복잡한 파생 상품. 대수 도함수.
지수 함수의 도함수

차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 단원에서는 다루는 자료를 통합하고 더 복잡한 도함수를 고려하며 도함수, 특히 대수 도함수를 찾기 위한 새로운 기술과 트릭에 대해서도 알게 됩니다.

교육 수준이 낮은 독자는 기사를 참조해야 합니다. 파생 상품은 어떻게 찾나요? 솔루션의 예, 거의 처음부터 기술을 올릴 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복소수 함수의 도함수, 이해하고 해결하다 모두내가 준 예. 이 수업은 논리적으로 세 번째 연속이며, 마스터한 후에는 다소 복잡한 기능을 자신 있게 구별할 수 있습니다. "다른 곳은 어디입니까?"라는 입장을 고수하는 것은 바람직하지 않습니다. 그리고 그것으로 충분합니다!", 모든 예제와 솔루션은 실제에서 가져온 것이므로 제어 작업그리고 실제로 종종 발견됩니다.

반복부터 시작합시다. 수업에서 복소수 함수의 도함수우리는 자세한 설명과 함께 여러 예를 살펴보았습니다. 미적분학 및 기타 수학적 분석 분야를 공부하는 과정에서 매우 자주 미분해야 하며 예를 아주 자세하게 작성하는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것은 아님). 따라서 구두로 파생 상품을 찾는 연습을 할 것입니다. 이에 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 기능의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복잡한 함수의 미분 법칙에 따르면 :

미래에 마탄의 다른 주제를 공부할 때, 그러한 상세한 기록은 종종 필요하지 않으며, 학생이 자동 자동 조종 장치에서 유사한 파생 상품을 찾을 수 있다고 가정합니다. 새벽 3시에 전화가 울렸고 유쾌한 목소리가 "두 X의 탄젠트의 미분은 무엇입니까?"라고 물었다고 상상해보십시오. 이것은 거의 즉각적이고 정중한 응답으로 이어집니다. .

첫 번째 예는 즉시 타겟팅합니다. 독립적인 결정.

실시예 1

예를 들어 다음 파생어를 한 단계에서 구두로 찾으십시오. 작업을 완료하려면 다음을 사용해야 합니다. 기본 함수의 도함수 표(아직 기억나지 않는 경우). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다. 복소수 함수의 도함수.

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수업 종료 시 답변

복합 파생 상품

예비 포병 준비 후, 3-4-5 기능 어태치먼트가 있는 예는 덜 무섭게 될 것입니다. 아마도 다음 두 가지 예가 어떤 사람들에게는 어려워 보일지 모르지만, 당신이 그것들을 이해한다면(누군가는 고통을 받을 것입니다), 미분 미적분학의 다른 거의 모든 것은 어린아이의 농담처럼 보일 것입니다.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급했듯이 복소수 함수의 도함수를 찾을 때 먼저 다음이 필요합니다. 오른쪽첨부 파일을 이해하십시오. 의심이 가는 경우 유용한 기술을 기억합니다. 예를 들어 "X"라는 실험 값을 사용하여 주어진 가치"끔찍한 표현"으로.

1) 먼저, 금액이 가장 깊은 투자임을 의미하는 표현식을 계산해야합니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 입방체로 올립니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점:

6) 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소수 미분 공식 가장 바깥쪽 기능에서 가장 안쪽으로 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다.

실수가 없는듯....

(1) 우리는 의 도함수를 취한다 제곱근.

(2) 규칙을 사용하여 차이의 미분을 취합니다.

(3) 삼중의 도함수는 0입니다. 두 번째 항에서 우리는 차수(입방체)의 도함수를 취합니다.

(4) 코사인의 미분을 취합니다.

(5) 로그의 미분을 취합니다.

(6) 마지막으로, 우리는 가장 깊은 중첩의 도함수를 취합니다.

너무 어렵게 들릴지 모르지만 이것은 아직 가장 잔인한 예가 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 보면 분석된 파생 상품의 매력과 단순함을 모두 이해할 수 있습니다. 나는 그들이 학생이 복잡한 함수의 도함수를 찾는 방법을 이해하는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 DIY 솔루션에 대한 것입니다.

실시예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 선형성 규칙과 곱 미분 규칙을 적용합니다.

튜토리얼의 끝에서 완전한 솔루션과 답변.

이제 더 작고 귀여운 것으로 넘어갈 때입니다.
예를 들어 두 가지가 아닌 세 가지 기능의 곱을 제공하는 것은 드문 일이 아닙니다. 세 가지 요인의 곱의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 3가지 함수의 곱을 2가지 함수의 곱으로 바꾸는 것이 가능한지 볼까요? 예를 들어, 제품에 두 개의 다항식이 있는 경우 대괄호를 확장할 수 있습니다. 그러나 이 예에서는 차수, 지수 및 로그와 같은 모든 기능이 다릅니다.

그러한 경우에 필요한 일관되게제품 차별화 규칙 적용 두 배

트릭은 "y"의 경우 두 함수의 곱을 나타내고 "ve"의 경우 대수를 나타냅니다. 왜 이것이 가능합니까? 인가 - 이것은 두 가지 요소의 산물이 아니며 규칙이 작동하지 않습니다?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 두 번째로 규칙을 적용하는 일만 남았습니다. 괄호까지:

당신은 여전히 ​​변태되어 대괄호에서 무언가를 꺼낼 수 있지만 이 경우이 양식에 답을 남겨 두는 것이 좋습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

고려한 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 절대적으로 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이것은 독립 솔루션의 예이며 샘플에서는 첫 번째 방법으로 해결됩니다.

분수와 유사한 예를 살펴 보겠습니다.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기에 가는 방법은 여러 가지가 있습니다.

또는 다음과 같이:

그러나 우선 몫을 미분하는 규칙을 사용하면 솔루션이 더 간결하게 작성됩니다. , 전체 분자에 대해 다음을 수행합니다.

원칙적으로 예제는 해결되며 그대로 두면 오류가 발생하지 않습니다. 하지만 시간이 된다면 항상 초안을 확인해보는 것이 좋은데 답을 간단하게 할 수 있을까요? 분자의 표현을 로 가져오자 공통분모그리고 삼층분수를 없애다:

추가 단순화의 단점은 도함수를 찾는 것이 아니라 진부한 학교 변환의 경우 실수를 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에, 교사들은 종종 과제를 거부하고 파생어를 "기억해 달라"고 요청합니다.

DIY 솔루션에 대한 더 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 방법을 계속 마스터하고 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 일반적인 경우를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 기능을 구별하는 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담에 빠뜨립니다. 분수 수준에서 불쾌한 파생 상품을 가져온 다음 분수에서도 가져와야 합니다.

그렇기 때문에 ~ 전에"멋진" 로그의 도함수를 취하는 방법은 잘 알려진 학교 속성을 사용하여 미리 단순화됩니다.

! 연습용 노트가 있다면 바로 이 공식을 복사하세요. 공책이 없으면 나머지 강의 예제에서 이 공식을 중심으로 돌아가므로 종이에 다시 그립니다.

솔루션 자체는 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

파생 상품 찾기:

기능 자체를 미리 구성하면 솔루션이 크게 간소화되었습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분할"하는 것이 좋습니다.

이제 독립 솔루션에 대한 몇 가지 간단한 예:

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

수업이 끝날 때 모든 변형 및 답변.

대수 도함수

로그의 도함수가 그런 감미로운 음악이라면 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능한가라는 의문이 생깁니다. 할 수있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리는 최근에 비슷한 예를 보았습니다. 무엇을 할까요? 몫 미분 규칙을 일관되게 적용한 다음 작업 미분 규칙을 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 전혀 처리하고 싶지 않은 거대한 3층 부분을 얻게 된다는 것입니다.

그러나 이론과 실제에는 로그 도함수와 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "매달"하여 인위적으로 구성할 수 있습니다.

이제 오른쪽의 로그(눈 앞의 공식?)의 로그를 최대한 "파괴"해야 합니다. 이 과정을 자세히 설명하겠습니다.

실제로 우리는 차별화를 진행합니다.
획 아래에 두 부분을 모두 포함합니다.

우변의 미분은 매우 간단합니다. 이 텍스트를 읽고 있다면 자신 있게 대처해야 하기 때문에 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에 우리는 복잡한 기능... 나는 "왜, 로그 아래에 하나의 문자가 있습니까?"ygrek "라는 질문을 예상합니다.

사실은 이 "한 글자 igrek"- 그 자체가 함수다(매우 명확하지 않은 경우 암시적 함수에서 파생 문서 참조). 따라서 로그는 외부 함수이고 "게임"은 내부 함수입니다. 그리고 우리는 복잡한 기능을 미분하는 규칙을 사용합니다 :

파도처럼 왼쪽에 마법의 지팡이파생 상품이 있습니다. 또한 비례 규칙에 따라 왼쪽의 분모에서 오른쪽의 위쪽으로 "게임"을 던집니다.

그리고 이제 우리는 차별화에서 논의한 어떤 종류의 "게임" 기능을 기억합니까? 우리는 조건을 봅니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 수업이 끝날 때이 유형의 예에 대한 디자인 샘플.

로그 도함수의 도움으로 예제 №№ 4-7 중 하나를 해결할 수 있었습니다. 또 다른 문제는 거기에 있는 함수가 더 간단하고 아마도 로그 도함수의 사용이 그다지 정당하지 않다는 것입니다.

지수 함수의 도함수

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 지수 함수는 다음과 같은 함수입니다. 차수와 밑수는 "x"에 따라 다릅니다.. 고전적인 예, 모든 교과서 또는 강의에서 제공됩니다.

지수 함수의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 고려한 기술인 대수 도함수를 사용해야 합니다. 우리는 양쪽에 로그를 걸었습니다.

일반적으로 차수는 오른쪽의 로그 아래에서 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 표준 공식에 따라 미분되는 두 함수의 곱을 얻었습니다. .

우리는 도함수를 찾습니다. 이를 위해 두 부분을 획 아래에 묶습니다.

추가 작업은 간단합니다.

마침내:

변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예제 # 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽으십시오.

실제 작업에서 지수 함수는 항상 고려된 강의 예제보다 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

로그 도함수를 사용합니다.

오른쪽에는 상수와 "x"와 "x의 로그 로그"(또 다른 로그가 로그 아래에 포함됨)라는 두 가지 요소의 곱이 있습니다. 우리가 기억하는 바와 같이 상수를 미분할 때 발 아래 방해가 되지 않도록 도함수의 부호를 즉시 제거하는 것이 좋습니다. 물론 우리는 친숙한 규칙을 적용합니다. :

보시다시피 대수 도함수를 적용하는 알고리즘에는 특별한 트릭이나 트릭이 포함되어 있지 않으며 지수 함수의 도함수를 찾는 것은 일반적으로 "고통"과 관련이 없습니다.

미분 공식의 유도 전원 기능(x의 거듭제곱). x의 근의 도함수가 고려됩니다. 고차 거듭제곱 함수의 도함수에 대한 공식입니다. 파생 상품 계산의 예.

x의 제곱에 대한 도함수는 x x x - 1의 거듭제곱과 같습니다.
(1) .

x의 n제곱근을 m제곱으로 도함수하면 다음과 같습니다.
(2) .

거듭제곱 함수의 미분 공식 유도

사례 x> 0

지수가 a인 변수 x의 거듭제곱 함수를 고려하십시오.
(3) .
여기 임의의 실수가 있습니다. 먼저 경우를 고려하십시오.

함수 (3)의 도함수를 찾기 위해 거듭제곱 함수의 속성을 사용하여 다음 형식으로 변환합니다.
.

이제 다음을 적용하여 도함수를 찾습니다.
;
.
여기 .

식 (1)이 증명된다.

x에서 m까지의 n차 근의 도함수에 대한 공식 유도

이제 다음 형식의 근인 함수를 고려하십시오.
(4) .

도함수를 찾기 위해 루트를 거듭제곱 함수로 변환합니다.
.
식 (3)과 비교하면,
.
그 다음에
.

공식 (1)을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.
(1) ;
;
(2) .

실제로는 공식 (2)를 외울 필요가 없습니다. 먼저 근을 거듭제곱 함수로 변환한 다음 공식 (1)을 사용하여 그 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 편리합니다(페이지 끝에 있는 예 참조).

케이스 x = 0

그렇다면, 변수 x =의 값에 대해서도 거듭제곱 함수가 정의됩니다. 0 ... x =에서 함수 (3)의 도함수를 구합시다. 0 ... 이를 위해 도함수의 정의를 사용합니다.
.

대체 x = 0 :
.
이 경우 도함수는 오른쪽 극한을 의미합니다.

그래서 우리는 다음을 찾았습니다.
.
따라서 ,에서 볼 수 있습니다.
에 , .
에 , .
이 결과는 공식 (1)에 의해 얻어진다:
(1) .
따라서 공식 (1)은 x =에도 유효합니다. 0 .

케이스×< 0

함수 (3)을 다시 고려하십시오.
(3) .
상수의 일부 값의 경우 변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다. 즉, 를 유리수라 하자. 그러면 기약 분수로 나타낼 수 있습니다.
,
여기서 m과 n은 공약수가 없는 정수입니다.

n이 홀수이면 변수 x의 음수 값에 대해서도 거듭제곱 함수가 정의됩니다. 예를 들어, n = 3 그리고 m = 1 x의 세제곱근이 있습니다.
.
변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다.

정의 된 상수의 합리적인 값에 대한 거듭 제곱 함수 (3)의 도함수를 찾아 보겠습니다. 이를 위해 다음 형식으로 x를 나타냅니다.
.
그 다음에 ,
.
상수를 도함수의 부호 밖으로 이동하고 복소수 함수를 미분하는 규칙을 적용하여 도함수를 찾습니다.

.
여기 . 하지만
.
그때부터
.
그 다음에
.
즉, 공식 (1)은 다음에도 유효합니다.
(1) .

고차 파생 상품

이제 우리는 더 높은 차수의 거듭제곱 함수의 도함수를 찾습니다.
(3) .
우리는 이미 1계 도함수를 찾았습니다.
.

도함수의 부호 외부에서 상수를 취하면 2차 도함수를 찾습니다.
.
유사하게, 우리는 3차 및 4차 차수의 도함수를 찾습니다.
;

.

이것으로부터 분명한 것은 임의의 n차 미분다음과 같이 보입니다.
.

그것을주의해라 가 자연수인 경우, , n 번째 도함수는 일정합니다.
.
그런 다음 모든 후속 파생 상품은 0과 같습니다.
,
에 .

도함수 계산 예

예시

함수의 도함수 찾기:
.

해결책

우리는 뿌리를 거듭제곱으로 변환합니다.
;
.
그러면 원래 함수는 다음 형식을 취합니다.
.

우리는 힘의 도함수를 찾습니다:
;
.
상수의 도함수는 0입니다.
.

이 비디오로 파생 상품에 대한 긴 시리즈의 자습서를 시작합니다. 이 자습서는 여러 부분으로 나뉩니다.

우선 도함수가 일반적으로 무엇인지, 어떻게 세는지에 대해 말씀드리겠습니다. 까다로운 학문적 언어가 아닌 제가 직접 이해하고 학생들에게 설명하는 방법입니다. 두 번째로, 우리는 합계의 도함수, 차이의 도함수, 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 문제를 풀기 위한 가장 간단한 규칙을 고려할 것입니다.

우리는 더 복잡한 결합된 예를 살펴볼 것이며, 특히 근과 분수를 포함하는 유사한 문제가 거듭제곱 함수의 도함수 공식을 사용하여 풀 수 있다는 것을 배우게 될 것입니다. 또한 매우 다양한 수준의 복잡성을 가진 솔루션에 대한 많은 작업과 예가 있을 것입니다.

사실 처음에는 5분짜리 짧은 영상을 찍을 생각이었는데 어떻게 된 건지 직접 보시면 아실 겁니다. 가사는 충분합니다. 이제 본론으로 들어가겠습니다.

파생상품이란?

그럼 멀리서 시작하겠습니다. 수년 전, 나무가 더 푸르고 삶이 더 재미있었을 때 수학자들은 이것에 대해 생각했습니다. 우리 자신의 그래프가 제공하는 간단한 함수를 생각하고 $ y = f \ left (x \ right) $라고 합시다. 물론 그래프 자체는 존재하지 않기 때문에 $ x $ 축은 물론 $ y $ 축도 그려야 합니다. 이제 이 그래프의 임의의 점을 선택하겠습니다. 절대적으로 임의입니다. 가로 좌표는 $ ((x) _ (1)) $, 세로 좌표는 $ f \ left (((x) _ (1)) \ right) $가 될 것입니다.

같은 그래프에서 한 점을 더 고려하십시오. 어느 것이든 상관없습니다. 가장 중요한 것은 원본과 다르다는 것입니다. 다시 가로 좌표가 있습니다. $ ((x) _ (2)) $, 세로 좌표 - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $라고합시다.

따라서 우리는 두 가지 점을 얻었습니다. 가로 좌표가 다르므로 다른 의미후자는 선택 사항이지만 기능. 그러나 정말로 중요한 것은 평면 측정 과정에서 우리가 알고 있는 것입니다. 두 점을 통해 직선을 그릴 수 있고 게다가 하나만 그릴 수 있습니다. 그럼 실행해 보겠습니다.

이제 가로축에 평행한 첫 번째 직선을 그립니다. 우리는 얻는다 정삼각형... $ ABC $, 직각 $ C $라고 합시다. 이 삼각형에는 한 가지 매우 흥미로운 속성이 있습니다. 사실 각 $ \ alpha $는 실제로 $ AB $ 선이 가로축의 연속과 교차하는 각도와 같습니다. 스스로 판단:

1. 라인 $ AC $는 구성에 의해 $ Ox $ 축과 평행하고,
2. 라인 $ AB $는 $ \ alpha $ 아래에서 $ AC $를 만나고,
3. 따라서 $ AB $는 동일한 $ \ alpha $ 아래에서 $ Ox $와 교차합니다.

$ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 삼각형 $ ABC $에서 다리 $ BC $와 다리 $ AC $의 비율이 바로 이 각도의 접선과 같다는 점을 제외하고는 특별한 것은 없습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다:

물론 이 경우 $ AC $는 쉽게 계산됩니다.

마찬가지로 $ BC $:

즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ 오른쪽)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

이제 모든 것을 파악했으므로 그래프로 돌아가서 새로운 $ B $ 포인트를 살펴보겠습니다. 이전 값을 지우고 $ B $를 $ ((x) _ (1)) $에 더 가까운 곳으로 가져갑니다. 가로 좌표를 $ ((x) _ (2)) $로, 세로 좌표를 $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $로 다시 표시합시다.

작은 삼각형 $ ABC $와 $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ 안에 있는 작은 삼각형을 다시 생각해 보세요. 이것은 완전히 다른 각도가 될 것이 분명합니다. $ AC $ 및 $ BC $ 세그먼트의 길이가 크게 변경되었으며 각도의 접선 공식이 전혀 변경되지 않았기 때문에 접선도 다를 것입니다. - 이것은 여전히 ​​함수의 변경과 인수의 변경 사이의 관계입니다 ...

마지막으로 $ B $를 계속해서 $ A $의 원래 점에 더 가깝게 이동합니다. 결과적으로 삼각형은 훨씬 더 줄어들고 세그먼트 $ AB $를 포함하는 선은 점점 더 접선처럼 보일 것입니다. 함수의 그래프.

결과적으로 점에 계속 접근하면, 즉 거리를 0으로 줄이면 직선 $ AB $는 실제로 이 지점에서 그래프에 대한 접선으로 바뀌고 $ \ text () \! \! \ Alpha \! \ ! \ text () $는 정삼각형 요소에서 그래프의 접선과 $ Ox $ 축의 양의 방향 사이의 각도로 변환합니다.

그리고 여기서 우리는 $ f $의 정의로 부드럽게 넘어갑니다. 즉 $ ((x) _ (1)) $ 점에서 함수의 미분은 접선 사이의 각도 $ \ alpha $의 접선이라고 합니다. $ ((x) _ ( 1)) $ 점에서의 그래프와 $ Ox $ 축의 양의 방향:

\ [(f) "\ 왼쪽 (((x) _ (1)) \ 오른쪽) = \ 연산자 이름 (tg) \ 텍스트 () \! \! \ 알파 \! \! \ 텍스트 () \]

차트로 돌아가서 차트의 모든 지점을 $ ((x) _ (1)) $로 선택할 수 있습니다. 예를 들어 그림에 표시된 지점에서 획을 제거했을 수도 있습니다.

접선과 축의 양의 방향 사이의 각도를 $ \베타 $라고 합니다. 따라서 $ ((x) _ (2)) $의 $ f $는이 각도 $ \ 베타 $의 탄젠트와 같습니다.

\ [(f) "\ 왼쪽 (((x) _ (2)) \ 오른쪽) = tg \ 텍스트 () \! \! \ 베타 \! \! \ 텍스트 () \]

그래프의 각 점에는 고유한 접선이 있으므로 고유한 함수 값이 있습니다. 이러한 각각의 경우에, 우리가 차 또는 합의 도함수, 또는 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 점에 더하여, 그것으로부터 일정 거리에 있는 다른 점을 취하는 것이 필요하며, 그 다음 이 점을 초기 점으로 향하게 하고 물론 그 과정에서 이 움직임이 경사각의 접선을 어떻게 변화시킬지 알아내십시오.

거듭제곱 함수의 도함수

불행히도 그러한 정의는 우리에게 전혀 적합하지 않습니다. 이 모든 공식, 그림, 각도는 실제 도함수를 계산하는 방법에 대한 약간의 아이디어도 제공하지 않습니다. 실제 작업... 따라서 형식적인 정의에서 조금 벗어나 실제 문제를 이미 해결할 수 있는 보다 효과적인 공식과 기술을 고려해 보겠습니다.

가장 간단한 구조, 즉 $ y = ((x) ^ (n)) $ 형식의 함수, 즉 전원 기능. 이 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. 즉, 지수에 있던 차수가 앞에 있는 승수에 표시됩니다. , 지수 자체는 단위로 감소합니다. 예:

\ [\ 시작 (정렬) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ 끝 (정렬) \]

다음은 또 다른 옵션입니다.

\ [\ 시작(정렬) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ 왼쪽 (x \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ 왼쪽(x \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 1 \\ 끝(정렬) \]

이 간단한 규칙을 사용하여 다음 예제에서 마무리 작업을 제거해 보겠습니다.

그래서 우리는 다음을 얻습니다.

\ [((\ 왼쪽 (((x) ^ (6)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

이제 두 번째 식을 풉니다.

\ [\ 시작 (정렬) & f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (100)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ 끝 (정렬) \]

물론 그들은 매우 간단한 작업... 그러나 실제 문제는 더 복잡하며 기능의 힘에만 국한되지 않습니다.

따라서 규칙 번호 1 - 함수가 다른 두 형식으로 제공되는 경우 이 합계의 도함수는 도함수의 합계와 같습니다.

\ [((\ 왼쪽 (f + g \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = (f) "+ (g)"\]

유사하게, 두 함수의 차이의 도함수는 도함수의 차이와 같습니다.

\ [((\ 왼쪽 (f-g \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = (f) "- (g)"\]

\ [((\ 왼쪽 (((x) ^ (2)) + x \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + ((\ 왼쪽 (x \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 2x + 1 \]

또한 중요한 규칙이 하나 더 있습니다. $ f $ 앞에 상수 $ c $가 있고 이 함수에 곱하면 이 전체 구성의 $ f $는 다음과 같이 간주됩니다.

\ [((\ 왼쪽 (c \ cdot f \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 3 ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

마지막으로 매우 중요한 규칙이 하나 더 있습니다. 문제에는 종종 $ x $가 전혀 포함되지 않은 별도의 용어가 있습니다. 예를 들어, 오늘날 우리는 이것을 우리의 표현에서 볼 수 있습니다. 상수의 도함수, 즉 $ x $에 어떤 식으로든 의존하지 않는 숫자는 항상 0이며 상수 $ c $가 무엇인지는 전혀 중요하지 않습니다.

\ [((\ 왼쪽 (c \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = 0 \]

솔루션 예:

\ [((\ 왼쪽 (1001 \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (1000) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 0 \]

다시 한 번 요점:

1. 두 함수의 합에 대한 미분은 항상 미분의 합과 같습니다. $ ((\ 왼쪽 (f + g \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = (f) "+ (g)" $;
2. 비슷한 이유로 두 함수의 차이의 도함수는 두 도함수의 차이와 같습니다. $ ((\ 왼쪽 (f-g \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임) = (f) "- (g)" $;
3. 함수에 상수 승수가 있는 경우 이 상수는 미분 기호 외부로 이동할 수 있습니다. $ ((\ 왼쪽 (c \ cdot f \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = c \ cdot (f) "$;
4. 전체 함수가 상수이면 그 도함수는 항상 0입니다: $ ((\ 왼쪽 (c \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = 0 $.

실제 예제와 함께 모든 것이 어떻게 작동하는지 봅시다. 그래서:

우리는 다음과 같이 기록합니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (5)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - ((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ 왼쪽 (((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\ 끝(정렬) \]

이 예에서 우리는 합계의 도함수와 차이의 도함수를 모두 봅니다. 합계, 파생 상품은 $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $입니다.

두 번째 기능으로 이동:

우리는 솔루션을 기록합니다.

\ [\ 시작 (정렬) & ((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ ( 2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) - ((\ 왼쪽 (2x \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ 왼쪽 (((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ 끝(정렬) \]

그래서 우리는 답을 찾았습니다.

세 번째 기능으로 넘어가 보겠습니다. 이미 더 심각합니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (2 ((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - ((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ (2)) \ 오른쪽 )) ^ (\ 프라임)) + ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (2) x \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ 왼쪽 (( (x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - 3 ((\ 왼쪽 (((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2) ) -6x + \ frac (1) (2) \\\ 끝(정렬) \]

우리는 답을 찾았습니다.

마지막 표현으로 이동 - 가장 복잡하고 긴 표현:

따라서 다음을 고려합니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ( (\ 왼쪽 (6 ((x) ^ (7)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - ((\ 왼쪽 (14 ((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + ((\ 왼쪽 (4x \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ 끝(정렬) \]

그러나 솔루션은 여기서 끝나지 않습니다. 획을 제거하는 것뿐만 아니라 특정 지점에서 해당 값을 계산하도록 요청받았기 때문에 표현식에서 $ x $ 대신 -1을 대체했습니다.

\ [(y) "\ 왼쪽 (-1 \ 오른쪽) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

더 복잡하고 흥미로운 예제로 넘어갑니다. 사실은 거듭제곱 미분을 푸는 공식 $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ 소수)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $는 일반적으로 생각되는 것보다 훨씬 더 광범위한 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 그것의 도움으로 분수, 근 등으로 예제를 풀 수 있습니다. 이것이 우리가 지금 할 일입니다.

우선, 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 데 도움이 되는 공식을 다시 한 번 적어 보겠습니다.

이제 주의: 지금까지 우리는 $ n $만 고려했습니다. 정수그러나 분수와 심지어 음수를 고려하는 데 간섭하지 않습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

\ [\ 시작(정렬) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ 끝(정렬) \]

복잡한 것은 없으므로 이 공식이 더 복잡한 문제를 해결하는 데 어떻게 도움이 되는지 봅시다. 예:

우리는 솔루션을 기록합니다.

\ [\ 시작 (정렬) & \ 왼쪽 (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ 오른쪽) = ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임 )) + ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) \\ & ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ ( \ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ 끝(정렬) \]

예제로 돌아가서 다음과 같이 작성하십시오.

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ 제곱 (((x) ^ (3)))) \]

여기 까다로운 결정이 있습니다.

두 번째 예를 살펴보겠습니다. 용어는 두 개뿐이지만 각 용어에는 고전적인 정도와 근이 모두 포함되어 있습니다.

이제 우리는 또한 근을 포함하는 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 방법을 배웁니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \\ & = (( \ 왼쪽 (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac (11)) (3 ))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2) ))) \\ & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (7) )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (7 \ frac (1)) (3 ))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ 끝 (정렬) \]

두 용어가 모두 계산되었으므로 최종 답변을 작성해야 합니다.

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

우리는 답을 찾았습니다.

거듭제곱 함수로 분수의 도함수

그러나 이것에서도 멱함수의 도함수를 푸는 공식의 가능성은 여기서 끝나지 않습니다. 사실은 그것의 도움으로 뿌리가있는 예뿐만 아니라 분수로도 계산할 수 있다는 것입니다. 이것은 그러한 예의 솔루션을 크게 단순화하는 드문 기회이지만 동시에 학생뿐만 아니라 교사도 종종 무시합니다.

이제 한 번에 두 가지 공식을 결합하려고 합니다. 한편으로 거듭제곱 함수의 고전적 도함수는

\ [((\ 왼쪽 (((x) ^ (n)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

반면에 $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ 형식의 표현식은 $ ((x) ^ (-n)) $로 나타낼 수 있음을 알고 있습니다. 따라서,

\ [\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ 오른쪽) "= ((\ 왼쪽 (((x) ^ (- n)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ 왼쪽 (\ frac (1) (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ 왼쪽 (((x) ^ (- 1)) \ 오른쪽) = - 1 \ cdot ((x ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

따라서 분자가 상수이고 분모가 차수인 단순 분수의 도함수도 고전 공식을 사용하여 계산됩니다. 이것이 실제로 어떻게 작동하는지 봅시다.

따라서 첫 번째 기능은 다음과 같습니다.

\ [((\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (- 2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

첫 번째 예제가 해결되었으므로 두 번째 예제로 넘어가겠습니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ 분수 (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ \ & = ((\ 왼쪽 (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - ((\ 왼쪽 (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) + ((\ 왼쪽 (2 ((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) - ((\ 왼쪽 ( 3 ((x) ^ (4)) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) \\ & ((\ 왼쪽 (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (7) (4) ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ 왼쪽 (((x) ^ (-4)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ 왼쪽 (-4 \ 오른쪽) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ 왼쪽 (\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ 오른쪽) ) ^ (\ 소수)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ 왼쪽 (((x) ^ (- 3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ 왼쪽 (-3 \ 오른쪽) \ cdot ((x) ^ (-4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ 왼쪽 ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ 왼쪽 (2) ((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ 왼쪽 (3 ((x) ^ (4)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ 끝(정렬) \] ...

이제 이러한 모든 용어를 단일 공식으로 수집합니다.

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

우리는 답을 얻었다.

그러나 계속 진행하기 전에 원래 표현식 자체를 작성하는 형식에 주의를 기울이고 싶습니다. 첫 번째 표현식에서 $ f \ left (x \ right) = ... $, 두 번째 표현식에서 $ y = ... $ 많은 학생들이 다양한 형태의 녹음을 보고 길을 잃습니다. $ f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) $과 $ y $의 차이점은 무엇입니까? 사실, 아무것도. 그것들은 같은 의미를 가진 다른 항목일 뿐입니다. 단지 우리가 $ f \ left (x \ right) $라고 말할 때, 그것은 온다, 먼저 함수에 대해, 그리고 $ y $ 라고 하면 함수의 그래프를 가장 많이 의미합니다. 그렇지 않으면, 그것은 하나이고 동일합니다. 즉, 두 경우 모두의 도함수는 동일한 것으로 간주됩니다.

파생 상품의 복잡한 문제

결론적으로, 오늘 고려한 모든 것이 한 번에 사용되는 몇 가지 복잡한 결합 작업을 고려하고 싶습니다. 그 안에서 근, 분수, 합이 우리를 기다리고 있습니다. 그러나 이러한 예제는 파생 상품의 진정으로 복잡한 기능이 여러분을 기다리고 있기 때문에 오늘 비디오 자습서의 프레임워크 내에서만 어려울 것입니다.

그래서, 두 개의 결합된 작업으로 구성된 오늘의 비디오 자습서의 마지막 부분입니다. 첫 번째 것부터 시작하겠습니다.

\ [\ 시작(정렬) & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) - ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (3) )) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + \ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽) \\ & ((\ 왼쪽 (((x) ^ (3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ 왼쪽 (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (- 3)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ 끝 (정렬) \]

함수의 도함수는 다음과 같습니다.

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

첫 번째 예제가 해결되었습니다. 두 번째 작업을 고려해 보겠습니다.

두 번째 예에서는 같은 방식으로 진행합니다.

\ [((\ 왼쪽 (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) + ((\ 왼쪽 (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) \]

각 용어를 별도로 계산해 보겠습니다.

\ [\ 시작 (정렬) & ((\ 왼쪽 (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 프라임)) = - 2 \ cdot ((\ 왼쪽 ( ((x) ^ (- 4)) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = - 2 \ cdot \ 왼쪽 (-4 \ 오른쪽) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ 왼쪽 (\ sqrt (x) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = ((\ 왼쪽 (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ 왼쪽 (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = (\ 왼쪽 (\ frac (4) (x \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = (\ 왼쪽 (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3) ) (4)))) \ 오른쪽)) ^ (\ 소수)) = 4 \ cdot ((\ 왼쪽 (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ 오른쪽)) ^ ( \ 소수)) = \\ & = 4 \ cdot \ 왼쪽 (-1 \ frac (3) (4) \ 오른쪽) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ 왼쪽 (- \ frac (7) (4) \ 오른쪽) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ 끝 (정렬) \]

모든 조건이 계산되었습니다. 이제 원래 공식으로 돌아가 세 항을 모두 더합니다. 최종 답변은 다음과 같습니다.

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

그게 다야. 이것이 우리의 첫 번째 수업이었습니다. 다음 수업에서는 더 복잡한 구성을 살펴보고 파생 상품이 왜 필요한지 알아보겠습니다.

지수(e의 x의 거듭제곱) 및 지수 함수(a의 x의 거듭제곱)의 미분에 대한 공식의 증명 및 유도. e ^ 2x, e ^ 3x 및 e ^ nx의 도함수 계산 예. 고차 도함수 공식.

지수의 도함수는 지수 자체와 같습니다(e의 x제곱의 도함수는 e의 x제곱과 같습니다).
(1) (e x) ′ = e x.

차수가 a인 지수 함수의 도함수는 함수 자체에 다음을 곱한 것과 같습니다. 자연 로그에서:
(2) .

x의 거듭제곱에 대한 지수의 도함수에 대한 공식 유도

지수는 거듭제곱의 밑이 숫자 e와 동일한 지수 함수이며, 이는 다음 극한입니다.
.
여기서 자연수 또는 실수일 수 있습니다. 다음으로 지수의 미분에 대한 공식 (1)을 유도합니다.

미분 지수 공식의 유도

지수, e의 x제곱을 고려하십시오.
y = e x.
이 기능은 모든 사람을 위해 정의됩니다. 변수 x에 대한 도함수를 구해 봅시다. 정의에 따르면 파생 상품은 다음과 같은 한계입니다.
(3) .

이 표현을 잘 알려진 수학적 속성과 규칙으로 변환해 봅시다. 이를 위해 다음 사실이 필요합니다.
NS)지수 속성:
(4) ;
NS)로그 속성:
(5) ;
V)연속 함수에 대한 로그의 연속성과 극한 속성:
(6) .
다음은 제한이 있는 일부 기능이며 이 제한은 양수입니다.
NS)두 번째 현저한 한계의 의미:
(7) .

우리는 이러한 사실을 우리의 한계에 적용합니다(3). 우리는 속성 (4)를 사용합니다:
;
.

교체를 해보자. 그 다음에 ; ...
지수의 연속성으로 인해,
.
따라서, 를 위해. 결과적으로 다음을 얻습니다.
.

교체를 해보자. 그 다음에 . 에 , . 그리고 우리는 다음을 가지고 있습니다:
.

로그(5)의 속성을 적용해 보겠습니다.
... 그 다음에
.

속성(6)을 적용해 보겠습니다. 양의 극한이 있고 로그가 연속적이므로 다음을 수행합니다.
.
여기서 우리는 두 번째 현저한 한계(7)도 사용했습니다. 그 다음에
.

따라서 지수의 도함수에 대한 공식 (1)을 얻었습니다.

지수 함수의 도함수에 대한 공식의 유도

이제 차수를 밑으로 하는 지수 함수의 도함수에 대한 공식 (2)를 유도합니다. 우리는 그것을 믿습니다. 그런 다음 지수 함수
(8)
모두를 위해 정의됩니다.

식 (8)을 변환해 봅시다. 이를 위해 우리는 사용할 것입니다 지수 속성그리고 로그.
;
.
따라서 식 (8)을 다음 형식으로 변환합니다.
.

x의 거듭제곱에 대한 e의 고차 도함수

이제 우리는 더 높은 차수의 파생 상품을 찾을 것입니다. 먼저 지수를 살펴보겠습니다.
(14) .
(1) .

함수(14)의 도함수는 함수(14) 자체와 같습니다. (1)을 미분하면 2차와 3차의 도함수를 얻습니다.
;
.

따라서 n차의 도함수도 원래 함수와 동일함을 알 수 있습니다.
.

지수 함수의 고차 도함수

이제 차수가 a인 지수 함수를 고려하십시오.
.
1차 도함수를 찾았습니다.
(15) .

미분 (15), 우리는 2 차 및 3 차 미분을 얻습니다.
;
.

우리는 각각의 미분이 원래 함수의 곱으로 이어진다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 n차 도함수의 형식은 다음과 같습니다.
.

도함수를 찾는 작업을 미분이라고 합니다.

도함수를 인수의 증분에 대한 증분 비율의 극한으로 정의하여 가장 단순한(매우 간단하지 않은) 함수에 대한 도함수를 찾는 문제를 해결한 결과, 도함수 테이블 및 정확하게 정의된 미분 규칙 나타났다. 도함수를 찾는 분야의 첫 번째 사람은 Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)였습니다.

따라서 우리 시대에는 함수의 도함수를 찾기 위해 위에서 언급한 함수 증분 대 인수 증분 비율의 한계를 계산할 필요가 없지만 다음을 사용하면 됩니다. 파생 상품 및 미분 규칙의 테이블. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생 상품을 찾으려면, 획 기호 아래에 표현식이 필요합니다. 간단한 함수 분해그리고 어떤 행동을 결정 (곱, 합, 몫)이러한 기능은 연결되어 있습니다. 또한 기본 함수의 도함수는 도함수 테이블에서 찾을 수 있으며 곱, 합 및 몫의 도함수에 대한 공식은 미분 규칙에서 찾을 수 있습니다. 도함수 표와 미분 규칙은 처음 두 가지 예 뒤에 나와 있습니다.

예 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 미분 규칙에서 우리는 함수의 도함수의 도함수가 함수의 도함수의 합이라는 것을 알았습니다.

도함수 표에서 "x"의 도함수는 1이고 사인의 도함수는 코사인과 같습니다. 우리는 이 값을 도함수의 합으로 대체하고 문제의 조건에 필요한 도함수를 찾습니다.

예 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 합을 미분하여 미분합니다. 여기서 상수 인자가 있는 두 번째 항은 미분 부호 외부로 가져올 수 있습니다.

어디에서 왔는지에 대한 질문이 여전히있는 경우 일반적으로 파생 상품 표와 가장 간단한 미분 규칙에 익숙해지면 더 명확 해집니다. 우리는 지금 그들에게 가고 있습니다.

단순 함수의 도함수 테이블

1. 상수(숫자)의 미분. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200 ...). 항상 제로. 이것은 매우 자주 필요하므로 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 도함수. 대부분 "x"입니다. 항상 1과 같습니다. 이것은 또한 오랫동안 기억하는 것이 중요합니다.
3. 파생 학위. 문제를 풀 때 제곱근이 아닌 것을 차수로 변환해야 합니다.
4. -1의 거듭제곱에 대한 변수의 도함수
5. 제곱근의 도함수
6. 사인의 미분
7. 코사인의 도함수
8. 접선의 미분
9. 코탄젠트의 도함수
10. 아크사인의 도함수
11. 아크코사인의 도함수
12. 아크탄젠트의 도함수
13. 아크 코탄젠트의 미분
14. 자연 로그의 도함수
15. 로그 함수의 도함수
16. 지수의 도함수
17. 지수 함수의 도함수

차별화 규칙

1. 합 또는 차의 미분
2. 저작물의 파생물
2a. 상수 인수를 곱한 식의 도함수
3. 몫의 도함수
4. 복소수 함수의 미분

규칙 1.함수라면

어떤 지점에서 미분 가능하고 같은 지점에서 기능

게다가

저것들. 함수의 대수합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수합과 같습니다.

결과. 두 미분 가능한 함수가 상수 항에 의해 다른 경우 해당 도함수는 동일합니다., 즉.

규칙 2.함수라면

어떤 점에서 미분 가능하고 같은 점에서 그들의 제품도 미분 가능

게다가

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 다른 함수의 도함수에 의한 이러한 각 함수의 곱의 합과 같습니다.

결론 1. 상수 인자는 도함수의 부호 밖으로 이동할 수 있습니다.:

결론 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 다른 모든 요인에 의한 각 요인의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 세 가지 요인에 대해:

규칙 3.함수라면

어느 시점에서 미분 가능 그리고 , 이 시점에서 미분 가능하고 그들의 몫유 / v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같습니다. 분수의 분자는 분모와 분자의 도함수와 분자와 분모의 도함수 간의 차이이고 분모는 제곱입니다. 이전 분자.

다른 페이지에서 무엇을 찾아야 하는지

실제 문제에서 곱과 몫의 도함수를 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 한 번에 적용해야 하므로 이러한 도함수의 예는 기사에서 더 많이 있습니다."저작물 및 특정 기능의 파생물".

논평.상수(즉, 숫자)를 합과 상수 인수로 혼동하지 마십시오! 항의 경우 도함수는 0이고 상수인 경우 도함수의 부호에서 빼낸다. 그것 전형적인 실수에 발생하는 첫 단계파생 상품을 연구하지만 몇 가지 1 또는 2 성분 예제가 해결됨에 따라 평범한 학생더 이상 이런 실수를 하지 않습니다.

그리고 저작물이나 특정물을 구별할 때 용어가 있다면 유"V, 그 중 유- 숫자, 예를 들어 2 또는 5, 즉 상수인 경우 이 숫자의 도함수는 0과 같으므로 전체 항은 0과 같습니다(이 경우는 예 10에서 분석됨).

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 단순 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복소수 함수의 도함수별도의 기사가 제공됩니다. 그러나 먼저 간단한 함수의 도함수를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현 변형 없이는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 창에서 자습서를 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리를 가진 행동그리고 분수를 사용한 작업 .

거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수에 대한 솔루션을 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때 , 그런 다음 거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수의 도함수를 따릅니다.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 다음 수업 "단순 삼각 함수의 미분".

단계별 예제 - 파생 상품을 찾는 방법

예 3.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 부분을 결정합니다. 전체 표현식은 제품을 나타내고 해당 요인은 합계이며 두 번째 항 중 하나는 상수 요인을 포함합니다. 우리는 곱 미분 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 미분은 다른 함수의 미분에 의한 이러한 각 함수의 곱의 합과 같습니다.

다음으로, 합을 미분하기 위한 규칙을 적용합니다. 대수 함수 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 빼기 기호가 있는 두 번째 항. 각 합계에서 우리는 미분 값이 1인 독립 변수와 미분 값이 0인 상수(숫자)를 모두 볼 수 있습니다. 따라서 "x"는 1로 바뀌고 빼기 5는 0으로 바뀝니다. 두 번째 식에서 "x"는 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위로 2를 곱합니다. 파생 상품의 다음 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대입하고 문제의 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

예 4.함수의 도함수 찾기

해결책. 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 몫을 미분하는 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 분자는 분모와 분자와 분자의 도함수의 곱과 도함수의 차이입니다. 분모이고 분모는 이전 분자의 제곱입니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이미 예제 2에서 분자의 인수의 미분을 찾았습니다. 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호로 취해진 것을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 거듭제곱의 연속적인 힙이 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 솔루션을 찾고 있는 경우 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합의 도함수" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 도함수에 대해 더 자세히 알아야 할 경우, 즉 함수가 다음과 같을 때 , 당신의 수업 "단순 삼각함수의 도함수" .

예 5.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 요인 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며, 그 파생 상품은 파생 상품 표에서 친숙합니다. 곱의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

예 6.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 독립 변수의 제곱근인 피제수인 몫을 봅니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근의 도함수 테이블 값에 따르면 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 없애려면 분자와 분모에 곱하십시오.