Jak rozwiązywać przykłady za pomocą wektorów. Wektory: podstawowe definicje i pojęcia

Definicja

Ilość skalarna- ilość, którą można scharakteryzować liczbą. Na przykład długość, powierzchnia, masa, temperatura itp.

Wektor wywoływany jest segment skierowany $ \ overline (A B) $; punkt $ A $ jest początkiem, punkt $ B $ jest końcem wektora (rys. 1).

Wektor jest oznaczony przez dwa dużymi literami- jego początek i koniec: $ \ overline (A B) $ lub jedna mała litera: $ \ overline (a) $.

Definicja

Jeśli początek i koniec wektora pokrywają się, nazywa się taki wektor zero... Najczęściej wektor zerowy oznaczany jest jako $ \ overline (0) $.

Wektory nazywają się współliniowy jeśli leżą na jednej linii prostej lub na liniach równoległych (ryc. 2).

Definicja

Wywoływane są dwa współliniowe wektory $ \ overline (a) $ i $ \ overline (b) $ współreżyserowany jeśli ich kierunki się pokrywają: $ \ overline (a) \ uparrow \ uparrow \ overline (b) $ (rys. 3, a). Dwa współliniowe wektory $ \ overline (a) $ i $ \ overline (b) $ są nazywane przeciwnie skierowane jeśli ich kierunki są przeciwne: $ \ overline (a) \ uparrow \ downarrow \ overline (b) $ (rys. 3, b).

Definicja

Wektory nazywają się współpłaszczyznowy jeśli są równoległe do tej samej płaszczyzny lub leżą w tej samej płaszczyźnie (ryc. 4).

Dwa wektory są zawsze współpłaszczyznowe.

Definicja

Długość (moduł) wektor $ \ overline (A B) $ to odległość między początkiem a końcem: $ | \ overline (A B) | $

Szczegółowa teoria o długości wektora przez odniesienie.

Długość wektora zerowego wynosi zero.

Definicja

Wektor, którego długość jest równa jeden, nazywa się wektor jednostkowy lub ortom.

Wektory nazywają się równy jeśli leżą na jednej lub równoległej linii; ich kierunki pokrywają się, a ich długości są równe.

Innymi słowy, dwa wektory są równe jeśli są współliniowe, współkierunkowe i tej samej długości:

$ \ overline (a) = \ overline (b) $ if $ \ overline (a) \ uparrow \ uparrow \ overline (b), | \ overline (a) | = | \ overline (b) | $

W dowolnym punkcie przestrzeni $ M $ można skonstruować unikalny wektor $ \ overline (M N) $ równy danemu wektorowi $ \ overline (A B) $.

Definicja standardowa: „Wektor jest linią kierunkową”. Zwykle jest to jedyne ograniczenie wiedzy absolwenta o wektorach. Kto potrzebuje „linii kierunkowych”?

Ale w rzeczywistości, czym są wektory i dlaczego?
Prognoza pogody. „Wiatr północno-zachodni, prędkość 18 metrów na sekundę”. Musisz przyznać, że zarówno kierunek wiatru (skąd wieje), jak i moduł (czyli wartość bezwzględna) jego prędkości mają znaczenie.

Ilości, które nie mają kierunku, nazywane są wartościami skalarnymi. Masa, praca, ładunek elektryczny nie są nigdzie skierowane. Charakteryzują się jedynie wartością liczbową – „ile kilogramów” lub „ile dżuli”.

Wielkości fizyczne, które mają nie tylko wartość bezwzględną, ale także kierunek, nazywane są wektorami.

Prędkość, siła, przyspieszenie to wektory. Dla nich ważne jest „ile” i „gdzie” jest ważne. Na przykład przyspieszenie swobodny spadek skierowany na powierzchnię Ziemi, a jego wartość wynosi 9,8 m/s2. Impuls, natężenie pola elektrycznego, indukcja pole magnetyczne są również wielkościami wektorowymi.

Czy pamiętasz to wielkości fizyczne oznaczone literami, łaciną lub greką. Strzałka nad literą wskazuje, że wartość jest wektorem:

Oto kolejny przykład.
Samochód porusza się z punktu A do punktu B. Ostateczny wynik- jego ruch z punktu A do punktu B, czyli przejście do wektora .

Teraz jest jasne, dlaczego wektor jest linią kierunkową. Zauważ, że koniec wektora znajduje się w miejscu strzałki. Długość wektora to długość tego segmentu. Wskazuje: lub

Do tej pory pracowaliśmy ze skalarami, zgodnie z zasadami arytmetyki i algebry elementarnej. Wektory to nowa koncepcja. To inna klasa obiektów matematycznych. Mają swoje własne zasady.

Kiedyś nie wiedzieliśmy nic o liczbach. Znajomość z nimi rozpoczęła się w niższych klasach. Okazało się, że liczby można ze sobą porównywać, dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Dowiedzieliśmy się, że istnieje numer jeden i zero.
Teraz jesteśmy wprowadzeni do wektorów.

Pojęcie „więcej” i „mniej” dla wektorów nie istnieje – w końcu ich kierunki mogą być różne. Porównywać można tylko długości wektorów.

Ale koncepcja równości dla wektorów jest taka.
Równy wektory są nazywane o tej samej długości i w tym samym kierunku. Oznacza to, że wektor można przenieść równolegle do siebie do dowolnego punktu na płaszczyźnie.
Pojedynczy nazywa się wektorem, którego długość jest równa 1. Zero - wektor, którego długość wynosi zero, to znaczy jego początek pokrywa się z końcem.

Najwygodniej jest pracować z wektorami w system prostokątny współrzędne - te, w których rysujemy wykresy funkcji. Każdy punkt w układzie współrzędnych odpowiada dwóm liczbom - jego współrzędnym x i y, odciętej i rzędnej.
Wektor jest również określony przez dwie współrzędne:

Tutaj współrzędne wektora są zapisane w nawiasach - w x i w y.
Można je znaleźć po prostu: współrzędna końca wektora minus współrzędna jego początku.

Jeśli podano współrzędne wektora, jego długość określa wzór

Dodawanie wektorów

Istnieją dwa sposoby dodawania wektorów.

1 . Reguła równoległoboku. Aby dodać wektory i umieść początki obu w tym samym punkcie. Kończymy budowanie do równoległoboku iz tego samego punktu rysujemy przekątną równoległoboku. Będzie to suma wektorów i.

Pamiętasz bajkę o łabędziu, raku i szczupaku? Bardzo się starali, ale nigdy nie ruszyli wózka. W końcu suma wektorowa sił przyłożonych przez nich do wózka była równa zero.

2. Drugim sposobem dodawania wektorów jest reguła trójkąta. Weźmy te same wektory i. Dodaj początek drugiego do końca pierwszego wektora. Teraz połączmy początek pierwszego i koniec drugiego. To jest suma wektorów i.

Kilka wektorów można dodać zgodnie z tą samą zasadą. Dołączamy je jeden po drugim, a następnie łączymy początek pierwszego z końcem ostatniego.

Wyobraź sobie, że idziesz z punktu A do punktu B, z B do C, z C do D, potem do E i do F. Efektem końcowym tych działań jest przejście z punktu A do F.

Dodając wektory i otrzymujemy:

Odejmowanie wektorów

Wektor jest skierowany przeciwnie do wektora. Długości wektorów i są równe.

Teraz jest jasne, czym jest odejmowanie wektorów. Różnica wektorów i jest sumą wektora i wektora.

Mnożenie wektora przez liczbę

Mnożąc wektor przez liczbę k, otrzymujemy wektor, którego długość jest k razy różna od jego długości. Jest współkierunkowy z wektorem, jeśli k jest większe od zera, i przeciwnie skierowany, jeśli k jest mniejsze od zera.

Iloczyn skalarny wektorów

Wektory można mnożyć nie tylko przez liczby, ale także przez siebie.

Iloczyn skalarny wektorów jest iloczynem długości wektorów przez cosinus kąta między nimi.

Zwróć uwagę - pomnożyliśmy dwa wektory i otrzymaliśmy skalar, czyli liczbę. Na przykład w fizyce Praca mechaniczna równy iloczynowi skalarnemu dwóch wektorów - siły i przemieszczenia:

Jeśli wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny wynosi zero.
I tak iloczyn skalarny wyraża się za pomocą współrzędnych wektorów i:

Ze wzoru na produkt kropkowy możesz znaleźć kąt między wektorami:

Ta formuła jest szczególnie przydatna w geometrii bryłowej. Na przykład w Problemie 14 Egzamin profilowy w matematyce musisz znaleźć kąt między przecinającymi się liniami prostymi lub między linią prostą a płaszczyzną. Często metoda wektorowa rozwiązuje problem 14 kilka razy szybciej niż metoda klasyczna.

V program nauczania w matematyce badany jest tylko iloczyn skalarny wektorów.
Okazuje się, że oprócz skalaru istnieje również iloczyn krzyżowy, gdy w wyniku mnożenia dwóch wektorów otrzymuje się wektor. Ci, którzy zdają egzamin z fizyki, wiedzą, czym jest siła Lorentza i siła Ampera. To produkty wektorowe są zawarte we wzorach znajdowania tych sił.

Wektory są bardzo przydatnym narzędziem matematycznym. Przekonacie się o tym w pierwszym roku.

Podczas wykonywania przez komputer bieżącego programu wewnątrz maszyny oraz w związanym z nią środowisku zewnętrznym (na przykład w procesie technologicznym sterowanym przez komputer) mogą wystąpić zdarzenia wymagające natychmiastowej reakcji maszyny.

Reakcją jest to, że maszyna przerywa przetwarzanie bieżącego programu i przechodzi do wykonywania innego programu specjalnie zaprojektowanego do tego zdarzenia. Po zakończeniu tego programu komputer powraca do wykonywania przerwanego programu.

Omawiany proces nazywa się programami przerywającymi. Zasadnicze znaczenie ma to, aby momenty wystąpienia zdarzeń wymagających przerwania programów były z góry nieznane i dlatego nie mogą być brane pod uwagę podczas programowania.

Każdemu zdarzeniu wymagającemu przerwania towarzyszy sygnał informujący komputer - żądania przerwania. Program żądany przez żądanie przerwania jest nazywany programem przerwania, w przeciwieństwie do programu przerywanego, który był wykonywany przez maszynę przed pojawieniem się żądania.

Zdolność do przerywania programów jest ważną właściwością architektoniczną komputera, która umożliwia efektywne wykorzystanie wydajności procesora w obecności kilku procesów przebiegających równolegle w czasie, wymagających kontroli i konserwacji ze strony procesora w dowolnym czasie. Przede wszystkim dotyczy to organizacji równoległej pracy procesora i urządzeń peryferyjnych maszyny w czasie, a także wykorzystania komputerów do sterowania procesami technologicznymi w czasie rzeczywistym.

Aby komputer mógł bez większego wysiłku ze strony programisty realizować z dużą szybkością przerwania programu, maszyna musi być wyposażona w odpowiedni sprzęt i oprogramowanie, których połączenie nazywamy systemem przerwań programu.

Główne funkcje systemu przerwań to:

zapamiętanie stanu przerwanego programu i wykonanie przejścia do programu przerywającego;

przywrócenie stanu przerwanego programu i powrót do niego.

Wektor przerwania nazywany jest wektorem "stanu początkowego programu przerwania". Wektor przerwań zawiera wszystkie informacje niezbędne do skoku do programu przerwań, w tym jego adres początkowy. Każde żądanie przerwania (liczba) ma swój własny wektor przerwań zdolny do zainicjowania wykonania odpowiedniego programu przerwań. Wektory przerwań znajdują się w specjalnie przydzielonych, stałych lokalizacjach pamięci - tablicy wektorów przerwań.

Główne miejsce w procedurze przełączania do programu przerywającego zajmuje procedura przesyłania z odpowiedniego rejestru (-ów) procesora do pamięci (w szczególności do stosu), aby zapisać bieżący wektor stanu przerwanego programu ( aby można było wrócić do jego wykonania) i załadować do rejestru (rejestrów) procesor wektora przerwań programu przerywającego, do którego przekazywane jest sterowanie procesorem.

Klasyfikacja przerwań

Żądania przerwań mogą występować wewnątrz samego komputera oraz w jego środowisku zewnętrznym. Do tych pierwszych należą np. żądania w przypadku wystąpienia w komputerze takich zdarzeń jak pojawienie się błędu w działaniu jego sprzętu, przepełnienie siatki bitowej, próba dzielenia przez 0, wyjście z obszaru pamięci ustawionego dla danego żądanie wykonania operacji wejścia-wyjścia przez urządzenie peryferyjne, zakończenie operacji we/wy przez urządzenie peryferyjne lub wystąpienie podczas tej operacji specjalnej sytuacji itp. Chociaż niektóre z tych zdarzeń są generowane przez sam program, momentów ich wystąpienia z reguły nie można przewidzieć. Żądania w środowisku zewnętrznym mogą pochodzić z innych komputerów, z czujników alarmowych i niektórych innych czujników procesowych itp.

Rodzina mikroprocesorów Intel 80x86 obsługuje 256 poziomów przerwań z wywłaszczaniem wyzwalanych przez trzy typy zdarzeń:

wewnętrzne przerwania sprzętowe

zewnętrzne przerwania sprzętowe

przerwania oprogramowania

Wewnętrzne przerwania sprzętowe, czasami nazywane błędami, są generowane przez pewne zdarzenia, które występują podczas wykonywania programu, takie jak próba dzielenia przez 0. Przypisanie pewnych numerów przerwań do takich zdarzeń jest wbudowane w procesor i nie można ich zmienić.

Zewnętrzne przerwania sprzętowe wyzwalane przez kontrolery peryferyjne lub koprocesory (np. 8087/80287). Źródła przerwań są podłączone albo do styku przerwania niemaskowanego procesora (NMI) albo do styku przerwania maskowalnego (INTR). Linia NMI jest zwykle przeznaczona do przerwań spowodowanych zdarzeniami katastroficznymi, takimi jak błędy parzystości pamięci lub przerwy w zasilaniu.

Przerwania oprogramowania... Każdy program może zainicjować synchroniczne przerwanie programowe, wykonując polecenie int... MS-DOS używa przerwań od 20H do 3FH do interakcji ze swoimi modułami i programami aplikacyjnymi (na przykład menedżer funkcji MS-DOS jest dostępny przez wykonanie polecenia inie 21h). Programy ROM BIOS i aplikacje IBM PC używają różnych numerów przerwań, wyższych lub niższych. Ten rozkład numerów przerwań jest warunkowy i nie jest w żaden sposób ustalany przez sprzęt.

Tabela wektorów przerwań

W celu powiązania adresu obsługi przerwań z numerem przerwania, używana jest tablica wektorów przerwań, która zajmuje pierwszy kilobajt pamięci RAM. Tablica ta mieści się w zakresie adresów od 0000:0000 do 0000:03FFh i składa się z 256 elementów - odległych adresów obsługi przerwań.

Wpisy w tablicy wektorów przerwań nazywane są wektorami przerwań. Pierwsze słowo wpisu tablicy zawiera składnik przesunięcia, a drugie zawiera składnik segmentu adresu obsługi przerwań.

Wektor przerwań o numerze 0 znajduje się pod adresem 0000: 0000, z numerem 1 pod adresem 0000: 0004 itd. Ogólnie adres wektora przerwań znajduje się przez pomnożenie numeru przerwania przez 4.

Tabela jest inicjowana częściowo przez podstawowy system I/O BIOS po przetestowaniu sprzętu i przed uruchomieniem systemu operacyjnego, częściowo podczas uruchamiania systemu MS-DOS. System operacyjny MS-DOS może zmienić niektóre wektory przerwań ustawione przez BIOS.

Tabela wektorów przerwań

Numer	Opis
	Błąd podziału. Wywoływane automatycznie po wykonaniu polecenia DIV lub IDIV, jeśli w wyniku dzielenia wystąpi przepełnienie (na przykład, gdy jest dzielone przez 0). Zazwyczaj, gdy to przerwanie jest przetwarzane, MS-DOS wyświetla komunikat o błędzie i zatrzymuje wykonywanie programu. W tym przypadku dla procesora i8086 adres powrotu wskazuje na polecenie następujące po poleceniu dzielenia, a dla procesora i80286 i nowszych modeli - na pierwszy bajt polecenia, które spowodowało przerwanie
	Przerwanie trybu krok po kroku. Emitowany po wykonaniu każdej instrukcji maszynowej, jeśli bit śledzenia TF jest ustawiony w słowie flag. Służy do debugowania programów. Przerwanie to nie jest generowane po przesłaniu danych do rejestrów segmentowych za pomocą instrukcji MOV i POP.
	Sprzętowe przerwanie niemaskowalne. To przerwanie może być używane na różne sposoby na różnych maszynach. Zwykle jest generowany, gdy w pamięci RAM występuje błąd parzystości i gdy żądane jest przerwanie z koprocesora.
	Przerwa do śledzenia. Generowane, gdy wykonywana jest jednobajtowa instrukcja maszynowa z kodem CCh i jest zwykle używana przez debugery do ustawienia punktu przerwania
	Przelewowy. Generowane przez polecenie maszyny INTO, jeśli ustawiona jest flaga przepełnienia OF. Jeśli flaga nie jest ustawiona, polecenie INTO jest wykonywane jako NOP. To przerwanie jest używane do obsługi błędów podczas wykonywania operacji arytmetycznych.
	Wydrukuj kopię ekranu. Generowany, gdy użytkownik nacisnął klawisz Zwykle używany w programach MS-DOS do drukowania obrazu ekranu. W przypadku modeli procesorów i80286 i wyższych, generowany podczas wykonywania instrukcji maszynowej BOUND, jeśli sprawdzana wartość wykracza poza określony zakres
	Niezdefiniowany kod operacji lub długość polecenia większa niż 10 bajtów
	Specjalny przypadek braku koprocesora arytmetycznego
	IRQ0 - przerwanie timera interwału, występuje 18,2 razy na sekundę
	IRQ1 - przerwanie klawiatury. Generowane, gdy użytkownik naciśnie i zwolni klawisze. Służy do odczytywania danych z klawiatury
	IRQ2 - używane do kaskadowania przerwań sprzętowych
	IRQ3 - przerwanie portu asynchronicznego COM2
	IRQ4 - przerwanie portu asynchronicznego COM1
	IRQ5 - przerwanie z kontrolera dysku twardego (tylko dla komputerów IBM PC/XT)
	IRQ6 - przerwanie jest generowane przez kontroler stacji dyskietek po zakończeniu operacji I/O
	IRQ7 - przerwanie adaptera równoległego. Generowany, gdy drukarka podłączona do adaptera jest gotowa do wykonania następnej operacji. Zwykle nie używany
	Konserwacja karty wideo
	Ustalenie konfiguracji urządzeń w systemie
	Określanie rozmiaru pamięci RAM
	Konserwacja systemu dyskowego
	Praca z asynchronicznym adapterem szeregowym
	Zaawansowana usługa
	Konserwacja klawiatury
	Konserwacja drukarki
	Uruchom BASIC w pamięci ROM, jeśli istnieje
	Oglądaj usługę
	Obsługa przerwań, która występuje, gdy użytkownik naciśnie kombinację klawiszy
	Przerwanie programowe, nazywane 18.2 razy na sekundę przez obsługę przerwań sprzętowych zegara
	Adres tabeli wideo dla kontrolera kart wideo 6845
	Wskaźnik do tabeli parametrów dyskietki
	Wskaźnik do tabeli graficznej dla znaków z kodami ASCII 128-255
	Używany przez MS-DOS lub zarezerwowany dla MS-DOS
	Przerwania zarezerwowane dla programów użytkownika
	Nieużywany
	IRQ8 - przerwanie zegara czasu rzeczywistego
	IRQ9 - przerwanie z kontrolera EGA
	IRQ10 - Zarezerwowane
	IRQ11 - Zarezerwowane
	IRQ12 - Zarezerwowane
	IRQ13 - przerwanie z koprocesora arytmetycznego
	IRQ14 - przerwanie z kontrolera dysku twardego
	IRQ15 - Zarezerwowane
	Nieużywany
	Zarezerwowane dla BASIC
	Używany przez tłumacza BASIC
	Nieużywany

Przerwania oznaczone jako IRQ0 - IRQ15 są zewnętrznymi przerwaniami sprzętowymi.

Przerwij zlecenie serwisowe

CPU, po wykryciu sygnału przerwania, umieszcza słowo statusu programu (definiujące różne flagi CPU), rejestr segmentu programu (CS) i wskaźnik instrukcji (IP) na stos maszynowy i wyłącza system przerwań. CPU następnie używa 8-bitowego numeru (numeru przerwania) ustawionego na magistrali systemowej przez proces przerwania, aby pobrać adres obsługi z tablicy wektorów i wznowić wykonywanie pod tym adresem.

Jeśli istnieje kilka źródeł żądań przerwań, należy ustalić pewną kolejność (dyscyplinę) obsługi żądań przychodzących. Innymi słowy, między żądaniami (i odpowiadającymi im programami przerywającymi) należy ustalić współczynniki priorytetów, które określają, które z kilku przychodzących żądań ma zostać przetworzone w pierwszej kolejności i określają, czy to żądanie (program przerywający) ma prawo, czy też nie. nie mają prawa przerywać tego lub innego programu. Jeżeli najwyższy priorytet z ustawionych żądań przerwań nie przekracza programu wykonywanego przez procesor na poziomie priorytetu, to żądanie przerwania jest ignorowane lub jego obsługa jest odkładana do czasu zakończenia wykonywania bieżącego programu. Każde przerwanie odpowiada określonej liczbie, która określa priorytet. Wyższym priorytetem jest żądanie o niższym numerze, czyli Przerwanie 0 ma najwyższy priorytet, a 255 najniższy.

Stan systemu w momencie przekazania sterowania do obsługi przerwań nie zależy w ogóle od tego, czy przerwanie zostało zainicjowane przez urządzenie zewnętrzne, czy też wynikało z wykonania instrukcji INT przez program. Ta okoliczność jest wygodna w użyciu podczas pisania i testowania zewnętrznych programów obsługi przerwań, które można prawie całkowicie debugować, wywołując je za pomocą prostych narzędzi programowych.

Argumenty są przekazywane do obsługi przerwań za pośrednictwem rejestrów lub stosu.

Model programistyczny mikroprocesora x86. Klasyfikacja, lista i przeznaczenie rejestrów użytkowników.

Model oprogramowania mikroprocesora oznacza, że ​​jego część pozostaje widoczna i dostępna do programowania. Model programu rozważymy na przykładzie procesora i80486, który zawiera 32 rejestry w różnym stopniu dostępne dla programisty. Rejestry te można podzielić na dwie duże grupy:

16 użytkowników rejestruje, które użytkownik może swobodnie wykorzystywać w swoich programach do realizacji zadania;

16 rejestrów systemowych, rejestrów przeznaczonych do obsługi różnych trybów pracy, funkcji serwisowych.

Rejestry Obszary szybkiej pamięci znajdującej się wewnątrz procesora w bezpośrednim sąsiedztwie jego rdzenia wykonawczego to tzw. Dostęp do nich jest nieporównywalnie szybszy niż do komórek pamięci RAM. W związku z tym instrukcje maszynowe z operandami w rejestrach są wykonywane tak szybko, jak to możliwe.

Rejestry niestandardowe obejmują:

osiem 32-bitowych rejestrów, które mogą być używane przez programistów do przechowywania danych i adresów. Nazywa się je rejestrami ogólnego przeznaczenia (RON):

sześć rejestrów segmentowych:

rejestry stanu i kontroli:

rejestr flag flagi EF / flagi;

Rejestr wskaźnika instrukcji EIP/IP.

Ryż. 1,3Rejestry użytkowników mikroprocesora I486

Wiele nazw rejestrów jest wyświetlanych z ukośnymi separatorami. Należy zauważyć, że nie są to oddzielne rejestry - są to części tego samego dużego rejestru 32-bitowego. Mogą być używane jako osobne obiekty w programie. Ma to na celu zapewnienie operacyjności programów napisanych dla niskobudżetowych 16-bitowych modeli mikroprocesorów Intela, począwszy od i8086. Mikroprocesory i486 i Pentium mają głównie rejestry 32-bitowe. Ich liczba, z wyjątkiem rejestrów segmentowych, jest taka sama jak w i8086, ale wymiar jest większy, co znajduje odzwierciedlenie w ich oznaczeniach - mają przedrostek E (Extended).

Zastanówmy się nad składem i przeznaczeniem rejestrów niestandardowych.

Rejestry ogólnego przeznaczenia

Wszystkie rejestry w tej grupie umożliwiają dostęp do ich „dolnych” części (patrz rys. 1.3). Zauważ, że tylko dolne 16- i 8-bitowe części tych rejestrów mogą być używane jako niezależne obiekty. Górne 16 bitów tych rejestrów nie jest dostępnych jako niezależne obiekty. Odbywa się to, jak wspomniano powyżej, w celu zapewnienia zgodności z niższymi 16-bitowymi modelami mikroprocesorów Intela.

Wymieńmy bardziej szczegółowo rejestry należące do grupy rejestrów ogólnego przeznaczenia. Ponieważ te rejestry są fizycznie zlokalizowane w mikroprocesorze wewnątrz jednostki arytmetyczno-logicznej (ALU), często nazywane są rejestrami ALU:

EAX / AX / AH / AL (rejestr akumulatorowy) - bateria... Służy do przechowywania danych pośrednich. W niektórych poleceniach wymagane jest użycie tego rejestru;

EBX / BX / BH / BL (Rejestr podstawowy) - baza Zarejestruj się. Służy do przechowywania adresu bazowego jakiegoś obiektu w pamięci;

ECX / CX / CH / CL (Rejestr liczników) - Zarejestruj się- licznik... Używany w poleceniach, które wykonują pewne powtarzalne czynności. Jego użycie jest często ukryte i ukryte w algorytmie odpowiedniego polecenia. Na przykład polecenie organizacji pętli pętli, oprócz przekazania sterowania do polecenia znajdującego się pod pewnym adresem, zmniejsza się o jeden i analizuje wartość rejestru ECX / CX;

EDX / DX / DH / DL (rejestr danych) - rejestr dane... Podobnie jak rejestr EAX/AX/AH/AL przechowuje dane pośrednie. W niektórych poleceniach wymagane jest jego użycie; w przypadku niektórych poleceń dzieje się to niejawnie (na przykład mnożenie i dzielenie).

Następujące dwa rejestry służą do obsługi tak zwanych operacji łańcuchowych, czyli operacji, które wykonują sekwencyjne przetwarzanie ciągów elementów, z których każdy może mieć długość 32, 16 lub 8 bitów:

ESI / SI (rejestr indeksu źródłowego) - indeks źródło... Ten rejestr w operacjach łączenia zawiera aktualny adres elementu w łańcuchu źródłowym;

EDI / DI (rejestr indeksu przeznaczenia) - indeks odbiorca(odbiorca). Ten rejestr w operacjach łączenia zawiera aktualny adres w łańcuchu docelowym.

W architekturze mikroprocesora na poziomie sprzętu i oprogramowania struktura danych, taka jak stos .

Stos To obszar pamięci specjalnie przeznaczony do tymczasowego przechowywania danych programu. Mikroprocesor organizuje pracę ze stosem według następującej zasady: ostatni przedmiot w tym obszarze, przedmiot jest pobierany jako pierwszy.

Do pracy ze stosem w systemie poleceń mikroprocesora istnieją specjalne polecenia, aw modelu oprogramowania mikroprocesora są do tego specjalne rejestry:

ESP / SP (rejestr wskaźnika stosu) - rejestr wskaźnik stos... Zawiera wskaźnik do szczytu stosu w bieżącym segmencie stosu.

EBP / BP (rejestr wskaźnika bazowego) - rejestr wskaźnik bazowy ramki stosu... Zaprojektowany do organizowania losowego dostępu do danych wewnątrz stosu.

Możliwości korzystania ze stosu zostały szerzej omówione w module 4 „Polecenia mikroprocesora i80486”, rozdział „Polecenia do pracy ze stosem”.

W rzeczywistości funkcjonalny cel rejestrów ALU nie jest sztywny. Większość rejestrów może być używana w programowaniu do przechowywania operandów w prawie dowolnej kombinacji. Ale, jak wspomniano powyżej, niektóre polecenia używają stałych rejestrów do wykonywania swoich działań.

Rejestry segmentowe

Model oprogramowania mikroprocesorowego ma sześć rejestrów segmentowych: CS, SS, DS, ES, FS, GS. Ich istnienie wynika ze specyfiki organizacji i wykorzystania pamięci RAM przez mikroprocesory Intela. Polega ona na tym, że sprzęt mikroprocesorowy wspiera strukturalną organizację programu w postaci trzech części, zwanych segmenty... W związku z tym ta organizacja pamięci nazywa się segmentowy.

W celu wskazania segmentów, do których program ma dostęp w określonym momencie i są przeznaczone rejestry segmentowe... W rzeczywistości, z niewielką poprawką, jak zobaczymy później, rejestry te zawierają adresy pamięci, od których zaczynają się odpowiednie segmenty. Logika przetwarzania instrukcji maszynowej jest skonstruowana tak, że podczas pobierania instrukcji, dostępu do danych programu lub stosu, adresy w dobrze zdefiniowanych rejestrach segmentowych są niejawnie używane. Rodzaje segmentów i odpowiadające im rejestry są omówione bardziej szczegółowo w rozdziale 3 „Organizacja pamięci segmentów” tego modułu.

Rejestry statusu i kontroli

Mikroprocesor zawiera dwa rejestry, które stale zawierają informacje o stanie zarówno samego mikroprocesora, jak i programu, którego polecenia są aktualnie ładowane na przenośnik:

Zarejestruj się flagi flagi / flagi;

Zarejestruj się wskaźnik polecenia EIP / IP.

Korzystając z tych rejestrów można uzyskać informacje o wynikach wykonania polecenia oraz wpływać na stan samego mikroprocesora. Przyjrzyjmy się bliżej celowi i zawartości tych rejestrów:

Flagi EF/ Flagi(Zarejestruj flagi). Poszczególne bity tego rejestru mają określony cel funkcjonalny i nazywane są flagami. Dolna część tego rejestru jest całkowicie analogiczna do rejestru Flags dla i8086. Na ryc. 1.4 pokazuje zawartość rejestru EFlags.

W zależności od specyfiki użytkowania, flagi rejestru EFlags / Flags można podzielić na trzy grupy:

8 flag stanu... Flagi te można zmienić po wykonaniu instrukcji maszynowych. Flagi stanu Rejestry EFlags odzwierciedlają specyfikę wyniku wykonania operacji arytmetycznych lub logicznych. Umożliwia to analizę stanu procesu obliczeniowego i reagowanie na niego za pomocą warunkowych instrukcji rozgałęzienia i wywołań podprogramów. Tabela 1.1 wymienia główne flagi stanu i wskazuje ich przeznaczenie;

1 flaga kontrolna... DF (flaga kierunku). Znajduje się w bicie 10 rejestru EFlags i jest używany przez polecenia łączenia. Wartość flagi DF określa kierunek przetwarzania element po elemencie w tych operacjach: od początku wiersza do końca (DF = 0) lub odwrotnie, od końca wiersza do jego początku (DF = 1). Istnieją specjalne polecenia do pracy z flagą DF: cld(usuń flagę DF) i standardowe(ustaw flagę DF). Użycie tych poleceń pozwala na sprowadzenie flagi DF zgodnie z algorytmem i zapewnienie automatycznego zwiększania lub zmniejszania liczników podczas wykonywania operacji na ciągach;

5 flag systemowych które kontrolują wejścia / wyjścia, maskowane przerwania, debugowanie, przełączanie zadań i tryb wirtualny 8086. Aplikacje nie są zalecane do niepotrzebnej modyfikacji tych flag, ponieważ w większości przypadków spowoduje to przerwanie programu. Tabela 1.2 wymienia flagi systemowe i ich przeznaczenie.

Ryż. 1,4Zarejestruj zawartość Flagi EF

Tabela 1.1

Podstawowe flagi stanu

Flaga mnemoniczna	Flaga	Numer bitu w Flagi EF
	Noś flagę		1 - operacja arytmetyczna wykonała transfer od najbardziej znaczącego fragmentu wyniku. Najważniejszym jest 7, 15 lub 31 bit, w zależności od wielkości operandu; 0 - nie było przelewu
	Flaga parzystości		1 - 8 najmniej znaczących bitów (ta flaga dotyczy tylko 8 najmniej znaczących bitów operandu dowolnej wielkości) wyniku zawiera Liczba parzysta jednostki; 0 - 8 najmniej znaczących bitów wyniku zawiera nieparzystą liczbę jedynek
	Zerowa flaga		1 - wynik wynosi zero; 0 - wynik jest niezerowy
	Podpisz flagę		Odzwierciedla stan najbardziej znaczącego bitu wyniku (bity 7, 15 lub 31 odpowiednio dla operandów 8, 16 lub 32-bitowych): 1 - najbardziej znaczący bit wyniku to 1; 0 - najbardziej znaczący bit wyniku to 0
	Flaga przepełnienia		Flaga of służy do zarejestrowania faktu utraty znaczącego bitu podczas operacji arytmetycznych: 1 - w wyniku operacji następuje przekazanie (pożyczenie) (od) najbardziej znaczącego bitu znaku wyniku (bity 7, 15 lub 31 odpowiednio dla 8, 16 lub 32-bitowych operandów); 0 - w wyniku operacji nie następuje przelew (pożyczka) do (od) najbardziej znaczącego bitu znaku wyniku

W tym artykule rozpoczniemy dyskusję na temat jednej „magicznej różdżki”, która pozwoli zredukować wiele problemów geometrycznych do prostej arytmetyki. Ten „kij” może znacznie ułatwić Ci życie, szczególnie w przypadku, gdy czujesz się niepewnie w konstruowaniu przestrzennych figur, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i praktycznych umiejętności. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli ci niemal całkowicie abstrahować od wszelkiego rodzaju konstrukcji geometrycznych i rozumowania. Metoda nazywa się „Metoda współrzędnych”... W tym artykule rozważymy następujące pytania:

1. Płaszczyzna współrzędnych
2. Punkty i wektory na płaszczyźnie
3. Konstruowanie wektora z dwóch punktów
4. Długość wektora (odległość między dwoma punktami)
5. Współrzędne punktu środkowego
6. Iloczyn skalarny wektorów
7. Kąt między dwoma wektorami

Myślę, że już zgadłeś, dlaczego metoda współrzędnych jest tak nazywana? To prawda, że ​​otrzymał takie imię, ponieważ operuje nie obiektami geometrycznymi, ale ich cechami liczbowymi (współrzędnymi). A sama transformacja, która umożliwia przejście od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli oryginalna figura była płaska, współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem artykułu jest nauczenie Cię, jak posługiwać się podstawowymi technikami metody współrzędnych (czasami okazują się przydatne w rozwiązywaniu problemów planimetrycznych w części B egzaminu). Kolejne dwa rozdziały na ten temat poświęcone są omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (problem stereometrii).

Gdzie logiczne byłoby rozpoczęcie omawiania metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcji układu współrzędnych. Pamiętaj, kiedy pierwszy raz ją spotkałeś. Wydaje mi się, że w 7 klasie, kiedy dowiedziałeś się o istnieniu funkcja liniowa, na przykład. Przypomnę, że zbudowałeś go punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, wstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład, jeśli, to, jeśli, to itd. Co w końcu dostałeś? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś "krzyżyk" (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz miał jako segment jednostkowy) i zaznaczyłeś na nim otrzymane punkty, które następnie połączyłeś linią prostą, powstałą linią jest wykresem funkcji.

Jest tu kilka punktów, które należy wyjaśnić bardziej szczegółowo:

1. Ze względu na wygodę wybierasz jeden segment, aby wszystko ładnie i kompaktowo mieściło się na zdjęciu.

2. Zakłada się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś od dołu do góry.

3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywa się początkiem. Wskazuje na to list.

4. Przy zapisywaniu współrzędnych punktu, na przykład po lewej stronie w nawiasie znajduje się współrzędna punktu wzdłuż osi, a po prawej wzdłuż osi. W szczególności oznacza to po prostu, że w punkcie

5. Aby ustawić dowolny punkt na oś współrzędnych, musisz podać jego współrzędne (2 cyfry)

6. Dla dowolnego punktu na osi,

7. Dla dowolnego punktu na osi,

8. Oś nazywana jest osią odciętą.

9. Oś nazywa się osią y.

Teraz zróbmy z tobą kolejny krok: zaznacz dwa punkty. Połączmy te dwa punkty segmentem. I umieścimy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy sprawimy, że nasz odcinek będzie skierowany!

Pamiętaj, jak jeszcze nazywa się linia kierunkowa? Zgadza się, nazywa się to wektorem!

Tak więc, jeśli połączymy punkt z punktem, ponadto początkiem będzie punkt A, a końcem punkt B, wtedy otrzymujemy wektor. Ty też robiłeś tę formację w 8 klasie, pamiętasz?

Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, mogą być oznaczone dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektora. Pytanie brzmi: czy uważasz, że wystarczy znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! Robi się to bardzo prosto:

Tak więc, ponieważ w wektorze punktem jest początek, a koniec wektor ma następujące współrzędne:

Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora

Teraz zróbmy odwrotnie, znajdź współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec w punkcie. Następnie:

Przyjrzyj się uważnie, jak są wektory i? Jedyną ich różnicą są znaki we współrzędnych. Są przeciwne. Zwyczajowo pisze się ten fakt w ten sposób:

Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wektory są oznaczone nie dwiema wielkimi literami, ale jedną małą literą, na przykład: itd.

Teraz trochę ćwiczyć siebie i znajdź współrzędne następujących wektorów:

Badanie:

Teraz rozwiąż problem nieco trudniej:

Vektor z na-cha-lom w punkcie ma co-or-di-na-ty. Nay-di-te punkty abs-cis-su.

Wszystko to jest dość prozaiczne: niech będą współrzędne punktu. Następnie

Układ stworzyłem na podstawie definicji współrzędnych wektora. Wtedy punkt ma współrzędne. Interesuje nas odcięta. Następnie

Odpowiedź:

Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można mnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)

1. Wektory można dodawać do siebie
2. Wektory można od siebie odejmować
3. Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę niezerową
4. Wektory można mnożyć przez siebie

Wszystkie te operacje mają bardzo wyraźną reprezentację geometryczną. Na przykład trójkąt (lub równoległobok) rządzi dodawaniem i odejmowaniem:

Wektor rozszerza się lub kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:

Tutaj jednak interesuje nas pytanie, co dzieje się ze współrzędnymi.

1. Przy dodawaniu (odejmowaniu) dwóch wektorów dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To jest:

2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:

Na przykład:

· Nay-di-te suma ko-or-di-nat vek-to-ra.

Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Oba mają to samo pochodzenie - punkt początkowy. Ich końce są inne. Następnie, . Teraz obliczmy współrzędne wektora Następnie suma współrzędnych wektora wynikowego jest.

Odpowiedź:

Teraz samodzielnie rozwiąż następujący problem:

Znajdź sumę współrzędnych wektora

Sprawdzamy:

Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech będzie pierwszy punkt, a drugi. Oznaczmy odległość między nimi. Zróbmy następujący rysunek dla jasności:

Co ja zrobiłem? Najpierw podłączyłem punkty i, i również z punktu narysowałem linię równoległą do osi, az punktu narysowałem linię równoległą do osi. Czy przecinały się w pewnym punkcie, tworząc w ten sposób wspaniałą figurę? Do czego jest godna uwagi? Tak, ty i ja wiemy prawie wszystko trójkąt prostokątny... Cóż, twierdzenie Pitagorasa - na pewno. Poszukiwany segment to przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, można je łatwo znaleźć na zdjęciu: ponieważ segmenty są równoległe do osi, a zatem ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli odpowiednio oznaczysz długości segmentów przez, to

Użyjmy teraz twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:

Zatem odległość między dwoma punktami jest pierwiastkiem sumy kwadratów różnic względem współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącej je linii. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami jest niezależna od kierunku. Następnie:

Z tego wyciągamy trzy wnioski:

Poćwiczmy obliczanie odległości między dwoma punktami:

Na przykład, jeśli, to odległość między i jest równa

Albo chodźmy inaczej: znajdź współrzędne wektora

I znajdź długość wektora:

Jak widać, to samo!

Teraz sam poćwicz:

Zadanie: znajdź odległość między określonymi punktami:

Sprawdzamy:

Oto kilka innych problemów dla tej samej formuły, choć brzmią nieco inaczej:

1. Kwadrat Nay-di-te o długości od stulecia do ra.

2. Kwadrat Nay-di-te o długości od stulecia do ra

Myślę, że łatwo sobie z nimi poradziłeś? Sprawdzamy:

1. A to dla uwagi) Znaleźliśmy już współrzędne wektorów i wcześniej:. Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie równy:

2. Znajdź współrzędne wektora

Wtedy kwadrat jego długości wynosi

Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.

Poniższe zadania nie mogą być jednoznacznie skategoryzowane, są bardziej podatne na ogólną erudycję i umiejętność rysowania prostych obrazków.

1. Nay-di-te sinus kąta na-klona-od-cięcia, co-uni-nya-yu-shcha-ty punkt, z osią odciętych.

oraz

Co będziemy tutaj robić? Musisz znaleźć sinus kąta między osią a osią. A skąd wiemy, jak szukać sinusa? Zgadza się, w trójkącie prostokątnym. Więc co musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!

Ponieważ współrzędne punktu to i, segment jest równy, a segment. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę więc, że zatoka jest stosunkiem nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej

Co nam pozostaje do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Możesz to zrobić na dwa sposoby: przez twierdzenie Pitagorasa (nogi są znane!) Lub przez wzór na odległość między dwoma punktami (w rzeczywistości to samo, co pierwszy sposób!). Pójdę w drugą stronę:

Odpowiedź:

Kolejne zadanie wyda ci się jeszcze łatwiejsze. Ona - na współrzędnych punktu.

Cel 2. Per-pen-di-ku-lar obniża się od punktu do osi odciętych. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Zróbmy rysunek:

Podstawą pionu jest punkt, w którym przecina oś odciętych (oś), dla mnie jest to punkt. Rysunek pokazuje, że ma współrzędne:. Interesuje nas odcięta - czyli składnik "x". Jest równy.

Odpowiedź: .

Cel 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości od punktu do osi współrzędnych.

Zadanie jest generalnie elementarne, jeśli wiesz, jaka jest odległość od punktu do osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale nadal przypominam:

Czyli na moim obrazku, położonym nieco wyżej, narysowałem już jedną taką prostopadłą? Do której to osi? Do osi. A jaka jest jego długość? Jest równy. Teraz sam narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równy, prawda? Wtedy ich suma jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu symetrycznego do punktu względem osi odciętej.

Myślę, że intuicyjnie rozumiesz, czym jest symetria? Ma ją wiele obiektów: wiele budynków, stołów, samolotów, wiele kształtów geometrycznych: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza mówiąc symetrię można rozumieć następująco: figura składa się z dwóch (lub więcej) identycznych połówek. Ta symetria nazywa się osiową. Czym zatem jest oś? Jest to dokładnie linia, wzdłuż której figurę można, względnie mówiąc, „pociąć” na identyczne połówki (na tym rysunku oś symetrii jest linią prostą):

Wróćmy teraz do naszego problemu. Wiemy, że szukamy punktu symetrycznego względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Oznacza to, że musimy zaznaczyć punkt, aby oś przecięła segment na dwie równe części. Spróbuj sam oznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:

Czy zrobiłeś to samo? OK! W znalezionym punkcie interesuje nas rzędna. Ona jest równa

Odpowiedź:

Teraz powiedz mi, po namyśle o sekundach, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego względem punktu A względem rzędnej? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .

Ogólnie regułę można napisać tak:

Punkt symetryczny do punktu względem osi odciętej ma współrzędne:

Punkt symetryczny do punktu wokół osi rzędnych ma współrzędne:

Cóż, teraz jest to całkowicie przerażające zadanie: znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem początku. Najpierw myślisz sam, a potem patrzysz na mój rysunek!

Odpowiedź:

Ale już problem równoległoboku:

Zadanie 5: Punkty to ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te lub-di-na-tu punkty.

Możesz rozwiązać ten problem na dwa sposoby: logicznie i metodą współrzędnych. Najpierw zastosuję metodę współrzędnych, a następnie powiem, jak możesz to inaczej rozwiązać.

Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej poprowadzonej od punktu do osi odciętej). Musimy znaleźć rzędnego. Wykorzystajmy fakt, że nasza figura jest równoległobokiem, co oznacza. Znajdź długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Obniżamy prostopadłość łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia zostanie oznaczony literą.

Długość segmentu to. (znajdź sam problem, w którym omawialiśmy ten punkt), następnie znajdujemy długość odcinka według twierdzenia Pitagorasa:

Długość linii jest dokładnie taka sama jak jej rzędna.

Odpowiedź: .

Inne rozwiązanie (podam tylko zdjęcie, które to ilustruje)

Postęp rozwiązania:

1. Postępowanie

2. Znajdź współrzędne punktu i długość

3. Udowodnij to.

Inny puzzle długości segmentu:

Pojawiają się punkty-la-are-Xia ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te to długość jego środkowej linii, paral-lel-noy.

Czy pamiętasz, jaka jest środkowa linia trójkąta? Wtedy to zadanie jest dla ciebie elementarne. Jeśli nie pamiętasz, to ci przypomnę: linia środkowa trójkąta to linia łącząca punkty środkowe przeciwległych boków. Jest równoległy do ​​podstawy i równy jej połowie.

Podstawą jest segment liniowy. Musieliśmy wcześniej poszukać jego długości, jest równa. Wtedy długość środkowej linii jest równa połowie i równa.

Odpowiedź: .

Komentarz: ten problem można rozwiązać w inny sposób, do którego powrócimy nieco później.

W międzyczasie - oto kilka zadań dla Ciebie, przećwicz je, są dość proste, ale pomagają "dostać rękę" metodą współrzędnych!

1. Punkty to ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te to długość jego środkowej linii.

2. Kropki i are-la-sy-ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te lub-di-na-tu punkty.

3. Długość nay-di-te od cięcia, punkt co-single-nya-yu-shch-go i

4. Obszar Nay-di-te pięknej fi-gu-ry na samolocie co-or-di-nat-noy.

5. Okrąg ze środkiem w na-cha-le ko-or-di-nat przechodzi przez punkt. Nay-di-te jej promienie-nas.

6. Nay-di-te ra-di-us koła, opisane-san-noy w pobliżu rect-coal-ni-ka, wierzchołki ko-to-ro-go mają kooperację -di-na -pożądasz-ale

Rozwiązania:

1. Wiadomo, że środkowa linia trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa, a podstawa jest. Następnie

Odpowiedź:

2. Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zauważenie tego (reguła równoległoboku). Oblicz współrzędne wektorów i nie jest trudne :. Po dodaniu wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma również te same współrzędne, ponieważ początkiem wektora jest punkt ze współrzędnymi. Interesuje nas rz. Jest równy.

Odpowiedź:

3. Działamy natychmiast według wzoru na odległość między dwoma punktami:

Odpowiedź:

4. Spójrz na obrazek i powiedz mi, pomiędzy którymi dwoma kształtami znajduje się zacieniony obszar „przełożony”? Jest umieszczony pomiędzy dwoma kwadratami. Wtedy powierzchnia wymaganej figury jest równa powierzchni dużego kwadratu minus powierzchnia małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi

Wtedy powierzchnia małego kwadratu to

To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok to odcinek łączący punkty, a jego długość to

Wtedy powierzchnia dużego placu to

Obszar wymaganej figury znajdujemy według wzoru:

Odpowiedź:

5. Jeśli okrąg ma początek współrzędnych jako środek i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (narysuj obrazek, a zrozumiesz, dlaczego jest to oczywiste). Znajdźmy długość tego segmentu:

Odpowiedź:

6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu są one równe w prostokącie!)

Odpowiedź:

Cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było trudno to rozgryźć, prawda? Zasada jest tutaj jedna – móc zrobić obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.

Zostało nam bardzo niewiele. Są jeszcze dwa punkty, które chciałbym omówić.

Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty i zostaną podane. Znajdź współrzędne punktu środkowego segmentu. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym punktem środkowym, wtedy ma współrzędne:

To jest: współrzędne punktu środkowego = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców segmentu.

Ta zasada jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, jakie zadania i jak są używane:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point i

2. Punkty to-la-yut-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te or-di-na-tu wskazuje pe-re-se-ch-niya jego dia-go-na-lei.

3. Nay-di-te abs-cis-su center-tra koła, opisane-san-noy w pobliżu węgla-no-ka, wierzchołki ko-to-ro-go mają ko-op-di- na-ty co-vet-ale.

Rozwiązania:

1. Pierwszy problem to po prostu klasyka. Działamy natychmiast, aby określić środek segmentu. Ma współrzędne. Jest rzędna.

Odpowiedź:

2. Łatwo zauważyć, że dany czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Sam możesz to udowodnić, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległoboku? Jego przekątne są o połowę mniejsze przez punkt przecięcia! Aha! Więc jaki jest punkt przecięcia przekątnych? To jest środek każdej z przekątnych! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne. Rzędna punktu jest równa.

Odpowiedź:

3. Czym jest środek okręgu opisanego na prostokącie? Zbiega się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe, a punkt przecięcia jest zmniejszony o połowę. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Wtedy jeśli jest środkiem opisanego koła, to jest środkiem. Szukam współrzędnych: Odcięta jest równa.

Odpowiedź:

Teraz poćwicz trochę sam, po prostu udzielę odpowiedzi na każdy problem, abyś mógł się sprawdzić.

1. Nay-di-te ra-di-us koła, opisane-san-noy wokół trójkąta, wierzchołki ko-to-ro-go mają ko-lub-di-żadnych panów

2. Nai-di-te or-di-na-tu center-tra okręgu, opisz-san-noy wokół trójkąta-nik, wierzchołki ko-to-ro-go mają współrzędne

3. How-to-ra-di-u-sa czy powinien istnieć okrąg ze środkiem w punkcie tak, aby znajdował się na osi odciętych?

4. Nay-di-te or-di-na-tu punkty pe-re-se-ch-nia osi i od-cut, co-uni-nya-yu-shch-go i

Odpowiedzi:

Udało Ci się? Naprawdę mam na to nadzieję! Teraz - ostatni zryw. Bądź teraz szczególnie ostrożny. Materiał, który teraz wyjaśnię, jest bezpośrednio związany nie tylko z prostymi problemami dotyczącymi metody współrzędnych z części B, ale również występuje wszędzie w zadaniu C2.

Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętasz, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a jakie ostatecznie wprowadziłem? Czy na pewno niczego nie zapomniałem? Zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.

Istnieją dwa sposoby pomnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy przedmioty o różnym charakterze:

Produkt krzyżowy jest dość skomplikowany. Jak to zrobić i do czego to służy, omówimy z Tobą w następnym artykule. A w tym skupimy się na iloczynie skalarnym.

Możemy to obliczyć na dwa sposoby:

Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Spójrzmy więc najpierw na pierwszy sposób:

Iloczyn skalarny pod względem współrzędnych

Znajdź: - wspólny zapis iloczynu skalarnego

Wzór na obliczenia jest następujący:

To znaczy iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorów!

Przykład:

Nai di te

Rozwiązanie:

Znajdźmy współrzędne każdego z wektorów:

Iloczyn skalarny obliczamy według wzoru:

Odpowiedź:

Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!

Cóż, teraz spróbuj sam:

Nay-di-te skalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-fosa i

Czy udało Ci się? Może zauważyłeś mały haczyk? Sprawdźmy:

Współrzędne wektorów są takie same jak w poprzednim zadaniu! Odpowiedź: .

Oprócz współrzędnej istnieje inny sposób obliczenia iloczynu skalarnego, a mianowicie poprzez długości wektorów i cosinus kąta między nimi:

Wskazuje kąt między wektorami i.

Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.

Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest o wiele prostsza, przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I jest to potrzebne, abyśmy mogli wywnioskować z pierwszego i drugiego wzoru, jak znaleźć kąt między wektorami!

Zapamiętajmy więc wzór na długość wektora!

Następnie, jeśli zastąpię te dane formułą iloczynu skalarnego, otrzymam:

Ale z drugiej strony:

Więc co ty i ja dostaliśmy? Mamy teraz wzór do obliczenia kąta między dwoma wektorami! Czasami dla zwięzłości jest to również napisane tak:

Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:

1. Oblicz iloczyn skalarny pod względem współrzędnych
2. Znajdź długości wektorów i pomnóż je
3. Wynik z punktu 1 podzielić przez wynik z punktu 2

Poćwiczmy na przykładach:

1. Nay-di-te to kąt między stuleciem do ra-mi a. Podaj odpowiedź w gra-du-sakh.

2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami

Zróbmy to: pomogę ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuję zrobić sam! Zgadzać się? W takim razie zacznijmy!

1. Te wektory są naszymi starymi znajomymi. Policzyliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to:,. Następnie znajdujemy ich długości:

Następnie szukamy cosinusa między wektorami:

Jaki jest cosinus kąta? To jest róg.

Odpowiedź:

Teraz sam rozwiąż drugi problem, a potem porównamy! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:

2. ma współrzędne, ma współrzędne.

Niech będzie kątem między wektorami i wtedy

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że problemy bezpośrednio na wektorach i metodach współrzędnych w części B pracy badawczej są dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać, wprowadzając układ współrzędnych. Możesz więc uznać ten artykuł za podstawę, na podstawie której wykonamy całkiem sprytne konstrukcje, których będziemy potrzebować do rozwiązywania złożonych problemów.

WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. ŚREDNI ROWEN

Ty i ja nadal studiujemy metodę współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych formuł, które pozwalają:

1. Znajdź współrzędne wektora
2. Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
3. Dodaj, odejmij wektory. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
4. Znajdź środek odcinka linii
5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
6. Znajdź kąt między wektorami

Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki, jak geometria analityczna, z którą zapoznasz się na uniwersytecie. Chcę tylko zbudować fundament, który pozwoli rozwiązywać problemy w jednym stanie. egzamin. Ustaliliśmy zadania części B w Teraz czas przejść na jakościowo nowy poziom! Ten artykuł będzie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. Ta racjonalność jest zdeterminowana tym, co jest wymagane do znalezienia w problemie i jaka jest podana liczba. Więc użyłbym metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:

1. Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
2. Znajdź kąt między linią a płaszczyzną
3. Znajdź kąt między dwiema prostymi liniami
4. Znajdź odległość od punktu do samolotu
5. Znajdź odległość od punktu do linii prostej
6. Znajdź odległość od linii prostej do płaszczyzny
7. Znajdź odległość między dwiema liniami prostymi

Jeśli liczba podana w opisie problemu jest ciałem obrotowym (kula, walec, stożek ...)

Odpowiednie kształty dla metody współrzędnych to:

1. Prostokątny równoległościan
2. Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)

Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest stosowanie metody współrzędnych dla:

1. Znalezienie obszarów przekrojowych
2. Obliczanie objętości ciał

Należy jednak od razu zauważyć, że trzy sytuacje „niekorzystne” dla metody współrzędnych są w praktyce raczej rzadkie. W większości zadań może jednak stać się twoim wybawcą, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt silny w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami są dość skomplikowane).

Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, jak np. kwadrat, trójkąt, koło, ale trójwymiarowe! W związku z tym musimy wziąć pod uwagę nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Jest zbudowana dość łatwo: oprócz osi odciętych i rzędnych wprowadzimy jeszcze jedną oś, oś aplikacji. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:

Wszystkie są wzajemnie prostopadłe, przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem. Oś odciętych, jak poprzednio, będzie oznaczona, oś rzędnych -, a wprowadzoną oś aplikacji -.

Jeśli wcześniej każdy punkt na płaszczyźnie był scharakteryzowany dwiema liczbami - odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami - odcięta, rzędna, aplikacja. Na przykład:

W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna jest, a aplikacja jest.

Czasami odcięta punktu nazywana jest również rzutem punktu na oś odciętych, rzędna to rzut punktu na oś rzędnych, a aplikacja to rzut punktu na oś aplikacji. W związku z tym, jeśli określono punkt, to punkt o współrzędnych:

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie formuły wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego są ważne w przestrzeni? Odpowiedź brzmi tak, są uczciwe i wyglądają tak samo. Dla małego szczegółu. Myślę, że już zgadłeś, dla którego. Do wszystkich formuł będziemy musieli dodać jeszcze jeden termin, który odpowiada za oś aplikacji. Mianowicie.

1. Jeżeli podano dwa punkty:, to:

• Współrzędne wektora:
• Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
• Środek segmentu ma współrzędne

2. Jeśli dane są dwa wektory: a, to:

• Ich iloczyn skalarny to:
• Cosinus kąta między wektorami to:

Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak można sobie wyobrazić, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne urozmaicenie spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji muszę wprowadzić pewne, z grubsza mówiąc, „uogólnienie” linii prostej. Ta „uogólnienie” jest płaszczyzną. Co wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, czym jest samolot? Bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy mamy intuicyjne wyobrażenie o tym, jak to wygląda:

Z grubsza rzecz biorąc, jest to rodzaj niekończącego się „listka” wbitego w przestrzeń. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, czyli jej powierzchnia jest równa nieskończoności. Jednak to wyjaśnienie „na palcach” nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I będziemy tym zainteresowani.

Zapamiętajmy jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:

• linia prosta przechodzi przez dwa różne punkty na płaszczyźnie, ponadto tylko jeden:

Lub jego odpowiednik w kosmosie:

Oczywiście pamiętasz jak wyprowadzić równanie prostej z dwóch podanych punktów, to wcale nie jest trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie prostej będzie wyglądało następująco:

Przeszedłeś przez to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda tak: załóżmy, że mamy dwa punkty o współrzędnych:, wtedy równanie przechodzącej przez nie prostej ma postać:

Na przykład linia prosta przechodzi przez punkty:

Jak należy to rozumieć? Należy przez to rozumieć: punkt leży na linii prostej, jeśli jego współrzędne spełniają układ:

Nie będziemy zbytnio zainteresowani równaniem prostej, ale musimy zwrócić uwagę na bardzo ważną koncepcję wektora kierunkowego prostej. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub równolegle do niej.

Na przykład oba wektory są wektorami kierunku linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na linii prostej i będzie jego wektorem kierunku. Wtedy równanie prostej można zapisać w postaci:

Po raz kolejny nie będę się zbytnio interesował równaniem linii prostej, ale naprawdę muszę pamiętać, czym jest wektor kierunku! Ponownie: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii prostej lub równolegle do niej.

Wycofać równanie płaszczyzny w trzech podanych punktach nie jest już tak błaha i zwykle ten problem nie jest poruszany na kursie w liceum. Ale na próżno! Ta technika jest niezbędna, gdy używamy metody współrzędnych do rozwiązywania złożonych problemów. Zakładam jednak, że chcesz się czegoś nowego nauczyć? Co więcej, będziesz mógł zaimponować swojemu nauczycielowi na uniwersytecie, gdy okaże się, że znasz już metodologię, którą zwykle poznaje się w toku geometrii analitycznej. Więc zacznijmy.

Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, a mianowicie ma postać:

niektóre liczby (nie wszystkie równe zeru), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać, równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej (funkcja liniowa). Jednak pamiętasz, co ty i ja powiedzieliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, to równanie płaszczyzny jest z nich jednoznacznie rekonstruowane. Ale jak? Spróbuję ci to wyjaśnić.

Ponieważ równanie płaszczyzny ma postać:

A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny, powinniśmy uzyskać poprawną tożsamość:

W ten sposób konieczne staje się rozwiązanie trzech równań nawet z niewiadomymi! Dylemat! Jednak zawsze możesz tak założyć (w tym celu musisz podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:

Nie rozwiążemy jednak takiego systemu, tylko wypiszemy tajemnicze wyrażenie, które z niego wynika:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy podane punkty

\ [\ lewo | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ koniec (tablica)) \ prawo | = 0 \]

Zatrzymać! Co to jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Odtąd, kiedy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na płaszczyźnie, bardzo często natkniesz się na te same wyznaczniki. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.

Napiszmy najpierw wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej formie:

Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks numer kolumny. Na przykład oznacza to, że podana liczba znajduje się na przecięciu drugiego rzędu i trzeciej kolumny. Zadajmy kolejne pytanie: jak dokładnie obliczymy taki wyznacznik? To znaczy, jaki konkretnie numer do niego dopasujemy? Dla wyznacznika trzeciego rzędu obowiązuje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, wygląda ona następująco:

1. Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do głównej przekątnej iloczyn elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadle” do głównej przekątna
2. Iloczyn elementów przekątnej boku (od prawego górnego narożnika do lewego dolnego) iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadłe” do boku iloczyn elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadłe” do boku przekątna
3. Wtedy wyznacznik jest równy różnicy między wartościami uzyskanymi w kroku i

Jeśli zapiszemy to wszystko liczbami, otrzymamy następujące wyrażenie:

Niemniej jednak nie trzeba zapamiętywać metody obliczania w tej formie, wystarczy po prostu trzymać w głowie trójkąty i samą ideę, co do czego się składa, a co od czego odejmuje się.

Zilustrujmy metodę trójkątów na przykładzie:

1. Oblicz wyznacznik:

Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:

Warunki, które są oznaczone „plusem”:

To jest główna przekątna: iloczyn elementów wynosi

Pierwszy trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Dodaj trzy liczby:

Terminy z „minusem”

To jest przekątna boczna: iloczyn elementów wynosi

Pierwszy trójkąt „prostopadle do przekątnej boku: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do przekątnej boku: iloczyn elementów wynosi

Dodaj trzy liczby:

Pozostaje tylko odjąć od sumy składników plus sumę składników minus:

Zatem,

Jak widać, w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu nie ma nic skomplikowanego i nadprzyrodzonego. Ważne jest tylko, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj sam to policzyć:

Sprawdzamy:

1. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
2. Drugi trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
3. Suma terminów z plusem:
4. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​bocznej przekątnej:
5. Drugi trójkąt prostopadły do ​​przekątnej boku:
6. Suma terminów z minusem:
7. Suma wyrazów z plusem minus suma wyrazów z minusem:

Oto jeszcze kilka wyznaczników, sam oblicz ich wartości i porównaj je z odpowiedziami:

Odpowiedzi:

Cóż, czy to wszystko się zbiegło? Świetnie, możesz iść dalej! Jeśli są trudności, to moja rada jest taka: w Internecie jest kilka programów do obliczania wyznacznika on-line. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samemu go obliczyć, a następnie porównać z tym, co program obliczy. I tak dalej, aż wyniki zaczną się pokrywać. Jestem pewien, że ten moment nie potrwa długo!

Wróćmy teraz do wyznacznika, który napisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metodą trójkątów) i ustawić wynik na zero. Naturalnie, ponieważ są to zmienne, otrzymasz wyrażenie zależne od nich. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na jednej linii prostej!

Zilustrujmy to prostym przykładem:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Tworzymy wyznacznik dla tych trzech punktów:

Uproszczenie:

Teraz obliczamy to bezpośrednio według zasady trójkątów:

\ [(\ lewo | (\ początek (tablica) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ right | = \ left ((x + 3) \ right) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ prawy) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty ma postać:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:

2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Omówmy teraz rozwiązanie:

Komponujemy wyznacznik:

I obliczamy jego wartość:

Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub, redukując o, otrzymujemy:

Teraz dwa zadania do samokontroli:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Odpowiedzi:

Czy to wszystko się zbiegło? Ponownie, jeśli są pewne trudności, moja rada jest taka: bierzesz trzy punkty z głowy (z dużym prawdopodobieństwem nie będą leżeć na tej samej prostej), budujesz wzdłuż nich samolot. A potem sprawdzasz się online. Na przykład na stronie:

Jednak za pomocą wyznaczników zbudujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, powiedziałem ci, że nie tylko iloczyn skalarny jest zdefiniowany dla wektorów. Istnieje również produkt wektorowy, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a ten wektor będzie prostopadły do ​​podanych:

Co więcej, jego moduł będzie równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości od punktu do linii prostej. Jak obliczyć iloczyn poprzeczny wektorów i czy podano ich współrzędne? Znowu z pomocą przychodzi nam wyznacznik trzeciego porządku. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu wektorowego, muszę zrobić małą dygresję liryczną.

Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.

Pokazano je schematycznie na rysunku:

Jak myślisz, dlaczego nazywa się je podstawowymi? Fakt jest taki :

Lub na zdjęciu:

Trafność tej formuły jest oczywista, ponieważ:

Produkt wektorowy

Teraz mogę zacząć wprowadzać produkt krzyżowy:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów to wektor obliczany zgodnie z następującą zasadą:

Podajmy teraz kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:

Przykład 1: Znajdź iloczyn krzyżowy wektorów:

Rozwiązanie: komponuję wyznacznik:

I obliczam to:

Teraz, od pisania w kategoriach wektorów bazowych, powrócę do zwykłej notacji wektora:

Zatem:

Teraz spróbuj.

Gotowy? Sprawdzamy:

I tradycyjnie dwa zadania do kontroli:

1. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:
2. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:

Odpowiedzi:

Produkt mieszany trzech wektorów

Ostatnia konstrukcja, której potrzebuję, to mieszany iloczyn trzech wektorów. To, podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - przez wyznacznik, - przez produkt mieszany.

Mianowicie miejmy trzy wektory:

Następnie mieszany iloczyn trzech wektorów, oznaczonych, można obliczyć jako:

1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora przez iloczyn krzyżowy dwóch innych wektorów

Na przykład mieszany produkt trzech wektorów to:

Spróbuj sam to obliczyć za pomocą produktu krzyżowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!

I znowu - dwa przykłady samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Wybór układu współrzędnych

Cóż, teraz mamy całą niezbędną bazę wiedzy do rozwiązywania złożonych problemów stereometrycznych w geometrii. Zanim jednak przejdziemy bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązania, myślę, że warto zastanowić się nad innym pytaniem: jak dokładnie wybierz układ współrzędnych dla konkretnej figury. W końcu to wybór wzajemne usposobienie układy współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie określą, jak uciążliwe będą obliczenia.

Przypomnę, że w tym dziale przyglądamy się następującym kształtom:

1. Prostokątny równoległościan
2. Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny ...)
3. Piramida (trójkątna, czworokątna)
4. Czworościan (taki sam jak trójkątna piramida)

Do prostokątnego pudełka lub kostki polecam następującą konstrukcję:

Oznacza to, że umieszczę figurę „w rogu”. Sześcian i równoległościan to bardzo ładne kształty. Dla nich zawsze możesz łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)

wtedy współrzędne wierzchołków są następujące:

Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale pamiętaj, jak najlepiej umieścić kostkę lub prostokątny równoległościan- pożądane.

Pryzmat prosty

Pryzmat jest postacią bardziej szkodliwą. Można go umieścić w przestrzeni na różne sposoby. Jednak najbardziej akceptowalna wydaje mi się następująca opcja:

Trójkątny pryzmat:

Oznacza to, że umieszczamy jeden z boków trójkąta całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem.

Pryzmat sześciokątny:

Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.

Piramida czworokątna i sześciokątna:

Sytuacja podobna do sześcianu: wyrównaj dwa boki podstawy z osiami współrzędnych, wyrównaj jeden z wierzchołków do początku. Jedyną małą trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.

Dla heksagonalnej piramidy - tak samo jak dla heksagonalnego graniastosłupa. Ponownie głównym zadaniem będzie znalezienie współrzędnych wierzchołka.

Czworościan (trójkątna piramida)

Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla trójkątnego graniastosłupa: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.

Cóż, teraz ty i ja jesteśmy wreszcie blisko rozwiązania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość zadań C2 dzieli się na 2 kategorie: problemy na zakrętach i problemy z odległością. Najpierw rozważymy problem znalezienia kąta. Te z kolei dzielą się na następujące kategorie (w miarę wzrostu trudności):

Znajdowanie zakrętów

1. Znajdowanie kąta między dwiema liniami prostymi
2. Znajdowanie kąta między dwiema płaszczyznami

Rozważmy te zadania po kolei: zacznij od znalezienia kąta między dwiema liniami prostymi. Cóż, pamiętaj, czy ty i ja nie rozwiązywaliśmy wcześniej podobnych przykładów? Pamiętaj, że już coś takiego mieliśmy... Szukaliśmy kąta między dwoma wektorami. Przypomnę, jeśli podane są dwa wektory: a następnie kąt między nimi znajduje się ze stosunku:

Teraz mamy cel - znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi. Przejdźmy do „płaskiego obrazu”:

Ile kątów otrzymaliśmy, gdy przecinają się dwie proste linie? Tyle rzeczy. To prawda, że ​​tylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są względem nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Więc pod jakim kątem powinniśmy wziąć pod uwagę kąt między dwiema liniami prostymi: lub? Tutaj zasada brzmi: kąt między dwiema liniami prostymi zawsze nie przekracza stopni... Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze wybierzemy kąt o najmniejszym stopniu. Oznacza to, że na tym zdjęciu kąt między dwiema liniami prostymi wynosi. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, sprytni matematycy zaproponowali skorzystanie z modułu. Zatem kąt między dwiema liniami prostymi jest określony wzorem:

Jako uważny czytelnik powinieneś zadać sobie pytanie: skąd właściwie otrzymujemy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii prostych! Tak więc algorytm znajdowania kąta między dwiema liniami prostymi jest następujący:

1. Stosujemy formułę 1.

Lub bardziej szczegółowo:

1. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego pierwszej prostej
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego drugiej prostej
3. Oblicz moduł ich iloczynu skalarnego
4. Szukamy długości pierwszego wektora
5. Szukamy długości drugiego wektora
6. Mnożenie wyników z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
7. Wynik z punktu 3 podziel przez wynik z punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między prostymi
8. Gdyby podany wynik pozwala dokładnie obliczyć kąt, którego szukamy
9. W przeciwnym razie zapisujemy odwrotny cosinus

Cóż, teraz pora przejść do zadań: zademonstruję szczegółowo rozwiązanie dwóch pierwszych, rozwiązanie drugiego przedstawię w krótkiej formie, a na dwa ostatnie udzielę tylko odpowiedzi, musisz sam wykonać dla nich wszystkie obliczenia.

Zadania:

1. W prawidłowym tet-ra-ed-re, nay-di-to jest kątem między tobą-tak-te-ra-ed-ra a med-di-a-noy twarzy bo-kov.

2. W praworęcznym sześciowęglowym pi-ra-mi-de boki os-no-va-nia są równe, a żebra są równe, znajdź kąt między liniami prostymi i.

3. Długości wszystkich żeber prawidłowego pi-ra-mi-dy czteroty-rech-węgla są sobie równe. Nay-di-te kąty pomiędzy prostymi liniami i jeśli z-cut to ty-co-ta podana pi-ra-mi-dy, punkt to se-re-di-na jej bo-ko- drugie żebro

4. Na krawędzi sześcianu punkt od-me-che-na tak, aby Nay-di-te był kątem między liniami prostymi i

5. Punkt - se-re-di-na krawędziach sześcianu Nay-di-te kąt między liniami prostymi i.

To nie przypadek, że ułożyłem zadania w tej kolejności. Chociaż nie miałeś jeszcze czasu, aby zacząć nawigować w metodzie współrzędnych, sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” figury i zostawię ci najprostszą kostkę! Stopniowo będziesz musiał nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększał złożoność zadań z tematu na temat.

Zacznijmy rozwiązywać problemy:

1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego powierzchnie (w tym podstawa) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie podano nam długości boku, mogę przyjąć ją równą. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan będzie „rozciągnięty”?. Narysuję również wysokość i medianę w czworościanie. Po drodze narysuję jego podstawę (przyda się też nam).

Muszę znaleźć kąt pomiędzy a. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Oznacza to, że nadal musimy znaleźć współrzędne punktów. Teraz myślimy: punkt jest punktem przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. Punkt jest punktem podniesionym. Punkt jest środkiem segmentu. Następnie w końcu musimy znaleźć: współrzędne punktów:.

Zacznijmy od najprostszego: współrzędnych punktu. Spójrz na obrazek: Widać, że przyłożenie punktu jest równe zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędną jest (ponieważ jest medianą). Trudniej jest znaleźć jego odciętą. Można to jednak łatwo zrobić w oparciu o twierdzenie Pitagorasa: Rozważ trójkąt. Jej przeciwprostokątna jest równa, a jedna z nóg jest równa Wtedy:

Wreszcie mamy:.

Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jasne jest, że jego zastosowanie jest znowu równe zeru, a jego rzędna jest taka sama jak punktu. Znajdźmy jego odciętą. Robi się to dość trywialnie, jeśli o tym pamiętasz wysokości trójkąta równobocznego są dzielone proporcjonalnie przez punkt przecięcia licząc od góry. Ponieważ:, to wymagana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa:. Zatem współrzędne punktu są równe:

Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości segmentu. - to jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to segment - noga. Wyszukiwany jest z rozważań, które wyróżniłem pogrubioną czcionką:

Punkt jest środkiem odcinka linii. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne punktu środkowego odcinka:

To wszystko, teraz możemy wyszukać współrzędne wektorów kierunku:

Cóż, wszystko gotowe: podstawiamy wszystkie dane do formuły:

Zatem,

Odpowiedź:

Nie powinieneś być onieśmielony takimi „przerażającymi” odpowiedziami: w przypadku problemów C2 jest to powszechna praktyka. Raczej byłbym zaskoczony „ładną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. To znaczy, aby rozwiązać problem stereometryczny, użyłem minimum stereometrii. Zysk w tym jest częściowo „wygaszany” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!

2. Narysujmy ostrosłup sześciokątny foremny wraz z układem współrzędnych oraz jego podstawą:

Musimy znaleźć kąt między liniami i. W ten sposób nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów :. Znajdziemy współrzędne ostatnich trzech z małego obrazka, a współrzędną wierzchołka znajdziemy poprzez współrzędną punktu. Pracuj luzem, ale musisz zacząć!

a) Współrzędna: jasne jest, że jej aplikacja i rzędna są równe zeru. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, znamy w nim tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (jasne jest, że podwojona długość nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy ją znaleźć? Pamiętajmy, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest foremny sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że ma wszystkie boki i wszystkie kąty. Powinienem znaleźć jeden taki zakątek. Jakieś pomysły? Pomysłów jest dużo, ale jest formuła:

Suma kątów regularnego n-kąta wynosi .

Więc suma kątów regularny sześciokąt równy stopniom. Wtedy każdy z kątów jest równy:

Ponownie patrzymy na zdjęcie. Oczywiste jest, że segment jest dwusieczną kąta. Wtedy kąt jest równy stopniom. Następnie:

Więc gdzie.

Ma więc współrzędne

b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędne punktu :.

c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością segmentu, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy punkty i oznaczymy punkt przecięcia prostej, powiedzmy, wg. (Prosta konstrukcja DIY). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy ponownie na trójkąt. Następnie

Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne

d) Teraz znajdujemy współrzędne punktu. Rozważ prostokąt i udowodnij, że Tak więc współrzędne punktu to:

e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikator. Od tego czasu. Rozważ trójkąt prostokątny. Przez stwierdzenie problemu, boczna krawędź. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.

Wtedy punkt ma współrzędne:

W porządku, mam współrzędne wszystkich interesujących mnie punktów. Poszukiwanie współrzędnych wektorów kierunkowych linii prostych:

Szukamy kąta między tymi wektorami:

Odpowiedź:

Znowu przy rozwiązywaniu tego problemu nie zastosowałem żadnych wymyślnych sztuczek, poza formułą na sumę kątów n-kąta foremnego oraz wyznaczeniem cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.

3. Ponieważ znowu nie podano nam długości żeber w piramidzie, uznam je za równe jeden. Tak więc, skoro WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i ja leży kwadrat, a ściany boczne są regularnymi trójkątami. Narysujmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zaznaczając wszystkie dane podane w tekście zadania:

Szukamy kąta między a. Będę robił bardzo krótkie obliczenia, gdy będę szukał współrzędnych punktów. Będziesz musiał je „odszyfrować”:

b) jest środkiem segmentu. Jego współrzędne:

c) Znajdę długość odcinka według twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Znajdę to w trójkącie według twierdzenia Pitagorasa.

Współrzędne:

d) - środek segmentu. Jego współrzędne są równe

e) Współrzędne wektorowe

f) Współrzędne wektorowe

g) Szukam kąta:

Kostka to najprostsza figura. Jestem pewien, że sam sobie z tym poradzisz. Odpowiedzi na problemy 4 i 5 są następujące:

Znajdowanie kąta między linią prostą a płaszczyzną

Cóż, czas na proste zadania się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze bardziej skomplikowane. Aby znaleźć kąt między linią prostą a płaszczyzną, postępujemy następująco:

1. Z trzech punktów konstruujemy równanie płaszczyzny
   ,
   przy użyciu wyznacznika trzeciego rzędu.
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego prostej przez dwa punkty:
3. Stosujemy wzór do obliczenia kąta między linią prostą a płaszczyzną:

Jak widać, ten wzór jest bardzo podobny do tego, którego użyliśmy do znalezienia kątów między dwiema liniami prostymi. Struktura prawej strony jest taka sama, a po lewej szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa, jak poprzednio. Cóż, dodano jedną paskudną akcję - poszukiwanie równania samolotu.

Nie odkładajmy rozwiązanie przykładów:

1. Os-ale-va-no-em bezpośredni-jesteśmy-la-jest-równy-ale-biedny-urodzony-trójkątny-nick Ty-tak-że nagrody-jesteśmy równi. Nai di te kąt między prostym a płaskim

2. W prostokątnym pa-ra-le-le-pi-pe-de z zachodniej Nay-di-te kąt między linią prostą a płaszczyzną

3. We właściwym pryzmacie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Nay-di-te kąty między linią prostą a płaszczyzną.

4. W praworęcznym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-znany jest z żeber kąt Nay-di-te, ob-ra-zo-van -ta płaskość os- no-va-nia i proste, pro-ho-dya-shi przez se-re-di-us żeber i

5. Długości wszystkich żeber prawidłowej czteronarożnej piramidy z wierzchołkiem są sobie równe. Nay-di-te to kąt między linią prostą a płaszczyzną, jeśli punktem jest se-re-di-na bo-ko-th żebra pi-ra-mi-dy.

Znowu rozwiążę szczegółowo dwa pierwsze problemy, trzeci krótko, a dwa ostatnie pozostawiam do samodzielnego rozwiązania. Poza tym miałeś już do czynienia z piramidami trójkątnymi i czworokątnymi, ale jeszcze nie z pryzmatami.

Rozwiązania:

1. Przedstawmy pryzmat, a także jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zaznaczmy wszystkie dane podane w opisie problemu:

Przepraszam za pewne nieprzestrzeganie proporcji, ale dla rozwiązania problemu to w rzeczywistości nie jest tak ważne. Samolot to tylko „tylna ściana” mojego pryzmatu. Łatwo się domyślić, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:

Można to jednak pokazać bezpośrednio:

Wybierzmy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład.

Skomponujmy równanie samolotu:

Ćwiczenie dla Ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Czy ty to zrobiłeś? Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub po prostu

Zatem,

Aby rozwiązać ten przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierunkowego linii prostej. Ponieważ punkt pokrywa się z początkiem, współrzędne wektora po prostu pokrywają się ze współrzędnymi punktu.Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (jest to mediana i dwusieczna) z wierzchołka. Ponieważ wtedy rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

Wtedy punkt ma współrzędne:

Punkt jest „podnoszony” przez punkt:

Następnie współrzędne wektora:

Odpowiedź:

Jak widać, nie ma nic fundamentalnie trudnego w rozwiązywaniu takich problemów. W rzeczywistości proces ten dodatkowo upraszcza „prostość” figury, takiej jak pryzmat. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:

2. Narysuj równoległościan, narysuj w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno narysuj jego dolną podstawę:

Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: Współrzędne trzech leżących w niej punktów:

(pierwsze dwie współrzędne są uzyskiwane w sposób oczywisty i ostatnia współrzędna można go łatwo znaleźć na obrazku z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:

Obliczamy:

Szukamy współrzędnych wektora kierunku: jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? To współrzędne punktu podniesione o jeden wzdłuż osi aplikacji! ... Następnie szukamy wymaganego kąta:

Odpowiedź:

3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.

Tutaj nawet rysowanie samolotu jest problematyczne, nie wspominając o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie obchodzi! To w jego wszechstronności leży jego główna zaleta!

Samolot przechodzi przez trzy punkty :. Szukamy ich współrzędnych:

1) . Sam narysuj współrzędne dwóch ostatnich punktów. Przyda się do tego rozwiązanie problemu z sześciokątną piramidą!

2) Budujemy równanie samolotu:

Szukamy współrzędnych wektora:. (zobacz ponownie problem trójkątnej piramidy!)

3) Szukam kąta:

Odpowiedź:

Jak widać, w tych zadaniach nie ma nic nadnaturalnie trudnego. Musisz tylko bardzo uważać na korzenie. Na dwa ostatnie problemy podam tylko odpowiedzi:

Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i zastąpienie ich niektórymi formułami. Pozostaje nam rozważyć jeszcze jedną klasę problemów do obliczania kątów, a mianowicie:

Obliczanie kątów między dwiema płaszczyznami

Algorytm rozwiązania będzie następujący:

1. Przez trzy punkty szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
2. Dla pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
3. Stosujemy formułę:

Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między liniami prostymi oraz między linią prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy od razu do analizy zadań:

1. Sto ron os-no-va-nia prawoskrętnego trójkątnego pryzmatu jest równe, a przekątna dużej twarzy jest równa. Nay-di-te kąty między płaszczyzną a płaszczyzną pryzmatu.

2. W poprawnym four-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź sinus kąta między płaszczyzną a płaszczyzną do-stu, pro-ho- dya-shchey przez punkt per-pen-di-ku-lar-ale prosto.

3. W prawidłowym pryzmacie cztery-rech-węgiel boki osi są równe, a boki są równe. Na krawędzi od-mnie-che-do punktu tak. Znajdź kąt między samolotem a stimi i

4. W prawym czteronarożnym pryzmacie boki os-no-va-nia są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-me-che-do punktu, tak że Nay-di-te jest kątem między płaszczyzną-st-mi i.

5. W kostce nay-di-te ko-si-nus kąta między płaszczyzną-ko-sti-mi a

Rozwiązania problemów:

1. Rysuję regularny (u podstawy - trójkąt równoboczny) trójkątny pryzmat i zaznaczam na nim płaszczyzny, które pojawiają się w opisie problemu:

Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie podstawy jest trywialne: możesz skomponować odpowiedni wyznacznik przez trzy punkty, ale skomponuję równanie od razu:

Teraz znajdziemy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ jest to mediana i wysokość trójkąta, łatwo jest znaleźć w trójkącie za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdź aplikację punktu Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny

Następnie otrzymujemy następujące współrzędne: Tworzymy równanie płaszczyzny.

Obliczamy kąt między płaszczyznami:

Odpowiedź:

2. Wykonanie rysunku:

Najtrudniej jest zrozumieć, czym jest ta tajemnicza płaszczyzna, przechodząca przez punkt prostopadle. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! Rzeczywiście, linia jest prostopadła. Linia prosta jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie proste będzie prostopadła do prostej i przy okazji przeleci przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Potem poszukiwany samolot - A samolot już nam podarowano. Szukamy współrzędnych punktów.

Znajdź współrzędne punktu przechodzącego przez punkt. Z małej liczby łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą wyglądały następująco: Co pozostało do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Musisz także obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw to udowodnij (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ pod warunkiem mamy:

Teraz wszystko jest gotowe: współrzędne wierzchołka:

Układamy równanie samolotu:

Jesteś już wyjątkowy w obliczaniu wyznaczników. Możesz łatwo uzyskać:

Albo inaczej (jeśli pomnożymy obie części przez pierwiastek z dwójki)

Teraz znajdujemy równanie samolotu:

(Nie zapomniałeś, jak otrzymujemy równanie samolotu, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd się wzięło to minus jeden, wróć do definicji równania samolotu! Po prostu wcześniej okazało się, że początek współrzędnych należał do mojego samolotu!)

Obliczamy wyznacznik:

(Widać, że równanie płaszczyzny pokrywa się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Pomyśl dlaczego!)

Teraz obliczamy kąt:

Musimy znaleźć sinus:

Odpowiedź:

3. Podchwytliwe pytanie: Jak myślisz, co to jest prostokątny pryzmat? To tylko równoległościan, który dobrze znasz! Zrób rysunek od razu! Można nawet nie przedstawiać podstawy osobno, tutaj nie ma z tego korzyści:

Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana w postaci równania:

Teraz tworzymy samolot

Natychmiast układamy równanie samolotu:

Szukam kąta:

Teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:

Cóż, teraz jest czas na przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!

Współrzędne i wektory. Zaawansowany poziom

W tym artykule omówimy z Tobą inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy odległościowe. Mianowicie rozważymy następujące przypadki:

1. Obliczanie odległości między skrzyżowanymi liniami.

Zamówiłem te zadania w miarę wzrostu ich złożoności. Okazuje się, że jest najłatwiejszy do znalezienia odległość od punktu do płaszczyzny, a najtrudniej jest znaleźć odległość między krzyżującymi się liniami... Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przystąpmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:

Obliczanie odległości od punktu do płaszczyzny

Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?

1. Współrzędne punktu

Tak więc, gdy tylko zdobędziemy wszystkie niezbędne dane, stosujemy formułę:

Powinieneś już wiedzieć, jak konstruujemy równanie płaszczyzny z poprzednich problemów, które omówiłem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do zadań. Schemat jest następujący: 1, 2 - pomogę ci rozwiązać, a dokładniej 3, 4 - tylko odpowiedź, sam podejmujesz decyzję i porównujesz. Zaczynajmy!

Zadania:

1. Dana kostka. Długość krawędzi sześcianu wynosi. Nay-di-te odległość-i-ni od se-re-di-us od cięcia do płaskiego do sti

2. Biorąc pod uwagę prawą-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-k-ta krawędź bocznej-ro-on os-no-va-nia jest równa. Nay-di-te odległości od punktu do płaszczyzny-do-sti, gdzie - se-re-di-on żebra.

3. W praworęcznym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-no-va-ni, bo-k-ta krawędź jest równa, a boczna-ro-na is-no-va- jest równa . Nay-di-te odległość-i-nye od góry do samolotu.

4. We właściwym pryzmacie sześciowęglowym wszystkie krawędzie są równe. Nay-di-te odległość-i-nie od punktu do płaszczyzny.

Rozwiązania:

1. Narysuj sześcian z krawędziami jednostek, zbuduj odcinek i płaszczyznę, oznacz literą środek odcinka

.

Najpierw zacznijmy od prostego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętaj o współrzędnych środka odcinka!)

Teraz składamy równanie płaszczyzny przez trzy punkty

\ [\ lewo | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ right | = 0 \]

Teraz mogę zacząć szukać dystansu:

2. Zacznij ponownie od rysunku, na którym zaznaczamy wszystkie dane!

W przypadku piramidy pomocne byłoby narysowanie jej podstawy osobno.

Nawet fakt, że rysuję jak kurczak łapą nie przeszkadza nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!

Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu

Skoro współrzędne punktu, to

2. Skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka, to

Bez problemu możemy też znaleźć współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie. Układamy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:

\ [\ lewo | (\ left | (\ begin (tablica) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (tablica)) \ right |) \ right | = 0 \]

Ponieważ punkt ma współrzędne :, obliczamy odległość:

Odpowiedź (bardzo rzadko!):

Cóż, zorientowałeś się? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak techniczne, jak w przykładach, które rozważaliśmy z Wami w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to nie będzie Ci trudno rozwiązać pozostałe dwa problemy. Po prostu udzielę odpowiedzi:

Obliczanie odległości od linii prostej do płaszczyzny

W rzeczywistości nie ma tu nic nowego. Jak można ustawić linię i płaszczyznę względem siebie? Mają wszystkie możliwości: przecinają się, czyli linia prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość od linii prostej do płaszczyzny, z którą ta linia przecina się? Wydaje mi się, że tutaj jest jasne, że taka odległość jest równa zeru. Nieciekawy przypadek.

Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Ponieważ jednak linia jest równoległa do płaszczyzny, każdy punkt linii znajduje się w równej odległości od tej płaszczyzny:

Zatem:

A to oznacza, że ​​moje zadanie zostało zredukowane do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny, obliczamy odległość od punktu do płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania są na egzaminie niezwykle rzadkie. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim zawarte były takie, że metoda współrzędnych nie miała do niego zastosowania!

Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od linii prostej

Czego potrzebujemy?

1. Współrzędne punktu, z którego szukamy odległości:

2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na linii prostej

3. Współrzędne wektora kierunkowego prostej

Jakiej formuły używamy?

Co oznacza dla Ciebie mianownik tego ułamka i dlatego powinno być jasne: jest to długość wektora kierunkowego prostej. Jest tu bardzo skomplikowany licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorowego wektorów i Jak obliczyć iloczyn krzyżowy, omówiliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, teraz będą nam bardzo przydatne!

Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie wyglądał następująco:

1. Szukamy współrzędnych punktu, z którego szukamy odległości:

2. Szukamy współrzędnych dowolnego punktu na linii prostej, do którego szukamy odległości:

3. Zbuduj wektor

4. Zbuduj wektor kierunkowy linii prostej

5. Oblicz iloczyn krzyżowy

6. Szukamy długości otrzymanego wektora:

7. Oblicz odległość:

Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość złożone! Więc teraz skup całą swoją uwagę!

1. Dana otrzymuje trójkątną pi-ra-mi-da z czubkiem w prawo-vil-naya. Sto-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy jest równe, ty-tak-to jest równe. Nay-di-te odległość-i-nye od se-re-di-ny krawędzi bo-ko-w-tej do linii prostej, gdzie punkty i są se-re-di-ny żeber i tak-od-weterynarza-ale.

2. Długości żeber i kąta prostego pa-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe, a odległość Nay-di od góry do góry do prostej

3. W prawoskrętnym sześciowęglowym pryzmacie wszystkie krawędzie roju są równe odległości find-di-thes od punktu do linii prostej

Rozwiązania:

1. Wykonujemy zgrabny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:

Mamy z Tobą dużo pracy! Najpierw chciałbym opisać słowami, czego będziemy szukać i w jakiej kolejności:

1. Współrzędne punktów i

2. Współrzędne punktu

3. Współrzędne punktów i

4. Współrzędne wektorów i

5. Ich produkt krzyżowy

6. Długość wektora

7. Długość produktu wektorowego

8. Odległość od do

Cóż, mamy dużo pracy! Zabieramy się do tego, podwijając rękawy!

1. Aby znaleźć współrzędne wysokości piramidy, musimy znać współrzędne punktu.Jego zastosowanie jest równe zeru, a rzędna równa się odciętej, jest równa długości odcinka.Ponieważ jest wysokością trójkąta równobocznego, dzieli się w stosunku, licząc od góry, odtąd. Wreszcie otrzymaliśmy współrzędne:

Współrzędne punktu

2. - środek segmentu

3. - środek segmentu

Środek segmentu

4. Współrzędne

Współrzędne wektorowe

5. Oblicz iloczyn krzyżowy:

6. Długość wektora: najprościej jest zamienić, że odcinek jest linią środkową trójkąta, co oznacza, że ​​jest równy połowie podstawy. Więc.

7. Rozważamy długość produktu wektorowego:

8. Na koniec znajdujemy odległość:

Uff, to wszystko! Szczerze mówiąc, rozwiązanie tego problemu metodami tradycyjnymi (poprzez konstrukcje) byłoby znacznie szybsze. Ale tutaj sprowadziłem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównajmy odpowiedzi?

Powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy za pomocą konstrukcji, niż uciekać się do metody współrzędnych. Zademonstrowałem to rozwiązanie tylko po to, aby pokazać uniwersalną metodę, która pozwala „nic nie dopełnić”.

Na koniec rozważ ostatnią klasę problemów:

Obliczanie odległości między skrzyżowanymi liniami

Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:

3. Dowolne wektory łączące punkty pierwszej i drugiej linii prostej:

Jak znaleźć odległość między liniami prostymi?

Wzór wygląda następująco:

Licznikiem jest moduł iloczynu mieszanego (wprowadziliśmy go w poprzedniej części), a mianownik jest taki sam jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorowego wektorów kierunkowych linii prostych, których odległość szukamy).

Przypomnę ci, że

następnie wzór na odległość można przepisać jako:

Rodzaj wyznacznika podzielonego przez wyznacznik! Chociaż, szczerze mówiąc, nie mam tu czasu na żarty! Ta formuła jest w rzeczywistości bardzo kłopotliwa i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Na twoim miejscu używałbym tego tylko w ostateczności!

Spróbujmy rozwiązać kilka problemów za pomocą powyższej metody:

1. We właściwym trójkątnym pryzmacie wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.

2. Biorąc pod uwagę prawoskrętny trójkątny pryzmat, wszystkie krawędzie os-no-va-tion roju mają równe żebra i se-re-di-well żebra yav-la-et-sya square-ra-tom. Nai di te odległość między prostym my a

Ja decyduję o pierwszym, a na jego podstawie decydujesz o drugim!

1. Narysuj pryzmat i zaznacz proste linie i

Współrzędne punktu C: wtedy

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne wektorowe

\ [\ left ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ begin (tablica) (* (20) (l)) (\ begin (tablica) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (tablica)) \\ (\ begin (tablica) ( * (20) (c)) 0 & 0 i 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (tablica)) \ end (tablica)) \ right | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Rozważamy iloczyn krzyżowy między wektorami i

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ left | \ begin (tablica) (l) \ begin (tablica) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (tablica) \\\ begin (tablica ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (tablica) \ end (tablica) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Teraz obliczamy jego długość:

Odpowiedź:

Teraz spróbuj ostrożnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedzią na to będzie:.

Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe formuły

Wektor jest skierowanym segmentem liniowym. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.

Całkowita wartość wektor - długość odcinka reprezentującego wektor. Jest oznaczony jako.

Współrzędne wektora:

,
gdzie są końce wektora \ displaystyle a.

Suma wektorów:.

Iloczyn wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów jest równy iloczynowi ich wartości bezwzględnych przez cosinus kąta między nimi:

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Wymyśliłeś teorię na ten temat. I znowu to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za sukces zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu w sprawie budżetu i, co najważniejsze, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy jej nie otrzymali. To są statystyki.

Ale to też nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl za siebie ...

Czego trzeba, aby być na pewno lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… bardziej szczęśliwym?

POZNAJ ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz poproszony o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązać problemy na chwilę.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno pójdziesz gdzieś głupio pomyłka lub po prostu nie zdążysz.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać w kółko, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję tam, gdzie chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby wypełnić swoją rękę naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Udostępnij wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — Kup podręcznik - 899 rubli

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów, a dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można otworzyć od razu.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Po prostu nie rozwodzij się nad teorią.

„Zrozumiałem” i „Jestem w stanie rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!