"Formada oqilona tenglamalar qarori." Oqilona tenglamalar

T. Kosyakova,
80-sonli maktab, Krasnodar

Kvadrat eritmasi va parametrlarni o'z ichiga olgan fraktsion oqilona tenglamalar

4-dars.

Mavzu darslari:

Darsning maqsadi:parametrlarni o'z ichiga olgan asosiy oqilona tenglamalarni hal qilish qobiliyatini shakllantirish.

Dars turi: Yangi materiallarni joriy etish.

1. (og'iz orqali.) Tenglamalar:

1-misol.. Tenglamani hal qiling

Qaror.

Noto'g'ri qiymatlarni toping a.:

Javob. Agar a Agar a a. = – 19 , ildizlari yo'q.

2-misol.. Tenglamani hal qiling

Qaror.

Noto'g'ri parametr qiymatlarini toping a. :

10 – a. = 5, a. = 5;

10 – a. = a., a. = 5.

Javob. Agar a a. = 5 a. № 5 T. x \u003d 10- a. .

3-misol.. Parametrning qaysi qadriyatlari ostida b. tenglama Bu quyidagilarga ega:

a) ikkita ildiz; b) yagona ildizmi?

Qaror.

1) Noto'g'ri parametr qiymatlarini toping b. :

x \u003d. b., b. 2 (b. 2 – 1) – 2b. 3 + b. 2 = 0, b. 4 – 2b. 3 = 0,
b. \u003d 0 yoki b. = 2;
x \u003d 2, 4 ( b. 2 – 1) – 4b. 2 + b. 2 = 0, b. 2 – 4 = 0, (b. – 2)(b. + 2) = 0,
b. \u003d 2 yoki b. = – 2.

2) echimlar tenglama x 2 ( b. 2 – 1) – 2b. 2 x +. b. 2 = 0:

D \u003d 4. b. 4 – 4b. 2 (b. 2 - 1), d \u003d 4 b. 2 .

ammo)

Noto'g'ri parametr qiymatidan tashqari b. , biz tenglama ikkita ildizga ega, agar bo'lsa b. № – 2, b. № – 1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 .

b) 4b. 2 = 0, b. = 0, ammo bu parametrning yaroqsiz qiymati b. ; Agar a b. 2 –1=0 , i.e. b.=1 yoki.

Javob: a) agar b. № –2 , b. № –1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 , Keyin ikkita ildiz; b) agar b.=1 yoki b \u003d -1. , keyin faqat ildiz.

Mustaqil ish

1 variant

Tenglamalarni hal qiling:

2-variant.

Tenglamalarni hal qiling:

Javoblar

1 ichida. Agar a.=3 , ildizi yo'q; Agar a b) agar bo'lsa a. № 2 , ildizlari yo'q.

2 da. Agar a a.=2 , ildizi yo'q; Agar a a.=0 , ildizi yo'q; Agar a
b) agar a.=– 1 , tenglama uning ma'nosini yo'qotadi; Ildiz bo'lmasa;
Agar a

Uydagi vazifa.

Tenglamalarni hal qiling:

Javoblar: a) agar a. № –2 T. x \u003d. a. ; Agar a a.=–2 , keyin hech qanday echim bo'lmaydi; b) agar a. № –2 T. x \u003d 2. ; Agar a a.=–2 , keyin hech qanday echim bo'lmaydi; c) agar a.=–2 T. x. - har qanday raqamdan tashqari 3 ; Agar a a. № –2 T. x \u003d 2. ; d) agar a.=–8 , ildizi yo'q; Agar a a.=2 , ildizi yo'q; Agar a

5-dars.

Mavzu darslari: "Parametrlarni o'z ichiga olgan yirik oqilona tenglamalarni hal qilish."

Maqsadlar dars:

nostandart holat bilan tenglamalarni hal qilishni o'rganish;
Ongli ravishda algebraik tushunchalari va ular orasidagi aloqalarni ongli ravishda o'zlashtiradi.

Dars turi: Tizimlashtirish va umumlashtirish.

Uy vazifangizni tekshiring.

1-misol.. Tenglamani hal qiling

a) x ga nisbatan; b) y.

Qaror.

a) nomaqbul qiymatlarni toping y.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2,

y \u003d 0 - parametrning yaroqsiz qiymati y..

Agar a y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; Agar a y \u003d 0 , tenglama uning ma'nosini yo'qotadi.

b) Biz noto'g'ri parametr qiymatlarini topamiz x.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - parametrning yaroqsiz qiymati x.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 yoki y \u003d 2 + x;

y \u003d 0 Shartni qoniqtirmaydi y (y-x)№ 0 .

Javob: a) agar y \u003d 0 , tenglama uning ma'nosini yo'qotadi; Agar a y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; b) agar x \u003d 0. x.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

2-misol.. Tenglamaning qaysi qiymatlari bo'shliqqa tegishli

D \u003d (3) a. + 2) 2 – 4a.(a. + 1) · 2 \u003d 9 a. 2 + 12a. + 4 – 8a. 2 – 8a.,

D \u003d ( a. + 2) 2 .

Agar a a. № 0 yoki a. № – 1 T.

Javob: 5 .

3-misol.. Nisbatan x. Tenglama echimlari

Javob. Agar a y \u003d 0 , tenglama ma'nosi yo'q; Agar a y \u003d -1. T. x. - noldan boshqa har qanday butun son; Agar a № 0, y № - 1, Menda echimlar yo'q.

4 misol. Tenglamani hal qiling parametrlar bilan a. va b. .

Agar a a.№ - B. T.

Javob. Agar a a \u003d.0 yoki b \u003d.0 , tenglama uning ma'nosini yo'qotadi; Agar a a.№ 0, B.№ 0, a \u003d -b T. x. - har qanday raqam noldan tashqari; Agar a a.№ 0, B.№ 0, A.№ -B, bu x \u003d - x \u003d -b .

5-misol.. Buni har qanday parametr qiymatini, nol, tenglamadan farq qiladi faqat ildizi teng - N. .

Qaror.

i.E. x \u003d --n. Isbotlash kerak bo'lganidek.

Uydagi vazifa.

1. Tenglamaning butun eritmalarini toping

2. Parametrning qaysi qadriyatlarida c. tenglama Bu quyidagilarga ega:
a) ikkita ildiz; b) yagona ildizmi?

3. tenglamaning barcha ildizlarini toping Agar a a.Haqida N. .

4. Tenglamani hal qiling 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) haqida y. ; b) haqida x. .

1. Tenglama har qanday butun sonni n noldan boshqa sonli qiymatlarni qondiradi.
2. a) Qachon
b) yoki
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Agar ildizlar bo'lmasa; Agar a
b) agar ildiz bo'lmasa; Agar a

Nazorat ishi

1 variant

1. tenglama turini aniqlang 7c (C + 3) x 2 + (C-2) x-8 \u003d 0 Bilan: a) c \u003d -3. ; b) C \u003d 2; ichida) c \u003d 4. .

2. tenglamani hal qiling: a) x 2 -bx \u003d 0; b) cX 2 -6x + 1 \u003d 0 ; ichida)

3. tenglamani hal qiling 3x-xi-2y \u003d 1:

a) haqida x. ;
b) haqida y. .

Nx 2 - 26x + n \u003d 0, Parametri N faqat butun sonlarni oladi.

5. B qiymatidagi B qiymatida bu quyidagilarga ega:

a) ikkita ildiz;
b) yagona ildizmi?

2-variant.

1. tenglama turini aniqlang 5c (C + 4) x 2 + (C-7) x + 7 \u003d 0 Bilan: a) C \u003d -4; b) C \u003d 7; ichida) c \u003d 1. .

2. tenglamani hal qiling: a) Y 2 + cy \u003d 0; b) Ny 2 -8y + 2 \u003d 0; ichida)

3. tenglamani hal qiling 6x-xy + 2y \u003d 5:

a) haqida x. ;
b) haqida y. .

4. Barcha ildiz tenglamalarini toping nx 2 -22x + 2n \u003d 0, Parametri N faqat butun sonlarni oladi.

5. Oddiy parametrning qaysi qiymatlari bu quyidagilarga ega:

a) ikkita ildiz;
b) yagona ildizmi?

Javoblar

1 ichida. 1. a) chiziqli tenglama;
b) to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama; c) kvadrat tenglama.
2. a) agar b \u003d 0. T. x \u003d 0. ; Agar a b№ 0. T. x \u003d 0, x \u003d b;
b) Agar a cO (9; + ґ) , ildizi yo'q;
c) agar a.=–4 , tenglama uning ma'nosini yo'qotadi; Agar a a.№ –4 T. x \u003d - a. .
3. a) agar y \u003d 3. , ildizi yo'q; a) bo'lsa;
b) a.=–3, a.=1.

Qo'shimcha vazifalar

Tenglamalarni hal qiling:

Adabiyot

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeyev G.V. Boshidanoq parametrlar haqida. - Reputor, 2/1991, p. 3-13.
2. Gronosttein P.I., Polonkskiy V.B., Yakir M.S. Parametrlar bilan vazifalarda shartlar. - Kvant, № 11/1911, p. 44-49.
3. Dorofeyev G.V., Zatakai V.V. Vazifalarni hal qilishparametrlar mavjud. 2-qism - M., Istism, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Parametrlar bilan besh yuz o'n to'rtta vazifa. - Volgograd, 1991 yil.
5. Yartrsicky g.a. Parametrlar bilan vazifalar. - M., Ma'naviyat, 1986 yil.

Fraksion tenglamalar. G'alati

Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun

Biz tenglamalarni o'rganishda davom etamiz. Biz allaqachon chiziqli tenglamalar va maydon bilan ishlashni bilamiz. Oxirgi qarash qoldi - fraksion tenglamalar. Yoki ular ham ancha qattiq deb nomlanadilar - fraksion oqilona tenglamalar. Bu bir xil.

Fraksion tenglamalar.

Nomidan ko'rinib turibdiki, fraktsiyalar har doim ushbu tenglamalarda mavjud. Ammo nafaqat fraktsiya, va kim bor denominatorda noma'lum. Hech bo'lmaganda birida. Masalan:

Agar sizga faqat denominatorlarda bo'lsa, sizga eslatma raqamlarBular chiziqli tenglamalar.

Qanday qaror qilish kerak fraksion tenglamalar? Birinchidan, kasrlardan xalos bo'ling! Shundan so'ng, tenglama ko'pincha chiziqli yoki kvadratga aylanadi. Va keyin biz nima qilishni bilamiz ... ba'zi hollarda u shaxsga aylanishi, 5 \u003d 5-to-ni yoki noto'g'ri ifoda, 7 \u003d 2-toifa. Ammo kamdan-kam hollarda sodir bo'ladi. Quyida men bu haqda gapiryapman.

Ammo fraktsiyalardan qanday qutulish mumkin!? Juda onson. Identifikatsiyaning barchasini qo'llash.

Biz barcha tenglikni bir xil ibora uchun ko'paytirishimiz kerak. Shunday qilib, barcha denomorlar jim bo'lishlari uchun! Darhol hamma narsa osonroq bo'ladi. Men misol haqida tushuntirib beraman. Keling, tenglamani hal qilishimiz kerak:

Kichik sinflarda qanday o'rgandingiz? Biz hamma narsani bir yo'nalishda olib boramiz, umumiy denominator va boshqalarga olib boramiz. Qanday dahshatli tushni unutish! Shunday qilib, siz fraksion iborani katlab yoki chegirganingizda qilishingiz kerak. Yoki tengsizlik bilan ishlash. Va tenglamalarda biz ikkala qismni har ikkala qismni ham ko'paytiramiz, bu barcha denomomorlarni (ya'ni umuman, umumiy denominatorda) kamaytirish imkoniyatini beradi. Va bu ibora nima?

Chap tomonda denominatorni kamaytirish uchun ko'paytirish shart x + 2. . Va kerakli talabning bajarilishi 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun tenglama ko'payishi kerak 2 (x + 2). Ko'plab ko'paytiring:

Bu fraktsiyalarning odatdagi ko'payishi, ammo men batafsil yozaman:

E'tibor bering, men hali ham qavsni oshkor qilmayman (x + 2)! Shunday qilib, men butunlay yozaman:

Chap tomonda butunlay pasayadi (x + 2)va o'ng tomonda. Nima talab qilingan! Kesishdan keyin biz olamiz chiziqli Tenglama:

Va bu tenglama allaqachon hech kimni hal qiladi! x \u003d 2..

Men boshqa misolni hal qilaman, biroz murakkabroq:

Agar siz 3 \u003d 3/1 va 2x \u003d 2x / /1, siz yozishingiz mumkin:

Va yana biz o'zimiz yoqtirmaydigan narsalardan xalos bo'lamiz - fraktsiyalardan xalos bo'lishadi.

Biz buni XA bilan aniqlash uchun siz fraktsiyani ko'paytirishingiz kerakligini ko'rmoqdamiz (X - 2). Va biz xalaqit bermaymiz. Yaxshi, ko'paying. Hamma Chap qismida hamma O'ng taraf:

Qavsdan yuqorida (X - 2) Men oshkor qilmayman. Men umuman qavs bilan ishlayman, go'yo bu bitta raqam! Shunday qilib, har doim qilishingiz kerak, aks holda hech narsa kamaymaydi.

Chuqur qoniqish hissi bilan (X - 2) Va biz hech qanday kasrsiz, Lineshek-dagi tenglamani olamiz!

Ammo endi biz allaqachon qavslarni ochamiz:

Biz bu ishlarni beramiz, hamma narsani chapga o'tkazamiz va biz olamiz:

Ammo biz qaror qilish uchun boshqa vazifalarni bilib olishimizdan oldin. Foiz. Aytgancha, ko'proq turlar!

Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...

Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)

U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)

Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

"Fraktsion oqilona tenglamalar qarori"

Maqsadlar dars:

Ta'lim:

Fraksion oqilona tenglama kontseptsiyasini shakllantirish; Fraktsion oqilona tenglamalarni hal qilishning turli usullarini ko'rib chiqing; Fraktorlik oqilona tenglamalarini, shu jumladan nolning tenglik holatini, shu jumladan nolning tengligini ta'minlash algoritmini ko'rib chiqing; algoritmda fraktsion oqilona tenglamalar echimlarini o'rgating; Sinov ishlarini o'tkazish orqali mavzuni assimilyatsiyasini tekshiring.

Rivojlanayotgan:

Mantiqiy fikrlash uchun bilimlarni to'g'ri boshqarish qobiliyatini rivojlantirish; Intellektual ko'nikma va aqliy operatsiyalarni rivojlantirish - tahlil, sintez, taqqoslash va umumlashtirish; Tashabbuskorlikni rivojlantirish, qaror qabul qilish qobiliyati, erishilgan yutuqlarga aloqador emas; tanqidiy fikrlashni rivojlantirish; Ilmiy ko'nikmalarni rivojlantirish.

Rivojlanish:

vazifa

Dars turi: Dars - darsning izohi.

Sinflar davomida

1. Tashkiliy maktab.

Salom bolalar! Kengashda ular tenglamalarni yozdilar. Ularga diqqat bilan qarang. Siz ushbu tenglamalarning barchasini hal qila olasizmi? Nima va nega?

Chap va oqimning asosiy ramziy ifodalari bo'lgan tenglamalar fraktsiya oqilona tenglamalar deb ataladi. Sizningcha, bugun darsda nimani bilib olamiz? Dars mavzusi so'zi. Shunday qilib, biz daftarni ochamiz va "Fraktsion oqilona tenglamalarning qarori" mavzusini yozamiz.

2. Bilimlarni amalga oshirish. Frontal so'rov, sinf bilan og'iz orqali ishlash.

Va endi biz o'rganishingiz kerak bo'lgan asosiy nazariy materialni takrorlaymiz yangi mavzu. Iltimos, quyidagi savollarga javob bering:

1. Tenglama nima? ( O'zgaruvchan yoki o'zgaruvchan tenglik.)

2. 1 raqami 1 raqami nima? ( Chiziqli.) Chiziqli tenglamalarni echish usuli. ( Tenglamaning chap qismiga o'tish uchun noma'lum bo'lganlar, barcha raqamlar to'g'ri. Shunga o'xshash komponentlarni yarating. Noma'lum multiplierni toping).

3. 3 raqami raqami nima? ( Kvadrat.) Kvadrat tenglamalarni echish usullari. ( Formulalarga ko'ra, Formulalarning so'zlariga ko'ra to'liq kvadratni tanlash va uning oqibatlari.)

4. nisbati nima? ( Ikki munosabatning tengligi.) Asosiy mulk nisbati. ( Agar mutanosib bo'lsa, uning ekstremal a'zolarining mahsuloti o'rtacha a'zolarning mahsulotiga tengdir.)

5. Tenglamalarni echishda qanday xususiyatlardan foydalaniladi? ( 1. Agar tenglamada muddatni bir qismdan bir qismdan boshqasiga o'tkazish uchun tenglamani o'zgartirish, so'ngra tenglama bunga mos keladi. 2. Agar tenglamaning ikkala qismida ham bir xil yoki bir xil raqamga bo'linadi yoki bo'linadi, tenglama bunga mos keladi.)

6. Fraktsiya nolga teng bo'lsa? ( Rumerator nolga teng bo'lsa, kasr nol va denroinator nolga teng emas.)

3. Yangi materialning sharhi.

Noutbuklarda va 2 raqamli to'g'ridan-to'g'ri elementlarni hal qiling.

Javob: 10.

Nark xususiyatidan foydalanishni hal qilishga qat'iy tenglama nimani sinab ko'rish mumkin? (№5).

(X - 2) (X-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Noutbuklarda va 4 raqamli tenglamada echish.

Javob: 1,5.

Qanday miyaning qanday oqilona tenglamani denominatorga tenglashtirishni, ikkalasini ham ko'paytirishga harakat qilinishi mumkin? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Javob: 3;4.

Endi 7 raqamini yo'llardan birida hal qilishga harakat qiling.


(x2-2x-5) x (X-5) \u003d X (X-5) (X + 5)
(x2-2x-5) X (X-5) (X + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5) \u003d 0			x2-2x-5-x-5 \u003d 0
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

Javob: 0;5;-2.			Javob: 5;-2.

Bu nima uchun sodir bo'lganligini tushuntiring? Nega bitta holatda uchta ildiz, ikkinchisida esa? Ushbu fraktsion oqilona tenglamaning ildizlari qaysi raqamlar?

Hozirgacha talabalar tashqi ildiz haqidagi tushuncha bilan uchrashmadi, ular nima uchun sodir bo'lganini tushunish juda qiyin. Agar hech kim sinfda ushbu vaziyat uchun aniq tushuntirish bera olmasa, o'qituvchi etakchi savollarni beradi.

2 va 4 raqamli tenglamalarda denominator raqami, № 5-7 - O'zgaruvchi bilan ifoda

Tenglama to'g'ri tenglikka murojaat qiladigan o'zgaruvchining qiymati

Tekshiring

Tekshirishda ba'zi talabalar nolga baham ko'rishingiz kerakligini sezishadi. 0 va 5 raqamlar bu tenglamaning ildizlari emas degan xulosaga kelishadi. Savol tug'iladi: bu xatoni istisno qilishga imkon beradigan fraksion oqilona tenglamalarni echish usuli bormi? Ha, bu usul fraktsiya tengligi holatiga asoslanadi.

x2-3x-10 \u003d 0, d \u003d 49, x1 \u003d 5, x2 \u003d -2.

Agar x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0 bo'lsa, u holda 5 ta ildiz.

Agar x \u003d -2 bo'lsa, x (x-5) ≠ 0.

Javob: -2.

Ushbu usul bilan fraktal oqilona tenglamalarni echish uchun algoritmni shakllantirishga harakat qilaylik. Bolalar o'zlari algoritmni shakllantiradilar.

Fargoritm Fraktorlik oqilona tenglamalarini echish uchun:

1. Hammasini chap tomonga o'tkazish.

2. Umumiy denominator uchun kasr yarating.

3. Tizimni tuzing: miqdor nolga teng bo'lsa, nolga teng va denominator nolga teng emas.

4. Tenglamani hal qiling.

5. Xorij ildizlarini bartaraf etish uchun tengsizlikni tekshiring.

6. Javobni yozib oling.

Munozara: Agar umumiy denominatorga mutanosib ravishda nisbati va tenglamaning ikkala qismini ko'paytirsa, qanday qilib hal qilish kerak. (Qarorni qo'shish uchun: nolga umumiy denominatorga aylanadigan ildizlaridan chiqarib tashlash).

4. Yangi materialni birlamchi tushunish.

Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglama turiga qarab tenglamaning o'zlarini hal qilish usulini tanlaydilar. "Algebra 8" darsliklarining vazifalari, 2007: № 000 (b, b va); № 000 (a, d, g). O'qituvchi vazifaning bajarilishini nazorat qiladi, yuzaga kelgan masalalarga javob beradi, talabalarga sust o'qigan talabalarga yordam beradi. O'z-o'zini tekshirish: Javoblar sensorda yozilgan.

b) 2 - tashqi ildiz. Javob: 3.

c) 2 - tashqi ildiz. Javob: 1.5.

a) Javob: -12.5.

g) Javob: 1; 1.5.

5. Uy vazifasini bajarish.

2. Aqriylikni aniqlash uchun algoritmni o'rganish.

3. № 000 (A, G, D) noutbuklarda echish; № 000 (g, h).

4. № 000 (a) (ixtiyoriy) ni hal qilishga harakat qiling.

6. Tadqiq qilingan mavzu bo'yicha nazorat vazifasini bajaring.

Ish barglarda amalga oshiriladi.

Vazifaning misoli:

A) Qaysi tenglamalar normalidir?

B) raqam nolga teng, de__________________________, Denominator _______________________.

C) 6 raqamli tenglamaning raqami

D) 7 raqamini hal qilish.

Vazifalarni baholash mezonlari:

Agar talaba vazifaning 90% dan ortig'i bajarilsa, "5" joylashtirilgan. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" - bu topshiriqning 50% dan kamrog'ini tugatgan talaba tomonidan ko'tariladi. Reyting 2 jurnallar 3 - irodaga.

7. Ko'zni aks ettirish.

Mustaqil ishi bilan barglarda:

1 - Agar siz dars va tushunarli bo'lsangiz; 2 - qiziq, lekin tushunarli emas; 3 - qiziq emas, lekin tushunarli; 4 - qiziq emas, aniq emas.

8. Darsni sarhisob qilish.

Shunday qilib, bugun darsda biz fraktsion oqilona tenglamalar bilan uchrashdik, bu tenglamalarni turli yo'llar bilan qanday hal qilishni o'rgandik, o'qituvdan foydalangan holda bilimlarimizni tekshirdi mustaqil ish. Keyingi darsda o'rganadigan mustaqil ishning natijalari Siz erishgan bilimlarni mustahkamlash imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Fraksiyalik oqim tenglamalarini qanday hal qilishning qaysi usuli osonroq, arzon va oqilona? Fraktorlik oqilona tenglamalarini echish usuliga qarab, men unutmasligim kerakmi? Fraktsion oqilona tenglamalarning "ayyor" nima?

Barchangizga rahmat, dars tugadi.

Fraktsiyalar bilan tenglamalar qiyin va juda qiziq emas. Ko'rishlarni ko'rib chiqing fraksion tenglamalar Va ularni qanday hal qilish kerak.

Fraktsiyalar bilan tenglamalarni qanday yechish - x raqamli

Agar noma'lum hisoblagichga ega bo'lgan bo'lsa, unda noma'lum summa qo'shimcha shartlarni talab qilmaydi va keraksiz muammosiz hal qilinmaydi. Umumiy shakl Bunday tenglama - x / a + b \u003d c, u noma'lum, A, B va C - oddiy raqamlar.

Find X: X / 5 + 10 \u003d 70.

Tenglamani hal qilish uchun siz fraktsiyalardan xalos bo'lishingiz kerak. Har bir tenglamaning har bir a'zosini 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5 ga ko'paytiring. 5x va 5 kamayadi, 10 va 70 5 ga ko'payadi va biz olamiz: x + 50 \u003d 350 \u003d x \u003d 350 \u003d 300.

Find X: X / 5 + X / 10 \u003d 90.

Bu misol birinchi navbatdagi murakkab versiya. Ikkita echim variantlari mavjud.

1-variant: kasrlardan xalos bo'lish, kattaroq denominatorga bo'ling, bu 10: 10x / 10 \u003d\u003e 2x + x \u003d 900 \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.
2-variant: Biz tenglamaning chap qismini katlayapmiz. X / 5 + X / 10 \u003d 90. Umumiy maxraj 10. 10 Biz 5-ni x dan ko'paytiramiz, biz 2x olamiz. 10 Biz 10 da bo'lmaymiz, biz X ga ko'paytiramiz, biz X: 2x + x / 10 \u003d 90 \u003d 900 \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Ko'pincha, Xsers belgining turli tomonlarida joylashgan kassa tengliklari mavjud. Bunday vaziyatda barcha kasrlarni bir yo'nalishda, boshqasiga yuborish kerak.

Find X: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Biz 2x / 5-ni o'ng tomonga bosib o'tamiz: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
5x / 5 ni qisqartiring va oling: x \u003d 130.

Qanday qilib tenglamani fraktsiyalar bilan hal qilish kerak - denominatorda

Fraksion tenglamalarning ushbu turi qo'shimcha shartlarni yozishni talab qiladi. Ushbu shartlarni ko'rsatish to'g'ri echimning majburiy va ajralmas qismi. Ularni autbator qilmasdan, siz xavf tug'dirasiz, chunki javob (agar u to'g'ri bo'lsa ham) shunchaki hisobga olinmasligi mumkin.

Fraksion tenglamalarning umumiy shakli, u erda x denominatorda bo'lgan, shakli: a / x + b \u003d c, x noma'lum bo'lgan, u noma'lum, A, B, C - oddiy raqamlar. E'tibor bering, X hech qanday raqam emas. Masalan, X nol bo'lishi mumkin emas, chunki 0-ni ajratib bo'lmaydi. Bu biz ko'rsatishimiz kerak bo'lgan qo'shimcha shart. Bunga ruxsat etilgan qiymatlar, qisqartirilgan - Otz.

H toping X: 15 / x + 18 \u003d 21.

Darhol OOTzni X: x ≠ 0 uchun yozing. Endi ushbu ODB ko'rsatilgan, fraktsiyalardan xalos bo'lish, standart sxema bo'yicha tenglamani hal qiling. Barcha tenglamaning barcha a'zolarini x ga ko'paytiring. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

Ko'pincha denominator faqat x, balki u bilan qo'shimcha, masalan, qo'shimcha yoki ajratish kabi bir tenglamalar mavjud.

X: 15 / (X-3) + 18 \u003d 21 ni toping.

Biz allaqachon denominator nolga teng bo'lolmaydi, bu X-3 ≠ 0 degani. "" - "+" va biz buni olamiz.

Biz tenglamani hal qilamiz, X-3: 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × 54 \u003d 21x - 54x - 63.

Biz o'zimizni o'ng tomonga, chapga olib boramiz: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

Mavzu bo'yicha taqdimot va dars: "oqilona tenglamalar. Algoritm va oqilona tenglamalarni hal qilish misollari"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, sharhlaringizni, sharhlaringizni, mulohazalaringizni tark etishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tekshiriladi.

8-sinf uchun o'quv qo'llanma va simulyatorlari "integral"
Makaryeva Yu.N darsligi uchun qo'llanma. Mordkovich A.G-darslik uchun qo'llanma.

Irratsional tenglamalar bilan tanishish

Bolalar, qaror qilishni o'rgandik kvadratli tenglamalar. Ammo matematika ular bilan cheklanmaydi. Bugun biz oqilona tenglamalarni hal qilishni o'rganamiz. Ratsional tenglamalar tushunchasi asosan ratsional raqamlar tushunchalariga o'xshaydi. Faqat raqamlarga qo'shimcha ravishda bizda x dollar bor. Shunday qilib, biz qo'shimcha, ajratish, ko'paytirish, bo'linish va qurilish operatsiyalari mavjud.

$ R (x) $ bo'lsa oqilona ifoda. Bunday ibora $ X $ o'zgaruvchidan yoki polinom nisbati (bo'linish operatsiyasi oqilona raqamlar uchun joriy qilingan).
$ R (x) \u003d 0 $ deb nomlanadi oqilona tenglama.
$ P (x) \u003d Q (x) $ va $ Q (x) $ (x) turidagi har qanday tenglama oqilona tenglama.

Oqilona tenglamalarni hal qilish misollarini ko'rib chiqing.

1-misol.
Belgini yeching: $ \\ FRAC (5x-3) \u003d \\ FRAC (2x-3) (x) $.

Qaror.
Biz barcha iboralarni chap tomonga o'tkazamiz: $ \\ FRAC (5x-3) - \\ FRAC (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Agar odatiy raqamlar tenglamaning chap tomonida taqdim etilsa, biz ikkita fraksiyani umumiy denominatorga olib boramiz.
Keling, buni qilaylik va bajaring: $ \\ FRAC ((5x-3) * x) - \\ FRAC ((2x-3) * (x-3) * x) \u003d \\ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x + 9)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) ) * x) \u003d \\ FRAC (x ^ 2 + 2x-3) ((x-3) * x) $.
Tenglama olindi: $ \\ FRAC (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Fraktsiya nolga teng, shuning uchun fraktsiya hisoblagich nolga teng bo'lsa, denominator noldan farq qiladi. Keyin Rumeratorni nolga alohida-alohida-ni tanlang va raqamli raqamni toping.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ yoki $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-2 ± \\ sqrt)) (2) \u003d \\ Frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Endi Denomoter Denoterni tekshiring: $ (x-3) * X ≠ $ 0.
Ikki raqamning mahsuloti nolga teng, kamida bittadan bittasi nolga teng bo'ladi. Keyin: $ x ≠ 0 $ yoki x-3 ≠ 0 $ 0.
$ x ≠ $ 0 yoki $ x ≠ $ 3.
Rumerator va Denominatorda olingan ildizlar bir-biriga mos kelmaydi. Xo'sh, javoban biz hisoblovchining ikkalasini ham yozamiz.
Javob: $ x \u003d 1 $ yoki x $ \u003d -3 $.

Agar to'satdan, raqamni skominatorning ildiziga to'g'ri kelsa, uni chiqarib tashlash kerak. Bunday ildizlar tashqi ko'rinishga chaqiriladi!

Ratsional tenglamalarni hal qilish algoritmi:

1. Tenglama tarkibidagi barcha iboralar belgining chap tomoniga teng.
2. tenglamaning ushbu qismiga algebraik faki: $ \\ FRAC (P (x)) (Q (x)) \u003d 0 $).
3. Olingan raqamni nolga tenglashtirish, ya'ni $ p (x) \u003d 0 $ tengligini hal qilish.
4. Denominatorni nolga tenglashtiring va olingan tenglamani hal qiling. Agar denominatorning ildizlari sonning ildizlariga to'g'ri kelsa, ular javobdan chiqarib tashlanishi kerak.

2-misol.
Tenglamani hal qiling: $ \\ Frac (3x) (X + 1) (X + 1) \u003d \\ FRAC (6) (x ^ 2-1) $.

Qaror.
Men algoritm nuqtalariga muvofiq qaror qilaman.
1. $ \\ FRAC (3x) (X + 1) (X + 1) - \\ FRAC (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ FRAC (3x) (X + 1) - \\ FRAC (6) (x ^ 2-1) \u003d \\ frax (x - 1) + \\ Frak (4) (x + 1) - \\ FRAC (6) (x + 1) (x + 1)) \u003d \\ FRAC (X + 1) +4 (x - 1) -6) ((x -1) (x + 1)) \u003d $ \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 3x + 4-6) (x + 1) (x + 1)) \u003d \\ FRAC (3x ^ 2 + 7x) 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ FRAC (3x ^ 2 + 7x-10) ((X - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Biz Rumeratorni nolga tenglashtiramiz: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-7 ± 3 * (- 10))) (69-4 * 13)) (-2 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ FRAC ( 1) (3); $ 1.
4. Biz denominatorni nolga tenglashtiramiz:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ va $ x \u003d -1 $.
$ X \u003d $ 1 ildizlaridan biri raqamga to'g'ri keldi, shunda biz buni javoban yozmaymiz.
Javob: $ x \u003d -1 $.

O'zgaruvchan almashtirish usuli yordamida oqilona tenglamalarni hal qilish qulay. Buni namoyish qilaylik.

3-misol.
Tenglamani yeching: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Qaror.
Bizni almashtirish bilan tanishtiramiz: $ t \u003d x ^ 2 $.
Keyin bizning tenglamaimiz quyidagi shaklni oladi:
$ T ^ 2 + 12t-64 \u003d 0 $ an'anaviy maydon tenglamaidir.
$ T_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-12 ± \\4 * (- 64))) (2) \u003d \\ FRAC (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; 4 dollar.
Biz teskari almashtirishni tanishtiramiz: $ x ^ 2 \u003d 4 $ yoki $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Birinchi tenglamaning ildizlari - $ x \u003d ± 2 $. Ikkinchisi - ildizlari yo'q.
Javob: $ x \u003d ± $ 2.

4 misol.
Tenglamani yeching: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ FRAC (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Qaror.
Biz yangi o'zgaruvchini taqdim etamiz: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Keyin tenglama shaklni oladi: $ t \u003d \\ frac (15) (T + 2) $.
Biz algoritmda davom etamiz.
1. $ T- \\ FRAC (15) (T + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ FRAC (T ^ 2 + 2T-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2T-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ kQrt) (2) \u003d \\ FRAC ( -2 ± 8) (2) \u003d - - 5; $ 3.
4. $ t ≠ -2 $ - ildizlar mos kelmaydi.
Biz teskari o'rnini bosamiz.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
Har bir tenglama alohida-alohida bo'lsin:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-1 ± \\ sqrt) (2) \u003d \\ FRAC (-1 ± \\ \\ sqrt) (2) $ - yo'q Ildizlari.
Va ikkinchi tenglama: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
Ushbu tenglamaning ildizlari $ x \u003d -2 $ va $ x \u003d 1 $ raqamlarga aylanadi.
Javob: $ x \u003d -2 $ va $ x \u003d 1 $.

5-misol.
Tenglamani yeching: $ x ^ 2 + \\ fra (1) (x ^ 2) + x + \\ fra (1) (x) \u003d $ 4.

Qaror.
Biz almashtirishni tanishtiramiz: $ t \u003d x + \\ fra (1) (x).
Keyin:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + \\ FRAC (x ^ 2) $ yoki $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Olingan tenglama: $ t ^ 2-2 + T \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
Ushbu tenglamaning ildizlari juftlik:
$ T \u003d -3 $ va $ t \u003d $ 2.
Biz teskari almashtirishni joriy qilamiz:
$ X + \\ fra (1) (x) \u003d - $ 3.
$ x + \\ frace (1) (x) \u003d $ 2.
Biz alohida qaror qilamiz.
$ X + \\ fra (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ FRAC (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ x_ (1,2) \u003d \\ FRAC (-3 ± \\ sqrt) (2) \u003d \\ FRAC (-3 ± \\ \\ sqrt) (2) $.
Ikkinchi tenglamani hal qilish:
$ X + \\ fra (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ FRAC (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ FRAC ((X-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Ushbu tenglamaning ildizi - $ x \u003d 1 $.
Javob: $ x \u003d \\ frac (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $).

O'z-o'zini hal qilish uchun vazifalar

Tenglamalarni yechish:

1. $ \\ frac (3x + 2) (x) \u003d \\ FRAC (2x + 3) (X + 2) $.

2. $ \\ FRAC (5x) - \\ FRAC (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ FRAC (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2X ^ 2 + x + 2 \u003d \\ FRAC (8x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d $ 3.