지수는 숫자 자체를 곱하는 연산의 표기법을 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 쓰는 대신 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5))(이 전환에 대한 설명은 이 문서의 첫 번째 섹션에 나와 있습니다.) 차수를 사용하면 길거나 복잡한 표현식이나 방정식을 더 쉽게 작성할 수 있습니다. 또한 거듭제곱을 쉽게 더하고 빼서 식이나 방정식을 단순화합니다(예: 4 2 * 4 3 = 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

메모:지수 방정식을 풀어야 하는 경우(이러한 방정식에서 미지수는 지수에 있음) 읽으십시오.

단계

가장 간단한 학위 문제 풀기

지수의 밑수를 지수와 동일한 횟수만큼 곱합니다.차수 문제를 손으로 풀어야 하는 경우 차수의 밑이 자체적으로 곱해지는 곱셈 연산으로 차수를 다시 작성하십시오. 예를 들어 학위가 주어졌을 때 3 4 (\ 표시 스타일 3 ^ (4))... 이 경우 3의 거듭제곱의 밑은 자체적으로 4배를 곱해야 합니다. 3 * 3 * 3 * 3 (\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3)... 다음은 다른 예입니다.

먼저 처음 두 숫자를 곱합니다.예를 들어, 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... 걱정하지 마십시오. 계산 과정은 언뜻 보기에 복잡하지 않습니다. 먼저 처음 두 개의 4를 곱한 다음 결과로 바꿉니다. 이와 같이:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 = 16 (\ displaystyle 4 * 4 = 16)

1. 결과(이 예에서는 16)에 다음 숫자를 곱합니다.각 후속 결과는 비례하여 증가합니다. 이 예에서는 16에 4를 곱합니다. 다음과 같이 하십시오.

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 = 64 (\ displaystyle 16 * 4 = 64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 = 256 (\ displaystyle 64 * 4 = 256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 256 * 4)
     • 256 * 4 = 1024 (\ displaystyle 256 * 4 = 1024)
   • 최종 답을 얻을 때까지 처음 두 숫자에 다음 숫자를 계속 곱하세요. 이렇게 하려면 처음 두 숫자를 곱한 다음 결과에 시퀀스의 다음 숫자를 곱합니다. 이 방법은 모든 학위에 유효합니다. 이 예에서는 다음을 얻어야 합니다. 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. 다음 작업을 해결하십시오.계산기로 답을 확인하세요.

   • 8 2 (\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\ 표시 스타일 3 ^ (4))
   • 10 7 (\ displaystyle 10 ^ (7))

3. 계산기에서 "exp" 또는 " x n (\ 표시 스타일 x ^ (n))", 또는" ^ ".이 키로 숫자를 거듭제곱으로 올립니다. 지수가 큰 차수를 수동으로 계산하는 것은 거의 불가능합니다(예: 차수 9 15 (\ 표시 스타일 9 ^ (15))) 하지만 계산기는 이 작업을 쉽게 처리할 수 있습니다. Windows 7에서는 표준 계산기를 엔지니어링 모드로 전환할 수 있습니다. 이렇게 하려면 "보기" -> "엔지니어링"을 클릭하십시오. 일반 모드로 전환하려면 "보기" -> "일반"을 클릭하십시오.

   • 검색 엔진(Google 또는 Yandex)을 사용하여 수신된 답변 확인... 컴퓨터 키보드의 "^" 키를 사용하여 검색 엔진에 표현식을 입력하면 정답이 즉시 표시되고 탐색할 유사한 표현식이 제안될 수 있습니다.

   덧셈, 뺄셈, 곱셈

   1. 기본이 동일한 경우에만 도를 더하거나 뺄 수 있습니다.동일한 밑수와 지수를 사용하여 거듭제곱을 더해야 하는 경우 더하기 연산을 곱셈 연산으로 바꿀 수 있습니다. 예를 들어 표현식이 주어졌을 때 4 5 + 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... 학위를 기억하십시오 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5))로 나타낼 수 있습니다 1 * 4 5 (\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); 이와 같이, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) = 2 * 4 ^ (5))(여기서 1 +1 = 2). 즉, 그러한 도의 수를 세고 이 도와 이 수를 곱하십시오. 이 예에서는 4를 5제곱한 다음 결과에 2를 곱합니다. 예를 들어, 더하기 연산을 곱하기 연산으로 대체할 수 있음을 기억하십시오. 3 + 3 = 2 * 3 (\ displaystyle 3 + 3 = 2 * 3)... 다음은 다른 예입니다.

      • 3 2 + 3 2 = 2 * 3 2 (\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 * 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))

   2. 동일한 기준으로 도를 곱하면 해당 표시기가 추가됩니다(기준은 변경되지 않음).예를 들어 표현식이 주어졌을 때 x 2 * x 5 (\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5))... 이 경우 기준을 변경하지 않고 지표를 추가하기만 하면 됩니다. 따라서, x 2 * x 5 = x 7 (\ 표시 스타일 x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7))... 다음은 이 규칙에 대한 시각적 설명입니다.

      파워를 파워로 올리면 지표가 곱해집니다.예를 들어 학위가 주어집니다. 지수는 곱하기 때문에, (x 2) 5 = x 2 * 5 = x 10 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2 * 5) = x ^ (10))... 이 규칙의 의미는 차수를 곱한다는 것입니다. (x 2) (\ 표시 스타일 (x ^ (2)))자신을 다섯 번. 이와 같이:

      • (x 2) 5 (\ 표시 스타일 (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • 밑이 같기 때문에 지수는 간단히 추가됩니다. (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 = x 10 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) = x ^ (10))

   3. 지수가 음수인 지수는 분수로 변환해야 합니다(역 지수로).역도가 무엇인지 모른다면 문제가 되지 않습니다. 예를 들어, 지수가 음수인 학위가 주어지면, 3 - 2 (\ 표시 스타일 3 ^ (- 2)), 이 정도를 분수의 분모에 쓰고(분자에 1을 넣음) 지수를 양수로 만듭니다. 우리의 예에서: 1 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2))))... 다음은 다른 예입니다.

      동일한 기준으로 도를 나눌 때 해당 지표를 뺍니다(기준은 변경되지 않음).나눗셈은 곱셈의 반대입니다. 예를 들어 표현식이 주어졌을 때 4 4 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))... 분자의 지수에서 분모의 지수를 뺍니다(밑수는 변경하지 않음). 따라서, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .

      • 분모의 차수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 1 4 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ 표시 스타일 4 ^ (- 2))... 분수는 지수가 음수인 숫자(지수, 표현식)라는 것을 기억하십시오.

   4. 다음은 전원 문제를 해결하는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 표현입니다.제공된 표현은 이 섹션의 자료를 다룹니다. 답을 보려면 등호 뒤의 공백을 강조 표시하면 됩니다.

   분수 지수로 문제 풀기

   분수 지수(예:)가 있는 지수는 루트 연산으로 변환됩니다.우리의 예에서: x 1 2 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (2))) = x (\ displaystyle (\ sqrt (x)))... 분수 지수의 분모에 어떤 숫자가 있는지는 중요하지 않습니다. 예를 들어, x 1 4 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (4)))"x"의 네 번째 루트, 즉 x 4 (\ displaystyle (\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. 지수가 가분수, 이 정도는 문제의 해결을 단순화하기 위해 2개로 확장될 수 있습니다. 여기에는 어려운 것이 없습니다. 학위를 곱하는 규칙을 기억하십시오. 예를 들어 학위가 주어집니다. 이러한 거듭제곱을 분수 지수의 분모와 같게 하는 근으로 변환한 다음 이 근을 분수 지수의 분자와 동일한 거듭제곱으로 올립니다. 이렇게 하려면 다음을 기억하십시오. 5 3 (\ displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (\ displaystyle ((\ frac (1) (3))) * 5)... 우리의 예에서:

      • x 5 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 = x 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 = x 5 * x 1 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ displaystyle ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. 일부 계산기에는 도를 계산하는 버튼이 있습니다(먼저 밑수를 입력한 다음 버튼을 누른 다음 지수를 입력해야 함). ^ 또는 x ^ y로 표시됩니다.
   3. 예를 들어, 1승의 모든 숫자는 자기 자신과 같음을 기억하십시오. 4 1 = 4. (\ displaystyle 4 ^ (1) = 4.)또한, 1을 곱하거나 나눈 모든 수는 자체와 같습니다. 예를 들어, 5 * 1 = 5 (\ displaystyle 5 * 1 = 5)그리고 5/1 = 5 (\ 디스플레이 스타일 5/1 = 5).
   4. 차수 0 0은 존재하지 않는다는 점에 유의하십시오(이 차수에는 솔루션이 없습니다). 계산기나 컴퓨터에서 이러한 학위를 풀려고 하면 오류가 발생합니다. 그러나 0의 거듭제곱의 모든 숫자는 1임을 기억하십시오. 예를 들어, 4 0 = 1. (\ displaystyle 4 ^ (0) = 1.)
   5. 허수와 함께 작동하는 고등 수학: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\ displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), 어디 i = (- 1) (\ displaystyle i = (\ sqrt (()) - 1)); e는 대략 2.7과 같은 상수입니다. a는 임의의 상수입니다. 이 평등의 증거는 고등 수학에 관한 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다.

   경고

   • 지수가 증가함에 따라 그 값은 크게 증가합니다. 따라서 답이 잘못된 것처럼 보이더라도 실제로는 정답이 될 수 있습니다. 당신은 이것을 플롯하여 확인할 수 있습니다 지수 함수예: 2x.

거듭제곱을 사용하여 표현식을 변환하는 주제를 고려해 보겠습니다. 하지만 먼저 지수 표현식을 포함하여 모든 표현식으로 수행할 수 있는 여러 변환에 대해 살펴보겠습니다. 우리는 괄호를 여는 방법, 그러한 용어를 가져오는 방법, 기수와 지수를 사용하는 방법, 도의 속성을 사용하는 방법을 배웁니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

지수 표현은 무엇입니까?

입력 학교 과정"지수식"이라는 표현을 사용하는 사람은 거의 없지만 이 용어는 시험 준비를 위한 모음집에서 지속적으로 찾아볼 수 있습니다. 대부분의 경우 구는 레코드에 학위가 포함된 표현식을 나타냅니다. 우리는 이것을 정의에 반영할 것입니다.

정의 1

지수 표현도를 포함하는 표현식입니다.

다음은 자연 지수가 있는 차수로 시작하여 실수 지수가 있는 차수로 끝나는 지수 표현의 몇 가지 예입니다.

가장 단순한 거듭제곱 표현은 자연 지수가 있는 숫자의 거듭제곱으로 간주할 수 있습니다. 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. 또한 지수가 0인 각도: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. 음의 정수 거듭제곱을 갖는 도: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

264 1 4 - 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2와 같이 합리적이고 비합리적인 지표가 있는 정도의 작업은 조금 더 어렵습니다. a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

지표는 변수 3 x - 54 - 7 3 x - 58 또는 로그일 수 있습니다. x 2 l g x - 5 x l g x.

힘 표현이 무엇인지에 대한 질문으로 우리는 알아 냈습니다. 이제 변환을 시작하겠습니다.

거듭제곱 표현의 기본 변환 유형

먼저 지수식으로 수행할 수 있는 식의 기본적인 항등변환을 살펴보겠습니다.

실시예 1

지수 표현식의 값 계산 2 3 (4 2 - 12).

해결책

우리는 행동 순서에 따라 모든 변환을 수행할 것입니다. 이 경우 대괄호 안에 있는 작업을 수행하는 것으로 시작합니다. 정도를 숫자 값으로 바꾸고 두 숫자의 차이를 계산합니다. 우리는 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

학위를 대체하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 2 3 그 의미 8 제품을 계산 8 4 = 32... 여기에 우리의 대답이 있습니다.

답변: 2 3 (4 2 - 12) = 32.

실시예 2

거듭제곱으로 표현을 단순화 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

해결책

문제 진술에서 우리에게 주어진 표현에는 다음과 같은 유사한 용어가 포함되어 있습니다. 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

답변: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

실시예 3

9 - b 3 · π - 1 2 의 거듭제곱을 갖는 식을 곱으로 나타내십시오.

해결책

숫자 9를 거듭제곱으로 나타내자 3 2 약식 곱셈 공식을 적용합니다.

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

답변: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

이제 구문 분석으로 넘어 갑시다. 동일한 변형, 특히 지수 표현식과 관련하여 적용될 수 있습니다.

기본 및 지수 작업

밑수 또는 지수의 차수에는 숫자, 변수 및 일부 표현식이 있을 수 있습니다. 예를 들어, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7그리고 ... 그러한 기록으로 작업하는 것은 어렵습니다. 지수 밑의 표현식이나 지수의 표현식을 동일한 표현식으로 바꾸는 것이 훨씬 쉽습니다.

차수와 지수의 변환은 서로 별도로 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 가장 중요한 것은 변환의 결과로 원래의 것과 동일한 표현이 얻어진다는 것입니다.

변환의 목적은 원래 표현을 단순화하거나 문제에 대한 솔루션을 얻는 것입니다. 예를 들어, 위의 예에서 (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7, 다음 단계에 따라 학위를 취득할 수 있습니다. 4 , 1 1 , 3 ... 대괄호를 확장하면 학위의 기초에서 유사한 용어를 제공할 수 있습니다. (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)더 간단한 형식의 지수 표현을 얻으십시오. 2 (x + 1).

차수 속성 사용

등식으로 작성된 거듭제곱 속성은 거듭제곱 표현을 변환하는 주요 도구 중 하나입니다. 다음은 주요 사항을 고려한 것입니다. NS그리고 NS임의의 양수이고 NS그리고 NS- 임의의 실수:

정의 2

• a r s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = ar s.

자연스럽고 완전한 양의 지수를 다루는 경우 숫자와 b에 대한 제한은 훨씬 덜 엄격할 수 있습니다. 예를 들어 평등을 고려하면 m n = m + n, 어디 중그리고 NS자연수이면 양수와 음수 및 모든 값에 대해 참일 것입니다. 에이 = 0.

도의 기저가 양수이거나 변수를 포함하는 경우 제한 없이 도의 속성을 적용하는 것이 가능하며, 허용 가능한 값의 범위는 그 기저가 양수 값만 취하도록 하는 것입니다. 사실 내에서 학교 커리큘럼수학에서 학생의 임무는 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 것입니다.

대학 입학을 준비할 때 부정확한 속성 사용으로 인해 ODZ가 좁아지고 솔루션에 다른 어려움이 생기는 문제가 있을 수 있습니다. 이 섹션에서는 그러한 두 가지 경우만 분석할 것입니다. 주제에 대한 자세한 내용은 "전력 속성을 사용하여 표현식 변환" 항목에서 찾을 수 있습니다.

실시예 4

표현을 상상해보세요 a 2.5 (a 2) - 3: a - 5.5기수가 있는 차수로 NS.

해결책

첫째, 우리는 지수 속성을 사용하고 그것에 의해 두 번째 요소를 변환합니다 (a 2) - 3... 그런 다음 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하고 나누는 속성을 사용합니다.

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 - 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - (- 5, 5 ) = 2.

답변: a 2.5 (a 2) - 3: a - 5.5 = a 2.

도의 속성에 따른 지수 표현식의 변환은 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 반대 방향으로 모두 수행할 수 있습니다.

실시예 5

지수식 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3의 값을 구하세요.

해결책

평등을 적용하면 (a b) r = a r b r, 오른쪽에서 왼쪽으로 3 · 7 1 3 · 21 2 3 및 더 나아가 21 1 3 · 21 2 3 형식의 곱을 얻습니다. 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21과 같은 밑수로 도를 곱할 때 지수를 합산합니다.

변환을 수행하는 또 다른 방법이 있습니다.

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

답변: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

실시예 6

지수 식이 주어진다. 1, 5 - 0, 5 - 6, 새 변수 입력 t = a 0.5.

해결책

학위를 상상해보십시오. 1, 5어떻게 0.5 3... 우리는 정도의 속성을 사용합니다 (a r) s = ar s오른쪽에서 왼쪽으로 (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. 결과 표현식에 새 변수를 쉽게 입력할 수 있습니다. t = a 0.5: 우리는 얻는다 t 3 - t - 6.

답변: t 3 - t - 6.

거듭제곱을 포함하는 분수 변환하기

우리는 일반적으로 분수가 있는 지수 표현식의 두 가지 변형을 다룹니다. 표현식은 거듭제곱이 있는 분수이거나 그러한 분수를 포함합니다. 분수의 모든 기본 변환은 제한 없이 이러한 표현식에 적용할 수 있습니다. 그것들은 축소될 수 있고, 새로운 분모로 축소될 수 있고, 분자와 분모와 함께 따로따로 작동될 수 있습니다. 예를 들어 설명하겠습니다.

실시예 7

지수식 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2를 단순화합니다.

해결책

우리는 분수를 다루고 있으므로 분자와 분모 모두에서 변환을 수행합니다.

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

분모의 부호를 변경하려면 분수 앞에 빼기를 배치합니다. 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

답변: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

거듭제곱을 포함하는 분수는 유리 분수와 같은 방식으로 새로운 분모로 축소됩니다. 이렇게하려면 추가 요소를 찾아 분수의 분자와 분모에 곱해야합니다. 원래 표현식에 대한 ODZ 변수에서 변수 값에 대해 사라지지 않는 방식으로 추가 요소를 선택해야 합니다.

실시예 8

분수를 새로운 분모로 줄이십시오: a) a + 1 a 0, 7을 분모로 NS, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3의 분모 x + 8 y 1 2.

해결책

a) 새로운 분모를 감소시킬 수 있는 요인을 선택합시다. 0.7 0, 3 = 0.7 + 0, 3 = 에이,따라서 추가 요인으로 우리는 0, 3... 변수 a의 유효한 값 범위에는 모든 양의 실수 집합이 포함됩니다. 이 분야에서 학위 0, 3사라지지 않습니다.

분수의 분자와 분모를 곱해 봅시다. 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) 분모에 주목합시다.

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

이 표현식에 x 1 3 + 2 y 1 6을 곱하면 큐브 x 1 3과 2 y 1 6의 합, 즉 x + 8 y 1 2. 이것은 원래 분수를 줄여야 하는 새로운 분모입니다.

그래서 우리는 추가 요소 x 1 3 + 2 · y 1 6을 찾았습니다. 변수의 허용 가능한 값 범위 NS그리고 와이 x 1 3 + 2 y 1 6 표현식은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 곱할 수 있습니다.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

답변: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 1 2.

실시예 9

분수를 줄이십시오: a) 30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

해결책

a) 분자와 분모를 줄일 수 있는 최대공약수(GCD)를 사용합니다. 숫자 30과 45의 경우 이것은 15입니다. 우리는 또한 x 0.5 + 1그리고 x + 2 x 1 1 3 - 5 3에.

우리는 다음을 얻습니다:

30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0.5 + 1)

b) 여기에서 동일한 요인의 존재는 분명하지 않습니다. 분자와 분모에서 동일한 인수를 얻으려면 몇 가지 변환을 수행해야 합니다. 이를 위해 제곱 차이 공식을 사용하여 분모를 확장합니다.

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

답변: a) 30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

분수의 주요 작업에는 새 분모로 변환하고 분수를 줄이는 것이 포함됩니다. 두 작업 모두 여러 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더하고 뺄 때 먼저 분수를 다음으로 줄입니다. 공통분모, 그 후에 동작(더하기 또는 빼기)이 분자로 수행됩니다. 분모는 그대로 유지됩니다. 우리 행동의 결과는 새로운 분수이며, 분자의 분자는 분자의 곱이고 분모는 분모의 곱입니다.

실시예 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 단계를 따릅니다.

해결책

괄호 안의 분수를 빼서 시작합시다. 그것들을 공통 분모로 가져 가자:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

분자를 뺍니다.

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

이제 분수를 곱합니다.

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

정도 감소 x 1 2, 우리는 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1을 얻습니다.

또한 제곱의 차를 사용하여 분모의 지수 표현식을 단순화할 수 있습니다. 제곱 공식: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

답변: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

실시예 11

지수 표현식을 단순화합니다. x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
해결책

우리는 분수를 다음과 같이 줄일 수 있습니다. (x 2, 7 + 1) 2... 우리는 분수 x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1을 얻습니다.

x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1의 각도를 계속 변환합니다. 이제 동일한 밑수로 거듭제곱의 속성을 사용할 수 있습니다. x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

마지막 곱에서 분수 x 1 3 8 x 2, 7 + 1로 전달합니다.

답변: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

대부분의 경우 지수의 부호를 변경하여 분자에서 분모로 또는 그 반대로 음의 지수가 있는 승수를 전송하는 것이 더 편리합니다. 이 작업을 통해 추가 솔루션을 단순화할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 지수 표현식 (x + 1) - 0, 2 3 x - 1은 x 3 (x + 1) 0, 2로 대체될 수 있습니다.

근과 거듭제곱을 사용하여 표현식 변환

문제에는 분수 지수의 거듭제곱뿐만 아니라 근도 포함하는 거듭제곱 표현식이 있습니다. 이러한 표현은 근 또는 정도로만 줄이는 것이 바람직합니다. 작업하기 쉽기 때문에 학위로 가는 것이 바람직합니다. 이러한 전환은 원래 표현식에 대한 변수의 LDV가 모듈을 참조하거나 LDV를 여러 간격으로 분할할 필요 없이 근을 거듭제곱으로 바꿀 수 있는 경우에 특히 바람직합니다.

실시예 12

표현식 x 1 9 x x 3 6을 거듭제곱으로 상상해 보세요.

해결책

가변 범위 NS두 부등식으로 정의 x ≥ 0및 x x 3 ≥ 0, 이는 집합을 정의합니다. [ 0 , + ∞) .

이 세트에서 우리는 뿌리에서 권력으로 갈 권리가 있습니다.

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

도의 속성을 사용하여 결과 지수 표현식을 단순화합니다.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 X 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

답변: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

지수 변수를 사용한 거듭제곱 변환

이러한 변환은 정도의 속성이 올바르게 사용되면 수행하기가 매우 간단합니다. 예를 들어, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

우리는 변수와 숫자의 합이 있는 정도의 곱을 대체할 수 있습니다. 왼쪽에서 이것은 표현식의 왼쪽에 있는 첫 번째와 마지막 항을 사용하여 수행할 수 있습니다.

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0.5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

이제 우리는 평등의 양쪽을 다음으로 나눕니다. 7 2 x... 변수 x의 ODZ에 대한 이 표현식은 양수 값만 취합니다.

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0.5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

거듭제곱으로 분수를 줄이면 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0이 됩니다.

마지막으로 지수가 같은 거듭제곱의 비율은 비율의 거듭제곱으로 대체되어 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0이 되며 이는 5 5 7 x 2 -와 같습니다. 3 5 7 x - 2 = 0.

새로운 변수 t = 5 7 x를 도입하여 원래 지수 방정식의 해를 이차 방정식 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0의 해로 줄입니다.

거듭제곱과 로그를 사용하여 표현식 변환

도와 로그를 포함하는 표현식도 문제에서 발견됩니다. 이러한 표현식의 예는 다음과 같습니다. 1 4 1 - 5 · log 2 3 또는 log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. 이러한 표현식의 변환은 위에서 논의한 대수의 접근 방식과 속성을 사용하여 수행되며, "대수 표현식의 변환" 항목에서 자세히 논의했습니다.

텍스트에 오류가 있는 경우 해당 텍스트를 선택하고 Ctrl + Enter를 누르십시오.

거듭제곱 공식방정식과 부등식을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에 사용됩니다.

숫자 씨이다 NS-숫자의 거듭제곱 NS언제:

학위 작업.

1. 같은 기준으로 도를 곱하면 해당 지표가 합산됩니다.

오전n = m + n.

2. 같은 기준으로 학위를 나눌 때 지표를 뺍니다.

3. 2개 이상의 요인의 곱의 정도는 다음 요인의 차수의 곱과 같습니다.

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. 분수의 거듭제곱은 피제수와 제수의 거듭제곱의 비율과 같습니다.

(a / b) n = n / b n.

5. 도를 높이면 지수가 곱해집니다.

(a m) n = m n.

위의 각 공식은 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 참이며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

예를 들어. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

루트 작업.

1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.

2. 관계의 뿌리 비율과 같다뿌리의 배당과 제수:

3. 루트를 거듭제곱할 때 루트 수를 이 거듭제곱으로 올리면 충분합니다.

4. 뿌리의 정도를 높이면 NS한 번에 구축 NS- 루트 번호의 거듭제곱, 루트 값은 변경되지 않습니다.

5. 뿌리의 정도를 줄이면 NS한 번에 뿌리를 추출 NS-근수를 거듭제곱하면 근의 값은 변경되지 않습니다.

음의 지수가 있는 차수입니다.양수가 아닌(정수) 지수가 있는 숫자의 거듭제곱은 단위를 양수가 아닌 지수의 절대값과 동일한 지수를 가진 동일한 숫자의 거듭제곱으로 나눈 단위로 정의됩니다.

공식 오전: n = m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> NS, 하지만 또한 중< NS.

예를 들어. NS4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

공식이 오전: n = m - n공정해지면 m = n, 영도의 존재가 필요합니다.

제로 등급.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.

예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

분수 지수.실수를 세우려면 하지만정도 m / n, 루트를 추출해야 합니다. NS-차도 중- 이 숫자의 거듭제곱 하지만.

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우선 도의 기본 공식과 그 속성을 기억합시다.

숫자의 곱 NS n 번 발생하면 이 표현식을 a ... a = a n

1.a 0 = 1(a ≠ 0)

3. 아나 m = 엔 + m

4. (an) m = a nm

5.a n b n = (ab) n

7.a n / a m = an n - m

전원 또는 지수 방정식 - 이들은 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서 숫자 6은 밑수이고 항상 맨 아래에 있으며 변수는 NS정도 또는 지표.

다음은 지수 방정식의 몇 가지 예입니다.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

이제 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 취합시다.

2 x = 2 3

그러한 예는 마음 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국 왼쪽과 오른쪽이 같게 하려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 솔루션이 어떻게 공식화되어야 하는지 살펴보겠습니다.

2 x = 2 3
x = 3

그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 동일한 근거(즉, 듀스) 남은 것을 적는 것이 정도입니다. 원하는 답변을 얻었습니다.

이제 결정을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 푸는 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 오른쪽과 왼쪽에 밑이 있는지 여부. 근거가 같지 않다면 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같으면 같게 하다학위 및 결과 새로운 방정식을 해결합니다.

이제 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽의 밑변은 숫자 2와 같습니다. 즉, 밑변을 버리고 그 차수를 동일시할 수 있습니다.

x + 2 = 4 이것은 가장 간단한 방정식입니다.
x = 4 - 2
x = 2
답: x = 2

다음 예에서 밑이 3과 9가 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9x + 8 = 0

우선 9를 오른쪽으로 옮기면 다음을 얻습니다.

이제 동일한 베이스를 만들어야 합니다. 우리는 9 = 3 2라는 것을 알고 있습니다. 도(an) m = a nm의 공식을 사용합시다.

3 3x = (3 2) x + 8

우리는 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16을 얻습니다.

3 3x = 3 2x + 16 이제 왼쪽과 오른쪽밑수는 동일하고 3과 같습니다. 이는 우리가 그것들을 버리고 차수를 동일시할 수 있음을 의미합니다.

3x = 2x + 16은 가장 간단한 방정식을 얻었습니다.
3x - 2x = 16
x = 16
답: x = 16.

다음 예를 참조하십시오.

2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4

우선, 우리는베이스를보고베이스는 2와 4가 다릅니다. 그리고 우리는 그것들이 같아야 합니다. 4를 공식 (an n) m = a nm로 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식을 사용합니다: a n a m = a n + m:

2 2x + 4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 그 예를 같은 근거로 가져왔습니다. 그러나 우리는 다른 숫자 10과 24에 의해 방해를 받습니다. 그것들을 어떻게 할까요? 자세히 보면 왼쪽에서 2 2x를 반복한다는 것을 알 수 있습니다. 여기에 답이 있습니다. 2 2x 대괄호에서 빼낼 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4 = 2 2를 상상해 봅시다.

2 2x = 2 2 2개의 염기가 같으면, 우리는 그것들을 버리고 거듭제곱을 동일시합니다.
2x = 2 우리는 가장 간단한 방정식을 얻습니다. 우리는 그것을 2로 나눕니다.
x = 1
답: x = 1.

방정식을 풀자:

9 x - 12 * 3 x + 27 = 0

변환해 보겠습니다.
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3x +27 = 0

우리의 밑수는 3과 같습니다. 이 예에서 처음 세 개는 차수가 두 번째(단 x)보다 두 배(2x)인 것을 볼 수 있습니다. 이 경우 해결할 수 있습니다. 교체 방법... 숫자를 가장 작은 차수로 바꿉니다.

그런 다음 3 2x = (3x) 2 = t 2

t가 있는 방정식의 모든 거듭제곱을 x로 바꿉니다.

t 2 - 12t + 27 = 0
우리는 얻는다 이차 방정식... 판별식을 통해 해결하면 다음을 얻습니다.
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t 2 = 3

변수로 돌아가기 NS.

우리는 t 1을 취합니다:
t 1 = 9 = 3 x

그건,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

하나의 뿌리를 찾았습니다. 우리는 t 2에서 두 번째를 찾고 있습니다.
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.

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첫 번째 레벨

지수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 또는 나눗셈과 동일한 수학적 연산입니다.

이제 아주 간단한 예를 들어 인간의 언어로 모든 것을 설명하겠습니다. 주의를 기울이십시오. 예제는 기초적이지만 중요한 사항을 설명합니다.

덧셈부터 시작하겠습니다.

설명할 것이 없습니다. 당신은 이미 모든 것을 알고 있습니다. 우리 중 8명이 있습니다. 각각 콜라 두 병이 있습니다. 총 콜라가 얼마나 있습니까? 맞습니다 - 16병입니다.

이제 곱셈입니다.

동일한 콜라의 예를 다르게 작성할 수 있습니다. 수학자들은 교활하고 게으른 사람들입니다. 그들은 먼저 몇 가지 패턴을 알아차린 다음 빠르게 "세는" 방법을 생각해냅니다. 우리의 경우, 그들은 8명의 사람들 각각이 같은 수의 콜라 병을 가지고 있다는 것을 알아차리고 곱셈이라는 기술을 생각해 냈습니다. 동의합니다.보다 쉽고 빠른 것으로 간주됩니다.

따라서 오류 없이 더 빠르고 쉽게 계산하려면 다음을 기억하면 됩니다. 곱셈 구구표... 물론 모든 것을 더 느리게, 더 열심히, 실수로 할 수 있습니다! 하지만…

다음은 구구단입니다. 반복하다.

그리고 또 다른, 더 아름다운:

게으른 수학자들이 생각해 낸 다른 영리한 계산 트릭은 무엇입니까? 오른쪽 - 숫자를 거듭제곱으로 올리기.

숫자를 거듭제곱으로 올리기

숫자에 5번을 곱해야 하는 경우 수학자들은 이 숫자를 5승으로 올려야 한다고 말합니다. 예를 들어, . 수학자들은 2도에서 5도가 2도라는 것을 기억합니다. 그리고 그들은 머리 속에서 그러한 문제를 더 빠르고 쉽고 실수 없이 해결합니다.

당신이해야 할 모든 숫자의 거듭 제곱 표에서 강조 표시된 것을 기억하십시오.... 저를 믿으십시오, 이것은 당신의 삶을 훨씬 더 쉽게 만들 것입니다.

그건 그렇고, 왜 두 번째 학위는 정사각형숫자, 그리고 세 번째 - 입방체? 무슨 뜻이에요? 아주 좋은 질문입니다. 이제 정사각형과 큐브가 모두 생깁니다.

생활 예 # 1

제곱 또는 숫자의 두 번째 거듭제곱으로 시작하겠습니다.

제곱미터 크기의 수영장을 상상해 보십시오. 수영장은 시골집에 있습니다. 더워요. 수영이 정말 하고 싶어요. 그러나 ... 바닥이없는 수영장! 수영장 바닥을 타일로 덮을 필요가 있습니다. 얼마나 많은 타일이 필요합니까? 이것을 결정하려면 수영장 바닥의 면적을 알아야합니다.

손가락을 찔러보면서 수영장 바닥이 미터 단위 큐브로 구성되어 있다는 것을 간단히 셀 수 있습니다. 미터 단위의 타일이 있으면 조각이 필요합니다. 쉽지만... 이런 타일 어디서 봤어? 타일은 cm x cm가 될 것이며 "손가락을 세는 것"으로 고통받을 것입니다. 그런 다음 곱해야 합니다. 따라서 수영장 바닥의 한쪽에는 타일(조각)을 맞추고 다른 쪽에도 타일을 맞춥니다. 곱하면 타일()을 얻습니다.

수영장 바닥의 면적을 결정하기 위해 동일한 숫자를 곱한 것을 알고 계셨습니까? 무슨 뜻이에요? 같은 수를 곱하면 "지수" 기술을 사용할 수 있습니다. (물론 숫자가 2개뿐인 경우에도 곱하거나 거듭제곱을 합니다. 하지만 숫자가 많으면 거듭제곱을 하는 것이 훨씬 쉽고 계산 오류도 적습니다. 시험, 이것은 매우 중요합니다).
따라서 두 번째 학위의 30은 ()입니다. 또는 30제곱이 될 것이라고 말할 수 있습니다. 즉, 숫자의 2제곱은 항상 제곱으로 나타낼 수 있습니다. 반대로 정사각형이 보이면 항상 숫자의 두 번째 거듭제곱입니다. 제곱은 숫자의 두 번째 거듭제곱을 나타냅니다.

실생활 예 # 2

여기 당신을 위한 작업이 있습니다. 숫자의 제곱을 사용하여 체스판에 몇 개의 사각형이 있는지 세십시오... 셀의 한쪽과 다른 쪽에도 마찬가지입니다. 숫자를 세려면 8에 8을 곱해야 합니다. 또는 ... 체스판이 측면이 있는 정사각형이라는 것을 알게 되면 8을 제곱할 수 있습니다. 당신은 세포를 얻을 것이다. () 그래서?

실생활 예 3

이제 큐브 또는 숫자의 세 번째 거듭제곱입니다. 같은 수영장. 그러나 이제이 수영장에 얼마나 많은 물을 부어야하는지 알아 내야합니다. 부피를 계산해야 합니다. (그런데 부피와 액체는 다음과 같이 측정됩니다. 입방 미터... 뜻밖의 일이죠?) 수영장을 그립니다. 바닥은 1미터 크기에 깊이는 1미터이며 미터 단위로 몇 개의 큐브가 수영장에 들어갈지 계산해 보세요.

손가락을 가리키고 계산하십시오! 하나, 둘, 셋, 넷 ... 스물 둘, 스물 셋 ... 얼마나 나왔습니까? 분실되지 않았습니까? 손가락으로 세기가 어렵습니까? 하도록하다! 수학자들의 예를 들어보자. 그들은 게으르므로 수영장의 부피를 계산하려면 길이, 너비 및 높이를 서로 곱해야한다는 것을 알았습니다. 우리의 경우 풀의 볼륨은 큐브와 같을 것입니다 ... 더 쉽죠?

이제 수학자들이 이것을 단순화했다면 얼마나 게으르고 교활한 수학자들이었는지 상상해 보십시오. 그들은 모든 것을 하나의 행동으로 줄였습니다. 그들은 길이, 너비 및 높이가 같고 같은 숫자가 자체적으로 곱해진다는 것을 알아차렸습니다. 그것은 무엇을 의미합니까? 즉, 학위를 활용할 수 있습니다. 따라서 한 번 손가락으로 세었던 것을 한 번의 동작으로 수행합니다. 큐브의 3개는 동일합니다. 다음과 같이 작성됩니다.

남아있을뿐 학위 표를 기억하십시오... 물론 당신이 수학자처럼 게으르고 교활하지 않다면 말입니다. 열심히 일하고 실수하는 것을 좋아한다면 계속해서 손가락으로 셀 수 있습니다.

글쎄, 학위가 게으른 사람들과 교활한 사람들이 그들의 문제를 해결하기 위해 발명했다는 것을 마침내 당신에게 확신시키기 위해 삶의 문제, 그리고 당신을 위해 문제를 만들기 위해서가 아니라, 여기에 인생에서 몇 가지 더 많은 예가 있습니다.

생활 예 4

당신은 백만 루블이 있습니다. 매년 초에 백만에서 또 다른 백만을 만듭니다. 즉, 매년 초에 귀하의 100만 명당 2배가 됩니다. 몇 년 후에 돈이 얼마나 될까요? 당신이 지금 앉아서 "손가락으로 세고" 있다면, 당신은 매우 열심히 일하는 사람이고 ... 바보입니다. 그러나 당신은 똑똑하기 때문에 몇 초 안에 답을 줄 것입니다! 그래서 첫해에 두 번 두 번 ... 두 번째 해에 일어난 일은 세 번째 해에 두 번 더 ... 그만! 숫자가 한 번 곱해지는 것을 알았습니다. 따라서 2의 5제곱은 백만입니다! 이제 경쟁이 있고 더 빨리 계산하는 사람이 그 수백만을받을 것이라고 상상해보십시오 ... 숫자의 정도를 기억할 가치가 있습니까? 어떻게 생각하십니까?

생활 예 5

당신은 백만이 있습니다. 매년 초에 100만 달러당 2배를 더 벌게 됩니다. 훌륭하지 않습니까? 백만 세 배마다. 몇 년 안에 돈이 얼마나 될까요? 계산합시다. 첫해 - 곱하고 다른 결과로 ... 이미 모든 것을 이해했기 때문에 이미 지루합니다. 세 배가 자체적으로 곱해집니다. 따라서 4제곱은 백만과 같습니다. 3의 4제곱은 or라는 것만 기억하면 됩니다.

이제 당신은 숫자를 거듭제곱함으로써 당신의 삶을 크게 용이하게 할 것이라는 것을 압니다. 학위로 무엇을 할 수 있고 학위에 대해 알아야 할 사항을 살펴보겠습니다.

용어 및 개념 ... 혼동되지 않도록

따라서 먼저 개념을 정의해 보겠습니다. 어떻게 생각하나요, 지수는 무엇입니까? 이것은 매우 간단합니다. 이것은 숫자의 거듭제곱의 "최상위"에 있는 숫자입니다. 과학적이지는 않지만 이해하기 쉽고 기억하기 쉬운 ...

글쎄요 동시에 그 그러한 학위 기반? 더 간단한 것은 밑바닥에 있는 숫자입니다.

여기에 확실하게 그림이 있습니다.

음, 에 일반보기, 요약하고 더 잘 기억하기 위해 ... 밑이 ""이고 지수가 ""인 정도는 "도"로 읽고 다음과 같이 작성합니다.

자연 지수가 있는 수의 차수

당신은 아마 이미 추측했을 것입니다: 왜냐하면 지수는 자연수... 예, 하지만 무엇 자연수? 초등학교! 자연수는 개체를 나열할 때 계산에 사용되는 것입니다. 하나, 둘, 셋 ... 개체를 셀 때 "빼기 5", "빼기 6", "빼기 7"이라고 말하지 않습니다. 우리는 또한 "1/3" 또는 "0점, 5/10"이라고 말하지 않습니다. 이것은 자연수가 아닙니다. 어떤 숫자라고 생각하세요?

"마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"과 같은 숫자는 정수.일반적으로 정수에는 모든 자연수, 자연수와 반대되는 숫자(즉, 빼기 기호를 사용) 및 숫자가 포함됩니다. Zero는 이해하기 쉽습니다. 이것은 아무것도 없을 때입니다. 음수("빼기")는 무엇을 의미합니까? 그러나 그들은 주로 부채를 표시하기 위해 발명되었습니다. 휴대 전화에 루블이 있으면 운영자 루블을 빚지고 있음을 의미합니다.

모든 분수는 유리수입니다. 그것들이 어떻게 생겼습니까? 매우 간단합니다. 수천 년 전에 우리 조상들은 길이, 무게, 면적 등을 측정하는 자연수가 없다는 것을 발견했습니다. 그리고 그들은 생각해 냈습니다. 유리수... 흥미롭죠?

무리한 숫자도 있습니다. 이 숫자는 무엇입니까? 한마디로 무한소수입니다. 예를 들어 원의 둘레를 지름으로 나누면 무리수가 됩니다.

요약:

지수가 자연수(즉, 정수와 양수)인 차수의 개념을 정의합시다.

1. 첫 번째 거듭 제곱의 모든 숫자는 자체와 같습니다.
2. 숫자를 제곱하는 것은 그 자체로 곱하는 것입니다.
3. 숫자를 세제곱하는 것은 자신을 세 번 곱하는 것입니다.

정의.숫자를 자연 거듭제곱으로 올리는 것은 숫자에 자기 자신을 곱하는 것을 의미합니다.
.

전력 속성

이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 지금 보여드리겠습니다.

보자 : 무엇입니까 그리고 ?

정의에 따르면:

총 몇 가지 요인이 있습니까?

매우 간단합니다. 승수에 승수를 추가했고 합계는 승수입니다.

그러나 정의에 따르면 지수가 있는 숫자의 정도, 즉 증명해야 하는 정도입니다.

예: 표현을 단순화합니다.

해결책:

예:표현을 단순화합니다.

해결책:우리 규칙에서 필연적으로같은 기반이 있어야합니다!
따라서 우리는 학위를 기본과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.

학위의 제품만을 위해!

어떤 경우에도 그렇게 쓸 수 없습니다.

2.그것은 - 숫자의 거듭제곱

이전 속성과 마찬가지로 차수의 정의를 살펴보겠습니다.

표현식은 한 번 자체적으로 곱해지는 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 제곱입니다.

본질적으로 이것은 "지표 괄호"라고 할 수 있습니다. 하지만 절대 이렇게 해서는 안 됩니다.

약식 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 몇 번이나 쓰고 싶었습니까?

그러나 이것은 사실이 아닙니다.

음수 기준 학위

지금까지는 지수가 무엇이어야 하는지에 대해서만 논의했습니다.

그러나 기초는 무엇이어야 합니까?

와 함께 자연 지표기초가 될 수 있습니다 임의의 숫자... 실제로 우리는 양수, 음수 또는 짝수에 관계없이 모든 숫자를 서로 곱할 수 있습니다.

어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 힘을 가질지 생각해 봅시다.

예를 들어, 숫자가 양수입니까 아니면 음수입니까? 하지만? ? 첫 번째 경우 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.

그러나 부정적인 것이 조금 더 흥미 롭습니다. 결국, 우리는 6 학년의 간단한 규칙을 기억합니다. "마이너스는 마이너스를 제공합니다." 즉, 또는. 그러나 곱하면 효과가 있습니다.

다음 표현식에 어떤 기호가 표시될지 스스로 결정하십시오.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

관리하셨나요?

답은 다음과 같습니다. 처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 밑수와 지수만 보고 적절한 규칙을 적용합니다.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

예 5)에서 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 기본이 무엇과 같은지는 중요하지 않습니다. 차수가 짝수이므로 결과가 항상 양수임을 의미합니다.

음, 밑이 0인 경우를 제외하고. 기초가 평등하지 않습니까? (왜냐하면) 이후로 분명히 아닙니다.

예 6) 더 이상 쉽지 않습니다!

훈련할 6가지 예

솔루션 6 예제 구문 분석

8급 외에 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 우리는 7학년 프로그램을 기억합니다. 기억나세요? 이것은 약식 곱셈의 공식, 즉 제곱의 차입니다! 우리는 다음을 얻습니다:

분모를 자세히 살펴보겠습니다. 분자의 승수 중 하나와 많이 비슷해 보이지만 무엇이 잘못되었나요? 용어의 순서가 잘못되었습니다. 만약 그것들을 뒤집는다면, 규칙이 적용될 수 있습니다.

하지만 어떻게 해야 할까요? 매우 쉬운 것으로 판명되었습니다. 분모의 짝수 정도가 여기에서 우리를 돕습니다.

조건은 마술처럼 역전됩니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균등하게 적용할 수 있습니다. 괄호 안의 기호는 자유롭게 변경할 수 있습니다.

그러나 다음을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 표시가 동시에 바뀝니다.!

예제로 돌아가 보겠습니다.

그리고 다시 공식:

전체우리는 그들과 반대되는 자연수 (즉, ""기호로 취함)와 숫자를 부릅니다.

양의 정수, 그러나 자연과 다르지 않습니다. 그러면 모든 것이 이전 섹션과 똑같이 보입니다.

이제 몇 가지 새로운 사례를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 지표부터 시작하겠습니다.

0도의 모든 숫자는 1과 같습니다.:

항상 그렇듯이 스스로에게 질문해 봅시다. 왜 그럴까요?

베이스로 어느 정도 고려하십시오. 예를 들어 다음을 곱합니다.

그래서, 우리는 그 숫자를 곱했고, 우리는 그것과 같은 것을 얻었습니다 -. 그리고 아무 것도 변하지 않도록 어떤 숫자를 곱해야합니까? 맞아요. 수단.

임의의 숫자로 동일한 작업을 수행할 수 있습니다.

규칙을 반복해 보겠습니다.

0도의 모든 숫자는 1과 같습니다.

그러나 많은 규칙에 예외가 있습니다. 그리고 여기에도 있습니다. 이것은 숫자입니다(기준으로).

한편으로, 그것은 어느 정도와 같아야합니다. 자신을 얼마나 곱하든 상관없이 여전히 0을 얻을 것입니다. 이것은 분명합니다. 그러나 다른 한편으로는 0도의 모든 숫자와 마찬가지로 동일해야 합니다. 그렇다면 이 중 어느 것이 사실일까요? 수학자들은 관여하지 않기로 결정하고 0에서 0으로 올리기를 거부했습니다. 즉, 이제 0으로 나눌 수 있을 뿐만 아니라 0의 거듭제곱으로 올릴 수도 있습니다.

더 가자. 자연수와 숫자 외에도 음수는 정수에 속합니다. 음의 거듭제곱이 무엇인지 이해하기 위해 지난 시간과 동일하게 수행해 보겠습니다. 정상적인 숫자에 동일한 음의 거듭제곱을 곱합니다.

여기에서 이미 원하는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.

이제 결과 규칙을 임의의 정도로 확장합니다.

따라서 규칙을 공식화해 보겠습니다.

음의 거듭제곱에 있는 숫자는 양의 거듭제곱에 있는 동일한 숫자에 역수입니다. 하지만 동시에 기본은 null일 수 없습니다.(나누어 나눌 수 없기 때문에).

요약하자면:

I. case에 명시되지 않은 표현. 그렇다면.

Ⅱ. 0도까지의 모든 숫자는 1과 같습니다.

III. 0과 같지 않은 숫자는 양의 거듭 제곱에서 같은 숫자에 역의 음의 거듭 제곱입니다.

독립 솔루션을 위한 작업:

음, 그리고 평소와 같이 독립 솔루션의 예:

독립 솔루션을 위한 작업 분석:

숫자가 끔찍하다는 것을 압니다. 하지만 시험에서는 무엇이든 준비해야 합니다! 이 예제를 풀거나 풀지 못했다면 솔루션을 분석하고 시험에서 쉽게 대처하는 방법을 배우게 될 것입니다!

지수로 "적합한"숫자의 원을 계속 확장합시다.

이제 고려 유리수.어떤 숫자를 합리적이라고 합니까?

답: 분수로 나타낼 수 있는 모든 것, 여기서 및 는 정수입니다.

무엇인지 이해하려면 분수도, 분수를 고려하십시오.

방정식의 양변을 거듭제곱해 보겠습니다.

이제 다음 규칙을 기억합시다. "정도에 학위":

얻으려면 몇 거듭제곱을 올려야 합니까?

이 공식은 th 루트의 정의입니다.

다시 말씀드리지만, 숫자()의 제곱근은 거듭제곱할 때와 같은 숫자입니다.

즉, th 거듭제곱의 루트는 지수의 역연산입니다.

밝혀졌습니다. 분명히, 이 특별한 경우는 확장될 수 있습니다.

이제 분자를 추가합니다. 무엇입니까? 답은 차수 규칙을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.

그러나 밑수가 아무 숫자나 될 수 있습니까? 결국 모든 숫자에서 루트를 추출할 수는 없습니다.

없음!

규칙을 기억하십시오. 짝수로 거듭난 숫자는 양수입니다. 즉, 음수에서 짝수 차수의 근을 추출할 수 없습니다!

그리고 이것은 그러한 숫자를 분모가 짝수인 분수 거듭제곱으로 올릴 수 없음을 의미합니다. 즉, 표현이 의미가 없습니다.

표현은 어떻습니까?

그러나 여기서 문제가 발생합니다.

숫자는 다른 취소 가능한 분수로 표시될 수 있습니다(예: 또는).

그리고 그것이 존재하지만 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 이것은 같은 번호의 두 가지 다른 기록 일뿐입니다.

또는 다른 예: 한 번, 그러면 쓸 수 있습니다. 그러나 지표를 다른 방식으로 기록하면 다시 골치 아픈 문제가 발생합니다(즉, 완전히 다른 결과를 얻었습니다!).

이러한 역설을 피하기 위해 우리는 다음을 고려합니다. 분수 지수가 있는 양수 기수만.

그래서 만약:

• - 자연수;
• - 정수

예:

합리적 지수는 루트 표현식을 변환하는 데 매우 유용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

훈련할 5가지 예

훈련을 위한 5가지 예시 분석

그리고 지금 가장 어려운 부분. 이제 우리는 분석 할 것입니다 비합리적인 정도.

여기서 차수의 모든 규칙과 속성은 다음을 제외하고 합리적인 지수가 있는 차수의 경우와 정확히 동일합니다.

실제로 정의상 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 숫자이며 여기서 및는 정수입니다(즉, 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).

자연스럽고 전체적이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 일종의 "이미지", "유추"또는 설명을보다 친숙한 용어로 만들었습니다.

예를 들어, 자연 지수는 자신을 여러 번 곱한 숫자입니다.

...0의 거듭제곱 숫자- 말 그대로 한 번 곱한 숫자, 즉 아직 곱하기 시작하지 않았으므로 숫자 자체가 나타나지도 않았으므로 결과는 일종의 "빈 숫자"입니다. ", 즉 번호;

...정수 음수 지수- 마치 일종의 "역과정"이 발생한 것 같았습니다. 즉, 숫자가 자체적으로 곱해지는 것이 아니라 나누었습니다.

그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지표가있는 정도가 자주 사용됩니다. 즉 지표가 실수가 아닙니다.

그러나 학교에서 우리는 그러한 어려움에 대해 생각하지 않으며 연구소에서 이러한 새로운 개념을 이해할 수 있는 기회를 갖게 될 것입니다.

당신이 가고 있다고 확신하는 곳! (이러한 예제를 해결하는 방법을 배운다면 :))

예를 들어:

스스로 결정하십시오:

솔루션 분석:

1. 권력을 권력으로 끌어올리기 위한 이미 일반적인 규칙부터 시작하겠습니다.

이제 지표를 보십시오. 그가 당신에게 생각나는 것이 있습니까? 우리는 제곱의 차이인 약식 곱셈 공식을 기억합니다.

이 경우,

다음과 같이 밝혀졌습니다.

답변: .

2. 지수의 분수를 같은 형식으로 가져옵니다. 둘 다 십진수 또는 둘 다 보통입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

답: 16

3. 특별한 것은 없습니다. 우리는 학위의 일반적인 속성을 적용합니다:

고급 레벨

학위의 결정

학위는 형식:의 표현입니다. 여기서:

• — 학위의 기초;
• - 지수.

자연 지수의 차수(n = 1, 2, 3, ...)

숫자를 자연 거듭제곱 n으로 올리는 것은 숫자에 자기 자신을 곱하는 것을 의미합니다.

정수 차수(0, ± 1, ± 2, ...)

지수가 전체 긍정적숫자:

발기 0으로:

표현식은 무한정입니다. 왜냐하면 한편으로는 어떤 정도 - this, 다른 한편으로는 - th 차수의 모든 숫자 - this이기 때문입니다.

지수가 전체 부정숫자:

(나누어 나눌 수 없기 때문에).

다시 한번 0에 대해: 표현식은 경우에 대해 정의되지 않습니다. 그렇다면.

예:

합리적인 등급

• - 자연수;
• - 정수

예:

전력 속성

문제를 더 쉽게 해결할 수 있도록 다음을 이해해 보겠습니다. 이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 그들을 증명합시다.

보자 : 그리고 무엇입니까?

정의에 따르면:

따라서 이 표현식의 오른쪽에는 다음 제품이 표시됩니다.

그러나 정의에 따르면 지수가 있는 숫자의 거듭제곱은 다음과 같습니다.

Q.E.D.

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : .

예 : 표현을 단순화합니다.

해결책 : 우리 규칙에서 필연적으로동일한 기반을 가져야 합니다. 따라서 우리는 학위를 기본과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.

또 다른 중요한 참고 사항: 이 규칙은 - 학위 제품에 대해서만!

절대 그렇게 쓰면 안됩니다.

이전 속성과 마찬가지로 차수의 정의를 살펴보겠습니다.

이 부분을 다음과 같이 재정렬해 보겠습니다.

표현식은 한 번 자체적으로 곱해지는 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 제곱입니다.

본질적으로 이것은 "지표 괄호"라고 할 수 있습니다. 그러나 당신은 이것을 총체적으로 해서는 안됩니다:!

약식 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 몇 번이나 쓰고 싶었습니까? 그러나 이것은 사실이 아닙니다.

부정적인 근거가 있는 학위.

지금까지 우리는 그것이 어떻게 되어야 하는지에 대해서만 논의했습니다. 인덱스도. 그러나 기초는 무엇이어야 합니까? 와 함께 자연스러운 지시자 기초가 될 수 있습니다 임의의 숫자 .

실제로 우리는 양수, 음수 또는 짝수에 관계없이 모든 숫자를 서로 곱할 수 있습니다. 어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 힘을 가질지 생각해 봅시다.

예를 들어, 숫자가 양수입니까 아니면 음수입니까? 하지만? ?

첫 번째 경우 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.

그러나 부정적인 것이 조금 더 흥미 롭습니다. 결국, 우리는 6 학년의 간단한 규칙을 기억합니다. "마이너스는 마이너스를 제공합니다." 즉, 또는. 그러나 ()를 곱하면 -가 됩니다.

그리고 무한대로 계속됩니다. 각 후속 곱셈과 함께 부호가 변경됩니다. 다음과 같은 간단한 규칙을 공식화할 수 있습니다.

1. 조차학위, - 숫자 긍정적 인.
2. 음수 이상한학위, - 숫자 부정적인.
3. 어느 정도 양수는 양수입니다.
4. 0의 거듭제곱은 0과 같습니다.

다음 표현식에 어떤 기호가 표시될지 스스로 결정하십시오.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

관리하셨나요? 답변은 다음과 같습니다.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 밑수와 지수만 보고 적절한 규칙을 적용합니다.

예 5)에서 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 기본이 무엇과 같은지는 중요하지 않습니다. 차수가 짝수이므로 결과가 항상 양수임을 의미합니다. 음, 밑이 0인 경우를 제외하고. 기초가 평등하지 않습니까? (왜냐하면) 이후로 분명히 아닙니다.

예 6)은 더 이상 그렇게 간단하지 않습니다. 여기에서 어느 것이 더 적은지 알아내야 합니다. 당신이 그것을 기억한다면, 그것은 밑이 0보다 작다는 것을 의미한다는 것이 분명해집니다. 즉, 규칙 2를 적용합니다. 결과는 음수입니다.

그리고 다시 우리는 정도의 정의를 사용합니다:

모든 것이 평소와 같습니다. 우리는 정도의 정의를 적고 서로 나누고 쌍으로 나누고 다음을 얻습니다.

마지막 규칙을 검토하기 전에 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

표현식의 값을 계산하십시오.

솔루션 :

8급 외에 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 우리는 7학년 프로그램을 기억합니다. 기억나세요? 이것은 약식 곱셈의 공식, 즉 제곱의 차입니다!

우리는 다음을 얻습니다:

분모를 자세히 살펴보겠습니다. 분자의 승수 중 하나와 많이 비슷해 보이지만 무엇이 잘못되었나요? 용어의 순서가 잘못되었습니다. 만약 그것들이 바뀌었다면 규칙 3이 적용될 수 있었는데, 어떻게 이것이 가능할까요? 매우 쉬운 것으로 판명되었습니다. 분모의 짝수 정도가 여기에서 우리를 돕습니다.

곱해도 달라지는 건 없겠죠? 그러나 이제 다음과 같이 밝혀졌습니다.

조건은 마술처럼 역전됩니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균등하게 적용할 수 있습니다. 괄호 안의 기호는 자유롭게 변경할 수 있습니다. 그러나 다음을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 표시가 동시에 바뀝니다!마음에 들지 않는 단점 하나만 바꾸면 대체할 수 없다!

예제로 돌아가 보겠습니다.

그리고 다시 공식:

이제 마지막 규칙:

우리는 그것을 어떻게 증명할 것인가? 물론 평소와 같이 차수의 개념을 확장하고 단순화합시다.

이제 브래킷을 열어 ​​보겠습니다. 글자가 몇 개가 될까요? 승수에 의한 배 - 어떻게 생겼습니까? 이것은 작업의 정의에 지나지 않습니다. 곱셈: 승수만 있었다. 즉, 정의상 지수가 있는 숫자의 차수입니다.

예:

불합리한 등급

중급 수준의 정도에 대한 정보 외에도 비합리적인 지수가 있는 정도가 있습니다. 여기에서 도의 모든 규칙과 속성은 유리 지수가 있는 도의 경우와 완전히 동일하지만 예외를 제외하고는 - 결국, 무리수는 정의에 따라 분수로 나타낼 수 없는 숫자이며, 여기서 및는 정수입니다. 즉, 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).

자연스럽고 전체적이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 일종의 "이미지", "유추"또는 설명을보다 친숙한 용어로 만들었습니다. 예를 들어, 자연 지수는 자신을 여러 번 곱한 숫자입니다. 0도의 숫자는 말하자면 한 번 곱한 숫자, 즉 아직 곱하기 시작하지 않았으므로 숫자 자체가 아직 나타나지도 않았으므로 결과는 다음과 같습니다. 일종의 "빈 숫자", 즉 숫자; 정수 음수 지수가있는 차수는 일종의 "역 과정"이 발생한 것과 같습니다. 즉, 숫자가 자체적으로 곱해지는 것이 아니라 나눈 것입니다.

비합리적인 지수로 차수를 상상하는 것은 극히 어렵습니다(4차원 공간을 상상하기 어려운 것처럼). 오히려 순수하다 수학적 개체, 수학자들이 정도의 개념을 숫자의 전체 공간으로 확장하기 위해 만든 것입니다.

그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지표가있는 정도가 자주 사용됩니다. 즉 지표가 실수가 아닙니다. 그러나 학교에서 우리는 그러한 어려움에 대해 생각하지 않으며 연구소에서 이러한 새로운 개념을 이해할 수 있는 기회를 갖게 될 것입니다.

그렇다면 비합리적인 지수를 볼 때 우리는 어떻게 해야 할까요? 우리는 그것을 없애기 위해 온 힘을 다하고 있습니다! :)

예를 들어:

스스로 결정하십시오:

1)

2)

3)

대답:

1. 우리는 제곱의 차에 대한 공식을 기억합니다. 답변: .
2. 우리는 분수를 같은 형식으로 가져옵니다: 둘 다 소수점 이하 자릿수 또는 둘 다 일반 자릿수. 예를 들어 다음을 얻습니다.
3. 특별한 것은 없습니다. 우리는 도의 일반적인 속성을 적용합니다.

섹션 요약 및 기본 공식

도다음과 같은 형식의 표현이라고 합니다.

정수 차수

지수가 자연수(즉, 정수 및 양수)인 정도.

합리적인 등급

지수는 음수와 분수입니다.

불합리한 등급

차수, 지수는 무한 소수 또는 근입니다.

전력 속성

학위의 특징.

• 음수 조차학위, - 숫자 긍정적 인.
• 음수 이상한학위, - 숫자 부정적인.
• 어느 정도 양수는 양수입니다.
• 0은 어느 정도와 같습니다.
• 0도까지의 모든 숫자는 동일합니다.

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