"Рішення дрібних раціональних рівнянь". раціональні рівняння

Т. Косякова,
школа N№ 80, м Краснодар

Рішення квадратних і дрібно-раціональних рівнянь, що містять параметри

урок 4

Тема урока:

Мета уроку:формувати вміння вирішувати дрібно-раціональні рівняння, що містять параметри.

Тип уроку: введення нового матеріалу.

1. (Усно.) Вирішіть рівняння:

приклад 1. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення a:

Відповідь. якщо якщо a = – 19 , То коренів немає.

приклад 2. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Знайдемо неприпустимі значення параметра a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Відповідь. якщо a = 5 a № 5 , то x \u003d 10 a .

приклад 3. При яких значеннях параметра b рівняння має:

а) два кореня; б) єдиний корінь?

Рішення.

1) Знайдемо неприпустимі значення параметра b :

x \u003d b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b \u003d 0 або b = 2;
x \u003d 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b \u003d 2 або b = – 2.

2) Вирішимо рівняння x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D \u003d 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D \u003d 4 b 2 .

а)

Виключаючи неприпустимі значення параметра b , Отримуємо, що рівняння має два кореня, якщо b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, але це неприпустиме значення параметра b ; якщо b 2 –1=0 , Т. Е. b=1 або.

Відповідь: а) якщо b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два кореня; б) якщо b=1 або b \u003d -1 , То єдиний корінь.

Самостійна робота

Варіант 1

Вирішіть рівняння:

Варіант 2

Вирішіть рівняння:

відповіді

В 1. а якщо a=3 , То коренів немає; якщо б) якщо якщо a № 2 , То коренів немає.

В 2. якщо a=2 , То коренів немає; якщо a=0 , То коренів немає; якщо
б) якщо a=– 1 , То рівняння втрачає сенс; якщо то коренів немає;
якщо

Завдання додому.

Вирішіть рівняння:

Відповіді: а) Якщо a № –2 , то x \u003d a ; якщо a=–2 , То рішень немає; б) якщо a № –2 , то x \u003d 2 ; якщо a=–2 , То рішень немає; в) якщо a=–2 , то x - будь-яке число, крім 3 ; якщо a № –2 , то x \u003d 2 ; г) якщо a=–8 , То коренів немає; якщо a=2 , То коренів немає; якщо

урок 5

Тема урока: «Рішення дрібно-раціональних рівнянь, що містять параметри».

Мета уроку:

навчання рішенню рівнянь з нестандартним умовою;
свідоме засвоєння учнями алгебраїчних понять і зв'язків між ними.

Тип уроку: систематизації та узагальнення.

Перевірка домашнього завдання.

приклад 1. Розв'яжіть рівняння

а) щодо x; б) щодо y.

Рішення.

а) Знайдемо неприпустимі значення y: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0 - неприпустиме значення параметра y.

якщо y№ 0 , то x \u003d y-2 ; якщо y \u003d 0 , То рівняння втрачає сенс.

б) Знайдемо неприпустимі значення параметра x: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - неприпустиме значення параметра x; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 або y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 не задовольняє умові y (y-x)№ 0 .

Відповідь: а) якщо y \u003d 0 , То рівняння втрачає сенс; якщо y№ 0 , то x \u003d y-2 ; б) якщо x \u003d 0 x№ 0 , то y \u003d 2 + x .

приклад 2. За яких цілих значеннях параметра a корені рівняння належать проміжку

D \u003d (3 a + 2) 2 – 4a(a + 1) · 2 \u003d 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D \u003d ( a + 2) 2 .

якщо a № 0 або a № – 1 , то

відповідь: 5 .

приклад 3. Знайдіть щодо x цілі рішення рівняння

Відповідь. якщо y \u003d 0 , То рівняння не має сенсу; якщо y \u003d -1 , то x - будь-яке ціле число, крім нуля; якщо y№ 0, y№ - 1, То рішень немає.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння з параметрами a і b .

якщо a№ - b , то

Відповідь. якщо a \u003d0 або b \u003d0 , То рівняння втрачає сенс; якщо a№ 0, b№ 0, a \u003d -b , то x - будь-яке число, крім нуля; якщо a№ 0, b№ 0, a№ -b, то x \u003d -a, x \u003d -b .

приклад 5. Доведіть, що при будь-якому значенні параметра n, відмінному від нуля, рівняння має єдиний корінь, який дорівнює - n .

Рішення.

т. е. x \u003d -n , що і потрібно було довести.

Завдання додому.

1. Знайдіть цілі рішення рівняння

2. При яких значеннях параметра c рівняння має:
а) два кореня; б) єдиний корінь?

3. Знайдіть всі цілі корені рівняння якщо aПро N .

4. Розв'яжіть рівняння 3xy - 5x + 5y \u003d 7:а) щодо y ; б) щодо x .

1. Рівнянню задовольняють будь-які цілі рівні значення x і y, відмінні від нуля.
2. а) При
б) при або
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Якщо то коренів немає; якщо
б) якщо то коренів немає; якщо

Контрольна робота

Варіант 1

1. Визначте тип рівняння 7c (c + 3) x 2 + (c-2) x-8 \u003d 0 при: а) c \u003d -3 ; б) c \u003d 2; в) c \u003d 4 .

2. Вирішіть рівняння: а) x 2 -bx \u003d 0; б) cx 2 -6x + 1 \u003d 0 ; в)

3. Вирішіть рівняння 3x-xy-2y \u003d 1:

а) щодо x ;
б) щодо y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, знаючи, що параметр n приймає тільки цілі значення.

5. При яких значеннях b рівняння має:

а) два кореня;
б) єдиний корінь?

Варіант 2

1. Визначте тип рівняння 5c (c + 4) x 2 + (c-7) x + 7 \u003d 0 при: а) c \u003d -4; б) c \u003d 7; в) c \u003d 1 .

2. Вирішіть рівняння: а) y 2 + cy \u003d 0; б) ny 2 -8y + 2 \u003d 0; в)

3. Вирішіть рівняння 6x-xy + 2y \u003d 5:

а) щодо x ;
б) щодо y .

4. Знайдіть цілі корені рівняння nx 2 -22x + 2n \u003d 0, знаючи, що параметр n приймає тільки цілі значення.

5. При яких значеннях параметра a рівняння має:

а) два кореня;
б) єдиний корінь?

відповіді

В 1. 1. а) Лінійне рівняння;
б) неповне квадратне рівняння; в) квадратне рівняння.
2. а) Якщо b \u003d 0 , то x \u003d 0 ; якщо b№ 0 , то x \u003d 0, x \u003d b;
б) якщо cо (9; + Ґ) , То коренів немає;
в) якщо a=–4 , То рівняння втрачає сенс; якщо a№ –4 , то x \u003d - a .
3. а) Якщо y \u003d 3 , То коренів немає; якщо);
б) a=–3, a=1.

Додаткові завдання

Вирішіть рівняння:

література

1. Голубєв В.І., Гольдман А.М., Дорофєєв Г.В. Про параметри з самого початку. - Репетитор, № 2/1991, с. 3-13.
2. Гронштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Необхідні умови в задачах з параметрами. - Квант, № 11/1991, с. 44-49.
3. Дорофєєв Г.В., Затакавай В.В. Розв'язання задач, Що містять параметри. Ч. 2. - М., Перспектива, 1990, с. 2-38.
4. Тинякін С.А. П'ятсот чотирнадцять завдань з параметрами. - Волгоград, 1991.
5. Ястребінецкій Г.А. Завдання з параметрами. - М., Просвітництво, 1986.

Дробові рівняння. ОДЗ.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Продовжуємо освоювати рівняння. Ми вже в курсі, як працювати з лінійними рівняннями і квадратними. Залишився останній вид - дробові рівняння. Або їх ще називають набагато солідніше - дробові раціональні рівняння. Це одне і теж.

Дробові рівняння.

Як зрозуміло з назви, в цих рівняннях обов'язково присутні дробу. Але не просто дробу, а дроби, у яких є невідоме в знаменнику. Хоча б в одному. наприклад:

Нагадаю, якщо в знаменниках тільки числа, Це лінійні рівняння.

як вирішувати дробові рівняння? Перш за все - позбутися від дробів! Після цього рівняння, найчастіше, перетворюється в лінійне або квадратне. А далі ми знаємо, що робити ... У деяких випадках воно може перетворитися в тотожність, типу 5 \u003d 5 або невірне вираз, типу 7 \u003d 2. Але це рідко трапляється. Нижче я про це згадаю.

Але як позбутися від дробів !? Дуже просто. Застосовуючи все ті ж тотожні перетворення.

Нам треба помножити все рівняння на одне і те ж вираз. Так, щоб всі знаменники посокращалісь! Все відразу стане простіше. Пояснюю на прикладі. Нехай нам потрібно вирішити рівняння:

Як вчили в молодших класах? Переносимо все в одну сторону, приводимо до спільного знаменника і т.д. Забудьте, як страшний сон! Так потрібно робити, коли ви складаєте або віднімаєте дробові вирази. Або працюєте з нерівностями. А в рівняннях ми відразу множимо обидві частини на вираз, яке дасть нам можливість скоротити всі знаменники (тобто, по суті, на спільний знаменник). І яке ж це вираження?

У лівій частині для скорочення знаменника потрібно множення на х + 2 . А в правій потрібно множення на 2. Виходить, рівняння треба множити на 2 (х + 2). множимо:

Це звичайне множення дробів, але розпишу докладно:

Зверніть увагу, я поки не розкриваю дужку (Х + 2)! Так, цілком, її і пишу:

У лівій частині скорочується цілком (Х + 2), А в правій 2. Що й треба було! Після скорочення отримуємо лінійне рівняння:

А це рівняння вже вирішить всякий! х \u003d 2.

Вирішимо ще один приклад, трохи складніше:

Якщо згадати, що 3 \u003d 3/1, а 2х \u003d 2х /1, можна записати:

І знову позбавляємося від того, що нам не дуже подобається - від дробів.

Бачимо, що для скорочення знаменника з іксом, треба помножити дріб на (Х - 2). А одиниці нам не перешкода. Ну і множимо. всю ліву частину і всю праву частину:

знову дужки (Х - 2) я не розкриваю. Працюю з дужкою в цілому, як ніби це одне число! Так треба робити завжди, інакше нічого не скоротиться.

З почуттям глибокого задоволення скорочуємо (Х - 2) і отримуємо рівняння без жодних дробів, в лінієчку!

А ось тепер вже розкриваємо дужки:

Наводимо подібні, переносимо все в ліву частину і отримуємо:

Але до того ми інші завдання навчимося вирішувати. На відсотки. Ті ще граблі, між іншим!

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

"Рішення дробових раціональних рівнянь"

Мета уроку:

навчальна:

формування поняття дрібних раціонального рівняння; розглянути різні способи вирішення дрібних раціональних рівнянь; розглянути алгоритм рішення дрібних раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю; навчити рішенню дрібних раціональних рівнянь за алгоритмом; перевірка рівня засвоєння теми шляхом проведення тестової роботи.

розвиваюча:

розвиток вміння правильно оперувати отриманими знаннями, логічно мислити; розвиток інтелектуальних умінь і розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення; розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому; розвиток критичного мислення; розвиток навичок дослідницької роботи.

виховує:

навчальних завдань

Тип уроку: Урок - пояснення нового матеріалу.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Привіт, хлопці! На дошці написані рівняння подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви зможете вирішити? Які немає і чому?

Рівняння, в яких ліва і правлячи частина, є дрібно-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви думаєте, що ми будемо вивчати сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити і записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота з класом.

А зараз ми повторимо основний теоретичний матюкав, який знадобитися нам для вивчення нової теми. Дайте відповідь, будь ласка, на наступні питання:

1. Що таке рівняння? ( Рівність зі змінною або змінними.)

2. Як називається рівняння №1? ( лінійне.) Спосіб вирішення лінійних рівнянь. ( Все з невідомим перенести в ліву частину рівняння, все числа - в праву. Привести подібні доданки. Знайти невідомий множник).

3. Як називається рівняння №3? ( Квадратне.) Способи вирішення квадратних рівнянь. ( Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта і її наслідки.)

4. Що таке пропорція? ( Рівність двох відношень.) Основна властивість пропорції. ( Якщо пропорція правильна, то твір її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)

5. Які властивості використовуються при вирішенні рівнянь? ( 1. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння, рівносильне даному. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)

6. Коли дріб дорівнює нулю? ( Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

3. Пояснення нового матеріалу.

Вирішити в зошитах і на дошці рівняння №2.

відповідь: 10.

Яке дрібно-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, використовуючи основну властивість пропорції? (№5).

(Х-2) (х-4) \u003d (х + 2) (х + 3)

х2-4х-2х + 8 \u003d х2 + 3х + 2х + 6

х2-6х-х2-5х \u003d 6-8

Вирішити в зошитах і на дошці рівняння №4.

відповідь: 1,5.

Яке дрібно-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, множачи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, х1 \u003d 3, х2 \u003d 4.

відповідь: 3;4.

Тепер спробуйте вирішити рівняння №7 одним із способів.


(Х2-2х-5) х (х-5) \u003d х (х-5) (х + 5)
(Х2-2х-5) х (х-5) -х (х-5) (х + 5) \u003d 0
х (х-5) (х2-2х-5- (х + 5)) \u003d 0			х2-2х-5-х-5 \u003d 0
х (х-5) (х2-3х-10) \u003d 0
х \u003d 0 х-5 \u003d 0 х2-3х-10 \u003d 0
х1 \u003d 0 х 2 \u003d 5 D \u003d 49

відповідь: 0;5;-2.			відповідь: 5;-2.

Поясніть, чому так вийшло? Чому в одному випадку три кореня, в іншому - два? Які ж числа є корінням даного дрібно-раціонального рівняння?

До сих пір учні з поняттям сторонній корінь не зустрічалися, їм дійсно дуже важко зрозуміти, чому так вийшло. Якщо в класі ніхто не може дати чіткого пояснення цієї ситуації, тоді вчитель задає навідні запитання.

У рівняннях № 2 і 4 в знаменнику числа, № 5-7 - вираження зі змінною

Значення змінної, при якому рівняння звертається в вірне рівність

зробити перевірку

При виконанні перевірки деякі учні помічають, що доводиться ділити на нуль. Вони роблять висновок, що числа 0 і 5 не є корінням даного рівняння. Виникає питання: чи існує спосіб вирішення дрібних раціональних рівнянь, що дозволяє виключити цю помилку? Так, це спосіб заснований на умова рівності дробу нулю.

х2-3х-10 \u003d 0, D \u003d 49, х1 \u003d 5, х2 \u003d -2.

Якщо х \u003d 5, то х (х-5) \u003d 0, значить 5 сторонній корінь.

Якщо х \u003d -2, то х (х-5) ≠ 0.

відповідь: -2.

Давайте спробуємо сформулювати алгоритм вирішення дрібних раціональних рівнянь даними способом. Діти самі формулюють алгоритм.

Алгоритм рішення дрібних раціональних рівнянь:

1. Перенести всі в ліву частину.

2. Привести дроби до спільного знаменника.

3. Скласти систему: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

4. Вирішити рівняння.

5. Перевірити нерівність, щоб виключити сторонні корені.

6. Записати відповідь.

Обговорення: як оформити рішення, якщо використовується основна властивість пропорції і множення обох частин рівняння на спільний знаменник. (Доповнити рішення: виключити з його коренів ті, які звертають в нуль спільний знаменник).

4. Первинне осмислення нового матеріалу.

Робота в парах. Учні вибирають спосіб вирішення рівняння самостійно в залежності від виду рівняння. Завдання з підручника «Алгебра 8», 2007: № 000 (б, в, і); № 000 (а, д, ж). Учитель контролює виконання завдання, відповідає на виниклі питання, надає допомогу слабоуспевающім учням. Самоперевірка: відповіді записані на дошці.

б) 2 - сторонній корінь. Відповідь: 3.

в) 2 - сторонній корінь. Відповідь: 1,5.

а) Відповідь: -12,5.

ж) Відповідь: 1; 1,5.

5. Постановка домашнього завдання.

2. Вивчити алгоритм вирішення дрібних раціональних рівнянь.

3. Вирішити в зошитах № 000 (а, г, д); № 000 (г, з).

4. Спробувати вирішити № 000 (а) (за бажанням).

6. Виконання контролюючого завдання по вивченій темі.

Робота виконується на листочках.

Приклад завдання:

А) Які з рівнянь є дробовими раціональними?

Б) Дріб дорівнює нулю, коли чисельник ______________________, а знаменник _______________________.

В) Чи є число -3 коренем рівняння №6?

Г) Вирішити рівняння №7.

Критерії оцінювання завдання:

«5» ставиться, якщо учень виконав правильно більше 90% завдання. «4» - 75% -89% «3» - 50% -74% «2» ставиться учневі, який виконав менше 50% завдання. Оцінка 2 в журнал не ставиться, 3 - за бажанням.

7. Рефлексія.

На листочках із самостійною роботою поставте:

1 - якщо на уроці вам було цікаво і зрозуміло; 2 - цікаво, але не зрозуміло; 3 - не цікаво, але зрозуміло; 4 - не цікаво, не зрозуміло.

8. Підведення підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дробовими раціональними рівняннями, навчилися вирішувати ці рівняння різними способами, перевірили свої знання за допомогою навчальної самостійної роботи. Результати самостійної роботи ви дізнаєтеся на наступному уроці, вдома у вас буде можливість закріпити отримані знання.

Який метод вирішення дрібних раціональних рівнянь, на Вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Не залежно від методу вирішення дрібних раціональних рівнянь, про що необхідно не забувати? У чому «підступність» дрібних раціональних рівнянь?

Дякую всім, урок закінчено.

Рівняння з дробом самі по собі не важкі і дуже цікаві. Розглянемо види дрібних рівнянь і способи їх вирішення.

Як вирішувати рівняння з дробами - ікс в чисельнику

У разі, якщо дано дробове рівняння, де невідоме знаходиться в чисельнику, рішення не вимагає додаткових умов і вирішується без зайвого клопоту. Загальний вигляд такого рівняння - x / a + b \u003d c, де x - невідоме, a, b і з - звичайні числа.

Знайти x: x / 5 + 10 \u003d 70.

Для того щоб вирішити рівняння, потрібно позбутися від дробів. Множимо кожен член рівняння на 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x і 5 скорочується, 10 і 70 множаться на 5 і ми отримуємо: x + 50 \u003d 350 \u003d\u003e x \u003d 350 - 50 \u003d 300.

Знайти x: x / 5 + x / 10 \u003d 90.

Даний приклад - трохи ускладнена версія першого. Тут є два варіанти вирішення.

Варіант 1: Позбавляємося від дробів, множачи всі члени рівняння на більший знаменник, тобто на 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + x \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.
Варіант 2: Складаємо ліву частину рівняння. x / 5 + x / 10 \u003d 90. Спільний знаменник - 10. 10 ділимо на 5, множимо на x, отримуємо 2x. 10 ділимо на 10, множимо на x, отримуємо x: 2x + x / 10 \u003d 90. Звідси 2x + x \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Нерідко зустрічаються дробові рівняння, в яких ікси знаходяться по різні боки знака одно. У таких ситуація необхідно перенести всі дроби з іксами в одну сторону, а числа в іншу.

Знайти x: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Переносимо 2x / 5 направо з протилежним знаком: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
Скорочуємо 5x / 5 і отримуємо: x \u003d 130.

Як вирішити рівняння з дробами - ікс в знаменнику

Даний вид дрібних рівнянь вимагає записи додаткових умов. Вказівка \u200b\u200bцих умов є обов'язковою і невід'ємною частиною правильного рішення. Чи не приписавши їх, ви ризикуєте, так як відповідь (навіть якщо він правильний) можуть просто не зарахувати.

Загальний вигляд дрібних рівнянь, де x знаходиться в знаменнику, має вигляд: a / x + b \u003d c, де x - невідоме, a, b, c - звичайні числа. Зверніть увагу, що x-му може бути не будь-яке число. Наприклад x не може дорівнювати нулю, так як ділити на 0 не можна. Саме це і є додатковою умовою, яке ми повинні вказати. Це називається областю допустимих значень, скорочено - ОДЗ.

Знайти x: 15 / x + 18 \u003d 21.

Відразу ж пишемо ОДЗ для x: x ≠ 0. Тепер, коли ОДЗ вказана, вирішуємо рівняння за стандартною схемою, позбавляючись від дробів. Множимо всі члени рівняння на x. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

Часто зустрічаються рівняння, де в знаменнику стоїть не тільки x, а й ще яку-небудь дію з ним, наприклад додавання чи віднімання.

Знайти x: 15 / (x-3) + 18 \u003d 21.

Ми вже знаємо, що знаменник не може дорівнювати нулю, а значить x-3 ≠ 0. Переносимо -3 в праву частину, змінюючи при цьому знак "-" на "+" і отримуємо, що x ≠ 3. ОДЗ вказана.

Вирішуємо рівняння, множимо всі на x-3: 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

Переносимо ікси направо, числа наліво: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

Презентація та урок на тему: "Раціональні рівняння. Алгоритм і приклади розв'язання раціональних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Макаричева Ю.Н. Посібник до підручника Мордкович А.Г.

Знайомство з ірраціональними рівняннями

Хлопці, ми навчилися вирішувати квадратні рівняння. Але математика тільки ними не обмежується. Сьогодні ми навчимося вирішувати раціональні рівняння. Поняття раціональних рівнянь багато в чому схоже з поняттям раціональних чисел. Тільки крім чисел тепер у нас введена деяка змінна $ х $. І таким чином ми отримуємо вираз, в якому присутні операції додавання, віднімання, множення, ділення і спорудження на всю ступінь.

Нехай $ r (x) $ - це раціональне вираз. Такий вираз може представляти із себе простий многочлен від змінної $ х $ або ставлення многочленів (вводиться операція ділення, як для раціональних чисел).
Рівняння $ r (x) \u003d 0 $ називається раціональним рівнянням.
Будь-яке рівняння виду $ p (x) \u003d q (x) $, де $ p (x) $ і $ q (x) $ - раціональні вирази, також буде раціональним рівнянням.

Розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь.

Приклад 1.
Вирішити рівняння: $ \\ frac (5x-3) (x-3) \u003d \\ frac (2x-3) (x) $.

Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину: $ \\ frac (5x-3) (x-3) - \\ frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Якби в лівій частині рівняння були представлені звичайні числа, то ми б привели дві дроби до спільного знаменника.
Давайте так і зробимо: $ \\ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \\ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x ) \u003d \\ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Отримали рівняння: $ \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Дріб дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тоді окремо прирівняємо чисельник до нуля і знайдемо коріння чисельника.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ або $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Тепер перевіримо знаменник дробу: $ (x-3) * x ≠ 0 $.
Твір двох чисел дорівнює нулю, коли хоча б одне з цих чисел дорівнює нулю. Тоді: $ x ≠ 0 $ або $ x-3 ≠ 0 $.
$ X ≠ 0 $ або $ x ≠ 3 $.
Коріння, отримані в чисельнику і знаменнику, не збігаються. Значить у відповідь записуємо обидва кореня чисельника.
Відповідь: $ x \u003d 1 $ або $ х \u003d -3 $.

Якщо раптом, один з коренів чисельника збігся з коренем знаменника, то його слід виключити. Такі коріння називаються сторонніми!

Алгоритм рішення раціональних рівнянь:

1. Всі вирази, що містяться в рівнянні, перенести в ліву сторону від знака одно.
2. Перетворити цю частину рівняння до алгебраїчної дробу: $ \\ Frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. Прирівняти отриманий чисельник до нуля, тобто вирішити рівняння $ p (x) \u003d 0 $.
4. Прирівняти знаменник до нуля і вирішити отримане рівняння. Якщо коріння знаменника збіглися з корінням чисельника, то їх слід виключити з відповіді.

Приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $ \\ frac (3x) (x-1) + \\ frac (4) (x + 1) \u003d \\ frac (6) (x ^ 2-1) $.

Рішення.
Вирішимо згідно з пунктами алгоритму.
1. $ \\ frac (3x) (x-1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (3x) (x-1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d \\ frac (3x) (x-1) + \\ -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ Frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Дорівняємо чисельник до нуля: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d \\ frac (-7 ± \\ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) \u003d \\ frac (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ frac ( 1) (3); 1 $.
4. Дорівняємо знаменник до нуля:
$ (X-1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ X \u003d 1 $ і $ x \u003d -1 $.
Один з коренів $ х \u003d 1 $ збігся з коренем з чисельника, тоді ми його у відповідь не записуємо.
Відповідь: $ x \u003d -1 $.

Вирішувати раціональні рівняння зручно за допомогою методу заміни змінних. Давайте це продемонструємо.

Приклад 3.
Вирішити рівняння: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Рішення.
Введемо заміну: $ t \u003d x ^ 2 $.
Тоді наше рівняння набуде вигляду:
$ T ^ 2 + 12t-64 \u003d 0 $ - звичайне квадратне рівняння.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-12 ± \\ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) \u003d \\ frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; 4 $.
Введемо зворотну заміну: $ x ^ 2 \u003d 4 $ або $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Корінням першого рівняння є пара чисел $ х \u003d ± 2 $. Друге - не має коренів.
Відповідь: $ x \u003d ± 2 $.

Приклад 4.
Вирішити рівняння: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Рішення.
Введемо нову змінну: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Тоді рівняння набуде вигляду: $ t \u003d \\ frac (15) (t + 2) $.
Далі будемо діяти за алгоритмом.
1. $ t- \\ frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (64)) (2) \u003d \\ frac ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5; 3 $.
4. $ t ≠ -2 $ - коріння не збігаються.
Введемо зворотну заміну.
$ X ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ X ^ 2 + x + 1 \u003d 3 $.
Вирішимо кожне рівняння окремо:
$ X ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) \u003d \\ frac (-1 ± \\ sqrt (-23)) (2) $ - немає коренів.
І друге рівняння: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
Корінням цього рівняння будуть числа $ х \u003d -2 $ і $ х \u003d 1 $.
Відповідь: $ x \u003d -2 $ і $ х \u003d 1 $.

Приклад 5.
Вирішити рівняння: $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) + x + \\ frac (1) (x) \u003d 4 $.

Рішення.
Введемо заміну: $ t \u003d x + \\ frac (1) (x) $.
тоді:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) $ або $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Отримали рівняння: $ t ^ 2-2 + t \u003d 4 $.
$ T ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
Корінням цього рівняння є пара:
$ T \u003d -3 $ і $ t \u003d 2 $.
Введемо зворотну заміну:
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d - 3 $.
$ X + \\ frac (1) (x) \u003d 2 $.
Вирішимо окремо.
$ X + \\ frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (9-4)) (2) \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $.
Вирішимо друге рівняння:
$ X + \\ frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ Frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ Frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Коренем цього рівняння є число $ х \u003d 1 $.
Відповідь: $ x \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

Завдання для самостійного рішення

Вирішити рівняння:

1. $ \\ frac (3x + 2) (x) \u003d \\ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \\ frac (5x) (x + 2) - \\ frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d \\ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d 3 $.