Historia pojawienia się twierdzenia Pitagorasa. twierdzenie Pitagorasa

dookoła i dookoła

Historia twierdzenia Pitagorasa sięga wieków i tysiącleci. W tym artykule nie będziemy szczegółowo omawiać tematów historycznych. Dla intrygi powiedzmy, że najwyraźniej twierdzenie to było znane nawet starożytnym kapłanom egipskim, którzy żyli ponad 2000 lat pne. Dla tych, którzy są ciekawi, oto link do artykułu w Wikipedii.

Przede wszystkim, dla kompletności, chciałbym podać tutaj dowód twierdzenia Pitagorasa, które moim zdaniem jest najbardziej eleganckie i oczywiste. Powyższy rysunek przedstawia dwa identyczne kwadraty: lewy i prawy. Na rysunku widać, że pola zacienionych figur po lewej i prawej stronie są równe, ponieważ w każdym z dużych kwadratów zacieniono 4 identyczne trójkąty prostokątne. A to oznacza, że ​​niewypełnione (białe) obszary po lewej i prawej stronie również są równe. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku obszar figury niezacienionej to , a w drugim przypadku obszar niezacienionej to . W ten sposób, . Twierdzenie sprawdzone!

Jak zadzwonić pod te numery? Nie można ich nazwać trójkątami, ponieważ cztery liczby nie mogą w żaden sposób tworzyć trójkąta. I tu! Jak grom z jasnego nieba

Skoro są takie czwórki liczb, to musi istnieć obiekt geometryczny o tych samych właściwościach odzwierciedlonych w tych liczbach!

Teraz pozostaje tylko wybrać jakiś geometryczny obiekt dla tej właściwości, a wszystko się ułoży! Oczywiście założenie to było czysto hipotetyczne i samo w sobie nie miało potwierdzenia. A jeśli tak jest!

Rozpoczęło się poszukiwanie przedmiotów. Gwiazdy, wielokąty, regularne, nieregularne, z prosty kąt i tak dalej i tak dalej. Znowu nic nie pasuje. Co robić? I w tym momencie Sherlock zdobywa drugą przewagę.

Musimy zwiększyć skalę! Ponieważ trójka odpowiada trójkątowi na płaszczyźnie, czwórka odpowiada czemuś trójwymiarowemu!

O nie! Znowu za dużo opcji! A w trzech wymiarach jest znacznie więcej wszelkiego rodzaju ciał geometrycznych. Spróbuj je wszystkie posortować! Ale nie jest aż tak źle. Jest też kąt prosty i inne wskazówki! Co mamy? Egipskie czwórki liczb (niech będą egipskie, trzeba je jakoś nazwać), kąt prosty (lub kąty) i jakiś obiekt trójwymiarowy. Odliczenie zadziałało! I… wierzę, że bystrzy czytelnicy już to zrozumieli rozmawiamy o piramidach, w których na jednym z wierzchołków wszystkie trzy kąty są proste. Możesz nawet do nich zadzwonić prostokątne piramidy podobny do trójkąta prostokątnego.

Nowe twierdzenie

Mamy więc wszystko, czego potrzebujemy. Prostokątne (!) Piramidy boczne boki-nogi i sieczny przeciwprostokątna twarzy. Czas narysować kolejny obrazek.

Zdjęcie przedstawia piramidę z wierzchołkiem na początku współrzędnych prostokątnych (piramida niejako leży na boku). Piramida składa się z trzech wzajemnie prostopadłych wektorów wykreślonych od początku wzdłuż osie współrzędnych. Oznacza to, że każda boczna ściana piramidy jest trójkąt prostokątny z kątem prostym na początku. Końce wektorów definiują płaszczyznę cięcia i tworzą podstawę ostrosłupa.

Twierdzenie

Niech będzie prostokątna piramida utworzona przez trzy wzajemnie prostopadłe wektory , w których znajdują się obszary bocznych nóg - , a obszar przeciwprostokątnej - . Następnie

Alternatywne sformułowanie: W przypadku piramidy czworościennej, w której na jednym z wierzchołków wszystkie kąty płaskie są proste, suma kwadratów powierzchni ścian bocznych jest równa kwadratowi powierzchni podstawy.

Oczywiście, jeśli zwykłe twierdzenie Pitagorasa formułuje się dla długości boków trójkątów, to nasze twierdzenie formułuje się dla pól boków piramidy. Udowodnienie tego twierdzenia w trzech wymiarach jest bardzo łatwe, jeśli znasz jakąś algebrę wektorów.

Dowód

Obszary wyrażamy za pomocą długości wektorów .

gdzie .

Reprezentujemy obszar jako połowę powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i

Jak wiadomo, iloczyn poprzeczny dwóch wektorów jest wektorem, którego długość jest liczbowo równa powierzchni równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
Więc

W ten sposób,

CO BYŁO DO OKAZANIA!

Oczywiście, jako osoby zajmującej się zawodowo badaniami, zdarzyło się to już w moim życiu i to nie raz. Ale ten moment był najjaśniejszy i najbardziej pamiętny. Doświadczyłem pełnego wachlarza uczuć, emocji, przeżyć odkrywcy. Od narodzin myśli, skrystalizowania się pomysłu, znalezienia dowodów - do całkowitego niezrozumienia, a nawet odrzucenia, że ​​moje pomysły spotkały się z moimi przyjaciółmi, znajomymi i, jak mi się wtedy wydawało, z całym światem. To było wyjątkowe! To tak, jakbym czuł się w butach Galileusza, Kopernika, Newtona, Schrödingera, Bohra, Einsteina i wielu wielu innych odkrywców.

Posłowie

W życiu wszystko okazało się dużo prostsze i bardziej prozaiczne. Jestem spóźniony... Ale ile! Po prostu coś w wieku zaledwie 18 lat! Pod straszliwymi długotrwałymi torturami i nie po raz pierwszy, Google przyznał mi, że to twierdzenie zostało opublikowane w 1996 roku!

Artykuł opublikowany przez Texas Uniwersytet Techniczny. Autorzy, zawodowi matematycy, wprowadzili terminologię (która zresztą w dużej mierze pokrywała się z moją), a także udowodnili uogólnione twierdzenie, które jest ważne dla przestrzeni o dowolnym wymiarze większym niż jeden. Co dzieje się w wymiarach większych niż 3? Wszystko jest bardzo proste: zamiast twarzy i obszarów będą hiperpowierzchnie i wielowymiarowe objętości. A stwierdzenie oczywiście pozostanie takie samo: suma kwadratów objętości ścian bocznych jest równa kwadratowi objętości podstawy, - tylko liczba ścian będzie większa, a objętość każdy z nich będzie równy połowie iloczynu wektorów generujących. To prawie niemożliwe do wyobrażenia! Można tylko, jak mówią filozofowie, myśleć!

O dziwo, kiedy dowiedziałem się, że takie twierdzenie było już znane, wcale się nie zdenerwowałem. Gdzieś w głębi duszy podejrzewałem, że całkiem możliwe, że nie byłem pierwszy i zrozumiałem, że zawsze muszę być na to gotowy. Ale emocjonalne przeżycie, które otrzymałem, rozpaliło we mnie iskrę badacza, która teraz z pewnością nigdy nie zgaśnie!

PS

Uczony czytelnik wysłał link w komentarzach
Twierdzenie de Gua

Wyciąg z Wikipedii

W 1783 r. twierdzenie to przedstawił Paryskiej Akademii Nauk francuski matematyk J.-P. de Gois, ale wcześniej był znany René Descartesowi, a przed nim Johannesowi Fulgaberowi, który prawdopodobnie odkrył go po raz pierwszy w 1622 roku. W bardziej ogólnej formie twierdzenie to sformułował Charles Tinsot (fr.) w raporcie Paryskiej Akademii Nauk z 1774 r.

Więc nie spóźniłem się 18 lat, ale przynajmniej kilka stuleci!

Źródła

Czytelnicy umieścili w komentarzach kilka przydatnych linków. Oto te i kilka innych linków:

Pitagoras z Samosu przeszedł do historii jako jeden z najwybitniejszych intelektualistów ludzkości. Jest w nim wiele niezwykłych rzeczy i wydaje się, że sam los przygotował dla niego specjalną ścieżkę życiową.

Pitagoras stworzył własną szkołę religijno-filozoficzną i zasłynął jako jeden z największych matematyków. Jego umysł i pomysłowość wyprzedzały o setki lat czasy, w których żył.

Pitagoras z Samosu

Krótka biografia Pitagorasa

Oczywiście krótka biografia Pitagorasa nie da nam możliwości pełnego ujawnienia tej wyjątkowej osobowości, niemniej jednak podkreślimy główne momenty jego życia.

Dzieciństwo i młodość

Dokładna data urodzenia Pitagorasa nie jest znana. Historycy sugerują, że urodził się w latach 586-569. BC, na greckiej wyspie Samos (stąd jego przydomek - „Samos”). Według jednej z legend, rodzice Pitagorasa zostali przepowiedziani, że ich syn zostanie wielkim mędrcem i oświecicielem.

Ojciec Pitagorasa nazywał się Mnesarchus, a jego matką była Partenia. Głowa rodziny zajmowała się obróbką kamieni szlachetnych, więc rodzina była dość zamożna.

Wychowanie i edukacja

Już w środku młodym wieku Pitagoras wykazywał zainteresowanie różnymi naukami i sztukami. Jego pierwszy nauczyciel nazywał się Hermodamant. Położył podwaliny pod muzykę, malarstwo i gramatykę przyszłemu naukowcowi, a także zmusił go do zapamiętania fragmentów Odysei i Iliady Homera.

Gdy Pitagoras miał 18 lat, postanowił wyjechać, aby zdobyć jeszcze więcej wiedzy i doświadczenia. To był poważny krok w jego biografii, ale nie było mu dane się spełnić. Pitagoras nie mógł wejść do Egiptu, ponieważ był on zamknięty dla Greków.

Zatrzymując się na wyspie Lesbos, Pitagoras zaczął studiować fizykę, medycynę, dialektykę i inne nauki od Ferekidesa z Syros. Po kilku latach życia na wyspie chciał odwiedzić Milet, gdzie nadal mieszkał słynny filozof Tales, który utworzył pierwszą szkołę filozoficzną w Grecji.

Wkrótce Pitagoras staje się jednym z najbardziej wykształconych i sławni ludzie swojego czasu. Jednak po pewnym czasie w biografii mędrca zachodzą drastyczne zmiany, gdy rozpoczęła się wojna perska.

Pitagoras wpada w niewolę babilońską i żyje w niewoli przez długi czas.

Mistycyzm i powrót do domu

W związku z tym, że astrologia i mistycyzm były popularne w Babilonie, Pitagoras uzależnił się od studiowania różnych mistycznych tajemnic, zwyczajów i zjawisk nadprzyrodzonych. Cała biografia Pitagorasa jest pełna poszukiwań i wszelkiego rodzaju rozwiązań, które tak przykuły jego uwagę.

Po ponad 10 latach przebywania w niewoli niespodziewanie otrzymuje osobiście wyzwolenie od króla perskiego, który znał z pierwszej ręki mądrość uczonego Greka.

Po uwolnieniu Pitagoras natychmiast wraca do swojej ojczyzny, aby opowiedzieć rodakom o zdobytej wiedzy.

Szkoła Pitagorasa

Dzięki rozległej wiedzy, stałej i kaplica udaje mu się szybko zdobyć sławę i uznanie wśród mieszkańców Grecji.

Na przemówieniach Pitagorasa zawsze jest wielu ludzi, którzy są zdumieni mądrością filozofa i widzą w nim prawie bóstwo.

Jednym z głównych punktów biografii Pitagorasa jest to, że stworzył on szkołę opartą na własnych zasadach rozumienia świata. Nazywano ją tak: szkołą pitagorejczyków, czyli wyznawców Pitagorasa.

Miał też swój własny sposób nauczania. Na przykład uczniom nie wolno było rozmawiać podczas zajęć i zadawać żadnych pytań.

Dzięki temu uczniowie mogli kultywować skromność, łagodność i cierpliwość.

Współczesnemu człowiekowi te rzeczy mogą wydawać się dziwne, ale nie zapominaj, że w czasach Pitagorasa sama koncepcja szkolenie w naszym rozumieniu po prostu nie istniał.

Matematyka

Oprócz medycyny, polityki i sztuki Pitagoras najpoważniej zajmował się matematyką. Udało mu się wnieść znaczący wkład w rozwój.

Do tej pory w szkołach na całym świecie twierdzenie Pitagorasa jest uważane za najpopularniejsze twierdzenie: a 2 + b 2 \u003d c 2. Każdy uczeń pamięta, że ​​„pitagorejskie spodnie są jednakowe we wszystkich kierunkach”.

Ponadto istnieje „tabela pitagorejska”, za pomocą której można było mnożyć liczby. Zasadniczo to nowoczesny stół mnożenie, tylko w nieco inny sposób.

Numerologia Pitagorasa

W biografii Pitagorasa jest coś niezwykłego: przez całe życie był niezwykle zainteresowany liczbami. Z ich pomocą starał się zrozumieć naturę rzeczy i zjawisk, życia i śmierci, cierpienia, szczęścia i innych ważne sprawy istnienie.

Liczbę 9 kojarzył ze stałością, 8 ze śmiercią, a także dużą wagę przywiązywał do kwadratu liczb. W tym sensie idealną liczbą było 10. Pitagoras nazwał tę dziesiątkę symbolem Kosmosu.

Pitagorejczycy jako pierwsi podzielili liczby na parzyste i nieparzyste. Liczby parzyste, według matematyka, miały zasadę żeńską, podczas gdy liczby nieparzyste miały zasadę męską.

W tamtych czasach, kiedy nie było nauki jako takiej, ludzie poznawali życie i porządek świata najlepiej jak potrafili. Pitagoras, jako wielki syn swoich czasów, próbował znaleźć odpowiedzi na te i inne pytania za pomocą cyfr i liczb.

Doktryna filozoficzna

Nauki Pitagorasa można podzielić na dwie kategorie:

• Podejście naukowe
• Religijność i mistycyzm

Niestety nie wszystkie prace Pitagorasa zostały uratowane. A wszystko przez to, że naukowiec praktycznie nie robił żadnych notatek, przekazując wiedzę studentom ustnie.

Oprócz tego, że jest naukowcem i filozofem, Pitagorasa można słusznie nazwać innowatorem religijnym. Pod tym względem Lew Tołstoj był trochę do niego podobny (opublikowaliśmy to w osobnym artykule).

Pitagoras był wegetarianinem i zachęcał do tego swoich zwolenników. Zabronił uczniom spożywania pokarmów pochodzenia zwierzęcego, zabronił picia alkoholu, przeklinania i nieprzyzwoitego zachowania.

Ciekawe jest również to, że Pitagoras nie uczył zwykli ludzie którzy starali się zdobyć tylko powierzchowną wiedzę. Na uczniów przyjmował tylko tych, w których widział wybrane i oświecone jednostki.

Życie osobiste

Studiując biografię Pitagorasa, można odnieść błędne wrażenie, że nie miał czasu na życie osobiste. Nie jest to jednak do końca prawdą.

Kiedy Pitagoras miał około 60 lat, na jednym ze swoich występów spotkał piękną dziewczynę o imieniu Theana.

Pobrali się iz tego małżeństwa mieli chłopca i dziewczynkę. Tak więc wybitny Grek był człowiekiem rodzinnym.

Śmierć

Co zaskakujące, żaden z biografów nie może jednoznacznie powiedzieć, jak zginął wielki filozof i matematyk. Istnieją trzy wersje jego śmierci.

Według pierwszego, Pitagoras został zabity przez jednego z uczniów, któremu odmówił nauczania. W przypływie gniewu zabójca podpalił Akademię naukowca, gdzie zginął.

Druga wersja mówi, że podczas pożaru zwolennicy naukowca, chcąc ocalić go przed śmiercią, stworzyli most z własnych ciał.

Ale najczęstszą wersją śmierci Pitagorasa jest jego śmierć podczas konfliktu zbrojnego w mieście Metapont.

Wielki naukowiec żył ponad 80 lat, umierając w 490 p.n.e. mi. W ciągu swojego długiego życia udało mu się wiele i słusznie uważany jest za jednego z najwybitniejszych umysłów w historii.

Jeśli podobała Ci się biografia Pitagorasa - udostępnij ją w w sieciach społecznościowych. Niech twoi przyjaciele wiedzą o tym geniuszu.

Jeśli w ogóle lubisz krótkie biografie i po prostu - koniecznie zasubskrybuj Strona. Z nami zawsze jest ciekawie!

Prvidentsev Vladislav, Farafonova Jekaterina

Praca projektowa studentów na konferencję matematyczną

Ściągnij:

Zapowiedź:

BEI TR NGO „Szkoła średnia w Trosniańsku”

Studencka konferencja matematyczna poświęcona wielkiemu matematykowi Pitagorasowi

(w ramach Tygodnia Matematyki w Szkole)

Historia twierdzenia Pitagorasa

(projekt)

Przygotowany

Uczniowie 9 klasy

Farafonova Jekaterina i Prvidentsev Vladislav

Nauczyciel Bilyk TV

styczeń - 2016

Cele:

• 1. Poszerz swoją wiedzę z historii matematyki.
• 2. Zapoznać się z faktami biograficznymi z życia Pitagorasa związanymi z twierdzeniem.
• 3. Badanie historii twierdzenia Pitagorasa poprzez mity, legendy starożytności.
• 4. Rozważ zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w rozwiązywaniu problemów z różnych działów geometrii.

Plan.

1. Wstęp

2. Z historii twierdzenia

3. Wiersze o Pitagorasa

4. Dolna linia

5. Wniosek

Wstęp.

Twierdzenie Pitagorasa jest od dawna szeroko stosowane w różnych dziedzinach nauki, technologii i praktyczne życie. rzymski architekt i inżynier Witruwiusz, grecki moralista Plutarch, grecki naukowiec llc. Diogenes Laertius, matematyk z V wieku Proclus i wiele innych. Legenda, że ​​na cześć swego odkrycia Pitagoras złożył w ofierze byka lub, jak mówią inni, setkę byków, służyła jako okazja do humoru w opowieściach pisarzy i wierszach poetów.

Poeta Heinrich Heine (1797-1856), znany ze swoich antyreligijnych poglądów i zjadliwej kpiny z przesądów, w jednym ze swoich dzieł wyśmiewa „doktrynę” wędrówki dusz w następujący sposób:

"Kto wie! Kto wie! Być może dusza Pitagorasa osiadła w biednym człowieku - kandydacie, który nie udowodnił twierdzeń Pitagorasa i dlatego nie zdał egzaminu, podczas gdy jego egzaminatorzy zamieszkują dusze tych właśnie byków, które Pitagoras złożył kiedyś w ofierze nieśmiertelnym bogom , zachwycony odkryciem jego twierdzenia. Fabuła twierdzenie Pitagorasa zaczyna się na długo przed Pitagorasem. Na przestrzeni wieków przedstawiono wiele różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa.

Z historii twierdzenia

Przegląd historyczny zacznijmy od starożytne Chiny. Tutaj szczególną uwagę zwraca matematyczna księga Chu-pei. Ten esej mówi to o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5: „Jeśli kąt prosty zostanie rozłożony na części składowe, to linia łącząca końce jego boków będzie wynosić 5, gdy podstawa ma 3, a wysokość to 4." W tej samej książce zaproponowano rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Baszary.

• Kantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że ​​równość 32 + 42 = 52 był już znany Egipcjanie wciąż około 2300 pne. e., w czasach króla Amenemhat I (wg Papyrus 6619 Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapty, czyli „policzkowe”, budowały kąty proste za pomocą trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5. Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Między bokami o długości od 3 do 4 metrów zostanie zamknięty kąt prosty. Harpedonaptom można by zarzucić, że ich sposób budowania staje się zbędny, jeśli używa się na przykład drewnianego kwadratu, z którego korzystają wszyscy stolarze. Rzeczywiście, znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.

• Nieco więcej wiadomo o twierdzeniu Pitagorasa Babilończycy . W jednym tekście związanym z czasem Hammurabi , tj. do 2000 r. p.n.e. e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii byli w stanie wykonać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach. Opierając się z jednej strony na aktualnym poziomie wiedzy o matematyce egipskiej i babilońskiej, az drugiej na krytycznych studiach nad źródłami greckimi, Van der Waerden (matematyk holenderski) stwierdził, co następuje:„Zasługą pierwszych matematyków greckich, takich jak Tales, Pitagoras i Pitagorejczycy, nie jest odkrycie matematyki, ale jej usystematyzowanie i uzasadnienie. W ich rękach receptury obliczeniowe oparte na niejasnych ideach zamieniły się w naukę ścisłą”. Indyjska geometria , podobnie jak Egipcjanie i Babilończycy, był ściśle związany z kultem. Jest bardzo prawdopodobne, że twierdzenie o kwadratu przeciwprostokątnej znane było w Indiach już około XVIII wieku p.n.e. mi.

• W pierwszym rosyjskim tłumaczeniu euklidesowych „Początków”, dokonanym przez F. I. Pietruszewskiego, twierdzenie Pitagorasa jest następujące:„W trójkątach prostokątnych kwadrat od strony przeciwnej prosty kąt, jest równa sumie kwadratów boków zawierających kąt prosty".Obecnie wiadomo, że twierdzenia tego nie odkrył Pitagoras. Jednak niektórzy uważają, że Pitagoras był pierwszym, który dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Niektórzy przypisują Pitagorasowi dowód, który Euklides podaje w pierwszej księdze jego Elementów. Z drugiej strony, Proclus twierdzi, że dowód w elementach należy do samego Euklidesa. Jak widać, w historii matematyki nie ma prawie żadnych wiarygodnych danych na temat życia Pitagorasa i jego działalności matematycznej. Ale legenda opisuje nawet bezpośrednie okoliczności, które towarzyszyły odkryciu twierdzenia. Mówi się, że na cześć tego odkrycia Pitagoras złożył w ofierze 100 byków.

• Przez długi czas wierzono, że przed Pitagorasem twierdzenie to nie było znane i nazwano je „twierdzeniem Pitagorasa”, ponieważ. Ta nazwa przetrwała do dziś. Jednak obecnie ustalono, że to najważniejsze twierdzenie występuje w tekstach babilońskich napisanych 1200 lat przed Pitagorasem.
• To, że trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątem, było znane już od 2000 roku p.n.e. Egipcjanie, którzy prawdopodobnie wykorzystali ten stosunek do konstruowania kątów prostych w konstrukcji budynków. W Chinach propozycja kwadratu przeciwprostokątnej była znana co najmniej 500 lat przed Pitagorasem. Twierdzenie to było również znane w starożytnych Indiach; dowodzą tego zdania zawarte w Sutrach.

Pitagoras dokonał wielu ważnych odkryć, ale najsłynniejszym naukowcem było udowodnione przez niego twierdzenie, które teraz nosi jego imię. Rzeczywiście, w nowoczesne podręczniki twierdzenie jest sformułowane w następujący sposób: „W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. - Jak napisać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego ABC z odnogami a, b i przeciwprostokątną c.

a 2 + b 2 = c 2

Uważa się, że w czasach Pitagorasa twierdzenie brzmiało inaczej: „Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego nogach”. Naprawdę, Z 2 to powierzchnia kwadratu zabudowanego na przeciwprostokątnej, a 2 i b 2 - obszary kwadratów zbudowanych na nogach.

Prawdopodobnie fakt stwierdzony w twierdzeniu Pitagorasa został po raz pierwszy ustalony dla równoramiennych trójkątów prostokątnych. Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej zawiera cztery trójkąty. A na każdej nodze zbudowany jest kwadrat zawierający dwa trójkąty. Rysunek 9 pokazuje, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratu zbudowanego na nogach.

Wiersze o Pitagorasa.
Niemiecki powieściopisarz A. Chamisso, który na początku Xl X wieku. Uczestniczył w podróży dookoła świata na rosyjskim statku „Rurik”, napisał następujące wiersze:
Prawda pozostanie wieczna, jak szybko
Zna ją słaba osoba!
A teraz twierdzenie Pitagorasa
Verna, jak w jego odległym wieku.
Ofiara była obfita.
Bogowie z Pitagorasa. Sto byków
Oddał na rzeź i spalenie
Za światłem jest promień, który wyszedł z chmur.
Dlatego od zawsze
Trochę prawdy rodzi się na świecie,
Byki ryczą, wyczuwając ją, podążając za nią.
Nie mogą zatrzymać światła
I mogą tylko zamknąć oczy i drżeć
Od strachu, który zaszczepił w nich Pitagoras…

Podsumowując:
Jeśli otrzymamy trójkąt
A ponadto pod kątem prostym
To jest kwadrat przeciwprostokątnej
Zawsze możemy łatwo znaleźć:
Budujemy nogi w kwadracie,
Obliczamy sumę stopni
I w taki prosty sposób
Dojdziemy do wyniku.

Zbliża się test z geometrii, a na testach i egzaminach zdarzają się przypadki, gdy studenci, wyciągnąwszy bilet, pamiętają sformułowanie twierdzenia, ale zapominają, od czego zacząć dowód. Aby temu zapobiec proponuję rysunek - sygnał odniesienia. Myślę, że na długo pozostanie w Twojej pamięci.

Iwan Carewicz odciął głowę smokowi i wyrosły w nim dwie nowe. W języku matematycznym oznacza to: wydane w Δ ABC wysokość CD i powstają dwa nowe trójkąty prostokątne ADC i BDC.

Wniosek.

Po przestudiowaniu skonstruowanego materiału możemy stwierdzić, że twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii, ponieważ może być użyte do udowodnienia wielu innych twierdzeń i rozwiązania wielu problemów.

Pitagoras i szkoła Pitagorasa odegrali dużą rolę w doskonaleniu metod rozwiązywania problemów naukowych: stanowisko dotyczące potrzeby rygorystycznych dowodów zostało mocno ugruntowane w matematyce, co nadało jej znaczenie szczególnej nauki.

Obecnie wiadomo, że twierdzenia tego nie odkrył Pitagoras. Jednak niektórzy uważają, że to Pitagoras jako pierwszy dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Niektórzy przypisują Pitagorasowi dowód, który Euklides podaje w pierwszej księdze jego Elementów. Z drugiej strony, Proclus twierdzi, że dowód w elementach należy do samego Euklidesa.

Jak widać, w historii matematyki nie ma prawie żadnych wiarygodnych, konkretnych danych na temat życia Pitagorasa i jego działalności matematycznej. Ale legenda mówi nawet o bezpośrednich okolicznościach, które towarzyszyły odkryciu twierdzenia. Wiele osób zna sonet niemieckiego powieściopisarza Chamisso:

Prawda pozostanie wieczna, jak szybko

Słaba osoba będzie to wiedziała!

A teraz twierdzenie Pitagorasa

Verna, jak w jego odległym wieku.

Ofiara była obfita.

Bogowie z Pitagorasa. Sto byków

Oddał na rzeź i spalenie

Za światłem jest promień, który wyszedł z chmur.

Dlatego od zawsze

Trochę prawdy rodzi się na świecie,

Byki ryczą, wyczuwając ją, podążając,

Nie mogą zatrzymać światła

I mogą tylko zamknąć oczy i drżeć

Od strachu, który zaszczepił im Pitagoras.

Zacznijmy historyczny przegląd twierdzenia Pitagorasa od starożytny Chiny. Tutaj szczególną uwagę zwraca matematyczna księga Chu-pei. Ten esej mówi to o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5:

"Jeśli proste zastrzyk rozkładać się na złożony Części, następnie linia, złączony kończy się jego boki, Wola 5, Kiedy baza jest 3, a wzrost 4".

Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego.

Między bokami o długości od 3 do 4 metrów zostanie zamknięty kąt prosty. W tej samej książce zaproponowano rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Baszary.

Kantor(największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że ​​równość 3І + 4І = 5І była już znana Egipcjanom około 2300 rpne, za czasów króla Amenemhata I (wg papirusu 6619 z Muzeum Berlińskiego).

Według Cantora harpedonapty, czyli „policzkowe”, budowały kąty proste z trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.

Nieco więcej wiadomo było o twierdzeniu Pitagorasa Babilończykom. W jednym tekście pochodzącym z czasów Hammurabiego, czyli do 2000 r. p.n.e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego; z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii byli w stanie wykonać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach.

Geometria w Hindusi był ściśle związany z kultem. Jest wysoce prawdopodobne, że twierdzenie o kwadracie przeciwprostokątnej znane było w Indiach już około VIII wieku p.n.e. Obok czysto rytualnych przepisów istnieją dzieła o charakterze teologicznym, zwane Sulvasutrami. W pismach tych, datowanych na IV lub V wiek p.n.e., spotykamy się z konstrukcją kąta prostego za pomocą trójkąta o bokach 15, 36, 39.

V średni stulecie twierdzenie Pitagorasa określało granicę, jeśli nie największej możliwej, to przynajmniej dobrej wiedzy matematycznej. Charakterystyczny rysunek twierdzenia Pitagorasa, który obecnie czasami dzieci w wieku szkolnym przekształcają np. w profesora ubranego w togę lub mężczyznę w cylindrze, był często używany w tamtych czasach jako symbol matematyki.

Na zakończenie przedstawiamy różne sformułowania twierdzenia Pitagorasa w tłumaczeniu z greki, łaciny i niemieckiego.

Euklides to twierdzenie brzmi (tłumaczenie dosłowne):

V prostokątny trójkąt kwadrat ręka, rozciągnięty nad bezpośredni kąt, równa się kwadraty na boki, podsumowując proste zastrzyk.

Tłumaczenie łacińskie tekstu arabskiego Annaritia(ok. 900 pne) przez Gerharda kremoński(XII wiek) brzmi (w tłumaczeniu):

"W każdy prostokątny trójkąt kwadrat, wykształcony na bok, rozciągnięty nad bezpośredni kąt, równa się suma dwa kwadraty, wykształcony na dwa boki, podsumowując proste zastrzyk"

W Geometry Culmonensis (około 1400 r.) twierdzenie brzmi tak (w tłumaczeniu): "Więc, kwadrat kwadrat, wymierzony na długo bok, więc To samo Świetnie, w jaki sposób w dwa kwadraty, który wymierzony na dwa imprezy jego, przylegający Do bezpośredni kąt"

W rosyjskim tłumaczeniu „Początków” Euklidesa twierdzenie Pitagorasa jest następujące: „V prostokątny trójkąt kwadrat z ręka, odwrotny bezpośredni kąt, równa się suma kwadraty z boki, zawierający proste zastrzyk".

Jak widzimy, w różnych krajów oraz inne języki Istnieją różne wersje sformułowania znanego twierdzenia. Utworzony w inny czas a w różnych językach odzwierciedlają istotę jednego wzoru matematycznego, którego dowód ma również kilka opcji.

Pitagoras dowód twierdzenia matematycznego

Miejski konferencja naukowo-praktyczna

„Rozpocznij w nauce”

Znane twierdzenia (twierdzenie Pitagorasa)

Sekcja „Moc twórcza”

wielkie odkrycia w matematyce

3.4 Zastosowanie w telefonii komórkowej……………………………………………………………….26

Wniosek…………………………………………………………………………………………………27

Referencje…………………………………………………………………………………...29

Wstęp.

Trudno znaleźć osobę, która nie kojarzy imienia Pitagorasa z twierdzeniem Pitagorasa. Być może nawet ci, którzy na zawsze w swoim życiu pożegnali się z matematyką, zachowują wspomnienia o „pitagorejskich spodniach”. Powód takiej popularności twierdzenia Pitagorasa jest trójjedyny: prostota – piękno – znaczenie. Rzeczywiście, twierdzenie Pitagorasa jest proste, ale nie oczywiste. To połączenie dwóch przeciwstawnych sobie zasad nadaje jej szczególnego uroku, czyni ją piękną. Ale dodatkowo twierdzenie Pitagorasa ma ogromne znaczenie: jest używane w geometrii dosłownie na każdym kroku, a fakt, że istnieje około 500 różnych dowodów tego twierdzenia (geometryczne, algebraiczne, mechaniczne itp.) wskazuje na gigantyczną liczbę jego konkretnych wdrożeń. Odkrycie twierdzenia Pitagorasa otoczone jest aureolą pięknych legend.

Dzisiaj twierdzenie Pitagorasa znajdujemy w różnych szczegółowych problemach i rysunkach: zarówno w trójkącie egipskim w papirusie z czasów faraona Amenemhata I (ok. 2000 pne), jak iw babilońskich tabliczkach klinowych z epoki króla Hammurabiego (XVIII wiek pne) oraz w starożytnym indyjskim traktacie geometryczno-teologicznym z VII-V wieku. pne mi. Sulva Sutra (Zasady liny). W starożytnym chińskim traktacie „Zhou-bi suan jin”, którego data powstania nie jest dokładnie znana, podano, że w XII wieku. pne mi. Chińczycy znali właściwości trójkąta egipskiego i do VI wieku. pne mi. - oraz ogólna forma twierdzenia. Mimo to imię Pitagorasa jest tak mocno połączone z twierdzeniem Pitagorasa, że ​​teraz po prostu nie można sobie wyobrazić, że to zdanie się rozpadnie. Dziś powszechnie przyjmuje się, że Pitagoras dał pierwszy dowód twierdzenia noszącego jego imię. Niestety, nie zachował się również żaden ślad tego dowodu.

Według słynnego naukowca I. Keplera „geometria ma dwa skarby - twierdzenie Pitagorasa i złoty podział, a jeśli pierwszy z nich można porównać z miarą złota, to drugi z kamieniem szlachetnym ...».

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z głównych i można powiedzieć, najważniejszym twierdzeniem geometrii. Jej znaczenie polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niej wyprowadzić lub za jej pomocą.

Pewien amerykański matematyk, nasz współczesny, zbierał różne sposoby dowodzenia twierdzenia Pitagorasa przez około 20 lat, a teraz jego „zbiór” zawiera około 300 różnych dowodów. Sugeruje to, że starożytne twierdzenie jest jak dotąd istotne i interesujące dla ludzi.

V kurs szkolny geometria za pomocą twierdzenia Pitagorasa rozwiązywane są tylko problemy matematyczne. Niestety kwestia praktycznego zastosowania twierdzenia Pitagorasa nie jest rozważana.

Obecnie powszechnie uznaje się, że powodzenie rozwoju wielu dziedzin nauki i techniki zależy od rozwoju różnych dziedzin matematyki. Ważnym warunkiem zwiększenia efektywności produkcji jest powszechne wprowadzanie metod matematycznych w technologii i Gospodarka narodowa co wiąże się z tworzeniem nowego skuteczne metody badania jakościowe i ilościowe, które pozwalają rozwiązywać problemy stawiane przez praktykę.

Przedmiot badań: twierdzenie Pitagorasa.

Przedmiot badań: różne interpretacje i metody dowodzenia twierdzenia Pitagorasa, jego zastosowanie w rozwiązywaniu problemów praktycznych.

Studiując dodatkową literaturę na wybrany temat, postawiono hipotezy:

1) istnieją inne interpretacje twierdzenia Pitagorasa;

2) twierdzenie Pitagorasa służy do rozwiązywania wielu praktycznych problemów .

Cel pracy: po dokładnym przestudiowaniu sformułowania twierdzenia Pitagorasa, przeanalizuj dowody i stosując uogólnienie, zaproponuj inne interpretacje twierdzenia Pitagorasa, a także poznaj obszary zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Aby osiągnąć cel, postawiono następujące zadania:

1. Przeanalizuj historię powstania twierdzenia Pitagorasa.

2. Zbadaj różne sposoby dowodu i rozważ inne interpretacje twierdzenia Pitagorasa.

3. Pokaż praktyczne użycie Twierdzenia Pitagorasa.

W pierwszym rozdziale Praca badawcza Rozważ historię pojawienia się twierdzenia Pitagorasa.

W drugim rozdziale rozważymy różne sposoby dowodzenia twierdzenia Pitagorasa.

W trzecim rozdziale rozważymy różne interpretacje twierdzenia Pitagorasa.

Rozważymy kilka klasycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, znanego ze starożytnych traktatów. Jest to również przydatne, ponieważ współczesne podręczniki szkolne dają algebraiczny dowód twierdzenia. Jednocześnie pierwotna geometryczna aura twierdzenia znika bez śladu, nić Ariadny, która prowadziła starożytnych mędrców do prawdy, zanika, a droga ta prawie zawsze okazywała się najkrótsza i zawsze piękna.

Rozdział 1. Historia powstania twierdzenia Pitagorasa.

1.1. Biografia Pitagorasa.

Wielki naukowiec Pitagoras urodził się około 570 pne. mi. na wyspie Samos. Ojcem Pitagorasa był Mnesarchus, rzeźbiarz klejnotów. Imię matki Pitagorasa nie jest znane. Według wielu starożytnych świadectw urodzony chłopiec był bajecznie przystojny i wkrótce pokazał swoje wybitne zdolności. Wśród nauczycieli młodego Pitagorasa tradycja nazywa imiona starszego Hermodamanta i Ferekidesa z Syros (choć nie ma pewności, że Germodamant i Ferekides byli pierwszymi nauczycielami Pitagorasa). Młody Pitagoras spędzał całe dnie u stóp starszego Hermodamanta, słuchając melodii cytary i heksametrów Homera. Pasja do muzyki i poezji wielkiego Homera, Pitagoras zachował na całe życie. Jako uznany mędrzec, otoczony tłumem uczniów, Pitagoras rozpoczął dzień od śpiewania jednej z pieśni Homera. Ferecydes był filozofem i uważany był za założyciela włoskiej szkoły filozoficznej. Tak więc, jeśli Hermodamant wprowadził młodego Pitagorasa w krąg muz, Ferekydes skierował swój umysł na logos. Ferekydes skierował spojrzenie Pitagorasa na naturę i tylko w niej poradził, by zobaczył swojego pierwszego i głównego nauczyciela. Tak czy inaczej, niespokojna wyobraźnia młodego Pitagorasa bardzo szybko zapełniła się małym Samos, a on udaje się do Miletu, gdzie spotyka się z innym naukowcem, Talesem. Tales radzi mu, aby udał się do Egiptu po wiedzę, co zrobił Pitagoras.

W 548 pne. mi. Pitagoras przybył do Navcratis, kolonii Samów, gdzie był ktoś, kto mógł znaleźć schronienie i jedzenie. Po nauce języka i religii Egipcjan wyjeżdża do Memfisu. Mimo listu polecającego faraona przebiegli kapłani nie spieszyli się z wyjawieniem Pitagorasowi swoich tajemnic, proponując mu trudne próby. Ale wiedziony pragnieniem wiedzy Pitagoras pokonał ich wszystkich, choć według wykopalisk kapłani egipscy nie mogli go wiele nauczyć, gdyż w tym czasie geometria egipska była nauką czysto stosowaną (co zaspokajało ówczesną potrzebę liczenia i mierzenia ziemi). działki). Dlatego dowiedziawszy się wszystkiego, co dali mu kapłani, uciekł od nich, przeniósł się do swojej ojczyzny w Helladzie. Jednak po przebyciu części drogi Pitagoras decyduje się na podróż lądową, podczas której został schwytany przez jadącego do domu króla Babilonu Kambyzesa. Nie trzeba dramatyzować życia Pitagorasa w Babilonie, ponieważ wielki władca Cyrus był tolerancyjny wobec wszystkich jeńców. Matematyka babilońska była niezaprzeczalnie bardziej zaawansowana (przykładem tego jest pozycyjny system rachunku różniczkowego) niż egipska, a Pitagoras musiał się wiele nauczyć. Ale w 530 pne. mi. Cyrus wyruszył na kampanię przeciwko plemionom w Azja centralna. A korzystając z zamieszania w mieście, Pitagoras uciekł do swojej ojczyzny. A na Samos w tym czasie panował tyran Polikrates. Oczywiście Pitagoras nie był zadowolony z życia nadwornego półniewolnika i wycofał się do jaskiń w okolicach Samos. Po kilku miesiącach roszczeń Polikratesa Pitagoras przenosi się do Krotonu. W Krotonie Pitagoras ustanowił coś w rodzaju bractwa religijno-etycznego lub tajnego zakonu („pitagorejczycy”), którego członkowie byli zobowiązani do prowadzenia tak zwanego pitagorejskiego stylu życia. Był jednocześnie związkiem wyznaniowym i klubem politycznym oraz towarzystwem naukowym. Trzeba powiedzieć, że niektóre z zasad głoszonych przez Pitagorasa są godne naśladowania nawet teraz.

Minęło 20 lat. Sława braterstwa rozeszła się po całym świecie. Pewnego dnia Cylon, bogaty, ale zły człowiek, przybywa do Pitagorasa, chcąc po pijaku dołączyć do bractwa. Po odmowie Cylon rozpoczyna walkę z Pitagorasem, wykorzystując podpalenie jego domu. Podczas pożaru pitagorejczycy na własny koszt uratowali życie swojemu nauczycielowi, po czym Pitagoras tęsknił za domem i wkrótce popełnił samobójstwo.

1.2. Historia powstania twierdzenia Pitagorasa.

Odkrycie twierdzenia Pitagorasa przypisuje się zwykle starożytnemu greckiemu filozofowi i matematykowi Pitagorasowi. Ale badanie babilońskich tabliczek klinowych i starożytnych chińskich rękopisów wykazało, że stwierdzenie to było znane na długo przed Pitagorasem, być może tysiące lat wcześniej. Zasługą Pitagorasa było to, że odkrył dowód tego twierdzenia.

Twierdzenie Pitagorasa jest również nazywane „twierdzeniem o pannie młodej”. Faktem jest, że w „Początkach” Euklidesa jest on również określany jako „twierdzenie o nimfach”, po prostu jego rysunek jest bardzo podobny do pszczoły lub motyla, a Grecy nazywali je nimfami. Ale kiedy Arabowie przetłumaczyli to twierdzenie, pomyśleli, że nimfa jest panną młodą. W ten sposób powstało „twierdzenie o pannie młodej”. Ponadto w Indiach nazywano to również „zasadą liny”.

Zacznijmy nasz historyczny przegląd pochodzenia twierdzenia od starożytnych Chin. Tutaj szczególną uwagę zwraca matematyczna księga Chu-pei. Ten esej mówi to o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5: „Jeśli kąt prosty zostanie rozłożony na części składowe, to linia łącząca końce jego boków będzie wynosić 5, gdy podstawa ma 3, a wysokość 4 ”. W tej samej książce zaproponowano rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Baszary.

Kantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że ​​równość 32 + 42 = 52 była znana Egipcjanom już około 2300 p.n.e. e., za czasów króla Amenemheta I (według papirusu 6619 Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapty, czyli „policzkowe”, budowały kąty proste za pomocą trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5. Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m od jednego końca i 4 m od drugiego. Między bokami o długości od 3 do 4 metrów zostanie zamknięty kąt prosty. Harpedonaptom można by zarzucić, że ich sposób budowania staje się zbędny, jeśli używa się na przykład drewnianego kwadratu, z którego korzystają wszyscy stolarze. Rzeczywiście, znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.

Nieco więcej wiadomo o twierdzeniu Pitagorasa wśród Babilończyków. W jednym tekście pochodzącym z czasów Hammurabiego, czyli z 2000 roku p.n.e. e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii byli w stanie wykonać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach.

Geometria wśród Hindusów, a także Egipcjan i Babilończyków była ściśle związana z kultem. Jest wysoce prawdopodobne, że twierdzenie o kwadracie przeciwprostokątnej znane było już w starożytnych Indiach około XVIII wieku. pne mi.

W pierwszym rosyjskim przekładzie elementów euklidesowych, twierdzenie Pitagorasa jest sformułowane w następujący sposób: „W trójkątach prostokątnych kwadrat boku przeciwnego do kąta prostego jest równy sumie kwadratów boków zawierających kąt prosty. "

Obecnie wiadomo, że twierdzenia tego nie odkrył Pitagoras. Jednak niektórzy uważają, że Pitagoras był pierwszym, który dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Niektórzy przypisują Pitagorasowi dowód, który Euklides podaje w pierwszej księdze jego Elementów. Z drugiej strony, Proclus twierdzi, że dowód w elementach należy do samego Euklidesa. Jak widać, w historii matematyki nie ma prawie żadnych wiarygodnych danych na temat życia Pitagorasa i jego działalności matematycznej. Ale legenda mówi nawet o bezpośrednich okolicznościach, które towarzyszyły odkryciu twierdzenia. Mówi się, że na cześć tego odkrycia Pitagoras złożył w ofierze 100 byków.

Opierając się z jednej strony na aktualnym poziomie wiedzy o matematyce egipskiej i babilońskiej, az drugiej na krytycznym studium źródeł greckich, Van der Waerden (matematyk holenderski) stwierdził, co następuje:

„Zasługą pierwszych matematyków greckich, takich jak Tales, Pitagoras i Pitagorejczycy, nie jest odkrycie matematyki, ale jej usystematyzowanie i uzasadnienie. W ich rękach receptury obliczeniowe oparte na niejasnych pomysłach stały się nauką ścisłą.

Rozdział 2. Różne sposoby dowodzenia twierdzenia Pitagorasa.

2.1. Sformułowania i cechy twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalającym związek między bokami trójkąta prostokątnego.

Początkowo twierdzenie ustaliło zależność między polami kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej a odnogami trójkąta prostokątnego: „W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nogi."

Sformułowanie algebraiczne: „W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg”.

Oznacza to, że oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez c i długości nóg przez aib, otrzymujemy: a2 + b2 = c2.

Oba sformułowania twierdzenia są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować nie wiedząc nic o polu i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Warto zauważyć, że sformułowanie twierdzenia podane w podręczniku szkolnym początkowo brzmiało zupełnie inaczej. Oto tłumaczenia sformułowań twierdzenia Pitagorasa z różnych źródeł:

1. W Euklidesie twierdzenie to mówi: „W trójkącie prostokątnym kwadrat boku rozciągniętego pod kątem prostym jest równy kwadratom na bokach obejmujących kąt prosty”.

2. Łaciński przekład arabskiego tekstu Annairici (ok. 900 ne), dokonany przez Gerharda z Cremony (początek XII w.), brzmi: „W dowolnym trójkącie prostokątnym kwadrat utworzony na boku rozciągniętym pod kątem prostym jest równa sumie dwóch kwadratów utworzonych z dwóch stron, które tworzą kąt prosty.

3. W Geometria Gulmonensis (ok. 1400) twierdzenie to brzmi następująco: „Więc powierzchnia kwadratu mierzona wzdłuż jego dłuższego boku jest tak duża, jak powierzchnia dwóch kwadratów mierzona wzdłuż jego dwóch boków przylegających do siebie pod kątem prostym”.

4. W pierwszym rosyjskim przekładzie elementów euklidesowych, wykonanym z greki („elementy euklidesowe, osiem ksiąg zawierających podstawy geometrii”, Petersburg, 1819), twierdzenie Pitagorasa jest sformułowane w następujący sposób: „W trójkątach prostokątnych kwadrat z boku przeciwnego do kąta prostego jest równy sumie kwadratów boków zawierających kąt prosty.

Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinus, które ustala związek między bokami dowolnego trójkąta, a twierdzenie Pitagorasa jest również znane nie tylko na płaszczyźnie, ale także w przestrzeni: „Kwadrat przekątnej prostopadłościan jest równa sumie kwadratów jego wymiarów.

Odwrotność jest również prawdziwa (nazywana odwrotnym twierdzeniem Pitagorasa): „Dla każdej trójki liczb dodatnich a, b i c takich, że a² + b² = c², istnieje trójkąt prostokątny z odnogami a i b oraz przeciwprostokątną c”.

Wiadomo jednak, że był używany do rozwiązywania różnych problemów na długo przed Pitagorasem przez starożytnych Egipcjan, Babilończyków, Chińczyków, Hindusów i inne starożytne ludy.

W drugim rozdziale przyjrzeliśmy się różnym sposobom udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Pitagoras najpierw udowodnił tylko szczególny przypadek twierdzenia: rozważał równoramienny trójkąt prostokątny. Rysunek, który służy do udowodnienia tego przypadku, nazywa się żartobliwie „pitagorejskimi spodniami” i dodaje: równe we wszystkich kierunkach.

Poznawać różne sposoby dowody twierdzenia Pitagorasa, zauważyliśmy, że niektóre z nich opierają się na własności figur jednakowo złożonych, inne na dodawaniu do liczb równych, a jeszcze inne na własności figur jednakowych (posiadających równe powierzchnie). W tym artykule rozważyliśmy tylko kilka metod dowodzenia słynne twierdzenie, ale jest ich znacznie więcej.

Po przestudiowaniu historii odkrycia twierdzenia Pitagorasa okazało się, że Pitagoras odkrył nie samo twierdzenie, ale jego dowód. Po zbadaniu różne metody dowód twierdzenia Pitagorasa, okazało się, że takich dowodów jest ogromna liczba i można je podzielić na:

§ dowód metodą uzupełnienia

§ dowód przez rozkład

§ algebraiczna metoda dowodu

§ dowód wektorowy

§ dowód z wykorzystaniem podobieństwa itp.

W trzecim rozdziale rozważyliśmy kilka elementarnych przykładów praktycznych problemów, w których w rozwiązaniu zastosowano twierdzenie Pitagorasa.

Po poznaniu praktycznego znaczenia twierdzenia Pitagorasa okazało się, że twierdzenie to ma duże zastosowanie w Życie codzienne w różnych dziedzinach ludzkiej działalności: astronomii, budownictwie, komunikacji mobilnej, architekturze.

Tak więc w wyniku badań znaleźliśmy inne interpretacje twierdzenia Pitagorasa i odkryliśmy niektóre obszary zastosowania twierdzenia. Zebraliśmy i przetworzyliśmy wiele materiałów ze źródeł literackich i Internetu na ten temat. Przestudiowaliśmy niektóre informacje historyczne o Pitagorasa i jego twierdzeniu, uważanym za szereg zadania historyczne na temat zastosowania twierdzenia Pitagorasa. W wyniku rozwiązania postawionych zadań doszliśmy do wniosku, że postawione przez nas hipotezy potwierdziły się. Tak, rzeczywiście, używając twierdzenia Pitagorasa, można rozwiązywać nie tylko problemy matematyczne. Twierdzenie Pitagorasa znalazło zastosowanie w budownictwie i architekturze, komunikacji mobilnej.

Efektem naszej pracy jest:

§ nabycie umiejętności pracy ze źródłami literackimi;

§ nabycie umiejętności wyszukiwania odpowiedni materiał w Internecie;

§ nauczyliśmy się pracować z dużą ilością informacji, wybierać potrzebne informacje.

Bibliografia.

1. Aleksiejew. Przygotowanie do Jednolitego Egzaminu Państwowego: pomoc dydaktyczna, M., 2011.

2. Boltyansky i równoważne liczby. M., 1956.

3. Nauka van der Waerdena. Matematyka Starożytny Egipt, Babilon i Grecja. M., 1959.

4. Jeszcze raz o twierdzeniu Pitagorasa // Gazeta edukacyjno-metodyczna „Matematyka”, nr 4, 2005.

5., Informator Yatsenko dla dzieci w wieku szkolnym. M., 2008.

6. Twierdzenie Pitagorasa. M., 1960.

7. Kilka sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa // Gazeta edukacyjno-metodyczna Matematyka, nr 24, 2010.

8. Studiujemy geometrię, M., 2007.

9. Matematyka Tkaczewa. M., 1994.

10. O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodu G. Glazer, akademik Rosyjskiej Akademii Edukacji, Moskwa

11. Twierdzenie Pitagorasa i rozdział o trójkach pitagorejskich z książki D. V. Anosova „Spojrzenie na matematykę i coś z niej”

12. Strona o twierdzeniu Pitagorasa z dużą liczbą dowodów, materiał zaczerpnięty z książki V. Litzmana.

13. http://encyklopedia. *****/bios/nauka/pifagor/pifagor. html

14. http://mypifagor. *****/posługiwać się. htm

15. http://mypifagor. *****/ literatura. htm