Fraktale w świecie rzeczywistym. Obiekt badawczy. Badania "Podróż do światowych fraktali

Jak było fraktal

Matematyczne formy znane jako fraktale należą do geniusza wybitnego naukowca Benoit Mandelbrota. Uczył matematyki większość życia na University of Yale. W 1977 - 1982, opublikował Mandelbrot prace naukowe.poświęcony badaniem "geometrii fraktalnej" lub "geometrii natury", w której na pierwszy rzut oka, losowe formy matematyczne na elementach komponentów, które dołączyły w najbliższej przeglądu, powtarzając, - co również okazało obecność pewnej próbki biurowy. Otwarcie MandelBroke miało znaczące konsekwencje w rozwoju fizyki, astronomii i biologii.

Fraktale w przyrodzie

W przyrodzie wiele obiektów ma właściwości fraktali, na przykład: korony drzew, kalafior, chmury, krwi i układu krwiolowego ludzi i zwierząt, kryształy, płatki śniegu, których elementy są wbudowane w jedną kompleksową strukturę, wybrzeże (pojęcie fraktalne dozwolone naukowcom Zmierz wybrzeże brytyjskie Wyspy i inne, wcześniej niezmierzone, obiekty).

Rozważ strukturę kalafiora. Jeśli wycinasz jeden z kwiatów, oczywiste jest, że ta sama kalafior pozostaje w rękach, tylko mniejsza. Możesz kontynuować ponownie wycinanie i ponownie, nawet pod mikroskopem - ale wszystko, co dostajemy, jest małe kopie kalafiora. W tym najprostszym przypadku nawet niewielka część fraktali zawiera informacje o całej ostatecznej strukturze.

Fraktale w technologii cyfrowej

Geometria fraktalna dokonała nieocenionego wkładu w rozwój nowych technologii w dziedzinie muzyki cyfrowej, a także możliwą kompresję obrazów cyfrowych. Istniejąca fraktalna algorytmy kompresji obrazu oparte są na zasadzie przechowywania obrazu ściskającego zamiast samego obrazu cyfrowego. W przypadku kompresji obrazu główny obraz pozostaje stały punkt. Microsoft użył jednego z wariantów tego algorytmu podczas jedzenia jego encyklopedii, ale z jednego powodu, ten pomysł nie otrzymał szerokiego rozpowszechniania.

Grafika fraktalna matematyczna Fraktalna kłama geometria fraktalna, gdzie metody dziedziczenia z początkowej "obiektów macierzystych" opierają się na podstawie metod budowania "Heir Images". Koncepcje geometrii fraktalnej i grafiki fraktalnej pojawiły się tylko około 30 lat temu, ale był już mocno włączony do stosowania projektantów komputerowych i matematyków.

Podstawowe koncepcje grafiki komputerowej Fractal są:

Trójkąt fraktali - fraktalna figura - obiekt fraktalny (hierarchia w kolejności malejącej)
Fraktal prosto
Skład Fractal.
"Obiekt rodzicielski" i "Obiekt Heir"

Podobnie jak w grafice wektorowej i trójwymiarowej, tworzenie fraktalnych obrazów matematycznie obliczanych. Główną różnicą z pierwszych dwóch rodzajów grafiki jest to, że obraz fraktalny jest zbudowany przez równanie lub system równań - nic poza formułą pamięci komputera nie jest konieczne do przechowywania wszystkich obliczeń - i taka zwartość dozwolonego aparatu matematycznego Wykorzystanie tego pomysłu w grafice komputerowej. Po prostu zmieniając współczynniki równania, można łatwo uzyskać zupełnie inny obraz fraktalny - przy pomocy kilku współczynników matematycznych, powierzchnie i linie są określone bardzo złożona formaUmożliwia to wdrożenie takiej składu kompozycji jako poziomo i pionowej, symetrii i asymetrii, kierunki ukośne i wiele innych.

Jak zbudować fraktal?

Stwórca fraktali działa jako artysta, fotograf, rzeźbiarz i naukowiec w tym samym czasie. Jakie są etapy pracy stworzenia rysunku "od podstaw"?

ustaw wzór formuły matematycznej
przeglądaj konwergencję procesu i zmienia jego parametry
wybierz obraz obrazu
wybierz paletę kwiatów

Wśród fraktalnych redaktorów graficznych i innych programów graficznych można przydzielić:

"Sztuka Dabbler"
"Malarz" (bez komputera, ani jednego artysty nigdy nie dotrze do programistów możliwości tylko za pomocą szczotek ołówka i długopisu)
"Adobe Photoshop" (ale tutaj obraz "od podstaw" nie jest tworzony i, z reguły, tylko przetwarzane)

Rozważmy urządzenie dowolnego fraktalnego kształtu geometrycznego. W centrum znajduje się najprostszy element - trójkąt równoboczny, który otrzymał tę samą nazwę: "Fractal". Na przeciętnym segmencie stron zbudujemy trójkąty równoboczne z boku jednej trzeciej strony początkowego trójkąta fraktalnego. W tej samej zasadzie zbudowane są jeszcze mniejsze trójkąty z drugiej generacji - i tak w nieskończoność. Obiekt, który w wyniku okazał się, nazywany jest "fraktalną figurą", z sekwencji, z których otrzymujemy "skład fraktali".

Źródło: http://www.iknowit.ru/

Fraktale i starożytne mandale

To mandala przyciągnąć pieniądze. Zatwierdź, że czerwony kolor działa magnes. A naczynia nie przypominają ci nic? Wydawali mi się bardzo znajomym i zaangażowałem się w badanie mandali jako fraktali.

Zasadniczo Mandala jest geometrycznym symbolem złożonej struktury, która jest interpretowana jako model wszechświata, "Mapa kosmosowa". Oto pierwszy znak fraktyzacji!

Są haftowane na tkance, rysowane na piasku, występują z proszkami nieżelaznymi i wykonane z metalu, kamienia, drewna. Jasny i fascynujący wygląd sprawia, że \u200b\u200bjest piękną dekoracją podłóg, ścian i sufitów świątyń w Indiach. Na starożytnym język indyjski Mandala oznacza mistyczne koło relacji duchowych i materialnych energii wszechświata lub innego kwiatu życia.

Chciałem napisać przegląd fraktali mandali bardzo małych, z minimalnym akapitami, pokazując, że związek wyraźnie istnieje. Jednak, próbując znaleźć świadomość i powiązać informacje o fraktalach i mandale w jednej całości, miałem poczucie skoku kwantowego w nieznanej przestrzeni.

Wykazujemy ogromę tego tematu cytatu: "Takie kompozycje fraktalne lub mandalas mogą być stosowane jako w postaci obrazów, elementów konstrukcji przestrzeni mieszkalnej i powierzchniowej, noszonych amuletów, w postaci taśm wideo, programy komputerowe... "Ogólnie rzecz biorąc, temat badań fraktali jest tylko ogromny.

Jedną rzeczą, którą mogę powiedzieć dokładnie, świat jest znacznie bardziej zróżnicowany i bogatszy niż nędzne pomysły naszego umysłu o nim.

Fraktal zwierzęta morskie

Moje domysły dotyczące fraktalnych zwierząt morskich nie były bezpodstawne. Oto pierwsi przedstawiciele. Octopus - Morze Donnaya Animal z Carton Fit.

Patrząc na to zdjęcie, stałem się oczywistą fraktalną strukturą jego ciała i frajerów na wszystkich ośmiu mackach tego zwierzęcia. Przyssawki na Dorosłych Mackach Octopus osiąga do 2000 roku.

Ciekawe jest, że ośmiornica to trzy serca: jeden (co najważniejsze) napędza niebieską krew w całym ciele, a dwa inne - Gill - pchając krew przez skrzela. Niektóre rodzaje tych głębokich fraktali trujących.

Dostosowanie i maskowanie pod środowiskoOśmiornica ma bardzo przydatną zdolność do zmiany koloru.

Octopresses są uważane za najbardziej "inteligentne" wśród wszystkich bezkręgowców. Ucz się ludzi, przyzwyczaić się do tych, którzy je karmić. Ciekawe byłoby spojrzenie na ośmiornicę, które są łatwe do trenowania, mają dobrą pamięć, a nawet odróżnić kształty geometryczne. Ale wiek tych fraktalnych zwierząt jest nieodpowiedni - maksymalnie 4 lata.

Osoba używa atramentu tego żywego fraktali i innych wykresów. Są popytami artystów ze względu na ich trwałość i piękny brązowy ton. W kuchni śródziemnomorskiej ośmiornica jest źródłem witamin B3, B12, potasu, fosforu i selenu. Ale myślę, że te fraktale morskie muszą być w stanie przygotować się do korzystania z konsumpcji żywności.

Nawiasem mówiąc, należy zauważyć, że ośmiornicy są drapieżnikami. Trzymają fraktalne macki do ofiary w formie mięczaków, skorupiaków i ryb. Szkoda, jeśli jedzenie tych fraktali morskich staje się taki piękny mięczak. Moim zdaniem również typowy przedstawiciel fraktali królestwa morskiego.

Jest to krewny ślimak, włamywacz Glazk Glavk, jest Glaucus, jest Glaucus Atlanticus, jest marginata Glaucilla. To fraktal jest również niezwykłe, że mieszka i porusza się pod powierzchnią wody, trzymając się z powodu napięcia powierzchniowego. Dlatego Mollusk jest hermafrodytem, \u200b\u200ba potem po kryciu zarówno "partnerów" umieścić jajka. Ten fraktal znajduje się we wszystkich oceanach tropikalnego pasa.

Fraktale królestwa morskiego

Każdy z nas przynajmniej raz w życiu trzymany w dłoniach i z prawdziwym zainteresowaniem dziecka spojrzał na muszlę morską.

Zwykle muszle są piękną pamiątką przypominającą wycieczkę do morza. Kiedy spojrzysz na tę spiralną formację mięczaka bezkręgowców, nie ma wątpliwości w jego fraktalnej naturze.

My, ludzie, z czymś, co przypominamy tym miękkim mięczakom, tapicerowani w dobrze utrzymanych betonowych domach fraktali, umieszczając i przesuwając swoje ciało w szybkich samochodach.

Innym typowym przedstawicielem fraktalnego świata podwodnego jest koral.
W naturze znana jest ponad 3500 odmian koralowców, w palecie, której wyróżnia się do 350 odcieni kolorów.

Koral jest materiałem szkieletowym kolonii polipów koralowych, także z rodziny bezkręgowej. Ich ogromne akumulacje tworzą całe rafy koralowe, którego fraktalna metoda tworzenia jest oczywista.

Koral z całkowitą pewnością można nazwać Fractal z królestwa morskiego.

Jest również używany przez osobę w formie pamiątek lub surowców do biżuterii i biżuterii. Ale powtórz piękno i doskonałość natury fraktalnej jest bardzo trudne.

Z jakiegoś powodu nie mam wątpliwości, że wiele zwierząt fraktalnych pogłębi się w podwodnym świecie.

Po raz kolejny spełniając rytuał w kuchni z nożem i deską do krojenia, a następnie obniżenie noża zimna wodaPo raz kolejny wymyśliłem łzy we łzach, jak radzić sobie z fraktalem łez, który prawie codziennie pojawia się w moich oczach.

Zasada fraktowania jest taka sama jak słynna Matryoshka - zagnieżdżanie. Dlatego zawiadomienie o fraktowaniu nie natychmiast. Ponadto jasny jednorodny kolor i jego naturalna zdolność powodują nieprzyjemne odczucia nie przyczyniają się do stałej obserwacji nad wszechświatem i identyfikacji fraktalnych wzorców matematycznych.

Ale miska sałatki z koloru bzu z powodu jego kolorów i braku łez powoduje odbicia na temat naturalnego fraktowania tego warzywa. Oczywiście, to fraktal to prosty, zwykły obwód różnych średnic, możesz nawet powiedzieć prymitywną fraktal. Ale nie boli, aby pamiętać, że piłka jest uważana za idealną figury geometryczną w naszym wszechświecie.

Wiele artykułów opublikowanych na przydatnych właściwościach Luke w Internecie, ale jakoś nikt nie próbował studiować tej naturalnej kopii z punktu widzenia fraktowania. Mogę jedynie określić korzyść z wykorzystania fraktali w formie łuku w jego kuchni.

Str.s. I już nabyłem frezy warzywne do szlifowania fraktali. Teraz musisz odzwierciedlić, jak czytelny jest taki użyteczny warzywo, jak zwykła biała kapusta. Ta sama zasada gniazdowania.

Fraktale w sztuce ludowej

Moja uwaga przyciągnęła historię światowej słynnej zabawki "Matryoshka". Patrząc na uważnie, z pewnością można powiedzieć, że ta zabawka pamiątkowa jest typowym fraktalem.

Zasada fraktowania jest oczywista, gdy wszystkie figury drewnianej zabawki są wbudowane w rzędzie i nie zainwestowane w siebie.

Moje drobne badania historii tego zabawki Fractal na rynku światowym wykazały, że korzenie tego piękna są japońskie. Matryoshka zawsze był uważany za niezmiewaną rosyjską pamiątkę. Okazało się jednak, że była prototypem japońskiej postaci Starego Man-Sage Fukurum, przyniósł raz do Moskwy z Japonii.

Ale to rosyjskie połowy zabawek, które przyniosły światową sławę na tę japońską postać. Gdzie była idea fraktali gniazdowania zabawek, osobiście dla mnie i pozostała tajemnicą. Najprawdopodobniej autor tej zabawki wykorzystał zasadę zagnieżdżania liczb w sobie. I najłatwiejszy sposób inwestycji jest taką liczbą różnych rozmiarów, a to już jest fraktal.

Równie interesującym przedmiotem badania jest obraz zabawek fraktalnych. Jest to malarstwo dekoracyjne - khokhloma. Tradycyjnymi elementami Khokhloma są ziołowe wzory kwiatów, jagód i gałęzi.

Ponownie wszystkie oznaki fraktowania. W końcu ten sam element można powtórzyć kilka razy w różnych wersjach i proporcjach. W rezultacie otrzymuje się malarstwo fraktalne ludowe.

A jeśli nowy obraz myszy komputerowych, okładki laptopów i telefonów, nikt nie będzie już zaskakujący, to fraktalne strojenie samochodu w stylu ludowym jest czymś nowym w Autodizainie. Pozostaje zaskoczony manifestacją świata fraktali w naszym życiu w tak niezwykłym sposobie dla nas takich zwykłych rzeczach.

Fraktale w kuchni

Za każdym razem, zdemontowany kalafior do małych kwiatostanów do blanszowania we wrzącej wodzie, nigdy nie zwracałem uwagi na wyraźne oznaki fraktowania, podczas gdy ja nie miałem tego przykładu w moich rękach.

Typowy przedstawiciel fraktali Świat warzywny Na moim aneksie kuchennym.

Z całą moją miłością do kalafiora, to cały czas natknął się na przypadki z jednorodną powierzchnią bez widocznych oznak złamania, a nawet duża liczba abonezonów osadzonych w sobie nie dała mi powodów, aby zobaczyć fraktalne warzywo w tym przydatnym warzywo .

Ale powierzchnia tej konkretnej instancji o wyraźnie wymawianej geometrii fraktalnej nie pozostawił najmniejszych wątpliwości w fraktalnym pochodzeniu tego typu kapusty.

Inną podróż do hipermarketu potwierdził tylko stan kapusty fraktali. Wśród ogromnej liczby egzotycznych warzyw, całe pudełko zostało zablokowane fraktalami. Był to romans lub romańskie brokuły, kolorowe kapusta koralowa.

Okazuje się, projektanci i artystów 3d są entuzjastyczne z egzotycznymi formami podobnymi do fraktali.

Nerki kapusty rosną na spirali logarytmicznej. Pierwsze odniesienia do Cabesto Romanentic pochodzą z Włoch XVI wieku.

A brokuły kapusty nie jest całkowicie częstym gościem w mojej diecie, chociaż zawartość przydatnych substancji i pierwiastków śladowych przekracza czasami kalafiora. Ale jego powierzchnia i forma są tak jednorodne, że nigdy nie wystąpiło w nim fraktali warzywnego.

Fraktale w Qilling.

Widząc ażurowe rzemiosła w technice quilling, nigdy nie zostawiłem uczucia, że \u200b\u200bcoś, co mi przypominają. Powtórzenie tych samych elementów w różnych rozmiarach jest oczywiście zasadą fraktowania.

Po obejrzeniu kolejnej klasy głównej w Kulacji, nie było wątpliwości co do fraktowania Królowej. W końcu, do wytwarzania różnych elementów do rzemiosła z Queening, używany jest specjalna linia z kręgami o różnej średnicy. Z całym pięknem i wyjątkowością produktów, jest to niezwykle prosta technika.

Prawie wszystkie podstawowe elementy rzemiosła w quill wykonane są z papieru. Aby zapasować papier do Queening za darmo, wydać domową wersję regałów na książki. Z pewnością znajdziesz kilka jasnych magazynów błyszczących.

Narzędzia QWill są proste i niedrogie. Wszystko, czego potrzebujesz, aby spełnić Quilling stylu Amatorki, można znaleźć wśród twoich artykułów domowych.

I historia królowej rozpoczyna się w XVIII wieku w Europie. W epoce renesansowej mnichów klasztorów francuskich i włoskich z pomocą Queening były ozdobione okładkami książki i nawet nie podejrzewają, że fraktowanie wymyślono papierkową robotę. Dziewczyny z najwyższego społeczeństwa przeszły nawet kurs na królowej w szkołach specjalnych. Ta technika zaczęła rozprzestrzeniać się przez kraje i kontynenty.

Ta klasa Master Class Video Quilling do produkcji luksusowej upierzenia może nawet nazwać "Fraktalami z własnymi rękami". Przy pomocy fraktali papierowych, cudownych ekskluzywnych kart - Walentynki i wiele różnych innych interesujących rzeczy. W końcu fantazja, jak natura niewyczerpanego.

Nie jest tajemnicą, że japoński w życiu jest silnie ograniczony w przestrzeni, w związku z którym muszą być wyrafinowane w skutecznym użyciu. Miyakava Takeshi pokazuje, jak można to zrobić jednocześnie i estetycznie. Jego potwierdzenie szafy fraktalnej, że stosowanie fraktali w projektowaniu jest nie tylko hołdem dla mody, ale także harmonijne rozwiązanie projektowe w warunkach ograniczonej przestrzeni.

Ten przykład używania fraktali w prawdziwym życiu, jak stosowany do projektowania mebli pokazał mi, że fraktale są prawdziwe nie tylko na papierze w formułach matematycznych i programach komputerowych.

Wydaje się, że zasada natury fraktowania używa wszędzie. Wystarczy spojrzeć na to uprzejmy, i pokaże się we wszystkich wielkiej obfitości i nieskończoności bycia.

Miejski budżet Edukacja ogólna - Średnia szkoła średnia

z. Psi

Konferencja naukowa i praktyczna "Amazing World of Matematyka"

Badania "Podróż do świata fraktali"

Wykonane: klasa studenta 10

Allahverdieva nailę

Lider: Davydova E. V.

Wprowadzenie.
Głównym elementem:

a) koncepcja fraktali;

b) Historia tworzenia fraktali;

c) Klasyfikacja fraktali;

d) stosowanie fraktali;

e) fraktale w przyrodzie;

e) kolory fraktali.

3. Wniosek.

Wprowadzenie.

Co kryje za tajemniczą koncepcją "Fractal"? Prawdopodobnie, dla wielu termin ten jest związany z pięknymi obrazami, skomplikowanymi wzorami i jasnymi obrazami utworzonymi za pomocą grafiki komputerowej. Ale fraktale nie są łatwe. Są to specjalne struktury, które podkreślają wszystko otacza. Bortyfikowanie B. Świat naukowy Zaledwie kilka dekad temu fraktale udało się wyprodukować prawdziwą rewolucję w postrzeganiu otaczającej rzeczywistości. Korzystając z fraktali, osoba może tworzyć wysokie precyzyjne modele matematyczne obiektów naturalnych, systemów, procesów i zjawisk.

Głównym elementem
Koncepcja fraktali.

Fraktal(z lat. fractus. - Zmiażdżony, uszkodzony, uszkodzony) - złożona figura geometryczna, która ma własność samopoddoszy, która jest złożona z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury. Wiele obiektów w przyrodzie ma właściwości fraktalne, takie jak wybrzeże, chmury, korony drzew, układ krążenia oraz system alveoli człowieka lub zwierzęcia.

Fraktale, zwłaszcza na płaszczyźnie, są popularne ze względu na połączenie piękna z łatwością konstrukcji za pomocą komputera.

Historia stworzenia.
Aby przynieść naukę fraktali na nowy poziom, francuski Matematyk Benoit Mandelbrot został zarządzany - naukowiec, który dzisiaj jest ujmowany jako ojciec geometrii fraktalnej. Mandelbroid po raz pierwszy dał definicję terminu "Fractal":

Zacytować

"Fraktal nazywa się strukturą składającą się z części, które w pewnym sensie są jak całość"
W latach 70. Benoit Mandelbrot pracował jako analityk matematyczny w IBM. Naukowiec najpierw pomyślał o fraktalach w procesie studiowania hałasu w sieciach elektronicznych. Na pierwszy rzut oka znajdowało się absolutnie chaotyczne zakłócenia podczas transmisji danych. Mandelbrot zbudował harmonogram błędów i był zaskoczony, aby znaleźć to w skali czasu, wszystkie fragmenty wyglądały również. W skali tygodnia hałas pojawił się w tej samej sekwencji co w skali jednego dnia, godzinę lub minutę. Mandelbrot zrozumiała, że \u200b\u200bczęstotliwość błędów, gdy transfer danych jest rozprowadzany w czasie na zasadzie określonej przez Cantor późny XIX. stulecie. Potem Benooy Mandelbrot został poważnie przeniesiony przez badanie fraktali.
W przeciwieństwie do swoich poprzedników, nie było to geometryczne konstrukcje do tworzenia fraktali Mandelbrota, ale transformacje algebraiczne Różna złożoność. Matematyk używał metody odwrotnych iteracji, co oznacza wielokrotne obliczenie tej samej funkcji. Korzystając z wykorzystania komputerów, matematyk wykonał ogromną ilość kolejnych obliczeń, których wyniki wyświetlane graficznie na kompleksie płaszczyźnie. Tyle pojawiło się tak wiele MandelBroke - złożona fraktalna algebraiczna, która dziś jest uważana za klasyk o nauce na fraktale. W niektórych przypadkach ten sam obiekt można uznać za jednocześnie gładko i fraktal. Aby wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje, MandelBroth przynosi ciekawy przykładowy przykład. Plątanina gwintów wełnianych, usuniętych w pewnej odległości, wygląda jak punkt z wymiarem 1. Plątanina, znajduje się w pobliżu, wygląda jak dysk dwuwymiarowy. Bierze to w dłoni, możesz wyraźnie odczuwać głośność piłki - teraz jest postrzegany jako trójwymiarowy. A fraktal plątaniny można rozważyć tylko z punktu widzenia obserwatora przy użyciu urządzenia powiększającego lub muchy, które podawane na powierzchni nierównomiernego wełnianego wątku. Dlatego prawdziwe fraktowanie obiektu zależy od punktu widzenia obserwatora i rozdzielczości użytej przyrządu.
Mandelbrot zauważył ciekawy wzór - bliżej rozważenia mierzonego obiektu, tym bardziej rozszerzono jego granicę. Ta właściwość może być wyraźnie zademonstrowana na przykładzie pomiaru długości jednego z naturalnych fraktali - linia brzegowa. Prowadzenie pomiarów mapa geograficzna., Można uzyskać przybliżoną wartość długości, ponieważ wszystkie nieprawidłowości i zakręty nie będą brane pod uwagę. Jeśli mierzysz pomiar, biorąc pod uwagę wszystkie nieprawidłowości ulgi widoczne z wysokości wzrostu człowieka, wynik będzie nieco inny - długość linii brzegowej znacznie wzrośnie. A jeśli teoretycznie wyobrażamy sobie, że przyrząd pomiarowy będzie wstążka nieregularność każdego żwiru, w tym przypadku, w tym przypadku długość wybrzeża będzie prawie nieskończona.
Klasyfikacja fraktalna.

Fraktale są podzielone na:

geometryczne: Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, natychmiast widoczne samopodobność. Historia fraktali rozpoczęła się od fraktali geometrycznych, które były badane przez matematyków w XIX wieku.

algebraic: Ta grupa fraktalna otrzymała taką nazwę, ponieważ fraktale są utworzone przy użyciu prostych formuł algebraicznych.

stochastyczne: powstają w przypadku przypadkowej zmiany procesu iteracji parametrów fraktali. Dwuwymiarowe fraktale stochastyczne są stosowane w modelowaniu terenu i powierzchni morskiej.

Fraktale geometryczne.

Począł się z nich, że rozpoczęła się historia fraktali. Ten rodzaj fraktali otrzymuje proste konstrukcje geometryczne. Zwykle, przy konstruowaniu tych fraktali, robią to: "nasiona" jest zrobione - aksjomatura - zestaw segmentów, na podstawie której zostanie zbudowana fraktalna. Obok tego "nasion" zastosuj zestaw reguł, które konwertuje go do każdego kształt geometryczny. Następnie stosuje się ten sam zestaw reguł do każdej części tej postaci. Przy każdym kroku figura stanie się bardziej skomplikowana i trudniejsza, a jeśli karmymy (przynajmniej w umyśle), nieskończona liczba transformacji - otrzymujemy fraktali geometryczny. Klasyczne przykłady. Fraktale geometryczne: Koch śnieżynka, liść, trójkąt Serpinsky, Dragonov Złamany (Załącznik 1).

Algebraic Fractals.

Druga duża grupa fraktalna jest algebraiczna (dodatek 2). Uzyskali imię, aby zapewnić, że zostaną zbudowane na podstawie formuł algebraicznych, są czasami bardzo proste. Metody pozyskiwania fraktali algebraicznego są kilka.

Niestety, wiele terminów poziomów 10-11 klasy skojarzonych z numerami złożonymi potrzebnymi do wyjaśnienia konstrukcji fraktalnej jest dla mnie nieznany i nadal trudno zrozumieć, dlatego nie jest możliwe szczegółowo opisanie budowy fraktali tego typu dla mnie.

Początkowo Fractal Nature Black and White, ale jeśli dodasz trochę fantazji i farb, możesz uzyskać prawdziwe dzieło sztuki.

Fraktali stochastyczne

Typowy przedstawiciel tej klasy fraktali "plazma" (dodatek 3). Aby go zbudować, weź prostokąt i dla każdego kąta określi kolor. Następnie znajdujemy centralny punkt prostokąta i pomalujemy go na kolor równy średnich kolory arytmetycznemu w rogach prostokąta oraz liczbę losowej. Bardziej losowa liczba - tym bardziej "rozdarty" będzie rysem. Jeśli teraz powiemy, że kolor tego punktu jest wysokość nad poziomem morza - dostajemy zamiast plazmy - pasmo górskie. Jest on na tej zasadzie, że góry są symulowane w większości programów. Za pomocą algorytmu podobnego do osocza buduje mapę wysokości, dotyczą go różne filtry, stosujemy się do tekstury, a proszę, photorealistyczne góry są gotowe!

Fraktale aplikacji

Już dziś Fraktale są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach. Kierunek fraktalnej archiwizacji informacji graficznej aktywnie rozwija się aktywnie. Teoretycznie, fraktalna archiwizacja może kompresować obrazy do rozmiaru punktu bez utraty jakości. Wraz ze wzrostem zdjęć skompresowanych zgodnie z zasadą fraktali, najmniejsze szczegóły są wyraźnie wyświetlane, a efekt ziarna jest całkowicie nieobecny.

Zasady teorii fraktali stosuje się w medycynie do analizy elektrokardiogramów, ponieważ rytm skrótów serca jest również fraktalem. Kierunek badań układu krążenia i innych wewnętrznych systemów organizmu ludzkiego aktywnie rozwija się. W biologii wykorzystywane są fraktale do modelowania procesów występujących w populacji.
Meteorolodzy wykorzystują niezależność fraktali do analizy intensywności mas powietrza, pojawiając się tym samym możliwość dokładniejszej przewidywania zmian pogody. Fizyka fraktali mediów z wielkim sukcesem rozwiązuje zadanie studiowania dynamiki złożonych turbulentnych przepływów, procesów adsorpcyjnych i dyfuzji. W przemyśle petrochemicznym fraktale służą do symulacji materiałów porowatych. Teoria fraktali jest skutecznie stosowana na rynkach finansowych. Geometria fraktalna służy do tworzenia potężnych urządzeń antenowych.
Obecnie teoria fraktalna jest niezależnym obszarem nauki, na podstawie której powstają wszystkie nowe i nowe kierunki są tworzone w różnych dziedzinach. Znaczenie fraktali poświęconych wielu prac naukowych.

Ale te niezwykłe przedmioty są nie tylko bardzo pomocne, ale także niesamowicie piękne. Dlatego fraktale stopniowo znajdują swoje miejsce w sztuce. Ich niesamowity apel estetyczny inspiruje wielu artystów do tworzenia fraktalnych obrazów. Nowoczesni kompozytorzy tworzą utwory muzyczne za pomocą narzędzi elektronicznych z różnymi właściwościami fraktali. Pisarze stosują strukturę fraktalną, aby utworzyć ich prace literackie, a projektanci tworzą fraktalne meble i elementy wewnętrzne.

Fraktowanie w przyrodzie

W 1977 r. Księga Fraktali Mandelbrota: Forma, wypadek i wymiar "został opublikowany, aw 1982 r. Opublikowano kolejną monografię -" Fraktalna geometria natury ", na stronach, które autor wykazał przykłady wizualne. Różne zestawy fraktali i dowody dowodów na istnienie fraktali w naturze. Główna idea teorii Fractal Mandelbrota wyrażona w następujących słowach:

"Dlaczego geometria często nazywana jest zimna i sucha? Jednym z powodów jest to, że nie jest w stanie dokładnie opisać chmur, gór, drewna lub brzegu morza. Chmury nie są kule, linie brzegu nie jest kółkiem i kora nie jest gładki. I zamek błyskawiczny nie ma zastosowania w linii prostej. Natura demonstruje nas nie tylko więcej wysoki stopieńi zupełnie inny poziom złożoności. Liczba różnych długości długości w strukturach jest zawsze nieskończona. Istnienie tych struktur daje nam wyzwanie w formie trudnego zadania studiowania tych form, które Euclidean spadł jako bezkształtne - zadania badania morfologii amorficznego. Matematyka jednak zaniedbana przez to wyzwanie i preferował coraz więcej z natury, wymyślanie teorii, które nie odpowiadają niczym, co można zobaczyć lub czuć. "

Wiele obiektów naturalnych posiada właściwości zestawu fraktalnego (załącznik 4).

Czy fraktale są naprawdę uniwersalne struktury, które zostały podjęte jako podstawa, gdy tworząc absolutnie wszystko na tym świecie? Forma wielu naturalnych obiektów jest jak najbliżej fraktali. Ale nie wszystkie istniejące fraktale świata mają tak poprawną i nieskończenie powtarzaną strukturę, ponieważ zestawy stworzone przez matematyków. Grzbiety górskie, metalowe powierzchnie błędów, burzliwe przepływy, chmury, piana i wiele innych naturalnych fraktali są pozbawione doskonale dokładnego samopoczucia. I byłoby absolutnie mylone, aby wierzyć, że fraktale są uniwersalnym kluczem do wszystkich tajemnic wszechświata. Wraz ze wszystkimi pozorną złożoności fraktale są tylko uproszczonym modelem rzeczywistości. Ale wśród wszystkich dostępnych teorii fraktali są obecnie najbardziej dokładnym sposobem opisywania otaczającego świata.

Piękno fraktali dodaje ich jasny i chwytliwy kolor. Kompleksowe schematy kolorów sprawiają, że fraktale z pięknym i niezapomnianym. Z matematycznego punktu widzenia fraktale to czarno-białe przedmioty, których każdy punkt należy do zestawu, albo nie należy. Ale możliwości nowoczesnych komputerów pozwalają na wykonanie fraktali z kolorem i jasnym. I to nie jest proste kolorowanie sąsiednich obszarów wielu losowych kolejności.

Analizując wartość każdego punktu, program automatycznie określa cień jednego lub innego fragmentu. Czarny pokazuje punkty, w których funkcja ma stałą wartość. Jeśli wartość funkcji ma tendencję do nieskończoności, wtedy punkt jest pomalowany w innym kolorze. Intensywność barwienia zależy od szybkości przybliżenia do nieskończoności. Im więcej powtórzeń są wymagane, aby zbliżyć się do punktu do stabilnej wartości, zapalniczka staje się jego cieniem. Wręcz przeciwnie - punkty, szybko pędząc do nieskończoności, malowane w jasnych i bogatych kolorach.
Wniosek

Po raz pierwszy usłyszał fraktale, zadaj pytanie, co to jest?

Z jednej strony jest to złożona figura geometryczna, która ma charakterystykę samopodstawności, która jest składająca się z kilku części, z których każdy jest podobny do całej figury.

Koncepcja ta fascynuje swoją pięknem i tajemnicą, przejawiającą się w najbardziej nieoczekiwanych obszarach: meteorologia, filozofia, geografia, biologia, mechanika, a nawet historie.

Prawie niemożliwe jest nie widzieć fraktali w naturze, ponieważ prawie każdy obiekt (chmury, góry, linia brzegowa itp.) Mają strukturę fraktalną. Większość projektantów stron internetowych, programiści mają własną galerię fraktalną (niezwykle piękną).

W istocie fraktale otwierają nasze oczy i pozwolić Ci spojrzeć na matematykę z drugiej strony. Wydawałoby się, że zwykłe obliczenia są wykonane z konwencjonalnymi figurami "suchymi", ale daje nam to własny sposób wyjątkowych wyników, co pozwala odczuwać twórcę natury. Fraktale wyjaśniają, że matematyka jest również nauką pięknej.

Jego praca projektowa Chciałem opowiedzieć o dość nowej koncepcji w matematyce "Fractal". Co to jest, jakie są gatunki, w których sięgają. Naprawdę mam nadzieję, że fraktale są zainteresowane tobą. W końcu, jak się okazało, fraktale są dość interesujące i są prawie na każdym kroku.

Bibliografia

http://ru.wikipedia.org/wiki.
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml.
http://fractals.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm.
Bondarenko V.a., Dolnikov V.L. Fractal Image Compression na Barncel Sloan. // Automatyzacja i telemechanika. - 1994.-N5.-C.12-20.
Watoline D. Wykorzystanie fraktali w wykresie maszynowym. // ComputerWorld-Rosja.-1995.-N15.-C.11.
Feder E. Fraktale. Za. Z języka angielskiego: Mir, 1991.-254c. (Jens Feder, Prasa Pleni, Newyork, 1988)
Zastosowanie fraktali i chaosu. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Załącznik 1

Załącznik 2.

Dodatek 3.

Dodatek 4.

Ministerstwo Edukacji, Nauki i Młodzieży Republiki Krymu

Miejski Instytucja Edukacyjna Budżetowa "Sklep Edukacyjny" Edukacja miejska Krasnoperekopsky District of Republiki Krymu

Kierunek: matematyka.

Badanie funkcji modeli fraktalnych

Dla praktycznego zastosowania

Zrobiłem pracę:

student ocen 8 gminy instytucji budżetowej w zakresie wykształcenia ogólnego "Sklep Edukacyjny" Edukacja miejska Krasnoperekopsky District of Republiki Krymu

Doradca naukowy:

matematyka Nauczyciel Miejski Budget Institution Educational Institution "Sklep Edukacyjny" z Edukacji Miejskiej Krasnoperekopsky District of Republiki Krymu

Krasnoperekopsky District - 2016

Nauka została złożona przez wiele pomysłowych odkryć i wynalazków, dokładnie zmieniając życie ludzkości: energia elektryczna, energia atomowa, szczepionka i wiele więcej. Istnieją jednak takie odkrycia, które dają małe wartości, ale są również w stanie wpływać na nasze życie. Jednym z tych odkryć to fraktale, które pomagają ustalić związek między wydarzeniami nawet w chaosie.

Amerykański Matematyk Benoit Mandelbrot w swojej książce "Fraktalna geometria natury" napisała: "Dlaczego geometria często nazywana jest zimna i sucha? Jednym z powodów jest to, że nie jest w stanie dokładnie opisać kształtu chmury, gór, drewnianych lub morskich brzegów. Chmury nie są kule, linie kolejowe nie są okrągłym, a kora nie jest gładka, ale błyskawica nie ma zastosowania w linii prostej. Natura pokazuje nam nie tylko wyższy stopień, ale zupełnie inny poziom złożoności. Liczba różnych długości długości w strukturach jest zawsze nieskończona. Istnienie tych struktur daje nam wyzwanie w formie trudnego zadania studiowania tych form, które Euclidean spadł jako bezkształtne - zadania badania morfologii amorficznego. Matematyka jednak zaniedbana przez to wyzwanie i wybrał coraz więcej z natury, wymyślanie teorii, które nie odpowiadają niczym, że widzisz lub czuję. "

Hipoteza:wszystko, co istnieje na świecie wokół nas jest fraktalem.

Cel pracy:tworzenie obiektów, których obrazy są podobne do naturalnego.

Przedmiotem studiów:fraktale w różnych dziedzinach nauki i prawdziwego świata.

Przedmiotem badań:fraktalna geometria.

Zadania badawcze:

1. znajomość koncepcji fraktali, historii jego występowania i badań B. Mandelbrota, Kocha, V. Serpinsky i in.;

3. Znajdź potwierdzenie teorii fraktowania otaczającego świata;

4. Badanie wykorzystania fraktali w innych naukach i w praktyce;

5. Przeprowadź eksperyment, aby stworzyć własne fraktalne obrazy.

Metody badawcze:analityczne, wyszukiwanie, eksperymentalne.

Historia wyglądu koncepcji "Fractal"

Geometria fraktalna, jako nowy kierunek w matematyce, pojawił się w 1975 roku. Koncepcja "Fractal" po raz pierwszy wprowadziła do matematyki amerykańskiego naukowego Benoit Mandelbrot. Fractal (z angielskiego ". Frakcja") - frakcja podzielona na części. Definicja fraktali danego przez Mandelbroma, brzmi tak: "Fraktal nazywa się strukturą składającą się z części, które w pewnym sensie są jak całość".

Praca w IBM Research Center, którego pracownicy pracowali nad przeniesieniem danych na odległość, złożone i bardzo ważne zadanie, stanęły przed Benouua - aby zrozumieć, jak przewidzieć występowanie zakłóceń hałasu w obwodach elektronicznych. Mandelbrot zwrócił uwagę na jeden dziwny wzór - wykresy hałasu na innej skali wyglądały jednakowo. To samo zdjęcie zostało zaobserwowane niezależnie od tego, czy był to wykres hałasu w ciągu jednego dnia, tydzień lub godzinę. Warto zmienić skalę wykresu, a obraz był powtarzany za każdym razem. Myślenie w rozumieniu dziwnych wzorów, istota fraktali przybyła do Benua.

Jednak pierwsze pomysły geometrii fraktalnej powstały w XIX wieku.

So Georg Cantor (Cantor, 1845-1918) jest niemieckim matematyką, logiką, teologiem, twórcą teorii nieskończonych zestawów, z pomocą prostej procedury powtarzającej obróciła linię do zestawu niepowiązanych punktów. Wziął linię i usunął centralną trzecią, a następnie powtórzył to samo z pozostałymi segmentami. Co się stało, zwane pyłem kantora (rysunek 1).

A włoski Matematyka Juseppe Peano (Giuseppe Peano; 1858-1932) wziął linię i zastąpiła go o 9 segmentów długości 3 razy niższa niż długość oryginalnej linii. Następnie zrobił to samo z każdym segmentem. I tak w nieskończoność. Później, podobna konstrukcja została przeprowadzona trójwymiarowa przestrzeń (Rysunek 2).

Jednym z pierwszych fraktalnych rysunków była graficzna interpretacja zestawu MandelBroke, która urodziła się dzięki badaniom Gaston Maurice Julia (Rysunek 3).

Wszystkie fraktale można podzielić na grupy, ale największe są:

Fraktale geometryczne;

Fraktale algebraiczne;

Fraktale stochastyczne.

Fraktale geometryczne.

Fraktale geometryczne są najbardziej wizualne i są one uzyskiwane przez proste konstrukcje geometryczne. Weź trochę złamanej (lub powierzchni w trójwymiarowej sprawie), zwany generatorem. Następnie każdy z segmentów stanowiących uszkodzony, zastępuje się złamanym generatorem, na odpowiedniej skali. W wyniku nieskończonego powtórzenia tej procedury otrzymuje się fraktal geometryczny. Przykłady fraktali geometrycznych mogą być:

1) krzywa Kocha. Na początku XX wieku, z szybkim rozwojem mechaniki kwantowej przed naukowcami, zadaniem znalezienia takiej krzywej, która najlepiej pokazać ruch cząstek krańczyków. W tym celu krzywa powinna mieć następującą nieruchomość: nie mieć stycznego w żadnym momencie. Matematyka KOH Sugerowała jedną taką krzywą: Weź pojedynczy segment, dzielimy się na trzy równe części i zastąpimy średni przedział z trójkątem równobocznym bez tego segmentu. W rezultacie powstaje uszkodzona forma, składająca się z czterech linii 1/3. W następnym kroku powtarzamy operację dla każdego z czterech z poniższych linków itp.

Krzywa graniczna i jest krzywa Kocha (Rysunek 4) . Po wykonaniu podobnej konwersji po bokach trójkąta równobocznego możesz uzyskać fraktalny obraz Koche Snowflakes.

2) Krzywa Levi . Połowa placu jest pobierana, a każda strona jest zastępowana tym samym fragmentem. Operacja jest powtarzana wielokrotnie i ostatecznie okazuje się krzywą lewością (rysunek 5).

3) Krzywa Minkowskiego. Fundacja jest segmentem, a generator jest uszkodzony z ośmiu linków (dwa równe powiązania kontynuują się wzajemnie) (Rysunek 6).

4) Krzywa Peno (Rysunek 2).

5) Krzywa smoka (Rysunek 7).

6) Drzewo Pitagore. Zbudowany na rysunku znanym jako "spodnie Pitagori", gdzie po bokach trójkąt prostokątny Są kwadraty. Po raz pierwszy drzewo Pythagore zbudowane za pomocą konwencjonalnej linii rysunkowej (Rysunek 8).

7) Plac Serpinsky. Znany jako "kraty" lub "serwetka" Serpinsky (Rysunek 9). Plac dzieli się prosto, równolegle do swoich stron, na 9 równych kwadratach. Z placu usunięto centralny plac. Uzyskany zestaw składający się z 8 pozostałych kwadratów "pierwszej rangi". Robiąc to samo, co każdy z pierwszych kwadratów, otrzymujemy zestaw składający się z 64 kwadratów drugiej rangi. Kontynuując ten proces nieskończenie, dostajemy nieskończoną sekwencję lub kwadrat Serpinsky.

Algebraic Fractals.

Fraktale, oparte na wzorach algebraicznych, należą do fraktali algebraicznych. Jest to największa grupa fraktali. Obejmują one fraktal mandelbroty (rysunek 3) , newton Fractal (Rysunek 10), Wiele Julii (Rysunek 11) i wielu innych.

Niektóre fraktale algebraiczne są uderzająco przypominające obrazy zwierząt, roślin i innych obiektów biologicznych, w wyniku której wywołano biomorfy.

Fraktali stochastyczne

Fraktale stochastyczne są kolejną dużą różnorodnością fraktali, które są utworzone przez powtarzające się powtórzenia losowych zmian w dowolnych parametrach. W tym samym czasie obiekty są uzyskiwane bardzo podobne do naturalnych - asymetrycznych drzew, wytrzymałe linie przybrzeżne itp.

Więc jeśli weźmiesz prostokąt i określenie każdego z jego rogu. Następnie weź to centralny punkt i pomaluj go na kolor równy średnie kolory arytmetyczne w rogach prostokąta oraz liczbę losową. Bardziej losowa liczba - tym bardziej "rozdarty" będzie rysem. W ten sposób będzie fraktalna "plazma" (Rysunek 12). A jeśli zakładamy, że kolor punktu jest wysokością nad poziomem morza - dostajemy zamiast plazmy - pasmo górskie. Jest on na tej zasadzie, że góry są symulowane w większości programów. Za pomocą algorytmu buduje mapę wysokości, stosuje się do niego różne filtry, tekstura i fotorealistyczne góry są nałożone.

Fraktale aplikacji

Malarstwo fraktalne.Popularny wśród artystów cyfrowych kierunek sztuki współczesnej. Fraktal wzory są niezwykłe i fascynująco działające na osobę, rodzącym jasne płonące obrazy. Wspaniałe abstrakcje są tworzone przez nudne wzory matematyczne, ale wyobraźnia postrzega je przy życiu (Rysunek 13). Każdy może ćwiczyć z programami fraktalami i generując ich fraktale. Prawdziwa sztuka jest w stanie znaleźć unikalną kombinację kolorów i formularza.

Fraktale w literaturze. Znaleziono wśród dzieł literackich, które posiadają fraktalną naturę, tj. Zagęsione przez strukturę samopodobności:

1. "Oto dom.

Który zbudowany jack.

Ale pszenica.

Który zbudowany jack.

Ale The Messenger Bird-Tit,

Który zręcznie kradnie pszenicy,

Który jest w ciemnym chulany

Który zbudowany jack ... ".

Samuel Marshak.

2. Pchły duże gryzienie

Flea Tech - Baby-Cruns,

Jak mówią, AD Infinitum.

Jonathan Swift.

Fraktale w medycynie.Ciało ludzkie składa się z różnych fraktalnych struktur: krwi, układów chłonnych i nerwowych, mięśni, oskrzeli itp. (Rysunek 14, 15).

Fraktale w fizyce i mechanice.Fractal modele naturalnych obiektów pozwalają symulować różne zjawiska fizyczne i prognozy.

Amerykański inżynier Nathan Cohen, który mieszkał w centrum Bostonu, gdzie instalacja anten zewnętrznych była zabroniony, wyciąć figurę w postaci krzywej Koch z folii aluminiowej, utknął go na kartce papieru i przymocowany do odbiornika . Okazało się, że taka antena nie działa nie gorsza niż zwykle. I chociaż fizyczne zasady takiego anteny nie zostały jeszcze badane, nie uniemożliwiło to kohenowi usprawiedliwić własną firmę i ustanowić swoje wydanie szeregowe. W ten moment Amerykańska firma "System antenowy Fraktal" produkuje antenę fraktalną na telefony komórkowe.

Fraktale w przyrodzie.Natura często tworzy niesamowite i doskonałe fraktale, z doskonałą geometrią i taką harmonią, która po prostu umiera z podziwu. A oto ich przykłady:

- muszle morskie;

Podgatunki kalafiora (Brassica Cauliflora), paproci;

Upierzenie pawi;

https://pandia.ru/text/804/imagages/image009_13.jpg "wylug \u003d" Left "szerokość \u003d" 237 "wysokość \u003d" 178 src \u003d "\u003e

Drzewo z liścia do korzenia.

https://pandia.ru/text/804/images/image011_13.jpg "alt \u003d" (! Lang: Obrazek 7 z 122" align="left" width="168" height="113 src=">!}

Fraktale są wszędzie i wszędzie w naturze wokół nas. Cały wszechświat jest skonstruowany przez zaskakująco harmonijne prawa z dokładnością matematyczną. Czy można myśleć, że nasza planeta jest losową przyczepnością cząstek?

Praktyczna praca

Drzewo fraktali.Za pomocą paska narzędzi "rysunek" programu Microsoft Word i niedopuszczalne konwersje grupowania, kopiowania i wstawienia, zbudowałem moje drzewo fraktalne. Pięć segmentów znajdujących się w określonym sposobie stał się miernikiem mojego fraktali.
.jpg "Szerokość \u003d" 449 wysokość \u003d 303 "wysokość \u003d" 303 "\u003e

Rysunek 8. Drzewo Pitagore

Rysunek 9. Plac Serpinsky

Rysunek 10. Fractal Newton

Rysunek 11. Wiele Julii

Rysunek 12. Fractal "Plasma"

https://pandia.ru/text/804/imagages/image028_2.jpg "Szerokość \u003d" 480 wysokość \u003d 299 "wysokość \u003d" 299 "\u003e

Rysunek 14. Ludzki system krwi

Rysunek 15. Klaster komórek nerwowych

Fraktale są już znane od prawie wieku, dobrze studiowane i mają liczne zastosowania w życiu. Jednak podstawa tego zjawiska jest bardzo prosty pomysł: nieskończone piękno i różnorodność wielu liczb można uzyskać z stosunkowo prostych wzorów przy użyciu tylko dwóch operacji - kopiowanie i skalowanie.

Evgeny Epaifanov.

Co jest powszechne z drzewa, brzegów morza, chmur lub naczyń krwionośnych w ręku? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wszystkie te obiekty nie są zjednoczone. Jednak w rzeczywistości istnieje jedna właściwość struktury w związku ze wszystkimi wymienionymi przedmiotami: są same samodzielne. Z oddziału, jak z pnia drzewa, progestion jest mniejszy, od nich są jeszcze mniejsze itp., Oznacza to, że gałąź jest podobna do całego drzewa. System krwi jest podobny w taki sam sposób: tętnice są odszedł z tętnic, a są najmniejszymi kapilarami, zgodnie z którymi tlen wchodzi do narządów i tkanek. Spójrzmy na strzały kosmiczne Wybrzeża Morza: zobaczymy zatoki i półwysep; Spójrz na niego, ale z widoku oczu ptaka: będziemy widoczne wnęki i peleryny; Teraz wyobraź sobie, że stoimy na plaży i spojrzeć na twoje stopy: zawsze będzie kamyki, które są dalszymi przejazdami niż reszta. Oznacza to, że linia brzegowa ze wzrostem skali pozostaje podobna do siebie. Ta właściwość obiektów jest Amerykanin (choć, rozdawana we Francji) Matematyka Benoit Mandelbrota zwana fraktowanie, a same obiekty - fraktale (z Łacińskiej Fractus - złamane).

Ta koncepcja nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo "fraktal" nie jest terminem matematycznym. Zazwyczaj fraktal nazywany jest kształtem geometrycznym, który spełnia jeden lub więcej z następujących właściwości: ma kompleksowa struktura Przy jakichkolwiek zwiększaniu skali (w przeciwieństwie na przykład linii prostej, której jakąkolwiek część jest najprostszą figury geometryczną - segment). Jest (w przybliżeniu) samodzielnie. Ma frakcyjną wymiar Hausdorf (Fractal), który jest bardziej topologiczny. Można zbudować procedurami rekurencyjnymi.

Geometria i algebra.

Badanie fraktali na odwróceniu XIX i XX wieku było raczej epizodyczne, a nie systematycznego charakteru, ponieważ wcześniej matematyka badano głównie "dobre" obiekty, które były prowadzone przez badania przy użyciu ogólnych metod i teorii. W 1872 r. Niemiecki matematyki Karl Weierstrass buduje przykład ciągłej funkcji, która nie jest zróżnicowana nigdzie. Jednak jego budowa była całkowicie abstrakcyjna i trudna do postrzegania. Dlatego w 1904 roku, Szwed Helge Von Koh wymyślił ciągłą krzywą, której nigdzie nie ma stycznego, a to jest bardzo proste, aby go rysować. Okazało się, że posiada właściwości fraktali. Jedną z opcji tej krzywej jest nazwa "Snowflake Koch".

Pomysły samopodnawości postaci wybranych Francuz Paul Pierre Levi, przyszły mentor Benoian Mandelbrot. W 1938 roku jego artykuł "Krzywe płaskie i przestrzenne i powierzchnie składające się z części jak całość" wyszły, w którym opisany jest inny fraktal - krzywa C Levi. Wszystkie powyższe fraktale mogą być warunkowo przypisane do jednej klasy strukturalnych (geometrycznych) fraktali.

Inną klasą jest fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których zestaw MandelBroke. Pierwsze badania w tym kierunku rozpoczęły się na początku XX wieku i są związane z nazwiskami Francuskich Matematyków Gaston Zhulii i Pierre Fatę. W 1918 r. Nastąpiła prawie dwustu statusu Memoir Julia, poświęcona iteracjom złożonym racjonalnym funkcjom, który opisuje zestawy Julii - całej rodziny fraktali, ściśle związanych z mnogością Mandelbrota. Ta praca została przyznana nagrodę Francuska AkademiaJednak nie zawierał żadnych ilustracji, więc nie można było ocenić piękna otwartych przedmiotów. Pomimo faktu, że ta praca uwielbiła Zhulii wśród matematyków tego czasu, dość szybko o niej zapomniali. Ponownie, uwaga na to, że odwołała się tylko pół wieku później wraz z pojawieniem się komputerów: to byli, którzy podali bogactwo i piękno świata fraktali.

Wymiar fraktalny

Jak wiadomo, wymiar (liczba pomiarów) kształtu geometrycznego jest liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu leżącego na tej figurze.
Na przykład, położenie punktu na krzywej jest określona przez jedną współrzędną, na powierzchni (niekoniecznie płaszczyźnie) z dwoma współrzędnymi, w przestrzeni trójwymiarowej z trzema współrzędnymi.
Z bardziej ogólnym punktem widzenia, możliwe jest określenie wymiaru w ten sposób: wzrost wymiarów liniowych, powiedzmy, dwa razy, dla jednowymiarowych (z punktu widzenia topologicznego) obiektów (segmentu) prowadzi do Dwukrotnie wzrost rozmiaru (długości), dla dwuwymiarowego (kwadratu) o tym samym wzroście liniowych wymiarów prowadzi do wzrostu rozmiaru (obszaru) 4 razy, dla trójwymiarowych (sześciennych) - 8 razy. Oznacza to, że wymiar "Real" (tak zwany Hausdorfov) można obliczyć w postaci relacji zwiększania logarytmu w "Rozmiar" obiektu do logarytmu, aby zwiększyć rozmiar liniowy. Oznacza to, że dla segmentu D \u003d LOG (2) / Log (2) \u003d 1, dla płaszczyzny D \u003d LOG (4) / Log (2) \u003d 2, dla objętości D \u003d LOG (8) / LOG (2 ) \u003d 3.
Obliczamy wymiar krzywej Kocha, aby skonstruować, który pojedynczy segment jest podzielony na trzy równe części i zastąpi przeciętny przedział z trójkątem równobocznym bez tego segmentu. Wraz ze wzrostem liniowych wymiarów minimalnego segmentu, trzykrotnie długość krzywej Kocha wzrasta w dzienniku (4) / Log (3) ~ 1.26. Oznacza to, że wymiar krzywizny Koch - frakcyjne!

Nauka i sztuka

W 1982 r. Księga Mandelbrota "Fraktalna geometria natury" została opublikowana, w którym autor zebrał się i systematyzował prawie wszystkie informacje na temat fraktali i łatwy i dostępny sposób określony w tym czasie. Głównym naciskiem na prezentację Mandelbrota nie miało ciężkich formuł i struktur matematycznych, ale na geometrycznej intuicji czytelników. Dzięki ilustracjom uzyskanym przy użyciu komputera, a historyczne rowery, których autor umiejętnie rozcieńczył naukowy składnik monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane ogółu społeczeństwa. Ich sukces wśród niematerialnych jest w dużej mierze ze względu na fakt, że przy pomocy bardzo prostych wzorów i formuł, które są w stanie zrozumieć student liceum, niezwykłą złożoność i piękno obrazu. Gdy komputery osobiste stały się wystarczająco potężne, nawet cały kierunek w sztuce pojawił się - malarstwo fraktalne i prawie każdy właściciel komputera może to zrobić. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele witryn dedykowanych do tego tematu.

Schemat do uzyskania krzywej Koch

Wojna i pokój

Jak wspomniano powyżej, jeden z naturalnych obiektów o właściwościach fraktali jest wybrzeżem. Z nim, a raczej, próbując zmierzyć jego długość, jest podłączony ciekawa historiato spadło artykuł naukowy Mandelbrot, a także opisany w swojej książce "Fraktalna geometria natury". Mówimy o eksperymencie, który położył Lewis Richardson - bardzo utalentowany i ekscentryczny matematyk, fizyka i meteorologa. Jedną z kierunków jego badań była próba znalezienia matematycznego opisu powodów i prawdopodobieństwa konfliktu zbrojnego między dwoma krajami. Wśród parametrów, które wziął pod uwagę długość ogólnej granicy dwóch krajów walczących. Kiedy zebrał dane do eksperymentów numerycznych, odkrył, że w różnych źródłach danych o całkowitej granicy Hiszpanii i Portugalii różnią się bardzo. Nadszedł na nim na następnym odkryciu: długość granic kraju zależy od linijki, którą je mierzymy. Im mniejsza skala, dłużej otrzymuje granicę. Wynika to z faktu, że z większym wzrostem staje się możliwe, aby wziąć pod uwagę wszystkie nowe i nowe zakręty wybrzeża, które wcześniej zostały zignorowane ze względu naien pomiarów. A jeśli, przy każdym wzroście skali, nie zostanie otwarte wcześniej do linii kont, okazuje się, że długość granic niekończących się! Prawda, w rzeczywistości tak się nie dzieje - dokładność naszych pomiarów ma ostateczny limit. Ten paradoks nazywany jest efektem Richardsona.

Fraktale strukturalne (geometryczne)

Algorytm do budowy konstruktywnego fraktali w ogólnym przypadku. Przede wszystkim potrzebujemy dwóch odpowiednich kształtów geometrycznych, nazwijmy ich podstawą i fragmentem. Na pierwszym etapie przedstawiono podstawę przyszłego fraktali. Następnie niektóre z jego części są zastępowane fragmentem wykonanym na odpowiedniej skali - jest to pierwsza iteracja konstrukcji. Następnie wynikająca z wyniku ponownie niektóre części zmieniają się na figury podobne do fragmentu itp. Jeśli kontynuujesz ten proces do nieskończoności, limit będzie fraktal.

Rozważ ten proces na przykładzie krzywej Koch (patrz Wkładka na poprzedniej stronie). Jako podstawa krzywej Kocha możesz wziąć dowolną krzywą (dla "Koch Snowflakes" jest trójkąt). Ale ograniczymy się do najprostszego - segmentu. Fragment - uszkodzony przedstawiony na górze na zdjęciu. Po pierwszej iteracji algorytmu w tym przypadku początkowe segment pokrywa się z fragmentem, wówczas każdy ze składników samych segmentów zostanie zastąpiony przez uszkodzony, podobny do fragmentu, i tak dalej. Rysunek pokazuje pierwsze cztery Kroki tego procesu.

Język matematyki: fraktale dynamiczne (algebraiczne)

Fraktale tego typu pojawiają się w badaniu nieliniowych systemów dynamicznych (stąd i nazwisko). Zachowanie takiego systemu można opisać przez złożoną funkcję nieliniową (wielomian) F (Z). Wystąpił jakiś punkt wyjścia Z0 na kompleksie płaszczyźnie (patrz wkładka). Teraz należy rozważyć tak nieskończoną sekwencję liczb na płaszczyźnie złożonej, z których każdy otrzymuje się z poprzedniego: Z0, Z1 \u003d F (Z0), Z2 \u003d F (Z1), ... Zn + 1 \u003d F (Zn) . W zależności od punktu wyjścia Z0 sekwencja ta może zachowywać się na różne sposoby: dążyć do nieskończoności w N -\u003e ∞; zbieżnie do pewnego punktu końcowego; cyklicznie podejmuje wiele stałych wartości; Możliwe są bardziej złożone opcje.

Liczby zespolone

Numer złożony jest liczbą składającą się z dwóch części - ważnych i wyobraźni, czyli formalną sumą x + iy (x i y tutaj są liczbami rzeczywistymi). Jestem tzw. Wyimaginowana jednostka, to znaczy liczba, satysfakcjonuje równanie i ^.2 \u003d -1. Numery złożone, podstawowe operacje matematyczne są zdefiniowane - dodatek, mnożenie, podział, odejmowanie (tylko operacja porównania nie jest zdefiniowana). Reprezentacja geometryczna jest często używana do wyświetlania numerów złożonych - na płaszczyźnie (nazywana jest kompleksem) wzdłuż osi odcięcia, rzeczywista część jest skurczona, a wzdłuż osi rzędnej - wyimaginowanej, z numerem złożonym będzie odpowiadać punkt z koordynatami kartezjańskim X i Y.

W ten sposób każdy punkt z kompleksu płaszczyzny ma swój własny charakter zachowań w iteracjach funkcji F (Z), a całą płaszczyźnie jest podzielone na części. Jednocześnie, punkty leżące na granicach tych części posiadają taką nieruchomość: z dowolnie niskim przemieszczeniem, natura ich zachowania zmieni się dramatycznie (takie punkty nazywają się punktami bifurcowania). Okazuje się, że wiele punktów ma jeden szczególny rodzaj zachowania, jak również wiele punktów bifuraktycznych często ma właściwości fraktali. Jest to zestawy Zhulii dla funkcji F (Z).

Rodzina Dragon.

Zmiana podstawy i fragmentu można uzyskać oszałamiającą różnorodność fraktali strukturalnych.
Ponadto takie operacje można wykonywać w przestrzeni trójwymiarowej. Przykłady fraktali wolumetrycznych mogą służyć jako "Menger", "Piramida Serpinsky" i innych.
Fraktale strukturalne obejmują rodzinę smoka. Czasami nazywają się nazwą odkrycia "smoków Hayweea-Hartera" (przypominają chińskie smoki). Istnieje kilka sposobów budowania tej krzywej. Najłatwiejszy i najbardziej wizualny jeden z nich jest: musisz wziąć dość długi pasek papieru (cieńszy papier, tym lepiej) i zginać go na pół. Następnie zginaj go dwa razy w tym samym kierunku, co pierwszy raz. Po kilku powtórzeniach (zwykle po pięciu lub sześciu pasek składany staje się zbyt gruby, aby można go było dokładnie zgiąć), musisz przerwać pasek z powrotem i spróbować być na miejscu w sekcjach składanych 90˚. Następnie profil okazuje się krzywą smoka. Oczywiście podejdzie tylko podejście, podobnie jak wszystkie nasze próby przedstawienia obiektów fraktalnych. Komputer pozwala przedstawić znacznie więcej etapów tego procesu, aw rezultacie okazuje się bardzo piękną figurę.

Mandelbrot Wiele jest nieco inny. Rozważ funkcję FC (Z) \u003d Z2 + C, gdzie C jest numerem złożonym. Konstruuje sekwencję tej funkcji z Z0 \u003d 0, w zależności od parametru można rozproszyć do nieskończoności lub pozostać ograniczony. W tym przypadku wszystkie wartości, w których ta sekwencja jest ograniczona, tworzą zestaw mandelbrota. Był szczegółowo badany przez Mandelbrom i innych matematyków, które otworzyły wiele ciekawych właściwości tego zestawu.

Można zauważyć, że definicje zestawów Julii i Mandelbrota są podobne do siebie. W rzeczywistości te dwa zestawy są ściśle związane. Mianowicie, zestaw mandelbroty jest wszystkie wartości kompleksowego parametru C, w którym podłączony jest zestaw Julii FC (Z) (zestaw nazywany jest podłączony, jeśli nie można go podzielić na dwie części nie-cyklu, z dodatkowymi dodatkami warunki).

Fraktale i życie

Obecnie teoria fraktalna jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach działalności człowieka. Oprócz czysto naukowego obiektu na badania i już wspomniane malarstwo fraktalne, fraktale są wykorzystywane w teorii informacji do kompresji danych graficznych (tutaj stosuje się tutaj fraktalna właściwość samopodobności - w tym wszystkim, aby zapamiętać mały fragment Rysunek i transformacje, z którymi można uzyskać inne części, znacznie mniej pamięci niż przechowywać cały plik). Dodanie do wzorów określających fraktalne, losowe zaburzenia, można uzyskać przez fraktali stochastycznych, które są bardzo wiarygodne przesyłanie niektórych rzeczywistych obiektów - elementy ulgi, powierzchnia zbiorników, niektóre rośliny, które z powodzeniem dotyczy fizyki, geografii i komputera Wykresy, aby osiągnąć większe podobieństwa symulowanych przedmiotów z rzeczywistym. W radioelektronice anten, mające formę fraktalną, zaczął produkować anten w ostatniej dekadzie. Biorąc trochę miejsca, zapewniają dość wysokiej jakości odbiór sygnału. Ekonomiści używają fraktali do opisania krzywizny krzywizny krzywizny (ta nieruchomość została otwarta przez Mandelbrotom więcej niż 30 lat temu). Na ten temat zakończymy tę małą wycieczkę do niesamowitego piękna i różnorodności świata fraktali.

Fraktale na świecie wokół nas.

Wykonane: ucznia 9 klasy

Mbou Kirovskaya Sosh.

Lithubanko Ekaterina Nikolaevna.
Lider: nauczyciel matematyki

Mbou Kirovskaya Sosh.

Kacaon Natalia Nikolaevna.

Wprowadzenie ................................................. ....................... 3.

Przedmiot studiów.

Obiekty badawcze.

Hipotezy.

Cele, cele i metody badawcze.

Część badawcza. ................................................. 7.

Znalezienie połączenia między fraktalami i trójkątem Pascala.

Znalezienie połączenia między fraktalami a złotą sekcją.

Znalezienie połączenia między fraktalami i cyfrowymi numerami.

Znalezienie komunikacji między fraktalami i dzieła literackie.

3. Praktyczne zastosowanie fraktali ................................. .. 13

4. Wniosek ............................................... ................... .. 15.

4.1 Wyniki badań.

5. Bibliografia ............................................... .............................. .. 16.

Wprowadzenie

Obiekt badawczy: Fraktale .

Kiedy większość ludzi wydawała się, że geometria w naturze jest ograniczona do takich prostych rysunków jako linia, koło, stożkowa sekcja, wielokąt, sfera, powierzchnia kwadratowa, a także ich kombinacje. Na przykład, co może być piękniejsze niż twierdzenie, że planety w naszym układzie słonecznym poruszają się po słońcu na orbitach eliptycznych?

Jednak wiele systemów naturalnych jest jednak tak złożonych i nieregularny, że stosowanie tylko znanych obiektów klasycznej geometrii dla ich modelowania wydaje się beznadziejne. Jak na przykład zbuduj model pasma górskiego lub korony drzew w warunkach geometrii? Jak opisać różnorodność konfiguracji biologicznych, które obserwujemy świat roślin i zwierząt? Wyobraź sobie złożoność układu krążenia składającego się z różnych kapilarów i naczyń krwionośnych i krwi dostarczających do każdej komórki ludzkiego ciała. Wyobraź sobie, jak hitrowicznie ułożone światło i nerki, przypominające drzewa z rozgałęzioną koroną.

Dynamika rzeczywistych systemów naturalnych może być tak skomplikowana i nieregularna. Jak podejść do modelowania wodospadów kaskadowych lub burzliwych procesów określających pogodę?

Fraktale i chaos matematyczny są odpowiednimi narzędziami do badania problemów. Semestr fraktalodnosi się do niektórych statycznych konfiguracji geometrycznej, takich jak natychmiastowy obraz wodospadu. Chaos - Terminowa dynamika używana do opisania zjawisk podobnych do burzliwego zachowania pogodowego. Często, co obserwujemy w naturze, intrygujemy nas do nieskończonej powtórzenia tego samego wzoru, powiększone lub zmniejszone o ile czasu. Na przykład drzewo ma gałęzie. Na tych gałęziach znajdują się mniejsze gałęzie itp. Teoretycznie, element "rozgałęziony" powtarza się nieskończenie wielokrotnie, stając się coraz mniej. To samo można zobaczyć, patrząc na zdjęcie ulgi górskiej. Wypróbuj trochę bliższego obrazu grzbietu - zobaczysz góry ponownie. Więc właściciel właściwości fraktali manifestuje się samodzielnie.

W wielu dziełach na fraktale samopodobność jest używana jako właściwość definiująca. Podążając za Benoit Madelbrot, akceptujemy punkt widzenia, zgodnie z którym fraktale należy określić pod względem wymiaru fraktali (frakcyjnym). Stąd pochodzenie słowa fraktal (z lat. fractus. - Frakcjonowanie).

Koncepcja wymiaru frakcyjnego jest złożoną koncepcją, która jest określona w kilku etapach. Direct to obiekt jednowymiarowy, a płaszczyzna jest dwuwymiarowy. Jeśli jest ładna skręcanie bezpośrednio i płaszczyzna, możesz zwiększyć wymiar wynikowej konfiguracji; Jednocześnie nowy wymiar będzie zwykle ułamkowy w pewnym sensie, który musimy wyjaśnić. Połączenie wymiaru frakcyjnego i samodzielności jest to, że przy pomocy samopodstawności wielu wymiarów ułamkowych można skonstruować w najprostszy sposób. Nawet w przypadku znacznie bardziej złożonych fraktali, takich jak granica zestawu mandelbronów, gdy nie ma czystego podobieństwa, istnieje prawie całkowite powtórzenie formularza bazowego w coraz bardziej obniżonej formie.

Słowo "fraktal" nie jest terminem matematycznym i nie ma ogólnie przyjętych surowej definicji matematycznej. Może być używany, gdy rozważana liczba ma niektóre właściwości wymienione poniżej:

Teoretyczna wielowymiarowość (może być kontynuowana w dowolnej liczbie pomiarów).

Jeśli rozważasz mały fragment regularnej postaci na bardzo dużą skalę, będzie podobny do prostego fragmentu. Fraktal fragment na dużą skalę będzie taki sam jak w każdej innej skali. W przypadku fraktali wzrost skali nie prowadzi do uproszczenia struktury, we wszystkich skalach, zobaczymy ten sam złożony obraz.

Jest samodzielny lub w przybliżeniu samodzielny, każdy poziom jest podobny do całości

Długość, kwadraty i woluminy jednego fraktali wynoszą zero, inne - Skontaktuj się z nieskończonością.

Ma wymiar ułamkowy.

Rodzaje fraktali: algebraiczna, geometryczna, stochastyczna.

Algebraiczny Fraktale są największą grupą fraktali. Otrzymują je za pomocą nieliniowych procesów w przestrzeni n-wymiarowej, takich jak Mandelbrot i Julia.

Druga grupa fraktalna - geometryczny Fraktale. Historia fraktali rozpoczęła się od fraktali geometrycznych, które badano przez matematyków w XIX wieku. Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, ponieważ są one natychmiast widoczne dla samodzielności. Ten rodzaj fraktali otrzymuje proste konstrukcje geometryczne. Podczas budowy tych fraktali jest zwykle wykonany zestaw segmentów, na podstawie którego zostanie zbudowany fraktal. Następnie zestaw ten jest używany przez zestaw reguł, które konwertuje je do dowolnego kształtu geometrycznego. Następnie stosuje się ten sam zestaw reguł do każdej części tej postaci. Przy każdym kroku figura stanie się bardziej skomplikowana i trudniejsza, a jeśli pojawi się nieskończona liczba takich operacji, otrzymuje się fraktal geometryczny.

Właściwa liczba pokazuje trójkąt Serpinsky - Fraktal geometryczny, który jest utworzony w następujący sposób: W pierwszym kroku widzimy zwykły trójkąt, w następnym kroku, w środku stron jest podłączony, tworząc 4 trójkąty, z których jeden jest odwrócony. Następnie powtarzamy operację wykonaną ze wszystkimi trójkątami, z wyjątkiem odwróconych i tak w nieskończoność.

Przykłady fraktali geometrycznych:

1.1 Star Koch.

Na początku XX wieku takie krzywe szukały takich krzywych, które nie są w żadnym momencie styczna. Oznaczało to, że krzywa zmienia się dramatycznie w kierunku, a ponadto z ogromną dużą prędkością (pochodna jest równa nieskończoności). Wyszukiwanie tych krzywych było spowodowane nie tylko bezczynności matematyków. Faktem jest, że na początku XX wieku mechanika kwantowa rozwinęła się bardzo gwałtownie. Badacz M. Browon wyciągnął trajektorię zawieszonych cząstek w wodzie i wyjaśnił to zjawisko jako: losowo poruszające się atomy płynów uderzają na zawieszone cząstki, a tym samym prowadzić je do ruchu. Po takim wyjaśnieniu ruchu brownów przed naukowcami zadaniem znalezienia takiej krzywej, która najlepiej przybliża ruch cząstek krańczyków. W tym celu krzywa miała spełnić następujące właściwości: nie masz stycznego w żadnym momencie. Matematyka KOH oferowała jedną taką krzywą. Nie pójdziemy w wyjaśnienie zasad konstrukcji, ale po prostu daje jej obraz, z którego wszystko staje się jasne. Jedną z ważnych własności, że granica śniegu Kocha jest opętana ... jej niekończąca się długość. Może wydawać się niesamowite, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do radzenia sobie z krzywymi z przebiegu analizy matematycznej. Zwykle gładkie lub przynajmniej kawałek płynnych krzywych zawsze mają skończoną długość (którą można upewnić się, że integracja). Mandelbrot w tym zakresie opublikował wiele fascynujących dzieł, w których zbadano kwestię pomiaru długości brytyjskiej linii brzegowej. Jako model użył krzywej fraktalnej przypominającą granicę płatki śniegu w wyjątku, że wprowadzono element szansy, który bierze pod uwagę wypadek w naturze. W rezultacie okazało się, że krzywa opisująca linia brzegowa ma nieskończoną długość.

Gąbka Menger.

Kolejna znana klasa fraktali stochastyczny Fraktale, które są uzyskiwane, jeśli w procesie iteracyjnym losowo zmienią dowolne parametry. Jednocześnie obiekty są bardzo podobne do naturalnych - asymetrycznych drzew, wytrzymałe linie przybrzeżne itp. .

Obiekty badawcze.

Trójkąt Pascal.

W.
konstrukcja trójkąta Pascalu jest boczna strona urządzenia, każda liczba jest równa sumie dwóch powyżej. Trójkąt może być kontynuowany w nieskończoność.

Trójkąt Pascala służy do obliczenia współczynników ekranujących wyglądu formularza (x + 1) n. Począwszy od trójkąta z jednostek, oblicz wartości na każdym poziomie sekwencyjnym przez dodanie sąsiednich liczb; Ten ostatni umieścił jednostkę. W ten sposób możliwe jest określenie, na przykład, że (x + 1) 4 \u003d 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0.

Cyfry.

Pitagoras po raz pierwszy, w VI BC, zwrócił uwagę na fakt, że pomagając sobie z wynikiem kamyków, ludzie czasami budują kamienie na odpowiednie postacie. Możesz po prostu umieścić kamyki z rzędu: jeden, dwa, trzy. Jeśli umieścisz je w dwóch rzędach, aby uzyskać prostokąty, znajdziemy, że wszystkie nawet liczby są uzyskiwane. Możesz położyć kamienie w trzech rzędach: uzyskane są liczby podzielone przez trzy. Każda liczba podzielona na coś może być reprezentowana przez prostokąt, a tylko proste liczby nie mogą być "prostokątów".

Liczby liniowe to liczby, które nie rozkładają się w czynniki, czyli ich wiersz pokrywa się z liczbą liczb pierwszej, uzupełnionej jednostki: (1,2,3,57,11,13,17,199,23 ,. ..). Są to proste numery.

Płaskie liczby - liczby reprezentalne w postaci dzieła dwóch czynników (4,6,8,0,10,12,14,15, ...)

Liczby klauzuli - liczby wyrażone przez pracę trzech obiektów (8 12,18,20,24,27,28, ...) itp

Liczby wielokątne:

Liczby trójkątne: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Numery kwadratowe są produktem dwóch identycznych numerów, czyli kompletne kwadraty: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., N2, ...)

Numery pięciokątne: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Liczby sześciokątne (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Złota sekcja ..

Sekcja Złotego przekroju (złota proporcja, podział w ekstremalnym i środkowym zakresie, podział harmonicznych, liczba FIRYY) - podział stałej wielkości na części w takich względach, w których większość sposobu, w jaki odnosi się do mniejszej drogi, ponieważ cała wartość jest większa . Na zdjęciu po lewej stronie pkt C zapewnia złotą część segmentu AB, jeśli: a C: AB \u003d SV: AU.

Ta proporcja jest podejmowana w celu wyznaczenia greckiego litery. . Jest równy 1,618. Z tej proporcji widać, że ze złotą sekcją długość większego segmentu jest średnia geometryczna długość całego segmentu i jej mniejsza część. Części złotej sekcji wynoszą około 62% i 38% całkowitego segmentu. Z liczbą związaną z sekwencją liczb całkowitych Fibonacci. : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... często występują w naturze. Jest generowany przez nawracający stosunek FA. n + 2. \u003d F. n + 1. + F. n. z warunki początkowe FA. 1 \u003d F. 2 = 1.

Starożytny zabytek literacki, w którym występuje podział segmentu w stosunku do złotej sekcji, jest "początek" Euclidea. Już w drugiej książce "Początek" Euclidea buduje złotą przekrój, aw przyszłości stosuje go, aby zbudować niektóre z prawidłowych wielokątów i polihedry.

Hipotezy:

Czy istnieje połączenie między fraktalami i

trójkąt Pascal.

złoty przekrój poprzeczny.

numery rysunków.

dzieła literackie

1.4 Cel:

1. Zapoznanie słuchaczy nową oddziałem matematyki - fraktali.

2. Obaliad lub udowodnij hipotezy ustawione w pracy.

Zadania badawcze:

Pracuj i analizuj literaturę na temat badań.

Rozważ różne typy fraktali.

Zbierz kolekcję fraktalnych obrazów do podstawowej zapoznania się ze światem fraktali.

Zainstaluj relację między trójkątem Pascal, dzieł literackich, liczbami pomorowanymi i złotym przekrojem.

Metody badawcze:

Teoretyczne (badania i teoretyczna analiza literatury naukowej i specjalnej; podsumowując doświadczenie);

Praktyczne (przygotowanie obliczeń, uogólnienie wyników).

Część badawcza.

2.1 Znalezienie połączenia między fraktalami i trójkątem Pascala.

Trójkąt Trójkąt Pascal Serpinsky

Po podświetleniu liczb nieparzystych w trójkącie Pascal otrzymuje się trójkąt Serpina. Wzór pokazuje właściwości współczynników stosowanych w "arytmetyczne" programów komputerowych, które konwertuje je na równania algebraiczne.

2.1 Znalezienie połączenia między fraktalami a złotym przekrojem.

Wymiar fraktali.

Jeśli spojrzysz z matematycznego punktu widzenia, wymiar jest zdefiniowany w następujący sposób.

Dla obiektów jednowymiarowych - wzrost 2 razy liniowych wymiarów prowadzi do zwiększenia wymiarów (w tym przypadku długości) do 2 razy, tj. o 21 lat.

W przypadku obiektów dwuwymiarowych wzrost w 2-krotnych wymiarach liniowych prowadzi do wzrostu rozmiaru (obszaru) 4 razy, tj. W 2 2. Daj nam przykład. Dan Zakres Radius R S \u003d π r 2 .

Jeśli wzrosnąsz o 2 razy promień, a następnie: S1 \u003d π (2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r. 2 .

W przypadku obiektów trójwymiarowych zwiększenie 2 razy liniowych wymiarów prowadzi do wzrostu ilości 8 razy, tj. 2 3.

Jeśli weźmiemy sześcian, a następnie V \u003d A 3, V "\u003d (2a) 3 \u003d 8a; V" / V \u003d \u200b\u200b8.

Jednak natura nie zawsze będzie przestrzegać tych praw. Spróbujmy rozważyć wymiar obiektów fraktalnych na prostym przykładzie.

Wyobraź sobie, że mucha chce siedzieć na plątaninie wełny. Kiedy patrzy na to z daleka, widzi tylko punkt, którego wymiar jest 0. Flabried bliżej, widzi krąg pierwszy, jego wymiar 2, a następnie piłka - wymiar 3. Kiedy mucha siedzi na plątaninie , nie zobaczy piłki, ale będzie szukać willi, nici, pustki, tj. Obiekt z wymiarem ułamkowym.

Wymiar obiektu (wskaźnik stopnia) pokazuje, jak rośnie jego wewnętrzny obszar. Podobnie wzrost fraktali wzrasta wraz ze wzrostem wielkości. Naukowcy przyszli do wniosku fractal jest zestawem z wymiarem ułamkowym.

Fraktale AS. obiekty matematyczne. powstały z powodu potrzeb wiedza naukowa W odpowiednim opisie teoretycznym coraz bardziej złożonych systemów naturalnych (takich jak pasmo górskie, linia brzegowa, korona drewna, wodospad kaskady, burzliwy przepływ powietrza w atmosferze itp.) I ostatecznie w matematycznym modelowaniu natury w ogółem. Złoty przekrój poprzeczny jest znany, jest jednym z najbardziej żywych i zrównoważonych objawów harmonii przyrody. Dlatego możliwe jest zidentyfikowanie relacji wyżej wymienionych obiektów, tj. Wykryj złoty przekrój w teorii fraktali.

Przypomnijmy, że złoty przekrój jest określony przez wyrażenie
(*) I jest jedynym dodatnim korzeniem równanie kwadratowe
.

Liczba fibonacci 1,1,2,3,58,13,21 są ściśle związane ze złotą sekcją, ... z których każdy jest sumą dwóch poprzednich. Rzeczywiście, wartość jest obręczą liczby złożonej z relacji sąsiednich numerów Fibonacci:
,

i wartość - Rim rzędu złożonego z relacji numerów Fibonacci podjętych przez jedną rzecz:

Fraktal nazywa się strukturą składającą się z części takich jak całość. Zgodnie z inną definicją fraktal jest obiektem geometrycznym z wymiarem frakcyjnym (nie-mechanicznym). Ponadto fraktal zawsze pojawia się w wyniku nieskończonej sekwencji tego samego rodzaju operacji geometrycznych przez jego budowę, tj. Jest to konsekwencja przejścia limitu, która odnosi go do złotej sekcji, która stanowi również limit nieskończonej serii numerycznych. Wreszcie, wymiar fraktali jest zwykle irracjonalny numer (jak złoty przekrój).

W świetle powyższego wykrywanie faktu, że wymiar wielu klasycznych fraktali z jednym stopniem dokładności można wyrazić dzięki złotym przekrojem, nie jest zaskakujące. Tak więc na przykład wskaźniki dla wymiarów płatków śniegu KOH rE. Sc. \u003d 1 2618595 ... i menger gąbki rE. Gm \u003d 2.7268330 ... biorąc pod uwagę (*) można nagrywać w formularzu
i
.

Ponadto pierwszy błąd ekspresji wynosi tylko 0,004%, a druga ekspresja wynosi 0,1%, a biorąc pod uwagę stosunek podstawowy 10 \u003d 2 · 5 wynika, że \u200b\u200bwartości rE. Sc. i rE. Gm Istnieją kombinacje złotej sekcji i liczb fibonacci.

Wymiar dywanu Serpinsky rE. Ks. \u003d 1 5849625 ... i pył kantora rE. PC. \u003d 0,6309297 ... można również uznać za blisko wartości złotej sekcji:
i
. Błąd tych wyrażeń wynosi 2%.

Wymiar teorii fraktali szeroko stosowanych w zastosowaniach fizycznych (na przykład w badaniu konwekcji cieplnej) nierównomiernej (dwumiejskiej) zestawu kantora (długość segmentów formujących -
i
- Należą do siebie jako liczby fibonacci:
) , ale rE. Mk. \u003d 0,6110 ... różni się od rozmiaru
Tylko o 1%.

W związku z tym złoto przekrój i fraktale są ze sobą powiązane.

2.2 Znalezienie połączenia między fraktalami i numery figur .

Rozważ każdą grupę liczb.

Pierwszy numer to 1. Następny numer to 3. Uzyskuje się przez dodanie do poprzedniego numeru, 1, dwa punkty, aby pożądana figura stała się trójkątem. W trzecim kroku dodajemy trzy punkty, utrzymując trójkąt. W kolejnych krokach można dodać punkty, gdzie N jest liczbą porządkową numeru trójkątnego. Każda liczba otrzymuje się przez dodanie do poprzedniej liczby punktów. Powracająca formuła dla numerów trójkątnych uzyskano z tej właściwości: t n \u003d n + t n -1.

Pierwszy numer to 1. Poniższy numer wynosi 4. Otrzymuje się, dodając 3 punkty do poprzedniego numeru w postaci bezpośredniego kąta, aby utworzyć kwadrat. Formuła dla liczb kwadratowych jest bardzo prosta, wychodzi z nazwy tej grupy liczb: G N \u003d N2. Ale także, oprócz tego formuły, możliwe jest uzyskanie powtarzalnej formuły dla liczb kwadratowych. Aby to zrobić, rozważ pierwsze pięć liczb kwadratowych:

g n \u003d g n-1 + 2N-1

2 \u003d 4 \u003d 1 + 3 \u003d 1 + 2 · 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 · 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 · 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 · 5-1

Pierwszy numer to 1. Następny numer wynosi 5. Jest on uzyskiwany przez dodanie czterech punktów, a więc wynikowa postać ma postać pentagonu. Jedna strona takiego pentagonu zawiera 2 punkty. W następnym kroku z jednej strony odbędzie się 3 punkty, całkowita liczba punktów - 12. Spróbujmy wyprowadzić formułę obliczania liczb pięciokątnych. Pierwsze pięć pięciokątnych numerów: 1, 5, 12, 22, 35. Są one utworzone w następujący sposób:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 · 2-2

f n \u003d f n-1 + 3N-2

3 \u003d 12 \u003d 5 + 7 \u003d 5 + 3 · 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 · 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 · 5-2

Pierwsza liczba wynosi 1. sekundę - 6. liczba wygląda jak sześciokąt z bokiem 2 punktów. W trzecim kroku 15 punktów jest już zbudowany w postaci sześciokąta z boku 3 punktów. Wycofaj nawracającą formułę:

u n \u003d u n-1 + 4n-3

2 \u003d 6 \u003d 1 + 4 · 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 · 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 · 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 · 5-3

Jeśli wyglądasz bardziej uważnie, możesz zauważyć połączenie między wszystkimi powtarzającymi się wzorami.

Dla numerów trójkątnych: t n \u003d t n -1 + n \u003d t. n. -1 +1 n. -0

Dla numerów kwadratowych: g n \u003d sOL. n. -1 +2 n. -1

Dla liczb pięciokątnych: f n \u003d fA. n. -1 +3 n. -2

Dla liczb sześciokątnych: U n \u003d u. n. -1 +4 n. -3

Widzimy, że numery kręcone są zbudowane na powtarzalności: jest wyraźnie widoczne na powtarzających się wzorach. Możemy bezpiecznie twierdzić, że numery kręcone opierają się na strukturze fraktali.

2.3 Znalezienie połączenia między fraktalami i dzieł literackimi.

Rozważ fraktal precyzyjnie jako dzieło sztuki i charakteryzuje się dwiema głównymi cechami: 1) część tego jest jakoś podobna do całości (najlepiej, ta sekwencja podobieństwa dotyczy nieskończoności, chociaż nikt nigdy nie widział naprawdę nieskończoną sekwencję iteracje buduje płatek śniegu; 2) jego percepcja pojawia się w sekwencji zagnieżdżonych poziomów. Zauważ, że urok fraktalny występuje na ścieżce tego fascynującego i zawrotnego poziomu systemu, zwrot, z którym nie jest gwarantowany.

Jak mogę utworzyć niekończący się tekst? Ten problem został zapytany przez bohatera historii X.-L. Burhhes "Ogród rozbieżnego szlaku": "... Zapytałem sobie, jak książka może być nieskończona. Ponadto nic nie ma na myśli, z wyjątkiem cyklicznych, chodzących wokół Tom, tom, w której ostatnia strona powtarza pierwszą rzeczą, która pozwala mu kontynuować tak samo jak chcesz. "

Zobaczmy, jakie mogą istnieć inne rozwiązania.

Najprostszym nieskończonym tekstem będzie tekst z nieskończonej liczby duplikowanych elementów lub bobów, których powtarzająca część jest jego "ogon" - ten sam tekst z dowolną liczbą początkowych wersetów. Schematycznie, taki tekst można przedstawić w postaci nieogrzeciwnego drzewa lub okresowej sekwencji powtarzalnych wersji. Jednostka tekstu - wyrażenie, zwrot lub historia rozpoczyna się, rozwija się i kończy, wracając do punktu wyjścia, punkt przejścia do następnej jednostki tekstu powtarzającego się oryginalny. Taki tekst można porównać do nieskończonego okresowy faci: 0,33333 ..., nadal można napisać jako 0, (3). Można go zauważyć, że odcinanie "głowy" - dowolna liczba jednostek początkowej, nie zmieni niczego, a "ogon" będzie dokładnie pokrywający się z całym tekstem.

Nierozgałęziony niekończący się identyfikator drzewa do siebie z każdej pary.

Wśród takich nieskończonych prac - wiersze dla dzieci lub piosenek ludowych, takich jak, na przykład wiersz o pop i jego psa z rosyjskiej poezji ludowej, lub wiersz M. Syasnova "Scarecrow-Meadow", opowiadając o kotku, o którym śpiewa Kotek, który śpiewa o kotku. Lub, najkrótszy: "Kapłan był dziedziniec, na dziedzińcu było stawkę na dziedzińcu, z moczem koksu - nie rozpocząć bajki najpierw? ... Pop było dziedzińcem ..."

Idę i widzę most, pod brązową wroną,
Wziąłem wrony za ogonem, umieść go na moście, niech wrona się utopiła.
Idę i widzę most, tonie na moście,
Wziąłem wrony na ogon, umieściłem go pod mostem, niech w linii prostej ...

W przeciwieństwie do nieskończonych wersji, fragmenty fraktali Mandelbroty nadal nie są identyczne, ale są podobne do siebie, a ta jakość i zapewnia to fascynujący urok. W związku z tym, w badaniu fraktali literackich, zadanie poszukiwania Suchności, podobieństwa (i nie jest to tożsamości) elementów tekstowych.

W przypadku niekończących się odstępów, wymiana tożsamości podobieństwa przeprowadzono na różne sposoby. Możesz dać co najmniej dwie możliwości: 1) tworzenie wierszy z odmianami, 2) tekstami z przyrostami.

Wiersze z odmianami są na przykład uruchomione w obrotach S.Nikitina i który stał się piosenką ludową "Peggy mieszkał wesoły gęś", w którym otaczający peggin i ich nawyki różnią się.

Peggy mieszkał wesoły gęś,

Wiedział wszystkich piosenek przez serce.

Ach, jaka jest wesoła gęś!

Nosić, Peggy, Wear!

Peggy mieszkał zabawny szczeniak,

Mógł tańczyć pod swoim rysunkiem.

Ach, do tego, co jest śmiesznym szczeniakiem!

Nosić, Peggy, Wear!

Peggy ma szczupłą żyrafę,

Był elegancją, jak szafa,

To szczupła żyrafa!

Nosić, Peggy, Wear!

Peggy mieszkał zabawny pingwin,

Wyróżnił wszystkie wina,

Ach, co śmieszne pingwin!

Nosić, Peggy, Wear!

Peggy mieszkał wesoły słonia,

Walczył Syncrophasotron,

Cóż, co to jest wesoły słonia,

Odkręć, Peggy, Nosić! ..

Już, jeśli nie jest nieskończony, a następnie dość duża liczba piekarzy: twierdzą, że kaseta "piosenki naszych stulecia" wyszło z dwiema odmianami piosenek, a prawdopodobnie liczba nadal rośnie. Nieskończoność identycznych wersetów stara się pokonać z powodu haywate, dziecinnego, naiwnego i zabawnego.

Kolejna szansa leży w tekstach z "przyrostami". Taki są ci, którzy znaleźli nas od dzieciństwa tazzle z repka lub kolobkin, w każdym odcinku, którego liczba znaków wzrasta:

"Teremok"

Paliwo Muha.
Muha-Gully, KOMAR-PISKUN.
Muha-Torajukha, KOMAR-PISKUN, Mysz-Noruszka.
Muha-Gulf, Komar-Piskon, Mysz-Noruszka, żaba Kubashka.
Muha-Torry, Mosquito Pisko, Mysz-Noruszka, Kubetowa Żaba, Bunny-Pumpchair.
Muha-Gulf, Mosquito-Piskon, Mysz-Noruszka, Kubashka Frog, Bunny - Pumpcharchik, Fox-Siostra.
Mukha-Torry, Mosquito-Piskon, Mysz-Nombka, Kurtowa Żaba, Bunny - Pumpcharchik, Fox-Siostry, Opasek-Szary Ogon.
Muha-Torry, Komar-Piskun, Mysz-Noruszka, Frog-Kubashka, Bunny - Pumpcharchik, Fox-Siostra, Wildren-Grey Tail, Bear, Dajesz wszystkim.

Takie teksty mają strukturę "choinki" lub "Matryoshki", w którym każdy poziom powtarza poprzedni o rosnącej wielkości obrazu.

Praca poetycka, w której każdy pojazd można odczytać niezależnie, jak oddzielna "podłoga" choinki, a także razem, tworząc tekst, który rozwija się od jednego do drugiego, a dalej do natury, pokoju i wszechświata, stworzonego przez T.wasilee:

Teraz myślę, że możemy stwierdzić, że istnieją dzieła literackie z strukturą fraktalną.

3. Praktyczne zastosowanie fraktali

Fraktale są coraz częściej używane w nauce. Głównym powodem jest to, że opisują czas rzeczywisty czasami nawet lepsze niż tradycyjna fizyka lub matematyka. Oto kilka przykładów:

SYSTEMY KOMPUTEROWE

Najbardziej użytecznym wykorzystaniem fraktali w informatyce jest fraktalna kompresja danych. Podstawą tego typu kompresji jest fakt, że prawdziwy świat jest dobrze opisany przez geometrię fraktalną. W tym samym czasie zdjęcia są ściśnięte znacznie lepsze niż to odbywa się konwencjonalne metody (takie jak JPEG lub GIF). Kolejną zaletą ściskania fraktali jest to, że ze wzrostem obrazu, efekt piszelizacji nie jest obserwowany (zwiększyć rozmiar punktów do rozmiaru zniekształcania obrazu). Z kompresją fraktali, po wzrośnie obraz często wygląda jeszcze lepiej niż przed nim.

Mechanika cieczy

1. Badanie turbulencji w przepływach jest bardzo dobrze dostosowywane dla fraktali. Burzliwe strumienie są chaotyczne i dlatego trudno są po prostu symulować. I tutaj pomaga przejściowi z reprezentacji fraktalnej. Co znacznie ułatwia pracę inżynierów i fizyków, pozwalając im lepiej zrozumieć dynamikę skomplikowanych przepływów.

2. Używanie fraktali można również symulować języki płomienia.

3. Materiały porowate są dobrze reprezentowane w formie fraktalnej ze względu na fakt, że mają bardzo złożoną geometrię. Jest używany w nauce naftowej.

Telekomunikacja

Anteny są wykorzystywane do przesyłania danych na odległości, mające formy fraktalne, co znacznie zmniejszają ich rozmiar i wagę.

Powierzchnie fizyki

Fraktale są używane do opisania krzywizny powierzchni. Nierówna powierzchnia charakteryzuje się kombinacją dwóch różnych fraktali.

LEKARSTWO

1. Interakcje chicoensory.

2. Serca

BIOLOGIA

Symulacja procesów chaotycznych, w szczególności przy opisywaniu modeli populacji.

4. Wniosek

4.1 Wyniki badań

W mojej pracy podano nie wszystkie obszary wiedzy ludzkiej, gdzie znaleźli swoje wykorzystanie teorii fraktalnej. Chcę tylko powiedzieć, że nie więcej niż jedna trzecia stulecia minęła od pojawienia teorii, ale w tym czasie fraktale dla wielu badaczy stały się nagłym jasnym światłem w nocy, który oświetlił nieznane deliki i wzorce w określonych obszarach danych. Korzystanie z teorii fraktali zaczęło wyjaśniać ewolucję galaktyk i rozwoju komórki, pojawienie się gór i tworzenia chmur, ruch cen na giełdzie oraz rozwój społeczeństwa i rodziny. Może po raz pierwszy ta fraktalna pasja była nawet zbyt gwałtowna i próba wyjaśnienia wszystkiego za pomocą teorii fraktali były nieuzasadnione. Ale bez wątpienia ta teoria ma prawo istnieć.

W mojej pracy zebrałem interesująca informacja Na fraktale, ich typach, wymiarze i właściwościach, na ich stosowaniu, a także trójkąt pascal, liczbami pomorowanymi, sekcją złota, na dziełach literackich fraktali i wiele innych rzeczy.

W trakcie badania wykonano następujące prace:

Analizowane i opracowane literaturę na temat badań.

Rozważono różne rodzaje fraktali i badano.

Kolekcja obrazów fraktalnych zbiera się na pierwotne zapoznanie się ze światem fraktali.

Relacje między fraktalami i trójkątem Pascal, dzieł literackich, liczbami pomorowanymi i złotą przekrojem.

Upewniłem się, że ci, którzy są zaangażowani w fraktale, piękne, niesamowity świat, W której panowania matematyki, przyrody i sztuki. Myślę, że po znajomym z moją pracą, ty, jak ja, upewnij się, że matematyka jest piękna i niesamowita.

5. LUB:

1. Bogkin S.v., Parshin D.A. Fraktale i wieloifractały. Izhevsk: Dynamika regularna i chaotyczna NIC ", 2001. - 128с.

2. Voloshinov A. V. Matematyka i sztuka: KN. Dla tych, którzy nie tylko kochają matematyki i sztukę, ale także pragnie pomyśleć o naturze pięknej i piękna nauki. 2. ed., Dorap. i dodaj. - M.: Oświecenie, 2000. - 399С.

3. Gardner M. A. Matematyka Neskualna. Kalejdoskopy puzzle. M.: AST: Astrel, 2008. - 288C.: Il.

4. Grinchenko V. T., Matshapura V.t., Snairsky A.a. Wprowadzenie do dynamiki nieliniowej. Chaos i fraktal.
. Wydawca: LKI, 2007 264 pp.

5. Litinsky G.i. Funkcje i grafika. 2nd publikacja. - M.: ASLAN, 1996. - 208C.: Il.

6. Morozov A. D. Wprowadzenie do teorii fraktali. Wydawca: Wydawca. Nizhny Novgorod University., 2004.

7. Richard M. Croith Fractali i chaos w systemach dynamicznych Wprowadzenie do fraktali i chaosu.
Wydawca: Technosphere, 2006. 488 pp.

8. otaczający nasmira. Jako ciała solidne z wyraźnie wyznaczonym ... Znajdź program formacji i przeglądania fraktale., zbieraj i buduj kilka fraktale.. Literatura 1.a.i. Azevich "Dwadzieścia ...