Pe canalul de youtube al site-ului nostru, pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

Pentru început, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a ... a = a n

1.a 0 = 1 (a ≠ 0)

3.a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5.a n b n = (ab) n

7.a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale- acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

V acest exemplu numărul 6 este baza, stă întotdeauna în partea de jos, iar variabila X grad sau indicator.

Iată mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Acum să vedem cum sunt rezolvate ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x = 3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum trebuie formalizată această soluție:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul dorit.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat la fel dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să rezolvăm câteva exemple:

Să începem simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x + 2 = 4 Aceasta este cea mai simplă ecuație.
x = 4 - 2
x = 2
Răspuns: x = 2

În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, sunt 3 și 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9 = 3 2. Să folosim formula de grade (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16

3 3x = 3 2x + 16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreapta bazele sunt aceleași și egale cu cele trei, ceea ce înseamnă că le putem arunca și echivalăm gradele.

3x = 2x + 16 are cea mai simplă ecuație
3x - 2x = 16
x = 16
Răspuns: x = 16.

Vezi următorul exemplu:

2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Convertiți cei patru cu formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x + 4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am adus exemplul pe aceleași temeiuri. Dar suntem împiedicați de alte numere 10 și 24. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm ​​2 2x, iată răspunsul - 2 2x putem scoate din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțiți întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm puterile.
2x = 2 obținem cea mai simplă ecuație. O împărțim la 2 obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x - 12 * 3 x + 27 = 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași egale cu 3. În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire... Înlocuiți numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3x) 2 = t 2

Înlocuiți toate puterile cu x din ecuație cu t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Primim ecuație pătratică... Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă X.

Luăm t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Am găsit o singură rădăcină. Căutăm al doilea, din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTOR LA REZOLVARE, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

eu. Muncă n factori, fiecare dintre care este egal cu A numit n-a-a putere a numărului Ași notat An.

Exemple. Scrieți lucrarea sub formă de diplomă.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc; 4) ppkk + pppk-ppkkk.

Soluţie.

1) mmmm = m 4, deoarece, prin definiția gradului, produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu m, voi puterea a patra a lui m.

2) aaabb = a 3 b 2; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc = 5 4 s 3; 4) ppkk + pppk-ppkkk = p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3.

II. Acțiunea prin care se găsește produsul mai multor factori egali se numește exponențiere. Numărul care este ridicat la o putere se numește baza puterii. Numărul care arată gradul în care baza este ridicată se numește exponent. Asa de, An- grad, A- baza gradului, n- exponent. De exemplu:

2 3 — acesta este gradul. Număr 2 - baza puterii, exponentul este 3 ... Valoarea gradului 2 3 egală 8, deoarece 2 3 = 2 2 2 = 8.

Exemple. Scrieți următoarele expresii fără exponent.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 + 3b 2.

Soluţie.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 + 3b 2 = 2aaaa + 3bb.

III. a 0 = 1 Orice număr (altul decât zero) până la gradul zero este egal cu unu. De exemplu, 25 0 = 1.
IV. a 1 = aOrice număr este în primul grad egal cu el însuși.

V. a m∙ un n= a m + n Când se înmulțesc grade cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar indicatorii aduna.

Exemple. Simplifica:

9) a · a 3 · a 7; 10) b 0 + b 2 · b 3; 11) c 2 s 0 s s 4.

Soluţie.

9) a a 3 a 7= a 1 + 3 + 7 = a 11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1 + b 2 + 3 = 1 + b 5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 = c 2 + 1 + 4 = c 7 .

Vi. a m: un n= a m - nLa împărțirea gradelor cu aceleași baze, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Exemple. Simplifica:

12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4; 14) 5 6: 5 4.

12) a 8: a 3= a 8-3 = a 5; 13) m 11: m 4= m 11-4 = m 7; paisprezece ) 5 6:5 4 = 5 2 = 5 5 = 25.

Vii. (a m) n= un mn Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar indicatorii sunt înmulțiți.

Exemple. Simplifica:

15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4= a 3 4 = a 12; 16) (c 5) 2= c 5 2 = c 10.

Notă, că, deoarece produsul nu se modifică din permutarea factorilor, atunci:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5.

Veu II... (a ∙ b) n = a n ∙ b n Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la această putere.

Exemple. Simplifica:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 5 6; 19) 0,25 2 40 2.

Soluţie.

17) (2a 2) 5= 2 5 · a 2 · 5 = 32a 10; 18) 0,2 6 5 6= (0,2 5) 6 = 1 6 = 1;

19) 0,25 2 40 2= (0,25 40) 2 = 10 2 = 100.

IX. Când se ridică la o fracție de putere, atât numărătorul cât și numitorul fracției sunt ridicate la această putere.

Exemple. Simplifica:

Soluţie.

Pagina 1 din 1 1

Una dintre principalele caracteristici în algebră, și într-adevăr în toată matematica, este gradul. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi efectuate pe un calculator online, dar este mai bine pentru dezvoltarea creierului să învețe cum să o faci singur.

În acest articol, vom lua în considerare cele mai multe întrebări importante referitor la aceasta definitie. Și anume, vom înțelege ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.

Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul, care sunt formulele de bază. Să analizăm principalele tipuri de cantități și modul în care acestea diferă de alte funcții.

Să înțelegem cum să rezolvăm diverse probleme folosind această valoare. Să arătăm cu exemple cum să ridici puterea la zero, irațional, negativ etc.

Calculator de exponențiere online

Care este gradul unui număr

Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?

Puterea n a lui a este produsul multiplicatorilor unei valori de n ori la rând.

Din punct de vedere matematic, arată așa:

a n = a * a * a *… a n.

De exemplu:

• 2 3 = 2 în a treia etapă. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 în pas. doi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 în pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 în 4 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Mai jos va fi un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.

Tabel de note de la 1 la 10

Mai jos vor fi rezultatele construcției numere naturaleîn grade pozitive - „de la 1 la 100”.

Ch-lo	al 2-lea articol	al 3-lea articol
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietățile puterii

Ce este tipic pentru așa ceva functie matematica? Să luăm în considerare proprietățile de bază.

Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:

• a n * a m = (a) (n + m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Să verificăm cu exemple:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

În mod similar: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. În caz contrar 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Și dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

După cum puteți vedea, regulile funcționează.

Dar ce zici cu adunare și scădere? E simplu. În primul rând, se efectuează exponențiarea și abia apoi adunarea și scăderea.

Să vedem câteva exemple:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Vă rugăm să rețineți: regula nu va funcționa dacă scădeți mai întâi: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Dar în acest caz, trebuie mai întâi să calculați adunarea, deoarece există acțiuni între paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Cum se produc calcule în mai mult cazuri dificile ? Procedura este aceeași:

• dacă există paranteze - trebuie să începeți cu ele;
• apoi exponentiarea;
• apoi efectuați acțiunile de înmulțire, împărțire;
• după adunare, scădere.

Există proprietăți specifice, tipic nu pentru toate gradele:

1. Rădăcina a n-a a numărului a la puterea lui m va fi scrisă ca: a m / n.
2. La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
3. Când se ridică produsul unor numere diferite la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la o putere dată. Adică: (a * b) n = a n * b n.
4. Când ridicați un număr la un pas negativ, trebuie să împărțiți 1 la un număr în același st-nu, dar cu semnul „+”.
5. Dacă numitorul fracției este într-o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul în puterea pozitivă.
6. Orice număr în gradul 0 = 1 și în pas. 1 = pentru tine însuți.

Aceste reguli sunt importante în cazuri individuale, le vom analiza mai detaliat mai jos.

Gradul cu exponent negativ

Ce să faci când gradul este minus, adică când exponentul este negativ?

Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus), se dovedește:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Si invers:

1 / A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Și dacă o fracțiune?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Gradul cu exponent natural

Este înțeles ca un grad cu indicatori egali cu numere întregi.

Lucruri de amintit:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... etc.

În plus, dacă (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2 ... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.

Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.

Gradul fracționat

Această vedere poate fi scrisă prin schema: A m / n. Se citește astfel: a n-a rădăcină a numărului A la puterea m.

Puteți face orice doriți cu un exponent fracționar: reduceți-l, descompuneți-l în părți, ridicați-l într-un grad diferit etc.

Gradul irațional

Fie α un număr irațional și A ˃ 0.

Pentru a înțelege esența unei diplome cu un astfel de indicator, luați în considerare diferite cazuri posibile:

• A = 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 în toate gradele este egal cu unul;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - numere raționale;

• 0˂А˂1.

În acest caz, dimpotrivă: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 în aceleași condiții ca la al doilea paragraf.

De exemplu, exponentul este π. Este rațional.

r 1 - în acest caz este egal cu 3;

r 2 - va fi egal cu 4.

Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.

A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Aceste grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.

Concluzie

Pentru a rezuma - pentru ce sunt aceste valori, care este avantajul unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece vă permit să minimizați calculele, să reduceți algoritmii, să sistematizați datele și multe altele.

Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice profesie: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, inginerie, inginerie, proiectare etc.

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și conversia lor

În acest articol, vom vorbi despre conversia expresiilor de putere. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv pe cele cu expresii exponenţiale, cum ar fi extinderea parantezelor, turnarea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, folosirea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile exponențiale?

Termenul de „expresii exponențiale” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecțiile de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru examen și examen, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii exponențiale, devine clar că expresiile sunt înțelese ca expresii care conțin grade în înregistrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți accepta următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere Sunt expresii care conțin grade.

Să dăm exemple de expresii exponenţiale... Mai mult, le vom reprezenta în funcție de modul în care dezvoltarea opiniilor asupra are loc de la un grad cu un indicator natural la un grad cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a puterii unui număr cu un exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

În liceu, se întorc din nou la grade. Acolo se introduce un grad cu exponent rațional, care presupune apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, sunt considerate grade cu indicatori iraționali și expresii care îi conțin:,.

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: variabila pătrunde mai mult în exponent și, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau ... Și după întâlnirea cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile exponențiale. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Tipuri de bază de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii exponențiale, puteți efectua oricare dintre transformările identice de bază ale expresiilor. De exemplu, puteți extinde parantezele, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți furniza termeni similari etc. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Aici sunt cateva exemple.

Exemplu.

Evaluați valoarea expresiei exponențiale 2 3 · (4 2 −12).

Soluţie.

După ordinea efectuării acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12 = 4. Avem 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

În expresia rezultată, înlocuiți puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8 4 = 32. Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b −7 și 2 · a 4 · b −7 și îi putem aduce:.

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Imaginați-vă o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Pentru a face față sarcinii, reprezentarea numărului 9 sub forma unei puteri de 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire abreviată este diferența de pătrate:

Răspuns:

Există și un număr transformări identice, inerente expresiilor puterii. Apoi le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm înregistrările (2 + 0,37) 5-3,7 și (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia bazată pe grad, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală pe ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, putem, conform regulilor cunoscute nouă, să transformăm separat baza gradului și separat - exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie identică cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia exponențială de mai sus (2 + 0,3 · 7) 5-3,7, puteți efectua acțiuni cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea 4.1 1.3. Și după extinderea parantezelor și reducerea termenilor similari în baza gradului (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1), obținem o expresie de putere de o formă mai simplă a 2

Utilizarea proprietăților gradului

Unul dintre principalele instrumente de conversie a expresiilor cu puteri este reflectarea egalităților. Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți de putere sunt adevărate:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și, de asemenea, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n, egalitatea a m a n = a m + n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a = 0.

La școală, atenția principală la transformarea expresiilor de putere este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege o proprietate potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite utilizarea proprietăților gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - gama de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile gradelor. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil în acest caz aplicați orice proprietate de grade, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODV și alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul despre conversia expresiilor folosind proprietățile gradului. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Imaginează-ți expresia a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 ca o putere cu baza a.

Soluţie.

În primul rând, al doilea factor (a 2) −3 este transformat de proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Expresia exponențială inițială va lua apoi forma a 2,5 · a −6: a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 - (- 5,5) = a 2.

Răspuns:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga la transformarea expresiilor exponențiale.

Exemplu.

Aflați valoarea expresiei exponențiale.

Soluţie.

Egalitatea (a b) r = a r b r, aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțim grade cu aceleași baze, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se efectueze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere expresia exponențială a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți noua variabilă t = a 0,5.

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 · 3 și mai departe, pe baza proprietății gradului la gradul (ar) s = ar · s, aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t = a 0,5, obținem t 3 −t − 6.

Răspuns:

t 3 −t − 6.

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile de putere pot conține fracții cu puteri sau pot fi astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi anulate, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele rostite, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia exponențială .

Soluţie.

Această expresie exponențială este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor dăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Când efectuați această acțiune, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a ODV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la realizarea rezultatul dorit... Acesta este un factor de 0,3, deoarece a 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive) gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date cu acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, puteți găsi că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și, adică. Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit un factor suplimentar. Pe intervalul de valori valide ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, abrevierea fracțiilor care conțin puteri nu este o noutate: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt anulați.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este 15. De asemenea, evident, se poate efectua o reducere cu x 0,5 +1 și cu ... Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului în factori conform formulei pentru diferența de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua acțiuni cu fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. Când se adună (scăde) fracții, acestea sunt reduse la numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul fracției.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , după care scădem numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibil să anulăm cu o putere de x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia exponențială în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia exponențială .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi anulată cu (x 2.7 +1) 2, aceasta dă fracția ... Este clar că mai trebuie făcut ceva cu gradele lui x. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți gradele cu aceleași baze: ... Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la o fracțiune.

Răspuns:

.

Și mai adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie exponențială poate fi înlocuită cu.

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de puteri cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a transforma o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergem doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, acestea trec de obicei de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODV-ul în mai multe intervale (am discutat în detaliu în articol trecerea de la rădăcini la puteri și înapoi.se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. functie exponentiala , care este stabilit analitic de grad, la baza căruia se află numărul, iar în indicator - variabila. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, este nevoie de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de acest tip trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează în principal introducerea unei noi variabile în viitor. Le putem demonstra prin ecuație 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 = 0.

În primul rând, gradele în care se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și un număr sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

În plus, ambele părți ale egalității sunt împărțite prin expresia 7 2 x, care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Fracțiile cu puteri sunt acum anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul de grade cu aceiași exponenți este înlocuit cu gradele de relații, ceea ce duce la ecuație care este echivalent ... Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice

I. V. Boykov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Secțiuni: Matematica

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor

Obiective:

predare- repetați definiția gradului, regulile de înmulțire și împărțire a gradelor, ridicarea unui grad la o putere, consolidarea capacității de a rezolva exemple care conțin grade,

în curs de dezvoltare- dezvoltare gandire logica studenți, interes pentru materialul studiat,

educand- promovarea unei atitudini responsabile faţă de învăţare, a unei culturi a comunicării, a simţului colectivismului.

Echipament: computer, proiector multimedia, tablă interactivă, prezentare „Grade” pentru numărare orală, cartonașe cu teme, fișe.

Planul lecției:

Organizarea timpului.

Repetarea regulilor

Numărarea verbală.

Referință istorică.

Lucrează la tablă.

Educație fizică.

Lucrați la o tablă interactivă.

Muncă independentă.

Teme pentru acasă.

Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Comunicarea temei și a obiectivelor lecției.

În lecțiile anterioare, ați descoperit lume minunata grade, a învățat să înmulțească și să împartă grade, să le ridice la un grad. Astăzi trebuie să consolidăm cunoștințele acumulate prin rezolvarea exemplelor.

II. Repetarea regulilor(oral)

1. Dați o definiție a unei diplome cu un indicator natural? (Prin puterea numărului A cu un exponent natural mai mare de 1 se numește produs n factori, fiecare dintre care este egal cu A.)
2. Cum se înmulțesc două grade? (Pentru a multiplica grade cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să adăugați exponenții.)
3. Cum împărțiți un grad cu un grad? (Pentru a împărți puterile cu aceleași baze, trebuie să lăsați baza aceeași și să scădeți indicatorii.)
4. Cum să ridici o operă la putere? (Pentru a ridica un produs la o putere, fiecare factor trebuie ridicat la această putere)
5. Cum să ridici o diplomă la un grad? (Pentru a ridica o putere la o putere, trebuie să lăsați baza aceeași și să înmulțiți indicatorii)

III. Numărarea verbală(prin multimedia)

IV. Referință istorică

Toate sarcinile sunt din papirusul Ahmes, care a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. NS. legate de practica construcției, delimitarea terenurilor etc. Sarcinile sunt grupate pe teme. În cea mai mare parte, acestea sunt sarcini pentru găsirea ariilor unui triunghi, patrulatere și cerc, diferite acțiuni cu numere întregi și fracții, împărțire proporțională, găsire de rapoarte, există și ridicarea la diferite puteri, rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II. cu unul necunoscut.

Nu există nicio explicație sau dovadă. Rezultatul dorit fie este dat direct, fie este dat un algoritm scurt pentru calculul acestuia. Acest mod de prezentare, tipic pentru știința țărilor Orientul antic, sugerează că acolo matematica s-a dezvoltat prin generalizări și presupuneri care nu formează nicio teorie generală. Cu toate acestea, papirusul conține o serie de dovezi că matematicienii egipteni au știut să înrădăcineze și să exponențieze, să rezolve ecuații și chiar au posedat rudimentele algebrei.

V. Lucrul la tablă

Găsiți sensul expresiei într-un mod rațional:

Calculați valoarea expresiei:



Vi. Educație fizică

6. pentru ochi
7. pentru gat
8. pentru mâini
9. pentru trunchi
10. pentru picioare

Vii. Rezolvarea problemelor(afișat pe o tablă interactivă)

Este rădăcina ecuației un număr pozitiv?

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Formule pentru grade și rădăcini.

Formule de putere sunt utilizate în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a numărului A cand:



Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:



3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Puterea unei fracții este egală cu raportul dintre puterile dividendului și divizorului:

5. Ridicând un grad la un grad, exponenții se înmulțesc:

Fiecare dintre formulele de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

Operații la rădăcină.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcină din relație este egal cu raportul dividend și divizor de rădăcini:



3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:



4. Dacă creșteți gradul rădăcinii în n o dată și în același timp încorporați n-a putere a numărului rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă reduceți gradul rădăcinii în n o dată și în același timp extrage rădăcina n-a putere a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



Puterea unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definită ca o unitate împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:



Formulă a m : a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m > n, dar și la m 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Deci formula a m : a n = a m - n devenit corect când m = n, este necesară prezența gradului zero.

Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

Pentru a ridica un număr real A la gradul m/n, trebuie să extrageți rădăcina n-Gradul de m-a-a putere a acestui număr A:



Formule de grade.

6. A — n = - împărțirea gradelor;

7. - împărțirea gradelor;

8.a 1 / n = ;

Regulă de acțiune cu grade

1. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori (cu același exponent):

(abc ...) n = a n b n c n ...

Exemplul 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Exemplul 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a) (x - a)] 3 = ( x + a) 3 (x - a) 3

În termeni practici, conversia inversă este mai importantă:

a n b n c n… = (abc…) n

acestea. produsul acelorași puteri a mai multor mărimi este egal cu aceeași putere a produsului acestor mărimi.

Exemplul 3. Exemplul 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 = [(a + b) (a 2 - ab + b 2)] 2 = (a 3 + b 3) 2

2. Puterea câtului (fracției) este egală cu câtul împărțirii aceleiași puteri a divizorului la aceeași putere a divizorului:

Exemplul 5. Exemplul 6.

Conversie inversă: Exemplul 7. ... Exemplul 8. .

3. La înmulțirea gradelor cu aceleași baze, se adaugă exponenții:

Exemplul 9.2 2 2 5 = 2 2 + 5 = 2 7 = 128. Exemplul 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5.

4. La împărțirea gradelor cu aceleași baze, din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului

Exemplul 11.12 5:12 3 = 12 5-3 = 12 2 = 144. Exemplul 12 (x-y) 3: (x-y) 2 = x-y.

5. La ridicarea unui grad la o putere, exponenții se înmulțesc:

Exemplul 13. (2 3) 2 = 2 6 = 64. Exemplul 14.

www.maths.yfa1.ru

Grade și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. Când se înmulțesc grade cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

a m · a n = a m + n.

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor deduse .



3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = a n / b n.

5. Când creșteți un grad la un grad, indicatorii lor sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 · 3 · 5/15) ² = 2² 3² 5² / 15² = 900/225 = 4 .

Operații la rădăcină. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:



3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:



4. Dacă creștem gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicăm numărul radicalului la puterea m-a, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:



5. Dacă reducem gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, extragem rădăcina gradului m --lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:




Extinderea conceptului de grad. Până acum, am considerat grade doar cu exponent natural; dar acțiunile cu puteri și rădăcini pot duce și la negativ, zeroși fracționat indicatori. Toți acești indicatori de grad necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca o unitate împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a unui exponent negativ:



Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m mai mare ca n, dar și la m mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Nota zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLU 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea lui m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:



Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

Într-adevăr, presupunând că X- un număr, apoi conform definiției operației de împărțire avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci, conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 X... Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, după cum este necesar.

0 0 — orice număr.



Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface ecuația dată

2) la X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, de unde rezultă că

ce X- orice număr; dar ținând cont că în

cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Proprietăți de grad

Vă reamintim că această lecție înțelege proprietățile puterii cu indicatori naturali și zero. Gradele raționale și proprietățile lor vor fi tratate în lecțiile de clasa a VIII-a.

Un exponent natural are câteva proprietăți importante care îl fac mai ușor de calculat în exemple de exponent.

Proprietatea numarul 1
Produsul diplomelor

Când se înmulțesc grade cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr, iar „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a grade afectează și produsul a trei sau mai multe grade.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.... Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
numără (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea numarul 2
Diplome private

La împărțirea gradelor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca grad
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea diplomelor private.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile # 1 și # 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Rețineți că proprietatea 2 era doar despre împărțirea gradelor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculăm (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea numarul 3
Exponentiație

Când se ridică un grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Exemplu.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Exemplu. Reprezentați 3 20 ca o putere cu baza 3 2.

Prin proprietatea de a ridica o putere la o putere se știe că atunci când sunt ridicate la o putere, indicatorii sunt înmulțiți, ceea ce înseamnă:

Proprietăți 4
Gradul de lucru

Când se ridică o putere la o putere a unui produs, fiecare factor este ridicat la această putere și rezultatele sunt înmulțite.

(a · b) n = a n · b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; „N” este orice număr natural.

• Exemplul 1.
  (6 a 2 b 3 s) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
• Exemplul 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Rețineți că proprietatea # 4, ca și alte proprietăți de grad, este aplicată în ordine inversă.

(a n b n) = (a b) n

Adică, pentru a multiplica grade cu aceiași indicatori, puteți înmulți bazele, iar exponentul poate fi lăsat neschimbat.

• Exemplu. Calculati.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Exemplu. Calculati.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe grade cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să procedați după cum urmează.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemplu de ridicare la o putere zecimală.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Gradul de coeficient (fracție)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește un dividend separat și un divizor la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.

• Exemplu. Prezentați expresia sub formă de diplome private.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vă reamintim că câtul poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.