Як відняти два дроби з різними. Додавання і віднімання алгебраїчних дробів: правила, приклади

Щоб зрозуміти, як додавати дроби з різними знаменниками, Спочатку вивчимо правило, а потім розглянемо конкретні приклади.

Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, треба:

1) Знайти (НСЗ) даних дробів.

2) Знайти додатковий множник до кожного дробу. Для цього новий знаменник потрібно розділити на старий.

3) Помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник і скласти або відняти дроби з однаковими знаменниками.

4) Перевірити, чи є отримана в результаті дріб правильної і нескоротного.

У наступних прикладах треба скласти або відняти дроби з різними знаменниками:

1) Щоб відняти дроби з різними знаменниками, спочатку шукаємо найменший спільний знаменник даних дробів. Вибираємо більше з чисел і перевіряємо, чи ділиться воно на меншу. 25 на 20 не ділиться. Множимо 25 на 2. 50 на 20 не ділиться. Множимо 25 на 3. 75 на 20 не ділиться. Множимо 25 на 4. 100 на 20 ділиться. Значить, найменший спільний знаменник дорівнює 100.

2) Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, треба новий знаменник розділити на старий. 100: 25 \u003d 4, 100: 20 \u003d 5. Відповідно, до першого дробу додатковий множник 4, до другої - 5.

3) Множимо чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник і віднімаємо дроби за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

4) Отримана дріб - правильна і нескоротний. Значить, це - відповідь.

1) Щоб скласти дробу з різними знаменниками, спочатку шукаємо найменший спільний знаменник. 16 на 12 не ділиться. 16 ∙ 2 \u003d 32 на 12 не ділиться. 16 ∙ 3 \u003d 48 на 12 ділиться. Значить, 48 - НСЗ.

2) 48: 16 \u003d 3, 48: 12 \u003d 4. Це - додаткові множники до кожного дробу.

3) множимо чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник і складаємо нові дробу.

4) Отримана в результаті дріб - правильна і нескоротний.

1) 30 на 20 не ділиться. 30 ∙ 2 \u003d 60 на 20 ділиться. Значить, 60 - найменший спільний знаменник цих дробів.

2) щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, треба новий знаменник поділити на старий: 60: 20 \u003d 3, 60: 30 \u003d 2.

3) множимо чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник і віднімаємо нові дробу.

4) отриману дробьна 5.

1) 8 на 6 не ділиться. 8 ∙ 2 \u003d 16 на 6 не ділиться. 8 ∙ 3 \u003d 24 ділиться і на 4, і на 6. Значить, 24 - це і є НСЗ.

2) щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, потрібно новий знаменник розділити на старий. 24: 8 \u003d 3, 24: 4 \u003d 6, 24: 6 \u003d 4. Значить, 3, 6 і 4 - додаткові множники до першої, другої і третьої дробу.

3) множимо чисельник і знаменник кожного довбай на додатковий множник. Складаємо і віднімаємо. Отримана дріб - неправильна, тому необхідно виділити цілу частину.

Дана стаття починає вивчення дій з алгебраїчними дробами: розглянемо докладно такі дії як додавання і віднімання алгебраїчних дробів. Розберемо схему додавання і віднімання алгебраїчних дробів як з однаковими знаменниками, так і з різними. Вивчимо, як скласти алгебраїчну дріб з многочленом і як зробити їх віднімання. На конкретних прикладах пояснимо кожен крок пошуку вирішення завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Дії додавання і віднімання при однакових знаменниках

Схема складання звичайних дробів застосовна і для алгебраїчних. Ми знаємо, що при додаванні або відніманні звичайних дробів з однаковими знаменниками необхідно скласти або відняти їх чисельники, а знаменник залишається вихідним.

Наприклад: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 і 5 11 - 4 11 \u003d 5 - 4 11 \u003d 1 11.

Відповідно аналогічним чином записується правило додавання і віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:

визначення 1

Щоб здійснити додавання чи віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, потрібно відповідно скласти або відняти числители вихідних дробів, а знаменник записати без змін.

Дане правило дає можливість зробити висновок, що результат додавання або віднімання алгебраїчних дробів - нова алгебраїчна дріб (в окремому випадку: многочлен, одночлен або число).

Зазначимо приклад застосування сформульованого правила.

приклад 1

Задані алгебраїчні дроби: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 і 3 - x · y x 2 · y - 2. Необхідно здійснити їх складання.

Рішення

Вихідні дробу містять однакові знаменники. Згідно з правилом, виконаємо додавання числителей заданих дробів, а знаменник залишимо незмінним.

Склавши многочлени, які є числителями вихідних дробів, отримаємо: x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · y \u003d x 2 + (2 · x · y - x · y) - 5 + 3 \u003d x 2 + x · y - 2.

Тоді шукана сума буде записана як: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

У практиці, як у багатьох випадках, рішення наводиться ланцюжком рівності, наочно показує всі етапи рішення:

x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + 2 · x · y - 5 + 3 - x · yx 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2

відповідь: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 \u003d x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Результатом додавання або віднімання може стати скоротна дріб, в цьому випадку оптимально її скоротити.

приклад 2

Необхідно вилучити з алгебри дробу x x 2 - 4 · y 2 дріб 2 · y x 2 - 4 · y 2.

Рішення

Знаменники вихідних дробів рівні. Зробимо дії з числителями, а саме: віднімемо з чисельника першого дробу чисельник другого, після чого запишемо результат, залишаючи знаменник незмінним:

x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d x - 2 · y x 2 - 4 · y 2

Ми бачимо, що отримана дріб - скоротна. Здійснимо її скорочення, перетворивши знаменник за допомогою формули різниці квадратів:

x - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d x - 2 · y (x - 2 · y) · (x + 2 · y) \u003d 1 x + 2 · y

відповідь: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 \u003d 1 x + 2 · y.

За таким же принципом складаються або віднімаються три і більше алгебраїчних дробів при однакових знаменниках. Наприклад:

1 x 5 + 2 · x 3 - 1 + 3 · x - x 4 x 5 + 2 · x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 · x 3 - 1 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1 \u003d 1 + 3 · x - x 4 - x 2 - 2 · x 3 x 5 + 2 · x 3 - 1

Дії додавання і віднімання при різних знаменниках

Знову звернемося до схеми дій з звичайними дробами: щоб виконати додавання чи віднімання звичайних дробів з різними знаменниками, необхідно привести їх до спільного знаменника, А потім скласти отримані дробу з однаковими знаменниками.

Наприклад, 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 або 1 2 - 3 7 \u003d 7 14 - 6 14 \u003d 1 14.

Так само за аналогією сформулюємо правило додавання і віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

визначення 2

Щоб здійснити додавання чи віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, необхідно:

вихідні дробу привести до спільного знаменника;
виконати додавання чи віднімання отриманих дробів з однаковими знаменниками.

Очевидно, що ключовим тут буде навик приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника. Розберемо докладніше.

Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника

Щоб привести алгебраїчні дроби до спільного знаменника, необхідно здійснити тотожне перетворення заданих дробів, в результаті якого знаменники вихідних дробів стають однаковими. Тут оптимально діяти за таким алгоритмом приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника:

спочатку визначаємо загальний знаменник алгебраїчних дробів;
потім знаходимо додаткові множники для кожного з дробів, розділивши загальний знаменник на знаменники вихідних дробів;
останньою дією числители і знаменники заданих алгебраїчних дробів множаться на відповідні додаткові множники.

приклад 3

Задані алгебраїчні дроби: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2, a + 3 3 · a 2 - 6 · a і a +1 4 · a 5 - 16 · a 3. Необхідно привести їх до спільного знаменника.

Рішення

Діємо за вказаною вище алгоритмом. Визначимо загальний знаменник вихідних дробів. З цією метою розкладемо знаменники заданих дробів на множники: 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d 2 · a 2 · (a - 2), 3 · a 2 - 6 · a \u003d 3 · a · (a - 2) і 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d 4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2). Звідси можемо записати спільний знаменник: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2).

Тепер нам належить знайти додаткові множники. Розділимо, згідно з алгоритмом, знайдений загальний знаменник на знаменники вихідних дробів:

для першого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (2 · a 2 · (a - 2)) \u003d 6 · a · (a + 2);
для другого дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (3 · a · (a - 2)) \u003d 4 · a 2 · (a + 2);
для третьої дробу: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2): (4 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)) \u003d 3 .

Наступний крок - множення числителей і знаменників заданих дробів на знайдені додаткові множники:

a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d (a + 2) · 6 · a · (a + 2) (2 · a 3 - 4 · a 2) · 6 · a · (a + 2) \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 3 3 · a 2 - 6 · a \u003d (a + 3) · 4 · a 2 · ( a + 2) 3 · a 2 - 6 · a · 4 · a 2 · (a + 2) \u003d 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · a 3) · 3 \u003d 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2)

відповідь: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 \u003d 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 3 3 · a 2 - 6 · a \u003d 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2); a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 \u003d 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2).

Так, ми привели вихідні дроби до спільного знаменника. У разі необхідності далі можна перетворити отриманий результат в вид алгебраїчних дробів, здійснивши множення многочленів і одночленним в чисельнику і знаменниках.

Уточнимо також такий момент: знайдений загальний знаменник оптимально залишати у вигляді твору на випадок необхідності скоротити кінцеву дріб.

Ми розглянули детально схему приведення вихідних алгебраїчних дробів до спільного знаменника, тепер можемо приступити до розбору прикладів на додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

приклад 4

Задані алгебраїчні дроби: 1 - 2 · x x 2 + x і 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2. Необхідно здійснити дію їх складання.

Рішення

Вихідні дроби мають різні знаменники, тому першою дією наведемо їх до спільного знаменника. Розкладаємо знаменники на множники: x 2 + x \u003d x · (x + 1), а x 2 + 3 · x + 2 \u003d (x + 1) · (x + 2),тому коріння квадратного тричлена x 2 + 3 · x + 2 це числа: - 1 і - 2. Визначаємо загальний знаменник: x · (x + 1) · (x + 2), Тоді додаткові множники будуть: x + 2і - xдля першої і другої дробів відповідно.

Таким чином: 1 - 2 · xx 2 + x \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) \u003d (1 - 2 · x) · (x + 2) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d x + 2 - 2 · x 2 - 4 · xx · (x + 1) · x + 2 \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) і 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2)

Тепер складемо дробу, які ми привели до спільного знаменника:

2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · 2 · xx · (x + 1) · (x + 2)

Отриману дріб можливо скоротити на загальний множник x + 1:

2 + 2 · x x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · (x + 1) x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2)

І, наостанок, отриманий результат запишемо в вигляді алгебраїчної дробу, замінивши твір в знаменнику многочленом:

2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x

Запишемо хід рішення коротко у вигляді ланцюжка рівностей:

1 - 2 · xx 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 1 - 2 · xx · (x + 1) + 2 · x + 5 (x + 1) · (x + 2 ) \u003d \u003d 1 - 2 · x · (x + 2) x · x + 1 · x + 2 + 2 · x + 5 · x (x + 1) · (x + 2) · x \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · xx · (x + 1) · (x + 2) + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 · x 2 - 3 · x + 2 · x 2 + 5 · xx · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 · x + 1 x · (x + 1) · (x + 2) \u003d 2 x · (x + 2) \u003d 2 x 2 + 2 · x

відповідь: 1 - 2 · x x 2 + x + 2 · x + 5 x 2 + 3 · x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 · x

Зверніть увагу ще на таку деталь: перед тим, як алгебраїчні дроби скласти або відняти, при наявності можливості їх бажано перетворити з метою спрощення.

приклад 5

Необхідно здійснити віднімання дробів: 2 1 1 3 · x - 2 21 і 3 · x - 1 + 1 7 - 2 · x.

Рішення

Перетворимо вихідні алгебраїчні дроби для спрощення подальшого вирішення. Винесемо за дужки числові коефіцієнти змінних в знаменнику:

2 1 1 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 2 21 \u003d 2 4 3 · x - 1 14 і 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14

Дане перетворення однозначно дало нам користь: ми явно бачимо наявність загального множника.

Позбудемося взагалі від числових коефіцієнтів в знаменниках. Для цього використовуємо основну властивість алгебраїчних дробів: чисельник і знаменник першого дробу помножимо на 3, 4, а другий на - 1, 2, тоді отримаємо:

2 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 4 · 2 3 4 · 4 3 · x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 і 3 · x - 1 - 2 · x - 1 14 \u003d - 1 2 · 3 · x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 \u003d - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14.

Зробимо дію, яке нам дозволить позбутися від дрібних коефіцієнтів: помножимо отримані дробу на 14:

3 2 x - 1 14 \u003d 14 • 3 2 14 · x - 1 14 \u003d 21 14 · x - 1 і - 3 2 × x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14 · - 3 2 × x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 · x + 7 14 · x - 1.

Нарешті, виконаємо необхідну в умові завдання дію - віднімання:

2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 14 · x - 1 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 - - 21 · x + 7 14 · x - 1 \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1

відповідь: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x \u003d 21 · x + 14 14 · x - 1.

Додавання і віднімання алгебраїчних дроби і многочлена

Дана дія зводиться також до складання або віднімання алгебраїчних дробів: необхідно представити вихідний многочлен як дріб зі знаменником 1.

приклад 6

Необхідно провести складання многочлена x 2 - 3 з алгебри дробом 3 · x x + 2.

Рішення

Запишемо поліном як алгебраїчну дріб зі знаменником 1: x 2 - 3 1

Тепер можемо виконати додавання за правилом додавання дробів з різними знаменниками:

x 2 - 3 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 1 + 3 · xx + 2 \u003d x 2 - 3 · (x + 2) 1 · x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · xx + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

відповідь: x 2 - 3 + 3 · x x + 2 \u003d x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Зверніть увагу! Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, може можна скоротити дріб, яку ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

Віднімання правильної дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, яка є правильною, одиницю переводять до виду неправильного дробу, у неї знаменник дорівнює знаменника віднімається дробу.

Приклад вирахування правильної дробу з одиниці:

Знаменник віднімається дробу = 7 , Тобто, одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильної дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів - правильної з цілого числа (Натурального числа):

Переводимо задані дробу, які містять цілу частину, в неправильні. Отримуємо нормальні складові (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які вважаємо за правилами, наведеними вище;
Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. В результаті ми майже знайдемо відповідь;
Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дробу цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильну дріб: представляємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у віднімається дробу.

Приклад вирахування дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильної дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відняли дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів з різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого спільного знаменника (НСЗ), і тільки послеіетого зробити віднімання в межах десяти з дробом з однаковими знаменниками.

Спільний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше спільне кратне) натуральних чисел, які є знаменниками даних дробів.

Увага! Якщо в кінцевій дроби у чисельника і знаменника є спільні множники, то дріб необхідно скоротити. Неправильну дріб краще представити у вигляді змішаної дробу. Залишити результат віднімання, що не скоротивши дріб, де є можливість, - це незавершене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

знайти НОК для всіх знаменників;
поставити для всіх дробів додаткові множники;
помножити все числители на додатковий множник;
отримані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробом спільний знаменник;
провести віднімання числителей дробів, підписуючи під різницею спільний знаменник.

Таким же чином проводиться додавання і віднімання дробів при наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

при відніманні змішаних дробів (чисел) окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант вирахування змішаних дробів.

Якщо у дрібних частин однакові знаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини від'ємника (його віднімаємо).

наприклад:

Другий варіант вирахування змішаних дробів.

Коли у дрібних частин різні знаменники. Для початку наводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

наприклад:

Третій варіант вирахування змішаних дробів.

Дрібна частина зменшуваного менше дробової частини від'ємника.

приклад:

Оскільки у дрібних частин різні знаменники, значить, як і при другому варіанті, спочатку наводимо звичайні дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини зменшуваного менше чисельника дробової частини від'ємника.3 < 14. Значить, займаємо одиницю з цілої частини і приводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником і чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму числителей, далі розкриваємо дужки в чисельнику від правої частини, тобто множимо всі і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках прийнято залишати твір. отримуємо:

Дробові вирази складні для розуміння дитиною. У більшості виникають складнощі, пов'язані з. При вивченні теми «додавання дробів з цілими числами», дитина впадає в ступор, ускладнюючи вирішити завдання. У багатьох прикладах перед тим як виконати дію потрібно зробити ряд обчислень. Наприклад, перетворити дробу або перевести неправильну дріб в правильну.

Пояснимо дитині наочно. Візьмемо три яблука, два з яких будуть цілими, а третє разрежем на 4 частини. Від розрізаного яблука відділимо одну часточку, а решта три покладемо поруч з двома цілими фруктами. Отримаємо ¼ яблука в одній стороні і 2 ¾ - в інший. Якщо ми їх з'єднаємо, то отримаємо цілих три яблука. Спробуємо зменшити 2 ¾ яблука на ¼, тобто приберемо ще одну часточку, отримаємо 2 2/4 яблука.

Розглянемо докладніше дії з дробами, в складі яких присутні цілі числа:

Для початку згадаємо правило обчислення для дрібних виразів з спільним знаменником:

На перший погляд все легко і просто. Але це стосується тільки виразів, які не потребують перетворення.

Як знайти значення виразу де знаменники різні

У деяких завданнях необхідно знайти значення виразу, де знаменники різні. Розглянемо конкретний випадок:
3 2/7+6 1/3

Знайдемо значення цього виразу, для цього знайдемо для двох дробів спільний знаменник.

Для чисел 7 і 3 - це 21. Цілі частини залишаємо незмінними, а дробові - приводимо до 21, для цього перший дріб множимо на 3, другу - на 7, отримуємо:
6/21 + 7/21, не забуваємо, що цілі частини не підлягають перетворенню. В результаті отримуємо дві дробу з одним знаменників і обчислюємо їх суму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Що якщо в результаті складання виходить неправильна дріб, яка вже має цілу частину:
2 1/3+3 2/3
В даному випадку складаємо цілі частини і дробові, отримуємо:
5 3/3, як відомо, 3/3 - це одиниця, значить 2 1/3 + 3 2/3 \u003d 5 3/3 \u003d 5 + 1 \u003d 6

З перебуванням суми все зрозуміло, розберемо віднімання:

З усього сказаного випливає правило дій над змішаними числами, яке звучить так:

Якщо ж від дрібного вираження необхідно відняти ціле число, не потрібно представляти друге число у вигляді дробу, досить провести дію тільки над цілими частинами.

Спробуємо самостійно обчислити значення виразів:

розберемо докладніше приклад під літерою «м»:

4 5 / 11-2 8/11, чисельник першого дробу менше, ніж другий. Для цього займаємо одне ціле число у першого дробу, отримуємо,
3 5/11 + 11/11 \u003d 3 цілих 16/11, віднімаємо від першого дробу другу:
3 16 / 11-2 8/11 \u003d 1 ціла 8/11

Будьте уважні при виконанні завдання, не забувайте перетворювати неправильні дроби в змішані, виділяючи цілу частину. Для цього необхідно значення чисельника розділити на значення знаменника, то що вийшло, встає на місце цілої частини, залишок - буде чисельником, наприклад:

19/4 \u003d 4 ¾, перевіримо: 4 * 4 + 3 \u003d 19, в знаменнику 4 залишається без змін.

Підведемо підсумок:

Перед тим як приступити до виконання завдання, пов'язаного з дробом, необхідно проаналізувати, що це за вираз, які перетворення потрібно зробити над дробом, щоб рішення було правильним. Шукайте більш раціональні спосіб вирішення. Не йдіть складними шляхами. Розплануйте всі дії, вирішуйте спочатку в чорновому варіанті, потім переносите в шкільний зошит.

Щоб не сталося плутанини при вирішенні дрібних виразів, необхідно керуватися правилом послідовності. Вирішуйте все уважно, не поспішаючи.

Як відомо з математики, дробове число складається з чисельника і знаменника. Чисельник розташований вгорі, а знаменник внизу.

Робити математичні дії по додаванню або віднімання дробових величин з одним і тим же знаменником досить просто. Потрібно всього лише вміти складати або віднімати між собою цифри, що знаходяться в чисельнику (зверху), а однакове нижнє число залишається без змін.

Для прикладу візьмемо дробове число 7/9, тут:

цифра «сім» зверху - чисельник;
цифра «дев'ять» знизу - знаменник.

Дробові числа і дії з ними

приклад 1. додавання:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

приклад 2. віднімання:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Віднімання простих дрібних величин, що мають різний знаменник

Щоб виконати математичне дію по вирахуванню величин, що мають різний знаменник, треба насамперед привести їх до єдиного знаменника. При виконанні цього завдання необхідно дотримуватися того правила, що цей спільний знаменник повинен бути меншим з усіх можливих варіантів.

приклад 3

Дано дві прості величини з різними знаменниками (нижніми цифрами): 7/8 і 2/9.

Необхідно вилучити з першої величини другу.

Рішення складається з декількох дій:

1. Що знаходяться знайти загальне нижнє число, тобто то, що ділиться як на нижню величину першого дробу, так і другий. Це буде цифра 72, оскільки вона кратна цифрам «вісім» і «дев'ять».

2. Нижня цифра кожного дробу збільшилася:

цифра «вісім» в дробу 7/8 збільшилася в дев'ять разів - 8 * 9 \u003d 72;
цифра «дев'ять» в дробу 2/9 збільшилася у вісім разів - 9 * 8 \u003d 72.

3. Якщо змінився знаменник (нижня цифра), значить, повинен змінитися і чисельник (верхня цифра). За існуючим математичного правилом, верхню цифру треба збільшити рівно в стільки ж, що і нижню. Тобто:

чисельник «сім» в першій дробу (7/8) множимо на цифру «дев'ять» - 7 * 9 \u003d 63;
чисельник «два» у другій дробу (2/9) множимо на цифру «вісім» - 2 * 8 \u003d 16.

4. В результаті дій у нас вийшли дві нові величини, які, проте, тотожні початковим.

перша: 7/8 \u003d 7 * 9/8 * 9 \u003d 63/72;
друга: 2/9 \u003d 2 * 8/9 * 8 \u003d 16/72.

5. Тепер допускається зробити віднімання одного дрібного числа з іншого:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Виконуючи цю дію, повертаємося до теми віднімання дробів з однаковими нижніми цифрами (знаменниками). А це означає, що зверху, в чисельнику, буде проведено дію віднімання, а нижня цифра переноситься без змін.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

приклад 4

Ускладнити завдання, взявши для вирішення кілька дробів з різними, але кратними цифрами внизу.

Дано величини: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Треба їх забрати один від одного в цій послідовності.

1. Наводимо дробу вищевказаним способом до спільного знаменника, яким буде цифра «24»:

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - цю останню величину залишаємо без зміни, оскільки знаменником є загальне число «24».

2. Виконуємо віднімання всіх величин:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Оскільки чисельник і знаменник отриманої дробу діляться на одне число, то їх можна скоротити, розділивши на цифру «три»:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Відповідь записуємо так:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

приклад 5

Дано три дроби з некратними знаменниками: 3/4; 2/7; 1/13.

Потрібно знайти різницю.

1. Наводимо до спільного знаменника два перших числа, їм буде цифра «28»:

¾ \u003d 3 * 7/4 * 7 \u003d 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Віднімаємо перші дві дробу між собою:

¾-2/7 \u003d 21 / 28-8 / 28 \u003d (21-8) / 28 \u003d 13/28.

3. Віднімаємо з отриманого значення третю задану дріб:

4. Наводимо числа до спільного знаменника. Якщо немає можливості підібрати однаковий знаменник більше легким способом, То потрібно лише виконати дії, помноживши послідовно всі знаменники один на одного, не забуваючи підвищувати і значення чисельника на таку ж цифру. У цьому прикладі робимо так:

13/28 \u003d 13 * 13/28 * 13 \u003d 169/364, де 13 - це нижня цифра від 5/13;
5/13 \u003d 5 * 28/13 * 28 \u003d 140/364, де 28 - нижня цифра від 13/28.

5. Віднімаємо отримані дробу:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Відповідь: ¾-2 / 7-5 / 13 \u003d 29/364.

Змішані дробові числа

У прикладах, які були розглянуті вище, застосовувалися лише правильні дроби.

Як приклад:

8/9 - це правильна дріб;
9/8 - неправильна.

Неправильну дріб перетворити в правильну можна, але є можливість перетворити її в змішану. Для чого верхнє число (чисельник) ділять на нижню (знаменник) і отримують цифру із залишком. Вийшло при розподілі ціле число так і записують, залишок пишуть в чисельник вгорі, а знаменник, який знизу, залишається колишнім. Щоб було зрозуміліше, розглянемо конкретний приклад:

приклад 6

Переводимо неправильну дріб 9/8 в правильну.

Для цього цифру «дев'ять» ділимо на «вісім», отримуємо в результаті змішану дріб з цілим числом і залишком:

9: 8 \u003d 1 і 1/8 (по-іншому це можна записати, як 1 + 1/8), де:

цифра 1 - вийшло при розподілі ціле число;
інша цифра 1 - залишок;
цифра 8 - знаменник, що залишився незмінним.

Ціле число називають ще натуральним.

Залишок і знаменник - це нова, але вже правильна дріб.

При записи числа 1 його пишуть перед правильної дробом 1/8.

Віднімання мішаних чисел з різними знаменником

З вищесказаного дамо визначення змішаного дрібного числа: «Змішане число - це така величина, яка дорівнює сумі цілого числа і правильного звичайного дробу. При цьому цілу частину називають натуральним числом , А то число, що в залишку, його дробової частиною».

приклад 7

Дано: дві змішані дробові величини, що складаються з цілого числа і правильного дробу:

перша величина - 9 і 4/7, тобто (9 + 4/7);
друга величина - 3 і 5/21, тобто (3 + 5/21).

Потрібно знайти різницю між цими величинами.

1. Щоб з 9 + 4/7 відняти 3 + 5/21, потрібно спочатку відняти один з одного цілі величини:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Отриманий результат різниці двох мішаних чисел буде складатися з натурального (цілого) числа 6 і правильного дробу 7/21 \u003d 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Математики всіх країн домовилися, що знак "+" при написанні змішаних величин можна опустити і залишити лише ціле число перед дробом без всякого знака.

От і все.

Відео

Це відео допоможе вам самостійно розібратися, як правильно віднімати дроби з різними знаменниками.