Vektor yordamida misollarni qanday hal qilish mumkin. Vektorlar: asosiy ta'riflar va tushunchalar

Ta'rif

Skalyar miqdori- son bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan miqdor. Masalan, uzunlik, maydon, massa, harorat va boshqalar.

Vektor$ \ overline (A B) $ yo'naltirilgan segmenti deyiladi; $ A $ nuqtasi - boshlanish, $ B $ nuqtasi - vektorning oxiri (1 -rasm).

Vektor ikkita bilan belgilanadi katta harflar bilan- uning boshi va oxiri: $ \ overline (A B) $ yoki bitta kichik harf: $ \ overline (a) $.

Ta'rif

Agar vektorning boshi va oxiri mos kelsa, bunday vektor deyiladi nol... Ko'pincha null vektor $ \ overline (0) $ sifatida belgilanadi.

Vektor deyiladi kollinear agar ular bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel chiziqlar ustida yotsa (2-rasm).

Ta'rif

$ \ Overline (a) $ va $ \ overline (b) $ ikkita kollinear vektorlari deyiladi birgalikda boshqargan agar ularning yo'nalishlari to'g'ri kelsa: $ \ overline (a) \ uparrow \ uparrow \ overline (b) $ (3 -rasm, a). Ikki kollinear vektor $ \ overline (a) $ va $ \ overline (b) $ deyiladi qarama-qarshi yo'naltirilgan agar ularning yo'nalishlari qarama -qarshi bo'lsa: $ \ overline (a) \ uparrow \ downarrow \ overline (b) $ (3 -rasm, b).

Ta'rif

Vektor deyiladi bir xil agar ular bir tekislikka parallel bo'lsa yoki bir tekislikda yotsa (4 -rasm).

Ikki vektor har doim bir xil bo'ladi.

Ta'rif

Uzunlik (modul) vektor $ \ overline (A B) $ - uning boshi va oxiri orasidagi masofa: $ | \ overline (A B) | $

Malumot bo'yicha vektor uzunligi haqida batafsil nazariya.

Nol vektorning uzunligi nolga teng.

Ta'rif

Uzunligi bittaga teng bo'lgan vektor deyiladi birlik vektori yoki ortom.

Vektor deyiladi teng agar ular bitta yoki parallel chiziqda yotsa; ularning yo'nalishlari bir -biriga to'g'ri keladi va uzunligi teng.

Boshqacha aytganda, ikkita vektor tengdirlar agar ular chiziqli, yo'nalishli va uzunligi teng bo'lsa:

$ \ overline (a) = \ overline (b) $, agar $ \ overline (a) \ uparrow \ uparrow \ overline (b), | \ overline (a) | = | \ overline (b) | $

$ M $ fazoning ixtiyoriy nuqtasida berilgan $ \ overline (A B) $ vektoriga teng noyob $ \ overline (M N) $ vektorini qurish mumkin.

Standart ta'rif: "Vektor - bu yo'nalishli chiziq". Bu, odatda, bitiruvchining vektorlar haqida bilishi bilan cheklangan. Kimga "yo'nalish chiziqlari" kerak?

Lekin, aslida, vektorlar nima va ular nima uchun?
Ob-havo bashorati. – Shimoli-g‘arbiy shamol tezligi sekundiga 18 metr. Siz tan olishingiz kerakki, shamol yo'nalishi ham (u qayerdan esadi) va uning tezligi moduli (ya'ni mutlaq qiymati) muhimdir.

Yo'nalishi bo'lmagan miqdorlar skalyar deyiladi. Massa, ish, elektr zaryad hech qaerga yo'naltirilmaydi. Ular faqat raqamli qiymat bilan tavsiflanadi - "necha kilogramm" yoki "qancha joule".

Faqat mutlaq qiymat emas, balki yo'nalishga ham ega bo'lgan fizik kattaliklar vektor deyiladi.

Tezlik, kuch, tezlanish vektorlardir. Ular uchun "qancha" va "qaerda" muhim. Masalan, tezlashtirish erkin tushish Yer yuzasiga yo'naltirilgan va uning qiymati 9,8 m / s 2 ga teng. Impuls, elektr maydon kuchi, induktsiya magnit maydoni vektor kattaliklar hamdir.

Buni eslaysizmi jismoniy miqdorlar lotin yoki yunon harflari bilan belgilanadi. Harf ustidagi o'q qiymat vektor ekanligini ko'rsatadi:

Mana yana bir misol.
Mashina A dan Bgacha harakat qiladi. Yakuniy natija- uning A nuqtadan B nuqtagacha harakati, ya'ni vektorga o'tish .

Endi nima uchun vektor yo'nalishli chiziq ekanligi aniq bo'ldi. E'tibor bering, vektorning oxiri o'q qaerda. Vektor uzunligi bu segmentning uzunligi. Belgilangan: yoki

Hozirgacha biz skalyar bilan ishladik, arifmetik va elementar algebra qoidalariga muvofiq. Vektor - bu yangi tushuncha. Bu matematik ob'ektlarning boshqa sinfidir. Ularning o'z qoidalari bor.

Bir paytlar biz raqamlar haqida hech narsa bilmasdik. Ular bilan tanishish quyi sinflarda boshlangan. Ma'lum bo'lishicha, raqamlarni bir-biri bilan solishtirish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin. Biz birinchi raqam va nol raqam borligini bilib oldik.
Endi biz vektorlar bilan tanishamiz.

Vektor uchun "ko'p" va "kamroq" tushunchasi mavjud emas - axir ularning yo'nalishlari boshqacha bo'lishi mumkin. Faqat vektorlarning uzunliklarini solishtirish mumkin.

Ammo vektorlar uchun tenglik tushunchasi.
Teng vektorlar bir xil uzunlik va bir xil yo'nalish deb ataladi. Bu shuni anglatadiki, vektor tekislikning har qanday nuqtasiga o'ziga parallel ravishda o'tkazilishi mumkin.
Yagona uzunligi 1 ga teng vektor deyiladi. Nol - uzunligi nolga teng bo'lgan vektor, ya'ni uning boshlanishi oxiriga to'g'ri keladi.

Vektor bilan ishlash eng qulaydir to'rtburchaklar tizimi koordinatalar - biz funktsiyalar grafiklarini chizamiz. Koordinata tizimidagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi - uning x va y koordinatalari, abssissa va ordinata.
Vektor shuningdek ikkita koordinata bilan belgilanadi:

Bu erda vektorning koordinatalari qavs ichida yoziladi - x bo'ylab va y bo'ylab.
Ular oddiygina topilgan: vektorning oxirining koordinatasi, uning boshining koordinatasi.

Agar vektorning koordinatalari berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha topiladi

Vektor qo'shilishi

Vektorlarni qo'shishning ikki yo'li mavjud.

1. Paralelogramma qoidasi. Va vektorlarini qo'shish uchun ikkalasining ham kelib chiqishini bir nuqtaga joylashtiring. Biz parallelogramga qurilishni tugatamiz va shu nuqtadan parallelogrammaning diagonalini chizamiz. Bu vektorlarning yig'indisi bo'ladi va.

Oqqush, saraton va pike haqidagi ertakni eslaysizmi? Ular juda ko'p harakat qilishdi, lekin hech qachon aravani qimirlatishmadi. Axir, ular tomonidan aravaga tatbiq etilgan kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng edi.

2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2. Vektorlarni qo'shishning ikkinchi usuli - bu uchburchak qoidasi. Keling, bir xil vektorlarni olaylik. Ikkinchisining boshini birinchi vektorning oxiriga qo'shing. Keling, birinchisining boshini va ikkinchisining oxirini bog'laymiz. Bu vektorlarning yig'indisi va.

Xuddi shu qoida bo'yicha bir nechta vektorlarni qo'shish mumkin. Biz ularni birma -bir bog'laymiz, so'ngra birinchisining boshini oxirigacha bog'laymiz.

Tasavvur qiling, A nuqtadan B nuqtaga, B dan C gacha, C dan D gacha, keyin E va Fgacha. Bu harakatlarning yakuniy natijasi A dan F ga o'tishdir.

Vektorlarni qo'shganda biz quyidagilarni olamiz:

Vektorlarni olib tashlash

Vektor vektorga qarama -qarshi yo'naltirilgan. Va vektorlarining uzunligi teng.

Endi vektorni olib tashlash nima ekanligi aniq. Vektorlarning farqi vektor va vektor yig'indisidir.

Vektorni raqamga ko'paytirish

Vektorni k soniga ko'paytirishda siz uzunligi uning uzunligidan k marta farq qiladigan vektorni olasiz. Agar k noldan katta bo'lsa, vektor bilan ko'proq yo'nalishli, agar k noldan kichik bo'lsa, teskari yo'naltirilgan.

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Vektorlarni nafaqat sonlar, balki bir -biriga ko'paytirish mumkin.

Vektorlarning skalyar mahsuloti - bu vektorlar uzunligining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'pligi.

E'tibor bering - biz ikkita vektorni ko'paytirdik va biz skalar, ya'ni raqamni oldik. Masalan, fizikada mexanik ish ikki vektorning nuqta mahsulotiga teng - kuch va siljish:

Agar vektorlar perpendikulyar bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti nolga teng.
Va nuqta mahsuloti vektorlarning koordinatalari bo'yicha quyidagicha ifodalanadi va:

Formuladan nuqta mahsuloti vektorlar orasidagi burchakni topishingiz mumkin:

Bu formula, ayniqsa, qattiq geometriyada foydalidir. Masalan, 14 -masalada Profil bo'yicha imtihon matematikada siz to'g'ri chiziqlarni kesib o'tish orasidagi yoki to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni topishingiz kerak. Ko'pincha vektor usuli 14 -masalani klassikaga qaraganda bir necha barobar tezroq hal qiladi.

V maktab o'quv dasturi matematikada vektorlarning faqat nuqta hosilasi o'rganiladi.
Ko'rinib turibdiki, skalyarga qo'shimcha ravishda, ikkita vektorni ko'paytirish natijasida vektor olinadigan o'zaro faoliyat mahsulot ham mavjud. Fizikadan imtihondan o'tganlar Lorentz kuchi va Amper kuchi nima ekanligini biladilar. Bu kuchlarni topish formulalariga kiritilgan vektorli mahsulotlar.

Vektorlar juda foydali matematik vosita. Bunga birinchi yilda amin bo'lasiz.

Mashinaning ichida va u bilan bog'liq bo'lgan tashqi muhitda (masalan, kompyuter tomonidan boshqariladigan texnologik jarayonda) joriy dasturning kompyuterini bajarish paytida, mashinadan zudlik bilan javob berishni talab qiladigan hodisalar sodir bo'lishi mumkin.

Reaktsiya shundan iboratki, mashina joriy dasturni qayta ishlashni to'xtatadi va ushbu hodisa uchun maxsus ishlab chiqilgan boshqa dasturni bajarishga kirishadi. Ushbu dastur tugagandan so'ng, kompyuter uzilgan dasturni bajarishga qaytadi.

Ko'rib chiqilayotgan jarayon uzilish dasturlari deb ataladi. Dasturlarni to'xtatishni talab qiladigan hodisalarning sodir bo'lish vaqtlari oldindan noma'lum bo'lishi va shuning uchun dasturlashda hisobga olinmasligi juda muhim.

To'xtatishni talab qiladigan har bir voqea kompyuterga uzilish so'rovlarini bildiruvchi signal bilan birga keladi. To'xtatish so'rovi bilan so'ralgan dastur, so'rov paydo bo'lishidan oldin mashina tomonidan bajariladigan uzilishli dasturdan farqli o'laroq, uzilish dasturi deb ataladi.

Dasturlarni uzish qobiliyati kompyuterning muhim me'moriy xossasi bo'lib, u parallel ravishda ketma -ket ketadigan, protsessordan ixtiyoriy vaqtda nazorat va texnik xizmat ko'rsatishni talab qiladigan bir qancha jarayonlar mavjud bo'lganda, protsessor ishidan samarali foydalanish imkonini beradi. Bu, birinchi navbatda, protsessor va mashinaning periferik qurilmalarining o'z vaqtida parallel ishlashini tashkil etish, shuningdek, texnologik jarayonlarni real vaqt rejimida boshqarish uchun kompyuterlardan foydalanish bilan bog'liq.

Kompyuter dasturchidan ko'p harakat talab qilmasdan, dastur uzilishlarini yuqori tezlikda amalga oshira olishi uchun, mashina tegishli apparat va dasturiy ta'minot bilan ta'minlanishi kerak, ularning kombinatsiyasi dasturni uzish tizimi deb ataladi.

Interrupt tizimining asosiy funktsiyalari:

uzilgan dastur holatini saqlash va uzilish dasturiga o'tishni amalga oshirish

to'xtatilgan dasturning holatini tiklash va unga qaytish.

To'xtatish vektori "uzilish dasturining boshlang'ich holati" ning vektori deb ataladi. To'xtatish vektori uzilish dasturiga o'tish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarni, shu jumladan uning boshlanish manzilini o'z ichiga oladi. Har bir uzilish so'rovida (raqamida) tegishli uzilish dasturining bajarilishini boshlashga qodir bo'lgan uzilish vektori mavjud. To'xtatish vektorlari maxsus ajratilgan sobit xotira joylarida joylashgan - uzilishlar vektori jadvali.

To'xtatilgan dasturga o'tish tartibida asosiy o'rinni protsessorning tegishli registr (laridan) xotiraga (xususan, stekka) uzatish tartibi egallaydi, bu uzilgan dasturning joriy holat vektorini saqlash uchun ( shuning uchun siz uning bajarilishiga qaytishingiz mumkin) va protsessor boshqaruvi o'tkaziladigan uzilish dasturining uzilish vektorini registrga (registrlarga) yuklang.

To'xtatish tasnifi

To'xtatish so'rovlari kompyuterning o'zida va uning tashqi muhitida bo'lishi mumkin. Birinchisiga, masalan, kompyuterda uskunaning ishlashida xato paydo bo'lishi, bitli tarmoqning to'lib ketishi, 0 ga bo'linishga urinish, ma'lum bir xotira maydonidan chiqish kabi hodisalar ro'y berganda so'rovlar kiradi. dastur, periferik qurilmadan kirish-chiqish operatsiyasini so'rash, periferiya qurilmasi tomonidan kirish / chiqish operatsiyasining bajarilishi yoki bu operatsiya paytida alohida vaziyatning paydo bo'lishi va h.k. ularning paydo bo'lish lahzalarini, qoida tariqasida, oldindan aytib bo'lmaydi. Tashqi muhitda so'rovlar boshqa kompyuterlardan, favqulodda vaziyatlar va boshqa jarayon sensorlaridan kelib chiqishi mumkin.

Intel 80x86 mikroprotsessorlar oilasi uchta turdagi hodisalar natijasida kelib chiqadigan 256 darajali oldindan uzilishlarni qo'llab -quvvatlaydi:

ichki apparat uzilishlari

tashqi apparat uzilishlari

dasturiy ta'minot uzilib qoladi

Ichki apparat uzilib qoldi, ba'zan nosozliklar deb ataladigan, dasturni bajarish jarayonida sodir bo'ladigan ba'zi hodisalar, masalan, 0 ga bo'lish urinishi natijasida hosil bo'ladi. Bunday hodisalarga ma'lum uzilish raqamlarini belgilash protsessorga qattiq ulangan va uni o'zgartirib bo'lmaydi.

Tashqi apparat uzilishlari periferik kontrollerlar yoki koprosessorlar tomonidan tetiklanadi (masalan, 8087/80287). Uzilish manbalari protsessorning maskalanmaydigan uzilish piniga (NMI) yoki maskalanadigan uzilish piniga (INTR) ulanadi. NMI liniyasi odatda xotira pariteti xatolari yoki elektr uzilishlari kabi halokatli hodisalar tufayli uzilishlar uchun mo'ljallangan.

Dasturiy ta'minot uzilib qoldi... Har qanday dastur buyruqni bajarish orqali sinxron dasturiy uzilishni boshlashi mumkin int... MS-DOS modullari va amaliy dasturlari bilan oʻzaro aloqada boʻlish uchun 20H dan 3FH gacha boʻlgan uzilishlardan foydalanadi (masalan, MS-DOS funksiya menejeriga buyruqni bajarish orqali kirish mumkin). int 21h). ROM BIOS dasturlari va IBM PC dasturlari yuqori yoki pastroq turli uzilish raqamlarini ishlatadi. Uzilish raqamlarining bunday taqsimoti shartli bo'lib, hech qanday tarzda apparat tomonidan o'rnatilmagan.

Interrupt vektor jadvali

Interrupt ishlov beruvchisining manzilini uzilish raqami bilan bog'lash uchun operativ xotiraning birinchi kilobaytini egallagan uzilish vektor jadvali qo'llaniladi. Ushbu jadval 0000: 0000 dan 0000: 03FFh gacha bo'lgan manzil oralig'ida joylashgan bo'lib, 256 elementdan iborat - uzilishlar ishlov beruvchilarining uzoq manzillari.

Uzilishlar vektorlari jadvalidagi yozuvlar uzilish vektorlari deyiladi. Jadval yozuvining birinchi so'zi ofset komponentini, ikkinchisida esa uzilish ishlovchisi manzilining segment komponentini o'z ichiga oladi.

0 raqami bo'lgan uzilish vektori 0000: 0000 manzilida, 1 raqami 0000: 0004 manzilida va hokazo.Umuman olganda, uzilish vektorining manzili uzilish sonini 4 ga ko'paytirish orqali topiladi.

Jadval qisman asosiy BIOS kirish-chiqish tizimi tomonidan apparat tekshirilgandan so'ng va operatsion tizim yuklanishdan oldin, qisman MS-DOS ishga tushganda ishga tushiriladi. MS-DOS operatsion tizimi BIOS tomonidan o'rnatilgan ba'zi uzilish vektorlarini o'zgartirishi mumkin.

Vektorli uzilishlar jadvali

Raqam	Tavsif
	Bo'linish xatosi. DIV yoki IDIV buyrug'i bajarilgandan so'ng, agar bo'linish natijasida toshib ketish sodir bo'lsa (masalan, 0 ga bo'linganda) avtomatik ravishda chaqiriladi. Odatda, bu uzilish ishlov berilganda, MS-DOS xato xabarini ko'rsatadi va dasturning bajarilishini to'xtatadi. Bunday holda, i8086 protsessorida qaytish manzili bo'linish buyrug'idan keyingi buyruqni, i80286 protsessor va keyingi modellar uchun esa uzilishga sabab bo'lgan buyruqning birinchi baytini ko'rsatadi.
	Bosqichma-bosqich rejimning uzilishi. Har bir mashina ko'rsatmasi bajarilgandan so'ng chiqariladi, agar TF kuzatuv biti bayroqlar so'zida o'rnatilgan bo'lsa. Dasturlarni tuzatish uchun ishlatiladi. Ushbu uzilish MOV va POP ko'rsatmalari bilan ma'lumotlarni segment registrlariga o'tkazgandan keyin yaratilmaydi.
	Uskuna niqoblanmaydigan uzilish. Ushbu uzilish turli xil mashinalarda turli usullarda ishlatilishi mumkin. Odatda, bu RAMda tenglik xatosi bo'lganida va protsessordan uzilish so'ralganda hosil bo'ladi.
	Kuzatish uchun uzilish. CCh kodli bitta baytli mashina buyrug'ini bajarishda ishlab chiqariladi va odatda nosozliklarni tuzatuvchi tomonidan to'xtash nuqtasini o'rnatish uchun ishlatiladi.
	To'lib ketish. Agar OF to'lib ketish bayrog'i o'rnatilgan bo'lsa, INTO mashinasi buyrug'i tomonidan ishlab chiqariladi. Agar bayroq o'rnatilmagan bo'lsa, INTO buyrug'i NOP sifatida bajariladi. Ushbu uzilish arifmetik amallarni bajarishda xatolarni qayta ishlash uchun ishlatiladi.
	Ekran nusxasini chop eting. Agar foydalanuvchi tugmachani bosgan bo'lsa, hosil bo'ladi Odatda MS-DOS dasturlarida ekran tasvirini chop etish uchun ishlatiladi. i80286 va undan yuqori protsessor modellari uchun, agar tekshirilgan qiymat belgilangan diapazondan tashqarida bo'lsa, u BOUND mashinasi ko'rsatmasini bajarishda hosil bo'ladi.
	Aniqlanmagan kod yoki buyruq uzunligi 10 baytdan katta
	Arifmetik protsessor bo'lmagan maxsus holat
	IRQ0 - intervalli taymer uzilishi sekundiga 18,2 marta sodir bo'ladi
	IRQ1 - klaviatura uzilishi. Foydalanuvchi tugmachalarni bosganda va qo'yib yuborganda hosil bo'ladi. Klaviaturadan ma'lumotlarni o'qish uchun ishlatiladi
	IRQ2 - apparat uzilishlarini kaskadlash uchun ishlatiladi
	IRQ3 - COM2 asenkron portini uzish
	IRQ4 - COM1 asenkron portini uzish
	IRQ5 - qattiq disk boshqaruvchisidan uzilish (faqat IBM PC / XT kompyuterlari uchun)
	IRQ6 - kirish -chiqish operatsiyasi tugagandan so'ng, disketa diskini boshqaruvchi tomonidan uzilish hosil bo'ladi
	IRQ7 - parallel adapter uzilishi. Adapterga ulangan printer keyingi operatsiyani bajarishga tayyor bo'lganda ishlab chiqariladi. Odatda ishlatilmaydi
	Video adapterlarga texnik xizmat ko'rsatish
	Tizimdagi qurilmalarning konfiguratsiyasini aniqlash
	RAM hajmini aniqlash
	Disk tizimiga texnik xizmat ko'rsatish
	Asenkron ketma -ket adapter bilan ishlash
	Kengaytirilgan xizmat
	Klaviaturaga texnik xizmat ko'rsatish
	Printerni saqlash
	BASIC -ni ROM -da ishga tushiring
	Soat xizmati
	Foydalanuvchi tugmalar birikmasini bosganda paydo bo'ladigan uzilishlar ishlovchisi
	Taymer apparat uzilishi ishlovchisi tomonidan soniyasiga 18,2 marta chaqiriladigan dasturiy uzilish
	6845 video adapter tekshiruvi uchun video jadval manzili
	Floppy parametrlar jadvaliga ko'rsatgich
	ASCII kodlari 128-255 bo'lgan belgilar uchun grafik jadvalining ko'rsatgichi
	MS-DOS tomonidan qo'llaniladi yoki MS-DOS uchun ajratilgan
	Foydalanuvchi dasturlari uchun ajratilgan uzilishlar
	Ishlatilmagan
	IRQ8 - real vaqtda soat uzilishi
	IRQ9 - EGA tekshirgichidan uzilish
	IRQ10 - zahiralangan
	IRQ11 - zahiralangan
	IRQ12 - himoyalangan
	IRQ13 - arifmetik protsessordan uzilish
	IRQ14 - qattiq disk boshqaruvchisidan uzilish
	IRQ15 - himoyalangan
	Ishlatilmagan
	BASIC uchun ajratilgan
	BASIC tarjimoni tomonidan ishlatiladi
	Ishlatilmagan

IRQ0 - IRQ15 deb belgilangan uzilishlar tashqi apparat uzilishlaridir.

Xizmat buyurtmasini to'xtatish

Protsessor uzilish signalini aniqlagandan so'ng, dastur holati so'zini (turli protsessor bayroqlarini belgilaydigan), dastur segmenti registrini (CS) va ko'rsatma ko'rsatgichini (IP) mashina stekiga suradi va uzilish tizimini o'chiradi. Shundan so'ng, protsessor ishlov beruvchining manzilini vektorli jadvaldan olish va shu manzilda bajarishni davom ettirish uchun uzilish jarayonida tizim avtobusida o'rnatilgan 8-bitli raqamni (uzilish raqami) ishlatadi.

Agar uzilish so'rovlarining bir nechta manbalari mavjud bo'lsa, kiruvchi so'rovlarga xizmat ko'rsatishda ma'lum tartib (intizom) o'rnatilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, so'rovlar (va tegishli to'xtatuvchi dasturlar) o'rtasida birinchi navbatda bir nechta kiruvchi so'rovlarning qaysi biri birinchi navbatda ko'rib chiqilishi kerakligini aniqlash va bu so'rov (to'xtatuvchi dastur) ma'lum bir dasturni to'xtatishga haqli yoki yo'qligini aniqlash kerak. Agar o'rnatilgan uzilish so'rovlarining eng yuqori ustuvorligi protsessor tomonidan ustuvorlik darajasida bajarilgan dasturdan oshmasa, uzilish so'rovi e'tiborga olinmaydi yoki unga xizmat ko'rsatish joriy dasturning bajarilishi tugagunga qadar qoldiriladi. Har bir uzilish ma'lum bir raqamga mos keladi, bu esa ustuvorlikni aniqlaydi. Yuqori ustuvorlik past raqamli so'rovdir, ya'ni. Interrupt 0 eng yuqori ustuvorlikka ega va 255 eng past ustuvorlikka ega.

Boshqaruvni uzilish ishlovchisiga topshirish paytidagi tizimning holati, uzilish tashqi qurilma tomonidan boshlanganmi yoki dastur tomonidan INT buyrug'i bajarilgani bilan bog'liq emas. Ushbu holat tashqi uzilish ishlov beruvchilarini yozish va sinovdan o'tkazishda foydalanish uchun qulaydir, ularni oddiy dasturiy vositalar yordamida deyarli to'liq tuzatish mumkin.

Argumentlar registrlar yoki to'plam orqali uzilish ishlovchilariga uzatiladi.

X86 mikroprotsessorining dasturlash modeli. Foydalanuvchi registrlarining tasnifi, ro'yxati va maqsadi.

Mikroprotsessorning dasturiy modeli deganda uning ko'rinadigan va dasturlash uchun mavjud bo'lgan qismi tushuniladi. Biz dasturchi modelini u yoki bu darajada 32 ta registrni o'z ichiga olgan i80486 protsessori misolida ko'rib chiqamiz. Bu registrlarni ikkita katta guruhga bo'lish mumkin:

16 foydalanuvchi reestri, bu vazifani bajarish uchun foydalanuvchi o'z dasturlarida bemalol foydalanishi mumkin;

Har xil ish rejimlarini, xizmat ko'rsatish funktsiyalarini qo'llab -quvvatlashga mo'ljallangan 16 ta tizim registrlari.

Registrlar Protsessorning ichki yadrosi yaqinida joylashgan yuqori tezlikdagi xotira maydonlari deyiladi. Ularga kirish operativ xotira hujayralariga qaraganda beqiyos tezroq. Shunga ko'ra, registrlarda operandlari bo'lgan mashina ko'rsatmalari imkon qadar tezroq bajariladi.

Maxsus registrlarga quyidagilar kiradi:

sakkizta 32 bitli registrlar, ular dasturchilar tomonidan ma'lumotlar va manzillarni saqlash uchun ishlatilishi mumkin. Ularga umumiy maqsadli registrlar (RON) deyiladi:

oltita segmentli registrlar:

holat va nazorat registrlari:

bayroq registri EFlags / Flags;

EIP / IP yo'riqnomasi ko'rsatgichi reestri.

Guruch. 1.3I486 mikroprotsessorli foydalanuvchi registrlari

Ro'yxatdan o'tish kitoblarining ko'p nomlari qiyshiq ajratgichlar bilan yozilgan. Shuni ta'kidlash kerakki, bu alohida registrlar emas - ular bir xil 32 bitli katta registrning qismlari. Ular dasturda alohida ob'ektlar sifatida ishlatilishi mumkin. Bu i8086 dan boshlab, Intel mikroprotsessorlarining 16 bitli past modellari uchun yozilgan dasturlarning ishlashini ta'minlash uchun qilingan. I486 va Pentium mikroprotsessorlari asosan 32 bitli registrlarga ega. Ularning soni, segment registrlaridan tashqari, i8086 bilan bir xil, lekin o'lchami kattaroqdir, bu ularning belgilashlarida aks etadi - ular E (kengaytirilgan) prefiksiga ega.

Keling, maxsus registrlarning tarkibi va maqsadini ko'rib chiqaylik.

Umumiy maqsadli registrlar

Bu guruhdagi barcha registrlar ularning "pastki" qismlariga kirishga ruxsat beradi (1.3 -rasmga qarang). E'tibor bering, ushbu registrlarning faqat pastki 16 va 8 bitli qismlari mustaqil ob'ektlar sifatida ishlatilishi mumkin. Ushbu registrlarning yuqori 16 bitlari mustaqil ob'ektlar sifatida mavjud emas. Bu, yuqorida aytib o'tilganidek, Intel mikroprotsessorlarining pastki 16-bitli modellari bilan muvofiqligi uchun amalga oshiriladi.

Keling, umumiy maqsadli registrlar guruhiga kiruvchi registrlarni batafsil sanab o'tamiz. Ushbu registrlar jismoniy jihatdan mikroprotsessorda arifmetik mantiq birligi (ALU) ichida joylashganligi sababli, ular odatda ALU registrlari deb ataladi:

EAX / AX / AH / AL (akkumulyator registri) - batareya... U oraliq ma'lumotlarni saqlash uchun ishlatiladi. Ba'zi buyruqlarda bu registrdan foydalanish talab qilinadi;

EBX / BX / BH / BL (Asosiy registr) - tayanch ro'yxatdan o'tish U qaysidir ob'ektning asosiy manzilini xotirada saqlash uchun ishlatiladi;

ECX / CX / CH / CL (Hisoblagich registri) - ro'yxatdan o'tish- taymer... Ba'zi takrorlanadigan amallarni bajaradigan buyruqlarda ishlatiladi. Uni ishlatish ko'pincha tegishli buyruq algoritmida yashirin va yashirin bo'ladi. Masalan, tsiklni tashkil qilish buyrug'i, boshqaruvni ba'zi manzilda joylashgan buyruqqa o'tkazishdan tashqari, bittaga kamayadi va ECX / CX registrining qiymatini tahlil qiladi;

EDX / DX / DH / DL (Ma'lumotlar reestri) - registr ma'lumotlar... Xuddi EAX / AX / AH / AL registri kabi, u oraliq ma'lumotlarni saqlaydi. Ba'zi buyruqlarda undan foydalanish talab qilinadi; ba'zi buyruqlar uchun bu bilvosita sodir bo'ladi (masalan, ko'paytirish va bo'lish).

Quyidagi ikkita registrlar zanjirband qilish operatsiyalarini qo'llab-quvvatlash uchun ishlatiladi, ya'ni har birining uzunligi 32, 16 yoki 8 bit bo'lishi mumkin bo'lgan elementlar qatorini ketma-ket qayta ishlashni amalga oshiradi:

ESI / SI (Manba indeksi reestri) - indeks manba... Zanjirlash operatsiyalaridagi bu registr manba zanjiridagi elementning joriy manzilini o'z ichiga oladi;

EDI / DI (Destination Index registri) - indeks qabul qiluvchi(qabul qiluvchi). Zanjirlash operatsiyalaridagi ushbu registrda maqsad zanjiridagi joriy manzil mavjud.

Mikroprotsessor arxitekturasida apparat va dasturiy ta'minot darajasida ma'lumotlar strukturasi, masalan suyakka .

Stak Bu dastur ma'lumotlarini vaqtincha saqlash uchun maxsus ajratilgan xotira maydoni. Mikroprosessor stack bilan ishlashni quyidagi printsipga muvofiq tashkil qiladi: bu sohadagi oxirgi element birinchi bo'lib olinadi.

Mikroprotsessor buyruqlar tizimida stack bilan ishlash uchun maxsus buyruqlar mavjud va mikroprotsessor dasturiy ta'minot modelida buning uchun maxsus registrlar mavjud:

ESP / SP (Stack Pointer registri) - ro'yxatga olish ko'rsatgich suyakka... Joriy bo'lak segmentining ustki qismidagi ko'rsatgichni o'z ichiga oladi.

EBP / BP (Base Pointer reestri) - registr stek ramkasining asosiy ko'rsatkichi... Stack ichidagi ma'lumotlarga tasodifiy kirishni tashkil qilish uchun mo'ljallangan.

Stekdan foydalanish xususiyatlari 4 -modulda "i80486 mikroprotsessorining buyruqlari", "Stek bilan ishlash buyruqlari" bo'limida batafsilroq muhokama qilinadi.

Aslida, ALU registrlarining funktsional maqsadi qattiq emas. Registrlarning aksariyati operandlarni deyarli har qanday kombinatsiyada saqlash uchun dasturlashda ishlatilishi mumkin. Lekin, yuqorida aytib o'tilganidek, ba'zi buyruqlar o'z harakatlarini bajarish uchun sobit registrlardan foydalanadi.

Segment registrlari

Mikroprotsessorli dasturiy ta'minot modeli oltita segmentli registrga ega: CS, SS, DS, ES, FS, GS. Ularning mavjudligi Intel mikroprotsessorlari tomonidan RAMni tashkil etish va ishlatishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Bu mikroprotsessor apparati dasturning tizimli tashkil etilishini uchta qismdan iborat ko'rinishida qo'llab-quvvatlaydi. segmentlar... Shunga ko'ra, bu xotira tashkiloti deyiladi segmental.

Muayyan vaqtda dasturga kira oladigan va mo'ljallangan segmentlarni ko'rsatish uchun segment registrlari... Aslida, biroz tuzatish bilan, keyinroq ko'rib chiqamiz, bu registrlar tegishli segmentlar boshlanadigan xotira manzillarini o'z ichiga oladi. Mashina buyrug'ini qayta ishlash mantig'i shunday tuzilganki, ko'rsatma olganda, dastur ma'lumotlariga yoki to'plamga kirishda, aniq segment registrlaridagi manzillar aniq ishlatiladi. Segmentlarning turlari va ularga tegishli registrlar ushbu modulning "Segment xotirasini tashkil qilish" 3 -bo'limida batafsilroq muhokama qilinadi.

Holat va nazorat registrlari

Mikroprosessor ikkita registrni o'z ichiga oladi, ular doimiy ravishda mikroprotsessorning holati va uning buyruqlari konveyerga yuklangan dastur haqida ma'lumotni o'z ichiga oladi:

ro'yxatdan o'tish bayroqlar EFlag / bayroqlar;

ro'yxatdan o'tish buyruq ko'rsatgichi EIP / IP.

Ushbu registrlar yordamida siz buyruqlar bajarilishining natijalari haqida ma'lumot olishingiz va mikroprotsessorning holatiga ta'sir qilishingiz mumkin. Keling, ushbu registrlarning maqsadi va mazmunini batafsil ko'rib chiqaylik:

EFlags/ Bayroqlar(Bayroqlar ro'yxati). Bu registrning alohida bitlari o'ziga xos funktsional maqsadga ega va bayroqlar deb ataladi. Ushbu registrning pastki qismi i8086 uchun Flags registriga to'liq o'xshaydi. Shaklda. 1.4 EFlags registrining mazmunini ko'rsatadi.

Foydalanish xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, EFlags / Flags registrining bayroqlarini uch guruhga bo'lish mumkin:

8 ta holat bayroqlari... Ushbu bayroqlarni mashina ko'rsatmalari bajarilgandan so'ng o'zgartirish mumkin. Vaziyat bayroqlari EFlags registrlari arifmetik yoki mantiqiy amallarni bajarish natijasining o'ziga xos xususiyatlarini aks ettiradi. Bu hisoblash jarayonining holatini tahlil qilish va shartli tarmoq ko'rsatmalari va subroutine qo'ng'iroqlar yordamida unga munosabat bildirish imkonini beradi. Jadval 1.1 asosiy holat bayroqlarini sanab o'tadi va ularning maqsadini ko'rsatadi;

1 nazorat belgisi... DF (yo'nalish bayrog'i). U EFlags registrining 10-bitida joylashgan va zanjirli buyruqlar tomonidan ishlatiladi. DF bayrog'i qiymati ushbu operatsiyalarda elementlarni elementlar bo'yicha qayta ishlash yo'nalishini belgilaydi: chiziq boshidan oxirigacha (DF = 0) yoki aksincha, chiziq oxiridan boshigacha (DF = 1). DF bayrog'i bilan ishlash uchun maxsus buyruqlar mavjud: cld(DF bayrog'ini olib tashlang) va std(DF bayrog'ini o'rnating). Bu buyruqlardan foydalanish DF bayrog'ini algoritmga mos ravishda keltirish va satrlar ustida amallarni bajarishda hisoblagichlarni avtomatik ravishda oshirish yoki kamaytirishni ta'minlash imkonini beradi;

5 ta tizim bayroqchasi Bu kirish -chiqish, niqobli uzilishlar, nosozliklarni tuzatish, vazifalarni almashtirish va 8086 virtual rejimini boshqaradi. Ilovalarga bu bayroqlarni keraksiz o'zgartirish tavsiya etilmaydi, chunki bu ko'p hollarda dasturni to'xtatadi. Jadval 1.2 tizim bayroqlari va ularning maqsadini ko'rsatadi.

Guruch. 1.4Tarkibni ro'yxatdan o'tkazish EFlaglar

1.1 -jadval

Asosiy holat bayroqlari

Mnemonik bayroq	Bayroq	Bit raqami EFlags
	Bayroq ko'taring		1 - arifmetik operatsiya natijaning eng muhim qismidan uzatishni amalga oshirdi. Eng muhimi operandning o'lchamiga qarab 7, 15 yoki 31-bit; 0 - transfer bo'lmadi
	Parite bayrog'i		Natijaning 1 - 8 eng kam ahamiyatli bitlari (bu bayroq har qanday hajmdagi operandning 8 ta eng kam ahamiyatli bitlari uchun) juft son birliklar; 0 - 8 natijaning eng kam ahamiyatli bitlarida toq sonlar mavjud
	Nol bayroq		1 - natija nolga teng; 0 - natija nolga teng emas
	Bayroq belgisi		Natijaning eng muhim bitining holatini aks ettiradi (8, 16 yoki 32 bitli operandlar uchun mos ravishda 7, 15 yoki 31 bitlar): 1 - natijaning eng muhim biti 1; 0 - natijaning eng muhim biti 0
	To'liq bayroq		Bayroq bayrog'i arifmetik operatsiyalar paytida muhim bitni yo'qotish faktini qayd qilish uchun ishlatiladi: 1 - operatsiya natijasida o'tkazish (qarz olish) natijaning eng muhim, bit bitidan (bit 7, 8, 16 yoki 32 bitli operandlar uchun mos ravishda 15 yoki 31); 0 - operatsiya natijasida natijaning eng muhim belgisiga (qarzidan) o'tkazma (qarz) yo'q

Ushbu maqolada biz ko'p sonli geometriya muammolarini oddiy arifmetikaga tushirishga imkon beradigan bitta "sehrli tayoqchani" muhokama qilishni boshlaymiz. Ushbu "tayoq" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va boshqalarni qurishda o'zingizni ishonchsiz his qilganingizda. Bularning barchasi ma'lum bir tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalar va mulohazalardan deyarli to'liq mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "Koordinatalar usuli"... Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektorni qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa)
5. O'rta nuqta koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qilgansiz? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xususiyatlari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun bunday nomni oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar asl shakl tekis bo'lsa, koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchovli bo'lsa, koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan imtihonning B qismida planimetriya bo'yicha muammolarni hal qilishda foydali bo'lib chiqadi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) masalalarini echish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan bo'lardi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasidan. U bilan birinchi uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7 -sinfda, siz borliq haqida bilib olganingizda chiziqli funktsiya, masalan. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy sonni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisobladingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Oxirida nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyin siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (birlik segmenti sifatida qancha katakchaga ega bo'lasiz) va unda siz olgan nuqtalarni belgilab qo'ydingiz, so'ngra ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz, natijada chiziq. funksiyaning grafigi.

Bu erda sizga batafsilroq tushuntirilishi kerak bo'lgan bir nechta fikrlar mavjud:

1. Siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz, shunda hamma narsa rasmga chiroyli va ixcham mos keladi.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tadi deb taxmin qilinadi.

3. Ular to'g'ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishgan nuqtasi bosh deb ataladi. Bu harf bilan ko'rsatilgan.

4. Nuqtaning koordinatalarini yozishda, masalan, qavs ichida chap tomonda, o'qning o'ng tomonida, o'qi bo'ylab koordinatasi joylashgan. Ayniqsa, bu shuni anglatadiki

5. Har qanday nuqtani yoqish uchun koordinata o'qi, uning koordinatalarini ko'rsatishingiz kerak (2 ta raqam)

6. Eksaning istalgan nuqtasi uchun,

7. Eksaning istalgan nuqtasi uchun,

8. O'q abscissa o'qi deb ataladi.

9. Eksa y o'qi deb ataladi.

Endi siz bilan keyingi qadamni qo'yaylik: ikkita nuqtani belgilang. Keling, bu ikki nuqtani segment bilan bog'laymiz. Va biz o'qni xuddi segmentdan nuqtaga chizgandek qo'yamiz: ya'ni biz o'z segmentimizni yo'naltiramiz!

Yodingizda bo'lsin, yo'nalish chizig'i yana nima deb ataladi? To'g'ri, bu vektor deb ataladi!

Shunday qilib, agar biz nuqta bilan nuqta bog'lasak, bundan tashqari, boshi A, oxiri B nuqtasi bo'ladi. keyin vektorni olamiz. Siz ham bu shakllanishni 8-sinfda qilgansiz, esingizdami?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektorning koordinatalari deb ataladi. Savol tug'iladi: sizning fikringizcha, vektorning boshi va oxiri koordinatalarini bilish uning koordinatalarini topish uchun etarlimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Shunday qilib, vektordagi nuqta boshi va a oxiri bo'lgani uchun vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo'ladi. Keyin:

Diqqat bilan qarang, vektorlar qanday va? Ularning yagona farqi - koordinatadagi belgilar. Ular qarama -qarshi. Bu faktni shunday yozish odat tusiga kirgan:

Ba'zida, agar aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, qaysi nuqta vektorning boshi va qaysi qismi oxiridir, u holda vektorlar ikkita katta harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi biroz amaliyot O'zingiz va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi muammoni biroz qiyinroq hal qiling:

Nuqtada na-cha-lom bilan vektor ko-or-di-na-tyga ega. Yo'q-di-bu abs-cis-su nuqtalari.

Hamma narsa prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men tizimni vektorning koordinatalari nima ekanligini aniqlash orqali tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari, siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin
2. Vektorlarni bir -biridan ajratish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nol bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi aniq geometrik tasvirga ega. Masalan, uchburchak (yoki parallelogramma) qo`shish va ayirish qoidasi:

Vektor kengayadi yoki qisqaradi yoki songa ko'paytirilganda yoki yo'nalishini o'zgartiradi:

Biroq, bu erda bizni koordinatalar bilan nima bo'layotgani qiziqtiradi.

1. Ikki vektorni qo‘shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo‘yicha qo‘shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko'paytirganda (bo'lishda) uning barcha koordinatalari shu songa ko'paytiriladi (bo'linadi):

Masalan:

· Nay-di-te ko-or-di-nat vek-to-ra.

Keling, har bir vektorning koordinatalarini topaylik. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning uchlari boshqacha. Keyin, . Endi vektor koordinatalarini hisoblaylik. Keyin hosil bo'lgan vektor koordinatalarining yig'indisi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

Vektorning koordinatalari yig'indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqaylik: bizda koordinata tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani orqali belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Nima qildim? Birinchidan, men ulandim nuqtalar va shuningdek nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim va nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Bu nimasi bilan diqqatga sazovor? Ha, siz va men deyarli hamma narsani bilamiz to'g'ri uchburchak... Xo'sh, Pifagor teoremasi - aniq. Qidirilgan segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlari esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: Segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va shunga mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar siz segmentlarning uzunligini mos ravishda bilan belgilasangiz, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan farqlar kvadratlari yig'indisining ildizidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan chiziqning uzunligidir. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bundan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun ozgina mashq qilaylik:

Misol uchun, agar, va orasidagi masofa teng bo'lsa

Yoki boshqacha yo'l tutaylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi o'zingiz mashq qiling:

Vazifa: belgilangan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formulada yana ikkita muammo bor, lekin ular biroz boshqacha ko'rinadi:

1. Asr-to-ra uzunligining Nay-di-te kvadrati.

2. Nay-di-te kvadrat-kalamush asrdan to ragacha

Menimcha, siz ular bilan oson muomala qildingizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu e'tibor uchun) Biz allaqachon vektorlarning koordinatalarini topdik va undan oldin :. Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadratiga teng bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetik, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi vazifalarni birdek tasniflash mumkin emas, ular umumiy bilim va oddiy rasm chizish qobiliyatiga ega.

1. Nay-di-te sinus burchakning on-clo-on-dan-kesimi, ko-uni-nya-yu-shcha-chi nuqta, abscissa o'qi bilan.

va

Biz bu erda nima qilmoqchimiz? Siz o'q bilan o'q orasidagi burchakning sinusini topishingiz kerak. Sinusni qanday qidirishni qaerdan bilamiz? To'g'ri, to'g'ri burchakli uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va bo'lgani uchun, segment teng va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Eslatib o'taman, sinus - bu qarama -qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Bizga nima qoldi? Gipotenuzani toping. Siz buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasi bo'yicha (oyoqlari ma'lum!) Yoki ikki nuqta orasidagi masofaning formulasi bilan (aslida, birinchi yo'l bilan bir xil!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U - nuqta koordinatalari bo'yicha.

Maqsad 2. Per-pen-di-ku-lar nuqtadan abs-ciss o'qiga tushiriladi. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi - bu abscissa o'qini (o'qi) kesib o'tadigan nuqta, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligini ko'rsatadi:. Bizni abscissa - ya'ni "x" komponenti qiziqtiradi. Bu teng.

Javob: .

Maqsad 3. Oldingi masala sharti bo'yicha, nuqtadan koordinata o'qlariga masofalar yig'indisini toping.

Vazifa odatda oddiy, agar siz nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofani bilsangiz. Sen bilasan? Umid qilaman, lekin baribir eslayman:

Xo'sh, mening rasmimda, biroz balandroqda, men allaqachon bitta perpendikulyar chizganman? U qaysi o'qga to'g'ri keladi? O'qga. Va keyin uning uzunligi nimaga teng? Bu teng. Endi o'qga perpendikulyarni o'zingiz chizib, uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-masala shartlarida nuqtaning abscissa o'qiga nisbatan simmetrik nuqta ordinatasini toping.

O'ylaymanki, siz simmetriya nima ekanligini intuitiv ravishda tushundingizmi? Ko'p narsalarga ega: ko'plab binolar, stollar, samolyotlar, ko'plab geometrik shakllar: to'p, silindr, kvadrat, romb va boshqalar. Qisqacha aytganda, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: raqam ikki (yoki undan ko'p) bir xil yarmidan iborat. Bu simmetriya eksenel deb ataladi. Xo'sh, o'q nima? Aynan shu chiziq bo'ylab, bir raqamni, nisbatan aytganda, teng yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri chiziq):

Endi muammomizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qidir. Bu shuni anglatadiki, biz nuqtani belgilashimiz kerak, shunda o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydi. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz ham shunday qildingizmi? OK! Topilgan nuqtada bizni ordinata qiziqtiradi. U teng

Javob:

Endi ayting-chi, soniyalar haqida o'ylab ko'ring, A nuqtaga simmetrik nuqtaning ordinataga nisbatan abscissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz qanday? To'g'ri javob:.

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

Absissa o'qiga nisbatan nosimmetrik nuqta koordinatalarga ega:

Ordinata o'qi atrofidagi nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Xo'sh, endi bu butunlay qo'rqinchli vazifa: nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini toping. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening rasmimni ko'ring!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-masala: Ballar ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te yoki-di-na-tu nuqtalari.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinatalar usuli. Men birinchi navbatda koordinata usulini qo'llayman, keyin uni boshqacha hal qilish usullarini aytib beraman.

Nuqtaning abssissasi ga teng ekanligi aniq. (u nuqtadan abscissa o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatni topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadi. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini toping:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Kesishish nuqtasi harf bilan belgilanadi.

Segment uzunligi. (Biz ushbu nuqtani muhokama qilgan muammoning o'zini toping), keyin Pifagor teoremasi bo'yicha segment uzunligini topamiz:

Chiziqning uzunligi uning ordinati bilan bir xil.

Javob: .

Boshqa yechim (men buni tasvirlaydigan rasmni beraman)

Yechim jarayoni:

1. O'zini tutish

2. Nuqta va uzunlikning koordinatalarini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi segment uzunligi jumboq:

Ballar paydo bo'ladi-la-yut-sya ver-shi-na-mi tre-ko'mir-ni-ka. Nay-di-te-uning o'rta chizig'ining uzunligi, paral-lel-noy.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin bu vazifa siz uchun asosiy hisoblanadi. Agar eslay olmasangiz, men sizga eslatib qo'yaman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama -qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U taglikka parallel va uning yarmiga teng.

Baza chiziq segmentidir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi va tengdir.

Javob: .

Sharh: bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Bu orada - siz uchun bir nechta vazifalar, ularni bajaring, ular juda oddiy, lekin ular koordinatalar usuli yordamida "qo'lingizni olishga" yordam beradi!

1. Ballar-ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te - uning o'rta chizig'ining uzunligi.

2. Nuqtalar va are-la-are-Xia ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te yoki-di-na-tu nuqtalari.

3. Nay-di-te uzunligi kesilganidan, co-uni-nya-yu-shch-go nuqtasidan va

4. Ko-or-di-nat-noy tekisligida chiroyli fi-gu-rining Nay-di-te maydoni.

5. Markazi na-cha-le ko-or-di-nat bo'lgan doira nuqta orqali o'tadi. Nay-di-te uni ra-di-us.

6. Nay-di-te ra-di-us. hamkasbi lekin

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslarining yarim yig'indisiga teng. Baza teng, asos esa teng. Keyin

Javob:

2. Bu masalani hal qilishning eng oson yo'li - buni payqash (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblang va qiyin emas :. Vektorlar qo'shilganda, koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta ham xuddi shunday koordinatalarga ega, chunki vektorning kelib chiqishi koordinatali nuqta. Biz ordinataga qiziqamiz. Bu teng.

Javob:

3. Biz darhol ikkita nuqta orasidagi masofaning formulasi bo'yicha harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, qaysi ikki shakl o'rtasida soyali joy "sendvichlangan"? U ikki kvadrat orasida joylashgan. Keyin kerakli rasmning maydoni katta maydonning maydonidan kichikining maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan chiziqli segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Biz katta kvadrat bilan ham shunday qilamiz: uning tomoni - bu nuqtalarni bog'laydigan segment va uning uzunligi

Keyin katta kvadratning maydoni

Biz kerakli raqam maydonini quyidagi formula bo'yicha topamiz:

Javob:

5. Agar aylana markaz sifatida koordinatalarning kelib chiqishiga ega bo'lsa va nuqta orqali o'tsa, uning radiusi aynan segmentning uzunligiga teng bo'ladi (rasm chizish va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Keling, ushbu segmentning uzunligini topamiz:

Javob:

6. Ma'lumki, to'rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonalning uzunligini topaylik (axir, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsani hal qildingizmi? Buni tushunish juda qiyin emas edi, to'g'rimi? Bu erda qoida bitta - vizual rasmni yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki nuqta qo'yilsin va berilsin. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning yechimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta nuqta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: o'rta nuqta koordinatalari = segment uchlari mos keladigan koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda o'quvchilar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday vazifalar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us dan-kesilgan, ko-uni-nya-yu-shch-go nuqtasi va

2. Ballar yuqori-shi-na-mi-sen-rex-ko'mir-no-ka. Nay-di-te yoki di-na-tu nuqtalari pe-re-se-ch-niya uning dia-go-na-lei.

3. Yo'q-di-bu ko'mir-nik-ka atrofida tasvirlangan san-noy, aylananing abs-cis-su markazi-tra, ko-to-ro-goning tepalari ko-op-di- na-sen veterinar-lekin.

Yechimlar:

1. Birinchi muammo shunchaki klassika. Biz segmentning o'rtasini aniqlash uchun darhol harakat qilamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinat - bu.

Javob:

2. Berilgan to‘rtburchak parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Buni o'zingiz tomonlarning uzunligini hisoblash va bir -biri bilan solishtirish orqali isbotlashingiz mumkin. Parallelogramma haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga qisqartiriladi! Aha! Demak, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. Keyin nuqta koordinatalariga ega Nuqtaning ordinati tengdir.

Javob:

3.To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida aylana markazi nima bilan chegaralangan? Uning diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi ikki baravar kamayadi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni oling. Agar chegaralangan doiraning markazi bo'lsa, o'rtasi bo'ladi. Koordinatalar qidirilmoqda: Abscissa teng.

Javob:

Endi ozgina mashq qiling, men o'zimni sinab ko'rishim uchun har bir muammoga javob beraman.

1. Doiraning Nai-di-te ra-di-us, uchburchak atrofida tasvirlangan-san-noy, ko-to-ro-go cho'qqilari ko-or-di -yo'q misterlarga ega.

2. Nai-di-te yoki di-na-tu-markaz-tra, uchburchak-nik atrofida tasvirlangan-san-noy, ko-to-ro-goning tepalari koordinatalarga ega

3. Qanday qilib-ra-di-u-sa, abs-sissa o'qiga tegib turadigan nuqtada markazi bo'lgan doira bo'lishi kerak?

4. O'qning pe-re-se-ch-nia va dan-kesimning Nay-di-te or-di-na-tu nuqtalari, ko-uni-nya-yu-shch-go nuqtasi va

Javoblar:

Siz muvaffaqiyat qozondingizmi? Men bunga haqiqatan ham umid qilaman! Endi - oxirgi zarba. Ayniqsa hozir ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntiradigan material to'g'ridan -to'g'ri B qismidagi koordinata usuli bo'yicha oddiy muammolarga bog'liq emas, balki C2 muammosining hamma joylarida ham uchraydi.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmadim? Esingizda bo'lsin, men vektorlarga qanday operatsiyalarni kiritishni va'da qildim va oxir -oqibat qanday operatsiyalarni kiritdim? Hech narsani unutmaganimga ishonchim komilmi? Unutdim! Vektorlarni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutdim.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz boshqa tabiat ob'ektlarini olamiz:

Kross -mahsulot juda murakkab. Buni qanday qilish kerak va u nima uchun, biz siz bilan keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bu erda biz nuqta mahsulotiga e'tibor qaratamiz.

Uni hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, avval birinchi usulni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar bo'yicha nuqta mahsuloti

Toping: - umumiy nuqta -mahsulot belgisi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, nuqta mahsuloti = vektorlar koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Ney di te

Yechim:

Keling, har bir vektorning koordinatalarini topamiz:

Nuqta mahsulotini formula bo'yicha hisoblaymiz:

Javob:

Qarang, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingizni sinab ko'ring:

Nay-di-te skalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-moat va

Siz muvaffaq bo'ldingizmi? Balki siz kichik ovni payqadingizmi? Keling, tekshiramiz:

Vektorlarning koordinatalari avvalgi vazifadagi kabi! Javob:.

Koordinataga qo'shimcha ravishda, nuqta mahsulotini hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, nuqta mahsuloti ular orasidagi burchak kosinusi bo'yicha vektor uzunliklari mahsulotiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchi bo'lsa, u ancha sodda bo'lsa, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va biz birinchi va ikkinchi formulalardan vektorlar orasidagi burchakni qanday topishni bilishimiz uchun kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni nuqta mahsulot formulasiga almashtirsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa tomondan:

Xo'sh, siz va men nimani oldik? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash formulasi bor! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Nuqtali mahsulotni koordinatalar bo'yicha hisoblang
2. Vektorlarning uzunligini toping va ularni ko'paytiring
3. 1 -bandning natijasini 2 -bandining natijasiga bo'ling

Misollar bilan mashq qilaylik:

1. Nay-di-te-ra-mi-asr bilan asr o'rtasidagi burchak. Javobni gra-du-saxda bering.

2. Oldingi masala shartida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Rozimisiz? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar - bizning eski tanishlarimiz. Biz allaqachon ularning nuqta mahsulotini hisoblab chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari:,. Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin biz vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusi nima? Bu burchak.

Javob:

Endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling, keyin solishtiramiz! Men sizga juda qisqa echim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

Va vektorlari orasidagi burchak bo'lsin

Javob:

Ta'kidlash joizki, to'g'ridan -to'g'ri vektorlarda va B bo'limidagi koordinatalar usulida muammolar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining aksariyati koordinata tizimini joriy etish orqali osonlikcha hal qilinadi. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda ayyor konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VEKTORLAR. O'RTA ROVEN

Siz va men koordinatalar usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz ruxsat beradigan bir qancha muhim formulalarni oldik:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish, ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Chiziq segmentining o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta hosilasini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. Bu universitetda tanish bo'lgan analitik geometriya kabi fanning markazida yotadi. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilishga imkon beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B bo'limining vazifalarini aniqladik, endi sifat jihatidan yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish uslubiga bag'ishlanadi, bunda koordinatalar usuliga o'tish o'rinli bo'ladi. Bu ratsionallik, masalani topish uchun nima kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. Chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan to g ri chiziqgacha bo lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi masofani toping

Agar muammo bayonida berilgan raqam inqilob tanasi bo'lsa (to'p, silindr, konus ...)

Koordinata usuli uchun mos shakllar:

1. To'rtburchaklar parallelepiped
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Bundan tashqari, mening tajribamda uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Kesma maydonlarni topish
2. Jismlarning hajmini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinatalar usuli uchun "noqulay" uchta holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda u sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin, ayniqsa siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda (ba'zan juda murakkab) juda kuchli bo'lmasangiz.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira kabi, lekin uch o'lchamli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinata tizimini ko'rib chiqishimiz kerak. U juda oson qurilgan: abscissa va ordinata o'qlariga qo'shimcha ravishda biz yana bitta o'qni, amaliy o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy joylashuvi sxematik tarzda ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar, bir nuqtada kesishadi, biz uni kelib chiqishi deb ataymiz. Abscissa o'qi, avvalgidek, ordinata o'qi - va kiritilgan amaliy o'q - deb belgilanadi.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam bilan ifodalangan bo'lsa - abssissa va ordinata, keyin kosmosdagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abssissa, ordinat, aplikatsiya. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi va ilovasi.

Ba'zida nuqtaning abssissasini nuqtaning absissa o'qiga proyeksiyasi deb ham atashadi, ordinatani nuqtaning ordinata o'qiga proektsiyasi va aplikator - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proektsiyasi. Shunga ko'ra, agar nuqta ko'rsatilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proektsiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proektsiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda amal qiladimi? Javob ha, ular adolatli va bir xil ko'rinadi. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz qaysi biri uchun oldindan taxmin qilgansiz. Qo'llaniladigan o'q uchun mas'ul bo'lgan barcha formulalarga yana bitta atama qo'shishimiz kerak bo'ladi. Aynan.

1. Agar ikkita nuqta berilgan bo'lsa:, u holda:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rtasida koordinatalar mavjud

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning nuqta mahsuloti:
• Vektor orasidagi burchak kosinusi:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Tasavvur qilganingizdek, yana bitta koordinataning qo'shilishi ushbu bo'shliqda "yashovchi" raqamlar spektrida sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi bir, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Bu "umumlashtirish" - bu samolyot. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz uning nimaga o'xshashligi haqida intuitiv tasavvurga egamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga cheksiz "barg"ning bir turi. "Cheksizlik" ni tushunish kerakki, samolyot har tomonga cho'zilgan, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng. Biroq, bu "barmoqlar ustida" tushuntirish samolyot tuzilishi haqida zarracha ham tasavvur bermaydi. Va biz bunga qiziqamiz.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• to'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi, bundan tashqari, faqat bitta:

Yoki uning kosmosdagi hamkasbi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqta koordinatalarga ega bo'lsa: ikkinchisi esa, to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda boshdan kechirdingiz. Kosmosda to'g'ri chiziq tenglamasi shunday ko'rinadi: koordinatali ikkita nuqta bo'lsin :, keyin ular orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklga ega:

Masalan, to'g'ri chiziq nuqtalar orqali o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta to'g'ri chiziqda yotadi, agar uning koordinatalari quyidagi tizimni qondirsa:

Bizni to'g'ri chiziq tenglamasi unchalik qiziqtirmaydi, lekin to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel yotadigan har qanday nol bo'lmagan vektor.

Masalan, ikkala vektor ham to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari. To'g'ri chiziqda yotgan nuqta va uning yo'nalishi vektori bo'lsin. Keyin to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi shaklda yozish mumkin:

Yana bir bor aytaman, to'g'ri chiziq tenglamasi meni unchalik qiziqtirmaydi, lekin men sizga yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: bu to'g'ri chiziqda yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

O'chirish berilgan uchta nuqtadagi tekislikning tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda bu masala o'rta maktab kursida ko'rib chiqilmaydi. Lekin behuda! Bu usul murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usulidan foydalanganda juda muhim. Ammo, menimcha, siz yangi narsalarni o'rganishni xohlaysizmi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan metodologiya bilan qanday bilishni bilsangiz, universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Samolyot tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi shaklga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va boshqalar. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, siz va men nima deganimizni eslaysizmi? Aytdikki, agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, u holda tekislik tenglamasi ulardan noyob tarzda qayta quriladi. Lekin qanday? Men sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lum bo'lgan holda ham uchta tenglamani echish kerak bo'ladi! Dilemma! Biroq, siz har doim shunday deb taxmin qilishingiz mumkin (buning uchun siz bo'lishingiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lum bo'lgan uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli iborani yozamiz:

Berilgan uchta nuqta orqali o'tadigan tekislik tenglamasi

\ [\ chap | (\ boshlanish (qator) (* (20) (c)) (x - (x_0)) va ((x_1) - (x_0)) va ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) va ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (qator)) \ o'ng | = 0 \]

STOP! Bu nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu ob'ekt uchinchi darajali determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli aniqlovchi nima? G'alati, bu shunchaki raqam. Qaysi aniq raqamni determinant bilan solishtirishimizni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozaylik:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini va indeks bilan - ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu berilgan raqam ikkinchi qator bilan uchinchi ustunning kesishmasida ekanligini bildiradi. Keling, keyingi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, biz unga qanday aniq raqamni moslashtiramiz? Uchinchi tartibning determinanti uchun uchburchakning evristik (vizual) qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chap burchakdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning asosiy diagonal mahsulotiga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning asosiy diagonal mahsulotiga "perpendikulyar". diagonal
2. Yon diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori o'ng burchakdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning yon tomoniga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning yon diagonali ko'paytmasi. diagonal
3. Keyin determinant qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Shunga qaramay, siz hisoblash usulini bu shaklda eslab qolishingiz shart emas, faqat uchburchaklar va nimani qo'shib, nimaga qo'shiladi va keyin nimadan chiqariladi degan fikrni saqlab qolish kifoya).

Uchburchak usulini misol bilan tasvirlaylik:

1. Determinantni hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

"Plyus" bilan kelgan shartlar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Uchta raqam qo'shing:

"minus" bilan kelgan atamalar

Bu yon diagonal: elementlarning mahsuloti

Birinchi uchburchak, "yon diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Ikkinchi uchburchak, "yon diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti

Uchta raqam qo'shing:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa ortiqcha shartlar yig'indisidan minus shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab va g'ayritabiiy narsa yo'q. Uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik juda muhim. Endi uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
3. Ortiqcha bilan shartlar yig'indisi:
4. Yon diagonalga perpendikulyar birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi uchburchak:
6. Minus bilan shartlar yig'indisi:
7. Ortiqcha minus bilan shartlar yig'indisi:

Bu erda yana bir nechta determinantlar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos tushdimi? Ajoyib, keyin davom etishingiz mumkin! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun ko'plab dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblaydigan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar mos kelguncha davom eting. Ishonchim komilki, bu daqiqa uzoq kutilmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasi haqida gapirganda yozgan determinantga qaytaylik:

Sizga kerak bo'lgan narsa - uning qiymatini to'g'ridan -to'g'ri hisoblash (uchburchaklar usuli yordamida) va natijani nolga qo'yish. Tabiiyki, ular o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ifodani olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmagan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiraylik:

1. Nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Biz ushbu uchta nuqta uchun determinantni tuzamiz:

Soddalash:

Endi biz uni to'g'ridan -to'g'ri uchburchaklar qoidasi bilan hisoblaymiz:

\ [(\ chap | (\ start (massiv)) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (qator)) \ o'ng | = \ chap ((x + 3) \ o'ng) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ chap ((z + 1) \ o'ng) + \ chap ((y - 2) \ o'ng) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz uni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

Xo'sh, endi echimni muhokama qilaylik:

Biz determinantni tuzamiz:

Va biz uning qiymatini hisoblaymiz:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi shaklga ega:

Yoki kamaytirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini boshqarish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos keldimi? Yana, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, mening maslahatim shunday: siz boshingizdan uchta nuqtani olasiz (ular bir xil to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), siz ular bo'ylab samolyot qurasiz. Va keyin siz o'zingizni onlayn tekshirasiz. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga faqat vektorlar uchun nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Vektorli mahsulot ham, aralash mahsulot ham mavjud. Va agar ikkita vektorning nuqta mahsuloti raqam bo'lsa, unda ikkita vektorning vektorli hosilasi vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning o'zaro mahsulotini qanday hisoblaymiz va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi darajali determinant yana bizga yordamga keladi. Biroq, vektor mahsulotini hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik lirik chekinish qilishim kerak.

Bu burilish asosiy vektorlarga tegishli.

Ular sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan:

Sizningcha, nima uchun ularni asosiy deb atashadi? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

Vektor mahsuloti

Endi men o'zaro faoliyat mahsulot bilan tanishishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti - bu quyidagi qoidaga muvofiq hisoblangan vektor:

Keling, o'zaro faoliyat mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiraylik:

1 -misol: Vektorlarning o'zaro hosilasini toping:

Yechish: Determinant tuzaman:

Va men buni hisoblayman:

Endi, asosiy vektorlar nuqtai nazaridan yozishdan boshlab, men odatdagi vektor belgisiga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi sinab ko'ring.

Tayyormi? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish vazifalari:

1. Quyidagi vektorlarning o'zaro hosilini toping:
2. Quyidagi vektorlarning o'zaro hosilini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, skalyar kabi, raqamdir. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Ya'ni, uchta vektorga ega bo'lamiz:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning boshqa ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasining nuqta mahsulotidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

O'zingizni o'zaro faoliyat mahsulot orqali hisoblab ko'ring va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana - mustaqil echim uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinata tizimini tanlash

Xo'sh, endi bizda geometriyadagi murakkab stereometrik muammolarni echish uchun zarur bo'lgan barcha bilimlar poydevori bor. Biroq, to'g'ridan -to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, menimcha, yana bir savolga to'xtalib o'tish o'rinli bo'ladi. ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, bu tanlov o'zaro moyillik koordinatali tizimlar va kosmosdagi raqamlar oxir -oqibat hisob -kitoblarning qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'taman, ushbu bo'limda biz quyidagi shakllarga qaraymiz:

1. To'rtburchaklar parallelepiped
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

To'rtburchaklar quti yoki kub uchun sizga quyidagi qurilishni tavsiya qilaman.

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va parallelepiped juda chiroyli shakllardir. Ular uchun har doim uning tepalik koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

keyin tepalik koordinatalari quyidagicha:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin qanday qilib kubni qo'yish kerakligini eslang to'rtburchaklar parallelepiped- istalgan.

To'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. U kosmosda turli yo'llar bilan joylashishi mumkin. Biroq, men uchun quyidagi variant eng maqbul ko'rinadi:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini butunlay o'qga joylashtiramiz va tepaliklardan biri boshlanishiga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Kubga o'xshash vaziyat: poydevorning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan tekislang, tepaliklardan birini bosh bilan tekislang. Faqat kichik qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa, yana, tepaning koordinatalarini topishda bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir tepa boshiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Endi siz va men muammolarni hal qilishga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz shunday xulosa chiqarishingiz mumkin: C2 muammolarining ko'pchiligi 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofaviy muammolar. Birinchidan, biz burchakni topish muammosini ko'rib chiqamiz. Ular, o'z navbatida, quyidagi toifalarga bo'linadi (qiyinchiliklar oshishi bilan):

Burchaklarni topish

1. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, bu vazifalarni ketma -ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlang. Xo'sh, esingizdami, siz va men shunga o'xshash misollarni ilgari hal qilmaganmidik? Esingizda bo'lsin, bizda allaqachon shunday narsa bor edi ... Biz ikkita vektor o'rtasida burchak qidirardik. Eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ularning orasidagi burchak nisbatdan topiladi:

Endi bizda maqsad bor - ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish. Keling, "tekis rasm" ga o'tamiz:

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda biz qancha burchakka ega bo'ldik? Ko'p narsalar kabi. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday burchakka qarashimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim darajadan oshmaydi... Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan ovora bo'lmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni to'g'ri chiziqlar vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. Biz 1 -formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Biz birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Ularning nuqta mahsulotining modulini hisoblang
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4 -banddagi natijalarni 5 -banddagi natijalarga ko'paytirish
7. 3 -nuqta natijasini 6 -nuqta natijasiga bo'ling. Biz chiziqlar orasidagi burchak kosinusini olamiz
8. Agar berilgan natija burchakni aniq hisoblash imkonini beradi, biz uni izlayapmiz
9. Aks holda, biz teskari kosinus orqali yozamiz

Xo'sh, endi muammolarga o'tish vaqti keldi: men birinchi ikkitasining echimini batafsil ko'rsataman, ikkinchisining echimini qisqa shaklda taqdim etaman va oxirgi ikkita muammoga faqat javob beraman, ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. To'g'ri tet-ra-ed-re, nay-di-bular siz-shunday tet-ra-ed-ra va bo-kov yuzining med-di-a-noyi orasidagi burchak.

2. O'ng qo'lli oltita ko'mir-noy pi-ra-mi-de, os-no-va-nia tomonlari teng, qovurg'alari teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

3. To'g'ri to'rt-siz-rex-ko'mirli pi-ra-mi-dy barcha qovurg'alarining uzunligi bir-biriga teng. Nay-di-bu to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak va agar kesmadan siz-ko-bu berilgan pi-ra-mi-dy bo'lsa, nuqta se-re-di-na uning bo-ko- ikkinchi qovurg'asi bo'ladi.

4. Nay-di-te to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak bo'lishi uchun-me-che-na nuqtasining kubik chetida

5. Nuqta - kubning chetlarida se-re-di-to'g'ri chiziqlar orasidagi Nay-di-te burchak va.

Vazifalarni shunday tartibda tartiblaganim bejiz emas. Siz hali koordinatalar uslubida harakat qilishni boshlashga ulgurmagansiz, men o'zim eng "muammoli" raqamlarni tahlil qilaman va men sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta -sekin, siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak bo'ladi, men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lgani uchun, uning barcha yuzlari (taglik bilan birga) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi uchun, men uni tenglashtira olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimiz qanchalik "cho'zilgan"ligiga bog'liq emasligini tushunasizmi? Shuningdek, men tetraedrda balandlik va medianani chizaman. Yo'l davomida men uning asosini chizaman (bu biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqta koordinatasini bilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz hali ham nuqtalarning koordinatalarini topishimiz kerak. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchak balandliklarining (yoki bissektrisalari yoki medianalarining) kesishish nuqtasi. Nuqta - ko'tarilgan nuqta. Nuqta segmentning o'rtasida joylashgan. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalar koordinatalari:.

Eng oddiyidan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinati (beri - median). Uning abscissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng, oyoqlaridan biri teng:

Nihoyat, bizda:.

Endi nuqta koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning abtsissasini topamiz. Agar buni eslasangiz, bu juda ahamiyatsiz teng yonli uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasiga mutanosib ravishda bo'linadi yuqoridan sanash. Chunki:, u holda segment uzunligiga teng nuqtaning kerakli abssissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqta koordinatalari teng:

Keling, nuqta koordinatalarini topaylik. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va murojaat etuvchi segment uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi - bu segment - oyoq. Men qalin harf bilan ta'kidlagan fikrlarimdan izlanadi:

Nuqta chiziq segmentining o'rta nuqtasidir. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini qidirishimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "qo'rqinchli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayron bo'lardim. Shuningdek, siz sezganingizdek, men deyarli Pifagor teoremasidan va teng qirrali uchburchak balandliklarining xususiyatidan boshqa narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chiriladi". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar sistemasi bilan bir qatorda uning asosini ham chizamiz:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqta koordinatalarini topishga qisqartirildi:. Kichkina rasmdan oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepalik koordinatasini topamiz. Ommaviy ish, lekin siz boshlashingiz kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abscissani topaylik. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyog'ini topishga harakat qilamiz (chunki ikki barobar uzunlik bizga nuqta abssissasini berishi aniq). Biz uni qanday topa olamiz? Keling, piramidaning tagida qanday figura borligini eslaylikmi? Bu oddiy olti burchakli burchak. Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, uning barcha tomonlari va barcha burchaklari bor. Men shunday burchakni topishim kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, burchaklar yig'indisi muntazam olti burchakli darajalarga teng. Keyin har bir burchak teng:

Biz yana rasmga qaraymiz. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusga teng bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerda.

Shunday qilib, u koordinatalarga ega

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz:.

v) nuqta koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u ga teng. Ordinatani topish ham unchalik qiyin emas: agar biz nuqtalarni bog'lasak va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini, aytaylik, orqali belgilasak. (DIY oson qurilishi). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

Keyin beri nuqta koordinatalari bor

d) Endi nuqta koordinatalarini topamiz. To'g'ri to'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqtaning koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasi bilan mos kelishi aniq. Keling, aplikatorni topamiz. O'shandan beri. To'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning yon tomoni. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi - oyoq.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

To'g'ri, menda hamma diqqatga sazovor joylarning koordinatalari bor. To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini qidiring:

Biz ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu muammoni hal qilishda men oddiy n-gon burchaklar yig'indisining formulasidan tashqari, to'g'ri uchburchakning kosinusi va sinusini aniqlashdan tashqari, hech qanday murakkab fokuslardan foydalanmadim.

3. Bizga yana piramidada qovurg'alarning uzunligi berilmaganligi sababli, men ularni birga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat yotadi va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilab, shunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda chizamiz:

Va orasidagi burchakni qidiramiz. Men nuqta koordinatalarini qidirganimda juda qisqa hisob -kitoblar qilaman. Ularni "hal qilish" kerak bo'ladi:

b) segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasi bo'yicha segment uzunligini topaman. Men uni Pifagor teoremasi bo'yicha uchburchakda topaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari teng

e) vektor koordinatalari

f) vektor koordinatalari

g) burchakni qidirish:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz u bilan mustaqil kurashishingiz mumkin. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

To'g'ri va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy vazifalar uchun vaqt tugadi! Endi misollar yanada murakkab bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan biz tekislik tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini ikki nuqta bilan qidiramiz:
3. Biz tekislik va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topishda foydalangan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomonning tuzilishi xuddi shunday va chap tomonda biz avvalgidek kosinusni emas, balki sinusni qidiramiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

Kechiktirmaylik misollar yechimi:

1. Os-no-va-no-em to'g'ridan-to'g'ri mukofoti-biz-la-et-sy teng-kambag'al-wen-ny uchburchak-taxallus Siz-birgalikda mukofotlar-biz tengmiz. To'g'ri va tekis orasidagi burchak

2. To'rtburchak shaklida pa-ra-le-le-pi-pe-de G'arbiy Nay-di-te to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

3. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida hamma qirralar teng. Nai-di-te - to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.

4. Os-no-va-ni bilan o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-de qovurg'alardan ma'lumki, Nay-di-te burchagi, ob-ra-zo-van-bu os- no-va-nia va to'g'ri, pro-ho-dya-shi orqali qovurg'alarning se-re-di-us va

5. Cho'qqisi bo'lgan to'g'ri to'rt burchakli piramidaning barcha qovurg'alarining uzunligi bir-biriga teng. Nay-di-te-to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak, agar nuqta se-re-di-na bo-ko-th qovurg'alar pi-ra-mi-dy bo'lsa.

Yana birinchi ikkita muammoni batafsil hal qilaman, uchinchisini - qisqacha va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchaklar piramidalar bilan shug'ullangansiz, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Keling, prizma va uning asosini tasvirlaylik. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonotida berilgan barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Men nisbatlarga rioya qilmaganim uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilganim uchun bu aslida unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish juda oson:

Biroq, buni to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatish mumkin:

Keling, ushbu tekislikdagi ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan,.

Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Siz qildingizmi? Keyin tekislik tenglamasi quyidagi shaklga ega:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinata boshiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Cho'qqidan balandlikni (u mediana va bissektrisa) chizamiz. Chunki, nuqtaning ordinatasi tengdir. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Bir nuqta nuqta bilan "ko'tariladi":

Keyin vektorning koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, bu jarayon prizma kabi figuraning "to'g'riligini" yanada soddalashtiradi. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Parallelepipedni, unga tekislik va to'g'ri chiziqni, shuningdek uning pastki poydevorini alohida chizamiz:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: unda joylashgan uchta nuqtaning koordinatalari:

(dastlabki ikkita koordinat aniq shaklda olingan va oxirgi koordinata nuqtadan rasmdan osongina topishingiz mumkin). Keyin biz tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz: Uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bu nuqta koordinatalari, dastur o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan! ... Keyin biz kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda hatto samolyotni chizish ham muammoli, bu muammoning echimini aytmasa ham bo'ladi, lekin koordinata usuli bunga ahamiyat bermaydi! Uning ko'p qirraliligida uning asosiy ustunligi yotadi!

Samolyot uch nuqtadan o'tadi: Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

1). Oxirgi ikkita nuqta uchun koordinatalarni o'zingiz chizib oling. Olti burchakli piramida bilan muammoning echimi bunga yordam beradi!

2) Biz tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz:. (uchburchak piramida muammosiga yana qarang!)

3) Burchakni izlash:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Oxirgi ikkita muammo uchun men faqat javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, muammolarni hal qilish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa - tepaliklarning koordinatalarini topish va ularni ba'zi formulalarda almashtirish. Burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqish biz uchun qoladi, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqta bo'yicha biz birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Boshqa uch nuqta uchun biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formulalar avvalgisiga juda o'xshash, uning yordamida biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchaklarni qidirganmiz. Shunday qilib, buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, vazifalarni tahlil qilishga o'tamiz:

1. O'ng qo'lli uchburchak prizma os-no-va-nia ning yuz-ro-na teng, katta yuzning di-go-naliga teng. Yo'q, bu-prizma tekisligi bilan tekisligi orasidagi burchak.

2. Hamma qirralari teng bo'lgan to'rtta "siz-rex-ko'mir-noy-pi-ra-mi-de" tekisligida to-stu tekisligi orasidagi burchak sinusini toping, pro-ho- dya-shchey per-pen-di-ku-lar nuqtasi orqali, lekin to'g'ri.

3. To'g'ri to'rt-you-rekh-ko'mir prizmasida o'qning tomonlari teng, tomonlari esa teng. Men-che-dan chekkasida shunday. Tekislik-sti-mi va orasidagi burchakni toping

4. O'ng to'rt burchakli prizmada os-no-va-niyaning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Nay-di-te-samolyot-st-mi orasidagi burchak.

5. Kubda nay-di-te ko-si-nus tekislik-ko-sti-mi orasidagi burchakning

Muammo echimlari:

1. Men muntazam (tagida - teng qirrali uchburchak) uchburchak prizma chizaman va unga muammoli bayonda paydo bo'ladigan tekisliklarni belgilayman:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: bazaning tenglamasi ahamiyatsiz: siz mos keladigan determinantni uch nuqta bo'yicha tuzishingiz mumkin, lekin men tenglamani birdaniga tuzaman:

Endi biz nuqta tenglamasini topamiz - nuqta koordinatalari bor - Median va uchburchakning balandligi bo'lgani uchun, Pifagor teoremasi bo'yicha uchburchakda topish oson. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: nuqtaning ilovasini toping Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing.

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Biz tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa - bu sirli samolyot nima ekanligini tushunish, nuqtadan perpendikulyar o'tishi. Xo'sh, asosiysi bu nima? Asosiysi, diqqat! Darhaqiqat, chiziq perpendikulyar. To'g'ri chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki to'g'ri chiziqdan o'tuvchi tekislik to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin qidirilgan samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqta koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqta koordinatasini toping. Kichik raqamdan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nimani topish kerak? Bundan tashqari, uning balandligini hisoblashingiz kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda, buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Shartga ko'ra, bizda:

Endi hamma narsa tayyor: tepaning koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblashda o'ziga xossiz. Siz osongina olishingiz mumkin:

Yoki (agar biz ikkala qismni ikkisining ildiziga ko'paytirsak)

Endi biz tekislik tenglamasini topamiz:

(Siz samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutganingiz yo'q, to'g'rimi? Agar siz bu minus qayerdan kelganini tushunmasangiz, u holda samolyot tenglamasining ta'rifiga qayting! Har doim shunday bo'lgan. koordinatalarning kelib chiqishi mening samolyotimga tegishli edi!)

Biz determinantni hisoblaymiz:

(Siz ko'rishingiz mumkinki, tekislik tenglamasi nuqta orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasiga to'g'ri keladi va! Nima uchun o'ylab ko'ring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Murakkab savol: Sizningcha, to'rtburchaklar prizma nima? Bu siz yaxshi biladigan parallelepiped! Darhol rasm chizing! Bazani alohida tasvirlamaslik ham mumkin, bu erda undan kam foyda bor:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama shaklida yozilgan:

Endi biz samolyotni yaratamiz

Biz darhol tekislik tenglamasini tuzamiz:

Burchak qidirish:

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, endi tanaffus qilish vaqti keldi, chunki siz va men zo'rmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Ilg'or daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida echilishi mumkin bo'lgan boshqa muammolar sinfini muhokama qilamiz: masofaviy muammolar. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Kesishgan chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Men bu vazifalarni ularning murakkabligi ortib borayotgani uchun buyurtma qildim. Ma'lum bo'lishicha, topish eng oson nuqtadan tekislikka masofa, va eng qiyin narsa topishdir chiziqlar orasidagi masofa... Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Kechiktirmay, darhol birinchi sinf muammolarini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqtalar koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Siz oxirgi qismda muhokama qilgan oldingi muammolardan samolyot tenglamasini qanday tuzishimizni bilishingiz kerak. Keling, darhol vazifalarga o'tamiz. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga hal qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz o'zingiz qaror qabul qilasiz va solishtirasiz. Boshlaymiz!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi. Nay-di-te masofasi-i-ni se-re-di-usdan tortib to yassi-stigacha

2. To'g'ri berilgan vil-naya to'rt-sen-rex-ko'mir-naya pi-ra-mi-da Bo-k-chi-yon-os-no-va-niyaning yon tomoni teng. Nay-di-bu nuqtadan samolyotgacha bo'lgan masofa, bu erda-se-re-di-on qovurg'alari.

3. Os-no-va-ni bilan o'ng qo'lli uchburchak pi-ra-mi-de, bo-k-chi qirrasi teng, va yon-ro-na-no-va- tengdir. . Nay-di-te masofa-i-nye yuqoridan samolyotgacha.

4. To'g'ri oltita ko'mir prizmasida barcha qirralar teng. Nay-di-te masofadan-i-nie nuqtadan tekislikka.

Yechimlar:

1. Birlik qirralari bo'lgan kubni chizish, segment va tekislik qurish, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang.

.

Birinchidan, osonlik bilan boshlaylik: nuqta koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqta bilan tekislik tenglamasini tuzamiz

\ [\ chap | (\ begin (qator) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (qator)) \ o'ng | = 0 \]

Endi men masofani qidirishni boshlashim mumkin:

2. Chizma bilan yana boshlang, unda biz barcha ma'lumotlarni belgilaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Hatto tovuqdek panjasi bilan chizganim ham bu muammoni oson hal qilishimizga to'sqinlik qilmaydi!

Endi nuqta koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri, keyin

2. a nuqtaning koordinatalari segmentning o'rta nuqtasi bo'lgani uchun, u holda

Biz tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini osongina topishimiz mumkin.Teklik tenglamasini tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\ [\ chap | (\ chap | (\ boshlanish (qator) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (massiv)) \ o'ng |) \ o'ng | = 0 \]

Nuqtaning koordinatalari bor bo'lgani uchun, biz masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa biz oldingi qismda siz bilan ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men faqat javoblarni beraman:

To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. Chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularda barcha imkoniyatlar bor: kesishadi yoki tekislik tekislikka parallel. Sizningcha, bu to'g'ri chiziq kesishgan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bu erda bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarli bo'lmagan holat.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lgani uchun, chiziqning har bir nuqtasi shu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Va bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, biz tekislik tenglamasini qidiramiz, biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, bunday vazifalar imtihonda juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar koordinata usuli unga juda mos kelmasdi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o‘tamiz:

Nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani hisoblash

Bizga nima kerak?

1. Biz masofani qidirayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. To'g'ri chiziqda yotadigan har qanday nuqta koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Berilgan kasrning maxraji siz uchun nimani anglatadi va shuning uchun aniq bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Bu erda juda murakkab hisoblagich bor! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va o'zaro mahsulotni qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, ular hozir biz uchun juda foydali bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani qidirayotgan to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni qurish

4. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini tuzing

5. Ko‘paytmani hisoblang

6. Olingan vektor uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi butun e'tiboringizni qarating!

1. Dana-tepa bilan o'ng-vil-naya uchburchak pi-ra-mi-da. Bir yuz-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy teng, siz-demak-bu teng. Nay-di-o'sha masofa-i-nie bo-ko-in-th chetining se-re-di-ny dan to'g'ri chiziqgacha, bu erda nuqtalar va qirralarning se-re-di-ny. va veterinardan-lekin.

2. Qovurg'a uzunligi va to'g'ri burchakli pa-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va Nay-di-o'sha masofa yuqoridan to'g'rigacha.

3. O'ng qo'lli oltita ko'mir prizmasida, to'daning barcha qirralari tengdir-bu nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Yechimlar:

1. Biz aniq rasm chizamiz va unga barcha ma'lumotlarni belgilaymiz:

Siz bilan juda ko'p ishimiz bor! Birinchidan, biz nimani va qanday tartibda qidirishni so'z bilan ta'riflamoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning o'zaro mahsuloti

6. Vektorning uzunligi

7. Vektorli mahsulotning uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Xo'sh, bizda juda ko'p ish bor! Biz yenglarini dumalab pastga tushamiz!

1. Piramida balandligi koordinatalarini topish uchun biz nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning qo'llanilishi nolga teng, va ordinat Abscissa ga teng, u segment uzunligiga teng. teng qirrali uchburchakning balandligi, yuqoridan sanab, bundan buyon nisbiy bo'linadi. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

Segmentning o'rta nuqtasi

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Ko‘paytmani hisoblang:

6. Vektorning uzunligi: eng oson yo'li - bu segmentni uchburchakning o'rta chizig'i ekanligini almashtirish, ya'ni u taglikning yarmiga teng. Shunday qilib.

7. Vektorli mahsulot uzunligini ko'rib chiqamiz:

8. Nihoyat, biz masofani topamiz:

Puf, hammasi shu! Rostini aytsam, bu muammoni an'anaviy usullar yordamida (konstruktsiyalar orqali) hal qilish ancha tezroq bo'lardi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga kamaytirdim! Menimcha, yechim algoritmi sizga tushunarli? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Keling, javoblarni taqqoslaylikmi?

Yana takror aytaman: koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, bu muammolarni konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men bu yechimni faqat sizga "hech narsani tugatmaslik" imkonini beruvchi universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Kesishgan chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi to'g'ri chiziqlarni bog'laydigan har qanday vektor:

To'g'ri chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formulasi quyidagicha:

Hisoblagich - bu aralash mahsulotning moduli (biz uni avvalgi qismda tanishtirganmiz) va denominator oldingi formulada bo'lgani kabi (to'g'ri chiziqlar yo'nalish vektorlarining vektorli mahsulotining moduli, ular orasidagi masofa) qidiramiz).

Men buni sizga eslatib qo'yaman

keyin masofa formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

Aniqlovchiga bo'lingan aniqlovchining bir turi! Rostini aytsam, bu yerda hazilga vaqtim yo'q! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob -kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lsam, men buni faqat oxirgi chora sifatida ishlatardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. To'g'ri uchburchak prizmada hamma qirralar teng, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping va.

2. O'ng-vil-naya uchburchak prizmasini hisobga olsak, os-no-va-nia to'rining hamma qirralari teng qovurg'a va se-re-di-quduq qovurg'alari yav-la-et-sya kvadrat-ra- tom. Nai di te masofa tekis biz va

Men birinchisini, ikkinchisini shunga qarab qaror qilaman!

1. Prizma chizing va to'g'ri chiziqlarni belgilang va

C nuqtasi koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\ [\ chap ((B, \ o'ng tomonda (A (A_1)) \ o'ng tomonda (B (C_1))) \ o'ngda) = \ chap | (\ boshlanish (qator) (* (20) (l)) (\ boshlanish (qator) (* (20) (c)) 0 va 1 va 0 \ tugatish (qator)) \\ (\ boshlanish (qator)) * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (massiv)) \\ (\ start (massiv) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (massiv)) \ end (massiv)) \ o'ng | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Biz vektorlar orasidagi o'zaro faoliyat mahsulotni ko'rib chiqamiz

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ chap | \ boshlang'ich (qator) (l) \ boshlanish (qator) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) va (\ haddan tashqari yuk j) va ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (massiv) \\\ start (massiv) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (massiv) \ end (massiv) \ o'ng | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini hisoblaymiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi:.

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor - bu yo'naltirilgan chiziqli segment. - vektorning boshlanishi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. U quyidagicha ko'rsatilgan.

Vektor koordinatalari:

,
vektorning uchlari qayerda joylashgan \ displaystyle a.

Vektorlarning yig'indisi :.

Vektorlar mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar mahsuloti ular orasidagi burchak kosinusi bo'yicha ularning mutlaq qiymatlari mahsulotiga teng:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz bu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizigina biror narsani mustaqil o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz o'sha 5% ga kirasiz!

Endi eng muhim narsa keladi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani bilib oldingiz. Va yana, bu ... bu shunchaki super! Siz allaqachon tengdoshlaringizning ko'pchiligidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Muvaffaqiyat uchun imtihon topshirish, byudjet bo'yicha institutga kirish uchun va eng muhimi, umr bo'yi.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim qilmaganlarga qaraganda ancha ko'p pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu ham asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Balki ular uchun imkoniyatlar ko'p bo'lgani va hayot yanada yorqinroq bo'lgani uchunmi? Bilmayman...

Ammo o'zingiz o'ylab ko'ring ...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtliroq bo'lish uchun nima qilish kerak?

BU MAVZUDA QO'L QILISh MUAMMOLARINI OLING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni bir muddat hal qiling.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Siz ahmoqona xatoga yo'l qo'ygan joyga borishingiz yoki o'z vaqtida kelmasligingiz aniq.

Bu xuddi sportdagi kabi - aniq g'alaba qozonish uchun uni qayta -qayta takrorlash kerak.

To'plamni o'zingiz xohlagan joydan toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror, qaror, qaror!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Qo'lingizni vazifalarimiz yordamida to'ldirish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining umrini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni baham ko'ring -
2. O'quv qo'llanmaning 99 ta maqolasida barcha yashirin vazifalarga kirishni oching. Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizning darsligimizda shunday 99 ta maqola bor va barcha vazifalar va ulardagi barcha yashirin matnlarga kirish birdaniga ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Agar sizga bizning vazifalarimiz yoqmasa, boshqalarini toping. Faqat nazariyaga e'tibor bermang.

"Tushundim" va "men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqacha ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!