Metoda constrângerii booleene în analiza calitativă a sistemelor dinamice binare. Analiza calitativă a sistemelor dinamice

CINETICA PROCESELOR BIOLOGICE

Cum poate fi descrisă dinamica sistemelor biologice? În fiecare moment al timpului, un sistem biologic are un set de anumite caracteristici. De exemplu, observând o populație a unei specii, puteți înregistra dimensiunea acesteia, suprafața ocupată de teritoriu, cantitatea de hrană disponibilă, temperatura mediu inconjurator etc. Scurgeri reactie chimica poate fi caracterizat prin concentrațiile substanțelor participante, presiune, temperatură și nivelul de aciditate al mediului. Setul de valori ale tuturor caracteristicilor pe care cercetătorul le-a ales pentru a descrie sistemul este starea sistemului în fiecare moment de timp. La crearea unui model, variabilele și parametrii sunt selectați în setul specificat. Variabilele sunt acele mărimi ale căror modificări sunt de interes în primul rând pentru cercetător, parametrii sunt condițiile" Mediul extern". Pentru variabilele selectate sunt compilate ecuațiile care reflectă modelele de schimbare în sistem în timp. De exemplu, atunci când se creează un model pentru creșterea unei culturi microbiene, numărul acesteia este de obicei folosit ca variabilă, iar rata de reproducere ca parametru. Este posibil ca temperatura la care are loc creșterea să se dovedească a fi semnificativă, atunci acest indicator este și el inclus în model ca parametru. Și dacă, de exemplu, nivelul de aerare este întotdeauna suficient și nu are niciun efect asupra proceselor de creștere, atunci nu este inclus deloc în model. De regulă, parametrii rămân neschimbați în timpul experimentului, cu toate acestea, este de remarcat faptul că acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Este posibil să se descrie dinamica unui sistem biologic (adică schimbarea stării acestuia în timp) folosind atât modele discrete, cât și continue. Modelele discrete presupun că timpul este o cantitate discretă. Aceasta corespunde înregistrării valorilor variabilelor la anumite intervale fixe (de exemplu, o dată pe oră sau o dată pe an). În modelele continue, o variabilă biologică este o funcție continuă a timpului, notată, de exemplu, X(t).

De multe ori mare importanță avea condiții inițiale modele - starea caracteristicii studiate la momentul inițial de timp, i.e. la t = 0.

Când se studiază schimbarea continuă a unei caracteristici X(t) este posibil să cunoaștem informații despre rata de modificare a acesteia. Aceste informații pot fi scrise în general ca o ecuație diferențială:

O astfel de notație formală înseamnă că rata de schimbare a unei caracteristici studiate este o funcție de timp și de mărimea acestei caracteristici.

Dacă partea dreaptă a unei ecuații diferențiale a formei nu depinde în mod explicit de timp, i.e. echitabil:

atunci această ecuație se numește autonom(sistemul descris de o astfel de ecuație se numește autonom). Starea sistemelor autonome în fiecare moment de timp este caracterizată de o singură valoare - valoarea variabilei X V acest moment timp t.

Să ne punem o întrebare: să fie dată o ecuație diferențială pentru X(t), este posibil să găsiți toate funcțiile X(t) satisfacerea acestei ecuații? Sau: dacă se cunoaște valoarea inițială a unei anumite variabile (de exemplu, dimensiunea inițială a unei populații, concentrația unei substanțe, conductivitatea electrică a mediului etc.) și există informații despre natura modificării în această variabilă, este posibil să se prezică care va fi valoarea ei în toate momentele ulterioare în timp? Răspunsul la întrebarea pusă este următorul: dacă condițiile inițiale sunt date pentru și condițiile teoremei Cauchy sunt îndeplinite pentru ecuație (funcția dată într-o anumită regiune și derivata ei parțială sunt continue în această regiune), atunci există este o soluție unică a ecuației care satisface condițiile inițiale date. (Reamintim că orice funcție continuă care satisface o ecuație diferențială se numește soluție a acelei ecuații.) Aceasta înseamnă că putem prezice în mod unic comportamentul unui sistem biologic dacă caracteristicile stării sale inițiale sunt cunoscute și ecuația model îndeplinește condițiile de teorema lui Cauchy.

Stare staționară. Durabilitate

Vom lua în considerare ecuația diferențială autonomă

Într-o stare staționară, valorile variabilelor din sistem nu se modifică în timp, adică rata de modificare a valorilor variabilelor este 0: . Dacă partea stângă a ecuației (1.2) este egală cu zero, atunci și cea dreaptă este egală cu zero: . Rădăcinile acestei ecuații algebrice sunt stări staţionare ecuația diferențială (1.2).

Exemplul 1.1: Aflați stările staționare ale ecuației.

Soluţie: Să mutăm termenul, care nu conține derivata, în partea dreaptă a egalității: . Prin definiție, într-o stare staționară, următoarea egalitate este adevărată: . Deci egalitatea trebuie să se mențină . Rezolvam ecuatia:

,

Deci, ecuația are 3 stări staționare: , .

Sistemele biologice experimentează în mod constant diverse influențe externe și numeroase fluctuații. În același timp, ele (sistemele biologice) au homeostazie, adică. rezistent. În limbajul matematic, aceasta înseamnă că variabilele, cu abateri mici, revin la valorile lor staționare. Va reflecta acest caracter al comportamentului unui sistem biologic? model matematic? Sunt stările staționare ale modelului stabile?

Starea de echilibru este durabil, dacă, pentru o abatere suficient de mică de la poziția de echilibru, sistemul nu va merge niciodată departe de punctul singular. Starea stabilă corespunde modului stabil de funcționare a sistemului.

O stare de echilibru a unei ecuații este Lyapunov stabilă dacă pentru oricare se poate găsi întotdeauna astfel încât dacă , atunci pentru toți .

Există o metodă analitică pentru studierea stabilității unei stări staționare - metoda Lyapunov. Pentru a o fundamenta, ne amintim formula Taylor.

Vorbind vag, formula Taylor arată comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct. Fie ca o funcție să aibă derivate într-un punct de toate ordinele până la n- inclusiv. Atunci formula Taylor este valabilă pentru:

Înlăturând termenul rămas, care reprezintă el însuși un infinitezimal de ordin mai mare decât , obținem formula Taylor aproximativă:

Partea dreaptă a formulei aproximative se numește polinomul Taylor funcții, este notat ca .

Exemplul 1.2: Extindeți funcția într-o serie Taylor într-o vecinătate a unui punct până la ordinul al 4-lea.

Soluţie: Scriem seria Taylor până la ordinul 4 în vedere generala:

Găsiți derivatele funcției date în punctul:

,

Înlocuiți valorile obținute în formula originală:

O metodă analitică pentru studierea stabilității unei stări staționare ( metoda Lyapunov) este după cum urmează. Fie starea staționară a ecuației . Să setăm o mică abatere a variabilei X din valoarea sa staționară: , unde . Înlocuiți expresia punctului Xîn ecuația inițială: . Partea stângă a ecuației va lua forma: , întrucât în ​​starea staționară rata de modificare a valorii variabilei este egală cu zero: . Extindem partea dreaptă într-o serie Taylor în vecinătatea stării staționare, ținând cont de faptul că , lăsăm doar termenul liniar în partea dreaptă a ecuației:

A primit ecuație liniarizată sau prima ecuație de aproximare. Valoarea este o valoare constantă, indicați-o A: . Decizie comună ecuația liniarizată are forma: . Această expresie descrie legea conform căreia abaterea de la starea staționară dată de noi se va modifica în timp. Abaterea se va diminua în timp, adică. la , dacă exponentul din exponent este negativ, i.e. . Prin definiție, starea de echilibru va fi durabil. Dacă , atunci cu creșterea timpului, abaterea va crește doar, starea staționară este instabil. În cazul în care ecuația primei aproximări nu poate da un răspuns la întrebarea privind stabilitatea stării staționare. Este necesar să se ia în considerare termenii de ordin superior în expansiunea seriei Taylor.

Pe lângă metoda analitică de studiere a stabilității unei stări staționare, există și una grafică.

Exemplul 1.3. Lăsa . Găsiți stările staționare ale ecuației și determinați tipul lor de stabilitate folosind graficul funcției .

Soluţie: Să găsim puncte speciale:

,

,

Construim un grafic al funcției (Fig. 1.1).

Orez. 1.1. Graficul funcției (exemplul 1.3).

Să determinăm din grafic dacă fiecare dintre stările staționare găsite este stabilă. Să stabilim o mică abatere a punctului reprezentativ de la punctul singular la stânga: . Într-un punct cu o coordonată, funcția ia o valoare pozitivă: sau . Ultima inegalitate înseamnă că în timp coordonatele ar trebui să crească, adică punctul reprezentativ ar trebui să revină la punctul . Acum să stabilim o mică abatere a punctului reprezentativ de la punctul singular la dreapta: . În această regiune, funcția păstrează o valoare pozitivă, prin urmare, în timp, coordonatele X crește de asemenea, adică punctul reprezentativ se va îndepărta de punct. Astfel, o mică abatere scoate sistemul din starea staționară, prin urmare, prin definiție, punctul singular este instabil. Un raționament similar duce la faptul că orice abatere de la punctul singular se diminuează cu timpul, starea staționară este stabilă. Abaterea punctului reprezentativ în orice direcție de la starea staționară duce la eliminarea acestuia din punctul , aceasta este o stare staționară instabilă.

Rezolvarea unui sistem liniar ecuatii diferentiale

Să ne întoarcem la studiul sistemelor de ecuații, mai întâi liniare. În general, sistemul de ecuații diferențiale liniare poate fi reprezentat astfel:

Analiza sistemului de ecuații începe cu găsirea stărilor staționare. Pentru sistemele de forma (1.3), punctul singular este unic, coordonatele sale sunt (0,0). Excepția este cazul degenerat, când ecuațiile pot fi reprezentate ca:

(1.3*)

În acest caz, toate perechile care satisfac relația sunt puncte staționare ale sistemului (1.3*). În special, punctul (0,0) este de asemenea staționar pentru sistem (1.3*). Pe planul de fază în acest caz avem o linie dreaptă cu un coeficient de pantă care trece prin origine, fiecare punct al căruia este un punct singular al sistemului (1.3 *) (vezi Tabelul 1.1, punctul 6).

Principala întrebare la care ar trebui să se răspundă rezultatul studierii unui sistem de ecuații este dacă starea staționară a sistemului este stabilă și ce caracter are această soluție (monotonă sau nemonotonă).

Decizie comună Două ecuatii lineare se pare ca:

numere caracteristice poate fi exprimat în termeni de coeficienți ai ecuațiilor liniare după cum urmează:

Numerele caracteristice pot fi 1) reale de semne diferite, 2) reale de același semn, 3) conjugate complexe și, de asemenea, în cazuri degenerate, 4) pur imaginare, 5) reale coincidente, 6) reale, dintre care unul (sau ambii) zero. Aceste cazuri determină tipul de comportament al soluției la un sistem de ecuații diferențiale obișnuite. Portretele de fază corespunzătoare sunt prezentate în Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1. Tipuri de stări staționare ale unui sistem de două ecuații diferențiale liniare și portretele de fază corespunzătoare. Săgețile arată direcția de mișcare a punctului reprezentativ

Construirea portretelor de fază și cinetice ale unui sistem de două ecuații diferențiale liniare

planul de fază numit plan cu axe de coordonate pe care sunt trasate valorile variabilelor XȘi y, fiecărui punct al planului îi corespunde o anumită stare a sistemului. Se numește setul de puncte de pe planul de fază, a căror poziție corespunde stărilor sistemului în procesul de schimbare a variabilelor în timp, conform ecuațiilor date ale sistemului studiat. traiectoria fazei. Setul de traiectorii de fază pentru diferite valori inițiale ale variabilelor oferă un portret al sistemului. Clădire portret de fază vă permite să trageți concluzii despre natura modificărilor variabilelor XȘi y fără a cunoaşte soluţiile analitice ale sistemului original de ecuaţii.

Luați în considerare un sistem de ecuații diferențiale liniare:

Construcția portretului de fază începe cu construcția izoclinele principale(un izoclin este o linie de-a lungul căreia panta curbei de fază (traiectorie), determinată de ecuație, rămâne constantă). Pentru un sistem de două ecuații diferențiale liniare, acestea sunt întotdeauna drepte care trec prin origine. Ecuația izoclinele tangentelor orizontale: . Ecuația izoclinului tangentelor verticale: . Pentru construcția ulterioară a portretului de fază, este util să construiți o izoclină de tangente care trec la un unghi . Pentru a găsi ecuația de izoclină corespunzătoare, este necesar să se rezolve ecuația . De asemenea, puteți găsi izoclinele tangentelor altor unghiuri, folosind valorile aproximative ale tangentelor unghiurilor. În construirea portretului de fază, răspunsul la întrebarea în ce unghi ar trebui să se intersecteze traiectoriile fazei axele de coordonate. Pentru a face acest lucru, în ecuația izoclinului înlocuim egalitățile corespunzătoare (pentru a determina unghiul de intersecție cu axa OY) și (pentru a determina unghiul de intersecție cu axa OX).

Exemplul 1.4. Determinați tipul punctului singular al sistemului de ecuații liniare:

Construiți un portret de fază și cinetic al sistemului.

Soluţie: Coordonatele punctului singular sunt (0,0). Coeficienții ecuațiilor liniare sunt: ​​, , , . Să definim tipul de stare staționară (a se vedea secțiunea despre numerele caracteristice):

Astfel, rădăcinile caracteristice sunt imaginare: prin urmare, punctul singular al sistemului liniar considerat are tipul centru (Fig. 1.2a).

Ecuația izoclinului tangentelor orizontale: , Ecuația izoclinului tangentelor verticale: . La un unghi de 45°, traiectoriile sistemului intersectează o linie dreaptă .

După construirea portretului de fază, este necesar să se determine direcția de mișcare de-a lungul traiectoriilor găsite. Acest lucru se poate face în felul următor. Luați un punct arbitrar pe orice traiectorie. De exemplu, pe izoclinul tangentelor orizontale (1,1). Să substituim coordonatele acestui punct în sistemul de ecuații. Obținem expresii pentru ratele de modificare a variabilelor X,yîn acest moment:

Valorile obținute arată că rata de modificare a variabilei X- negativ, adică valoarea sa ar trebui să scadă, iar variabila y nu se schimba. Marcam direcția primită cu o săgeată. Astfel, în exemplul luat în considerare, mișcarea de-a lungul traiectoriilor de fază este direcționată în sens invers acelor de ceasornic. Înlocuirea în sistemul de coordonate puncte diferite puteți obține o „hartă” a direcțiilor de viteză, așa-numitele câmp vectorial.

Fig 1.2. Faza (a) și portretul cinetic (b) al sistemului, exemplu 1.4

Rețineți că pe izoclinul tangentelor orizontale variabila y atinge valoarea maximă sau minimă pe o traiectorie dată. Dimpotrivă, pe izoclinul tangentelor verticale, variabila X.

A construi un portret cinetic al sistemului înseamnă a reprezenta grafic dependența valorilor variabilelor X,y din timp. Un portret de fază poate fi folosit pentru a construi unul cinetic și invers. O traiectorie de fază corespunde unei perechi de curbe cinetice. Să alegem un punct arbitrar pe portretul de fază pe o traiectorie de fază arbitrară. Acesta este punctul de plecare corespunzător timpului. În funcție de direcția de mișcare în sistemul luat în considerare, valorile variabilelor X,y fie scad, fie cresc. Fie coordonatele punctului de plecare (1,1). Conform portretului de fază construit, începând din acest punct, trebuie să deplasăm în sens invers acelor de ceasornic, coordonatele XȘi yîn timp ce acestea vor scădea. În timp, coordonatele X trece prin 0, valoare y rămânând în același timp pozitiv. Alte coordonate XȘi y continua să scadă, coordonatele y trece prin 0 (valoare Xîn timp ce este negativ). Valoare X atinge valoarea sa minimă pe izoclinul tangentelor verticale, apoi începe să crească. Valoare y atinge valoarea minimă pe izoclinul tangentelor orizontale (valoare Xîn acest moment este negativ). În continuare, și valoarea X, și valoarea y crește, revenind la valorile inițiale (Fig. 1.2b).

Investigarea stabilității stărilor staționare ale sistemelor neliniare de ordinul doi

Să fie descris un sistem biologic printr-un sistem de două ecuații diferențiale autonome de ordinul doi de formă generală:

Valorile staționare ale variabilelor de sistem sunt determinate din ecuațiile algebrice:

În vecinătatea fiecărei stări staționare, se poate lua în considerare sistem de primă aproximare(sistem liniarizat), al cărui studiu poate face posibil să se răspundă la întrebarea privind stabilitatea punctului singular și natura traiectoriilor de fază în vecinătatea sa mică.

in afara

Avem , , punctul singular este grosier. Rădăcinile caracteristice ale sistemului din prima aproximare sunt egale cu , ambele sunt reale și negative, prin urmare, în vecinătatea punctului singular zero, comportamentul traiectoriilor de fază ale sistemului va corespunde tipului de nod stabil.

Automatizare și telemecanică, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Dr. tech. Sci. (Institutul pentru Analiza Sistemelor RAS, Moscova)

ANALIZA CALITATIVĂ A SISTEMELOR DINAMICE CU OPERATOR Vd-ENTROPY

Este propusă o metodă pentru studierea existenței, unicității și localizării punctelor singulare ale clasei considerate de DSEE. Se obțin condiții de stabilitate „în mic” și „în mare”. Sunt date exemple de aplicare a condițiilor obținute.

1. Introducere

Multe probleme de modelare matematică a proceselor dinamice pot fi rezolvate pe baza conceptului sisteme dinamice cu operator de entropie (ESEO) . DSEE este un sistem dinamic în care neliniaritatea este descrisă de problema parametrică a maximizării entropiei. Feio-moiologic, DSEO este un model de macrosistem cu auto-reproducere „lentă” și alocare „rapidă” a resurselor. Unele proprietăți ale DSEO au fost studiate în. Această lucrare continuă ciclul de studii ale proprietăților calitative ale DSEO.

Considerăm un sistem dinamic cu un operator Vd-entropie:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

În aceste expresii:

C(x, y), u(x) sunt funcții vectoriale diferențiabile continuu;

Entropie

(1.2) Hv (y) = uz 1n ca > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matricea cu elemente ^ 0 are un rang total egal cu r;

Se presupune că funcția vectorială u(x) este diferențiabilă continuu, mulțimea

(1,3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

unde a- și a + sunt vectori din E+, unde a- este un vector cu componente mici.

Folosind binecunoscuta reprezentare a operatorului de entropie în termeni de multiplicatori Lagrange. transformăm sistemul (1.1) în următoarea formă:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

unde rk = exp(-Ak) > 0 sunt multiplicatorii exponențiali Lagrange.

Alături de DSEE-ul formei generale (1.1), vom avea în vedere, urmând clasificarea dată în .

DSEE cu debit separabil:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

unde B (n x m)-matrice;

DSEO cu flux multiplicativ:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

unde W este o matrice (n x m) cu elemente nenegative, a este un vector cu componente pozitive, ® ​​este semnul înmulțirii în coordonate.

Scopul acestei lucrări este de a studia existența, unicitatea și localizarea punctelor singulare ale DSEE și stabilitatea acestora.

2. Puncte singulare

2.1. Existenţă

Luați în considerare sistemul (1.4). Punctele singulare ale acestui sistem dinamic sunt determinate de următoarele ecuații:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Luați în considerare mai întâi sistemul auxiliar de ecuații:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

unde mulțimea R este definită prin egalitatea (1.3) și C(q, r) este o funcție vectorială cu componente

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Ecuația (2.4) are o soluție unică r* pentru fiecare vector fix q, care rezultă din proprietățile operatorului Vg-entropie (vezi ).

Din definirea componentelor funcției vectoriale С(g, z), are loc estimarea evidentă:

(2,6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Să notăm soluția primei ecuații cu r+ și a doua - prin r-. Să definim

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

și vectori r-dimensionali

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin, zmin).

Lema 2.1. Pentru toate q G Q (1 . 3) soluțiile z*(q) din ecuația (2.4) aparțin vectorului 1 al segmentului

zmin< z*(q) < zmax,

unde vectorii zmin și zmax sunt definiți prin expresiile (2.7)-(2.9).

Dovada teoremei este dată în Anexă. Qq

qk(x) (1.3) pentru x G Rn, atunci avem

Corolarul 2.1. Fie îndeplinite condițiile lemei 2.1 și funcțiile qk(x) satisfac condițiile (1.3) pentru toate ex x G Rn. Atunci pentru toate x G Rm soluțiile z* ale ecuației (2.3) aparțin segmentului vectorial

zmin< z* < zmax

Să revenim acum la ecuațiile (2.2). care determină componentele funcţiei vectoriale y(z). Elementele lui Jacobian au forma

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

pentru toți z G R+ cu excepția 0 și g. Prin urmare, funcția vectorială y(z) este strict în creștere monotonică. Conform Lemei 2.1, este mărginit de jos și de sus, adică pentru toți z G Rr (deci pentru toți x G Rn) valorile sale aparțin mulțimii

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

unde componentele vectorilor yk, y+ sunt determinate de expresiile:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Luați în considerare prima ecuație din (2.1) și rescrieți-o ca:

(2.14) L(x, y) = 0 pentru toate y e Y ⊂ E^.

Această ecuație determină dependența variabilei x de variabila y aparținând lui Y

noi (1.4) se reduce la existența unei funcții implicite x(y) definită prin ecuația (2.14).

Lema 2.2. Să fie îndeplinite următoarele condiții:

a) funcţia vectorială L(x, y) este continuă în mulţimea variabilelor;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 pentru toate ex x e En pentru orice fix y e Y.

Apoi, există o funcție implicită unică x*(y) definită pe Y. În această lemă, J(x, y) este jacobianul cu elemente

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dovada este dată în Anexă. Din lemele de mai sus rezultă

Teorema 2.1. Fie îndeplinite condițiile Lemelor 2.1 și 2.2. Apoi, există un punct singular unic al DSEE (1.4) și, în consecință, (1.1).

2.2. Localizare

Studiul localizării unui punct singular este înțeles ca fiind posibilitatea de a stabili intervalul în care acesta se află. Această sarcină nu este foarte simplă, dar pentru o anumită clasă de DSEE se poate stabili un astfel de interval.

Să ne întoarcem la primul grup de ecuații din (2.1) și să le reprezentăm sub forma

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

unde y- și y+ sunt definite prin egalități (2.12), (2.13).

Teorema 2.2. Fie funcția vectorială L(x,y) diferențiabilă continuu și crescătoare monotonă în ambele variabile, adică.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Atunci soluția sistemului (2.16) față de variabila x aparține intervalului (2.17) xmin x x x xmax,

a) vectorii xmin, xmax au forma

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- și x+ - componente ale soluției următoarelor ecuații

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

cu oo m desigur.

Dovada teoremei este dată în Anexă.

3. Durabilitatea DSEA „în mic”

3.1. DSEE cu flux separabil Să trecem la ecuațiile DSEE cu flux separabil, prezentându-le sub forma:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Aici valorile componentelor funcției vectoriale g(x) aparțin mulțimii Q (1.3), matricea (n × w) B are un rang total egal cu n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Fie că sistemul în cauză are un punct singular x. Pentru a studia stabilitatea acestui punct singular „în mic” construim un sistem liniarizat

unde A este o matrice (n x n), ale cărei elemente sunt calculate în punctul x, iar vectorul t = x - x. Conform primei ecuații din (3.1), matricea sistemului liniarizat are

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, p

Din (3.1) se determină elementele matricei Yr: dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Pentru a determina elementele matricei Zx, ne întoarcem la ultimul grup de ecuații din (3.1). B arată că aceste ecuații definesc o funcție vectorială implicită r(x), care este diferențiabilă continuu dacă funcția vectorială g(x) este diferențiabilă continuu. Zxul jacobian al funcției vectoriale z(x) este definit de ecuație

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Din această ecuație avem (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Înlocuind acest rezultat în egalitate (3.3). primim:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Astfel, ecuația sistemului liniarizat ia forma

(c.i) | = (j+p)e

Aici, elementele matricelor J, P sunt calculate într-un punct singular. Condițiile de stabilitate suficiente „în DSEE mic” (3.1) sunt determinate de următoarele

Teorema 3.1. DSEE (3.1) are un punct singular x care este stabil „în mic” dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) matricile J, P (3.10) ale sistemului liniarizat (3.11) au valori proprii reale si diferite, iar matricea J are valoarea proprie maxima

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Din această teoremă și egalitate (3.10) rezultă că pentru punctele singulare pentru care Qx(x) = 0 și (sau) pentru X, = 0 și tkj ^ 1 pentru toate ex k,j, condițiile suficiente ale teoremei nu sunt multumit.

3.2. DSEE cu flux multiplicativ Luați în considerare ecuațiile (1.6). prezentându-le sub forma:

X® (a-x® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sisteme. Vom avea:

(3,13)

În această expresie, diag C] este o matrice diagonală cu elemente pozitive a1,..., an, Yr, Zx sunt matrice definite prin egalități (3.4)-(3.7).

Reprezentăm matricea A sub forma

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Se notează: maxi ai = nmax și wmax este valoarea proprie maximă a matricei P(x) (3.15). Atunci Teorema 3.1 este valabilă și pentru DSEE (1.6). (3.12).

4. Sustenabilitatea DSEA „în mare”

Să ne întoarcem la ecuațiile DESO (1.4), în care valorile componentelor funcției vectoriale q(x) aparțin mulțimii Q (1.3). În sistemul luat în considerare, există un punct singular Z, la care vectorii z(x) = z ^ z-> 0 și

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Să introducem vectorii de abatere £, C, П de la punctul singular: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

Introducere

Întrucât conceptul de sistem dinamic neliniar este suficient de bogat pentru a acoperi o gamă extrem de largă de procese în care comportamentul viitor al sistemului este determinat de trecut, metodele de analiză dezvoltate în acest domeniu sunt utile într-o mare varietate de contexte.

Dinamica neliniară intră în literatură în cel puțin trei moduri. În primul rând, există cazuri în care datele experimentale privind modificarea în timp a uneia sau mai multor cantități sunt colectate și analizate folosind tehnici bazate pe teoria dinamică neliniară, cu ipoteze minime despre ecuațiile subiacente care guvernează procesul care produce datele. Adică, este un caz în care se caută să găsească corelații în datele care pot ghida dezvoltarea unui model matematic, mai degrabă decât să ghicească mai întâi modelul și apoi să-l compare cu datele.

În al doilea rând, există cazuri în care teoria dinamică neliniară poate fi utilizată pentru a afirma că un model simplificat ar trebui să demonstreze caracteristici importante ale unui sistem dat, ceea ce implică faptul că modelul de descriere poate fi construit și studiat pe o gamă largă de parametri. Acest lucru are ca rezultat adesea modele care se comportă calitativ diferit sub diferiți parametri și demonstrează că o regiune prezintă un comportament care este foarte asemănător cu comportamentul observat în sistemul real. În multe cazuri, comportamentul modelului este destul de sensibil la modificările parametrilor, așa că dacă parametrii modelului pot fi măsurați într-un sistem real, modelul prezintă un comportament realist la aceste valori și se poate fi sigur că modelul surprinde caracteristicile esențiale ale sistemului.

În al treilea rând, există cazuri când ecuațiile modelului sunt construite pe baza descrierilor detaliate ale fizicii cunoscute. Experimentele numerice pot furniza apoi informații despre variabilele care nu sunt disponibile experimentelor fizice.

Pe baza celei de-a doua căi, această lucrare este o extensie a lucrării mele anterioare „Modelul dinamic neliniar al industriilor interdependente”, precum și o altă lucrare (Dmitriev, 2015)

Toate definițiile necesare și alte informații teoretice necesare în lucrare vor apărea în primul capitol, după caz. Două definiții vor fi date aici, care sunt necesare pentru dezvăluirea temei de cercetare în sine.

Mai întâi, să definim dinamica sistemului. Conform uneia dintre definiții, dinamica sistemului este o abordare de modelare prin simulare care, datorită metodelor și instrumentelor sale, ajută la evaluarea structurii sistemelor complexe și a dinamicii acestora (Shterman). Merită adăugat că dinamica sistemului este, de asemenea, o tehnică de modelare care este folosită pentru a recrea modele corecte (din punct de vedere al acurateței) computerizate pentru sisteme complexe pentru utilizarea ulterioară a acestora în vederea creării unei companii/organizații mai eficiente, precum și a îmbunătățirii metodelor de interacțiunea cu acest sistem. Cea mai mare parte a nevoii de dinamică a sistemului apare atunci când se confruntă cu modele strategice pe termen lung și, de asemenea, merită remarcat faptul că este mai degrabă abstractă.

Vorbind despre dinamica diferențială neliniară, vom lua în considerare un sistem neliniar, care, prin definiție, este un sistem în care modificarea rezultatului nu este proporțională cu modificarea parametrilor de intrare și în care funcția descrie dependența schimbării în timp și a poziției unui punct în spațiu (Boeing, 2016).

Pe baza definițiilor de mai sus, devine clar că această lucrare va lua în considerare diverse sisteme diferențiale neliniare care descriu interacțiunea companiilor, precum și modele de simulare construite pe baza acestora. Pe baza acesteia se va stabili scopul lucrării.

Astfel, scopul acestei lucrări este de a realiza o analiză calitativă a sistemelor dinamice care descriu interacțiunea companiilor în prima aproximare și de a construi un model de simulare pe baza acestora.

Pentru atingerea acestui obiectiv au fost identificate următoarele sarcini:

Determinarea stabilității sistemului.

Construirea portretelor de fază.

Găsirea traiectoriilor integrale ale sistemelor.

Construirea modelelor de simulare.

Fiecare dintre aceste sarcini va fi dedicată uneia dintre secțiunile fiecărui capitol al lucrării.

Pe baza practicii, construirea structurilor matematice fundamentale care modelează eficient dinamica în diverse sisteme și procese fizice indică faptul că modelul matematic corespunzător reflectă într-o oarecare măsură apropierea de originalul studiat, când trăsăturile sale caracteristice pot fi derivate din proprietățile și structuri din tipul de mișcare care formează dinamica sistemului. Până în prezent, știința economică se află într-un stadiu al dezvoltării sale, în care metodele și metodele noi și, în multe cazuri, nestandardizate de modelare fizică și matematică a proceselor economice sunt utilizate în mod deosebit în mod eficient. Aici urmează concluzia despre necesitatea de a crea, studia și construi modele care să poată descrie cumva situația economică.

În ceea ce privește motivul alegerii analizei calitative și nu cantitative, este de remarcat faptul că, în marea majoritate a cazurilor, rezultatele și concluziile unei analize calitative a sistemelor dinamice se dovedesc a fi mai semnificative decât rezultatele analizei lor cantitative. Într-o astfel de situație, se cuvine să se sublinieze declarațiile lui V.P. Milovanov, în care afirmă că ei cred în mod tradițional că rezultatele așteptate la aplicarea metodelor matematice la analiza obiectelor reale ar trebui reduse la un rezultat numeric. În acest sens, metodele calitative au o sarcină oarecum diferită. Se concentrează pe obținerea unui rezultat care descrie calitatea sistemului, pe căutarea trăsăturilor caracteristice tuturor fenomenelor în ansamblu, pe prognoză. Desigur, este important să înțelegem cum se va schimba cererea atunci când prețurile pentru un anumit tip de mărfuri se schimbă, dar nu uitați că este mult mai important să înțelegeți dacă va exista un deficit sau un surplus al acestor bunuri în astfel de condiții (Dmitriev , 2016).

Obiectul acestui studiu este diferenţialul neliniar şi dinamica sistemului.

În acest caz, subiectul cercetării este descrierea procesului de interacțiune dintre companii prin diferențial neliniar și dinamica sistemului.

Vorbind despre aplicarea practică a studiului, merită să-l împărțim imediat în două părți. Și anume, teoretică, adică o analiză calitativă a sistemelor, și practică, în care se va avea în vedere construcția modelelor de simulare.

Partea teoretică a acestui studiu oferă concepte și fenomene de bază. Ea are în vedere sisteme diferențiale simple, ca în lucrările multor alți autori (Teschl, 2012; Nolte, 2015), dar permite în același timp descrierea interacțiunii dintre companii. Pe baza acestui fapt, în viitor, va fi posibil să efectuați studii mai aprofundate sau, altfel, să vă începeți cunoștințele cu ceea ce constituie o analiză calitativă a sistemelor.

Partea practică a lucrării poate fi folosită pentru a crea un sistem de sprijinire a deciziilor. Sistem de sprijinire a deciziilor - un sistem informatic automatizat care vizează sprijinirea afacerii sau luarea deciziilor într-o organizație, permițându-vă să alegeți între multe alternative diferite (Keen, 1980). Chiar dacă modelele nu sunt foarte precise în acest moment, dar schimbându-le pentru o anumită companie, poți obține rezultate mai precise. Astfel, atunci când schimbați în ele diverși parametri și condiții care pot apărea pe piață, puteți obține o prognoză pentru viitor și puteți lua o decizie mai profitabilă în avans.

1. Interacțiunea companiilor în condițiile mutualismului

Lucrarea va prezenta sisteme bidimensionale destul de simple în comparație cu sisteme de ordin superior, dar care în același timp ne permit să demonstrăm relațiile dintre organizații de care avem nevoie.

Merită să începeți lucrul cu alegerea tipului de interacțiune, care va fi descris în viitor, deoarece pentru fiecare dintre tipurile sistemele care le descriu sunt, deși ușor, diferite. Figura 1.1 prezintă clasificarea lui Yujim Odum pentru interacțiunea populației modificată pentru interacțiunea economică (Odum, 1968), pe baza căreia vom analiza în continuare interacțiunea companiilor.

Figura 1.1. Tipuri de interacțiune între întreprinderi

Pe baza figurii 1.1, evidențiem 4 tipuri de interacțiuni și prezentăm pentru fiecare dintre ele un sistem de ecuații care le descriu pe baza modelului Malthus (Malthus, 1798). Potrivit acesteia, rata de creștere este proporțională cu abundența actuală a speciei, cu alte cuvinte, poate fi descrisă prin următoarea ecuație diferențială:

unde a este un parametru care depinde de creșterea naturală a populației. De asemenea, merită adăugat că, în sistemele considerate mai jos, toți parametrii, precum și variabilele, iau valori nenegative.

Producția de materii prime este producția de produse, care este similară cu modelul prădător-pradă. Modelul prădător-pradă, cunoscut și sub denumirea de model Lotka-Volterra, este o pereche de ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi care descriu dinamica unui sistem biologic cu două specii, dintre care una este prădătoare și cealaltă pradă (Llibre , 2007). Modificarea abundenței acestor specii este descrisă de următorul sistem de ecuații:

(1.2)

unde - caracterizează creșterea producției primei întreprinderi fără influența celei de-a doua (în cazul modelului prădător-pradă, creșterea populației de pradă fără prădători),

Caracterizează creșterea producției celei de-a doua întreprinderi fără influența primei (creșterea populației de prădători fără pradă),

Caracterizează creșterea producției primei întreprinderi, ținând cont de influența celei de-a doua întreprinderi asupra acesteia (o creștere a numărului de pradă atunci când interacționează cu prădătorii),

Caracterizează creșterea producției celei de-a doua întreprinderi, ținând cont de influența primei întreprinderi asupra acesteia (o creștere a numărului de prădători în timpul interacțiunii lor cu victimele).

În primul rând, prădătorul, după cum se poate observa din sistem, precum și din clasificarea lui Odum, interacțiunea lor impune un efect favorabil. Pe de alta nefavorabil. Dacă este luat în considerare în realitățile economice, atunci, așa cum se poate observa în figură, cel mai simplu analog este producătorul și furnizorul său de resurse, care corespund prădtorului și, respectiv, pradei. Astfel, în absența materiilor prime, producția scade exponențial.

Concurența este rivalitatea între două sau mai multe (în cazul nostru, luăm în considerare sisteme bidimensionale, deci luăm exact competiția între două specii) specii, grupuri economice pentru teritorii, resurse limitate sau alte valori (Elton, 1968). Modificările numărului de specii sau ale numărului de produse în cazul nostru sunt descrise de sistemul de mai jos:

(1.3)

În acest caz, speciile sau companiile care produc un produs se afectează negativ reciproc. Adică, în absența unui concurent, creșterea produselor va crește exponențial.

Acum să trecem la o interacțiune simbiotică, în care ambele întreprinderi au o influență pozitivă una asupra celeilalte. Să începem cu mutualismul. Mutualismul este un tip de relație între diferite specii în care fiecare dintre ele beneficiază de acțiunile celeilalte și este de remarcat faptul că prezența unui partener este o condiție necesară pentru existență (Thompson, 2005). Acest tip de relație este descris de sistem:

(1.4)

Întrucât interacțiunea între companii este necesară pentru existența lor, în absența produsului unei companii, producția de bunuri a alteia scade exponențial. Acest lucru este posibil atunci când companiile pur și simplu nu au alte alternative pentru achiziții.

Luați în considerare un alt tip de interacțiune simbiotică, protocooperarea. Proto-cooperarea este similară cu mutualismul, cu singura excepție că nu este nevoie de un partener, deoarece, de exemplu, există și alte alternative. Deoarece sunt similare, sistemele lor arată aproape identice între ele:

(1.5)

Astfel, absența unui produs al unei companii nu împiedică creșterea produsului altei companii.

Desigur, pe lângă cele enumerate la paragrafele 3 și 4, pot fi remarcate și alte tipuri de relații simbiotice: comensalism și amensalism (Hanski, 1999). Dar ele nu vor fi menționate mai departe, deoarece în comensalism unul dintre parteneri este indiferent față de interacțiunea lui cu celălalt, dar totuși luăm în considerare cazurile în care există influență. Și amensalismul nu este luat în considerare, deoarece din punct de vedere economic, astfel de relații, atunci când interacțiunea lor dăunează unuia, iar celălalt este indiferent, pur și simplu nu pot exista.

Pe baza influenței companiilor una asupra celeilalte, și anume a faptului că relațiile simbiotice duc la coexistența durabilă a companiilor, în această lucrare vom lua în considerare doar cazuri de mutualism și proto-cooperare, întrucât în ​​ambele cazuri interacțiunea este benefică pentru toată lumea.

Acest capitol este dedicat interacțiunii companiilor în condițiile mutualismului. Se va lua în considerare două sisteme care reprezintă o dezvoltare ulterioară a sistemelor bazate pe modelul Malthus, și anume sisteme cu restricții impuse privind creșterea producției.

Dinamica unei perechi conectată prin relații mutualiste, așa cum sa menționat mai sus, poate fi descrisă în prima aproximare de către sistem:

(1.6)

Se poate observa că cu o cantitate inițială mare de producție, sistemul crește la nesfârșit, iar cu o cantitate mică, producția scade. Aici se află incorectitudinea descrierii biliniare a efectului care decurge din mutualism. Pentru a încerca să corectăm imaginea, introducem un factor asemănător cu saturația unui prădător, adică un factor care va reduce rata de creștere a producției, dacă aceasta este în exces. În acest caz, ajungem la următorul sistem:

(1.7)

unde este creșterea producției de produs a primei companii în interacțiunea acesteia cu a doua, ținând cont de saturație,

Creșterea producției de produs a celei de-a doua companii în interacțiunea acesteia cu prima, ținând cont de saturație,

Coeficienții de saturație.

Astfel, avem două sisteme: modelul malthusian de creștere cu și fără saturație.

1.1 Stabilitatea sistemelor în prima aproximare

Stabilitatea sistemelor în prima aproximare este considerată în multe lucrări străine (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 și alții) și în limba rusă (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959 și alții), iar definirea sa este un pas de bază pentru analiza proceselor care au loc în sistem. Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași necesari:

Să găsim punctele de echilibru.

Să găsim matricea jacobiană a sistemului.

Găsiți valorile proprii ale matricei jacobiene.

Clasificăm punctele de echilibru după teorema Lyapunov.

Având în vedere pașii, merită să ne oprim asupra explicației lor mai detaliat, așa că voi da definiții și voi descrie metodele pe care le vom folosi în fiecare dintre acești pași.

Primul pas, căutarea punctelor de echilibru. Pentru a le găsi, echivalăm fiecare funcție cu zero. Adică rezolvăm sistemul:

unde a și b înseamnă toți parametrii ecuației.

Următorul pas este găsirea matricei jacobiane. În cazul nostru, aceasta va fi o matrice de 2 pe 2 cu derivate prime la un moment dat, după cum se arată mai jos:

După parcurgerea primilor doi pași, trecem la găsirea rădăcinilor următoarei ecuații caracteristice:

Unde punctul corespunde punctelor de echilibru găsite în prima etapă.

După ce am găsit și , trecem la pasul al patrulea și folosim următoarele teoreme Lyapunov (Parks, 1992):

Teorema 1: Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice au o parte reală negativă, atunci punctul de echilibru corespunzător sistemului original și liniarizat este asimptotic stabil.

Teorema 2: Dacă cel puțin una dintre rădăcinile ecuației caracteristice are o parte reală pozitivă, atunci punctul de echilibru corespunzător sistemului original și liniarizat este asimptotic instabil.

De asemenea, privind și este posibil să se determine tipul de stabilitate mai precis, pe baza diviziunii prezentate în figurile 1.2 (Universitatea Lamar).

Figura 1.2. Tipuri de stabilitate a punctelor de echilibru

Având în vedere informațiile teoretice necesare, trecem la analiza sistemelor.

Luați în considerare un sistem fără saturație:

Este foarte simplu și nu este potrivit pentru utilizare practică, deoarece nu are restricții. Dar, ca prim exemplu de analiză a sistemului, este potrivit pentru luare în considerare.

Mai întâi, să găsim punctele de echilibru echivalând laturile din dreapta ecuațiilor cu zero. Astfel, găsim două puncte de echilibru, să le numim A și B: .

Să combinăm pasul cu căutarea matricei jacobiene, rădăcinile ecuației caracteristice și determinarea tipului de stabilitate. Deoarece sunt elementare, primim imediat răspunsul:

1. În punctul , , există un nod stabil.

La un moment dat: ... şa.

După cum am scris deja, acest sistem este prea banal, așa că nu a fost necesară nicio explicație.

Acum să analizăm sistemul din saturație:

(1.9)

Apariția unei restricții privind saturarea reciprocă a produselor de către întreprinderi ne aduce mai aproape de imaginea reală a ceea ce se întâmplă și, de asemenea, complică ușor sistemul.

Ca și înainte, echivalăm părțile corecte ale sistemului cu zero și rezolvăm sistemul rezultat. Punctul a rămas neschimbat, dar celălalt punct în acest caz conține mai mulți parametri decât înainte: .

În acest caz, matricea Jacobi ia următoarea formă:

Scădeți din ea matricea de identitate înmulțită cu , și egalați determinantul matricei rezultate în punctele A și B la zero.

În punctul unei imagini timpurii similare:

nod stabil.

Dar la punctul totul este ceva mai complicat și, deși matematica este încă destul de simplă, complexitatea provoacă inconvenientul de a lucra cu expresii literale lungi. Deoarece valorile se dovedesc a fi destul de lungi și incomod notate, ele nu sunt date, este suficient să spunem că în acest caz, ca și în cazul sistemului anterior, tipul de stabilitate obținut este o șa.

Portrete în 2 faze ale sistemelor

Marea majoritate a modelelor dinamice neliniare sunt ecuații diferențiale complexe care fie nu pot fi rezolvate, fie aceasta este un fel de complexitate. Un exemplu este sistemul din secțiunea anterioară. În ciuda simplității aparente, găsirea tipului de stabilitate în cel de-al doilea punct de echilibru nu a fost o sarcină ușoară (deși nu din punct de vedere matematic), iar cu o creștere a parametrilor, restricțiilor și ecuațiilor pentru a crește numărul de întreprinderi care interacționează, complexitatea nu va face decât să crească. Desigur, dacă parametrii sunt expresii numerice, atunci totul va deveni incredibil de simplu, dar atunci analiza își va pierde cumva orice sens, pentru că în cele din urmă vom putea găsi puncte de echilibru și vom putea afla tipurile de stabilitate ale acestora doar pentru un anumit caz, nu general.

În astfel de cazuri, merită să ne amintim planul de fază și portretele de fază. În matematica aplicată, în special în contextul analizei sistemelor neliniare, planul de fază este o reprezentare vizuală a anumitor caracteristici ale anumitor tipuri de ecuații diferențiale (Nolte, 2015). Planul de coordonate cu axele valorilor oricărei perechi de variabile care caracterizează starea sistemului este un caz bidimensional al unui spațiu comun de fază n-dimensional.

Datorită planului de fază, este posibilă determinarea grafică a existenței ciclurilor limită în soluțiile unei ecuații diferențiale.

Soluțiile unei ecuații diferențiale sunt o familie de funcții. Grafic, aceasta poate fi reprezentată în planul de fază ca un câmp vectorial bidimensional. Vectorii sunt desenați pe plan, reprezentând derivate în puncte caracteristice față de un parametru, în cazul nostru, în raport cu timpul, adică (). Cu suficiente din aceste săgeți într-o zonă, comportamentul sistemului poate fi vizualizat și ciclurile limită pot fi ușor identificate (Boeing, 2016).

Câmpul vectorial este un portret de fază, o anumită cale de-a lungul liniei de curgere (adică o cale întotdeauna tangentă la vectori) este o cale de fază. Fluxurile într-un câmp vectorial indică schimbarea sistemului în timp, descrisă de o ecuație diferențială (Iordan, 2007).

Este de remarcat faptul că un portret de fază poate fi construit chiar și fără a rezolva ecuația diferențială și, în același timp, o bună vizualizare poate oferi o mulțime de informații utile. În plus, în prezent există multe programe care pot ajuta la construirea diagramelor de fază.

Astfel, planurile de fază sunt utile pentru vizualizarea comportamentului sistemelor fizice. În special, sistemele oscilatoare, cum ar fi modelul prădător-pradă deja menționat mai sus. În aceste modele, traiectorii de fază se pot „răuci” spre zero, „ieși dintr-o spirală” la infinit sau pot ajunge la o situație stabilă neutră numită centre. Acest lucru este util pentru a determina dacă dinamica este stabilă sau nu (Iordan, 2007).

Portretele de fază prezentate în această secțiune vor fi construite folosind instrumentele WolframAlpha sau furnizate din alte surse. Model de creștere malthusian fără saturație.

Să construim un portret de fază al primului sistem cu trei seturi de parametri pentru a le compara comportamentul. Setul A ((1,1), (1,1)), care va fi denumit un singur set, setul B ((10,0.1), (2,2)), atunci când este selectat, sistemul experimentează un scăderea producției și mulțimea C ((1,10), (1,10)) pentru care, dimpotrivă, are loc o creștere bruscă și nelimitată. Trebuie remarcat faptul că valorile de-a lungul axelor în toate cazurile vor fi în aceleași intervale de la -10 la 10, pentru comoditatea comparării diagramelor de fază între ele. Desigur, acest lucru nu se aplică unui portret calitativ al sistemului, ale cărui axe sunt adimensionale.

Figura 1.3 Portret de fază cu parametrii A

ecuația limită diferențială a mutualismului

Figura 1.3 de mai sus prezintă portretele de fază ale sistemului pentru cele trei seturi specificate de parametri, precum și portretul de fază care descrie comportamentul calitativ al sistemului. Nu uitați că cel mai important din punct de vedere practic este primul trimestru, deoarece cantitatea de producție, care poate fi doar nenegativă, este axele noastre.

În fiecare dintre figuri, stabilitatea la punctul de echilibru (0,0) este clar vizibilă. Și în prima figură, „punctul șa” este de asemenea vizibil în punctul (1,1), cu alte cuvinte, dacă înlocuim valorile setului de parametri în sistem, atunci la punctul de echilibru B. Când limitele construcției modelului se schimbă, punctul de șa se găsește și pe alte portrete de fază.

Model malthusian de creștere din saturație.

Să construim diagrame de fază pentru al doilea sistem, în care există saturație, cu trei seturi noi de valori ale parametrilor. Setul A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), setul B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) și setul C ((20,1,100), (20,1,100) )).

Figura 1.4. Portret de fază cu parametrii A

După cum puteți vedea, pentru orice set de parametri, punctul (0,0) este echilibru și, de asemenea, stabil. De asemenea, în unele figuri, puteți vedea un punct de șa.

În acest caz, au fost luate în considerare diferite scale pentru a demonstra mai clar că, chiar și atunci când un factor de saturație este adăugat la sistem, imaginea calitativă nu se schimbă, adică saturația singură nu este suficientă. Trebuie avut în vedere faptul că, în practică, companiile au nevoie de stabilitate, adică dacă luăm în considerare ecuațiile diferențiale neliniare, atunci suntem cel mai interesați de punctele de echilibru stabile, iar în aceste sisteme, doar punctele zero sunt astfel de puncte, ceea ce înseamnă că astfel de modele matematice nu sunt în mod clar potrivite pentru întreprinderi. La urma urmei, asta înseamnă că numai cu producție zero, companiile sunt în stabilitate, ceea ce este clar diferit de imaginea reală a lumii.

În matematică, o curbă integrală este o curbă parametrică care este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale obișnuite sau a unui sistem de ecuații (Lang, 1972). Dacă ecuația diferențială este reprezentată ca un câmp vectorial, atunci curbele integrale corespunzătoare sunt tangente la câmp în fiecare punct.

Curbele integrale sunt cunoscute și sub alte denumiri, în funcție de natura și interpretarea ecuației diferențiale sau a câmpului vectorial. În fizică, curbele integrale pentru un câmp electric sau un câmp magnetic sunt cunoscute ca linii de câmp, iar curbele integrale pentru un câmp de viteză a fluidului sunt cunoscute ca linii de curgere. În sistemele dinamice, curbele integrale pentru o ecuație diferențială se numesc traiectorii.

Figura 1.5. Curbe integrale

Soluțiile oricăruia dintre sisteme pot fi considerate și ecuații ale curbelor integrale. Evident, fiecare traiectorie de fază este o proiecție a unei curbe integrale în spațiul x,y,t pe planul de fază.

Există mai multe moduri de a construi curbe integrale.

Una dintre ele este metoda izoclinei. Un izoclin este o curbă care trece prin puncte în care panta funcției luate în considerare va fi întotdeauna aceeași, indiferent de condiții inițiale(Hanski, 1999).

Este adesea folosită ca metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite. De exemplu, într-o ecuație de forma y "= f (x, y), izoclinele sunt drepte în planul (x, y) obținute prin echivalarea f (x, y) cu o constantă. Aceasta dă o serie de drepte ( pentru diferite constante) de-a lungul cărora curbele soluțiile au același gradient. Prin calcularea acestui gradient pentru fiecare izoclină, câmpul pantei poate fi vizualizat, făcând relativ ușor să se deseneze curbe de soluție aproximative. Figura de mai jos prezintă un exemplu de utilizare a metodei izoclinului .

Figura 1.6. Metoda izoclinului

Această metodă nu necesită calcule computerizate și a fost foarte populară în trecut. Acum există soluții software care vor construi curbe integrale pe computere extrem de precis și rapid. Cu toate acestea, chiar și așa, metoda izoclinei s-a dovedit bine ca un instrument pentru studierea comportării soluțiilor, deoarece permite să se arate zonele de comportament tipic ale curbelor integrale.

Model de creștere malthusian fără saturație.

Să începem cu faptul că, în ciuda existenței diferitelor metode de construcție, nu este atât de ușor să arăți curbele integrale ale unui sistem de ecuații. Metoda izoclinului menționată mai devreme nu este potrivită deoarece funcționează pentru ecuații diferențiale de ordinul întâi. Iar instrumentele software care au capacitatea de a trasa astfel de curbe nu sunt în domeniul public. De exemplu, Wolfram Mathematica, care este capabil de acest lucru, este plătit. Prin urmare, vom încerca să folosim cât mai mult posibil capacitățile Wolfram Alpha, lucru cu care este descris în diverse articole și lucrări (Orca, 2009). Chiar și în ciuda faptului că imaginea nu va fi în mod clar pe deplin de încredere, dar cel puțin vă va permite să arătați dependența în planuri (x, t), (y, t). Mai întâi, să rezolvăm fiecare dintre ecuațiile pentru t. Adică, derivăm dependența fiecăreia dintre variabile în raport cu timpul. Pentru acest sistem obținem:

(1.10)

(1.11)

Ecuațiile sunt simetrice, așa că considerăm doar una dintre ele și anume x(t). Fie constanta egală cu 1. În acest caz, vom folosi funcția de reprezentare grafică.

Figura 1.7. Model tridimensional pentru ecuația (1.10)

Model malthusian de creștere din saturație.

Să facem același lucru pentru celălalt model. În cele din urmă, obținem două ecuații care demonstrează dependența variabilelor de timp.

(1.12)

(1.13)

Să construim din nou un model tridimensional și linii de nivel.

Figura 1.8. Model tridimensional pentru ecuația (1.12)

Deoarece valorile variabilelor sunt nenegative, atunci în fracția cu exponent obținem un număr negativ. Astfel, curba integrală scade cu timpul.

Anterior, a fost dată o definiție a dinamicii sistemului pentru a înțelege esența lucrării, dar acum să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Dinamica sistemului este o metodologie și o metodă de modelare matematică pentru formarea, înțelegerea și discutarea problemelor complexe, dezvoltată inițial în anii 1950 de Jay Forrester și descrisă în lucrarea sa (Forrester, 1961).

Dinamica sistemului este un aspect al teoriei sistemelor ca metodă de înțelegere a comportamentului dinamic al sistemelor complexe. Baza metodei este recunoașterea faptului că structura oricărui sistem constă din numeroase relații între componentele sale, care sunt adesea la fel de importante în determinarea comportamentului său ca și componentele individuale. Exemple sunt teoria haosului și dinamica socială, descrise în lucrările diverșilor autori (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Se mai susține că, deoarece proprietățile întregi nu pot fi găsite adesea în proprietățile elementului, în unele cazuri comportamentul întregului nu poate fi explicat în termeni de comportament al părților.

Simularea poate arăta cu adevărat întreaga semnificație practică a unui sistem dinamic. Deși este posibil în foi de calcul, există multe pachete software care au fost optimizate special pentru acest scop.

Modelarea în sine este procesul de creare și analiză a unui prototip al unui model fizic pentru a prezice performanța acestuia în lumea reală. Modelarea prin simulare este folosită pentru a ajuta proiectanții și inginerii să înțeleagă în ce condiții și în ce cazuri un proces poate eșua și ce sarcini poate rezista (Khemdy, 2007). Modelarea poate ajuta, de asemenea, la prezicerea comportamentului fluxurilor de fluide și a altor fenomene fizice. Modelul analizează condițiile aproximative de lucru datorate software-ului de simulare aplicat (Strogalev, 2008).

Limitările posibilităților de modelare prin simulare au o cauză comună. Construcția și calculul numeric al unui model exact garantează succesul numai în acele domenii în care există o teorie cantitativă exactă, adică atunci când ecuațiile care descriu anumite fenomene sunt cunoscute, iar sarcina este doar de a rezolva aceste ecuații cu acuratețea necesară. În acele zone în care nu există o teorie cantitativă, construcția unui model exact are o valoare limitată (Bazykin, 2003).

Cu toate acestea, posibilitățile de modelare nu sunt nelimitate. În primul rând, acest lucru se datorează faptului că este dificil să se evalueze sfera de aplicabilitate a modelului de simulare, în special, perioada de timp pentru care prognoza poate fi construită cu acuratețea necesară (Legea, 2006). În plus, prin natura sa, modelul de simulare este legat de un anumit obiect, iar atunci când se încearcă aplicarea lui altuia, chiar și unui obiect similar cu acesta, necesită o ajustare radicală sau, cel puțin, o modificare semnificativă.

Există un motiv general pentru existența unor limitări ale simulării. Construcția și calculul numeric al unui model „exact” are succes numai dacă există o teorie cantitativă, adică numai dacă toate ecuațiile sunt cunoscute, iar problema se reduce doar la rezolvarea acestor ecuații cu o anumită acuratețe (Bazykin, 2003).

Dar chiar și în ciuda acestui fapt, modelarea prin simulare este un instrument excelent pentru vizualizarea proceselor dinamice, permițând, cu un model mai mult sau mai puțin corect, să se ia decizii pe baza rezultatelor acestuia.

În această lucrare, modelele de sistem vor fi construite folosind instrumentele de dinamică a sistemului oferite de programul AnyLogic.

Model de creștere malthusian fără saturație/

Înainte de a construi un model, este necesar să luăm în considerare elementele de dinamică a sistemului pe care le vom folosi și să le raportăm la sistemul nostru. Următoarele definiții au fost preluate din informațiile de ajutor ale programului AnyLogic.

Unitatea este elementul principal al diagramelor de dinamică a sistemului. Sunt folosite pentru a reprezenta obiecte din lumea reală, în care se acumulează anumite resurse: bani, substanțe, număr de grupuri de oameni, unele obiecte materiale etc. Acumulatoarele reflectă starea statică a sistemului simulat, iar valorile acestora se modifică în timp în funcție de fluxurile existente în sistem. Rezultă că dinamica sistemului este determinată de fluxuri. Debitele care intră și ies din acumulator cresc sau scad valorile acumulatorului.

Fluxul, precum și unitatea menționată mai sus, este elementul principal al diagramelor dinamice de sistem.

În timp ce containerele definesc partea statică a sistemului, fluxurile determină rata de schimbare a containerelor, adică modul în care stocurile se modifică în timp și, astfel, determină dinamica sistemului.

Agentul poate conține variabile. Variabilele sunt de obicei folosite pentru a modela caracteristicile în schimbare ale unui agent sau pentru a stoca rezultatele modelului. De obicei, variabilele dinamice constau din funcții de acumulator.

Agentul poate avea parametri. Parametrii sunt adesea folosiți pentru a reprezenta unele dintre caracteristicile obiectului modelat. Sunt utile atunci când instanțele de obiect au același comportament ca cel descris în clasă, dar diferă în anumite valori ale parametrilor. Există o diferență clară între variabile și parametri. Variabila reprezintă starea modelului și se poate modifica în timpul simulării. Parametrul este de obicei folosit pentru a descrie obiecte static. În timpul unei „execuții” a modelului, parametrul este de obicei o constantă și este schimbat doar atunci când comportamentul modelului trebuie reconfigurat.

O legătură este un element al dinamicii sistemului care este folosit pentru a determina relația dintre elementele unei diagrame de flux și acumulatori.Nu creează automat legături, ci obligă utilizatorul să le deseneze în mod explicit în editorul grafic (cu toate acestea, merită remarcat că AnyLogic acceptă și un mecanism pentru setarea rapidă a legăturilor lipsă). De exemplu, dacă orice element al lui A este menționat în ecuație sau valoarea inițială a elementului B, atunci trebuie mai întâi să conectați aceste elemente cu o legătură care merge de la A la B și abia apoi introduceți expresia în proprietățile lui B. .

Există și alte elemente ale dinamicii sistemului, dar acestea nu vor fi implicate în cursul lucrărilor, așa că le vom omite.

Pentru început, să considerăm în ce va consta modelul sistemului (1.4).

În primul rând, marchem imediat două unități, care vor conține valorile cantității de producție a fiecăreia dintre întreprinderi.

În al doilea rând, deoarece avem doi termeni în fiecare ecuație, obținem două fluxuri către fiecare unitate, unul de intrare, celălalt de ieșire.

În al treilea rând, trecem la variabile și parametri. Există doar două variabile. X și Y, responsabili de creșterea producției. Avem și patru opțiuni.

În al patrulea rând, în ceea ce privește conexiunile, fiecare dintre fluxuri trebuie să fie asociat cu variabilele și parametrii incluși în ecuația debitului, iar ambele variabile trebuie asociate cu acumulatori pentru a modifica valoarea în timp.

Vom lăsa o descriere detaliată a construirii unui model, ca exemplu de lucru în mediul de modelare AnyLogic, pentru următorul sistem, deoarece este ceva mai complicat și utilizează mai mulți parametri, și vom trece imediat să luăm în considerare versiunea finală a sistem.

Figura 1.9 de mai jos prezintă modelul construit:

Figura 1.9. Model de dinamică a sistemului pentru sistem (1.4)

Toate elementele dinamicii sistemului corespund celor descrise mai sus, i.e. două unități, patru fluxuri (două de intrare, două de ieșire), patru parametri, două variabile dinamice și legături necesare.

Figura arată că cu cât mai multe produse, cu atât creșterea sa mai puternică, ceea ce duce la o creștere bruscă a numărului de mărfuri, ceea ce corespunde sistemului nostru. Dar, așa cum am menționat mai devreme, absența restricțiilor asupra acestei creșteri nu permite aplicarea acestui model în practică.

Model de creștere malthusian de la saturație/

Având în vedere acest sistem, să ne oprim asupra construcției modelului mai detaliat.

Primul pas este să adăugați două unități, să le numim X_stock și Y_stock. Să atribuim fiecăruia dintre ele o valoare inițială egală cu 1. Rețineți că în absența fluxurilor, nu există nimic în ecuația de stocare dată clasic.

Figura 1.10. Construirea unui model de sistem (1.9)

Următorul pas este adăugarea de fire. Să construim un flux de intrare și de ieșire pentru fiecare unitate folosind un editor grafic. Nu trebuie să uităm că una dintre marginile fluxului trebuie să fie în unitate, altfel nu vor fi conectate.

Puteți vedea că ecuația pentru unitate a fost setată automat, desigur, utilizatorul o poate scrie el însuși alegând modul de ecuație „arbitrară”, dar cel mai simplu mod este să lăsați această acțiune în seama programului.

Al treilea pas este să adăugăm șase parametri și două variabile dinamice. Să dăm fiecărui element un nume în conformitate cu expresia sa literală în sistem și, de asemenea, să setăm valorile inițiale ale parametrilor după cum urmează: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Toate elementele ecuațiilor sunt prezente, rămâne doar să scrieți ecuațiile pentru fluxuri, dar pentru aceasta trebuie mai întâi să adăugați conexiuni între elemente. De exemplu, fluxul de ieșire responsabil pentru termen trebuie să fie asociat cu e1 și x. Și fiecare variabilă dinamică trebuie să fie asociată cu stocul corespunzător (X_stock x, Y_stock y). Crearea de linkuri este similară cu adăugarea de fire.

După crearea conexiunilor necesare, puteți trece la scrierea ecuațiilor pentru fluxuri, care este prezentată în figura din dreapta. Desigur, puteți merge în ordine inversă, dar dacă există conexiuni, la scrierea ecuațiilor apar indicii pentru înlocuirea parametrilor/variabilelor necesare, ceea ce ușurează sarcina în modelele complexe.

După finalizarea tuturor pașilor, puteți rula modelul de simulare și puteți privi rezultatul acestuia.

Având în vedere sistemele de ecuații diferențiale neliniare pentru interacțiunea companiilor în condițiile mutualismului, putem trage câteva concluzii.

Există două stări ale sistemului: o creștere bruscă nelimitată sau tendința cantității de producție la zero. Pe care dintre cele două stări le va asuma sistemul depinde de parametri.

Niciunul dintre modelele propuse, inclusiv modelul care ține cont de saturație, nu este adecvat pentru utilizare practică, din cauza lipsei unei poziții stabile diferite de zero, precum și din motivele descrise la paragraful 1.

În cazul încercării de a studia în continuare acest tip de interacțiune simbiotică pentru a crea un model aplicabil de către companii în practică, este necesar să se complice și mai mult sistemul și să se introducă noi parametri. De exemplu, Bazykin în cartea sa oferă un exemplu de dinamică a două populații mutualiste cu introducerea unui factor suplimentar de competiție intraspecifică. Datorită căruia sistemul ia forma:

(1.15)

Și în acest caz, apare o poziție stabilă diferită de zero a sistemului, separată de zero printr-o „șa”, ceea ce îl aduce mai aproape de imaginea reală a ceea ce se întâmplă.

2. Interacțiunea companiilor în condițiile protocooperării

Toate informațiile teoretice de bază au fost prezentate în capitolul anterior, astfel încât în ​​analiza modelelor avute în vedere în acest capitol, în cea mai mare parte, teoria va fi omisă, cu excepția câtorva puncte pe care nu le-am întâlnit în precedentul capitol. capitol și poate exista și o reducere a calculelor. Modelul de interacțiune între organizații luat în considerare în acest capitol în condiții de protocooperare, care constă din sisteme de două ecuații bazate pe modelul malthusian, arată ca sistemul (1.5). Sistemele analizate în capitolul anterior au arătat că pentru aproximarea lor maximă la modelele existente este necesară complicarea sistemelor. Pe baza acestor constatări, vom adăuga imediat modelului o constrângere de creștere. Spre deosebire de tipul anterior de interacțiune, când creșterea care nu depinde de o altă companie este negativă, în acest caz toate semnele sunt pozitive, ceea ce înseamnă că avem o creștere constantă. Evitând neajunsurile descrise mai devreme, vom încerca să o limităm la ecuația logistică, cunoscută și sub numele de ecuația Verhulst (Gershenfeld, 1999), care are următoarea formă:

, (2.1)

unde P este dimensiunea populației, r este parametrul care arată rata de creștere, K este parametrul responsabil pentru dimensiunea maximă posibilă a populației. Adică, în timp, dimensiunea populației (în cazul nostru, producția) va tinde către un anumit parametru K.

Această ecuație va ajuta la limitarea creșterii vertiginoase a producției pe care am văzut-o până acum. Astfel, sistemul ia următoarea formă:

(2.2)

Nu uitați că volumul de mărfuri stocate în depozit pentru fiecare companie este diferit, deci parametrii care limitează creșterea sunt diferiți. Să numim acest sistem „”, iar în viitor vom folosi acest nume atunci când îl vom lua în considerare.

Al doilea sistem pe care îl vom lua în considerare este dezvoltarea ulterioară a modelului cu constrângerea Verhulst. Ca și în capitolul anterior, introducem o constrângere de saturație, apoi sistemul va lua forma:

(2.3)

Acum fiecare dintre termeni are propria sa limită, deci fără analize suplimentare se poate observa că nu va exista o creștere nelimitată, ca în modelele din capitolul anterior. Și deoarece fiecare dintre termeni demonstrează o creștere pozitivă, atunci cantitatea de producție nu va scădea la zero. Să numim acest model „modelul proto-operație cu două constrângeri”.

Aceste două modele sunt luate în considerare în diverse surse despre populațiile biologice. Acum vom încerca să extindem oarecum sistemele. Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarea figură.

Figura prezintă un exemplu de procese a două companii: industria oțelului și a cărbunelui. În ambele întreprinderi există o creștere a producției care este independentă de cealaltă și, de asemenea, există o creștere a producției, care se obține datorită interacțiunii lor. Am luat deja în considerare acest lucru în modelele anterioare. Acum merită să acordați atenție faptului că companiile nu numai că produc produse, ci le vând și, de exemplu, pieței sau unei companii care interacționează cu aceasta. Acestea. Pe baza concluziilor logice, este nevoie de o creștere negativă a companiilor din cauza vânzării de produse (în figură, parametrii β1 și β2 sunt responsabili pentru aceasta), precum și din cauza transferului unei părți din produse către o altă întreprindere. . Anterior, am luat în considerare acest lucru doar cu un semn pozitiv pentru o altă companie, dar nu am luat în considerare faptul că numărul de produse scade pentru prima întreprindere la transferul produselor. În acest caz, obținem sistemul:

(2.4)

Și dacă se poate spune despre termen că dacă s-a indicat în modelele anterioare că , caracterizează creșterea naturală, iar parametrul poate fi negativ, atunci practic nu există nicio diferență, atunci despre termen asta nu se poate spune. În plus, în viitor, atunci când luăm în considerare un astfel de sistem cu o restricție impusă acestuia, este mai corect să folosiți termenii de creștere pozitivă și negativă, deoarece în acest caz li se pot impune restricții diferite, ceea ce este imposibil pentru natural. creştere. Să-l numim „modelul extins de proto-cooperare”.

În cele din urmă, al patrulea model luat în considerare este modelul de proto-cooperare extins cu constrângerea de creștere logistică menționată anterior. Și sistemul pentru acest model este următorul:

, (2.5)

unde este creșterea producției primei întreprinderi, independent de a doua, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției primei întreprinderi, în funcție de a doua, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției celei de-a doua întreprinderi, independent de prima, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției celei de-a doua firme, în funcție de prima, ținând cont de constrângerea logistică, - consumul de bunuri al primei firme, neaferente altei, - consumul de bunuri ale celei de-a doua firme, neafiliate alteia , - consumul de bunuri din prima industrie de către cea de-a doua industrie, - consumul de bunuri din a doua industrie prima industrie.

În viitor, acest model va fi denumit „modelul de proto-operație extins cu o constrângere logistică”.

1 Stabilitatea sistemelor în prima aproximare

Model de proto-operație cu constrângere Verhulst

Metodele de analiză a stabilității sistemului au fost indicate într-o secțiune similară a capitolului precedent. În primul rând, găsim puncte de echilibru. Una dintre ele, ca întotdeauna, este zero. Celălalt este un punct cu coordonate.

Pentru punctul zero λ1 = , λ2 = , deoarece ambii parametri sunt nenegativi, obținem un nod instabil.

Deoarece nu este foarte convenabil să lucrați cu al doilea punct, din cauza lipsei capacității de a scurta expresia, vom lăsa definiția tipului de stabilitate pe seama diagramelor de fază, deoarece acestea arată clar dacă punctul de echilibru este stabil. sau nu.

Analiza acestui sistem este mai complicată decât precedentul datorită faptului că se adaugă factorul de saturație, astfel apar noi parametri, iar la găsirea punctelor de echilibru va fi necesar să se rezolve nu o ecuație liniară, ci una biliniară datorită variabila din numitor. Prin urmare, ca și în cazul precedent, lăsăm definiția tipului de stabilitate pe seama diagramelor de fază.

În ciuda apariției de noi parametri, jacobianul la punctul zero, precum și rădăcinile ecuației caracteristice, arată similar cu modelul anterior. Astfel, la punctul zero, un nod instabil.

Să trecem la modele avansate. Prima dintre ele nu conține nicio restricție și ia forma sistemului (2.4)

Să facem o schimbare de variabile, , Și . Sistem nou:

(2.6)

În acest caz, obținem două puncte de echilibru, punctul A(0,0), B(). Punctul B se află în primul trimestru deoarece variabilele au o valoare nenegativă.

Pentru punctul de echilibru A obținem:

. - nod instabil

. - șa,

. - șa,

. - nod stabil

În punctul B, rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe: λ1 = , λ2 = . Nu putem determina tipul de stabilitate bazându-ne pe teoremele lui Lyapunov, așa că vom efectua simulări numerice care nu vor arăta toate stările posibile, dar ne vor permite să aflăm cel puțin câteva dintre ele.

Figura 2.2. Simularea numerică a căutării tipului de stabilitate

Având în vedere acest model, va trebui să vă confruntați cu dificultăți de calcul, deoarece are un număr mare de parametri diferiți, precum și două limitări.

Fără a intra în detalii ale calculelor, ajungem la următoarele puncte de echilibru. Punctul A(0,0) și punctul B cu următoarele coordonate:

(), unde a =

Pentru punctul A, determinarea tipului de stabilitate este o sarcină banală. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt λ1 = , λ2 = . Astfel, avem patru opțiuni:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nod instabil.

2.λ1< 0, λ2 >0 - şa.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Vorbind despre punctul B, merită să fim de acord că înlocuirea abrevierilor în expresie va complica munca cu jacobianul și găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice. De exemplu, după ce am încercat să le găsească folosind instrumentele de calcul WolframAlpha, rezultatul rădăcinilor a luat aproximativ cinci linii, ceea ce nu permite lucrul cu ele în termeni literali. Desigur, dacă există deja parametri, pare posibil să găsim rapid un punct de echilibru, dar acesta este un caz special, deoarece vom găsi starea de echilibru, dacă există, numai pentru acești parametri, care nu este potrivit pentru decizie. sistem de suport pentru care modelul este planificat să fie creat.

Datorită complexității lucrului cu rădăcinile ecuației caracteristice, construim aranjarea reciprocă a izoclinelor zero prin analogie cu sistemul analizat în lucrarea lui Bazykin (Bazykin, 2003). Acest lucru ne va permite să luăm în considerare stările posibile ale sistemului și, în viitor, atunci când construim portrete de fază, să găsim puncte de echilibru și tipuri de stabilitate a acestora.

După unele calcule, ecuațiile izoclinice zero iau următoarea formă:

(2.7)

Astfel, izoclinele au forma de parabole.

Figura 2.3. Posibila localizare nul-izoclinica

În total, există patru cazuri posibile de aranjare reciprocă a acestora în funcție de numărul de puncte comune dintre parabole. Fiecare dintre ele are propriile seturi de parametri și, prin urmare, portretele de fază ale sistemului.

Portrete în 2 faze ale sistemelor

Să construim un portret de fază al sistemului, cu condiția ca iar parametrii rămași sunt egali cu 1. În acest caz, un set de variabile este suficient, deoarece calitatea nu se va schimba.

După cum se poate observa din figurile de mai jos, punctul zero este un nod instabil, iar al doilea punct, dacă înlocuim valorile numerice ale parametrilor, obținem (-1,5, -1,5) - o șa.

Figura 2.4. Portret de fază pentru sistem (2.2)

Astfel, deoarece nu ar trebui să apară modificări, atunci pentru acest sistem există doar stări instabile, ceea ce se datorează cel mai probabil posibilității de creștere nelimitată.

Un model de proto-operație cu două restricții.

În acest sistem, există un factor limitator suplimentar, astfel încât diagramele de fază trebuie să difere de cazul precedent, după cum se poate observa în figură. Punctul zero este și un nod instabil, dar în acest sistem apare o poziție stabilă și anume un nod stabil. Cu acești parametri, coordonatele sale (5.5,5.5), este prezentat în figură.

Figura 2.5. Portret de fază pentru sistem (2.3)

Astfel, restrângerea fiecărui termen a făcut posibilă obținerea unei poziții stabile a sistemului.

Model extins de proto-operație.

Să construim portrete de fază pentru modelul extins, dar imediat folosind forma modificată:

Să luăm în considerare patru seturi de parametri, cum ar fi să luăm în considerare toate cazurile cu un punct de echilibru zero și, de asemenea, să demonstrăm diagramele de fază ale simulării numerice utilizate pentru un punct de echilibru diferit de zero: mulțimea A(1,0.5,0.5) corespunde statului , setul B(1,0.5,-0.5) îi corespunde setați C(-1.0.5,0.5) și setați D(-1.0.5,-0.5) , adică un nod stabil la punctul zero. Primele două seturi vor demonstra portretele de fază pentru parametrii pe care i-am luat în considerare în simularea numerică.

Figura 2.6. Portret de fază pentru sistem (2.4) cu parametrii А-D.

În figuri, este necesar să se acorde atenție punctelor (-1,2) și respectiv (1,-2), în ele apare o „șa”. Pentru o reprezentare mai detaliată, figura prezintă o scară diferită a figurii cu un punct de șa (1,-2). În figură, în punctele (1,2) și (-1,-2), este vizibil un centru stabil. În ceea ce privește punctul zero, începând de la figură la figură pe diagramele de fază, putem distinge clar un nod instabil, o șa, o șa și un nod stabil.

Model extins de proto-cooperare cu constrângere logistică.

Ca și în modelul anterior, vom demonstra portrete de fază pentru patru cazuri de punct zero și vom încerca, de asemenea, să notăm soluții diferite de zero în aceste diagrame. Pentru a face acest lucru, luați următoarele seturi de parametri cu parametrii specificați în următoarea ordine (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2) ,1) și D (1,2,1,2). Restul parametrilor pentru toate seturile vor fi următorii: , .

În figurile prezentate mai jos, se pot observa cele patru stări de echilibru ale punctului zero descrise în secțiunea anterioară pentru acest sistem dinamic. Și, de asemenea, în figuri, poziția stabilă a unui punct cu o coordonată diferită de zero.

Figura 2.7. Portret de fază pentru sistem (2.5) cu parametrii A-B

3 Traiectoriile integrale ale sistemelor

Model de proto-operație cu constrângere Verhulst

Ca și în capitolul anterior, rezolvăm fiecare dintre ecuațiile diferențiale separat și exprimăm în mod explicit dependența variabilelor de parametrul timp.

(2.8)

(2.9)

Din ecuațiile obținute se poate observa că valoarea fiecăreia dintre variabile crește, ceea ce se demonstrează în modelul tridimensional de mai jos.

Figura 2.8. Model tridimensional pentru ecuația (2.8)

Acest tip de grafic seamănă inițial cu modelul malthusian 3D nesaturat discutat în capitolul 1 prin faptul că are o creștere rapidă similară, dar mai târziu puteți observa o scădere a ratei de creștere pe măsură ce se atinge limita de producție. Astfel, aspectul final al curbelor integrale este similar cu graficul ecuației logistice care a fost folosit pentru a limita unul dintre termeni.

Un model de proto-operație cu două restricții.

Rezolvăm fiecare dintre ecuații folosind instrumentele Wolfram Alpha. Astfel, dependența funcției x(t) se reduce la următoarea formă:

(2.10)

Pentru a doua funcție, situația este similară, așa că omitem soluția ei. Valorile numerice au apărut datorită înlocuirii parametrilor cu anumite valori adecvate, ceea ce nu afectează comportamentul calitativ al curbelor integrale. Graficele de mai jos arată utilizarea limitelor de creștere pe măsură ce creșterea exponențială devine logaritmică în timp.

Figura 2.9. Model tridimensional pentru ecuația (2.10)

Model extins de proto-operație

Aproape asemănătoare cu modelele cu mutualism. Singura diferență este în creșterea mai rapidă față de acele modele, ceea ce poate fi văzut din ecuațiile de mai jos (dacă vă uitați la gradul exponentului) și grafice. Curba integrală trebuie să ia forma unui exponent.

(2.11)

(2.12)

Model extins de proto-cooperare cu constrângere logistică

Dependența x(t) arată astfel:

Fără un grafic, este dificil de evaluat comportamentul funcției, așa că folosind instrumentele deja cunoscute de noi, o vom construi.

Figura 2.10 Model 3D pentru ecuație

Valoarea funcției scade pentru valorile non-mici ale altei variabile, ceea ce se datorează absenței restricțiilor asupra termenului biliniar negativ și este un rezultat evident

4 Dinamica sistemului a companiilor care interacționează

Model de proto-operație cu constrângere Verhulst.

Să construim sistemul (2.2). Folosind instrumentele deja cunoscute de noi, construim un model de simulare. De data aceasta, spre deosebire de modelele mutualiste, modelul va avea o constrângere logistică.

Figura 2.11. Modelul dinamicii sistemului pentru sistem (2.2)

Să rulăm modelul. În acest model, este de remarcat faptul că creșterea din relație nu este limitată de nimic, iar creșterea producției fără influența celuilalt are o limitare specifică. Dacă te uiți la expresia funcției logistice în sine, poți observa că în cazul în care variabila (numărul de mărfuri) depășește volumul maxim posibil de stocare, termenul devine negativ. În cazul în care există doar o funcție logistică, acest lucru este imposibil, dar cu un factor suplimentar de creștere întotdeauna pozitiv, acest lucru este posibil. Și acum este important să înțelegem că funcția de logistică va face față situației de creștere nu prea rapidă a numărului de produse, de exemplu, liniare. Să aruncăm o privire la imaginile de mai jos.

Figura 2.12. Un exemplu de funcționare a modelului de dinamică a sistemului pentru sistem (2.2)

Figura din stânga arată pasul 5 al programului corespunzător modelului propus. Dar în acest moment merită să acordați atenție figurii potrivite.

În primul rând, pentru unul dintre fluxurile de intrare pentru Y_stock, legătura către x, exprimată în termeni de , a fost eliminată. Acest lucru se face pentru a arăta diferența de performanță a modelului cu un flux liniar întotdeauna pozitiv și creștere biliniară, care este prezentată pentru X_stock. Cu fluxuri liniare nelimitate, după depășirea parametrului K, sistemul ajunge la un moment dat la echilibru (în acest model, starea de echilibru este de 200 de mii de unități de mărfuri). Dar mult mai devreme, creșterea biliniară duce la o creștere bruscă a cantității de bunuri, trecând la infinit. Dacă lăsăm ambele fluxuri pozitive din dreapta și din stânga constant biliniare, atunci deja la aproximativ 20-30 de pași, valoarea acumulatorului ajunge la diferența de două infinitate.

Pe baza celor de mai sus, este sigur să spunem că, în cazul utilizării ulterioare a unor astfel de modele, este necesar să se limiteze orice creștere pozitivă.

Un model de proto-operație cu două restricții.

După ce am aflat deficiențele modelului anterior și am introdus o restricție asupra celui de-al doilea termen prin factorul de saturație, vom construi și vom rula un nou model.

Figura 2.13. Modelul dinamicii sistemului și un exemplu de funcționare a acestuia pentru sistem (2.3)

Acest model, in final, aduce rezultatele mult asteptate. S-a dovedit a limita creșterea valorilor acumulatorilor. După cum se poate observa din figura din dreapta, pentru ambele întreprinderi, echilibrul este atins cu un ușor exces de volum de stocare.

Model extins de proto-operație.

Luând în considerare dinamica sistemului acestui model, vor fi demonstrate capacitățile mediului software AnyLogic pentru vizualizarea colorată a modelelor. Toate modelele anterioare au fost construite folosind doar elemente ale dinamicii sistemului. Prin urmare, modelele în sine păreau discrete, nu permiteau urmărirea dinamicii modificărilor cantității de producție în timp și modificarea parametrilor în timp ce programul rula. Când lucrăm cu acesta și cu următoarele modele, vom încerca să folosim o gamă mai largă de capabilități ale programului pentru a schimba cele trei dezavantaje de mai sus.

În primul rând, pe lângă secțiunea „dinamica sistemului”, programul conține și secțiunile „imagini”, „obiecte 3D”, care fac posibilă diversificarea modelului, ceea ce este util pentru prezentarea lui ulterioară, deoarece face modelul arată „mai plăcut”.

În al doilea rând, pentru a urmări dinamica schimbărilor în valorile modelului, există o secțiune „statistici”, care vă permite să adăugați diagrame și diverse instrumente de colectare a datelor, legându-le la model.

În al treilea rând, pentru a modifica parametrii și alte obiecte în timpul execuției modelului, există o secțiune „controale”. Obiectele din această secțiune vă permit să modificați parametrii în timp ce modelul rulează (de exemplu, „glisor”), să selectați diferite stări ale obiectului (de exemplu, „comutați”) și să efectuați alte acțiuni care modifică datele specificate inițial în timpul lucrului .

Modelul este potrivit pentru predarea cunoașterii dinamicii schimbărilor în producția întreprinderilor, dar lipsa restricțiilor privind creșterea nu permite utilizarea acestuia în practică.

Model extins de proto-cooperare cu constrângere logistică.

Folosind modelul anterior deja pregătit, vom adăuga parametri din ecuația logistică pentru a limita creșterea.

Omitem construcția modelului, deoarece cele cinci modele anterioare prezentate în lucrare au demonstrat deja toate instrumentele și principiile necesare pentru a lucra cu ele. Este de remarcat doar faptul că comportamentul său este similar cu modelul de proto-cooperare cu constrângerea Verhulst. Acestea. lipsa saturaţiei împiedică aplicarea sa practică.

După analizarea modelelor în termeni de proto-cooperare, definim câteva puncte principale:

Modelele considerate în acest capitol în practică sunt mai potrivite decât cele mutualiste, deoarece au poziții stabile de echilibru non-zero chiar și cu doi termeni. Permiteți-mi să vă reamintesc că în modelele de mutualism am putut realiza acest lucru doar adăugând un al treilea termen.

Modelele adecvate trebuie să aibă restricții la fiecare dintre termeni, deoarece, în caz contrar, o creștere bruscă a factorilor biliniari „distruge” întregul model de simulare.

Pe baza punctului 2, la adăugarea unei proto-operații cu limitarea Verhulst a factorului de saturație la modelul extins, precum și la adăugarea unei cantități critice mai mici de producție, modelul ar trebui să se apropie cât mai mult de starea reală a lucrurilor. Dar nu uitați că astfel de manipulări ale sistemului îi vor complica analiza.

Concluzie

În urma studiului, a fost realizată o analiză a șase sisteme care descriu dinamica producției de către întreprinderi care se influențează reciproc. Ca urmare, punctele de echilibru și tipurile de stabilitate a acestora au fost determinate într-unul din următoarele moduri: analitic, sau datorită portretelor de fază construite în cazurile în care o soluție analitică nu este posibilă din anumite motive. Pentru fiecare dintre sisteme s-au construit diagrame de fază, precum și modele tridimensionale, pe care, la proiectare, se pot obține curbe integrale în planurile (x, t), (y, t). După aceea, folosind mediul de modelare AnyLogic, toate modelele au fost construite și opțiunile de comportament ale acestora au fost luate în considerare sub anumiți parametri.

După analizarea sistemelor și construirea modelelor lor de simulare, devine evident că aceste modele pot fi considerate doar ca instruire sau pentru descrierea sistemelor macroscopice, dar nu ca un sistem de sprijinire a deciziilor pentru companii individuale, din cauza preciziei lor scăzute și în unele locuri. nu este o reprezentare destul de fiabilă a proceselor în curs. Dar, de asemenea, nu uitați că oricât de adevărat este sistemul dinamic care descrie modelul, fiecare companie/organizație/industrie are propriile sale procese și limitări, astfel încât nu este posibil să se creeze și să descrie un model general. În fiecare caz specific, acesta va fi modificat: să devină mai complicat sau, dimpotrivă, să fie simplificat pentru lucrări ulterioare.

Făcând o concluzie din concluziile pentru fiecare capitol, merită să ne concentrăm asupra faptului relevat că introducerea de restricții asupra fiecăruia dintre termenii ecuației, deși complică sistemul, dar vă permite și detectarea pozițiilor stabile ale sistemului, precum şi să-l apropie de ceea ce se întâmplă în realitate. Și este de remarcat faptul că modelele de proto-cooperare sunt mai potrivite pentru studiu, deoarece au poziții stabile diferite de zero, în contrast cu cele două modele mutualiste pe care le-am luat în considerare.

Astfel, scopul acestui studiu a fost atins, iar sarcinile au fost îndeplinite. În viitor, ca o continuare a acestei lucrări, va fi luat în considerare un model extins de interacțiune a tipului de proto-operație cu trei restricții introduse asupra acesteia: logistică, factor de saturație, număr critic mai mic, care ar trebui să permită crearea unei mai precise. model pentru un sistem de suport decizional, precum și un model cu trei companii. Ca o extensie a lucrării, putem lua în considerare alte două tipuri de interacțiune în afară de simbioză, care au fost menționate în lucrare.

Literatură

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teoria stabilității sistemelor dinamice. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Ecuatii diferentiale. Londra: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Analiza vizuală a sistemelor dinamice neliniare: haos, fractali, auto-similaritate și limitele predicției. sisteme. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Fizică neliniară: Respirație proaspătă. Natură. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) retipărire. ecologie animală. Marea Britanie: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Dinamica industrială. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinamica economică (ed. a treia). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Natura modelării matematice. Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Note de studiu în dinamica sistemului. Pegasus.

Grebogi C, Ott E și Yorke J. (1987). Haos, atractori ciudați și limite ale bazinului fractal în dinamica neliniară. Science 238 (4827), pp. 632-638.

12 Coafor Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare I: Probleme nonstiff, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calcul: Single și Multivariable (6 ed.). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Primele integrale analitice globale pentru sistemul planar real Lotka-Volterra, J. Math. Fiz.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Ecuații diferențiale ordinare neliniare: Introducere pentru oameni de știință și ingineri (ed. a IV-a). Presa Universitatii Oxford.

Khalil Hassan K. (2001). sisteme neliniare. Prentice Hall.

Universitatea Lamar, Note de matematică online - Planul de fază, P. Dawkins.

Universitatea Lamar, Note de matematică online - Sisteme de ecuații diferențiale, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Varietăți diferențiale. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Legea Averill M. (2006). Simulare de modelare și analiză cu software-ul Expertfit. Știința McGraw-Hill.

Lazard D. (2009). Treizeci de ani de rezolvare a sistemelor polinomiale și acum? Jurnalul de calcul simbolic. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). Promisiunea abordărilor sistemelor dinamice pentru un cont integrat al dezvoltării umane. Dezvoltarea copilului. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). An Essay on the Principle of Population, în Oxford World's Classics reprint, p. 61, sfârșitul capitolului VII

26. Morecroft John (2007). Modelarea strategică și dinamica afacerilor: o abordare a sistemelor de feedback. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Introducere în dinamica modernă: haos, rețele, spațiu și timp, Oxford University Press.

Introducere 4

Analiza a priori a sistemelor dinamice 5

Trecerea unui semnal aleator printr-un sistem liniar 5

Evoluția vectorului de fază al sistemului 7

Evoluția matricei de covarianță a vectorului de fază al sistemului 8

Linearizarea statistică 8

Prima cale 9

A doua cale 10

Calculul coeficienților de liniarizare 10

Ambiguitatea în legăturile neliniare 14

Legătură neliniară acoperită de feedback 15

Simularea proceselor aleatorii 16

Filtru de modelare 16

Modelarea zgomotului alb 17

Estimarea caracteristicilor statistice ale sistemelor dinamice prin metoda Monte Carlo 18

Nota de precizie 18

Sisteme dinamice nestaționare 20

Sisteme dinamice staționare 21

Analiza a posteriori a sistemelor dinamice 22

filtru Kalman 22

Modelul de mișcare 22

Modelul de măsurare 23

Corecția 23

Prognoza 23

Clasa 23

Utilizarea filtrarii Kalman în probleme neliniare 25

Cele mai mici pătrate 27

Clasele de clădire 27

Prognoza 29

Folosirea metodei celor mai mici pătrate în probleme neliniare 29

Construcția matricei Cauchy 30

Modelarea măsurătorilor 30

Metode numerice 31

Funcții speciale 31

Simularea variabilelor aleatoare 31

Variabile aleatoare distribuite uniform 31

Variabile aleatoare gaussiene 32

Vectori aleatori 33

Integrala probabilităților 34

Polinoamele Chebyshev 36

Integrarea ecuațiilor diferențiale ordinare 36

Metodele Runge-Kutta 36

Acuratețea rezultatelor integrării numerice 37

Imbricat Dorman-Prince 5(4) ordinul 37

Metode în mai multe etape 39

Metodele Adams 39

Integrarea ecuațiilor întârziate 40

Compararea calităților de calcul ale metodelor 40

Problema Arenstorf 40

Funcții eliptice Jacobi 41

Problema cu două corpuri 41

Ecuația Van der Pol 42

Brusselator 42

Snur suspendat ecuația Lagrange 42

Pleiadele 42

Efectuarea unei note explicative 43

Pagina titlu 43

Secțiunea „Introducere” 44

Secțiunea „Teorie” 44

Secțiunea „Algoritm” 44

Secțiunea „Program” 45

Secțiunea „Rezultate” 45

Secțiunea „Concluzii” 45

Secțiunea „Lista surselor utilizate” 45

Aplicații 45

Literatura 47

Introducere

Prezent ghid de studiu conține instrucțiuni metodologice pentru finalizarea temelor pentru proiectele de curs și pentru realizarea exercițiilor practice la cursul „Fundamentele dinamicii statistice”.

Scopul proiectării cursului și al exercițiilor practice este de a stăpâni tehnologia analizei a priori și a posteriori a sistemelor dinamice neliniare sub influența perturbațiilor aleatorii.

Analiza a priori a sistemelor dinamice

Linearizarea statistică

Liniarizarea statistică vă permite să transformați sistemul dinamic neliniar original în așa fel încât pentru analiza acestuia să fie posibilă utilizarea metodelor, algoritmilor și relațiilor care sunt valabile pentru sistemele liniare.

Această secțiune este dedicată prezentării metodei liniarizării statistice, bazată pe cea mai simplă abordare aproximativă propusă de prof. I.E. Kazakov, care, totuși, face posibilă construirea de estimări ale preciziei unui sistem care conține chiar și neliniarități semnificative cu caracteristici discontinue.

Liniarizarea statistică constă în înlocuirea dependenței inerțiale neliniare inițiale dintre procesele de intrare și ieșire cu o astfel de dependență aproximativă, liniară față de procesul aleator de intrare centrat, care este echivalentă statistic față de cel inițial:

O legătură care are o astfel de relație aproximativă între semnalele de intrare și de ieșire este numită echivalentă cu legătura neliniară considerată.

Valoarea este selectată pe baza condiției de egalitate a așteptărilor matematice ale semnalelor neliniare și liniarizate și se numește caracteristica medie statistică a legăturii echivalente:

,

unde este densitatea de distribuție a semnalului de intrare.

Pentru legăturile neliniare cu caracteristici ciudate, de ex. la , este convenabil să se reprezinte caracteristica statistică sub forma:

este așteptarea matematică a semnalului de intrare;
este câștigul statistic al legăturii echivalente în ceea ce privește componenta medie .

Acea. dependența echivalentă în acest caz ia forma:

Caracteristica se numește câștig statistic al legăturii echivalente pentru componenta aleatoare (fluctuații) și se determină în două moduri.

Prima cale

În conformitate cu prima metodă de liniarizare statistică, coeficientul este selectat pe baza condiției de egalitate a dispersiilor semnalelor originale și echivalente. Acea. pentru calcul obținem următoarea relație:

,

unde este varianța acțiunii aleatoare de intrare.

Semnul din expresia pentru este determinat de natura dependenței în vecinătatea valorii argumentului . Dacă crește, atunci , iar dacă scade, atunci .

A doua cale

Valoarea conform celei de-a doua metode este selectată din condiția minimizării erorii pătratice medii a liniarizării:

Raportul final pentru calcularea coeficientului prin a doua metodă este:

.

În concluzie, remarcăm că niciuna dintre cele două metode de liniarizare considerate mai sus nu asigură egalitatea funcțiilor de corelare a semnalelor de ieșire ale legăturilor neliniare și echivalente. Calculele arată că pentru funcția de corelare a unui semnal neliniar, prima metodă de selecție oferă o estimare superioară, iar a doua metodă dă o estimare mai mică, adică. erorile în determinarea funcţiei de corelare a semnalului de ieşire neliniar au semne diferite. Prof. I.E. Kazakov, autorul metodei descrise aici, recomandă alegerea drept coeficient de liniarizare rezultat a semisumei coeficienților obținuți prin prima și a doua metodă.

Filtru de modelare

În mod obișnuit, parametrii sunt determinați prin echivalarea coeficienților polinoamelor numărătorului și numitorului din ecuație

cu aceleasi grade.

După determinarea funcției de transfer a filtrului de modelare, schema rezultată pentru modelarea unui proces aleatoriu arată așa cum se arată în figură.

De exemplu, densitatea spectrală a procesului de modelat are forma:

,

așteptarea matematică și zgomotul alb cu intensitate este folosit pentru modelare, prin urmare, are o densitate spectrală unitară.

Evident, numaratorul si numitorul functiei de transfer dorite trebuie sa aiba ordine de 1 si 2 (de fapt, fiind la patrat modulo, functia de transfer formeaza un coeficient de polinoame de gradul 2 si 4)

Acea. Funcția de transfer a filtrului de modelare în forma sa cea mai generală este următoarea:

,

și pătratul modulului său:

Să echivalăm rapoartele obținute:

Să scoatem parantezele și pe partea dreaptă a egalității, echivalând astfel coeficienții la zero grade:

,

de unde rezultă în mod clar următoarele egalități:

; ; ; .

Acea. Diagrama bloc a formării unui proces aleatoriu cu caracteristici statistice date din zgomotul alb cu o densitate spectrală unitară arată așa cum se arată în figură, ținând cont de valorile calculate ale parametrilor filtrului de modelare.

Modelarea zgomotului alb

Pentru a simula un proces aleator cu caracteristici statistice date, zgomotul alb este utilizat ca proces aleator de intrare în filtrul de modelare. Cu toate acestea, modelarea exactă a zgomotului alb nu este fezabilă din cauza variației infinite a acestui proces aleatoriu.

Din acest motiv, un proces în etape aleatoare este utilizat ca înlocuitor pentru zgomotul alb care acționează asupra sistemului dinamic. Intervalul în care implementarea unui proces aleatoriu își păstrează valoarea neschimbată (lățimea pasului, intervalul de corelare) este o valoare constantă. Însele valorile de implementare (înălțimile treptelor) sunt variabile aleatoare distribuite conform legii normale cu așteptări matematice zero și varianță limitată. Valorile parametrilor procesului - intervalul de corelare și dispersia - sunt determinate de caracteristicile sistemului dinamic, care este afectat de zgomotul alb.

Ideea metodei se bazează pe lățimea de bandă limitată a oricărui sistem dinamic real. Acestea. câștigul unui sistem dinamic real scade pe măsură ce frecvența semnalului de intrare crește și, prin urmare, există o frecvență (mai puțin decât infinită) pentru care câștigul sistemului este atât de mic încât poate fi setat la zero. Și aceasta, la rândul său, înseamnă că semnalul de intrare cu o densitate spectrală constantă, dar limitată de această frecvență, pentru un astfel de sistem va fi echivalent cu zgomotul alb (cu o densitate spectrală constantă și infinită).

Parametrii procesului aleator echivalent - intervalul de corelație și varianța se calculează după cum urmează:

unde este limita lățimii de bandă determinată empiric a sistemului dinamic.

Precizia estimării

Estimări de așteptări

și dispersie

variabile aleatoare construite pe baza procesării unui eșantion limitat din implementările sale, , sunt ele însele variabile aleatoare.

Evident, cu cât dimensiunea eșantionului de implementări este mai mare, cu atât estimarea nepărtinitoare este mai precisă, cu atât este mai aproape de valoarea reală a parametrului estimat. Mai jos sunt formule aproximative bazate pe ipoteza distribuției lor normale. Simetric față de intervalul de încredere pentru estimare , corespunzător la nivel de încredere, este determinată de valoarea pentru care este valabilă relația:

,

Unde
este valoarea adevărată a așteptării matematice a variabilei aleatoare,
este abaterea standard a variabilei aleatoare,
este integrala de probabilitate.

Pe baza relației de mai sus, cantitatea poate fi determinată după cum urmează:

,

unde este inversa funcției față de integrala de probabilitate .

Deoarece nu cunoaștem cu exactitate caracteristica de împrăștiere a estimării, vom folosi valoarea ei aproximativă calculată folosind estimarea:

Acea. relația finală care leagă acuratețea estimării așteptărilor matematice și dimensiunea eșantionului pe care se face estimarea arată astfel:

.

Aceasta înseamnă că valoarea intervalului de încredere (la o valoare constantă a probabilității de încredere), situată simetric față de , exprimată în fracțiuni din estimarea abaterii standard, este invers proporțională cu rădăcină pătrată din dimensiunea eșantionului.

Intervalul de încredere pentru estimarea varianței este definit într-un mod similar:

până la valoarea , care, în absența unor informații mai exacte, poate fi determinată aproximativ din relația:

Acea. valoarea intervalului de încredere (la o valoare constantă a probabilității de încredere ), situat simetric față de , exprimată în cotele sale, este invers proporțională cu rădăcina pătrată a valorii , unde este dimensiunea eșantionului.

Formule mai precise pentru construirea intervalelor de încredere ale estimărilor pot fi obținute folosind informații precise despre legea distribuției unei variabile aleatoare.

De exemplu, pentru legea distribuției gaussiene, variabila aleatoare

respectă legea distribuției lui Student cu un grad de libertate și variabila aleatoare

distribuite conform legii tot cu un grad de libertate.

filtru Kalman

Model de mișcare

După cum se știe, filtrul Kalman este conceput pentru a estima vectorul de stare al unui sistem dinamic liniar, al cărui model de evoluție poate fi scris astfel:

Unde
este matricea Cauchy, care determină schimbarea vectorului de stare al sistemului în propria mișcare (fără acțiuni de control și zgomot) din momentul timpului în momentul timpului;
este vectorul acțiunilor de forțare non-aleatoare asupra sistemului (de exemplu, acțiuni de control) în momentul de timp;
este matricea influenței acțiunilor de forțare în momentul de timp asupra vectorului de stare al sistemului în momentul de timp;
este vectorul acțiunilor aleatoare independente centrate asupra sistemului în momentul de timp;
este matricea influenței influențelor aleatorii la momentul de timp asupra vectorului de stare al sistemului la momentul de timp .

Model de măsurare

Estimarea se efectuează pe baza prelucrării statistice a rezultatelor măsurătorilor, legate liniar de vectorul de stare și distorsionate de o eroare nepărtinitoare aditivă:

unde este o matrice care conectează vectorii de stare și de măsurare în același timp.

Corecţie

Baza filtrului Kalman sunt relațiile de corecție, care sunt rezultatul minimizării urmei matricei de covarianță a densității distribuției posterioare a estimărilor liniare (de-a lungul vectorului de măsurare) ale vectorului de stare a sistemului:

Prognoza

Completarea rapoartelor de corecție cu rapoarte de predicție bazate pe proprietăți liniare modele de evoluție a sistemului:

unde este matricea de covarianță a vectorului, obținem formule pentru algoritmul Bayesian recurent de estimare a vectorului de stare a sistemului și a matricei de covarianță a acestuia pe baza procesării statistice a rezultatelor măsurătorilor.

Evaluare

Evident, pentru implementarea relațiilor de mai sus, este necesar să se poată construi matrici, din modelul de evoluție, o matrice din modelul de măsurare, precum și matrici de covarianță și pentru fiecare al-lea moment de timp.

În plus, pentru a inițializa procesul de calcul, este necesar să se determine cumva estimări a posteriori, sau a priori, ale vectorului de stare și ale matricei sale de covarianță. Termenul „a priori” sau „a posteriori” în acest caz înseamnă doar calitatea în care vectorul de stare și matricea sa de covarianță vor fi utilizate în algoritmul de calcul și nu spune nimic despre modul în care au fost obținute.

Astfel, alegerea raportului de la care să înceapă calculele este determinată de momentele de timp cărora le sunt atribuite condițiile inițiale de filtrare și primul vector de măsurare neprocesat. Dacă punctele de timp coincid, atunci rapoartele de corecție trebuie aplicate mai întâi pentru a rafina condițiile inițiale; dacă nu, atunci condițiile inițiale ar trebui mai întâi prezise până la momentul legării primului vector de măsurare brut.

Să explicăm algoritmul de filtrare Kalman cu ajutorul unei figuri.

În figură, în axele de coordonate , (în canalul de mișcare) sunt prezentate mai multe traiectorii posibile ale vectorului de fază:

este adevărata traiectorie de evoluție a vectorului de fază;
este evoluția vectorului de fază, prezisă pe baza utilizării modelului de mișcare și a estimării a priori a vectorului de fază, referitor la timp;
este evoluția vectorului de fază, prezisă pe baza utilizării modelului de mișcare și a estimării a posteriori (mai precise) a vectorului de fază, referitor la timp

Axele de coordonate , (în canalul de măsurare) în momentele de timp și arată rezultatele măsurătorilor și:

,

Unde
este valoarea reală a vectorului de măsurare în timp;
este vectorul erorilor de măsurare realizate în momentul de timp .

Pentru a construi o corecție a vectorului de fază a priori al sistemului, se folosește diferența dintre rezultatul măsurării și valoarea care ar fi măsurată conform modelului de măsurare al problemei dacă vectorul de fază, de fapt, ar lua valoarea . Ca urmare a aplicării relațiilor de corecție la estimări a priori, estimarea vectorului de fază al sistemului va fi ceva mai precisă și va prelua valoarea

În momentul de față, rezultatul prognozei este utilizat ca estimare a priori pe traiectoria care trece prin vectorul de fază se construiește din nou diferența de măsurare, conform căreia a posteriori se calculează o valoare și mai precisă etc. atâta timp cât există vectori de măsurare de procesat sau este nevoie de a prezice comportamentul vectorului de fază.

Metoda celor mai mici pătrate

Această secțiune prezintă metoda celor mai mici pătrate adaptată pentru analiza a posteriori a sistemelor dinamice.

Construirea scorurilor

Pentru cazul unui model liniar de măsurători egale:

avem următorul algoritm de estimare a vectorului de fază:

.

În cazul măsurătorilor inegale, introducem pe diagonală matricea care conține coeficienți de greutate. Luând în considerare coeficienții de greutate, raportul anterior va lua forma:

.

Dacă folosim ca matrice de ponderi matricea inversă matricei de covarianță a erorilor de măsurare, atunci, ținând cont de faptul că obținem:

.

După cum rezultă din relațiile de mai sus, baza metodei este matricea care leagă vectorul de fază estimat, referit la un anumit moment în timp, și vectorul de măsurare. Vectorul are, de regulă, o structură de bloc, în care fiecare dintre blocuri este atribuit la un moment dat în timp, care, în general, nu coincide cu .

Figura prezintă o posibilă aranjare reciprocă a momentelor în timp la care se referă măsurătorile și momentul în timp la care se referă vectorul parametrilor estimați.

Pentru fiecare vector este valabilă următoarea relație:

, la .

Astfel, în relația celor mai mici pătrate rezultată, vectorul și matricea au următoarea structură:

; .

Unde
– determină un efect de forțare non-aleatoriu asupra sistemului;
– determină impactul aleatoriu asupra sistemului.

pot fi utilizate relații de predicție, care au fost întâlnite mai sus în descrierea algoritmului de filtrare Kalman:

unde este matricea de covarianță a vectorului .

Construirea matricei Cauchy

În problemele de construire a estimărilor prin metode de prelucrare statistică a măsurătorilor, problema construirii matricei Cauchy este adesea întâlnită. Această matrice conectează vectorii de fază ai sistemului, referiți la diferite momente de timp, în propria mișcare.

În această secțiune, ne limităm să luăm în considerare aspecte legate de construcția matricei Cauchy pentru un model de evoluție scris ca un sistem de ecuații diferențiale obișnuite (liniare sau neliniare).

unde se utilizează următoarea notație pentru matricele de proporționalitate construite în vecinătatea traiectoriei de referință:

; .

Modelare dimensională

Problema apare atunci când, de exemplu, atunci când estimați precizia potențial realizabilă a unei metode într-o anumită problemă, nu aveți niciun rezultat de măsurare. În acest caz, rezultatele măsurătorii trebuie simulate. Particularitatea modelării rezultatelor măsurătorilor este că modelele de mișcare și de măsurare utilizate în acest scop pot să nu coincidă cu modelele pe care le veți utiliza în cursul construirii estimărilor folosind una sau alta metodă de filtrare.

Ca condiții inițiale pentru modelarea evoluției vectorului de fază a unui sistem dinamic, ar trebui folosite valorile adevărate ale coordonatelor acestui vector. În plus față de acest loc, valorile adevărate ale coordonatelor vectorului de fază al sistemului nu ar trebui folosite în altă parte.

Metode numerice

Caracteristici speciale

Vectori aleatori

Problema, a cărei soluție este descrisă în această subsecțiune, este de a modela un vector de variabile aleatoare gaussiene corelate.

Fie ca vectorul aleator , care urmează să fie modelat, să se formeze pe baza transformării vectorului de variabile aleatoare standard necorelate de dimensiunea corespunzătoare astfel: cu o precizie de 4 cifre, pe baza expansiunii în serie în puteri a argumentului pentru cele trei intervale ale sale.

La , suma seriei asimptotice devine aproape egală cu 1.