Шкільний етап всеросійської олімпіади школярів.
Про хлопчика Марата
Це історія, яку я почула від сусідки моєї тітоньки. Писати буду від імені сусідки - колишньої вчительки, яка вже на пенсії.
Коли трапилася ця історія, я вже працювала 27 років педагогом і побачила чимало різних діточок, хоч школа була і дрібненько, розрахованої на довколишні селища.
Був серпень, ми, вчителі, готувалися до нового навчального року, складали плани, обговорювали годинник.
Як зараз пам'ятаю - сталося це 25 серпня. Я вийшла з учительської і пішла у напрямку до кабінету математики, я була класним керівником 3 класу, цей кабінет був закріплений за нами. Прибиральниця видала мені ключ (вахтера в школі не було, за нього була прибиральниця) і я зі стопкою планів і посібників пішли готуватися до майбутніх занять в тиші. Відкривши двері, я просто остовпіла: за партою сидів мій учень Марат, вікно було відкрито - недавно фарбували підлогу. Покартавши пустуна, що він лазить через вікна, а не входить в двері, я запитала, чи готовий він до майбутньої навчанні, на що отримала несподівану відповідь: він в школу не прийде.
Чому? - запитала я.
Він сказав, що батьки їдуть далеко, тепер вони тут жити не будуть, він прийшов попрощатися, тому, що я в нього улюблена вчителька.
Побажавши йому та родині вдалою дороги, я вийшла налити собі чашку кави. Повернувшись, хлопчика вже не побачила.
Настав 1 вересня. На шкільному майданчику було шумно і мій клас прийшов в хорошому бойовому настрої, тільки дівчинка Динара була похмуріше хмари. Я знала, що вони з першого класу дружили з Маратом і подумала, що вона сумує через його від'їзду. Але тут підійшла директор школи і покликала мене в сторону.
- Ви вже чули про трагедію? - запитала вона - У вашому класі не стало учня.
Серце у мене тьохнуло, адже я щиро любила цих діточок.
- Марат - промовила директор школи - вони їхали з батьками по гірській дорозі і в старенькій машині відмовили гальма. Всю сім'ю знайшли біля підніжжя гори, всі були мертві.
На хвилину в мене помутніло в очах, я відвернулася, щоб діти не побачили моїх сліз. Я згадала, як Марат приходив пару днів назад прощатися і подумала, що тоді я бачила його востаннє.
Після уроків я покликала Динару до себе і попросила поговорити зі мною, щоб дитині стало легше. Дівчинка розплакалася і потоки слів вирвалися з дитячої страждає душі. А ось тут на мене і пробіг нервовий холодок: сім'я Марата відразу як почалися літні канікули, Поїхала відвідувати бабусь і дідусів. На початку червня вони і розбилися. Сім'ї хлопців жили по сусідству і міцно дружили і сім'ї Дінари подзвонили родичі Марата.
Я в заціпенінні зрозуміла: хлопчик приходив до мене попрощатися! І мабуть думки свої я озвучила в слух, на що Дінара мені спокійно відповіла: до мене він теж приходив прощатися. Прийшов на дитячий майданчик і подарував ось цей камінчик - його улюблений. І дівчинка простягнула мені красивий гладкий камінчик, який я частенько спостерігала на парті у Марата. А потім - продовжила Динара - ввечері подзвонили на пошту і покликали мого батька. Він і приніс жахливі звістки.
Ось так, здавалося б, небувалий випадок, стався з нами, зі звичайними людьми.
Так закінчила свою розповідь літня сусідка моєї тітоньки.
В ту ніч я спала жахливо. Весь час думала, як таке взагалі може бути, з одного боку у все це просто не вірилося, з іншого - літня вчителька навряд чи стане розповідати казки, тим більше такі, через які її можуть порахувати божевільною. Жінка вона спокійна, розумна, ні до чого їй було б розповідати небилиці, говорила вона правду.
- Садівник хоче посадити шість кущів агрусу, щоб на відстані 2 м від кожного з них росло рівно три кущі агрусу. Чи зможе він це зробити?
Відповідь: Так. Наприклад, якщо на двох сторонах квадрата ABCD побудувати правильні трикутники AEB і DCF, то для кожної точки умови будуть виконуватися, так як DE \u003d EC
критерії:
Всюди приклад без обґрунтування рівності / нерівності сторін - 4 бали;
Всюди приклад з повним обґрунтуванням - 7 балів;
Тільки відповідь - 0 балів
Рішення: Скоротимо множники Т, М, А. Тоді вираз набуде вигляду. дріб приймає найбільше значення при найменшому знаменнику і найбільшому чисельнику. Отже Е \u003d 1, а числа І, К, А рівні цифрам 9,8,7. Числа М, А, Т можуть бути довільними.
критерії:
Є тільки приклад з вірною відповіддю - 7 балів.
Є тільки приклад - 4 бали.
- У чарівному королівстві живуть лисиці з сімома і дев'ятьма хвостами. Ті, у кого 7 хвостів, завжди брешуть, а ті, у кого 9 хвостів, завжди кажуть правду. Одного разу три лисиці завели між собою розмову.
Руда лисиця: «у нас разом 27 хвостів».
Сіра лисиця: «це дійсно так!»
Біла лисиця: «дурниці, Руда каже нісенітницю!»
Скільки хвостів було у кожної лисиці? (Відповідь обґрунтуйте.)
Рішення: Якщо б Руда говорила правду, то у всіх трьох було б по 9 хвостів. Але тоді і Біла говорила б правду, а це невірно. Тоді Руда бреше, і Сіра відповідно теж. Тоді Біла говорить правду.
Відповідь: У Рудої було 7 хвостів, у Сірої - 7, у Білій - 9.
критерії:
- Хлопчик Марат може за хвилину піднятися з першого поверху на п'ятий поверх, а дівчинка Даша за той же час встигає добігти лише до четвертого. Даша спускається вдвічі швидше, ніж піднімається, а Марат спускається з тією ж швидкістю, що і Даша. Діти вирішили позмагатися і добігти з першого поверху до 25, стартуючи одночасно. Марат, досягнувши 25 поверху, почав спускатися, щоб зустріти програла Дашу. Скільки пройде часу від початку змагання до моменту зустрічі?
Рішення: За хвилину Марат піднімається на 4 поверхи вгору, а Даша - на 3 поверхи вгору. За ту ж хвилину обидва можуть спуститися на 6 поверхів вниз. Для того щоб перемогти Марату потрібно подолати 24 поверху. Через 6 хвилин Марат досягає фінішу, а Даша піднімається тільки на 18 поверхів (до 19). Тепер відстань між ними 6 поверхів, а швидкість зближення 3 + 6 \u003d 9 поверхів в хвилину. Щоб зустрітися їм знадобиться 40 секунд.
Відповідь: 6 хвилин і 40 секунд
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень - 1 бал;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- У трикутнику АВС всі сторони рівні 2017 см. Точки M, N, P, K розташовані так, як показано на малюнку. Відомо, що CK + PC \u003d MA + AN \u003d 2017 см. Знайдіть величину кута KON.
Рішення: Зауважимо, що CK + PC \u003d AP + PC і MA + AN \u003d MA + MC. Тоді CK \u003d AP і AN \u003d MC. Отже, трикутники APN і MKC рівні. ∠ANP \u003d ∠CMK і ∠APN + ∠ANP \u003d 120о. Тоді ∠MPO + ∠PMO \u003d 120о. ∠KON \u003d ∠POM \u003d 60о.
Відповідь: ∠KON \u003d 60о
критерії:
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- Натуральне число називається паліндромом, якщо воно не змінюється при записуванні його цифр у зворотному порядку (наприклад, 626 - паліндром, а 2017 - ні). Уявіть число 2017 вигляді суми двох паліндромів.
Рішення: наприклад, одна тисяча триста тридцять одна + 686 \u003d 2017.
критерії:
Наявність будь-якого вірного прикладу - 7 балів.
- Айрат і Діна разом важать 84 кг, Діна і Таня - 76 кг, Таня і Саша - 77 кг, Саша і Маша - 67 кг, Маша і Айрат - 64 кг. Хто важче за всіх і скільки він важить?
Рішення: А + Д \u003d 84, Д + Т \u003d 76, Т + С \u003d 77, С + М \u003d 67, М + А \u003d 64. Складемо всі рівняння і отримаємо 2 (А + Д + Т + С + М) \u003d 368. Тоді А + Д + Т + С + М \u003d 184. Використовуючи друге і четверте рівність з умови отримаємо А + 76 + 67 \u003d 184. Отже А \u003d 41, Д \u003d 43, Т \u003d 33, С \u003d 44, М \u003d 23.
Відповідь: Найважчий - Саша. Саша важить 44 кг.
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень, без вказівки ваги - 0 балів;
Тільки відповідь, без пояснень, із зазначенням ваги - 3 бали;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- Дамір намалював на тетрадном аркуші квадрат 5 Ч 5 і кожну хвилину зафарбовує по одній клітці. Льоша вважає кількість межують з нею (по стороні) раніше зафарбованих кліток і записує це число на дошці. Доведіть, що коли будуть зафарбовані всі клітини, сума чисел на дошці буде дорівнює 40.Доказательство: Зауважимо, що Льоша вважає кількість кордонів даної клітини, для яких обидві сусідні клітини зафарбовані. Виконуючи свої операції, Льоша кожну кордон вважає один і тільки один раз. Тоді, сума всіх чисел дорівнює кількості граничних відрізків, а саме 2 * 4 * 5 \u003d 40.
- Знайдіть площу зафарбованою частини паралелограма, якщо площа великого паралелограма дорівнює 40 (вершини всіх паралелограмів за винятком найбільшого знаходяться в серединах відповідних сторін)?
Рішення: В параллелограмме ABCD проведемо відрізки EG і FH. Вони паралельні бічним сторонам. Тоді утворюються 4 менших паралелограма. У кожному з них діагональ ділить паралелограм на дві рівні частини. Отже, сумарна площа «кутових» трикутників AEH, EBF, FCG, GDH дорівнює площі паралелограма EFGH.
У задачі дано, що все чотирикутники - паралелограми. Це доводити не обов'язково! Тоді площа «кутових» трикутників найбільшого паралелограма дорівнює 20. У другого - 10, у третього - 5. Віднімемо з площі всього паралелограма площі «кутових» трикутників першого і третього паралелограмів. 40-20-5 \u003d 25.
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень - 1 бал;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- Замість пропусків вставте такі числа, щоб вираз
Стало тотожністю.
Рішення: Нехай пропущені числа
Підставами в рівняння. Отримаємо,. Підставами Отримаємо
Тоді. Підставами Отримаємо Тоді.
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень - 4 бали;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики
- Чи ділиться 72017 + 72018 + 72019 на 19?
Рішення: .
Відповідь: Так.
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень - 0 балів;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- У прямокутнику ABCD на стороні CD відзначили середину M, і на стороні AD - середину N. Відрізки CN і AM перетинаються в точці K. У скільки разів площа чотирикутника AKCB більше площі чотирикутника MDNK?
Рішення: ED - медіана трикутника ACD. Відомо, що медіани трикутника ділять його на шість рівновеликих. Тоді площі трикутників AEK, CEK, CMK, DMK, DKN, ANK рівні. А площа трикутника ACD дорівнює площі ABC. тоді відношення 
.
Відповідь: в 4 рази.
критерії:
Тільки відповідь, без пояснень - 1 бал;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
Рішення: Наведемо до виду 
. перетворимо
. Тоді графік набуде вигляду
критерії:
Тільки вірний графік, без пояснень - 4 бали;
Рішення з повним обґрунтуванням - 7 балів.
- У селі хоббітів кожен або завжди говорить правду, або завжди бреше. Чарівник запросив до себе кількох хоббітів і запитав кожного з них про кожного з решти, «правдолюб» той чи «брехун». Всього було отримано 54 відповіді «правдолюб» і 56 відповідей «брехун». Скільки разів чарівник міг почути правду?
Рішення: Якщо запрошено n хоббітів, то дано n (n - 1) \u003d 54 + 56 \u003d 110 відповідей, звідки n \u003d 11. Нехай з цих 11 хоббітів t правдолюбів і (11 - t) брехунів.
Відповідь «брехун» може дати тільки брехун про правдолюба і правдолюб про брехуна, таких фраз було 2t (11 - t) \u003d 56, звідки t \u003d 4 або t \u003d 7. Якщо правдолюбів четверо, то вони дали 4 ⋅ 10 \u003d 40 правдивих відповідей . Якщо правдолюбів семеро, то вони дали 7 ⋅ 10 \u003d 70 правдивих відповідей.
Коментар. Зверніть увагу на те, що з умови випливає, що правдивими є половина з відповідей «брехун». Але відразу не ясно, яка частка правдивих відповідей «правдолюб».
критерії:
Повне рішення - 7 балів.
Правильно знайдені обидва випадки (скільки Правдивцев і брехунів), але
невірно підраховано число правдивих відповідей - 4 бали.
Можливі 2 ситуації, описані в завданні. Якщо вірно розібрана тільки
одна, то ставити 3 бали.
Наведено обидві відповіді без пояснення - 1 бал.
Наведено тільки один з відповідей - 0 баллов.Ответ: 40 або 70
- У торговця коштовностями є 61 гиря вагою 1г, 2г, ..., 61г. Він виставив їх в ряд так, щоб вага кожної, починаючи з другої, є дільником суми ваг всіх попередніх гир. Перша гиря важить 61г, друга - 1г. Знайдіть вага третьої гирі.
Рішення. Сума всіх чисел, крім останнього, ділиться на останнє число,
значить, сума всіх чисел також ділиться на останнє число. Сума всіх чисел
від 1 до 61 дорівнює 31 ⋅ 61. Значить, останнє число дорівнює 1, 31 або 61. Так як 1 і
61 стоять на першому і другому місцях, останнє число - 31. Третє число -
дільник числа 61 + 1 \u003d 62, тобто воно дорівнює 1, 2 або 31. Ми знаємо, що числа 1
і 31 розташовані не на третьому місці, тому на третьому місці стоїть число 2.
Зауваження. Наводити приклад, як розташовані числа на інших картках
(Або доводити його існування), не потрібно.
критерії:
Повний вірне рішення - 7 балів.
Стверджується, що на третій картці - число 2 або число 19, але
інших просувань немає - 1 бал.
Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики
- Знайдіть яку-небудь пару натуральних чисел a і b, бульших 1, задовольняють рівняння a13 · b31 \u003d 62017.
Рішення. Досить навести один приклад.
Так як, підходять a \u003d.
хлопчик Марат
(Історія про одну імміграції ю в США)
Москва сльозам не вірила ... як завжди.
Марату виповнилося 20 років, але це не зупиняло його від "базікання без діла", як казали його батьки.
З дитинства Марат хотів танцювати, причому танцювати він хотів бальні танці, а це зовсім було погано в очах оточуючих.
Це було жахливо, і "як-же-ми-тебе-таким-народили !!!". Але таланти у нього були. Марат складався з гнучких міцних м'язів, і жир на ньому не ріс.
Батьки переїхали в Москву на заробітки з однієї з країн ближнього зарубіжжя, тому Марат з дитинства був наданий самому собі, хоча в школу все-таки ходив.
Після школи він ходив в гурток танців у метро «Аеропорт», гурток платний, але його взяли без грошей, за таланти. Там він багато років вивчав танго, сальсу, ну і звичайно свої улюблені бальні танці.
У гуртку навчалися 25 дівчаток і 2 хлопчики. Коли Марату було чотирнадцять гурток виграв районне змагання, коли йому випив шістнадцять гурток виграв міське. У шістнадцять років, слава богу, закінчилася школа, і Марат міг присвятити себе танців. Батьки на той час зневірилися на нього вплинути, щоб він вибрав собі гідну професію, наприклад слюсаря-сантехніка, як тато.
Марат став підробляти уроками танцю. В армію його не забирали, так як він залишався громадянином іншої держави, або з якихось інших причин, які мені невідомі. А його багатьох друзів забрали, що додало Марату ще більшої популярності серед дівчат в його колі спілкування.
Коли йому було вісімнадцять років, гурток Марата посів друге всеросійське місце. А друге тому, що напарниця Марата Наташа захворіла нежиттю, і її довелося замінити Катею. Але потім Марат дізнався, що пара посіла перше місце щось там комусь за це дала.
Через кілька тижнів гурток був закритий, Марат не зрозумів теж чомусь - комусь знадобилося це місце в підвалі будинку на «Аеропорту».
І до того ж Наташа підвернула ногу, і взагалі "потрібно було і про професії подумати", сказали Наталчині батьки і визначили її в МИИТ - Московський Інститут Інженерів Транспорту. (Інститут, який я знаю дуже добре, так як він виплекав, в силу певних обставин, безліч іммігрантів-мільйонерів Ізраїлю і США, і зовсім про це не відаючи приніс в американську науку багато популярності і мільярди доларів). Дуже довгий час багато студентів цього інституту влаштовували собі ПМЖ в США.
Але до дівчини Наташі Котельникової це ніякого відношення не мало.
І тут Марат задумався, і що ж йому робити в житті. Можна стати слюсарем-сантехніком, і легко заробляти 30 тисяч рублів на місяць.
Але Марат вирішив поїхати в США, і там танцювати. У ті часи про імміграцію і в США мріяли багато талановитих, незвичайні і здатні люди в країні. Але не всім це легко було зробити з різних причин, про які я потім ще напишу.
Тоді-то він і звернувся до мене.
Ми з ним стали спілкуватися по скайпу і планувати його переїзд. Приватними уроками танців він заробив за кілька років потрібну суму.
Ми вибрали такий шлях приїзду на ПМЖ в США який в народі і у фахівців на їх фені називався «по беженство». Що мабуть самий легкий спосіб в наш час іммігрувати в США.
Але потрібно було скласти історію беженства. Марат запропонував сказати що він він гей і його утискають.
Марат: «Ну так що ж, я можу сказати, що я гей. Як танцюрист я підходжу, і можу все гейському маннерізми з легкістю зобразити. І потім я все своє життя провів з дівчатами і вони мені вже набридли »
Я: «Так ти може бути гей?»
Марат: «Ні, ні, я не гей ...»
Я впевнений?"
Марат, після деякої паузи: «Та не-е, точно не гей!»
Я: «Тоді ми не зможемо сказати що ти гей, і до того ж, щоб довести що ти гей, тобі потрібно буде надати фотографії твого партнера,
де ви цілуєтеся, і фотографії, де ваші речі лежать в одній шафі.
У тебе є такий партнер? »
(Дійсно такі вимоги є, коли таким боком народ намагається іммігрувати в США)
Марат: «Не-а, такого партнера немає ...»
Зрештою Марат приїхав до мене в Америку. Використовували ми іншу, справжню історію його життя, якої сповна вистачило для легального оформлення його ПМЖ в США.
В його реальному житті в колишньому місці з головою вистачало обставин, які справді, без всяких домислів, давали йому таку можливість. Просто він до спілкування зі мною про це навіть не здогадувався.
Нещодавно Марат отримав свій жаданий «статус беженства» офіційно, на папері з гербом і печатками. Він живе в Брукліні і викладає дітям танці.
На всеамериканському конкурсі з бальних танців у своїй категорії він, зі своєю партнеркою Вікою, посів третє місце. Перше зайняли Миша і Фаїна з Брукліна, друге Микола і Катя з Лос Анджелеса.
А ось четверте, п'яте і так далі зайняли Джон, Пітер, Хосе і інші.
І танцював Марат зі своєю дівчиною дійсно дуже добре!
Їх по телевізору показували ...
транскрипт
1 Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики 8 клас 1. Садівник хоче посадити шість кущів агрусу, щоб на відстані 2 м від кожного з них росло рівно три кущі агрусу. Чи зможе він це зробити? Відповідь: Так. Наприклад, якщо на двох сторонах квадрата ABCD побудувати правильні трикутники AEB і DCF, то для кожної точки умови будуть виконуватися, так як DE \u003d EC
2 Відповідь: У Рудої було 7 хвостів, у Сірої 7, у Білій 9. Тільки відповідь, без пояснень 1 бал; 4. Хлопчик Марат може за хвилину піднятися з першого поверху на п'ятий поверх, а дівчинка Даша за той же час встигає добігти лише до четвертого. Даша спускається вдвічі швидше, ніж піднімається, а Марат спускається з тією ж швидкістю, що і Даша. Діти вирішили позмагатися і добігти з першого поверху до 25, стартуючи одночасно. Марат, досягнувши 25 поверху, почав спускатися, щоб зустріти програла Дашу. Скільки пройде часу від початку змагання до моменту зустрічі? Рішення: За хвилину Марат піднімається на 4 поверхи вгору, а Даша на 3 поверхи вгору. За ту ж хвилину обидва можуть спуститися на 6 поверхів вниз. Для того щоб перемогти Марату потрібно подолати 24 поверху. Через 6 хвилин Марат досягає фінішу, а Даша піднімається тільки на 18 поверхів (до 19). Тепер відстань між ними 6 поверхів, а швидкість зближення 3 + 6 \u003d 9 поверхів в хвилину. Щоб зустрітися їм знадобиться 40 секунд. Відповідь: 6 хвилин і 40 секунд Тільки відповідь, без пояснень 1 бал; 5. У трикутнику АВС всі сторони рівні 2017 см. Точки M, N, P, K розташовані так, як показано на малюнку. Відомо, що CK + PC \u003d MA + AN \u003d 2017 см. Знайдіть величину кута KON. Рішення: Зауважимо, що CK + PC \u003d AP + PC і MA + AN \u003d MA + MC. Тоді CK \u003d AP і AN \u003d MC. Отже, трикутники APN і MKC рівні. ANP \u003d CMK і APN + ANP \u003d 120 о. Тоді MPO + PMO \u003d 120 о. KON \u003d POM \u003d 60 о. Відповідь: KON \u003d 60 о Тільки відповідь, без пояснень 0 балів;
3 Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики 9 клас 1. Натуральне число називається паліндромом, якщо воно не змінюється при записуванні його цифр у зворотному порядку (наприклад, 626 паліндром, а 2017 немає). Уявіть число 2017 вигляді суми двох паліндромів. Рішення: наприклад, \u003d 2017. Наявність будь-якого вірного прикладу 7 балів. 2. Айрат і Діна разом важать 84 кг, Діна і Таня 76 кг, Таня і Саша 77 кг, Саша і Маша 67 кг, Маша і Айрат 64 кг. Хто важче за всіх і скільки він важить? Рішення: А + Д \u003d 84, Д + Т \u003d 76, Т + С \u003d 77, С + М \u003d 67, М + А \u003d 64. Складемо всі рівняння і отримаємо 2 (А + Д + Т + С + М) \u003d 368. Тоді А + Д + Т + С + М \u003d 184. Використовуючи друге і четверте рівність з умови отримаємо А + 76 + 67 \u003d 184. Отже А \u003d 41, Д \u003d 43, Т \u003d 33, С \u003d 44, М \u003d 23. Відповідь: Найважчий Саша. Саша важить 44 кг. Тільки відповідь, без пояснень, без вказівки ваги 0 балів; Тільки відповідь, без пояснень, із зазначенням ваги 3 бали; 3. Дамір намалював на тетрадном аркуші квадрат 5 5 і кожну хвилину зафарбовує по одній клітці. Льоша вважає кількість межують з нею (по стороні) раніше зафарбованих кліток і записує це число на дошці. Доведіть, що коли будуть зафарбовані всі клітини, сума чисел на дошці буде дорівнює 40. Доказ: Зауважимо, що Льоша вважає кількість кордонів даної клітини, для яких обидві сусідні клітини зафарбовані. Виконуючи свої операції, Льоша кожну кордон вважає один і тільки один раз. Тоді, сума всіх чисел дорівнює кількості граничних відрізків, а саме 2 * 4 * 5 \u003d Знайдіть площу зафарбованою частини паралелограма, якщо площа великого паралелограма дорівнює 40 (вершини всіх паралелограмів за винятком найбільшого знаходяться в серединах відповідних сторін)? Рішення: В параллелограмме ABCD проведемо відрізки EG і FH. Вони паралельні бічним сторонам. Тоді утворюються 4 менших паралелограма. У кожному з них діагональ ділить паралелограм на дві рівні частини. Отже, сумарна
4 площа «кутових» трикутників AEH, EBF, FCG, GDH дорівнює площі паралелограма EFGH. У задачі дано, що все чотирикутники паралелограми. Це доводити не обов'язково! Тоді площа «кутових» трикутників найбільшого паралелограма дорівнює 20. У другого 10, у третього 5. Віднімемо з площі всього паралелограма площі «кутових» трикутників першого і третього паралелограмів \u003d 25. Відповідь: 25. Тільки відповідь, без пояснень 1 бал; 5. Замість пропусків вставте такі числа, щоб вираз x + x + 6 (x + 4) \u003d (x +) (x + x + 8) стало тотожністю. Рішення: Нехай пропущені числа a, b, c. (X + a x + 6) (x + 4) \u003d (x + b) (x + c x + 8). Підставами x \u003d 0 в рівняння. Отримаємо 24 \u003d 8b, b \u003d 3. Підставами x \u003d 4. отримаємо 0 \u003d (4 + 3) (16 + c (4) + 8). Тоді з \u003d 6. Підставами x \u003d 3. Отримаємо (9 3 a + 6) (3 + 4) \u003d 0. Тоді a \u003d 5. Відповідь: (x + 5 x + 6) (x + 4) \u003d (x + 3) (x + 6 x + 8). Тільки відповідь, без пояснень 4 бали;
5 Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики 10 клас 1. Чи ділиться на 19? Рішення: \u003d 7 () \u003d Відповідь: Так. Тільки відповідь, без пояснень 0 балів; 2. У прямокутнику ABCD на стороні CD відзначили середину M, і на стороні AD середину N. Відрізки CN і AM перетинаються в точці K. У скільки разів площа чотирикутника AKCB більше площі чотирикутника MDNK? Рішення: ED медіана трикутника ACD. Відомо, що медіани трикутника ділять його на шість рівновеликих. Тоді площі трикутників AEK, CEK, CMK, DMK, DKN, ANK рівні. А площа трикутника ACD дорівнює площі ABC. Тоді відношення \u003d Відповідь: в 4 рази. Тільки відповідь, без пояснень 1 бал; 3. Побудуйте графік функції y \u003d (x + 1) + x. y \u003d x x Рішення: Наведемо до виду. Перетворимо x при x 0 y \u003d 2x 1 при x< 0. Тогда график примет вид x 1
6 Тільки вірний графік, без пояснень 4 бали; 4. У селі хоббітів кожен або завжди говорить правду, або завжди бреше. Чарівник запросив до себе кількох хоббітів і запитав кожного з них про кожного з решти, «правдолюб» той чи «брехун». Всього було отримано 54 відповіді «правдолюб» і 56 відповідей «брехун». Скільки разів чарівник міг почути правду? Рішення: Якщо запрошено n хоббітів, то дано n (n 1) \u003d \u003d 110 відповідей, звідки n \u003d 11. Нехай з цих 11 хоббітів t правдолюбів і (11 t) брехунів. Відповідь «брехун» може дати тільки брехун про правдолюба і правдолюб про брехуна, таких фраз було 2t (11 t) \u003d 56, звідки t \u003d 4 або t \u003d 7. Якщо правдолюбів четверо, то вони дали 4 10 \u003d 40 правдивих відповідей. Якщо правдолюбів семеро, то вони дали 7 10 \u003d 70 правдивих відповідей. Коментар. Зверніть увагу на те, що з умови випливає, що правдивими є половина з відповідей «брехун». Але відразу не ясно, яка частка правдивих відповідей «правдолюб». Повне рішення 7 балів. Правильно знайдені обидва випадки (скільки Правдивцев і брехунів), але невірно підраховано число правдивих відповідей 4 бали. Можливі 2 ситуації, описані в завданні. Якщо вірно розібрана тільки одна, то ставити 3 бали. Наведено обидві відповіді без пояснення 1 бал. Наведено тільки один з відповідей 0 балів. Відповідь: 40 або 70
7 5. У торговця коштовностями є 61 гиря вагою 1г, 2г, 61г. Він виставив їх в ряд так, щоб вага кожної, починаючи з другої, є дільником суми ваг всіх попередніх гир. Перша гиря важить 61г, друга 1г. Знайдіть вага третьої гирі. Відповідь. 2. Рішення. Сума всіх чисел, крім останнього, ділиться на останнє число, значить, сума всіх чисел також ділиться на останнє число. Сума всіх чисел від 1 до 61 дорівнює Значить, останнє число дорівнює 1, 31 або 61. Так як 1 і 61 стоять на першому і другому місцях, останнє число 31. Третє число дільник числа \u003d 62, тобто воно дорівнює 1, 2 або 31. Ми знаємо, що числа 1 і 31 розташовані не на третьому місці, тому на третьому місці стоїть число 2. Зауваження. Наводити приклад, як розташовані числа на інших картках (або доводити його існування), не потрібно. Повний вірне рішення 7 балів. Стверджується, що на третій картці число 2 або число 19, але інших просувань немає 1 бал.
8 Шкільний етап Всеукраїнської олімпіади школярів з математики 11 клас 1. Знайдіть яку-небудь пару натуральних чисел a і b, більших 1, задовольняють рівняння a 13 b 31 \u003d Рішення. Досить навести один приклад. Так як 2017 \u003d, підходять a \u003d 6, b \u003d 6. Коментар: можливо безліч різних відповідей із усілякими комбінаціями ступенів двійок і трійок. Наведено хоча б одна пара значень a, b і показано, що вона задовольняє даній умові 7 балів. Наведено пара чисел, більш нічого не обгрунтовано (а журі вміє показувати, що пара підходить) 5 балів. Основна ідея рішення вірна, але допущена арифметична помилка (наприклад, написано, що 2017 \u003d) 2 бали. 2. Чи має рівняння cos2015x + tg2016x sin2017x \u003d 0 хоча б один корінь? Відповідь обґрунтуйте. Відповідь: Наприклад ,. Рішення: cos + tg sin \u003d + 0 \u003d 0 Наведено правильну відповідь, і показано, що при цьому значенні х рівність вірно, 7 балів. Наведено тільки правильну відповідь 3 бали. 3. Дан куб. A, B і C середини його ребер (див. Малюнок). чому дорівнює косинус кута ABC? Рішення: Не применшуючи спільності приймемо сторону куба за 2. Тоді AC \u003d 2, AB \u003d CB \u003d Обчислимо за трьома сторонами косинус кута ABC. cosα \u003d \u003d. Отримано правильну відповідь з усіма обгрунтуваннями 7 балів. Хід рішення правильний, але відповідь невірний через арифметичної помилки 5 балів.
9 Отримано відповідь 4 бали. Тільки відповідь (в тому числі вірний) 0 балів. Відповідь: 4. На координатної площини (x, y) покажіть безліч всіх точок, для яких y 2 + y \u003d x 2 + x. Відповідь: Рішення: y + y \u003d x + x x y + x y \u003d 0 (x y) (x + y + 1) \u003d 0. Тоді. Побудований вірний графік з усіма обгрунтуваннями 7 балів. Побудований вірний графік без обґрунтувань 3 бали. 5. В пеналі у Равіля 9 олівців. Він зауважив, що серед будь-яких чотирьох олівців хоча б два одного кольору. А серед будь-яких п'яти олівців не більш як три мають один колір. Олівці скількох різних кольорів є у Равіля, і скільки олівців кожного кольору? Відповідь. Три кольори по три олівця. Рішення. Жодного кольору не більше трьох, так як в противному випадку умова «серед будь-яких п'яти олівців не більш як три мають один колір» було б не виконано. Всього олівців 9, тому квітів не менше трьох. З іншого боку серед будь-яких чотирьох олівців хоча б два одного кольору, тому квітів менше чотирьох. Таким чином, квітів олівців три, причому кожного не більше трьох штук, а всього олівців 9. Значить, кожного кольору по 3. Повна відповідь з вірним поясненням 7 балів.
10 Обґрунтовано, що дітей троє 5 балів. Вірні міркування, але рішення не доведено до кінця 1-2 бали. Відповідь без обґрунтування 0 балів.
Математика. клас. Варіант --5-7 Критерії оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю C (sinx) (cos x +) Розв'яжіть рівняння \u003d. tgx Ліва частина рівняння має сенс при tgx\u003e. Прирівняємо чисельник до нуля: (sinx
ВСЕРОСІЙСЬКА ОЛІМПІАДА ШКОЛЯРІВ З МАТЕМАТИКИ. 016 017 уч. м ШКІЛЬНИЙ ЕТАП. 10 КЛАС Завдання, відповіді та критерії оцінювання 1. (7 балів) Точка O центр квадрата ABCD. Знайдіть якісь сім попарно
8 клас. березня 017 року. 8-1. Нехай A безліч цілих чисел, що мають при діленні на 3 залишок; B безліч цілих, мають при діленні на 8 залишок 6. Знайти всі числа, що входять одночасно в A і в B. Відповідь.
ВСЕРОСІЙСЬКА ОЛІМПІАДА ШКОЛЯРІВ З МАТЕМАТИКИ 2015 2016 уч. м ШКІЛЬНИЙ ЕТАП 9 клас Рішення і критерії оцінювання 1. Натуральне число називається паліндромом, якщо воно не змінюється при записуванні
Скоротіть дріб: a a a a. 9 клас Відповідь: a a. Знайдемо область визначення даного виразу: a a a 0 0 a 0. Використовуючи тотожність xy x y, отримаємо: a (a) 0 (a) (a) 0 a a a a a a \u003d a (a) (a) (a)
8 клас Перший день 8.1. В державі кожен житель або лицар, або брехун. Лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть. Всі жителі знайомі один з одним. Президент одного разу висловив два твердження:
2016 2017 навчальний рік 5 клас 51 Розставте в запису 2 2 2 2 2 дужки і знаки дій так, щоб вийшло 24 52 Аня бреше по вівторках, середах і четвергах і каже правду в усі інші дні тижня
Математична олімпіада «Майбутні дослідники майбутнє науки» Фінальний тур 9.03.015 Завдання з рішеннями 7 клас 7.1. Перед змаганнями з бігу Петя планував бігти всю дистанцію з постійною швидкістю
Департамент освіти Ярославської області Всеросійська олімпіада школярів 07/08 навчального року Математика, клас, муніципальний етап Загальні принципи перевірки і оцінювання олімпіадних робіт завдання математичних
Турнір ім. А.П.Савіна, 2016 рік Математичні бої, 3 тур 6 клас, Вища ліга 1. Почавши з деякого натурального числа, Петя кожним кроком збільшує або натурального числа Петя може так отримати 218?
1 тур Завдання 1. Чи можна в половину клітин дошки 12 12 помістити по фішці так, щоб в одному квадраті 2 + 2, складеному з клітин дошки, було непарна кількість фішок, а в інших парне? Завдання 2.
6 клас 6.1. У Колі було два дерев'яних кубики. На першому кубику на одній грані він написав букву А, на іншому на трьох гранях він написав букви Е, Ю, Я. Покажіть, як йому дописати на грані кубиків літери
Зональна олімпіада школярів з математики Краснодарський край 10 грудня 2013 5 клас Упорядник тексту Федоренко І.В., телефон для довідок +7 918 225-22-13 1 Є 2013 яблук і ваги, на яких
МГТУ ім. Н. Е. Баумана Олімпіада школярів «Крок у майбутнє» тур, 9 клас, 15 лютого 015 року ВАРІАНТ 1 1. Десяткова запис натурального числа N містить 1580 цифр. Серед цих цифр є трійки, п'ятірки
11 клас Завдання 11.1. Петя і Вася брали участь у виборах на посаду президента шахового клубу. До полудня у Петі було 5% голосів, а у Васі 45%. Після полудня на голосування приходили тільки друзі Петі
9 клас Перший тур (0 хвилин, кожна задача балів) ... Чи вірно, що якщо b\u003e a + c\u003e 0, то квадратне рівняння a + b + c \u003d 0 має два корені? Відповідь: так, вірно. Перший спосіб. З даного нерівності слід,
6 клас 6.1. Замініть в прикладі на додавання десяткових дробів кожну зірочку цифрою 2 або цифрою 3 так, щоб вийшло вірне рівність: 0, + 0, + 0, + 0, \u003d 1. 6.2. Учні 6 класу вирушили на
З математики (2016-2017 уч. Рік), 5 клас 5.1. У прикладі на додавання цифри замінили буквами: однакові однаковими, різні різними. Вийшло АБББ + А \u003d ВГГГ. Відновіть приклад. 5.2. Два зошити коштують
Пензенський державний університет Фізико-математичний факультет «Очна-заочна фізико-математична школа» МАТЕМАТИКА тотожні перетворення. Рішення рівнянь. Трикутники Завдання 1 для
Об'єднана міжвузівська математична олімпіада 0004 I варіант (відповіді або стислі розв'язання) x + x + x + Завдання З x \u003d слід, що x + x \u003d x x для всіх Це означає, що послідовність арифметична
Міжрегіональна олімпіада школярів «Вища Проба» 2017 р МАТЕМАТИКА, 2 етап стр. 1/10 Рішення і критерії оцінювання завдань олімпіади 10-1 В компанії з 6 чоловік деякі компаніями по троє ходили
Всеросійська олімпіада школярів з математики, муніципальний етап, 2016 р, 11 клас 1. Кут x задовольняє рівності Обчисліть. Відповідь: 6. Рішення. 1-й спосіб .. 2-й спосіб.,. Тоді Обгрунтовано отримано
5 клас 5.1. У записі 2 0 1 0 2 0 1 1 1 розставте між деякими цифрами знаки +, так, щоб в результаті вийшло число 2013. Рішення. Наприклад, так 2010 Доставка + 2 + 0 + 1 + 1 + 1 або 2010 + 2 + 0 + 1 + 1 1. 5.2. може
11 клас Перший тур (10 хвилин, кожна задача 6 балів). 1.1. Вирішіть нерівність: x + y 2 + 1. Відповідь: (1; 0). Перший спосіб. Перепишемо таку нерівність у вигляді: x + 1 y 2. Так як x y 2 1 0, то x y 2 +
ВСЕРОСІЙСЬКА ОЛІМПІАДА ШКОЛЯРІВ З МАТЕМАТИКИ. 2016 2017 уч. м ШКІЛЬНИЙ ЕТАП. 8 КЛАС Завдання, відповіді та критерії оцінювання 1. (7 балів) У рамці 8 8 шириною в 2 клітини (див. Малюнок) всього 48 клітинок.
C Математика клас Варіант МА (без логарифмів) Критерії оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю а) Розв'яжіть рівняння sin + cos + \u003d б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку π; π
Математика. 11 клас. Варіант МА10511 1 Критерії оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю 13 sin x cos x а) Розв'яжіть рівняння + \u003d 3. б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать проміжку 5π; π.
Завдання муніципального етапу всеросійської олімпіади школярів з математики в 0-0 навчальному році РІШЕННЯ ЗАДАЧ 0 клас Загальні зауваження по перевірці: Майже у всіх завдань критерії написані на підставі «наведеного»
7 КЛАС 7.1. Зафарбуйте в квадраті 7 7 чотири фігурки, показані на малюнку, так, щоб в будь-якому квадраті 2 + 2 виявилася зафарбована хоча б одна клітина. 7.2. У родині веселих гномів тато, мама і дитина. імена
АЛГЕБРА 1. Побудувати ескізи графіків таких функцій: y \u003d 2 (x + 2) / (3 2x); y \u003d y \u003d () (4 x) / (x + 1) 1; y \u003d 5 (x) / (x 1); y \u003d 3 x2 5 x +2; y \u003d 3 () 2x 1 + 1; 2 1 x 2 x 2; y \u003d 1 x 2 3 x + 2; y \u003d
Завдання заочного туру з математики для 9 класу 2014/2015 уч. рік, перший рівень складності Завдання 1 Вирішити рівняння: (x + 3) 63 + (x + 3) 62 (x-1) + (x + 3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 \u003d 0 Відповідь: -1 Завдання 2 Сума
Всеросійська олімпіада школярів «Місія здійсненна. Твоє покликання-фінансист! » ВІДБІРНИЙ (ЗАОЧНИЙ) ЕТАП МАТЕМАТИКА 8 і 9 класи ВАРІАНТ 1 ЗАВДАННЯ 1. (10 БАЛІВ) На діагоналі AC прямокутника ABCD взяли
8 КЛАС 1. Доведіть, що для будь-якого натурального чіслаn можна вибрати таке натуральне число а, щоб число a (n + 1) (+ n + 1) без остачі поділялося на. 2. У міській олімпіаді з математики брали участь два
7 клас 1. Розшифруйте числовий ребус ( різних фігур відповідають різні цифри, однаковим однакові). +. Розріжте прямокутник 4 х 8 на 8 рівних частин так, щоб в кожній частині була зірочка. *
Предмет Клас Час (хв) всеросійської олімпіади школярів Всього балів 22 вересня 2017 року МАТЕМАТИКА Кількість балів за завдання Завдання Завдання Завдання Завдання Завдання Завдання Завдання 1 2 3 4 5 6 7 Математика
Рішення задач муніципального етапу всеросійської олімпіади школярів з математики 017 рік 8 клас Завдання 1. Червона Шапочка вирішила сходити до бабусі, будиночок якої знаходився в 1 км ходьби від її будинку.
6 клас 6.1. Викресліть із числа 987654321 якомога більше цифр так, щоб залишився число ділилося на 15. 6.2. Складіть з пятіклеточних фігурок, серед яких немає двох однакових, який-небудь картатий
XL Турнір імені М. В. Ломоносова 1 жовтня 017 року Конкурс з математики. Відповіді та рішення (попередня версія від 01.10.017) У дужках вказано, яким класам рекомендується завдання (рішення задач більш
5 клас 5.1. Якщо в кімнату увійде мама, то сумарний вік знаходяться в кімнаті збільшиться в 4 рази, а якщо замість неї увійде тато сумарний вік збільшиться в 5 разів. У скільки разів збільшиться сумарний
Математика. 9 клас. Варіант МА90901 1 Критерії оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю Модуль «Алгебра» 1 Розв'яжіть рівняння x 6 6 x 8 3. x 6 6 x 8 3, x звідки x або x 4. Відповідь:; 4. 6x 8; x x 4 0, Перетворення
II етап 7 клас 3.12.2017 Робота розрахована на 180 хвилин 1. Накресліть чотири променя OA, OB, OC і OD із загальним початком так, щоб на цьому кресленні знайшлися кути в 100, 110, 120, 130 і 140. Запишіть, які саме
0 клас ... (балів) Знайдіть всі цілі рішення нерівності: x + y 5,5 + x y 005 00. Відповідь: (;). Нехай (x; y) рішення нерівності. Тоді з умови задачі випливає, що x y
Рішення завдань другого заочного туру олімпіади «Абітурієнт - 06» Обчисліть 5, Рішення Розділимо обидві частини рівності 5 на Це можливо, тк якщо 0, то 0, ті 0, що суперечить умові Маємо: 5 0 Значить,
Об'єднана міжвузівська математична олімпіада 000 Загальні критерії оцінювання За результатами перевірки кожного завдання виставляється одна з наступних оцінок (перераховані в порядку убування): завдання виконане
9 клас Перший тур (10 хвилин, кожна задача 6 балів). 1.1. Прямі у \u003d k + b, у \u003d k + b і y \u003d b + k різні і перетинаються в одній точці. Якими можуть бути її координати? Відповідь: (1; 0). З рівняння першої
Відкрита олімпіада школярів з математики Рішення 8 клас 1 варіант 1. (2 бали) Скількома способами можна розбити ізображјнную фігуру на прямокутники 1 Ч 3? Відповідь: 6 На кожній зі сторін фігури знаходиться
Математична олімпіада «Майбутні дослідники майбутнє науки» Перший тур. Варіант.0.0. У кожній паралелі пропонувалося 5 завдань, максимальна оцінка кожного завдання 0 балів 9 клас. До числа 0 припишіть
Умови завдань 1 Муніципальний етап 8 клас 1. На дошці написані два числа. Одне з них збільшили в 6 разів, а інше зменшили на 2015, при цьому сума чисел не змінилася. Знайдіть хоча б одну пару таких
Рішення і приблизні критерії першої перевірки ОММО-010 Наведені нижче критерії, звичайно, не можуть охопити всі випадки І якщо якесь рішення під критерії не підпадає, то варто оцінювати його по здоровому
Рішення А Изобразим всі дані числа на числовій осі Те з них яке розташоване лівіше всіх і є найменшим Це число 4 Відповідь: 5 А Проаналізуємо нерівність На числової осі безліч чисел задовольняють
Другий (заключний) етап олімпіади школярів «Крок у майбутнє» для 8-0 класів по загальноосвітнього предмета «Математика», 8 клас, весна 08 р Варіант 3 Завдання. (5 балів) Знайти всі натуральні
Клас Число 890 має таку властивість: змінивши будь-яку його цифру на (збільшивши або зменшивши), можна отримати число, кратне Знайдіть найменше тризначне число, що володіє таким же властивістю Відповідь: 0
Всеросійська олімпіада школярів 013-014 в місті Москві Типові завдання I (шкільного) етапу олімпіади з математики 5 клас. Короткі рішення. 1. Вася може отримати число 100, використовуючи десять двійок,
І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Теорема Піфагора Ми готові вивести найважливішу теорему геометрії теорему Піфагора. За допомогою теореми Піфагора виконуються багато геометричні обчислення.
Всеросійська олімпіада школярів «Місія здійсненна. Твоє покликання-фінансист! » ЗАВДАННЯ, РІШЕННЯ, КРИТЕРІЇ ЗАКЛЮЧНИЙ (очний) ЕТАП Математика 8-9 клас, 2016/2017 навчальний рік Завдання 1. (10 балів)
Тема I. Парність Завдання 1. квадратна таблиця 25 25 розфарбована в 25 кольорів так, що в кожному рядку і в кожному стовпці представлені всі кольори. Доведіть, що якщо розташування кольорів симетрично щодо
7 клас 71 розставити в гуртки на зображенні числа від 2 до 9 (без повторень) так, щоб ніяке число не ділило б без остачі жодного зі своїх сусідів 72 Прямокутник розрізаний на кілька прямокутників,
Умови та розв'язки задач Міжрегіональної олімпіади школярів на базі відомчих освітніх установ з математики 0-0 навчального року Наведені завдання пропонувалися в трьох вікових категоріях
1.1. (6 балів) Скільки коренів має рівняння x 6 x cos (x) 0? Відповідь: п'ять. x 6 xxx 6 0, x 6 x 0, x або x 15, cos (x) 0 cos (x) 0, xk, k Z x 0, 5 k, k Z. x 6 x 0 xxx 6 0 1, 5 Таким чином, корінням
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ЗАКЛЮЧНОГО (очного) ЕТАПУ ОЛІМПІАДИ МГТУ ІМ Н Е БАУМАНА «КРОК У МАЙБУТНЄ» З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ 8-0 КЛАСІВ 03-04 НАВЧАЛЬНОГО РОКУ ВАРІАНТ (0 клас) Петя, Вася і Толя змагаються в бігу на
ОЛІМПІАДА «ШЛЯХ ДО Олімп», 8 До Л А С С 1. До парному числу n додали його найбільший дільник, відмінний від n. Чи може отримана сума дорівнюватиме 018 ?. Зібраний мед заповнює кілька 50-літрових бідонів.
Шкільний етап всеросійської олімпіади школярів з математики, 2018/2019 навчальний рік. ВІДПОВІДІ 8 клас 1. Кулька важить більше кота Матроскіна на половину ваги дядька Федора, Дядя Федір стільки, скільки Шарик
Завдання і рішення для районних (міських) олімпіад з математики 7-8 навчальний рік 9 клас Знайдіть найменше ціле x, що задовольняє нерівності Відповідь -7 x 7 8 x квадратний тричлен P (x) ax bx c (a,
Математика. клас. Варіант МА06 Критерії оцінювання завдань з розгорнутою відповіддю а) Розв'яжіть рівняння 0. cos x π sin x б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку а) Перетворимо рівняння:
XXVI Міжрегіональна олімпіада школярів з математики «Саммат-8» Заключний тур клас Відомо, що функція f () неперервна в точці 0 і для будь-яких дійсних задовольняє рівняння f (8) f () +
Наука 1 3 7 клас Зміст 7 клас, ... 2 8 класс, ... 3 9 класс, ... 4 10 класс ... 5 11 клас ... 6 7 клас Наука 1 3 7 клас 1. По колу в довільному порядку розставили числа від 1 до 31 і підрахували всі
Муніципальне утворення «Гур'євський район» Всеросійська олімпіада школярів з математики ( шкільний етап) 216-217 навчальний рік 11 клас Максимальна кількість балів 2 Час виконання 4
Математична олімпіада «Майбутні дослідники майбутнє науки» Фінальний тур. 6.03.06 7 клас 7 .. Є кг крупи. Чи можна за допомогою трьох зважувань на чашкових вагах відміряти кг, якщо є одна трикілограмова
7 клас Перший тур (10 хвилин, кожна задача 6 балів). 1.1. Чи існують такі натуральні числа а й b, що число b є натуральною ступенем числа a і число b в 16 разів більше числа а? Відповідь: так,
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСІХ Ю.Л.Каліновскій Зміст 1 Медіана, бісектриса, висота ................................. 5 1.1 медіани трикутника 5 1.2 бісектриси трикутника 7 1.3 Висоти трикутника 10 медіани
7 клас 8 лютого 06г Час написання роботи 4 астрономічні години Кожна задача оцінюється в 7 балів 7 .. Довести, що якщо ціле число, то і ціле число. 7 .. Чи можна пофарбувати площину в 06 кольорів
