Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a funcției exponențiale

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea derivatei, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori cu un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să adere la poziția „Unde altundeva? Și asta e de ajuns!”, întrucât toate exemplele și soluțiile sunt luate din real lucrări de controlși se găsesc adesea în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexe am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În cursul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să diferențieți foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să scrieți exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea verbală a derivatelor. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe :

Când studiați alte subiecte de matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este adesea necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat automat. Imaginați-vă că la 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: "Care este derivata tangentei a doi X?" Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va viza imediat decizie independentă.

Exemplul 1

Găsiți pe cale orală următoarele derivate, într-un singur pas, de exemplu:. Pentru a finaliza sarcina, trebuie să utilizați numai tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu este amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția. Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu atașamente cu funcții 3-4-5 vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple vor părea dificile unora, dar dacă le înțelegeți (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar dreaptaÎNȚELEGE atașamentele. În cazurile în care există îndoieli, îmi amintesc o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „X”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe o schiță) să înlocuim valoare datăîntr-o „expresie îngrozitoare”.

1) În primul rând, trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai mare investiție.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi ridicați cosinusul la un cub:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) În cele din urmă, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare fara greseli....

(1) Luăm derivata lui rădăcină pătrată.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luăm derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție do-it-yourself.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: În primul rând, aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Acum este momentul să trecem la ceva mai compact și mai drăguț.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să ofere un produs de nu două, ci trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea extinde parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar consecvent aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții:, iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteza:

Poți să fii pervertit și să scoți ceva din paranteze, dar înăuntru acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în acest formular - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă, în primul rând, vom folosi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă îl lași așa cum este, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul? Să aducem expresia numărătorului la numitor comunși scăpați de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu în găsirea derivatei, ci în cazul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula diferențierii unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei o derivată neplăcută dintr-un grad fracționar și apoi și dintr-o fracție.

De aceea inainte de cum să luați derivatul logaritmului „fantezist”, este simplificat preliminar folosind proprietățile școlii binecunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu aveți un caiet, redesenați-le pe o bucată de hârtie, deoarece restul exemplelor de lecție se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi stilată cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsiți derivata:

Preconfigurarea funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „despărțim”.

Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea, este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am văzut exemple similare recent. Ce sa fac? Puteți aplica în mod consecvent regula de diferențiere a coeficientului și apoi regula de diferențiere a lucrării. Dezavantajul acestei metode este că obțineți o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică, există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Acum trebuie să „distrugeți” maxim logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

De fapt, trecem la diferențiere.
Închidem ambele părți sub cursă:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, deoarece dacă citiți acest text, ar trebui să faceți față cu încredere.

Dar partea stângă?

În stânga avem functie complexa... Prevăd întrebarea: „De ce, există și o literă” ygrek „sub logaritm?”

Faptul este că această „o singură literă igrek” - ESTE O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivat dintr-o funcție implicită). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „jocul” este o funcție internă. Și folosim regula diferențierii unei funcții complexe :

Pe partea stângă ca de un val bagheta magica avem un derivat. În plus, conform regulii proporției, aruncăm „jocul” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum ne amintim ce fel de „joc” - funcție am discutat în diferențiere? Ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. O mostră de proiectare a unui exemplu de acest tip la sfârșitul lecției.

Cu ajutorul derivatei logaritmice a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele №№ 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a funcției exponențiale

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială este o funcție în care iar gradul și baza depind de "x". Exemplu clasic, care vă va fi oferit în orice manual sau prelegere:

Cum se află derivata unei funcții exponențiale?

Este necesar să folosiți trucul tocmai considerat - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:

Ca urmare, în partea dreaptă avem un produs a două funcții, care va fi diferențiat conform formulei standard .

Găsim derivata, pentru aceasta includem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In cele din urma:

Dacă o transformare nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul # 11.

În sarcinile practice, funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și un produs a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului lui x” (un alt logaritm este încorporat sub logaritm). Când diferențiem constanta, așa cum ne amintim, este mai bine să scoateți imediat semnul derivatului, astfel încât să nu ia în cale sub picioare; și bineînțeles că aplicăm regula familiară :

După cum puteți vedea, algoritmul pentru aplicarea derivatei logaritmice nu conține niciun truc sau truc special, iar găsirea derivatei funcției exponențiale nu este de obicei asociată cu „chin”.

Derivarea formulei derivate functie de putere(x la puterea lui a). Sunt considerate derivate ale rădăcinilor lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x> 0

Să considerăm o funcție de putere a unei variabile x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Luați în considerare cazul mai întâi.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile funcției de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata aplicând:
;
.
Aici .

Formula (1) este dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata unei rădăcini de gradul n de la x la gradul m

Acum luați în considerare o funcție care este o rădăcină de următoarea formă:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3), vedem că
.
Atunci
.

Folosind formula (1), găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă, atunci funcția de putere este definită și pentru valoarea variabilei x = 0 ... Să găsim derivata funcției (3) la x = 0 ... Pentru a face acest lucru, vom folosi definiția derivatei:
.

Înlocuiește x = 0 :
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care.

Deci am gasit:
.
Prin urmare se vede că la,.
La , .
La , .
Acest rezultat se obține prin formula (1):
(1) .
Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x = 0 .

Cazul x< 0

Luați în considerare din nou funcția (3):
(3) .
Pentru unele valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x. Și anume, fie a un număr rațional. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă:
,
unde m și n sunt numere întregi fără divizor comun.

Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x. De exemplu, pentru n = 3 și m = 1 avem o rădăcină cubă a lui x:
.
De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.

Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a, pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, reprezentăm x sub următoarea formă:
.
Atunci ,
.
Găsim derivata luând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
De atunci
.
Atunci
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum găsim derivatele de ordine superioară ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivatele de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar arata asa:
.

observa asta dacă a este un număr natural,, atunci derivata n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple de calcul derivat

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Soluţie

Transformăm rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Aflați derivatele puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.

Cu acest videoclip, încep o serie lungă de tutoriale despre derivate. Acest tutorial este împărțit în mai multe părți.

În primul rând, vă voi spune ce sunt derivatele în general și cum să le număr, dar nu într-un limbaj academic complicat, ci așa cum îl înțeleg eu însumi și cum le explic studenților mei. În al doilea rând, vom lua în considerare cea mai simplă regulă pentru rezolvarea problemelor în care vom căuta derivate ale unei sume, derivate ale unei diferențe și derivate ale unei funcții de putere.

Vom analiza exemple combinate mai complexe, din care, în special, veți afla că probleme similare care conțin rădăcini și chiar fracții pot fi rezolvate folosind formula pentru derivata unei funcții de putere. În plus, desigur, vor exista multe sarcini și exemple de soluții cu niveluri foarte diferite de complexitate.

De fapt, inițial aveam de gând să înregistrez un videoclip scurt de 5 minute, dar puteți vedea singuri ce a rezultat. Deci destule versuri - să trecem la treabă.

Ce este un derivat?

Deci, să începem de departe. Cu mulți ani în urmă, când copacii erau mai verzi și viața era mai distractivă, matematicienii s-au gândit la asta: luăm în considerare o funcție simplă dată de propriul nostru grafic, să o numim $ y = f \ stânga (x \ dreapta) $. Desigur, graficul nu există singur, așa că trebuie să desenați axele $ x $, precum și axa $ y $. Acum să alegem orice punct din acest grafic, absolut orice. Abscisa se va numi $ ((x) _ (1)) $, ordonata, după cum ați putea ghici, va fi $ f \ stânga (((x) _ (1)) \ dreapta) $.

Luați în considerare încă un punct pe același grafic. Nu contează care dintre ele, principalul lucru este că diferă de cea originală. Are, din nou, o abscisă, să o numim $ ((x) _ (2)) $ și, de asemenea, o ordonată - $ f \ stânga (((x) _ (2)) \ dreapta) $.

Deci, avem două puncte: au abscise diferite și, prin urmare, sensuri diferite funcții, deși acesta din urmă este opțional. Dar ceea ce este cu adevărat important este ceea ce știm din cursul de planimetrie: prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una. Deci hai să o conducem.

Și acum să tragem o linie dreaptă prin prima dintre ele, paralelă cu axa absciselor. Primim triunghi dreptunghic... Să-i spunem $ ABC $, unghi drept $ C $. Acest triunghi are o proprietate foarte interesantă: faptul este că unghiul $ \ alpha $ este, de fapt, egal cu unghiul la care dreapta $ AB $ se intersectează cu continuarea axei absciselor. Judecă singur:

1. linia $ AC $ este paralelă cu axa $ Ox $ prin construcție,
2. linia $ AB $ întâlnește $ AC $ sub $ \ alpha $,
3. prin urmare, $ AB $ intersectează $ Ox $ sub același $ \ alpha $.

Ce putem spune despre $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $? Nimic specific, cu excepția faptului că în triunghiul $ ABC $ raportul dintre catetul $ BC $ și catetul $ AC $ este egal cu tangentei acestui unghi. Deci vom scrie:

Desigur, $ AC $ în acest caz este ușor de calculat:

La fel, $ BC $:

Cu alte cuvinte, putem scrie următoarele:

\ [\ nume operator (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ stânga (((x) _ (2)) \ dreapta) -f \ stânga ( ((x) _ (1)) \ dreapta)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Acum că ne-am dat seama de toate, să ne întoarcem la graficul nostru și să ne uităm la noul punct $ B $. Ștergeți vechile valori și luați și luați $ B $ undeva mai aproape de $ ((x) _ (1)) $. Să notăm din nou abscisa cu $ ((x) _ (2)) $ și ordonata cu $ f \ stânga (((x) _ (2)) \ dreapta) $.

Luați în considerare din nou micul nostru triunghi $ ABC $ și $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ în interiorul acestuia. Este destul de evident că acesta va fi un unghi complet diferit, tangenta va fi și ea diferită deoarece lungimile segmentelor $ AC $ și $ BC $ s-au schimbat semnificativ, iar formula pentru tangentei unghiului nu s-a schimbat deloc - aceasta este încă relația dintre schimbarea funcției și schimbarea argumentului ...

În cele din urmă, continuăm să ne mutăm $ B $ din ce în ce mai aproape de punctul original al lui $ A $, ca urmare, triunghiul se va micșora și mai mult, iar linia care conține segmentul $ AB $ va arăta din ce în ce mai mult ca o tangentă la graficul functiei.

Ca urmare, dacă continuați să vă apropiați de puncte, adică să reduceți distanța la zero, atunci linia dreaptă $ AB $ se va transforma într-adevăr într-o tangentă la grafic în acest punct și $ \ text () \! \! \ Alpha \! \ ! \ text () $ se va transforma dintr-un element triunghi regulat în unghiul dintre tangenta la grafic și direcția pozitivă a axei $ Ox $.

Și aici trecem ușor la definiția lui $ f $, și anume, derivata funcției în punctul $ ((x) _ (1)) $ se numește tangenta unghiului $ \ alpha $ dintre tangenta la grafic în punctul $ ((x) _ ( 1)) $ și direcția pozitivă a axei $ Ox $:

\ [(f) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () \]

Revenind la graficul nostru, trebuie remarcat că puteți selecta orice punct din diagramă ca $ ((x) _ (1)) $. De exemplu, cu același succes, am putea elimina un accident vascular cerebral în punctul prezentat în figură.

Unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei se numește $ \ beta $. În consecință, $ f $ în $ ((x) _ (2)) $ va fi egal cu tangentei acestui unghi $ \ beta $.

\ [(f) "\ stânga (((x) _ (2)) \ dreapta) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

Fiecare punct al graficului va avea propria linie tangentă și, prin urmare, propria sa valoare a funcției. În fiecare dintre aceste cazuri, pe lângă punctul în care căutăm derivata diferenței sau a sumei, sau derivata funcției de putere, este necesar să luăm un alt punct situat la o oarecare distanță de acesta și apoi direcționați acest punct către cel inițial și, bineînțeles, aflați cum în acest proces o astfel de mișcare va schimba tangenta unghiului de înclinare.

Derivată a unei funcții de putere

Din păcate, această definiție nu ne convine deloc. Toate aceste formule, imagini, unghiuri nu ne dau nici cea mai mică idee despre cum să calculăm derivata reală în sarcini reale... Prin urmare, să ne abatem puțin de la definiția formală și să luăm în considerare formule și tehnici mai eficiente cu care puteți rezolva deja probleme reale.

Să începem cu cele mai simple construcții, și anume, funcții de forma $ y = ((x) ^ (n)) $, adică. funcții de putere. În acest caz, putem scrie următoarele: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Cu alte cuvinte, gradul care a stat în exponent este afișat în multiplicatorul din față , iar exponentul însuși este redus cu unitate. De exemplu:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (align) \]

Iată o altă opțiune:

\ [\ începe (aliniază) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 1 \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Folosind aceste reguli simple, să încercăm să eliminăm cursul din următoarele exemple:

Deci obținem:

\ [((\ stânga (((x) ^ (6)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Acum să rezolvăm a doua expresie:

\ [\ începe (aliniază) & f \ stânga (x \ dreapta) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ stânga (((x) ^ (100)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Desigur, au fost foarte sarcini simple... Cu toate acestea, problemele reale sunt mai complexe și nu se limitează doar la puterile funcției.

Deci, regula numărul 1 - dacă funcția este prezentată sub forma celorlalte două, atunci derivata acestei sume este egală cu suma derivatelor:

\ [((\ stânga (f + g \ dreapta)) ^ (\ prim)) = (f) "+ (g)" \]

În mod similar, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor:

\ [((\ stânga (f-g \ dreapta)) ^ (\ prim)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ stânga (((x) ^ (2)) + x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 2x + 1 \]

În plus, mai există o regulă importantă: dacă în fața unor $ f $ există o constantă $ c $, prin care această funcție este înmulțită, atunci $ f $ din întreaga construcție este considerată după cum urmează:

\ [((\ stânga (c \ cdot f \ dreapta)) ^ (\ prim)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ stânga (3 ((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 3 ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

În sfârșit, încă o regulă foarte importantă: problemele au adesea un termen separat care nu conține deloc $ x $. De exemplu, putem observa acest lucru în expresiile noastre de astăzi. Derivata unei constante, adică a unui număr care nu depinde în niciun fel de $ x $, este întotdeauna zero și nu contează deloc care este constanta $ c $:

\ [((\ stânga (c \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 0 \]

Exemplu de soluție:

\ [((\ stânga (1001 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (\ frac (1) (1000) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 0 \]

Încă o dată punctele cheie:

1. Derivata sumei a doua functii este intotdeauna egala cu suma derivatelor: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prim)) = (f) "+ (g)" $;
2. Din motive similare, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența a două derivate: $ ((\ stânga (f-g \ dreapta)) ^ (\ prim)) = (f) "- (g)" $;
3. Dacă funcția are un factor constant, atunci această constantă poate fi mutată în afara semnului derivatului: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "$;
4. Dacă întreaga funcție este o constantă, atunci derivata ei este întotdeauna zero: $ ((\ stânga (c \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 0 $.

Să vedem cum funcționează totul cu exemple din lumea reală. Asa de:

Scriem:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga) (((x) ^ (5)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga (3 ((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + (7) „= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ stânga (((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ capăt (aliniere) \]

În acest exemplu, vedem atât derivata sumei, cât și derivata diferenței. Total, derivata este $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Trecerea la a doua funcție:

Scriem soluția:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (3 ((x) ^ ( 2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga (2x \ dreapta)) ^ (\ prim)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ stânga (((x)) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (align) \]

Așa că am găsit răspunsul.

Să trecem la a treia funcție - este deja mai gravă:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (2 ((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga (3 ((x) ^ (2)) \ dreapta) )) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (\ frac (1) (2) x \ dreapta)) ^ (\ prim)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ stânga (( (x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - 3 ((\ stânga (((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2) ) -6x + \ frac (1) (2) \\\ final (aliniere) \]

Am găsit răspunsul.

Trecem la ultima expresie - cea mai complexă și mai lungă:

Deci, luăm în considerare:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ( (\ stânga (6 ((x) ^ (7)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga (14 ((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (4x \ dreapta)) ^ (\ prim)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x) ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ final (alinierea) \]

Dar soluția nu se termină aici, pentru că ni se cere nu numai să eliminăm cursa, ci să îi calculăm valoarea într-un anumit punct, așa că înlocuim −1 în loc de $ x $ în expresia:

\ [(y) "\ stânga (-1 \ dreapta) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Continuați și treceți la exemple și mai complexe și mai interesante. Cert este că formula pentru rezolvarea derivatei puterii $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ are o gamă și mai largă de aplicații decât se crede în mod obișnuit. Cu ajutorul lui, puteți rezolva exemple cu fracții, rădăcini etc. Aceasta este ceea ce vom face acum.

Pentru început, să scriem încă o dată formula care ne va ajuta să găsim derivata funcției de putere:

Acum atenție: până acum am luat în considerare doar $ n $ numere întregi, cu toate acestea, nu interferăm cu luarea în considerare a fracțiilor și chiar a numerelor negative. De exemplu, putem scrie următoarele:

\ [\ începe (aliniază) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Nimic complicat, așa că haideți să vedem cum această formulă ne va ajuta în rezolvarea unor probleme mai complexe. Deci un exemplu:

Scriem soluția:

\ [\ începe (aliniază) & \ stânga (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ dreapta) = ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim )) + ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \\ & (\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x)) ^ (3)))) \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Reveniți la exemplul nostru și scrieți:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

Iată o decizie grea.

Să trecem la al doilea exemplu - există doar doi termeni, dar fiecare dintre ei conține atât un grad clasic, cât și rădăcini.

Acum vom învăța cum să găsim derivata unei funcții de putere, care, în plus, conține o rădăcină:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \\ & = (( \ stânga (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac (11)) (3 ))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2) ))) \\ & ((\ stânga (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (7) )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (7 \ frac (1)) (3 ))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3) ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ end (align) \]

Ambii termeni au fost calculați, rămâne de scris răspunsul final:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Am găsit răspunsul.

Derivată a unei fracții în termeni de funcție de putere

Dar chiar și pe aceasta, posibilitățile formulei de rezolvare a derivatei unei funcții de putere nu se termină aici. Faptul este că, cu ajutorul lui, puteți număra nu numai exemple cu rădăcini, ci și cu fracții. Aceasta este doar acea oportunitate rară care simplifică foarte mult soluția unor astfel de exemple, dar, în același timp, este adesea ignorată nu numai de elevi, ci și de profesori.

Deci, acum vom încerca să combinăm două formule deodată. Pe de o parte, derivata clasică a funcției de putere

\ [((\ stânga (((x) ^ (n)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Pe de altă parte, știm că o expresie de forma $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ poate fi reprezentată ca $ ((x) ^ (- n)) $. Prin urmare,

\ [\ stânga (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ dreapta) "= ((\ stânga (((x) ^ (- n)) \ dreapta)) ^ (\ prim) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ stânga (\ frac (1) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ stânga (((x) ^ (- 1)) \ dreapta) = - 1 \ cdot ((x) ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

Astfel, derivatele fracțiilor simple, unde numărătorul este o constantă, iar numitorul este gradul, se calculează și ele folosind formula clasică. Să vedem cum funcționează acest lucru în practică.

Deci prima functie:

\ [((\ stânga (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

Primul exemplu este rezolvat, să trecem la al doilea:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ \ & = ((\ stânga (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga (\ frac (2)) (3 (( x) ^ (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (2 ((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) - ((\ stânga ( 3 ((x) ^ (4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \\ & ((\ stânga (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (7) (4) ((\ stânga (\ frac (1) (((x) ^ (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (- 4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ stânga (-4 \ dreapta) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ stânga (\ frac (2) (3 ((x)) ^ (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ stânga (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ dreapta) ) ^ (\ prim)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (- 3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ stânga (-3 \ dreapta) \ cdot ((x) ^ (- 4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ stânga ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ stânga (2) ((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ stânga (3 ((x) ^ (4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ sfârşitul (alinierea) \] ...

Acum colectăm toți acești termeni într-o singură formulă:

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Avem un răspuns.

Cu toate acestea, înainte de a trece mai departe, aș dori să vă atrag atenția asupra formei de scriere a expresiilor originale în sine: în prima expresie am scris $ f \ left (x \ right) = ... $, în a doua: $ y = ... $ Mulți studenți sunt pierduți când văd diferite forme de înregistrare. Care este diferența dintre $ f \ left (x \ right) $ și $ y $? De fapt, nimic. Sunt doar intrări diferite cu același sens. Tocmai când spunem $ f \ stânga (x \ dreapta) $, atunci este vorba, în primul rând, despre o funcție, iar când vine vorba de $ y $, cel mai adesea se înțelege graficul unei funcții. În caz contrar, este una și aceeași, adică derivata în ambele cazuri este considerată aceeași.

Probleme complexe cu derivate

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva sarcini complexe combinate în care tot ceea ce am considerat astăzi este folosit simultan. În ele ne așteaptă rădăcini, fracții și sume. Cu toate acestea, aceste exemple vor fi dificile numai în cadrul tutorialului video de astăzi, deoarece funcțiile cu adevărat complexe ale derivatelor vă vor aștepta înainte.

Deci, partea finală a tutorialului video de astăzi, constând din două sarcini combinate. Să începem cu primul:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim))) - ((\ stânga (\ frac (1)) (((x) ^ (3) )) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + \ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta) \\ & ((\ stânga (((x) ^ (3)) \ dreapta)) ^ (\ prim) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ stânga (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (- 3)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Derivata functiei este:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

Primul exemplu este rezolvat. Să luăm în considerare a doua sarcină:

În al doilea exemplu, procedăm în același mod:

\ [((\ stânga (- \ frac (2)) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga) (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) + ((\ stânga (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]

Să numărăm fiecare termen separat:

\ [\ începe (aliniază) & ((\ stânga (- \ frac (2)) (((x) ^ (4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 2 \ cdot ((\ stânga ( ((x) ^ (- 4)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 2 \ cdot \ stânga (-4 \ dreapta) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ stânga (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (\ frac (4) (x \ cdot) ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((\ stânga (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3)) ) (4)))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 4 \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = \\ & = 4 \ cdot \ stânga (-1 \ frac (3) (4) \ dreapta) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ stânga (- \ frac (7) (4) \ dreapta) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ sfârşitul (alinierea) \]

Toți termenii au fost calculati. Acum revenim la formula originală și adunăm toți cei trei termeni împreună. Observăm că răspunsul final va fi astfel:

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7) ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

Și asta este tot. Aceasta a fost prima noastră lecție. În lecțiile următoare, ne vom uita la constructe mai complexe și vom afla de ce sunt necesare derivate.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponentului (e la puterea lui x) și a funcției exponențiale (a la puterea lui x). Exemple de calculare a derivatelor lui e ^ 2x, e ^ 3x și e ^ nx. Formule derivate de ordin superior.

Derivata exponentului este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea lui x este egală cu e la puterea lui x):
(1) (e x) ′ = e x.

Derivata unei functii exponentiale cu baza de grad a este egala cu functia insasi, inmultita cu logaritmul natural de la un:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata exponentului, e la puterea lui x

Un exponent este o funcție exponențială în care baza puterii este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.

Derivarea formulei exponentului derivat

Luați în considerare exponentul, e la puterea x:
y = e x.
Această funcție este definită pentru toată lumea. Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Transformăm această expresie pentru a o reduce la binecunoscutele proprietăți și reguli matematice. Pentru aceasta avem nevoie de următoarele fapte:
A) Proprietatea exponentului:
(4) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(5) ;
V) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(7) .

Aplicam aceste fapte la limita noastra (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire. Atunci ; ...
Datorită continuității exponentului,
.
Prin urmare, pentru,. Ca rezultat, obținem:
.

Să facem o înlocuire. Atunci . La , . Și avem:
.

Să aplicăm proprietatea logaritmului (5):
... Atunci
.

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:
.
Aici am folosit și a doua limită remarcabilă (7). Atunci
.

Astfel, am obținut formula (1) pentru derivata exponentului.

Derivarea formulei pentru derivata funcției exponențiale

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a. Noi credem că și. Apoi funcția exponențială
(8)
Definit pentru toată lumea.

Să transformăm formula (8). Pentru a face acest lucru, vom folosi proprietăți exponențiale iar logaritmul.
;
.
Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
.

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea lui x

Acum vom găsi derivate de ordin superior. Luați în considerare mai întâi exponentul:
(14) .
(1) .

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Prin urmare, se poate observa că derivata de ordinul al n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.

Derivate de ordin superior ale funcției exponențiale

Acum considerăm o funcție exponențială cu o rază de grad a:
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(15) .

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu. Prin urmare, derivata de ordinul n-a are următoarea formă:
.

Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite a apărut. Primii în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul derivatelor și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke dezasamblați funcții simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În plus, derivatele funcțiilor elementare se găsesc în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, suma și coeficientul se găsesc în regulile de diferențiere. Tabelul derivat și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere, aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinusul. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu factor constant, poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă există încă întrebări despre ce provine, acestea, de regulă, devin mai clare după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.

Tabel derivat al funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200 ...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp.
3. Gradul derivat. Când rezolvați probleme, trebuie să transformați rădăcinile nepătrate într-o putere.
4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1
5. Derivată a rădăcinii pătrate
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat al cotangentei
10. Derivată a arcsinusului
11. Derivată a arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivată a funcției logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata functiei exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a sumei sau a diferenței
2. Derivată a lucrării
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat, apoi in acelasi punct functiile

în plus

acestea. derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

diferențiabil la un moment dat, apoi în același punct produsul lor este și el diferențiabil

în plus

acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții prin derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi mutat în afara semnului derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori de catre toti ceilalti.

De exemplu, pentru trei factori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat și , atunci în acest moment este diferențiabilă și coeficientul loru / v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu fracția, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorul anterior.

Unde ce să cauți pe alte pagini

Când găsiți derivata produsului și coeficientul în probleme reale, este întotdeauna necesar să aplicați mai multe reguli de diferențiere simultan, prin urmare, mai multe exemple despre aceste derivate sunt în articol„Derivatul unei opere și al unei anumite funcții”.

Cometariu. Nu confundați o constantă (adică un număr) ca sumand și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. aceasta greseala tipica care apare pe stadiul inițial studiind derivatele, dar pe măsură ce se rezolvă mai multe exemple cu una sau două componente student mediu nu mai face această greșeală.

Și dacă, atunci când diferențiezi o lucrare sau un anume, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este analizat în Exemplul 10).

O altă greșeală comună este soluția mecanică a unei derivate a unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi, vom învăța să găsim derivatele funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformări de expresie. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți tutorialele în ferestre noi Acțiuni cu puteri și rădăciniși Acțiuni de fracție .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi lecția ta „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicăm regula diferențierii produsului: derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” pentru noi se transformă într-unul, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu fracția, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului prin derivata numărătorului și numărătorul prin derivata numitorul, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. Nu uitați că produsul care este al doilea factor la numărător din exemplul curent este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, atunci bun venit la curs „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , apoi lecția ta „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție, vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Conform regulii de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și a valorii de tabel a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de fracția din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu.