Відомо, що в математиці ніяк не обійтися без спрощення виразів. Це необхідно для правильного і швидкого вирішення найрізноманітніших завдань, а також різного роду рівнянь. Обговорюване спрощення має на увазі під собою зменшення кількості дій, необхідних для досягнення поставленої мети. В результаті обчислення помітним чином полегшуються, а часом суттєво економиться. Але, як спростити вираз? Для цього використовуються встановлені математичні співвідношення, що їх називають формулами, або ж законами, які дозволяють робити вираження набагато коротше, спрощуючи тим самим розрахунки.

Не секрет, що станом на сьогоднішній день не становить труднощів спростити вираз онлайн. Наведемо посилання на деякі найбільш популярні з них:

Однак обійтися так можна далеко не з кожним виразом. Тому розглянемо докладніше більш традиційні методи.

Винесення спільного дільника

У тому випадку, коли в одному виразі присутні одночлени, що володіють однаковими множниками, можна знаходити при них суму коефіцієнтів, а потім множити на загальний для них множник. Ця операція також зветься "винесення загального дільника". послідовно використовуючи даний метод, Часом можна досить істотно спростити вираз. Алгебра адже взагалі, в цілому, побудована на угрупованню і перегрупування множників і дільників.

Найпростіші формули скороченого множення

Одним із наслідків раніше описаного методу є формули скороченого множення. Як спрощувати вирази з їх допомогою набагато зрозуміліше тим, хто навіть не визубрив ці формули напам'ять, а знає, яким чином вони виводяться, тобто, звідки беруться, а відповідно їх математичну природу. В принципі, попереднє висловлювання зберігає свою силу у всій сучасній математиці, починаючи від першого класу і закінчуючи вищими курсами механіко-математичних факультетів. Різниця квадратів, квадрат різниці і суми, сума і різниця кубів - всі ці формули повсюдно використовуються в елементарній, а також вищої математики в тих випадках, коли для вирішення поставлених завдань необхідно спростити вираз. Приклади таких перетворень можна без зусиль знайти в будь-якому шкільному підручнику з алгебри, або ж, що ще простіше, на просторах всесвітньої мережі.

ступені коріння

Елементарна математика, якщо подивитися на неї в цілому, озброєна не так вже й багатьма способами, за допомогою яких можна спростити вираз. Ступеня і дії з ними, як правило, вдаються більшості учнів порівняно легко. Тільки ось у багатьох сучасних школярів і студентів виникають чималі труднощі, коли необхідно спростити вираз з корінням. І це абсолютно безпідставно. Тому як математична природа коренів нічим не відрізняється від природи тих же ступенів, з якими, як правило, труднощів набагато менше. Відомо що квадратний корінь від числа, змінної або виразу являє собою ніщо інше як те ж число, змінну або вираз в ступеня "одна друга", кубічний корінь - те ж саме в ступені "одна третя" і так далі по відповідності.

Спрощення виразів з дробом

Розглянемо також часто зустрічається приклад того, як спростити вираз з дробами. У тих випадках, коли вислови є натуральні дробу, слід виділяти з знаменника і чисельника загальний множник, а потім скорочувати дріб на нього. Коли ж одночлени мають однакові множителями, зведеними в ступеня, необхідно стежити за їх підсумовуванні за рівністю ступенів.

Спрощення найпростіших тригонометричних виразів

Деяким особняком стоїть розмова про те, як спростити тригонометрическое вираз. Найширший розділ тригонометрії є, мабуть, першим етапом, на якому вивчають математику доведеться зіткнутися з дещо абстрактними поняттями, завданнями і методами їх вирішення. Тут існують свої відповідні формули, першою з яких є основне тригонометричну тотожність. Маючи достатній математичний склад розуму, можна простежити планомірне виведення з цієї тотожності всіх основних тригонометричних тотожностей і формул, серед яких формули різниці і суми аргументів, подвійних, потрійних аргументів, формули приведення та багато інших. Зрозуміло, що забувати тут не варто і найперші методи, на зразок винесення загального множника, які в повній мірі використовуються поряд з новими способами і формулами.

Для підведення підсумків, надамо читачеві кілька порад загального характеру:

• Багаточлени слід розкладати на множники, тобто представляти їх у формі твору деякої кількості співмножників - одночленним і многочленів. Якщо існує така можливість, необхідно виносити за дужки загальний множник.
• Краще все-таки вивчити на пам'ять все без винятку формули скороченого множення. Їх не так вже й багато, але саме вони при цьому є основою при спрощення математичних виразів. Не варто також забувати про спосіб виділення повних квадратів в тричленної, що є зворотною дією до однієї з формул скороченого множення.
• Всі існуючі в вираженні дробу слід скорочувати якомога частіше. При цьому не забувайте, що скорочуються тільки множники. У тому випадку, коли знаменник і чисельник алгебраїчних дробів множиться на одне і те ж саме число, яке відрізняється від нуля, значення дробів не змінюються.
• В цілому всі вирази можна перетворювати по діям, або ж ланцюжком. Перший спосіб більш кращий, тому що результати проміжних дій перевіряються легше.
• Досить часто в математичних виразах доводитися витягувати коріння. Слід пам'ятати, що коріння парних ступенів можуть вилучатись лише з невід'ємного числа або вирази, а коріння непарних ступенів абсолютно з будь-яких виразів або чисел.

Сподіваємося, наша стаття допоможе Вам, в дальнейнего, розбиратися в математичних формулах і навчить застосовувати їх на практиці.

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

перетворення виразів

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: «спростите вираз». Зазвичай при цьому перед нами якийсь страховисько типу цього:

«Та куди вже простіше» - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокатує.

Зараз я навчу тебе не боятися ніяких подібних завдань. Більш того, в кінці заняття ти сам спростити цей приклад до (всього лише!) Звичайного числа (так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами і розкладати многочлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково опановуй теми «» і «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Базові операції спрощення

Зараз розберемо основні прийоми, які використовуються при спрощення виразів.

Найпростіший з них - це

1. Приведення подібних

Що таке подібні? Ти проходив це в 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися літери замість чисел. Подібні - це складові (одночлени) з однаковою буквеної частиною. Наприклад, в сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як же нам скласти один з одним літери? - запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що букви - це якісь предмети. Наприклад, буква - це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільця плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців:.

А тепер спробуй такий вислів:.

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. тоді:

стільця столу стілець столів стільців стільців столів

Числа, на які множаться букви в таких доданків називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночленной коефіцієнт дорівнює. А в он дорівнює.

Отже, правило приведення подібних:

приклади:

Наведіть подібні:

відповіді:

2. (і подібні, так як, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина в спрощенні виразів. Після того як ти привів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто представити у вигляді добутку. Особливо це важливо в дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник і знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Детально способи розкладання виразів на множники ти проходив в темі «», тому тут тобі залишається тільки пригадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів (Потрібно розкласти на множники):

рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частина чисельника і знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся принадність скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто прибрати з дробу.

Це правило випливає з основного властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне і те ж число (або на один і той же вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник і знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику і знаменнику є загальні множники, Їх можна викреслити.

Принцип, я думаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилку при скороченні. Хоч ця тема і проста, але дуже багато роблять все неправильно, не розуміючи, що скоротити - це означає поділити чисельник і знаменник на одне і те ж число.

Ніяких скорочень, якщо в чисельнику або знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так:, що абсолютно невірно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так:.

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: - це множник, значить можна скорочувати.

Але немає: - це множник тільки одного доданка в чисельнику, але сам чисельник в цілому на множники НЕ розкладений.

Ось ще один приклад:.

Цей вислів розкладено на множники, значить, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна і відразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, Як визначити, розкладено чи вираз на множники:

Арифметична дія, яке виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головним». Тобто, якщо ти підставити замість букв якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання чи віднімання, це означає, що вислів не розкладено на множники (а значить, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

відповіді:

1. Сподіваюся, ти не кинувся відразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «скоротити» одиниці типу такого:

Першою дією повинне бути розкладання на множники:

4. Додавання і віднімання дробів. Зведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножаем кожну дріб на бракуючий множник і складаємо / віднімаємо числители. Давай згадаємо:

відповіді:

1. Знаменники і - взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їх добутку. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут загальний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо в неправильні, а далі - за звичною схемою:

Зовсім інша справа, якщо дробу містять букви, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять букв

Тут все те ж, що і з звичайними числовими дробом: знаходимо спільний знаменник, домножаем кожну дріб на бракуючий множник і складаємо / віднімаємо числители:

тепер в чисельнику можна приводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

b) Знаменники містять букви

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без букв:

· В першу чергу ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножаем їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити загальні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо загальні множники:

Тепер випишемо загальні множники по одному разу і допишемо до них все необщие (непідкресленому) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться по точно такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножаем їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножаем їх на всі інші (неподчеркнутие) множники:

Значить, загальний знаменник тут. Першу дріб потрібно помножити на, другу - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад:.

Бачимо в знаменниках одні і ті ж множники, тільки все з різними показниками. В спільний знаменник підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна вичитати (або додавати) одне і те ж число. Тому що це невірно!

Переконайся сам: візьми будь-яку дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника яке-небудь число, наприклад,. Що повчитися?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли приводиш дроби до спільного знаменника, Користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба помножити, щоб отримати?

Ось на і домножай. А домножай на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники будемо називати «елементарними множителями». Наприклад, - це елементарний множник. - теж. А ось - ні: він розкладається на множники.

Що скажеш про вираження? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладанні на множники ти вже читав в темі «»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз з буквами - це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І надходити з ними будемо таким же чином.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде в спільний знаменник в ступеня (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто помножити:

Ще приклад:

Рішення:

Предже, ніж в паніці перемножать ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Відмінно! тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різницю квадратів:

Здавалося б, загальних множників немає. Але якщо придивитися, то і так схожі ... І правда:

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом змінився на протилежний. Візьми на замітку, так поступати доведеться часто.

Тепер приводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного рішення:

відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різниця кубів:

Зверни увагу, що в знаменнику другого дробу не формулою «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав би так:.

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок в ньому - це твір першого і останнього, а не подвійну їх твір. Неповний квадрат суми - це один з множників в розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів аж три штуки?

Так то ж саме! В першу чергу зробимо так, щоб максимальна кількість множників в знаменниках було однаковим:

Зверни увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки в другій скобці, знак перед дробом знову змінюється на протилежний. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

В спільний знаменник випісавием повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі прості множники, які ще не написані, з другого, а потім з третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм ... З дробом-то зрозуміло що робити. Але ось як бути з двійкою?

Все просто: ти ж вмієш додавати дроби? Значить, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб - це операція ділення (чисельник ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться в дріб:

Те що потрібно!

5. Множення і ділення дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, вважаючи значення такого виразу:

Порахував?

Має вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення і ділення. Якщо умножений і поділів одночасно кілька, робити їх можна в будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо додавання і віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз в дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз в кожній з дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну давай подумаємо: всередині дужок написано якесь вираження. А при обчисленні виразу в першу чергу треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім все інше.

Отже, порядок дій для вираження вище такої (червоним виділено поточний дествие, тобто дія, яка виконую прямо зараз):

Добре, це все просто.

Але це ж не те ж саме, що вираз з буквами?

Ні, це те ж саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчні, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, Складання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дію розкладання многочленів на множники (його ми часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати я або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - представити вирази у вигляді твору або приватного.

наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз в дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета - представити її як твір або приватне. Значить, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цей вислів спростити неможливо, все множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це значить?).

2) Отримуємо:

Множення дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і вже тільки потім подивися рішення.

Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів в дужках, вийде замість двох дробів одна. Потім виконаємо ділення дробів. Ну і результат складемо з останньої дробом. Схематично пронумерує дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточний дію червоним:

Наостанок дам тобі два корисних ради:

1. Якщо є подібні, їх треба негайно привести. У якій би момент у нас ні утворилися подібні, їх бажано приводити відразу.

2. Те ж саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дробу, які ти складаєш або вичитаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного рішення:

І обіцяна на самому початку:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б з першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.

Тепер вперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИСЛОВІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• приведення подібних: Щоб скласти (привести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати буквенную частина.
• Розкладання на множники:винесення спільного множника за дужки, застосування і т.д.
• скорочення дробу: Чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на одне і те ж нульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник і знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику і знаменнику є загальні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна тільки множники!

• Додавання і віднімання дробів:
  ;
• Множення і ділення дробів:
  ;

I. Вирази, в яких поряд з буквами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій і дужки, називаються алгебраїчними виразами.

Приклади виразів алгебри:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінної, а саме алгебраїчний вираз - виразом зі змінною.

II. Якщо в алгебраїчному вираженні літери (змінні) замінити їх значеннями і виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням алгебраїчного виразу.

Приклади. Знайти значення виразу:

1) a + 2b -c при a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.

2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Рішення.

1) a + 2b -c при a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. отримаємо:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль негативного числа дорівнює протилежного йому числу, а модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу. отримуємо:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значення букви (змінної), при яких алгебраїчний вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).

Приклади. При яких значеннях змінної вираз не має сенсу?

Рішення. Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому, кожне з даних виразів не матиме сенсу при тому значенні букви (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!

У прикладі 1) це значення а \u003d 0. Дійсно, якщо замість а підставити 0, то потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) не має сенсу при а \u003d 0.

У прикладі 2) знаменник х - 4 \u003d 0 при х \u003d 4, отже, це значення х \u003d 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) не має сенсу при х \u003d 4.

У прикладі 3) знаменник х + 2 \u003d 0 при х \u003d -2. Відповідь: вираз 3) не має сенсу при х \u003d -2.

У прикладі 4) знаменник 5 - | x | \u003d 0 при | x | \u003d 5. А так як | 5 | \u003d 5 і | -5 | \u003d 5, то можна брати х \u003d 5 і х \u003d -5. Відповідь: вираз 4) не має сенсу при х \u003d -5 і при х \u003d 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.

Приклад: 5 (a - b) і 5a - 5b тожественно рівні, так як рівність 5 (a - b) \u003d 5a - 5b буде вірним при будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a - b) \u003d 5a - 5b є тотожність.

тотожність - це рівність, справедливе при всіх допустимих значеннях вхідних в нього змінних. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання і множення, розподільна властивість.

Заміну одного виразу іншим, тотожне рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням вираження. тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.

Приклади.

a) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи розподільна властивість множення:

1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).

Рішення. Згадаймо розподільна властивість (закон) множення:

(A + b) · c \u003d a · c + b · c (Розподільний закон множення відносно додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожний доданок помножити на це число і отримані результати скласти).
(А-b) · c \u003d a · с-b · c (Розподільний закон множення щодо вирахування: щоб різниця двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число зменшуване і від'ємник окремо і з першого результату відняти другий).

1) 10 · (1,2 х + 2,3у) \u003d 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у \u003d 12х + 23У.

2) 1,5 · (a -2b + 4c) \u003d 1,5А -3b + 6c.

3) a · (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.

б) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) складання:

4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Рішення. Застосуємо закони (властивості) складання:

a + b \u003d b + a (Переместітельний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(A + b) + c \u003d a + (b + c) (Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього).

4) х + 4,5 + 2х + 6,5 \u003d (х + 2х) + (4,5 + 6,5) \u003d 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 \u003d 3а + (2,1 + 7,8) \u003d 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с \u003d (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) \u003d 3,1с -5,5.

в) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) множення:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Рішення. Застосуємо закони (властивості) множення:

a · b \u003d b · a (Переместітельний: від перестановки множників добуток не змінюється).
(A · b) · c \u003d a · (b · c) (Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х \u003d -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) \u003d 7у.

9) 3а · (-3) · 2с \u003d -18ас.

Якщо алгебраїчне вираз дано у вигляді сократимостью дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто замінити тотожне рівним йому простішим виразом.

Приклади. Спростіть, використовуючи скорочення дробів.

Рішення. Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на одне і те ж число (вираз), відмінне від нуля. Дріб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на а і дріб 12) скоротимо на 7n. отримуємо:

Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.

Формула - це вираз, записане у вигляді рівності і виражає залежність між двома або кількома змінними. Приклад: відома вам формула шляху s \u003d v · t (S - пройдений шлях, v - швидкість, t - час). Згадайте, які ще формули ви знаєте.

Сторінка 1 з 1 1

Серед різних виразів, які розглядаються в алгебрі, важливе місце займають суми одночленним. Наведемо приклади таких виразів:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (Xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\)

Суму одночленним називають многочленом. Складові в многочлене називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен многочленом, що складається з одного члена.

Наприклад, многочлен
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ cdot (-12) b + 16 \\)
можна спростити.

Уявімо всі складові у вигляді одночленним стандартного виду:
\\ (8b ^ 5 - 2b \\ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \\ cdot (-12) b + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \\)

Наведемо в отриманому многочлене подібні члени:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Вийшов многочлен, всі члени якого є одночленной стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі многочлени називають многочленами стандартного виду.

за ступінь многочлена стандартного виду приймають найбільшу з ступенів його членів. Так, двочлен \\ (12a ^ 2b - 7b \\) має третю ступінь, а тричлен \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - другу.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку убування показників її ступеня. наприклад:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)

Суму кількох многочленів можна перетворити (спростити) в многочлен стандартного вигляду.

Іноді члени многочлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу в дужки. Оскільки висновок в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються в дужки, записуються з тими ж знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються з протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твори одночлена і многочлена

За допомогою розподільного властивості множення можна перетворити (спростити) в многочлен твір одночлена і многочлена. наприклад:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \\ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \\ cdot (-4b ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\)

Твір одночлена і многочлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена і кожного з членів многочлена.

Цей результат зазвичай формулюють у вигляді правила.

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен на кожен з членів многочлена.

Ми вже неодноразово використовували це правило для множення на суму.

Твір многочленів. Перетворення (спрощення) твори двох многочленів

Взагалі, твір двох многочленів тотожно дорівнює сумі творі кожного члена одного многочлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються таким правилом.

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці і різницю квадратів

З деякими виразами в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найбільш часто зустрічаються вирази \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) і \\ (a ^ 2 - b ^ 2 \\), т. Е. Квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, так, наприклад, \\ ((a + b) ^ 2 \\) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так вже й часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\) неважко перетворити (спростити) в многочлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні многочленів:
\\ ((A + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d A ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \\)

Отримані тотожності корисно запам'ятати і застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\\ ((A + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \\) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів і подвоєного твори.

\\ ((A - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \\) - квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного твори.

\\ (A ^ 2 - b ^ 2 \u003d (a - b) (a + b) \\) - різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють в перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази і зрозуміти, чим в них замінені змінні а і b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.

За допомогою будь-якої мови можна виразити одну і ту ж інформацію різними словами і оборотами. Не є винятком і математичну мову. Але один і той же вираз можна еквівалентним чином записати по-різному. І в деяких ситуаціях один із записів є більш простий. Про спрощення виразів ми і поговоримо на цьому уроці.

Люди спілкуються на різних мовах. Для нас важливим порівнянням є пара «російську мову - математичний мову». Одну і ту ж інформацію можна повідомити на різних мовах. Але, крім цього, її можна і на одній мові вимовити по-різному.

Наприклад: «Петя дружить з Васею», «Вася дружить з Петром», «Петя з Васею друзі». Сказано по-різному, але одне і те ж. За будь-якої з цих фраз ми б зрозуміли, про що йде мова.

Давайте подивимося на таку фразу: «Хлопчик Петя і хлопчик Вася дружать». Ми зрозуміли, про що йдеться. Проте, нам не подобається, як звучить ця фраза. Чи не можемо ми її спростити, сказати те ж, але простіше? «Хлопчик і хлопчик» - можна ж один раз сказати: «Хлопчики Петя і Вася дружать».

«Хлопчики» ... Хіба по іменах не зрозуміло, що вони не дівчинки. Прибираємо «хлопчики»: «Петя і Вася дружать». А слово «дружать» можна замінити на «друзі»: «Петя і Вася - друзі». У підсумку першу, довгу некрасиву фразу замінили еквівалентним висловлюванням, яке простіше сказати і простіше зрозуміти. Ми цю фразу спростили. Упростіть- значить сказати простіше, але не втратити, не спотворити зміст.

В математичній мові відбувається приблизно те ж саме. Одне і те ж можна сказати, записати по-різному. Що значить спростити вираз? Це означає, що для вихідного вираження існує безліч еквівалентних виразів, тобто тих, що означають одне і те ж. І з усього цього безлічі ми повинні вибрати найпростіше, на наш погляд, або дуже вдалий для наших подальших цілей.

Наприклад, розглянемо числовий вираз. Йому еквівалентну буде.

Також буде еквівалентно перших двох: .

Виходить, що ми спростили наші вирази і знайшли найкоротше еквівалентну вираз.

Для числових виразів завжди потрібно виконувати всі дії і отримувати еквівалентну вираження у вигляді одного числа.

Розглянемо приклад буквених виразів . Очевидно, що більш просте буде.

При спрощення буквених виразів необхідно виконати всі дії, які можливі.

Чи завжди потрібно спрощувати вираз? Ні, іноді нам зручніше буде еквівалентна, але довша запис.

приклад: Від числа потрібно відняти число.

Обчислити можна, але якщо б перше число було представлено своєї еквівалентної записом:, то обчислення були б миттєвими:.

Тобто спрощене вираз не завжди нам вигідно для подальших обчислень.

Проте дуже часто ми стикаємося із завданням, яке так і звучить «спростити вираз».

Спростити вираз:.

Рішення

1) Виконаємо дії в перших і в других дужках:.

2) Обчислимо твори: .

Очевидно, останній вираз має більш простий вигляд, ніж початкова. Ми його спростили.

Для того щоб спростити вираз, його необхідно замінити на еквівалентну (рівне).

Для визначення еквівалентного вирази необхідно:

1) виконати всі можливі дії,

2) користуватися властивостями додавання, віднімання, множення і ділення для спрощення обчислень.

Властивості додавання і віднімання:

1. переместительности властивість складання: від перестановки доданків сума не змінюється.

2. сполучна властивості додавання: щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього числа.

3. Властивість вирахування суми з числа: щоб відняти суму з числа, можна вичитати кожне доданок окремо.

Властивості множення і ділення

1. переместительности властивість множення: від перестановки множників добуток не змінюється.

2. сполучна властивості: щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

3. Розподільна властивість множення: щоб число помножити на суму, потрібно його помножити на кожний доданок окремо.

Подивимося, як ми насправді робимо обчислення в розумі.

Обчисліть:

Рішення

1) Уявімо як

2) Уявімо перший множник як суму розрядних доданків і виконаємо множення:

3) можна представити як і виконати множення:

4) Замінимо перший множник еквівалентною сумою:

Розподільчий закон можна використовувати і в зворотний бік:.

Виконайте дії:

1) 2)

Рішення

1) Для зручності можна скористатися розподільним законом, тільки використовувати його у зворотний бік - винести загальний множник за дужки.

2) Винесемо за дужки загальний множник

Необхідно купити лінолеум в кухню і передпокій. Площа кухні -, передпокої -. Є три види лінолеуму: по, і рублів за. Скільки буде коштувати кожен з трьох видів лінолеуму? (Рис. 1)

Мал. 1. Ілюстрація до умові завдання

Рішення

Спосіб 1. Можна окремо визначити, скільки грошей потрібно на покупку лінолеуму в кухню, а потім в передпокій і отримані твори скласти.