첫 번째 수준

산술 진행. 상세한 이론예와 함께(2019)

숫자 시퀀스

자, 이제 앉아서 몇 가지 숫자를 쓰기 시작하겠습니다. 예를 들어:
아무 숫자나 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(이 경우에는 숫자). 우리가 얼마나 많은 숫자를 쓰든, 우리는 항상 그 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지, 그리고 마지막까지 계속 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스
예를 들어 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 하나의 시퀀스 번호에만 해당됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(-th 숫자와 같은)는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

인접한 숫자 간의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스가 ​​있다고 가정해 보겠습니다.
예를 들어:

등.
이러한 수열을 산술 진행이라고 합니다.
"진행"이라는 용어는 이미 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 넓은 의미에서 끝없는 수열로 이해되었습니다. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인들이 종사했던 연속 비율 이론에서 옮겨졌습니다.

이것은 각 구성원이 이전 구성원과 동일하고 동일한 숫자가 추가된 숫자 순서입니다. 이 숫자를 차이라고 합니다. 산술 진행하고 표시됩니다.

어떤 숫자 시퀀스가 ​​산술 수열이고 어떤 것이 아닌지 확인하십시오.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았다? 답변 비교:
이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 진행()으로 돌아가서 그것의 th 멤버의 값을 찾아보자. 존재하다 둘찾는 방법.

1. 방법

진행 기간에 도달할 때까지 진행 번호의 이전 값에 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명 된 산술 진행의 - 번째 멤버는 동일합니다.

2. 방법

진행의 항의 값을 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합산하면 한 시간 이상이 걸렸을 것이고 숫자를 더할 때 실수를 하지 않았을 것이라는 것은 사실이 아닙니다.
물론 수학자들은 산술 진행의 차이를 이전 값에 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오 ... 확실히 당신은 이미 특정 패턴, 즉 다음을 발견했습니다.

예를 들어, 이 산술 진행의 -th 멤버의 값을 구성하는 것이 무엇인지 봅시다.


다시 말해:

이 산술 진행의 구성원의 값을 이런 식으로 독립적으로 찾으려고 시도하십시오.

계획된? 귀하의 항목을 답변과 비교하십시오.

이전 값에 산술 진행의 구성원을 연속적으로 추가할 때 이전 방법에서와 정확히 동일한 숫자를 얻었다는 점에 유의하십시오.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 일반 형식으로 가져와 다음을 얻습니다.

산술 진행 방정식.

산술 진행은 증가하거나 감소합니다.

증가- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생 공식은 산술 진행의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실전에서 확인해보자.
다음 숫자로 구성된 산술 진행이 주어집니다.

그때부터:

따라서 우리는 공식이 산술 진행의 감소와 증가 모두에서 작동한다고 확신했습니다.
이 산술 진행의 -th 및 -th 멤버를 직접 찾아보십시오.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술 진행 속성

작업을 복잡하게 합시다. 산술 진행의 속성을 도출합니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 가정합니다.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
당신이 이미 알고 있는 공식에 따라 계산을 시작하는 것은 쉽습니다.

하자, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻습니다. 진행이 작은 값으로 표시되면 복잡하지 않지만 조건에 숫자가 주어지면 어떻게 될까요? 동의합니다. 계산에 실수를 할 가능성이 있습니다.
이제 어떤 공식을 사용하여 이 문제를 한 번에 해결할 수 있습니까? 물론 그렇습니다. 우리는 지금 그것을 꺼내려고 노력할 것입니다.

산술 진행의 원하는 항을 다음과 같이 표시합시다. 찾는 공식을 알고 있습니다. 이것은 처음에 도출한 것과 동일한 공식입니다.
, 그 다음에:

• 진행의 이전 구성원은 다음과 같습니다.
• 다음 진행 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 다음 구성원을 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 및 후속 멤버의 합은 그들 사이에 위치한 진행의 멤버 값의 2배임이 밝혀졌습니다. 즉, 알려진 이전 값과 연속 값을 가진 진행 멤버의 값을 찾으려면 더하고 나누어야 합니다.

맞습니다, 우리는 같은 번호를 얻었습니다. 재료를 수정합시다. 전혀 어렵지 않기 때문에 진행 값을 직접 계산하십시오.

잘하셨어요! 당신은 진행에 대한 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자의 왕"인 Carl Gauss가 쉽게 추론 한 단 하나의 공식을 찾는 것이 남아 있습니다 ...

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 반 학생들의 과제물을 확인하느라 바쁘던 교사는 수업 시간에 다음과 같은 과제를 물었습니다. " 1분 후 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 과제에 정답을 냈을 때 교사는 놀랐지만 오랜 계산 끝에 무모한 반 친구들 대부분이 잘못된 결과를 받았을 때 ...

Young Carl Gauss는 쉽게 알아차릴 수 있는 패턴을 발견했습니다.
-ti 멤버로 구성된 산술 진행이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 산술 진행 멤버의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만 Gauss가 찾던 것처럼 작업에서 해당 항의 합을 찾아야 하는 경우 어떻게 해야 합니까?

우리에게 주어진 진행 상황을 묘사합시다. 강조 표시된 숫자를 자세히보고 다양한 수학 연산을 수행하십시오.


시험을 마친? 무엇을 눈치채셨나요? 바르게! 그들의 합은 같다

이제 대답하십시오. 그러한 쌍이 몇 개나 진행됩니까? 우리에게 주어질 것입니다. 물론 모든 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 진행의 두 요소의 합이 동일하고 유사한 동일한 쌍이라는 사실에 기초하여 다음을 얻습니다. 총액와 동등하다:
.
따라서 모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

일부 문제에서는 용어를 모르지만 진행 차이는 알고 있습니다. 합계 공식에서 th 멤버의 공식으로 대체해 보십시오.
무엇을 얻었습니까?

잘하셨어요! 이제 Carl Gauss에게 주어진 문제로 돌아가겠습니다. -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지, -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산하십시오.

얼마 받았어요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 알아냈습니다. 그렇게 결정하셨나요?

사실 등수수열의 합에 대한 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판토스에 의해 증명되었고, 이 기간 동안 재치 있는 사람들은 등수수열의 성질을 이용하였다.
예를 들어, 상상 고대 이집트그리고 그 당시 가장 큰 건설 현장 - 피라미드 건설 ... 그림은 그것의 한면을 보여줍니다.

여기서 말하는 진행은 어디입니까? 피라미드 벽의 각 행에 있는 모래 블록의 수를 잘 살펴보고 패턴을 찾으십시오.


산술 진행이 아닌 이유는 무엇입니까? 블록 벽돌이 바닥에 놓이면 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록의 수를 세십시오. 모니터에서 손가락을 움직여 계산하지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 대해 말한 모든 것을 기억하십니까?

에 이 경우진행 상황은 다음과 같습니다.
산술 진행 차이.
산술 진행의 구성원 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체합시다(블록 수를 2가지 방식으로 계산함).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수도 있습니다. 얻은 값을 피라미드에있는 블록 수와 비교하십시오. 동의했습니까? 잘 했습니다. 산술 진행의 th 항의 합을 마스터했습니다.
물론 바닥에 있는 블록으로 피라미드를 지을 수는 없지만, 이 조건으로 벽을 짓는 데 필요한 모래 벽돌의 수를 계산해 보십시오.
관리하셨나요?
정답은 블록입니다.

운동하다

작업:

1. Masha는 여름을 위해 몸매를 가꾸고 있습니다. 그녀는 매일 스쿼트 횟수를 늘립니다. Masha는 첫 번째 운동에서 스쿼트를 한 경우 몇 주 동안 스쿼트를 할 것입니다.
2. 에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
3. 로그를 저장할 때 벌목꾼은 각 최상위 레이어에 이전 레이어보다 하나 적은 로그가 포함되도록 쌓습니다. 벽돌의 기초가 통나무인 경우 한 벽돌에 몇 개의 통나무가 있는지.

대답:

1. 산술 진행의 매개변수를 정의합시다. 이 경우
   (주 = 일).

   답변: 2주 안에 Masha는 하루에 한 번 스쿼트를 해야 합니다.

2. 첫 번째 홀수, 마지막 번호.
   산술 진행 차이.
   그러나 - 절반에 있는 홀수의 수는 산술 진행의 -번째 구성원을 찾는 공식을 사용하여 이 사실을 확인하십시오.

   숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
   사용 가능한 데이터를 공식으로 대체합니다.

   답변:에 포함된 모든 홀수의 합은 다음과 같습니다.

3. 피라미드에 대한 문제를 기억하십시오. 우리의 경우 , 각 최상위 레이어가 하나의 로그로 줄어들기 때문에 레이어가 많이 있습니다.
   공식의 데이터를 대체합니다.

   답변:벽돌에 통나무가 있습니다.

합산

1. - 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스. 증가하고 감소하고 있습니다.
2. 공식 찾기산술 진행의 th 멤버는 공식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행의 숫자 수입니다.
3. 산술 진행의 구성원의 속성- - 여기서 - 진행에 있는 숫자의 수입니다.
4. 산술 진행의 구성원의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.
   
   , 여기서 값의 수입니다.

산술 진행. 중급

숫자 시퀀스

앉아서 숫자를 쓰기 시작합시다. 예를 들어:

아무 숫자나 쓸 수 있고 원하는 만큼 많이 쓸 수 있습니다. 그러나 당신은 항상 그들 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스는 각각 고유한 번호를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다.

다시 말해, 각 숫자는 특정 자연수와 연결될 수 있으며 오직 하나입니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

시퀀스의 -번째 멤버가 어떤 공식으로 주어질 수 있다면 매우 편리합니다. 예를 들어, 공식

순서를 설정합니다:

그리고 공식은 다음과 같은 순서입니다.

예를 들어, 산술 진행은 시퀀스입니다(여기서 첫 번째 항은 같음, 차이). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

-번째 항을 찾기 위해 이전 또는 여러 이전 항목을 알아야 하는 공식을 순환이라고 합니다.

예를 들어 이러한 공식을 사용하여 진행의 th 항을 찾으려면 이전 9를 계산해야 합니다. 예를 들어, 하자. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌습니까?

각 줄에 몇 가지 숫자를 곱하여 더합니다. 무엇을 위해? 매우 간단합니다. 이것은 현재 구성원의 수에서 다음을 뺀 것입니다.

이제 훨씬 편해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 진행에서 n번째 항에 대한 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

결정:

첫 번째 구성원은 동일합니다. 그리고 차이점은 무엇입니까? 다음은 다음과 같습니다.

(결국 진행의 연속적인 구성원의 차와 같기 때문에 차이라고 한다).

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 백 번째 항은 다음과 같습니다.

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면 9세 소년인 위대한 수학자 Carl Gauss는 몇 분 만에 이 양을 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 끝에서 두 번째 숫자의 합이 같고, 끝에서 세 번째 숫자와 세 번째 숫자의 합이 같은 식이라는 것을 알아냈습니다. 그런 쌍이 몇 개나 있습니까? 맞습니다. 정확히 모든 숫자의 절반입니다. 그래서,

모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예시:
모든 두 자리 배수의 합을 구합니다.

결정:

그러한 첫 번째 숫자는 이것입니다. 각 다음은 이전 숫자에 숫자를 추가하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심을 갖는 숫자는 첫 번째 항과 그 차와 함께 산술적 진행을 형성합니다.

이 진행에 대한 th 항의 공식은 다음과 같습니다.

모두 두 자리 숫자여야 하는 경우 진행 중인 용어는 몇 개입니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계:

답변: .

이제 스스로 결정하십시오.

1. 매일 선수는 전날보다 1m 더 뛴다. 첫날에 kmm를 달렸다면 몇 주 동안 몇 킬로미터를 달릴까요?
2. 자전거 타는 사람은 이전보다 매일 더 많은 마일을 타게 됩니다. 첫날 그는 킬로미터를 여행했습니다. 1킬로미터를 주행하려면 며칠을 운전해야 합니까? 그는 여행의 마지막 날에 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
3. 매장의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 인하됩니다. 6년 후 냉장고가 루블에 팔렸다면 냉장고 가격이 매년 얼마나 떨어졌는지 확인하십시오.

대답:

1. 여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 그 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우 (주 = 일). 이 진행의 첫 번째 항의 합계를 결정해야 합니다.
   .
   답변:
2. 여기에 제공됩니다 : 찾을 필요가 있습니다.
   분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
   .
   값을 대체합니다.

   루트는 분명히 맞지 않으므로 대답합니다.
   -번째 항의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 거리를 계산해 보겠습니다.
   (km).
   답변:

3. 주어진: . 찾다: .
   더 쉬워지지 않습니다:
   (장애).
   답변:

산술 진행. 메인에 대한 간략한 소개

이것은 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술 진행은 증가() 및 감소()입니다.

예를 들어:

산술 진행의 n번째 멤버를 찾는 공식

는 수식으로 작성되며, 여기서 는 진행 중인 숫자의 수입니다.

산술 진행의 구성원의 속성

인접한 구성원이 알려진 경우 진행의 구성원을 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기서 는 진행의 숫자 수입니다.

산술 진행의 구성원의 합

합계를 찾는 두 가지 방법이 있습니다.

값의 수는 어디에 있습니까?

값의 수는 어디에 있습니까?

예, 예: 산술 진행은 당신을 위한 장난감이 아닙니다 :)

글쎄요, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 모자 증거는 당신이 여전히 산술 진행이 무엇인지 알지 못하지만 당신이 정말로 알고 싶어한다는 것을 말해줍니다. 따라서 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업에 착수 할 것입니다.

시작하려면 몇 가지 예를 들어보겠습니다. 몇 가지 숫자 집합을 고려하십시오.

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에는 아무것도 없습니다. 그러나 실제로는 뭔가가 있습니다. 즉: 각 다음 요소는 이전 요소와 동일한 번호로 다릅니다..

스스로 판단하십시오. 첫 번째 집합은 이전 숫자보다 각각 더 많은 연속 숫자입니다. 두 번째 경우 인접한 숫자의 차이는 이미 5이지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$인 반면 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(이 숫자가 비합리적이라고 두려워하지 마십시오).

따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:

정의. 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 진행이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행 차이라고 하며 가장 자주 문자 $d$로 표시됩니다.

표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 자체이고 $d$는 차입니다.

그리고 중요한 몇 가지만 말씀드리겠습니다. 첫째, 진보는 단지 고려됩니다 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 것은 허용되지 않습니다. 번호를 재정렬하거나 교환할 수 없습니다.

둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어, 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한 산술 진행입니다. 그러나 (1; 2; 3; 4; ...)와 같은 것을 쓴다면 - 이것은 이미 무한한 진행입니다. 4 뒤의 줄임표는 말 그대로 많은 숫자가 더 멀리 간다는 것을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)

나는 또한 진행이 증가하고 감소한다는 점에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 동일한 세트(1; 2; 3; 4; ...)가 증가하는 것을 보았습니다. 다음은 진행 감소의 예입니다.

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

그래 그래: 마지막 예지나치게 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 이해하시리라 생각합니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술 진행은 다음과 같습니다.

1. 각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.
2. 반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작은 경우 감소합니다.

또한 동일한 반복 번호로 구성된 소위 "고정" 시퀀스가 ​​있습니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).

한 가지 질문만 남아 있습니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히 여기의 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:

1. $d \gt 0$이면 진행이 증가하고 있습니다.
2. $d \lt 0$이면 진행이 분명히 감소하고 있습니다.
3. 마지막으로 $d=0$의 경우가 있습니다. 이 경우 전체 진행이 동일한 숫자의 고정 시퀀스로 축소됩니다: (1; 1; 1; 1; ...) 등.

위의 세 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 보겠습니다. 이렇게 하려면 두 개의 인접한 요소(예: 첫 번째 요소와 두 번째 요소)를 취하고 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

보시다시피, 세 가지 경우 모두 그 차이는 실제로 음수로 판명되었습니다. 이제 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 때입니다.

진행 및 반복 공식의 구성원

시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽\)\]

이 집합의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 첫 번째 구성원, 두 번째 구성원 등 번호를 사용하여 이러한 방식으로 표시됩니다.

또한 우리가 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 연결됩니다.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

간단히 말해서 진행의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 $d$의 차이를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움을 받으면 이전 숫자 (및 실제로 이전 모든 숫자) 만 알면 모든 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 번째 항과 그 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

이 공식을 본 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고서와 reshebniks에 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 수학에 관한 어떤 합리적인 교과서에서도 그것은 첫 번째 것 중 하나입니다.

그러나 조금 연습하는 것이 좋습니다.

작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 기록하십시오.

결정. 따라서 첫 번째 항 $((a)_(1))=8$ 및 진행 차이 $d=-5$를 알고 있습니다. 방금 주어진 공식을 사용하고 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$을 대입해 보겠습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \끝(정렬)\]

답: (8, 3, -2)

그게 다야! 진행 상황이 감소하고 있습니다.

물론 $n=1$은 대체될 ​​수 없습니다. 우리는 이미 첫 번째 항을 알고 있습니다. 그러나 단위를 대체하여 첫 번째 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.

작업 번호 2. 일곱 번째 항이 -40이고 열일곱 번째 항이 -50인 경우 산술 진행의 처음 세 항을 쓰십시오.

결정. 우리는 일반적인 용어로 문제의 조건을 씁니다.

\[((a)_(7))=-40;\쿼드 ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(정렬) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \오른쪽.\]

이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 이제 우리는 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(시스템이 있기 때문에 이를 수행할 권리가 있습니다) 다음을 얻습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \끝(정렬)\]

그렇게 진행 차이를 발견했습니다! 시스템의 모든 방정식에서 찾은 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어 첫 번째에서:

\[\begin(행렬) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \끝(행렬)\]

이제 첫 번째 항과 그 차이를 알면 두 번째와 세 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \끝(정렬)\]

준비가 된! 문제 해결됨.

답: (-34, -35, -36)

우리가 발견한 진행의 흥미로운 속성에 주의하십시오. $n$th 및 $m$th 항을 취하고 서로 빼면 진행의 차이에 $n-m$를 곱한 값을 얻습니다.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

간단하지만 매우 유용한 재산, 반드시 알아야 할 사항 - 도움을 받으면 진행 중인 많은 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 이에 대한 대표적인 예입니다.

작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고, 열 번째 항은 14.4입니다. 이 진행의 15번째 항을 찾으십시오.

결정. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음 사항에 유의합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \끝(정렬)\]

그러나 조건 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, 따라서 $5d=6$, 여기서:

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \끝(정렬)\]

답: 20.4

그게 다야! 우리는 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄로 결정되었습니다.

이제 다른 유형의 문제, 즉 진행의 부정적 및 긍정적 구성원 검색을 고려해 보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 음수이지만 조만간 긍정적 인 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 감소하는 진행의 조건은 조만간 음수가 될 것입니다.

동시에 요소를 순차적으로 정렬하여 "이마에서"이 순간을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모른 채 계산에 여러 장이 소요되는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾을 때까지 잠이 들 것입니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하기 위해 노력할 것입니다.

작업 번호 4. 산술 진행에서 얼마나 많은 음수 항 -38.5; -35.8; …?

결정. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$에서 즉시 차이점을 찾습니다.

차이가 양수이므로 진행이 증가하고 있습니다. 첫 번째 항은 음수이므로 실제로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 발견하게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.

다음을 알아보도록 합시다: 몇 시까지(즉, 언제까지 자연수$n$) 용어의 부정성은 유지됩니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\오른쪽 화살표 ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \맞습니다. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\오른쪽 화살표 ((n)_(\max ))=15. \\ \끝(정렬)\]

마지막 줄은 설명이 필요합니다. 그래서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$임을 압니다. 반면에 숫자의 정수 값만 우리에게 적합합니다(또한: $n\in \mathbb(N)$). 따라서 허용되는 가장 큰 숫자는 정확히 $n=15$이며 어떤 경우에도 16이 아닙니다.

작업 번호 5. 산술 진행에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 번호를 찾으십시오.

이것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$와 같은 인접 용어가 알려져 있으므로 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

또한 표준 공식을 사용하여 다섯 번째 항을 첫 번째 항과 차이로 표현해 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \끝(정렬)\]

이제 우리는 이전 문제와 유추하여 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에서 양수가 나타날 것인지 알아냅니다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min ))=56. \\ \끝(정렬)\]

이 부등식의 최소 정수 솔루션은 숫자 56입니다.

마지막 작업에서는 모든 것이 완전 부등식으로 축소되었으므로 $n=55$ 옵션은 적합하지 않습니다.

간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어가 보겠습니다. 하지만 먼저 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 알아보겠습니다. 그러면 앞으로 많은 시간과 불평등한 셀을 절약할 수 있습니다. :)

산술 평균 및 등가 들여쓰기

증가하는 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려하십시오. 숫자 줄에 표시해 보겠습니다.

숫자 라인의 산술 진행 멤버

나는 특히 임의의 멤버 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ 를 언급했지만 $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 내가 지금 말할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.

그리고 규칙은 매우 간단합니다. 재귀 공식을 기억하고 표시된 모든 멤버에 대해 적어 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \끝(정렬)\]

그러나 이러한 평등은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \끝(정렬)\]

글쎄, 그래서 무엇? 그러나 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $에서 동일한 거리에 있다는 사실 . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$ 용어에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n)에서도 제거됩니다. )$ $2d$와 동일한 거리만큼. 무기한 계속할 수 있지만 그림은 의미를 잘 보여줍니다

진행의 구성원은 중심에서 같은 거리에 있습니다.

이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 이것은 이웃 숫자가 알려진 경우 $((a)_(n))$를 찾을 수 있음을 의미합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

우리는 장엄한 진술을 추론했습니다. 산술 진행의 각 구성원은 이웃 구성원의 산술 평균과 같습니다! 게다가, 우리는 $((a)_(n))$에서 왼쪽과 오른쪽으로 한 단계가 아니라 $k$ 단계로 벗어날 수 있습니다. 그리고 여전히 공식은 참입니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

저것들. $((a)_(150))$와 $((a)_(200))$를 알면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻보기에이 사실은 우리에게 유용한 것을 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로 많은 작업은 산술 평균을 사용하기 위해 특별히 "날카롭게"됩니다. 구경하다:

작업 번호 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$ 숫자가 의 연속적인 구성원이 되도록 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 진행(지정된 순서로).

결정. 이 숫자는 진행의 구성원이기 때문에 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중심 요소 $x+1$는 인접 요소로 표현될 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \끝(정렬)\]

그것은 고전적으로 밝혀졌습니다. 이차 방정식. 그 뿌리: $x=2$ 및 $x=-3$가 답입니다.

답: -3; 2.

작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$이 (순서대로) 산술 진행을 형성하도록 $$의 값을 찾으십시오.

결정. 다시, 우리는 이웃 항의 산술 평균의 관점에서 중간 항을 표현합니다:

\[\begin(정렬) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\맞습니다.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \끝(정렬)\]

또 다른 이차 방정식. 그리고 다시 두 개의 루트: $x=6$ 및 $x=1$.

답: 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자를 얻거나 찾은 답의 정확성이 완전히 확실하지 않은 경우 확인할 수 있는 멋진 트릭이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?

문제 6에서 -3과 2의 답을 얻었다고 가정해 봅시다. 이 답이 올바른지 어떻게 확인할 수 있습니까? 그것들을 원래 상태에 연결하고 어떤 일이 일어나는지 봅시다. 산술 진행을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. $x=-3$ 대체:

\[\begin(정렬) & x=-3\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]

우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 진행입니다. $x=2$에 대해서도 동일한 일이 발생합니다.

\[\begin(정렬) & x=2\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]

다시 진행하지만 27의 ​​차이가 있습니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 원하는 사람은 두 번째 작업을 직접 확인할 수 있지만 즉시 말할 수 있습니다. 모든 것이 정확합니다.

일반적으로 마지막 작업을 해결하는 동안 다른 작업을 우연히 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 합니다.

세 개의 숫자가 두 번째가 첫 번째와 마지막의 평균이 되도록 하는 경우 이러한 숫자는 산술 진행을 형성합니다.

앞으로 이 진술을 이해하면 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 문자 그대로 "구성"할 수 있습니다. 그러나 그러한 "구성"에 참여하기 전에 이미 고려한 것에서 직접적으로 이어지는 한 가지 사실에 더 주의를 기울여야 합니다.

요소의 그룹화 및 합계

다시 숫자 라인으로 돌아가 봅시다. 우리는 진행 과정의 여러 구성원이 있음을 주목합니다. 그 사이에 있을 수 있습니다. 다른 많은 회원의 가치:

숫자 라인에 표시된 6개의 요소

"왼쪽 꼬리"를 $((a)_(n))$와 $d$로 표현하고 "오른쪽 꼬리"를 $((a)_(k))$와 $로 표현해 봅시다. 디$. 매우 간단합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \끝(정렬)\]

이제 다음 합계가 같습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]

간단히 말해서, 총 $S$와 같은 진행의 두 요소를 시작으로 간주하고 이러한 요소에서 반대 방향(서로를 향해 또는 반대 방향으로 이동하여 이동)으로 이동하기 시작하면 그 다음에 우리가 우연히 마주하게 될 요소의 합도 동일할 것입니다.$S$. 이것은 그래픽으로 가장 잘 표현될 수 있습니다:

동일한 들여쓰기는 동일한 합계를 제공합니다.

이해 이 사실위에서 고려한 것보다 근본적으로 더 복잡한 수준의 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 진행의 차를 구하십시오.

결정. 우리가 알고 있는 모든 것을 적어봅시다:

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]

따라서 진행률 $d$의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품을 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이를 중심으로 구축됩니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \끝(정렬)\]

탱크에있는 사람들을 위해 : 두 번째 브래킷에서 공통 요소 11을 가져 왔습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 이차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 고려하십시오. 그래프는 분기가 있는 포물선이 됩니다. 왜냐하면 대괄호를 열면 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(정렬)\]

보시다시피, 가장 높은 항을 가진 계수는 11입니다. 이것은 양수이므로 실제로 분기가 있는 포물선을 다루고 있습니다.

일정 이차 함수- 포물선

참고: 이 포물선은 횡좌표 $((d)_(0))$가 있는 꼭짓점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계에 따라 이 가로 좌표를 계산할 수 있지만(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$가 있습니다. 그러나 다음과 같이 하는 것이 훨씬 더 합리적입니다. 원하는 꼭짓점이 포물선의 축 대칭에 있으므로 $((d)_(0))$ 점은 $f\left(d \right)=0$ 방정식의 근에서 등거리에 있습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\쿼드((d)_(2))=-6. \\ \끝(정렬)\]

그래서 나는 서두르지 않고 브래킷을 열었습니다. 원래 형태의 뿌리는 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 숫자 −66 및 −6의 산술 평균과 같습니다.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

무엇이 우리에게 발견된 번호를 제공합니까? 그것으로, 필요한 제품은 가장 작은 값을 취합니다(그런데 우리는 $((y)_(\min ))$를 계산하지 않았습니다 - 이것은 우리에게 필요하지 않습니다). 동시에이 숫자는 초기 진행의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)

답: -36

작업 번호 9. $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 진행을 형성합니다.

결정. 사실, 우리는 첫 번째와 마지막 숫자를 이미 알고 있는 다섯 개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. $x$, $y$ 및 $z$ 변수로 누락된 숫자를 표시합니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$ 및 $z$, 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리입니다. (1)( 6)$. 그리고 $x$와 $z$라는 숫자에서 우리는 이 순간$y$를 얻을 수 없으면 진행이 끝나면 상황이 달라집니다. 산술 평균을 기억하십시오.

이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 방금 찾은 $-\frac(1)(2)$와 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그래서

유사하게 논의하여 나머지 숫자를 찾습니다.

준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답변에 씁니다.

답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이에는 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째, 마지막 숫자의 합이 56인 경우 주어진 숫자와 함께 산술 수열을 형성하는 여러 숫자를 삽입하십시오.

결정. 그러나 산술 평균을 통해 이전 작업과 동일한 방식으로 해결되는 훨씬 더 어려운 작업입니다. 문제는 삽입할 숫자의 개수를 정확히 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 삽입 후 정확히 $n$ 숫자가 있고 그 중 첫 번째는 2이고 마지막은 42라고 가정합니다. 이 경우 원하는 산술 진행은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

그러나 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$ 숫자는 서로를 향해 한 단계씩 가장자리에 서 있는 숫자 2와 42에서 얻은 것입니다. , 즉 . 시퀀스의 중심으로. 그리고 이것은 의미합니다

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

그러나 위의 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \끝(정렬)\]

$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \끝(정렬)\]

나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \끝(정렬)\]

따라서 이미 9 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝 - 숫자 42에 올 것입니다. 총 7 개의 숫자 만 삽입해야했습니다. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

진행이 있는 텍스트 작업

결론적으로 나는 몇 가지를 고려하고 싶다. 간단한 작업. 글쎄요, 간단한 것들로: 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 것을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 작업은 제스처처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 OGE와 수학의 USE에서 접하는 것은 바로 그러한 작업이므로 숙지하는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했으며 다음 달에는 이전보다 14개의 더 많은 부품을 생산했습니다. 여단은 11월에 몇 개의 부품을 생산했습니까?

결정. 분명히, 월별로 칠해진 부품의 수는 증가하는 산술 진행이 될 것입니다. 그리고:

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(정렬)\]

11월은 그 해의 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정이다.

작업 번호 12. 제본 공방은 1월에 216권을 제본했고, 매달 전월보다 4권을 더 제본했다. 워크샵은 12월에 몇 권의 책을 제본했습니까?

결정. 모두 같은:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(정렬)$

12월은 그 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾고 있습니다.

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

이것이 정답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.

자, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 전사 과정"을 성공적으로 완료하셨습니다. 우리는 다음 수업으로 안전하게 진행할 수 있습니다. 여기서 진행 합계 공식과 그로부터 중요하고 매우 유용한 결과를 공부할 것입니다.

대수학을 공부할 때 일반 교육 학교(9학년) 중요한 주제 중 하나는 연구입니다. 숫자 시퀀스, 진행을 포함합니다 - 기하 및 산술. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션의 예를 고려할 것입니다.

산술 진행이란 무엇입니까?

이를 이해하려면 고려 중인 진행 상황에 대한 정의를 제공하고 문제 해결에 추가로 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.

산술 or는 순서가 지정된 유리수의 집합이며, 각 구성원은 이전 구성원과 일정한 값이 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 순서가 지정된 일련의 숫자와 그 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다. 다음 숫자 시퀀스는 4, 8, 12, 16, ...의 산술 진행이 될 것입니다. 이 경우 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이기 때문입니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 더 이상 고려 중인 진행 유형에 기인할 수 없습니다. 그 차이는 상수 값이 아니기 때문입니다(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

중요한 공식

이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공합니다. 기호로 표시 n n번째 용어여기서 n은 정수입니다. 차이는 라틴 문자 d로 표시됩니다. 그러면 다음 표현식이 참입니다.

1. n 번째 항의 값을 결정하려면 a n \u003d (n-1) * d + a 1 공식이 적합합니다.
2. 처음 n개의 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1)*n/2.

9학년의 해를 사용한 산술 진행의 예를 이해하려면 해당 유형의 모든 문제가 사용을 기반으로 하기 때문에 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 또한 진행 차이가 공식에 의해 결정된다는 것을 잊지 마십시오. d = a n - a n-1 .

예 #1: 알 수 없는 구성원 찾기

산술 진행과 풀기 위해 사용해야 하는 공식의 간단한 예를 제공합니다.

시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 그 안에 다섯 개의 항을 찾아야합니다.

문제의 조건에서 처음 4개의 항을 이미 알고 있습니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.

1. 먼저 차이를 계산해 보겠습니다. d = 8 - 10 = -2입니다. 유사하게, 서로 나란히 서 있는 다른 두 가지 용어를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d \u003d a n-a n-1, d \u003d a 5-a 4가 알려져 있기 때문에 여기서 a 5 \u003d a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값으로 대체합니다: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. 두 번째 방법도 해당 진행의 차이에 대한 지식이 필요하므로 먼저 위(d = -2)와 같이 이를 판별해야 합니다. 첫 번째 항 a 1 = 10을 알면 시퀀스의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. 마지막 식에 n = 5를 대입하면 a 5 = 12-2 * 5 = 2가 됩니다.

보시다시피 두 솔루션 모두 동일한 결과로 이어집니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 이러한 시퀀스는 각 연속 항이 이전 항보다 작기 때문에 감소라고 합니다.

예제 #2: 진행 차이

이제 작업을 조금 복잡하게 하고 산술 진행의 차이를 찾는 방법의 예를 들어 보겠습니다.

어떤 대수적 진행에서 1번째 항은 6과 같고 7번째 항은 18과 같다는 것이 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 수열을 7번째 항으로 복원하는 것이 필요합니다.

공식을 사용하여 미지의 항을 결정해 봅시다: a n = (n - 1) * d + a 1 . 조건에서 알려진 데이터를 대체합니다. 즉, 숫자 a 1과 a 7은 18 \u003d 6 + 6 * d입니다. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다. d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분이 답이 되었습니다.

최대 7개의 용어로 시퀀스를 복원하려면 정의를 사용해야 합니다. 대수적 진행즉, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등입니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 및 7 = 18.

예제 #3: 진행하기

문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예가 주어질 수 있습니다. 두 개의 숫자가 주어집니다(예: 4와 5). 이들 사이에 세 개의 항이 더 오도록 대수적 진행을 할 필요가 있습니다.

이 문제를 해결하기 시작하기 전에 주어진 숫자가 미래 진행에서 어떤 위치를 차지할 것인지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에는 3 개의 용어가 더 있기 때문에 1 \u003d -4와 a 5 \u003d 5입니다. 이것을 설정하면 이전 것과 유사한 작업으로 진행합니다. 다시 n번째 항에 대해 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. a 5 \u003d a 1 + 4 * d. 시작: d \u003d (a 5-a 1) / 4 \u003d (5-(-4)) / 4 \u003d 2.25. 여기서 차이는 정수 값이 아니라 유리수이므로 대수 진행에 대한 공식은 동일하게 유지됩니다.

이제 찾은 차이점을 1에 추가하고 진행에서 누락된 멤버를 복원해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, 문제의 조건과 일치했습니다.

예제 #4: 진행의 첫 번째 구성원

우리는 솔루션으로 산술 진행의 예를 계속 제공합니다. 이전의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자는 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. a 15 = 50 및 a 43 = 37인 두 개의 숫자가 주어집니다. 이 수열이 시작되는 숫자를 찾아야 합니다.

지금까지 사용된 공식은 a 1 및 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제의 상태에서 이 숫자에 대해 알려진 것은 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리가 정보를 가지고 있는 각 용어에 대한 표현을 작성해 봅시다: a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d. 2개의 미지수(a 1 및 d)가 있는 2개의 방정식이 있습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.

지정된 시스템은 각 방정식에서 1을 표현한 다음 결과 표현을 비교하면 가장 풀기 쉽습니다. 첫 번째 방정식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. 이 표현식을 동일시하면 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d를 얻습니다. 여기서 차이는 d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464입니다(소수점 3자리만 제공됨).

d를 알면 1에 대해 위의 2가지 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 먼저 a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496입니다.

결과에 대해 의심이 가는 경우 조건에 지정된 진행률의 43번째 구성원을 결정하는 등의 결과를 확인할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. 계산에 반올림이 사용되었기 때문에 작은 오류가 발생했습니다.

예제 #5: 합계

이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1, 2, 3, 4, ...,. 이 숫자의 100의 합을 계산하는 방법은 무엇입니까?

컴퓨터 기술의 발달 덕분에이 문제는 해결 될 수 있습니다. 즉, 사람이 Enter 키를 누르 자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더할 수 있습니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수적 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의하면 문제를 정신적으로 해결할 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다. S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050

18세기 초에 아직 10세밖에 되지 않은 유명한 독일인이 몇 초 만에 마음속으로 풀 수 있었기 때문에 이 문제를 "가우시안"이라고 부르는 것이 흥미롭습니다. 그 소년은 대수적 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자 쌍을 더하면 항상 같은 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99를 얻는다는 사실을 알아냈습니다. = 3 + 98 = ..., 그리고 이 합계는 정확히 50(100 / 2)이므로 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.

예 #6: n에서 m까지 항의 합

또 다른 전형적인 예산술 진행의 합은 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어졌을 때: 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 구성원의 합이 무엇인지 찾아야 합니다.

문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8부터 14까지 알려지지 않은 용어를 찾은 다음 순차적으로 합산하는 것입니다. 항이 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결할 것을 제안한다.

아이디어는 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n > m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 표현식을 작성합니다.

1. S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (an + a 1) / 2.

n > m이므로 2개의 합이 첫 번째 합을 포함하는 것이 분명합니다. 마지막 결론은 우리가 이 합들 사이의 차를 취하고 그것에 항 a m을 추가하면(차를 취하는 경우 합 S n에서 빼면) 문제에 대한 필요한 답을 얻는다는 것을 의미합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * n / 2 + m * (1- m / 2). n과 a m에 대한 공식을 이 식에 대입해야 합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

결과 공식은 다소 복잡하지만 합계 S mn은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대입하면 S mn = 301이 됩니다.

위의 해에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항의 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제를 해결하기 시작하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 찾고자 하는 것을 명확하게 이해한 다음에만 솔루션을 진행하는 것이 좋습니다.

또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 실수할 확률이 적기 때문에 그렇게 해야 합니다. 예를 들어, 솔루션 번호 6을 사용한 산술 진행의 예에서 공식 S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, 일반 작업을 별도의 하위 작업으로 나눕니다(이 경우 먼저 a n 및 a m 용어 찾기).

얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 제공된 일부 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 산술 진행을 찾는 방법을 찾았습니다. 알아내면 그렇게 어렵지 않습니다.

지침

산술 진행은 a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d 형식의 시퀀스입니다. 숫자 d 단계 진행.분명히, 산술의 임의의 n번째 항의 합계 진행형식: An = A1+(n-1)d. 그런 다음 멤버 중 한 명을 알고 진행, 회원 진행그리고 단계 진행, 수, 즉 진행 항의 수입니다. 분명히, 그것은 공식 n = (An-A1+d)/d에 의해 결정될 것입니다.

이제 m번째 항을 알려주세요. 진행그리고 다른 멤버 진행- n번째, 하지만 n은 앞의 경우와 같으나 n과 m이 일치하지 않는 것으로 알려져 있다.Step 진행 d = (An-Am)/(n-m) 공식으로 계산할 수 있습니다. 그런 다음 n = (An-Am+md)/d.

산술의 여러 요소의 합인 경우 진행, 첫 번째 및 마지막뿐만 아니라 이러한 요소의 수도 결정될 수 있습니다. 진행 S = ((A1+An)/2)n과 같습니다. 그런 다음 n = 2S/(A1+An)은 chdenov입니다. 진행. An = A1+(n-1)d라는 사실을 사용하여 이 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. n = 2S/(2A1+(n-1)d). 이것으로부터 2차 방정식을 풀면 n을 표현할 수 있습니다.

산술 수열은 순서가 지정된 숫자 집합으로, 첫 번째를 제외하고 각 구성원이 이전 숫자와 동일한 양만큼 다릅니다. 이 상수를 진행의 차이 또는 그 단계라고 하며 알려진 산술 진행 요소에서 계산할 수 있습니다.

지침

문제의 조건에서 첫 번째와 두 번째 또는 다른 인접 항 쌍의 값을 알고 있는 경우 차이(d)를 계산하려면 다음 항에서 이전 항을 빼면 됩니다. 결과 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 진행률이 증가하는지 여부에 따라 다릅니다. 일반적인 형태로 진행의 이웃 구성원의 임의 쌍(aᵢ 및 aᵢ₊₁)에 대한 솔루션을 다음과 같이 작성합니다. d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

이러한 진행의 한 쌍의 구성원 중 하나는 첫 번째(a₁)이고 다른 하나는 임의로 선택된 다른 구성원에 대해 차이(d)를 찾는 공식을 만들 수도 있습니다. 다만, 이 경우 서열 중 임의적으로 선택된 구성원의 일련번호(i)를 알아야 한다. 차이를 계산하려면 두 숫자를 더하고 결과를 임의의 항의 서수로 1을 줄입니다. 에 일반보기이 공식을 다음과 같이 작성하십시오. d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

서수 i를 사용하는 산술 진행의 임의의 구성원에 추가하여 서수 u를 갖는 다른 구성원이 알려진 경우 이전 단계의 공식을 그에 따라 변경하십시오. 이 경우 진행의 차이(d)는 두 항의 합을 서수의 차이로 나눈 것입니다: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

차이(d)를 계산하는 공식은 문제의 조건에서 첫 번째 구성원의 값(a₁)과 주어진 숫자(i)의 합(Sᵢ)이 문제의 첫 번째 구성원인 경우 다소 복잡해집니다. 산술 시퀀스가 ​​주어집니다. 원하는 값을 얻으려면 합계를 구성하는 항의 수로 나누고 시퀀스에서 첫 번째 숫자의 값을 빼고 결과를 두 배로 늘립니다. 결과 값을 1로 줄인 합계를 구성하는 항의 수로 나눕니다. 일반적으로 판별식을 계산하는 공식은 다음과 같습니다. d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

산술 진행은 각 숫자가 이전 숫자보다 같은 양만큼 큰(또는 작은) 일련의 숫자입니다.

이 주제는 종종 어렵고 이해할 수 없습니다. 문자 인덱스, 진행의 n 번째 멤버, 진행의 차이 -이 모든 것이 다소 혼란 스럽습니다. 예 ... 산술 진행의 의미를 파악하고 모든 것이 즉시 해결됩니다.)

산술 진행의 개념입니다.

산술 진행은 매우 간단하고 명확한 개념입니다. 의심? 헛된 것입니다.) 직접보십시오.

나는 끝나지 않은 일련의 숫자를 쓸 것입니다.

1, 2, 3, 4, 5, ...

이 줄을 연장할 수 있습니까? 5 다음에 어떤 숫자가 올까요? 모두 ... 어 ... 간단히 말해서 모든 사람은 6, 7, 8, 9 등의 숫자가 더 나아갈 것이라는 것을 알게 될 것입니다.

작업을 복잡하게 합시다. 나는 미완성 일련의 숫자를 제공합니다.

2, 5, 8, 11, 14, ...

패턴을 잡고 시리즈를 확장하고 이름을 지정할 수 있습니다. 제칠행 번호?

이 숫자가 20이라는 것을 알았다면 축하합니다! 당신은 느꼈을 뿐만 아니라 산술 진행의 핵심 포인트,비즈니스에서도 성공적으로 사용했습니다! 이해가 안 되시면 계속 읽으세요.

이제 감각의 핵심을 수학으로 옮겨보자.)

첫 번째 요점.

산술 진행은 일련의 숫자를 처리합니다.이것은 처음에는 혼란스럽습니다. 우리는 방정식을 풀고, 그래프를 작성하는 데 익숙합니다. 그런 다음 시리즈를 확장하고 시리즈의 수를 찾습니다.

괜찮아. 진보는 수학의 새로운 분야를 처음 접하는 것뿐입니다. 이 섹션은 "시리즈"라고 하며 일련의 숫자와 표현식으로 작동합니다. 그것에 익숙해.)

두 번째 핵심 포인트.

산술 진행에서 임의의 숫자는 이전 숫자와 다릅니다. 같은 금액으로.

첫 번째 예에서 이 차이는 1입니다. 당신이 어떤 숫자를 취하든 그것은 이전 숫자보다 하나 더 많습니다. 두 번째 - 세. 모든 숫자는 이전 숫자보다 3배 더 큽니다. 사실, 패턴을 포착하고 후속 숫자를 계산할 기회를 주는 것은 바로 이 순간입니다.

세 번째 핵심 포인트.

이 순간은 눈에 띄지 않습니다. 그렇습니다 ... 그러나 매우, 매우 중요합니다. 그가 있다: 각 진행 번호그 자리에 서 있습니다.첫 번째 숫자가 있고, 일곱 번째 숫자가 있고, 마흔다섯 번째 숫자가 있습니다. 무작정 혼동하면 패턴이 사라집니다. 산술 진행도 사라집니다. 일련의 숫자일 뿐입니다.

그게 요점입니다.

물론 에서 새로운 주제새로운 용어와 표기법이 나타납니다. 그들은 알아야 합니다. 그렇지 않으면 작업을 이해하지 못할 것입니다. 예를 들어 다음과 같이 결정해야 합니다.

a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 진행(an)의 처음 6개 항을 기록합니다.

영감을 주나요?) 편지, 일부 색인... 그런데 그 작업은 이보다 더 쉬울 수 없습니다. 용어와 표기법의 의미를 이해하기만 하면 됩니다. 이제 우리는이 문제를 마스터하고 작업으로 돌아갈 것입니다.

용어 및 명칭.

산술 진행각 숫자가 이전 숫자와 다른 일련의 숫자입니다. 같은 금액으로.

이 값을 . 이 개념을 더 자세히 다루겠습니다.

산술 진행 차이.

산술 진행 차이모든 진행 숫자가 증가하는 양입니다. 더이전 것.

한 가지 중요한 점. 말씀에 주목해주세요 "더".수학적으로 이것은 각 진행 번호가 얻어짐을 의미합니다. 첨가이전 숫자에 대한 산술 진행의 차이.

계산하자면 두번째행의 수, 그것은 필요합니다 첫 번째숫자 추가하다산술 진행의 바로 이 차이. 계산을 위해 다섯 번째- 차이가 필요하다 추가하다에게 네번째글쎄, 등등.

산술 진행 차이아마도 긍정적인그러면 시리즈의 각 번호가 실제로 판명됩니다. 이전 것보다 더.이 진행을 증가.예를 들어:

8; 13; 18; 23; 28; .....

여기서 각 숫자는 첨가양수, 이전 값에 +5.

그 차이는 부정적인시리즈의 각 숫자는 이전 것보다 적습니다.이 진행은 (당신은 그것을 믿지 않을 것입니다!) 감소.

예를 들어:

8; 3; -2; -7; -12; .....

여기에서도 모든 숫자를 얻습니다. 첨가이전이지만 이미 음수인 -5로 이동합니다.

그건 그렇고, 진행으로 작업 할 때 증가 또는 감소 여부와 같이 특성을 즉시 결정하는 것이 매우 유용합니다. 결정에서 자신의 방향을 찾고 실수를 감지하고 너무 늦기 전에 수정하는 것이 많은 도움이 됩니다.

산술 진행 차이일반적으로 문자로 표시 디.

찾는 방법 디? 매우 간단합니다. 시리즈의 임의의 수에서 빼야 합니다. 이전숫자. 덜다. 덧붙여서 뺄셈의 결과를 '차이'라고 합니다.)

예를 들어, 디증가하는 산술 진행을 위해:

2, 5, 8, 11, 14, ...

원하는 수의 행(예: 11)을 취합니다. 이전 번호저것들. 여덟:

이것이 정답입니다. 이 산술 진행의 경우 차이는 3입니다.

당신은 그냥 걸릴 수 있습니다 어떤 수의 진행,왜냐하면 특정 진행을 위해 디-항상 동일합니다.적어도 행의 시작 부분에서, 적어도 중간에서, 적어도 어딘가에서. 맨 처음 숫자만 가져갈 수는 없습니다. 맨 처음 숫자 때문에 이전 없음.)

그건 그렇고, 알면서 d=3, 이 진행의 일곱 번째 숫자를 찾는 것은 매우 간단합니다. 다섯 번째 숫자에 3을 더합니다. 여섯 번째 숫자는 17이 됩니다. 여섯 번째 숫자에 3을 더하면 일곱 번째 숫자인 20이 나옵니다.

정의하자 디감소하는 산술 진행:

8; 3; -2; -7; -12; .....

징후와 상관없이 디모든 숫자에서 필요 이전 것을 제거하십시오.예를 들어 -7과 같이 진행 횟수를 선택합니다. 그의 이전 번호는 -2입니다. 그 다음에:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

산술 진행의 차이는 정수, 분수, 무리수 등 임의의 숫자가 될 수 있습니다.

기타 용어 및 명칭.

시리즈의 각 숫자는 산술 진행의 구성원입니다.

진행의 각 구성원 그의 번호가 있습니다.숫자는 트릭 없이 엄격하게 순서대로 정렬되어 있습니다. 첫째, 둘째, 셋째, 넷째 등 예를 들어 진행에서 2, 5, 8, 11, 14, ... 2가 첫 번째 멤버, 5가 두 번째, 11이 네 번째 멤버, 음, 이해가 ...) 명확하게 이해하십시오- 숫자 자체절대적으로 모든 것, 전체, 분수, 음수, 무엇이든 될 수 있지만 번호 매기기- 엄격하게 순서대로!

일반적인 형태로 진행 ​​상황을 작성하는 방법은 무엇입니까? 괜찮아요! 시리즈의 각 숫자는 문자로 작성됩니다. 산술 진행을 나타내기 위해 일반적으로 문자가 사용됩니다. ㅏ. 회원 번호는 오른쪽 하단의 색인으로 표시됩니다. 멤버는 다음과 같이 쉼표(또는 세미콜론)로 구분하여 작성됩니다.

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1첫 번째 숫자입니다 3- 세 번째 등 까다롭지 않습니다. 이 시리즈를 다음과 같이 간단히 작성할 수 있습니다. (엔).

진행이 있습니다 유한하고 무한합니다.

궁극적인진행에는 제한된 수의 구성원이 있습니다. 다섯, 서른여덟, 뭐든지. 그러나 그것은 유한한 숫자입니다.

끝없는진행 - 짐작할 수 있듯이 무한한 수의 구성원이 있습니다.)

다음과 같은 시리즈를 통해 최종 진행 상황을 작성할 수 있습니다. 모든 구성원과 끝에 점:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

또는 이와 같이 구성원이 많은 경우:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

짧은 항목에서 추가로 회원 수를 표시해야 합니다. 예를 들어(20명의 구성원의 경우) 다음과 같이 하십시오.

(n), n = 20

이 단원의 예에서와 같이 행 끝에 있는 줄임표로 무한 진행을 인식할 수 있습니다.

이제 이미 작업을 해결할 수 있습니다. 작업은 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 단순합니다.

산술 진행을 위한 작업의 예.

위의 작업을 자세히 살펴보겠습니다.

1. a 2 = 5, d = -2.5인 경우 산술 수열(an)의 처음 6개 요소를 기록합니다.

우리는 작업을 이해할 수 있는 언어로 번역합니다. 무한한 산술 진행이 주어집니다. 이 진행의 두 번째 숫자는 다음과 같이 알려져 있습니다. 2 = 5.알려진 진행 차이: d = -2.5.이 진행의 첫 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 및 여섯 번째 구성원을 찾아야 합니다.

명확성을 위해 문제의 조건에 따라 시리즈를 작성하겠습니다. 처음 6명의 멤버, 여기서 두 번째 멤버는 5명:

1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,.....

3 = 2 + 디

우리는 표현에서 대체 2 = 5그리고 d=-2.5. 마이너스를 잊지 마세요!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

세 번째 항은 두 번째 항보다 작습니다. 모든 것이 논리적입니다. 숫자가 이전 숫자보다 큰 경우 부정적인값이므로 숫자 자체는 이전 값보다 작습니다. 진행이 감소하고 있습니다. 좋습니다. 고려해 보겠습니다.) 우리는 시리즈의 네 번째 멤버를 고려합니다.

4 = 3 + 디

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + 디

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + 디

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

따라서 세 번째부터 여섯 번째까지의 항이 계산되었습니다. 그 결과 다음과 같은 시리즈가 생성되었습니다.

1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

첫 번째 항을 찾는 것이 남아 있습니다. 1~에 유명한 두 번째. 이것은 다른 방향, 즉 왼쪽으로의 단계입니다.) 따라서 산술 진행의 차이 디에 추가되어서는 안됩니다 2, ㅏ 빼앗다:

1 = 2 - 디

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

그게 전부입니다. 작업 응답:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

지나가면서 나는 우리가 이 작업을 해결했음을 주목합니다. 재발방법. 이 끔찍한 단어는 단지 진행의 구성원을 찾는 것을 의미합니다. 이전 (인접한) 번호로.진행과 함께 작업하는 다른 방법은 나중에 논의될 것입니다.

이 간단한 작업에서 한 가지 중요한 결론을 얻을 수 있습니다.

기억하다:

우리가 적어도 하나의 멤버와 산술 진행의 차이를 알고 있다면 이 진행의 모든 ​​멤버를 찾을 수 있습니다.

기억하다? 이 간단한 유도를 통해 대부분의 문제를 해결할 수 있습니다. 학교 과정이 주제에. 모든 작업은 세 가지 주요 매개변수를 중심으로 이루어집니다. 산술 진행의 구성원, 진행의 차이, 진행의 구성원 수.모든 것.

물론 이전의 모든 대수학은 취소되지 않습니다.) 부등식, 방정식 및 기타 사항이 진행에 첨부됩니다. 하지만 진행에 따라- 모든 것은 세 가지 매개변수를 중심으로 이루어집니다.

예를 들어, 이 주제에 대한 몇 가지 인기 있는 작업을 고려하십시오.

2. n=5, d=0.4, a 1=3.6인 경우 최종 산술 수열을 급수로 작성합니다.

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 모든 것이 이미 주어졌습니다. 산술 진행의 구성원이 계산되고 계산되고 기록되는 방법을 기억해야 합니다. 작업 조건에서 "final" 및 " n=5". 얼굴이 완전히 파래질 때까지 계산하지 않기 위해.) 이 진행에는 5(5) 명의 멤버만 있습니다.

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

답을 적어 놓는 것이 남아 있습니다.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

또 다른 작업:

3. 다음과 같은 경우 숫자 7이 산술 진행(an)의 구성원이 될 것인지 결정합니다. a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

흠... 누가 알겠어요? 무언가를 정의하는 방법?

How-how ... 네, 진행 상황을 시리즈로 적어서 7이 될지 없을지 보세요! 우리는 믿습니다:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

이제 우리는 단지 7명이라는 것을 분명히 알 수 있습니다. 미끄러지다 6.5와 7.7 사이! 7은 일련의 숫자에 포함되지 않았으므로 7은 주어진 진행의 구성원이 아닙니다.

답변: 아니요.

그리고 여기에 기반한 문제가 있습니다. 실제 버전지아:

4. 산술 진행의 여러 연속 구성원이 작성됩니다.

...; 열 다섯; 엑스; 아홉; 6; ...

여기 끝과 시작이 없는 시리즈가 있습니다. 회원번호 없음, 차이 없음 디. 괜찮아. 문제를 풀기 위해서는 산술 진행의 의미를 이해하는 것으로 충분합니다. 우리가 할 수 있는 것을 보고 봅시다. 발견하다이 라인에서? 세 가지 주요 매개 변수는 무엇입니까?

회원번호? 여기에는 숫자가 하나도 없습니다.

그러나 세 개의 숫자와 -주의가 있습니다! - 단어 "연이은"상태에서. 이것은 숫자가 간격 없이 엄격하게 순서가 있음을 의미합니다. 이 줄에 두 개가 있습니까? 이웃알려진 숫자? 네, 있어요! 이것은 9와 6입니다. 그래서 우리는 산술 진행의 차이를 계산할 수 있습니다! 우리는 6에서 뺍니다 이전번호, 즉 아홉:

빈 공간이 남아 있습니다. x에 대한 이전 숫자는 무엇입니까? 열 다섯. 따라서 x는 간단한 덧셈으로 쉽게 찾을 수 있습니다. 15에 산술 진행의 차이를 추가하십시오.

그게 다야. 답변: x=12

우리는 다음 문제를 스스로 해결합니다. 참고: 이 퍼즐은 공식이 아닙니다. 순전히 산술 진행의 의미를 이해하기 위한 것입니다.) 우리는 일련의 숫자-문자를 쓰고 보고 생각합니다.

5. a 5 = -3인 경우 산술 진행의 첫 번째 양수 항을 찾습니다. d = 1.1.

6. 숫자 5.5는 산술 진행(an)의 구성원으로 알려져 있으며, 여기서 a 1 = 1.6; d = 1.3. 이 멤버의 수 n을 결정합니다.

7. 산술 진행에서 a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 찾기 3 .

8. 산술 진행의 여러 연속 구성원이 작성됩니다.

...; 15.6; 엑스; 3.4; ...

문자 x로 표시된 진행 기간을 찾으십시오.

9. 기차는 역에서 움직이기 시작했고 점차 속도를 분당 30미터씩 높였습니다. 5분 동안 기차의 속도는 얼마가 될까요? km/h 단위로 답하십시오.

10. 산술 진행에서 a 2 = 5; 6 = -5. 1 찾기.

답변(무질서): 7.7; 7.5; 9.5; 아홉; 0.3; 4.

모든 것이 잘 되었습니까? 놀라운! 당신은 더 많은 산술 진행을 마스터 할 수 있습니다 높은 레벨, 다음 수업에서.

모든 일이 잘 풀리지 않았습니까? 괜찮아요. 특별 섹션 555에서는 이러한 모든 문제를 조각으로 나눕니다.) 그리고 물론, 이러한 작업의 솔루션을 손바닥에서와 같이 명확하고 명확하게 즉시 강조하는 간단한 실용적인 기술이 설명되어 있습니다!

그건 그렇고, 기차에 관한 퍼즐에는 사람들이 자주 걸려 넘어지는 두 가지 문제가 있습니다. 하나는 순전히 진행에 의한 것이고 두 번째는 수학 및 물리학의 모든 작업에 공통적입니다. 이것은 차원을 다른 차원으로 변환하는 것입니다. 이러한 문제를 어떻게 해결해야 하는지 보여줍니다.

이 수업에서는 산술 진행의 기본 의미와 주요 매개변수를 조사했습니다. 이것은이 주제에 대한 거의 모든 문제를 해결하기에 충분합니다. 추가하다 디숫자에 시리즈를 쓰면 모든 것이 결정됩니다.

손가락 솔루션은 이 단원의 예에서와 같이 시리즈의 매우 짧은 부분에 적합합니다. 시리즈가 길면 계산이 더 복잡해집니다. 예를 들어, 질문의 문제 9에서 다음을 대체하십시오. "5분"에 "삼십오분"문제는 훨씬 더 심각해질 것입니다.)

그리고 본질적으로 단순하지만 계산 측면에서 완전히 터무니없는 작업도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

산술 진행(a n)이 주어집니다. a 1=3이고 d=1/6이면 121을 찾으십시오.

그리고 우리는 1/6을 여러 번 더할 것입니다! 자살이 가능하다!?

당신은 할 수 있습니다.) 당신이 1 분 안에 그러한 작업을 해결할 수있는 간단한 공식을 모르는 경우. 이 공식은 다음 강의에서 다룰 것입니다. 그리고 그 문제는 거기에서 해결됩니다. 1분 안에.)

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그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)

예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 검증으로 테스트합니다. 학습 - 관심을 가지고!)

함수와 파생어를 알 수 있습니다.