Xususiyatning asosiy elementlarini chizgan parallelogramma ta'rifi. Parallelogramma ta'rifi va uning xossalari
Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :) Xo'sh, do'stlar, agar siz bu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, ichki dalillar sizga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) Bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va men darhol ishga kirishaman.
Keling, bir nechta misollardan boshlaylik. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Bu to'plamlarning umumiyligi nimada? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.
O'zingiz hukm qiling. Birinchi to'plam - bu ketma -ket raqamlar, ularning har biri oldingi raqamdan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshga teng, lekin bu farq hali ham o'zgarmaydi. Uchinchi holatda, umuman ildizlar. Biroq, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ va $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element $ \ sqrt (2) $ ga ko'payadi (va bu raqam mantiqsiz deb qo'rqmang).
Shunday qilib: bunday ketma -ketliklarning barchasi arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, aniq ta'rif beraylik:
Ta'rif. Har bir keyingi qismi avvalgisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma -ketligi deyiladi arifmetik progressiya... Raqamlar farq qiladigan miqdor progressiyaning farqi deb ataladi va ko'pincha $ d $ harfi bilan belgilanadi.
Belgilanish: $ \ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ - harakatning o'zi, $ d $ - uning farqi.
Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat tartibli raqamlar ketma -ketligi: ularni yozilish tartibida o'qishga ruxsat beriladi - boshqa hech narsa emas. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki o'zgartira olmaysiz.
Ikkinchidan, ketma -ketlikning o'zi cheklangan yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to’plam aniq cheklangan arifmetik progressiya. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz taraqqiyot. To'rtlikdan keyingi ellips, go'yoki, hali ham juda ko'p sonlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)
Shuni ham ta'kidlashni istardimki, taraqqiyot o'sib bormoqda va kamaymoqda. Biz o'sib borayotganlarni ko'rdik - xuddi shu to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Va bu erda rivojlanishning pasayishiga misollar:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Mayli mayli: oxirgi misol haddan tashqari murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, sizga tushunarli. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:
Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:
- har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortadi;
- kamayadi, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kam bo'lsa.
Bundan tashqari, "statsionar" ketma -ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanadigan sondan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).
Faqat bitta savol qolmoqda: ortib borayotgan progressiyani kamayayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, barchasi $ d $ sonining belgisiga bog'liq, ya'ni. farqning rivojlanishi:
- Agar $ d \ gt 0 $ bo'lsa, u holda rivojlanish kuchayadi;
- Agar $ d \ lt 0 $ bo'lsa, demak, taraqqiyot kamaymoqda;
- Nihoyat, $ d = 0 $ holati mavjud - bu holda butun progress bir xil sonlarning statsionar ketma -ketligiga kamayadi: (1; 1; 1; 1; ...) va boshqalar.
Keling, yuqoridagi uchta kamayayotgan progressiya uchun $ d $ farqini hisoblab ko'rishga harakat qilaylik. Buning uchun ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni olib tashlash kifoya. Bu shunday ko'rinadi:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ta'riflarni ozmi -ko'pmi aniqladik, progressiya qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.
Progressiya a'zolari va takrorlanuvchi formula
Bizning ketma -ketlik elementlarini almashtirish mumkin emasligi uchun ularni raqamlash mumkin:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \ o'ng \) \]
Ushbu to'plamning alohida elementlari progressiyaning a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatilgan: birinchi davr, ikkinchi davr va boshqalar.
Bundan tashqari, biz bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bilan bog'liq.
\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ O'ng o'q ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Qisqacha aytganda, $ n $ th muddatini topish uchun $ n-1 $ th muddatini va $ d $ farqini bilish kerak. Bunday formulani takroriy deb atashadi, chunki uning yordami bilan istalgan sonni topish mumkin, faqat avvalgisini bilish (va aslida - hamma oldingi). Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob -kitoblarni birinchi muddatga va farqni kamaytiradigan murakkabroq formula mavjud:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \]
Shubhasiz, siz allaqachon ushbu formulaga erishgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalarda va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan bo'lib ketadi.
Shunga qaramay, men biroz mashq qilishni taklif qilaman.
Muammo raqami 1. $ \ Chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ arifmetik progressiyaning birinchi uchta shartini yozing, agar $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Yechim. Shunday qilib, biz $ ((a) _ (1)) = 8 $ birinchi davrini va $ d = -5 $ progressining farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanamiz va $ n = 1 $, $ n = 2 $ va $ n = 3 $ ni almashtiramiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ chap (1-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ chap (2-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ chap (3-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (tekislash) \]
Javob: (8; 3; -2)
Hammasi shu! E'tibor bering: bizning harakatimiz pasaymoqda.
Albatta, $ n = 1 $ ni almashtirish mumkin emas edi - birinchi atama bizga allaqachon ma'lum. Ammo, birini almashtirib, biz formulamiz birinchi davrada ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, hamma narsa arifmetikaga aylandi.
Muammo raqami 2. Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta shartini yozing, agar uning ettinchi a'zosi -40, o'n ettinchi qismi -50 bo'lsa.
Yechim. Keling, muammoning shartini odatiy so'zlar bilan yozaylik:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (tekislash) \ o'ng. \]
\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ tugatish (tekislash) \ o'ng. \]
Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va shuni esda tutingki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini olib tashlasak (bizda tizim borligi uchun buni qilish huquqiga egamiz), biz buni olamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) + 16d- \ chap (((a) _ (1)) + 6d \ o'ng) =- 50- \ chap (-40 \ o'ng); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (tekislash) \]
Mana, biz rivojlanishning farqini qanchalik oson topdik! Topilgan sonni tizimning har qanday tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:
\ [\ boshlanish (matritsa) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matritsa) \]
Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (tekislash) \]
Tayyor! Muammo hal qilindi.
Javob: (-34; -35; -36)
Biz kashf qilgan progressning qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $ n $ th va $ m $ th shartlarini olsak va ularni bir-biridan aytsak, biz $ n-m $ soniga ko'paytirilgan farqni olamiz:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ chap (n -m \ o'ng) \]
Oddiy, lekin juda foydali mulk, siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan narsa - uning yordami bilan siz ko'p muammolarni bosqichma -bosqich hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirasiz. Mana eng yaxshi misol:
Muammo raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi muddati - 8,4, uning o'ninchi qismi - 14,4. Bu progressiyaning o'n beshinchi muddatini toping.
Yechim. $ ((A) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $ bo'lgani uchun siz $ ((a) _ (15)) $ ni topishingiz kerak bo'lsa, biz quyidagilarni e'tiborga olamiz. :
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (tekislash) \]
Lekin $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $ sharti bilan, shuning uchun $ 5d = $ 6, bizda:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ end (tekislash) \]
Javob: 20.4
Hammasi shu! Bizga ba'zi tenglamalar tizimini tuzish va birinchi atama va farqni hisoblash shart emas edi - hamma narsa bir necha satrda hal qilingan.
Keling, boshqa turdagi vazifalarni ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya kuchaysa, birinchi atama manfiy bo'lsa, unda ertami -kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayayotgan progressiya a'zolari ertami kechmi salbiy bo'lib qoladi.
Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tib, bu lahzani "bosh bilan" ko'rib chiqish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha muammolar shunday tuzilganki, formulalarni bilmasdan, hisob -kitoblar bir necha varaqdan iborat bo'ladi - biz javob topganimizda uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.
Muammo raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy atama bor -38,5; -35.8; ...?
Yechim. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, bu erda biz darhol farqni topamiz:
E'tibor bering, farq ijobiydir, shuning uchun rivojlanish kuchayadi. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz haqiqatan ham ijobiy raqamlarga qoqilamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.
Keling, aniqlashga harakat qilaylik: qancha vaqt (ya'ni $ n $ tabiiy soniga qadar) atamalarning salbiyligi saqlanib qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) \ lt 0 \ O'ng o'q ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ chap (n -1 \ o'ng) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ to'rt \ chap | \ cdot 10 \ o'ng. \\ & -385 + 27 \ cdot \ chap (n -1 \ o'ng) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ O'ng o'q ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (tekislash) \]
Oxirgi qator tushuntirishni talab qiladi. Shunday qilib, $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz faqat sonning tamsayı qiymatlari bilan kifoyalanamiz (bundan tashqari, $ n \ mathbb (N) $), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aynan $ n = 15 $ va hech qanday holatda 16 yoshda.
Muammo raqami 5. Arifmetik progressiyada $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Bu progressiyaning birinchi musbat sonining sonini toping.
Bu avvalgisiga o'xshash muammo bo'lar edi, lekin biz $ ((a) _ (1)) $ ni bilmaymiz. Lekin qo'shni atamalar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6)) $, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:
Bundan tashqari, biz beshinchi atamani birinchisi va standart formulaga muvofiq farq bilan ifodalashga harakat qilamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (tekislash) \]
Endi biz oldingi vazifaga o'xshab harakat qilamiz. Biz ketma -ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar bo'lishini bilib olamiz:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ chap (n -1 \ o'ng) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ O'ng o'q ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (tekislash) \]
Bu tengsizlikning eng kichik sonli yechimi 56 ga teng.
E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $ n = 55 $ varianti bizga mos kelmaydi.
Endi biz oddiy muammolarni qanday hal qilishni o'rgandik, keling murakkabroq masalalarga o'tamiz. Birinchidan, keling, bizga ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydigan arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganaylik. :)
O'rtacha arifmetik va teng chiziqlar
$ \ Chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ ortib borayotgan arifmetik progressiyaning ketma -ket a'zolarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:
Raqamlar qatoridagi arifmetik progressiyaning a'zolariMen $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ emas, balki $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ va boshqalar. Chunki men hozir gaplashadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.
Va qoida juda oddiy. Keling, rekursiya formulasini eslaylik va uni belgilangan barcha a'zolar uchun yozamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (tekislash) \]
Biroq, bu tengliklarni boshqacha yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (tekislash) \]
Xo'sh, nima? $ ((A) _ (n-1)) $ va $ ((a) _ (n + 1)) $ shartlari $ ((a) _ (n)) $ dan bir xil masofada yotadi. . Va bu masofa $ d $ ga teng. $ ((A) _ (n -2)) $ va $ ((a) _ (n + 2)) $ a'zolari haqida ham shunday deyish mumkin - ular ham $ ((a) _ (n) dan o'chirilgan. ) $ bir xil masofa $ 2d $ ga teng. Siz cheksiz davom ettirishingiz mumkin, lekin uning ma'nosi rasmda yaxshi tasvirlangan.
Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $ ((a) _ (n)) $ ni topishingiz mumkin:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Biz ajoyib bayonot bilan chiqdik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetikasiga teng! Bundan tashqari: biz $ ((a) _ (n)) $ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $ k $ qadamlarini chetlab o'tishimiz mumkin - va shunga qaramay, formula to'g'ri bo'ladi:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Bular. $ ((a) _ (100)) $ va $ ((a) _ (200)) $ bilsak, biz $ ((a) _ (150)) $ ni osongina topa olamiz, chunki $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotganga o'xshaydi. Biroq, amalda, ko'plab muammolar o'rtacha arifmetikani ishlatish uchun maxsus "keskinlashadi". Qarab qo'ymoq:
Muammo raqami 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ raqamlari ketma -ket a'zo bo'lgan $ x $ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (tartibda).
Yechim. Ko'rsatilgan raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun, ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: $ x + 1 $ markaziy elementi qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:
\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (tekislash) \]
Natijada klassik kvadratik tenglama olinadi. Uning ildizlari: $ x = 2 $ va $ x = -3 $ - bu javoblar.
Javob: -3; 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2.
Muammo raqami 7. $$; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ raqamlari arifmetik progressiyani (shu tartibda) bajaradigan $$ qiymatlarini toping.
Yechim. Shunga qaramay, biz o'rta muddatni qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetik nuqtai nazaridan ifodalaymiz:
\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ chap | \ cdot 2 \ o'ng.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (tekislash) \]
Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $ x = 6 $ va $ x = 1 $.
Javob: 1; 6.
Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni topsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?
Masalan, 6 -sonli masalada biz -3 va 2. javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni ulab, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik. Eslatib o'taman, bizda uchta raqam bor ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ va $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), ular arifmetik progressiyani hosil qilishi kerak. $ X = -3 $ ni almashtiring:
\ [\ boshlash (tekislash) & x = -3 \ O'ng o'q \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ tugatish (tekislash) \]
Qabul qilingan raqamlar -54; -2; 52, 52 bilan farq qiladigan, shubhasiz, arifmetik progressiya. Xuddi shu narsa $ x = 2 $ uchun sodir bo'ladi:
\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ tugatish (tekislash) \]
Yana progressiya, lekin farq 27 bilan. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilingan. Qiziquvchilar ikkinchi muammoni mustaqil hal qilishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.
Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir narsaga qoqildik qiziq fakt, buni ham yodda tutish kerak:
Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgi arifmetik o'rtacha bo'lsa, bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.
Kelgusida, bu bayonotni tushunish bizga muammoning shartidan kelib chiqib, kerakli taraqqiyotni tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" ga o'tishdan oldin, biz ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir faktga e'tibor qaratishimiz kerak.
Elementlarning guruhlanishi va yig'indisi
Yana raqamlar o'qiga qaytamiz. Keling, bir necha a'zolarni ta'kidlaylik, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolar bor:
Raqam chizig'ida 6 ta element belgilanganKeling, "chap quyruq" ni $ ((a) _ (n)) $ va $ d $, "o'ng quyruq" ni $ ((a) _ (k)) $ va $ d $ bilan ifodalashga harakat qilaylik. . Bu juda oddiy:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (tekislash) \]
E'tibor bering, quyidagi summalar teng:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ tugatish (tekislash) \]
Oddiy qilib aytganda, agar biz boshlang'ich sifatida ikkita $ S $ soniga teng bo'lgan ikkita elementni hisoblasak va keyin biz bu elementlardan qarama -qarshi tomonga (bir -birimizga yoki aksincha uzoqlashish uchun) yura boshlasak. , keyin biz qoqinadigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$ S $. Buni grafikada eng aniq ifodalash mumkin:
Teng girinti teng miqdorlarni beradi Tushunish bu fakt muammolarni tubdan hal qilishga imkon beradi yuqori darajali biz ko'rib chiqqan qiyinchiliklarga qaraganda. Masalan, bunday:
Muammo raqami 8. Arifmetik progressiyaning farqini aniqlang, bunda birinchi atama 66 ga teng, ikkinchi va o'n ikkinchi a'zolar hosilasi mumkin bo'lgan eng kichikdir.
Yechim. Keling, bilgan hamma narsani yozaylik:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ tugatish (tekislash) \]
Shunday qilib, biz $ d $ progressining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farqga asoslangan bo'ladi, chunki $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ chap (66 + d \ o'ng) \ cdot \ chap (66 + 11d \ o'ng) = \\ & = 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng). \ tugatish (tekislash) \]
Tankda bo'lganlar uchun: Men ikkinchi qavsdan umumiy 11 faktorini oldim. Shunday qilib, qidirilayotgan mahsulot $ d $ o'zgaruvchiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $ f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (d + 66 \ o'ng) \ chap (d + 6 \ o'ng) $ funktsiyasini ko'rib chiqing - uning grafigi yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi. Agar biz qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ o'ng) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Ko'rib turganingizdek, etakchi davrda koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz chindan ham shoxlari parabola bilan ishlaymiz:
jadval kvadrat funktsiyasi- parabola
E'tibor bering: bu parabola o'zining minimal qiymatini o'z tepasida abscissa $ ((d) _ (0)) $ bilan oladi. Albatta, biz bu abssissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ formulasi ham bor), lekin bu ancha oqilona bo'lardi $ \ (d) _ (0)) $ nuqtasi $ f \ chap (d \ o'ng) = 0 $ tenglamasining ildizlaridan bir xil masofada joylashgan:
\ [\ boshlash (tekislash) va f \ chap (d \ o'ng) = 0; \\ & 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (tekislash) \]
Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Shunday qilib, xo'ppoz o'rtacha qiymatga teng arifmetik raqamlar-66 va -6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]
Kashf etilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (aytmoqchi, biz $ ((y) _ (\ min)) $ ni hisoblamadik - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam boshlang'ich progressiya o'rtasidagi farq, ya'ni. javobni topdik. :)
Javob: -36
Muammo raqami 9. $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ frac (1) (6) $ raqamlari orasiga uchta raqamni kiriting, shunda ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani hosil qiladi.
Yechim. Asosan, biz birinchi va oxirgi raqamlar ma'lum bo'lgan beshta raqamli ketma -ketlikni tuzishimiz kerak. Yo'qotilgan raqamlarni $ x $, $ y $ va $ z $ o'zgaruvchilari bilan belgilaylik:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ o'ng \ )]]
E'tibor bering, $ y $ raqami bizning ketma -ketligimizning "o'rtasi" dir - u $ x $ va $ z $ raqamlaridan, $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ raqamlaridan teng masofada joylashgan. frac (1) (6) $. Va agar $ x $ va $ z $ raqamlaridan biz bo'lsa bu lahza$ y $ ni ololmaysiz, keyin rivojlanishning oxiri bilan vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikani eslang:
Endi $ y $ ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ x $ $ - \ frac (1) (2) $ va $ y = - \ frac (1) (3) $ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun
Xuddi shunday fikr yuritib, qolgan raqamni topamiz:
Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni asl raqamlar orasiga qo'yilishi kerak bo'lgan tartibda javobga yozib qo'yaylik.
Javob: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Muammo raqami 10. Agar siz kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz, bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi 2 va 42 raqamlari orasiga bir nechta sonlarni kiriting.
Yechim. Bundan ham murakkab vazifa, ammo avvalgilariga o'xshash sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun, hamma narsani kiritgandan so'ng, $ n $ raqamlari bo'ladi, deb hisoblaymiz va ularning birinchisi 2, oxirgi 42 bo'ladi. Bunday holda, kerakli arifmetik progressiya quyidagicha ifodalanishi mumkin:
\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ o'ng \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
$ ((A) _ (2)) $ va $ ((a) _ (n-1)) $ raqamlari 2 va 42 raqamlardan bir-biriga bir qadam chekkasida olinganligiga e'tibor bering. ya'ni ... ketma -ketlikning markaziga. Bu shuni anglatadiki
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ chap (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ o'ng) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (tekislash) \]
$ ((A) _ (3)) $ va $ ((a) _ (1)) $ ni bilgan holda, biz jarayonning farqini osongina topamiz:
\ [\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ chap (3-1 \ o'ng) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ O'ng o'q d = 5. \\ \ end (tekislash) \]
Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (tekislash) \]
Shunday qilib, allaqachon 9 -qadamda biz ketma -ketlikning chap uchiga - 42 -raqamga kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Progressiya bilan so'z muammolari
Xulosa qilib shuni aytmoqchimanki, bir -birini nisbatan ko'rib chiqmoqchiman oddiy vazifalar... Xo'sh, qanchalik sodda: maktabda matematikani o'qiyotgan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik o'quvchilar uchun bu vazifalar qalay bo'lib tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, aynan mana shunday muammolar matematikada OGE va USE da uchraydi, shuning uchun ular bilan tanishishingizni maslahat beraman.
Muammo raqami 11. Brigada yanvar oyida 62 dona ishlab chiqargan va har bir keyingi oyda avvalgisiga qaraganda 14 dona ko'proq ishlab chiqarilgan. Noyabr oyida jamoa nechta qismdan iborat bo'ldi?
Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha rejalashtirilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:
\ [\ boshlash (tekislash) & ((a) _ (1)) = 62; \ to'rtlik d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 14. \\ \ end (tekislash) \]
Noyabr - yilning 11 -oyi, shuning uchun $ ((a) _ (11)) $ topishimiz kerak:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
Shunday qilib, noyabr oyida 202 ta ehtiyot qism ishlab chiqariladi.
Muammo raqami 12. Kitob bog‘lash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni, har oyda esa avvalgisidan 4 tadan ko‘p kitobni bog‘ladi. Seminar dekabr oyida nechta kitobni bog'lab qo'ydi?
Yechim. Hammasi bir xil:
$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 4. \\ \ end (tekislash) $
Dekabr - yilning oxirgi, 12 -oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) $ qidiramiz:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob nashr qilinadi.
Xo'sh, agar siz hozirgacha o'qigan bo'lsangiz, men sizni tabriklashga shoshaman: siz "yosh jangchi kursini" arifmetik progressiyada muvaffaqiyatli o'tdingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, u erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, uning muhim va juda foydali oqibatlarini o'rganamiz.
Matematika xuddi rasm va she'r kabi o'ziga xos go'zallikka ega.
Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy
Juda keng tarqalgan vazifalar kirish testlari matematikada arifmetik progressiya tushunchasi bilan bog'liq muammolar mavjud. Bunday muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xususiyatlarini yaxshi bilish va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lish zarur.
Biz avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaymiz va eng muhim formulalarni keltiramiz, bu tushuncha bilan bog'liq.
Ta'rif. Raqamlar ketma -ketligi, unda har bir keyingi muddat avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Bundan tashqari, raqamprogressiyaning farqi deb ataladi.
Arifmetik progressiya uchun quyidagi formulalar amal qiladi
, (1)
qayerda. (1) formulani arifmetik progressiyaning umumiy muddatining formulasi deb atashadi va (2) formulasi arifmetik progressiyaning asosiy xossasi: progressiyaning har bir atamasi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetikasiga to'g'ri keladi.
E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb nomlanadi.
Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:
(3)
Miqdorni hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning a'zolariodatda formuladan foydalaniladi
(5) qaerda va.
Formulani hisobga olgan holda (1), keyin (5) formulani nazarda tutadi
Agar biz belgilasak, demak
qayerda. (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarning umumlashmasidir.
Jumladan , (5) formula nazarda tutilgan, nima
Arifmetik progressiyaning quyidagi teorema yordamida tuzilgan xususiyati ko'pchilik o'quvchilarga ma'lum emas.
Teorema. Agar shunday bo'lsa
Dalil. Agar shunday bo'lsa
Teorema isbotlangan.
Masalan , teorema yordamida, buni ko'rsatish mumkin
"Arifmetik progressiya" mavzusidagi muammolarni hal qilishning odatiy misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
Misol 1. Keling va. Toping.
Yechim.(6) formuladan foydalanib, biz olamiz. Va keyin, keyin yoki.
Misol 2. Bu uch barobar ko'p bo'lsin, va bo'linmada bo'linganda biz 2 va qolgan 8 ni olamiz. Aniqlang va.
Yechim. Misolning sharti tenglamalar tizimini nazarda tutadi
,, va, keyin tenglamalar sistemasidan (10) biz olamiz
Bu tenglamalar tizimining yechimi va.
Misol 3. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim.(5) formulaga ko'ra, bizda yoki. Biroq, (9) xususiyatidan foydalanib, biz olamiz.
Va keyin, keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki.
Misol 4. Bo'lsa toping.
Yechim.(5) formulasi bo'yicha bizda bor
Biroq, teoremadan foydalanib, yozish mumkin
Bundan va (11) formuladan olamiz.
Misol 5. Berilgan :. Toping.
Yechim. O'shandan beri. Biroq, shuning uchun.
Misol 6. Keling va. Toping.
Yechim.(9) formuladan foydalanib, biz olamiz. Shuning uchun, agar, keyin yoki.
Beri va, keyin bu erda biz tenglamalar tizimiga egamiz
Qaysi birini hal qilamiz, biz olamiz va.
Tenglamaning tabiiy ildizi bu.
Misol 7. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim.(3) formulada bizda shunday bo'lgani uchun, masalaning bayoni tenglamalar tizimini nazarda tutadi
Agar siz ifodani almashtirsangiztizimning ikkinchi tenglamasiga kiradi, keyin olamiz yoki.
Ildizlar kvadrat tenglama bor va.
Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.
1. Xo'sh, keling. O'shandan beri, keyin.
Bu holda, (6) formulaga muvofiq, bizda
2. Agar, keyin, va
Javob: va.
Misol 8. Ma'lumki, va. Toping.
Yechim.(5) formulani va misol shartini inobatga olgan holda, biz yozamiz va.
Demak, tenglamalar tizimi amal qiladi
Agar biz tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz olamiz
(9) formulaga ko'ra, bizda bor... Shu munosabat bilan, (12) dan quyidagicha yoki.
O'shandan beri, keyin.
Javob:.
Misol 9. Agar va bo'lsa, toping.
Yechim. Chunki, va shart bo'yicha, keyin yoki.
(5) formuladan ma'lum, nima . O'shandan beri.
Demak, bu erda bizda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud
Shunday qilib, biz olamiz va. (8) formulani hisobga olib, biz yozamiz.
Misol 10. Tenglamani yeching.
Yechim. Berilgan tenglamadan shunday xulosa chiqadi. Aytaylik, ,, va. Unday bo `lsa .
(1) formulaga muvofiq siz yozishingiz yoki.
Chunki, keyin (13) tenglama bitta mos ildizga ega.
Misol 11. Shunda berilgan maksimal qiymatni toping.
Yechim. Chunki, ko'rib chiqilayotgan arifmetik progressiya pasaymoqda. Shu nuqtai nazardan, ifoda eng katta qiymatni oladi, agar u progressiyaning minimal musbat davrining soni bo'lsa.
Biz (1) formuladan va faktdan foydalanamiz, kabi. Keyin biz buni olamiz yoki.
Chunki, keyin ham ... Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, shuning uchun.
Agar qiymatlar va (6) formulada almashtirilsa, biz olamiz.
Javob:.
Misol 12. Ikki xonali raqamlarning yig'indisini aniqlang natural sonlar, 6 ga bo'linib, qolgan 5ni beradi.
Yechim. Keling, barcha ikki xonali natural sonlar to'plami bilan belgilaylik, ya'ni. ... Keyin biz to'plamning elementlaridan (sonlaridan) iborat kichik guruh tuzamiz, ular 6 ga bo'linib, qolganlari 5 ga teng bo'ladi.
O'rnatish qiyin emas, nima . Shubhasiz, bu to'plam elementlariarifmetik progressiyani hosil qiladi, unda va.
To'plamning kardinalligini (elementlar sonini) aniqlash uchun biz shunday taxmin qilamiz. Beri va keyin (1) formuladan kelib chiqadi yoki. (5) formulani hisobga olgan holda, biz olamiz.
Muammolarni hal qilishning yuqoridagi misollari to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola tahlil asosida yozilgan zamonaviy usullar berilgan mavzu bo'yicha odatiy vazifalarni hal qilish. Arifmetik progressiya bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish maqsadga muvofiqdir.
1. Texnikumlarga kiruvchilar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013.- 608 b.
2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: qo'shimcha bo'limlar maktab o'quv dasturi... - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 b.
3. Medinskiy M.M. Boshlang'ich matematikaning to'liq kursi masalalar va mashqlarda. 2 -kitob: Raqamlar ketma -ketligi va progressiya. - M.: Tahrir, 2015.- 208 b.
Hali ham savollaringiz bormi?
O'qituvchidan yordam olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
sayt, materialning to'liq yoki qisman nusxasi bilan, manba havolasi bo'lishi shart.
