Що таке теорія золотого перетину. Божественна гармонія: що таке золотий перетин простими словами

Будь-якій людині, якій хоча б побічно доводилося стикатися з геометрією просторових об'єктів в інтер'єрного дизайну та архітектури, напевно добре відомий принцип золотого перетину. Ще недавно, кілька десятків років тому, популярність золотого перетину була настільки високою, що численні прихильники містичних теорій і устрою світу його називають універсальним гармонійним правилом.

Сутність універсальної пропорції

Дивно інше. Причиною упередженого, майже містичного ставлення до такої простої числової залежності послужило кілька незвичайних властивостей:

Велика кількість об'єктів живого світу, від вірусу до людини, мають основні пропорції тіла або кінцівок, дуже близькі до значення золотого перетину;
Залежність 0,63 або 1,62 характерна тільки для біологічних істот і деяких різновидів кристалів, неживі об'єкти, від мінералів до елементів ландшафту, мають геометрією золотого перетину вкрай рідко;
Золоті пропорції в будові тіла виявилися найбільш оптимальними для виживання реальних біологічних об'єктів.

сьогодні золотий перетин знаходять в будові тіла тварин, панцирів і раковин молюсків, пропорцій листя, гілок, стовбурів і кореневих систем у досить великого числа чагарників і трав.

Багатьма послідовниками теорії універсальності золотого перетину неодноразово робилися спроби довести той факт, що його пропорції є найбільш оптимальними для біологічних організмів в умовах їх існування.

Зазвичай в якості прикладу наводиться пристрій раковини Astreae Heliotropium, одного з морських молюсків. Панцир є згорнуту спіраллю кальцитовими оболонку з геометрією, практично збігається з пропорціями золотого перетину.

Більш зрозумілим і очевидним прикладом є звичайне куряче яйце.

Співвідношення основних параметрів, а саме, великого і малого фокуса, або відстаней від рівновіддалених точок поверхні до центра ваги, буде також відповідати золотому перетину. При цьому форма шкаралупи пташиного яйця є найбільш оптимальною для виживання птиці, як біологічного виду. При цьому міцність шкаралупи грає далеко не головну роль.

До відома! Золотий перетин, яку ще називають універсальною пропорцією геометрії, було отримано в результаті величезної кількості практичних вимірювань і порівнянь розмірів реальних рослин, птахів, тварин.

Походження універсальної пропорції

Про золотий пропорції перетину знали давньогрецькі математики Евклід і Піфагор. В одному з пам'ятників древньої архітектури - піраміді Хеопса співвідношення сторін і підстави, окремі елементи і настінні барельєфи виконані відповідно до універсальної пропорцією.

Методика золотого перетину широко використовувалася в середні століття художниками і архітекторами, при цьому суть універсальної пропорції вважалася однією з таємниць всесвіту і ретельно приховувалася від простого обивателя. Композиція багатьох картин, скульптур і будівель вибудовувалася строго відповідно до пропорцій золотого перетину.

Вперше суть універсальної пропорції документально була сформульована в 1509 р монахом-францисканцем Лукою Пачолі, що володів блискучими математичними здібностями. Але справжнє визнання відбулося після проведення німецьким вченим Цейзинг всебічного вивчення пропорцій і геометрії людського тіла, древніх скульптур, творів мистецтва, тварин і рослин.

У більшості живих об'єктів деякі розміри тіла підкоряються одним і тим же пропорціях. У 1855 р вченим був зроблений висновок про те, що пропорції золотого перетину є своєрідним стандартом гармонії тіла і форми. Йдеться, перш за все, про живих істот, для мертвої природи золотий перетин зустрічається значно рідше.

Як отримали золотий перетин

Пропорцію золотого перетину найпростіше уявити, як відношення двох частин одного об'єкта різної довжини, між якими ставиться крапка.

Простіше кажучи, скільки довжин маленького відрізка поміститься всередині великого, або відношення найбільшої з частин до всієї довжині лінійного об'єкта. У першому випадку співвідношення золотого перетину становить 0,63, у другому варіанті співвідношення сторін дорівнює 1,618034.

На практиці золотий перетин являє собою всього лише пропорцію, співвідношення відрізків певної довжини, сторін прямокутника або інших геометричних форм, Родинних або пов'язаних розмірних характеристик реальних об'єктів.

Спочатку золоті пропорції були виведені емпіричним шляхом за допомогою геометричних побудов. Існує кілька способів побудови або виведення гармонійної пропорції:

До відома! На відміну від класичного золотого співвідношення, архітектурна версія має на увазі співвідношення сторін відрізка в пропорції 44:56.

Якщо стандартний варіант золотого перетину для живих істот, живопису, графіки, скульптур і античних споруд розраховувався, як 37:63, то золотий перетин в архітектурі з кінця XVII століття всі частіше стало використовуватися 44:56. Більшість фахівців вважають зміну на користь більш «квадратних» пропорцій поширенням висотного будівництва.

Головний секрет золотого перетину

Якщо природні прояви універсального перетину в пропорціях тіл тварин і людини, стебловий основи рослин ще можна пояснити еволюцією і пристосованість до впливу зовнішнього середовища, То відкриття золотого перетину в будівництві будинків XII-XIX століття стало певною несподіванкою. Мало того, знаменитий давньогрецький Парфенон був побудований з дотриманням універсальної пропорції, багато будинків і замки заможних вельмож і заможних людей в середні століття будувалися свідомо з параметрами, дуже близькими до золотого перетину.

Золотий перетин в архітектурі

Багато з будівель, що збереглися до сьогоднішніх днів, свідчать, що архітектори середньовіччя знали про існування золотого перетину, і, звичайно, при будівництві будинку керувалися своїми примітивними розрахунками і залежностями, за допомогою яких намагалися домогтися максимальної міцності. Особливо виявлялося бажання будувати максимально красиві і гармонійні будинку в будівлях резиденцій царюючих осіб, церков, ратуш і будівель, що мають особливе соціальне значення в суспільстві.

Наприклад, знаменитий собор Паризької богоматері в своїх пропорціях має чимало ділянок і розмірних ланцюгів, відповідних золотий перетин.

Ще до публікації своїх досліджень в 1855 році професором Цейзинг, в кінці XVIII століття були побудовані знамениті архітектурні комплекси Голіцинськой лікарні і будівлі сенату в Санкт-Петербурзі, будинки Пашкова і Петровського палацу в Москві з використанням пропорцій золотого перетину.

Зрозуміло, будинки з точним дотриманням правила золотого перетину будували і раніше. Варто згадати пам'ятник стародавньої архітектури церкви Покрова на Нерлі, зображений на схемі.

Всіх їх об'єднує не тільки гармонійне поєднання форм і висока якість будівництва, але і, в першу чергу, наявність золотого перетину в пропорціях будівлі. Дивовижна краса споруди стає ще більш загадковою, якщо взяти до уваги вік, будівля церкви Покрова датується XIII століттям, але сучасний архітектурний вигляд споруда отримала на рубежі XVII століття в результаті реставрації та перебудови.

Особливість золотого перетину для людини

Старовинна архітектура будівель і будинків середньовіччя залишається привабливою і цікавою для сучасної людини з багатьох причин:

Індивідуальний художній стиль в оформленні фасадів дозволяє уникнути сучасного штампа і сірості, кожна будівля являє собою твір мистецтва;
Масове використання для декорування та прикраси статуй, скульптур, ліпнини, незвичайних поєднань будівельних рішень різних епох;
Пропорції і композиції будівлі притягують погляд до найбільш важливих елементів споруди.

Важливо! При проектуванні будинку і розробці зовнішнього вигляду середньовічні архітектори застосовували правило золотого перетину, неусвідомлено використовуючи особливості сприйняття підсвідомості людини.

Сучасні психологи експериментально довели, що золотий перетин є проявом неусвідомленого бажання або реакції людини на гармонійне поєднання або пропорцію в розмірах, формах і навіть кольорах. Був проведений експеримент, в ході якого групі людей, незнайомих між собою, що не мають спільних інтересів, різних професій і вікових категорій, запропонували ряд тестів, серед яких було завдання зігнути аркуш паперу в найбільш оптимальної пропорції сторін. За результатами тестування було встановлено, що в 85 випадках з 100 лист згинався випробуваними практично точно по золотому перетину.

Тому сучасна наука вважає, що феномен універсальної пропорції є психологічним явищем, а не дією будь-яких метафізичних сил.

Використання фактора універсального перетину в сучасному дизайні і архітектурі

Принципи застосування золотої пропорції в останні кілька років стали надзвичайно популярні в будівництві приватних будинків. На зміну екології та безпеки будівельних матеріалів прийшли гармонійність конструкції і правильний розподіл енергії всередині будинку.

Сучасна інтерпретація правила загальної гармонії давно поширилася за межі звичної геометрії і форми об'єкта. Сьогодні правило діє не тільки розмірні ланцюги довжини портика і фронтону, окремих елементів фасаду та висоти будівлі, але і площа кімнат, віконних і дверних прорізів, і навіть колірна гамма внутрішнього інтер'єру приміщення.

Найпростіше побудувати гармонійний будинок на модульній основі. У цьому випадку більшість відділень і кімнат виготовляються у вигляді самостійних блоків або модулів, спроектованих з дотриманням правила золотого перетину. Побудувати будинок у вигляді набору гармонійних модулів значно простіше, ніж будувати одну коробку, в якій велика частина фасаду і внутрішніх приміщень повинна бути в жорстких рамках пропорцій золотого перетину.

Чимало будівельних фірм, що виконують проектування приватних домоволодінь, використовують принципи і поняття золотого перерізу для збільшення кошторису і створення у клієнтів враження глибокого опрацювання конструкції будинку. Як правило, такий будинок декларується, як дуже зручний і гармонійний в користуванні. Правильно підібране співвідношення площ кімнат гарантує душевний комфорт і відмінне здоров'я господарів.

Якщо будинок був побудований без урахування оптимальних співвідношень золотого перетину, можна виконати перепланування кімнат так, щоб пропорції приміщення відповідали співвідношенню стін в пропорції 1: 1,61. Для цього може переміщатися меблі або встановлюватися додаткові перегородки всередині кімнат. Аналогічним чином змінюються розміри віконних і дверних прорізів так, щоб ширина отвору була менше висоти дверного полотна в 1,61 рази. Таким же способом виконується планування меблів, побутової техніки, оздоблення стін і підлоги.

Складніше вибрати кольорове оформлення. У цьому випадку замість звичного співвідношення 63:37 послідовниками золотого правила прийнята спрощене трактування - 2/3. Тобто основний колірний фон повинен займати 60% простору приміщення, відтіняє кольору віддають не більше 30%, і решта відводиться під різні родинні тони, покликані посилити сприйняття колірного рішення.

Внутрішні стіни приміщення діляться горизонтальним поясом або бордюром на висоті 70 см, встановлена \u200b\u200bмеблі повинна порівнюватися з висотою стель по співвідношенню золотого перетину. Те ж правило стосується розподілу довжин, наприклад, розмір дивана не повинен перевищувати 2/3 довжини простінка, а загальна площа, Яку займає меблями, відноситься до площі кімнати, як 1: 1,61.

Золоту пропорцію складно в масовому порядку застосовувати на практиці через всього лише одного значення перетину, тому при проектуванні гармонійних будівель нерідко вдаються до ряду чисел Фібоначчі. Це дозволяє розширити кількість можливих варіантів пропорцій і геометричних форм основних елементів будинку. У цьому випадку ряд чисел Фібоначчі, пов'язаних між собою чіткої математичної залежністю, називають гармонійним або золотим.

У сучасній методиці проектування житла на основі принципу золотого перетину, крім ряду Фібоначчі, широко використовується принцип, запропонований відомим французьким архітектором Ле Корбюзьє. У цьому випадку в якості відправної одиниці виміру, за якою розраховуються всі параметри будівлі і внутрішнього інтер'єру, вибирається зростання майбутнього власника або середня висота людини. Такий підхід дозволяє спроектувати будинок не тільки гармонійний, але і по-справжньому індивідуальний.

висновок

На практиці, за відгуками тих, хто зважився на будівництво будинку за правилом золотого перетину, якісно побудований будинок дійсно виявляється досить зручним для проживання. Але вартість будови через індивідуального проектування і застосування будматеріалів нестандартних розмірів зростає на 60-70%. І в цьому підході немає нічого нового, так як більшість будівель минулого століття будувалося саме під індивідуальні особливості майбутніх господарів.

Золотий перетин - це простий принцип, який допоможе зробити дизайн приємним для візуального сприйняття. У цій статті ми детально розповімо як і навіщо його використовувати.

Поширена в природі математична пропорція, яка називається Золотий перетин, або Золота середина, заснована на Послідовності Фібоначчі (про яку ви, швидше за все, чули в школі, або читали в книзі Дена Брауна «Код да Вінчі»), і має на увазі під собою співвідношення сторін 1 : 1,61.

Таке співвідношення часто-густо зустрічається в нашому житті (черепашки, ананаси, квіти і т.д.) і тому сприймається людиною як щось природне, приємне погляду.

→ Золотое сечение це взаємозв'язок між двома числами в послідовності Фібоначчі
→ Побудова цієї послідовності в масштабі дає спіралі, які можна побачити в природі.

Вважається, що Золотое сечение використовується людством в мистецтві і дизайні вже більше 4 тисяч років, а можливо навіть більше, якщо вірити вченим, які стверджують, що стародавні єгиптяни використовували цей принцип при будівництві пірамід.

знамениті приклади

Як ми вже говорили, Золотий перетин можна бачити на протязі всієї історії мистецтва і архітектури. Ось деякі приклади, які тільки підтверджують обгрунтованість використання цього принципу:

Архітектура: Парфенон

У давньогрецькій архітектурі Золотое сечение використовувалося для обчислення ідеальної пропорції між висотою і шириною будівлі, розмірів портика, і навіть відстані між колонами. Надалі, цей принцип був успадкований архітектурою неокласицизму.

мистецтво: таємна вечеря

Для художників композиція - основа основ. Леонардо да Вінчі, як і багато інших художників, керувався принципом Золотого перетину: в Таємній Вечері, наприклад, фігури учнів розташовані в нижніх двох третинах (більше з двох частин Золотого перетину), а Ісус поміщений строго по центру між двома прямокутниками.

Веб-дизайн: редизайн Twitter в 2010

Креативний директор Twitter Дуг Боуман (Doug Bowman) опублікував скріншот в своєму акаунті Flickr, пояснюючи використання принципу Золотого перетину для редизайну 2010 року. «Всі, хто цікавиться #NewTwitter пропорціями - знайте, все зроблено не просто так», сказав він.

Apple iCloud

Іконка сервісу iCloud теж зовсім не випадковий малюнок. Як пояснив Такамаса Мацумото в своєму блозі (оригінальна японська версія) все побудовано на математиці Золотого перетину, анатомію якого можна побачити на малюнку справа.

Як побудувати Золотое сечение?

Побудова відбувається досить просто, і починається з основного квадрата:

Намалюйте квадрат. Це сформує довжину "короткої сторони" прямокутника.

Розділіть квадрат навпіл вертикальною лінією так, щоб вийшли два прямокутника.

В одному прямокутнику намалюйте лінію, об'єднавши протилежні кути.

Розгорніть цю лінію горизонтально так, як це показано на малюнку.

Створіть ще один прямокутник, використовуючи горизонтальну лінію, яку ви малювали в попередніх кроках як основу. Готово!

«Золоті» інструменти

Якщо креслити і виміряти не ваше улюблене заняття, Надайте всю «чорну роботу» інструментам, які розроблені спеціально для цього. За допомогою представлених нижче 4-х редакторів ви легко знайдете Золотое сечение!

Додаток GoldenRATIO допомагає розробляти веб-сайти, інтерфейси і макети відповідно до Золотим Перерізом. Воно є в Mac App Store за $ 2,99, і має вбудований калькулятор з візуальної зворотним зв'язком, і зручну функцію «Вибране», в якій зберігаються настройки для повторюваних завдань. Сумісно з Adobe Photoshop.

Цей калькулятор, який допоможе вам створити ідеальну типографіку для сайту відповідно до принципів Золотий пропорції. Просто введіть розмір шрифту, ширину вмісту в поле на сайті, і натисніть «Set my type»!

Це просте і безкоштовний додаток для Mac і PC. Просто введіть число, і він розрахує для нього пропорцію відповідно до правила Золотого перетину.

Зручна програма, яка позбавить вас від необхідності розрахунків і малювання сіток. З нею знайти ідеальні пропорції простіше простого! Працює з усіма графічними редакторами, в тому числі і Photoshop. Незважаючи на те, що інструмент платний - 49 $, є можливість протестувати пробну версію протягом 30 днів.

Вирізавши квадрат зі стороною а з прямокутника, побудованого за принципом золотого перетину, ми отримуємо новий, зменшений прямокутник з тим же властивістю

Золоте перетин (Золота пропорція, розподіл в крайньому і середньому відношенні, гармонійне розподіл, число Фідія) - поділ безперервної величини на частини в такому відношенні, при якому велика частина так відноситься до меншої, як вся величина до більшої. Наприклад, поділ відрізка АС на дві частини таким чином, що більша його частина АВ відноситься до меншої ВС так, як весь відрізок АС відноситься до АВ (Т. Е. | АВ| / |ВС| = |АС| / |АВ|).

Цю пропорцію прийнято позначати грецькою буквою φ (зустрічається також позначення τ). Вона дорівнює:

Формула «золотих гармоній», що дає пари чисел задовольняють вищезгаданої пропорції:

У випадку з числом параметр m = 1.

У дійшла до нас античній літературі поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) вперше зустрічається в «Засадах» Евкліда (бл. 300 до н. е.), де воно застосовується для побудови правильного п'ятикутника.

Cам термін «золотий перетин» (нім.goldener Schnitt) Був введений німецьким математиком Мартіном Омом в 1835 році.

математичні властивості

Золотий перетин в п'ятикутної зірки

— ірраціональне алгебраїчне число, позитивне рішення будь-якого з наступних рівнянь

представляється ланцюгової дробом

для якої підходящими дробами є відносини послідовних чисел Фібоначчі. Таким чином, .

У правильної п'ятикутної зірки кожен сегмент ділиться перетинають його сегментом в золотому перетині (тобто відношення синього відрізка до зеленого, також як червоного до синього, також як зеленого до фіолетового, рівні).

Побудова золотого перетину

Ось ще одне подання:

геометричну побудову

Золотий перетин відрізка AB можна побудувати наступним чином: в точці B відновлюється перпендикуляр до AB, Відкладають на ньому відрізок BC, Рівний половині AB, На відрізку AC відкладають відрізок AD, рівний AC − CB, І нарешті, на відрізку AB відкладають відрізок AE, рівний AD. тоді

Золотий перетин і гармонія

Прийнято вважати, що об'єкти, які містять в собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні. Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона нібито свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перетину при їх створенні. Архітектор Ле Корбюзьє «знайшов», що в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого перетину. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу, і т. Д. І т. П.

"Золотий перетин" в мистецтві

Золотий перетин і зорові центри

Починаючи з Леонардо да Вінчі, багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину».

Відомо, що Сергій Ейзенштейн штучно побудував фільм Броненосець Потьомкін за правилами «золотого перетину». Він розбив стрічку на п'ять частин. У перших трьох дія розгортається на кораблі. У двох останніх - в Одесі, де розгортається повстання. Цей перехід в місто відбувається точно в точці золотого перетину. Та й в кожній частині є свій перелом, що відбувається за законом золотого перетину. У кадрі, сцені, епізоді відбувається якийсь стрибок у розвитку теми: сюжету, настрою. Ейзенштейн вважав, що, так як такий перехід близький до точки золотого перетину, він сприймається як найбільш закономірний і природний.

Іншим прикладом використання правила «Золотого перетину» в кіномистецтві - розташування основних компонентів кадру в особливих точках - «зорових центрах». Часто використовуються чотири точки, розташовані на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площини.

Слід зауважити що в вищеописаних прикладах фігурувало приблизне значення "золотого перетину": легко переконатися що ні 3/2 ні 5/3 не дорівнює значенню золотого перетину.

Російський зодчий Жолтовський також використав золотий перетин.

Критика золотого перетину

Є думки, що значимість золотого перетину в мистецтві, архітектурі і в природі перебільшена і грунтується на помилкових розрахунках.

Під час обговорення оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0і кратні, розміри фотопластинок (6: 9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2: 3), розміри кіно- і телевізійних екранів - наприклад, 3: 4 або 9:16 ) були випробувані самі різні варіанти. Виявилося що більшість людей не сприймає золоте перетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими».

Число читань: 8625

Золотий перетин - це універсальне прояв структурної гармонії. Воно зустрічається в природі, науці, мистецтві - у всьому, з чим може зіткнутися людина. Познайомившись із золотим правилом, людство більше йому не змінювало.

визначення

Найбільш ємне визначення золотого перетину говорить, що менша частина відноситься до більшої, як велика до всього цілого. Приблизна його величина - +1,6180339887. У округленому відсотковому значенні пропорції частин цілого будуть співвідноситися як 62% на 38%. Це співвідношення діє в формах простору і часу. Стародавні бачили в золотому перетині відображення космічного порядку, а Йоганн Кеплер називав його одним з скарбів геометрії. сучасна наука розглядає золотий перетин як «асиметричну симетрію», називаючи його в широкому сенсі універсальним правилом відображає структуру і порядок нашого світоустрою.

Історія

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, Давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьенашёл, що в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.

Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427 ... 347 рр. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу.

Мал. Античний циркуль золотого перетину

У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в «Засадах» Евкліда. У 2-ій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого розподілу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II ст. До н.е.), Папп (III в. Н.е.) і ін. У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися по арабських перекладах «Начал» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки посвяченим.

Подання про золотих пропорціях мали і на Русі, але вперше науково золотий перетин пояснив монах Лука Пачолі в книзі «Божественна пропорція» (1509), ілюстрації до якої імовірно зробив Леонардо да Вінчі. Пачолі вбачав в золотому перетині божественне триєдність: малий відрізок уособлював Сина, великий - Отця, а ціле - Святий дух. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу в живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі.

Безпосереднім чином з правилом золотого перетину пов'язано ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі. В результаті рішення одним із завдань вчений вийшов на послідовність чисел, відому зараз як ряд Фібоначчі: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. На відношення цієї послідовності до золотої пропорції звернув увагу Кеплер: «Влаштована вона так, що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ». Зараз ряд Фібоначчі це арифметична основа для розрахунків пропорцій золотого перетину у всіх його проявах.

Леонардо Да Вінчі також багато часу присвятив вивченню особливостей золотого перетину, швидше за все саме йому належить і сам термін. Його малюнки стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, доводять, що кожен з отриманих при перетині прямокутників дає співвідношення сторін в золотий розподіл.

Згодом правило золотого перетину перетворилося в академічну рутину, і тільки філософ Адольф Цейзинг в 1855 році повернув йому друге життя. Він довів до абсолюту пропорції золотого перетину, зробивши їх універсальними для всіх явищ навколишнього світу. Втім, його «математичне естетство» викликало багато критики.

природа

Астроном XVI в. Йоганн Кеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як в сторону збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення (спадний ряд).

Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, Поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного і спадного рядів.

Мал. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

Мал. цикорій

Навіть не вдаючись у розрахунки, золотий перетин можна без зусиль виявити в природі. Так, під нього потрапляють співвідношення хвоста і тіла ящірки, відстані між листям на гілці, є золотий перетин і в формі яйця, якщо умовну лінію провести через його найбільш широку частину.

Мал. ящірка живородна

Мал. яйце птиці

Білоруський вчений Едуард Сороко, який вивчав форми золотих поділів в природі, відзначав, що все зростаюче і прагне зайняти своє місце в просторі, наділене пропорціями золотого перетину. На його думку, одна з найцікавіших форм це закручування по спіралі.

ще Архімед, Приділяючи увагу спіралі, вивів на основі її форми рівняння, яке і зараз застосовується в техніці. Пізніше Гете зазначав тяжіння природи до спіральним формам, називаючи спіраль "кривою життя». Сучасними вченими було встановлено, що такі прояви спіральних форм в природі як раковина равлики, розташування насіння соняшнику, візерунки павутини, рух урагану, будова ДНК і навіть структура галактик містять в собі ряд Фібоначчі.

Людина

Модельєри і дизайнери одягу всі розрахунки роблять, виходячи з пропорцій золотого перетину. Людина - це універсальна форма для перевірки законів золотого перетину. Звичайно, від природи далеко не у всіх людей пропорції ідеальні, що створює певні складнощі з підбором одягу.

У щоденнику Леонардо да Вінчі є малюнок вписаного в коло голої людини, що знаходиться в двох накладених один на одного позиціях. Спираючись на дослідження римського архітектора Вітрувія, Леонардо так само намагався встановити пропорції людського тіла. Пізніше французький архітектор Ле Корбюзьє, використовуючи «Вітрувіанська людина» Леонардо, створив власну шкалу «гармонійних пропорцій», вплинула на естетику архітектури XX століття. Адольф Цейзинг, досліджуючи пропорційність людини, виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл, а також безліч античних статуй і вивів, що золотий перетин виражає середньостатистичний закон. В людині йому підпорядковані практично всі частини тіла, але головний показник золотого перетину це поділ тіла точкою пупа.

В результаті вимірювань дослідник встановив, що пропорції чоловічого тіла 13: 8 ближче до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла - 8: 5.

мистецтво просторових форм

Художник Василь Суриков говорив, «що в композиції є непорушний закон, коли в картині не можна нічого ні прибрати, ні додати, навіть зайву крапку поставити не можна, це справжня математика». Довгий час художники слідчі цим законом інтуїтивно, але після Леонардо да Вінчі процес створення живописного полотна вже не обходиться без рішення геометричних задач. наприклад, Альбрехт Дюрер для визначення точок золотого перетину використовував винайдений ним пропорційний циркуль.

Мистецтвознавець Ф. В. Ковальов, детально вивчивши картину Миколи Ге «Олександр Сергійович Пушкін в селі Михайлівському», зазначає, що кожна деталь полотна будь-то камін, етажерка, крісло або сам поет строго вписані в золоті пропорції. Дослідники золотого перетину невтомно вивчають і заміряють шедеври архітектури, стверджуючи, що вони стали такими, тому що створені за золотим канонам: в їхньому списку Великі піраміди Гізи, Собор Паризької Богоматері, Храм Василя Блаженного, Парфенон.

І сьогодні в будь-якому мистецтві просторових форм намагаються слідувати золотого перетину, так як вони, на думку мистецтвознавців, полегшують сприйняття твору і формують у глядача естетичне відчуття.

Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіті і перетворенні органічних тел. Це він ввів в науковий обіг термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, в будові деяких хімічних сполук, в планетарних і космічних системах, в генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як вказано вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Золотий перетин і симетрія

Золотий перетин можна розглядати саме по собі, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристаллограф Г.В. Вульф (1863 ... 1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золоте поділ не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії. Відповідно до сучасних уявлень золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрії увійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, зростання. Так, в природі статична симетрія представлена \u200b\u200bбудовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається в величинах золотого перетину зростаючого або спадної ряду.

Слово, звук і кінострічка

Форми тимчасового мистецтва по-своєму демонструють нам принцип золотого перерізу. Літературознавці, наприклад, звернули увагу, що найбільш популярне кількість рядків у віршах пізнього періоду творчості Пушкіна відповідає ряду Фібоначчі - 5, 8, 13, 21, 34.

Діє правило золотого перетину і в окремо взятих творах російського класика. Так кульмінаційним моментом «Пікової дами» є драматична сцена Германа і графині, що закінчується смертю останньої. У повісті 853 рядки, а кульмінація припадає на 535 рядку (853: 535 \u003d 1,6) - це і є точка золотого перетину.

Радянський музикознавець Е. К. Розенов зазначає разючу точність співвідношень золотого перетину в строгих і вільних формах творів Йоганна Себастьяна Баха, що відповідає вдумливому, зосередженому, технічно вивіреного стилю майстра. Це справедливо і щодо видатних творінь інших композиторів, де на точку золотого перетину звичайно доводиться найбільш яскраве або несподіване музичне рішення.

Кінорежисер Сергій Ейзенштейн сценарій свого фільму «Броненосець Потьомкін» свідомо погоджував з правилом золотого перетину, розділивши стрічку на п'ять частин. У перших трьох розділах дія розгортається на кораблі, а в останніх двох - у Одесі. Перехід на сцени в місті і є золота середина фільму.

Запрошуємо до обговорення теми в нашій групі -

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурного і функціонального досконалості цілого і його частин в мистецтві, науці, техніці і природі.

Золотий перетин - гармонійна пропорція

У математиці пропорцією (Лат. Proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини наступними способами:

на дві рівні частини - АВ : АС = АВ : ВС;

на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);

таким чином, коли АВ : АС = АС : ВС.

Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.

Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : c або з : b = b : а.

Мал. 1. Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перетином починають з розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

Мал. 2. Розподіл відрізка прямої по золотому перетину. BC = 1/2 AB; CD = BC

з точки В підіймали перпендикуляр, рівний половині АВ. отримана точка З з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, Який закінчується точкою D. відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ в співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотий пропорції виражаються нескінченної ірраціональної дробом AE \u003d 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ \u003d 0,382 ... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:

x 2 - x - 1 = 0.

Рішення цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Друге золотий перетин

Болгарський журнал «Вітчизна» (№10, 1983) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», яке випливає з основного перетину і дає інше ставлення 44: 56.

Така пропорція виявлена \u200b\u200bв архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Мал. 3. Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється наступним чином (див. Рис.3). відрізок АВ ділиться в пропорції золотого перетину. з точки З підіймали перпендикуляр СD. радіусом АВ знаходиться точка D, Яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. з точки З проводиться лінія до перетину з лінією AD. Крапка Е ділить відрізок AD щодо 56: 44.

Мал. 4. Розподіл прямокутника лінією другого золотого перетину

На рис. 4 показано положення лінії другого золотого перетину. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перетину і середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного і спадного рядів можна користуватися пентаграммой.

Мал. 5. Побудова правильного п'ятикутника і пентаграми

Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець і графік Альбрехт Дюрер (одна тисячі чотиреста сімдесят одна ... 1528). нехай O - центр окружності, A - точка на окружності і Е - середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, Восставленний в точці Про, Перетинається з окружністю в точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на окружності відрізки DC і отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями і отримуємо пентаграму. Все діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки, пов'язані між собою золотий пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки являє собою золотий трикутник. Його сторони утворюють кут 36 ° при вершині, а підстава, відкладене на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перетину.

Мал. 6. Побудова золотого трикутника

проводимо пряму АВ. від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок Про довільної величини, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, На перпендикуляре вправо і вліво від точки Р відкладаємо відрізки Про. отримані точки d і d 1 з'єднуємо прямими з точкою А. відрізок dd 1 відкладаємо на лінію Ad 1, отримуючи точку З. Вона розділила лінію Ad 1 в пропорції золотого перетину. лініями Ad 1 і dd 1 користуються для побудови «золотого» прямокутника.

Історія золотого перетину

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.

Мал. 7. динамічні прямокутники

Платон (427 ... 347 рр. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу.

Мал. 8. Античний циркуль золотого перетину

У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в «Засадах» Евкліда. У 2-ій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого розподілу Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II ст. До н.е.), Папп (III в. Н.е.) і ін. У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися з арабським перекладам «Начал» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу по геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу в живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 року в Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її «божественну суть» як вираження божественної триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожен раз отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і думав був учинити ».

Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Йоганн Кеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

Мал. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося в академічний канон і, коли з часом в мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, в запалі боротьби «разом з водою виплеснули і дитину». Знову «відкрито» золотий перетин було в середині XIX в. У 1855 р німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що і повинно було неминуче відбутися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Мал. 10. Золоті пропорції в частинах тіла людини

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і прийшов до висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупа - найважливіший показник золотого перетину. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 \u003d 1,625 і трохи ближче підходять до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якої середнє значення пропорції виражається в співвідношенні 8: 5 \u003d 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічий. Пропорції золотого перетину проявляються і в відношенні інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя і кисті, кисті і пальців і т.д.

Мал. 11. Золоті пропорції у фігурі людини

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається в відрізках прямої і в цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони складають ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в іншу сторону. Наступна його книга мала назву «Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі і мистецтві». У 1876 р в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано ні один твір живопису.

В наприкінці XIX - початку XX ст. з'явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину в творах мистецтва і архітектури. З розвитком дизайну і технічної естетики чинність закону золотого перетину поширилася на конструювання машин, меблів і т.д.

ряд Фібоначчі

З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 \u003d 5; 3 + 5 \u003d 8; 5 + 8 \u003d 13, 8 + 13 \u003d 21; 13 + 21 \u003d 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого ділення. Так, 21: 34 \u003d 0,617, а 34: 55 \u003d 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ...

Узагальнене золотий перетин

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу.

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ю проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення ряду кібернетичних задач (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.

Одним з досягнень в цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перетинів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: в першому випадку кожне число є сума попереднього числа з самим собою 2 \u003d 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., у другому - це сума двох предидущх чисел 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий »ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями?

Дійсно, задамося числовим параметром S, Який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. якщо n-й член цього ряду ми позначимо через φ S ( n), То отримаємо загальну формулу φ S ( n) \u003d Φ S ( n - 1) + φ S ( n - S - 1).

Очевидно, що при S \u003d 0 з цієї формули ми одержимо «двійковий» ряд, при S \u003d 1 - ряд Фібоначчі, при S \u003d 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чісел Фібоначчі.

В загалом вигляді золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-сеченія x S + 1 - x S - 1 \u003d 0.

Неважко показати, що при S \u003d 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S \u003d 1 -знайомиться класичне золотий перетин.

відносини сусідніх S-чісел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються в межі з золотими S-пропорціямі! Математики в таких випадках кажуть, що золоті S-сеченія є числовими інваріантами S-чісел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-сеченій в природі, призводить білоруський вчений Е.М. Сороко в книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука і техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т. П) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезe про те, що золоті S-сеченія є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в самоорганізованих системах.

За допомогою кодів золотої S-пропорціі можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій з цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S-пропорціі, при S \u003e 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять «з голови на ноги» історично сформовану ієрархію відносин між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були «відкриті» числа натуральні; потім їх відносини - числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття пифагорийцев несумірних відрізків - на світло з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, в десяткової, пятеричной, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснови, почала числення якої вибрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь натуральне число завжди можна подати у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-який з золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, наділений великою математичною простотою і витонченістю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової і «фібоначчійовий» арифметик.

Принципи формоутворення в природі

Все, що набувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному в двох варіантах - зростання вгору або расстилание по поверхні землі і закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметровими раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Уявлення про золотий перетин буде неповним, якщо не сказати про спіралі.

Мал. 12. спіраль Архімеда

Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені з цього рівняння, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спиралевидное розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, в шишках сосни, ананасах, кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксіс), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривою життя».

Серед придорожніх трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Мал. 13. цикорій

Відросток робить сильний викид в простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид в простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотий пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігало певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перетину.

Мал. 14. ящірка живородна

У ящірці з першого погляду уловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напрямку росту і руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.

Природа здійснила розподіл на симетричні частини і золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Мал. 15. яйце птиці

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіті і перетворенні органічних тел. Це він ввів у науковий обіг термін морфологія.

Золотий перетин і симетрія

Золоте поділ не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії Відповідно до сучасних уявлень золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрії увійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, зростання. Так, в природі статична симетрія представлена \u200b\u200bбудовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається в величинах золотого перетину зростаючого або спадної ряду.