주기적인 소수. 분수와 소수, 그리고 그에 대한 조치
이미 초등학교에서 학생들은 분수에 직면합니다. 그런 다음 모든 주제에 나타납니다. 이 숫자로 작업을 잊는 것은 불가능합니다. 따라서 일반 및 소수... 이 개념은 간단하며 가장 중요한 것은 모든 것을 순서대로 이해하는 것입니다.
분수는 무엇을 위한 것입니까?
우리 주변의 세계는 전체 개체로 구성됩니다. 따라서 주식이 필요하지 않습니다. 하지만 일상 생활사람들이 사물과 사물의 일부로 작업하도록 끊임없이 압박합니다.
예를 들어 초콜릿에는 여러 조각이 있습니다. 타일이 12개의 직사각형으로 구성된 상황을 고려하십시오. 2개로 나누면 6개가 됩니다. 그녀는 잘 세 개로 나눌 것입니다. 그러나 다섯 개는 초콜릿 조각의 정수를 줄 수 없습니다.
그건 그렇고,이 조각은 이미 분수입니다. 그리고 그들의 추가 분할은 더 복잡한 숫자의 출현으로 이어집니다.
분수 란 무엇입니까?
그것은 하나의 부분으로 구성된 숫자입니다. 겉보기에는 수평선이나 사선으로 구분된 두 개의 숫자처럼 보입니다. 이 특성을 분수라고 합니다. 맨 위(왼쪽)에 적힌 숫자를 분자라고 합니다. 아래쪽(오른쪽)이 분모입니다.
사실, 분수 막대는 나눗셈 기호로 판명되었습니다. 즉, 분자는 나눌 수 있고 분모는 제수라고 할 수 있습니다.
어떤 분수가 있습니까?
수학에는 보통 분수와 소수 분수의 두 가지 유형만 있습니다. 학교에서 가장 먼저 만나는 학생들은 초등 학년그것들을 단순히 "분수"라고 부릅니다. 두 번째는 5 학년에서 인식합니다. 그런 다음 이러한 이름이 나타납니다.
보통 분수는 막대로 구분된 두 개의 숫자로 작성된 모든 분수입니다. 예를 들어, 4/7. 10진수는 분수 부분이 위치 표기법을 갖고 전체와 쉼표로 구분되는 숫자입니다. 예를 들어, 4.7. 학생들은 주어진 두 예가 완전히 다른 숫자라는 것을 분명히 해야 합니다.
각 분수는 소수로 쓸 수 있습니다. 이 진술은 거의 항상 반대 방향으로 참입니다. 일반 분수로 소수를 쓸 수 있는 규칙이 있습니다.
이러한 유형의 분수의 아종은 무엇입니까?
에서 시작하는 것이 좋습니다. 시간 순서그들이 연구되고 있기 때문에. 가장 먼저 가다 공통 분수... 그 중 5개의 아종을 구별할 수 있습니다.
옳은. 분자는 항상 분모보다 작습니다.
잘못된. 분자는 분모보다 크거나 같습니다.
수축 가능/환원 불가능. 옳기도 하고 그르기도 하다. 중요한 것은 분모가 있는 분자가 공통 요소를 가지고 있는지 여부입니다. 있다면 분수의 두 부분을 나누어야 합니다. 즉, 줄여야 합니다.
혼합. 정수는 일반적인 올바른(잘못된) 소수 부분에 할당됩니다. 또한 항상 왼쪽에 서 있습니다.
합성물. 서로 분리된 두 개의 분수로 구성됩니다. 즉, 한 번에 세 개의 분수 행이 있습니다.
소수에는 두 개의 아종이 있습니다.
마지막, 즉 소수 부분이 제한된 것(끝이 있음);
무한 - 소수점 이하 자릿수가 끝나지 않는 숫자(끝없이 쓸 수 있음).
소수를 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
유한한 수라면 규칙에 따른 연관이 적용됩니다. 즉, 올바르게 읽고 적어야하지만 쉼표는 없지만 분수선은 있어야합니다.
필요한 분모에 대한 힌트로 항상 하나와 여러 개의 0이라는 점을 기억해야 합니다. 후자는 해당 숫자의 소수 부분에 있는 자릿수만큼 작성해야 합니다.
정수 부분이없는 경우, 즉 0과 같은 경우 소수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 0.9 또는 0.05입니다. 지정된 규칙을 적용한 후 0개의 정수를 작성해야 하는 것으로 나타났습니다. 그러나 표시되어 있지 않습니다. 분수 부분 만 기록하는 것이 남아 있습니다. 첫 번째 숫자의 경우 분모는 10이고 두 번째 숫자는 100입니다. 즉, 주어진 예제의 숫자는 9/10, 5/100입니다. 또한 후자는 5로 줄일 수 있음이 밝혀졌습니다. 따라서 결과는 1/20로 작성해야합니다.
정수 부분이 0이 아닌 경우 소수에서 일반 분수를 만드는 방법은 무엇입니까? 예: 5.23 또는 13.00108. 두 예에서 정수 부분을 읽고 해당 값을 씁니다. 첫 번째 경우에는 5이고 두 번째 경우에는 13입니다. 그런 다음 소수 부분으로 이동해야 합니다. 동일한 작업을 수행해야 합니다. 첫 번째 숫자는 23/100이고 두 번째 숫자는 108/100000입니다. 두 번째 값을 다시 줄여야 합니다. 답은 5 23/100 및 13 27/25000의 대분수입니다.
무한 소수를 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
비주기적이면 그러한 작업은 실패합니다. 이 사실은 각 소수가 항상 최종 또는 주기적으로 변환된다는 사실 때문입니다.
그러한 분수로 할 수 있는 유일한 일은 반올림하는 것입니다. 그러나 소수는 그 무한대와 거의 같을 것입니다. 이미 평범한 것으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 역 프로세스: 십진수로 변환 - 절대 초기 값을 제공하지 않습니다. 즉, 무한 비주기 분수는 일반 분수로 변환할 수 없습니다. 이것은 기억해야 합니다.
무한 주기 분수를 일반 분수로 쓰는 방법은 무엇입니까?
이 숫자에서 하나 이상의 숫자는 항상 소수점 뒤에 나타나며 반복됩니다. 기간이라고 합니다. 예를 들어, 0.3(3)입니다. 여기 기간에 "3"입니다. 분수로 변환할 수 있기 때문에 합리적으로 분류됩니다.
주기적 분수를 만난 사람들은 그들이 순수하거나 혼합 될 수 있음을 알고 있습니다. 첫 번째 경우 마침표는 쉼표에서 바로 시작됩니다. 두 번째에서는 소수 부분이 일부 숫자로 시작되고 반복이 시작됩니다.
일반 분수 형태로 무한 소수를 작성해야 하는 규칙은 표시된 두 가지 유형의 숫자에 대해 다릅니다. 순수한 주기 분수를 평범한 분수로 쓰는 것은 아주 쉽습니다. 마지막 것과 마찬가지로 변환해야 합니다. 마침표를 분자에 쓰고 분모는 마침표에 포함된 횟수만큼 반복되는 숫자 9가 됩니다.
예: 0, (5). 숫자에는 정수 부분이 없으므로 즉시 분수 부분부터 시작해야 합니다. 분자에 5를 쓰고 분모에 9를 씁니다. 즉, 답은 분수 5/9입니다.
혼합된 일반 소수 주기 분수를 작성하는 방법에 대한 규칙.
기간의 길이를 보십시오. 많은 9가 분모를 가질 것입니다.
분모를 기록하십시오. 처음에는 9개, 그 다음에는 0개입니다.
분자를 결정하려면 두 숫자의 차이를 기록해야 합니다. 소수점 이하의 모든 자릿수는 마침표와 함께 감소합니다. 빼기 - 마침표가 없습니다.
예를 들어, 0.5 (8) - 주기 소수를 일반 소수로 기록합니다. 마침표 앞의 소수 부분에는 한 자리 숫자가 있습니다. 따라서 0은 1이 됩니다. 마침표에는 8이라는 숫자가 하나만 있습니다. 즉, 9는 하나만 있습니다. 즉, 분모에 90을 써야합니다.
58에서 분자를 결정하려면 5를 빼야 합니다. 결과는 53입니다. 예를 들어 답은 53/90을 써야 합니다.
공통 분수는 어떻게 소수로 변환됩니까?
가장 간단한 옵션은 분모가 10, 100 등인 숫자로 판명되었습니다. 그런 다음 분모는 단순히 버리고 소수 부분과 정수 부분 사이에 쉼표가 배치됩니다.
분모가 10, 100 등으로 쉽게 바뀌는 상황이 있습니다. 예를 들어 숫자 5, 20, 25입니다. 각각 2, 5, 4를 곱하면 충분합니다. 분모만 곱하면 되지만 분자에도 같은 수를 곱해야 합니다.
다른 모든 경우에는 분자를 분모로 나누는 간단한 규칙이 유용합니다. 이 경우 답에 대해 최종 또는 주기적 소수의 두 가지 옵션을 얻을 수 있습니다.
공통 분수를 사용한 작업
덧셈과 뺄셈
학생들은 남들보다 일찍 그들을 알게 됩니다. 더욱이, 먼저 분수는 분모가 같고 다음으로 다릅니다. 일반적인 규칙그런 계획으로 줄일 수 있습니다.
분모의 최소공배수를 구합니다.
모든 공통 분수에 추가 요소를 적습니다.
분자와 분모에 정의된 요소를 곱합니다.
분수의 분자를 더(빼기)하고 공통 분모는 그대로 둡니다.
줄인 수의 분자가 뺀 수보다 작은 경우 대분수 또는 일반 분수가 있는지 확인해야 합니다.
첫 번째 경우 전체 부분에서 하나의 단위를 가져와야 합니다. 분수의 분자에 분모를 더합니다. 그리고 빼기를 합니다.
둘째, 작은 수에서 큰 수를 빼는 법칙을 적용할 필요가 있다. 즉, 감산된 계수에서 감소된 계수를 빼고 이에 대한 응답으로 "-" 기호를 넣으십시오.
덧셈(뺄셈)의 결과를 잘 보세요. 잘못된 분수가 나오면 전체 부분을 선택해야 합니다. 즉, 분자를 분모로 나눕니다.
곱셈과 나눗셈
분수를 완성하기 위해 공통 분모로 가져올 필요는 없습니다. 이렇게 하면 쉽게 따라할 수 있습니다. 그러나 그들은 여전히 규칙을 따라야합니다.
일반 분수를 곱할 때 분자와 분모의 숫자를 고려해야 합니다. 분자와 분모가 공통인수를 가지고 있으면 상쇄될 수 있습니다.
분자를 곱합니다.
분모를 곱합니다.
취소 가능한 분수를 얻으면 다시 단순화해야합니다.
나눌 때 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고 제수(두 번째 분수)를 역수로 바꿔야 합니다(분자와 분모를 바꿉니다).
그런 다음 곱셈과 같이 진행합니다(포인트 1부터 시작).
정수로 곱(나누기)해야 하는 작업에서 후자는 다음 형식으로 작성되어야 합니다. 잘못된 분수... 즉, 분모를 1로 하여 위와 같이 진행합니다.
소수점 동작
덧셈과 뺄셈
물론, 항상 소수를 분수로 바꿀 수 있습니다. 그리고 이미 설명한 계획에 따라 행동합니다. 그러나 때로는 이 번역 없이 행동하는 것이 더 편리합니다. 그러면 그것들을 더하고 빼는 규칙이 완전히 동일할 것입니다.
소수점 이하 자릿수, 즉 소수점 이하 자릿수를 동일하게 합니다. 누락된 0 수를 추가합니다.
쉼표가 쉼표 아래에 오도록 분수를 쓰십시오.
자연수로 더하기(빼기).
쉼표를 제거합니다.
곱셈과 나눗셈
여기에 0을 추가할 필요가 없다는 것이 중요합니다. 분수는 예제에 나와 있는 대로 그대로 두어야 합니다. 그리고 계획대로 가세요.
곱셈의 경우 쉼표를 무시하고 분수를 하나씩 아래에 써야 합니다.
자연수로 곱합니다.
두 요인의 소수 부분에 있는 자릿수만큼 답의 오른쪽 끝에서 계산하여 답에 쉼표를 넣습니다.
나누려면 먼저 제수를 변환해야 합니다. 즉, 자연수로 만듭니다. 즉, 제수의 소수 부분에 있는 자릿수에 따라 10, 100 등을 곱합니다.
배당금에 같은 수를 곱하십시오.
소수를 자연수로 나눕니다.
전체 부분의 나누기가 끝나는 순간에 답에 쉼표를 넣으십시오.
한 예에 두 가지 유형의 분수가 모두 있는 경우에는 어떻게 됩니까?
예, 수학에는 보통 및 소수에 대한 작업을 수행해야 하는 예가 종종 있습니다. 이러한 작업에서는 두 가지 솔루션이 가능합니다. 숫자를 객관적으로 평가하고 가장 좋은 것을 선택해야 합니다.
첫 번째 방법: 일반 소수를 나타냅니다.
나누거나 번역할 때 유한 분수를 구하는 경우에 적합합니다. 적어도 하나의 숫자가 주기적인 부분을 제공하는 경우 이 기술은 금지됩니다. 따라서 일반 분수 작업을 좋아하지 않더라도 계산해야 합니다.
두 번째 방법: 일반 소수점 이하 자릿수 쓰기
이 기술은 소수점 이하 부분에 1~2자리가 있는 경우에 편리합니다. 더 많은 경우 매우 큰 일반 분수가 나올 수 있으며 소수 표기법을 사용하면 작업을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 항상 작업을 냉정하게 평가하고 가장 간단한 솔루션 방법을 선택해야 합니다.
이 기사는 소수... 여기에서 우리는 소수의 십진 표기법을 다루고, 소수의 개념을 소개하고, 소수의 예를 제공할 것입니다. 다음으로 소수 자릿수에 대해 이야기하고 숫자의 이름을 지정해 보겠습니다. 그 다음에는 무한소수분수, 예를 들어 주기분수와 비주기분수에 대해 알아보겠습니다. 다음으로, 기본 동작을 소수로 나열합니다. 결론적으로 우리는 좌표선 상의 소수의 위치를 정할 것이다.
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분수의 10진수 표기법
소수점 읽기
소수를 읽는 규칙에 대해 몇 마디 말해 봅시다.
일반 일반 분수에 해당하는 십진 분수는 이러한 일반 분수와 같은 방식으로 읽히며 "0 정수"만 미리 추가됩니다. 예를 들어, 소수 분수 0.12는 일반 분수 12/100("12/12"로 읽음)에 해당하므로 0.12는 "영점 12/100"으로 읽습니다.
대분수에 해당하는 소수는 이러한 대분수와 정확히 같은 방식으로 읽습니다. 예를 들어, 십진수 56.002는 혼합 숫자이므로 십진수 56.002는 "56.002"로 읽습니다.
소수점 이하 자릿수
소수의 표기법과 표기법에서 자연수, 각 숫자의 의미는 위치에 따라 다릅니다. 실제로 소수점 이하 자릿수 0.3의 숫자 3은 소수점 이하 0.0003 - 10,000분의 3, 소수 30,000,152 - 3만분의 3을 의미합니다. 그래서 우리는 그것에 대해 이야기 할 수 있습니다 소수점 이하 자릿수, 자연수의 자릿수뿐만 아니라.
소수점 이하 소수점 이하 자릿수 이름은 자연수 자릿수 이름과 완전히 일치합니다. 그리고 소수점 이하 소수점 이하 자릿수의 이름은 다음 표에서 볼 수 있습니다.
예를 들어, 십진수 37.051에서 숫자 3은 10자리, 7은 1자리, 0은 10자리, 5는 100자리, 1은 1000자리입니다.
소수점 이하 자릿수는 우선 순위도 다릅니다. 십진수 표기법에서 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자에서 숫자로 이동하면 다음에서 이동합니다. 상위 NS 최하위 숫자... 예를 들어, 백 번째 자리는 열 번째 자리보다 오래되고 백만 번째 자리는 백 번째 자리보다 작습니다. 이 마지막 소수 부분에서 우리는 최상위 및 최하위 숫자에 대해 이야기할 수 있습니다. 예를 들어, 소수점 이하 자릿수 604.9387 선배(상위)순위는 수백의 순위이고, 후배(하급)- 만 번째 범주.
소수의 경우 소수 자릿수 분해가 발생합니다. 자연수의 자릿수 측면에서 확장과 유사합니다. 예를 들어 45.6072의 십진 확장은 45.6072 = 40 + 5 + 0.6 + 0.007 + 0.0002와 같습니다. 그리고 자릿수에 의한 소수의 확장에서 더하기의 속성을 사용하면 이 소수의 다른 표현으로 전환할 수 있습니다(예: 45.6072 = 45 + 0.6072, 또는 45.6072 = 40.6 + 5.007 + 0.0002, 또는 45.6072 = 45.0) .
마지막 소수
지금까지는 소수점 이하 자릿수가 유한한 소수에 대해서만 이야기했습니다. 이러한 분수를 최종소수분수라고 합니다.
정의.
마지막 소수- 이들은 소수의 소수이며, 그 레코드에는 유한한 수의 문자(자릿수)가 포함됩니다.
다음은 최종 소수의 몇 가지 예입니다: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.
그러나 모든 공통 분수를 최종 소수로 나타낼 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 분수 5/13은 분모가 10, 100, ... 중 하나인 등분수로 대체할 수 없으므로 최종 소수로 변환할 수 없습니다. 일반 분수를 소수로 변환하는 이론 섹션에서 이에 대해 자세히 설명합니다.
무한소수: 주기분수와 비주기분수
소수점 뒤에 소수를 쓸 때 무한한 자릿수의 가능성을 가정할 수 있습니다. 이 경우, 우리는 소위 무한 소수를 고려하게 될 것입니다.
정의.
무한 소수- 이들은 무한한 수의 기록이있는 소수의 분수입니다.
우리는 무한 소수를 완전히 쓸 수 없다는 것이 분명합니다. 따라서 기록에서 우리는 소수점 뒤의 특정 유한 자릿수로만 제한되고 무한히 연속되는 자릿수 시퀀스를 나타내는 줄임표를 넣습니다. 다음은 무한 소수의 몇 가지 예입니다. 0.143940932 ..., 3.1415935432 ..., 153.02003004005 ..., 2.111111111 ..., 69.74152152152 ....
마지막 두 개의 무한 소수 분수를 자세히 살펴보면 분수 2.111111111 ... 무한히 반복되는 숫자 1이 명확하게 보이고 분수 69.74152152152 ...에서 소수점 세 번째 자리부터 반복되는 숫자 그룹 1, 5, 2가 선명하게 보입니다. 이러한 무한소수를 주기적이라고 합니다.
정의.
주기적 소수(또는 단순히 주기적 분수) 소수의 소수 자릿수에서 시작하여 일부 자릿수 또는 자릿수 그룹이 무한히 반복되는 표기법의 무한 소수 분수입니다. 분수 기간.
예를 들어, 주기 분수 2.111111111 ...의 주기는 숫자 1이고 분수 69.74152152152 ...의 주기는 152 형식의 숫자 그룹입니다.
무한 주기 소수의 경우 특수 표기법이 사용됩니다. 간결함을 위해 마침표를 괄호로 묶고 한 번 쓰기로 했습니다. 예를 들어, 주기 분수 2.111111111…은 2, (1)로 작성되고 주기 분수 69.74152152152…는 69.74 (152)로 작성됩니다.
동일한 주기 소수에 대해 다른 기간을 지정할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 주기 소수 분수 0.73333 ...은 마침표가 3인 분수 0.7(3)과 마침표가 33인 분수 0.7(33) 등으로 볼 수 있습니다. 0.7(3333), ... 주기적인 분수 0.73333 ...을 다음과 같이 볼 수도 있습니다. 0.733(3) 또는 0.73(333) 등 여기에서 모호성과 불일치를 피하기 위해 가능한 모든 반복 숫자 시퀀스 중 가장 짧은 시퀀스를 소수점에 가까운 위치에서 시작하여 소수점 이하 자릿수 기간으로 간주하는 데 동의합니다. 즉, 소수점 이하 자릿수 0.73333 ...의 기간은 한 자리 3의 시퀀스로 간주되며 빈도는 소수점 다음 두 번째 위치, 즉 0.73333 ... = 0.7 (3)부터 시작됩니다. 또 다른 예: 주기적 분수 4.7412121212 ...의 주기는 12이고 빈도는 소수점 다음 세 번째 자리부터 시작합니다. 즉, 4.7412121212 ... = 4.74 (12)입니다.
무한 소수 주기 분수는 일반 분수를 2와 5가 아닌 다른 소인수를 포함하는 분모의 소수로 변환하여 얻습니다.
여기서 마침표가 9인 주기 분수를 언급할 가치가 있습니다. 다음은 그러한 분수의 예입니다: 6.43 (9), 27, (9). 이 분수는 주기가 0인 주기 분수에 대한 또 다른 표기법이며, 주기가 0인 주기 분수로 대체하는 것이 일반적입니다. 이를 위해 기간 9는 기간 0으로 대체되고 다음으로 높은 순위의 값이 1 증가합니다. 예를 들어, 7.24(9)와 같이 마침표가 9인 분수는 7.25(0)와 같이 마침표가 0인 주기적 분수 또는 7.25와 같은 최종 소수 분수로 대체됩니다. 다른 예: 4, (9) = 5, (0) = 5. 마침표가 9인 분수와 마침표가 0인 해당 분수의 동등성은 이러한 소수를 동일한 일반 분수로 바꾼 후에 쉽게 설정됩니다.
마지막으로 무한히 반복되는 숫자 시퀀스를 포함하지 않는 무한 소수에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 그들은 비주기적이라고합니다.
정의.
비주기적 소수(또는 단순히 비주기 분수) 마침표가 없는 무한 소수입니다.
때때로 비주기적 분수는 예를 들어 8.02002000200002… - 비주기적 분수와 같은 주기적 분수의 형태와 유사한 형태를 갖습니다. 이러한 경우 차이점을 특히 주의해야 합니다.
비주기적 분수는 일반 분수로 변환할 수 없으며 무한한 비주기적 소수는 무리수를 나타냅니다.
소수점 동작
소수를 사용하는 작업 중 하나는 비교이며 네 가지 기본 산술도 정의됩니다. 소수점 동작: 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기. 소수점 이하 자릿수를 사용하여 각 작업을 개별적으로 고려해 보겠습니다.
소수의 비교기본적으로 비교된 소수 분수에 해당하는 공통 분수 비교를 기반으로 합니다. 그러나 소수를 일반 분수로 변환하는 것은 다소 힘든 작업이며 무한한 비주기적 분수는 일반 분수로 나타낼 수 없으므로 소수의 비트 단위 비교를 사용하는 것이 편리합니다. 소수의 비트 비교는 자연수 비교와 유사합니다. 더 자세한 정보는 소수점 이하 자릿수, 규칙, 예, 솔루션의 자료 비교 기사를 연구하는 것이 좋습니다.
다음 단계로 넘어갑시다 - 십진법 곱셈... 최종 소수의 곱셈은 소수의 뺄셈, 규칙, 예, 자연수 열의 곱셈에 대한 솔루션과 동일한 방식으로 수행됩니다. 주기 분수의 경우 곱셈을 일반 분수의 곱으로 줄일 수 있습니다. 차례로, 반올림된 무한 비주기적 소수의 곱셈은 유한 소수의 곱셈으로 축소됩니다. 소수점 이하 자릿수, 규칙, 예, 솔루션의 곱셈 기사의 자료를 추가로 연구하는 것이 좋습니다.
좌표 광선의 소수
점과 소수 사이에는 일대일 대응이 있습니다.
주어진 소수에 해당하는 좌표선 상의 점이 어떻게 구성되는지 알아봅시다.
유한소수분수와 무한주기소수분수를 그것들과 같은 일반분수로 대체할 수 있고, 좌표선에 대응하는 일반분수를 구성할 수 있다. 예를 들어, 소수점 이하 자릿수 1.4는 일반 분수 14/10에 해당하므로 좌표 1.4가 있는 점은 단위 세그먼트의 10분의 1에 해당하는 14개의 세그먼트만큼 양의 방향으로 원점에서 제거됩니다.
이 소수를 숫자로 분해하는 것부터 시작하여 좌표 광선에 소수를 표시할 수 있습니다. 예를 들어 좌표가 16.3007인 점을 만들어야 한다고 가정합니다. 16.3007 = 16 + 0.3 + 0.0007이므로 원점에서 16개의 단위 세그먼트, 길이가 동일한 3개의 세그먼트를 순차적으로 연기하여 이 지점에 도달할 수 있습니다. 10분의 1단위, 7분의 1단위 길이가 10000분의 1단위입니다.
좌표 광선에 소수를 구성하는 이 방법을 사용하면 무한 소수에 해당하는 점에 원하는 만큼 가깝게 접근할 수 있습니다.
때때로 무한소수점에 해당하는 점을 정확하게 그리는 것이 가능합니다. 예를 들어, 
, 이 무한소수분수 1.41421 ...은 좌표선의 점에 해당하며, 단위 세그먼트인 변이 1인 정사각형의 대각선 길이만큼 원점에서 제거됩니다.
좌표 광선의 주어진 점에 해당하는 소수를 구하는 역 과정은 소위 소수점 세그먼트 측정... 그것이 어떻게 수행되는지 알아 봅시다.
우리의 임무는 좌표선의 원점에서 주어진 지점으로 이동하는 것입니다(또는 진입이 불가능한 경우 무한대로 접근). 세그먼트의 십진법 측정에서 우리는 원점에서 임의의 수의 단위 세그먼트를 순차적으로 연기할 수 있습니다. 그런 다음 길이가 단위의 1/10과 같은 세그먼트, 길이가 1/100 단위와 같은 세그먼트 등입니다. 각 길이의 지연된 세그먼트 수를 기록하면 좌표 광선의 주어진 점에 해당하는 소수를 얻습니다.
예를 들어, 위 그림에서 M 지점에 가려면 1단위 구간과 10분의 1단위 길이인 4구간을 연기해야 합니다. 따라서 점 M은 소수 1.4에 해당합니다.
무한소수는 소수점 측정 시 도달할 수 없는 좌표 광선의 점에 해당한다는 것이 분명합니다.
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알다시피 유리수 집합(Q)에는 정수 집합(Z)이 포함되며, 여기에는 자연수 집합(N)이 포함됩니다. 정수 외에도 유리수에는 분수가 포함됩니다.
그렇다면 왜 유리수 전체 집합이 때때로 무한소수 주기 분수로 간주됩니까? 실제로 분수 외에도 비주기적 분수뿐만 아니라 정수도 포함합니다.
사실 모든 정수와 분수는 무한 주기 소수로 나타낼 수 있습니다. 즉, 모든 유리수에 대해 동일한 표기법을 사용할 수 있습니다.
무한 주기 소수는 어떻게 나타납니까? 여기에서 소수점 뒤의 반복되는 숫자 그룹은 대괄호로 묶입니다. 예를 들어, 1.56(12)은 숫자 12의 그룹이 반복되는 분수입니다. 반복되는 숫자 그룹을 마침표라고 합니다.
그러나 비슷한 형태로 끝없이 반복되는 숫자 0의 마침표로 간주하면 모든 숫자를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 2는 2.00000 ....과 같으므로 무한 주기 분수, 즉 2, (0)으로 쓸 수 있습니다.
모든 유한 분수에 대해서도 마찬가지입니다. 예를 들어:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
그러나 실제로는 유한 분수를 무한 주기 분수로 변환하는 것을 사용하지 않습니다. 따라서 유한 분수와 무한 주기 분수를 분리합니다. 따라서 유리수에는 다음이 포함된다고 말하는 것이 더 정확합니다.
- 모든 정수,
- 유한 분수,
- 무한 주기 분수.
동시에 그들은 정수와 유한 분수가 이론상 무한 주기 분수의 형태로 표현될 수 있다는 것을 기억합니다.
반면에 유한 및 무한 분수의 개념은 소수에 적용할 수 있습니다. 일반 분수에 대해 이야기하면 유한 분수와 무한 소수 모두 일반 분수로 고유하게 나타낼 수 있습니다. 따라서 일반 분수의 관점에서 볼 때 주기적 분수와 유한 분수는 하나이며 동일합니다. 또한이 숫자를 1로 나눈다고 상상하면 정수를 분수로 나타낼 수도 있습니다.
일반 분수의 형태로 소수 무한 주기 분수를 나타내는 방법은 무엇입니까? 더 자주 그들은 다음과 같은 것을 사용합니다.
- 소수점 뒤에 마침표만 표시되도록 분수를 형식으로 가져옵니다.
- 무한 주기 분수에 10 또는 100을 곱하거나 ... 쉼표가 한 기간만큼 오른쪽으로 이동하도록 합니다(즉, 한 기간은 정수 부분에 있음).
- 원래 분수(a)를 변수 x와 동일하게 하고 분수(b)를 Nx에 숫자 N을 곱하여 구합니다.
- Nx에서 x를 뺍니다. b에서 빼십시오. 즉, 그들은 방정식 Nx - x = b - a를 구성합니다.
- 방정식을 풀 때 일반 분수가 얻어집니다.
무한 주기 소수를 일반 분수로 변환하는 예:
x = 1.13333 ...
10x = 11.3333 ...
10x * 10 = 11.33333 ... * 10
100x = 113.3333 ...
100x - 10x = 113.3333 ... - 11.3333 ...
90x = 102
x =
소수점 이하 자릿수에 대한 첫 번째 수업에서 소수로 나타낼 수 없는 분수가 있다고 말한 것을 기억합니까("소수점 분수" 참조)? 또한 분수의 분모를 인수분해하여 2와 5 이외의 숫자가 있는지 확인하는 방법도 배웠습니다.
그래서: 거짓말을 했어요. 그리고 오늘 우리는 절대적으로 소수를 소수로 변환하는 방법을 배웁니다. 동시에 우리는 무한한 중요한 부분을 가진 분수의 전체 클래스에 대해 알게 될 것입니다.
주기 소수는 다음을 포함하는 모든 소수입니다.
- 중요한 부분은 무한한 숫자로 구성됩니다.
- 일정한 간격으로 중요한 부분의 숫자가 반복됩니다.
유효 부분을 구성하는 반복되는 숫자의 집합을 분수의 주기 부분이라고 하고 이 집합의 자릿수를 분수의 기간이라고 합니다. 반복되지 않는 유효 부분의 나머지 부분을 비주기 부분이라고 합니다.
많은 정의가 있기 때문에 다음과 같은 몇 가지 분수를 자세히 고려해 볼 가치가 있습니다.
이 분수는 문제에서 가장 자주 발생합니다. 비주기적 부분: 0; 주기 부분: 3; 기간: 1.
비주기적 부분: 0.58; 주기 부분: 3; 기간 길이: 다시 1.
비주기적 부분: 1; 주기 부분: 54; 기간: 2.
비주기적 부분: 0; 주기 부분: 641025; 기간 길이: 6. 편의를 위해 반복 부분은 공백으로 서로 분리됩니다. 이 솔루션에서는 필요하지 않습니다.
비주기적 부분: 3066; 주기 부분: 6; 기간: 1.
보시다시피 주기적 분수의 정의는 개념을 기반으로 합니다. 숫자의 중요한 부분... 따라서 그것이 무엇인지 잊어 버린 경우 반복하는 것이 좋습니다. ""강의를 참조하십시오.
주기 소수로 이동
/ b 형식의 일반 분수를 고려하십시오. 분모를 소인수로 확장해 보겠습니다. 두 가지 옵션이 있습니다.
- 확장에는 요소 2와 5만 있습니다. 이 분수는 쉽게 십진수로 줄어듭니다. "소수 분수" 단원을 참조하십시오. 우리는 그런 것에 관심이 없습니다.
- 확장에는 2와 5 외에 다른 것이 있습니다. 이 경우 분수는 소수로 나타낼 수 없지만 이로부터 주기적 소수를 만들 수 있습니다.
주기 소수를 설정하려면 주기 부분과 비주기 부분을 찾아야 합니다. 어떻게? 분수를 잘못된 분수로 변환한 다음 분자를 "각도가 있는" 분모로 나눕니다.
이 경우 다음이 발생합니다.
- 먼저 분할 전체 부분하나가 있다면;
- 소수점 뒤에 여러 숫자가 있을 수 있습니다.
- 잠시 후 숫자가 시작됩니다. 반복하다.
그게 다야! 소수점 이하 반복되는 숫자는 주기부로 지정하고 앞의 숫자는 비주기부로 지정합니다.
작업. 공통 분수를 주기 소수로 변환:
모든 분수에는 정수 부분이 없으므로 분자를 "모서리"가 있는 분모로 나눕니다.
보시다시피 잔재가 반복됩니다. 분수를 "정확한"형식으로 작성합시다 : 1.733 ... = 1.7 (3).
결과는 분수입니다: 0.5833 ... = 0.58 (3).
우리는 일반 형식으로 씁니다: 4.0909 ... = 4, (09).
분수: 0.4141 ... = 0, (41)을 얻습니다.
주기 십진수에서 공통으로 변경
주기소수 X = abc(a 1 b 1 c 1)를 고려하십시오. 고전적인 "2 층"으로 옮기는 것이 필요합니다. 이를 위해 다음과 같은 네 가지 간단한 단계를 따릅니다.
- 분수의 기간을 찾으십시오. 주기 부분의 자릿수를 세십시오. 그것을 숫자 k라 하자.
- 식 X · 10 k의 값을 찾으십시오. 이것은 소수점을 오른쪽으로 전체 마침표로 이동하는 것과 같습니다. "소수점 곱하기 및 나누기" 단원을 참조하십시오.
- 결과 숫자에서 원래 표현식을 뺍니다. 이 경우 주기적인 부분이 "타서" 남습니다. 정규분수;
- 결과 방정식에서 X를 찾습니다. 우리는 모든 소수를 일반 분수로 변환합니다.
작업. 숫자를 가분수로 줄입니다.
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
우리는 첫 번째 분수로 작업합니다: X = 9, (6) = 9.666 ...
대괄호에는 하나의 숫자만 포함되므로 마침표는 k = 1입니다. 그런 다음 이 분수에 10 k = 10 1 = 10을 곱합니다.
10X = 10 9.6666 ... = 96.666 ...
원래 분수를 빼고 방정식을 풉니다.
10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
이제 두 번째 부분을 다루겠습니다. 따라서 X = 32, (39) = 32.393939 ...
기간 k = 2이므로 모든 것에 10 k = 10 2 = 100을 곱합니다.
100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...
원래 분수를 다시 빼고 방정식을 풉니다.
100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
우리는 세 번째 분수로 진행합니다. X = 0.30 (5) = 0.30555 ... 계획은 동일하므로 계산을 제공하겠습니다.
기간 k = 1 ⇒ 모든 것에 10을 곱합니다. k = 10 1 = 10;
10X = 10 0.30555 ... = 3.05555 ...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
마지막으로 마지막 분수: X = 0, (2475) = 0.2475 2475 ... 다시 말하지만, 편의상 주기적 부분은 공백으로 서로 분리됩니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
그들이 급수 이론을 안다면 그것 없이는 메타매틱 개념을 도입할 수 없다는 것입니다. 더욱이 이 사람들은 그것을 모든 곳에서 사용하지 않는 사람들은 무지하다고 믿습니다. 이 사람들의 견해는 양심에 맡깁시다. 무한 주기적 분수가 무엇인지, 그리고 한계를 모르는 교육받지 못한 우리를 위해 그것을 어떻게 처리하는지 더 잘 이해합시다.
237을 5로 나눕니다. 아니요, 계산기를 시작할 필요가 없습니다. 중학교(또는 초등학교?) 학교를 더 잘 기억하고 열로 나눕니다.
글쎄, 기억나? 그런 다음 비즈니스에 착수할 수 있습니다.
수학에서 "분수"의 개념은 두 가지 의미를 갖습니다.
- 정수가 아닌 숫자입니다.
- 정수가 아닌 표기법.
- 단순(또는 세로) 1/2 또는 237/5와 같은 분수.
- 0.5 또는 47.4와 같은 소수.
수학에서는 일반적으로 태어날 때부터 소수 계산이 채택되었으므로 소수 분모가있는 단순한 분수, 즉 소수 분모 (Vladimir Dal. 사전살아있는 위대한 러시아어. "십").그렇다면 수직 분수를 십진수("수평")로 만들고 싶습니다. 그리고 이것을 위해서는 분자를 분모로 나누기만 하면 됩니다. 예를 들어 분수 1/3을 취하여 소수를 만들어 보십시오.
완전히 교육을받지 못한 사람조차도 알아 차릴 것입니다. 아무리 많이 나누더라도 그들은 쪼개지지 않을 것이므로 세쌍둥이가 무한정 나타날 것입니다. 그래서 우리는 다음과 같이 쓸 것입니다. 0.33 ... 여기서 "1을 3으로 나눌 때 얻은 숫자" 또는 간단히 "1/3"을 의미합니다. 당연히 1/3은 단어의 첫 번째 의미에서 분수이고 "1/3"과 "0.33 ..."은 단어의 두 번째 의미에서 분수입니다. 녹음 양식세 번 미루면 1이 되는 0과 같은 거리에 있는 숫자 라인에 있는 숫자입니다.
이제 5를 6으로 나눕니다.
다시, 0.833 ... 우리는 "5를 6으로 나눌 때 얻은 숫자" 또는 간단히 "5/6"을 의미합니다. 그러나 여기서 혼동이 발생합니다. 0.83333(그리고 세 쌍이 반복됨) 또는 0.833833(그리고 833이 반복됨)을 의미합니까? 따라서 타원 표기법은 우리에게 적합하지 않습니다. 반복되는 부분이 어디서 시작되는지 명확하지 않습니다("마침표"라고 함). 따라서 다음과 같이 괄호 안에 마침표를 사용합니다. 0, (3); 0.8 (3).
0, (3) 쉽지 않다 같음 3분의 1은 있다 1/3은 이 숫자를 소수로 나타내기 위해 특별히 이 표기법을 발명했기 때문입니다.
이 항목은 무한 주기 분수, 또는 단지 주기적인 분수입니다.
한 숫자를 다른 숫자로 나눌 때마다 유한 분수가 얻어지지 않으면 무한 주기 분수가 얻어집니다. 즉, 어느 날 숫자 시퀀스가 확실히 반복되기 시작합니다. 긴 나눗셈 알고리즘을 주의 깊게 살펴봄으로써 이것이 순전히 추측에 의해 이해될 수 있는 이유는 다음과 같습니다.
체크 표시가 있는 곳에서는 항상 다른 숫자 쌍을 얻을 수 없습니다(원칙적으로 이러한 쌍의 유한 집합이 있기 때문에). 그리고 이미 존재했던 그러한 쌍이 거기에 나타나자 마자 그 차이도 동일할 것입니다. 그러면 전체 프로세스가 반복되기 시작할 것입니다. 동일한 단계를 반복해도 결과는 동일할 것이 매우 분명하므로 이를 확인할 필요가 없습니다.
이제 우리는 잘 이해합니다. 본질주기적 분수, 1/3을 3으로 곱해 봅시다. 예, 물론 1을 얻습니다. 그러나 이 분수를 소수 형식으로 작성하고 열에 곱해 보겠습니다(소수점 뒤의 모든 숫자가 동일하기 때문에 생략 부호로 인해 모호성이 없습니다).
그리고 다시 우리는 9, 9, 9가 항상 소수점 뒤에 나타날 것임을 알 수 있습니다. 즉, 역으로 괄호를 사용하면 0, (9)를 얻습니다. 1/3과 3의 곱이 1이라는 것을 알고 있기 때문에 0, (9)는 1에 대한 그런 기이한 표기법입니다. 그러나 다음과 같이 마침표를 사용하지 않고 단위가 완벽하게 작성되기 때문에 이러한 형식의 표기법을 사용하는 것은 비실용적입니다. 1.
보시다시피 0, (9)는 정수가 3/3 또는 7.0과 같은 분수 형태로 쓰여지는 경우 중 하나입니다. 즉, 0, (9)는 단어의 두 번째 의미에서만 분수이지만 첫 번째 의미에서는 분수가 아닙니다.
그래서 극한과 계열 없이 0, (9)가 무엇인지, 어떻게 처리해야 하는지 알아냈습니다.
그러나 사실 우리는 똑똑하고 연구된 분석이라는 사실을 기억합시다. 사실, 다음을 부정하기는 어렵습니다.
그러나 아마도 아무도 다음과 같은 사실에 이의를 제기하지 않을 것입니다.
물론 이 모든 것은 사실입니다. 실제로, 0, (9)는 감소된 급수의 합과 표시된 각도의 2배 사인입니다. 자연 로그오일러의 수.
그러나 어느 한쪽도, 다른 쪽도, 세 번째도 정의가 아닙니다.
0, (9)가 1에서 n에 대해 무한 급수 9 / (10 n)의 합이라고 주장하는 것은 사인이 무한 테일러 급수의 합이라고 주장하는 것과 같습니다.
이것은 꽤 옳다그리고 이건 가장 중요한 사실~을위한 계산 수학, 그러나 이것은 정의가 아니며, 가장 중요한 것은 사람을 이해에 더 가까이 가져오지 않는다는 것입니다. 본질공동. 특정 각도의 사인의 본질은 단지빗변에 대한 반대 다리 각도의 비율.
오리, 주기 분수는 단지소수점 이하 자릿수, 긴 분할같은 숫자 집합이 반복됩니다. 여기에는 분석의 흔적이 없습니다.
그리고 여기서 질문이 생깁니다. 일반적으로우리는 숫자 0, (9)를 취했습니까? 그것을 얻기 위해 열로 무엇을 나눕니까? 실제로 그러한 숫자는 없으며 열로 서로 나누면 끝없이 9가 나타납니다. 그러나 우리는 열 0, (3)에 3을 곱하여 이 숫자를 얻었습니다. 설마. 결국, 숫자 전송을 올바르게 고려하려면 오른쪽에서 왼쪽으로 곱해야 하며, 전송이 어쨌든 어디에도 나타나지 않는다는 사실을 영리하게 활용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 했습니다. 따라서 0, (9)를 쓰는 것의 합법성은 그러한 곱셈의 합법성을 열에서 인식하는지 여부에 달려 있습니다.
따라서 우리는 일반적으로 표기법 0, (9)가 올바르지 않고 어느 정도는 옳다고 말할 수 있습니다. 그러나 표기법 a, (b)가 받아들여지기 때문에 b = 9일 때 그것을 포기하는 것은 단순히 추악합니다. 그러한 기록이 의미하는 바를 결정하는 것이 좋습니다. 따라서 0, (9)라는 표기법을 받아들인다면 이 표기법은 물론 1번을 의미합니다.
예를 들어 삼진법을 사용하는 경우 1의 열(1 3)을 3(10 3)으로 나누면 0.1 3이 됩니다("영점 1/3"로 읽음). , 그리고 1을 2로 나누면 0, (1) 3이 됩니다.
따라서 분수 레코드의 빈도는 분수의 객관적인 특성이 아니라 하나 또는 다른 숫자 체계를 사용하는 부작용입니다.
