Matnli ibora (yoki o'zgaruvchan ifoda) - bu matematik amallar uchun raqamlar, harflar va belgilardan tashkil topgan matematik ifoda. Masalan, quyidagi ifoda so'zma -so'z:

a + b + 4

Harfli ifodalar qonunlar, formulalar, tenglamalar va funktsiyalarni yozishda ishlatilishi mumkin. Oddiy iboralarni boshqarish qobiliyati algebra va oliy matematikani yaxshi bilish kalitidir.

Matematikadagi har qanday jiddiy muammo tenglamalarni echishga kamayadi. Tenglamalarni yechish uchun esa harfli ifodalar bilan ishlash kerak.

To'g'ridan -to'g'ri ifodalar bilan ishlash uchun siz asosiy arifmetikani yaxshi o'rganishingiz kerak: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, matematikaning asosiy qonunlari, kasrlar, kasrli harakatlar, nisbatlar. Va nafaqat o'rganish, balki chuqur tushunish.

Dars mazmuni

O'zgaruvchilar

To'g'ridan -to'g'ri ifodalarda mavjud bo'lgan harflar deyiladi o'zgaruvchilar... Masalan, ifodada a + b + 4 o'zgaruvchilar harflardir a va b... Agar siz bu o'zgaruvchilar o'rniga biron -bir raqamni almashtirsangiz, so'zma -so'z ifodasi a + b + 4 raqamli ifodaga aylanadi, uning qiymatini topish mumkin.

O'zgaruvchilar o'rnini bosadigan raqamlar deyiladi o'zgaruvchilar qiymatlari... Masalan, o'zgaruvchilar qiymatlarini o'zgartiraylik a va b... Qiymatlarni o'zgartirish uchun teng belgidan foydalaning

a = 2, b = 3

Biz o'zgaruvchilar qiymatlarini o'zgartirdik a va b... O'zgaruvchan a qiymatini tayinladi 2 , o'zgaruvchan b qiymatini tayinladi 3 ... Olingan so'zma -so'z ifoda a + b + 4 oddiy raqamli ifodaga aylanadi 2+3+4 qiymatini topish mumkin:

2 + 3 + 4 = 9

O'zgaruvchilar ko'paytirilganda ular birgalikda yoziladi. Masalan, kirish ab yozish bilan bir xil ma'noni anglatadi a × b... Agar siz o'zgaruvchilar o'rniga almashtirsangiz a va b raqamlar 2 va 3 , keyin biz 6 olamiz

2 × 3 = 6

Qavs ichidagi ifoda orqali sonning ko'payishini ham yozishingiz mumkin. Masalan, o'rniga a × (b + c) yozish mumkin a (b + c)... Ko'paytirishning taqsimot qonunini qo'llagan holda, biz olamiz a (b + c) = ab + ac.

Oran

Oddiy iboralarda siz, masalan, raqam va o'zgaruvchi birgalikda yozilgan yozuvni topishingiz mumkin 3a... Aslida, bu 3 raqamini o'zgaruvchiga ko'paytirishning qisqa belgisi a va bu yozuv shunga o'xshaydi 3 × a .

Boshqacha aytganda, ifoda 3a 3 raqami va o'zgaruvchining hosilasi hisoblanadi a... Raqam 3 bu ishda ular qo'ng'iroq qilishadi koeffitsient... Bu koeffitsient o'zgaruvchining necha marta ko'payishini ko'rsatadi a... Bu iborani quyidagicha o'qish mumkin: a uch marta "yoki" uch marta a", Yoki" o'zgaruvchining qiymatini oshiring a uch marta ", lekin ko'pincha" uch "deb o'qiladi a«

Masalan, agar o'zgaruvchi a ga teng 5 , keyin ifodaning qiymati 3a 15 ga teng bo'ladi.

3 × 5 = 15

Gapirmoqda oddiy til, koeffitsient - bu harfdan oldin keladigan raqam (o'zgaruvchidan oldin).

Bir nechta harf bo'lishi mumkin, masalan 5abc... Bu erda koeffitsient - bu raqam 5 ... Bu koeffitsient o'zgaruvchilar mahsuloti ekanligini ko'rsatadi abc besh barobar oshadi. Bu iborani quyidagicha o'qish mumkin: abc ifoda qiymatini besh marta "yoki" oshiring abc besh marta "yoki" besh abc«.

Agar o'zgaruvchilar o'rniga abc 2, 3 va 4 raqamlarini, keyin ifoda qiymatini almashtiring 5abc teng bo'ladi 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Siz 2, 3 va 4 raqamlari birinchi marta qanday ko'paytirilganini va natijada olingan qiymat besh baravar ko'payganini tasavvur qilishingiz mumkin:

Koeffitsient belgisi faqat koeffitsientga tegishli va o'zgaruvchilarga taalluqli emas.

Ifodani ko'rib chiqing -6b... Imkoniyatdan oldin minus 6 , faqat koeffitsientga ishora qiladi 6 va o'zgaruvchiga taalluqli emas b... Bu haqiqatni tushunish sizga belgilar bilan kelajakda xato qilmaslikka imkon beradi.

Ifodaning qiymatini toping -6b da b = 3.

-6b -6 × b... Aniqlik uchun biz ifodani yozamiz -6b kengaytirilgan shaklda va o'zgaruvchining qiymatini almashtiring b

-6b = -6 × b = -6 × 3 = -18

2 -misol. Ifodaning qiymatini toping -6b da b = -5

Keling, ifodani yozaylik -6b kengaytirilgan shaklda

-6b = -6 × b = -6 × (-5) = 30

Misol 3. Ifodaning qiymatini toping -5a + b da a = 3 va b = 2

-5a + b bu belgining qisqa shakli -5 × a + b shuning uchun aniqlik uchun biz ifodani yozamiz -5 × a + b kengaytirilgan shaklda va o'zgaruvchilar qiymatlarini almashtiring a va b

-5a + b = -5 × a + b = -5 × 3 + 2 = -15 + 2 = -13

Ba'zida harflar koeffitsientsiz yoziladi, masalan a yoki ab... Bunday holda, koeffitsient bitta:

lekin birlik an'anaviy tarzda yozilmagan, shuning uchun ular shunchaki yozadilar a yoki ab

Agar harf oldida minus bo'lsa, bu koeffitsient - bu raqam −1 ... Masalan, ifoda -A aslida o'xshaydi -1a... Bu minus bir va o'zgaruvchining hosilasi a. Bu quyidagicha bo'lib chiqdi:

-1 × a = -1a

Bu erda kichik tutqich bor. Ifodada -A o'zgaruvchidan oldingi minus a aslida o'zgaruvchini emas, balki "ko'rinmas birlikni" nazarda tutadi a... Shuning uchun muammolarni hal qilishda ehtiyot bo'lish kerak.

Masalan, ifoda berilgan -A va biz uning qiymatini topishni so'raymiz a = 2, keyin maktabda biz o'zgaruvchining o'rniga ikkitasini almashtirdik a va javob oldi −2 haqiqatan ham qanday bo'lganiga e'tibor qaratmasdan. Aslida, minusni musbat 2 soniga ko'paytirish sodir bo'ldi

-A = -1 × a

-1 × a = -1 × 2 = -2

Agar ifoda berilgan bo'lsa -A va uning qiymatini topish talab qilinadi a = -2, keyin biz almashtiramiz −2 o'zgaruvchi o'rniga a

-A = -1 × a

-1 × a = -1 × (-2) = 2

Xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun dastlab ko'rinmas birliklarni aniq yozish mumkin.

Misol 4. Ifodaning qiymatini toping abc da a = 2 , b = 3 va c = 4

Ifoda abc 1 × a × b × v. Aniqlik uchun biz ifodani yozamiz abc a, b va v

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Misol 5. Ifodaning qiymatini toping abc da a = -2, b = -3 va c = -4

Keling, ifodani yozaylik abc kengaytirilgan shaklda va o'zgaruvchilar qiymatlarini almashtiring a, b va v

1 × a × b × c = 1 × (-2) × (-3) × (-4) = -24

Misol 6. Ifodaning qiymatini toping − abc da a = 3, b = 5 va c = 7

Ifoda − abc bu belgining qisqa shakli -1 × a × b × c. Aniqlik uchun biz ifodani yozamiz − abc kengaytirilgan shaklda va o'zgaruvchilar qiymatlarini almashtiring a, b va v

-Abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = -105

Misol 7. Ifodaning qiymatini toping − abc da a = -2, b = -4 va c = -3

Keling, ifodani yozaylik − abc kengaytirilgan shaklda:

-Abc = -1 × a × b × c

O'zgaruvchilar qiymatini almashtiring a , b va v

-Abc = -1 × a × b × c = -1 -1 ((-2) × (-4) × (-3) = 24

Koeffitsientni qanday aniqlash mumkin

Ba'zida siz ifoda koeffitsientini aniqlamoqchi bo'lgan muammoni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Aslida, bu vazifa juda oddiy. Raqamlarni to'g'ri ko'paytirishni bilish kifoya.

Ifodadagi koeffitsientni aniqlash uchun siz bu ifodaga kiritilgan sonlarni alohida, harflarni alohida ko'paytirishingiz kerak. Olingan sonli omil koeffitsient bo'ladi.

Misol 1. 7m × 5a × (-3) × n

Ifoda bir necha omillardan iborat. Agar siz ifodani kengaytirilgan shaklda yozsangiz, buni aniq ko'rish mumkin. Ya'ni, asarlar 7m va 5a shaklda yozing 7 × m va 5 × a

7 × m × 5 × a × (-3) × n

Keling, ko'paytirishning kombinatsiya qonunini qo'llaylik, bu omillarni istalgan tartibda ko'paytirishga imkon beradi. Ya'ni, biz raqamlarni alohida -alohida ko'paytiramiz va harflarni (o'zgaruvchilar) alohida ko'paytiramiz:

-3 × 7 × 5 × m × a × n = -105 odam

Koeffitsient - bu −105 ... Tugatgandan so'ng, harf qismini alifbo tartibida joylashtirish tavsiya etiladi:

-105

2 -misol. Ifodadagi koeffitsientni aniqlang: -A × (-3) × 2

-A × (-3) × 2 = -3 × 2 × (-a) = -6 × (-a) = 6a

Koeffitsient 6 ga teng.

Misol 3. Ifodadagi koeffitsientni aniqlang:

Raqamlar va harflarni alohida ko'paytiramiz:

Koeffitsient -1 ga teng. E'tibor bering, birlik yozilmagan, chunki 1 koeffitsientini yozmaslik odat tusiga kiradi.

Bu oddiy ko'rinadigan vazifalar biz bilan juda shafqatsiz hazil o'ynashi mumkin. Ko'pincha koeffitsientning belgisi noto'g'ri o'rnatilganligi ma'lum bo'ladi: yoki minus o'tkazib yuborilgan yoki aksincha, bekorga o'rnatilgan. Bu zerikarli xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun uni yaxshi darajada o'rganish kerak.

To'g'ridan -to'g'ri ifodalardagi atamalar

Agar siz bir nechta raqamlarni qo'shsangiz, bu raqamlarning yig'indisini olasiz. Qo'shilgan raqamlar atamalar deb ataladi. Bir nechta atamalar bo'lishi mumkin, masalan:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Qachonki ifoda atamalardan iborat bo'lsa, uni hisoblash ancha oson bo'ladi, chunki qo'shish ayirishdan ko'ra osonroqdir. Ammo ifoda nafaqat qo'shishni, balki ayirishni ham o'z ichiga olishi mumkin, masalan:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Bu ifodada 3 va 5 raqamlari atamalar emas, balki ayirishlardir. Ammo ayirishni qo'shish bilan almashtirishimizga hech narsa to'sqinlik qilmaydi. Keyin biz yana atamalardan iborat ifodani olamiz:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

-3 va -5 raqamlari endi minus belgilar bo'lishi muhim emas. Asosiysi, bu ifodadagi barcha raqamlar qo'shish belgisi bilan bog'langan, ya'ni ifoda yig'indidir.

Ikkala ifoda ham 1 + 2 − 3 + 4 − 5 va 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) bir xil qiymatga teng - minus bir

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Shunday qilib, biz ayirishni biror joyga qo'shish bilan almashtirganimiz uchun ifoda qiymati zarar ko'rmaydi.

Bundan tashqari, qo'shimchani oddiy ifodalarda ayirishni almashtirish mumkin. Masalan, quyidagi ifodani ko'rib chiqing:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun a B C D va s ifodalar 7a + 6b - 3c + 2d - 4s va 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) bir xil qiymatga teng bo'ladi.

Siz maktab o'qituvchisi yoki institut o'qituvchisi atamalarni hatto bo'lmagan raqamlarga (yoki o'zgaruvchilarga) qo'ng'iroq qilishiga tayyor bo'lishingiz kerak.

Masalan, agar farq taxtada yozilsa a - b keyin o'qituvchi bunday demaydi a Kamayib bormoqda va b- olib tashlandi. U ikkala o'zgaruvchini bitta umumiy so'z bilan chaqiradi - shartlar... Buning sababi, shunga o'xshash ifoda a - b matematik yig‘indini ko‘radi a + (-b)... Bunday holda, ifoda yig'indiga aylanadi va o'zgaruvchilar a va (-B) shartlarga aylanadi.

Shunga o'xshash atamalar

Shunga o'xshash atamalar- bu harflar bir xil bo'lgan atamalar. Masalan, ifodani ko'rib chiqing 7a + 6b + 2a... Shartlar 7a va 2a bir xil harf qismiga ega - o'zgaruvchi a... Shuning uchun shartlar 7a va 2a o'xshash.

Odatda, bu atamalar ifodani soddalashtirish yoki ba'zi tenglamalarni echish uchun qo'shiladi. Bu operatsiya deyiladi o'xshash atamalarni olib kelish.

Bunday atamalarni berish uchun siz ushbu atamalarning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytirishingiz kerak.

Masalan, biz ifodada shunga o'xshash atamalarni beramiz 3a + 4a + 5a... Bu holda, barcha atamalar o'xshash. Keling, ularning koeffitsientlarini qo'shamiz va natijani umumiy harf qismiga - o'zgaruvchiga ko'paytiramiz a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) × a = 12a

Bunday atamalar odatda yodda saqlanadi va natija darhol yoziladi:

3a + 4a + 5a = 12a

Bundan tashqari, siz quyidagicha fikr yuritishingiz mumkin:

Ularga 3 ta a o'zgaruvchi, yana 4 ta o'zgaruvchi va yana 5 ta o'zgarmaydigan qo'shildi. Natijada, biz 12 o'zgaruvchiga ega bo'ldik a

Keling, bunday atamalarni qanday qisqartirish mumkinligi haqidagi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Bu mavzu juda muhim ekanligini hisobga olib, avvaliga biz har bir tafsilotni batafsil yozamiz. Bu erda hamma narsa juda oddiy bo'lishiga qaramay, ko'pchilik odamlar ko'p xato qilishadi. Ko'pincha beparvolik tufayli, bilmaslikdan emas.

Misol 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Keling, bu ifodaga koeffitsientlarni qo'shamiz va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiramiz:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Dizayn (3 + 2 + 6 + 8) × a uni yozishning hojati yo'q, shuning uchun javobni darhol yozamiz

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

2 -misol. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 2a + a

Ikkinchi davr a koeffitsientsiz yozilgan, lekin aslida uning oldida koeffitsient bor 1 , biz yozilmaganligi sababli ko'rmayapmiz. Shunday qilib, ifoda quyidagicha ko'rinadi:

2a + 1a

Endi biz shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz. Ya'ni, biz koeffitsientlarni qo'shamiz va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiramiz:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Keling, echimni qisqacha yozaylik:

2a + a = 3a

2a + a, siz boshqacha fikr yuritishingiz mumkin:

Misol 3. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 2a - a

Ayirishni qo'shish bilan almashtiramiz:

2a + (-a)

Ikkinchi davr (-A) koeffitsientsiz yozilgan, lekin aslida shunday ko'rinadi (-1a). Koeffitsient −1 yana ko'rinmas, chunki u qayd etilmagan. Shuning uchun, ifoda quyidagicha ko'rinadi:

2a + (-1a)

Endi biz shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz. Keling, koeffitsientlarni qo'shamiz va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiramiz:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

Odatda qisqa yoziladi:

2a - a = a

Ifodada o'xshash atamalarni keltirish 2a - a Siz boshqacha o'ylashingiz mumkin:

A 2 o'zgaruvchi bor edi, bitta o'zgaruvchi a chiqarildi, natijada faqat bitta o'zgaruvchi bor edi

Misol 4. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)

Endi biz shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz. Koeffitsientlarni qo'shing va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiring

(6 + (-3) + 4 + (-8)) × a = -1a = -a

Keling, echimni qisqacha yozaylik:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

O'xshash atamalarning bir nechta turli guruhlarini o'z ichiga olgan iboralar mavjud. Masalan, 3a + 3b + 7a + 2b... Bunday iboralar uchun qolgan qoidalar bilan bir xil qoidalar amal qiladi, ya'ni koeffitsientlarni qo'shish va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytirish. Ammo xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun har xil atamalar guruhlarini har xil satrlar bilan ta'kidlash qulay.

Masalan, ifodada 3a + 3b + 7a + 2b o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalar a, chizig'ini bitta chiziq bilan chizish mumkin va o'zgarmaydigan o'z ichiga olgan shartlar b, ikkita chiziq bilan chizilishi mumkin:

Endi biz shunga o'xshash atamalarni keltirishimiz mumkin. Ya'ni, koeffitsientlarni qo'shing va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiring. Buni har ikkala atama guruhi uchun qilish kerak: o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalar uchun a va o'zgaruvchini o'z ichiga olgan shartlar uchun b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3 + 7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Shunga qaramay, biz takrorlaymiz, ifoda oddiy va shunga o'xshash atamalarni esga olish mumkin:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Misol 5. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 5a - 6a -7b + b

Iloji bo'lsa, olib tashlashni qo'shish bilan almashtiring:

5a - 6a -7b + b = 5a + (-6a) + (-7b) + b

Keling, ushbu atamalarni turli satrlar bilan ta'kidlaylik. O'zgaruvchilar a biz bitta chiziq bilan va o'zgaruvchilar tarkibining shartlari bilan chizamiz b, chizig'ini ikki qator bilan belgilang:

Endi biz shunga o'xshash atamalarni keltirishimiz mumkin. Ya'ni, koeffitsientlarni qo'shing va natijani harfning umumiy qismiga ko'paytiring:

5a + (-6a) + (-7b) + b = (5 + (-6)) × a + ((-7) + 1) × b = -a + (-6b)

Agar iborada alifbo omilisiz oddiy raqamlar bo'lsa, ular alohida -alohida qo'shiladi.

Misol 6. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 4a + 3a - 5 + 2b + 7

Iloji bo'lsa, olib tashlashni qo'shish bilan almashtiring:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

Mana shunga o'xshash atamalar. Raqamlar −5 va 7 harf faktorlari yo'q, lekin ular o'xshash atamalar - ularni qo'shish kifoya. Va atama 2b bu o'zgarishsiz qoladi, chunki bu harf faktoriga ega bo'lgan yagona ifodadir b, va uni qo'shadigan hech narsa yo'q:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

Keling, echimni qisqacha yozaylik:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Shartlarni shunday buyurtma qilish mumkinki, bir xil harf qismiga ega bo'lgan atamalar iboraning bir qismida joylashgan.

Misol 7. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 5t + 2x + 3x + 5t + x

Ifoda bir nechta atamalarning yig'indisi bo'lgani uchun, bu uni istalgan tartibda baholashga imkon beradi. Shuning uchun, o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalar t, ifodaning boshida va o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalarda yozilishi mumkin x ifoda oxirida:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Endi biz shunga o'xshash atamalarni keltira olamiz:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x = 10t + 6x

Keling, echimni qisqacha yozaylik:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Jami qarama -qarshi raqamlar nolga teng. Bu qoida so'zma -so'z ifodalar uchun ham amal qiladi. Agar ifoda bir xil atamalarni o'z ichiga olgan bo'lsa -da, lekin qarama -qarshi belgilar bilan bo'lsa, siz shunga o'xshash atamalarni qisqartirish bosqichida ulardan qutulishingiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ularni ifodadan kesib tashlang, chunki ularning yig'indisi nolga teng.

Misol 8. Ifodada o'xshash atamalarni keltiring 3t - 4t - 3t + 2t

Iloji bo'lsa, olib tashlashni qo'shish bilan almashtiring:

3t - 4t - 3t + 2t = 3t + (-4t) + (-3t) + 2t

Shartlar 3t va (-3t) qarama -qarshi. Qarama -qarshi atamalar yig'indisi nolga teng. Agar biz bu nolni ifodadan olib tashlasak, u holda ifodaning qiymati o'zgarmaydi, shuning uchun uni olib tashlaymiz. Va biz shartlarni odatiy o'chirish bilan o'chirib tashlaymiz 3t va (-3t)

Natijada, biz ifoda bilan qolamiz (-4t) + 2t... Ushbu iborada siz shunga o'xshash atamalarni olib, oxirgi javobni olishingiz mumkin:

(-4t) + 2t = ((-4) + 2) × t = -2t

Keling, echimni qisqacha yozaylik:

Ifodalarni soddalashtirish

"Ifodani soddalashtiring" va keyin soddalashtirilishi kerak bo'lgan ifoda beriladi. Ifodani soddalashtiring uni soddalashtirish va qisqartirish demakdir.

Aslida, biz kasrlarni kamaytirganda iboralarni soddalashtirganmiz. Qisqartirilgandan so'ng, fraktsiya qisqaradi va tushunish osonroq bo'ladi.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Ifodani soddalashtiring.

Bu vazifani tom ma'noda quyidagicha tushunish mumkin: "Bu ifoda bo'yicha har qanday to'g'ri harakatni bajaring, lekin uni soddalashtiring." .

Bunday holda, siz kasrni kamaytirishingiz mumkin, ya'ni kasrning hisoblagichi va maxrajini 2 ga bo'lishingiz mumkin:

Yana nima qila olasiz? Olingan fraktsiyani hisoblashingiz mumkin. Keyin biz 0,5 kasr kasrini olamiz

Natijada kasr 0,5 ga soddalashtirildi.

Bunday muammolarni hal qilishda o'zingizga birinchi savol bo'lishi kerak "Nima qilish mumkin?" ... Chunki bajarilishi mumkin bo'lgan harakatlar ham bor, bajarib bo'lmaydigan ishlar ham bor.

Yodda tutilishi kerak bo'lgan yana bir muhim nuqta - bu iborani soddalashtirgandan so'ng, uning ma'nosi o'zgarmasligi kerak. Keling, iboraga qaytaylik. Bu ibora bajarilishi mumkin bo'lgan bo'linishdir. Bu bo'linishni bajarib, biz bu ifodaning qiymatini olamiz, ya'ni 0,5

Lekin biz ifodani soddalashtirdik va yangi soddalashtirilgan iborani oldik. Yangi soddalashtirilgan ifoda hali ham 0,5

Lekin biz ham ifodani hisoblash orqali soddalashtirishga harakat qildik. Natijada, biz 0,5 ga yakuniy javob oldik.

Shunday qilib, ifodani qanday soddalashtirmasligimizdan qat'i nazar, hosil bo'lgan ifodalarning qiymati baribir 0,5 ga teng. Bu shuni anglatadiki, soddalashtirish har bir bosqichda to'g'ri bajarilgan. Biz iboralarni soddalashtirishda bunga intilishimiz kerak - ifoda ma'nosiga bizning harakatlarimiz ta'sir qilmasligi kerak.

Ko'pincha so'zma -so'z ifodalarni soddalashtirish kerak bo'ladi. Ular raqamli ifodalar kabi soddalashtirish qoidalariga bo'ysunadilar. Ifodaning ma'nosi o'zgarmas ekan, siz har qanday amalni bajarishingiz mumkin.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol 1. Ifodani soddalashtiring 5.21s × t × 2.5

Bu ifodani soddalashtirish uchun siz raqamlarni alohida -alohida ko'paytirishingiz va harflarni alohida -alohida ko'paytirishingiz mumkin. Bu vazifa biz koeffitsientni aniqlashni o'rganganimizda ko'rib chiqilgan vazifaga juda o'xshaydi:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Shunday qilib, ifoda 5.21s × t × 2.5 ga soddalashtirilgan 13,025 -chi.

2 -misol. Ifodani soddalashtiring -0,4 × (-6,3b) × 2

Ikkinchi qism (-6.3b) biz uchun tushunarli bo'lgan shaklga tarjima qilinishi mumkin, ya'ni shaklda yozilgan ( -6.3) × b, keyin raqamlarni alohida va harflarni alohida ko'paytiring:

− 0,4 × (-6.3b) × 2 = − 0,4 × (-6.3) × b × 2 = 5.04b

Shunday qilib, ifoda -0,4 × (-6,3b) × 2 ga soddalashtirilgan 5.04b

Misol 3. Ifodani soddalashtiring

Raqamlar qaerda va harflar qaerda ekanligini aniq ko'rish uchun bu ifodani batafsilroq yozamiz:

Endi biz raqamlarni alohida -alohida ko'paytiramiz va harflarni alohida -alohida ko'paytiramiz:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan - abc. Bu yechimni qisqacha yozish mumkin:

Ifodalarni soddalashtirganda, kasrlarni oddiy kasrlarda bo'lgani kabi, oxirida ham emas, balki yechish jarayonida ham bekor qilish mumkin. Masalan, agar echim paytida biz shaklning ifodasiga qoqilib qolsak, unda hisoblagich va maxrajni hisoblab, shunday qilish shart emas:

Hisoblagich va maxrajdagi omilni tanlash va bu omillarni eng katta umumiy bo'linishi bilan bekor qilish orqali kasrni bekor qilish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz hisoblagich va maxraj nimalarga bo'linganligini batafsil tasvirlab bermaymiz.

Masalan, hisoblagichda 12 koeffitsienti va maxrajda 4 koeffitsienti 4 ga kamaytirilishi mumkin. Biz to'rttasini yodda tutamiz va 12 va 4 ni shu to'rtga bo'linib, biz javoblarni shu raqamlar yoniga yozamiz. ularni tashqariga

Endi siz paydo bo'lgan kichik omillarni ko'paytirishingiz mumkin. Bunday holda, ular kam va sizning boshingizda ko'paytirilishi mumkin:

Vaqt o'tishi bilan siz ma'lum bir muammoni hal qilishda iboralar "semirishni" boshlaydilar, shuning uchun tez hisob -kitoblarga ko'nikish tavsiya etiladi. Aqlda nimani hisoblash mumkin, aql bilan hisoblanishi kerak. Tez kesilishi mumkin bo'lgan narsani tezda kesish kerak.

Misol 4. Ifodani soddalashtiring

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan

Misol 5. Ifodani soddalashtiring

Keling, raqamlarni alohida va harflarni alohida ko'paytiramiz:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan mn.

Misol 6. Ifodani soddalashtiring

Raqamlar qaerda va harflar qaerda ekanligini aniq ko'rish uchun bu ifodani batafsilroq yozamiz:

Endi biz raqamlarni alohida va harflarni alohida ko'paytiramiz. Hisob -kitoblarning qulayligi uchun -6,4 kasr kasrini va aralash sonni oddiy kasrlarga aylantirish mumkin:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan

Bu misolning yechimini ancha qisqa yozish mumkin. Bu shunday ko'rinadi:

Misol 7. Ifodani soddalashtiring

Raqamlarni alohida, harflarni alohida ko'paytiramiz. Hisoblash qulayligi uchun aralash raqam va o'nliklar 0,1 va 0,6 ni oddiy kasrlarga aylantirish mumkin:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan a B C D... Agar siz tafsilotlarni o'tkazib yuborsangiz, unda bu yechimni ancha qisqa yozish mumkin:

Fraktsiya qanday kamayganiga e'tibor bering. Oldingi omillarni kamaytirish natijasida olingan yangi omillarni ham kamaytirishga ruxsat beriladi.

Endi nima qilmaslik kerakligi haqida gapiraylik. Ifodalarni soddalashtirganda, ifoda mahsulot emas, balki summa bo'lsa, raqamlar va harflarni ko'paytirish mutlaqo mumkin emas.

Misol uchun, agar siz ifodani soddalashtirmoqchi bo'lsangiz 5a + 4b, keyin uni quyidagicha yozib bo'lmaydi:

Bu shuni anglatadiki, agar bizdan ikkita raqam qo'shish so'ralsa va biz ularni qo'shish o'rniga ko'paytirsak.

O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlarini almashtirishda a va b ifoda 5a + 4b oddiy raqamli ifodaga aylanadi. Faraz qilaylik, o'zgaruvchilar a va b quyidagi ma'nolarga ega:

a = 2, b = 3

Shunda ifoda qiymati 22 bo'ladi

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Avval ko'paytirish amalga oshiriladi, so'ngra natijalar qo'shiladi. Agar biz bu iborani raqamlar va harflarni ko'paytirish orqali soddalashtirishga harakat qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Bu iboraning mutlaqo boshqacha ma'nosi bo'lib chiqadi. Birinchi holda, bu ma'lum bo'ldi 22 , ikkinchi holatda 120 ... Bu ifodani soddalashtirish deganidir 5a + 4b noto'g'ri bajarilgan.

Ifodani soddalashtirgandan so'ng, uning qiymati o'zgaruvchilarning bir xil qiymatlari bilan o'zgarmasligi kerak. Agar biron -bir o'zgaruvchi qiymatni dastlabki ifodaga almashtirgandan so'ng, bitta qiymat olinsa, ifodani soddalashtirgandan so'ng, soddalashtirishdan oldingi qiymatni olish kerak.

Ifoda bilan 5a + 4b aslida hech narsa qilish mumkin emas. Bu unchalik soddalashtirilmagan.

Agar iborada bunday atamalar bo'lsa, ularni qo'shish mumkin, agar bizning maqsadimiz ifodani soddalashtirish bo'lsa.

Misol 8. Ifodani soddalashtiring 0,3a - 0,4a + a

0.3a - 0.4a + a = 0.3a + (-0.4a) + a = (0.3 + (-0.4) + 1) × a = 0.9a

yoki qisqa: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Shunday qilib, ifoda 0,3a - 0,4a + a ga soddalashtirilgan 0,9a

Misol 9. Ifodani soddalashtiring -7.5a - 2.5b + 4a

Bu iborani soddalashtirish uchun siz quyidagi atamalarni berishingiz mumkin:

-7.5a - 2.5b + 4a = -7.5a + (-2.5b) + 4a = ((-7.5) + 4) × a + (-2.5b) = -3.5a + (-2.5b)

yoki qisqaroq -7.5a - 2.5b + 4a = -3.5a + (-2.5b)

Muddati (-2,5b) o'zgarishsiz qoldi, chunki unga hech narsa qo'shilmadi.

Misol 10. Ifodani soddalashtiring

Bu iborani soddalashtirish uchun siz quyidagi atamalarni berishingiz mumkin:

Hisoblash qulayligi uchun koeffitsient.

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan

Misol 11. Ifodani soddalashtiring

Bu iborani soddalashtirish uchun siz quyidagi atamalarni berishingiz mumkin:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan.

Bu misolda birinchi va oxirgi koeffitsiyentlarni qo'shish maqsadga muvofiq bo'ladi. Bunday holda, biz qisqa echim topamiz. Bu shunday ko'rinadi:

Misol 12. Ifodani soddalashtiring

Bu iborani soddalashtirish uchun siz quyidagi atamalarni berishingiz mumkin:

Shunday qilib, ifoda ga soddalashtirilgan .

Bu atama o'zgarishsiz qoldi, chunki uni qo'shadigan hech narsa yo'q edi.

Bu yechimni ancha qisqa yozish mumkin. Bu shunday ko'rinadi:

Qisqa yechim, ayirishni qo'shish va kasrlar qanday kamaytirilganligi haqida batafsil yozish bosqichlarini o'tkazib yuboradi umumiy maxraj.

Yana bir farq shundaki, batafsil echimda javob shunday ko'rinadi , lekin qisqasi. Aslida, ular bir xil ifodadir. Farqi shundaki, birinchi holatda ayirish qo'shish bilan almashtiriladi, chunki biz boshida, biz yechimni batafsil yozganimizda, iloji boricha qo'shishni ayirish bilan almashtirganmiz va bu almashtirish ham javob uchun saqlanib qolgan.

Shaxslar. Bir xil teng ifodalar

Har qanday ifodani soddalashtirgandan so'ng, u sodda va qisqaroq bo'ladi. Soddalashtirilgan ifodaning to'g'riligini tekshirish uchun o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlarini avval soddalashtirilgan oldingi iboraga, so'ngra soddalashtirilgan yangi ifodaga almashtirish kifoya. Agar ikkala ifodadagi qiymat bir xil bo'lsa, unda ifoda to'g'ri soddalashtirilgan.

Keling, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik. Ifodani soddalashtirish talab qilinadi 2a × 7b... Ushbu iborani soddalashtirish uchun siz raqamlar va harflarni alohida -alohida ko'paytirishingiz mumkin:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Keling, ifodani to'g'ri soddalashtirganimizni tekshirib ko'ramiz. Buning uchun o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlarini almashtiring a va b avval soddalashtirilishi kerak bo'lgan birinchi ifodaga, so'ngra soddalashtirilgan ikkinchisiga.

O'zgaruvchilarning qiymatlari bo'lsin a , b quyidagicha bo'ladi:

a = 4, b = 5

Keling, ularni birinchi ifodada almashtiraylik 2a × 7b

Endi soddalashtirish natijasida paydo bo'lgan ifodaga bir xil o'zgaruvchilar qiymatlarini almashtiraylik 2a × 7b, ya'ni ifodada 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Buning uchun ko'ramiz a = 4 va b = 5 birinchi ifodaning qiymati 2a × 7b va ikkinchi ifodaning qiymati 14ab tengdirlar

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Boshqa qadriyatlar uchun ham shunday bo'ladi. Masalan, ruxsat bering a = 1 va b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Shunday qilib, o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun ifodalar 2a × 7b va 14ab ular bir xil qiymatga teng. Bunday ifodalar deyiladi bir xil teng.

Biz ifodalar orasida shunday xulosa qilamiz 2a × 7b va 14ab Siz teng belgini qo'yishingiz mumkin, chunki ular bir xil qiymatga teng.

2a × 7b = 14ab

Tenglik - bu tenglik belgisi bilan bog'langan har qanday ifoda (=).

Va shaklning tengligi 2a × 7b = 14ab chaqiriladi identifikatsiya.

Identifikatsiya - bu o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tenglik.

Identifikatsiyaning boshqa misollari:

a + b = b + a

a (b + c) = ab + ac

a (bc) = (ab) c

Ha, biz o'rgangan matematika qonunlari - bu shaxsiyat.

Haqiqiy son tengliklari ham o'zlikdir. Masalan:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Murakkab masalani echish, o'z -o'zini hisoblashni osonlashtirish uchun, murakkab ibora avvalgisiga o'xshash sodda ifodaga almashtiriladi. Bu almashtirish deyiladi ifodaning bir xil o'zgarishi bilan yoki oddiygina ifoda konvertatsiyasi.

Masalan, biz ifodani soddalashtirdik 2a × 7b va sodda ifodaga ega bo'ldi 14ab... Bu soddalashtirishni identifikatsiyani o'zgartirish deb atash mumkin.

Siz tez -tez aytadigan vazifani topishingiz mumkin "Tenglik - bu o'ziga xoslik ekanligini isbotlang" va keyin isbotlanadigan tenglik beriladi. Odatda bu tenglik ikki qismdan iborat: tenglikning chap va o'ng tomoni. Bizning vazifamiz tenglik qismlaridan biri bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish va boshqa qismini olishdir. Yoki tenglikning ikkala tomoni bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshiring va tenglikning har ikki tomonida ham bir xil ifodalarni qiling.

Masalan, tenglik ekanligini isbotlaylik 0,5a × 5b = 2,5ab identifikator hisoblanadi.

Keling, bu tenglikning chap tomonini soddalashtiraylik. Buning uchun raqamlar va harflarni alohida ko'paytiring:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2.5ab = 2.5ab

Shaxsiyatning ozgina o'zgarishi natijasida tenglikning chap tomoni tenglikning o'ng tomoniga tenglashdi. Shunday qilib, biz tenglik ekanligini isbotladik 0,5a × 5b = 2,5ab identifikator hisoblanadi.

Bir xil o'zgarishlardan biz sonlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish, kasrlarni kamaytirish, o'xshash atamalarni keltirish, shuningdek ba'zi iboralarni soddalashtirishni o'rgandik.

Ammo bu matematikada mavjud bo'lgan bir xil o'zgarishlardan uzoqdir. Yana bir xil o'xshash o'zgarishlar mavjud. Kelajakda biz bunga bir necha bor amin bo'lamiz.

O'z-o'ziga yordam vazifalari:

Sizga dars yoqdimi?
Yangi Vkontakte guruhimizga qo'shiling va yangi darslar haqida bildirishnoma olishni boshlang

Har qanday til bir xil ma'lumotni ifoda eta oladi turli so'zlar bilan va aylanmalar. Matematik til ham bundan mustasno emas. Lekin bir xil ifodani ekvivalent tarzda har xil yozish mumkin. Va ba'zi hollarda, yozuvlardan biri oddiyroq. Bu darsda iboralarni soddalashtirish haqida gaplashamiz.

Odamlar muloqot qilishadi turli tillar... Biz uchun "rus tili - matematik til" juftligi muhim taqqoslashdir. Xuddi shu ma'lumot turli tillarda berilishi mumkin. Ammo, bundan tashqari, uni bitta tilda boshqacha talaffuz qilish mumkin.

Masalan: "Petya - Vasya bilan do'st", "Vasya - Petya bilan do'st", "Petya - Vasya bilan do'st". Bu har xil aytilgan, lekin bir xil. Ushbu iboralarning har biri uchun biz nima xavf ostida ekanligini tushunamiz.

Keling, bu iborani ko'rib chiqaylik: "Bola Petya va bola Vasya do'st". Biz nima ekanligini tushundik savol ostida... Biroq, bu iboraning ovozi bizga yoqmaydi. Biz buni soddalashtira olmaymizmi, xuddi shu narsani aytamiz, lekin osonroqmi? "O'g'il va bola" - siz bir marta aytishingiz mumkin: "Bolalar Petya va Vasya do'stlar".

"O'g'il bolalar" ... Ismlaridan ko'rinib turibdiki, ular qiz emas. Biz "bolalar" ni olib tashlaymiz: "Petya va Vasya do'stlar". Va "do'stlar" so'zini "do'stlar" bilan almashtirish mumkin: "Petya va Vasya do'stlar". Natijada, birinchi, uzun, xunuk ibora ekvivalent gap bilan almashtirildi, uni aytish osonroq va tushunish osonroq. Biz bu iborani soddalashtirdik. Soddalashtirish - bu osonroq demoqchi, lekin yo'qotmaslik, ma'nosini buzmaslik.

Xuddi shu narsa matematik tilda ham sodir bo'ladi. Xuddi shu narsani turli yo'llar bilan yozish mumkin. Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, asl iboraning ko'plab ekvivalent ifodalari mavjud, ya'ni xuddi shu narsani bildiradi. Va bularning barchasidan biz, bizning fikrimizcha, eng sodda yoki keyingi maqsadlarimiz uchun eng mosini tanlashimiz kerak.

Masalan, raqamli ifodani ko'rib chiqing. Uning ekvivalenti bo'ladi.

Bundan tashqari, birinchi ikkiga teng bo'ladi: .

Ma'lum bo'lishicha, biz o'z ifodalarimizni soddalashtirdik va eng qisqa ekvivalent ifodani topdik.

Raqamli iboralar uchun siz har doim hamma narsani qilishingiz va ekvivalent ifodani bitta raqam sifatida olishingiz kerak.

To'g'ridan -to'g'ri ifoda misolini ko'rib chiqing . Shubhasiz, bu osonroq bo'ladi.

Oddiy iboralarni soddalashtirganda, mumkin bo'lgan barcha qadamlarni bajarish kerak.

Har doim ifodani soddalashtirish kerakmi? Yo'q, ba'zan biz uchun ekvivalent, lekin uzoqroq rekord bo'lishi qulayroq bo'ladi.

Misol: sondan raqamni chiqarib oling.

Hisoblash mumkin, lekin agar birinchi raqam uning ekvivalenti belgisi bilan ifodalangan bo'lsa, unda hisoblar bir zumda bo'ladi :.

Ya'ni, soddalashtirilgan ifoda har doim ham keyingi hisob -kitoblar uchun biz uchun foydali bo'lmaydi.

Shunga qaramay, ko'pincha biz "iborani soddalashtirish" kabi eshitiladigan vazifaga duch kelamiz.

Ifodani soddalashtiring:.

Yechim

1) Keling, amallarni birinchi va ikkinchi qavs ichida bajaramiz :.

2) Keling, mahsulotlarni hisoblaymiz: .

Shubhasiz, oxirgi ifoda birinchisidan sodda. Biz uni soddalashtirdik.

Ifodani soddalashtirish uchun uni ekvivalent (teng) bilan almashtirish kerak.

Ekvivalent ifodani aniqlash uchun siz:

1) barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish;

2) hisoblarni soddalashtirish uchun qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'linish xususiyatlaridan foydalanish.

Qo'shish va ayirish xususiyatlari:

1. Qo'shishning joy almashtirish xususiyati: yig'indilar shartlarning almashinishidan o'zgarmaydi.

2. Qo'shishning kombinatsion xususiyati: ikkita sonning yig'indisiga uchinchi raqamni qo'shish uchun birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi sonlarning yig'indisini qo'shish mumkin.

3. Raqamdan yig'indini chiqarish xususiyati: sondan yig'indini olib tashlash uchun har bir atamani alohida ajratish mumkin.

Ko'paytirish va bo'linish xususiyatlari

1. Ko'paytirishning joy almashish xususiyati: mahsulot omillar almashinishidan o'zgarmaydi.

2. Kombinatsiya xossasi: sonni ikkita sonning ko'paytmasiga ko'paytirish uchun avval uni birinchi omilga, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotni ikkinchi omilga ko'paytirish mumkin.

3. Ko'paytirishning taqsimlovchi xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun uni har bir songa alohida ko'paytirish kerak.

Keling, hisob -kitoblarni miyamizda qanday amalga oshirayotganimizni ko'rib chiqaylik.

Hisoblash:

Yechim

1) sifatida ifodalaymiz

2) Biz birinchi omilni bit shartlari yig'indisi sifatida ko'rsatamiz va ko'paytirishni bajaramiz:

3) siz qanday qilib ko'paytirishni tasavvur qilishingiz mumkin:

4) birinchi omilni ekvivalent summa bilan almashtiring:

Tarqatish qonunini teskari yo'nalishda ishlatish mumkin :.

Bosqichlarni bajaring:

1) 2)

Yechim

1) Qulaylik uchun siz tarqatish qonunidan foydalanishingiz mumkin, uni faqat teskari yo'nalishda ishlating - qavsdan umumiy omilni olib tashlang.

2) Qavs ichidagi umumiy omilni olib tashlang

Oshxonada va koridorda linolyum sotib olish kerak. Oshxona maydoni - koridor -. Linoleumlarning uch turi mavjud: uchun va rubl. Uch turdagi linolyumning har biri qancha turadi? (1 -rasm)

Guruch. 1. Muammo bayoni uchun illyustratsiya

Yechim

Usul 1. Siz oshxonada linolyum sotib olish uchun qancha pul kerakligini alohida topishingiz mumkin, so'ngra olingan asarlarni koridorga qo'yishingiz mumkin.

Keling, ifodalarni kuch bilan o'zgartirish mavzusini ko'rib chiqaylik, lekin avval biz har qanday ifodalar, shu jumladan eksponentli ifodalar yordamida amalga oshirilishi mumkin bo'lgan bir qator o'zgarishlarga to'xtalamiz. Qavslar ochishni, bunday atamalarni keltirishni, radius va eksponent bilan ishlashni va daraja xususiyatlaridan foydalanishni o'rganamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponensial ifodalar nima?

V maktab kursi kam odam "" iborasini ishlatadi. eksponensial ifodalar", Ammo bu atama imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamlarda doimo topiladi. Ko'pgina hollarda, ibora o'z yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralarni bildiradi. Biz buni ta'rifimizda aks ettiramiz.

Ta'rif 1

Eksponensial ifoda Bu darajalarni o'z ichiga olgan ifoda.

Bu erda eksponensial ifodalarga misollar, tabiiy darajali darajadan boshlab haqiqiy darajali darajaga qadar.

Quvvatni oddiy ifodalarni tabiiy eksponentli sonlarning kuchlari deb hisoblash mumkin: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, ( - 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Shuningdek, nol ko'rsatkichli darajalar: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Va manfiy sonli darajali darajalar: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga ega bo'lgan daraja bilan ishlash biroz qiyinroq: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Ko'rsatkich 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o'zgaruvchi yoki logarifm bo'lishi mumkin x 2 l g x - 5 x l g x.

Quvvat ifodalari nima degan savol bilan biz tushundik. Endi ularni konvertatsiya qilishga o'tamiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Avvalo, biz eksponensial ifodalar yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan iboralarning asosiy identifikatsiyasini ko'rib chiqamiz.

Misol 1

Ko'rsatkichli ifodaning qiymatini hisoblang 2 3 (4 2 - 12).

Yechim

Biz barcha o'zgarishlarni harakatlar tartibiga muvofiq amalga oshiramiz. Bunday holda, biz harakatlarni qavs ichida bajarishdan boshlaymiz: darajani raqamli qiymat bilan almashtiring va ikkita raqam orasidagi farqni hisoblang. Bizda ... bor 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Diplomni almashtirish biz uchun qoladi 2 3 uning ma'nosi 8 va mahsulotni hisoblang 8 4 = 32... Mana bizning javobimiz.

Javob: 2 3 (4 2 - 12) = 32.

2 -misol

Qudrat bilan ifodani soddalashtiring 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Yechim

Muammo bayonotida bizga berilgan ibora shunga o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi, biz ularni berishimiz mumkin: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Javob: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

Misol 3

Mahsulot sifatida 9 - b 3 · π - 1 2 kuchga ega bo'lgan ifodani tasavvur qiling.

Yechim

Keling, 9 raqamini kuch sifatida ifodalaymiz 3 2 va qisqartirish ko'paytirish formulasini qo'llang:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Javob: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Va endi kuch ifodalariga nisbatan qo'llanilishi mumkin bo'lgan bir xil o'zgarishlarni tahlil qilishga o'tamiz.

Asosiy va eksponent bilan ishlash

Bazadagi yoki darajadagi daraja raqamlar, o'zgaruvchilar va ba'zi ifodalarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 va ... Bunday yozuvlar bilan ishlash qiyin. Eksponent bazasidagi ifodani yoki eksponentdagi ifodani bir xil teng ifodaga almashtirish ancha oson.

Darajali va eksponentli konversiyalar bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq bir -biridan alohida amalga oshiriladi. Eng muhimi shundaki, o'zgarish natijasida asl nusxaga o'xshash ibora olinadi.

Transformatsiyaning maqsadi - asl ifodani soddalashtirish yoki muammoning echimini olish. Masalan, biz bergan misolda, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7, siz darajaga o'tish uchun qadamlarni bajarishingiz mumkin. 4 , 1 1 , 3 ... Qavslarni kengaytirib, biz shunga o'xshash atamalarni daraja asosida berishimiz mumkin (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) va oddiy shaklning eksponensial ifodasini oling a 2 (x + 1).

Darajali xususiyatlardan foydalanish

Tenglik sifatida yozilgan quvvat xususiyatlari kuch ifodalarini o'zgartirishning asosiy vositalaridan biridir. Mana shuni hisobga olgan holda asosiylari a va b Ijobiy raqamlar bormi va r va s- ixtiyoriy haqiqiy sonlar:

Ta'rif 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Agar biz tabiiy, tamsayı va musbat ko'rsatkichlar bilan ish olib boradigan bo'lsak, a va b sonlariga nisbatan cheklovlar ancha qattiqroq bo'lishi mumkin. Masalan, agar biz tenglikni ko'rib chiqsak a m a n = a m + n, qaerda m va n – butun sonlar, keyin a ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'ladi, ham ijobiy, ham salbiy a = 0.

Darajalar xususiyatlarini cheklovlarsiz qo'llash mumkin, agar daraja asoslari ijobiy yoki o'zgaruvchilar bo'lsa, ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni, uning asoslari faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Aslida, ichida maktab o'quv dasturi matematikada talabaning vazifasi - mos xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llash.

Universitetlarga kirishga tayyorgarlik ko'rayotganda, mulkni noto'g'ri ishlatish ODZning torayishiga va uni hal qilishda boshqa qiyinchiliklarga olib keladigan muammolar bo'lishi mumkin. Ushbu bo'limda biz faqat ikkita shunday holatni tahlil qilamiz. Mavzu bo'yicha qo'shimcha ma'lumotni "Quvvat xususiyatlaridan foydalanib ifodalarni o'zgartirish" mavzusida topish mumkin.

Misol 4

Ifodani tasavvur qiling a 2,5 (a 2) - 3: a - 5,5 radiusli daraja sifatida a.

Yechim

Birinchidan, biz eksponentatsiya xususiyatidan foydalanamiz va ikkinchi omilni unga aylantiramiz (a 2) - 3... Keyin biz bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanamiz:

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 - 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - ( - 5, 5 ) = a 2.

Javob: a 2,5 (a 2) - 3: a - 5,5 = a 2.

Ko'rsatkichli ifodalarni daraja xususiyatiga ko'ra o'zgartirish chapdan o'ngga va teskari yo'nalishda amalga oshirilishi mumkin.

Misol 5

Ko'rsatkichli ifodaning qiymatini toping 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Yechim

Agar biz tenglikni qo'llasak (a b) r = a r b r, o'ngdan chapga, keyin biz 3 · 7 1 3 · 21 2 3 va undan keyingi 21 1 3 · 21 2 3 shaklidagi mahsulotni olamiz. Darajalarni bir xil asoslarga ko'paytirganda ko'rsatkichlarni qo'shamiz: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

O'zgarishlarni amalga oshirishning yana bir yo'li bor:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Javob: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Misol 6

Eksponensial ifoda berilgan a 1, 5 - a 0, 5 - 6, yangi o'zgaruvchini kiriting t = 0,5.

Yechim

Darajani tasavvur qiling a 1, 5 Qanaqasiga 0,5 3... Biz daraja xususiyatidan darajaga qadar foydalanamiz (a r) s = a r s o'ngdan chapga va biz (a 0, 5) 3 ni olamiz: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Olingan ifodaga osongina yangi o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin. t = 0,5: olamiz t 3 - t - 6.

Javob: t 3 - t - 6.

Kuchlarni o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Biz odatda kasrli eksponensial ifodalarning ikkita varianti bilan ishlaymiz: ifoda kuchga ega kasr yoki bunday kasrni o'z ichiga oladi. Kasrlarning barcha asosiy o'zgarishlari bunday ifodalarga cheklovlarsiz qo'llaniladi. Ularni qisqartirish, yangi maxrajga tushirish va ajratuvchi va maxraj bilan alohida ishlash mumkin. Keling, buni misollar bilan tushuntiraylik.

Misol 7

Ko'rsatkichli ifodani soddalashtiring 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.

Yechim

Biz kasr bilan shug'ullanmoqdamiz, shuning uchun ham hisoblagichda, ham maxrajda o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Maqsad belgisini o'zgartirish uchun kasr oldiga minus qo'ying: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Javob: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Kuchli kasrlar ratsional kasrlar singari yangi mohiyatga tushiriladi. Buning uchun siz qo'shimcha omilni topishingiz va kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytirishingiz kerak. Qo'shimcha omilni shunday tanlash kerakki, u asl ifodaning ODZ o'zgaruvchilardan o'zgaruvchilarining hech qanday qiymatlari yo'qolmasin.

Misol 8

Kasrlarni yangi maxrajga kamaytiring: a) a + 1 a 0, 7 maxrajga a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 maxrajga x + 8 y 1 2.

Yechim

a) Keling, yangi mohiyatni kamaytirishga imkon beradigan omilni tanlaylik. a 0,7 a 0, 3 = 0,7 + 0, 3 = a, shuning uchun biz qo'shimcha omil sifatida olamiz 0, 3... A o'zgaruvchining haqiqiy qiymatlari diapazoni barcha musbat haqiqiy sonlar to'plamini o'z ichiga oladi. Bu sohada daraja 0, 3 yo'qolmaydi.

Keling, kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytiramiz 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) maxrajga e'tibor bering:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Bu ifodani x 1 3 + 2 y 1 6 ga ko'paytiring, biz x 1 3 va 2 y 1 6 kublar yig'indisini olamiz, ya'ni. x + 8 y 12. Bu bizning yangi maxrajimiz, unga dastlabki fraktsiyani kamaytirish kerak.

Shunday qilib, biz x 1 3 + 2 · y 1 6 qo'shimcha faktorni topdik. O'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni to'g'risida x va y x 1 3 + 2 y 1 6 ifodasi yo'qolmaydi, shuning uchun biz kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytirishimiz mumkin:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Javob: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 12.

Misol 9

Kasrni kamaytiring: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Yechim

a) Biz eng katta umumiy maxrajdan (GCD) foydalanamiz, uning yordamida hisoblagich va maxrajni kamaytirish mumkin. 30 va 45 raqamlari uchun bu 15. Tomonidan ham kamaytirishimiz mumkin x 0,5 + 1 va x + 2 x 1 1 3 - 5 3 da.

Biz olamiz:

30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0,5 + 1)

b) Bu erda bir xil omillarning mavjudligi aniq emas. Hisoblagich va denominatorda bir xil omillarni olish uchun siz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun kvadratchalarning farqi formulasidan foydalanib maxrajni kengaytiramiz:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Javob: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Fraktsiyalar bilan bajariladigan asosiy harakatlarga yangi denominatorga o'tish va kasrlarni kamaytirish kiradi. Har ikkala harakat ham bir qator qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shish va olib tashlashda, birinchi navbatda, kasrlar umumiy qismga keltiriladi, shundan so'ng amallar (qo'shish yoki ayirish) hisoblagichlar yordamida bajariladi. Maqsad bir xil bo'lib qoladi. Bizning harakatlarimiz natijasi - bu yangi kasr, uning hisoblagichi sanoq mahsuloti, va maxraji maxrajlar hosilasi.

Misol 10

X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 bosqichlarini bajaring.

Yechim

Qavs ichidagi kasrlarni olib tashlashdan boshlaylik. Keling, ularni umumiy mohiyatga keltiraylik:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Hisoblagichlarni chiqarib tashlang:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Endi biz kasrlarni ko'paytiramiz:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Darajaga qarab kamaytiring x 12, biz 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 ni olamiz.

Bundan tashqari, siz kvadratchalarning farqi yordamida maxrajdagi eksponensial ifodani soddalashtirishingiz mumkin: kvadratchalar formulasi: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Javob: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Misol 11

Ko'rsatkichli ifodani soddalashtiring x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Yechim

Biz fraktsiyani kamaytirishimiz mumkin (x 2, 7 + 1) 2... Biz x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kasrini olamiz.

X x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 darajalarini o'zgartirishni davom eting. Endi siz kuchlarni taqsimlash xususiyatidan bir xil asosda foydalanishingiz mumkin: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1. x 2, 7 + 1.

Biz oxirgi mahsulotdan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 kasrga o'tamiz.

Javob: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Aksariyat hollarda, eksponentning belgisini o'zgartirib, manfiy eksponentli ko'paytuvchilarni maxrajdan maxrajga o'tkazish va aksincha o'tkazish qulayroqdir. Bu harakat sizga keyingi echimni soddalashtirish imkonini beradi. Mana bir misol: (x + 1) - 0, 2 3 x - 1 eksponensial ifodasini x 3 (x + 1) 0, 2 ga almashtirish mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Muammolarda faqat kasrli eksponentlarga ega bo'lgan kuchlarni emas, balki ildizlarni ham o'z ichiga olgan kuch ifodalari mavjud. Bunday iboralarni faqat ildizlarga yoki faqat darajalarga kamaytirish maqsadga muvofiqdir. Darajalarga o'tish afzalroq, chunki ular bilan ishlash osonroq. Ayniqsa, LDV o'zgaruvchilarining asl ifodasi uchun modulga murojaat qilmasdan yoki LDVni bir necha intervallarga ajratmasdan, kuchlarni almashtirishga ruxsat berilganida, bunday o'tish afzalroqdir.

Misol 12

X 1 9 x x 3 6 ifodasini kuch sifatida tasavvur qiling.

Yechim

O'zgaruvchan diapazon x ikkita tengsizlik bilan belgilanadi x ≥ 0 va x x 3 ≥ 0, bu to'plamni aniqlaydi [ 0 , + ∞) .

Ushbu to'plamda biz ildizlardan kuchlarga o'tish huquqiga egamiz:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x x 1 3 1 6

Darajalarning xususiyatlaridan foydalanib, biz hosil bo'ladigan eksponensial ifodani soddalashtiramiz.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 X 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 13

Javob: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Eksponentlarni eksponentda o'zgaruvchiga aylantirish

Agar daraja xususiyatlari to'g'ri ishlatilsa, bu o'zgarishlarni amalga oshirish juda oddiy. Masalan, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Biz darajadagi mahsulotni almashtira olamiz, bunda o'zgaruvchi va sonning yig'indisi bor. Chap tomonda, bu iboraning chap qismidagi birinchi va oxirgi shartlar yordamida amalga oshirilishi mumkin:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0,5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Endi biz tenglikning ikkala tomonini ham ikkiga bo'lamiz 7 2 x... X o'zgaruvchining ODZidagi bu ifoda faqat ijobiy qiymatlarni oladi:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Kuchlar bilan kasrlarni kamaytirib, biz olamiz: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Nihoyat, bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan kuchlarning nisbati nisbatlarning kuchlari bilan almashtiriladi, bu 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tenglamaga olib keladi, bu 5 5 7 x 2 - ga teng. 3 5 7 x - 2 = 0.

T = 5 7 x yangi o'zgaruvchini kiriting, bu yechimni asl nusxaga kamaytiradi eksponensial tenglama 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 kvadrat tenglama yechimiga.

Quvvatlar va logarifmalar bilan ifodalarni aylantiring

Muammolarda daraja va logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralar ham uchraydi. Bunday ifodalarga misollar: 1 4 1 - 5 · log 2 3 yoki log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Bunday ifodalarni aylantirish yuqorida muhokama qilingan logarifmalarning yondashuvlari va xossalari yordamida amalga oshiriladi, biz ularni "logarifmik ifodalarni konvertatsiya qilish" mavzusida batafsil muhokama qildik.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmalar birikmasini bosing

Dars boshida biz asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqamiz kvadrat ildizlar, keyin esa kvadrat ildizlarni o'z ichiga olgan iboralarni soddalashtirishning murakkab misollarini ko'rib chiqaylik.

Mavzu:Funktsiya... Xususiyatlari kvadrat ildiz

Dars:Yana murakkab ildizli iboralarni aylantirish va soddalashtirish

1. Kvadrat ildizlarning xususiyatlarini takrorlash

Keling, nazariyani qisqacha takrorlaylik va kvadrat ildizlarning asosiy xususiyatlarini eslaylik.

Kvadrat ildizlarning xususiyatlari:

1., shuning uchun;

3. ;

4. .

2. Ildizli ifodalarni soddalashtirishga misollar

Keling, ushbu xususiyatlardan foydalanish misollariga o'tamiz.

Misol 1. Ifodani soddalashtiring .

Yechim. Oddiylik uchun 120 raqamini asosiy omillarga aylantirish kerak:

Biz mos keladigan formula bo'yicha yig'indining kvadratini ochamiz:

Misol 2. Ifodani soddalashtiring .

Yechim. Keling, bu ifoda o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun mantiqiy emasligini hisobga olamiz, chunki bu ifoda kvadrat ildizlar va kasrlarni o'z ichiga oladi, bu esa qabul qilinadigan qiymatlar diapazonining "torayishiga" olib keladi. ODZ: ().

Qavslar ichidagi ifodani umumiy mohiyatga keltiramiz va oxirgi kasrning sonini kvadratlarning farqi sifatida yozamiz:

Javob. da.

Misol 3. Ifodani soddalashtiring .

Yechim. Ko'rinib turibdiki, hisoblagichning ikkinchi qavsi noqulay shaklga ega va uni soddalashtirish kerak, shuning uchun uni guruhlash usuli yordamida omillarga ajratishga harakat qilaylik.

Umumiy omilni ajratib ko'rsatish uchun biz ildizlarni omillarga ajratish orqali soddalashtirdik. Olingan ifodani asl kasrga almashtiring:

Fraktsiyani kamaytirgandan so'ng, biz kvadratchalar farqining formulasini qo'llaymiz.

3. Irrasionallikdan qutulishga misol

Misol 4. Maxrajdagi irratsionallikdan (ildizlardan) qutuling: a); b).

Yechim. a) maxrajdagi irratsionallikdan qutulish uchun kasrning ham sonini, ham maxrajini ko'paytiruvchi konjugat bilan maxrajga ko'paytirishning standart usuli qo'llaniladi (bir xil ifoda, lekin teskari belgi bilan). Bu kasrning maxrajini kvadratlarning farqiga to'ldirish uchun qilingan, bu sizga maxrajdagi ildizlardan qutilish imkonini beradi. Keling, ushbu texnikani bizning holatlarimizda bajaraylik:

b) shunga o'xshash harakatlarni bajaring:

4. Murakkab radikalda to'liq kvadratni isbotlash va tanlashga misol

Misol 5. Tenglikni isbotlang .

Dalil. Keling, kvadrat ildiz ta'rifidan foydalanamiz, shundan to'g'ri ifoda kvadratining radikal ifodaga teng bo'lishi kerak:

... Qavslarni summa kvadratining formulasi bo'yicha ochamiz:

, to'g'ri tenglikka ega bo'ldi.

Tasdiqlangan.

Misol 6. Ifodani soddalashtiring.

Yechim. Bu ifoda odatda murakkab radikal (ildiz ostidagi ildiz) deb ataladi. Bu misolda siz radikal ifodadan to'liq kvadratni qanday tanlashni taxmin qilishingiz kerak. Buning uchun, ikkita shartning farq kvadratining formulasida ikki barobar ko'paytiriladigan mahsulotning roli uchun nomzod ekanligini unutmang (farq, chunki minus bor). Keling, uni shunday mahsulot ko'rinishida yozaylik:, keyin 1 to'liq kvadrat shartlaridan birining rolini da'vo qiladi, 1.

Keling, bu iborani ildiz ostida almashtiraylik.

Birinchi daraja

Ifodalarni konvertatsiya qilish. Batafsil nazariya (2019)

Ifodalarni konvertatsiya qilish

Biz tez -tez bu yoqimsiz iborani eshitamiz: "ifodani soddalashtiring". Odatda, bu holda, bizda shunday bogeyman bor:

"Bu ancha oson", deymiz, lekin bu javob odatda ishlamaydi.

Endi men sizga bunday vazifalardan qo'rqmaslikni o'rgataman. Bundan tashqari, dars oxirida siz o'zingiz bu misolni oddiy raqamga soddalashtirasiz (ha! Bu harflar bilan do'zaxga).

Ammo bu darsni boshlashdan oldin siz kasrlar va faktorli polinomlarni boshqarishingiz kerak. Shuning uchun, birinchi navbatda, agar siz ilgari bunday qilmagan bo'lsangiz, "" va "" mavzularini o'zlashtirishga ishonch hosil qiling.

Siz uni o'qidingizmi? Agar shunday bo'lsa, endi siz tayyormiz.

Oddiy soddalashtirish operatsiyalari

Keling, iboralarni soddalashtirish uchun ishlatiladigan asosiy texnikalarni ko'rib chiqaylik.

Eng sodda

1. O'xshashlarni olib kelish

Nima o'xshashlar? Siz buni 7 -sinfda, matematikada birinchi marta raqamlar o'rniga harflar paydo bo'lishi bilan boshdan kechirdingiz. Shunga o'xshash - bu harflar qismi bir xil bo'lgan atamalar (monomiallar). Masalan, yig'indida shunga o'xshash atamalar va.

Eslab qoldingizmi?

Bir -biriga o'xshash bir nechta atamalarni qo'shish va bitta atama olish uchun o'xshash vositalarni olib kelish.

Lekin qanday qilib biz harflarni birlashtiramiz? - deb so'raysiz.

Agar siz harflarni qandaydir ob'ektlar deb tasavvur qilsangiz, buni tushunish juda oson. Masalan, maktub - bu stul. Keyin ifoda nima? Ikkita stul va uchta stul, qancha bo'ladi? To'g'ri, stullar:.

Endi bu ifodani sinab ko'ring:.

Adashmaslik uchun har xil harflar har xil ob'ektlarni bildirsin. Masalan, bu (odatdagidek) stul va stol. Keyin:

stul stollari stul stullari stullar stullar stollari

Harflar shunday atamalar bilan ko'paytiriladigan raqamlar deyiladi koeffitsientlar... Masalan, monomialda koeffitsient. Va unda tengdir.

Shunday qilib, kasting qoidasi quyidagicha:

Misollar:

Shunga o'xshashlarni bering:

Javoblar:

2. (va shunga o'xshash, chunki bu atamalar bir xil harf qismiga ega).

2. Faktoring

Bu odatda iboralarni soddalashtirishning eng muhim qismi. Siz shunga o'xshashlarni berganingizdan so'ng, ko'pincha ifodani omillarga bo'lish kerak, ya'ni mahsulot ko'rinishida. Bu, ayniqsa, kasrlarda muhim: axir, kasrni qisqartirish uchun hisoblagich va maxrajni mahsulot sifatida ko'rsatish kerak.

Siz "" mavzusida faktoring ifodalarining batafsil usullaridan o'tdingiz, shuning uchun bu erda siz faqat o'rganganlaringizni eslab qolishingiz kerak. Buning uchun bir nechtasini hal qiling misollar(faktorizatsiya qilish kerak):

Yechimlar:

3. Fraktsiyalarni kamaytirish.

Xo'sh, hisoblagich va maxrajning bir qismini kesib, ularni hayotingizdan chiqarib tashlashdan yaxshiroq nima bo'lishi mumkin?

Bu qisqarishning go'zalligi.

Hammasi oddiy:

Agar hisoblagich va maxraj bir xil omillarni o'z ichiga olsa, ularni kamaytirish mumkin, ya'ni kasrdan olib tashlash mumkin.

Bu qoida kasrning asosiy xususiyatidan kelib chiqadi:

Ya'ni, kamaytirish operatsiyasining mohiyati shundan iborat kasrning hisoblagichi va maxraji bir xil songa bo'linadi (yoki bir xil ifodaga).

Fraktsiyani kamaytirish uchun sizga kerak:

1) hisoblovchi va maxraj omil

2) agar hisoblagich va maxraj tarkibida bo'lsa umumiy omillar, ularni o'chirish mumkin.

Menimcha, printsip aniqmi?

Men sizning e'tiboringizni bir narsaga qaratmoqchiman odatiy xato qisqartirganda. Garchi bu mavzu oddiy bo'lsa -da, ko'p odamlar buni tushunmay, hamma narsani noto'g'ri qilishadi kesmoq- bu degani ajratish son va maxraj bir xil son.

Hisoblagich yoki maxraj yig'indisi bo'lsa, qisqartmalar yo'q.

Masalan: soddalashtirish kerak.

Ba'zi odamlar buni qilishadi: bu mutlaqo noto'g'ri.

Yana bir misol: kesish.

"Eng aqlli" buni qiladi:

Ayting -chi, bu erda nima bo'ldi? Ko'rinib turibdiki: - bu ko'paytirgich, shuning uchun siz kamaytirishingiz mumkin.

Lekin yo'q: - bu hisoblagichda faqat bitta atama faktori, lekin umuman hisoblagichning o'zi omillarga bo'linmaydi.

Mana yana bir misol:.

Bu ifoda omillarga bo'linadi, ya'ni siz kamaytira olasiz, ya'ni hisoblagich va maxrajni quyidagilarga bo'lasiz, so'ngra:

Siz darhol bo'linishingiz mumkin:

Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun esda tuting oson yo'l Ifoda faktorizatsiya qilinganligini qanday aniqlash mumkin:

Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi marta bajariladigan arifmetik operatsiya "asosiy" hisoblanadi. Ya'ni, agar siz harflar o'rniga biron -bir (istalgan) raqamni almashtirsangiz va ifoda qiymatini hisoblab ko'rishga harakat qilsangiz, agar oxirgi harakat ko'paytirish bo'lsa, bizda mahsulot bor (ifoda faktorizatsiya qilinadi). Agar oxirgi harakat qo'shish yoki ayirish bo'lsa, bu ifoda faktorizatsiyalanmaganligini anglatadi (va shuning uchun uni bekor qilib bo'lmaydi).

Buni tuzatish uchun o'zingiz qaror qiling misollar:

Javoblar:

1. Umid qilamanki, siz darhol sizni kesishga shoshmadingizmi? Bu kabi birliklarni "kesish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi harakat faktoring bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo'shish va ayirish. Kasrlarni umumiy mohiyatga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va olib tashlash juda tanish operatsiya: biz umumiy mohiyatni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / olib tashlaymiz. Eslaylik:

Javoblar:

1. Mohiyatlar va o'zaro tub, ya'ni umumiy omillarga ega emas. Shuning uchun, bu sonlarning LCM ularning mahsulotiga teng. Bu umumiy mezon bo'ladi:

2. Bu erda umumiy mezon:

3. Bu erda, birinchi navbatda, biz aralash kasrlarni noto'g'ri qismlarga aylantiramiz, keyin esa - odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, bu butunlay boshqacha, masalan:

Oddiy boshlaylik:

a) denominatorlarda harflar yo'q

Bu erda hamma narsa oddiy sonlar kasrlari bilan bir xil: umumiy maxrajni toping, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiring va hisoblagichlarni qo'shing / olib tashlang:

endi hisoblagichda siz ham shunga o'xshashlarni olib kelishingiz va omillarga ajratishingiz mumkin:

O'zingizni sinab ko'ring:

b) denominatorlarda harflar bor

Keling, harflarsiz umumiy mohiyatni topish tamoyilini eslaylik:

· Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

· Keyin hamma umumiy omillarni bir marta yozing;

· Va ularni umumiy bo'lmagan boshqa omillar bilan ko'paytiring.

Ayiruvchilarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni asosiy omillarga ajratamiz:

Keling, umumiy omillarni ta'kidlaylik:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularga umumiy bo'lmagan (chizilmagan) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy mezon.

Keling, harflarga qaytaylik. Nominallar xuddi shu tarzda ko'rsatilgan:

· Biz maxrajlarni omillarga ajratamiz;

· Umumiy (bir xil) omillarni aniqlash;

· Hamma umumiy omillarni bir marta yozing;

· Biz ularni umumiy bo'lmagan boshqa omillar bilan ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) maxrajlarni omillarga ajratamiz:

2) biz umumiy (bir xil) omillarni aniqlaymiz:

3) biz hamma umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularni boshqa barcha omillarga ko'paytiramiz:

Demak, umumiylik bu erda. Birinchi kasrni ikkinchisiga ko'paytirish kerak:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Masalan: .

Biz denominatorlarda bir xil omillarni ko'ramiz, faqat hamma ko'rsatkichlari har xil. Umumiy mezon quyidagicha bo'ladi:

darajada

darajada

darajada

darajasida.

Keling, vazifani murakkablashtiraylik:

Qanday qilib kasrlarni bir xil maxrajga aylantirasiz?

Keling, kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Hech bir joyda aytilishicha, xuddi shu sonni kasrning hisoblagichi va maxrajidan olib tashlash (yoki qo'shish) mumkin. Chunki bu haqiqat emas!

O'zingiz ko'ring: masalan, har qanday kasrni oling va masalan, raqam va maxrajga bir nechta son qo'shing. Nima o'rganildi?

Shunday qilib, yana bir o'zgarmas qoida:

Kasrlarni umumiy mohiyatga keltirganda, faqat ko'paytirishni ishlating!

Lekin olish uchun nimani ko'paytirish kerak?

Mana, ko'paying. Va ko'paytiring:

Faktorizatsiya qilib bo'lmaydigan iboralar "elementar omillar" deb nomlanadi. Masalan, elementar omil. - ham. Lekin - yo'q: bu faktorizatsiya qilingan.

Ifoda haqida nima deb o'ylaysiz? Bu boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki uni omillarga bo'lish mumkin:

(siz "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qidingiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani kengaytiradigan elementar omillar sonlarni kengaytiradigan asosiy omillarga o'xshaydi. Va biz ular bilan xuddi shunday muomala qilamiz.

Biz har ikkala maxrajda ham omil borligini ko'ramiz. Bu hokimiyatning umumiy mohiyatiga o'tadi (nima uchun eslaysizmi?).

Bu omil oddiy va ular uchun odatiy emas, demak, birinchi kasrni unga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Yana bir misol:

Yechim:

Vahima ichida bu maxrajlarni ko'paytirishdan oldin, ularni qanday omillarga ajratish haqida o'ylash kerak? Ularning ikkalasi ham ifodalaydi:

Yaxshi! Keyin:

Yana bir misol:

Yechim:

Odatdagidek, denominatorlarni hisobga oling. Birinchi qismda biz uni faqat qavs tashqarisiga qo'yamiz; ikkinchisida - kvadratchalar farqi:

Ko'rinib turibdiki, umumiy omillar yo'q. Ammo agar siz diqqat bilan qarasangiz, ular juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib, biz yozamiz:

Ya'ni, shunday bo'ldi: qavs ichida biz atamalarni almashtirdik va shu bilan birga kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgarib ketdi. E'tibor bering, buni tez -tez qilish kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy mohiyatni keltiramiz:

Tushundim? Keling, buni tekshirib ko'ramiz.

Mustaqil echim uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda biz yana bir narsani eslashimiz kerak - kublar orasidagi farq:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning maxraji "yig'indining kvadrati" formulasi emas! Sumning kvadrati shunday bo'ladi:

A-bu summaning tugallanmagan kvadrati: undagi ikkinchi muddat ularning ikki barobar ko'paytmasi emas, birinchi va oxirgi mahsulotidir. To'liq bo'lmagan kvadrat kublar farqining kengayish omillaridan biridir:

Agar uchta fraktsiya bo'lsa nima bo'ladi?

Ha, xuddi shunday! Avvalo, maxrajdagi omillarning maksimal soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilaylik:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Ikkinchi qavs ichidagi belgilarni o'zgartirganda, kasr oldidagi belgi yana teskari bo'ladi. Natijada u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Biz birinchi mohiyatni umumiy qismga to'liq yozamiz, so'ngra unga hali yozilmagan barcha omillarni, ikkinchisidan, so'ngra uchinchisidan (va hokazo, agar kasrlar ko'p bo'lsa) qo'shamiz. Ya'ni, shunday bo'ladi:

Hmm ... Kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo ikkilanish haqida nima deyish mumkin?

Bu juda oddiy: siz kasrlarni qo'shishingiz mumkin, to'g'rimi? Shunday qilib, biz ikkilamchi bo'lakka aylanishiga ishonch hosil qilishimiz kerak! Esingizda bo'lsin: kasr - bu bo'linish operatsiyasi (agar siz to'satdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lishdan osonroq narsa yo'q. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, lekin u kasrga aylanadi:

Aniq nima kerak!

5. Kasrlarni ko'paytirish va bo'linishi.

Xo'sh, endi eng qiyin qismi tugadi. Va oldimizda eng sodda, lekin ayni paytda eng muhim:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Bunday iboraning ma'nosini sanab, eslab qoling:

Hisobladingizmi?

Bu amalga oshishi kerak.

Shunday qilib, men sizga eslataman.

Birinchi qadam - bu darajani hisoblash.

Ikkinchisi - ko'paytirish va bo'linish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'paytirish va bo'linish bo'lsa, ularni istalgan tartibda bajarish mumkin.

Va nihoyat, biz qo'shish va olib tashlashni qilamiz. Shunga qaramay, har qanday tartibda.

Lekin: qavs ichidagi ifoda tartibsiz baholanadi!

Agar bir nechta qavslar bir -biriga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz avval har bir qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz, so'ngra ularni ko'paytiramiz yoki bo'lamiz.

Qavslar ichida ko'proq qavs bo'lsa nima bo'ladi? Xo'sh, o'ylab ko'raylik: qavs ichida qandaydir ifoda yozilgan. Va ifodani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: avval biz ichki qavslarni hisoblaymiz, keyin hamma narsani.

Shunday qilib, yuqoridagi iborani bajarish tartibi quyidagicha (joriy harakat qizil rang bilan ajratilgan, ya'ni men hozir bajarayotgan harakat):

OK, hammasi oddiy.

Lekin bu harflar bilan ifodalash bilan bir xil emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqat arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni bajarish kerak, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan harakatlar: o'xshashlarni olib kelish, kasrlarni qo'shish, kasrlarni kamaytirish va boshqalar. Yagona farq - bu faktoring polinomlarining ta'siri (biz uni kasrlar bilan ishlashda tez -tez ishlatamiz). Ko'pincha faktoring qilish uchun siz i dan foydalanishingiz yoki oddiy faktorni qavs tashqarisiga qo'yishingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz - asar yoki ma'lum bir shaklda ifodani taqdim etish.

Masalan:

Keling, ifodani soddalashtiraylik.

1) Birinchisi, qavs ichidagi ifodani soddalashtirish. Bu erda bizda kasrlarning farqi bor va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki qism sifatida ko'rsatishdir. Shunday qilib, biz kasrlarni umumiy mohiyatga keltiramiz va qo'shamiz:

Endi bu iborani soddalashtirishning iloji yo'q, bu erdagi barcha omillar oddiy (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

Demak, hammasi shu. Hech narsa murakkab emas, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtiring.

Avval uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina yechimini ko'ring.

Avvalo, harakatlar tartibini aniqlaylik. Birinchidan, biz kasrlarni qavslarga qo'shamiz, biz ikkita kasr o'rniga bittasini olamiz. Keyin biz kasrlarni ajratamiz. Xo'sh, natijani oxirgi kasr bilan qo'shing. Men harakatlarni sxematik tarzda sanab o'taman:

Endi men butun jarayonni ko'rsataman, joriy harakatni qizil rangga bo'yab qo'yaman:

Nihoyat, men sizga ikkita foydali maslahat beraman:

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qachonki bizda shunga o'xshash narsalar bo'lsa, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Xuddi shu narsa kasrlarni qisqartirishga ham taalluqlidir: kamaytirish imkoniyati paydo bo'lishi bilan uni ishlatish kerak. Istisno - bu siz qo'shadigan yoki ayiradigan kasrlar: agar ular hozirda bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, unda qisqartirish keyinroq qoldirilishi kerak.

Siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da berdi:

Yechimlar (qisqacha):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misol bilan shug'ullangan bo'lsangiz, demak siz mavzuni o'zlashtirgansiz.

Endi o'rganish oldinga!

BOShQALARNI OZGARTIRISH. Xulosa va asosiy formulalar

Oddiy soddalashtirish operatsiyalari:

• O'xshashlarni olib kelish: bunday atamalarni qo'shish (olib kelish) uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va harf qismini belgilashingiz kerak.
• Faktorizatsiya: umumiy omilni ajratish, qo'llash va hk.
• Fraktsiyani kamaytirish: kasrning hisoblagichi va maxraji bir xil nol bo'lmagan songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin, bu esa kasr qiymatini o'zgartirmaydi.
  1) hisoblovchi va maxraj omil
  2) agar hisoblagich va maxrajda umumiy omillar mavjud bo'lsa, ularni kesib o'tish mumkin.

  MUHIM: faqat ko'paytgichlarni kamaytirish mumkin!

• Kasrlarni qo'shish va ayirish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;