Toate formulele de adunare. Formule trigonometrice de bază

Formulele de adunare sunt folosite pentru a exprima valorile funcțiilor cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) prin sinusurile și cosinusurile unghiurilor a și b.

Formule de adaos pentru sinusuri și cosinus

Teoremă: Pentru orice a și b, următoarea egalitate este adevărată cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).

Să demonstrăm această teoremă. Luați în considerare următoarea figură:

Pe ea, punctele Ma, M-b, M (a + b) se obțin prin rotirea punctului Mo cu unghiurile a, -b și, respectiv, a + b. Din definițiile sinusului și cosinusului, coordonatele acestor puncte vor fi următoarele: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); sin (a + b)). AngleMoOM (a + b) = unghiM-bOMa, prin urmare triunghiurile MoOM (a + b) și M-bOMa sunt egale și sunt isoscele. Aceasta înseamnă că bazele MoM (a-b) și M-bMa sunt egale. Prin urmare, (MoM (a-b)) ^ 2 = (M-bMa) ^ 2. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem:

(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.

sin (-a) = -sin (a) și cos (-a) = cos (a). Ne transformăm egalitatea, luând în considerare aceste formule și pătratul sumei și diferenței, apoi:

1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * sin (b) * sin (a) + (sin (a)) ^ 2.

Acum să aplicăm identitatea trigonometrică de bază:

2 - 2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * sin (a) * sin (b).

Să dăm altele similare și să le reducem cu -2:

cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b). Q.E.D.

De asemenea, sunt valabile următoarele formule:

• cos (a-b) = cos (a) * cos (b) + sin (a) * sin (b);
• sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin (b);
• sin (a-b) = sin (a) * cos (b) - cos (a) * sin (b).

Aceste formule se pot obtine din cea demonstrata mai sus, folosind formulele de turnare si inlocuind b cu -b. Pentru tangente și cotangente există și formule de adunare, dar nu vor fi valabile pentru toate argumentele.

Formule pentru adăugarea tangentelor și cotangentelor

Pentru orice unghiurile a, b cu excepția a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n și a + b = pi / 2 + pi * m, pentru orice numere întregi k, n, m va fi valabilă următoarea formulă:

tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).

Pentru orice unghi a, b cu excepția a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n și ab = pi / 2 + pi * m, pentru orice întreg k, n, m următoarea formulă va fi valabil:

tg (a-b) = (tg (a) -tg (b)) / (1 + tg (a) * tg (b)).

Pentru orice unghi a, b cu excepția a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m și pentru orice întreg k, n, m următoarea formulă va fi valabilă:

ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).

Există multe formule în trigonometrie.

Este foarte greu să le memorezi mecanic, aproape imposibil. În sala de clasă, mulți școlari și elevi folosesc tipărite pe hârtiile manuale și caiete, postere pe pereți, pătuțuri și în cele din urmă. Dar examenul?

Cu toate acestea, dacă aruncați o privire mai atentă la aceste formule, veți descoperi că toate sunt interconectate și au o anumită simetrie. Să le analizăm, ținând cont de definițiile și proprietățile funcțiilor trigonometrice, pentru a determina minimul care chiar merită învățat pe de rost.

Grupa I. Identități de bază

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 sin 2 α.

Acest grup conține cele mai simple și mai populare formule. Majoritatea elevilor le cunosc. Dar dacă încă mai sunt dificultăți, atunci pentru a vă aminti primele trei formule, imaginați-vă mental triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu unu. Atunci catetele sale vor fi egale, respectiv, sinα prin definiția sinusului (raportul catetei opuse la ipotenuză) și cosα prin definiția cosinusului (raportul). picior alăturat la ipotenuză).

Prima formulă este teorema lui Pitagora pentru un astfel de triunghi - suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (1 2 = 1), a doua și a treia sunt definițiile tangentei (raportul dintre piciorul opus celui adiacent) și cotangenta (raportul piciorului adiacent față de cel opus).
Produsul tangentei și cotangentei este 1 deoarece cotangentea scrisă ca fracție (formula trei) este o tangentă inversată (formula a doua). Această din urmă considerație, de altfel, face posibilă excluderea din numărul de formule care trebuie memorate, a tuturor formulelor lungi ulterioare cu o cotangentă. Dacă în vreunul sarcină dificilă Veți întâlni ctgα, înlocuiți-l cu o fracțiune ___ 1 tgαși folosiți formulele pentru tangentă.

Ultimele două formule nu trebuie memorate pre-simbolic. Sunt mai puțin frecvente. Și dacă este necesar, le puteți oricând să le reimprimați pe o ciornă. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în loc de tangenta sau tangenta definițiilor lor printr-o fracție (formulele a doua și, respectiv, a treia) și a reduce expresia la numitor comun... Dar este important să ne amintim că există astfel de formule care leagă pătratele tangentei și cosinusului și pătratele cotangentei și sinusului. În caz contrar, este posibil să nu ghiciți ce transformări sunt necesare pentru a rezolva o anumită problemă.

Grupa II. Formule de adunare

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Amintiți-vă proprietățile de paritate impare/pare ale funcțiilor trigonometrice:

sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).

Dintre toate funcțiile trigonometrice, numai cosinusul este o funcție pară și nu își schimbă semnul atunci când semnul argumentului (unghiului) se schimbă, restul funcțiilor sunt impare. Ciudățenia funcției, de fapt, înseamnă că semnul minus poate fi introdus și eliminat în afara semnului funcției. Prin urmare, dacă întâlniți o expresie trigonometrică cu diferența a două unghiuri, o puteți înțelege întotdeauna ca suma unghiurilor pozitive și negative.

De exemplu, păcat ( X- 30º) = păcat ( X+ (−30º)).
În continuare, folosim formula pentru suma a două unghiuri și ne ocupăm de semnele:
păcat ( X+ (−30º)) = sin X· Cos (−30º) + cos X Sin (−30º) =
= păcat X· Cos30º - cos X· Sin30º.

Astfel, toate formulele care conțin diferența de unghiuri pot fi pur și simplu sărite în timpul primei memorări. Apoi, merită să învățați cum să le restaurați vedere generala mai întâi pe ciornă, apoi mental.

De exemplu, tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Acest lucru va ajuta pe viitor să ghiciți rapid ce transformări trebuie aplicate pentru a rezolva o anumită sarcină din trigonometrie.

grupul Sh. Formule cu argumente multiple

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos 2 α - sin 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α = 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.

Nevoia de a folosi formule pentru sinusul și cosinusul unui unghi dublu apare foarte des, și pentru tangentă, destul de des. Aceste formule trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu există dificultăți în memorarea lor. În primul rând, formulele sunt scurte. În al doilea rând, ele sunt ușor de controlat după formulele grupului precedent, pe baza faptului că 2α = α + α.
De exemplu:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Cu toate acestea, dacă ați învățat rapid aceste formule, și nu pe cele anterioare, atunci puteți face opusul: vă puteți aminti formula pentru suma a două unghiuri folosind formula corespunzătoare pentru un unghi dublu.

De exemplu, dacă aveți nevoie de o formulă pentru cosinusul sumei a două unghiuri:
1) amintiți-vă formula pentru cosinusul unui unghi dublu: cos2 X= cos 2 X- păcatul 2 X;
2) îl pictăm lung: ca ( X + X) = cos X Cos X- păcatul X Păcat X;
3) înlocuiți unul X prin α, al doilea prin β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

Practicați în același mod pentru a restabili formulele pentru sinusul sumei și tangentei sumei. În cazuri critice, cum ar fi, de exemplu, USE, verificați acuratețea formulelor restaurate folosind primul trimestru cunoscut: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Verificarea formulei anterioare (obținută prin înlocuirea în rândul 3):
lasa α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
atunci cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
înlocuim valorile în formula: 0 = (1/2) √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, nu au fost găsite erori.

Formulele pentru un unghi triplu, în opinia mea, nu trebuie să fie special „înghesuite”. Sunt destul de rare la examene precum examenul. Ele se deduc usor din formulele de mai sus, din moment ce sin3α = sin (2α + α). Și pentru acei elevi care, dintr-un motiv oarecare, mai trebuie să învețe aceste formule pe de rost, vă sfătuiesc să acordați atenție anumitor „simetrii” lor și să memorați nu formulele în sine, ci regulile mnemonice. De exemplu, ordinea în care sunt situate numerele în cele două formule „33433433”, etc.

grupa IV. Sumă / diferență - în produs

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2 Păcat α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = sin (α - β) __________ cosα cosβ .

Folosind proprietățile impare ale funcțiilor sinus și tangentă: sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
este posibil să se reducă formulele pentru diferențele dintre două funcții la formule pentru sumele lor. De exemplu,

sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Cos 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

Astfel, formulele pentru diferența de sinusuri și tangente nu trebuie memorate imediat.
Situația cu suma și diferența cosinusurilor este mai complicată. Aceste formule nu sunt interschimbabile. Dar din nou, folosind paritatea cosinusului, vă puteți aminti următoarele reguli.

Suma cosα + cosβ nu își poate schimba semnul pentru orice modificare a semnului unghiurilor, prin urmare produsul trebuie să fie format din funcții pare, adică. două cosinusuri.

Semnul diferenței cosα - cosβ depinde de valorile funcțiilor în sine, ceea ce înseamnă că semnul produsului ar trebui să depindă de raportul unghiurilor, prin urmare produsul ar trebui să fie format din funcții impare, adică. două sinusuri.

Și totuși acest grup de formule nu este cel mai ușor de memorat. Acesta este cazul când este mai bine să înghesuiți mai puțin, dar să verificați mai mult. Pentru a evita greșelile în formula de la examenul responsabil, asigurați-vă că o notați mai întâi pe o ciornă și o verificați în două moduri. Mai întâi, prin substituții β = α și β = −α, apoi prin valorile cunoscute ale funcțiilor pentru unghiurile prime. Pentru aceasta, cel mai bine este să luați 90º și 30º, așa cum sa făcut în exemplul de mai sus, deoarece jumătatea sumei și jumătatea diferenței acestor valori dau din nou unghiuri simple și puteți vedea cu ușurință cum egalitatea devine o identitate pentru varianta corecta. Sau, dimpotrivă, nu se execută dacă ai făcut o greșeală.

Exemplu verificând formula cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2 Păcat α + β ____ 2 pentru diferența de cosinus cu o greseala !

1) Fie β = α, apoi cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2 Păcat α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Fie β = - α, apoi cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2 Păcat α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.

Aceste verificări au arătat că funcțiile din formulă au fost utilizate corect, dar datorită faptului că identitatea s-a dovedit a fi de forma 0 ≡ 0, o eroare cu un semn sau un coeficient poate fi omisă. Facem a treia verificare.

3) Fie α = 90º, β = 30º, apoi cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2 Păcat 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Eroarea a fost într-adevăr în semn și doar în semnul dinaintea lucrării.

Grupa V. Produs - în sumă/diferență

sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Însuși numele celui de-al cincilea grup de formule sugerează că aceste formule sunt inversul grupului precedent. Este clar că în acest caz este mai ușor să restabiliți formula pe o ciornă decât să o înveți din nou, crescând riscul de a crea o „mizerie în cap”. Singurul lucru pe care are sens să vă concentrați pentru o recuperare mai rapidă a formulei sunt următoarele egalități (verificați-le):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Considera exemplu: necesitatea de a transforma produsul sin5 X Cos3 Xîn suma a două funcții trigonometrice.
Deoarece produsul include atât sinus, cât și cosinus, luăm din grupul anterior formula pentru suma sinusurilor, pe care am învățat-o deja și o notăm pe o ciornă.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2

Fie 5 X = α + β ____ 2și 3 X = α - β ____ 2, atunci α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5X + 3X = 8X, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5X − 3X = 2X.

Înlocuim în formula de pe schiță valorile unghiurilor, exprimate în termeni de variabilele α și β, cu valorile unghiurilor, exprimate în termeni de variabilă X.
Primim păcat8 X+ păcat2 X= 2 sin5 X Cos3 X

Împărțiți ambele părți ale egalității cu 2 și scrieți-o pe copia curată de la dreapta la stânga păcat5 X Cos3 X = 1 _ 2 (păcat8 X+ păcat2 X). Răspunsul este gata.

Ca exercițiu: Explicați de ce în manual există doar 3 formule pentru conversia sumei / diferenței în produsul lui 6, iar inversul (pentru transformarea produsului în sumă sau diferență) - doar 3?

grupa VI. Formule de reducere a gradului

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Primele două formule ale acestui grup sunt foarte necesare. Ele sunt adesea folosite la rezolvare ecuații trigonometrice, inclusiv nivelul examen unificat, precum și la calcularea integralelor care conțin integranți de tip trigonometric.

Poate fi mai ușor să le amintiți în următoarea formă de „o singură poveste”.
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
și poți oricând împărți la 2 în cap sau pe un draft.

Necesitatea de a folosi următoarele două formule (cu cuburi de funcții) în examene este mult mai puțin frecventă. Într-un cadru diferit, veți avea întotdeauna timp să utilizați schița. În acest caz, sunt posibile următoarele opțiuni:
1) Dacă vă amintiți ultimele două formule ale grupului III, atunci folosiți-le pentru a exprima sin 3 α și cos 3 α prin transformări simple.
2) Dacă în ultimele două formule ale acestui grup observați elemente de simetrie care contribuie la memorarea lor, atunci notați „schițele” formulelor pe schiță și verificați-le după valorile unghiurilor principale.
3) Dacă, pe lângă faptul că există astfel de formule de scădere a gradului, nu știți nimic despre ele, atunci rezolvați problema în etape, pornind de la faptul că sin 3 α = sin 2 α · sinα și alte învățate formule. Vor fi necesare formule de reducere a gradului pentru un pătrat și o formulă pentru conversia unui produs într-o sumă.

grupa VII. Jumătate de argument

păcat α_2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

cos α_2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α_2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

Nu văd niciun rost să memorez acest grup de formule în forma în care sunt prezentate în manuale și cărți de referință. Daca intelegi asta α este jumătate din 2α, atunci acest lucru este suficient pentru a deriva rapid formula necesară pentru jumătatea argumentului, pe baza primelor două formule de scădere a gradului.

Acest lucru se aplică și tangentei semiunghiului, a cărei formulă se obține prin împărțirea expresiei sinusului la expresia cosinusului corespunzătoare.

Nu uitați doar la check-out rădăcină pătrată pune un semn ± .

grupa a VIII-a. Substituție universală

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);

cosα = 1 - tan 2 (α / 2) __________ 1 + tan 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Aceste formule pot fi extrem de utile pentru rezolvarea problemelor trigonometrice de tot felul. Ele permit implementarea principiului „un argument – ​​o funcție”, care vă permite să faceți modificări variabile care reduc expresiile trigonometrice complexe la cele algebrice. Nu fără motiv această substituție se numește universală.
Trebuie să învățăm primele două formule. Al treilea se poate obține prin împărțirea primelor două între ele conform definiției tangentei tgα = sinα ___ cosα

grupa a IX-a. Formule de turnare.

Pentru a înțelege acest grup de formule trigonometrice, treceți

grupa X. Valori pentru unghiurile de bază.

Sunt date valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile principale ale primului trimestru

Așa facem ieșire: Formulele de trigonometrie trebuie să știe. Cu cât mai mare cu atât mai bine. Dar pe ce să-ți petreci timpul și efortul - memorând formule sau recuperându-le în procesul de rezolvare a problemelor, fiecare trebuie să decidă singur.

Un exemplu de sarcină pentru utilizarea formulelor de trigonometrie

Rezolvați ecuația păcat5 X Cos3 X- păcat8 X Cos6 X = 0.

Avem două diferite funcţiile păcatului() și cos () și patru! argumente diferite 5 X, 3X, 8Xși 6 X... Fără transformări preliminare, nu va funcționa reducerea la cele mai simple tipuri de ecuații trigonometrice. Prin urmare, mai întâi încercăm să înlocuim produsele cu sumele sau diferențele de funcții.
Facem acest lucru în același mod ca în exemplul de mai sus (vezi secțiunea).

păcatul (5 X + 3X) + păcat (5 X − 3X) = 2 sin5 X Cos3 X
păcat8 X+ păcat2 X= 2 sin5 X Cos3 X

păcatul (8 X + 6X) + păcat (8 X − 6X) = 2 sin8 X Cos6 X
păcat14 X+ păcat2 X= 2 sin8 X Cos6 X

Exprimând produsele din aceste egalități, le substituim în ecuație. Primim:

(păcat8 X+ păcat2 X) / 2 - (păcat14 X+ păcat2 X)/2 = 0.

Înmulțim ambele părți ale ecuației cu 2, deschidem parantezele și dăm termeni similari

Păcat8 X+ păcat2 X- păcat14 X- păcat2 X = 0;
păcat8 X- păcat14 X = 0.

Ecuația a devenit mult mai simplă, dar rezolvați-o astfel sin8 X= sin14 X, deci 8 X = 14X+ T, unde T este perioada, este incorect, deoarece nu cunoaștem semnificația acestei perioade. Prin urmare, vom folosi faptul că există 0 în partea dreaptă a egalității, cu care este ușor să comparăm factorii în orice expresie.
A extinde sin8 X- păcat14 Xîn funcție de factori, trebuie să treceți de la diferență la produs. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza formula pentru diferența sinusurilor sau din nou formula pentru suma sinusurilor și neobișnuirea funcției sinus (vezi exemplul din secțiune).

păcat8 X- păcat14 X= sin8 X+ păcat (−14 X) = 2 sin 8X + (−14X) __________ 2 Cos 8X − (−14X) __________ 2 = păcat (−3 X) Cos11 X= −sin3 X Cos11 X.

Deci ecuația sin8 X- păcat14 X= 0 este echivalent cu ecuația sin3 X Cos11 X= 0, care, la rândul său, este echivalent cu combinarea celor mai simple două ecuații sin3 X= 0 și cos11 X= 0. Rezolvând acesta din urmă, obținem două serii de răspunsuri
X 1 = π n/3, nϵZ
X 2 = π / 22 + π k/11, kϵZ

Dacă găsiți o eroare sau o greșeală de tipar în text, vă rugăm să o raportați la adresa de e-mail [email protected] ... Aș fi foarte recunoscător.

Atentie, © matematică... Copierea directă a materialelor de pe alte site-uri este interzisă. Adăugați linkuri.

Relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - sunt stabilite formule trigonometrice... Și din moment ce există o mulțime de conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangentei unui unghi de jumătate etc.

În acest articol, vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Principalul identități trigonometrice stabiliți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente unui unghi. Ele decurg din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și din conceptul de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule de turnare

Formule de turnare rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, regula mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. colţ

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (numit și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt adunate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. colţ.

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați modul în care funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere a gradului

Formule de reducere a gradului trigonometric sunt concepute pentru a facilita trecerea de la grade naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți gradele funcțiilor trigonometrice la primul.

Formule de sumă și diferență pentru funcții trigonometrice

destinatia principala formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Substituție trigonometrică generică

Încheiem trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor a fost numit substituție trigonometrică universală... Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Bibliografie.

• Algebră: Manual. pentru 9 cl. miercuri scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Educaţie, 1990. - 272 p .: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 cl. miercuri shk. - Ed. a 3-a. - M .: Educaţie, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M .: Educaţie, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții la școlile tehnice): manual. manual.- M .; Superior. shk., 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Nu te voi convinge să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv, și foi de trucuri despre trigonometrie. Mai târziu, intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici - informații despre cum să nu înveți, dar să reții câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.

1. Formule de adunare:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. Ele „nu sunt așa”, așa că schimbă semnele: „-” în „+”, și invers.

Sinusuri - "mix": cosinus sinus, cosinus sinus.

2. Formule pentru suma și diferența:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și după scădere, cu siguranță nu vom primi koloboks. Primim o pereche de sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - "mix" :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și o diferență.

Când primim o pereche de cosinus? Când adunăm cosinusurile. Asa de

Când primim o pereche de sinusuri? La scăderea cosinusurilor. Prin urmare:

„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Care este mai frumos: aduna sau scade? Așa e, pliază. Și pentru formulă, ei iau adaos:

În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Suma nu se modifică din rearanjarea locurilor termenilor. Ordinea este fundamentală doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurința memorării, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând, suma

Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți anula. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești cheat sheet-ul, formulele pot fi reținute cu ușurință.

Ne continuăm conversația despre cele mai utilizate formule în trigonometrie. Cele mai importante dintre acestea sunt formulele de adunare.

Definiția 1

Formulele de adunare vă permit să exprimați funcții ale diferenței sau ale sumei a două unghiuri folosind funcții trigonometrice ale acestor unghiuri.

Pentru început, vom oferi o listă completă de formule de adunare, apoi le vom demonstra și analiza câteva exemple ilustrative.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule de bază de adunare în trigonometrie

Se disting opt formule de bază: sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri, cosinusul sumei și al diferenței, tangentele și cotangentele sumei și respectiv diferența. Mai jos sunt formulările și calculele lor standard.

1. Sinusul sumei a două unghiuri se poate obține astfel:

Se calculează produsul sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea;

Înmulțiți cosinusul primului unghi cu sinusul primului unghi;

Adunați valorile rezultate.

Scrierea grafică a formulei arată astfel: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinusul diferenței se calculează aproape în același mod, numai produsele rezultate nu trebuie adăugate, ci scăzute unul de celălalt. Astfel, calculăm produsele sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și cosinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și găsim diferența lor. Formula se scrie astfel: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Cosinusul sumei. Pentru aceasta, găsim produsele cosinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și respectiv sinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și, respectiv, găsim diferența lor: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Cosinusul diferenței: calculați produsele sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor date, ca mai înainte, și adăugați-le. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangenta sumei. Această formulă se exprimă sub formă de fracție, în numărătorul căreia se află suma tangentelor unghiurilor dorite, iar la numitor este unitatea din care se scade produsul tangentelor unghiurilor dorite. Totul este clar din notația sa grafică: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangenta diferenței. Calculăm valorile diferenței și produsul tangentelor acestor unghiuri și facem același lucru cu ele. La numitor, adunăm la unul, și nu invers: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Cotangenta sumei. Pentru calcule folosind această formulă avem nevoie de produsul și suma cotangentelor acestor unghiuri, cu care procedăm astfel: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Diferența cotangentă . Formula este similară cu cea anterioară, dar în numărător și numitor există un minus, nu un plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Probabil ați observat că aceste formule sunt similare în perechi. Folosind semnele ± (plus-minus) și ∓ (minus-plus), le putem grupa pentru comoditatea scrierii:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

În consecință, avem o formulă de înregistrare pentru suma și diferența fiecărei valori, doar într-un caz acordăm atenție semnului superior, în celălalt - celui de jos.

Definiția 2

Putem lua orice unghi α și β, iar formulele de adunare pentru cosinus și sinus vor funcționa pentru ele. Dacă putem determina corect valorile tangentelor și cotangentelor acestor unghiuri, atunci formulele de adunare pentru tangente și cotangente vor fi valabile și pentru ele.

La fel ca majoritatea conceptelor din algebră, formulele de adunare pot fi dovedite. Prima formulă pe care o vom demonstra este formula diferenței cosinus. Restul dovezilor pot fi apoi deduse cu ușurință din acestea.

Să clarificăm conceptele de bază. Avem nevoie cerc unitar... Se va dovedi dacă luăm un anumit punct A și rotim unghiurile α și β în jurul centrului (punctul O). Atunci unghiul dintre vectorii O A 1 → și O A → 2 va fi (α - β) + 2 π z sau 2 π - (α - β) + 2 π z (z este orice număr întreg). Vectorii rezultați formează un unghi care este egal cu α - β sau 2 π - (α - β), sau poate diferi de aceste valori cu un număr întreg de rotații complete. Aruncă o privire la poză:

Am folosit formulele de reducere și am obținut următoarele rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Linia de jos: cosinusul unghiului dintre vectorii O A 1 → și O A 2 → este egal cu cosinusul unghiului α - β, deci cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Să ne amintim definițiile sinusului și cosinusului: sinusul este o funcție a unghiului, egal cu raportul catetei unghiului opus față de ipotenuză, cosinusul este sinusul unui unghi suplimentar. De aici punctele A 1și A 2 au coordonatele (cos α, sin α) și (cos β, sin β).

Obținem următoarele:

O A 1 → = (cos α, sin α) și O A 2 → = (cos β, sin β)

Dacă nu este clar, aruncați o privire la coordonatele punctelor situate la începutul și la sfârșitul vectorilor.

Lungimile vectorilor sunt egale cu 1, deoarece avem un cerc unitar.

Să analizăm acum produs scalar vectorii O A 1 → și O A 2 →. În coordonate, arată astfel:

(O A 1 →, O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

De aici putem deduce egalitatea:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Astfel, se demonstrează formula pentru cosinusul diferenței.

Acum vom demonstra următoarea formulă - cosinusul sumei. Acest lucru este mai ușor deoarece putem folosi calculele anterioare. Luați reprezentarea α + β = α - (- β). Avem:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Aceasta este dovada formulei pentru cosinusul sumei. Ultima linie folosește proprietatea sinusului și cosinusului unghiurilor opuse.

Formula sinusului sumei poate fi derivată din formula cosinusului diferenței. Pentru aceasta luăm formula de reducere:

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Asa de
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Și iată dovada formulei diferenței sinusurilor:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Observați utilizarea proprietăților sinus și cosinus ale unghiurilor opuse în ultimul calcul.

În continuare, avem nevoie de dovezi ale formulelor de adunare pentru tangentă și cotangentă. Să ne amintim definițiile de bază (tangenta este raportul dintre sinus și cosinus și cotangenta - invers) și să luăm formulele deja derivate în avans. Am reușit:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Avem o fracție complexă. În continuare, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la cos α · cos β, ținând cont de faptul că cos α ≠ 0 și cos β ≠ 0, obținem:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Acum anulăm fracțiile și obținem o formulă de următoarea formă: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Se obține t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Aceasta este dovada formulei de adiție tangente.

Următoarea formulă pe care o vom demonstra este formula tangentei diferenței. Totul se arată clar în calcule:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formulele pentru cotangente sunt dovedite într-un mod similar:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
Mai departe:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β