Усі формули складання. Основні формули тригонометрії

Формули додавання служать у тому, щоб висловити через синуси і косинуси кутів і b, значення функцій cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).

Формули складання для синусів та косинусів

Теорема: Для будь-яких a і b справедлива наступна рівність cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Доведемо цю теорему. Розглянемо наступний малюнок:

На ньому точки Ma, M-b, M(a+b), отримані поворотом точки Мо на кути a, -b, і a+b відповідно. З визначень синуса і косинуса координати цих точок будуть злюючими: Ma(cos(a); sin(a)), Mb (cos(-b); sin(-b)), M(a+b) (cos(a+) b), sin(a+b)). КутМоОМ(a+b) = кутМ-bОМа, отже рівні трикутники МоОМ(a+b) і М-bОМа, причому вони рівнобедрені. Отже, рівні й підстави МоМ(а-b) і М-bМа. Отже (МоМ(а-b))^2 = (М-bМа)^2. Скориставшись формулою відстані між двома точками, отримаємо:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) та cos(-a) = cos(a). Перетворимо нашу рівність з урахуванням цих формул і квадрата суми та різниці, тоді:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Тепер застосуємо основне тригонометричне тотожність:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Наведемо подібні та скоротимо на -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Що і потрібно було довести.

Справедливі також такі формули:

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Дані формули можна отримати з доведеної вище, використовуючи формули приведення та заміною b на -b. Для тангенсів і котангенсів також існують формули складання, але вони справедливі задля будь-яких аргументів.

Формули складання тангенсів та котангенсів

Для будь-яких кутів a,bкрім a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n та a+b =pi/2 +pi*m, для будь-яких цілих k,n,mбуде справедлива наступна формула:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Для будь-яких кутів a,b крім a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n та a-b =pi/2 +pi*m, для будь-яких цілих k,n,m буде справедлива така формула:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Для будь-яких кутів a,b крім a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m і будь-яких цілих k,n,m буде справедлива така формула:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b)-1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Формул у тригонометрії багато.

Запам'ятати їх механічно дуже складно майже неможливо. На заняттях багато школярів та студентів користуються роздруками на форзацах підручників та зошитів, плакатами на стінах, шпаргалками, нарешті. А як бути на іспиті?

Однак, якщо Ви придивитеся до цих формул уважніше, то виявите, що всі вони взаємопов'язані і мають певну симетрію. Проаналізуймо їх з урахуванням визначень і властивостей тригонометричних функцій, щоб визначити той мінімум, який дійсно варто вивчити напам'ять.

І група. Основні тотожності

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα·ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 sin 2 α.

Ця група містить найпростіші та найзатребуваніші формули. Більшість учнів їх знає. Але якщо є труднощі, то щоб запам'ятати перші три формули, подумки уявіть собі прямокутний трикутникз гіпотенузою, що дорівнює одиниці. Тоді його катети дорівнюють, відповідно, sinα за визначенням синуса (ставлення протилежного катета до гіпотенузи) і cosα за визначенням косинуса (відношення прилеглого катетадо гіпотенузи).

Перша формула є теоремою Піфагора для такого трикутника - сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи (1 2 = 1), друга і третя - це визначення тангенса (ставлення протилежного катета до прилеглого) і котангенса (ставлення прилеглого катета до протилежного).
Добуток тангенсу на котангенс дорівнює 1 тому, що котангенс, записаний у вигляді дробу (формула третя) є перевернутий тангенс (формула друга). Останнє міркування, до речі, дозволяє виключити з формул, які необхідно обов'язково завчити, всі наступні довгі формули з котангенсом. Якщо в будь-якому складному завданніВам зустрінеться ctgα, просто замініть його на дріб ___ 1 tgαта користуйтеся формулами для тангенсу.

Останні дві формули можна запам'ятовувати доволі. Вони трапляються рідше. І якщо будуть потрібні, то Ви завжди зможете вивести їх на чернетці заново. Для цього достатньо підставити замість тангенсу або контангенсу їх визначення через дріб (формули другий та третій, відповідно) і привести вираз до спільному знаменнику. Але важливо пам'ятати, що такі формули, які пов'язують квадрати тангенсу та косинуса, і квадрати котангенсу та синусу існують. Інакше Ви можете не здогадатися, які перетворення необхідні для вирішення того чи іншого конкретного завдання.

ІІ група. Формули додавання

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg(α + β) = tgα + tgβ _________ 1 − tgα·tgβ;

tg(α − β) =

Згадаймо властивості парності/непарності тригонометричних функцій:

sin(−α) = − sin(α); cos(−α) = cos(α); tg(−α) = − tg(α).

З усіх тригонометричних функцій тільки косинус є парною функцією і змінює свій знак зміні знака аргументу (кута), інші функції є непарними. Непарність функції фактично означає, що знак мінус можна вносити і виносити за знак функції. Тому, якщо Вам зустрінеться тригонометричний вираз із різницею двох кутів, завжди можна буде розуміти його як суму позитивного та негативного кутів.

Наприклад, sin( x− 30º) = sin( x+ (-30 º)).
Далі користуємося формулою суми двох кутів і розуміємося на знаках:
sin( x+ (−30º)) = sin xВ· cos(−30º) + cos xВ·sin(−30º) =
= sin x·cos30º − cos xВ· sin30º.

Таким чином, всі формули, що містять різницю кутів, можна просто пропустити при першому заучуванні. Потім варто навчитися відновлювати їх у загальному виглядіспочатку на чернетці, а потім і подумки.

Наприклад, tg(α − β) = tg(α + (−β)) = tgα + tg(−β) ___________ 1 − tgα·tg(−β) = tgα − tgβ _________ 1 + tgα·tgβ .

Це допоможе надалі швидше здогадуватися про те, які перетворення потрібно застосувати для вирішення того чи іншого завдання із тригонометрії.

Ш група. Формули кратних аргументів

sin2α = 2·sinα·cosα;

cos2α = cos 2 α - sin 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 − tg 2 α;

sin3α = 3sinα − 4sin 3 α;

cos3α = 4cos 3α - 3cosα.

Необхідність використання формул для синуса і косинуса подвійного кута виникає дуже часто, для тангенса теж нерідко. Ці формули слід знати напам'ять. Тим більше, що труднощів у їхньому заучуванні немає. По-перше, формули короткі. По-друге, їх легко контролювати за формулами попередньої групи виходячи з того, що 2α = α + α.
Наприклад:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Однак, якщо Ви швидше вивчили ці формули, а не попередні, то можна надходити і навпаки: згадувати формулу для суми двох кутів можна за формулою для подвійного кута.

Наприклад, якщо потрібна формула косинуса суми двох кутів:
1) згадуємо формулу для косинуса подвійного кута: cos2 x= cos 2 x− sin 2 x;
2) розписуємо її довго: cos( x + x) = cos xВ· cos x− sin x· Sin x;
3) замінюємо один хна α, другий на β: cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ.

Потренуйтеся аналогічно відновлювати формули для синуса суми та суми тангенса. У відповідальних випадках, таких як ЕГЕ, перевіряйте точність відновлених формул за відомими першої чверті: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Перевірка попередньої формули (отриманої заміною у рядку 3):
нехай α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
тоді cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3 _ /2, sinα = sin60° = √3 _ /2, sinβ = sin30° = 1/2;
підставляємо значення формулу: 0 = (1/2)·( √3_ /2) − (√3_ /2) · (1/2);
0 ≡ 0, помилок не виявлено.

Формули для потрійного кута, на мою думку, спеціально "зубрити" не потрібно. Вони досить рідко зустрічаються на іспитах типу ЄДІ. Вони легко виводяться з формул, які були вищими, т.к. sin3α = sin(2α + α). А тим учням, яким з якихось причин все ж таки потрібно вивчити ці формули напам'ять, раджу звернути увагу на їхню деяку "симетричність" і запам'ятовувати не самі формули, а менімонічні правила. Наприклад, порядок у якому розташовані числа двох формулах "33433433" тощо.

IV група. Сума/різниця - до твір

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2В· cos α − β ____ 2 ;

sinα − sinβ = 2·sin α − β ____ 2В· cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2·cos α + β ____ 2В· cos α − β ____ 2 ;

cosα − cosβ = −2·sin α − β ____ 2· Sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin(α + β) ________ cosα·cosβ ;

tgα − tgβ = sin(α − β) ________ cosα·cosβ .

Скориставшись властивостями непарності функцій синус та тангенс: sin(−α) = − sin(α); tg(−α) = − tg(α),
можна формули для різниць двох функцій звести до формул для їх сум. Наприклад,

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________ 2В· cos 90º − (−30º) __________ 2 =

2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Таким чином, формули різниці синусів та тангенсів не обов'язково відразу заучувати напам'ять.
З сумою і різницею косинусів справа складніша. Ці формули не взаємозамінні. Але знову ж таки, користуючись парністю косинуса, можна запам'ятати такі правила.

Сума cosα + cosβ не може змінити свій знак ні за яких змін знаків кутів, тому твір також має складатися з парних функцій, тобто. двох косінусів.

Знак різниці cosα - cosβ залежить від значень самих функцій, отже знак твору повинен залежати від співвідношення кутів, тому твір має складатися з непарних функцій, тобто. двох синусів.

І все-таки ця група формул не найлегша для запам'ятовування. Це той випадок, коли краще менше зубрити, але більше перевіряти. Щоб не допустити помилки у формулі на відповідальному іспиті, обов'язково спочатку запишіть її на чернетці та перевірте двома способами. Спочатку підстановками β = α і β = −α, потім за відомими значеннями функцій для простих кутів. Для цього найкраще брати 90º і 30º, як це було зроблено у прикладі вище, тому що напівсума та напіврізниця цих значень знову дають прості кути, і Ви легко можете побачити, як рівність стає тотожністю для правильного варіанту. Або, навпаки, не виконується, якщо ви помилилися.

прикладперевірки формули cosα − cosβ = 2·sin α − β ____ 2· Sin α + β ____ 2для різниці косінусів з помилкою !

1) Нехай β = α, тоді cosα − cosα = 2·sin α − α _____ 2· Sin α + α _____ 2= 2sin0·sinα = 0·sinα = 0. cosα − cosα ≡ 0.

2) Нехай β = − α, тоді cosα − cos(− α) = 2·sin α − (−α) _______ 2· Sin α + (−α) _______ 2= 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0. cosα − cos(− α) = cosα − cosα ≡ 0.

Ці перевірки показали, що функції у формулі використані правильно, але через те, що тотожність виходило виду 0 0, могла бути пропущена помилка зі знаком або коефіцієнтом. Робимо третю перевірку.

3) Нехай α = 90º, β = 30º, тоді cos90º − cos30º = 2·sin 90º − 30º ________ 2· Sin 90º + 30º ________ 2= 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·(√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 − cos30 = 0 − √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Помилка була справді у знаку і лише у знаку перед твором.

V група. Твір - у суму/різницю

sinα·sinβ = 1 _ 2 · (cos (α - β) - cos (α + β));

cosα·cosβ = 1 _ 2 · (cos (α - β) + cos (α + β));

sinα·cosβ = 1 _ 2 ·(sin(α - β) + sin(α + β)) .

Сама назва п'ятої групи формул підказує, що ці формули є зворотними по відношенню до попередньої групи. Зрозуміло, що в цьому випадку простіше відновити формулу на чернетці, ніж вивчати її наново, збільшуючи ризик створення "каші в голові". Єдине, на чому має сенс загострити увагу для швидше відновлення формули, це наступні рівності (перевірте їх):

α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2.

Розглянемо приклад:потрібно перетворити твір sin5 x· cos3 xу суму двох тригонометричних функцій.
Оскільки до твір входять і синус, і косинус, то беремо з попередньої групи формулу для суми синусів, яку вже вивчили, та записуємо її на чернетці.

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2В· cos α − β ____ 2

Нехай 5 x = α + β ____ 2та 3 x = α − β ____ 2тоді α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Замінюємо у формулі на чернетці значення кутів, виражені через змінні α і β, на значення кутів, виражені через змінну x.
Отримаємо sin8 x+ sin2 x= 2 · sin5 x· cos3 x

Ділимо обидві частини рівності на 2 і записуємо його на чистовик праворуч наліво sin5 x· cos3 x = 1 _ 2 (sin8 x+ sin2 x). Відповідь готова.

Як вправа:Поясніть, чому у підручнику формул для перетворення суми/різниці на твір 6, а зворотних (для перетворення твору на суму чи різницю) - всього 3?

VI група. Формули зниження ступеня

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 − cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα − sin3α ____________ 4.

Перші дві формули цієї групи дуже потрібні. Застосовуються часто під час вирішення тригонометричних рівнянь, у тому числі рівня єдиного іспитуа також при обчисленні інтегралів, що містять підінтегральні функції тригонометричного типу.

Можливо, буде легше запам'ятати їх у наступній "одноповерховій" формі
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 − cos2α,
а розділити на 2 завжди можна в умі або на чернетці.

Необхідність використання наступних двох формул (з кубами функцій) на іспитах зустрічається набагато рідше. В іншій обстановці у Вас завжди буде час скористатися чернеткою. При цьому можливі такі варіанти:
1) Якщо Ви пам'ятаєте останні дві формули III групи, то користуйтеся ними, щоб виражати sin 3 α і cos 3 α шляхом нескладних перетворень.
2) Якщо в останніх двох формулах цієї групи Ви помітили елементи симетрії, які сприяють їх запам'ятовуванню, записуйте "ескізи" формул на чернетці і перевіряйте їх за значеннями основних кутів.
3) Якщо, крім того, що такі формули зниження ступеня існують, Ви про них нічого не знаєте, то вирішуйте завдання поетапно, виходячи з того, що sin 3 α = sin 2 α·sinα та інших вивчених формул. Потрібні формули зниження ступеня для квадрата та формули перетворення твору на суму.

VII група. Половинний аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 2 ; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 1 + cosα. _____

Не бачу сенсу в заучуванні напам'ять цієї групи формул у вигляді, як вони представлені у підручниках і довідниках. Якщо Ви розумієте, що α є половина від 2α, то цього досить, щоб швидко вивести необхідну формулу половинного аргументу, з перших двох формул зниження ступеня.

Це стосується також половинного тангенса кута, формула для якого виходить розподілом виразу для синуса на відповідний вираз для косинуса.

Не забудьте тільки під час вилучення квадратного кореняпоставити знак ± .

VIII група. Універсальна підстановка

sinα = 2tg(α/2) _________ 1 + tg 2 (α/2);

cosα = 1 − tg 2 (α/2) __________ 1 + tg 2 (α/2) ;

tgα = 2tg(α/2) _________ 1 − tg 2 (α/2) .

Ці формули можуть виявитися надзвичайно корисними для вирішення тригонометричних завдань усіх видів. Вони дозволяють реалізувати принцип "один аргумент - одна функція", який дозволяє робити заміни змінних, що зводять складні тригонометричні вирази до алгебраїчних. Недаремно ця підстановка названа універсальною.
Перші дві формули вчимо обов'язково. Третю можна отримати розподілом перших двох один на одного за визначенням тангенсу tgα = sinα ___ cosα

ІХ група. Формули наведення.

Щоб розібратися з цією групою тригонометричних формул, передайте

X група. Значення основних кутів.

Значення тригонометричних функцій для основних кутів першої чверті наведено

Отже, робимо висновок: Формули тригонометрії знати треба Чим більше тим краще. Але на що витрачати свій час і зусилля - на заучування формул або їх відновлення в процесі вирішення завдань, кожен повинен вирішити самостійно.

Приклад завдання використання формул тригонометрии

Розв'язати рівняння sin5 x· cos3 x− sin8 x· cos6 x = 0.

Маємо дві різні функції sin() та cos() та чотири! різних аргументів 5 x, 3x, 8xта 6 x. Без попередніх перетворень звести до найпростіших типів тригонометричних рівнянь не вдасться. Тому спочатку намагаємося замінити твори на суми чи різницю функцій.
Робимо це як і, як у прикладі вище (див. розділ ).

sin(5 x + 3x) + sin(5 x − 3x) = 2 · sin5 x· cos3 x
sin8 x+ sin2 x= 2 · sin5 x· cos3 x

sin(8) x + 6x) + sin(8 x − 6x) = 2 · sin8 x· cos6 x
sin14 x+ sin2 x= 2 · sin8 x· cos6 x

Висловлюючи з цих рівностей твори, підставляємо в рівняння. Отримаємо:

(sin8 x+ sin2 x)/2 − (sin14 x+ sin2 x)/2 = 0.

Помножуємо на 2 обидві частини рівняння, розкриваємо дужки та наводимо подібні члени

Sin8 x+ sin2 x− sin14 x− sin2 x = 0;
sin8 x− sin14 x = 0.

Рівняння значно спростилося, але вирішувати його так. x= sin14 x, отже 8 x = 14x+ T, де Т - період, неправильно, оскільки ми знаємо значення цього періоду. Тому скористаємося тим, що у правій частині рівності стоїть 0, з яким легко порівнювати множники у будь-якому вираженні.
Щоб розкласти sin8 x− sin14 xна множники потрібно перейти від різниці до твору. Для цього можна скористатися формулою різниці синусів, або знову формулою суми синусів та непарністю функції синус (див. приклад у розділі ).

sin8 x− sin14 x= sin8 x+ sin(−14 x) = 2 · sin 8x + (−14x) __________ 2 В· cos 8x − (−14x) __________ 2 = sin(−3 x)·cos11 x= −sin3 x· cos11 x.

Отже, рівняння sin8 x− sin14 x= 0 рівносильно рівнянню sin3 x· cos11 x= 0, яке, у свою чергу, рівносильне сукупності двох найпростіших рівнянь sin3 x= 0 та cos11 x= 0. Вирішуючи останні, отримуємо дві серії відповідей
x 1 = π n/3, nϵZ
x 2 = π/22 + π k/11, kϵZ

Якщо Ви виявили помилку або друкарську помилку, повідомте про неї, будь ласка, на електронну адресу [email protected] . Буду дуже вдячна.

Увага © mathematichka. Пряме копіювання матеріалів на інших сайтах заборонено. Ставте посилання.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.

Навігація на сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожності задають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .

Формули наведення

Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .

Формули додавання

Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного тощо. кута

Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.

Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.

Формули зниження ступеня

Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми та різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.

Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус

Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.

Універсальна тригонометрична підстановка

Огляд основних формул тригонометрії завершуємо формулами, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Така заміна отримала назву універсальної тригонометричної підстановки. Її зручність у тому, що це тригонометричні функції виражаються через тангенс половинного кута раціонально без коренів.

Список літератури.

Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського. - М.: Просвітництво, 1990. - 272 с.: Іл. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Я не переконуватиму вас не писати шпаргалки. Пишіть! У тому числі і шпаргалки по тригонометрії. Пізніше я планую пояснити, навіщо потрібні шпаргалки та чим шпаргалки корисні. А тут інформація, як не вчити, але запам'ятати деякі тригонометричні формули. Отже - тригонометрія без шпаргалки! Використовуємо асоціації для запам'ятовування.

1. Формули додавання:

косинуси завжди «ходять парами»: косинус-косинус, синус-синус. І ще: косинуси – «неадекватні». Їм "все не так", тому вони знаки змінюють: "-" на "+", і навпаки.

Синуси – «змішуються»: синус-косинус, косинус-синус.

2. Формули суми та різниці:

косинуси завжди «ходять парами». Склавши два косинуси — «колобки», отримуємо пару косинусів-«колобків». А віднімаючи, колобків точно не отримаємо. Отримуємо пару синусів. Ще й із мінусом попереду.

Синуси – «змішуються» :

3. Формули перетворення твору на суму та різницю.

Коли ми отримуємо пару косінусів? Коли складаємо косинус. Тому

Коли ми отримуємо пару синусів? При відніманні косінусів. Звідси:

"Змішування" отримуємо як при додаванні, так і при відніманні синусів. Що приємніше: складати чи віднімати? Правильно, складати. І для формули беруть додавання:

У першій і третій формулі в дужках — сума. Від перестановки місць доданків сума не змінюється. Принциповим є порядок тільки для другої формули. Але, щоб не плутатися, для простоти запам'ятовування ми у всіх трьох формулах у перших дужках беремо різницю

а по-друге — суму

Шпаргалки у кишені дають спокій: якщо забув формулу, можна списати. А дають впевненість: якщо скористатися шпаргалкою не вдасться, можна легко згадати формули.

Продовжуємо нашу розмову про найуживаніші формули в тригонометрії. Найважливіші – формули складання.

Визначення 1

Формули додавання дозволяють виразити функції різниці або суми двох кутів за допомогою тригонометричних функцій цих кутів.

Спочатку ми наведемо повний перелік формул додавання, потім доведемо їх і розберемо кілька наочних прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основні формули додавання в тригонометрії

Виділяють вісім основних формул: синус суми та синус різниці двох кутів, косинуси суми та різниці, тангенси та котангенси суми та різниці відповідно. Нижче наведено їх стандартні формулювання та обчислення.

1.Синус суми двох кутів можна одержати так:

Обчислюємо добуток синуса першого кута на косинус другого;

Помножуємо косинус першого кута на синус першого;

Складаємо значення, що вийшли.

Графічне написання формули виглядає так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Синус різниці обчислюється майже так само, тільки отримані твори потрібно не скласти, а відняти один від одного. Таким чином, обчислюємо твори синуса першого кута на косинус другого та косинуса першого кута на синус другого та знаходимо їх різницю. Формула пишеться так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Косинус суми. Для нього знаходимо твори косинуса першого кута на косинус другого та синуса першого кута на синус другого відповідно і знаходимо їх різницю: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Косинус різниці: обчислюємо твори синусів та косинусів даних кутів, як і раніше, і складаємо їх. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

5. Тангенс суми. Ця формула виражається дробом, у чисельнику якої – сума тангенсів шуканих кутів, а знаменнику – одиниця, з якої віднімається добуток тангенсів шуканих кутів. Все зрозуміло з її графічного запису: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Тангенс різниці. Обчислюємо значення різниці та твори тангенсів даних кутів і чинимо з ними подібним чином. У знаменнику ми додаємо до одиниці, а не навпаки: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Котангенс суми. Для обчислень за цією формулою нам знадобляться добуток і сума котангенсів даних кутів, з якими ми надходимо наступним чином:

8. Котангенс різниці . Формула схожа з попередньою, але в чисельнику і знаменнику - мінус, а не плюс tg (α - β) = - 1 - c t g α · c t g α - c t g β .

Ви, мабуть, помітили, що ці формули попарно схожі. За допомогою знаків ± (плюс-мінус) та ∓ (мінус-плюс) ми можемо згрупувати їх для зручності запису:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β tg (α ± β) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α · ctg β ctg α ± ctg β

Відповідно, ми маємо одну формулу запису для суми та різниці кожного значення, просто в одному випадку ми звертаємо увагу на верхній знак, в іншому – на нижній.

Визначення 2

Ми можемо взяти будь-які кути α і β і формули додавання для косинуса і синуса підійдуть для них. Якщо ми можемо правильно визначити значення тангенсів та котангенсів цих кутів, то формули додавання для тангенсу та котангенсу будуть також для них справедливі.

Як і більшість понять в алгебрі, формули додавання можуть бути доведені. Перша формула, яку ми доведемо, – формула косинуса різниці. З неї потім можна легко вивести решту доказів.

Уточнимо основні поняття. Нам знадобиться одиничне коло. Вона вийде, якщо ми візьмемо якусь точку A і повернемо навколо центру (точки O) кути α та β. Тоді кут між векторами O A 1 → і O A → 2 дорівнюватиме (α - β) + 2 π · z або 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – будь-яке ціле число). Вектори, що виходять, утворюють кут, який дорівнює α - β або 2 π - (α - β) , або він може відрізнятися від цих значень на ціле число повних оборотів. Погляньте на малюнок:

Ми скористалися формулами приведення та отримали такі результати:

cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)

Підсумок: косинус кута між векторами O A 1 → і O A 2 → дорівнює косинусу кута α - β, отже cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Згадаймо визначення синуса та косинуса: синус - функція кута, що дорівнює відношенню катета протилежного кута до гіпотенузи, косинус – це синус додаткового кута. Отже, точки A 1і A 2мають координати (cos α , sin α) та (cos β , sin β) .

Отримаємо таке:

O A 1 → = (cos α , sin α) та O A 2 → = (cos β , sin β)

Якщо незрозуміло, погляньте на координати точок, розташованих на початку та наприкінці векторів.

Довжини векторів дорівнюють 1, т.к. у нас поодиноке коло.

Розберемо тепер скалярний твірвекторів O A 1 → та O A 2 → . У координатах воно виглядає так:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

З цього ми можемо вивести рівність:

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Таким чином, формула косинуса різниці доведена.

Тепер ми доведемо таку формулу – косинуса суми. Це простіше, оскільки ми можемо скористатися з попередніх розрахунків. Візьмемо уявлення α + β = α - (- β). У нас є:

cos (α + β) = cos (α - (-β)) = = cos α · cos (-β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β

Це і є доказом формули косинуса суми. В останньому рядку використано властивість синуса та косинуса протилежних кутів.

Формулу синуса суми можна вивести із формули косинуса різниці. Візьмемо для цього формулу приведення:

виду sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Так
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β

А ось доказ формули синуса різниці:

sin (α - β) = sin (α + (-β)) = sin α · cos (-β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
Зверніть увагу на використання властивостей синуса та косинуса протилежних кутів в останньому обчисленні.

Далі нам потрібні докази формул додавання для тангенсу та котангенсу. Згадаймо основні визначення (тангенс - ставлення синуса до косінус, а котангенс - навпаки) і візьмемо вже виведені заздалегідь формули. У нас вийшло:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β

У нас вийшов складний дріб. Далі нам потрібно розділити її чисельник і знаменник на cos α · cos β , враховуючи що cos α ≠ 0 та cos β ≠ 0 отримуємо:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Тепер скорочуємо дроби і отримуємо формулу наступного виду: sin cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
У нас вийшло t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Це і є підтвердження формули складання тангенсу.

Наступна формула, яку ми доводитимемо – формула тангенсу різниці. Все наочно показано у обчисленнях:

t g (α - β) = t g (α + (-β)) = t g α + t g (-β) 1 - t g α · t g (-β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

Формули для котангенсу доводяться таким чином:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + ctg α · ctg β ctg α + ctg β
Далі:
c t g (α - β) = c t g (α + (-β)) = - 1 + c t g α · ct g (-β)