Калькулятор онлайн.Упрощеніе многочлена.Умноженіе многочленів. Як спрощувати алгебраїчні вирази
Розділ 5 ВИРАЗУ І РІВНЯННЯ
У розділі дізнаєтесь:
ü про вираження і їх спрощення;
ü які властивості рівностей;
ü як розв'язувати рівняння на основі властивостей рівності;
ü які види завдань вирішуються за допомогою рівнянь; що таке перпендикулярні прямі і як їх будувати;
ü які прямі називаються паралельними і як їх будувати;
ü що таке координатна площину;
ü як визначити координати точки на площині;
ü що таке графік залежності між величинами і як його побудувати;
ü як застосувати вивчений матеріал на практиці
§ 30. ВИРАЖЕННЯ ТА ЇХ СПРОЩЕННЯ
Ви вже знаєте, що таке літерні вираження і вмієте їх спрощувати за допомогою законів додавання і множення. Наприклад, 2а ∙ (-4b) \u003d -8 ab . В отриманому виразі число -8 називають коефіцієнтом вираження.
Чи має виразcd коефіцієнт? Так. Він дорівнює 1, оскількиcd - 1 ∙ cd.
Згадаймо, що перетворення виразу з дужками в вираз без дужок, називають розкриттям, дужок. Наприклад: 5 (2х + 4) \u003d 10х + 20.
Зворотній дію в цьому прикладі - це винесення спільного множника за дужки.
Складові, що містять однакові літерні множники, називають подібними складовими. За допомогою винесення загального множника за дужки зводять подібні доданки:
5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 \u003d
\u003d (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 \u003d
B х + 7у - 5.
Правила розкриття дужок
1. Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при розкритті дужок знаки доданків в дужках зберігають;
2. Якщо перед дужками стоїть знак «-», то при розкритті дужок знаки доданків в дужках змінюються на протилежні.
Завдання 1. Спростіть вираз:
1) 4х + (- 7х + 5);
2) 15 y - (- 8 + 7 y).
Рішення. 1. Перед дужками стоїть знак «+», тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаються:
4х + (- 7х + 5) \u003d 4х - 7х + 5 \u003d 3х + 5.
2. Перед дужками стоїть знак «-», тому під час розкриття дужок: знаки всіх доданків змінюються на протилежні:
15 - (- 8 + 7у) \u003d 15у + 8 - 7у \u003d 8У +8.
Для розкриття дужок використовують розподільну властивість множення: а (b + c) \u003d ab + Ас. Якщо а\u003e 0, то знаки доданківb і з не змінюють. якщо а< 0, то знаки слагаемых b і з змінюють на протилежні.
Завдання 2. Спростіть вираз:
1) 2 (6 y -8) + 7 y;
2) -5 (2-5х) + 12.
Рішення. 1. Множник 2 перед дужками е позитивним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків зберігаємо: 2 (6y - 8) + 7 y \u003d 12 y - 16 + 7 y \u003d 19 y -16.
2. Множник -5 перед дужками е негативним, тому при розкритті дужок знаки всіх доданків міняємо на протилежні:
5 (25х) + 12 \u003d -10 + 25х +12 \u003d 2 + 25х.
Дізнайтесь більше
1. Слово «сума» походить від латинськогоsumma , Що означає «підсумок», «загальна кількість».
2. Слово «плюс» походить від латинськогоplus, що означає «більше», а слово «мінус» - від латинськогоminus, що означає «менше». Знаки «+» і «-» використовують для позначення дій додавання і віднімання. Ці знаки ввів чеський учений Й. Видман в 1489 року в книзі «Швидкий і приємний рахунок для всіх торговців»(Рис. 138).
Мал. 138
ЗГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Які складові називають подібними? Як зводять подібні доданки?
2. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак «+»?
3. Як розкривають дужки, перед якими стоїть знак «-»?
4. Як розкривають дужки, перед якими стоїть позитивний множник?
5. Як розкривають дужки, перед якими стоїть негативний множник?
Тисячу триста сімдесят чотири ". Назвіть коефіцієнт вираження:
1) 12 а; 3) -5,6 ху;
2) 4 6; 4) -з.
1375 ". Назвіть складові, які відрізняються тільки коефіцієнтом:
1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d; 4) 5х + 4у-х + у.
Як називаються такі складові?
1376 ". Чи є подібними складові в вираженні:
1) 11а + 10а; 3) 6 n + 15 n; 5) 25р - 10р + 15р;
2) 14с-12; 4) 12 m + m; 6) 8 k +10 k - n?
1377 ". Чи треба міняти знаки доданків в дужках, розкриваючи дужки у виразі:
1) 4 + (а + 3 b); 2) -c + (5-d); 3) 16- (5 m -8 n)?
1 378 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:
1 379 °. Спростіть вираз і підкресліть коефіцієнт:
1 380 °. Зведіть подібні доданки:
1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4d - 12 + 4 d;
2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b;
3) -7 ang \u003d "EN-US"\u003e c + 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381 °. Зведіть подібні доданки:
1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;
2) 9 b + 12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.
1382 °. Винесіть спільний множник за дужки:
1) 1,2 а +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;
2) 0,5 з + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8р - 10 k - 6 t.
Тисяча триста вісімдесят три °. Винесіть спільний множник за дужки:
1) 6а-12 b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 з +1 4 d; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t.
1 384 °. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки;
1) 5 + (4а -4); 4) - (5 c - d) + (4 d + 5с);
2) 17х- (4х-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5х + у) - (-2у +4 х) + (х - 3у).
1 385 °. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5d) - (- d + 5с);
2) - (46- 10) + (4 56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).
1386 °. Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387 °. Розкрийте дужки і знайдіть значення виразу:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1 388 °. Розкрийте дужки:
1) 0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2) -з ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 р + до - 0,2t);
3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (2А).
+1389 °. Розкрийте дужки:
1) 2,2 ∙ (х-4); 3) (4 c - d) ∙ (-0,5 y);
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Спростіть вираз:
1391. Спростіть вираз:
1392. Зведіть подібні доданки:
1393. Зведіть подібні доданки:
1394. Спростіть вираз:
1) 2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5) - (3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Спростіть вираз:
1396. Знайдіть значення виразу;
1) 4- (0,2 а-3) - (5,8 а-16), якщо а \u003d -5;
2) 2- (7-56) + 156-3 ∙ (26+ 5), якщо \u003d -0,8;
m \u003d 0,25, n \u003d 5,7.
1397. Знайдіть значення виразу:
1) -4 ∙ (я-2) + 2 ∙ (6x - 1), якщо х \u003d -0,25;
1398 *. Знайдіть помилку в рішенні:
1) 5 (а-2,4) -7 ∙ (-а + 1,2) \u003d 5а - 12-7а + 8,4 \u003d 2А-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) \u003d -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а \u003d -5,5 а + 8,26.
1399 *. Розкрийте дужки і спростите вираз:
1) 2аb - 3 (6 (4а - 1) - 6 (6 - 10а)) + 76;
1400 *. Розставте дужки так, щоб отримати правильне рівність:
1) а-6-а + 6 \u003d 2а; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.
1401 *. Доведіть, що для будь-яких чисел а іb, якщо а\u003e b , То виконується рівність:
1) (а + b) + (а-b) \u003d 2а; 2) (а + b) - (a - b) \u003d 2 b.
Чи буде правильним дане рівність, якщо: а) а< b; б) а \u003d 6?
1402 *. Доведіть, що для будь-якого натурального числа а середнє арифметичне попереднього і наступного за ним чисел дорівнює числу а.
Застосувати на практиці
1403. Для приготування фруктового десерту для трьох осіб потрібно: 2 яблука, 1 апельсин, 2 банана і 1 ківі. Як скласти буквений вираз для визначення кількості фруктів, необхідних для приготування десерту я для гостей? Допоможіть Марін ці підрахувати, скільки фруктів потрібно купити, якщо до неї в гості прийдуть: 1) 5 друзів; 2) 8 друзів.
1404. Складіть буквений вираз для визначення часу, необхідного для виконання домашнього завдання з математики, якщо:
1) на рішення задач витрачено а хв; 2) спрощення виразів в 2 рази більше, ніж на вирішення завдань. Скільки часу виконував домашнє завдання Василько, якщо на вирішення завдань він витратив 15 хв?
1405. Обід в шкільній 'їдальнею складається з салату, борщу, голубців і компоту. Вартість салату становить 20%, борщу - 30%, голубців - 45%, компоту - 5% загальної вартості всього обіду. Складіть вираз для знаходження вартості обіду в шкільній їдальні. Скільки коштує обід, якщо ціна салату - 2 грн?
ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ
1406. Розв'яжіть рівняння:
1407. На морозиво Таня витратилавсіх наявних грошей, а на цукерки -інших. Скільки грошей залишилося у Тані,
якщо цукерки коштують 12 грн?
зауваження 1
Логічну функцію можна записати за допомогою логічного виразу, а потім можна перейти до логічної схемою. Спрощувати логічні вирази треба для того, щоб отримати якомога більше просту (а значить, і більш дешеву) логічну схему. По суті, логічна функція, Логічне вираз і логічна схема це три різні мови, Що розповідають про одну суті.
для спрощення логічних виразів використовують закони алгебри логіки.
Якісь перетворення схожі на перетворення формул в класичній алгебри (винесення спільного множника за дужки, використання переместітельного і асоціативного законів і т.п.), а інші перетворення засновані на властивостях, якими операції класичної алгебри не володіють (використання розподільного закону для кон'юнкції, законів поглинання, склеювання, правил де Моргана та ін.).
Закони алгебри логіки формулюються для базових логічних операцій - "НЕ" - інверсія (заперечення), "І" - кон'юнкція (логічне множення) і "АБО" - диз'юнкція (логічне додавання).
Закон подвійного заперечення означає, що операція "НЕ" оборотна: якщо застосувати її двічі, то в підсумку логічне значення не зміниться.
Закон виключеного третього говорить, що будь-який логічний вираз або істинно, або хибно ( "третього не дано"). Тому якщо $ A \u003d 1 $, то $ \\ bar (A) \u003d 0 $ (і навпаки), а, значить, кон'юнкція цих величин завжди дорівнює нулю, а диз'юнкція дорівнює одиниці.
$ ((A + B) → C) \\ cdot (B → C \\ cdot D) \\ cdot C. $
Спростимо цю формулу:
Малюнок 3.
Звідси випливає, що $ A \u003d 0 $, $ B \u003d 1 $, $ C \u003d 1 $, $ D \u003d 1 $.
відповідь: в шахи грають учні $ B $, $ C $ і $ D $, а учень $ A $ не грає.
При спрощення логічних виразів можна виконувати таку послідовність дій:
- Замінити всі "небазові" операції (еквівалентність, імплікації, що виключає АБО та ін.) На їх вираження через базові операції інверсію, кон'юнкцію і диз'юнкцію.
- Розкрити інверсії складних виразів за правилами де Моргана таким чином, щоб операції заперечення залишилися тільки у окремих змінних.
- Потім спростити вираз, використовуючи розкриття дужок, винесення загальних множників за дужки і інші закони алгебри логіки.
приклад 2
Тут послідовно використані правило де Моргана, розподільний закон, закон виключеного третього, переместітельний закон, закон повторення, знову переместітельний закон і закон поглинання.
I. Вирази, в яких поряд з буквами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій і дужки, називаються алгебраїчними виразами.
Приклади виразів алгебри:
2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;
Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінної, а саме вираження алгебри - виразом зі змінною.
II. Якщо в алгебраїчному вираженні літери (змінні) замінити їх значеннями і виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням алгебраїчного виразу.
Приклади. Знайти значення виразу:
1) a + 2b -c при a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.
2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.
Рішення.
1) a + 2b -c при a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. отримаємо:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль негативного числа дорівнює протилежного йому числу, а модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу. отримуємо:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Значення букви (змінної), при яких алгебраїчний вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).
Приклади. При яких значеннях змінної вираз не має сенсу?
Рішення. Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому, кожне з даних виразів не матиме сенсу при тому значенні букви (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!
У прикладі 1) це значення а \u003d 0. Дійсно, якщо замість а підставити 0, то потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) не має сенсу при а \u003d 0.
У прикладі 2) знаменник х - 4 \u003d 0 при х \u003d 4, отже, це значення х \u003d 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) не має сенсу при х \u003d 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 \u003d 0 при х \u003d -2. Відповідь: вираз 3) не має сенсу при х \u003d -2.
У прикладі 4) знаменник 5 - | x | \u003d 0 при | x | \u003d 5. А так як | 5 | \u003d 5 і | -5 | \u003d 5, то можна брати х \u003d 5 і х \u003d -5. Відповідь: вираз 4) не має сенсу при х \u003d -5 і при х \u003d 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Приклад: 5 (a - b) і 5a - 5b тожественно рівні, так як рівність 5 (a - b) \u003d 5a - 5b буде вірним при будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a - b) \u003d 5a - 5b є тотожність.
тотожність - це рівність, справедливе при всіх допустимих значеннях вхідних в нього змінних. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання і множення, розподільна властивість.
Заміну одного виразу іншим, тотожне рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням вираження. тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.
Приклади.
a) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи розподільна властивість множення:
1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).
Рішення. Згадаймо розподільна властивість (закон) множення:
(A + b) · c \u003d a · c + b · c (Розподільний закон множення відносно додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожний доданок помножити на це число і отримані результати скласти).
(А-b) · c \u003d a · с-b · c (Розподільний закон множення щодо вирахування: щоб різниця двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число зменшуване і від'ємник окремо і з першого результату відняти другий).
1) 10 · (1,2 х + 2,3у) \u003d 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у \u003d 12х + 23У.
2) 1,5 · (a -2b + 4c) \u003d 1,5А -3b + 6c.
3) a · (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.
б) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) складання:
4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.
Рішення. Застосуємо закони (властивості) складання:
a + b \u003d b + a (Переместітельний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(A + b) + c \u003d a + (b + c) (Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього).
4) х + 4,5 + 2х + 6,5 \u003d (х + 2х) + (4,5 + 6,5) \u003d 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 \u003d 3а + (2,1 + 7,8) \u003d 3а + 9,9.
6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с \u003d (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) \u003d 3,1с -5,5.
в) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) множення:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Рішення. Застосуємо закони (властивості) множення:
a · b \u003d b · a (Переместітельний: від перестановки множників добуток не змінюється).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х \u003d -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) \u003d 7у.
9) 3а · (-3) · 2с \u003d -18ас.
Якщо алгебраїчне вираз дано у вигляді сократимостью дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто замінити тотожне рівним йому простішим виразом.
Приклади. Спростіть, використовуючи скорочення дробів. 
Рішення. Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на одне і те ж число (вираз), відмінне від нуля. Дріб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на а і дріб 12) скоротимо на 7n. отримуємо:
Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.
Формула - це вираз, записане у вигляді рівності і виражає залежність між двома або кількома змінними. Приклад: відома вам формула шляху s \u003d v · t (S - пройдений шлях, v - швидкість, t - час). Згадайте, які ще формули ви знаєте.
Сторінка 1 з 1 1
Серед різних виразів, які розглядаються в алгебрі, важливе місце займають суми одночленним. Наведемо приклади таких виразів:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (Xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)
Суму одночленним називають многочленом. Складові в многочлене називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен многочленом, що складається з одного члена.
Наприклад, многочлен
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ cdot (-12) b + 16 \\)
можна спростити.
Уявімо всі складові у вигляді одночленним стандартного виду:
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ cdot (-12) b + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \\)
Наведемо в отриманому многочлене подібні члени:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Вийшов многочлен, всі члени якого є одночленной стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі многочлени називають многочленами стандартного виду.
за ступінь многочлена стандартного виду приймають найбільшу з ступенів його членів. Так, двочлен \\ (12a ^ 2b - 7b \\) має третю ступінь, а тричлен \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - другу.
Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку убування показників її ступеня. наприклад:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)
Суму кількох многочленів можна перетворити (спростити) в многочлен стандартного вигляду.
Іноді члени многочлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу в дужки. Оскільки висновок в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються в дужки, записуються з тими ж знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються з протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твори одночлена і многочлена
За допомогою розподільного властивості множення можна перетворити (спростити) в многочлен твір одночлена і многочлена. наприклад:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \\ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \\ cdot (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)
Твір одночлена і многочлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена і кожного з членів многочлена.
Цей результат зазвичай формулюють у вигляді правила.
Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен на кожен з членів многочлена.
Ми вже неодноразово використовували це правило для множення на суму.
Твір многочленів. Перетворення (спрощення) твори двох многочленів
Взагалі, твір двох многочленів тотожно дорівнює сумі творі кожного члена одного многочлена і кожного члена іншого.
Зазвичай користуються таким правилом.
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці і різницю квадратів
З деякими виразами в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найбільш часто зустрічаються вирази \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) і \\ (a ^ 2 - b ^ 2 \\), т. Е. Квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, так, наприклад, \\ ((a + b) ^ 2 \\) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так вже й часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) неважко перетворити (спростити) в многочлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні многочленів:
\\ ((A + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d A ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\)
Отримані тотожності корисно запам'ятати і застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\\ ((A + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \\) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів і подвоєного твори.
\\ ((A - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного твори.
\\ (A ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a - b) (a + b) \\) - різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють в перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази і зрозуміти, чим в них замінені змінні а і b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратних коренів, А потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратні корені.
Тема:функція. властивості квадратного кореня
урок:Перетворення і спрощення більш складних виразів з коренями
1. Повторення властивостей квадратних коренів
Коротенько повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратних коренів.
Властивості квадратних коренів:
1., отже,;
3. 
;
4. 
.
2. Приклади на спрощення виразів з коренями
Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.
Приклад 1. Спростити вираз 
.
Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:
Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:
Приклад 2. Спростити вираз 
.
Рішення. Врахуємо, що цей вислів має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, т. К. В даному виразі присутні квадратного кореня і дробу, що призводить до «звуження» області допустимих значень. ОДЗ: 
().
Наведемо вираз в дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останньої дроби як різницю квадратів:
Відповідь. при.
Приклад 3. Спростити вираз 
.
Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вид і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.
Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їх розкладання на множники. Підставами отриманий вираз в вихідну дріб:
Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.
3. Приклад на позбавлення від ірраціональності
Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) в знаменнику: а); б).
Рішення. а) Для того щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноженія і чисельника і знаменника дробу на зв'язаний до знаменника множник (таке ж вираження, але з протилежним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбутися від коренів в знаменнику. Виконаємо цей прийом в нашому випадку:
б) виконаємо аналогічні дії:
4. Приклад на доказ і на виділення повного квадрата в складному радикала
Приклад 5. Доведіть рівність 
.
Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого вираження має дорівнювати подкоренного висловлювання:
. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:
, Отримали вірне рівність.
Доведено.
Приклад 6. Спростити вираз.
Рішення. Зазначене вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). В даному прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат з подкоренного вираження. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твори у формулі квадрата різниці (різниці, т. К. Присутня мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору:, тоді на роль одного з доданків повного квадрата претендує, а на роль другого - 1.
Підставами цей вислів під корінь.
