Fraktale in der realen Welt. Forschungsobjekt. Forschung "Reisen Sie zu World Fractals

Wie war der Fractal?

Mathematische Formen, die als Fraktale bekannt sind, gehören zum Genie eines herausragenden Wissenschaftlers Benoit Mandelbrot. Er lehrte Mathematik den größten Teil seines Lebens an der US-Universität von Yale. 1977 - 1982 veröffentlichte Mandelbrot wissenschaftliche Arbeitendem Studium der "Fraktalgeometrie" oder "Geometrie der Natur", in der auf den ersten Blick zufällige mathematische Formen an den in der engsten Überprüfung durch Wiederholung der Bauteile, widmet, was auch das Vorhandensein einer bestimmten Probe nachgewiesen hat Kopieren. Die Eröffnung des Mandelkroke hatte erhebliche Konsequenzen bei der Entwicklung von Physik, Astronomie und Biologie.

Fraktale in der Natur.

In der Natur haben viele Objekte Fraktaleigenschaften, zum Beispiel: Kronen von Bäumen, Blumenkohl, Wolken, Blut- und Alveolarsystemen von Menschen und Tieren, Kristallen, Schneeflocken, deren Elemente in eine komplexe Struktur, Küste eingebaut sind (Fraktalkonzept erlaubte Wissenschaftler Messen Sie die britische Inseln Küste und andere, bisher unermessliche, Objekte).

Betrachten Sie die Struktur des Blumenkohls. Wenn Sie einen der Blumen schneiden, ist es offensichtlich, dass derselbe Blindkörper in den Händen bleibt, nur kleiner. Sie können auch unter einem Mikroskop immer wieder einschneiden, aber alles, was wir bekommen, sind winzige Kopien des Blumenkohls. In diesem einfachsten Fall enthält selbst ein kleiner Teil des Fraktums Informationen über die gesamte Endstruktur.

Fraktale in digitaler Technologie

Die Fraktalgeometrie leistete einen unschätzbaren Beitrag zur Entwicklung neuer Technologien im Bereich digitaler Musik sowie mögliche Komprimierung digitaler Bilder. Bestehende Fraktalbild-Komprimierungsalgorithmen basieren auf dem Speicherprinzip des Druckbildes anstelle des digitalen Bildes selbst. Zum Komprimieren von Bild bleibt das Hauptbild ein fester Punkt. Microsoft benutzte einen der Varianten dieses Algorithmus, wenn er seine Enzyklopädie isst, aber aus einem oder anderen Grund erhielt diese Idee keine große Verbreitung.

Die mathematische Basis-Fraktalgrafiken liegt fraktale Geometrie, wo die Verfahren des Erbschaftsmethoden von den anfänglichen "Elternobjekten" auf der Grundlage der Methoden des Gebäudes "Erbenbilder" basieren. Die Konzepte von Fractal-Geometrie und Fraktalgrafiken erschienen vor etwa 30 Jahren, aber es war bereits fest in die Verwendung von Computerdesignern und Mathematiker einbezogen.

Die grundlegenden Konzepte der Fractal-Computergrafik sind:

• Fractal Triangle - Fraktalfigur - Fraktalobjekt (Hierarchie in absteigender Reihenfolge)
• Fractal gerade
• Fractal-Komposition.
• "Elternobjekt" und "Objekter Erben"

Wie in der Vektor- und dreidimensionalen Grafiken berechnet die Erstellung von fraktalen Bildern mathematisch berechnet. Der Hauptunterschied von den ersten beiden Grafypen besteht darin, dass das Fraktalbild von Gleichung oder Systemsysteme aufgebaut ist - nichts als die Formel im Speicher des Computers ist nicht erforderlich, um alle Berechnungen zu speichern - und eine solche Kompaktheit des mathematischen Geräts zulässig Die Verwendung dieser Idee in Computergrafiken. Sie können einfach die Koeffizienten der Gleichung ändern, Sie können leicht ein völlig anderes Fraktalbild erhalten - mit Hilfe mehrerer mathematischer Koeffizienten werden die Oberflächen und die Linien sehr festgelegt komplexe FormDadurch können Sie eine solche Zusammensetzung von Zusammensetzungen als horizontal und vertikal, Symmetrie und Asymmetrie, Diagonalrichtungen und vieles mehr umsetzen.

Wie baue ich ein Fraktal?

Der Schöpfer von Fractals fungiert gleichzeitig als Künstler, Fotograf, Bildhauer und Inventor-Wissenschaftler. Was sind die Stadien der Arbeit der Erstellung der Zeichnung "von kratzen"?

• stellen Sie das Muster der mathematischen Formel ein
• erkunden Sie die Konvergenz des Prozesses und variieren Sie ihre Parameter
• bildbild auswählen.
• wählen Sie eine Palette von Blumen

Unter fraktalen grafischen Redakteuren und anderen grafischen Programmen können zugewiesen werden:

• "Art Dabbler"
• "Maler" (ohne Computer, kein einziger Künstler, wird die Programmierer von Möglichkeiten niemals nur mit einem Bleistift- und Stiftbürsten erreicht)
• "Adobe Photoshop" (aber hier wird das Bild "von Scratch" nicht erstellt, und in der Regel nur verarbeitet)

Betrachten Sie das Gerät einer beliebigen fraktalen geometrischen Form. In seiner Mitte gibt es ein einfachste Element - ein gleichseitiges Dreieck, das denselben Namen erhielt: "Fraktal". Im durchschnittlichen Segment der Parteien erstellen wir gleichseitige Dreiecke mit einer Seite von einem Drittel der Seite des anfänglichen Fraktalddreiecks. In demselben Prinzip werden sogar kleinere Dreiecke-Erben der zweiten Generation gebaut - und so auf unbestimmte Zeit. Das Ziel, das als Ergebnis herausstellte, wird als "Fraktalfigur" aus den Sequenzen bezeichnet, von denen wir eine "Fraktalzusammensetzung" erhalten.

Quelle: http://www.iknowit.ru/

Fraktale und alte Mandalas

Dies ist ein Mandala, um Geld anzunehmen. Genehmigen Sie, dass die rote Farbe funktioniert geldmagnet.. Und die Schiffe erinnern dich nicht an nichts? Sie schienen mir sehr vertraut zu sein, und ich war mit dem Studium des Mandala als Fraktal tätig.

Grundsätzlich ist das Mandala ein geometrisches Symbol einer komplexen Struktur, das als Modell des Universums interpretiert wird, "Cosmos Map". Hier ist das erste Zeichen der Frackalität!

Sie sind auf dem Gewebe bestickt, auf dem Sand gezogen, mit Nicht-Eisenpulvern und aus Metall, Stein, Holz hergestellt. Ein heller und faszinierender Blick, macht es zu einer schönen Dekoration von Böden, Wänden und Decken von Tempeln in Indien. Am antiken indische Sprache Mandala bezeichnet einen mystischen Kreis der Beziehung der spirituellen und materiellen Energien des Universums oder einer anderen Blume des Lebens.

Ich wollte einen Überblick über fraktale Mandalas sehr klein schreiben, mit einem Minimum an Absätzen, das zeigt, dass die Beziehung eindeutig existiert. Ich versuche jedoch, in einem einzigen Ganzen Informationen über Fraktale und Mandalas zu informieren und zu ordnen, ich hatte ein Gefühl von einem Quantensprung in dem von mir unbekannten Raum.

Wir zeigen die Ungehörigkeit dieses Themas-Zitats: "Solche Fraktalzusammensetzungen oder Mandalas können als in Form von Gemälden, Elementen der Gestaltung von Wohn- und Arbeitsraum, tragbaren Amuletten in Form von Videobändern verwendet werden, computerprogramme... "Im Allgemeinen ist das Thema für die Erforschung von Fractals nur ein riesiges.

Eine Sache, die ich genau sagen kann, die Welt ist viel vielfältiger und reicher als die elenden Ideen unseres Geistes über ihn.

Fraktale Meerestiere

Meine Vermutungen über fraktale Meerestiere waren nicht grundlos. Hier sind die ersten Vertreter. Octopus - Sea Donnaya Tier aus Charton Fit.

Auf Blick auf dieses Foto wurde ich auf allen acht Tentakeln dieses Tieres eine offensichtliche fraktale Struktur seines Körpers und der Sauger. Saugnäpfe auf Erwachsenen Octopus Tentakeln erreichen bis zu 2000.

Es ist interessant, dass der Krake drei Herzen ist: Eine (vor allem) treibt blaue Blut im ganzen Körper und zwei andere Kill - das Blut durch die Kiemen schieben. Einige Arten dieser Tiefwasser-Fraktalen von Giftig.

Anpassen und Maskieren unter umgebungDer Octopus hat eine sehr nützliche Fähigkeit, die Farbe zu ändern.

Octopresses gelten als das am meisten "Smart" unter allen Wirbellosen. Lerne Leute, gewöhne dich an diejenigen, die sie füttern. Es wäre interessant, den Oktopus anzusehen, der leicht zu trainieren ist, gute Erinnerung aufweisen und sogar geometrische Formen unterscheiden. Das Alter dieser fraktalen Tiere ist jedoch nicht national - maximal 4 Jahre.

Eine Person verwendet die Tinte dieses lebenden Fraktals und anderer Diagramme. Sie sind gefragt von Künstlern für ihre Haltbarkeit und einem schönen braunen Ton. In der mediterranen Küche ist der Oktopus eine Quelle von Vitaminen B3, B12, Kalium, Phosphor und Selen. Aber ich denke, dass diese nautischen Fractals in der Lage sein müssen, sich darauf vorzubereiten, ihren Lebensmittelverbrauch zu genießen.

Übrigens sollte darauf hingewiesen werden, dass Kraketen Raubtiere sind. Sie halten ihre fraktalen Tentakel an das Opfer in Form von Mollusken, Krebstierungen und Fischen. Es ist ein Mitleid, wenn das Essen dieser Meeresfraktalen so schöner Mollusk wird. Meiner Meinung nach auch ein typischer Vertreter der Fraktale des Marine-Königreichs.

Dies ist ein Schnecknetz, ein einbrecherbeiner Glazk Glavk, er ist Glaukus, er ist Glaucus Atlanticus, er ist Glaucilla Marginata. Dieses Fraktal ist auch ungewöhnlich, da er lebt und unter der Oberfläche des Wassers bewegt, während sie aufgrund von Oberflächenspannung gedrückt wird. weil Mollusk ist ein Hermaphrodit, dann nachdem er beide "Partners" Eier gesteckt hat. Dieses Fraktal befindet sich in allen Ozeanen des tropischen Gürtels.

Fraktale des Marine Kingdoms

Jeder von uns ist mindestens einmal in seinem Leben in seinen Händen und mit echtem Kinderinteresse angesehen, sah er die Muschel an.

Normalerweise sind Muscheln ein schönes Souvenir, das einer Reise ins Meer ähnelt. Wenn Sie sich diese Spiralbildung von wirbellosen Mollusken ansehen, besteht kein Zweifel an seiner fraktalen Natur.

Wir, Menschen, mit etwas, das wir an diese weiche Mollusken erinnern, die in gepflegten Betonhäusern gepolstert sind, sind Fraktale, die ihren Körper in schnellen Autos platzieren und bewegen.

Ein anderer typischer Vertreter der fraktalen Unterwasserwelt ist Koralle.
In der Natur sind mehr als 3500 Sorten von Korallen bekannt, in der in der Palette, deren Palette um bis zu 350 Farbtöne unterscheidet.

Die Koralle ist das Skelettmaterial der Korallenpolypen-Kolonie, auch von der wirbellosen Familie. Ihre riesigen Anhäufungen bilden ganze Korallenriffe, der fraktale Bildungsmethode der Bildung ist offensichtlich.

Koralle mit vollem Umfang des Vertrauens kann vom Kingdom Sea Fractal bezeichnet werden.

Es wird auch von einer Person in Form von Souvenir- oder Rohstoffen für Schmuck und Schmuck verwendet. Aber wiederholen Sie die Schönheit und Perfektion von fraktaler Natur sehr schwierig.

Aus irgendeinem Grund habe ich keinen Zweifel, dass viele fraktale Tiere auch in der Unterwasserwelt vertieft werden.

Erfüllte wieder ein Ritual in der Küche mit einem Messer und einem Schneidebrett und senkt dann das Messer in kaltes WasserIch kam erneut wieder mit Tränen in Tränen, wie man mit einem Tränenfraktal umgeht, der fast täglich in meinen Augen erscheint.

Das Prinzip der Fractalität ist das gleiche wie das berühmte Matryoshka-Nesting. Deshalb bemerkt die Frackalität nicht sofort. Darüber hinaus tragen die helle homogene Farbe und ihre natürliche Fähigkeit, unangenehme Empfindungen zu verursachen, nicht zur stetigen Beobachtung über das Universum und die Identifizierung von fraktalen mathematischen Mustern.

Aber die Salatschale der lila Farbe aufgrund seiner Farben und der Mangel an Tränenphytoncides brachte Reflexionen auf die natürliche Frackalität dieses Gemüses. Natürlich ist es ein einfacher, gewöhnlicher Umfang unterschiedlicher Durchmesser, Sie können sogar ein primitives Fraktal sagen. Es würde jedoch nicht schaden, sich daran zu erinnern, dass der Ball in unserem Universum als idealer geometrischer Figur betrachtet wird.

Viele Artikel, die auf den nützlichen Eigenschaften von Luke im Internet veröffentlicht wurden, aber irgendwie versuchte niemand, diese natürliche Kopie aus der Sicht der Fractalität zu studieren. Ich kann nur den Nutzen der Verwendung von Fractal in Form eines Bogens an seiner Küche angeben.

P. Und ich habe bereits Gemüseschneider zum Mahlen von Fractal erworben. Jetzt müssen Sie nachdenken, wie fraktabel ein solches nützliches Gemüse ist, wie ein gewöhnlicher Weißkohl. Das gleiche Prinzip der Verschachtelung.

Fraktale in der Volkskunst

Meine Aufmerksamkeit zog die Geschichte des weltberühmten Spielzeugs "Matryoshka" an. Sorgfältig ansehen, mit Zuversicht kann gesagt werden, dass dieses Souvenirspielzeug ein typischer Fraktal ist.

Das Prinzip der Frackalität ist offensichtlich, wenn alle Figuren des Holzspielzeugs in eine Reihe eingebaut sind und nicht in einander investiert sind.

Meine kleinen Studien der Geschichte dieses Spielzeug-Fraktals auf dem Weltmarkt haben gezeigt, dass die Wurzeln dieser Schönheit Japanisch sind. Matryoshka galt immer als ein inwiegender russischer Andenken. Aber es stellte sich heraus, dass sie der Prototyp der japanischen Figur des alten Mannes-Sage-Fukurums war, der einmal in Moskau aus Japan gebracht wurde.

Aber es war das russische Spielzeugfischen, das dieser japanischen Figur Welt Ruhm brachte. Wo war die Idee von Fractal, das Spielzeug, persönlich für mich, nisten und ein Rätsel blieb. Höchstwahrscheinlich nutzte der Autor dieses Spielzeugs das Prinzip der Verschachtelung von Figuren ineinander. Und der einfachste Investitionsweg ist solche Zahlen unterschiedlicher Größe, und dies ist bereits ein Fraktal.

Eine ebenso interessante Aufgabe der Studie ist das Gemälde von Fraktalspielzeug. Dies ist eine dekorative Malerei - Khokhloma. Die traditionellen Elemente von Khokhloma sind pflanzliche Muster von Blumen, Beeren und Zweigen.

Wieder alle Anzeichen einer Frackalität. Immerhin kann das gleiche Element mehrmals in verschiedenen Ausführungen und Proportionen wiederholt werden. Infolgedessen wird ein Volksfraktalgemälde erhalten.

Und wenn das neu formierte Malerei von Computermäusen, die Abdeckungen von Laptops und Telefonen, nicht mehr überraschen, nicht mehr überraschen, dann ist die fraktale Abstimmung des Autos in einem Volkstil etwas Neues in Autodizain. Es bleibt nur in der Manifestation der Welt von Fractals in unserem Leben in einem so ungewöhnlichen Weg in solchen gewöhnlichen Dingen für uns überrascht.

Fraktale in der Küche

Jedes Mal, zermontierte Blumenkohl in kleine Blütenstände für das Blanching in kochendem Wasser, habe ich nie auf die expliziten Anzeichen der Frackalität geachtet, während ich diesen Fall nicht in meinen Händen hatte.

Typischer fraktaler Vertreter von pflanzliche Welt Auf meiner Küchenzeile.

Mit all meiner Liebe zum Blumenkohl stammte es die ganze Zeit auf Instanzen mit einer homogenen Oberfläche ohne sichtbare Anzeichen von Frackalität, und sogar eine große Anzahl von ineinander eingebetteten Gegenständen gab mir keinen Grund, das fraktale Gemüse in diesem nützlichen Gemüse zu sehen .

Die Oberfläche dieser bestimmten Instanz mit einer eindeutig ausgeprägten fraktalen Geometrie hat jedoch nicht den geringsten Zweifel an fraktalen Ursprungs dieser Art von Kohl hinterlassen.

Eine weitere Reise zum Hypermarkt bestätigte nur den Fraktalkohlstatus. Unter der großen Anzahl exotischer Gemüse wurde eine ganze Kiste mit Fractals blockiert. Es war ein Romantik oder romanische Brokkoli, farbiges Korallenkohl.

Es stellt sich heraus, Designer und 3D-Künstler sind mit seinen exotischen Formen, die den Fraktalen ähnlich sind, begeistert.

Kohlkidneys wachsen auf der logarithmischen Spirale. Die ersten Hinweise auf Cabesto Romanentic kamen aus Italien des 16. Jahrhunderts.

Und der Kohl Brokkoli ist kein völlig häufiger Gast in meiner Ernährung, obwohl der Inhalt der nützlichen Substanzen und der Spurenelemente, die sie zuweilen einen Blumenkohl überschreitet. Aber seine Oberfläche und die Form sind so homogen, dass ich nie aufgetreten ist, das pflanzliche Fraktal darin zu sehen.

Fraktale in Qilling.

Openwork-Kunsthandwerk in einer Quilling-Technik sehen, habe ich nie das Gefühl verlassen, dass etwas, das sie mich erinnern. Die Wiederholung derselben Elemente in verschiedenen Größen ist natürlich das Prinzip der Frackalität.

Nachdem er die nächste Meisterklasse in der Qulation gesehen hatte, gab es keinen Zweifel an der Frackalität der Königin. Zur Herstellung verschiedener Elemente für den Handwerk aus der Queening wird schließlich eine spezielle Linie mit Kreisen mit unterschiedlichem Durchmesser verwendet. Mit all der Schönheit und Einzigartigkeit der Produkte ist es eine unglaublich einfache Technik.

Fast alle grundlegenden Elemente für den Handwerk im Quilling bestehen aus Papier. Um freie Papierpapier für die Queening kostenlos zu lagern, geben Sie die Home Revision Ihrer Bücherregale aus. Dort finden Sie dort ein paar helle glänzende Zeitschriften.

QWill-Tools sind einfach und kostengünstig. Alles, was Sie brauchen, um das Quilling im Amateur-Stil zu erfüllen, finden Sie unter Ihrem Heimatwaren.

Und die Geschichte der Königin beginnt im 18. Jahrhundert in Europa. In der Ära der Renaissance wurden die Mönche französischer und italienischer Klöster mit Hilfe der Queening mit Buchbezüge dekoriert und nicht einmal vermutet, dass eine Frackalität erfunden hat, die erfunden hat. Mädchen aus der höchsten Gesellschaft bestanden sogar einen Kurs über Königin in Sonderschulen. Diese Technik begann sich durch Länder und Kontinente zu verbreiten.

Dieses Master-Class-Video-Quilling für die Herstellung von Luxusgefieder kann sogar als "Fractals mit ihren eigenen Händen" bezeichnet werden. Mit Hilfe von Papierfraktalen werden wunderbare exklusive Karten - Valentines und viele andere andere interessante Dinge erhalten. Immerhin, Fantasie, wie die Natur von unerschöpflich.

Es ist kein Geheimnis, dass die Japaner im Leben in einem Raum stark begrenzt ist, in dem sie in Verbindung, in der sie sich effektiv nutzen müssen. Miyakava Takeshi zeigt, wie es gleichzeitig und ästhetisch erfolgen kann. Seine fraktale Schrankbestätigung, dass der Einsatz von Fractals im Design nicht nur ein Tribut an Mode ist, sondern auch harmonisch designlösung unter Bedingungen des begrenzten Raums.

Dieses Beispiel der Verwendung von Fractals im wirklichen Leben, wie auf das Design von Möbeln angewendet wurde, zeigte mir, dass Fraktale nicht nur auf Papier in mathematischen Formeln und Computerprogrammen real sind.

Und es scheint, dass das Prinzip der Fractalitätsnatur überall verwendet. Sie müssen es nur aufmerksam ansehen, und es wird sich in all seiner großen Fülle und Unendlichkeit des Seins zeigen.

Gemeindebudget Allgemeine Bildung - Durchschnittliche Sekundarschule

von. Hündchen

Wissenschaftliche und praktische Konferenz "Erstaunliche Welt der Mathematik"

Forschung "Reise in die Welt von Fractals"

Durchgeführt: Student 10 Klasse

Allahverdieva Naila.

Führer: Davydova E. V.

1. 
   Einführung.
2. 
   Hauptteil:

a) das Konzept von Fractal;

b) die Geschichte der Schaffung von Fraktalen;

c) die Klassifizierung von Fractals;

d) die Verwendung von Fraktalen;

e) Fraktale in der Natur;

e) fraktale Farben.

3. Schlussfolgerung.

Einführung.

Was versteckt sich hinter dem mysteriösen Konzept von "fraktal"? Für viele ist dieser Begriff wahrscheinlich mit schönen Bildern verbunden, komplizierte Muster und helle Bilder, die mit Computergrafiken erstellt wurden. Fraktale sind jedoch kein einfaches Bild. Dies sind spezielle Strukturen, die alles zugrunde ließen. Bor wissenschaftliche Welt Vor wenigen Jahrzehnten gelang es Fractals, in der Wahrnehmung der umliegenden Realität eine echte Revolution zu produzieren. Mit Fractals kann eine Person hochpräzise mathematische Modelle natürlicher Gegenstände, Systeme, Prozesse und Phänomene erstellen.

Hauptteil
Das Konzept von Fractal.

Fraktal(von Lat. fraktus. - zerquetscht, gebrochen, gebrochen) - eine komplexe geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit aufweist, dh aus mehreren Teilen, von denen jeder der gesamten Figur ähnelt. Viele Objekte in der Natur haben fraktale Eigenschaften, wie Küste, Wolken, Bäumekronen, kreislauf und das menschliche oder tierische Alveoli-System.

Fractals, insbesondere im Flugzeug, sind aufgrund der Kombination von Schönheit mit der einfachen Konstruktion mit einem Computer beliebt.

Geschichte der Schöpfung..
Um die Wissenschaft von Fraktals auf ein neues Niveau zu bringen, wurde der französische Mathematiker Benoit Mandelbrot verwaltet - der Wissenschaftler, der heute als Vater der fraktalen Geometrie anerkannt wird. Mandelbroid zum ersten Mal ergab die Definition des Begriffs "fraktal":

Zitat

"Fraktal wird als Struktur bezeichnet, die aus Teilen besteht, was in einigen Sinne wie ein Ganzes ist"
In den 70er Jahren arbeitete BenoIT Mandelbrot als mathematischer Analytiker bei IBM. Der Wissenschaftler dachte zuerst an Fractals, um Geräusche in elektronischen Netzwerken zu studieren. Auf den ersten Blick gab es während der Datenübertragung absolut chaotische Interferenzen. Mandelbrot baute einen Fehlerplan auf und war überrascht, dass alle Fragmente in jeder Zeit skaliert wurden, sahen alle Fragmente ebenfalls aus. Auf der Skala des Wochenlärms erschien Geräusche in derselben Reihenfolge wie auf der Skala von einem Tag, einer Stunde oder einer Minute. Mandelbrot verstanden, dass die Frequenz von Fehlern, wenn die Datenübertragung im Laufe der Zeit auf dem von dem Cantor angegebenen Prinzip in der Zeit verteilt ist spät xix. Jahrhundert. Dann wurde Benooy Mandelbrot von der Untersuchung von Fractals ernsthaft getragen.
Im Gegensatz zu seinen Vorgänger waren keine geometrischen Konstruktionen zur Erstellung von Mandelbrot-Fraktalen, sondern algebraische Transformationen Verschiedene Komplexität. Der Mathematiker verwendete das Verfahren von Reverse-Iterationen, was die mehrfache Berechnung derselben Funktion impliziert. Mit der Verwendung von Computern führte der Mathematiker eine riesige Menge an aufeinanderfolgender Rechenrechnung durch, deren Ergebnisse grafisch auf der komplexen Ebene zeigten. So viele Mandelkroke erschienen - ein komplexer algebraischer Fraktal, das heute als Klassiker der Wissenschaft auf Fraktalen gilt. In einigen Fällen kann das gleiche Subjekt gleichzeitig glatt und fraktal betrachtet werden. Um zu erklären, warum dies passiert, bringt Mandelbroth ein interessantes visuelles Beispiel. Ein Gewirr von Wollfäden, in einem bestimmten Abstand entfernt, sieht aus wie ein Punkt mit der Dimension 1. Das in der Nähe gelegene Tangle sieht aus wie eine zweidimensionale Festplatte. Wenn Sie es in der Hand nehmen, können Sie das Volumen des Balls eindeutig fühlen - jetzt wird es als dreidimensional wahrgenommen. Das Fraktal des Gewindes kann nur von der Sicht des Beobachters unter Verwendung einer Lupe oder Fliegen betrachtet werden, die auf der Oberfläche eines ungleichmäßigen Wollfadens serviert werden. Daher hängt die wahre Fraktalität des Objekts von der Sicht des Beobachters und der Auflösung des verwendeten Instruments ab.
Mandelbrot stellte ein interessantes Muster an - desto näher, um das gemessene Objekt in Betracht zu ziehen, desto mehr verlängerte seine Grenze. Diese Eigenschaft kann eindeutig auf dem Beispiel des Messens der Länge eines der natürlichen Fractals - Küstenlinie nachgewiesen werden. Messungen durchführen geografische KarteEs ist möglich, einen ungefähren Wert der Länge zu erhalten, da alle Unregelmäßigkeiten und Biegungen nicht berücksichtigt werden. Wenn Sie die Messung messen, unter Berücksichtigung aller Unregelmäßigkeiten des von der Höhe des menschlichen Wachstums sichtbaren Erleichterungen, wird das Ergebnis etwas anders sein - die Länge der Küste wird deutlich ansteigen. Und wenn sich theoretisch vorstellen, dass das Messgerät die Unregelmäßigkeit jedes Kiesels aufweist, dann wird in diesem Fall die Länge der Küste nahezu unendlich sein.
Fractal-Klassifizierung.

Fraktale sind unterteilt in:

geometrisch: Fraktale dieser Klasse sind das visuellste, sie sichtbare Selbstähnlichkeit. Die Geschichte von Fractals begann mit den geometrischen Fraktalen, die im 19. Jahrhundert von Mathematikern studiert wurden.

algebraic: Diese Fraktalgruppe erhielt einen solchen Namen, da Fraktale mit einfachen algebraischen Formeln gebildet werden.

stochastic: Bilden Sie im Falle einer versehentlichen Änderung des Iterationsprozesses der Fraktalparameter aus. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden zum Modellieren des Geländes und der Meeresoberfläche verwendet.

Geometrische Fraktale

Es war von ihnen, dass die Geschichte von Fractals begann. Diese Art von Fraktal wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Bei der Konstruktion dieser Fraktals tun sie normalerweise: Das "Samen" wird ergriffen - Axiom - ein Satz von Segmenten, auf deren Grundlage ein Fractal gebaut wird. Anwenden "Seed" wenden Sie eine Reihe von Regeln an, die es in jeden konvertiert geometrische Figur. Als nächstes gelten dieselben Regeln für jeden Teil dieser Figur. Bei jedem Schritt wird die Figur komplizierter und schwieriger, und wenn wir (zumindest im Kopf) die unendliche Anzahl von Transformationen füttern, erhalten wir ein geometrisches Fraktal. Klassische Beispiele Geometrische Fraktale: Kochschneeflocke, Blatt, Dreieck von Serpinsky, Dragonov gebrochen (Anhang 1).

Algebraische Fraktale.

Die zweite große Fraktalgruppe ist algebraisch (Anhang 2). Sie erhielten ihren Namen, um sicherzustellen, dass sie auf der Grundlage von algebraischen Formeln gebaut werden, manchmal sehr einfach sind. Verfahren zum Erhalten von algebraischen Fraktalen sind mehrere.

Leider sind viele Niveau der 10-11-Klasse mit komplexen Zahlen, die mit komplexen Zahlen verbunden sind, um den fraktalen Konstruktion zu erläutern, dennoch unbekannt und sind immer noch schwer zu verstehen, daher ist es nicht möglich, den Bau von Fractals dieser Art nicht detailliert zu beschreiben.

Zunächst fraktale Natur schwarz und weiß, aber wenn Sie ein wenig Fantasie und Farben hinzufügen, können Sie eine echte Arbeit der Künste erhalten.

Stochastische Fraktale

Ein typischer Vertreter dieser Klasse von Fraktalen "Plasma" (Anhang 3). Um es aufzubauen, nehmen Sie ein Rechteck, und für jeden Winkel bestimmt die Farbe. Als nächstes finden wir den zentralen Punkt des Rechtecks \u200b\u200bund malen Sie es in Farbe, die den durchschnittlichen arithmetischen Farben an den Ecken des Rechtecks \u200b\u200bplus einer Zufallszahl entspricht. Je mehr Zufallszahl - desto mehr "Torn" wird eine Zeichnung sein. Wenn wir nun sagen, dass die Farbe des Punktes eine Höhe über dem Meeresspiegel ist, kommen wir anstelle von Plasma - ein Gebirgszug. Auf diesem Grundsatz werden Berge in den meisten Programmen simuliert. Mit Hilfe eines Algorithmus, der dem Plasma ähnlich ist, ist eine Karten der Höhen gebaut, verschiedene Filter gelten dafür, wir gilt für die Textur und bitte, fotorealistische Berge sind fertig!

Anwendungsfraktale

Bereits heute werden Fraktale in einer Vielzahl von Bereichen weit verbreitet verwendet. Die Richtung der Fractal-Archivierung von grafischen Informationen entwickelt sich aktiv. Theoretisch kann die Fractal-Archivierung Bilder ohne Qualitätsverlust auf die Größe eines Punkts komprimieren. Mit einer Erhöhung der nach dem Fraktalprinzip komprimierten Bildern werden die kleinsten Details klar angezeigt, und der Getreideffekt fehlt vollständig.

Die Prinzipien der Theorie von Fractals werden in der Medizin zur Analyse von Elektrokardiogrammen eingesetzt, da der Rhythmus der Herzabkürzungen auch ein Fraktal ist. Die Studienrichtung des Kreislaufsystems und anderer interner Systeme des menschlichen Körpers entwickelt sich aktiv. In der Biologie werden Fraktale verwendet, um die Prozesse zu modellieren, die innerhalb der Populationen auftreten.
Meteorologen verwenden fraktale Abhängigkeiten, um die Intensität der Luftmassen zu analysieren, wodurch die Möglichkeit einer genaueren Vorhersage der Wetteränderungen auftritt. Physik von fraktalen Medien mit großem Erfolg löst die Aufgabe, die Dynamik komplexer turbulenter Strömungen, Adsorption und Diffusionsprozesse zu untersuchen. In der petrochemischen Industrie werden Fraktale verwendet, um poröse Materialien zu simulieren. Die Theorie von Fractals wird effektiv in den Finanzmärkten eingesetzt. Die Fractal-Geometrie wird verwendet, um leistungsstarke Antennengeräte zu erstellen.
Die Fraktaldheorie ist heute ein unabhängiges Wissenschaftsbereich, auf deren Grundlage alle neuen und neuen Richtungen in verschiedenen Bereichen erstellt werden. Die Bedeutung von Fractals widmet sich von vielen wissenschaftlichen Papieren.

Diese ungewöhnlichen Objekte sind jedoch nicht nur sehr hilfreich, sondern auch unglaublich schön. Deshalb finden Fraktale allmählich ihren Platz in der Kunst. Ihr erstaunlicher ästhetischer Reiz inspiriert viele Künstler, um fraktale Gemälde zu schaffen. Moderne Komponisten erstellen musikalische Arbeiten mit elektronischen Werkzeugen mit verschiedenen fraktalen Eigenschaften. Schriftsteller wenden eine fraktale Struktur an, um ihre literarischen Werke zu bilden, und Designer schaffen fraktale Möbel und Inneneinrichtungen.

Frackalität in der Natur.

1977 wurde das Buch von Mandelbrot "Fraktals: Formular, Unfall und Dimension" veröffentlicht, und 1982 wurde eine weitere Monographie veröffentlicht - "Fraktalgeometrie der Natur", auf deren Seiten der Autor demonstrierte visuelle Beispiele Verschiedene Fractal-Sets und LED-Beweise für das Vorhandensein von Fractals in der Natur. Die Hauptidee der Theorie von Fractal Mandelbrot, ausgedrückt in den folgenden Wörtern:

"Warum ist die Geometrie oft kalt und trocken? Einer der Gründe ist, dass es nicht in der Lage ist, die Wolken, Berge, das Holz oder die Küste nicht genau zu beschreiben. Wolken sind keine Kugeln, die Linien des Ufers sind kein Kreis und die Rinde ist nicht glatt. und Reißverschluss gilt nicht in einer geraden Linie. Die Natur zeigt uns nicht nur mehr hochgradigund ein völlig unterschiedliches Maß an Komplexität. Die Anzahl unterschiedlicher Längen in den Strukturen ist immer unendlich. Die Existenz dieser Strukturen gibt uns eine Herausforderung in Form einer schwierigen Aufgabe, diese Formen zu untersuchen, die Euclidean als formlos gesunken ist - die Aufgaben der Studie der Morphologie von Amorph. Mathematik, die jedoch durch diese Herausforderung vernachlässigt und zunehmend und mehr von der Natur bevorzugt wird, erfinden Sie theorien, die nichts entsprechen, was Sie sehen oder fühlen können. "

Viele natürliche Gegenstände besitzen die Eigenschaften des Fractal-Sets (Anhang 4).

Sind Fractals wirklich universelle Strukturen, die als Basis als Grundlage genommen wurden, um absolut alles auf dieser Welt zu schaffen? Die Form vieler natürlicher Gegenstände ist so nahe wie möglich an Fractals. Aber nicht alle bestehenden Fraktalen der Welt haben so eine korrekte und unendlich wiederholte Struktur wie die von Mathematikern erstellten Sets. Bergsteigen, Metallfehleroberflächen, turbulente Flüsse, Wolken, Schaumstoff und viele andere natürliche Fraktale werden von perfekt präziser Selbstähnlichkeit beraubt. Und es wäre absolut falsch zu glauben, dass Fractals ein universeller Schlüssel für alle Geheimnisse des Universums sind. Mit all seiner scheinbaren Komplexität sind Fraktale nur ein vereinfachtes Modell der Realität. Aber unter allen heute verfügbaren Fraktaldhorre sind das genaueste Mittel, um die umliegende Welt zu beschreiben.

Sind Fractals wirklich universelle Strukturen, die als Basis als Grundlage genommen wurden, um absolut alles auf dieser Welt zu schaffen? Die Form vieler natürlicher Gegenstände ist so nahe wie möglich an Fractals. Aber nicht alle bestehenden Fraktalen der Welt haben so eine korrekte und unendlich wiederholte Struktur wie die von Mathematikern erstellten Sets. Bergsteigen, Metallfehleroberflächen, turbulente Flüsse, Wolken, Schaumstoff und viele andere natürliche Fraktale werden von perfekt präziser Selbstähnlichkeit beraubt. Und es wäre absolut falsch zu glauben, dass Fractals ein universeller Schlüssel für alle Geheimnisse des Universums sind. Mit all seiner scheinbaren Komplexität sind Fraktale nur ein vereinfachtes Modell der Realität. Aber unter allen heute verfügbaren Fraktaldhorre sind das genaueste Mittel, um die umliegende Welt zu beschreiben.
Farben von Fractals.

Die Schönheit von Fractals fügt ihre helle und eingängige Farbe hinzu. Komplexe Farbschemata machen Fractals mit Schön und denkwürdig. Aus mathematischer Sicht sind Fraktale Schwarz-Weiß-Objekte, von denen jeder Punkt zum Set gehört, oder gehört nicht. Die Möglichkeiten moderner Computer ermöglichen es Ihnen jedoch, Fractals mit Farbe und hell zu machen. Und dies ist keine einfache Färbung der benachbarten Bereichen vieler zufälliger Reihenfolge.

Analysieren des Werts jedes Punktes ermittelt das Programm automatisch den Farbton eines oder eines anderen Fragments. Schwarz zeigt die Punkte, in denen die Funktion einen konstanten Wert anzieht. Wenn der Wert der Funktion bis unendlich neigt, ist der Punkt in einer anderen Farbe lackiert. Die Intensität der Färbung hängt von der Annäherung an die Unendlichkeit ab. Je mehr Wiederholungen erforderlich sind, um sich dem Punkt auf einen stabilen Wert zu nähern, das Feuerzeug wird zum Schatten. Und im Gegenteil - die Punkte, die schnell bis unendlich eilen, in hellen und reichen Farben lackiert.
Fazit

Zum ersten Mal hörte er Fractals, fragte die Frage, was ist das?

Zum einen ist dies eine komplexe geometrische Figur, die die Eigenschaften der Selbstähnlichkeit aufweist, dh aus mehreren Teilen, von denen jeder der gesamten Figur ähnelt.

Dieses Konzept fasziniert mit seiner Schönheit und Rätsel, manifestiert sich in den unerwarteten Gebieten: Meteorologie, Philosophie, Geographie, Biologie, Mechanik und sogar Geschichten.

Es ist fast unmöglich, den Fraktal nicht in der Natur zu sehen, da fast jedes Objekt (Wolken, Berge, Küstenlinie usw.) eine Fraktalstruktur aufweisen. Die meisten Webdesigner, Programmierer haben eine eigene Fractal-Galerie (extrem schön).

Im Wesentlichen öffnen Fractals unsere Augen und erlauben es Ihnen, die Mathematik auf der anderen Seite anzusehen. Es scheint, dass gewöhnliche Berechnungen mit herkömmlichen "trockenen" Zahlen vorgenommen werden, aber dies gibt uns auf ihre eigenen einzigartigen Ergebnisse, sodass Sie den Schöpfer der Natur fühlen können. Fraktale machen es klar, dass Mathematik auch eine Wissenschaft von schönen ist.

Seine design-Arbeit Ich wollte über ein ziemlich neues Konzept in der Mathematik "Fractal" erzählen. Was ist es, was sind die Art, in der sie sich erstrecken. Ich hoffe wirklich, dass Fractals an Ihnen interessiert sind. Nach allem, wie es sich herausstellte, sind Fraktale ziemlich interessant und sie sind fast in jedem Schritt.

Referenzliste

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  http://ru.wikipedia.org/wiki.
• 
  http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml.
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  http://fractals.narod.ru/
• 
  http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm.
• 
  Bondarenko v.a., Dolnikov v.l. Fractal-Bildkomprimierung auf Barncel-Sloan. // Automatisierung und Telemechanik. - 1994.-N5.-C.12-20.
• 
  Watoline D. Die Verwendung von Fraktalen in Maschinengraphen. // Computerworld-Russland.-1995.-N15.-C.11.
• 
  Feder E. Fractals. Pro. Von Englisch: MIR, 1991.-254C. (Jens Feder, Plenum Press, Newyork, 1988)
• 
  Anwendung von Fractals und Chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Anhang 1

Anlage 2.

Anhang 3.

Anhang 4.

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Jugend der Republik der Krim

Municipal Budgeting Educational Institution "Shop Pädagogische Komplex" Stadtpädagogische Bildung Krasnoperekopsky-Bezirk der Republik Krim

Richtung: Mathematik.

Studium der Funktionen von Fractal-Modellen

Für den praktischen Antrag

Ich habe die Arbeit getan:

student der Grade 8 des städtischen Haushalts-Allgemeinbildungsinstituts "Shop Educational Complex" Stadtpädagogik Krasnoperekopsky-Bezirk der Republik der Krim

Wissenschaftlicher Leiter:

mathematiklehrer der städtischen Budget-Bildungseinrichtung "Shop Educational Complex" der kommunalen Ausbildung Krasnoperekopsky-Bezirk der Republik Krim

Krasnoperekopsky district - 2016

Die Wissenschaft wurde von vielen genialen Entdeckungen und Erfindungen gemacht, wobei das Leben der Menschheit gründlich veränderte: Elektrizität, Atomenergie, Impfstoff und vieles mehr. Es gibt jedoch solche Entdeckungen, die wenig Werte geben, aber auch in der Lage sind, unser Leben zu beeinflussen und auszuwirken. Eine dieser Entdeckungen sind Fraktale, die dazu beitragen, einen Zusammenhang zwischen Ereignissen auch in Chaos herzustellen.

Amerikanischer Mathematiker Benoit Mandelbrot in seinem Buch "Fraktalgeometrie der Natur" wrote: "Warum nennt man die Geometrie, die oft kalt und trocken ist? Einer der Gründe ist, dass es nicht in der Lage ist, die Form der Wolke, der Berge, des Holzs oder der Seeufer nicht genau zu beschreiben. Die Wolken sind keine Kugeln, die Eisenbahnlinien sind kein Kreis, und die Rinde ist nicht glatt, aber der Blitz gilt nicht in einer geraden Linie. Die Natur zeigt uns nicht nur einen höheren Grad, sondern ein völlig anderes Maß an Komplexität. Die Anzahl unterschiedlicher Längen in den Strukturen ist immer unendlich. Die Existenz dieser Strukturen gibt uns eine Herausforderung in Form einer schwierigen Aufgabe, diese Formen zu untersuchen, die Euclidean als formlos gesunken ist - die Aufgaben der Studie der Morphologie von Amorph. Mathematik, jedoch von dieser Herausforderung vernachlässigt und wählt immer mehr und mehr von der Natur aus, und erfindenet Theorien, die nichts entsprechen, was Sie sehen oder fühlen können. "

Hypothese:das alles, was in der Welt um uns herum existiert, ist ein Fraktal.

Zweck der Arbeit:erstellen von Objekten, deren Bilder natürlich ähnlich sind.

Studienobjekt:fraktale in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und in der realen Welt.

Gegenstand der Studie:fraktale Geometrie.

Forschungsaufgaben:

1. Bekanntschaft mit dem Konzept von Fractal, Geschichte des Vorkommens und der Forschung von B. Mandelbrot, Koch, V. Serpinsky et al.;

3. Bestätigung der Theorie der Frackalität der umliegenden Welt.

4. Untersuchung der Verwendung von Fractals in anderen Wissenschaften und in der Praxis;

5. Führen Sie ein Experiment durch, um eigene Fraktalbilder zu erstellen.

Forschungsmethoden:analytisch, Suche, experimentell.

Die Geschichte des Erscheinungsbildes des Konzepts von "Fractal"

Die Fraktalgeometrie, als neue Richtung der Mathematik, erschien 1975. Das Konzept von "Fractal" führte zuerst in den mathematischen American Scientist Benoit Mandelbrot. Fraktal (aus dem Englischen. "Fraktion") - ein Bruchteil, der in Teile unterteilt ist. Die Definition des von Mandelbrom gegebenen Fraktals klingt nach diesem: "Fraktal heißt als Struktur, die aus Teilen besteht, die in einiger Sinne wie ein Ganzes sind".

Das Arbeiten im IBM-Forschungszentrum, dessen Mitarbeiter an der Transfer von Daten in die Ferne, der komplexen und sehr wichtigen Task tätig waren, konfrontierte Benouua, um zu verstehen, wie das Auftreten von Geräuschstörungen in elektronischen Schaltungen vorhersagst. Mandelbrot hat auf ein seltsames Muster aufmerksam gemacht - Geräuschkarten auf einer anderen Skala sah gleichermaßen aus. Das gleiche Bild wurde beobachtet, unabhängig davon, ob es an einem Tag eine Woche oder eine Stunde ein Geräuschdiagramm war. Es lohnte sich, den Maßstab des Diagramms zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt. Denken Sie in die Bedeutung von seltsamen Mustern, das Wesen von Fractals kam nach Benua.

Die ersten Ideen der fraktalen Geometrie entstand jedoch im 19. Jahrhundert.

So ist der Georg-Kantor (Cantor, 1845-1918) ein deutscher Mathematiker, Logik, ein Theologe, der Schöpfer der Theorie der unendlichen Sets, mit Hilfe eines einfachen Wiederholungsverfahrens die Linie in einen Satz von nicht verwandten Punkten. Er nahm die Linie und entfernte den zentralen Dritten, und wiederholte er dasselbe mit den verbleibenden Segmenten. Was passiert ist, genannt den Staub des Kantors (Abbildung 1).

Und der italienische Mathematiker Juseppe Peano (Giuseppe Peano; 1858-1932) nahm die Linie und ersetzte es durch dreimal lange dreimal lange Segmente als die Länge der ursprünglichen Linie. Als nächstes tat er das gleiche mit jedem Segment. Und so auf unbestimmte Zeit. Später wurde ähnlicher Konstruktion durchgeführt dreidimensionaler Raum (Figur 2).

Eine der ersten Fraktalzeichnungen war eine grafische Interpretation eines Satzes von Mandelkroke, der dank der Erforschung von Gaston Maurice Julia geboren wurde (Abbildung 3).

Alle Fraktale können in Gruppen unterteilt werden, aber die größten sind:

Geometrische Fraktale;

Algebraische Fraktale;

Stochastische Fraktale.

Geometrische Fraktale

Geometrische Fraktale sind am besten visuell und sie werden durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Nehmen Sie gebrochen (oder Oberfläche in einem dreidimensionalen Fall), der Generator genannt wird. Dann wird jedes der mit den gebrochenen Segmente durch einen gebrochenen Generator in angemessener Waage ersetzt. Infolge einer unendlichen Wiederholung dieses Verfahrens wird ein geometrisches Fraktal erhalten. Beispiele für geometrische Fraktale können sein:

1) Koch-Kurve. Zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts, mit der schnellen Entwicklung der Quantenmechanik vor Wissenschaftlern, der Aufgabe, eine solche Kurve zu finden, die die Bewegung von braunen Partikeln am besten zeigt. Dafür hätte die Kurve die folgende Eigenschaft hatten: An keinem Punkt haben Sie keinen Tangential. Mathematik KOH schlug eine solche Kurve vor, ein einzelnes Segment zu nehmen, wir teilen in drei gleiche Teile auf und ersetzen das durchschnittliche Intervall mit einem gleichseitigen Dreieck ohne dieses Segment. Infolgedessen wird eine gebrochene Form gebildet, bestehend aus vier Linien von 1/3. Im nächsten Schritt wiederholen wir den Betrieb für jeden der vier der folgenden Verbindungen usw.

Begrenzungskurve und es gibt eine Koch-Kurve (Abbildung 4) . Nachdem Sie eine ähnliche Umwandlung an den Seiten des quilateralen Dreiecks durchführen, können Sie ein fraktales Bild von Koche-Schneeflocken erhalten.

2) Levi-Kurve . Die Hälfte des Platzes wird genommen und jede Seite wird durch das gleiche Fragment ersetzt. Die Operation wird oft wiederholt und letztendlich erstellt es die Levionskurve (Abbildung 5).

3) Minkowski-Kurve. Die Stiftung ist ein Segment, und der Generator ist aus acht Verbindungen ausgebrochen (zwei gleiche Verbindungen) (Abbildung 6).

4) Peno-Kurve (Abbildung 2).

5) Drachenkurve (Abbildung 7).

6) Pythagore-Baum. Auf einer Figur gebaut, die als "Pythagora-Hose" bekannt ist, wo an den Seiten rechteckiges Dreieck. Es gibt Quadrate. Zum ersten Mal baut Pythagore-Baum mit einer herkömmlichen Zeichnungsleitung (Abbildung 8) auf.

7) Serpinskys Quadrat. Bekannt als "Gitter" oder "Serviette" von Serpinsky (Abbildung 9). Das Quadrat ist auf 9 gleiche Quadrate, parallel zu den Parteien, geteilt. Aus dem Platz entfernten das zentrale Platz. Ein Satz bestehend aus 8 verbleibenden Quadraten "Erster Rang" wird erhalten. Wenn wir mit jedem der ersten Rangplätze dasselbe tun, erhalten wir ein Set, das aus 64 Quadraten des zweiten Ranges besteht. Wenn wir diesen Prozess fortlaufend fortsetzen, erhalten wir eine unendliche Sequenz oder ein Quadrat von Serpinsky.

Algebraische Fraktale.

Fraktale, basierend auf algebraischen Formeln, gehören zu algebraischen Fraktalen. Dies ist die größte Gruppe von Fractals. Dazu gehören das Fraktal des Mandelbrots (Abbildung 3) , newton Fractal (Abbildung 10), viele Julia (Abbildung 11) und viele andere.

Einige algebraische Fraktale ähneln auffallend Bilder von Tieren, Anlagen und anderen biologischen Objekten, wodurch die Biomorphen aufgerufen wurden.

Stochastische Fraktale

Stochastische Fraktale sind eine weitere große Vielfalt von Fraktalen, die durch wiederholte Wiederholungen zufälliger Änderungen an beliebigen Parametern gebildet werden. Gleichzeitig werden Objekte sehr ähnlich wie natürliche asymmetrische Bäume, robuste Küstenlinien usw. erhalten.

Wenn Sie also ein Rechteck nehmen und jede Ecke ermitteln können. Dann nehmen Sie es einen zentralen Punkt und malen Sie es in Farbe, die den durchschnittlichen arithmetischen Farben an den Ecken des Rechtecks \u200b\u200bplus einer Zufallszahl entspricht. Je mehr Zufallszahl - desto mehr "Torn" wird eine Zeichnung sein. Somit ist es fraktales "Plasma" (Abbildung 12). Und wenn wir davon ausgehen, dass die Farbe des Punktes eine Höhe über dem Meeresspiegel ist - wir kommen anstelle von Plasma - ein Gebirgszug. Auf diesem Grundsatz werden Berge in den meisten Programmen simuliert. Mit Hilfe des Algorithmus ist eine Karte der Höhe gebaut, verschiedene Filter werden darauf angewendet, die Textur- und photorealistischen Berge sind überlagert.

Anwendungsfraktale

Fraktale Malerei.Beliebt bei digitalen Künstlern die Richtung der modernen Kunst. Fraktale Muster sind ungewöhnlich und faszinierend wirken auf eine Person, die helle brennende Bilder gebären. Fabelhafte Abstraktionen werden durch langweilige mathematische Formeln erzeugt, aber die Fantasie nimmt sie lebend (Abbildung 13). Jeder kann mit fraktalen Programmen trainieren und ihre Fraktale generieren. Originalkunst ist in der Fähigkeit, eine einzigartige Kombination aus Farbe und Form zu finden.

Fraktale in der Literatur. Zu den literarischen Werken befinden sich, die fraktale Natur besitzen, d. H. Durch die Struktur der Selbstähnlichkeit:

1. "Hier ist das Haus.

Welche Buchse gebaut.

Aber Weizen.

Welche Buchse gebaut

Aber der Messenger Bird-Tit,

Welche dünn weizen stiehlt,

Das ist in der dunklen chulana lagern

Welche Jack ... ".

Samuel Marshak.

2. Flöhe Big beißen Flow

Floh Tech - Baby-Krümel,

Wie sie sagen, ad Infinitum.

Jonathan Swift

Fraktale in der Medizin.Der menschliche Körper besteht aus einer Vielzahl von fraktalartigen Strukturen: Blut, lymphotische und nervöse Systeme, Muskeln, Bronchi usw. (Abbildung 14, 15).

Fractals in Physik und Mechanik.Fraktale Modelle natürlicher Objekte ermöglichen es Ihnen, verschiedene physische Phänomene zu simulieren und Prognosen zu erstellen.

American Engineer Nathan Cohen, der in der Mitte von Boston lebte, wo die Installation von externen Antennen verboten war, schnitt eine Figur in Form einer Kochkurve aus einer Aluminiumfolie aus, steckte es auf einem Blatt Papier und befestigte ihn an dem Empfänger . Es stellte sich heraus, dass eine solche Antenne nicht schlechter als üblich funktioniert. Und obwohl die physischen Prinzipien einer solchen Antenne noch nicht studiert wurden, verhindern Sie nicht, dass Cohen sein eigenes Unternehmen rechtfertigt und ihre serielle Freigabe eingerichtet hat. IM dieser Moment Das amerikanische Firma "Fractal-Antennensystem" erzeugt die Fractal-Antenne für Mobiltelefone.

Fractals in der Natur.Die Natur schafft oft erstaunliche und ausgezeichnete Fraktale mit perfekter Geometrie und einer solchen Harmonie, die einfach an Bewunderung sterben. Und hier sind ihre Beispiele:

- Muscheln;

Die Unterarten von Blumenkohl (BRASSICA CAULIFLORA), FERN;

Pfau-Gefieder;

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Baum von dem Blatt bis zur Wurzel.

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Fraktale sind überall und überall in der Natur um uns herum. Das gesamte Universum wird durch überraschend harmonische Gesetze mit mathematischer Genauigkeit errichtet. Ist es möglich, danach zu denken, dass unser Planet ein zufälliger Griff der Partikel ist?

Praktische Arbeit

Fraktalbaum.Mit der Hilfe der Symbolleiste "Zeichnen" des Microsoft Word-Programms und inakzeptable Umrechnungen der Gruppierung, Kopiere und Einfügung errichtete ich meinen Fraktalbaum. Fünf Segmente auf einem bestimmten Weg wurden zu dem Zähler meines Fraktals.
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Abbildung 8. Pythagore-Baum

Abbildung 9. Serpinsky-Quadrat

Abbildung 10. Newton Fractal

Abbildung 11. Viele Julia

Abbildung 12. Fractal "Plasma"

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Abbildung 14. Menschliches Blutsystem

Abbildung 15. Cluster von Nervenzellen

Fraktale sind bereits seit fast einem Jahrhundert bekannt, gut studiert und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Die Basis dieses Phänomens ist jedoch eine sehr einfache Idee: Unendliche Schönheit und Vielfalt vieler Figuren können von relativ einfachen Konstruktionen mit nur zwei Operationen erhalten werden - Kopieren und Skalieren.

Evgeny epifanov.

Was ist üblich mit dem Baum, dem Ufer des Meeres, Wolken oder Blutgefäßen in der Hand? Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass all diese Objekte nicht vereint sind. In der Tat gibt es jedoch eine Eigenschaft der Struktur, die allen aufgelisteten Fächern inhärent ist: Sie sind selbstartig. Aus dem Ast, wie aus dem Kofferraum eines Baumes, ist die Progestion kleiner, von ihnen sind noch kleiner usw., das heißt, der Zweig ist dem ganzen Baum ähnlich. Das Blutsystem ist auf dieselbe Weise ähnlich: Arteriolen werden von den Arterien abgereist, und sie sind die kleinsten Kapillaren, nach denen Sauerstoff in die Organe und Gewebe tritt. Schauen wir uns die Raumschüsse der Meeresküste an: Wir sehen die Buchten und Halbinsel; Schauen Sie sich einen Blick auf ihn an, aber aus einer Vogelperspektive: Wir sind sichtbare Buchten und Umhänge; Stellen Sie sich vor, wir stellen uns auf den Strand und schauen Sie sich Ihre Füße an: Es wird immer Kieselsteine \u200b\u200bgeben, die weiter ausgebildet sind als der Rest. Das heißt, die Küste mit einer Erhöhung der Waage bleibt ähnlich. Diese Eigenschaft der Objekte ist Amerikaner (obwohl in Frankreich abgeben) Mathematik Benoit Mandelbrot namens Fractalität, und solche Objekte selbst - Fractals (aus lateinischer Fraktus - gebrochen).

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort "fraktal" kein mathematischer Begriff. Typischerweise wird das Fraktal als geometrische Form bezeichnet, das eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt: hat komplexe Struktur Mit jeder Erhöhung der Skala (im Gegensatz dazu, beispielsweise eine gerade Linie, davon ein Teil davon ist das einfachste geometrische Figur - Segment). Ist (ungefähr) selbstähnlich. Es verfügt über eine fraktionierte Hausdorf (Fraktale) Dimension, die topologischer ist. Kann durch rekursive Verfahren gebaut werden.

Geometrie und Algebra.

Die Untersuchung von Fractals an der Wende des XIX- und XX-Jahrhunderts war eher ein Episodik, sondern eher als systematischer Charakter, da zuvor Mathematik hauptsächlich "gute" Objekte untersucht wurden, die von der Erforschung mit allgemeinen Methoden und Theorien geführt wurden. Im Jahr 1872 baut der deutsche Mathematiker Karl Weisiershtrass ein Beispiel für eine kontinuierliche Funktion, die überall nicht differenziert wird. Die Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer wahrzunehmen. Im Jahr 1904 kam der Swede Helge von Koh eine kontinuierliche Kurve auf, die nirgendwo keine Tangente hat, und es ist ziemlich einfach, es zu zeichnen. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften von Fractal besitzt. Eine der Optionen für diese Kurve ist der Name "Schneeflocke Koch".

Die Ideen der Selbstähnlichkeit der Figuren nahm den Franzosen Paul Pierre Levi, dem zukünftigen Mentor Benoian Mandelbrot, ab. 1938 kamen sein Gegenstand "flache und räumliche Kurven und Oberflächen aus Teilen wie ein Ganzes" heraus, in dem ein anderer Fraktal beschrieben wird - die C-Kurve von Levi. Alle diese der obigen Fraktale können bedingt auf eine Klasse von strukturellen (geometrischen) Fraktalen zurückgeführt werden.

Eine andere Klasse ist dynamische (algebraische) Fraktale, auf die der Satz von Mandelkroke ist. Die ersten Studien in dieser Richtung begannen zu Beginn des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker von Gaston Zhulia und Pierre Fata verbunden. Im Jahr 1918 kam fast zweihundert-hundert-Status-Memoirs Juulia aus, widmeten sich den Iterationen komplexer rationaler Funktionen, die die Sätze von Julia beschreiben - eine ganze Familie von Fractals, die eng mit einer Vielzahl von Mandelbrot verbunden ist. Diese Arbeit wurde Preis ausgezeichnet Französische Akademie.Es enthielt jedoch keine Darstellung, daher war es unmöglich, die Schönheit offener Gegenstände zu bewerten. Trotz der Tatsache, dass diese Arbeit Zhulia unter den Mathematikern dieser Zeit verherrlicht hat, hatten sie sie ziemlich schnell von ihr vergessen. Die Aufmerksamkeit auf sie legte erneut nur ein halbes Jahrhundert später mit dem Aufkommen von Computern an: Es waren sie, die sichtbar Reichtum und Schönheit der Welt von Fractals machten.

Fraktaledimension.

Wie bekannt ist, ist die Abmessung (Anzahl der Messungen) der geometrischen Form die Anzahl der Koordinaten, die erforderlich sind, um die Position des auf dieser Figur liegenden Punkts zu bestimmen.
Beispielsweise wird die Position des Punkts auf der Kurve durch eine Koordinate, auf der Oberfläche (nicht notwendigerweise Ebene) mit zwei Koordinaten, in dreidimensionaler Raum mit drei Koordinaten bestimmt.
Mit einer allgemeineren mathematischen Sicht ist es möglich, die Dimension auf diese Weise zu bestimmen: eine Erhöhung der linearen Abmessungen, sagen wir, zweimal, für eindimensionales (aus topologischer Sicht) von Objekten (Segment) zu Eine Zunahme der Größe (Länge) zweimal, für zweidimensionale (quadratische) die gleiche Erhöhung der linearen Abmessungen führt zu einer Zunahme der Größe (Bereich) 4-mal für dreidimensionale (kubische) - 8-mal. Das heißt, die "echte" (sogenannte Hausdorfov) -Bemaßung kann in Form der Beziehung des Logarithmus-Anstiegs in der "Größe" des Objekts an den Logarithmus berechnet werden, um eine Erhöhung seiner linearen Größe zu erhöhen. Das heißt, für das Segment d \u003d log (2) / log (2) \u003d 1 für die Ebene d \u003d log (4) / log (2) \u003d 2, für das Volume d \u003d log (8) / log (2 ) \u003d 3.
Wir berechnen nun die Abmessung der Koch-Kurve, um zu konstruieren, worauf ein einzelnes Segment in drei gleiche Teile unterteilt ist und das durchschnittliche Intervall mit einem gleichseitigen Dreieck ohne dieses Segment ersetzt. Mit einer Erhöhung der linearen Abmessungen des minimalen Segments steigt dreimal die Länge der Kochkurve in log (4) / log (3) ~ 1.26. Das heißt, die Dimension der Kochkurve - fraktional!

Wissenschaft und Kunst

1982 wurde das Buch der Mandelbrot "Fractal Geometrie der Natur" veröffentlicht, in dem der Autor fast alle Informationen auf Fractals sammelte und systematisierte und auf eine einfache und zugängliche Weise damals umrissen wurde. Die Schwerpunkte der Präsentation von Mandelbrot tat nicht auf schwere Formeln und mathematische Strukturen, sondern auf der geometrischen Intuition von Lesern. Dank der mit einem Computer ermittelten Abbildungen und den historischen Fahrrädern, die der Autor den wissenschaftlichen Bestandteil der Monographie verdünnt hat, wurde das Buch zu einem Bestseller, und Fractals wurden dem Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg unter Nichtmatik ist weitgehend darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe von sehr einfachen Designs und -formeln, die den Highschool-Studenten verstehen können, die erstaunliche Komplexität und Schönheit des Bildes erhalten werden. Wenn personenbezogene Computer kraftvoll genug geworden sind, erschien selbst eine ganze Reihe in der Kunst - Fractal Malerei, und fast jeder Besitzer des Computers könnte dies tun. Im Internet können Sie jetzt viele Websites für dieses Thema finden.

Das Schema zum Erhalten einer Kochkurve

Krieg und Frieden

Wie oben erwähnt, ist eine der natürlichen Objekte mit fraktalen Eigenschaften die Küste. Mit ihm oder vielmehr, mit einem Versuch, seine Länge zu messen, verbunden ist interessante Geschichtedas fiel zurück wissenschaftlicher Artikel Mandelbrot, und auch in seinem Buch "Fraktalgeometrie der Natur" beschrieben. Wir sprechen über das Experiment, das Lewis Richardson - einen sehr talentierten und exzentrischen Mathematik, Physiker und Meteorologen setzt. Eine der Anweisungen seiner Forschung war ein Versuch, eine mathematische Beschreibung der Gründe und die Wahrscheinlichkeit eines bewaffneten Konflikts zwischen den beiden Ländern zu finden. Zu den von ihm berücksichtigten Parametern war die Länge der Gesamtgrenze von zwei kriegerischen Ländern. Wenn er Daten für numerische Experimente gesammelt hat, stellte er fest, dass in verschiedenen Quellen-Daten an der Gesamtgrenze von Spanien und Portugal sehr unterschiedlich sind. Es kam auf der nächsten Entdeckung darauf hin: Die Länge der Grenzen des Landes hängt vom Herrscher ab, das wir sie messen. Je kleiner der Maßstab, desto länger wird der Rand erhalten. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass es mit einem größeren Anstieg möglich ist, alle neuen und neuen Biegungen der Küste zu berücksichtigen, die aufgrund der Unhöflichkeit der Messungen zuvor ignoriert wurden. Und wenn mit jeder Erhöhung der zuvor nicht berücksichtigten Skala geöffnet werden, stellt sich heraus, dass die Länge der Grenzen des Endlosen! Tatsächlich passiert dies nicht - die Genauigkeit unserer Messungen hat eine Endgrenze. Dieses Paradoxin heißt Richardsons Wirkung.

Strukturelle (geometrische) Fraktale

Der Algorithmus zum Aufbau eines konstruktiven Fraktals im allgemeinen Fall. Zunächst benötigen wir zwei geeignete geometrische Formen, nennen wir sie die Basis und Fragment. In der ersten Stufe ist die Basis des zukünftigen Fraktals dargestellt. Dann werden einige seiner Teile durch ein auf einem geeignetes Maßstab aufgenommenes Fragment ersetzt - dies ist die erste Iteration der Konstruktion. Dann wechseln die resultierende Figur wieder einige Teile, die sich in den Figuren ähnlich dem Fragment usw. ändern usw., wenn Sie diesen Prozess in unendlich fortsetzen, dann ist die Grenze fraktal.

Betrachten Sie diesen Vorgang im Beispiel der Koch-Kurve (siehe Einfügen auf der vorherigen Seite). Als Grundlage der Koch-Kurve können Sie eine Kurve annehmen (für die "Koch-Schneeflocken" ist ein Dreieck). Wir beschränken uns jedoch auf den einfachsten Fall - Segment. Fragment - der gebrochene, der auf dem Bild auf dem Bild dargestellt ist. Nach der ersten Iteration des Algorithmus fällt in diesem Fall das anfängliche Segment mit dem Fragment zusammen, dann wird jede der Komponenten seiner Segmente selbst durch ein zerbrochenes, ähnliches dem Fragment usw. ersetzt, usw. Die Figur zeigt die ersten vier Schritte dieses Prozesses.

Mathematiksprache: dynamische (algebraische) Fractals

Fraktale dieses Typs entstehen in der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme (daher und Name). Das Verhalten eines solchen Systems kann durch eine komplexe nichtlineare Funktion (Polynom) f (z) beschrieben werden. Nehmen Sie eine Art Startpunkt Z0 auf der komplexen Ebene (siehe den Einsatz). Betrachten Sie nun eine solche unendliche Reihenfolge von Zahlen auf der komplexen Ebene, von denen jeder von der vorherigen erhalten wird: Z0, Z1 \u003d F (Z0), ZN + 1 \u003d F (Zn) . Je nach Ausgangspunkt Z0 kann sich diese Reihenfolge auf verschiedene Arten verhalten: um Unendlichkeit bei n -\u003e ∞ zu streben; zu einem Endpunkt konvergieren; zyklisch eine Reihe von festen Werten annehmen; Komplexere Optionen sind möglich.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zweiteilen gültigen und imaginären Teilen besteht, dh der formale Summe X + IY (x und y hier sind echte Zahlen). Ich bin der sogenannte. Imaginäre Einheit, das heißt, die Zahl, die die Gleichung erfüllt ich ^.2 \u003d -1. Über komplexe Zahlen, grundlegende mathematische Operationen sind definiert - Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion (nur der Vergleichsvorgang ist nicht definiert). Es wird häufig eine geometrische Darstellung verwendet, um komplexe Zahlen anzuzeigen - in der Ebene (er heißt komplex) entlang der Abszisse-Achse wird das eigentliche Teil schrumpfen, und entlang der Achse der Ordinate - imaginären, mit der komplexen Zahl entspricht es dem Punkt mit den kartesischen Koordinaten X und Y.

Somit hat jeder Punkt Z der Komplexebene einen eigenen Verhaltenszeichen in den Iterationen der Funktion f (z), und die gesamte Ebene ist in Teile unterteilt. Gleichzeitig besitzen die Punkte, die an den Grenzen dieser Teile liegen, eine solche Eigenschaft: mit einer willkürlich niedrigen Verschiebung ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch (solche Punkte werden als Bifurkation-Punkte genannt). Daher stellt sich heraus, dass viele Punkte mit einem bestimmten Arten von Verhalten sowie viele Gabelungspunkte oft fraktale Eigenschaften aufweisen. Dies ist die Sätze von Zhulia für die Funktion f (z).

Drachenfamilie.

Aufgrund der Basis und des Fragments können Sie eine atemberaubende Auswahl an strukturellen Fraktalen erhalten.
Darüber hinaus können solche Operationen in einem dreidimensionalen Raum durchgeführt werden. Beispiele für volumetrische Fraktale können als "Menger", "Pyramide von Serpinsky" und anderen dienen.
Die strukturellen Fraktale umfassen die Drachenfamilie. Manchmal werden sie mit dem Namen der Discovers der "Drachen des Haywea-Harters" genannt (sie ähneln chinesischen Drachen). Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Kurve aufzubauen. Der einfachste und visuelles visuelle von ihnen ist: Sie müssen einen ziemlich langen Papierstreifen (das dünnere Papier, desto besser) einnehmen, und biegen Sie es in der Hälfte. Dann biegen Sie es wieder zweimal in der gleichen Richtung wie das erste Mal. Nach mehreren Wiederholungen (in der Regel nach fünf oder sechs wird der Faltband zu dick, so dass es sorgfältig gebogen wird) Sie müssen den Streifen zurück brechen und versuchen, in den Abschnitten der Falten 90˚ an Ort und Stelle zu sein. Dann stellt das Profil die Drachenkurve heraus. Natürlich nähert sich es nur, wie alle unsere Versuche, Fractal-Objekte darzustellen. Mit dem Computer können Sie viel mehr Schritte dieses Prozesses darstellen, und dadurch wird eine sehr schöne Figur herausgestellt.

Mandelbrot viele sind etwas anders. Betrachten Sie die Funktion FC (Z) \u003d Z 2 + C, wobei C eine komplexe Zahl ist. Wir erstellen die Reihenfolge dieser Funktion mit Z0 \u003d 0, abhängig vom Parameter, mit dem sie bis unendlich dispergiert oder begrenzt bleibt. In diesem Fall bilden alle Werte mit, in denen diese Sequenz begrenzt ist, nur einen Satz von Mandelbrot. Es wurde ausführlich von Mandelbrom und anderen Mathematikern untersucht, die viele interessante Eigenschaften dieses Sets eröffnete.

Es ist ersichtlich, dass die Definitionen der Sätze von Julia und Mandelbrot einander ähnlich sind. Tatsächlich sind diese beiden Sätze eng miteinander verbunden. Der Satz von Mandelbrot ist nämlich alle Werte des komplexen Parameters C, in dem der Satz von JULIA FC (Z) verbunden ist (ein Set wird als angeschlossen angerufen, wenn er nicht in zwei Nicht-Zyklus-Teilen aufgeteilt werden kann, mit einigen zusätzlichen Bedingungen).

Fraktale und Leben

Heutzutage wird die Fraktaldheorie in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit weit verbreitet. Neben der rein wissenschaftlichen Anlage für Forschung und bereits erwähnte Fraktalgemälde werden Fraktale in der Informationstheorie für die Komprimierung von Grafikdaten eingesetzt (hier wird hier die fraktale Selbstähnlichkeitseigenschaft hier verwendet - doch ein kleines Fragment der Zeichnung und Transformationen, mit denen andere Teile erhalten werden können, viel weniger Speicher, als die gesamte Datei zu speichern). Das Hinzufügen zu den Formeln, die ein fraktale, zufällige Störungen angeben, können durch stochastische Fraktale erhalten werden, die sehr plausibel sind, um einige echte Objekte zu übertragen - Elemente der Entlastung, der Oberfläche der Reservoirs, einigen Anlagen, die erfolgreich in Physik, Geographie und Computer gilt Diagramme, um größere Ähnlichkeiten von simulierten Gegenständen mit Real zu erreichen. In der Radioelektronik begannen die Antennen, mit einer fraktalen Form an Antennen in den letzten zehn Jahren zu produzieren. Sie bieten einen kleinen Raum, bieten einen recht hochwertigen Signalempfang. Ökonomen verwenden Fractals, um Kurvenkurvenkurvenwährung zu beschreiben (diese Eigenschaft wurde von Mandelbrotom mehr als 30 Jahren eröffnet). Darauf werden wir diesen kleinen Ausflug in die erstaunliche Schönheit und Vielfalt der Welt von Fractals absolvieren.

Fractals in der Welt um uns herum.

Durchgeführt: Student der 9. Klasse

MBOU KIROVSKAYA SOSH.

Lithuanko Ekaterina Nikolaevna.
Führer: Mathematik-Lehrer

MBOU KIROVSKAYA SOSH.

Kacoon Natalia Nikolaevna.

Einführung ................................................. ....................... 3.

Studienobjekt.

Forschungsobjekte.

Hypothesen.

Ziele, Ziele und Forschungsmethoden.

Forschungsteil. ................................................. 7.

Eine Verbindung zwischen Fractals und einem Dreieck von Pascal finden.

Finden der Verbindung zwischen Fractals und einem goldenen Abschnitt.

Eine Verbindung zwischen Fraktalen und dachte Zahlen finden.

Kommunikation zwischen Fractals und literarische Werke.

3. Praktische Anwendung von Fractals ...................................... 13

4. Fazit ............................................... ................... .. fünfzehn

4.1 Forschungsergebnisse.

5. Bibliographie ............................................... .............................. .. 16.

Einführung

Forschungsobjekt: Fraktale .

Wenn die meisten Menschen schienen, als die Geometrie in der Natur auf solche einfachen Figuren als Linie, einem Kreis, einem konischen Abschnitt, einem Polygon, einer Kugel, einer quadratischen Oberfläche, ist, ist ein Polygon, eine Kugel, eine quadratische Oberfläche sowie ihre Kombinationen beschränkt. Was könnte zum Beispiel schöner sein als die Behauptung, dass die Planeten in unserem Sonnensystem auf elliptischen Umlaufbahnen um die Sonne bewegen?

Viele natürliche Systeme sind jedoch so komplex und unregelmäßig, dass die Verwendung von nur bekannten Objekten der klassischen Geometrie für ihre Modellierung hoffnungslos erscheint. Wie beispielsweise bauen Sie ein Modell eines Gebirgsbereichs oder einer Baumkrone in den Geometriebedingungen ein? Wie beschreiben Sie die Vielfalt der biologischen Konfigurationen, die wir die Welt von Pflanzen und Tieren beobachten? Stellen Sie sich die Komplexität des Kreislaufsystems vor, das aus einer Vielzahl von Kapillaren und Blutgefäßen und Blut, das an jede Zelle des menschlichen Körpers liefert, besteht. Stellen Sie sich vor, wie hitrophisch Licht und Nieren angeordnet ist, und erinnern Sie mit Bäumen mit einer verzweigten Krone.

Die Dynamik echter natürlicher Systeme kann so komplex und unregelmäßig sein. Wie kann man sich an die Modellierung von Wasserfällen von Kaskaden oder turbulenten Prozessen nähern, die das Wetter bestimmen?

Fraktale und mathematisches Chaos sind geeignete Instrumente für die Untersuchung von Problemen. Begriff fraktalbezieht sich auf eine statische geometrische Konfiguration, z. B. ein sofortiges Bild eines Wasserfalls. Chaos - Die Begriffsdynamik, die verwendet wurde, um Phänomene zu beschreiben, die dem turbulenten Wetterverhalten ähnlich sind. Worauf wir uns in der Natur beobachten, fasziniert uns die unendliche Wiederholung desselben Musters, der sich vergrößert oder verringert, wie viel Zeit. Zum Beispiel hat der Baum Zweige. Auf diesen Zweigen gibt es kleinere Zweige usw. Theoretisch wiederholt das Element "Verzweigung" unendlich viele Male, der immer weniger wird. Dasselbe ist zu sehen, Blick auf das Foto der Bergl Relief. Versuchen Sie ein wenig näherer Bild eines Bergrückens - Sie werden die Berge wieder sehen. Die Eigenschaft, die Charakteristik von Fractals, manifestiert sich also selbst ähnlich.

In vielen Werken auf Fraktalen wird die Selbstähnlichkeit als definierende Eigenschaft verwendet. Nach BenoIT Madelbrot akzeptieren wir den Standpunkt, nach dem Fraktale in Bezug auf die Fraktale (fraktale) Dimension bestimmt werden sollten. Daher der Ursprung des Wortes fraktal (von Lat. fraktus. - fraktioniert).

Das Begriff der fraktionalen Dimension ist ein komplexes Konzept, das in mehreren Bühnen aufgestellt ist. Direct ist ein eindimensionales Objekt, und das Flugzeug ist zweidimensional. Wenn es ziemlich lenken, direkt und Flugzeug, können Sie die Dimension der resultierenden Konfiguration verbessern. Gleichzeitig wird die neue Dimension in der Regel in einem Sinne fraktioniert, was wir klären müssen. Die Kombination aus fraktionaler Dimension und Selbstähnlichkeit ist, dass mit Hilfe der Selbstähnlichkeit viele fraktionale Abmessungen auf einfache Weise aufgebaut werden können. Selbst bei wesentlich komplexeren Fraktalen, wie beispielsweise der Grenze eines Satzes von Mandelbronen, wenn es keine reine Selbstähnlichkeit gibt, gibt es fast eine vollständige Wiederholung der Basisform in einer zunehmend reduzierten Form.

Das Wort "fraktal" ist kein mathematischer Begriff und hat keine allgemein akzeptierte strikte mathematische Definition. Es kann verwendet werden, wenn die betrachtete Zahl einige der unten aufgeführten Eigenschaften enthält:

Theoretische Multidimensionalität (kann in einer beliebigen Anzahl von Messungen fortgesetzt werden).

Wenn Sie ein kleines Fragment einer regelmäßigen Figur in sehr großem Maßstab betrachten, ist es einem geraden Fragment ähnlich. Das Fraktalfragment in großem Umfang ist derselbe wie in jeder anderen Skala. Für Fractal führt eine Erhöhung der Skala nicht zu einer Vereinfachung der Struktur, auf allen Waagen werden wir das gleiche komplexe Bild sehen.

Ist selbstartig oder annähernd selbstähnlich, jedes Level ist einem Ganzen ähnlich

Länge, Quadrate und Volumina eines Fraktals sind Null, andere - Kontakt unendlich.

Es hat eine fraktionale Dimension.

Arten von Fraktalen: algebraisch, geometrisch, stochastisch.

Algebraic. Fraktale sind die größte Gruppe von Fractals. Sie erhalten sie mit nichtlinearen Prozessen in n-dimensionalen Räumen wie Mandelbrot und Julia.

Zweite fraktale Gruppe - geometrisch Fraktale. Die Geschichte von Fractals begann mit geometrischen Fraktalen, die von Mathematikern im 19. Jahrhundert untersucht wurden. Fraktale dieser Klasse sind das visuellste, da sie sofort für die Selbstähnlichkeit sichtbar sind. Diese Art von Fraktal wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Beim Bau dieser Fraktale werden in der Regel ein Satz von Segmenten ergriffen, auf deren Grundlage der Fraktal gebaut wird. Als nächstes wird dieses Set von einem Satz von Regeln verwendet, die sie in jede geometrische Form umwandeln. Als nächstes gelten dieselben Regeln für jeden Teil dieser Figur. Bei jedem Schritt wird die Figur komplizierter und schwieriger, und wenn Sie eine unendliche Anzahl solcher Vorgänge vorstellen, wird ein geometrisches Fraktal erhalten.

Die Figur rechts zeigt das Dreieck von Serpinsky - ein geometrisches Fraktal, das wie folgt ausgebildet ist: Im ersten Schritt sehen wir das übliche Dreieck, im nächsten Schritt, in der Mitte der Parteien, die 4 Dreiecke bilden, von denen eines wird invertiert. Als nächstes wiederholen wir den Betrieb mit allen Dreiecke, außer invertiert, und so auf unbestimmte Zeit.

Beispiele für geometrische Fraktale:

1.1 Sterne Koch.

Zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts der Mathematik suchten solche Kurven nach solchen Kurven, die an keiner Stelle tangential sind. Dies bedeutete, dass die Kurve dramatisch seine Richtung ändert, und darüber hinaus mit einer enormen hohen Geschwindigkeit (das Derivat ist gleich unendlich). Die Suche nach diesen Kurven wurde nicht nur untätiges Interesse Mathematiker verursacht. Tatsache ist, dass die Quantenmechanik zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts sehr heftig entwickelte. Der Forscher M. BRAWON zog die Flugbahn der suspendierten Partikel in Wasser und erklärte dieses Phänomen als: Die zufällig bewegenden Fluidatome sind auf suspendierte Partikel getroffen und führen sie dadurch in Bewegung. Nach einer solchen Erklärung der Brownian-Bewegung vor Wissenschaftlern, der Aufgabe, eine solche Kurve zu finden, die die Bewegung von braunen Partikeln am besten annähern würde. Dafür sollte die Kurve die folgenden Eigenschaften erfüllen: Haben Sie keinen Tangential an einem beliebigen Punkt. Mathematik KOH bot eine solche Kurve an. Wir werden nicht in die Erklärung der Regeln für den Bau gehen, sondern geben Sie einfach ein Bild aus, von dem alles klar wird. Ein wichtiges Eigentum, das der Grenze der Schneeflocke von Koch besessen ist ... ihre endlose Länge. Es mag erstaunlich erscheinen, weil wir daran gewöhnt sind, sich mit Kurven aus dem Verlauf der mathematischen Analyse zu befassen. Normalerweise haben glatte oder zumindest stückweise glatte Kurven immer eine endliche Länge (die Sie sicherstellen können, dass die Integration sichergestellt ist). Mandelbrot in dieser Hinsicht veröffentlichte eine Reihe faszinierender Werke, in denen das Problem der Messung der Länge der britischen Küste untersucht wird. Als Modell verwendete er eine Fraktalkurve, die der Rand der Schneeflocken ähnelte, in der Ausnahme, dass sie ein Element der Zufall einführte, das den Unfall in der Natur berücksichtigt. Infolgedessen stellte sich heraus, dass die Kurve, die die Küste beschreibt, eine unendliche Länge hat.

Schwammmännel.

Eine andere berühmte Fractal-Klasse ist stochastisch Fraktale, die erhalten werden, wenn sie im iterativen Prozess alle Parameter zufällig ändern. Gleichzeitig sind Objekte sehr ähnlich sind natürlich - asymmetrische Bäume, robuste Küstenlinien usw. .

Forschungsobjekte

1. Dreieck Pascal.

W.
der Aufbau des Pascal-Dreiecks ist die Seitenseiten des Geräts, jede Zahl ist gleich der Summe von zwei darüber. Das Dreieck kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.

Das Dreieck von Pascal dient dazu, die Abschirmkoeffizienten des Erscheinungsbildes des Formulars (x + 1) n zu berechnen. Berechnen Sie ab dem Dreieck von Geräten, berechnen Sie die Werte in jedem sequentiellen Niveau durch Zugabe benachbarter Nummern; Letzteres legte eine Einheit ein. Somit ist es möglich, beispielsweise (x + 1) 4 \u003d 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0 zu bestimmen.

Dachte Zahl.

Pythagoras zum ersten Mal, in VI BC, wildeten sich auf die Tatsache aufmerksam, dass die Menschen, die sich mit der Punktzahl der Kieselsteine \u200b\u200bhilfte, manchmal Steine \u200b\u200bin die richtigen Figuren bauen. Sie können die Kieselsteine \u200b\u200beinfach in eine Reihe bringen: eins, zwei, drei. Wenn Sie sie in zwei Reihen einsetzen, damit Rechtecke erhalten werden, werden wir feststellen, dass alle geraden Zahlen erhalten werden. Sie können Steine \u200b\u200bin drei Reihen legen: Die von drei geteilten Zahlen werden erhalten. Jede Zahl, die in etwas unterteilt ist, kann durch ein Rechteck dargestellt werden, und nur einfache Zahlen können nicht "Rechtecke" sein.

Lineare Zahlen sind Zahlen, die sich nicht in Faktoren zersetzen, dh ihre Zeile übereinstimmt mit einer Reihe von Primzahlen, einer ergänzenden Einheit: (1,2,3,5, 7,11,13,17,19,23 ,. ..). Dies sind einfache Zahlen.

Flache Zahlen - Zahlen, die in Form einer Arbeit von zwei Faktoren (4,6,8,9,200,12,14,15, ...) darstellbar sind

Klauselnummern - Zahlen, ausgedrückt durch die Arbeit von drei Einrichtungen (8,12,18,20,24,27,28, ...) usw.

Polygonale Nummern:

Dreieckige Zahlen: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Quadratische Zahlen sind ein Produkt von zwei identischen Zahlen, das heißt vollständige Quadrate: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., N2, ...)

Pentagonale Zahlen: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Hexagonale Zahlen (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Goldener Schnitt ..

Goldener Querschnitt (goldener Anteil, Division im Extrem- und mittleren Bereich, harmonischer Division, Anzahl der Feliy) - Aufteilung der kontinuierlichen Größenordnung in Teile, in denen der größte Teil auf eine kleinere Weise betrifft, da der gesamte Wert größer ist . Auf dem linken Bild erzeugt der Punkt C den goldenen Abschnitt des Segments AB, wenn: a C: AB \u003d SV: Au.

Dieser Anteil wird gemacht, um den griechischen Buchstaben zu bezeichnen. . Es ist gleich 1.618. Aus diesem Anteil ist ersichtlich, dass mit einem Goldabschnitt die Länge des größeren Segments die durchschnittlichen geometrischen Längen des gesamten Segments und dessen kleineren Teil ist. Teile des goldenen Abschnitts sind ungefähr 62% und 38% des gesamten Segments. Mit der mit der Reihenfolge der Ganzzahl verbundenen Nummer Fibonacci. : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... oft in der Natur gefunden. Es wird durch wiederkehrendes Verhältnis erzeugt F. n + 2. \u003d F. n + 1. + F. n. von anfangsbedingungen F. 1 \u003d F. 2 = 1.

Ein altes literarisches Denkmal, in dem die Division eines Segments in Bezug auf den goldenen Abschnitt gefunden wird, ist der "Anfänge" Euclidea. Bereits im zweiten Buch "beginnend" baut EUCLIDEA einen goldenen Querschnitt, und in Zukunft gilt es, einige der richtigen Polygone und Polyeder aufzubauen.

Hypothesen:

Gibt es eine Verbindung zwischen Fractals und

dreieck Pascal.

goldener Querschnitt.

figurummern.

literarische Werke

1.4 Ziel:

1. Bekannte den Zuhörern mit dem neuen Zweig der Mathematik - Fractals.

2. Widerlegen oder beweisen Sie die in der Arbeit eingestellten Hypothesen.

Forschungsaufgaben:

Arbeit und analysieren Sie die Literatur in der Forschung.

Betrachten Sie verschiedene Arten von Fractals.

Sammeln Sie die Sammlung von Fractal-Bildern für die Hauptaufkenntnis mit der Welt der Fractals.

Installieren Sie die Beziehung zwischen dem Dreieck von Pascal, Literaturarbeiten, dachte Zahlen und einem goldenen Querschnitt.

Forschungsmethoden:

Theoretisch (studieren und theoretische Analyse der wissenschaftlichen und speziellen Literatur; Erfahrung zusammenfassen);

Praktisch (Vorbereitung der Berechnungen, Verallgemeinerung der Ergebnisse).

Forschungsteil.

2.1 Finden einer Verbindung zwischen Fractals und einem Dreieck von Pascal.

Dreieck Pascal Triangle Serpinsky

Wenn Sie ungerade Zahlen im Pascal-Dreieck hervorheben, wird das Dreieck von Serpin erhalten. Das Muster demonstriert die Eigenschaften der in der "Arithmetisierung" verwendeten Koeffizienten von Computerprogrammen, die sie in algebraische Gleichungen umwandeln.

2.1 Finden einer Verbindung zwischen Fraktalen und einem goldenen Querschnitt.

Die Dimension von Fractals.

Wenn Sie von einer mathematischen Sicht aussehen, wird die Dimension wie folgt definiert.

Für eindimensionale Objekte führt eine Erhöhung der 2-fachen linearen Abmessungen zu einer Zunahme der Abmessungen (in diesem Fall von Länge) um zweimal, d. H. um 21.

Bei zweidimensionalen Objekten führt eine Zunahme der zweifachen linearen Abmessungen zu einer Zunahme der Größe (Bereich) viermal, d. H. bei 2 2. Lassen Sie uns ein Beispiel geben. Dan-Reichweite von R-Radius, dann S \u003d π r 2 .

Wenn Sie um das 2-fache des Radius ansteigen, dann: S1 \u003d π (2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r. 2 .

Für dreidimensionale Objekte führt ein Anstieg der zweifachen linearen Abmessungen zu einer Erhöhung des Volumens von 8-fachen, d. H. 2 3.

Wenn wir einen Würfel nehmen, dann v \u003d a 3, v "\u003d (2a) 3 \u003d 8a; v" / v \u003d 8.

Die Natur gehorgt jedoch nicht immer diese Gesetze. Versuchen wir, die Dimension von Fractal-Objekten auf einem einfachen Beispiel in Betracht zu ziehen.

Stellen Sie sich vor, dass die Fliege auf dem Wollgewirr sitzen will. Wenn sie es aus der Ferne ansieht, sieht er nur einen Punkt, dessen Dimension 0 ist, deren näher geflogen ist, sie sieht den Kreis zuerst, seine Abmessung 2 und dann die Kugeldimension 3. Wenn die Fliege auf dem Gewirr sitzt Sie wird den Ball nicht sehen, sondern sucht nach Villin, Fäden, Leere, d. H. Objekt mit fraktionaler Dimension.

Die Dimension des Objekts (Indikator des Grades) zeigt, wie sein innerer Bereich wächst. In ähnlicher Weise steigt das Wachstum von Fraktal mit zunehmender Größe an. Wissenschaftler kamen zu dem Schluss, dass fractal ist ein Set mit fraktionaler Dimension.

Fractals As. mathematische Objekte Aufgrund der Bedürfnisse wissenschaftliches Wissen In der angemessenen theoretischen Beschreibung von zunehmend komplexen Natursystemen (wie Gebirgszug, Küste, Holzkrone, Kaskadenwasserfall, turbulenter Luftstrom in der Atmosphäre usw.) und letztendlich in der mathematischen Modellierung der Natur insgesamt. Und der goldene Querschnitt ist bekannt, ist eine der lebendigsten und nachhaltigen Manifestationen der Naturharmonie. Daher ist es durchaus möglich, die Beziehung der vorgenannten Objekte, d. H. Erkennen Sie einen goldenen Querschnitt in der Theorie von Fractals.

Erinnern Sie sich daran, dass der Goldquerschnitt durch den Ausdruck bestimmt wird
(*) Und ist die einzige positive Wurzel quadratische Gleichung.
.

Die Zahlen von Fibonacci 1,1,2,3,58,13,21 sind eng mit dem Goldabschnitt verbunden, von denen jedes die Summe der beiden vorherigen ist. In der Tat ist der Wert der Rand einer Zahl, die aus der Beziehung der benachbarten Fibonacci-Nummern besteht:
,

und der Wert - der Rand einer Reihe, bestehend aus den Beziehungen der Fibonacci-Nummern, die durch eine Sache aufgenommen wurden:

Das Fraktal wird als Struktur bezeichnet, die aus Teilen wie einem Ganzen besteht. Gemäß einer anderen Definition ist das Fraktal ein geometrisches Objekt mit fraktionierter (nicht mechanischer) Dimension. Darüber hinaus ergibt sich das Fraktal immer als Ergebnis einer unendlichen Reihenfolge derselben Art von geometrischer Operationen durch seine Konstruktion, d. H. Es ist eine Folge des Grenzübergangs, der es auf den goldenen Abschnitt betrifft, der auch die Grenze einer unendlichen numerischen Serie darstellt. Schließlich ist die Abmessung des Fraktums normalerweise eine irrationale Zahl (wie ein goldener Querschnitt).

Im Hinblick auf den Vorstehenden ist der Nachweis der Tatsache, dass die Dimension vieler klassischen Fraktika mit einem Grad der Genauigkeit durch einen goldenen Querschnitt ausgedrückt werden kann, nicht überraschend. So zum Beispiel die Verhältnisse für die Abmessungen der Schneeflocken Koh d. SC \u003d 1.2618595 ... und Menger Schwämme d. GM \u003d 2.7268330 ... unter Berücksichtigung (*) kann in dem Formular aufgenommen werden
und
.

Darüber hinaus beträgt der erste Ausdrucksfehler nur 0,004%, und der zweite Ausdruck beträgt 0,1%, und unter Berücksichtigung des Elementarverhältnisses 10 \u003d 2 · 5 folgt, dass die Werte folgen d. SC und d. GM Es gibt Kombinationen des goldenen Abschnitts und der Fibonacci-Nummern.

Die Dimension des Teppichs von Serpinsky d. Ks. \u003d 1.5849625 ... und Staub des Kantors d. Pc. \u003d 0,6309297 ... kann auch in der Nähe des Werts des Goldenen Abschnitts angesehen werden:
und
. Der Fehler dieser Ausdrücke beträgt 2%.

Die Abmessung der theorie von Fraktalen, die in physikalischen Anwendungen weit verbreitet ist (zum Beispiel bei der Untersuchung der thermischen Konvektion) eines ungleichmäßigen (zweiweiten) Satzes von Kantor (der Länge der Formungssegmente, von denen -
und
- gehören als Zahlen von Fibonacci zueinander:
) , aber d. Mischt \u003d 0,6110 ... unterscheidet sich von der Größe
Nur um 1%.

Somit sind der Goldquerschnitt und die Fraktionen miteinander verbunden.

2.2 Finden der Verbindung zwischen Fractals und Figurummern .

Betrachten Sie jede Gruppe von Zahlen.

Die erste Zahl ist 1. Die nächste Zahl ist 3. Es wird durch Zugabe der vorherigen Nummer 1, zwei Punkte erhalten, so dass die gewünschte Figur zu einem Dreieck wird. Im dritten Schritt fügen wir drei Punkte hinzu und halten eine Dreiecksfigur. Bei nachfolgenden Schritten werden n Punkte hinzugefügt, wobei n die Ordnungszahl der dreieckigen Zahl ist. Jede Zahl wird durch Hinzufügen der vorherigen Punktzahl erhalten. Eine wiederkehrende Formel für dreieckige Zahlen wurde von dieser Eigenschaft erhalten: T N \u003d N + T N -1.

Die erste Zahl ist 1. Die folgende Zahl ist 4. Es wird durch Zugabe von 3 Punkten an der vorherigen Anzahl in Form eines direkten Winkels erhalten, um das Quadrat zu machen. Die Formel für quadratische Zahlen ist sehr einfach, es kommt aus dem Namen dieser Anzahl von Zahlen: G n \u003d n 2. Aber auch zusätzlich zu dieser Formel ist es möglich, die wiederkehrende Formel für quadratische Zahlen abzuleiten. Betrachten Sie dazu die ersten fünf quadratischen Zahlen:

g n \u003d g n-1 + 2n-1

2 \u003d 4 \u003d 1 + 3 \u003d 1 + 2 · 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 · 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 · 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 · 5-1

Die erste Zahl ist 1. Die nächste Zahl ist 5. Es wird durch Zugabe von vier Punkten erhalten, somit nimmt die resultierende Figur die Form eines Pentagons an. Eine Seite eines solchen Pentagon enthält 2 Punkte. Im nächsten Schritt auf der einen Seite gibt es 3 Punkte, die Gesamtzahl der Punkte - 12. Lassen Sie versuchen, die Formel zur Berechnung von Pentagonalen Zahlen auszugeben. Die ersten fünf fünfeckigen Zahlen: 1, 5, 12, 22, 35. Sie sind wie folgt ausgebildet:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 · 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 \u003d 12 \u003d 5 + 7 \u003d 5 + 3 · 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 · 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 · 5-2

Die erste Zahl ist 1. Zweiter - 6. Die Figur sieht aus wie ein Sechseck mit einer Seite von 2 Punkten. Im dritten Schritt sind bereits 15 Punkte in Form eines Sechskants mit einer Seite von 3 Punkten gebaut. Ziehen Sie die wiederkehrende Formel zurück:

u n \u003d u n-1 + 4n-3

2 \u003d 6 \u003d 1 + 4 · 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 · 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 · 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 · 5-3

Wenn Sie aufmerksamer aussehen, können Sie die Verbindung zwischen allen wiederkehrenden Formeln bemerken.

Für dreieckige Zahlen: t n \u003d t n -1 + n \u003d t. n. -1 +1 n. -0

Für quadratische Zahlen: g n \u003d g. n. -1 +2 n. -1

Für Pentagonale Zahlen: F n \u003d f. n. -1 +3 n. -2

Für hexagonale Zahlen: u n \u003d u. n. -1 +4 n. -3

Wir sehen, dass die lockigen Zahlen auf Wiederholbarkeit aufgebaut sind: Es ist auf wiederkehrenden Formeln deutlich sichtbar. Wir können sicher argumentieren, dass lockige Zahlen auf einer fraktalen Struktur basieren.

2.3 Finden einer Verbindung zwischen Fraktalen und literarischen Werken.

Betrachten Sie das Fraktal genau als Kunstwerk und zeichnet sich durch zwei Hauptmerkmale aus: 1) Ein Teil davon ist irgendwie ähnlich wie ein Ganzes (idealerweise gilt diese Folge der Ähnlichkeit auf Unendlichkeit, obwohl niemand eine wirklich unendliche Reihenfolge gesehen hat Iterationen, die eine Schneeflocke aufbauen; 2) Seine Wahrnehmung kommt auf die Reihenfolge der verschachtelten Ebenen. Beachten Sie, dass der fraktale Charme nur auf dem Weg dieser faszinierenden und schwindeleregenden Systemstufen auftritt, wobei die Rückkehr, mit der nicht garantiert ist.

Wie kann ich endlosen Text erstellen? Diese Ausgabe wurde vom Helden der Geschichte von X.-l. Burhhes "Garten des divergierenden Weges" gefragt: "... Ich habe mich gefragt, wie das Buch unendlich sein könnte. Darüber hinaus kommt nichts zu denken, außer dem zyklischen, der Tom, der Lautstärke, in dem die letzte Seite das erste wiederholt, was ihm erlaubt, so viel wie möglich zu fordern. "

Mal sehen, was andere Lösungen existieren können.

Der einfachste unendliche Text ist Text von einer unendlichen Anzahl von doppelten Elementen oder Bobs, die ein Teil wiederholt, von dem der "Schwanz" ist - derselbe Text mit einer beliebigen Anzahl von anfänglichen Versen. Schematisch kann ein solcher Text in Form eines unzerbrechlichen Baums oder periodischer Reihenfolge von wiederholenden Versionen dargestellt werden. Die Texteinheit - Der Satz, die Stanza oder die Geschichte beginnt, entwickelt und endet und kehrt zum Startpunkt zurück, der Übergangspunkt auf die nächste Texteinheit, die den ursprünglichen wiederholenden Text wiederholt. Ein solcher Text kann mit unendlichem verglichen werden periodische Fraci.: 0,33333 ..., kann es immer noch als 0, (3) geschrieben werden. Es ist ersichtlich, dass das Abschneiden des "Kopfes" - beliebig viele der anfänglichen Einheiten, ändert nichts, und der "Schwanz" fällt genau mit dem gesamten Text zusammen.

Unverzweigte endlose Baumkennung an sich von jedem Paar.

Zu solchen unendlichen Werken - Gedichte für Kinder oder Volkslieder, wie zum Beispiel das Gedicht über den Pop und seinen Hund aus russischen Volksgedichtung oder dem Gedicht von M. Syasnova "Vogelscheuchewiesen", erzählte das Kätzchen, das über das Singing ein Kätzchen, das über Kätzchen singt. Oder, der kürzeste: "Der Priester war der Hof, es gab einen Anteil an dem Hof, es wurde auf Cola aufgestanden - nicht zuerst ein Märchen zu beginnen? ... Pop war der Hof ..."

Ich gehe und sehe die Brücke unter der Krähe braun,
Ich nahm die Krähen hinter dem Schwanz, legte es auf die Brücke, lass die Krähe ertrinken.
Ich gehe und sehe die Brücke, ertrinke auf der Brücke,
Ich nahm die Krähen für den Schwanz, legte es unter die Brücke, ließ die Krähe fliegt ...

Im Gegensatz zu unendlichen Versionen sind Fragmente von Fraktalen des Mandelbrots noch nicht identisch, sind jedoch ähnlich, aber diese Qualität und gibt ihm den faszinierenden Charme. Daher ist in der Untersuchung literarischer Fractals die Aufgabe, nach Letzerheit, Ähnlichkeiten (und nicht Identität) von Textelementen zu suchen, auf der Suche nach Leuten, Ähnlichkeiten (und nicht Identität).

Im Falle endlose Intervalle wurde der Austausch der Identität auf der Ähnlichkeit auf verschiedene Weise durchgeführt. Sie können mindestens zwei Möglichkeiten angeben: 1) Erstellen von Gedichten mit Variationen, 2) Texten mit Inkrementen.

Gedichte mit Variationen sind zum Beispiel im Umsatz von S.Nikitin gestartet, und wer ein Volkslied geworden ist "Peggy lebte eine fröhliche Gans", in der die Peggin umgibt und ihre Gewohnheiten variieren.

Peggy lebte eine fröhliche Gans,

Er wusste alle Songs von Herzen.

Ah, was ist eine fröhliche Gans!

Tragen Sie, Peggy, Wear!

Peggy lebte einen lustigen Welpen,

Er konnte unter seiner Zeichnung tanzen.

Ah, zu was für ein lustiger Welpe!

Tragen Sie, Peggy, Wear!

Peggy hat eine schlanke Giraffe,

Er war Eleganz, wie ein Kleiderschrank,

Das ist eine schlanke Giraffe!

Tragen Sie, Peggy, Wear!

Peggy lebte ein lustiger Pinguin,

Er zeichnete alle Weine aus,

Ah, an welchen lustigen Pinguin!

Tragen Sie, Peggy, Wear!

Peggy lebte einen fröhlichen Elefanten,

Er kämpfte syncrophasotron,

Nun, was ist ein fröhlicher Elefant,

Abschrauben, Peggy, Verschleiß! ..

Bereits, wenn nicht unendlich, dann eine ziemlich große Anzahl von Bäcker: Sie argumentieren, dass die Kassette "Songs unseres Jahrhunderts" mit zwei Variationen von Songs herauskam, und wahrscheinlich wächst die Zahl weiter. Die Unendlichkeit der identischen Verse hier versucht, aufgrund des kuttigen, kindlichen, naiven und lustigen Kinderns zu überwinden.

Eine andere Gelegenheit liegt in Texten mit "Inkrementen". So sind diejenigen, die uns bekannt sind, seit der Kindheit ein Tazzle einer Repka oder eines Kolobkin, in jeder Episode, deren Anzahl der Zeichen zunimmt:

"Teremok"

Muh-Kraftstoff.
Muha-Gully, Komar-Piskun.
Muha-Torjukha, Komar-Piskun, Maus-Norushka.
Muha-Gulf, Komar-Piskun, Maus-Norushka, Kubashka-Frosch.
Muha-Tor, Moskito Piskun, Maus-Norushka, Cubean Frosch, Bunny-Pumpstuhl.
Muha-Gulf, Moskito-Piskun, Maus-Norushka, Kubashka-Frosch, Bunny - Pumpcharchik, Fox-Schwester.
Mukha-Torry, Moskito-Piskun, Maus-Nomushka, Cubean Frosch, Bunny - Pumpcharchik, Fox-Sisters, Armband-grauer Schwanz.
Muha-Torry, Komar-Piskun, Maus-Norushka, Frosch-Kubashka, Bunny - Pumpcharchik, Fuchsschwester, Wildbewildes Schwanz, Bär, geben Sie allen.

Solche Texte haben die Struktur des "Weihnachtsbaums" oder "Matryoshki", in dem jedes Level den vorherigen wiederholt mit zunehmender Bildgröße wiederholt.

Die poetische Arbeit, in der jedes Fahrzeug unabhängig voneinander gelesen werden kann, wie ein separater "Boden" des Weihnachtsbaums, sowie zusammen, der Text erstellt, der sich von einem zum anderen entwickelt, und weiter zur Natur, dem Frieden und dem Universum, das von erstellt wurde T.wasilee:

Nun, ich denke, wir können schließen, dass es literarische Arbeiten mit einer fraktalen Struktur gibt.

3. Praktische Anwendung von Fraktalen

Fraktale werden zunehmend in der Wissenschaft eingesetzt. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt manchmal noch besser als traditionelle Physik oder Mathematik beschreiben. Hier sind einige Beispiele:

COMPUTERSYSTEME

Die nützlichste Anwendung von Fractals in der Computerwissenschaft ist die Komprimierung von Fractal-Daten. Die Grundlage dieser Art von Kompression ist die Tatsache, dass die reale Welt durch Fraktalgeometrie gut beschrieben wird. Gleichzeitig werden die Bilder viel besser komprimiert, als dies durch herkömmliche Methoden (wie JPEG oder GIF) erfolgt. Ein weiterer Vorteil der Fraktalkompression besteht darin, dass mit einer Erhöhung des Bildes der Effekt der Pixelisierung nicht beobachtet wird (erhöhen Sie die Größe der Punkte an Größen, die das Bild verzerren werden). Mit der Fraktalkompression, nach einer Erhöhung, sieht das Bild oft noch besser aus als vor ihm.

Mechanik der Flüssigkeiten.

1. Die Untersuchung der Turbulenz in den Strömungen ist für Fraktale sehr gut angepasst. Turbulente Bäche sind chaotisch und sind daher schwierig, einfach zu simulieren. Und hier hilft es dem Übergang von der fraktalen Darstellung. Was die Arbeit von Ingenieuren und Physiker erheblich erleichtert, sodass sie die Dynamik komplexer Strömungen besser verstehen können.

2. Mit Fractals können Sie auch Flammensprachen simulieren.

3. Poröse Materialien sind aufgrund der Tatsache, dass sie eine sehr komplexe Geometrie aufweisen, in fraktaler Form gut dargestellt. Es wird in der Ölwissenschaft verwendet.

Telekommunikation

Antennen werden verwendet, um Daten an Entfernungen zu übertragen, mit fraktalen Formen, die ihre Größe und Gewicht erheblich reduzieren.

Physik-Oberflächen

Fraktale werden verwendet, um die Krümmung der Oberflächen zu beschreiben. Die unebene Oberfläche ist durch eine Kombination von zwei verschiedenen Fraktalen gekennzeichnet.

MEDIZIN

1. Chicoensorische Wechselwirkungen.

2. Herzen

BIOLOGIE

Simulation chaotischer Prozesse, insbesondere beim Beschreiben von Bevölkerungsmodellen.

4. Fazit

4.1 Forschungsergebnisse.

In meiner Arbeit werden nicht alle Bereiche des menschlichen Wissens gegeben, wo sie ihre Verwendung von Fractal-Theorie gefunden haben. Ich möchte nur sagen, dass nicht mehr als ein Drittel des Jahrhunderts seit der Entstehung der Theorie vergangen ist, aber in dieser Zeit sind Fractals für viele Forscher in der Nacht ein plötzliches helles Licht geworden, das unbekannte Entscheidungen und Muster in bestimmten Bereichen beleuchtet von Dateien. Die Verwendung der Theorie von Fractals begann, die Entwicklung von Galaxien und der Entwicklung der Zelle, der Entstehung von Bergen und der Wolkenbildung, der Preise zur Börse und der Entwicklung von Gesellschaft und der Familie zu erklären. Vielleicht war diese fraktale Leidenschaft zum ersten Mal sogar zu gewalttätig und versucht, alles mit Hilfe der Theorie von Fractals nicht aufmerksam zu erklären. Zweifellos hat diese Theorie jedoch das Recht, vorhanden zu sein.

In meiner Arbeit sammelte ich interessante Information Bei Fractals, ihren Typen, Dimensionen und Eigenschaften, auf ihre Verwendung sowie das Dreieck von Pascal, dachte Zahlen, Goldabschnitt, auf fraktalen literarischen Werken und vielen anderen Dingen.

Die folgende Arbeit wurde während der Studie durchgeführt:

Analysierte und erarbeitete Literatur zum Thema Forschung.

Verschiedene Arten von Fractals wurden in Betracht gezogen und untersucht.

Eine Sammlung von Fraktalbildern wird für die Hauptaufkenntnis mit der Welt der Fractals gesammelt.

Die Beziehungen zwischen den Fraktalen und dem Dreieck von Pascal, literarischen Werken, dachte Zahlen und einem goldenen Querschnitt werden hergestellt.

Ich habe sichergestellt, dass diejenigen, die in Fractals tätig sind, die schöne, wunderbare Welt, in welchen Mathematik, Natur und Kunst regieren. Ich denke, nach Bekanntschaft mit meiner Arbeit, Sie, wie ich, sicher, dass Mathematik schön und erstaunlich ist.

5. Wie:

1. BOGKIN S.V., PARSHIN D.A. Fraktale und Multifortras. Izhevsk: NIC "Normale und chaotische Dynamik", 2001. - 128С.

2. Voloshinov A. V. Mathematik und Kunst: Kn. Für diejenigen, die nicht nur Mathematik und Kunst lieben, sondern auch über die Natur der Schönheit und Schönheit der Wissenschaft nachdenken. 2. ed., Dorap. und hinzufügen. - M.: Erleuchtung, 2000. - 399С.

3. Gardner M. A. Neskual Mathematics. Kaleidoskop-Rätsel. M.: AST: Astrel, 2008. - 288c.: Il.

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8. umliegend unsmira Als solide Körper mit klar bezeichneten ... Finden Sie das Formations- und Ansichtsprogramm fraktale, erkunden und bauen Sie mehrere fraktale. Literatur 1.A.I. Azevich "zwanzig ...