Як розрахувати середню арифметичну величину. Як розрахувати середню величину

Як порахувати середнє значення чисел в Excel

знайти середнє арифметичне чиселв Excel можна за допомогою функції.

синтаксис СРЗНАЧ

= СРЗНАЧ (число1; [число2]; ...) - російська версія

аргументи СРЗНАЧ

• число1- перше число або діапазон чисел, для розрахунку середнього арифметичного;
• число2(За бажанням) - друге число або діапазон чисел для розрахунку середнього арифметичного. Максимальна кількість аргументів функції - 255.

Для розрахунку виконайте наступні кроки:

• Виділіть будь-яку клітинку;
• Напишіть в ній формулу = СРЗНАЧ (
• Виділіть діапазон комірок, для якого потрібно зробити розрахунок;
• Натисніть "Enter" на клавіатурі

Функція розрахує середнє значення в зазначеному діапазоні серед тих осередків, в яких є числа.

Як знайти середнє значення з урахуванням тексту

Якщо в діапазоні даних є порожні рядки або текст, то функція сприймає їх як "нуль". Якщо серед даних є логічні виразиБРЕХНЯ або ІСТИНА, то БРЕХНЯ функція сприймає як "нуль", а ІСТИНА як "1".

Як знайти середнє арифметичне за умовою

Для розрахунку середнього по умові або критерієм використовується функція. Наприклад, уявімо що у нас є дані з продажу товарів:

Наше завдання обчислити середнє значення продажів ручок. Для цього виконаємо наступні кроки:

• В осередку A13напишемо назву товару "Ручки";
• В осередку B13введемо формулу:

= СРЗНАЧЕСЛІ (A2: A10; A13; B2: B10)

Діапазон осередків " А2: A10"Вказує на список товарів, в якому ми будемо шукати слово" Ручки ". аргумент A13це посилання на клітинку з текстом, який ми будемо шукати серед всього списку товарів. Діапазон осередків " B2: B10"Це діапазон з даними продажів товарів, серед яких функція знайде" Ручки "і вирахує середнє значення.

В математиці і статистиці середнєарифметичне (або легко середнє) Комплекту чисел - це сума всіх чисел в цьому комплекті, поділена на їх число. Середнє арифметичне є особливо загальним і найпоширенішим поданням середньої величини.

Вам знадобиться

• Знання з математики.

Інструкція

1. Нехай дано комплект з чотирьох чисел. потрібно виявити середнє значенняцього комплекту. Для цього спочатку виявимо суму всіх цих чисел. Можливий ці числа 1, 3, 8, 7. Їх сума дорівнює S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел повинен складатися з чисел одного знака, в огидному випадку толк в обчисленні середнього значення втрачається.

2. середнє значеннякомплекту чисел дорівнює сумі чисел S, поділеній на число цих чисел. Тобто виходить, що середнє значенняодно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекту числі також дозволено виявити не тільки середнєарифметичне, а й середнєгеометричне. Середнім геометричним кількох правильних дійсних чисел називається таке число, яким дозволено замінити будь-яке з цих чисел так, щоб їх твір не змінилося. Середнє геометричне G шукається за формулою: корінь N-го ступеня з добутку комплекту чисел, де N - число числі в комплекті. Розглянемо той же комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Виявимо їх середнєгеометричне. Для цього порахуємо твір: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Зараз з числа 168 потрібно витягти корінь 4-го ступеня: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Таким чином середнєгеометричне комплекту чисел одно 3.61.

середнєгеометричне в сукупності застосовується рідше, ніж арифметичне середнє, втім воно може бути придатне при обчисленні середнього значення показників, що змінюються з плином часу (заробітна плата окремого працівника, динаміка показників успішності і т.п.).

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор

Інструкція

1. Для того щоб виявити середнє геометричне ряду чисел, для початку треба перемножити всі ці числа. Скажімо, вам дано комплект з п'яти показників: 12, 3, 6, 9 і 4. Перемножимо всі ці числа: 12х3х6х9х4 = 7776.

2. Зараз з отриманого числа треба витягти корінь ступеня, що дорівнює числу елементів ряду. У нашому випадку з числа 7776 необхідно буде витягти корінь п'ятого ступеня за допомогою інженерного калькулятора. Отримане пізніше цієї операції число - в даному випадку число 6 - буде середнім геометричним для початкової групи чисел.

3. Якщо у вас під рукою немає інженерного калькулятора, то обчислити середнє геометричне ряду чисел дозволено з підтримкою функції СРГЕОМ в програмі Excel або за допомогою одного з онлайн-калькуляторів, навмисно приготовлені для обчислення середніх геометричних значень.

Зверніть увагу!
Якщо знадобиться виявити середнє геометричне кожного для 2-х чисел, то інженерний калькулятор вам не буде потрібно: витягти корінь 2-го ступеня ( квадратний корінь) З будь-якого числа можна за допомогою самого звичайного калькулятора.

Корисна порада
На відміну від середнього арифметичного, на геометричне середнє не так потужно впливають величезні відхилення і коливання між окремими значеннями в досліджуваному комплекті показників.

середнєзначення - це одна з колляцій комплекту чисел. Являє собою число, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннями в цьому комплекті чисел. середнєарифметичне значення - особливо часто застосовується різновид середніх.

Інструкція

1. Складіть все числа безлічі і поділіть їх на число доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від певних умов обчислення зрідка буває простіше розділяти всяке з чисел на число значень безлічі і підсумувати підсумок.

2. Використовуйте, скажімо, що входить до складу ОС Windows калькулятор, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі не представляється допустимим. Відкрити його можна з підтримкою діалогу запуску програм. Для цього натисніть «пекучі клавіші» WIN + R або клацніть кнопку «Пуск» і виберіть в основному меню команду «Виконати». Після цього надрукуйте в поле введення calc і натисніть на клавіатурі Enter або клацніть кнопку «OK». Це ж можна зробити через основне меню - розкрийте його, перейдіть в розділ «Усі програми» і в сегменти «Типові» і виберіть рядок «Калькулятор».

3. Введіть поступово все числа безлічі, натискаючи на клавіатурі найпізніше з них (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа теж дозволено як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

4. Натисніть з косою рисою (слеш) або клацніть цей значок в інтерфейсі калькулятора пізніше введення останнього значення безлічі і надрукуйте число чисел в послідовності. Після цього натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує і покаже середнє арифметичне значення.

5. Дозволено для цієї ж мети застосовувати табличний редактор Microsoft Excel. В цьому випадку запустіть редактор і введіть в сусідні осередки все значення послідовності чисел. Якщо пізніше введення всього числа ви будете натискати Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам буде переміщати фокус введення в сусідню клітинку.

6. Виділіть всі введені значення і в лівому нижньому кутку вікна редактора (в рядку стану) побачите середньоарифметичне значення для виділених осередків.

7. Клацніть наступну за останнім введеним числом осередок, якщо вам не досить тільки побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте список, що випадає із зображенням грецької букви сигма (Σ) в групі команд «Редагування» на вкладці «Основна». Виберіть в ньому рядок « середнє»І редактор вставить необхідну формулу для обчислення середньо арифметичного значенняв виділену клітинку. Натисніть Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної схильності, широко застосовувана в математиці і статистичних розрахунках. Виявити середнє арифметичне число для кількох значень дюже легко, але у будь-якої задачі є свої нюанси, знати які для виконання правильних розрахунків примітивно потрібно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає середнє значення для кожного початкового масиву чисел. Іншими словами, з деякого безлічі чисел вибирається загальне для всіх елементів значення, математичне зіставлення якого з усіма елементами носить наближено рівний характер. Середнє арифметичне число застосовується, переважно, при складанні фінансових і статистичних звітів або для розрахунків кількісних підсумків проведених подібних навичок.

Як виявити середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення алгебраїчної суми цих значень. Наприклад, якщо в масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, то їх алгебраїчна сума буде дорівнює 184. При запису середнє арифметичне позначається буквою? (Мю) або x (ікс з рискою). Далі алгебраїчну суму слід поділити на кількість чисел в масиві. У розглянутому прикладі чисел було п'ять, слідчо середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і складе 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо в масиві присутні негативні числа, то знаходження середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгорифм. Різниця є лише при розрахунках в середовищі програмування, або ж якщо в завданні є додаткові дані. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знаками зводиться до трьох дій: 1. Знаходження загального середнього арифметичного числа стандартним способом; 2. Знаходження середнього арифметичного негативним чісел.3. Обчислення середнього арифметичного позитивних чісел.Результати всякого з дій записуються через кому.

Натуральні і десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, Рішення відбувається за способом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення підсумку проводиться за вимогами завдання до точності результата.Прі роботі з природними дробом їх слід привести до загального знаменника, той, що множиться на число чисел в масиві. У чисельнику результату буде сума наведених числителей початкових дрібних елементів.

Середнє геометричне чисел залежить не тільки від безумовної величини самих чисел, але і від їх числа. Неможливо плутати середнє геометричне і середнє арифметичне чисел, від того що вони знаходяться за різними методологіями. При цьому середнє геометричне незмінно поменше або дорівнює середньому арифметичному.

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

1. Розглядайте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел і вилучення з них кореня ступеня, яка відповідає числу чисел. Скажімо, якщо треба виявити середнє геометричне п'яти чисел, то з твору необхідно буде отримувати корінь п'ятого ступеня.

2. Для знаходження середнього геометричного 2-х чисел використовуйте основне правило. Виявіть їх твір, пізніше чого слід вийняти квадратний корінь, від того що числа два, що відповідає ступеню кореня. Скажімо, для того щоб виявити середнє геометричне чисел 16 і 4, виявіть їх твір 16 4 = 64. З числа, що вийшло витягніть квадратний корінь? 64 = 8. Це і буде бажана величина. Зверніть увагу на те, що середнє арифметичне цих 2-х чисел огромнее і дорівнює 10. Якщо корінь не розгорнеться остачі, зробіть округлення результату до потреб порядку.

3. Щоб виявити середнє геометричне більше ніж 2-х чисел, теж використовуйте основне правило. Для цього знайдіть твір всіх чисел, для яких треба виявити середнє геометричне. З отриманого твори витягніть корінь ступеня, що дорівнює числу чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 2, 4 і 64, виявіть їх твір. 2 4 64 = 512. Від того що необхідно виявити підсумок середнього геометричного 3 чисел, що з твору витягніть корінь третього ступеня. Зробити це усно важко, слідчо скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка "x ^ y". Наберіть число 512, натисніть кнопку "x ^ y", пізніше чого наберіть число 3 і натисніть кнопку "1 / г", щоб виявити значення 1/3, натисніть кнопку "=". Отримаємо підсумок зведення 512 в ступінь 1/3, що відповідає корені третього ступеня. Отримайте 512 ^ 1/3 = 8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 і 64.

4. З підтримкою інженерного калькулятора можна виявити середнє геометричне іншим методом. Виявіть на клавіатурі кнопку log. Пізніше цього візьміть логарифм для всього з чисел, виявіть їх суму і поділіть її на число чисел. З отриманого числа візьміть антилогарифмів. Це і буде середнє геометричне чисел. Скажімо, для того щоб виявити середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі комплект операцій. Наберіть число 2, пізніше чого натисніть кнопку log, натисніть кнопку "+", наберіть число 4 і знову натисніть log і "+", наберіть 64, натисніть log і "=". Підсумком буде число, яке дорівнює сумі десяткових логарифмівчисел 2, 4 і 64. Отримане число поділіть на 3, від того що це число чисел, за якими шукається середнє геометричне. З підсумку візьміть антилогарифмів, переключивши кнопку регістра, і використовуйте ту ж клавішу log. У підсумку вийде число 8, це і є бажане середнє геометричне.

Зверніть увагу!
Середнє значення не може бути огромнее найбільшого числа в комплекті і поменше самого маленького.

Корисна порада
У математичній статистиці середнє значення величини називається математичним очікуванням.

Середнє арифметичне - статистичний показник, який демонструє середнє значення заданого масиву даних. Такий показник розраховується як дріб, у чисельнику якого стоїть сума всіх значень масиву, а в знаменнику - їх кількість. Середнє арифметичне - важливий коефіцієнт, який застосовується в побутових розрахунках.

сенс коефіцієнта

Середнє арифметичне - елементарний показник для порівняння даних і підрахунку прийнятного значення. Наприклад, в різних магазинах продається банку пива конкретного виробника. Але в одному магазині вона коштує 67 рублів, в іншому - 70 рублів, в третьому - 65 рублів, а в останньому - 62 рубля. Досить великий розбіг цін, тому покупцеві буде цікава середня вартість банки, щоб при купівлі товару він міг порівняти свої витрати. В середньому банку пива по місту має ціну:

Середня ціна = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублів.

Знаючи середню ціну, легко визначити де вигідно купувати товар, а де доведеться переплатити.

Середнє арифметичні постійно використовується в статистичних розрахунках у випадках, якщо аналізується однорідний набір даних. В наведеному вище прикладі - це ціна банки пива однієї марки. Однак ми не можемо порівняти ціну на пиво різних виробників або ціни на пиво і лимонад, так як в цьому випадку розкид значень буде більше, середня ціна буде змазана і недостовірна, а сам сенс розрахунків спотвориться до карикатурного «середня температура по лікарні». Для розрахунку різнорідних масивів даних використовується середнє арифметичне зважене, коли кожне значення отримує свій ваговий коефіцієнт.

Підрахунок середнього арифметичного

Формула для обчислень гранично проста:

P = (a1 + a2 + ... an) / n,

де an - значення величини, n - загальна кількість значень.

Для чого може використовуватися даний показник? Перше і очевидне його застосування - це статистика. Практично в кожному статистичному дослідженні використовується показник середнього арифметичного. Це може бути середній вік вступу в шлюб в Росії, середня оцінка по предмету у школяра або середні витрати на продукти в день. Як вже говорилося вище, без урахування ваг підрахунок середніх значень може давати дивні або абсурдні значення.

Наприклад, президент Російської Федераціїзробив заяву, що за статистикою, середня зарплата росіянина становить 27 000 рублей. Для більшості жителів Росії такий рівень зарплати здався абсурдним. Не дивно, якщо при розрахунку враховувати розмір доходів олігархів, керівників промислових підприємств, великих банкірів з одного боку і зарплати вчителів, прибиральників і продавців з іншого. Навіть середні зарплати за однією спеціальністю, наприклад, бухгалтера, будуть мати серйозні відмінності в Москві, Костромі і Єкатеринбурзі.

Як рахувати середні для різнорідних даних

У ситуаціях з підрахунком заробітної плати важливо враховувати вагу кожного значення. Це означає, що зарплати олігархів і банкірів отримали б вагу, наприклад, 0,00001, а зарплати продавців - 0,12. Це цифри зі стелі, але вони приблизно ілюструють поширеність олігархів і продавців в російському суспільстві.

Таким чином, для підрахунку середнього середніх або середнього значення в неоднорідному масиві даних, потрібно використовувати середнє арифметичне зважене. Інакше ви отримаєте середню зарплату по Росії на рівні 27 000 рублей. Якщо ж ви хочете дізнатися свою середню оцінку з математики або середня кількість забитих шайб обраного хокеїста, то вам підійде калькулятор середнього арифметичного.

Наша програма являє собою простий і зручний калькулятор для розрахунку середнього арифметичного. Для виконання розрахунків вам знадобиться ввести тільки значення параметрів.

Розглянемо кілька прикладів

Розрахунок середньої оцінки

Багато вчителів використовують метод середнього арифметичного для визначення річної оцінки по предмету. Давайте уявимо, що дитина отримала наступні четвертні позначки з математики: 3, 3, 5, 4. Яку річну оцінку йому поставить вчитель? Скористаємося калькулятором і порахуємо середнє арифметичне. Для початку виберете відповідну кількість полів і введіть значення оцінок в що з'явилися осередки:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Учитель округлити значення на користь учня, і школяр отримає за рік тверду четвірку.

Розрахунок з'їдених цукерок

Давайте проілюструємо деяку абсурдність середнього арифметичного. Уявімо, що у Маші і Вови було 10 цукерок. Маша з'їла 8 цукерок, а Вова - всього 2. Скільки цукерок у середньому з'їв кожна дитина? За допомогою калькулятора легко обчислити, що в середньому діти з'їли по 5 цукерок, що абсолютно не відповідає дійсності і здоровому глузду. Цей приклад показує, що показник середнього арифметичного важливо вважати для осмислених наборів даних.

висновок

Розрахунок середнього арифметичного широко використовується в багатьох наукових сферах. Цей показник популярний не тільки в статистичних розрахунках, а й у фізиці, механіці, економіці, медицині або фінансах. Використовуйте наші калькулятори в якості помічника для вирішення завдань на обчислення середнього арифметичного.

Тема середнього арифметичного і середнього геометричного входить в програму математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання в базовій статистикою потрібні для здачі ЄДІ, А також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мислення ніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне і середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4, і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто в разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як чином виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, так як доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 і 8.

Середнім геометричним чисел називається твір всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чісел.То є в разі чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4. Ось яким чином це вийшло:

Рішення: ∛ (4 × 2 × 8) = 4

В обох варіантах вийшли цілі відповіді, так як для прикладу були взяті спеціальні числа. Так відбувається аж ніяк не завжди. У більшості випадків відповідь доводиться округляти або залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 і 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 і √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне стане рівним середньому геометричному?

Звичайно, може. Але тільки в двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається тільки або з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їх кількості.

Доказ з одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (середнє арифметичне).

∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ з нулями: (0 + 0) / 2 = 0 (середнє арифметичне).

√ (0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і бути не може.

Тема 5. Середні величини як статистичні показники

Поняття середньої величини. Область застосування середніх величин в статистичному дослідженні

Середні величини використовуються на етапі обробки та узагальнення отриманих первинних статистичних даних. Потреба визначення середніх величин пов'язана з тим, що у різних одиниць досліджуваних сукупностей індивідуальні значення одного і того ж ознаки, як правило, неоднакові.

середньою величиноюназивають показник, який характеризує узагальнене значення ознаки або групи ознак в досліджуваній сукупності.

Якщо досліджується сукупність з якісно однорідними ознаками, то середня величина виступає тут як типова середня. Наприклад, для груп працівників певної галузі з фіксованим рівнем доходу визначається типова середня витрат на предмети першої необхідності, тобто типова середня узагальнює якісно однорідні значення ознаки в даній сукупності, яким є частка витрат у працівників даної групи на товари першої необхідності.

При дослідженні сукупності з якісно різнорідними ознаками на перший план може виступити нетиповість середніх показників. Такими, наприклад, є середні показники виробленого національного доходу на душу населення (різні вікові групи), середні показники врожайності зернових культур по всій території Росії (райони різних кліматичних зон і різних зернових культур), середні показники народжуваності населення по всіх регіонах країни, середні температури за певний періоді т.д. Тут середні величини узагальнюють якісно різнорідні значення ознак або системних просторових сукупностей (міжнародне співтовариство, континент, держава, регіон, район і т.д.) або динамічних сукупностей, протяжних в часі (століття, десятиліття, рік, сезон і т.д.) . Такі середні величини називають системними середніми.

Таким чином, значення середніх величин полягає в їх узагальнюючої функції. Середня величина замінює велике число індивідуальних значень ознаки, виявляючи загальні властивості, притаманні всім одиницям сукупності. Це, в свою чергу, дозволяє уникнути випадкових причин і виявити загальні закономірності, обумовлені загальними причинами.

Види середніх величин і методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені найрізноманітніші завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися таким правилом: величини, які являють собою чисельник і знаменник середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;

структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, для яких обчислюється середня;

Середня, де межа зверху свідчить про те, що має місце осреднение індивідуальних значень;

Частота (повторюваність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 - середня арифметична; k = -1 - середня гармонійна; k = 0 - середня геометрична; k = -2 - середня квадратична.

Середні величини бувають прості і зважені. зваженими середніминазивають величини, які враховують, що деякі варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, в зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на цю чисельність. Іншими словами, «вагами» виступають числа одиниць сукупності в різних групах, тобто кожен варіант «зважують» по своїй частоті. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньої.

Середня арифметична- найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється по несгруппірованних статистичними даними, де потрібно здобути середню доданок. Середня арифметична - це таке середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної (простий) має вигляд

де n - чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника і число працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленої як би між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, на яких задіяно 8 чоловік:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, який осередненою, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться по згрупованих даних. В цьому випадку мова йдепро використання середньої арифметичної зваженої, Яка має вигляд

(5.3)

Так, нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що операції здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажу розподілилася таким чином:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням для визначення середнього курсу вартості акцій є відношення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500;

КПА = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

В цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як для її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільш всього зумовили широке застосування арифметичної середньої в статистико-економічних розрахунках.

Властивість перше (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки воно показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), викликані випадковими причинами, взаємно будуть погашені.

Доведення:

Властивість друге (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від будь-якого іншого числа (а), тобто є число мінімальне.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну по а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при. Цей екстремум - мінімум, так як функція не може мати максимуму.

Властивість третя: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної існують так звані розрахункові властивості, Які поступово втрачають свою значимість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться чи зменшиться в стільки ж разів;

середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки розділити на постійне число;

якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на одну і ту ж величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту ж саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотної середньої арифметичної, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести з базової формули, Підставивши k = -1:

Наприклад, нам потрібно обчислити середню швидкістьдвох автомашин, які пройшли один і той же шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км / год, друга - 90 км / ч. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці частіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Дана формула використовується в тих випадках, коли ваги (або обсяги явищ) за кожною ознакою нерівні. У вихідному співвідношенні для розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.