Historie výskytu Pythagorovy věty. Pythagorova věta

Kolem keře

Historie Pythagorovy věty sahá staletí a tisíciletí. V tomto článku se nebudeme zdržovat historickými tématy. Pro zajímavost řekněme, že tuto větu zjevně znali starověcí egyptští kněží, kteří žili více než 2000 let před naším letopočtem. Pro ty, kdo jsou zvědaví, zde je odkaz na článek na Wikipedii.

Nejprve bych zde pro úplnost uvedl důkaz Pythagorovy věty, který je podle mého názoru nejelegantnější a nejzřetelnější. Obrázek nahoře ukazuje dva stejné čtverce: levý a pravý. Z obrázku je vidět, že plochy vyplněných obrazců vlevo a vpravo jsou stejné, protože v každém z velkých čtverců jsou přemalovány 4 stejné pravoúhlé trojúhelníky. To znamená, že nenatřené (bílé) oblasti vlevo a vpravo jsou také stejné. Všimněte si, že v prvním případě je plocha nenatřené postavy stejná a ve druhém je plocha nenatřené plochy. Tím pádem, . Věta je dokázána!

Jak na tato čísla voláte? Nemůžete tomu říkat trojúhelníky, protože čtyři čísla nemohou žádným způsobem tvořit trojúhelník. A tady! Jako blesk z čistého nebe

Protože existují taková čtyři čísla, musí existovat geometrický objekt se stejnými vlastnostmi, který se odráží v těchto číslech!

Nyní zbývá jen vybrat nějaký druh geometrického objektu pro tuto vlastnost a vše zapadne na své místo! Tento předpoklad byl samozřejmě čistě hypotetický a neměl žádné potvrzení. Ale co když je!

Začal výčet objektů. Hvězdy, mnohoúhelníky, pravidelné, nepravidelné, s pravý úhel a tak dále a tak dále. Opět nic nesedí. Co dělat? A v tomto okamžiku získává Sherlock svůj druhý náskok.

Rozměr musí být zvětšen! Protože trojka odpovídá trojúhelníku v rovině, znamená to, že čtyřka odpovídá něčemu trojrozměrnému!

Ach ne! Opět výčet možností! A ve třech rozměrech je mnohem, mnohem více nejrůznějších geometrických těles. Zkuste je všechny opakovat! Ale není to tak špatné. Nechybí ani pravý úhel a další indicie! Co máme? Egyptské čtyřky čísel (ať jsou egyptské, musíte je nějak nazvat), pravý úhel (nebo úhly) a určitý trojrozměrný objekt. Odpočet fungoval! A ... věřím, že pohotoví čtenáři si to již uvědomili přichází to o pyramidách, ve kterých jsou v jednom z vrcholů všechny tři úhly rovné. Můžete jim dokonce zavolat pravoúhlé pyramidy analogicky s pravoúhlým trojúhelníkem.

Nová věta

Takže máme vše, co potřebujeme. Obdélníkové (!) pyramidy, boční boční nohy a sečna fasetová hypotenze... Je čas nakreslit další obrázek.

Na obrázku je pyramida s vrcholem v počátku pravoúhlých souřadnic (jehlan jako by ležel na boku). Pyramida je tvořena třemi vzájemně kolmými vektory vynesenými od počátku podél souřadnicové osy... To znamená, že každá boční strana pyramidy je pravoúhlý trojuhelník s pravým úhlem v počátku. Konce vektorů definují rovinu řezu a tvoří základní plochu jehlanu.

Teorém

Nechť existuje pravoúhlá pyramida tvořená třemi vzájemně kolmými vektory, ve kterých jsou plochy stran-nohy stejné - a plocha boční hypotenze -. Pak

Alternativní formulace: Pro čtyřboký jehlan, ve kterém jsou v jednom z vrcholů všechny rovinné úhly rovné, je součet čtverců ploch bočních ploch roven čtverci základní plochy.

Samozřejmě, pokud je obvyklá Pythagorova věta formulována pro délky stran trojúhelníků, pak je naše věta formulována pro plochy stran jehlanu. Dokázat tuto větu ve třech rozměrech je velmi snadné, pokud víte trochu o vektorové algebře.

Důkaz

Vyjádřeme plochy pomocí délek vektorů.

kde .

Plochu reprezentujeme jako polovinu plochy rovnoběžníku postaveného na vektorech a

Jak víte, křížový součin dvou vektorů je vektor, jehož délka se číselně rovná ploše rovnoběžníku postaveného na těchto vektorech.
Proto

Tím pádem,

Q.E.D!

Jako člověku, který se profesionálně věnuje výzkumu, se mi to už v životě samozřejmě stalo a nejednou. Ale tento okamžik byl nejjasnější a nejpamátnější. Zažil jsem celou škálu pocitů, emocí, zážitků objevitele. Od zrození myšlenky, krystalizace myšlenky, nalezení důkazu – až po naprosté nepochopení až odmítnutí toho, že se moje nápady setkaly s mými přáteli, známými a jak se mi tehdy zdálo, s celým světem. Bylo to jedinečné! Bylo to, jako bych se cítil v kůži Galilea, Koperníka, Newtona, Schrödingera, Bohra, Einsteina a mnoha mnoha dalších objevitelů.

Doslov

V životě se vše ukázalo být mnohem jednodušší a prozaičtější. Přišel jsem pozdě... Ale jak moc! Teprve 18 let! Pod strašlivým dlouhým mučením a nebylo to poprvé, co se mi Google přiznal, že tato věta byla zveřejněna v roce 1996!

Článek publikoval The Texas technická univerzita... Autoři, profesionální matematici, zavedli terminologii (která se mimochodem do značné míry shodovala s tou mojí) a také dokázali zobecněnou větu, která platí pro prostor libovolné dimenze větší než jedna. Co se stane v dimenzích vyšších než 3? Všechno je velmi jednoduché: místo tváří a oblastí budou hyperplochy a multidimenzionální objemy. A tvrzení samozřejmě zůstane stejné: součet druhých mocnin objemů bočních ploch se rovná druhé mocnině objemu základny, - jen počet ploch bude větší a objem každý z nich se bude rovnat polovině součinu generujících vektorů. Je téměř nemožné si to představit! Můžete jen myslet, jak říkají filozofové!

Překvapivě, když jsem se dozvěděl, že takový teorém je již znám, nebyl jsem vůbec naštvaný. Někde v srdci jsem tušil, že je docela možné, že nejsem první, a pochopil jsem, že na to musím být vždy připraven. Ale emocionální zážitek, který jsem získal, ve mně zažehl badatelskou jiskru, která, jak jsem si jist, už nikdy nevyhasne!

P.S.

Erudovaný čtenář v komentářích poslal odkaz
De Guův teorém

Výňatek z Wikipedie

V roce 1783 byl tento teorém předložen pařížské akademii věd francouzským matematikem J.-P. de Gua ji však dříve znal René Descartes a před ním Johann Fulhaber (anglicky), který ji pravděpodobně poprvé objevil v roce 1622. V obecnější podobě větu formuloval Charles Tinso (fr.) Ve zprávě pařížské Akademii věd v roce 1774

Takže jsem se opozdil ne o 18 let, ale minimálně o pár století!

Zdroje

Čtenáři poukázali na některé užitečné odkazy v komentářích. Zde jsou tyto a některé další odkazy:

Pythagoras ze Samosu vešel do dějin jako jeden z nejvýznamnějších intelektuálů lidstva. Je v něm mnoho neobvyklých věcí a zdá se, že osud sám pro něj připravil zvláštní životní cestu.

Pythagoras vytvořil vlastní náboženskou a filozofickou školu a proslavil se jako jeden z největších matematiků. Jeho inteligence a inteligence byly stovky let před dobou, ve které žil.

Pythagoras ze Samosu

Stručný životopis Pythagora

Krátká biografie Pythagora nám samozřejmě nedá příležitost plně odhalit tuto jedinečnou osobnost, ale přesto upozorníme na hlavní okamžiky jeho života.

Dětství a mládí

Datum narození Pythagora není přesně známo. Historici naznačují, že se narodil mezi 586-569. př. n. l., na řeckém ostrově Samos (odtud jeho přezdívka – „Samos“). Podle jedné legendy bylo rodičům Pythagoras předpovězeno, že se jejich syn stane velkým mudrcem a osvícencem.

Pythagorův otec se jmenoval Mnesarch a jeho matka byla Parthenia. Hlava rodiny se zabývala zpracováním drahých kamenů, takže rodina byla poměrně bohatá.

Výchova a vzdělávání

Již v nízký věk Pythagoras projevil zájem o různé vědy a umění. Jeho první učitel se jmenoval Hermodamantes. Položil budoucímu vědci základy hudby, malířství a gramatiky a také ho donutil naučit se nazpaměť úryvky z Homérovy Odyssey a Iliady.

Když bylo Pythagorovi 18 let, rozhodl se jít do, aby získal ještě více znalostí a zkušeností. To byl vážný krok v jeho biografii, ale nebylo souzeno, aby se splnil. Pythagoras se nemohl dostat do Egypta, protože byl pro Řeky uzavřen.

Pythagoras, který zůstal na ostrově Lesbos, začal studovat fyziku, medicínu, dialektiku a další vědy od Therekides ze Syros. Poté, co žil na ostrově několik let, chtěl navštívit Milétos, kde stále žil slavný filozof Thales, který vytvořil první filozofickou školu v Řecku.

Velmi brzy se Pythagoras stává jedním z nejvzdělanějších a slavní lidé své doby. Po nějaké době však dochází k náhlým změnám v biografii mudrce, protože začala perská válka.

Pythagoras padá do babylonského zajetí a žije v zajetí dlouhou dobu.

Mystika a návrat domů

Vzhledem k tomu, že astrologie a mystika byly v Babylonu populární, Pythagoras se stal závislým na studiu různých mystických záhad, zvyků a nadpřirozených jevů. Celá biografie Pythagora je plná nejrůznějších hledání a řešení, která tak přitahovala jeho pozornost.

Po více než 10 letech v zajetí se mu nečekaně dostává osobního propuštění od perského krále, který z první ruky věděl o moudrosti učené řečtiny.

Po svobodě se Pythagoras okamžitě vrací do své vlasti, aby o nabytých vědomostech řekl svým krajanům.

Pythagorova škola

Díky rozsáhlým znalostem, stálým a oratoř, podaří se mu rychle získat slávu a uznání mezi obyvateli Řecka.

Při Pythagorových řečech je vždy mnoho lidí, kteří žasnou nad moudrostí filozofa a vidí v něm téměř božstvo.

Jedním z hlavních bodů životopisu Pythagora je skutečnost, že vytvořil školu založenou na vlastních principech chápání světa. Říkalo se tomu tak: škola Pythagorejců, tedy stoupenců Pythagora.

Měl také vlastní vyučovací metodu. Studenti například nesměli během vyučování mluvit a nesměli klást žádné otázky.

To umožnilo učedníkům pěstovat pokoru, mírnost a trpělivost.

Modernímu člověku se tyto věci mohou zdát divné, ale nezapomínejte, že v době Pythagora byl samotný koncept vyučování v našem chápání prostě neexistoval.

Matematika

Kromě medicíny, politiky a umění se Pythagoras vážně zabýval matematikou. Podařilo se mu významně přispět k rozvoji.

Až dosud je ve školách po celém světě nejoblíbenější věta Pythagorova: a 2 + b 2 = c 2. Každý student si pamatuje, že „pythagorejské kalhoty jsou si ve všech směrech rovné“.

Navíc je zde "Pythagorejská tabulka", pomocí které bylo možné násobit čísla. Ve skutečnosti je moderní stůl násobení, jen v trochu jiné podobě.

Pythagorova numerologie

V biografii Pythagora je pozoruhodná věc: celý život se extrémně zajímal o čísla. S jejich pomocí se snažil poznat podstatu věcí a jevů, života a smrti, utrpení, štěstí a dalších. důležité záležitosti bytost.

Číslo 9 spojoval se stálostí, 8 se smrtí a velkou pozornost věnoval i čtverci čísel. V tomto smyslu bylo dokonalé číslo 10. Pythagoras nazval desítku symbolem Kosmu.

Pythagorejci byli první, kdo rozdělil čísla na sudá a lichá. Sudá čísla byla podle matematika ženského rodu a lichá byla mužského rodu.

V dobách, kdy věda jako taková neexistovala, se lidé učili o životě a světovém řádu, jak nejlépe uměli. Na tyto a další otázky se Pythagoras jako velký syn své doby snažil hledat odpovědi pomocí čísel a čísel.

Filosofická nauka

Pythagorovo učení by se mělo rozdělit do dvou kategorií:

• Vědecký přístup
• Náboženství a mystika

Bohužel se nedochovala všechna Pythagorova díla. A to vše kvůli skutečnosti, že vědec prakticky nedělal žádné poznámky a předával znalosti studentům ústně.

Kromě toho, že Pythagoras byl vědec a filozof, může být právem nazýván náboženským inovátorem. V tom se mu tak trochu podobal Lev Tolstoj (publikovali jsme v samostatném článku).

Pythagoras byl vegetarián a povzbuzoval k tomu své následovníky. Žákům nedovolil jíst potraviny živočišného původu, zakázal jim pít alkohol, nadávat a chovat se obscénně.

Zajímavé také je, že Pythagoras neučil obyčejní lidé kteří se snažili získat pouze povrchní znalosti. Za učedníky přijímal pouze ty, v nichž viděl vyvolené a osvícené jedince.

Osobní život

Při studiu biografie Pythagoras může člověk získat nesprávný dojem, že neměl čas na svůj osobní život. Není to však tak docela pravda.

Když bylo Pythagorasovi asi 60 let, na jednom ze svých představení potkal krásnou dívku jménem Feana.

Vzali se a z tohoto manželství se jim narodil chlapec a dívka. Takže vynikající Řek byl rodinný muž.

Smrt

Překvapivě žádný z životopisců nedokáže s jistotou říci, jak velký filozof a matematik zemřel. Existují tři verze jeho smrti.

Podle prvního byl Pythagoras zabit jedním ze studentů, kterého odmítl učit. V návalu hněvu vrah zapálil vědeckou akademii, kde zemřel.

Druhá verze říká, že během požáru vytvořili přívrženci vědce, kteří ho chtěli zachránit před smrtí, most ze svých vlastních těl.

Ale za nejčastější verzi Pythagorovy smrti je považována jeho smrt během ozbrojeného konfliktu ve městě Metapont.

Velký vědec žil více než 80 let, zemřel v roce 490 před naším letopočtem. NS. Za svůj dlouhý život toho stihl opravdu hodně a právem je považován za jednoho z nejvýraznějších mozků historie.

Pokud se vám líbil životopis Pythagora - sdílejte ho sociální sítě... Dejte o tomto géniovi vědět svým přátelům.

Jestli se ti to vůbec líbí krátké životopisy a jednoduché – nezapomeňte se přihlásit k odběru místo... S námi je to vždy zajímavé!

Prividentsev Vladislav, Farafonova Jekatěrina

Projektová práce studentů na matematickou konferenci

Stažení:

Náhled:

BOU TR PA "Trosnyanskaya střední škola"

Studentská matematická konference věnovaná velkému matematikovi Pythagorovi

(v rámci Týdne matematiky ve škole)

Historie Pythagorovy věty

(projekt)

Připravený

studenti 9. ročníku

Farafonova Jekatěrina a Prividentsev Vladislav

Učitel Bilyk T.V.

Leden – 2016

cíle:

• 1. Rozšiřte si znalosti o historii matematiky.
• 2. Seznamte se s biografickými fakty ze života Pythagora souvisejícími s větou.
• 3. Studovat historii Pythagorovy věty prostřednictvím mýtů, legend starověku.
• 4. Zvažte aplikaci Pythagorovy věty při řešení úloh z různých odvětví geometrie.

Plán.

1. Úvod

2. Z historie věty

3. Básně o Pythagorovi

4. Výsledek

5. Závěr

Úvod.

Pythagorova věta je již dlouho široce používána v různých oblastech vědy, techniky a praktický život... Psali o ní ve svých dílech římský architekt a inženýr Vitruvius, řecký moralista Plutarchos, řecký vědec 11. století. Diogenes Laertius, matematik 5. stol Proclus a mnoho dalších. Legenda, že na počest svého objevu Pythagoras obětoval býka nebo, jak říkají jiní, sto býků, sloužila jako důvod k humoru v příbězích spisovatelů i v básních básníků.

Básník Heinrich Heine (1797-1856), známý svými protináboženskými názory a sžíravým výsměchem pověrám, se v jednom ze svých děl vysmívá „nauce“ o stěhování duší takto:

"Kdo ví! Kdo ví! Pythagorova duše se usadila snad chudáka – kandidáta, kterému se nepodařilo dokázat Pythagorovu větu, a proto neuspěl u zkoušky, zatímco jeho zkoušející obývají duše právě těch býků, které Pythagoras kdysi obětoval nesmrtelným bohům, potěšeni s objevem jeho věty." Dějiny Pythagorova věta začíná dávno před Pythagorem. V průběhu staletí bylo předloženo mnoho různých důkazů Pythagorovy věty.

Z historie věty

Začněme historickým přehledem. starověká Čína... Zde přitahuje zvláštní pozornost matematická kniha Chu-pei. V této práci se o pythagorejském trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5 říká: „Pokud se pravý úhel rozloží na jednotlivé části, pak čára spojující konce jeho stran bude 5, když základna bude 3 a výška je 4". Ve stejné knize je navržena kresba, která se shoduje s jednou z kreseb hinduistické geometrie Baskhary.

• Cantor (největší německý historik matematiky) věří, že rovnost 32 + 42 = 52 už se to vědělo Egypťané ještě asi 2300 př. Kr e. v době král Amenemhat I (podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „provazová nosítka“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5. Jejich konstrukční metodu je velmi snadné reprodukovat. Vezměte lano o délce 12 m a přivažte ho k němu podél barevného pruhu ve vzdálenosti 3 m. z jednoho konce a 4 metry od druhého. Pravý úhel bude uzavřen mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Harpedonapti by mohli namítnout, že jejich způsob stavby se stává nadbytečným, použijete-li například dřevěný čtverec, který používají všichni tesaři. Skutečně jsou známy egyptské kresby, na kterých se takový nástroj nachází, například kresby zobrazující truhlářskou dílnu.

• Poněkud více je známo o Pythagorově větě v babylonský ... V jednom textu pocházejícím z r Hammurabi , tedy do roku 2000 před naším letopočtem. př. n. l. je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku. Z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii uměli provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech. Van der Waerden (nizozemský matematik) na jedné straně na základě současné úrovně znalostí o egyptské a babylonské matematice a na druhé straně na základě kritického studia řeckých pramenů k tomuto závěru:"Zásluhou prvních řeckých matematiků, jako byli Thales, Pythagoras a Pythagorejci, není objev matematiky, ale její systematizace a zdůvodnění. V jejich rukou se výpočetní receptury založené na vágních představách proměnily v exaktní vědu." Geometrie mezi Indiány , stejně jako Egypťané a Babyloňané, byl úzce spojen s kultem. Je velmi pravděpodobné, že věta o čtverci přepony byla známa v Indii již kolem 18. století před naším letopočtem. NS.

• V prvním ruském překladu euklidovských „prvků“, který vytvořil F. I. Petruševskij, je Pythagorova věta uvedena takto:„V pravoúhlých trojúhelníkech čtverec z opačné strany pravý úhel, se rovná součtu čtverců stran obsahujících pravý úhel ".Nyní je známo, že tuto větu neobjevil Pythagoras. Někteří se však domnívají, že Pythagoras byl první, kdo podal úplný důkaz, zatímco jiní mu tuto zásluhu upírají. Někteří připisují Pythagorovi důkaz, který Euclid podává v první knize svých Principů. Na druhé straně Proclus tvrdí, že důkaz v Elementech patří samotnému Euklidovi. Jak vidíme, historie matematiky nemá téměř žádné spolehlivé údaje o životě Pythagora a jeho matematických aktivitách. Na druhé straně legenda uvádí i bezprostřední okolnosti doprovázející objev věty. Říká se, že na počest tohoto objevu obětoval Pythagoras 100 býků.

• Dlouhou dobu se věřilo, že před Pythagorem tato věta nebyla známa, a proto ji nazývali „Pythagorova věta“. Tento název se zachoval dodnes. Nyní se však zjistilo, že tato nejdůležitější věta se nachází v babylonských textech napsaných 1200 let před Pythagorem.
• Skutečnost, že trojúhelník se stranami 3, 4 a 5 je obdélník, byla známa již v roce 2000 před naším letopočtem. Egypťané, kteří pravděpodobně používali tento poměr ke kreslení pravých úhlů při stavbě budov. V Číně byl návrh druhé mocniny přepony znám nejméně 500 let před Pythagorem. Tato věta byla také známá ve starověké Indii; o tom svědčí věty obsažené v sútrách.

Pythagoras učinil mnoho důležitých objevů, ale největší slávu vědci přinesla jím dokázaná věta, která nyní nese jeho jméno. Opravdu, v moderní učebnice věta je formulována takto: "V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina přepony rovna součtu čtverců nohou." - Jak napsat Pythagorovu větu pro pravoúhlý trojúhelník ABC s nohami a, b a přeponou c.

a 2 + b 2 = c 2

Předpokládá se, že v době Pythagora zněla věta jinak: "Plocha čtverce postaveného na přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu ploch čtverců postavených na jeho nohách." Opravdu, s 2 - plocha čtverce postaveného na přeponě, a 2 a b 2 - plocha čtverců postavených na nohách.

Pravděpodobně skutečnost uvedená v Pythagorově větě byla poprvé stanovena pro rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. Čtverec přepony obsahuje čtyři trojúhelníky. A na každé noze je postaven čtverec obsahující dva trojúhelníky. Obrázek 9 ukazuje, že plocha čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách.

Básně o Pythagorovi.
Německý romanopisec A. Chamisso, který na počátku Xl X stol. Zúčastnil se plavby kolem světa na ruské lodi „Rurik“, napsal následující verše:
Pravda bude trvat navždy, jak brzy
Zná ji slabý člověk!
A nyní Pythagorova věta
Pravda, jako jeho vzdálené století.
Oběť byla hojná
K bohům z Pythagora. Sto býků
Dal na porážku a upálení
Pro světelný paprsek, který přicházel z mraků.
Proto vždy od té doby,
Na svět se rodí trochu pravdy,
Býci řvou a cítí ji.
Nemohou zasahovat do světla,
A mohou se jen třást, zavírajíce oči
Ze strachu, který jim vnukl Pythagoras

Shrnout:
Pokud dostaneme trojúhelník
A navíc s pravým úhlem,
Pak druhá mocnina přepony
Vždy snadno najdeme:
Postavíme nohy do čtverce,
Najdeme součet stupňů
A to takovým jednoduchým způsobem
Dojdeme k výsledku.

Zkouška z geometrie se blíží a při testech a zkouškách se někdy vyskytnou případy, kdy si studenti, kteří si kreslí lístek, pamatují formulaci věty, ale zapomenou, kde začít s důkazem. Aby se vám to nestalo, navrhuji nákres - referenční signál. Myslím, že vám to zůstane dlouho v paměti.

Ivan Carevič uřízl drakovi hlavu a vyrostly mu dvě nové. V matematickém jazyce to znamená: strávený v Δ CD s výškou ABC a vznikly dva nové pravoúhlé trojúhelníky ADC a BDC.

Závěr.

Po prostudování sestrojeného materiálu můžeme dojít k závěru, že Pythagorova věta je jednou z nejdůležitějších vět geometrie, protože s ní lze dokázat mnoho dalších vět a vyřešit mnoho problémů.

Pythagoras a škola Pythagoras hráli velkou roli ve zlepšování metod pro řešení vědeckých problémů: pozice potřeby rigorózních důkazů pevně vstoupila do matematiky, což jí dalo význam speciální vědy.

Nyní je známo, že tuto větu neobjevil Pythagoras. Někteří se však domnívají, že to byl Pythagoras, kdo jako první podal její plnohodnotný důkaz, jiní mu tuto zásluhu upírají. Někteří připisují Pythagorovi důkaz, který Euclid podává v první knize svých Principů. Na druhé straně Proclus tvrdí, že důkaz v Elementech patří samotnému Euklidovi.

Jak vidíme, historie matematiky stěží zachovala nějaké spolehlivé konkrétní údaje o životě Pythagora a jeho matematických aktivitách. Na druhé straně legenda uvádí i bezprostřední okolnosti doprovázející objev věty. Mnoho lidí zná sonet německého romanopisce Chamissa:

Pravda bude trvat navždy, jak brzy

Slabý člověk to ví!

A nyní Pythagorova věta

Pravda, jako v jeho vzdáleném století.

Oběť byla hojná

K bohům z Pythagora. Sto býků

Dal na porážku a upálení

Pro světelný paprsek, který přicházel z mraků.

Proto vždy od té doby,

Na svět se rodí trochu pravdy,

Býci řvou, cítí ji, následují,

Nemohou zasahovat do světla,

A mohou se jen třást, zavírajíce oči

Ze strachu, který jim vnukl Pythagoras.

Náš historický přehled Pythagorovy věty začínáme s starověký Čína. Zde přitahuje zvláštní pozornost matematická kniha Chu-pei. Tato esej to říká o Pythagorejském trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5:

"Li rovný injekce rozložit na kompozitní díly, pak čára, spojovací končí jeho večírky, vůle 5, když základna tady je 3, A výška 4".

Je velmi snadné reprodukovat jejich způsob stavby. Vezměte lano o délce 12 m a přivažte ho k němu podél barevného pruhu ve vzdálenosti 3 m. z jednoho konce a 4 metry od druhého.

Pravý úhel bude uzavřen mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Ve stejné knize je navržena kresba, která se shoduje s jednou z kreseb hinduistické geometrie Baskhary.

Cantor(největší německý historik matematiky) se domnívá, že rovnost 3I + 4I = 5I znali Egypťané již kolem roku 2300 př. n. l., v době krále Amenemhata I. (podle papyru 6619 Berlínského muzea).

Podle Cantora harpedonapty neboli „tahy za lana“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5.

Babyloňané věděli trochu více o Pythagorově větě. V jednom textu, sahajícím až do doby Hammurabiho, tzn. do roku 2000 př. n. l. je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku; z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii uměli provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech.

Geometrie na Indové byl úzce spjat s kult. Je velmi pravděpodobné, že věta o čtverci přepony byla známa v Indii již kolem 8. století před naším letopočtem. Spolu s čistě rituálními předpisy existují také díla geometricky teologické povahy, nazývaná Sulvasutras. V těchto spisech, pocházejících ze 4. nebo 5. století před naším letopočtem, se setkáváme s konstrukcí pravého úhlu pomocí trojúhelníku o stranách 15, 36, 39.

PROTI průměrný století Pythagorova věta určila hranici, když ne největší možnou, tak alespoň dobré matematické znalosti. Typická kresba Pythagorovy věty, která se dnes občas promění ve školáky, například v profesora oblečeného v taláru nebo muže v cylindru, byla v tehdejší době často používána jako symbol matematiky.

Na závěr uvádíme různé formulace Pythagorovy věty přeložené z řečtiny, latiny a němčiny.

Euklides tato věta zní (doslovný překlad):

PROTI obdélníkový trojúhelník náměstí večírky, napjatý výše Přímo úhel, je rovný čtverce na strany, uzavírání rovný injekce.

Latinský překlad arabského textu Annaritia(asi 900 př. n. l.) od Gerharda Kremonský(12. století) zní (přeloženo):

"V žádný obdélníkový trojúhelník náměstí, vzdělaný na boční, napjatý výše Přímo úhel, je rovný součet dva čtverce, vzdělaný na dva strany, uzavírání rovný injekce"

V Geometry Culmonensis (kolem roku 1400) teorém zní takto (přeloženo): "Tak, náměstí náměstí, měřeno na délka boční, tak stejný skvělý jak na dva čtverce, který měřeno na dva strany jeho, sousedící Na Přímo roh "

V ruském překladu euklidovských „prvků“ je Pythagorova věta uvedena takto: "PROTI obdélníkový trojúhelník náměstí z večírky, naproti Přímo roh, je rovný součet čtverce z večírky, obsahující rovný injekce".

Jak můžete vidět, v rozdílné země a různé jazyky existují různé verze formulace věty, kterou známe. Vytvořeno v jiný čas a v různých jazycích odrážejí podstatu jednoho matematického vzorce, jehož důkaz má také několik možností.

Důkaz Pythagorovy matematické věty

Městský vědeckou a praktickou konferenci

"Začít ve vědě"

Slavné teorémy (Pythagorova věta)

Sekce „Tvůrčí síla

velké objevy v matematice"

3.4 Aplikace v mobilních komunikacích ………………………………………………………… .26

Závěr ………………………………………………………………………………………………… 27

Reference ………………………………………………………………………………………… ... 29

Úvod.

Je těžké najít osobu, která by jméno Pythagoras nespojovala s Pythagorovou větou. Snad i ti, kteří se v životě navždy rozloučili s matematikou, si uchují vzpomínky na „pythagorejské kalhoty“. Důvod popularity Pythagorovy věty je trojjediný: je to jednoduchost - krása - význam. Ve skutečnosti je Pythagorova věta jednoduchá, ale není zřejmá. Tato kombinace dvou protichůdných principů jí dává zvláštní přitažlivou sílu, dělá ji krásnou. Kromě toho má ale velký význam Pythagorova věta: v geometrii se uplatňuje doslova na každém kroku a o její gigantické velikosti svědčí fakt, že existuje asi 500 různých důkazů této věty (geometrické, algebraické, mechanické atd.). počet konkrétních implementací. Objev Pythagorovy věty je obklopen svatozář krásných legend.

Dnes se Pythagorova věta nachází v různých konkrétních problémech a kresbách: jak v egyptském trojúhelníku v papyru z doby faraona Amenemhata prvního (asi 2000 př. n. l.), tak v babylonských klínových tabulkách z doby krále Hammurabiho ( XVIII století před naším letopočtem) a ve starověkém indickém geometricko-teologickém pojednání ze 7.-5. před naším letopočtem NS. "Sulva sútra" ("Pravidla provazu"). V nejstarším čínském pojednání „Zhou-bi Xuan Jin“, jehož doba vzniku není přesně známa, se uvádí, že ve XII. před naším letopočtem NS. Číňané znali vlastnosti egyptského trojúhelníku a do VI. stol. před naším letopočtem NS. - a obecná forma teorémy. Navzdory tomu všemu je Pythagorovo jméno tak pevně srostlé s Pythagorovou větou, že je nyní prostě nemožné si představit, že se tato fráze rozpadne. Dnes je všeobecně přijímáno, že Pythagoras podal první důkaz teorému, který nese jeho jméno. Ani z tohoto důkazu se bohužel nedochovaly žádné stopy.

Podle slavného vědce I. Keplera "geometrie vlastní dva poklady - Pythagorovu větu a zlatý řez, a pokud lze první z nich porovnat s mírou zlata, pak druhý - s drahým kamenem ..." .

Pythagorova věta je jednou z hlavních a dalo by se říci i nejdůležitější věty geometrie. Jeho význam spočívá v tom, že z něj nebo s jeho pomocí lze odvodit většinu geometrických vět.

Jeden americký matematik, náš současník, sbírá různé metody dokazování Pythagorovy věty asi 20 let a nyní jeho „sbírka“ obsahuje asi 300 různých důkazů. To naznačuje, že starověká věta je pro lidi stále aktuální a zajímavá.

PROTI školní kurz geometrie s pomocí Pythagorovy věty se řeší pouze matematické úlohy. Otázka praktické aplikace Pythagorovy věty se bohužel nezvažuje.

V současnosti se obecně uznává, že úspěch rozvoje mnoha oblastí vědy a techniky závisí na rozvoji různých oblastí matematiky. Důležitou podmínkou pro zvýšení efektivity výroby je plošné zavádění matematických metod do technologie a národní ekonomika, která zahrnuje tvorbu nových, efektivní metody kvalitativní a kvantitativní výzkum, který vám umožní řešit problémy, které přináší praxe.

Předmět výzkumu: Pythagorova věta.

Předmět zkoumání: různé interpretace a metody dokazování Pythagorovy věty, její aplikace při řešení praktických problémů.

Studiem další literatury na zvolené téma byly předloženy hypotézy:

1) existují další výklady Pythagorovy věty;

2) Pythagorova věta se používá k řešení mnoha praktických problémů .

Účel výzkumu: pečlivě prostudovat formulaci Pythagorovy věty, analyzovat důkazy a pomocí zobecnění navrhnout další interpretace Pythagorovy věty a také zjistit oblasti použití Pythagorovy věty.

K dosažení cíle byly stanoveny následující úkoly:

1. Analyzujte historii Pythagorovy věty.

2. Prozkoumejte různé metody důkazu a zvažte další výklady Pythagorovy věty.

3. Ukaž praktické využití Pythagorova věta.

V první kapitole výzkumná práce zvažte historii Pythagorovy věty.

Ve druhé kapitole se podíváme na různé způsoby dokazování Pythagorovy věty.

Ve třetí kapitole se podíváme na různé výklady Pythagorovy věty.

Podíváme se na některé klasické důkazy Pythagorovy věty známé ze starověkých pojednání. Je také užitečné to udělat, protože moderní školní učebnice poskytují algebraický důkaz věty. Zároveň beze stopy mizí prvotní geometrická aura teorému, ztrácí se ono vlákno Ariadny, které vedlo dávné mudrce k pravdě, a tato cesta se téměř vždy ukázala jako nejkratší a vždy krásná.

Kapitola 1. Historie Pythagorovy věty.

1.1. Životopis Pythagora.

Velký vědec Pythagoras se narodil kolem roku 570 před naším letopočtem. NS. na ostrově Samos. Pythagorovým otcem byl Mnesarchos, řezbář drahokamů. Jméno Pythagorovy matky není známo. Podle mnoha starověkých svědectví byl chlapec, který se narodil, pohádkově pohledný a brzy ukázal své mimořádné schopnosti. Mezi učiteli mladých Pythagoras tradice jmenuje starší Hermodamantus a Therekides ze Syros (ačkoli neexistuje žádná pevná víra, že to byli Hermodamantes a Therekides, kteří byli prvními učiteli Pythagoras). Mladý Pythagoras trávil celé dny u nohou staršího Hermodamanta a poslouchal melodie cithary a Homérových hexametrů. Pythagoras si po celý život uchoval vášeň pro hudbu a poezii velkého Homéra. A jako uznávaný mudrc, obklopený davem učedníků, začal Pythagoras den zpěvem jedné z Homérových písní. Ferekid byl filozof a byl považován za zakladatele italské filozofické školy. Jestliže tedy Hermodamantes uvedl mladého Pythagora do kruhu múz, pak Therekides obrátil svou mysl k Logu. Ferekid nasměroval pohled Pýthagora k přírodě a v ní samotné radil vidět svého prvního a hlavního učitele. Ale budiž, neklidná fantazie mladého Pýthagora se na malém Samosovi velmi brzy stiskla a vydal se do Milétu, kde potkal dalšího vědce – Thalese. Thales mu radí, aby se vydal za poznáním do Egypta, což Pythagoras udělal.

V roce 548 př.n.l. NS. Pythagoras dorazil do Navcratis - kolonie Samos, kde to bylo, u koho najít úkryt a jídlo. Poté, co studoval jazyk a náboženství Egypťanů, odjíždí do Memphisu. Navzdory faraonovu doporučujícímu dopisu mazaní kněží nijak nespěchali, aby odhalili svá tajemství Pythagorovi a nabídli mu těžké zkoušky. Pýthagoras je však táhl touhou po vědění a všechny překonal, ačkoli podle vykopávek ho egyptští kněží nemohli mnoho naučit, protože egyptská geometrie byla v té době čistě aplikovanou vědou (uspokojující tehdejší potřebu počítání a měření pozemky). Proto, když se dozvěděl vše, co mu kněží dali, utekl od nich a přestěhoval se do své vlasti v Hellas. Když však Pythagoras podnikl část cesty, rozhodl se pro cestu po zemi, během níž byl zajat Kambýsem, babylónským králem, který mířil domů. Neměli byste dramatizovat život Pythagora v Babylonu, protože velký vládce Kýros byl tolerantní ke všem zajatcům. Babylonská matematika byla nepochybně rozvinutější (příkladem toho je poziční systém počtu) než egyptská a Pythagoras se měl hodně co učit. Ale v roce 530 př.n.l. NS. Cyrus se vydal na tažení proti kmenům v Střední Asie... A Pythagoras využil rozruchu ve městě a uprchl do své vlasti. A na Samosu v té době vládl tyran Polykrates. Pythagoras samozřejmě nebyl spokojen se životem dvorního otroka a odešel do jeskyní v okolí Samosu. Po několika měsících nároků od Polykrata se Pythagoras přestěhoval do Crotonu. V Krotónu Pythagoras založil něco jako nábožensko-etické bratrstvo nebo tajný mnišský řád ("Pythagorejci"), jehož členové se zavázali vést tzv. pythagorejský způsob života. Byla to zároveň náboženská unie, politický klub a vědecká společnost. Musím říci, že některé principy hlásané Pythagorem jsou hodné napodobování i nyní.

uplynulo 20 let. Sláva bratrstva se rozšířila po celém světě. Jednou Kylon přijde za Pythagoras, bohatý muž, ale zlý, který se chce připojit k bratrstvu opilý. Odmítnutý Kylon se pustí do boje s Pythagorasem a využije žhářství jeho domu. Pythagorejci při požáru zachránili život svému učiteli za cenu svých, načež Pythagoras upadl do deprese a brzy spáchal sebevraždu.

1.2. Historie Pythagorovy věty.

Obvykle se objev Pythagorovy věty připisuje starověkému řeckému filozofovi a matematikovi Pythagorovi. Studium babylonských tabulek klínového písma a starověkých čínských rukopisů však ukázalo, že tento výrok byl znám dávno před Pythagorem, možná tisíce let před ním. Pythagorovou zásluhou bylo, že objevil důkaz této věty.

Pythagorova věta se také nazývá „teorém nevěsty“. Faktem je, že v „Prvcích“ Euklida je označována také jako „věta o nymfě“, jen její kresba je velmi podobná včelě nebo motýlovi a Řekové jim říkali nymfy. Ale když Arabové přeložili tuto větu, mysleli si, že nymfa je nevěsta. Tak vyšel „teorém o nevěstě“. V Indii se tomu navíc říkalo také „pravidlo provazu“.

Začněme historickým přehledem původu teorému ze staré Číny. Zde přitahuje zvláštní pozornost matematická kniha Chu-pei. V této práci se o pythagorejském trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5 říká: „Pokud se pravý úhel rozloží na jednotlivé části, pak čára spojující konce jeho stran bude 5, když základna bude 3 a výška je 4". Ve stejné knize je navržena kresba, která se shoduje s jednou z kreseb hinduistické geometrie Baskhary.

Cantor (největší německý historik matematiky) se domnívá, že rovnost 32 + 42 = 52 znali Egypťané již kolem roku 2300 před naším letopočtem. e., za dob krále Amenemhata I. (podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „tahy na laně“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5. Je velmi snadné reprodukovat jejich konstrukční metodu. Vezměte lano dlouhé 12 m a přivažte ho k němu po barevném pruhu ve vzdálenosti 3 m od jednoho konce a 4 m od druhého. Pravý úhel bude uzavřen mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Harpedonapti by mohli namítnout, že jejich způsob stavby se stává nadbytečným, použijete-li například dřevěný čtverec, který používají všichni tesaři. Skutečně jsou známy egyptské kresby, na kterých se takový nástroj nachází, například kresby zobrazující truhlářskou dílnu.

Poněkud více je známo o babylonské Pythagorově větě. V jednom textu pocházejícím z doby Hammurabiho, tedy do roku 2000 př.n.l. př. n. l. je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku. Z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii uměli provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech.

Geometrie u Hindů, stejně jako u Egypťanů a Babyloňanů, úzce souvisela s kultem. Je velmi pravděpodobné, že věta o čtverci přepony byla známa ve starověké Indii již kolem 18. století. před naším letopočtem NS.

V prvním ruském překladu euklidovských „prvků“ je Pythagorova věta uvedena takto: „V pravoúhlých trojúhelníkech je čtverec ze strany protilehlé k pravému úhlu roven součtu čtverců ze stran. obsahující pravý úhel."

Nyní je známo, že tuto větu neobjevil Pythagoras. Někteří se však domnívají, že Pythagoras byl první, kdo podal úplný důkaz, zatímco jiní mu tuto zásluhu upírají. Někteří připisují Pythagorovi důkaz, který Euclid podává v první knize svých Principů. Na druhé straně Proclus tvrdí, že důkaz v Elementech patří samotnému Euklidovi. Jak vidíme, historie matematiky nemá téměř žádné spolehlivé údaje o životě Pythagora a jeho matematických aktivitách. Na druhé straně legenda uvádí i bezprostřední okolnosti doprovázející objev věty. Říká se, že na počest tohoto objevu obětoval Pythagoras 100 býků.

Van der Waerden (nizozemský matematik) na jedné straně na základě současné úrovně znalostí o egyptské a babylonské matematice a na druhé straně na základě kritického studia řeckých pramenů k tomuto závěru:

„Zásluhou prvních řeckých matematiků, jako byli Thales, Pythagoras a Pythagorejci, není objev matematiky, ale její systematizace a zdůvodnění. V jejich rukou se výpočetní receptury založené na vágních představách staly exaktní vědou."

Kapitola 2. Různé způsoby dokazování Pythagorovy věty.

2.1. Formulace a rysy Pythagorovy věty.

Pythagorova věta je jednou ze základních teorémů Euklidovské geometrie, která zakládá vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.

Zpočátku věta stanovila vztah mezi plochami čtverců postavených na přeponě a rameny pravoúhlého trojúhelníku: „V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu čtverců délek přepony. nohy."

Algebraická formulace: "V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu čtverců délek nohou."

To znamená, že když označíme délku přepony trojúhelníku přes c a délky ramen přes a a b, dostaneme: a2 + b2 = c2.

Oba výroky věty jsou ekvivalentní, ale druhý výrok je elementárnější, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrzení lze zkontrolovat, aniž bychom věděli cokoli o ploše a změřili pouze délky stran pravoúhlého trojúhelníku.

Stojí za zmínku, že formulace věty uvedené ve školní učebnici zpočátku zněla úplně jinak. Zde jsou překlady formulací Pythagorovy věty z různých zdrojů:

1. V Euklidovi tato věta říká: "V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec strany natažené přes pravý úhel rovná čtvercům na stranách, které svírají pravý úhel."

2. Latinský překlad arabského textu Annairitsi (asi 900 n. l.), který vytvořil Gerhard z Cremony (počátek 12. století), zní: „V každém pravoúhlém trojúhelníku se čtverec vytvořený na straně natažené přes pravý úhel rovná na součet dvou čtverců vytvořených na dvou stranách svírajících pravý úhel “.

3. V Geometria Gulmonensis (asi 1400) teorém zní takto: "Takže plocha čtverce, měřená podél dlouhé strany, je stejně velká jako plocha dvou čtverců, které jsou měřeny na dvou jeho stranách, vedle pravého úhlu."

4. V prvním ruském překladu euklidovských „prvků“ z řečtiny („Euklidovské počátky osmi knih obsahujících základy geometrie“, Petrohrad, 1819) je Pythagorova věta uvedena takto: úhel je roven součet čtverců stran obsahujících pravý úhel."

Pythagorova věta je speciálním případem kosinové věty, která zakládá vztah mezi stranami libovolného trojúhelníku, a Pythagorova věta je známá také nejen v rovině, ale i v prostoru: „Čtverec úhlopříčky pravoúhlý rovnoběžnostěn rovný součtu čtverců jeho měření."

Platí také obrácené tvrzení (nazývané věta inverzní Pythagorovy věty): „Pro libovolnou trojici kladných čísel a, b a c, že ​​a² + b² = c², existuje pravoúhlý trojúhelník s rameny a a b a přepona c."

Je však známo, že ji používali k řešení různých problémů dávno před Pythagorasem staří Egypťané, Babyloňané, Číňané, hinduisté a další starověké národy.

Ve druhé kapitole jsme se podívali na různé způsoby dokazování Pythagorovy věty. Pythagoras nejprve dokázal pouze speciální případ věty: uvažoval o rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku. Kresba, která se používá k prokázání tohoto případu, se vtipně nazývá „Pythagorejské kalhoty“ a dodává: ve všech směrech jsou si rovni.

Seznámit se různé způsoby na důkaz Pythagorovy věty jsme si všimli, že některé z nich jsou založeny na vlastnosti rovnoúměrných útvarů, jiné na doplňku stejných útvarů a další na vlastnosti stejně velkých útvarů (se stejnými plochami). V této práci jsme zvažovali pouze několik způsobů dokazování slavná věta je jich však mnohem více.

Po studiu historie objevu Pythagorovy věty se ukázalo, že Pythagoras neobjevil samotnou větu, ale její důkaz. Zkoumání různé metody důkazů Pythagorovy věty, ukázalo se, že takových důkazů je obrovské množství a lze je rozdělit na následující:

§ důkaz prodloužením

§ důkaz rozkladem

§ algebraická metoda důkazu

§ vektorový důkaz

§ důkaz pomocí podobnosti atd.

Ve třetí kapitole jsme se zabývali několika elementárními příklady praktických problémů, ve kterých je při řešení aplikována Pythagorova věta.

Po objasnění praktického významu Pythagorovy věty se ukázalo, že věta má velké uplatnění v Každodenní život v různých oblastech lidské činnosti: astronomie, stavebnictví, mobilní komunikace, architektura.

Takže jako výsledek studie jsme našli další interpretace Pythagorovy věty a objasnili některé oblasti použití věty. K tomuto tématu jsme shromáždili a zpracovali mnoho materiálů z literárních zdrojů a internetu. Některé jsme studovali historické informace o Pythagorovi a jeho větě, považované za číslo historické úkoly o aplikaci Pythagorovy věty. V důsledku řešení stanovených úkolů jsme došli k závěru, že námi předložené hypotézy se potvrdily. Ano, skutečně, pomocí Pythagorovy věty je možné řešit nejen matematické problémy. Pythagorova věta našla své uplatnění ve stavebnictví a architektuře, mobilních komunikacích.

Výsledkem naší práce je:

§ osvojení dovednosti práce s literárními prameny;

§ osvojení vyhledávacích dovedností správný materiál na internetu;

§ naučili jsme se pracovat s velkým množstvím informací, vybírat potřebné informace.

Bibliografie.

1. Aleksejev. Příprava na zkoušku: učební pomůcka, M., 2011.

2. Boltyansky a rovné postavy. M., 1956.

3. Van der Waerdenova věda. Matematika Starověký Egypt, Babylon a Řecko. M., 1959.

4. Ještě jednou o Pythagorově větě // Pedagogicko-metodické noviny „Matematika, č. 4, 2005.

5., Příručka pro školáky Yatsenko. M., 2008.

6. Pythagorova věta. M., 1960.

7. Několik způsobů dokazování Pythagorovy věty // Pedagogicko-metodické noviny Mathematics, č. 24, 2010.

8. Studujeme geometrii, M., 2007.

9. Tkačevova matematika. M., 1994.

10. K Pythagorově větě a metodám jejího důkazu G. Glazer, akademik Ruské akademie vzdělávání, Moskva

11. Věta o Pythagorově a pythagorejské trojici kapitola z knihy DV Anosova "Pohled na matematiku a něco z ní"

12. Stránka o Pythagorově větě s velkým množstvím důkazů, materiál převzat z knihy V. Litzmana.

13.http: // encyklopedie. ***** / bios / nauka / pifagor / pifagor. html

14.http: // moypifagor. ***** / použití. htm

15.http: // moypifagor. ***** / literatura. htm