Všechny sčítací vzorce. Základní trigonometrické vzorce
Sčítací vzorce se používají k vyjádření hodnot funkcí cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) přes sinus a kosinus úhlů a a b.
Sčítací vzorce pro sinus a kosinus
Věta: Pro libovolné a a b platí následující rovnost cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).
Dokažme tuto větu. Zvažte následující obrázek:
Na něm se body Ma, M-b, M (a + b) získají otočením bodu Mo o úhly a, -b a a + b. Z definic sinusu a kosinusu budou souřadnice těchto bodů následující: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); hřích (a + b)). AngleMoOM (a + b) = úhel M-bOMa, proto jsou trojúhelníky MoOM (a + b) a M-bOMa stejné a jsou rovnoramenné. To znamená, že základy MoM (a-b) a M-bMa jsou stejné. Proto (MoM (a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2. Pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body dostaneme:
(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.
sin (-a) = -sin (a) a cos (-a) = cos (a). Transformujeme naši rovnost, vezmeme-li v úvahu tyto vzorce a druhou mocninu součtu a rozdílu, pak:
1-2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (hřích (b)) ^ 2 + 2 * hřích (b) * hřích (a) + (hřích (a)) ^ 2.
Nyní použijeme základní trigonometrickou identitu:
2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * sin (a) * sin (b).
Dáme podobné a snížíme je o -2:
cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b). Q.E.D.
Platí také následující vzorce:
- cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
- sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);
- sin (a-b) = sin (a) * cos (b) - cos (a) * sin (b).
Tyto vzorce lze získat ze vzorců osvědčených výše, za použití slévacích vzorců a nahrazením b za -b. Pro tečny a kotangens existují také sčítací vzorce, ale nebudou platné pro všechny argumenty.
Vzorce pro sčítání tečen a kotangens
Pro jakékoli úhly a, b kromě a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n a a + b = pi / 2 + pi * m, pro libovolné celá čísla k, n, m bude platit následující vzorec:
tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).
Pro libovolné úhly a, b kromě a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n a ab = pi / 2 + pi * m, pro jakékoli celé číslo k, n, m bude následující vzorec platný:
tg (a-b) = (tg (a) - tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).
Pro jakékoli úhly a, b kromě a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m a pro jakékoli celé číslo k, n, m bude platit následující vzorec:
ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).
V trigonometrii existuje mnoho vzorců.
Je velmi obtížné si je mechanicky zapamatovat, téměř nemožné. Ve třídě mnoho školáků a studentů používá tiskoviny na předsádkách učebnic a sešitů, plakáty na stěnách, jesličkách a nakonec. A co zkouška?
Když se však na tyto vzorce blíže podíváte, zjistíte, že jsou všechny propojené a mají určitou symetrii. Pojďme si je rozebrat s přihlédnutím k definicím a vlastnostem goniometrických funkcí, abychom určili minimum, které se opravdu vyplatí naučit nazpaměť.
Skupina I. Základní identity
sin 2 α + cos 2 α = 1;
tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;
tgα · ctgα = 1;
1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 hřích 2 α.
Tato skupina obsahuje nejjednodušší a nejoblíbenější vzorce. Většina studentů je zná. Pokud však stále existují potíže, pak si mentálně představte, abyste si zapamatovali první tři vzorce pravoúhlý trojuhelník s přeponou rovnou jedné. Pak se jeho větve budou rovnat sinα podle definice sinusu (poměr opačné větve k přeponě) a cosα podle definice kosinu (poměr přilehlá noha do přepony).
První vzorec je Pythagorova věta pro takový trojúhelník - součet druhých mocnin nohou se rovná druhé mocnině přepony (1 2 = 1), druhý a třetí jsou definice tečny (poměr přepony). protější větev k přilehlé) a kotangens (poměr přilehlé větve k protější větvi).
Součin tečny a kotangens je 1, protože kotangens zapsaný jako zlomek (vzorec tři) je převrácená tečna (vzorec dva). Posledně jmenovaná úvaha mimochodem umožňuje vyloučit z množství vzorců, které je třeba si zapamatovat, všechny následující dlouhé vzorce s kotangens. Pokud v nějakém těžký úkol Narazíte na ctgα, stačí jej nahradit zlomkem ___ 1 tgα a použijte vzorce pro tečnu.
Poslední dva vzorce není třeba si předem symbolicky zapamatovat. Jsou méně časté. A v případě potřeby je můžete vždy znovu vytisknout na koncept. K tomu stačí dosadit místo tečny nebo kontangens jejich definic zlomkem (druhý a třetí vzorec) a zredukovat výraz na Společným jmenovatelem... Je však důležité si uvědomit, že existují takové vzorce, které spojují druhé mocniny tečny a kosinus a druhé mocniny kotangens a sinus. Jinak možná neuhodnete, jaké transformace jsou potřeba k vyřešení konkrétního problému.
Skupina II. Sčítací vzorce
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;
cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;
cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;
tg (α + β) = tgα + tgp _________ 1 - tgα · tgp;
tg (α - β) =
Připomeňte si vlastnosti liché / sudé parity goniometrických funkcí:
sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).
Ze všech goniometrických funkcí je pouze kosinus funkcí sudá a při změně znaménka argumentu (úhlu) nemění své znaménko, zbytek funkcí je lichý. Podivnost funkce ve skutečnosti znamená, že znaménko mínus lze zavést a odstranit mimo znaménko funkce. Pokud tedy narazíte na trigonometrický výraz s rozdílem dvou úhlů, můžete jej vždy chápat jako součet kladných a záporných úhlů.
Například, hřích ( X- 30º) = hřích ( X+ (-30º)).
Dále použijeme vzorec pro součet dvou úhlů a zabýváme se znaménky:
hřích ( X+ (-30º)) = hřích X· Cos (-30º) + cos X Sin (-30º) =
= hřích X· Cos30º - cos X· Sin30º.
Všechny vzorce obsahující rozdíl v úhlech lze tedy při prvním zapamatování jednoduše přeskočit. Pak stojí za to se naučit, jak je obnovit obecný pohled nejprve na draftu a pak mentálně.
Například tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.
To v budoucnu pomůže rychle odhadnout, jaké transformace je třeba použít k vyřešení konkrétní úlohy z trigonometrie.
Skupina sh. Vzorce s více argumenty
sin2α = 2 sinα cosα;
cos2α = cos 2 α - sin 2 α;
tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;
sin3α = 3sinα - 4sin 3 α;
cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.
Potřeba používat vzorce pro sinus a kosinus dvojitého úhlu vyvstává velmi často, pro tangens také poměrně často. Tyto vzorce byste měli znát nazpaměť. Navíc nejsou žádné potíže s jejich zapamatováním. Za prvé, vzorce jsou krátké. Za druhé, jsou snadno ovladatelné podle vzorců předchozí skupiny na základě skutečnosti, že 2α = α + α.
Například:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.
Pokud jste se však rychle naučili tyto vzorce, a ne ty předchozí, pak můžete udělat opak: můžete si zapamatovat vzorec pro součet dvou úhlů pomocí odpovídajícího vzorce pro dvojitý úhel.
Pokud například potřebujete vzorec pro kosinus součtu dvou úhlů:
1) připomeňte si vzorec pro kosinus dvojitého úhlu: cos2 X= cos 2 X- hřích 2 X;
2) malujeme to dlouho: cos ( X + X) = cos X Cos X- hřích X Hřích X;
3) vyměnit jeden NSα, druhý β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.
Procvičte si stejným způsobem vzorce pro sinus součtu a tangens součtu. V kritických případech, jako je například USE, zkontrolujte přesnost obnovených vzorců pomocí známého prvního čtvrtletí: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.
Kontrola předchozího vzorce (získaného nahrazením v řádku 3):
nech být α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
pak cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _
/ 2, sinα = sin60 ° = √3 _
/ 2, sinp = sin30° = 1/2;
hodnoty dosadíme do vzorce: 0 = (1/2) √3_
/2) − (√3_
/ 2) (1/2);
0 ≡ 0, nebyly nalezeny žádné chyby.
Vzorce pro trojitý úhel podle mě není potřeba nějak speciálně "nacpat". Na takových zkouškách, jako je zkouška, jsou poměrně vzácné. Lze je snadno odvodit ze vzorců, které byly uvedeny výše, od sin3α = hřích (2α + α). A těm studentům, kteří se z nějakého důvodu ještě potřebují naučit tyto vzorce nazpaměť, radím, aby dbali na jejich určitou „symetrii“ a zapamatovali si nikoli vzorce samotné, ale mnemotechnická pravidla. Například pořadí, ve kterém jsou čísla umístěna ve dvou vzorcích „33433433“ atd.
IV skupina. Součet / rozdíl - do produktu
sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;
sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;
cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;
cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2 Hřích α + β ____ 2 ;
tgα + tgβ = hřích (α + β) ________ cosα cosβ ;
tgα - tgβ = hřích (α - β) ________ cosα cosβ .
Použití lichých vlastností funkcí sinus a tangens: sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
je možné redukovat vzorce pro rozdíly dvou funkcí na vzorce pro jejich součty. Například,
sin90º - sin30º = sin90º + sin (-30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Cos 90º - (-30º) __________ 2 =
2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.
Vzorce pro rozdíl sinů a tečen se tedy nemusí hned učit nazpaměť.
Složitější je situace se součtem a rozdílem kosinů. Tyto vzorce nejsou zaměnitelné. Ale znovu, pomocí parity kosinus, si můžete zapamatovat následující pravidla.
Součet cosα + cosβ nemůže změnit své znaménko pro jakoukoli změnu znaménka úhlů, proto se součin musí skládat i ze sudých funkcí, tzn. dva kosinusy.
Znaménko rozdílu cosα - cosβ závisí na hodnotách samotných funkcí, což znamená, že znaménko součinu by mělo záviset na poměru úhlů, proto by se součin měl skládat z lichých funkcí, tzn. dva sinusy.
A přesto není tato skupina vzorců nejjednodušší na zapamatování. To je případ, kdy je lepší cpát méně, ale více kontrolovat. Abyste předešli chybám ve vzorci na odpovědné zkoušce, nezapomeňte si jej nejprve zapsat na návrh a zkontrolovat dvěma způsoby. Nejprve substitucemi β = α a β = −α, poté známými hodnotami funkcí pro prvočíselné úhly. K tomu je nejlepší vzít 90º a 30º, jak to bylo provedeno v příkladu výše, protože poloviční součet a poloviční rozdíl těchto hodnot opět dává jednoduché rohy a můžete snadno vidět, jak se rovnost stává identitou pro správnou možnost. Nebo se naopak neprovede, pokud jste udělali chybu.
Příklad kontrola vzorce cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2 Hřích α + β ____ 2 pro rozdíl kosinus s chybou !
1) Nechť β = α, pak cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2 Hřích α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.
2) Nechť β = - α, pak cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2 Hřích α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.
Tyto kontroly ukázaly, že funkce ve vzorci byly použity správně, ale vzhledem k tomu, že se ukázalo, že identita je ve tvaru 0 ≡ 0, mohlo dojít k chybě se znaménkem nebo koeficientem. Provádíme třetí kontrolu.
3) Nechť α = 90º, β = 30º, pak cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2 Hřích 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
Chyba byla opravdu ve znaku a pouze ve znaku před prací.
Skupina V. Produkt - v součtu / rozdíl
sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));
cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (a - P) + cos (a + P));
sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).
Již samotný název páté skupiny vzorců napovídá, že tyto vzorce jsou opakem předchozí skupiny. Je jasné, že v tomto případě je snazší obnovit vzorec na konceptu, než se ho znovu učit, čímž se zvyšuje riziko, že si vytvoříte „nepořádek v hlavě“. Jediná věc, na kterou má smysl se zaměřit pro rychlejší obnovu vzorce, jsou následující rovnosti (zaškrtněte je):
α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.
Zvážit příklad: potřeba přeměnit produkt sin5 X Cos3 X do součtu dvou goniometrických funkcí.
Protože součin zahrnuje sinus i kosinus, vezmeme z předchozí skupiny vzorec pro součet sinusů, který jsme se již naučili, a zapíšeme ho na návrh.
sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2
Necháme 5 X = α + β ____ 2 a 3 X = α - β ____ 2, pak α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5X + 3X = 8X, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5X − 3X = 2X.
Ve vzorci na návrhu nahradíme hodnoty úhlů, vyjádřené v proměnných α a β, hodnotami úhlů vyjádřenými v proměnné X.
Dostaneme hřích8 X+ hřích2 X= 2 hříchy5 X Cos3 X
Obě části rovnosti vydělte 2 a zapište to na čistopis zprava doleva hřích5 X Cos3 X = 1 _ 2 (hřích 8 X+ hřích2 X). Odpověď je připravena.
Jako cvičení: Vysvětlete, proč jsou v učebnici pouze 3 vzorce pro převod součtu / rozdílu na součin 6 a inverzní (pro převod součinu na součet nebo rozdíl) pouze 3?skupina VI. Vzorce pro snížení stupně
cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;
hřích 2 α = 1 - cos2α _________ 2;
cos 3 α = 3cosα + cos3α _____________ 4;
hřích 3 α = 3sinα - sin3α _____________ 4.
První dva vzorce této skupiny jsou velmi potřebné. Často se používají při řešení goniometrické rovnice, včetně úrovně jednotná zkouška, stejně jako při výpočtu integrálů obsahujících integrandy goniometrického typu.
Možná bude jednodušší si je zapamatovat v další „jednopatrové“ podobě.
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
a vždy můžete dělit 2 v hlavě nebo na konceptu.
Potřeba používat následující dva vzorce (s kostkami funkcí) při zkouškách je mnohem méně obvyklá. V jiném nastavení budete mít vždy čas použít koncept. V tomto případě jsou možné následující možnosti:
1) Pokud si pamatujete poslední dva vzorce skupiny III, pak je použijte k vyjádření sin 3 α a cos 3 α jednoduchými transformacemi.
2) Pokud si v posledních dvou vzorcích této skupiny všimnete prvků symetrie, které přispívají k jejich zapamatování, zapište si „náčrty“ vzorců na návrh a zkontrolujte je podle hodnot hlavních úhlů.
3) Pokud kromě toho, že takové vzorce na snížení stupně existují, o nich nic nevíte, tak problém řešte po etapách na základě toho, že sin 3 α = sin 2 α · sinα a další naučené vzorce. Budou vyžadovány vzorce snížení stupně pro čtverec a vzorec pro převod produktu na součet.
VII skupina. Poloviční argument
hřích α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____
cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____
tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____
Nevidím smysl učit se nazpaměť tuto skupinu vzorců v podobě, v jaké jsou uvedeny v učebnicích a příručkách. Pokud tomu rozumíte α je polovina 2α, pak to stačí k rychlému odvození požadovaného vzorce pro poloviční argument na základě prvních dvou vzorců pro snížení stupně.
To platí i pro tangens polovičního úhlu, jehož vzorec získáme dělením sinusového výrazu odpovídajícím kosinovým výrazem.
Nezapomeňte pouze při odhlašování odmocnina dát znamení ± .
skupina VIII. Univerzální substituce
sinα = 2tg (a/2) _________ 1 + tan 2 (a/2);
cosα = 1 - tan 2 (a / 2) __________ 1 + tan 2 (a / 2);
tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).
Tyto vzorce mohou být mimořádně užitečné pro řešení goniometrických problémů všeho druhu. Umožňují implementovat princip "jeden argument - jedna funkce", který umožňuje provádět proměnné změny, které redukují složité goniometrické výrazy na algebraické. Ne nadarmo se tato substituce nazývá univerzální.
Musíme se naučit první dva vzorce. Třetí získáme vydělením prvních dvou navzájem podle definice tečny tgα = sinα ___ cosα
IX skupina. Odlévací formule.
Chcete-li porozumět této skupině goniometrických vzorců, projděteskupina X. Hodnoty pro základní úhly.
Jsou uvedeny hodnoty goniometrických funkcí pro hlavní úhly prvního čtvrtletíTakže my ano výstup: Je třeba znát trigonometrické vzorce. Čím větší, tím lepší. Ale na co trávit čas a úsilí - zapamatování vzorců nebo jejich obnovení v procesu řešení problémů, musí každý rozhodnout sám.
Příklad úlohy pro použití trigonometrických vzorců
Vyřešte rovnici hřích5 X Cos3 X- hřích 8 X Cos6 X = 0.Máme dvě různé funkce sin () a cos () a čtyři! různé argumenty 5 X, 3X, 8X a 6 X... Bez předběžných transformací nebude fungovat redukce na nejjednodušší typy goniometrických rovnic. Proto se nejprve snažíme nahradit součiny součty nebo rozdíly funkcí.
Provedeme to stejným způsobem jako v příkladu výše (viz část).
hřích (5 X + 3X) + hřích (5 X − 3X) = 2 hříchy5 X Cos3 X
hřích8 X+ hřích2 X= 2 hříchy5 X Cos3 X
hřích (8 X + 6X) + hřích (8 X − 6X) = 2 hříchy8 X Cos6 X
hřích14 X+ hřích2 X= 2 hříchy8 X Cos6 X
Vyjádříme-li součiny z těchto rovností, dosadíme je do rovnice. Dostaneme:
(hřích 8 X+ hřích2 X) / 2 - (hřích14 X+ hřích2 X)/2 = 0.
Vynásobíme obě strany rovnice 2, otevřeme závorky a uvedeme podobné členy
Hřích8 X+ hřích2 X- hřích 14 X- hřích 2 X = 0;
hřích8 X- hřích 14 X = 0.
Rovnice se stala mnohem jednodušší, ale vyřešte ji jako tento hřích8 X= hřích14 X, proto 8 X = 14X+ T, kde T je období, je nesprávné, protože neznáme význam tohoto období. Využijeme proto toho, že na pravé straně rovnosti je 0, se kterou lze snadno porovnávat faktory v libovolném výrazu.
Rozšířit hřích8 X- hřích 14 X podle faktorů musíte přejít od rozdílu k produktu. K tomu lze použít vzorec pro rozdíl sinus, nebo opět vzorec pro součet sinus a lichost funkce sinus (viz příklad v sekci).
hřích8 X- hřích 14 X= hřích8 X+ hřích (-14 X) = 2 hříchy 8X + (−14X) __________ 2 Cos 8X − (−14X) __________ 2 = hřích (-3 X) Cos11 X= −hřích3 X Cos11 X.
Takže rovnice sin8 X- hřích 14 X= 0 je ekvivalentní rovnici sin3 X Cos11 X= 0, což je zase ekvivalentní kombinaci dvou nejjednodušších rovnic sin3 X= 0 a cos11 X= 0. Když vyřešíme poslední, dostaneme dvě řady odpovědí
X 1 = π n/3, nϵZ
X 2 = π / 22 + π k/11, kϵZ
Pokud v textu najdete chybu nebo překlep, nahlaste to prosím na e-mailovou adresu [e-mail chráněný] ... Byl bych velmi vděčný.
Pozor, © matematika... Přímé kopírování materiálů na jiné stránky je zakázáno. Přidejte odkazy.
Jsou nastaveny vztahy mezi hlavními goniometrickými funkcemi - sinus, kosinus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce... A protože mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho souvislostí, vysvětluje to hojnost goniometrických vzorců. Některé vzorce spojují goniometrické funkce stejného úhlu, jiné - funkce vícenásobného úhlu, jiné - umožňují snížit stupeň, čtvrtý - vyjádřit všechny funkce prostřednictvím tangens polovičního úhlu atd.
V tomto článku uvedeme v pořadí všechny základní goniometrické vzorce, které stačí k vyřešení naprosté většiny trigonometrických úloh. Pro snadnější zapamatování a použití je seskupíme podle účelu a zaneseme do tabulek.
Navigace na stránce.
Základní goniometrické identity
Hlavní trigonometrické identity nastavte vztah mezi sinusem, kosinusem, tečnou a kotangens jednoho úhlu. Vyplývají z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens, stejně jako z pojmu jednotkové kružnice. Umožňují vám vyjádřit jednu goniometrickou funkci pomocí jakékoli jiné.
Podrobný popis těchto trigonometrických vzorců, jejich odvození a příklady použití naleznete v článku.
Odlévací formule
Odlévací formule vyplývají z vlastností sinus, kosinus, tangens a kotangens, to znamená, že odrážejí vlastnost periodicity goniometrických funkcí, vlastnost symetrie a také vlastnost posunutí o daný úhel. Tyto trigonometrické vzorce vám umožňují přejít od práce s libovolnými úhly k práci s úhly v rozsahu od nuly do 90 stupňů.
Zdůvodnění těchto vzorců, mnemotechnické pravidlo pro jejich zapamatování a příklady jejich použití lze prostudovat v článku.
Sčítací vzorce
Goniometrické sčítací vzorce ukázat, jak jsou goniometrické funkce součtu nebo rozdílu dvou úhlů vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí těchto úhlů. Tyto vzorce slouží jako základ pro odvození následujících goniometrických vzorců.
Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. roh
Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. úhel (také nazývaný víceúhlové vzorce) ukazují, jak goniometrické funkce dvojité, trojité atd. úhly () jsou vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí jednoho úhlu. Jejich odvození je založeno na adičních vzorcích.
Podrobnější informace jsou shromážděny ve vzorcích článku pro dvojité, trojité atd. roh.
Vzorce polovičního úhlu
Vzorce polovičního úhlu ukázat, jak jsou goniometrické funkce polovičního úhlu vyjádřeny v podmínkách kosinu celočíselného úhlu. Tyto trigonometrické vzorce vycházejí ze vzorců pro dvojitý úhel.
Jejich závěr a příklady aplikace najdete v článku.
Vzorce pro snížení stupně
Vzorce pro snížení trigonometrických stupňů jsou navrženy tak, aby usnadnily přechod od přirozených stupňů goniometrických funkcí k sinusům a kosinusům v prvním stupni, ale více úhlů. Jinými slovy, umožňují snížit stupně goniometrických funkcí na první.
Součtové a rozdílové vzorce pro goniometrické funkce
hlavní cíl vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí je přejít na součin funkcí, což je velmi užitečné při zjednodušování goniometrických výrazů. Tyto vzorce jsou také široce používány při řešení goniometrických rovnic, protože umožňují faktorizovat součet a rozdíl sinů a kosinů.
Vzorce pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu
Přechod od součinu goniometrických funkcí k součtu nebo rozdílu se provádí pomocí vzorců pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu.
Obecná trigonometrická substituce
Přehled základních vzorců trigonometrie uzavíráme vzorci vyjadřujícími goniometrické funkce z hlediska tangens polovičního úhlu. Tato náhrada byla pojmenována univerzální trigonometrické substituce... Jeho výhoda spočívá v tom, že všechny goniometrické funkce jsou vyjádřeny pomocí tangens polovičního úhlu racionálně bez kořenů.
Bibliografie.
- Algebra: Učebnice. za 9 tř. středa škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Vzdělávání, 1990.- 272 s .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a počátek rozboru: Učebnice. na 10-11 tř. středa shk. - 3. vyd. - M .: Vzdělávání, 1993 .-- 351 s .: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začátek rozboru: Učebnice. na 10-11 tř. obecné vzdělání. instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M .: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Učebnice. manuál - M .; Vyšší. shk., 1984.-351 s., ill.
Autorská práva chytrých studentů
Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část stránek, včetně interních materiálů a vnějšího designu, nesmí být reprodukována v žádné formě nebo používána bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.
Nebudu vás přesvědčovat, abyste nepsali cheat sheets. Napsat! Včetně, a podvádět listy na trigonometrii. Později plánuji vysvětlit, proč jsou cheaty potřeba a proč jsou cheaty užitečné. A zde - informace o tom, jak se neučit, ale pamatovat si některé trigonometrické vzorce. Takže - trigonometrie bez cheat sheetu! Asociace používáme k zapamatování.
1. Sčítací vzorce:
kosinus vždy "jdou ve dvojicích": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
A ještě jedna věc: kosiny jsou „neadekvátní“. Oni "ne tak", takže mění znaménka: "-" na "+" a naopak.
Sinusy - "mix": sinus kosinus, kosinus sinus.
2. Vzorce pro součet a rozdíl:
kosiny vždy „jdou ve dvojicích“. Sečtením dvou kosinus - "koloboků", dostaneme dvojici kosinus - "koloboky". A po odečtení koloboky rozhodně nezískáme. Získáme pár sinus. Také s mínusem dopředu.
Sinusy - "mix" :
3. Vzorce pro převod součinu na součet a rozdíl.
Kdy získáme pár kosinus? Když sečteme kosinus. Proto
Kdy dostaneme pár dutin? Při odečítání kosinů. Proto:
"Míchání" se získá jak při sčítání, tak při odečítání sinů. Co je hezčí: přidat nebo ubrat? Přesně tak, sklopte. A pro vzorec berou dodatek:
V prvním a třetím vzorci je součet v závorce. Součet se od přeskupení míst pojmů nemění. Pořadí je zásadní pouze pro druhý vzorec. Ale abychom se nepletli, pro snadné zapamatování ve všech třech vzorcích v prvních závorkách bereme rozdíl
a za druhé částka
Cheat sheets v kapse vám dá klid: pokud zapomenete vzorec, můžete si ho odepsat. A dodají vám sebevědomí: pokud se vám nepodaří použít cheat sheet, vzorce si můžete snadno zapamatovat.
Pokračujeme v rozhovoru o nejpoužívanějších vzorcích v trigonometrii. Nejdůležitější z nich jsou sčítací vzorce.
Definice 1
Sčítací vzorce umožňují vyjádřit funkce rozdílu nebo součtu dvou úhlů pomocí goniometrických funkcí těchto úhlů.
Nejprve uvedeme kompletní seznam sčítacích vzorců, poté je doložíme a rozebereme několik názorných příkladů.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Základní sčítací vzorce v trigonometrii
Rozlišuje se osm základních vzorců: sinus součtu a sinus rozdílu dvou úhlů, kosiny součtu a rozdílu, tangens a kotangens součtu a rozdílu. Níže jsou uvedeny jejich standardní formulace a výpočty.
1. Sinus součtu dvou úhlů lze získat následovně:
Vypočteme součin sinu prvního úhlu s kosinusem druhého;
Vynásobte kosinus prvního úhlu sinem prvního úhlu;
Výsledné hodnoty sečtěte.
Grafický zápis vzorce vypadá takto: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Sinus rozdílu se vypočítá zhruba stejně, jen výsledné součiny není třeba sčítat, ale od sebe odečítat. Vypočítáme tedy součiny sinu prvního úhlu kosinusem druhého a kosinu prvního úhlu sinem druhého a zjistíme jejich rozdíl. Vzorec je napsán takto: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Kosinus součtu. Pro něj najdeme součin kosinu prvního úhlu kosinusem druhého a sinu prvního úhlu sinem druhého a zjistíme jejich rozdíl: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Kosinus rozdílu: vypočítejte součin sinů a kosinus daných úhlů jako dříve a sečtěte je. Vzorec: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangenta součtu. Tento vzorec je vyjádřen jako zlomek, v jehož čitateli je součet tečen požadovaných úhlů a ve jmenovateli je jednotka, od které se odečítá součin tečen požadovaných úhlů. Vše je zřejmé z jeho grafického zápisu: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangenta rozdílu. Vypočítáme hodnoty rozdílu a součin tečen těchto úhlů a uděláme s nimi totéž. Ve jmenovateli sčítáme do jedné a ne naopak: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Kotangens součtu. Pro výpočty pomocí tohoto vzorce potřebujeme součin a součet kotangens těchto úhlů, se kterými postupujeme následovně: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Rozdíl kotangens . Vzorec je podobný předchozímu, ale v čitateli a jmenovateli je mínus, nikoli plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Pravděpodobně jste si všimli, že tyto vzorce jsou v párech podobné. Pomocí znamének ± (plus-mínus) a ∓ (mínus-plus) je můžeme seskupit pro usnadnění psaní:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β
V souladu s tím máme jeden záznamový vzorec pro součet a rozdíl každé hodnoty, pouze v jednom případě věnujeme pozornost hornímu znaménku, ve druhém - dolnímu.
Definice 2
Můžeme vzít libovolné úhly α a β a sčítací vzorce pro kosinus a sinus pro ně budou fungovat. Pokud dokážeme správně určit hodnoty tečen a kotangens těchto úhlů, budou pro ně platit i sčítací vzorce pro tečnu a kotangens.
Jako většinu pojmů v algebře lze sčítací vzorce dokázat. První vzorec, který budeme dokazovat, je rozdíl kosinusový vzorec. Zbytek důkazů se z toho pak dá snadno odvodit.
Pojďme si ujasnit základní pojmy. Potřebujeme jednotkový kruh... Dopadne to, když vezmeme určitý bod A a otočíme úhly α a β kolem středu (bodu O). Potom bude úhel mezi vektory O A 1 → a O A → 2 (α - β) + 2 π z nebo 2 π - (α - β) + 2 π z (z je libovolné celé číslo). Výsledné vektory svírají úhel, který je roven α - β nebo 2 π - (α - β), nebo se může od těchto hodnot lišit o celý počet celých otáček. Podívejte se na obrázek:
Použili jsme redukční vzorce a dostali jsme následující výsledky:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Sečteno a podtrženo: kosinus úhlu mezi vektory O A 1 → a O A 2 → je roven kosinu úhlu α - β, tedy cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Připomeňme si definice sinus a kosinus: sinus je funkcí úhlu, který se rovná poměru ramene opačného úhlu k přeponě, kosinus je sinus dalšího úhlu. Proto ty body A 1 a A 2 mají souřadnice (cos α, sin α) a (cos β, sin β).
Získáme následující:
O A 1 → = (cos α, sin α) a O A 2 → = (cos β, sin β)
Pokud to není jasné, podívejte se na souřadnice bodů umístěných na začátku a konci vektorů.
Délky vektorů se rovnají 1, protože máme jednotkový kruh.
Pojďme nyní analyzovat skalární součin vektory O A 1 → a O A 2 →. V souřadnicích to vypadá takto:
(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Z toho můžeme odvodit rovnost:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Tím je dokázán vzorec pro kosinus rozdílu.
Nyní dokážeme následující vzorec - kosinus součtu. Je to jednodušší, protože můžeme použít předchozí výpočty. Vezměte zobrazení α + β = α - (- β). My máme:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Toto je důkaz vzorce pro kosinus součtu. Poslední řádek využívá vlastnosti sinus a kosinus opačných úhlů.
Sinusový vzorec součtu lze odvodit z diferenčního kosinusového vzorce. K tomu použijeme redukční vzorec:
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Tak
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
A zde je důkaz vzorce sinusového rozdílu:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Všimněte si použití sinusových a kosinusových vlastností opačných úhlů v posledním výpočtu.
Dále potřebujeme důkazy sčítacích vzorců pro tečnu a kotangens. Připomeňme si základní definice (tangens je poměr sinus ku kosinusu a kotangens naopak) a vezměme si již předem odvozené vzorce. Dokázali jsme to:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Máme složitý zlomek. Dále musíme vydělit jeho čitatel a jmenovatel cos α · cos β, přičemž vezmeme v úvahu, že cos α ≠ 0 a cos β ≠ 0, dostaneme:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cosα cosα cos β cos β - sin α sin β cos α cos β
Nyní zlomky zrušíme a dostaneme vzorec následujícího tvaru: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dostali jsme t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Toto je důkaz vzorce pro sčítání tečny.
Další vzorec, který budeme dokazovat, je vzorec pro tangens rozdílu. Vše je jasně zobrazeno ve výpočtech:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Vzorce pro kotangens se dokazují podobným způsobem:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin 1 β = = - α ctg β ctg α + ctg β
Dále:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
