasizmi?

Bu erda javoblar: birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa tushunarli? Faqat tayanch va ko'rsatkichga qarang, tegishli qoidani qo'llang.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5-misolda, hamma narsa ham qo'rqinchli emas, chunki bu asosga teng emas - bu daraja ham ijobiy bo'ladi.

Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan holatlardan tashqari. Sababi teng emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas!

Trening uchun misollar

6 ta misolning echimlari

Agar siz sakkizinchi darajani e'tiborga olmasangiz, biz bu erda nimani ko'rmoqdamiz? 7-sinf dasturini eslang. Shunday qilib, eslab qoldingizmi? Bu qisqartirilgan ko'payishning formulasi, ya'ni - kvadratlarning farqi! Biz olamiz:

Denominatorga diqqat bilan qarang. U hisoblovchining ko'paytirgichlaridan juda o'xshash, ammo nima yomon? Shartlarning tartibi emas. Agar ular ularni joylarda o'zgartirsalar, qoidani qo'llashlari mumkin.

Ammo buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'ladi: Denominatorning ham darajasi bizga yordam beradi.

Yaltiroq, joylarda komponentlar o'zgargan. Ushbu "fenomen" har qanday ibora uchun hatto darajadagi har qanday ibora uchun qo'llanilishi mumkin: biz belgilarni qavs ichida erkin almashtirishimiz mumkin.

Ammo eslash juda muhimdir: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgarib turadi.!

Masalan, orqaga qaytaylik:

Va yana formulani:

Butun son Biz ularga qarama-qarshi bo'lgan tabiiy raqamlarni (ya'ni alomat bilan qabul qilingan) va raqam deb ataymiz.

butun ijobiy raqamVa bu tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Va endi yangi ishlarni ko'rib chiqamiz. Keling, indikator bilan teng ravishda boshlaymiz.

Har qanday raqamga teng bo'ladi:

Har doimgidek, mendan so'raymiz: nega bunday?

Har qanday darajani asos bilan ko'rib chiqing. Masalan, masalan va hukmronlik qilish:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va u kabi bir xil bo'ldik. Va hech narsa o'zgarishi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? Bu to'g'ri. Shunday qilib.

Biz o'zboshimchalik bilan bir xil narsani qila olamiz:

Qolanatni takrorlang:

Har qanday raqamga teng.

Ammo ko'pchilik qoidalaridan istisnolar mavjud. Va bu erda ham raqam (bazasi sifatida) mavjud.

Bir tomondan, u har qanday darajada teng bo'lishi kerak - qancha nolni ko'paytirib bo'lmaydi, baribir nolga teng kelmaydi, aniq. Ammo boshqa tomondan, har qanday raqamning nol darajasiga o'xshash bo'lishi kerak. Xo'sh, haqiqat nima? Matematika nolga nolga botmaslikka qaror qildi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linishimiz, balki uni nolga o'rnatishimiz mumkin.

Keling, yana boraylik. Tabiiy raqamlar va raqamlarga qo'shimcha ravishda salbiy raqamlarga kiradi. Salbiy ma'lumotni tushunish uchun biz oxirgi marta bajaramiz: salbiy darajada bir xil normal raqam bilan.

Bu yerdan kerakli narsani ifodalash oson:

Endi biz olib keladigan qoidani o'zboshimchalik bilan yoyishimiz:

Shunday qilib, biz qoidani shakllantiramiz:

Raqamli raqamni ijobiy darajaga qaytarish. Ammo bir vaqtning o'zida baza nol bo'lolmaydi: (Chunki ajratish mumkin emas).

SMSM sarlavha bo'laylik:

I. bunday ifoda aniq emas. Agar, keyin.

II. Har qanday raqam nolga teng:.

III. Nolga teng bo'lmagan raqam, salbiy darajaga qadar ijobiy darajaga qadar:.

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, o'zini o'zi hal qilish uchun misollar:

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar dahshatli, ammo imtihon hamma narsaga tayyor bo'lishi kerak! Ushbu misollarni baham ko'ring yoki qaror qilmasangiz va siz ularni imtihonda osongina engishga o'rganib chiqsangiz, qarorlarini tarqating!

Raqamlar doirasini kengaytirishni davom ettiring, bu ko'rsatkich ko'rsatkichlari sifatida "mos".

Endi ko'rib chiqing ratsional raqamlar. Qaysi raqamlar oqilona deb ataladi?

Javob: Fraktsiyalar, qaerda va butun son va butun son va butun son va butun son shaklida tasvirlanishi mumkin.

Nima ekanligini tushunish "Yuk tashish darajasi", Kasrni ko'rib chiqing:

Asl qiymatning ikkala qismini darajaga o'rnatdi:

Endi qoidani eslang "Diplomlashtirish darajasi":

Olish darajasiga qanday raqamni olish kerak?

Ushbu shakllanish - bu ildiz darajasining ta'rifi.

Sizga eslatib beraylik: raqamning ildizi () ning ildizi yo'q bo'lib ketadi.

Ya'ni, ildiz darajasidir, jismoniy mashqlarni ilmiy darajaga qaytaradi.

Shuni ta'kidlaydi. Shubhasiz, bu alohida holatni kengaytirish mumkin:.

Endi raqam qo'shing: nima? Javob "Ilmiy darajasi" qoidasi yordamida olish oson:

Ammo sababi har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildiz barcha raqamlardan olinmasligi mumkin.

Hech kim!

Qoidani eslang: hatto eng mos keladigan har qanday raqam ijobiy. Ya'ni Salbiy raqamlardan ham ilmiy daraja ildizlarini olish mumkin emas!

Bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni hatto denominator bilan fraksiya darajasiga qurish mumkin emas, ya'ni ibora ma'nosi yo'q.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo muammo bor.

Raqamni drgih shaklida ifodalash, fraktsiyalar qisqartirildi, masalan yoki yoki.

Va shundaki, mavjudligi aylanadi, lekin mavjud emas, lekin bu bir xil sonning atigi ikki xil yozuvidir.

Yoki boshqa bir misol: Bir marta, keyin siz yozishingiz mumkin. Ammo biz uchun boshqacha tarzda yozish maqsadga muvofiqmiz va yana nojayan olamiz: (ya'ni ular mutlaqo boshqacha natijaga erishdilar!).

Shunga o'xshash paradokslarni oldini olish uchun biz ko'rib chiqamiz fraktsion indikator bilan faqat ijobiy asos.

Shunday qilib, agar:

• - tabiiy son;
• - butun son;

Misollar:

Ratsional indikatorli darajadagi indikator bilan ildizlar bilan ifoda etish uchun juda foydali, masalan:

Trening uchun 5 ta misollar

O'qitish uchun 5 ta misolni tahlil qilish

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tushunamiz irratsional.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari bu erda aqlli indikator bilan bir xil, istisno

Axir, ta'riflar bilan, irratsional raqamlar - bu fraktsiya, qaerda va butun sonlar (ya'ni, irratsional sonlar), ulardan tashqari barcha haqiqiy raqamlardir).

Natofona, butun va oqilona ko'rsatkich bilan darajani o'rganayotganda, har safar biz har safar ma'lum bir "tasvir", "o'xshashligi" yoki ko'proq tanish so'zlarni aks ettirdik.

Masalan, tabiiy shakl raqam bo'lib, bir necha baravar ko'paytiriladi;

...nol - shundan keyin, bu shuni bir marta ko'paytirdi, ya'ni u hali ko'payishni boshlamagan bo'lsa, bu raqamning o'zi ham paydo bo'lmadi - shuning uchun natijasi faqat ma'lum bir "Billet raqami", ya'ni ma'lum bir "Billet raqami", ya'ni ma'lum bir "Billet raqami", ya'ni ma'lum bir "Billet raqami", ya'ni ma'lum bir "Billet raqami", ya'ni ma'lum bir "Billet raqami".

...butun salbiy ko'rsatkich bilan daraja "Bu ma'lum bir" teskari jarayon "bo'lganga o'xshaydi, ya'ni raqam o'zi ko'paytirilmagan, ammo Deli.

Aytgancha, fan bo'yicha ko'pincha murakkab ko'rsatkichi bilan qo'llaniladi, ya'ni indikator hatto yaroqsiz raqam emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunishingiz mumkin.

Qayerga ishonamiz! (Agar siz bunday misollarni hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

Solim:

Qoldiqlar:

1. Mashq qilish bo'yicha odatiy qoidalardan boshlaylik:

Endi indikatorga qarang. U sizga biron bir narsani eslatmaydimi? Qisqartirilgan ko'payish formulasini eslang. Kvadrat farqlar:

Ushbu holatda,

Shuni ta'kidlaydi:

Javob: .

2. Biz bir xil shaklda darajadagi fraksiyani bir xil shaklda keltiramiz: ikkala kasr yoki ikkala oddiy. Biz olamiz, masalan:

Javob: 16.

3. Hech narsa hech narsa emas, biz odatdagi darajadagi xususiyatlardan foydalanamiz:

Ilg'or daraja

Ilmiy darajani aniqlash

Ilmiy daraja shaklning ifodasi deb nomlanadi: bu erda:

• — daraja bazasi;
• - indikator.

Tabiiy indikator (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Tabiiy darajada N - bu raqamni bir marta o'zingiz uchun ko'paytirishni anglatadi:

Butun butun son bilan (0, ± 1, ± 2, ...)

Agar daraja ko'rsatkich bo'lsa dasturiy ta'minot ijobiy raqam:

Qurilish nol darajasida:

Izoh noma'lum, chunki bir tomondan, bu va boshqa tomondan - har qanday miqdordagi har qanday miqdordagi ko'rsatkichdir.

Agar daraja ko'rsatkich bo'lsa butun salbiy raqam:

(Chunki ajratish mumkin emas).

Yana bir bor nol haqida: bu holatda ibora aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Oqilona

• - tabiiy son;
• - butun son;

Misollar:

Darajalarning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, tushunishga harakat qilaylik: ushbu xususiyatlar qaerdan kelib chiqqan? Biz ularni isbotlaymiz.

Ko'ramiz: nima o'zi?

A-Priory:

Shunday qilib, ushbu iboraning o'ng qismida bunday ish quyidagicha keltirilgan:

Ammo ta'rifi bo'yicha bu ko'rsatkich bo'yicha raqam darajasi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Qaror : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Qaror : Bizning hukmronligimizda buni payqash muhimdir oldinxuddi shu asoslar bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni asos bilan birlashtiramiz, ammo alohida multiplier bo'lib qoladi:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat darajalar uchun!

Hech qanday holatda asabni yozish uchun.

Avvalgi mulk bilan bo'lgani kabi, biz darajani ta'rifga aylantiramiz:

Biz bu ishni shu ishni oldik:

Ma'lum bo'lishicha, bu ifoda o'zini bir marta ko'paytirishi kerak, ya'ni, bu ta'rifga muvofiq, bu - raqam darajasida:

Aslida, bu "qavslar uchun indikator" deb atash mumkin. Lekin hech qachon buni quyidagi miqdorda qila olmaydi:

Qisqartirilgan ko'payish formulasini eslang: biz necha marta yozishni xohladik? Ammo bu noto'g'ri, chunki.

Salbiy asos.

Shu paytgacha biz nima bo'lishimiz kerakligini muhokama qilamiz ko'rsatkich daraja. Ammo nima bo'lishi kerak? S. darajalarida tabiiy ko'rsatkich Baza bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Va haqiqat, biz ijobiy, salbiy yoki hatto har qanday raqamni ko'paytiramiz. Keling, qanday alomatlar ("yoki" "") ijobiy va salbiy raqamlarning darajasiga ega bo'ladi?

Masalan, ijobiy yoki salbiy sonmi? Ammo? ?

Birinchisi, hamma narsa aniq: biz qancha ijobiy raqamlar bir-birimiz tomonidan ko'paytirilmaymiz, natijasi ijobiy bo'ladi.

Lekin salbiy biroz qiziqarli. Axir biz 6-sinfning oddiy qoidasini eslaymiz: "minus uchun minus plyus beradi." Ya'ni yoki. Agar ko'paytirsak, u tug'iladi.

Va shuning uchun cheksizlikka: Har safar keyingi ko'paytirish belgisini o'zgartiradi. Oddiy qoidalarni shakllantirish mumkin:

1. hatto Ilmiy darajasi - raqam ijobiy.
2. Ichiga o'rnatilgan salbiy raqam g'alati Ilmiy darajasi - raqam salbiy.
3. Ikkala darajadagi ijobiy raqam ijobiy.
4. Har qanday darajaga nol nolga teng.

Mustaqil ravishda aniqlang, quyidagi jumlalarni qanday imzolashi mumkin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Dosh berasizmi? Javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dastlabki to'rtta misolda, umid qilamanki, hammasi aniqmi? Faqat tayanch va ko'rsatkichga qarang, tegishli qoidani qo'llang.

5-misolda, hamma narsa ham qo'rqinchli emas, chunki bu asosga teng emas - bu daraja ham ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan holatlardan tashqari. Sababi teng emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda siz buni kamroq bilishingiz kerak: yoki? Agar eslasangiz, bu aniq bo'ladi, shuning uchun bazaning noldan kamroq. Ya'ni biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja darajasidan foydalanamiz:

Odatdagidek, darajalarning ta'rifini yozing va ularni bir-biringizga ajrating, juftlarni ajrating va oling:

Oxirgi qoidani ochishdan oldin, biz bir nechta misollarni hal qilamiz.

Hisoblangan iboralar:

Echimlar :

Agar siz sakkizinchi darajani e'tiborga olmasangiz, biz bu erda nimani ko'rmoqdamiz? 7-sinf dasturini eslang. Shunday qilib, eslab qoldingizmi? Bu qisqartirilgan ko'payishning formulasi, ya'ni - kvadratlarning farqi!

Biz olamiz:

Denominatorga diqqat bilan qarang. U hisoblovchining ko'paytirgichlaridan juda o'xshash, ammo nima yomon? Shartlarning tartibi emas. Agar ular joylarda almashtirilsa, qoidani qo'llash mumkin. 3. Ammo buni qanday qilish kerak? Bu juda oson bo'ladi: Denominatorning ham darajasi bizga yordam beradi.

Agar uni chizsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'ri? Ammo endi quyidagilar bo'ladi:

Yaltiroq, joylarda komponentlar o'zgargan. Ushbu "fenomen" har qanday ibora uchun hatto darajadagi har qanday ibora uchun qo'llanilishi mumkin: biz belgilarni qavs ichida erkin almashtirishimiz mumkin. Ammo eslash juda muhimdir: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgarib turadi!Siz o'rnini bosa olmaysiz, faqat bitta mos keladigan minusni o'zgartira olmaysiz!

Masalan, orqaga qaytaylik:

Va yana formulani:

Endi oxirgi qoida:

Qanday qilib biz isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: men darajadagi tushunchani ochib beraman va soddalashtiraman:

Xo'sh, endi men qavslarni ochaman. Xatlarning qancha turadi? Ko'plab ko'paytirgichlarda - bu nimani eslatadi? Bu operatsiyaning ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: Hammasi bo'lib, omillar mavjud edi. Ya'ni, bu ta'rif bo'yicha indikator bilan raqam darajasi:

Misol:

Irratsional

Rahbariyat darajadagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda biz irratsional ko'rsatkich bilan ilmiy darajani tahlil qilamiz. Bu erda darajadagi barcha qoidalar va xususiyatlar, bundan mustasno, istisno bo'yicha, irratsional raqamlar, bu erda - butun sonlar (ya'ni, irratsional sonlar oqilona) barcha haqiqiy raqamlardir.

Natofona, butun va oqilona ko'rsatkich bilan darajani o'rganayotganda, har safar biz har safar ma'lum bir "tasvir", "o'xshashligi" yoki ko'proq tanish so'zlarni aks ettirdik. Masalan, tabiiy shakl raqam bo'lib, bir necha baravar ko'paytiriladi; Nol darajadagi raqam qandaydir tarzda o'zi ko'paytiriladi, ya'ni, ya'ni u hali ko'payib ketmagan bo'lsa, bu raqamning o'zi ham paydo bo'lmadi - shuning uchun ma'lum bir "Bellet", ya'ni faqat ma'lum bir "Bell" ; Birlamchi salbiy ko'rsatkich bilan daraja, go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lganligi kabi, ya'ni raqam o'zi ko'paytirilmagan, ammo bo'lingan.

Tasavvur qiling-a, irratsional ko'rsatkich darajasi juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli bo'sh joyni topshirish qiyin bo'lgani kabi). Bu juda toza matematik ob'ektqaysi matematika barcha raqamlarga mos keladigan kontseptsiyani kengaytirish uchun yaratilgan.

Aytgancha, fan bo'yicha ko'pincha murakkab ko'rsatkichi bilan qo'llaniladi, ya'ni indikator hatto yaroqsiz raqam emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunishingiz mumkin.

Agar biz irratsional tezlikni ko'rsak nima qilamiz? Biz barcha qudrat bilan undan xalos bo'lishga harakat qilmoqdamiz! :)

Masalan:

Solim:

1)

2)

3)

Javoblar:

1. Biz kvadratlarning farqini formulasini eslaymiz. Javob :.
2. Biz bir xil shaklda kasrni bir xil shaklda beramiz: ikkalasi ham o'nlik yoki ikkala oddiy. Biz olamiz, masalan:
3. Hech narsa maxsus narsa, biz odatdagi darajadagi xususiyatlardan foydalanamiz:

Bo'limning qisqacha mazmuni va asosiy formulalar

Daraja Shaklning ifodasi deb nomlangan: qaerda:

Butun son

natijada, uning tabiiy soni (i.e., butun va ijobiy) daraja.

Oqilona

daraja, salbiy va fraksion raqamlar ko'rsatkichi.

Irratsional

darajasi, bu indikator cheksiz o'nlik kasr yoki ildiz.

Darajalarning xususiyatlari

Darajalarning xususiyatlari.

• Ichiga o'rnatilgan salbiy raqam hatto Ilmiy darajasi - raqam ijobiy.
• Ichiga o'rnatilgan salbiy raqam g'alati Ilmiy darajasi - raqam salbiy.
• Ikkala darajadagi ijobiy raqam ijobiy.
• Har qanday darajaga nol teng.
• Har qanday raqam teng teng.

Endi sizga so'z kerak ...

Maqola sizga qanday kerak? Izohlarda yoki yo'q.

Menga darajadagi xususiyatlardan foydalanish bo'yicha tajribangiz haqida gapirib bering.

Ehtimol sizda savollar bor. Yoki takliflar.

Izohlarga yozing.

Va imtihonlarga omad!