Alle Additionsformeln. Grundlegende trigonometrische Formeln

Additionsformeln werden verwendet, um die Werte der Funktionen cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) durch die Sinus und Cosinus der Winkel a und b auszudrücken.

Additionsformeln für Sinus und Cosinus

Satz: Für jedes a und b gilt: cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).

Beweisen wir diesen Satz. Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Darauf werden die Punkte Ma, M-b, M (a + b) erhalten, indem der Punkt Mo um die Winkel a, -b bzw. a + b gedreht wird. Nach den Definitionen von Sinus und Cosinus lauten die Koordinaten dieser Punkte wie folgt: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); sin (a + b)). AngleMoOM (a + b) = angleM-bOMa, daher sind die Dreiecke MoOM (a + b) und M-bOMa gleich und gleichschenklig. Dies bedeutet, dass die Basen von MoM (a-b) und M-bMa gleich sind. Daher (MoM (a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir:

(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.

sin (-a) = -sin (a) und cos (-a) = cos (a). Wir transformieren unsere Gleichheit unter Berücksichtigung dieser Formeln und des Quadrats von Summe und Differenz, dann:

1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * sin (b) * sin (a) + (sin (a)) ^ 2.

Wenden wir nun die grundlegende trigonometrische Identität an:

2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * sin (a) * sin (b).

Geben wir ähnliche an und reduzieren sie um -2:

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b). Q.E.D.

Es gelten auch folgende Formeln:

cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);
sin (a-b) = sin (a) * cos (b) - cos (a) * sin (b).

Diese Formeln können aus der oben bewiesenen erhalten werden, indem die Gießformeln verwendet und b durch -b ersetzt wird. Für Tangenten und Kotangenten gibt es auch Additionsformeln, die jedoch nicht für alle Argumente gültig sind.

Formeln zum Addieren von Tangenten und Cotangens

Für alle Winkel a, b außer a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n und a + b = pi / 2 + pi * m, für alle ganze Zahlen k, n, m gilt folgende Formel:

tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1 – tg (a) * tg (b)).

Für alle Winkel a, b außer a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n und ab = pi / 2 + pi * m, für jede ganze Zahl k, n, m lautet die folgende Formel gültig:

tg (a-b) = (tg (a) – tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).

Für alle Winkel a, b außer a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m und für jede ganze Zahl k, n, m gilt die folgende Formel:

ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).

Es gibt viele Formeln in der Trigonometrie.

Es ist sehr schwierig, sie mechanisch zu merken, fast unmöglich. Im Klassenzimmer verwenden viele Schüler und Studenten Ausdrucke auf dem Vorsatz von Schulbüchern und Heften, Postern an den Wänden, Krippen und schließlich. Was ist mit der Prüfung?

Wenn Sie sich diese Formeln jedoch genauer ansehen, werden Sie feststellen, dass sie alle miteinander verbunden sind und eine gewisse Symmetrie aufweisen. Analysieren wir sie unter Berücksichtigung der Definitionen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen, um das Minimum zu bestimmen, das es wirklich wert ist, auswendig gelernt zu werden.

Gruppe I. Grundlegende Identitäten

sin2α + cos2α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + tg2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg2 α = _____ 1 Sünde 2 α.

Diese Gruppe enthält die einfachsten und beliebtesten Formeln. Die meisten Studenten kennen sie. Aber wenn es immer noch Schwierigkeiten gibt, dann stellen Sie sich vor, um sich die ersten drei Formeln zu merken rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse gleich eins. Dann sind seine Schenkel gleich sinα nach Definition von Sinus (Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse) und cosα nach Definition von Kosinus (Verhältnis benachbartes Bein zur Hypotenuse).

Die erste Formel ist der Satz des Pythagoras für ein solches Dreieck - die Summe der Quadrate der Beine ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (1 2 = 1), die zweite und dritte sind die Definitionen der Tangente (das Verhältnis der Gegenschenkel zum Nachbarschenkel) und die Kotangente (das Verhältnis des Nachbarschenkels zum Gegenschenkel).
Das Produkt aus Tangens und Kotangens ist 1, weil der als Bruch geschriebene Kotangens (Formel 3) ein invertierter Tangens (Formel 2) ist. Die letztere Überlegung ermöglicht es übrigens, alle nachfolgenden langen Formeln mit einem Kotangens von der Zahl der zu merkenden Formeln auszuschließen. Wenn überhaupt schwierige Aufgabe Sie werden auf ctgα stoßen, ersetzen Sie es einfach durch einen Bruch ___ 1 tgα und verwenden Sie die Formeln für die Tangente.

Die letzten beiden Formeln müssen nicht präsymbolisch auswendig gelernt werden. Sie sind weniger verbreitet. Und bei Bedarf können Sie sie jederzeit als Entwurf erneut ausdrucken. Dazu genügt es, anstelle des Tangens oder Kontangens ihrer Definitionen durch einen Bruch (Formeln zweiter und dritter) zu ersetzen und den Ausdruck auf . zu reduzieren gemeinsamer Nenner... Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass es solche Formeln gibt, die die Quadrate von Tangens und Kosinus und die Quadrate von Kotangens und Sinus verbinden. Andernfalls können Sie möglicherweise nicht erraten, welche Transformationen erforderlich sind, um ein bestimmtes Problem zu lösen.

Gruppe II. Additionsformeln

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 – tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Erinnern Sie sich an die ungeraden / geraden Paritätseigenschaften trigonometrischer Funktionen:

sin (–α) = – sin (α); cos (–α) = cos (α); tg (–α) = – tg (α).

Von allen trigonometrischen Funktionen ist nur der Kosinus eine gerade Funktion und ändert sein Vorzeichen nicht, wenn sich das Vorzeichen des Arguments (Winkel) ändert, der Rest der Funktionen ist ungerade. Die Seltsamkeit der Funktion bedeutet tatsächlich, dass das Minuszeichen außerhalb des Funktionszeichens eingeführt und entfernt werden kann. Wenn Sie also auf einen trigonometrischen Ausdruck mit der Differenz zweier Winkel stoßen, können Sie ihn immer als Summe positiver und negativer Winkel verstehen.

Zum Beispiel, Sünde ( x- 30º) = Sünde ( x+ (−30º)).
Als nächstes verwenden wir die Formel für die Summe zweier Winkel und beschäftigen uns mit den Vorzeichen:
Sünde ( x+ (−30º)) = sin x· Cos (−30º) + cos x Sünde (−30º) =
= Sünde x· Cos30º - cos x· Sin30º.

Somit können alle Formeln, die die Winkeldifferenz enthalten, beim ersten Abspeichern einfach übersprungen werden. Dann lohnt es sich zu lernen, wie man sie wiederherstellt Gesamtansicht zuerst auf einem Entwurf, und dann geistig.

Zum Beispiel tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Dies wird in Zukunft helfen, schnell zu erraten, welche Transformationen angewendet werden müssen, um eine bestimmte Aufgabe aus der Trigonometrie zu lösen.

Sh-Gruppe. Mehrere Argumentformeln

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos2α - sin2α;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg2α;

sin3α = 3sinα – 4sin3α;

cos3α = 4cos3α – 3cosα.

Die Notwendigkeit, Formeln für Sinus und Cosinus eines Doppelwinkels zu verwenden, ergibt sich sehr oft, auch für den Tangens häufig. Diese Formeln sollten Sie auswendig kennen. Außerdem gibt es keine Schwierigkeiten beim Auswendiglernen. Erstens sind die Formeln kurz. Zweitens sind sie leicht nach den Formeln der vorherigen Gruppe zu kontrollieren, basierend auf der Tatsache, dass 2α = α + α ist.
Zum Beispiel:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Wenn Sie diese Formeln jedoch schnell gelernt haben und nicht die vorherigen, können Sie das Gegenteil tun: Sie können sich die Formel für die Summe zweier Winkel mit der entsprechenden Formel für einen doppelten Winkel merken.

Wenn Sie beispielsweise eine Formel für den Kosinus der Summe zweier Winkel benötigen:
1) Erinnere dich an die Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels: cos2 x= cos2 x- Sünde 2 x;
2) wir malen es lang: weil ( x + x) = cos x Kos x- Sünde x Sünde x;
3) ersetzen Sie einen NS nach α, die zweite nach β: cos (α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ.

Üben Sie auf die gleiche Weise, um die Formeln für den Sinus der Summe und den Tangens der Summe wiederherzustellen. Überprüfen Sie in kritischen Fällen, wie zum Beispiel beim USE, die Genauigkeit der wiederhergestellten Formeln anhand des bekannten ersten Viertels: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Überprüfung der vorherigen Formel (erhalten durch Ersetzen in Zeile 3):
lassen α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
dann cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
wir setzen die Werte in die Formel ein: 0 = (1/2) √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, es wurden keine Fehler gefunden.

Formeln für einen Dreifachwinkel müssen meiner Meinung nach nicht extra "gestopft" werden. Sie sind bei Prüfungen wie der Prüfung recht selten. Sie lassen sich leicht aus den obigen Formeln ableiten, da sin3α = sin (2α + α). Und für diejenigen Studenten, die diese Formeln aus irgendeinem Grund noch auswendig lernen müssen, rate ich Ihnen, auf ihre gewisse "Symmetrie" zu achten und sich nicht die Formeln selbst, sondern die mnemonischen Regeln zu merken. Zum Beispiel die Reihenfolge, in der die Zahlen in den beiden Formeln "33433433" stehen usw.

IV-Gruppe. Summe / Differenz - in Produkt

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Kos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Kos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Kos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2 Sünde α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = Sünde (α - β) ________ cosα cosβ .

Verwenden der ungeraden Eigenschaften der Sinus- und Tangensfunktionen: sin (–α) = – sin (α); tg (−α) = - tg (α),
es ist möglich, die Formeln für die Differenzen zweier Funktionen auf Formeln für ihre Summen zu reduzieren. Zum Beispiel,

sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Kos 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

Somit müssen die Formeln für die Differenz von Sinus und Tangens nicht gleich auswendig gelernt werden.
Komplizierter ist die Situation bei Summe und Differenz von Kosinus. Diese Formeln sind nicht austauschbar. Aber auch hier können Sie sich mit der Parität des Kosinus an die folgenden Regeln erinnern.

Die Summe cosα + cosβ kann bei Vorzeichenwechsel der Winkel ihr Vorzeichen nicht ändern, daher muss das Produkt auch aus geraden Funktionen bestehen, d.h. zwei Kosinus.

Das Vorzeichen der Differenz cosα - cosβ hängt von den Werten der Funktionen selbst ab, was bedeutet, dass das Vorzeichen des Produkts vom Verhältnis der Winkel abhängen sollte, daher sollte das Produkt aus ungeraden Funktionen bestehen, d. zwei Nebenhöhlen.

Und doch ist diese Gruppe von Formeln nicht die einfachste zu merken. Dies ist der Fall, wenn es besser ist, weniger zu stopfen, aber mehr zu überprüfen. Um Fehler in der Formel der verantwortlichen Prüfung zu vermeiden, notieren Sie diese zunächst auf einem Entwurf und überprüfen Sie diese auf zwei Arten. Zuerst durch Substitutionen β = α und β = −α, dann durch die bekannten Werte von Funktionen für Primwinkel. Dazu nimmt man am besten 90º und 30º, wie es im obigen Beispiel gemacht wurde, denn die Halbsumme und Halbdifferenz dieser Werte ergibt wieder einfache Ecken, und Sie können leicht erkennen, wie aus Gleichheit Identität für die richtige Option wird. Oder im Gegenteil, es wird nicht ausgeführt, wenn Sie einen Fehler gemacht haben.

BeispielÜberprüfung der Formel cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2 Sünde α + β ____ 2 für die Kosinusdifferenz mit einem Fehler !

1) Sei β = α, dann cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2 Sünde α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Sei β = - α, dann cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2 Sünde α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (-α) = cosα - cosα ≡ 0.

Diese Überprüfungen zeigten, dass die Funktionen in der Formel korrekt verwendet wurden, aber aufgrund der Tatsache, dass sich die Identität als 0 ≡ 0 herausstellte, konnte ein Fehler mit einem Vorzeichen oder einem Koeffizienten übersehen werden. Wir machen den dritten Check.

3) Sei α = 90º, β = 30º, dann cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2 Sünde 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Der Fehler lag wirklich im Schild und nur im Schild vor der Arbeit.

Gruppe V. Produkt - in Summe / Differenz

sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α – β) – cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Schon der Name der fünften Formelgruppe deutet darauf hin, dass diese Formeln das Gegenteil der vorherigen Gruppe sind. Es ist klar, dass es in diesem Fall einfacher ist, die Formel in einem Entwurf wiederherzustellen, als sie erneut zu lernen, was das Risiko erhöht, ein "Durcheinander im Kopf" zu verursachen. Das einzige, was für eine schnellere Wiederherstellung der Formel sinnvoll ist, sind die folgenden Gleichungen (überprüfen Sie sie):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Erwägen Beispiel: muss das Produkt sin5 . transformieren x Cos3 x in die Summe zweier trigonometrischer Funktionen.
Da das Produkt sowohl Sinus als auch Kosinus enthält, nehmen wir aus der vorherigen Gruppe die bereits erlernte Formel für die Summe der Sinus und schreiben sie in einem Entwurf nieder.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Kos α - β ____ 2

Lassen Sie 5 x = α + β ____ 2 und 3 x = α - β ____ 2, dann α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Wir ersetzen in der Formel des Entwurfs die Werte der Winkel, ausgedrückt in den Variablen α und β, durch die Werte der Winkel, ausgedrückt in der Variablen x.
Wir bekommen Sünde8 x+ sin2 x= 2 sin5 x Cos3 x

Dividiere beide Teile der Gleichheit durch 2 und schreibe sie von rechts nach links auf der sauberen Kopie auf Sünde5 x Cos3 x = 1 _ 2 (sünde8 x+ sin2 x). Die Antwort ist fertig.

Als Übung: Erklären Sie, warum es im Lehrbuch nur 3 Formeln gibt, um die Summe / Differenz in das Produkt von 6 umzuwandeln und die Umkehrung (um das Produkt in die Summe oder Differenz umzuwandeln) - nur 3?

VI-Gruppe. Formeln zur Gradreduzierung

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Die ersten beiden Formeln dieser Gruppe werden dringend benötigt. Sie werden oft beim Lösen verwendet trigonometrische Gleichungen, einschließlich Niveau einheitliche Prüfung, sowie bei der Berechnung von Integralen, die Integranden vom trigonometrischen Typ enthalten.

Es kann einfacher sein, sie sich im nächsten "einstöckigen" Formular zu merken.
2cos2α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
und Sie können jederzeit in Ihrem Kopf oder auf einem Entwurf durch 2 teilen.

Die Notwendigkeit, die folgenden zwei Formeln (mit Funktionswürfeln) in Prüfungen zu verwenden, ist viel seltener. In einer anderen Umgebung haben Sie immer Zeit, den Entwurf zu verwenden. In diesem Fall sind folgende Optionen möglich:
1) Wenn Sie sich an die letzten beiden Formeln der III-Gruppe erinnern, dann verwenden Sie sie, um sin 3 α und cos 3 α durch einfache Transformationen auszudrücken.
2) Wenn Sie in den letzten beiden Formeln dieser Gruppe Symmetrieelemente bemerken, die zu ihrer Speicherung beitragen, schreiben Sie die "Skizzen" der Formeln auf den Entwurf und überprüfen Sie sie anhand der Werte der Hauptwinkel.
3) Wenn Sie zusätzlich zu der Tatsache, dass es solche Formeln zur Herabsetzung des Grades gibt, nichts darüber wissen, dann lösen Sie das Problem stufenweise, ausgehend davon, dass sin 3 α = sin 2 α · sinα und andere gelernte Formeln. Es werden Gradreduktionsformeln für ein Quadrat und eine Formel zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe benötigt.

VII. Gruppe. Halbes Argument

Sünde α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

Ich sehe keinen Sinn darin, diese Gruppe von Formeln in der Form auswendig zu lernen, in der sie in Lehrbüchern und Nachschlagewerken dargestellt werden. Wenn du das verstehst α ist die Hälfte von 2α, dann reicht dies, um aus den ersten beiden Formeln zur Gradverringerung schnell die erforderliche Formel für das Halbargument abzuleiten.

Dies gilt auch für den Tangens des Halbwinkels, dessen Formel man erhält, indem man den Sinusausdruck durch den entsprechenden Kosinusausdruck dividiert.

Nicht vergessen nur beim Auschecken Quadratwurzel ein Zeichen setzen ± .

VIII. Gruppe. Universelle Substitution

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);

cosα = 1 - tan 2 (α / 2) __________ 1 + tan 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Diese Formeln können sehr nützlich sein, um trigonometrische Probleme aller Art zu lösen. Sie ermöglichen die Implementierung des Prinzips "ein Argument - eine Funktion", mit dem Sie Variablenänderungen vornehmen können, die komplexe trigonometrische Ausdrücke auf algebraische reduzieren. Nicht umsonst nennt man diese Substitution universell.
Wir müssen die ersten beiden Formeln lernen. Die dritte erhält man durch Division der ersten beiden durcheinander nach der Definition der Tangente tgα = sinα ___ cosα

IX-Gruppe. Gießformeln.

Um diese Gruppe trigonometrischer Formeln zu verstehen, pass

X-Gruppe. Werte für Basiswinkel.

Die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Hauptwinkel des ersten Viertels sind angegeben

So machen wir es Ausgang: Trigonometrie-Formeln müssen wissen. Je mehr desto besser. Aber wofür Sie Ihre Zeit und Mühe aufwenden möchten - sich Formeln zu merken oder sie beim Lösen von Problemen wiederzufinden, muss jeder für sich selbst entscheiden.

Ein Beispiel für eine Aufgabe zur Verwendung von trigonometrischen Formeln

Löse die Gleichung Sünde5 x Cos3 x- sin8 x Cos6 x = 0.

Wir haben zwei verschiedene Funktionen sin() und cos() und vier! verschiedene Argumente 5 x, 3x, 8x und 6 x... Ohne vorherige Transformationen wird es nicht funktionieren, auf die einfachsten Typen trigonometrischer Gleichungen zu reduzieren. Daher versuchen wir zunächst, die Produkte durch Summen oder Funktionsunterschiede zu ersetzen.
Dies machen wir genauso wie im obigen Beispiel (siehe Abschnitt).

Sünde (5 x + 3x) + Sünde (5 x − 3x) = 2 sin5 x Cos3 x
Sünde8 x+ sin2 x= 2 sin5 x Cos3 x

Sünde (8 x + 6x) + Sünde (8 x − 6x) = 2 sin8 x Cos6 x
Sünde14 x+ sin2 x= 2 sin8 x Cos6 x

Wir drücken die Produkte dieser Gleichungen aus und setzen sie in die Gleichung ein. Wir bekommen:

(sünde8 x+ sin2 x) / 2 - (sünde14 x+ sin2 x)/2 = 0.

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 2, öffnen die Klammern und geben ähnliche Terme

Sin8 x+ sin2 x- Sünde14 x- Sünde2 x = 0;
Sünde8 x- Sünde14 x = 0.

Die Gleichung ist viel einfacher geworden, aber löse sie wie folgt sin8 x= sin14 x, also 8 x = 14x+ T, wobei T die Periode ist, ist falsch, da wir die Bedeutung dieser Periode nicht kennen. Daher verwenden wir die Tatsache, dass auf der rechten Seite der Gleichheit 0 steht, mit der es leicht ist, die Faktoren in jedem Ausdruck zu vergleichen.
Um sin8 . zu erweitern x- Sünde14 x nach Faktoren müssen Sie vom Unterschied zum Produkt gehen. Dazu können Sie die Formel für die Sinusdifferenz oder auch die Formel für die Summe der Sinus und die Ungeradheit der Sinusfunktion verwenden (siehe Beispiel im Abschnitt).

Sünde8 x- Sünde14 x= sin8 x+ Sünde (−14 x) = 2 sin 8x + (−14x) __________ 2 Kos 8x − (−14x) __________ 2 = Sünde (−3 x) Cos11 x= −sin3 x Cos11 x.

Also die Gleichung sin8 x- Sünde14 x= 0 entspricht der Gleichung sin3 x Cos11 x= 0, was wiederum der Kombination der beiden einfachsten Gleichungen sin3 . entspricht x= 0 und cos11 x= 0. Wenn wir Letzteres lösen, erhalten wir zwei Reihen von Antworten
x 1 = n/3, n Z
x 2 = / 22 + π k/11, k Z

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Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Hauptfunktionen - Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens - sind festgelegt trigonometrische Formeln... Und da es viele Verbindungen zwischen trigonometrischen Funktionen gibt, erklärt dies die Fülle an trigonometrischen Formeln. Einige Formeln verbinden trigonometrische Funktionen des gleichen Winkels, andere - Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, viertens - drücken Sie alle Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels usw. aus.

In diesem Artikel werden wir alle grundlegenden trigonometrischen Formeln der Reihe nach auflisten, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur Vereinfachung des Auswendiglernens und Verwendens werden wir sie nach Zweck gruppieren und in Tabellen eintragen.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Das Wichtigste trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens eines Winkels ein. Sie folgen aus den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.

Eine detaillierte Beschreibung dieser trigonometrischen Formeln, deren Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Gießformeln

Gießformeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens, dh sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie sowie die Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel wider. Diese trigonometrischen Formeln ermöglichen es Ihnen, von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zu der Arbeit mit Winkeln von null bis 90 Grad zu wechseln.

Die Begründung für diese Formeln, die mnemonische Regel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können in dem Artikel untersucht werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für Doppel, Dreifach usw. Ecke

Formeln für Doppel, Dreifach usw. Winkel (auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von Double, Triple usw. Winkel () werden in Bezug auf trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Ableitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für Doppel, Dreifach usw. Ecke.

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Formeln zur Gradreduzierung

Trigonometrische Gradreduktionsformeln sollen den Übergang von natürlichen Graden trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Kosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln, erleichtern. Mit anderen Worten, sie ermöglichen es Ihnen, die Grade der trigonometrischen Funktionen auf den ersten abzusenken.

Summen- und Differenzformeln für trigonometrische Funktionen

Hauptziel Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen ist, zum Produkt von Funktionen zu gelangen, was sehr nützlich ist, wenn trigonometrische Ausdrücke vereinfacht werden. Diese Formeln werden auch häufig bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet, da Sie die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus faktorisieren können.

Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus durch Kosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt nach den Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus durch Cosinus.

Generische trigonometrische Substitution

Wir schließen die Überprüfung der Grundformeln der Trigonometrie mit Formeln ab, die trigonometrische Funktionen in Bezug auf den Tangens eines halben Winkels ausdrücken. Dieser Ersatz wurde benannt universelle trigonometrische Substitution... Seine Bequemlichkeit liegt darin, dass alle trigonometrischen Funktionen rational ohne Wurzeln durch den Tangens eines halben Winkels ausgedrückt werden.

Referenzliste.

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Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (Handbuch für Bewerber an Fachschulen): Lehrbuch. Handbuch - M .; Höher. shk., 1984.-351 S., mit Abb.

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Ich werde Sie nicht davon überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich und Spickzettel zur Trigonometrie. Später plane ich zu erklären, warum Spickzettel benötigt werden und warum Spickzettel nützlich sind. Und hier - Informationen zum Nichtlernen, aber denken Sie an einige trigonometrische Formeln. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel!Wir verwenden Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Kosinus geht immer "paarweise": Kosinus-Cosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinus ist „unzureichend“. Sie sind "nicht so", also ändern sie die Vorzeichen: "-" in "+" und umgekehrt.

Nebenhöhlen - "Mix": Sinus Cosinus, Cosinus Sinus.

2. Formeln für Summe und Differenz:

Kosinus gehen immer "paarweise". Wenn wir zwei Cosinus - "Koloboks" hinzufügen, erhalten wir ein Paar Cosinus - "Koloboks". Und nach der Subtraktion werden wir definitiv keine Koloboks bekommen. Wir erhalten ein Paar Sinus. Auch mit einem Minus voran.

Nebenhöhlen - "Mix" :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe und eine Differenz.

Wann erhalten wir ein Kosinuspaar? Wenn wir den Kosinus addieren. Deshalb

Wann bekommen wir ein Paar Nebenhöhlen? Beim Subtrahieren von Kosinus. Somit:

"Mischen" wird sowohl beim Addieren als auch beim Subtrahieren von Sinus erhalten. Was ist schöner: Addieren oder Subtrahieren? Richtig, falten. Und für die Formel addieren sie:

In der ersten und dritten Formel steht die Summe in Klammern. Die Summe ändert sich durch die Neuordnung der Stellen der Terme nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel fundamental. Aber um nicht verwirrt zu werden, nehmen wir zum leichteren Auswendiglernen in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens die Menge

Spickzettel in der Tasche geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie abschreiben. Und sie geben Ihnen Sicherheit: Gelingt Ihnen der Spickzettel nicht, können Sie sich die Formeln leicht merken.

Wir setzen unser Gespräch über die am häufigsten verwendeten Formeln in der Trigonometrie fort. Die wichtigsten davon sind Additionsformeln.

Definition 1

Mit Additionsformeln können Sie Funktionen der Differenz oder Summe zweier Winkel mit trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausdrücken.

Zunächst werden wir eine vollständige Liste der Additionsformeln geben, sie dann beweisen und einige anschauliche Beispiele analysieren.

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Grundlegende Additionsformeln in der Trigonometrie

Acht Grundformeln werden unterschieden: der Sinus der Summe und der Sinus der Differenz zweier Winkel, der Kosinus der Summe und der Differenz, der Tangens und der Kotangens der Summe bzw. der Differenz. Unten sind ihre Standardformulierungen und Berechnungen.

1. Den Sinus der Summe zweier Winkel erhält man wie folgt:

Wir berechnen das Produkt des Sinus des ersten Winkels mit dem Kosinus des zweiten;

Multiplizieren Sie den Kosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des ersten;

Addieren Sie die resultierenden Werte.

Die grafische Schreibweise der Formel sieht so aus: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Der Sinus der Differenz wird in ähnlicher Weise berechnet, nur die resultierenden Produkte müssen nicht addiert, sondern voneinander subtrahiert werden. Wir berechnen also die Produkte des Sinus des ersten Winkels mit dem Kosinus des zweiten und des Kosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des zweiten und finden ihre Differenz. Die Formel lautet wie folgt: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosinus der Summe. Dafür finden wir die Produkte des Kosinus des ersten Winkels durch den Kosinus des zweiten bzw. des Sinus des ersten Winkels durch den Sinus des zweiten Winkels und bestimmen ihre Differenz: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Der Cosinus der Differenz: Berechnen Sie wie zuvor die Produkte der Sinus und Cosinus der gegebenen Winkel und addieren Sie sie. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Der Tangens der Summe. Diese Formel wird als Bruch ausgedrückt, in dessen Zähler die Summe der Tangenten der gewünschten Winkel und im Nenner die Einheit steht, von der das Produkt der Tangenten der gewünschten Winkel abgezogen wird. Aus der grafischen Notation ist alles klar: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Der Tangens der Differenz. Wir berechnen die Werte der Differenz und das Produkt der Tangenten dieser Winkel und machen dasselbe mit ihnen. Im Nenner addieren wir zu eins und nicht umgekehrt: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens der Summe. Für Berechnungen nach dieser Formel benötigen wir das Produkt und die Summe der Kotangenten dieser Winkel, mit denen wir wie folgt vorgehen: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Differenzkotangens . Die Formel ist der vorherigen ähnlich, aber im Zähler und Nenner gibt es ein Minus, kein Plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass diese Formeln paarweise ähnlich sind. Mit den Zeichen ± (Plus-Minus) und ∓ (Minus-Plus) können wir sie der Einfachheit halber gruppieren:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

Dementsprechend haben wir eine Aufzeichnungsformel für die Summe und Differenz jedes Wertes, nur achten wir in einem Fall auf das obere Vorzeichen, im anderen auf das untere.

Definition 2

Wir können beliebige Winkel α und β nehmen, und die Additionsformeln für Cosinus und Sinus funktionieren für sie. Wenn wir die Werte der Tangenten und Kotangenten dieser Winkel richtig bestimmen können, gelten die Additionsformeln für Tangente und Kotangens auch für sie.

Wie die meisten Konzepte in der Algebra können Additionsformeln bewiesen werden. Die erste Formel, die wir beweisen werden, ist die Differenzkosinusformel. Der Rest der Beweise kann dann leicht daraus abgeleitet werden.

Lassen Sie uns die grundlegenden Konzepte klären. Wir brauchen Einheitskreis... Es stellt sich heraus, wenn wir einen bestimmten Punkt A nehmen und die Winkel α und β um den Mittelpunkt (Punkt O) drehen. Dann ist der Winkel zwischen den Vektoren O A 1 → und O A → 2 (α - β) + 2 π z oder 2 π - (α - β) + 2 π z (z ist eine ganze Zahl). Die resultierenden Vektoren bilden einen Winkel, der gleich α - β oder 2 π - (α - β) ist, oder sie können sich von diesen Werten um eine ganze Zahl voller Umdrehungen unterscheiden. Schauen Sie sich das Bild an:

Wir haben die Reduktionsformeln verwendet und folgende Ergebnisse erhalten:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Fazit: Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren O A 1 → und O A 2 → ist gleich dem Kosinus des Winkels α - β, also cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Erinnern wir uns an die Definitionen von Sinus und Cosinus: Sinus ist eine Funktion des Winkels, gleich dem Verhältnis des Beins des entgegengesetzten Winkels zur Hypotenuse, Cosinus ist der Sinus eines zusätzlichen Winkels. Daher die Punkte A 1 und A 2 haben Koordinaten (cos α, sin α) und (cos β, sin β).

Wir erhalten folgendes:

O A 1 → = (cos α, sin α) und O A 2 → = (cos β, sin β)

Wenn nicht klar, sehen Sie sich die Koordinaten der Punkte an, die sich am Anfang und am Ende der Vektoren befinden.

Die Längen der Vektoren sind gleich 1, da wir haben einen Einheitskreis.

Lass uns jetzt analysieren Skalarprodukt Vektoren O A 1 → und O A 2 →. In Koordinaten sieht das so aus:

(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Daraus können wir Gleichheit ableiten:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Damit ist die Formel für den Kosinus der Differenz bewiesen.

Jetzt beweisen wir die folgende Formel - den Kosinus der Summe. Dies ist einfacher, da wir die vorherigen Berechnungen verwenden können. Nehmen Sie die Darstellung α + β = α - (- β). Wir haben:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Dies ist der Beweis der Formel für den Kosinus der Summe. Die letzte Zeile verwendet die Eigenschaft von Sinus und Cosinus entgegengesetzter Winkel.

Die Sinusformel der Summe lässt sich aus der Differenzkosinusformel ableiten. Dazu nehmen wir die Reduktionsformel:

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). So
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Und hier ist der Beweis der Sinusdifferenzformel:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Beachten Sie die Verwendung der Sinus- und Cosinuseigenschaften entgegengesetzter Winkel in der letzten Berechnung.

Als nächstes benötigen wir Beweise für die Additionsformeln für Tangente und Kotangens. Erinnern wir uns an die grundlegenden Definitionen (Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus und Kotangens - umgekehrt) und nehmen die bereits im Voraus abgeleiteten Formeln. Wir haben es geschafft:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Wir haben einen komplexen Bruch. Als nächstes müssen wir seinen Zähler und Nenner durch cos α · cos β dividieren, wobei wir berücksichtigen, dass cos α ≠ 0 und cos β ≠ 0 ist, erhalten wir:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Nun heben wir die Brüche auf und erhalten eine Formel der folgenden Form: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Wir haben t g (α + β) = t g α + t g β 1 – t g α · t g β. Dies ist der Beweis für die Tangentenadditionsformel.

Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist die Formel für den Tangens der Differenz. In den Berechnungen ist alles klar ersichtlich:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Die Formeln für den Kotangens werden in ähnlicher Weise bewiesen:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
Weiter:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β