Як знайти середню величину. Цікава математика
Ознаки одиниць статистичних сукупностей різні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії будь-якого підприємства не однакова за один і той же період часу, різні ціни на ринку на однакову продукцію, врожайність сільськогосподарських культур в господарствах району і т.д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї досліджуваної сукупності одиниць, розраховують середні величини.
Середня величина –
це узагальнююча характеристика безлічі індивідуальних значень деякого кількісної ознаки.
Сукупність, яка вивчалася за кількісною ознакою, складається з індивідуальних значень; на них впливають, як загальні причини, так і індивідуальні умови. В середньому значенні відхилення, характерні для індивідуальних значень, погашаються. Середня, будучи функцією безлічі індивідуальних значень, представляє одним значенням всю сукупність і відображає те спільне, що притаманне всім її одиницям.
Середня, що розраховується для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць, називається типової середньої. Наприклад, можна розрахувати середньомісячну заробітну плату працівника тієї чи іншої професійної групи (шахтаря, лікаря бібліотекаря). Зрозуміло, рівні місячної заробітної плати шахтарів в силу відмінності їх кваліфікації, стажу роботи, відпрацьованого за місяць часу і багатьох інших факторів відрізняються один від одного, так і від рівня середньої заробітної плати. Однак в середньому рівні відображені основні фактори, які впливають на рівень заробітної плати, і взаємно погашаються розходження, які виникають внаслідок індивідуальних особливостей працівника. Середня заробітна плата відображає типовий рівень оплати праці для даного виду працівників. Отриманню типової середньої повинен передувати аналіз того, наскільки дана сукупність якісно однорідна. Якщо сукупність складається їх окремих частин, слід розбити її на типові групи (середня температура по лікарні).
Середні величини, що використовуються в якості характеристик для неоднорідних сукупностей, називаються системними середніми. Наприклад, середня величина валового внутрішнього продукту (ВВП) на душу населення, середня величина споживання різних груп товарів на людину та інші подібні величини, що представляють узагальнюючі характеристики держави як єдиної економічної системи.
Середня повинна обчислюватися для сукупностей, що складаються з досить великого числа одиниць. Дотримання цієї умови необхідно для того, щоб увійшов в силу закон великих чисел, в результаті дії якого випадкові відхилення індивідуальних величин від загальної тенденції взаємно погашаються.
Види середніх і способи їх обчислення
Вибір виду середньої визначається економічним змістом певного показника і вихідних даних. Однак будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожної варіанти осредняемого ознаки не змінився підсумковий, узагальнюючий, або, як його прийнято називати, визначальний показник, Який пов'язаний з осередненою показником. Наприклад, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою швидкістюне повинно призвести до зміни загального відстань, пройдену транспортним засобомза одне і теж час; при заміні фактичних заробітних плат окремих працівників підприємства середньою заробітною платою не повинен змінитися фонд заробітної плати. Отже, в кожному конкретному випадку залежно від характеру наявних даних, існує тільки одне істинне середнє значення показника, адекватне властивостям і сутності досліджуваного соціально-економічного явища.
Найбільш часто застосовуються середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична і середня кубічна.
Перераховані середні відносяться до класу статечнихсередніх і об'єднуються загальною формулою:
,
де - середнє значення досліджуваної ознаки;
m - показник ступеня середньої;
- поточне значення (варіанти) осредняемого ознаки;
n - число ознак.
Залежно від значення показника ступеня m розрізняють такі види статечних середніх:
при m = -1 - середня гармонійна;
при m = 0 - середня геометрична;
при m = 1 - середня арифметична;
при m = 2 - середня квадратична;
при m = 3 - середня кубічна.
При використанні одних і тих самих вихідних даних, чим більше показник ступеня m в вищенаведеної формулі, тим більше значення середньої величини:
.
Це властивість статечних середніх зростати з підвищенням показника ступеня визначальною функції називається правилом мажорантності середніх.
Кожна із зазначених середніх може набувати дві форми: простуі зважену.
Проста форма середньоїзастосовується, коли середня обчислюється за первинними (не GROUP) даними. зважена форма- при розрахунку середньої по вторинним (згрупованих) даними.
Середня арифметична
Середня арифметична застосовується, коли обсяг сукупності є сумою всіх індивідуальних значень варьирующего ознаки. Слід зазначити, що якщо вид середньої величини не вказується, мається на увазі середня арифметична. Її логічна формула має вигляд: 
Середня арифметична простарозраховується по несгруппірованних даними
за формулою: 
або,
де - окремі значення ознаки;
j - порядковий номер одиниці спостереження, яка характеризується значенням;
N - число одиниць спостереження (обсяг сукупності).
Приклад.У лекції «Зведення і групування статистичних даних» розглядалися результати спостереження стажу роботи бригади з 10 чоловік. Розрахуємо середній стаж роботи робочих бригади. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
За формулою середньої арифметичноїпростий обчислюються також середні в хронологічному ряду, Якщо інтервали часу, протягом якого представлені значення ознаки, рівні.
Приклад.Обсяг реалізованої продукції за перший квартал склав 47 ден. од., за другий 54, за третій 65 і за четвертий 58 ден. од. Середньоквартальний оборот становить (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 ден. од.
Якщо в хронологічному ряду наведені моментні показники, то при обчисленні середньої вони замінюються напівсумі значень на початок і кінець періоду.
Якщо моментів більше двох і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної
,
де n- число моментів часу
У разі, коли дані згруповані за значеннями ознаки
(Т. Е. Споруджено дискретний варіаційний ряд розподілу) з редняя арифметична зваженарозраховується з використання або частот, або частостей спостереження конкретних значень ознаки, число яких (k) значно менше числаспостережень (N).
,
,
де k - кількість груп варіаційного ряду,
i - номер групи варіаційного ряду.
Оскільки, а, отримуємо формули, що використовуються для практичних розрахунків:
і
Приклад.Розрахуємо середній стаж робітників бригад по згрупованому ряду.
а) з використанням частот:
б) з використанням частостей:
У разі, коли дані згруповані по інтервалах
, Тобто представлені у вигляді інтервальних рядів розподілу, при розрахунку середньої арифметичної в якості значення ознаки приймають середину інтервалу, виходячи з припущення про рівномірний розподіл одиниць сукупності на даному інтервалі. Розрахунок ведеться за формулами:
і
де - середина інтервалу:,
де і - нижня і верхня межі інтервалів (за умови, що верхня межа даного інтервалу збігається з нижньою межею наступного інтервалу).
Приклад.Розрахуємо середню арифметичну інтервального варіаційного ряду, побудованого за результатами дослідження річної заробітної плати 30 робочих (див. Лекцію «Зведення і групування статистичних даних»).
Таблиця 1 - Інтервальний варіаційний ряд розподілу.
Інтервали, грн. |
Частота, чол. |
частість, |
Середина інтервалу, |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
грн. або 
грн.
Середні арифметичні, обчислені на основі вихідних даних і інтервальних варіаційних рядів, можуть не збігатися з-за нерівномірності розподілу значень ознаки всередині інтервалів. В цьому випадку для більш точного обчислення середньої арифметичної зваженої слід використовувати не середини інтервалів, а середні арифметичні прості, розраховані для кожної групи ( групові середні). Середня, обчислена за груповим середнім з використанням зваженої формули розрахунку, називається загальної середньої.
Середня арифметична має ряд властивостей.
1. Сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю:
.
2. Якщо всі значення варіант збільшуються або зменшуються на величину А, то і середня величина збільшується або зменшується на ту ж величину А: 
3. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в В раз, то середня величина також збільшиться або зменшаться в той же кількість разів:
або 
4. Сума творів варіант на частоти дорівнює добутку середньої величини на суму частот: 
5. Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то середня арифметична не зміниться: 
6) якщо у всіх інтервалах частоти дорівнюють один одному, то середня арифметична зважена дорівнює простий середньої арифметичній: 
,
де k - кількість груп варіаційного ряду.
Використання властивостей середньої дозволяє спростити її обчислення.
Припустимо, що всі варіанти (х) спочатку зменшені на одне і те ж число А, а потім зменшені в В раз. Найбільше спрощення досягається, коли в якості А вибирається значення середини інтервалу, що володіє найбільшою частотою, а в якості В - величина інтервалу (для рядів з однаковими інтервалами). Величина А називається початком відліку, тому цей метод обчислення середньої називається способ ом відліку від умовного нуляабо способом моментів.
Після такого перетворення отримаємо новий варіаційний ряд розподілу, варіанти якого рівні. Їх середня арифметична, яка називається моментом першого порядку,
виражаетсяформулой і згідно другого і третього властивостей середньої арифметичної дорівнює середній з початкових варіант, зменшеною спочатку на А, а потім в В раз, т. е..
Для отримання дійсної середньої(Середньої початкового ряду) потрібно момент першого порядку помножити на В і додати А: 
Розрахунок середньої арифметичної за способом моментів ілюструється даними табл. 2.
Таблиця 2 - Розподіл працівників цеху підприємства за стажем роботи
Стаж працівників, років |
Кількість працівників |
середина інтервалу |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Знаходимо момент першого порядку 
. Потім, знаючи, що А = 17,5, а В = 5, обчислюємо середній стаж роботи працівників цеху:
років
Середня гармонійна
Як було показано вище, середня арифметична застосовується для розрахунку середнього значення ознаки в тих випадках, коли відомі його варіанти x і їх частоти f.
Якщо статистична інформація не містить частот f за окремими варіантами x сукупності, а представлена як їх твір, застосовується формула середньої гармонійної зваженої. Щоб обчислити середню, позначимо, звідки. Підставивши ці вирази в формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої: 
,
де - обсяг (вага) значень ознаки показника в інтервалі з номером i (i = 1,2, ..., k).
Таким чином, середня гармонійна застосовується в тих випадках, коли підсумовування підлягають не самі варіанти, а зворотні їм величини: 
.
У тих випадках, коли вага кожної варіанти дорівнює одиниці, тобто індивідуальні значення зворотного ознаки зустрічаються по одному разу, застосовується середня гармонійна проста:
,
де - окремі варіанти зворотного ознаки, що зустрічаються по одному разу;
N - число варіант.
Якщо по двох частинах сукупності чисельністю і є середні гармонійні, то загальна середня по всій сукупності розраховується за формулою: 
і називається зваженої гармонійної середньої з групових середніх.
Приклад.В ході торгів на валютній біржі за першу годину роботи укладені три угоди. Дані про суму продажу гривні та курс гривні по відношенню до долара США приведені в табл. 3 (графи 2 і 3). Визначити середній курс гривні по відношенню до долара США за першу годину торгів.
Таблиця 3 - Дані про хід торгів на валютній біржі
Середній курс долара визначається відношенням суми проданих в ході всіх угод гривень до суми придбаних в результаті цих же угод доларів. Підсумкова сума продажу гривні відома з графи 2 таблиці, а кількість куплених в кожній угоді доларів визначається діленням суми продажу гривні до її курсу (графа 4). Всього в ході трьох угод куплено 22 млн. Дол. Значить, середній курс гривні за один долар склав 
.
Отримане значення є реальним, тому що заміна їм фактичних курсів гривні в угодах не змінить підсумкової суми продажів гривні, яка виступає в якості визначального показника: Млн. Грн.
Якби для розрахунку була використана середня арифметична, тобто 
гривні, то за обмінним курсом на покупку 22 млн. дол. потрібно було б витратити 110,66 млн. грн., що не відповідає дійсності.
Середня геометрична
Середня геометрична використовується для аналізу динаміки явищ і дозволяє визначити середній коефіцієнт зростання. При розрахунку середньої геометричної індивідуальні значення ознаки являють собою відносні показники динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як ставлення кожного рівня до попереднього.
Середня геометрична проста розраховується за формулою: 
,
де - знак твори,
N - число осередненою величин.
Приклад.Кількість зареєстрованих злочинів за 4 роки зросла в 1,57 рази, в т. Ч. За 1-й - в 1,08 рази, за 2-й - в 1,1 рази, за 3-й - в 1,18 і за 4-й - в 1,12 рази. Тоді середньорічний темп зростання кількості злочинів становить:, тобто число зареєстрованих злочинів щорічно зростала в середньому на 12%.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Для розрахунку середньої квадратичної зваженої визначаємо і заносимо в таблицю і. Тоді середня величина відхилень довжини виробів від заданої норми дорівнює: 
Середня арифметична в даному випадку була б придатна, тому що в результаті ми отримали б нульове відхилення.
Застосування середньоквадратичне буде розглянуто далі в показниках варіації.
Найбільш поширеною формою статистичних показників, використовуваних в соціально-економічних дослідженнях, є середня величина, яка представляє собою узагальнену кількісну характеристику ознаки статистичної сукупності. Середні величини є як би «представниками» всього ряду спостережень. Визначити середню можна в багатьох випадках через вихідне співвідношення середньої (ІСС) або її логічну формулу:. Так, наприклад, для розрахунку середньої заробітної плати працівників підприємства необхідно загальний фонд заробітної плати розділити на число працівників: Чисельник вихідного співвідношення середньої є її визначальний показник. Для середньої заробітної плати таким визначальним показником є фонд заробітної плати. Для кожного показника, використовуваного в соціально-економічному аналізі, можна скласти тільки одне істинне вихідне співвідношення для розрахунку середньої. Слід ще додати, що для того, щоб більш точно оцінити стандартне відхилення для малих вибірок (з числом елементів менше 30), в знаменнику вираження під коренем треба використовувати не n, а n- 1.
Поняття і види середніх величин
Середня величина- це узагальнюючий показник статистичної сукупності, який погашає індивідуальні відмінності значень статистичних величин, дозволяючи порівнювати різні сукупності між собою. існує 2 класусередніх величин: статечні і структурні. До структурних середнім відносяться мода і медіана , Але найбільш часто застосовуються статечні середнірізних видів.Статечні середні величини
Статечні середні можуть бути простимиі зваженими.
Проста середня величина розраховується при наявності двох і більше несгруппірованних статистичних величин, розташованих в довільному порядку за такою загальній формулісередньої статечної (при різній величині k (m)):
Зважена середня величина розраховується за згрупованими статистичними величинам з використанням наступної загальної формули:
де x - середня величина досліджуваного явища; x i - i -й варіант усредняемого ознаки;
f i - вага i-го варіанта.
Де X - значення окремих статистичних величин або середин группіровочних інтервалів;
m - показник ступеня, від значення якого залежать такі види статечних середніх величин:
при m = -1 середня гармонійна;
при m = 0 середня геометрична;
при m = 1 середня арифметична;
при m = 2 середня квадратична;
при m = 3 середня кубічна.
Використовуючи загальні формули простий і зваженою середніх при різних показниках ступеня m, отримуємо приватні формули кожного виду, які будуть далі докладно розглянуті.
Середня арифметична
Середня арифметична - початковий момент першого порядку, математичне очікування значень випадкової величини при великому числі випробувань;
Середня арифметична - це сама часто використовувана середня величина, яка виходить, якщо підставити в загальну формулу m = 1. Середня арифметична простамає наступний вигляд:
або 
Де X - значення величин, для яких необхідно розрахувати середнє значення; N - загальна кількість значень X (число одиниць у досліджуваній сукупності).
Наприклад, студент здав 4 іспити і отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 і 5. Розрахуємо середній балза формулою середньої арифметичної простої: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 = 16/4 = 4.Середня арифметична зваженамає наступний вигляд:
Де f - кількість величин з однаковим значенням X (частота). > Наприклад, студент здав 4 іспити і отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 і 5. Розрахуємо середній бал по формулі середньої арифметичної зваженої: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 = 16/4 = 4 .Якщо значення X задані у вигляді інтервалів, то для розрахунків використовують середини інтервалів X, які визначаються як полусумма верхньої і нижньої меж інтервалу. А якщо у інтервалу X відсутня нижня або верхня межа (відкритий інтервал), то для її знаходження застосовують розмах (різницю між верхньою і нижньою межею) сусіднього інтервалу X. Наприклад, на підприємстві 10 працівників зі стажем роботи до 3 років, 20 - зі стажем від 3 до 5 років, 5 працівників - зі стажем більше 5 років. Тоді розрахуємо середній стаж працівників за формулою середньої арифметичної зваженої, прийнявши в якості X середини інтервалів стажу (2, 4 і 6 років): (2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) = 3,71 року.
функція СРЗНАЧ
Ця функція обчислює середнє (арифметичне) своїх аргументів.
СРЗНАЧ (число1; число2; ...)
Число1, число2, ... - це від 1 до 30 аргументів, для яких обчислюється середнє.
Аргументи повинні бути числами або іменами, масивами або посиланнями, що містять числа. Якщо аргумент, який є масивом або посиланням, містить тексти, логічні значення або порожні клітинки, то такі значення ігноруються; однак, осередки, які містять нульові значення, враховуються.
функція СРЗНАЧ
обчислює середнє арифметичне значень, Заданих в списку аргументів. Крім чисел в розрахунку можуть брати участь текст і логічні значення, такі як ІСТИНА і НЕПРАВДА.
СРЗНАЧ (значення1, значення2, ...)
Значення1, значення2, ... - це від 1 до 30 осередків, інтервалів комірок або значень, для яких обчислюється середнє.
Аргументи повинні бути числами, іменами, масивами або посиланнями. Масиви і посилання, що містять текст, інтерпретуються як 0 (нуль). Порожній текст ( "") інтерпретується як 0 (нуль). Аргументи, що містять значення ІСТИНА, інтерпретуються як 1, аргументи, які містять значення БРЕХНЯ, інтерпретуються як 0 (нуль).
Середня арифметична застосовується найчастіше, але бувають випадки, коли необхідне застосування інших видів середніх величин. Розглянемо такі випадки далі.
Середня гармонійна
Середня гармонійна для визначення середньої суми зворотних величин;
Середня гармонійназастосовується, коли вихідні дані не містять частот f по окремим значенням X, а представлені як їх твір Xf. Позначивши Xf = w, висловимо f = w / X, і, підставивши ці позначення в формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої:
Таким чином, середня гармонійна зважена застосовується тоді, коли невідомі частоти f, а відомо w = Xf. У тих випадках, коли всі w = 1, тобто індивідуальні значення X зустрічаються по 1 разу, застосовується формула середньої гармонійної простої: 
або 
Наприклад, автомобіль їхав з пункту А в пункт Б зі швидкістю 90 км / год, а назад - зі швидкістю 110 км / год. Для визначення середньої швидкості застосуємо формулу середньої гармонійної простої, так як в прикладі дано відстань w 1 = w 2 (відстань з пункту А в пункт Б таке, же як і з Б в А), яке дорівнює добутку швидкості (X) на час ( f). Середня швидкість = (1 + 1) / (1/90 + 1/110) = 99 км / год.
функція СРГАРМ
Повертає середнє гармонійне безлічі даних. Середнє гармонійне - це величина, зворотна до середнього арифметичного зворотних величин.
СРГАРМ (число1; число2; ...)
Число1, число2, ... - це від 1 до 30 аргументів, для яких обчислюється середнє. Можна використовувати масив або посилання на масив замість аргументів, що розділяються крапкою з комою.
Середнє гармонійне завжди менше середнього геометричного, яке завжди менше середнього арифметичного.
Середня геометрична
Середня геометрична для оцінки середніх темпів зростання випадкової величин, знаходження значення ознаки, рівновіддаленого від мінімального і максимального значення;
Середня геометричназастосовується при визначенні середніх відносних змін. Геометрична середня величина дає найбільш точний результатосреднения, якщо завдання стоїть в знаходженні такого значення X, який був би рівновіддалений як від максимального, так і від мінімального значення X. Наприклад, в період з 2005 по 2008 рокиіндекс інфляції в Росії становив: у 2005 році - 1,109; в 2006 - 1,090; в 2007 - 1,119; в 2008 - 1,133. Так як індекс інфляції - це відносна зміна (індекс динаміки), то розраховувати середнє значення потрібно по середньої геометричної: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, тобто за період з 2005 по 2008 щорічно ціни росли в середньому на 11,26%. Помилковий розрахунок за середньою арифметичною дав би невірний результат 11,28%.функція СРГЕОМ
Повертає середнє геометричне значень масиву або інтервалу позитивних чисел. Наприклад, функцію СРГЕОМ можна використовувати для обчислення середніх темпів росту, якщо заданий складовою дохід зі змінними ставками.
СРГЕОМ (число1; число2; ...)
Число1, число2, ... - це від 1 до 30 аргументів, для яких обчислюється середнє геометричне. Можна використовувати масив або посилання на масив замість аргументів, що розділяються крапкою з комою.
Середня квадратична
Середня квадратична - початковий момент другого порядку.
Середня квадратичназастосовується в тих випадку, коли вихідні значення X можуть бути як позитивними, так і негативними, наприклад при розрахунку середніх відхилень.
Головною сферою застосування квадратической середньої є вимір варіації значень X. Середня кубічна
Середня кубічна - початковий момент третього порядку.
Середня кубічназастосовується вкрай рідко, наприклад, при розрахунку індексів бідності населення для країн, що розвиваються (ІПН-1) і для розвинених (ІПН-2), запропонованих і розраховуються ООН.
Починаючи міркувати про середні величини, найчастіше згадують, як закінчували школу і надходили в навчальний заклад. Тоді за атестатом розраховувався середній бал: всі оцінки (і хороші, і не дуже) складали, отриману суму ділили на їх кількість. Так обчислюється найпростіший вид середньої, яка називається середня арифметична проста. На практиці в статистиці застосовуються різні види середніх величин: арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, структурні середні. Той чи інший їх вид використовується в залежності від характеру даних і цілей дослідження.
Середня величинає найбільш поширеним статистичним показником, за допомогою якого дається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ по одному з варіюють ознак. Вона показує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. За допомогою середніх величин проводиться порівняння різних сукупностей по варьирующим ознаками, вивчаються закономірності розвитку явищ і процесів суспільного життя.
У статистиці застосовуються два класи середніх: статечні (аналітичні) і структурні. Останні використовуються для характеристики структури варіаційного ряду і будуть розглянуті далі в гл. 8.
До групи статечних середніх відносять середню арифметичну, гармонійну, геометричну, квадратическую. Індивідуальні формули для їх обчислення можна привести до виду, спільного для всіх статечних середніх, а саме
де m - показник статечної середньої: при m = 1 отримуємо формулу для обчислення середньої арифметичної, при m = 0 - середньої геометричної, m = -1 - середньої гармонійної, при m = 2 - середньоквадратичне;
x i - варіанти (значення, які приймає ознака);
f i - частоти.
Головною умовою, при якому можна використовувати статечні середні в статистичному аналізі, є однорідність сукупності, яка не повинна містити вихідних даних, що різко розрізняються за своїм кількісним значенням (в літературі вони звуться аномальних спостережень).
Продемонструємо важливість цієї умови на наступному прикладі.
Приклад 6.1. Обчислимо середню заробітну плату співробітників малого підприємства.
| № п / п | Заробітна плата, руб. | № п / п | Заробітна плата, руб. |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
Для розрахунку середнього розміру заробітної плати необхідно підсумувати заробітну плату, нараховану всім працівникам підприємства (тобто знайти фонд заробітної плати), і розділити на число працюючих:
А тепер додамо в нашу сукупність всього лише одну людину (директора цього підприємства), але з окладом в 50 000 руб. В такому випадку обчислюється середня буде зовсім інша:
Як бачимо, вона перевищує 7000 руб., Тощо вона більше всіх значень ознаки за винятком одного-єдиного спостереження.
Для того щоб таких випадків не траплялося на практиці, і середня не втрачала б свого сенсу (в прикладі 6.1 вона вже не виконує роль узагальнюючої характеристики сукупності, якою повинна бути), при розрахунку середньої слід аномальні, що різко виділяються спостереження або виключити з аналізу і тим самим зробити сукупність однорідної, або розбити сукупність на однорідні групи і обчислити середні значення по кожній групі і аналізувати загальну середню, а групові середні значення.
6.1. Середня арифметична і її властивості
Середня арифметична обчислюється або як проста, або як зважена величина.
При розрахунку середньої заробітної плати за даними таблиці прикладу 6.1 ми склали всі значення ознаки і поділили на їх кількість. Хід наших обчислень запишемо у вигляді формули середньої арифметичної простої
де х i - варіанти (окремі значення ознаки);
п - число одиниць в сукупності.
Приклад 6.2. Тепер згрупуємо наші дані з таблиці прикладу 6.1, т.д. побудуємо дискретний варіаційний ряд розподілу працюючих за рівнем заробітної плати. Результати угруповання представлені в таблиці.
Запишемо вираз для обчислення середнього рівня заробітної плати в більш компактній формі:
У прикладі 6.2 була застосована формула середньої арифметичної зваженої
де f i - частоти, що показують, скільки раз зустрічається значення ознаки х i y одиниць сукупності.
Розрахунок середньої арифметичної зваженої зручно проводити в таблиці, як це показано нижче (табл. 6.3):
| Початкові дані | розрахунковий показник | |
| заробітна плата, руб. | чисельність працюючих, чол. | фонд заробітної плати, руб. |
| x i | f i | x i f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| Разом | 20 | 132 080 |
Слід зазначити, що середня арифметична проста використовується в тих випадках, коли дані не згруповані або згруповані, але все частоти рівні між собою.
Часто результати спостереження представляють у вигляді інтервального ряду розподілу (див. Таблицю в прикладі 6.4). Тоді при розрахунку середньої як x i беруть середини інтервалів. Якщо перший і останній інтервали відкриті (не мають однієї з меж), то їх умовно "закривають", приймаючи за величини даного інтервалу величину примикає інтервалу, тощо перший закривають виходячи з величини другого, а останній - за величиною передостаннього.
Приклад 6.3. За результатами вибіркового обстеження однієї з груп населення розрахуємо розмір середньодушового грошового доходу.
У наведеній таблиці середина першого інтервалу дорівнює 500. Дійсно, величина другого інтервалу - 1000 (2000-1000); тоді Нижня границяпершого дорівнює 0 (1000-1000), а його середина - 500. Аналогічно робимо з останнім інтервалом. За його середину приймаємо 25 000: величина передостаннього інтервалу 10 000 (20 000-10 000), тоді його верхня межа - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, відповідно, - 25 000.
| Середньодушовий грошовий дохід, руб. в місяць | Чисельність населення від виробленого,% f i | Середини інтервалів x i | x i f i |
|---|---|---|---|
| До 1 000 | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| 20 000 і вище | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| Разом | 100,0 | - | 892 850 |
Тоді середньодушовий розмір місячного доходу складе
Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.
Середня арифметична проста
Проста середньоарифметична величина являє собою середнє доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки в даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції в однаковій мірі розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за формулою:
приклад 1 . Бригада з 6 робочих отримує в місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тис.руб.Проста середня арифметична- Равна відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак в сукупності
Знайти середню заробітну плату
Рішення: (3 + 3,2 + 3,3 + 3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тис. Руб.
Середня арифметична зважена
Якщо обсяг сукупності даних великий і являє собою ряд розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) ділять на сумарну кількість продукції.
Уявімо це у вигляді такої формули:
приклад 2 . Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяцьЗважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак) Використовуються, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакове кількість разів.
Середня заробітна плата може бути отримана шляхом ділення загальної суми заробітної плати на загальну кількість робочих:
Відповідь: 3,35 тис.руб.
Середня арифметична для інтервального ряду
При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як полусумму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.
Середні, обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.
приклад 3. Визначити середній вік студентів вечірнього відділення.
Середні, обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.
При розрахунку середніх як ваги можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частость):
Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:
1. Твір середньої на суму частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто
2.Средняя арифметична сумиваріюють величин дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:
3.Алгебраіческая сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:
4.Сумма квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто
У статистиці використовують різні види середніх величин, які діляться на два великі класи:
Статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадра-тичні, середня кубічна);
Структурні середні (мода, медіана).
для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому їх називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.
Найпоширеніший вид середньої величини - середня арифметична. під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала б кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення даної величини зводиться до підсумовування всіх значень варьирующего ознаки і поділу отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення на виготовлення деталей, при цьому перший виготовив 5 деталей, другий - 7, третій - 4, четвертий - 10, п'ятий-12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося тільки один раз, для визна
лення середньої вироблення одного робочого слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:
т. е. в нашому прикладі середній виробіток одного робітника дорівнює
Поряд з простої середньої арифметичної вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів в групі з 20 чоловік, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти осредняемого ознаки, fi- частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення в сукупності (табл. 5.1).
Таблиця 5.1
Середній вік студентів
Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:
Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба обчислити
середню величину, І при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як твір цих показників, то середня величина повинна вираховувати-ся за формулою середньої арифметичної зваженої.
У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може служити тільки інший вид середньої величини - середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним впровадженням електронно-обчислювальної техніки. велике практичне значенняпридбала середня гармонійна величина, яка теж буває простий і зваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватна розподіл одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої гармонійної зваженої.
Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км / год, а решта 150 км зі швидкістю 75 км / ч. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху в 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Так як варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км / год і Х2= 75 км / год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків шляху на відповідні швидкості (варіанти xi), т. Е. Витрати часу на проходження окремих ділянок шляху (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, то весь шлях висловитися як? Fi, а час, витрачений на весь шлях, - як? fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як частка від ділення всього шляху на загальні витрати часу:
У нашому прикладі отримаємо:
Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, то замість зваженої можна використовувати просту (незважену) середню гармонійну:
де xi - окремі варіанти; n- число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби були рівні відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.
Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта осредняемого ознаки не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з осередненою показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їх середньою величиною (середньою швидкістю) не повинно призвести до зміни загального відстань.
Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з осередненою, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для виведення формули середньої потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок осредняемого показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів осредняемого ознаки (показника) їх середньою величиною.
Крім середньої арифметичної і середньої гармонійної в статистиці використовуються і інші види (форми) середньої величини. Всі вони є окремими випадками статечної середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для одних і тих же даних, то значення
їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найбільш часто застосовуються в практичних дослідженнях формули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені в табл. 5.2.
Таблиця 5.2
Види статечних середніх
Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів росту, при цьому індивідуальні значення ознаки являють собою, як правило, відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня ряду динаміки. Середня характеризує, таким чином, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою
Формула середньої геометричної зваженоїмає наступний вигляд:
Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах або темпах зростання, а друга - при абсолютних значеннях рівнів ряду.
Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу і обчислюється за формулою
Середня квадратична зваженарозраховується за іншою формулою:
Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій і обчислюється за формулою
середня кубічна зважена:
Всі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:
де - середня величина; - індивідуальне значення; n- число одиниць досліджуваної сукупності; k- показник ступеня, що визначає вид середньої.
При використанні одних і тих самих вихідних даних, чим більше kв загальній формулі статечної середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:
Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про досліджуваної сукупності і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається ні з одним з реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх в статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають в упорядкованому (ранжируваному) ряду значень ознаки цілком певне положення. Серед таких величин найбільш вживаними є структурні,або описові, середні- мода (Мо) і медіана (Ме).
Мода- величина ознаки, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. Стосовно до вариационному ряду модою є найбільш часто зустрічається значення рангового ряду, т. Е. Варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися при визначенні магазинів, які частіше відвідуються, найбільш поширеною ціни на який-небудь товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою
де х0 - нижня межа інтервалу; h- величина інтервалу; fm- частота інтервалу; fm_ 1 - частота попереднього інтервалу; fm + 1 - частота наступного інтервалу.
медианойназивається варіант, розташований в центрі рангового ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що по обидва боки від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення варьирующего ознаки менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або дорівнює або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення про те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їх центр.
Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну кордон значень варьирующего ознаки, якими володіє половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанту визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 і n/ 2 + 1.
При визначенні медіани в інтервальних варіаційних рядах спочатку визначається інтервал, в якому вона знаходиться (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує полусумму всіх частот ряду. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою
де X0- нижня межа інтервалу; h- величина інтервалу; fm- частота інтервалу; f- число членів ряду;
M -1 - сума накопичених членів ряду, що передують даному.
Поряд з медіаною для більш повної характеристикиструктури досліджуваної сукупності застосовують і інші значення варіантів, які займають в ранжированном ряду цілком певне положення. До них відносяться квартилиі децили.Квартили ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децили - на 10 рівних частин. Квартилей налічується три, а децилів - дев'ять.
Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашає індивідуальних відмінностей в значеннях варьирующего ознаки і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. На практиці вони часто використовуються замість середньої або поряд з нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить деяку кількість одиниць з дуже великим або дуже малим значенням варьирующего ознаки. Ці, що не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.
