복잡한 유도체. 로그 유도체
- 지수 및 대수 기능의 파생 상품의 표
간단한 기능의 파생 상품
1. 숫자의 파생물은 0입니다c '\u003d 0.
예:
5 '\u003d 0.
설명:
파생물은 인수가 변경 될 때 함수 값을 변경하는 속도를 표시합니다. 숫자가 상황 없음에서 변경되지 않으므로 변경 속도는 항상 0입니다.
2. 변수의 파생물 일치와 동등한 것
x '\u003d 1.
설명:
단위당 인수 (x)의 각 증분을 사용하면 함수의 값 (계산 결과)이 동일한 크기로 증가합니다. 따라서, y \u003d x 함수의 변화 값의 비율은 인수의 값의 변화율과 정확히 동일하다.
3. 변수의 파생물과 곱셈기는이 요소와 같습니다.
cX '\u003d S.
예:
(3x) '\u003d 3.
(2x) '\u003d 2.
설명:
이 경우 함수 인수의 각 변경 ( 하류) 그 가치 (y)는 증가하고 있습니다 ...에서 시각. 따라서, 인수의 변화율에 대한 함수의 변화 값의 비율은 정확히 동일하다. ...에서.
그것이 어디에 있는지부터
(CX + B) "\u003d C.
즉, 선형 함수 Y \u003d Kx + B의 차이는 틸트 (k)의 각도 계수와 동일하다.
4. 모듈 파생 상품 개인 원 변수와 동일한 모듈과 동일합니다
| X | "\u003d x / | x | 그 x ∈ 0을 제공했습니다
설명:
가변 유도체 (공식 2 참조)가 유닛과 동일하기 때문에, 모듈의 유도체는 기원의 원점의 원점이 교차 할 때 함수 변경의 함수의 값이 반대로 변화하는 것에 의해서만 모듈의 유도체가 구별된다. (y \u003d | x | x | x의 함수를 그리기 시도하십시오. 값을 반환하고 반환 값 x / | x |. x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - 일치. 즉, 인수가 변경 될 때마다 변수 x의 음수 값을 사용하면 기능의 값이 정확히 동일한 값으로 축소되며, 반대로, 그것은 증가하지만 똑같은 의미는 증가합니다.
5. 학위 파생물 이 정도의 수와 변수의 곱과 동일한 정도로 감소한 것과 동일합니다.
(x c) "\u003d CX C-1XC 및 CX C-1이 정의되고 C ≠ 0이 제공된다면
예:
(x 2) "\u003d 2x.
(x 3) "\u003d 3x 2.
공식을 암기하는 것:
"아래로"변수의 정도를 곱셈기로 만들고 단위당 학위 정도를 줄입니다. 예를 들어, x 2 - 2가 ICA보다 앞서 나온 다음 감소 된 정도 (2-1 \u003d 1)는 단순히 우리에게 2x를주었습니다. 똑같은 일이 x 3 - 상위 3 인치 내려 가기 ", 우리는 단위당 그것을 감소시키고, 우리는 사각형, 즉 3x 2입니다. 조금 "과학적이지 않은"그러나 매우 쉽게 기억하기가 쉽습니다.
6. 유래 1 / X.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
예:
분수는 음성 정도의 구성으로 표현 될 수 있기 때문에
(1 / x) "\u003d (x -1)", 그런 다음 파생 테이블의 규칙 5에서 수식을 적용 할 수 있습니다.
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2
7. 유래 변동 차수 분모에서
(1 / x c) "\u003d. - C / X C + 1.
예:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3
8. 루트 파생 상품 (정사각형 루트에서 가변 유도체)
(√x) "\u003d 1 / (2 ℃) 또는 1/2 x -1/2.
예:
(√x) "\u003d (x 1/2)"로 규칙 5에서 수식을 적용 할 수 있습니다.
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2˚x)
9. 무작위 수의 파생 변수
(n √x) "\u003d 1 / (nn √x n-1)
파생물을 찾는 작업을 차별화라고합니다.
인수에 대한 태도의 한계로서 파생물을 결정하기 위해 파생 상품을 결정하기 위해 파생물을 찾는 것에 대한 파생 상품을 찾는 것에 따라 파생 상품과 정확하게 정의 된 차별화 규칙이 나타났습니다. Isaac Newton (1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)는 파생 상품의 결과 분야에서 처음이었습니다.
따라서 우리 시대에는 모든 기능의 파생물을 찾으려면 기능의 증분의 비율의 비율의 위의 한계를 계산할 필요가 없으며 파생 상품 및 차별화 규칙 테이블 만 사용해야합니다. ...에 파생물을 찾으려면 다음 알고리즘이 적합합니다.
파생 상품을 찾으려면뇌졸중의 표시 아래에 표현이 필요합니다. 간단한 기능의 구성 요소를 분해하십시오 그리고 어떤 행동을 결정하십시오 (일, 금액, 개인) 이러한 기능이 연결됩니다. 다음으로, 기본 기능의 유도체는 파생 상품 및 차별화 규칙에서 파생 상품, 금액 및 개인의 수식에서 발견된다. 파생 상품 및 차별화 규칙은 처음 두 가지 예제에 제시됩니다.
예제 1. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 분화 규칙에서, 우리는 기능의 기능의 파생물이 파생 상품의 양이다.
파생 상품 테이블에서 우리는 "ICCA"의 파생물이 하나와 같고 부비동 유도체는 코사인임을 알아 낸다. 우리는 이러한 값을 파생 상품의 양으로 대체하고 우리는 작업 파생 상품의 필수 조건을 찾습니다.
예 2. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 유도체 신호에 의해 일정한 요소가있는 두 번째 용어가 도달 할 수있는 파생물 합계로서 구분할 수 있습니다.
아직 질문이있는 경우, 그것이 수행되는 곳에서는 일반적으로 표 파생 상품과 가장 간단한 차별화 규칙을 익숙하게 여전히 명확히합니다. 우리는 지금 그들에게 간다.
파생 된 간단한 기능의 표
| 1. 파생 상수 (숫자). 함수의 표현에있는 모든 숫자 (1, 2, 5, 200 ...). 항상 0과 같습니다. 매우 자주 필요하기 때문에 기억하는 것이 매우 중요합니다. | |
| 2. 독립 변수의 파생물. 가장 자주 "Iksa". 항상 하나와 같습니다. 오랫동안 기억하는 것도 중요합니다. | |
| 3. 파생 된 학위. 구식 뿌리를 변환하는 데 필요한 작업을 해결하는 학위. | |
| 4. 변수 유도체 - 정도 -1 | |
| 5. 정사각형 루트 유도체 | |
| 6. 부비동 유도체 | |
| 7. 코사인 미분 |  |
| 8. 파생 탄젠트 |  |
| 9. Kotangens의 파생물 |  |
| 10. Arksinus 유도체 |  |
| 11. Arckosinus 유도체 |  |
| 12. Arctangen 유도체 |  |
| 13. Arkkotangen 유도체 |  |
| 14. 자연 대수의 파생물 | |
| 15. 미분 대수 기능 |  |
| 16. 파생금을 나타냅니다 | |
| 17. 미분 지표 기능 |
차별화 규칙
| 1. 파생 금액 또는 차이 |  |
| 2. 파생 상품 |  |
| 도 2a. 표현식의 파생물은 일정한 승산기를 곱했습니다. | |
| 3. 개인 파생 상품 |  |
| 4. 파생 복잡한 기능 |  |
규칙 1. 기능이있는 경우
차별적으로 어느 시점에서, 그런 다음 동일한 점에서 차별화되고 함수
과
그. 대수량 기능의 유도체는 이러한 기능의 유도체의 대수량과 동일합니다.
추론. 영구적 인 용어가 두 가지 다른 기능이 다른 경우 파생 상품이 동일합니다....에
규칙 2.기능이있는 경우
차별적으로 어떤 시점에서, 그 다음, 다르게 같은 시점과 그들의 작품
과
그. 두 함수의 파생물은 서로 다른 파생물의 각 기능의 작품의 양과 같습니다.
corollary 1. 파생 상표를 위해 영구 배율을 만들 수 있습니다:
corollary 2. 여러 차별화 된 기능의 작품의 파생물은 다른 모든 요인의 파생 제품의 제품의 양과 동일합니다.
예를 들어, 3 개의 곱셈기의 경우 :
규칙 3.기능이있는 경우
몇 가지 시점에서 차이 과 , 그런 다음이 시점에서 다르게 그리고 그들의 비공개u / v 및
그. 개인 두 기능의 유도체는 분수와 같고, 분모 유도체상의 분자의 유도체 및 분자의 유도체상의 분모의 생성기의 차이이고, 분모는 이전 분자의 정사각형이다. ...에
다른 페이지에서 무엇을 찾을 수 있는지
실제 작업으로 작업 및 비공개의 파생물을 찾을 때 여러 차별화 규칙을 항상 적용 할 수 있으므로이 파생 물질에 대한 더 많은 예가 있습니다."파생 상품 및 개인 기능".
논평.일정한 (즉, 숫자) 금액과 일정한 승수로서의 용어로 혼동해서는 안됩니다! 기초의 경우, 그 파생물은 0이며, 일정한 승산기의 경우 파생 상표의 부호에 대해 제출됩니다. 이것은 일치하는 전형적인 오류입니다 첫 단계 파생 상품의 연구,하지만 몇 가지 단일 체적 사례가 이미 해결되었으므로 중간 학생 이 오류는 더 이상 작동하지 않습니다.
그리고 일이나 비공개의 차별화를 통해 기간이 나타나는 경우 유."v. , 그 안에서, 유. - 예를 들어, 2 또는 5, 즉 상수,이 숫자의 유도체가 0이되므로 전체 용어가 0이 될 것이므로 전체 용어가 0이 될 것입니다 (그러한 경우는 예 10에서 분해됩니다).
또 다른 빈번한 오류는 간단한 기능의 유도체로서 파생 복합체 함수의 기계적 솔루션이다. 따라서 파생 복잡한 기능 전용 기사. 그러나 먼저 우리는 간단한 기능의 파생물을 찾는 법을 배웁니다.
코스에서 표현의 변형 없이는하지 마십시오. 이렇게하려면 새 창에서 혜택을 열어야 할 수도 있습니다. 학위와 뿌리가있는 행동 과 분수가있는 행동 .
당신이 학위와 뿌리가있는 파생 상품의 해결책을 찾고 있다면, 즉 함수가 종류와 같을 때 
"학위와 뿌리가있는 분수의 파생물"을 따르십시오.
당신이 일을하는 경우 
그런 다음 "간단한 삼각 함수의 파생물"에 있습니다.
단계별 예제 - 파생 상품을 찾는 방법
예 3. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 우리는 함수의 표현의 일부를 결정합니다. 전체 표현식은 작업을 나타내며, 그 요인은 영구적 인 승산기가 포함 된 두 번째로 요인입니다. 우리는 제품의 유도를 사용합니다 : 두 가지 기능의 작품의 파생물은 서로 다른 파생상의 각 기능의 작품의 양과 같습니다.
다음으로, 분화량의 양을 적용하십시오 : 특수 기능의 유도체는 이러한 기능의 유도체의 대수량과 동일합니다. 우리의 경우, 모든 합계는 두 번째 용어가 마이너스 기호로 있습니다. 각 합계에서, 우리는 독립적 인 변수, 그 유도체가 1과 같고, 일정한 (숫자), 그 유도체는 0이다. 그래서, 우리는 "x"를 하나로 변합니다. 그리고 마이너스 5 - 0으로. 두 번째 표현식 "X"에서는 2가 곱 해지므로 두 개가 "IKSA"의 유도체와 동일한 단위를 곱합니다. 우리는 다음과 같은 파생물 값을 얻습니다.
우리는 발견 된 파생물을 작품의 양으로 대체하고 전체 기능의 파생 문제에 필요한 조건을 얻습니다.
예 4. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 우리는 개인 파생 상품을 찾아야합니다. 비공개의 차별화를위한 공식을 사용하여 개인 두 기능의 파생물은 분수와 같고, 그 분자는 분고기의 유도체 및 분모 유도체상의 분자상의 분모의 생성기의 차이 인 분수 자의 차이점 및 분모는 이전 분자의 제곱입니다. 우리는 다음과 같습니다.
우리는 이미 예제 2의 숫자의 숫자의 요인을 파생물을 발견했습니다. 나는 현재 예에서 분자의 두 번째 공장인 작업이 마이너스 기호로 취해진 것을 잊지 않을 것입니다.
예를 들어, 뿌리와 학위의 고형 경주를 찾는 데 필요한 작업에 대한 해결책을 찾고있는 경우 
, 그런 다음 직업에 오신 것을 환영합니다 "학위와 뿌리가있는 분수의 파생물" .
부비동, 코사인, 접선 및 기타 삼각 함수의 파생물에 대해 자세히 알아야합니다. 즉, 함수가 같은 것처럼 보입니다. 그럼 당신은 수업 중입니다 "간단한 삼각 함수의 파생물" .
예 5. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 이 기능에서 우리는 그 일을 봅니다. 제곱근 우리가 파생 상품 테이블에서 알게 된 파생물과 독립적 인 변수로부터. 제곱근 파생물의 제품 및 테이블 값의 유도에 따라 우리는 다음을 얻습니다.
예 6. 파생 기능을 찾으십시오
결정. 이 기능에서는 개인적인 변수에서 제곱근 인 비공개가 있습니다. 실시 예 4에서 반복하여 적용되는 비공개의 분화 규칙에 따르면, 우리는 제곱근 파생물의 태블릿 값을 얻습니다.
분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모를 곱하십시오.
첫 번째 레벨
파생 기능. 철저한 가이드 (2019)
구릉지를 통과하는 직선 도로를 상상해보십시오. 즉, 그것은 올라가고, 아래로, 오른쪽 또는 왼쪽으로 바뀌지 않습니다. 축이 도로를 수평으로 따라 지향하고 - 수직으로, 도로의 선은 일부 연속 기능의 일정과 매우 유사합니다.
축은 특정 수준의 제로 높이이며, 우리는 바다의 수준을 그대로 사용합니다.
그런 도로에서 앞으로 나아가면, 우리는 또한 위아래로 움직입니다. 우리는 또한 인수가 변경 될 때 (횡축 축을 따라 고급) 함수의 값 (종축 축을 따라 이동). 그리고 이제 우리 길의 "가파른"을 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 그 정도는 무엇을 할 수 있었습니까? 매우 간단합니다 : 특정 거리에 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 많이 변할 것입니다. 결국, 도로의 다른 부분에서 (횡축 축을 따라) 1 킬로미터의 다른 부분에서 (종축 축을 따라) 해수면에 비해 다른 수의 미터로 상승하거나 떨어질 것입니다.
승격 전달 (델타 X 읽기).
수학의 그리스 문자 (델타)는 대개 "변경"을 의미하는 접두사로 사용됩니다. 즉, 이것은 가치의 변화입니다. 그럼 뭐야? 맞습니다. 변경 값이 맞습니다.
중요 : 표현식은 단일 정수 인 하나의 변수입니다. "Iksa"또는 다른 편지에서 "델타"를 찢을 수는 없습니다! 즉, 예를 들어.
그래서, 우리는 앞으로, 수평으로, 켜져 있습니다. 도로의 줄이 그래프와 함수를 비교하면 어떻게 상승을 지시합니까? 물론. 즉, 우리는 위에 떠오르는 것입니다.
금액을 계산하는 것은 쉽습니다 : 처음에 우리는 높이에 있었고, 움직이는 후에는 높이에있었습니다. 끝점이 초기보다 낮게 밝혀 졌으면 부정적인 것입니다. 즉, 우리가 올라가지 않아서 실망시키지 않음을 의미합니다.
"Steepness"로 돌아 가자. 단위 거리 당 앞으로 나아갈 때 얼마나 강하게 (쿨) 높이가 얼마나 강하게 증가하는지를 보여주는 값입니다.
km에서 움직일 때 경로의 부위에서 길을 km에서 위쪽으로 떠오르게된다고 가정 해보십시오. 그런 다음이 곳에서의 가파르는 것이 동일합니다. 그리고 M에서 홍보 할 때 도로가 km에 침몰했을 때? 그런 다음 가파른 것이 같습니다.
이제 일부 언덕의 꼭대기를 생각해보십시오. 사이트의 시작 부분을 반 킬로미터까지 맨 위로 킬로미터까지 가져 가면 끝이 끝나면 높이가 거의 동일하다는 것을 알 수 있습니다.
즉, 우리의 논리에서는 여기의 가파르기가 0과 거의 같고 분명히 사실이 아닙니다. km의 거리에서 그냥 많이 바뀔 수 있습니다. 가파른 부분보다 적절하고 정확한 평가를 위해 더 작은 섹션을 고려해야합니다. 예를 들어, 1 미터로 이동할 때 높이의 변화를 측정하면 결과가 훨씬 더 정확합니다. 그러나이 정확도는 우리에게는 충분하지 않을 수 있습니다 - 도로의 한가운데 기둥이 있으면 단순히 그것을 미끄러질 수 있습니다. 어떤 거리가 선택한 다음 선택 하시겠습니까? 센티미터? 밀리미터? 덜 낫다!
에 실생활 밀리미터에 대한 정확도로 거리를 측정하십시오. 그러나 수학자들은 항상 우수성을 위해 노력합니다. 따라서 개념이 발명되었습니다 무한히 작은즉, 모듈의 크기는 호출 할 수있는 숫자보다 적습니다. 예를 들어, 당신은 : 1 조원! 덜 어디에 있습니까? 그리고 당신은이 번호를 켜고 훨씬 덜 할 것입니다. 기타. 그 크기가 무한히 작음을 쓸 것이라고 쓸 것이라면, 우리는 다음과 같이 씁니다 : (나는 "x는 0을 위해 노력하고있다"). 이해하는 것이 매우 중요합니다 이 번호는 0이 아닙니다! 그러나 그에게 아주 가깝습니다. 즉, 그로 나눌 수 있습니다.
반대편 개념은 무한히 작습니다 - 무한히 큰 (). 당신은 이미 불평등에 종사했을 때 이미 그와 함께 찍은 것입니다. 이것은 발명 할 수있는 모든 숫자보다 모듈 수입니다. 가능한 숫자 중 가장 큰 숫자로 올라 왔을 경우 두 가지로 곱한 값을 곱하고 더 많이 밝혀질 것입니다. 무한대보다 더 많은 무한대. 사실, 무한히 크고 무한히 작은 것이 서로 뒤집 었습니다. 즉, 언제 그리고 반대로 : 언제.
이제 우리 길로 돌아 가라. 완벽하게 계산 된 가파르는 경로의 무한히 작은 세그먼트를 위해 계산 된 Bengeon입니다.
나는 무한히 작은 움직임으로 높이의 변화가 무한히 작아 질 것입니다. 그러나 나는 무한히 작은 것을 상기시켜줍니다. 무한히 작은 숫자를 서로 공유하면 예를 들어 상당한 숫자 일 수 있습니다. 즉, 하나의 낮은 값은 정확히 두 번 이상 될 수 있습니다.
이 모든 것이 무엇입니까? 도로, 가파른 ... 우리는 집회에 가지 않을 것이고, 우리는 수학을 배웁니다. 그리고 수학에서 모든 것이 똑같습니다. 다르게 호출됩니다.
파생상의 개념
함수의 파생물은 인수의 무한히 작은 증분으로 주장의 증가에 대한 기능의 증분 증분의 비율입니다.
증가 수학 전화가 변경되었습니다. 축을 따라 이동할 때 인수가 변경 되었는가? 논쟁의 증가 축을 따라 앞으로 이동할 때 함수가 변경되었는지 (높이)가 호출되면 기능 증가 그리고 표시됩니다.
따라서 파생 된 함수는 언제의 태도입니다. 우리는 오른쪽의 뇌졸중으로 만 기능과 동일한 문자의 파생물을 나타냅니다. 따라서 이러한 표기법을 사용하여 파생 수식을 작성합니다.
비용이 비싸지 만, 기능이 증가함에 따라 유도체는 양성이며 감소 할 때 부정적입니다.
파생물이 0으로 일어 납니까? 확실한. 예를 들어, 우리가 평평한 수평 도로를 따라 가면 가파른 것이 0입니다. 진실은 높이가 완전히 변화하지는 않습니다. 그래서 파생물로 : 상수 함수 (상수)의 파생물은 0입니다.
이러한 함수의 증가가 어느 것이든지 0이기 때문에.
언덕의 예를 기억합시다. 끝의 높이가 동일하게 변하는 정점에서 다른 방향으로 세그먼트의 끝을 배치 할 수 있습니다. 즉, 세그먼트가 병렬 축에있는 것으로 나타났습니다.
그러나 큰 세그먼트는 부정확 한 측정의 표시입니다. 우리는 자신의 절단을 당신과 평행하게 올릴 것이고, 그 길이는 감소 할 것입니다.
결국, 우리가 상단에 무한히 가깝게 가깝게, 세그먼트의 길이가 무한히 작아지게됩니다. 그러나 동시에 축과 평행하게 남아 있으며, 그 목적의 높이 차이는 0입니다 (즉, 동등하지 않음). 그래서 파생물
이것을 이해할 수 있습니다 : 우리가 맨 위에 서있을 때, 왼쪽 또는 오른쪽 변경에 대한 변위가 거의 없으면 우리의 높이는 무시할 수 있습니다.
순전히 대수학이 있습니다. 상단의 왼쪽이 함수가 증가하고 오른쪽 감소입니다. 우리가 이미 일찍 발견했을 때, 그 기능이 증가함에 따라 파생물은 긍정적이며, 내림차순으로는 부정적입니다. 그러나 점프 없이는 원활하게 변화합니다 (도로가 어디에서나 슬로프를 바꾸지 않기 때문에). 따라서 부정적인 값과 양의 값 사이에 있어야합니다. 그는 꼭지점의 점에서 함수가 증가하거나 감소하지 않는 곳이 될 것입니다.
우울증 (왼쪽의 기능이 감소하고 오른쪽으로 증가하는 영역)에도 마찬가지입니다.
단위에 대해 조금 더.
그래서, 우리는 인수를 규모로 바꿉니다. 어떤 가치에서 변경합니까? 그 (논쟁)는 무엇입니까? 우리는 어떤 시점을 선택할 수 있으며 이제 우리는 그것으로부터 춤을 추게 될 것입니다.
좌표로 한 점을 고려하십시오. 함수의 값은 동일합니다. 그런 다음 무언가를 증가 시키십시오 : 좌표를 늘리십시오. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 그리고 지금 함수의 가치는 무엇입니까? 인수와 함수는 여기서 :. 그리고 함수의 증분은 무엇입니까? 아무것도 새로운 것 : 그것은 여전히 \u200b\u200b함수가 변경된 크기입니다.
increment를 찾는 방법 :
- 인수가 증가 할 때의 함수의 증가를 찾습니다.
- 그 점에서 함수에 대해서도 동일합니다.
솔루션 :
하나의 포인트에서 인수의 동일한 증분에서 함수의 증가가 다를 것입니다. 그것은 모든 지점에서 파생물이 자체적이라는 것을 의미합니다 (우리는 처음부터 다른 점에서의 도로의 가파른 것에 대해 논의한 것입니다). 따라서 파생 상품을 작성할 때 다음 사항을 지정해야합니다.
전력 기능.
전원은 어느 정도 인수가 어느 정도 인수 (논리적, 예?) 인 함수라고합니다.
또한 다음 중 하나로 :.
가장 간단한 경우는 학위 지표가있을 때입니다.
우리는 그 시점에서 그 파생물을 발견합니다. 우리는 파생 상품의 정의를 기억합니다.
따라서 앞으로는 논증이 변경됩니다. 함수의 증가는 무엇입니까?
증분은입니다. 그러나 어떤 지점에서의 함수는 그 논쟁과 같습니다. 따라서:
파생물은 다음과 같습니다.
동등한 것에서 파생 된 :
b) 이제 고려해야 할 것입니다 2 차 기능 (): .
그리고 이제는 그것을 기억하십시오. 이것은 증분의 가치가 무한히 작기 때문에 무의미하고 다른 용어의 배경에 대해 중요하지 않기 때문입니다.
그래서, 우리는 다음 규칙으로 태어났습니다.
c) 우리는 논리적 범위를 계속합니다.
이 표현식은 서로 다른 방식으로 간단해질 수 있습니다. 큐브 양의 축약 된 곱셈의 공식에 의해 첫 번째 브래킷을 밝히거나 큐브 차이 공식에 의한 요인에 대한 전체 표현을 분해하는 것. 제안 된 방식으로 자신을 스스로하십시오.
그래서, 나는 다음을 얻었습니다.
다시 기억하십시오. 즉, 다음을 포함하는 모든 용어로 무시할 수 있음을 의미합니다.
우리는 다음과 같습니다 :.
d) 큰 각도를 위해 유사한 규칙을 얻을 수 있습니다.
e)이 규칙은 일반적으로 일반화 될 수 있다는 것을 밝혀 낸다. 전력 기능 임의의 지표를 사용하여 :
| (2) |
단어로 규칙을 공식화 할 수 있습니다. "정도는 계수로 전달 한 다음"감소합니다. "
나중에이 규칙을 증명하겠습니다 (거의 끝까지). 몇 가지 예를 고려하십시오. 파생 된 함수 찾기 :
- (두 가지 방법으로, 공식에 의해 그리고 파생 판정을 사용하여 - 기능의 증가를 고려하여);
- ...에 당신은 믿지 않을 것이지만 이것은 힘 기능입니다. "어떻게 지내십니까? 그리고 정도는 어디에 있습니까? ", 주제를 기억하십시오." "!
예, 루트는 또한 학위이기도합니다.
그래서 우리의 제곱근은 표시기가있는 정도입니다.
.
우리는 최근에 배운 공식을 찾고 있습니다 :이 곳에서는 다시 이해할 수 없게되면 주제를 반복하십시오. ""!!! (부정적인 지표가있는 학위에 대해서)
- ...에 이제 학위 지표 :
그리고 이제는 정의를 통해 (아직 잊어 버리지 않았습니까?) :
;
.
이제는 평소와 같이 다음을 포함하는 용어를 무시합니다.
. - ...에 이전 사례의 조합 :.
삼각 함수 기능.
여기서 우리는 가장 높은 수학의 사실을 하나 사용할 것입니다 :
표현할 때.
학기 첫 해에 알 수 있도록 증거 (그리고 거기에 있으므로, 잘 지나쳐야합니다). 이제 그래픽으로 표시하십시오.
우리는 함수가 존재하지 않을 때 인구의 그래프의 점이 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 가치에 가깝게 함수가 더 가깝습니다. 이것은 가장 많은 "노력"입니다.
계산기를 사용 하여이 규칙을 추가로 확인할 수 있습니다. 예, 예, 수줍어하지 않고 계산기를 가져 가면 아직 시험에 없어요.
그래서 시도해보십시오 :;
계산기를 "Radian"모드로 전송하는 것을 잊지 마십시오!
기타 우리는 더 작을수록 관계의 가치가 더 가깝다는 것을 알 수 있습니다.
a) 기능을 고려하십시오. 평소처럼, 우리는 그 증분을 찾을 것입니다 :
사인의 차이를 일에 돌리십시오. 이렇게하려면 수식을 사용합니다 (주제를 기억하십시오 "") :.
이제 파생물 :
우리는 대체 할 것입니다 :. 그런 다음 무한히 작게, 그것은 또한 무한히 작은 것입니다. 표현식은 양식을 취합니다.
그리고 이제는 표현할 때 그것을 기억합니다. 또한 무한히 낮은 값이 양 (즉, 언제)에서 무시 될 수 있다면.
따라서 다음 규칙을 얻습니다. 코사인과 동등한 부비동 유도체:
이것은 기본 ( "표") 파생 상품입니다. 여기서 그들은 하나의 목록입니다 :
나중에 우리는 더 많은 것을 추가하지만, 이것들은 가장 중요한 것처럼 가장 중요합니다.
연습:
- 지점에서 파생 기능을 찾습니다.
- 파생 된 기능을 찾습니다.
솔루션 :
- 처음에는 일반 형식의 파생물을 찾아 볼 수 있으며 그런 다음 가치 대신 대체 할 것입니다.
;
. - 여기서 우리는 힘 기능과 비슷한 것을 가지고 있습니다. 그것을 가져 가려고합시다
일반 양식 :
.
훌륭한 이제는 수식을 사용할 수 있습니다.
.
. - ...에 eeeeee ... 뭐야?
좋아, 너 옳았어. 우리는 여전히 그러한 파생물을 찾는 방법을 모른다. 여기서 우리는 여러 가지 유형의 기능을 조합 한 것입니다. 그들과 함께 일하기 위해 몇 가지 더 많은 규칙을 배우는 데 필요합니다.
출품자와 자연 대수.
수학에서 이러한 기능이 있으며, 그 유도체는 동일한 방식으로 기능 자체의 동일한 가치가있는 유도체입니다. 그것은 "출품자"라고 불리며, 지시 기능입니다
이 기능의 기초는 일정한 것입니다. 그것은 무한한 것입니다. 소수즉, 수는 비합리적입니다 (예 :). 따라서 "euler의 수"라고 불리우며, 따라서 편지를 나타냅니다.
그래서 규칙 :
매우 쉽다는 것을 기억하십시오.
글쎄, 멀리 가지 말고, 즉시 고려해 보자. 역 기능...에 지시 기능에 대한 역은 어떤 기능입니까? 로그:
우리의 경우에, 기초는 숫자입니다.
이러한 로그 (즉, 기반이있는 로그)는 "자연"이라고 불리며, 우리는 글쓰기 대신 특별한 지정을 사용합니다.
뭐야? 물론이야, .
자연 대수의 파생물도 매우 간단합니다.
예 :
- 파생 된 기능을 찾습니다.
- 파생 함수는 무엇입니까?
대답: Expectitor I. 자연 대수 - 기능은 파생물의 관점에서 고유하게 단순합니다. 다른 기반을 가진 교환 및 로그 함수는 차별화 규칙을 통과 한 후 나중에 나중에 분석 할 또 다른 파생물을 갖게됩니다.
차별화 규칙
규칙 뭐야? 다시 새로운 용어, 다시?!
분화 - 이것은 파생 상품을 찾는 과정입니다.
오직 모든 것. 그리고이 프로세스를 한 단어로 이름으로 지정하는 다른 방법은 무엇입니까? 생산이 아닙니다 ... 수학의 차이는 기능의 가장 큰 증분이라고합니다. 이 용어는 Latin Differentia에서 차이가 발생합니다. 여기.
이 모든 규칙을 표시 할 때 예를 들어 두 가지 기능을 사용할 것입니다. 우리는 또한 그들의 증식을위한 수식이 필요합니다 :
총 5 가지 규칙이 있습니다.
상수는 파생물의 표시로 이루어집니다.
if - 어떤 종류의 일정한 번호 (상수), 그때.
분명히이 규칙은 차이를 위해 작동합니다.
우리는 증명합니다. 또는 쉬거나 쉽게.
예.
파생 된 함수 찾기 :
- 그 시점에;
- 그 시점에;
- 그 시점에;
- 지점에서.
솔루션 :
- (파생물은 모든 점에서 동일합니다. 선형 기능, 기억?);
파생 된 일
여기서 모든 것이 유사합니다. 우리는 새로운 기능을 소개하고 증분을 찾습니다.
유도체:
예 :
- 기능의 파생물을 찾는다.
- 그 시점에서 함수 파생물을 찾으십시오.
솔루션 :
파생 지시 기능
이제 귀하의 지식은 모든 지표의 파생물을 찾는 방법을 배우는 데 충분합니다. 출품자 만 (잊어 버리지 않아야합니다).
그래서, 숫자는 어디에 있습니까?
우리는 이미 파생 기능을 알고 있으므로 새로운 기지에 기능을 가져 오려고 노력해 봅시다.
이렇게하려면 간단한 규칙을 사용합니다. 그때:
글쎄, 그것은 밝혀졌다. 이제 파생 상품을 찾으려고 노력 하고이 기능이 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.
일어난?
여기, 자신을 확인하십시오 :
수식은 파생 상시와 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만, 숫자 만 나타 났지만 변수는 아닙니다.
예 :
파생 된 함수 찾기 :
대답:
이것은 계산기없이 계산할 수없는 숫자입니다. 즉, 더 간단한 양식으로 녹음하지 않도록하십시오. 따라서이 양식에서 응답하여 떠나십시오.
미분 대수 기능
다음은 유사합니다. 이미 자연 로그에서 파생물을 알고 있습니다.
따라서 다른 이유로 로그에서 임의를 찾으려면 다음과 같습니다.
이 로그를 기본으로 가져와야합니다. 과대의 기초를 바꾸는 방법은 무엇입니까? 이 공식을 기억하기를 바랍니다.
지금 만 대신 우리는 다음을 쓸 것입니다 :
분모에서는 일정한 (변수가없는 일정한 수) 만 밝혀졌습니다. 파생물은 매우 간단합니다.
파생 상품 표시 I. 로그 함수 시험에서 거의 발견되지는 않았지만, 그들을 알기에는 불필요하지 않습니다.
파생 복잡한 기능.
"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 로그인이 아니라 arcthangence가 아닙니다. 이러한 기능은 이해를 위해 복잡 할 수 있습니다 (로그가 어려워 보이는 것처럼 보이는 것처럼 보이는 경우 "로그"및 모든 것이 전달됩니다). "Complex"라는 단어는 "어려움"이라는 단어가 아닙니다.
작은 컨베이어를 상상해보십시오. 두 사람이 앉아 있고 일부 물건을 가진 일종의 행동이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 래퍼에 초콜릿을 랩하고 두 번째는 리본으로이를 의미합니다. 그것은 그런 필수적인 물체를 밝혀 낸다 : 초콜릿, 래핑되고, 리본으로 줄 지어 있습니다. 초콜릿을 먹기 위해서, 당신은해야 할 일을해야합니다 역 동작 역순으로.
비슷한 수학적 컨베이어를 만드겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자가 사각형으로 세워질 수 있습니다. 그래서, 우리는 숫자 (초콜렛)를 제공합니다. 나는 그의 코사인 (랩)을 찾았습니다. 그리고 당신은 내가 한 일에 의해 제가있는 것에 의해 세워질 것입니다 (리본에 넥타이). 어떻게 된 거예요? 함수. 이것은 복잡한 기능의 예입니다. 그 의미를 언제 어디서나 변수와 직접 첫 번째 동작을 수행 한 다음 첫 번째 결과로 일어난 일과 다른 작업을 수행합니다.
우리는 동일한 동작과 역순으로 완전히 수행 할 수 있습니다. 먼저 정사각형으로 세워질 것입니다. 그런 다음 결과 번호의 코사인을 찾고 있습니다. 결과가 거의 항상 다른 것으로 추측하기가 쉽습니다. 중요한 기능 복잡한 기능 : 프로 시저가 변경되면 함수가 변경됩니다.
다시 말해, 복잡한 기능은 함수이며, 이는 다른 기능입니다.: .
첫 번째 예제.
두 번째 예 : (동일). ...에
우리가 후자를하는 행동은 전화 할 것입니다 "외부"기능및 먼저 수행 된 작업 "내부"기능 (이것들은 비공식적 인 이름이며, 나는 단순한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).
외부 기능이 무엇인지, 내부인지를 결정하십시오.
대답:내부 및 외부 기능의 분리는 변수의 대체와 매우 유사합니다. 예를 들어 함수
- 먼저 우리는 어떤 행동을 수행 할 것입니까? 첫째, 부비동을 고려하지만 그런 다음 큐브로 전개됩니다. 그래서, 내부 기능 및 외부.
초기 기능은 그들의 구성입니다. - 안의:; 외부 :.
확인 :. - 안의:; 외부 :.
확인 :. - 안의:; 외부 :.
확인 :. - 안의:; 외부 :.
확인 :.
우리는 변수를 대체하고 기능을 얻습니다.
글쎄, 이제 우리는 초콜릿 초콜릿을 추출 할 것입니다 - 파생 상품 검색. 절차는 항상 반전됩니다. 먼저 외부 기능 유도체를 찾고 있으며 결과에 결과에 내부 기능의 파생물에 곱합니다. 원래 예제와 관련하여 다음과 같습니다.
다른 예시:
그래서 우리는 마침내 공식 규칙을 공식화합니다.
파생 복합체 기능을 찾는 알고리즘 :
그것은 간단한 것 같습니다, 그렇습니다.
예제를 확인하십시오.
솔루션 :
1) 내부 :;
외부 :;
2) 내부 :;
(이제는 자르기 위해서만 생각하지 않습니다! 코사인 아래에서, 아무것도 끝나지 않고, 기억하지 않습니까?)
3) 내부 :;
외부 :;
여기서는 3 레벨 복합 기능이 있습니다. 결국 복잡한 기능 자체이며, 여전히 루트를 제거하고 있습니다. 즉, 우리는 세 번째 행동을 수행합니다 (래퍼의 초콜릿과 리본 포트폴리오에 넣어). 그러나 두려워할만한 이유가 없습니다. 모든 동일한 "unfack"이 함수는 평소와 동일한 순서로 표시됩니다.
즉, 먼저 루트를 사용하고, 코사인과 괄호 안에 표현식만을 사용하십시오. 이 모든 변수.
그러한 경우에는 번호가 매겨진 행동에 편리합니다. 즉, 우리가 알고 있다고 상상해보십시오. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 작업을 수행 할 명령은 무엇입니까? 우리는 예제에서 검사 할 것입니다.
나중에 조치가 수행되면 "외부"가 해당 함수가됩니다. 이전의 작업 순서 - 이전 :
여기서 중첩은 일반적으로 4 레벨입니다. 절차를 결정합시다.
1. 강제 표현. ...에
2. 뿌리. ...에
3. 부비동. ...에
4. 광장. ...에
5. 우리는 모든 것을 무리에서 수집합니다.
유도체. 주요 사항에 대해 간략하게
파생 된 기능 - 인수의 무한히 작은 증분으로 인수의 증가에 대한 기능 증가의 비율은 다음과 같습니다.
기본 파생 상품 :
차별화 규칙 :
상수는 파생 상표에 대해 만들어졌습니다.
파생 된 금액 :
생산 작업 :
사설 파생물 :
파생 복잡한 기능 :
복잡한 기능의 파생물을 찾는 알고리즘 :
- 우리는 "내부"기능을 정의하고 파생 상품을 찾습니다.
- 우리는 "외부"기능을 정의하고 파생 상품을 찾습니다.
- 첫 번째 항목 및 두 번째 항목의 결과를 곱하십시오.
이 비디오, 나는 파생물에 전념하는 긴 일련의 수업을 시작합니다. 이 공과는 여러 부분으로 구성됩니다.
첫째, 일반적으로 그러한 파생 상품과 그 (것)들을 셀 수 있지만 지혜의 학문적 언어는 아니지만, 나 자신이 이해하고 학생들에게 설명 할 때 둘째, 우리는 파생 합계, 파생물 차이 및 파생물의 파생물을 찾는 문제를 해결하기 위해 가장 간단한 규칙을 고려할 것입니다.
우리는 더 복잡한 결합 된 예제를 살펴볼 것입니다. 특히 뿌리가 포함 된 이러한 문제가 전력 기능의 파생물의 공식을 사용하여 해결할 수 있음을 알아보십시오. 또한, 물론, 가장 다른 수준의 복잡성의 솔루션의 많은 작업과 예제가 많을 것입니다.
일반적으로 처음에는 짧은 5 분 롤러를 작성하려고했지만 어떻게 일어난 일을 볼 수있었습니다. 따라서 가사가 충분합니다 - 비즈니스로 진행하십시오.
파생 상품이란 무엇입니까?
따라서 멀리에서 시작하자. 수년 전, 나무가 그린이었을 때, 인생이 더 재미 있었고, 수학은 일정에 의해 지정된 간단한 기능을 고려해 봅니다. $ y \u003d f \\ left (x \\ right) $를 호출합니다. 물론 일정은 그 자체로 존재하므로 $ x $ 축을뿐만 아니라 축 $ y $를 쓸 필요가 있습니다. 이제이 차트의 어떤 지점을 선택하겠습니다. 횡좌표는 $ (x) _ (1))라고 불리우며, 좌표를 짐을 추측하기가 어렵지 않기 때문에 $ f \\ left (((x) _ (1) \\ right) $.
다른 일정을 고려하십시오. 무엇이 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 초기와 다릅니다. 그녀에게, 다시, 횡좌표가있다, 우리는 $ ((x) _ (2)) $뿐만 아니라 좌표 - $ f \\ left (((x) _ (2) \\ right) $.
그래서, 우리는 두 점을 받았습니다. 그들은 다른 횡축을 가지고 있으며, 따라서, 따라서, 다른 값 후자는 선택 사항이지만 기능. 그러나 정말로 중요한 것은 무엇이 중요합니다. 그래서 이것은 우리가 알고있는 것과 같은 것입니다 : 당신은 두 점에서 직접 보낼 수 있고, 하나만 섭취 할 수 있습니다. 여기에 그것을 보내고 지출하겠습니다.
그리고 이제는 횡축의 직접, 평행 한 축을 처음으로 쓸 것입니다. 받다 정삼각형...에 $ C $의 직속 각을 $ ABC $에게 주자. 이 삼각형에는 매우 흥미로운 속성이 있습니다. 사실은 $ \\ alpha $가 실제로 Direct $ AB $가 횡좌등의 연속으로 교차하는 모서리와 실제로 같다는 사실입니다. 판사 :
- direct $ AC $ 7. 구조로 $ Ox $의 축에 평행하게,
- direct $ AB $는 $ ac $ \\ alpha $에서 $ AC $를 횡단합니다.
- 결과적으로 $ AB $는 동일한 $ \\ alpha $에서 $ OX $를 횡단합니다.
우리가 $ \\ text () \\! \\! \\ alpha \\! \\! \\ text () $에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? $ ABC $ Rattu의 $ ABC $ Triangle 비율이 $ AC $ Cathelet의 $ ABC $ Triangle 비율은이 코너의 접선과 같습니다. 그래서 쓰기 :
물론이 경우 $ AC $는 쉽게 고려됩니다.
마찬가지로 $ bc $ :
즉, 다음을 기록 할 수 있습니다.
\\ [\\ Operatorname (TG) \\ 텍스트 () \\! \\! \\ 알파 \\! \\! \\ 텍스트 () \u003d \\ FRAC (F \\ 왼쪽 (((X) _ (2)) \\ 오른쪽) -f \\ 왼쪽 ( ((x) _ (1)) \\ 오른쪽)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \\]
이제 우리 모두가 알아 냈습니다. 우리 일정으로 돌아가서 새로운 지점 $ b $를 생각해 봅시다. 오래된 가치를 늘리고 $ b $ b $ $ ((x) _ (1))에게 더 가까이 다가갔습니다. 다시 말하지만, 우리는 $ (x) _ (2)) $에 대한 횡충지에 그것을 나타냅니다. 그리고 좌표는 $ f \\ left (((x) _ (2) \\ right) $입니다.
우리는 약간의 삼각형 $ abc $ and $ \\ text () \\! \\ \\ alpha \\! \\! \\ text () $ 안에 고려할 것입니다. $ AC $와 $ BC $의 분열의 길이가 크게 변경 되었기 때문에 그것은 완전히 다른 각도 될 것이라고 매우 명백 할 것이다, 탄젠트는 다를 것이다, 그리고 각도의 탄젠트에 대한 공식은 변화하지 않았다 전혀 -이 기능의 변화 인자의 변화 사이의 비율이 여전히있다.
마지막으로, 우리는 $ B $를 원래 지점 $ a $에 더 가까이 이동시킵니다. 결과적으로 삼각형은 여전히 \u200b\u200b감소하고 $ AB 세그먼트를 포함하는 직접은 점차 함수 접선과 점차적으로 존재할 것입니다.
결과적으로, 점의 상처를 계속하면, 즉 거리를 0으로 줄이면, 직접 $ ab $는 실제로이 시점에서 일정과 $ \\ text () \\! \\로 변할 것입니다. ! \\ 알파 \\! \\! \\! \\! \\ 알파! \\ 텍스트 () 그래픽과 $ 황소 $ 축의 양의 방향과 접선 사이의 각도로 삼각형의 일반적인 요소에서 설정됩니다 $.
여기에서 $ F $의 정의로 원활하게 가면, 즉 $ ((((x) _ (1)) $의 파생 기능이 $ ((x)의 접선 사이의 $ \\ alpha $ tangent라고합니다. (x ) _ ((X) _ (1))과 $ $ OX $의 축의 양의 방향 :
\\ [(f) "\\ left (((x) _ (1)) \\ 오른쪽) \u003d \\ operatorName (tg) \\ text () \\! \\ am alpha \\! \\! \\ text () \\ \\!
우리 일정으로 돌아가서 $ ((x) _ (1)) $는 차트의 어떤 지점을 선택할 수 있음을 알아야합니다. 예를 들어 동일한 성공을 통해 그림에 표시된 지점에서 막대를 제거 할 수 있습니다.
축의 접선과 양의 방향 사이의 각도는 $ \\ beta $를 호출합니다. 따라서 $ f $ ((x) _ (2)) $는이 $ \\ beta $ 각도의 탄젠트와 같습니다.
\\ [(f) \\ left ((((x) _ (2)) \\ 오른쪽) \u003d tg \\ text () \\! \\ beta \\! \\! \\ text () \\ h
그래프의 각 지점에서 그 자체 탄젠트가 있으며, 따라서 기능의 가치가 있습니다. 이러한 각 경우에는 차동 유도체 또는 금액을 찾고있는 지점이나 전력 기능의 파생물을 찾고있는 지점 이외에, 당신은 그것으로부터 어떤 거리에있는 다른 지점을 가져 와서이 점을 서두르 필요가 있습니다. 물론 원래의 원래 로이 운동은 어떻게 진행되는지 알아내는 것을 알아내는 것입니다.
전력 기능의 파생물
불행히도이 정의는 우리에게 적합하지 않습니다. 이 모든 수식, 그림, 모서리는 실제 업무에서 실제 파생물을 고려하는 방법에 대한 사소한 아이디어를주지 않습니다. 따라서 공식적인 정의에서 조금 걸리고 이러한 작업이 이미 해결 될 수있는보다 효율적인 수식과 기술을 고려해 보겠습니다.
가장 간단한 구조로 시작합시다. 즉, 양식 $ y \u003d ((x) ^ (n)) $, 즉, i.e.. 전원 기능. 이 경우 다음을 쓸 수 있습니다 : $ (y) "\u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $. 즉, 표시기에 서 있던 정도는 앞의 승산기에 표시됩니다. 그리고 표시기 자체가 단위를 줄입니다. 예 :
\\ [\\ begin (정렬) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & (y) "\u003d 2 \\ cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x \\\\\\ end (정렬) \\]
그러나 또 다른 옵션 :
\\ [\\ begn (정렬) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & (y) "\u003d ((\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\ cdot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ CDOT 1 \u003d 1 \\\\ \\ ((\\ 왼쪽 (x \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\\\\\ end (정렬) \\]
이러한 간단한 규칙을 사용하여 다음 예제의 바코드를 제거 해보세요.
그래서 우리는 다음을 얻습니다.
\\ [((\\ left ((((^ (6)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]
이제 우리는 두 번째 표현식을 해결합니다.
\\ [\\ begin (정렬) & f \\ left (x \\ right) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ \\ ((\\ left (((x) ^ (100)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ Prime)) \u003d 100 \\ CDOT ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\ end (정렬) \\
물론 그것은 매우 컸습니다 간단한 작업...에 그러나 실제 작업 보다 복잡하고 이들은 기능의 유일한 정도에만 국한되지 않습니다.
그래서 규칙 번호 1 - 함수가 다른 두 가지로 표시되면이 금액의 파생물은 파생 상품의 합과 동일합니다.
\\ [(\\ left (f + g \\ righ)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)"\\
마찬가지로 두 가지 기능의 차이의 유도체는 파생 상품의 차이와 동일합니다.
\\ [(\\ left (f-g \\ righ)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)"\\
\\ [(\\ left ((((\\ left ((((2)) + x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left ((((x) ^ (2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + (\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2x + 1 \\
또한 또 다른 중요한 규칙이 있습니다.이 기능이 곱한 경우 $ F $가 발생하기 전에 $ C $ 상수가있는 경우 $ f $ 모든이 모든 디자인은 다음과 같이 고려됩니다.
\\ [(\\ left)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "\\ \\]
\\ [((\\ left (3 (x) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 ((\\ left ((((\\ left (((((x) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ Prime)) \u003d 3 \\ CDOT 3 (((((x) ^ (2)) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\]
마지막으로 또 다른 중요한 규칙 : 작업에서 별도의 용어가 종종 발견되며 $ x $를 포함하지 않습니다. 예를 들어, 우리는 현재 표현식에서 관찰 할 수 있습니다. 파생 상수, 즉 $ x $에 의존하지 않는 숫자는 항상 0과 동일하며 $ C 상수가 동일한 것에 상관없이 완전히 다음과 같습니다.
\\ [(\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]
예제 솔루션 :
\\ [(\\ left (1001 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (1000) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]
다시 한 번 주요 포인트 :
- 두 가지 기능의 파생물은 항상 파생 상품의 합계와 동일합니다 : $ (\\ left (f + g \\ righ)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)"$;
- 유사한 이유로, 두 함수의 차의 유도체 두 유도체의 차이와 같다 : $ ((\\ 왼쪽 (F-G \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d (F) "- (g)"$;
- 함수가 일정한 승산기를 가지고 있으면이 상수는 파생 상인을 위해 이루어질 수 있습니다 : $ (\\ left (c \\ cdot f \\ righ)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "$;
- 전체 함수가 상수이면 파생물은 항상 0입니다. $ (\\ left (c \\ right) ^ (\\ prime)) \u003d 0 $.
실제 예제에서 어떻게 작동하는지 봅시다. 그래서:
우리는 쓴다:
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left ((((\\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left ((((x) ^ (5)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (3 ((x) ^ (2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) + (7) "\u003d \\\\ \\ \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 (((\\ left ((((x) ^ (2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\\\\ end (정렬) \\]
이 예에서는 파생물 합계와 차이 파생물을 봅니다. 합계, 파생 상품은 $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $입니다.
두 번째 기능으로 이동하십시오.
우리는 솔루션을 적어 두십시오 :
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (3 ((\\ left (3 (^ (2)) - 2x + 2 \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \\ (\\ prime)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (2x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\ · 3 ((((((\\ left (((x) ^ (2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ end (정렬) \\
그래서 우리는 그 대답을 발견했습니다.
세 번째 기능으로 이동 - 이미 시도 중입니다.
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (2 ((\\ left (2) ^ (3)) - 3 (((((((((((((((((2) + \\ frac (1) (2) x-5 \\ right) ) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ (2 ((x)의 좌측 ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) - ((\\ 좌 (3 ((X) ^ 2) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) + ((\\ 좌측 (\\ FRAC (1) (2) X \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) - (5) "\u003d \\\\ \u003d 2 및 ((\\ 좌측 ( ((X) ^ (3)) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) - (3) ((\\ (((x)의 좌측 ^ 2) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + \\ FRAC (1 ) (2) \\ Cdot (X) "\u003d 2 \\ Cdot 3 ((X) ^ 2) - (3) \\ CDOT 2X + \\ FRAC (1) (2) \\ Cdot 1 \u003d 6 ((X) ^ (2 )) -6x + \\ FRAC (1) (2) \\\\\\ 엔드 (정렬) \\]
우리는 그 대답을 발견했습니다.
가장 복잡하고 가장 오래 지속되는 마지막 표현으로 이동하십시오.
그래서, 우리는 믿습니다 :
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (6 ((\\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 (((x) ^ (3)) + 4x + 5 \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ 좌측 (도 6의 ((X) ^ (7)) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) - ((\\ 좌회전 (14 ((X) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) ) + ((\\ 왼쪽 (4 배 \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + (5) "\u003d \\\\ \\ \u003d 6 \\ CDOT 7 \\ CDOT ((X) ^ (6)) - 14 \\ CDOT 3 (( X) ^ 2) + 4 \\ Cdot 1 + 0 \u003d 42 (((X) ^ (6)) - 42 ((X) ^ 2) + 4 \\\\\\ 엔드 (정렬) \\]
그러나이 결정은 터치를 제거하지 않도록 요청하지 않지만 특정 지점에서 그 값을 계산하지 않으므로 $ x $ 대신 식 -1을 대체합니다.
\\ [(y) "\\ left (-1 \\ 오른쪽) \u003d 42 \\ CDOT 1-42 \\ CDOT 1 + 4 \u003d 4 \\]
우리는 더욱 복잡하고 흥미로운 예를 수행하고 있습니다. 사실은 전력 유도체 $를 해결하기위한 수식이다 ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (N)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d n \\ cdot ((X) ^ (N-1) ) 그것이 일반적으로 관습보다 응용 프로그램의 더 넓은 면적을 가지고 $. 그것으로 분수, 뿌리 등으로 예제를 해결할 수 있습니다. 이제 우리가 갈 것입니다.
시작하려면 다시 한번 다시 써주십시오. 우리가 파워 기능의 파생물을 찾는 데 도움이됩니다.
그리고 지금 관심 : 지금까지 우리는 $ n $ 만으로 간주했습니다. 정수그러나 분수와 음수를 고려해 보는 것을 방해하지 마십시오. 예를 들어 다음을 기록 할 수 있습니다.
\\ [\\\\ & ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임 (정렬) \\ SQRT (X) \u003d (^ (\\ FRAC (1) (2)) (X))를 시작 \\ )) \u003d ((\\ (((X) ^ 왼쪽 (\\ FRAC (1) (2))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (1) (2) \\ CDot ((X) ^ (- \\ FRAC (1) (2))) \u003d \\ FRAC (1) (2) \\ CDOT \\ FRAC (1) (\\ SQRT (X)) \u003d \\ FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) \\ \\\\ end (정렬) \\]
복잡한 것은 아무것도 없으므로이 수식이 더 복잡한 작업을 해결할 때 어떻게 도움이되는지 보겠습니다. 그래서 예 :
우리는 솔루션을 적어 두십시오 :
\\ [(정렬)를 시작 \\ \\ 좌측 (\\ SQRT (X) + \\ SQRT (X)를 + \\ SQRT (X) \\ 오른쪽) \u003d ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) ) + ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) \\\\) & ((\\ 좌 (\\ SQRT (X) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) \\\\ \\ ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (\\ FRAC (1) ~ (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (1) ~ (3) \\ CDOT ((X) ^ (- \\ FRAC (2) (3))) \u003d \\ FRAC (1) ~ (3) \\ CDOT \\ FRAC (1) (\\ SQRT (((X) ^ 2))) \\\\ & ((\\ 왼쪽 (\\ sqrt (x) \\ righ)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left ((((\\ left ((((\\ frac (1) (4))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ FRAC (1) ~ (4) ((X) ^ (- \\ FRAC (3) (4))) \u003d \\ FRAC (1) ~ (4) \\ CDOT \\ FRAC (1) (\\ SQRT (((X) ^ (3)))) \\\\ end (정렬) \\]
예제로 돌아 가기 및 쓰기 :
\\ [(Y) "\u003d \\ FRAC (1) (2 \\ SQRT (X)) + \\ FRAC (1) ~ (3 \\ SQRT (((X) ^ 2))) + \\ FRAC (1) ~ (4 \\ sqrt ((((x) ^ (3)))))
여기에는 어려운 결정이 있습니다.
두 번째 예로 가면 여기에 두 가지 용어 만 있지만 각각에는 고전적인 학위와 뿌리가 모두 포함되어 있습니다.
이제 우리는 전력 기능의 파생 상품을 찾는 방법을 배우고, 또한 루트가 포함되어 있습니다.
\\ [(정렬)를 시작 \\ & ((\\ (((x)의 좌측 ^ (3)) \\ SQRT ((((X) ^ 2)) + ((X) ^ (7)) \\ SQRT (X ) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (3)) \\ Cdot \\ SQRT (((X) ^ 2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) ) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (3)) \\ Cdot ((X) ^ (\\ FRAC (2) (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\\\ \u003d & ( (\\ 왼쪽 (((X) ^ (3+ \\ FRAC (2) (3))) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (\\ FRAC (11) ( 3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (11) (3) \\ Cdot ((X) ^ (\\ FRAC (8) (3))) \u003d \\ FRAC (11) (3) \\ CDOT ((X) ^ (2 \\ FRAC (2) (3))) \u003d \\ FRAC (11) (3) \\ Cdot ((X) ^ 2) \\ CDOT \\ SQRT ((((X) ^ (2))) \\\\ \\ ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (7)) \\ cdot \\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (7)) \\ Cdot ((X) ^ (\\ FRAC (1) ~ (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (7 \\ FRAC (1) (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d 7 \\ FRAC (1) ~ (3) \\ Cdot ((X) ^ (6 \\ FRAC (1) ~ (3)) \u003d \\ FRAC (22) ( 3) \\ Cdot ((X) ^ (6)) \\ CDOT \\ SQRT (X) \\\\\\ 엔드 (정렬) \\]
두 주장은 (는) 최종 답변을 적어 남아 간주된다 :
\\ [(Y) "\u003d \\ FRAC (11) (3) \\ Cdot ((X) ^ 2) \\ CDOT \\ SQRT (((X) ^ 2)) + \\ FRAC (22) (3) \\ Cdot ((X) ^ (6)) \\ CDOT \\ SQRT (X) \\]
우리는 그 대답을 발견했습니다.
지수 함수를 통해 분획 유도체
그러나 끝나지 않는 전력 함수의 도함수의 용액에 대한 공식이 가능합니다. 사실은 그것의 도움으로 뿌리뿐만 아니라 예뿐만 아니라 분수와 고려 될 수 있다는 것이다. 이것은 크게 같은 사례의 해결을 단순화 단지 드문 가능성이지만, 동시에 그것은 종종 학생들뿐만 아니라 교사뿐만 아니라 무시됩니다.
그래서, 지금 우리는 한 번에 두 공식을 결합하려고합니다. 전력 함수 한편, 고전 유도체
\\ [((\\ 왼쪽 (((X) ^ (N)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d n \\ Cdot ((X) ^ (N-1)) \\]
$ - 반면에, 우리는 형의 발현이 $ \\ FRAC (1) (((X) ^ (N))) $이 (N) (X)은 (^) $로 표현되는 것을 알고있다. 그 후,
\\ [\\ 좌측 (\\ FRAC (1) (((X) ^ (N))) \\ 오른쪽) '\u003d ((\\ 왼쪽 ((((X)) ^ (- N)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) ) \u003d - n \\ cdot ((X) ^ (- N - 1)) \u003d - \\ FRAC (N) (((X) ^ (N + 1))) \\]
\\ [((\\ 좌측 (\\ FRAC (1) ~ (X) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ 왼쪽 ((((X)) ^ (- 1)) \\ 오른쪽) \u003d - 1 \\ CDot ((X ) ^ (- 2)) \u003d - \\ FRAC (1) (((X) ^ 2)) \\]
따라서, 거기에서 numener 상수이고, 분모 간단한 분획의 유도체 - 정도는 고전적인 공식을 사용하여 고려된다. 실제로 작동하는 방법을 보자.
첫 번째 함수 그래서 :
\\ [((\\ 좌측 (\\ FRAC (1) (((X) ^ 2)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 ((((X)) ^ (- 2)) \\ 우)) ^ (\\ 프라임)) \u003d - 2 \\ Cdot ((X) ^ (- 3)) \u003d - \\ FRAC (2) (((X) ^ (3))) \\]
첫 번째 예는 두 번째로 이동 해결 :
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (\\ frac (7) (4 ((\\ left (\\ frac (4))) - \\ FRAC (2) (3 (((x) ^ (3))) + FRAC (5) (2) ((X) ^ 2) + 2 (((X) ^ (3)) 3 - ((X) ^ (4)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ \\ & \u003d ((\\ 좌측 (\\ FRAC (7) (4 ((X) ^ (4))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) - ((\\ 좌측 (\\ FRAC (2) (3 ( (X) ^ (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + ((\\ 왼쪽 (2 ((X) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) - ((\\ 왼쪽 (3 ((X) ^ (4)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임) \\\\) \\ ((\\ 좌측 (\\ FRAC (7) (4 ((X) ^ (4))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (7) (4) ((\\ 좌 (\\ FRAC (1) (((X)은 ^ (4))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC ( 7) (4) \\ CDOT ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (- 4)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (7) (4) \\ CDOT \\ LEFT (-4 \\ RIGHT ) \\ Cdot ((X) ^ (- 5)) \u003d \\ FRAC (-7) (((X) ^ (5)) \\\\) & ((\\ 좌측 (\\ FRAC (2) (3 ((X) ^ (3))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (2) (3) \\ CDOT ((\\ 좌측 (\\ FRAC (1) (((X) ^ (3))) \\ 오른쪽 )) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (2) (3) \\ CDOT ((\\ 왼쪽 ((((X)) ^ (- 3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (2) (3) \\ cdot \\ 좌측 (-3 \\ 오른쪽) \\ Cdot ((X) ^ (- 4)) \u003d \\ FRAC (-2) (((X) ^ (4))) \\\\ & ((\\ 좌측 (\\ FRAC (5) (2) ((X) ^ 2) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (5) (2) \\ Cdot 배 배 \u003d \\\\ ≤ (\\ 좌측 (2 ((x) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ CDOT 3 ((x) ^ (2) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & (\\ 왼쪽 (3 ((((x) ^ (4)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 \\ cdot 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 (((x) ^ (3)) \\\\ end (정렬) \\ \\ \\] ...
이제 우리는이 모든 구성 요소를 단일 수식으로 수집합니다.
\\ [(y) "\u003d - \\ frac (7) (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((2)) (((((((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]
우리는 대답을 얻었습니다.
그러나 계속 나아가기 전에 원래 표현식 기록의 형태에주의를 기울이고 싶습니다. 첫 번째 표현식에서는 $ f \\ left (x \\ right) \u003d ... $, $, $ 서로 다른 기록 형태를 볼 때 y를 \u003d ... $ 많은 학생들이 잃게됩니다. $ f \\ left (x \\ right) $와 $ y $의 차이점은 무엇입니까? 사실, 아무것도 아닙니다. 이것들은 같은 의미로 다른 기록입니다. 우리가 $ f \\ left (x \\ right) $를 이야기하면 우리는 얘기하고있다우선, 기능에 대해, $ y $에 관해서는, 가장 자주 함수 일정을 의미합니다. 그렇지 않으면 두 경우 모두의 파생물이 동일한 것으로 간주됩니다.
파생 상품이있는 어려운 작업
결론적으로, 나는 우리가 오늘날 우리가 고려한 모든 것을 한 번에 사용하는 복잡한 결합 된 작업을 고려하고 싶습니다. 그들은 뿌리와 분수 모두를 기다리고 있습니다. 그러나 이러한 예제는 오늘날의 진정한 복잡한 기능이 당신을 기다리고 있기 때문에 오늘날의 비디오 자습서의 프레임 워크에서만 복잡 할 것입니다.
그래서 오늘날의 비디오 자습서의 마지막 부분은 두 가지 결합 된 작업으로 구성됩니다. 첫 번째로 시작합시다 :
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (((\\ left (((\\ left ((^ (\\ left (1) ((((x) ^ (3)) + \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime) \u003d ((\\ left (((((\\ left (((((\\ left ((x) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (\\ frac (1) (((((((((3) ^ (3) ))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + \\ 왼쪽 (\\ SQRT (x)를 \\ 오른쪽) \\\\ \\ ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 수상 ))은 ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 좌측 (^ 2) \\\\ Δ (\\ 좌측 (\\ FRAC ((((((X)) ^ (3))) \\ 오른쪽)) (X) \u003d 3 ((((X)) ^ (- 3)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d - 3 \\ Cdot ((X) ^ (- 4)) \u003d - \\ FRAC (3) (((X) (^ 4))) \\\\ \\ ((\\ 좌측 (\\ SQRT (X) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (((X) ^ (\\ FRAC (1) ~ (3))) \\ 우)) ^ (\\ 프라임)) \u003d \\ FRAC (1) ~ (3) \\ CDOT \\ FRAC (1) (((X) ^ (\\ FRAC (2) (3)))) \u003d \\ FRAC (1) ( 3 \\ sqrt ((((x) ^ (2)))) \\\\ end (정렬) \\
파생 기능은 다음과 같습니다.
\\ [(y) "\u003d 3 (((x) ^ (2)) - \\ fRAC (3) (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((1) (3 \\ sqrt (((((((x) ^ (2)))))
첫 번째 예제가 해결됩니다. 두 번째 작업을 고려하십시오.
두 번째 예에서는 같은 방식으로 행동합니다.
\\ [((\\ left (- \\ frac (2) (((x) ^ (4)) + \\ sqrt (x) + frac (x) (x \\ sqrt ((((x) ^ (3)) )) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) \u003d ((\\ 왼쪽 (- \\ FRAC (2) (((X) ^ (4))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ 프라임)) + ((\\ 좌측 (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) + (\\ left (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \\]
모든 용어를 별도로 계산하십시오.
\\ [\\ begin (정렬) & ((\\ left (\\ frac (2) (((\\ left (- \\ frac (2) ((((\\ \\ frac)) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot (\\ left (\\ left ((X) ^ (- 4)) \\ RIGHT)) ^ (\\ 프라임)) \u003d - 좌측 2 \\ Cdot \\ (-4 \\ 오른쪽) \\ Cdot ((X) ^ (- 5)) \u003d \\ FRAC (8 ) (((\\ left (\\ sqrt (x) \\ prime)) \\\\ & (\\ sqrt (x) \\ 왼쪽 (\\ sqrt (x) \\ 왼쪽 (\\ left) \u003d (\\ left ((x) ^ (\\ frac) 1) (4)))) \\ (\\ prime)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (3))) \u003d \\ frac (1 ) (4 \\ CDOT (x) ^ (\\ frac (3) ^ (\\ frac (3))) \u003d \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((4 \\ sqrt ((((3))))) \\\\ & (\\ 왼쪽 (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt ((x) ^ (3)))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (x \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4)))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) ((((((x) ^ (1 \\ frac (3 ) (4))))) \\ 오른쪽)) ^ (\\ prime)) \u003d 4 \\ CDOT ((\\ left (((x) ^ (- 1 \\ frac (3) ^ (4))) \\ 오른쪽)) ^ ( \\ 프라임)) \u003d \\\\ 및 왼쪽 \u003d 4 \\ Cdot \\ (-1 \\ FRAC (3) (4) \\ RIGHT) \\ Cdot ((X) ^ (- 2 \\ FRAC (3) (4)) \u003d 4 \\ Cdot \\ 좌 (- \\ FRAC (7) (4) \\ RIGHT) \\ CDOT \\ FRAC (1) (((X) ^ (2 \\ FRAC (3) (4)))) \u003d \\ FRAC (-7) ( ((X) ^ 2) \\ cdot ((X) ^ (\\ FRAC (3) (4)))) \u003d - \\ FRAC (7) (((X) ^ 2) \\ cDOT \\ SQRT ( ((X) ^ (3)))) \\\\\\ 엔드 (정렬) \\]
모든 용어가 계산됩니다. 이제 우리는 초기 수식으로 돌아가 세 가지 용어를 모두 함께 섞습니다. 우리는 최종 답변이 다음과 같을 것입니다.
\\ [(Y) "\u003d \\ FRAC (8) (((X) ^ (5))) + \\ FRAC (1) ~ (4 \\ SQRT (((((X)) ^ (3)))) - \\ FRAC ( 7) (((X) ^ 2) \\ CDOT \\ SQRT (((((X)) ^ (3)))) \\]
그리고 그것은 모두입니다. 그것은 우리의 첫 수업이었습니다. 다음과 같은 수업에서 우리는 더 복잡한 디자인을 살펴보며 왜 파생 상품이 필요한지 알아보십시오.
우리가 가장 단순한 파생물을 분해하고 또한 차별화 규칙에 익숙해졌습니다. 기술 기술 파생 상품 찾기. 따라서 기능의 파생물로 매우 분명하지 않으면 완전히 분명하지 않으면 먼저 위의 수업을 읽으십시오. 재료가 간단하지 않다,하지만, 난 여전히 간단하고 접근 그것을 설정하려고 - 심각한 방법으로 설정하십시오.
실제로, 복잡한 기능의 파생물은 매우 자주 직면해야합니다. 심지어 파생 상품을 찾을 때 거의 항상 말할 것입니다.
복잡한 기능의 차별화의 규칙 (5 번)을 찾으십시오.
우리는 이해한다. 우선, 기록에주의하십시오. 여기서 우리는 두 가지 기능이 있으며, 더욱이 기능이 비 유적으로 말하면서 함수에 투자됩니다. (하나 개의 기능이 서로에 포함) 및 복소 함수 호출이 타입의 기능.
나는 그 기능을 부를 것이다 외부 기능및 기능 - 내부 (또는 중첩) 기능.
...에! 이러한 정의는 이론적하지 않으며 작업의 피스톤 디자인에 나타나지 않아야합니다. 비공식 표현식 "외부 기능", "내부"기능 만 사용하여 재료를 쉽게 이해할 수 있습니다.
상황을 명확히하기 위해 다음을 고려하십시오.
예제 1.
파생 기능을 찾으십시오
부비동 아래에서 우리는 편지 "x"뿐만 아니라 정수 표현식이므로 테이블에서 즉시 파생 상품을 찾을 수 없습니다. 우리는 또한 여기서는 첫 번째 네 가지 규칙을 적용하는 것은 불가능합니다. 차이가있는 것 같지만, 사실은 부비동이 "부품으로 분리되지 않는다"는 것입니다.
이 예에서 설명 에서이 기능이 복잡한 함수이고 다항식은 내부 기능 (첨부 파일)이며 외부 기능입니다.
첫 번째 단계파생 복잡한 기능을 찾을 때 수행하려면 어떤 기능이 내부 상태인지 알아 내고 외부는 무엇입니까?.
간단한 예의 경우 다항식이 사인 밑에 투자되는 것처럼 보입니다. 그러나 모든 것이 분명하지 않다면 어떨까요? 어떤 기능이 어떤 기능을 결정하는지, 그리고 내부는 무엇입니까? 이렇게하려면, 나는 정신적으로 또는 초안에서 수행 될 수있는 다음 리셉션을 사용하기로 제안합니다.
우리가 계산기 대신에 표현식 값의 값을 계산해야한다고 상상해보십시오 (유닛 대신 임의의 번호가있을 수 있음).
우리는 무엇을 먼저 계산합니까? 가장 먼저 따라서 다음을 수행해야합니다. 따라서 다항식은 내부 기능이 될 것입니다. 
둘째로 부비동 - 외부 기능이 될 것입니다. 
우리를 끝낸 후에 알아 냈어 내부 및 외부 기능을 사용하면 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용 할 차례입니다. 
.
우리는 해결하기 시작합니다. 수업에서 파생 상품을 찾는 방법? 우리는 모든 파생물의 해결책 장식이 항상 그렇게 시작한다는 것을 기억합니다 - 우리는 괄호 안의 표현을 결론지고 바코드 맨 위에 오른쪽에 놓습니다.
먼저 우리는 외부 함수 유도체 (동)을 찾아, 우리는 파생 기본 기능 및 통지 그 테이블을 확인합니다. "X"는 복잡한 표정으로 교체하면 모든 표 수식을 적용하고 경우에,이 경우 :
내부 기능은 변화하지 않았으며, 우리는 그녀를 만지지 않습니다.
글쎄, 그것은 아주 분명합니다
공식의 적용 결과 
피스톤 디자인에서는 다음과 같습니다.
영구 배율은 일반적으로 표현식을 견뎌냅니다.
오해가 남아 있으면 종이에 대한 결정을 다시 작성하고 설명을 다시 읽으십시오.
예 2.
파생 기능을 찾으십시오
예 3.
파생 기능을 찾으십시오
언제나처럼, 쓰기 : 
우리는 우리가 외부 기능을 가지고 있는지, 그리고 내부는 어디에 있는지 이해합니다. 이렇게하려면의 식의 값을 계산하기 위해 (정신적 또는 초안에)보십시오. 먼저 수행 해야하는 것은 무엇입니까? 우선, 그것은베이스와 동일한 것을 계산해야합니다. 이는 다항식이 내부 기능임을 의미합니다. 
그리고,이 운동 범위로 수행된다 그래야만 따라서, 멱 함수는 외부 함수이다 : 
공식에 따르면 
먼저 외부 기능에서 파생 상품을 찾아야합니다 (이 경우). 우리는 테이블에서 필요한 공식을 원했습니다. 우리는 다시 반복합니다 : 모든 표 수식은 "x"뿐만 아니라 복잡한 표현식에도 유효합니다....에 따라서 복합 기능의 분화 범위를 적용한 결과 
수행원:
나는 외부 기능을 파생시킬 때 내부 기능이 우리와 함께 변경되지 않는다는 것을 다시 강조한다. 
이제는 내부 기능에서 완전히 간단한 파생 상품을 찾고 결과를 조금 "빗질"합니다.
예 4.
파생 기능을 찾으십시오
이것은 예제입니다 자기 결정 (수업이 끝나면 응답).
파생 복잡한 기능에 대한 이해를 확보하기 위해 코멘트가없는 한 예를 제공하고, 자신을 알아 내려고, 페인트, 외부 및 내부 기능이 어디에 있는지, 왜이 방법으로 해결 된 이유는 무엇입니까?
예 5.
a) 파생 기능을 찾으십시오
b) 파생 기능을 찾으십시오
예 6.
파생 기능을 찾으십시오 
여기서 우리는 뿌리를 가지고 있으며, 뿌리를 무관하게하기 위해서는 학위의 형태로 표현되어야합니다. 따라서 먼저이 기능을 적절한 형식으로 제공하십시오.
기능을 분석하면 세 가지 용어의 합계가 내부 기능이며 외부 기능이 외부 기능이라고 결론을줍니다. 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용하십시오 
:
도는 다시 라디칼 (루트)의 형태로 표현하고, 내부 함수의 유도체, 분화 량의 간단한 규칙을 사용
준비된. 표현을 이끌 수 있습니다 공통 분모 하나의 분수로 모든 것을 적어 두십시오. 아름다운 물론,하지만, 부피가 큰 긴 파생 상품을 얻을 때 -이 (가 쉽게 혼동 얻을의 불필요한 오류를 허용하고, 교사가 불편 확인합니다)이 작업을 수행하지 않는 것이 좋다.
예 7.
파생 기능을 찾으십시오
이것은 독립적 인 솔루션 (수업 끝에 답변)의 예입니다.
복잡한 기능의 차별화 절차 대신에 비례 차별 규칙을 사용할 수 있습니다. 
그러나이 결정은 변기가 특이한 것처럼 보입니다. 여기에는 특성이 있습니다.
예 8.
파생 기능을 찾으십시오
여기에서 비율 차별화 규칙을 사용할 수 있습니다 
그러나 복잡한 기능의 차별화 규칙을 통해 파생물을 찾는 것은 훨씬 더 수익성이 있습니다.
우리는 차별화 기능을 준비합니다 - 우리는 파생물의 표시 당 빼기 빼고, 코사인은 분자로 인상합니다.
코사인은 내부 기능이며 외부 기능은 외부 기능입니다.
우리는 우리의 규칙을 사용합니다 
:
우리는 내부 기능의 파생 상품을 발견하고, 코사인은 뒤로 폐기됩니다.
준비된. 검사 된 예에서는 징후로 혼란스러워하지 않는 것이 중요합니다. 그건 그렇고, 규칙을 사용하여 해결하려고 시도하십시오. 
답변은 일치해야합니다.
예 9.
파생 기능을 찾으십시오
이것은 독립적 인 솔루션 (수업 끝에 답변)의 예입니다.
지금까지 우리는 복잡한 기능에 하나의 투자 만있을 때 사례를 고려했습니다. 실용적인 작업에서는 Matryoshki가 한 번에 3 번, 심지어 4-5 함수에 포함 된 파생 상품을 충족시키는 것이 가능합니다.
예 10.
파생 기능을 찾으십시오
우리는이 기능의 투자를 이해합니다. 우리는 실험 값을 사용하여 표현식을 계산하려고합니다. 우리는 어떻게 계산기를 믿을까요?
먼저 알 필요가 있음을 알아야합니다. Arksinus는 가장 깊은 투자입니다.
그런 다음이 아르록스 단위는 사각형에 내장되어야합니다.
그리고 마지막으로, 7 명은 정도로 세워졌습니다. 
즉,이 예에서는 세 가지 기능과 두 개의 첨부 파일이 있지만 내부 기능은 arxinus이고 외부 기능 자체는 지표입니다.
우리는 결정을 시작합니다
규칙에 따라 
먼저 외부 기능에서 파생 상품을 가져 가야합니다. 우리는 파생 상품 테이블을보고 표시 기능의 파생 상품을 찾습니다. 유일한 차이점은 "x"대신이 수식의 유효성을 취소하지 않는 어려운 표현식을 가지고 있습니다. 그래서 복합 기능의 차별화 런트를 적용한 결과 
수행원.
