수학에서는 표현의 단순화 없이는 할 수 없다는 것이 알려져 있습니다. 이것은 다양한 종류의 방정식뿐만 아니라 다양한 문제의 정확하고 빠른 솔루션에 필요합니다. 논의된 단순화는 목표를 달성하는 데 필요한 단계 수의 감소를 의미합니다. 결과적으로 계산이 눈에 띄게 쉬워지고 시간이 크게 절약됩니다. 그러나 표현을 단순화하는 방법은 무엇입니까? 이를 위해 식을 훨씬 짧게 만들어 계산을 단순화하는 공식 또는 법칙이라고 하는 확립된 수학적 관계가 사용됩니다.

오늘날 온라인에서 표현을 단순화하는 것이 어렵지 않다는 것은 비밀이 아닙니다. 다음은 더 인기 있는 몇 가지 링크입니다.

그러나 모든 표현식에서 이것이 가능한 것은 아닙니다. 따라서보다 전통적인 방법을 자세히 살펴 보겠습니다.

공약수 빼기

한 식에 동일한 요인을 가진 단항식이 있는 경우 해당 계수의 합을 찾은 다음 공통 요인을 곱할 수 있습니다. 이 연산을 "공약수 빼기"라고도 합니다. 지속적으로 사용 이 방법, 때로는 표현을 크게 단순화할 수 있습니다. 결국 대수학은 일반적으로 요인과 제수의 그룹화 및 재배열을 기반으로 합니다.

감소된 곱셈을 위한 가장 간단한 공식

앞에서 설명한 방법의 결과 중 하나는 약식 곱셈 공식입니다. 도움을 받아 표현을 단순화하는 방법은 이러한 공식을 암기하지 않았지만 어떻게 파생되었는지, 즉 어디에서 왔는지, 따라서 수학적 특성을 알고 있는 사람들에게는 훨씬 더 명확합니다. 원칙적으로 앞의 진술은 1학년부터 1학년까지 모든 현대 수학에 적용됩니다. 더 높은 과정역학 및 수학 학부. 제곱의 차이, 차이의 제곱과 합, 입방체의 합과 차이 - 이 모든 공식은 풀기 위해 표현을 단순화해야 하는 경우 초등 수학 및 고등 수학에서 널리 사용됩니다. 제기된 문제. 그러한 변환의 예는 대수학에 관한 모든 학교 교과서에서 쉽게 찾을 수 있으며, 더 간단하게는 광대한 월드 와이드 웹에서 찾을 수 있습니다.

뿌리도

초등 수학은 전체적으로 보면 식을 단순화할 수 있는 방법이 많지 않습니다. 그들과 함께하는 학위와 활동은 대부분의 학생들에게 비교적 쉬운 경향이 있습니다. 이제서야 많은 현대 학생들과 학생들이 어근으로 표현을 단순화해야 할 때 상당한 어려움을 겪고 있습니다. 그리고 이것은 완전히 근거가 없습니다. 뿌리의 수학적 특성은 일반적으로 어려움이 훨씬 적은 동일한 정도의 특성과 다르지 않기 때문입니다. 그것은 알려져있다 제곱근숫자, 변수 또는 표현식은 "1/2" 거듭제곱에 대한 동일한 숫자, 변수 또는 표현식에 지나지 않으며, 세제곱근은 "1/3" 거듭제곱에 해당하는 식입니다.

분수로 표현 단순화하기

분수로 표현식을 단순화하는 방법에 대한 일반적인 예도 고려하십시오. 식이 자연분수인 경우에는 분모와 분자에서 공약수를 선택하고 그 공약수를 소거해야 합니다. 단항식이 같은 요인을 어느 정도 높인 경우, 차수의 평등을 위해 그것들을 합산할 때 따라야 합니다.

기본 삼각 표현식 단순화하기

어떤 사람들은 삼각법 표현을 단순화하는 방법에 대해 이야기하는 것과 별개입니다. 삼각법의 가장 광범위한 부분은 아마도 수학 학생들이 몇 가지 추상적인 개념, 문제 및 해결 방법에 직면해야 하는 첫 번째 단계일 것입니다. 여기에 해당하는 공식이 있으며, 그 중 첫 번째는 기본 삼각법 항등식입니다. 충분한 수학적 사고방식을 가지고 있으면 모든 기본 삼각 아이덴티티및 인수의 차이와 합, 이중, 삼중 인수, 축소 공식 및 기타 여러 공식을 포함한 공식. 물론 여기에서 공통요소를 빼는 것과 같이 새로운 방법과 공식과 함께 충분히 활용되는 최초의 방법을 잊어서는 안 된다.

요약하면 독자에게 몇 가지 일반적인 조언을 제공합니다.

• 다항식은 인수분해되어야 합니다. 즉, 단항식 및 다항식과 같은 여러 요인의 곱의 형태로 표현되어야 합니다. 그러한 가능성이 있는 경우 대괄호에서 공통 요소를 제거해야 합니다.
• 예외없이 모든 약어 곱셈 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 그렇게 많지는 않지만 수학 표현을 단순화하는 기초입니다. 또한 삼항식에서 완전한 제곱을 선택하는 방법을 잊지 마십시오. 역동작약식 곱셈 공식 중 하나로
• 표현식의 모든 분수는 가능한 한 자주 축약되어야 합니다. 승수 만 취소된다는 것을 잊지 마십시오. 분모와 분자의 경우 대수 분수 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수 값은 변경되지 않습니다.
• 일반적으로 모든 표현식은 작업 또는 체인에 의해 변환될 수 있습니다. 첫 번째 방법이 더 바람직하기 때문에 중간 작업의 결과를 확인하기가 더 쉽습니다.
• 수학적 표현에서 종종 근을 추출해야 합니다. 짝수 거듭제곱의 근은 음수가 아닌 수 또는 표현식에서만 추출할 수 있으며 홀수 거듭제곱의 근은 모든 표현식이나 숫자에서 완전히 추출할 수 있음을 기억해야 합니다.

우리 기사가 앞으로 수학 공식을 이해하고 실제로 적용하는 방법을 가르치는 데 도움이되기를 바랍니다.

첫 번째 수준

표현식 변환. 상세한 이론 (2019)

표현식 변환

우리는 종종 "표현을 단순화하십시오"라는 불쾌한 표현을 듣습니다. 일반적으로 이 경우 다음과 같은 일종의 bogeyman이 있습니다.

"훨씬 쉽습니다."라고 말하지만 이 대답은 일반적으로 효과가 없습니다.

이제 나는 그런 일을 두려워하지 말라고 가르칠 것입니다. 또한 수업이 끝나면이 예제를 (그냥!) 일반 숫자로 단순화합니다 (예,이 문자로 지옥에).

그러나 이 단원을 시작하기 전에 분수와 인수 다항식을 처리할 수 있어야 합니다. 따라서 먼저 이전에 이 작업을 수행하지 않은 경우 "" 및 "" 항목을 마스터해야 합니다.

읽어보셨나요? 그렇다면 이제 준비가 된 것입니다.

기본 단순화 작업

이제 표현식을 단순화하는 데 사용되는 기본 기술을 살펴보겠습니다.

가장 간단한 것은

1. 유사한 것 가져오기

유사한 것은 무엇입니까? 7학년 때 수학에서 처음으로 숫자 대신 문자가 등장하자마자 이것을 겪었습니다. 유사 - 이들은 동일한 문자 부분을 가진 용어(단항식)입니다. 예를 들어, 합계에서 유사한 용어는 and입니다.

기억나요?

유사한 의미를 가져오다 서로 유사한 용어를 여러 개 추가하여 하나의 용어를 얻습니다.

그러나 우리는 어떻게 글자를 조합합니까? - 물어.

글자가 일종의 물건이라고 상상하면 매우 이해하기 쉽습니다. 예를 들어, 편지는 의자입니다. 그렇다면 그 표현은 무엇과 같습니까? 의자 2개에 의자 3개, 얼마입니까? 맞습니다, 의자:.

이제 다음 표현을 시도해 보세요.

혼동하지 않도록 다른 문자가 다른 개체를 나타내도록 하십시오. 예를 들어, 는 (평소처럼) 의자이고 는 테이블입니다. 그 다음에:

의자 테이블 의자 테이블 의자 의자 테이블

이러한 용어의 문자를 곱한 숫자를 계수... 예를 들어, 단항식에서 계수는 입니다. 그리고 그 안에는 평등합니다.

따라서 캐스팅 규칙은 다음과 같습니다.

예:

비슷한 것을 제공하십시오:

대답:

2. (따라서 이러한 용어는 동일한 문자 부분을 갖기 때문에 유사합니다).

2. 인수분해

이것은 일반적으로 표현식을 단순화하는 데 가장 중요한 부분입니다. 유사한 것을 제공한 후에는 대부분의 결과 표현식을 인수분해해야 합니다. 즉, 제품의 형태로 제시해야 합니다. 이것은 분수에서 특히 중요합니다. 결국 분수를 줄이려면 분자와 분모를 곱으로 나타내야 합니다.

"" 주제에서 표현식을 인수분해하는 자세한 방법을 살펴보았으므로 여기서 배운 내용만 기억하면 됩니다. 이렇게하려면 몇 가지를 해결하십시오. 예(인수분해해야 함):

솔루션:

3. 분수 줄이기.

글쎄, 분자와 분모의 일부를 지우고 그것을 당신의 삶에서 버리는 것보다 더 좋은 것이 무엇입니까?

그것이 수축의 아름다움입니다.

간단 해:

분자와 분모에 동일한 인수가 포함되어 있으면 축소할 수 있습니다. 즉, 분수에서 제거할 수 있습니다.

이 규칙은 분수의 기본 속성에서 따릅니다.

즉, 축소 작업의 본질은 다음과 같습니다. 분수의 분자와 분모는 같은 숫자(또는 같은 표현)로 나뉩니다.

분수를 줄이려면 다음이 필요합니다.

1) 분자와 분모 요인

2) 분자와 분모가 다음을 포함하는 경우 공통 요인, 삭제할 수 있습니다.

원리는 분명하다고 생각합니까?

나는 당신의 관심을 한 곳에 집중시키고 싶습니다 전형적인 실수단축할 때. 이 주제는 간단하지만 많은 사람들이 그것을 깨닫지 못하고 모든 것을 잘못합니다. 자르다- 그 뜻은 나누다분자와 분모는 같은 숫자입니다.

분자 또는 분모가 합계인 경우 약어가 없습니다.

예: 단순화해야 합니다.

어떤 사람들은 이렇게 합니다. 이것은 절대적으로 잘못된 것입니다.

또 다른 예: 자르기.

"가장 똑똑한" 사람은 다음을 수행합니다.

여기 뭐가 문제인지 말해줘? 그것은 보일 것입니다 : - 이것은 승수이므로 줄일 수 있습니다.

그러나 아니오: - 이것은 분자에서 단 하나의 항의 요인이지만 분자 자체는 전체적으로 요인으로 인수분해되지 않습니다.

다음은 또 다른 예입니다.

이 표현식은 인수로 분해되었습니다. 즉, 분자와 분모를 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

즉시 다음으로 나눌 수 있습니다.

그러한 실수를 피하기 위해 기억하십시오. 쉬운 방법표현식이 인수분해되었는지 확인하는 방법:

표현식의 값을 계산할 때 마지막으로 수행되는 산술 연산이 "메인" 연산입니다. 즉, 문자 대신 임의의 숫자를 대체하고 표현식의 값을 계산하려고 하면 마지막 작업이 곱셈이면 곱이 됩니다(표현식은 인수분해됨). 마지막 작업이 더하기 또는 빼기인 경우 표현식이 인수분해되지 않으므로 취소할 수 없음을 의미합니다.

문제를 해결하려면 몇 가지를 스스로 결정하십시오. 예:

대답:

1. 서두르지 않았으면 좋겠어? 다음과 같이 단위를 "자르기"하는 것만으로는 충분하지 않았습니다.

첫 번째 조치는 다음을 고려해야 합니다.

4. 분수의 덧셈과 뺄셈. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

일반 분수를 더하고 빼는 것은 매우 친숙한 작업입니다. 공통 분모를 찾고, 각 분수에 누락된 요소를 곱하고, 분자를 더하거나 뺍니다. 기억합시다:

대답:

1. 분모 와 는 서로 소수입니다. 즉, 공통 요소가 없습니다. 따라서 이러한 숫자의 LCM은 제품과 같습니다. 이것은 공통 분모가 될 것입니다.

2. 공통 분모는 다음과 같습니다.

3. 여기에서 우선 혼합 분수를 잘못된 분수로 바꾼 다음 일반적인 계획에 따라 다음을 수행합니다.

분수에 문자가 포함되어 있으면 완전히 다릅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

) 분모에는 문자가 포함되지 않습니다.

여기에서는 모든 것이 일반 숫자 분수와 동일합니다. 공통 분모를 찾고, 각 분수에 누락된 요소를 곱하고, 분자를 더하거나 뺍니다.

이제 분자에서 비슷한 것을 가져와서 요소로 분해할 수 있습니다.

직접 사용해 보세요:

b) 분모에는 문자가 포함됩니다.

문자 없이 공통 분모를 찾는 원리를 기억합시다.

· 우선, 우리는 공통 요소를 결정합니다.

· 그런 다음 모든 공통 요소를 한 번에 작성하십시오.

· 그리고 일반적이지 않은 다른 모든 요소를 ​​곱하십시오.

분모의 공통 요소를 결정하기 위해 먼저 분모를 소인수로 분해합니다.

공통 요소를 강조합시다.

이제 공통 요소를 한 번 작성하고 공통되지 않은(밑줄이 없는) 요소를 모두 추가합니다.

이것이 공통분모입니다.

편지로 돌아가 봅시다. 분모는 정확히 같은 방식으로 표시됩니다.

· 우리는 분모를 요소로 분해합니다.

· 공통(동일한) 요인을 결정합니다.

· 모든 공통 요소를 한 번 작성하십시오.

· 일반적이지 않은 다른 모든 요소를 ​​곱합니다.

따라서 순서대로:

1) 분모를 요인으로 분해합니다.

2) 공통(동일한) 요소를 결정합니다.

3) 우리는 모든 공통 요소를 한 번 작성하고 다른 모든 (스트레스가 없는) 요소로 곱합니다.

그래서 공통분모는 여기에 있습니다. 첫 번째 분수에는 다음을 곱해야 하고 두 번째 분수에는 다음을 곱해야 합니다.

그건 그렇고, 한 가지 트릭이 있습니다.

예를 들어: .

우리는 분모에서 동일한 요소를 볼 수 있으며 모두 다른 지표를 가지고 있습니다. 공통 분모는 다음과 같습니다.

정도

정도

정도

정도.

작업을 복잡하게 합시다.

분수를 같은 분모로 만드는 방법은 무엇입니까?

분수의 기본 속성을 기억합시다.

분수의 분자와 분모에서 같은 수를 빼거나 더할 수 있다는 말은 어디에도 없습니다. 이것은 사실이 아니기 때문입니다!

직접 확인하십시오. 예를 들어 분수를 선택하고 분자와 분모에 숫자를 추가하십시오. 무엇을 배웠습니까?

따라서 또 다른 흔들리지 않는 규칙:

분수를 가져올 때 공통분모, 곱하기 연산만 사용하십시오!

그러나 받으려면 무엇을 곱해야합니까?

여기에서 곱하십시오. 다음과 같이 곱합니다.

인수분해할 수 없는 식을 "소인수"라고 합니다. 예를 들어, 는 기본 요소입니다. - 도. 하지만 - 아니요: 인수분해됩니다.

표현에 대해 어떻게 생각하세요? 초등인가?

아니요, 인수분해될 수 있기 때문에:

(이미 ""주제에서 인수분해에 대해 읽었습니다).

따라서 문자로 표현을 확장하는 기본 요소는 숫자를 확장하는 기본 요소와 유사합니다. 그리고 우리는 같은 방식으로 그들을 다룰 것입니다.

두 분모 모두에 요인이 있음을 알 수 있습니다. 그것은 권력의 공통 분모로 갈 것입니다(이유를 기억하십니까?).

이 요소는 기본 요소이며 일반적이지 않으므로 첫 번째 분수에 단순히 곱해야 합니다.

또 다른 예:

해결책:

공황 상태에서 이러한 분모를 곱하기 전에 인수 분해 방법에 대해 생각할 필요가 있습니까? 둘 다 다음을 나타냅니다.

훌륭한! 그 다음에:

또 다른 예:

해결책:

평소와 같이 분모를 인수분해합니다. 첫 번째 분모에서 단순히 괄호 밖에 넣습니다. 두 번째 - 제곱의 차이:

공통적인 요소는 없는 것 같습니다. 그러나 자세히 보면 너무 비슷합니다 ... 그리고 진실은 다음과 같습니다.

그래서 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다:

즉, 다음과 같이 밝혀졌습니다. 괄호 안에서 용어의 위치를 ​​바꾸는 동시에 분수 앞의 부호가 반대 방향으로 변경되었습니다. 이 작업을 자주 수행해야 합니다.

이제 우리는 공통 분모를 가져옵니다.

알았어요? 지금 확인해 보겠습니다.

독립 솔루션을 위한 작업:

대답:

여기서 우리는 큐브의 차이점을 하나 더 기억해야 합니다.

두 번째 분수의 분모는 "합의 제곱" 공식이 아닙니다! 합계의 제곱은 다음과 같습니다.

A는 소위 불완전 제곱입니다. 두 번째 항은 첫 번째와 마지막의 곱이며 두 배가 아닙니다. 합계의 불완전 제곱은 세제곱의 차이를 확장하는 요인 중 하나입니다.

이미 세 개의 분수가 있는 경우 어떻게 합니까?

예, 동일합니다! 우선 분모의 ​​최대 인수 수가 동일한지 확인합니다.

주의: 한 괄호 안의 부호를 바꾸면 분수 앞의 부호가 반대로 바뀝니다. 두 번째 괄호의 부호를 변경하면 분수 앞의 부호가 다시 반전됩니다. 결과적으로 (분수 앞의 기호) 변경되지 않았습니다.

첫 번째 분모를 공통 분모에 완전히 쓴 다음 두 번째, 세 번째(분수가 더 많은 경우 계속)에서 아직 작성되지 않은 모든 요소를 ​​추가합니다. 즉, 다음과 같이 나타납니다.

흠 ... 분수를 사용하면 무엇을 해야할지 명확합니다. 그러나 듀스는 어떻습니까?

간단합니다. 분수를 더할 수 있습니다. 맞죠? 이것은 우리가 듀스를 분수로 만들어야 한다는 것을 의미합니다! 기억하십시오: 분수는 나눗셈 연산입니다(갑자기 잊어버린 경우를 대비하여 분자를 분모로 나눕니다). 숫자를 나누는 것보다 쉬운 일은 없습니다. 이 경우 숫자 자체는 변경되지 않지만 분수로 바뀝니다.

필요한 것은 바로!

5. 분수의 곱셈과 나눗셈.

자, 이제 가장 어려운 부분은 끝났습니다. 그리고 우리보다 앞서는 것이 가장 간단하지만 동시에 가장 중요합니다.

절차

숫자 표현식을 계산하는 절차는 무엇입니까? 그러한 표현의 의미를 세어 기억하십시오.

계산하셨나요?

그것은 잘 작동해야합니다.

그래서, 나는 당신을 생각 나게합니다.

첫 번째 단계는 학위를 계산하는 것입니다.

두 번째는 곱셈과 나눗셈입니다. 곱셈과 나눗셈이 동시에 여러 개 있는 경우 순서에 관계없이 수행할 수 있습니다.

그리고 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 합니다. 다시 말하지만, 어떤 순서로든.

하지만: 괄호 안의 표현식은 순서가 잘못되어 평가됩니다!

여러 대괄호를 곱하거나 나누면 먼저 각 대괄호의 식을 계산한 다음 곱하거나 나눕니다.

대괄호 안에 대괄호가 더 있으면 어떻게 됩니까? 음, 그것에 대해 생각해 봅시다. 일부 표현식은 대괄호 안에 기록됩니다. 표현을 평가할 때 가장 먼저 해야 할 일은 무엇입니까? 맞습니다. 괄호를 계산하십시오. 글쎄, 우리는 그것을 알아 냈습니다. 먼저 내부 브래킷을 계산한 다음 다른 모든 것을 계산합니다.

따라서 위의 식에 대한 절차는 다음과 같습니다(현재 작업은 빨간색으로 강조 표시됨, 즉 내가 지금 수행하고 있는 작업).

좋아요, 모두 간단합니다.

그러나 이것은 문자로 표현하는 것과 같지 않습니까?

아니, 똑같아! 산술 연산 대신에 대수 연산, 즉 이전 섹션에서 설명한 작업만 수행해야 합니다. 유사한 가져오기, 분수의 더하기, 분수의 축소 등. 유일한 차이점은 인수분해 다항식(우리가 분수로 작업할 때 자주 사용함)의 효과입니다. 대부분의 경우 인수분해를 위해 i를 사용하거나 괄호 밖에 공통 인수를 넣어야 합니다.

일반적으로 우리의 목표는 작품이나 특정의 형태로 표현을 제시하는 것입니다.

예를 들어:

식을 단순화합시다.

1) 첫 번째는 괄호 안의 표현을 단순화하는 것입니다. 거기에 분수의 차이가 있고 우리의 목표는 그것을 곱이나 몫으로 표현하는 것입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 가져오고 다음을 추가합니다.

이 표현을 더 이상 단순화하는 것은 불가능합니다. 여기에 있는 모든 요소는 기본입니다(이것이 의미하는 바를 아직도 기억하십니까?).

2) 우리는 다음을 얻습니다.

분수의 곱셈: 더 쉬울 수 있는 것.

3) 이제 다음을 줄일 수 있습니다.

그게 다야 복잡하지 않죠?

또 다른 예:

표현을 단순화합니다.

먼저 스스로 해결하려고 시도한 다음에만 솔루션을 확인하십시오.

우선, 행동의 순서를 정의합시다. 먼저 대괄호 안에 분수를 추가하고 두 개의 분수 대신 하나를 얻습니다. 그런 다음 분수를 나눕니다. 음, 마지막 분수와 함께 결과를 더하십시오. 나는 개략적으로 행동에 번호를 매길 것입니다.

이제 현재 작업을 빨간색으로 색칠하여 전체 프로세스를 보여 드리겠습니다.

마지막으로 두 가지 유용한 팁을 알려 드리겠습니다.

1. 유사품이 있는 경우 즉시 지참하여야 합니다. 우리에게 비슷한 것이 있으면 즉시 가져오는 것이 좋습니다.

2. 분수의 축소에도 동일하게 적용됩니다. 축소할 기회가 있는 즉시 사용해야 합니다. 더하거나 빼는 분수는 예외입니다. 이제 분모가 같으면 축소는 나중에 남겨야 합니다.

다음은 스스로 해결할 수 있는 몇 가지 작업입니다.

그리고 맨 처음에 다음과 같이 약속했습니다.

솔루션(간결):

적어도 처음 세 가지 예에 대처했다면 주제를 마스터한 것입니다.

이제 학습을 진행합니다!

표현의 변형. 요약 및 기본 공식

기본 단순화 작업:

• 유사한 가져오기: 이러한 용어를 추가(가져오기)하려면 해당 계수를 추가하고 문자 부분을 할당해야 합니다.
• 채권 차압 통고:공통 요소, 응용 프로그램 등을 고려합니다.
• 분수 감소: 분수의 분자와 분모는 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나눌 수 있으며, 이는 분수의 값을 변경하지 않습니다.
  1) 분자와 분모 요인
  2) 분자와 분모에 공통인자가 있을 경우에는 생략할 수 있다.

  중요: 승수만 줄일 수 있습니다!

• 분수의 덧셈과 뺄셈:
  ;
• 분수의 곱셈과 나눗셈:
  ;

NS. 숫자, 산술 기호, 괄호를 문자와 함께 사용할 수 있는 식을 대수식이라고 합니다.

대수식의 예:

2m -n; 삼 · (2a + b); 0.24배; 0,3a -b · (4a + 2b); 2-2ab;

대수식의 문자는 다른 숫자로 대체될 수 있으므로 문자를 변수라고 하며, 대수식- 변수가 있는 표현식.

Ⅱ. 대수식에서 문자(변수)가 해당 값으로 바뀌고 표시된 작업이 수행되면 결과 숫자를 대수식의 값이라고 합니다.

예. 표현식의 값 찾기:

1) a = -2의 경우 a + 2b -c; b = 10; c = -3.5.

2) | x | + | y ​​| - | z | x = -8에서; y = -5; z = 6.

해결책.

1) a = -2의 경우 a + 2b -c; b = 10; c = -3.5. 변수 대신 값을 대입합시다. 우리는 다음을 얻습니다.

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y ​​| - | z | x = -8에서; y = -5; z = 6. 표시된 값으로 대체합니다. 음수의 절대값은 반대 수와 같고 양수의 절대값은 이 숫자 자체와 같습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.대수 표현이 의미가 있는 문자(변수)의 값을 문자의 유효한 값(변수)이라고 합니다.

예. 변수의 어떤 값에 대해 표현식이 의미가 없습니까?

해결책.우리는 0으로 나누는 것이 불가능하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이러한 각 표현은 분수의 분모를 0으로 바꾸는 문자(변수)의 값에 대해 의미가 없습니다!

예 1)에서 이 값은 a = 0입니다. 실제로 0이 a로 대체되면 숫자 6을 0으로 나누어야 하지만 그렇게 할 수 없습니다. 답변: 식 1)은 a = 0에 대해 의미가 없습니다.

예 2) x = 4에서 분모 x - 4 = 0, 따라서 이 값 x = 4를 취할 수 없습니다. 답변: 식 2)는 x = 4에 대해 의미가 없습니다.

예 3) x = -2에서 분모 x + 2 = 0입니다. 답: x = -2일 때 식 3)은 의미가 없습니다.

예 4)에서 분모는 5 - | x | = 0 | x | = 5. 그리고 이후 | 5 | = 5 및 | -5 | = 5이면 x = 5 및 x = -5를 사용할 수 없습니다. 답: 식 4)는 x = -5일 때와 x = 5일 때 의미가 없습니다.
IV. 변수의 허용 가능한 값에 대해 이러한 표현식의 해당 값이 동일한 경우 두 표현식은 동일하게 같음이라고 합니다.

예: 5(a - b)와 5a - 5b는 동등합니다. 5(a - b) = 5a - 5b는 a와 b의 모든 값에 대해 참이기 때문입니다. 등식 5(a - b) = 5a - 5b는 항등식입니다.

신원 포함된 변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 유효한 평등입니다. 이미 알고 있는 항등식의 예는 예를 들어 덧셈과 곱셈의 속성인 분포 속성입니다.

한 식을 동일하게 동일한 다른 식으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현식의 변환이라고 합니다. 동일한 변환변수가 있는 표현식은 숫자에 대한 동작의 속성을 기반으로 실행됩니다.

예.

NS)곱셈의 분포 속성을 사용하여 표현식을 동일하게 동일하게 변환합니다.

1) 10 * (1.2x + 2.3년); 2) 1.5 * (a -2b + 4c); 3) (6m -2n + k).

해결책... 곱셈의 분포 속성(법칙)을 기억하십시오.

(a + b) c = a c + b c(덧셈에 대한 곱셈의 분포 법칙: 두 숫자의 합에 세 번째 숫자를 곱하기 위해 각 항에 이 숫자를 곱하고 얻은 결과를 더할 수 있습니다).
(a-b) c = a c-b c(뺄셈에 대한 곱셈의 분포 법칙: 두 숫자의 차이에 세 번째 숫자를 곱하기 위해 이 숫자를 곱할 수 있습니다. 이 숫자는 별도로 줄임과 빼기를 하고 첫 번째 결과에서 두 번째 숫자를 뺍니다.)

1) 10 * (1.2x + 2.3y) = 10 * 1.2x + 10 * 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5 * (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.

NS)덧셈의 ​​변위 및 조합 속성(법칙)을 사용하여 식을 동일하게 동일하게 변환합니다.

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4초 -3 -2.5 -2.3초.

해결책.덧셈의 ​​법칙(속성)을 적용해 봅시다.

a + b = b + a(전치 가능: 합계는 항의 순열에서 변경되지 않습니다).
(a + b) + c = a + (b + c)(조합: 두 항의 합에 세 번째 숫자를 더하려면 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 숫자의 합을 더하면 됩니다.)

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4초 -3 -2.5 -2.3초 = (5.4초 -2.3초) + (-3 -2.5) = 3.1초 -5.5.

입력)곱셈의 변위 및 조합 속성(법칙)을 사용하여 식을 동일하게 동일하게 변환합니다.

7) 4 · NS · (-2,5); 8) -3,5 · 2년 · (-하나); 9) 3a · (-3) · 2c.

해결책.곱셈의 법칙(속성)을 적용해 봅시다.

a b = b a(transposable: 곱은 요인의 순열에서 변하지 않습니다).
(a b) c = a (b c)(조합: 두 숫자의 곱에 세 번째 숫자를 곱하려면 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 숫자의 곱을 곱하면 됩니다.)

7) 4 · NS · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2년 · (-1) = 7년.

9) 3a · (-3) · 2초 = -18ac.

대수 식이 취소 가능한 분수의 형태로 주어지면 분수의 취소 규칙을 사용하여 단순화할 수 있습니다. 그것과 동일한 더 간단한 표현으로 바꾸십시오.

예. 분수 감소를 사용하여 단순화합니다.

해결책.분수를 줄이는 것은 분자와 분모를 동일한 0이 아닌 숫자(표현식)로 나누는 것을 의미합니다. 분수 10) 3b; 분수 11) 다음과 같이 줄일 수 있습니다. 하지만분수 12)는 다음과 같이 줄일 수 있습니다. 7n... 우리는 다음을 얻습니다.

대수식은 수식을 구성하는 데 사용됩니다.

수식은 평등으로 작성되고 둘 이상의 변수 사이의 관계를 표현하는 대수식입니다.예: 알고 있는 경로 공식 s = v t(s - 이동 거리, v - 속도, t - 시간). 당신이 알고 있는 다른 공식을 기억하십시오.

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대수학에서 고려되는 다양한 표현들 중에서 단항식의 합이 중요한 위치를 차지한다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0.3a ^ 2 - 4.6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2년 + 9x ^ 3 - 7년 ^ 2 + 6x + 5년 - 2 \)

단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 항이라고 합니다. 단항식은 단항식을 하나의 항으로 구성된 다항식으로 간주하여 다항식이라고도 합니다.

예를 들어, 다항식
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \ cdot (-12) b + 16 \)
단순화할 수 있습니다.

우리는 모든 항을 표준 형식의 단항식으로 나타냅니다.
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)

결과 다항식에서 유사한 항을 제시해 보겠습니다.
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
결과는 다항식이며, 모든 구성원은 표준 형식의 단항식이며 그 중 유사한 항목이 없습니다. 이러한 다항식을 표준 형식의 다항식.

당 다항식 차수표준 형식의 구성원의 차수 중 가장 큰 값을 취합니다. 따라서 이항 \ (12a ^ 2b - 7b \)은 3 차이고 삼항 \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - 두 번째입니다.

일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준 다항식의 구성원은 지수의 내림차순으로 정렬됩니다. 예를 들어:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)

여러 다항식의 합은 표준 다항식으로 변환(단순화)될 수 있습니다.

때때로 다항식의 구성원은 그룹으로 나누어 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 괄호는 괄호 확장의 역순이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 확장 규칙:

대괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 대괄호로 묶인 멤버는 동일한 기호로 작성됩니다.

대괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 대괄호로 묶인 멤버는 반대 기호로 작성됩니다.

단항식과 다항식의 곱의 변환(단순화)

곱셈의 분포 속성을 사용하여 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(단순화)할 수 있습니다. 예를 들어:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)

단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 구성원의 곱의 합과 동일하게 동일합니다.

이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.

단항식에 다항식을 곱하려면 이 단항식에 다항식의 각 구성원을 곱해야 합니다.

우리는 이미 여러 번 합을 곱하기 위해 이 규칙을 사용했습니다.

다항식의 곱. 두 다항식 곱의 변환(단순화)

일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 구성원과 다른 다항식의 각 구성원의 곱의 합과 동일하게 동일합니다.

일반적으로 다음 규칙이 사용됩니다.

다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 항의 각 항을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.

약식 곱셈 공식. 합 제곱, 제곱의 차이 및 차이

대수 변환의 일부 표현식은 다른 표현식보다 더 자주 다루어야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현 \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) 및 \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), 즉 합계의 제곱, 제곱 차이, 그리고 제곱의 차이. 이 표현식의 이름이 불완전한 것처럼 보이므로 예를 들어 \ ((a + b) ^ 2 \)는 물론 합계의 제곱이 아니라 합계의 제곱입니다. 그리고 나. 그러나 a와 b의 합계의 제곱은 일반적으로 문자와 b 대신에 일반적이지 않고 때로는 다소 복잡한 표현을 포함합니다.

표현식 \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \)는 표준 형식의 다항식으로 쉽게 변환(단순화)할 수 있습니다. 사실 다항식을 곱할 때 이미 이 작업이 발생했습니다.
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + 바 + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

획득한 ID는 중간 계산 없이 기억하고 적용하는 데 유용합니다. 간단한 구두 공식이 도움이 됩니다.

\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - 합계의 제곱은 제곱과 곱한 곱의 합과 같습니다.

\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - 차이의 제곱은 곱을 곱하지 않은 제곱의 합과 같습니다.

\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - 제곱의 차이는 차이의 곱과 합과 같습니다.

이 세 가지 ID를 사용하면 변환에서 왼쪽을 오른쪽으로 또는 그 반대로(오른쪽을 왼쪽으로) 바꿀 수 있습니다. 가장 어려운 것은 해당 표현을 보고 그 안에 있는 변수와 b를 대체하는 것이 무엇인지 이해하는 것입니다. 약식 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

모든 언어가 동일한 정보를 표현할 수 있습니다. 다른 말로그리고 회전율. 수학적 언어도 예외는 아닙니다. 그러나 같은 표현이라도 다른 방식으로 동일한 방식으로 쓸 수 있습니다. 어떤 상황에서는 항목 중 하나가 더 간단합니다. 우리는 이 수업에서 표현을 단순화하는 것에 대해 이야기할 것입니다.

사람들은 다음에서 통신합니다. 다른 언어들... 우리에게 중요한 비교는 "러시아어 - 수학 언어"쌍입니다. 동일한 정보가 다른 언어로 보고될 수 있습니다. 그러나 이 외에도 한 언어에서 다르게 발음될 수 있습니다.

예: "Petya는 Vasya와 친구입니다.", "Vasya는 Petya와 친구입니다.", "Petya는 Vasya와 친구입니다." 다르게 말하지만 같은 말입니다. 이러한 문구에 대해 우리는 무엇이 문제인지 이해할 것입니다.

이 문구를 살펴 보겠습니다. "소년 Petya와 소년 Vasya는 친구입니다." 우리는 무엇을 이해했습니다 문제의... 그러나 우리는 이 문구가 들리는 방식을 좋아하지 않습니다. 우리는 그것을 단순화 할 수 없습니까? 똑같이 말하지만 더 간단합니까? "소년과 소년"- "소년 Petya와 Vasya는 친구입니다"라고 한 번 말할 수 있습니다.

"Boys" ... 이름부터 소녀가 아닌 것이 분명하지 않습니까. 우리는 "소년"을 제거합니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 그리고 "친구입니다"라는 단어는 "친구"로 대체 될 수 있습니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 결과적으로 처음의 길고 못생긴 문구는 말하기 쉽고 이해하기 쉬운 동등한 문장으로 대체되었습니다. 우리는 이 문구를 단순화했습니다. 단순화한다는 것은 더 쉽게 말하지만 의미를 왜곡하지 않고 잃지 않는다는 의미입니다.

수학적 언어에서도 거의 같은 일이 일어납니다. 같은 것을 다른 방식으로 기록할 수 있습니다. 표현을 단순화한다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 원래 표현에 대해 동일한 표현, 즉 동일한 것을 의미하는 표현이 많다는 것을 의미합니다. 그리고 이 모든 세트에서 우리는 가장 단순하거나 우리의 추가 목표에 가장 적합한 것을 선택해야 합니다.

예를 들어, 숫자 표현식을 고려하십시오. 그에 상응하는 것입니다.

또한 처음 두 개와 동일합니다. .

우리는 표현을 단순화하고 가장 짧은 등가 표현을 찾았습니다.

숫자 표현식의 경우 항상 모든 작업을 수행하고 동일한 표현식을 단일 숫자로 가져와야 합니다.

리터럴 표현식의 예를 고려하십시오. . 분명히 더 간단할 것입니다.

리터럴 표현식을 단순화할 때 가능한 모든 단계를 따라야 합니다.

항상 표현을 단순화해야 합니까? 아니요, 때로는 동등하지만 더 긴 기록을 갖는 것이 더 편리할 것입니다.

예: 숫자에서 숫자를 뺍니다.

계산이 가능하지만 첫 번째 숫자가 해당하는 표기법:으로 표시되면 계산은 즉시 수행됩니다.

즉, 단순화된 표현이 추가 계산에 항상 도움이 되는 것은 아닙니다.

그럼에도 불구하고 "표현을 단순화"하는 것처럼 들리는 작업에 매우 자주 직면합니다.

표현을 단순화하십시오.

해결책

1) 첫 번째 및 두 번째 괄호에 있는 작업을 수행해 보겠습니다.

2) 제품을 계산해 봅시다. .

분명히, 마지막 표현식은 초기 표현식보다 간단합니다. 우리는 그것을 단순화했습니다.

식을 단순화하기 위해 등가(equal)로 바꿔야 합니다.

등가 표현식을 정의하려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 가능한 모든 조치를 수행하고,

2) 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 속성을 사용하여 계산을 단순화합니다.

더하기 및 빼기 속성:

1. 덧셈의 변위 속성: 합은 항의 순열에 따라 변하지 않습니다.

2. 덧셈의 조합 속성: 두 수의 합에 세 번째 수를 더하려면 첫 번째 수에 두 번째와 세 번째 수의 ​​합을 더하면 됩니다.

3. 숫자에서 합을 빼는 속성: 숫자에서 합을 빼려면 각 항을 개별적으로 뺄 수 있습니다.

곱셈과 나눗셈 속성

1. 곱셈의 변위 속성: 곱은 요인의 순열에서 변경되지 않습니다.

2. 조합 속성: 숫자에 두 숫자의 곱을 곱하려면 먼저 첫 번째 요소를 곱한 다음 결과 곱에 두 번째 요소를 곱하면 됩니다.

3. 곱셈의 분배 속성: 숫자에 합을 곱하려면 각 항을 별도로 곱해야 합니다.

우리가 실제로 마음 속에서 계산을 하는 방법을 봅시다.

계산하다:

해결책

1) 다음과 같이 표현하자

2) 첫 번째 요소를 비트 항의 합으로 표현하고 곱셈을 수행합니다.

3) 곱셈을 어떻게 수행하고 수행하는지 상상할 수 있습니다.

4) 첫 번째 요소를 등가 합계로 바꿉니다.

분포 법칙은 반대 방향으로 사용될 수 있습니다.

다음 단계를 따르세요.

1) 2)

해결책

1) 편의상 분배법칙을 사용할 수 있으며 반대방향으로만 사용합니다.

2) 대괄호에서 공통 요소를 제거하십시오.

부엌과 복도에서 리놀륨을 사야합니다. 주방 공간 - 복도 -. 리놀륨에는 for 및 루블의 세 가지 유형이 있습니다. 세 가지 유형의 리놀륨 가격은 각각 얼마입니까? (그림 1)

쌀. 1. 문제 설명에 대한 그림

해결책

방법 1. 부엌에서 리놀륨을 사는 데 필요한 돈을 별도로 찾은 다음 결과 작품을 복도에 놓을 수 있습니다.