Die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras. Satz des Pythagoras

rundherum

Die Geschichte des Satzes des Pythagoras reicht Jahrhunderte und Jahrtausende zurück. In diesem Artikel werden wir nicht im Detail auf historische Themen eingehen. Sagen wir einfach, dass dieses Theorem anscheinend sogar den altägyptischen Priestern bekannt war, die mehr als 2000 Jahre v. Chr. Lebten. Für Neugierige hier ein Link zum Wikipedia-Artikel.

Zunächst möchte ich hier der Vollständigkeit halber den Beweis des Satzes des Pythagoras anführen, der meiner Meinung nach der eleganteste und naheliegendste ist. Die obige Abbildung zeigt zwei identische Quadrate: links und rechts. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Flächen der schraffierten Figuren links und rechts gleich sind, da in den großen Quadraten jeweils 4 identische rechtwinklige Dreiecke schraffiert sind. Und damit sind auch die ungefüllten (weißen) Flächen links und rechts gleich. Beachten Sie, dass im ersten Fall die Fläche der nicht schattierten Figur und im zweiten Fall die Fläche der nicht schattierten Fläche ist. Auf diese Weise, . Satz bewiesen!

Wie kann man diese Nummern anrufen? Man kann sie nicht Dreiecke nennen, weil vier Zahlen auf keinen Fall ein Dreieck bilden können. Und hier! Wie ein Blitz aus heiterem Himmel

Da es solche Zahlenquadrupel gibt, muss es ein geometrisches Objekt mit denselben Eigenschaften geben, das sich in diesen Zahlen widerspiegelt!

Jetzt müssen Sie nur noch ein geometrisches Objekt für diese Eigenschaft aufheben, und alles passt zusammen! Natürlich war die Annahme rein hypothetisch und hatte keine Bestätigung unter sich. Aber was ist, wenn es so ist!

Die Suche nach Objekten hat begonnen. Sterne, Polygone, regelmäßig, unregelmäßig, mit rechter Winkel und so weiter und so fort. Wieder passt nichts. Was zu tun ist? Und in diesem Moment bekommt Sherlock seine zweite Spur.

Wir müssen uns vergrößern! Da das Tripel einem Dreieck in der Ebene entspricht, entspricht das Quadrupel etwas Dreidimensionalem!

Oh nein! Wieder zu viele Optionen! Und in drei Dimensionen gibt es noch viel, viel mehr alle Arten von geometrischen Körpern. Versuchen Sie, sie alle zu sortieren! Aber es ist gar nicht so schlimm. Es gibt auch einen rechten Winkel und andere Hinweise! Was wir haben? Ägyptische Zahlenquadrupel (lass es ägyptisch sein, du musst sie irgendwie nennen), ein rechter Winkel (oder Winkel) und ein dreidimensionales Objekt. Der Abzug hat funktioniert! Und ... Ich glaube, das haben schlagfertige Leser schon verstanden wir redenüber Pyramiden, bei denen an einer der Ecken alle drei Winkel richtig sind. Du kannst sie sogar anrufen rechteckige Pyramidenähnlich einem rechtwinkligen Dreieck.

Neues Theorem

Wir haben also alles, was wir brauchen. Rechteckige (!) Pyramiden, seitlich Seitenbeine und sekant Gesicht-Hypotenuse. Es ist Zeit, ein weiteres Bild zu zeichnen.

Das Bild zeigt eine Pyramide mit einem Scheitelpunkt im Ursprung rechtwinkliger Koordinaten (die Pyramide liegt sozusagen auf der Seite). Die Pyramide wird durch drei zueinander senkrechte Vektoren gebildet, die vom Ursprung entlang aufgetragen sind Koordinatenachsen. Das heißt, jede Seitenfläche der Pyramide ist rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel im Ursprung. Die Enden der Vektoren definieren die Schnittebene und bilden die Grundfläche der Pyramide.

Satz
Lassen Sie es eine rechteckige Pyramide geben, die aus drei zueinander senkrechten Vektoren besteht , in denen die Bereiche der Seitenbeine - , und der Bereich der Hypotenuse - . Dann
Alternativformulierung: Bei einer tetraedrischen Pyramide, bei der an einer der Ecken alle flachen Winkel rechtwinklig sind, ist die Summe der Quadrate der Flächen der Seitenflächen gleich dem Quadrat der Fläche der Grundfläche.

Wenn natürlich der übliche Satz des Pythagoras für die Seitenlängen von Dreiecken formuliert wird, dann ist unser Satz für die Flächen der Seiten der Pyramide formuliert. Der Beweis dieses Satzes in drei Dimensionen ist sehr einfach, wenn Sie sich mit Vektoralgebra auskennen.

Nachweisen
Wir drücken die Flächen durch die Längen der Vektoren aus.

wo .
Wir stellen die Fläche als die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms dar, das auf Vektoren und aufgebaut ist

Wie Sie wissen, ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein Vektor, dessen Länge numerisch gleich der Fläche des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist.
So

Auf diese Weise,

Q.E.D!
Als beruflich in der Forschung tätiger Mensch ist mir das in meinem Leben natürlich schon passiert, und das mehr als einmal. Aber dieser Moment war der hellste und denkwürdigste. Ich erlebte die ganze Bandbreite an Gefühlen, Emotionen, Erlebnissen des Entdeckers. Von der Geburt eines Gedankens, der Kristallisation einer Idee, dem Finden von Beweisen bis hin zum völligen Missverständnis und sogar zur Ablehnung, dass meine Ideen bei meinen Freunden, Bekannten und, wie es mir damals schien, bei der ganzen Welt auftraten. Es war einzigartig! Es war, als ob ich mich in den Schuhen von Galileo, Copernicus, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein und vielen vielen anderen Entdeckern fühlte.
Nachwort
Im Leben erwies sich alles als viel einfacher und prosaischer. Ich bin spät ... Aber wie viel! Nur etwas gerade 18 Jahre alt! Unter schrecklicher Folter und nicht zum ersten Mal hat Google mir gegenüber zugegeben, dass dieses Theorem 1996 veröffentlicht wurde!
Artikel veröffentlicht von Texas Technische Universität. Die Autoren, professionelle Mathematiker, führten eine Terminologie ein (die übrigens weitgehend mit meiner übereinstimmte) und bewiesen auch einen verallgemeinerten Satz, der für einen Raum jeder Dimension größer als eins gültig ist. Was passiert in Dimensionen größer als 3? Alles ist ganz einfach: Anstelle von Flächen und Flächen wird es Hyperflächen und mehrdimensionale Volumen geben. Und die Aussage bleibt natürlich gleich: Die Summe der Quadrate der Volumen der Seitenflächen ist gleich dem Quadrat des Volumens der Basis, - nur die Anzahl der Flächen wird größer und das Volumen jeder von ihnen wird gleich der Hälfte des Produkts der erzeugenden Vektoren. Kaum vorstellbar! Man kann nur, wie die Philosophen sagen, denken!
Überraschenderweise war ich überhaupt nicht verärgert, als ich erfuhr, dass ein solches Theorem bereits bekannt war. Irgendwo in der Tiefe meiner Seele ahnte ich, dass es durchaus möglich war, dass ich nicht der Erste war, und ich verstand, dass ich dafür immer bereit sein musste. Aber das emotionale Erlebnis, das ich dabei erhielt, hat in mir den Forscherfunken gezündet, der jetzt sicher nicht mehr vergehen wird!
P.S.
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Satz von de Gua
Auszug aus Wikipedia
1783 wurde das Theorem der Pariser Akademie der Wissenschaften von dem französischen Mathematiker J.-P. de Gois, aber es war zuvor René Descartes und vor ihm Johannes Fulgaber bekannt, der es wahrscheinlich 1622 erstmals entdeckte. In einer allgemeineren Form wurde das Theorem von Charles Tinsot (fr.) im Bericht der Pariser Akademie der Wissenschaften im Jahr 1774 formuliert
Ich bin also nicht 18 Jahre zu spät, aber mindestens ein paar Jahrhunderte zu spät!
Quellen
Leser haben einige nützliche Links in den Kommentaren bereitgestellt. Hier sind diese und einige andere Links:
Pythagoras von Samos ging als einer der profiliertesten Intellektuellen der Menschheit in die Geschichte ein. Es gibt viele ungewöhnliche Dinge in ihm, und es scheint, dass das Schicksal selbst einen besonderen Lebensweg für ihn vorbereitet hat.

Pythagoras gründete seine eigene religiöse und philosophische Schule und wurde als einer der größten Mathematiker berühmt. Sein Verstand und sein Einfallsreichtum waren der Zeit, in der er lebte, Hunderte von Jahren voraus.
Pythagoras von Samos
Kurze Biographie von Pythagoras

Natürlich wird uns eine kurze Biographie von Pythagoras nicht die Gelegenheit geben, diese einzigartige Persönlichkeit vollständig zu enthüllen, aber wir werden dennoch die wichtigsten Momente seines Lebens hervorheben.

Kindheit und Jugend

Das genaue Geburtsdatum von Pythagoras ist unbekannt. Historiker vermuten, dass er zwischen 586-569 geboren wurde. BC, auf der griechischen Insel Samos (daher der Spitzname „Samos“). Einer Legende nach wurde den Eltern von Pythagoras vorausgesagt, dass ihr Sohn ein großer Weiser und Erleuchter werden würde.

Pythagoras' Vater hieß Mnesarchus und seine Mutter war Parthenia. Das Familienoberhaupt war mit der Verarbeitung von Edelsteinen beschäftigt, daher war die Familie ziemlich wohlhabend.

Erziehung und Bildung

Bereits in junges Alter Pythagoras zeigte Interesse an verschiedenen Wissenschaften und Künsten. Sein erster Lehrer hieß Hermodamant. Er legte dem zukünftigen Wissenschaftler die Grundlagen für Musik, Malerei und Grammatik und zwang ihn auch, Passagen aus Homers Odyssee und Ilias auswendig zu lernen.

Als Pythagoras 18 Jahre alt war, beschloss er, zu gehen, um noch mehr Wissen und Erfahrungen zu sammeln. Dies war ein ernster Schritt in seiner Biographie, aber er war nicht dazu bestimmt, sich zu verwirklichen. Pythagoras konnte Ägypten nicht betreten, weil es für die Griechen gesperrt war.

Pythagoras hielt auf der Insel Lesbos an und begann, Physik, Medizin, Dialektik und andere Wissenschaften von Pherekides of Syros zu studieren. Nachdem er mehrere Jahre auf der Insel gelebt hatte, wollte er Milet besuchen, wo noch der berühmte Philosoph Thales lebte, der die erste philosophische Schule Griechenlands gründete.

Sehr bald wird Pythagoras einer der gebildetsten und berühmte Menschen seiner Zeit. Nach einiger Zeit kommt es jedoch zu drastischen Veränderungen in der Biografie des Weisen, als der Perserkrieg begann.

Pythagoras gerät in babylonische Gefangenschaft und lebt lange Zeit in Gefangenschaft.

Mystik und Heimkehr

Aufgrund der Tatsache, dass Astrologie und Mystik in Babylon beliebt waren, wurde Pythagoras süchtig nach dem Studium verschiedener mystischer Geheimnisse, Bräuche und übernatürlicher Phänomene. Die ganze Biographie von Pythagoras ist voll von Suchen und Lösungen aller Art, die seine Aufmerksamkeit so auf sich gezogen haben.

Nach mehr als 10 Jahren Gefangenschaft wird er unerwartet persönlich vom persischen König befreit, der die Weisheit des gelehrten Griechen aus erster Hand kannte.

Sobald Pythagoras frei ist, kehrt er sofort in seine Heimat zurück, um seinen Landsleuten von dem erworbenen Wissen zu erzählen.

Schule des Pythagoras

Dank umfangreichem Wissen, konstanter und Oratorium schafft er es, schnell Ruhm und Anerkennung unter den Einwohnern Griechenlands zu erlangen.

Bei den Reden des Pythagoras gibt es immer wieder viele Menschen, die über die Weisheit des Philosophen staunen und in ihm fast eine Gottheit sehen.

Einer der Hauptpunkte der Biographie von Pythagoras ist die Tatsache, dass er eine Schule geschaffen hat, die auf seinen eigenen Prinzipien des Weltverständnisses basiert. Sie hieß so: die Schule der Pythagoräer, also der Anhänger des Pythagoras.

Er hatte auch seine eigene Art zu unterrichten. Zum Beispiel durften die Schüler während des Unterrichts nicht sprechen und keine Fragen stellen.

Dank dessen konnten die Jünger Bescheidenheit, Sanftmut und Geduld kultivieren.

Für einen modernen Menschen mögen diese Dinge seltsam erscheinen, aber vergessen Sie nicht, dass dies in der Zeit von Pythagoras das eigentliche Konzept war Schulung Nach unserem Verständnis gab es einfach nicht.

Mathematik

Neben Medizin, Politik und Kunst beschäftigte sich Pythagoras vor allem mit der Mathematik. Es ist ihm gelungen, einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung zu leisten.

Bisher gilt in Schulen auf der ganzen Welt der Satz des Pythagoras als der beliebteste Satz: a 2 + b 2 \u003d c 2. Jeder Schüler erinnert sich, dass "pythagoräische Hosen in alle Richtungen gleich sind".

Außerdem gibt es eine „pythagoräische Tafel“, mit der Zahlen multipliziert werden konnten. Im Wesentlichen dies moderner Tisch Multiplikation, nur etwas anders.

Numerologie des Pythagoras

Es gibt eine bemerkenswerte Sache in der Biographie von Pythagoras: Er war sein ganzes Leben lang sehr an Zahlen interessiert. Mit ihrer Hilfe versuchte er, die Natur der Dinge und Phänomene, des Lebens und des Todes, des Leidens, des Glücks und anderer zu verstehen wichtige Themen Sein.

Er verband die Zahl 9 mit Beständigkeit, die 8 mit dem Tod, und er widmete auch dem Quadrat der Zahlen große Aufmerksamkeit. In diesem Sinne war die perfekte Zahl 10. Pythagoras nannte die Zehn das Symbol des Kosmos.

Die Pythagoräer waren die ersten, die Zahlen in gerade und ungerade einteilten. Gerade Zahlen, so der Mathematiker, hätten ein weibliches Prinzip, ungerade Zahlen ein männliches.

In jenen Tagen, als es noch keine Wissenschaft als solche gab, lernten die Menschen das Leben und die Weltordnung so gut sie konnten. Auf diese und andere Fragen versuchte Pythagoras als großer Sohn seiner Zeit mit Hilfe von Zahlen und Zahlen Antworten zu finden.

Philosophische Lehre

Die Lehren des Pythagoras lassen sich in zwei Kategorien einteilen:

Wissenschaftliche Herangehensweise

Religiosität und Mystik

Leider wurden nicht alle Werke von Pythagoras gerettet. Und das alles aufgrund der Tatsache, dass der Wissenschaftler praktisch keine Notizen gemacht und das Wissen mündlich an die Schüler weitergegeben hat.

Abgesehen davon, dass er Wissenschaftler und Philosoph ist, kann Pythagoras zu Recht als religiöser Erneuerer bezeichnet werden. Darin war Leo Tolstoi ein bisschen wie er (wir haben es in einem separaten Artikel veröffentlicht).

Pythagoras war Vegetarier und ermutigte seine Anhänger dazu. Er erlaubte den Schülern nicht, Lebensmittel tierischen Ursprungs zu essen, verbot ihnen, Alkohol zu trinken, zu fluchen und sich obszön zu benehmen.

Interessant ist auch, dass Pythagoras nicht lehrte gewöhnliche Menschen die nur oberflächliches Wissen erlangen wollten. Er nahm nur diejenigen als Schüler an, in denen er auserwählte und erleuchtete Individuen sah.

Privatleben

Wenn man die Biographie von Pythagoras studiert, kann man den falschen Eindruck gewinnen, dass er keine Zeit für sein persönliches Leben hatte. Dies ist jedoch nicht ganz richtig.

Als Pythagoras ungefähr 60 Jahre alt war, traf er bei einem seiner Auftritte ein wunderschönes Mädchen namens Theana.

Sie heirateten und bekamen aus dieser Ehe einen Jungen und ein Mädchen. Der herausragende Grieche war also ein Familienmensch.

Tod

Überraschenderweise kann keiner der Biographen eindeutig sagen, wie der große Philosoph und Mathematiker starb. Es gibt drei Versionen seines Todes.

Dem ersten zufolge wurde Pythagoras von einem der Schüler getötet, den er nicht unterrichten wollte. In einem Anfall von Wut zündete der Mörder die Akademie des Wissenschaftlers an, wo er starb.

Die zweite Version erzählt, dass die Anhänger des Wissenschaftlers, die ihn vor dem Tod retten wollten, während des Feuers eine Brücke aus ihren eigenen Körpern errichteten.

Die häufigste Version des Todes von Pythagoras ist jedoch sein Tod während eines bewaffneten Konflikts in der Stadt Metapont.

Der große Wissenschaftler lebte mehr als 80 Jahre und starb 490 v. e. Er hat in seinem langen Leben viel bewegt und gilt zu Recht als einer der herausragendsten Köpfe der Geschichte.

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Prvidentsev Vladislav, Farafonova Ekaterina
Projektarbeit von Studierenden für eine mathematische Tagung

Herunterladen:
Vorschau:
BEI TR NGO „Trosnyansk Sekundarschule“
Studentische mathematische Konferenz, die dem großen Mathematiker Pythagoras gewidmet ist
(innerhalb der Woche der Mathematik in der Schule)
Geschichte des Satzes des Pythagoras
(Projekt)
Vorbereitet
Schüler der 9. Klasse
Farafonova Ekaterina und Prvidentsev Vladislav
Lehrer Bilyk T.V.
Januar - 2016
Ziele:
1. Erweitern Sie Ihr Wissen über die Geschichte der Mathematik.
2. Machen Sie sich mit biografischen Fakten aus dem Leben von Pythagoras vertraut, die sich auf den Satz beziehen.
3. Die Geschichte des Satzes des Pythagoras anhand von Mythen und Legenden der Antike zu studieren.
4. Betrachten Sie die Anwendung des Satzes des Pythagoras bei der Lösung von Problemen aus verschiedenen Bereichen der Geometrie.

Planen.
1. Einleitung
2. Aus der Geschichte des Theorems
3. Gedichte über Pythagoras
4. Fazit
5. Schlussfolgerung
Einführung.
Der Satz des Pythagoras ist seit langem in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Technologie und Wissenschaft weit verbreitet praktisches Leben. Der römische Architekt und Ingenieur Vitruv, der griechische Moralist Plutarch und der griechische Wissenschaftler lll c. Diogenes Laertius, Mathematiker des 5. Jahrhunderts Proclus und viele andere. Die Legende, dass Pythagoras zu Ehren seiner Entdeckung einen Stier oder, wie andere sagen, hundert Stiere opferte, diente in den Geschichten der Schriftsteller und in den Versen der Dichter als Anlass für Humor.
Der Dichter Heinrich Heine (1797-1856), bekannt für seine antireligiösen Ansichten und seinen vernichtenden Hohn auf den Aberglauben, macht sich in einem seiner Werke über die „Lehre“ der Seelenwanderung wie folgt lustig:
"Wer weiß! Wer weiß! Die Seele von Pythagoras hat sich vielleicht in einem armen Mann niedergelassen - einem Kandidaten, der die Sätze von Pythagoras nicht beweisen konnte und daher bei der Prüfung durchgefallen ist, während seine Prüfer von den Seelen genau jener Stiere bewohnt sind, die Pythagoras einst den unsterblichen Göttern geopfert hat , erfreut über die Entdeckung seines Theorems. Geschichte Satz des Pythagoras beginnt lange vor Pythagoras. Im Laufe der Jahrhunderte wurden zahlreiche verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras geliefert.
Aus der Geschichte des Theorems
Beginnen wir mit dem historischen Rückblick antikes China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt folgendes über das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: „Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 ist, und die Höhe ist 4." Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt.
Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt an Gleichberechtigung 32 + 42 = 52 war schon bekanntÄgypter noch um 2300 v. e., in der Zeit des Königs Amenemhat I (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Kantor bauten die Harpedonapten oder "Stringer" rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5. Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen. Man könnte den Harpedonapten einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man zum Beispiel den von allen Zimmerleuten verwendeten Holzwinkel verwendet. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerei darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras bekannt Babylonier . In einem zeitbezogenen Text Hammurabi , also bis 2000 v. h., eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben. Daraus können wir schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einem kritischen Studium griechischer Quellen kam Van der Waerden (ein niederländischer Mathematiker) zu folgendem Schluss:„Das Verdienst der ersten griechischen Mathematiker wie Thales, Pythagoras und der Pythagoräer ist nicht die Entdeckung der Mathematik, sondern ihre Systematisierung und Rechtfertigung. Indische Geometrie , wie die Ägypter und Babylonier, war eng mit dem Kult verbunden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Hypotenuse-Quadrat-Satz bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. in Indien bekannt war. e.

In der ersten russischen Übersetzung der euklidischen "Anfänge" von F. I. Petrushevsky wird der Satz des Pythagoras wie folgt angegeben:„Bei rechtwinkligen Dreiecken das Quadrat von der gegenüberliegenden Seite rechter Winkel, ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten, die den rechten Winkel enthalten".Es ist derzeit bekannt, dass dieser Satz nicht von Pythagoras entdeckt wurde. Einige glauben jedoch, dass Pythagoras der erste war, der seinen vollständigen Beweis erbrachte, während andere ihm dieses Verdienst absprechen. Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid im ersten Buch seiner Elemente gibt. Andererseits behauptet Proclus, dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst zu verdanken ist. Wie wir sehen können, hat die Geschichte der Mathematik fast keine zuverlässigen Daten über das Leben von Pythagoras und seine mathematische Tätigkeit. Aber die Legende berichtet sogar von den unmittelbaren Umständen, die die Entdeckung des Theorems begleiteten. Es wird gesagt, dass Pythagoras zu Ehren dieser Entdeckung 100 Stiere opferte.

Lange Zeit glaubte man, dass dieser Satz vor Pythagoras nicht bekannt war und deshalb „Satz des Pythagoras“ genannt wurde. Dieser Name hat sich bis heute erhalten. Es steht jedoch fest, dass dieser wichtigste Satz in babylonischen Texten vorkommt, die 1200 Jahre vor Pythagoras geschrieben wurden.
Dass ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ein Rechteck ist, war seit 2000 v. Chr. bekannt. die Ägypter, die wahrscheinlich dieses Verhältnis benutzten, um beim Bau von Gebäuden rechte Winkel zu konstruieren. In China war der Vorschlag für das Quadrat der Hypotenuse mindestens 500 Jahre vor Pythagoras bekannt. Dieser Satz war auch im alten Indien bekannt; dies wird durch die in den Sutras enthaltenen Sätze belegt.

Pythagoras machte viele wichtige Entdeckungen, aber der berühmteste Wissenschaftler war der von ihm bewiesene Satz, der jetzt seinen Namen trägt. Tatsächlich im moderne Lehrbücher Der Satz wird wie folgt formuliert: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel." - Wie man den Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck schreibt ABC mit Beinen a, b und Hypotenuse c.
a 2 + b 2 = c 2
Es wird angenommen, dass der Satz zur Zeit von Pythagoras anders klang: "Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind." Wirklich, Mit 2 ist die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse gebaut ist, a2 und b 2 - Bereiche von Quadraten, die auf den Beinen gebaut sind.
Wahrscheinlich wurde die im Satz des Pythagoras angegebene Tatsache zuerst für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke festgestellt. Ein auf der Hypotenuse gebautes Quadrat enthält vier Dreiecke. Und auf jedem Bein wird ein Quadrat gebaut, das zwei Dreiecke enthält. Abbildung 9 zeigt, dass die Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate ist.
Gedichte über Pythagoras.
Deutscher Schriftsteller A. Chamisso, der zu Beginn des Xl X Jahrhunderts. Teilnahme an einer Weltumsegelung auf dem russischen Schiff „Rurik“, schrieb folgende Gedichte:
Die Wahrheit wird ewig bleiben, wie bald
Kennt sie schwache Person!
Und jetzt der Satz des Pythagoras
Verna, wie sein fernes Alter.
Das Opfer war reichlich.
Götter von Pythagoras. Einhundert Bullen
Er gab dem Schlachten und Verbrennen
Hinter dem Licht ist ein Strahl, der aus den Wolken kam.
Daher seither
Ein wenig Wahrheit wird in die Welt geboren,
Die Bullen brüllen, spüren sie und folgen ihr.
Sie können das Licht nicht stoppen
Und sie können nur die Augen schließen und zittern
Von der Angst, die Pythagoras ihnen einflößte
Zusammenfassen:
Wenn uns ein Dreieck gegeben wird
Und außerdem mit einem rechten Winkel,
Das ist das Quadrat der Hypotenuse
Wir können immer leicht finden:
Wir bauen die Beine in einem Quadrat,
Wir finden die Summe der Grade
Und das auf so einfache Weise
Wir kommen zum Ergebnis.
Ein Test in Geometrie steht bevor, und bei Tests und Prüfungen gibt es manchmal Fälle, in denen sich die Schüler, nachdem sie ein Ticket herausgezogen haben, an die Formulierung des Theorems erinnern, aber vergessen, wo sie mit dem Beweis beginnen sollen. Um zu verhindern, dass Ihnen dies passiert, schlage ich eine Zeichnung vor - ein Referenzsignal. Ich denke, es wird Ihnen noch lange in Erinnerung bleiben.
Ivan Tsarevich schnitt dem Drachen den Kopf ab, und zwei neue wuchsen in ihm. In mathematischer Sprache heißt das: ausgegeben in Δ ABC-Höhe CD , und zwei neue rechtwinklige Dreiecke werden gebildet ADC und BDC.
Fazit.
Nach dem Studium des konstruierten Materials können wir schlussfolgern, dass der Satz des Pythagoras einer der wichtigsten Sätze der Geometrie ist, da er zum Beweis vieler anderer Sätze und zur Lösung vieler Probleme verwendet werden kann.
Pythagoras und die Schule von Pythagoras spielten eine große Rolle bei der Verbesserung der Methoden zur Lösung wissenschaftlicher Probleme: Die Position zur Notwendigkeit strenger Beweise war in der Mathematik fest verankert, was ihr die Bedeutung einer Spezialwissenschaft verlieh.

Es ist derzeit bekannt, dass dieser Satz nicht von Pythagoras entdeckt wurde. Einige glauben jedoch, dass es Pythagoras war, der als erster seinen vollen Beweis erbrachte, während andere ihm dieses Verdienst absprechen. Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid im ersten Buch seiner Elemente gibt. Andererseits behauptet Proclus, dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst zu verdanken ist.

Wie wir sehen können, hat die Geschichte der Mathematik fast keine zuverlässigen konkreten Daten über das Leben von Pythagoras und seine mathematische Tätigkeit. Aber die Legende erzählt sogar die unmittelbaren Umstände, die die Entdeckung des Theorems begleiteten. Viele kennen das Sonett des deutschen Romanciers Chamisso:

Die Wahrheit wird ewig bleiben, wie bald

Eine schwache Person wird es wissen!

Und jetzt der Satz des Pythagoras

Verna, wie in seiner fernen Zeit.

Das Opfer war reichlich.

Götter von Pythagoras. Einhundert Bullen

Er gab dem Schlachten und Verbrennen

Hinter dem Licht ist ein Strahl, der aus den Wolken kam.

Daher seither

Ein wenig Wahrheit wird in die Welt geboren,

Die Bullen brüllen, spüren sie, folgen,

Sie können das Licht nicht stoppen

Und sie können nur die Augen schließen und zittern

Von der Angst, die Pythagoras ihnen einflößte.

Beginnen wir mit einem historischen Überblick über den Satz des Pythagoras alt China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt Folgendes über das pythagoräische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5:

"Wenn gerade Injektion zersetzen auf der zusammengesetzt Teile, dann Linie, verbinden endet seine Seiten, Wille 5, Wenn Base Es gibt 3, ein Höhe 4".

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen.

Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen. Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt.

Kantor(der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3² + 4² = 5² den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. zur Zeit von König Amenemhet I. bekannt war (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums).

Laut Cantor bauten Harpedonapten oder "Stringer" rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5.

Den Babyloniern war etwas mehr über den Satz des Pythagoras bekannt. In einem Text aus der Zeit von Hammurabi, d.h. bis 2000 v. Chr. wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben; Daraus können wir schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte.

Geometrie beim Hindus war eng mit der Sekte verbunden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Hypotenuse-Quadrat-Satz bereits um das 8. Jahrhundert v. Chr. in Indien bekannt war. Neben rein rituellen Vorschriften gibt es Werke geometrisch-theologischer Natur, die sogenannten Sulvasutras. In diesen Schriften aus dem 4. oder 5. Jahrhundert v. Chr. begegnen wir der Konstruktion eines rechten Winkels aus einem Dreieck mit den Seiten 15, 36, 39.

v Mittel Jahrhundert der Satz des Pythagoras definierte die Grenze, wenn nicht des größtmöglichen, so doch zumindest guten mathematischen Wissens. Die charakteristische Zeichnung des Satzes des Pythagoras, die heute manchmal von Schulkindern zum Beispiel in einen Professor im Gewand oder einen Mann mit Zylinder verwandelt wird, wurde damals oft als Symbol der Mathematik verwendet.

Abschließend präsentieren wir verschiedene Formulierungen des Satzes des Pythagoras, übersetzt aus dem Griechischen, Lateinischen und Deutschen.

Euklid dieser Satz lautet (wörtliche Übersetzung):

v rechteckig Dreieck Platz Hand, gestreckt Oben Direkte Ecke, gleich Quadrate auf der Seiten, abschließend gerade Injektion.

Lateinische Übersetzung eines arabischen Textes Annaritia(um 900 v. Chr.) von Gerhard Cremonese(12. Jahrhundert) lautet (in Übersetzung):

"In beliebig rechteckig Dreieck Platz, gebildet auf der Seite, gestreckt Oben Direkte Ecke, gleich Summe zwei Quadrate, gebildet auf der zwei Seiten, abschließend gerade Injektion"

In Geometry Culmonensis (um 1400) lautet der Satz so (in Übersetzung): "So, Platz Platz, gemessen an lang Seite, Also gleich Großartig, wie beim zwei Quadrate, die gemessen an zwei Parteien seine, angrenzend Zu Direkte Ecke"

In der russischen Übersetzung der euklidischen "Anfänge" wird der Satz des Pythagoras wie folgt angegeben: „V rechteckig Dreieck Platz von Hand, Gegenteil Direkte Ecke, gleich Summe Quadrate von Seiten, enthält gerade Injektion".

Wie wir sehen, in verschiedene Länder und verschiedene Sprachen Es gibt verschiedene Versionen der Formulierung des bekannten Theorems. Erstellt in andere Zeit und in verschiedenen Sprachen spiegeln sie die Essenz eines mathematischen Musters wider, dessen Beweis auch mehrere Optionen hat.

pythagoras mathematik beweis

Urban Wissenschaftliche und praktische Tagung

"Start in der Wissenschaft"

Berühmte Sätze (Satz des Pythagoras)

Abschnitt „Schöpfungskraft

große Entdeckungen in der Mathematik

3.4 Anwendung im Mobilfunk…………………………………………………………….26

Fazit ………………………………………………………………………………………………27

Referenzen…………………………………………………………………………………...29

Einführung.

Es ist schwierig, jemanden zu finden, der den Namen Pythagoras nicht mit dem Satz des Pythagoras in Verbindung bringt. Vielleicht erinnern sich sogar diejenigen, die sich für immer in ihrem Leben von der Mathematik verabschiedet haben, an die „Pythagoräische Hose“. Der Grund für diese Popularität des Satzes des Pythagoras ist dreieinig: Es ist Einfachheit – Schönheit – Bedeutung. Tatsächlich ist der Satz des Pythagoras einfach, aber nicht offensichtlich. Diese Kombination zweier widersprüchlicher Prinzipien verleiht ihr eine besondere Anziehungskraft, macht sie schön. Darüber hinaus ist der Satz des Pythagoras von großer Bedeutung: Er wird in der Geometrie buchstäblich auf Schritt und Tritt verwendet, und die Tatsache, dass es etwa 500 verschiedene Beweise für diesen Satz gibt (geometrisch, algebraisch, mechanisch usw.), weist auf eine gigantische Zahl hin seiner spezifischen Implementierungen. Die Entdeckung des Satzes durch Pythagoras ist von einem Heiligenschein schöner Legenden umgeben.

Heute findet sich der Satz des Pythagoras in verschiedenen besonderen Problemen und Zeichnungen wieder: sowohl im ägyptischen Dreieck im Papyrus aus der Zeit des Pharao Amenemhat dem Ersten (ca. 2000 v. Chr.) als auch in den babylonischen Keilschrifttafeln aus der Zeit des Königs Hammurabi (XVIII Jahrhundert v. Chr.) und in der altindischen geometrisch-theologischen Abhandlung des 7. - 5. Jahrhunderts. BC e. Sulva Sutra (Regeln des Seils). In der alten chinesischen Abhandlung "Zhou-bi suan jin", deren Entstehungsdatum nicht genau bekannt ist, heißt es im 12. Jahrhundert. BC e. Die Chinesen kannten die Eigenschaften des ägyptischen Dreiecks und im VI. Jahrhundert. BC e. - und generelle Form Sätze. Trotz alledem ist der Name Pythagoras so fest mit dem Satz des Pythagoras verschmolzen, dass man sich heute einfach nicht mehr vorstellen kann, dass dieser Satz auseinanderfallen wird. Heute ist allgemein anerkannt, dass Pythagoras den ersten Beweis des Satzes, der seinen Namen trägt, geliefert hat. Leider ist auch von diesem Beweis keine Spur erhalten.

Laut dem berühmten Wissenschaftler I. Kepler „hat die Geometrie zwei Schätze - den Satz des Pythagoras und den Goldenen Schnitt, und wenn der erste von ihnen mit einem Maß Gold verglichen werden kann, dann der zweite mit einem Edelstein ...“.

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten und, könnte man sagen, der wichtigste Satz der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet werden können.

Ein amerikanischer Mathematiker, unser Zeitgenosse, sammelte etwa 20 Jahre lang verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen, und jetzt enthält seine „Sammlung“ etwa 300 verschiedene Beweise. Dies deutet darauf hin, dass das alte Theorem für die Menschen bisher relevant und interessant ist.

v Schulkurs Geometrie mit Hilfe des Satzes des Pythagoras werden nur mathematische Probleme gelöst. Leider wird die Frage der praktischen Anwendung des Satzes des Pythagoras nicht berücksichtigt.

Gegenwärtig wird allgemein anerkannt, dass der Erfolg der Entwicklung vieler Bereiche der Wissenschaft und Technologie von der Entwicklung verschiedener Bereiche der Mathematik abhängt. Eine wichtige Voraussetzung zur Steigerung der Effizienz der Produktion ist die flächendeckende Einführung mathematischer Methoden in Technik und nationale Wirtschaft was die Schaffung von neuem beinhaltet wirksame Methoden qualitative und quantitative Forschung, die es uns ermöglicht, die von der Praxis gestellten Probleme zu lösen.

Untersuchungsgegenstand: Der Satz des Pythagoras.

Forschungsgegenstand: verschiedene Interpretationen und Beweismöglichkeiten des Satzes des Pythagoras, seine Anwendung bei der Lösung praktischer Probleme.

Beim Studium zusätzlicher Literatur zum gewählten Thema wurden Hypothesen aufgestellt:

1) es gibt andere Interpretationen des Satzes des Pythagoras;

2) Der Satz des Pythagoras wird zur Lösung vieler praktischer Probleme verwendet .

Der Zweck der Studie: Analysieren Sie nach sorgfältigem Studium der Formulierung des Satzes des Pythagoras die Beweise und schlagen Sie anhand einer Verallgemeinerung andere Interpretationen des Satzes des Pythagoras vor und ermitteln Sie die Anwendungsbereiche des Satzes des Pythagoras.

Um das Ziel zu erreichen, wurden folgende Aufgaben gestellt:

1. Analysieren Sie die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras.

2. Untersuchen Sie verschiedene Beweiswege und berücksichtigen Sie andere Interpretationen des Satzes des Pythagoras.

3. Zeigen praktischer Nutzen Sätze des Pythagoras.

Im ersten Kapitel Forschungsarbeit Betrachten Sie die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras.

Im zweiten Kapitel betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Im dritten Kapitel werden wir verschiedene Interpretationen des Satzes des Pythagoras betrachten.

Wir werden einige klassische Beweise des Satzes des Pythagoras betrachten, die aus alten Abhandlungen bekannt sind. Dies ist auch deshalb sinnvoll, weil moderne Schulbücher einen algebraischen Beweis des Satzes liefern. Gleichzeitig verschwindet die ursprüngliche geometrische Aura des Theorems spurlos, jener Faden der Ariadne, der die alten Weisen zur Wahrheit führte, geht verloren, und dieser Weg erwies sich fast immer als der kürzeste und immer schöne.

Kapitel 1. Die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras.

1.1. Biographie des Pythagoras.

Der große Wissenschaftler Pythagoras wurde um 570 v. Chr. geboren. e. auf der Insel Samos. Der Vater von Pythagoras war Mnesarchus, ein Edelsteinschnitzer. Der Name der Mutter von Pythagoras ist nicht bekannt. Nach vielen alten Zeugnissen war der geborene Junge sagenhaft gutaussehend und zeigte bald seine herausragenden Fähigkeiten. Unter den Lehrern des jungen Pythagoras nennt die Tradition die Namen der älteren Hermodamant und Pherekides von Syros (obwohl es keine sichere Gewissheit gibt, dass Germodamant und Pherekides die ersten Lehrer von Pythagoras waren). Der junge Pythagoras verbrachte ganze Tage zu Füßen des älteren Hermodamant und lauschte den Melodien der Kithara und den Hexametern Homers. Leidenschaft für Musik und Poesie des großen Homer, Pythagoras fürs Leben erhalten. Und als anerkannter Weiser begann Pythagoras den Tag, umgeben von einer Menge Studenten, indem er eines von Homers Liedern sang. Pherecydes war ein Philosoph und galt als Begründer der italienischen Schule der Philosophie. Wenn also Hermodamant den jungen Pythagoras in den Kreis der Musen einführte, wandte sich Pherekydes dem Logos zu. Pherekydes lenkte den Blick des Pythagoras auf die Natur und nur in ihr riet er, seinen ersten und wichtigsten Lehrer aufzusuchen. Aber wie dem auch sei, die rastlose Phantasie des jungen Pythagoras drängte sich sehr bald auf dem kleinen Samos, und er ging nach Milet, wo er sich mit einem anderen Wissenschaftler, Thales, traf. Thales rät ihm, nach Ägypten zu gehen, um Wissen zu erlangen, was Pythagoras tat.

Im Jahr 548 v. e. Pythagoras kam in Navcratis an, einer samischen Kolonie, wo es jemanden gab, der Unterschlupf und Nahrung suchte. Nachdem er die Sprache und Religion der Ägypter studiert hat, geht er nach Memphis. Trotz des Empfehlungsschreibens des Pharaos hatten es die listigen Priester nicht eilig, Pythagoras ihre Geheimnisse zu offenbaren, und boten ihm schwierige Prüfungen. Aber vom Wissensdurst getrieben, überwand Pythagoras sie alle, obwohl ihm ägyptische Priester laut Ausgrabungen nicht viel beibringen konnten, weil die ägyptische Geometrie damals eine rein angewandte Wissenschaft war (die das damalige Bedürfnis nach Zählen und Messen von Land befriedigte Grundstücke). Nachdem er alles gelernt hatte, was die Priester ihm gaben, zog er, nachdem er ihnen entkommen war, in seine Heimat nach Hellas. Nachdem er jedoch einen Teil des Weges zurückgelegt hat, entscheidet sich Pythagoras für eine Überlandreise, bei der er von Kambyses, dem König von Babylon, auf dem Heimweg gefangen genommen wird. Es ist nicht nötig, das Leben von Pythagoras in Babylon zu dramatisieren, weil der große Herrscher Cyrus allen Gefangenen gegenüber tolerant war. Die babylonische Mathematik war zweifellos weiter fortgeschritten (ein Beispiel dafür ist das Positionssystem der Infinitesimalrechnung) als die ägyptische, und Pythagoras musste viel lernen. Aber im Jahr 530 v. e. Cyrus führte einen Feldzug gegen die Stämme in Zentralasien. Und Pythagoras nutzte die Aufregung in der Stadt und floh in seine Heimat. Und auf Samos regierte damals der Tyrann Polycrates. Natürlich war Pythagoras mit dem Leben des höfischen Halbsklaven nicht zufrieden und er zog sich in die Höhlen in der Nähe von Samos zurück. Nach mehreren Monaten der Ansprüche von Polycrates zieht Pythagoras nach Kroton. In Kroton gründete Pythagoras so etwas wie eine religiös-ethische Bruderschaft oder einen geheimen Mönchsorden („Pythagoräer“), dessen Mitglieder verpflichtet waren, die sogenannte pythagoräische Lebensweise zu führen. Sie war gleichzeitig eine religiöse Vereinigung, ein politischer Verein und eine wissenschaftliche Gesellschaft. Es muss gesagt werden, dass einige der von Pythagoras gepredigten Prinzipien auch heute noch der Nachahmung wert sind.

20 Jahre sind vergangen. Der Ruhm der Bruderschaft verbreitete sich auf der ganzen Welt. Eines Tages kommt Cylon, ein reicher, aber böser Mann, nach Pythagoras und will sich betrunken der Bruderschaft anschließen. Nachdem er abgelehnt wurde, beginnt Zylon einen Kampf mit Pythagoras und nutzt die Brandstiftung seines Hauses aus. Während des Feuers retteten die Pythagoräer auf eigene Kosten das Leben ihres Lehrers, woraufhin Pythagoras Heimweh bekam und bald Selbstmord beging.

1.2. Die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras.

Die Entdeckung des Satzes des Pythagoras wird gewöhnlich dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras zugeschrieben. Aber ein Studium babylonischer Keilschrifttafeln und alter chinesischer Manuskripte hat gezeigt, dass diese Aussage lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht Jahrtausende vor ihm. Das Verdienst von Pythagoras war, dass er den Beweis dieses Satzes entdeckte.

Der Satz des Pythagoras wird auch „Brautsatz“ genannt. Tatsache ist, dass es in Euklids „Elementen“ auch als „Nymphensatz“ bezeichnet wird, es ist nur so, dass ihre Zeichnung einer Biene oder einem Schmetterling sehr ähnlich ist, und die Griechen nannten sie Nymphen. Aber als die Araber diesen Satz übersetzten, dachten sie, dass die Nymphe die Braut ist. So entstand das „Braut-Theorem“. Darüber hinaus wurde es in Indien auch die "Regel des Seils" genannt.

Beginnen wir unseren historischen Rückblick auf den Ursprung des Theorems mit dem alten China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt Folgendes über das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: „Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Verbindungslinie der Enden seiner Seiten 5, wenn die Basis 3 und die Höhe 4 ist .“ Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt.

Kantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 32 + 42 = 52 den Ägyptern schon um 2300 v. Chr. bekannt war. h., während der Zeit von König Amenemhet I. (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten die Harpedonapten oder "Stringer" rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten 3, 4 und 5. Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m von einem Ende und 4 m vom anderen Ende fest. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen. Man könnte den Harpedonapten einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man zum Beispiel den von allen Zimmerleuten verwendeten Holzwinkel verwendet. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerei darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras unter den Babyloniern bekannt. In einem Text aus der Zeit von Hammurabi, also bis 2000 v. h., eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gegeben. Daraus können wir schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte.

Die Geometrie war bei den Hindus ebenso wie bei den Ägyptern und Babyloniern eng mit dem Kult verbunden. Mit hoher Wahrscheinlichkeit war der Satz vom Quadrat der Hypotenuse bereits im alten Indien um das 18. Jahrhundert bekannt. BC e.

In der ersten russischen Übersetzung der Euklidischen Elemente wird der Satz des Pythagoras wie folgt formuliert: „In rechtwinkligen Dreiecken ist das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Summe der Quadrate der Seiten, die den rechten Winkel enthalten. "

Es ist derzeit bekannt, dass dieser Satz nicht von Pythagoras entdeckt wurde. Einige glauben jedoch, dass Pythagoras der erste war, der seinen vollständigen Beweis erbrachte, während andere ihm dieses Verdienst absprechen. Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid im ersten Buch seiner Elemente gibt. Andererseits behauptet Proclus, dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst zu verdanken ist. Wie wir sehen können, hat die Geschichte der Mathematik fast keine zuverlässigen Daten über das Leben von Pythagoras und seine mathematische Tätigkeit. Aber die Legende erzählt sogar die unmittelbaren Umstände, die die Entdeckung des Theorems begleiteten. Es wird gesagt, dass Pythagoras zu Ehren dieser Entdeckung 100 Stiere opferte.

Van der Waerden (niederländischer Mathematiker) kam auf der Grundlage einerseits des aktuellen Wissensstandes über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits aufgrund eines kritischen Studiums griechischer Quellen zu folgendem Schluss:

„Das Verdienst der ersten griechischen Mathematiker wie Thales, Pythagoras und der Pythagoräer ist nicht die Entdeckung der Mathematik, sondern ihre Systematisierung und Rechtfertigung. In ihren Händen sind Computerrezepte, die auf vagen Ideen basieren, zu einer exakten Wissenschaft geworden.

Kapitel 2. Verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

2.1. Formulierungen und Merkmale des Satzes des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras ist einer der grundlegenden Sätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt.

Ursprünglich stellte der Satz die Beziehung zwischen den Flächen der Quadrate auf der Hypotenuse und den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks her: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen von die Beine."

Algebraische Formulierung: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkellängen."

Das heißt, wenn wir die Länge der Hypotenuse des Dreiecks durch c und die Längen der Beine durch a und b bezeichnen, erhalten wir: a2 + b2 = c2.

Beide Formulierungen des Theorems sind äquivalent, aber die zweite Formulierung ist elementarer, sie erfordert nicht den Begriff der Fläche. Das heißt, die zweite Aussage kann verifiziert werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Bemerkenswert ist, dass die im Schulbuch gegebene Formulierung des Satzes zunächst ganz anders klang. Hier sind Übersetzungen der Formulierungen des Satzes von Pythagoras aus verschiedenen Quellen:

1. Bei Euklid sagt dieser Satz: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Seite, die über den rechten Winkel gespannt ist, gleich den Quadraten auf den Seiten, die den rechten Winkel einschließen."

2. Die lateinische Übersetzung des arabischen Textes von Annairici (um 900 n. Chr.), angefertigt von Gerhard von Cremona (Anfang des 12. Jahrhunderts), lautet: „In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Seite gebildete Quadrat über den rechten Winkel gestreckt gleich der Summe zweier Quadrate auf zwei Seiten, die einen rechten Winkel bilden.

3. In Geometria Gulmonensis (um 1400) lautet der Satz so: „So ist die Fläche eines Quadrats, gemessen an seiner langen Seite, so groß wie die zweier Quadrate, gemessen an seinen beiden Seiten, die einen rechten Winkel berühren.“

4. In der ersten russischen Übersetzung der Euklidischen Elemente aus dem Griechischen („Euklidische Elemente, acht Bücher, die die Grundlagen der Geometrie enthalten“, St. Petersburg, 1819), wird der Satz des Pythagoras wie folgt angegeben: „In rechtwinkligen Dreiecken a Quadrat von einer Seite, die einem geraden Winkel gegenüberliegt, ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten, die den rechten Winkel enthalten.

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes, der die Beziehung zwischen den Seiten eines beliebigen Dreiecks herstellt, und der Satz des Pythagoras ist auch nicht nur in der Ebene, sondern auch im Raum bekannt: „Das Quadrat der Diagonale Quader ist gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen.

Das Umgekehrte ist auch wahr (als inverser Satz des Pythagoras bezeichnet): "Für jedes Tripel positiver Zahlen a, b und c, so dass a² + b² = c², gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit den Beinen a und b und der Hypotenuse c."

Es ist jedoch bekannt, dass es lange vor Pythagoras von den alten Ägyptern, Babyloniern, Chinesen, Hindus und anderen alten Völkern zur Lösung verschiedener Probleme verwendet wurde.

Im zweiten Kapitel haben wir uns verschiedene Möglichkeiten angesehen, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Pythagoras bewies zunächst nur einen Spezialfall des Satzes: Er betrachtete ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Die Zeichnung, mit der dieser Fall bewiesen wird, heißt scherzhaft „Pythagoräische Hose“ und ergänzt: in alle Richtungen gleich.

Kennenlernen verschiedene Wege Bei den Beweisen des Satzes des Pythagoras haben wir festgestellt, dass einige von ihnen auf der Eigenschaft gleich zusammengesetzter Figuren beruhen, andere auf der Addition gleicher Figuren und wieder andere auf der Eigenschaft gleich großer Figuren (mit gleichen Flächen). In dieser Arbeit haben wir nur einige wenige Beweisverfahren betrachtet berühmter Satz, aber es gibt noch viel mehr.

Nachdem er die Geschichte der Entdeckung des Satzes des Pythagoras studiert hatte, stellte sich heraus, dass Pythagoras nicht den Satz selbst entdeckte, sondern seinen Beweis. Nachgeforscht verschiedene Methoden Beweis des Satzes des Pythagoras, es stellte sich heraus, dass es eine große Anzahl solcher Beweise gibt und sie wie folgt unterteilt werden können:

§ Nachweis durch Vervollständigungsmethode

§ Beweis durch Zerlegung

§ algebraische Beweismethode

§ Vektorbeweis

§ Beweis durch Ähnlichkeit usw.

Im dritten Kapitel haben wir einige elementare Beispiele praktischer Probleme betrachtet, bei denen der Satz des Pythagoras bei der Lösung angewendet wird.

Nachdem die praktische Bedeutung des Satzes des Pythagoras herausgefunden wurde, stellte sich heraus, dass der Satz eine große Anwendung in hat Alltagsleben in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit: Astronomie, Bauwesen, Mobilkommunikation, Architektur.

Als Ergebnis der Studie haben wir also andere Interpretationen des Satzes des Pythagoras gefunden und einige Anwendungsbereiche des Satzes herausgefunden. Wir haben zu diesem Thema viel Material aus literarischen Quellen und dem Internet gesammelt und aufbereitet. Wir haben einige studiert historische Informationenüber Pythagoras und seinen Satz, als Serie betrachtet historische Aufgabenüber die Anwendung des Satzes des Pythagoras. Als Ergebnis der Lösung der gestellten Aufgaben kamen wir zu dem Schluss, dass die von uns aufgestellten Hypothesen bestätigt wurden. Ja, mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur mathematische Probleme lösen. Der Satz des Pythagoras hat seine Anwendung im Bauwesen und in der Architektur sowie in der Mobilkommunikation gefunden.

Das Ergebnis unserer Arbeit ist:

§ Befähigung zum Umgang mit literarischen Quellen;

§ Erwerb der Suchfähigkeit das richtige Material im Internet;

§ Wir haben gelernt, mit einer großen Menge an Informationen zu arbeiten, um die notwendigen Informationen auszuwählen.

Referenzliste.

1. Alexejew. Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung: ein Lehrmittel, M., 2011.

2. Boltyansky und äquivalente Zahlen. M, 1956.

3. Van der Waerden-Wissenschaft. Mathematik antikes Ägypten, Babylon und Griechenland. M, 1959.

4. Noch einmal zum Satz des Pythagoras // Pädagogisch-methodische Zeitung "Mathematik", Nr. 4, 2005.

5., Yatsenko Nachschlagewerk für Schulkinder. M., 2008.

6. Der Satz des Pythagoras. M, 1960.

7. Mehrere Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen // Pädagogisch-methodische Zeitung Mathematik, Nr. 24, 2010.

8. Wir studieren Geometrie, M., 2007.

9. Tkachev-Mathematik. M., 1994.

10. Über den Satz des Pythagoras und Methoden seines Beweises G. Glazer, Akademiemitglied der Russischen Akademie für Erziehung, Moskau

11. Der Satz des Pythagoras und das Kapitel der pythagoreischen Tripel aus dem Buch von D. V. Anosov „Ein Blick auf die Mathematik und etwas daraus“

12. Eine Seite über den Satz des Pythagoras mit einer großen Anzahl von Beweisen, das Material ist dem Buch von V. Litzman entnommen.

13. http://enzyklopädie. *****/bios/science/pifagor/pifagor. html

14. http://mypifagor. *****/benutzen. htm

15. http://mypifagor. *****/ Literatur. htm