Питагорова теорема пряка и обратна с доказателство. Урок "теорема - обратната на питагоровата теорема"

Цели на урока:

общо образование:

• проверка на теоретичните знания на учениците (свойства на правоъгълен триъгълник, теоремата на Питагор), способността да ги използват при решаване на проблеми;
• създаване проблемна ситуация, водят учениците до „откриването“ на обратната теорема на Питагор.

развитие:

• развитие на умения за прилагане на теоретичните знания на практика;
• развитие на способността за формулиране на заключения по време на наблюдения;
• развитие на паметта, вниманието, наблюдението:
• развитие на мотивацията за учене чрез емоционално удовлетворение от откритията, чрез въвеждане на елементи от историята на развитието на математическите концепции.

образователен:

• да култивира постоянен интерес към темата чрез изучаване на живота на Питагор;
• насърчаване на взаимопомощ и обективна оценка на знанията на съучениците чрез партньорска проверка.

Форма на урока: клас-урок.

План на урока:

• Организиране на времето.
• Преглед домашна работа. Актуализация на знанията.
• Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.
• Нова тема.
• Първично затвърждаване на знанията.
• Домашна работа.
• Резултати от урока.
• Самостоятелна работа (според индивидуални карти с отгатване на афоризмите на Питагор).

По време на часовете.

Организиране на времето.

Проверка на домашните. Актуализация на знанията.

Учител:Каква задача свършихте у дома?

Ученици:Дадени са две страни на правоъгълен триъгълник, намерете третата страна, подредете отговорите под формата на таблица. Повторете свойствата на ромб и правоъгълник. Повторете какво се нарича условие и какво е заключението на теоремата. Подгответе доклади за живота и работата на Питагор. Донесете въже с 12 възела, завързани за него.

Учител:Проверете отговорите на домашното според таблицата

(данните са в черно, отговорите са в червено).

Учител: Твърденията са написани на дъската. Ако сте съгласни с тях на листовете срещу съответния номер на въпроса, поставете „+“, ако не сте съгласни, поставете „-“.

Твърденията са написани на дъската.

1. Хипотенузата е по-голяма от катета.
2. Сума остри ъглиправоъгълният триъгълник е 180 0 .
3. Площ на правоъгълен триъгълник с крака АИ Vизчислено по формулата S=ab/2.
4. Теоремата на Питагор е вярна за всички равнобедрени триъгълници.
5. В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъл 30 0 е равен на половината от хипотенузата.
6. Сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
7. Квадратът на катета е равен на разликата на квадратите на хипотенузата и втория катет.
8. Страната на триъгълник е равна на сбора от другите две страни.

Работите се проверяват чрез партньорска проверка. Обсъждат се противоречиви твърдения.

Ключ към теоретичните въпроси.

Учениците се оценяват взаимно по следната система:

8 верни отговора „5”;
6-7 верни отговора “4”;
4-5 верни отговора „3”;
по-малко от 4 верни отговора „2“.

Учител:За какво говорихме в миналия урок?

Студент:За Питагор и неговата теорема.

Учител:Формулирайте Питагоровата теорема. (Няколко ученика четат текста, в този момент 2-3 ученици го доказват на дъската, 6 ученици на първите бюра на листовете).

На магнитната дъска върху картите са написани математически формули. Изберете тези, които отразяват смисъла на Питагоровата теорема, където А И V - катетри, с - хипотенуза.

1) c 2 \u003d a 2 + b 2	2) c \u003d a + b	3) a 2 \u003d от 2 - до 2
4) c 2 \u003d a 2 - в 2	5) в 2 \u003d c 2 - a 2	6) a 2 \u003d c 2 + в 2

Докато учениците, доказващи теоремата на дъската и на полето, не са готови, думата се дава на подготвилите доклади за живота и делото на Питагор.

Ученици, работещи на полето, раздават листовки и слушат свидетелствата на тези, които са работили на дъската.

Решаване на практически задачи с помощта на Питагоровата теорема.

Учител:Предлагам ви практически задачи по изучената теорема. Първо ще посетим гората, след бурята, а след това в провинцията.

Задача 1. След бурята смърчът се счупи. Височината на останалата част е 4,2 м. Разстоянието от основата до падналия връх е 5,6 м. Намерете височината на смърча преди бурята.

Задача 2. Височината на къщата е 4,4 м. Ширината на моравата около къщата е 1,4 м. Колко дълга трябва да бъде направена стълбата, за да не стъпва на моравата и да стига до покрива на къщата?

Нова тема.

Учител:(свири музика)Затворете очи, за няколко минути ще се потопим в историята. Ние сме с вас вътре Древен Египет. Тук в корабостроителниците египтяните строят прочутите си кораби. Но геодезистите измерват парцели земя, чиито граници са били отмити след разлива на Нил. Строителите строят грандиозни пирамиди, които и до днес ни удивляват с великолепието си. Във всички тези дейности египтяните трябваше да използват прави ъгли. Те знаеха как да ги построят с помощта на въже с 12 възела, вързани на еднакво разстояние един от друг. Опитайте и вие, спорейки като древните египтяни, да изградите правоъгълни триъгълници с помощта на вашите въжета. (Решавайки този проблем, момчетата работят в групи от 4 души. След известно време някой показва конструкцията на триъгълник на таблета на черната дъска).

Страните на получения триъгълник са 3, 4 и 5. Ако завържете още един възел между тези възли, тогава страните му ще станат 6, 8 и 10. Ако по две - 9, 12 и 15. Всички тези триъгълници са правоъгълни, т.к. .

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 и т.н.

Какво свойство трябва да има един триъгълник, за да бъде правоъгълен триъгълник? (Учениците се опитват сами да формулират обратната Питагорова теорема, накрая някой успява).

Как тази теорема е различна от Питагоровата теорема?

Студент:Условието и заключението са обърнати.

Учител:У дома повторихте как се наричат ​​подобни теореми. И така, какво правим сега?

Студент: С обратната теорема на Питагор.

Учител: Запишете темата на урока в тетрадката си. Отворете учебниците си на стр. 127, прочетете това твърдение отново, запишете го в тетрадката си и анализирайте доказателството.

(След няколко минути самостоятелна работа с учебника, по желание един човек на дъската дава доказателство на теоремата).

1. Как се казва триъгълник със страни 3, 4 и 5? Защо?
2. Кои триъгълници се наричат ​​питагорови триъгълници?
3. С какви триъгълници работихте в домашните? А при проблеми с бор и стълба?

Първично затвърждаване на знанията

.

Тази теорема помага при решаването на задачи, при които е необходимо да се установи дали триъгълниците са правоъгълни.

Задачи:

1) Разберете дали триъгълникът е правоъгълен, ако страните му са равни:

а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Изчислете височините на триъгълник със страни 6, 8 и 10 cm.

Домашна работа

.

Страница 127: Обратна теорема на Питагор. № 498 (а, б, в) № 497.

Резултати от урока.

Какво ново научихте в урока?

Как египтяните са използвали обратната теорема на Питагор?

За какви задачи се използва?

Какви триъгълници срещнахте?

Какво си спомняте и харесвате най-много?

Самостоятелна работа (извършва се на индивидуални карти).

Учител:У дома повторихте свойствата на ромба и правоъгълника. Избройте ги (има разговор с класа). В последния урок говорихме за факта, че Питагор е многостранен човек. Занимавал се е и с медицина, и с музика, и с астрономия, освен това е бил спортист и е участвал в Олимпийски игри. Питагор е бил и философ. Много от неговите афоризми са актуални и днес. Сега ще изпълняваш самостоятелна работа. Към всяка задача са дадени няколко отговора, до които са написани фрагменти от питагорейски афоризми. Вашата задача е да решите всички задачи, да направите изявление от получените фрагменти и да го запишете.

Според ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в общ изгледе бил известен във Вавилон още около 18 век пр.н.е. д.

Приблизително 400 г. пр.н.е. д., според Прокъл, Платон дава метод за намиране на питагорови тройки, комбинирайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. в "Елементите" на Евклид се появява най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема.

Формулировка

Основната формулировка е алгебрични действия- в правоъгълен триъгълник, чиито дължини на катетите са равни a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), релацията е изпълнена:

.

Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката. В тази форма теоремата е формулирана в Принципите на Евклид.

Обратна теорема на Питагор- твърдението за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), съществува правоъгълен триъгълникс крака a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).

Доказателство

IN научна литературазаписани са най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталното й значение за геометрията, така и с елементарността на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на съотношенията на елементите триъгълник (такъв например е популярният метод на подобие), метод на площта, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Класическото доказателство на Евклид има за цел да установи равенството на площите между правоъгълници, образувани чрез разрязване на квадрат върху хипотенуза с височина прав ъгълс квадрати над краката.

Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда C H (\displaystyle CH)и лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на площите на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); равенството на площите на втория правоъгълник, който е квадрат над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет се установява по подобен начин.

Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)установени чрез конгруентност на триъгълници △ A C K ​​​​(\displaystyle \триъгълник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълника е равна на половината от площта на правоъгълника, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника е равна на обща странае другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).

По този начин доказателството установява, че площта на квадрата над хипотенузата, съставена от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите над краката.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Методът на площта включва и доказателството, намерено от Леонардо да Винчи. Нека има правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани H J (\displaystyle HJ)последният, триъгълник е конструиран отвън, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)И △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)са равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които, от една страна, е равна на сумата от половината площи на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, на половината от площта на квадратът върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата на площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки стъпки на краката a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Чрез метода на разделяне на променливите се извежда от тях диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение начални условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константа като 0, което води до твърдението на теоремата.

Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.

Вариации и обобщения

Подобни геометрични фигури от три страни

Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в Елементите, преминавайки от областите на квадратите отстрани към областите на произволни подобни геометрични форми: сумата от площите на такива фигури, изградени върху краката, ще бъде равна на площта на фигура, подобна на тях, изградена върху хипотенузата.

Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C)изградени на крака с дължини a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)съответно има връзка:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), тогава е направено.

Освен това, ако е възможно да се докаже без използване на Питагоровата теорема, че за площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник, отношението A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, можем да изведем доказателството на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а на краката - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците на краката се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от две по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третия, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки връзката за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.

Косинусова теорема

Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

където е ъгълът между страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.

Произволен триъгълник

Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Сабит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta )обратната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият със страни a (\displaystyle a), страничната страна на вписания равнобедрен триъгълник далеч от него, и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият е симетричен на него отстрани b (\displaystyle b)с парти s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това се изпълнява връзката:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

която се изражда в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Съотношението е следствие от сходството на образуваните триъгълници:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Теорема за площта на Папус

Неевклидова геометрия

Питагоровата теорема е извлечена от аксиомите на евклидовата геометрия и е невалидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.

В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.

Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.

сферична геометрия

За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Това равенство може да се изведе като специален случайсферична косинусова теорема, която е валидна за всички сферични триъгълници:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Където ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Където γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страна c (\displaystyle c).

Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичният триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.

Приложение

Разстояние в двумерни правоъгълни системи

Най-важното приложение на Питагоровата теорема е да се определи разстоянието между две точки в правоъгълна система координати: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))И (c, d) (\displaystyle (c,d))равно на:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

За комплексни числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модул комплексно число – за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината

Разглеждане на теми училищна програмас помощта на видео уроци е удобен начин за изучаване и усвояване на материала. Видеото помага да се фокусира вниманието на учениците върху основните теоретични моменти и да не се пропускат важни подробности. Ако е необходимо, учениците винаги могат да прослушат видео урока отново или да се върнат няколко теми назад.

Този видео урок за 8. клас ще помогне на учениците да учат нова темапо геометрия.

В предишната тема изучавахме Питагоровата теорема и анализирахме нейното доказателство.

Има и теорема, която е известна като обратната теорема на Питагор. Нека го разгледаме по-подробно.

Теорема. Триъгълникът е правоъгълен, ако отговаря на равенството: стойността на едната страна на триъгълника на квадрат е същата като сумата на другите две страни на квадрат.

Доказателство. Да предположим, че ни е даден триъгълник ABC, в който е вярно равенството AB 2 = CA 2 + CB 2. Трябва да докажем, че ъгъл С е 90 градуса. Да разгледаме триъгълник A 1 B 1 C 1, в който ъгълът C 1 е 90 градуса, страната C 1 A 1 е равна на CA и страната B 1 C 1 е равна на BC.

Прилагайки Питагоровата теорема, записваме отношението на страните в триъгълника A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Като замените израза с равни страни, получаваме A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

От условията на теоремата знаем, че AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогава можем да запишем A 1 B 1 2 = AB 2 , което означава, че A 1 B 1 = AB.

Установихме, че в триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 трите страни са равни: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Така че тези триъгълници са еднакви. От равенството на триъгълниците следва, че ъгълът C е равен на ъгъла C 1 и съответно е равен на 90 градуса. Установихме, че триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник и неговият ъгъл C е 90 градуса. Доказахме тази теорема.

След това авторът дава пример. Да предположим, че ни е даден произволен триъгълник. Размерите на страните му са известни: 5, 4 и 3 единици. Нека проверим твърдението от теоремата, обратна на Питагоровата теорема: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Ако твърдението е вярно, тогава дадения триъгълник е правоъгълен.

В следващите примери триъгълниците също ще бъдат правоъгълни, ако страните им са равни:

5, 12, 13 единици; вярно е равенството 13 2 = 5 2 + 12 2;

8, 15, 17 единици; уравнението 17 2 = 8 2 + 15 2 е вярно;

7, 24, 25 единици; уравнението 25 2 = 7 2 + 24 2 е вярно.

Концепцията за триъгълника на Питагор е известна. Това е правоъгълен триъгълник, чиито стойности на страните са цели числа. Ако краката на питагоровия триъгълник са означени с a и c и хипотенузата b, тогава стойностите на страните на този триъгълник могат да бъдат записани с помощта на следните формули:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

където m, n, k са произволни цели числаи стойността на m е по-голяма от стойността на n.

Интересен факт: триъгълник със страни 5, 4 и 3 се нарича още египетски триъгълник, такъв триъгълник е бил известен в древен Египет.

В този видео урок се запознахме с теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Разгледайте подробно доказателството. Учениците научиха и кои триъгълници се наричат ​​Питагорови триъгълници.

Учениците лесно могат да се запознаят с темата „Теорема, обратна теоремаПитагор" самостоятелно с помощта на този видео урок.

Цели на урока:

Образователни: формулирайте и докажете Питагоровата теорема и обратното на Питагоровата теорема. Покажете тяхното историческо и практическо значение.

Развитие: развива вниманието, паметта, логично мисленеученици, способността да разсъждават, сравняват, правят изводи.

Образователни: да се култивира интерес и любов към предмета, точност, способност да слушате другари и учители.

Оборудване: Портрет на Питагор, плакати със задачи за консолидация, учебник "Геометрия" 7-9 клас (I.F. Sharygin).

План на урока:

I. Организационен момент – 1мин.

II. Проверка на домашна работа – 7 мин.

III. Въведениеучители, историческа справка - 4-5 мин.

IV. Формулиране и доказателство на Питагоровата теорема – 7 мин.

V. Формулиране и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема – 5 мин.

Фиксиране на нов материал:

а) устно - 5-6 минути.
б) писмено - 7-10 мин.

VII. Домашна работа – 1 мин.

VIII. Обобщаване на урока - 3 мин.

По време на часовете

I. Организационен момент.

II. Проверка на домашните.

т.7.1, № 3 (на дъската според готовия чертеж).

Състояние: Височината на правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата на сегменти с дължина 1 и 2. Намерете катетите на този триъгълник.

BC = a; СА=b; BA=c; BD = a 1; DA = b1; CD = hC

Допълнителен въпрос: запишете съотношенията в правоъгълен триъгълник.

т. 7.1, № 5. Разрежете правоъгълния триъгълник на три подобни един на друг триъгълника.

Обяснете.

ASN ~ ABC ~ SVN

(насочете вниманието на учениците към правилното записване на съответните върхове на подобни триъгълници)

III. Встъпително слово на учителя, историческа справка.

Истината ще остане вечна, щом слаб човек я узнае!

И сега Питагоровата теорема е вярна, както в далечната му епоха.

Неслучайно започнах урока си с думите на немския писател Шамисо. Нашият урок днес е за Питагоровата теорема. Нека напишем темата на урока.

Пред вас е портрет на великия Питагор. Роден през 576 г. пр.н.е. След като живее 80 години, той умира през 496 г. пр.н.е. Известен като древногръцки философ и учител. Той бил син на търговеца Мнесарх, който често го вземал на пътувания, благодарение на което момчето развило любопитство и желание да научава нови неща. Питагор е прякор, даден му заради неговото красноречие („Питагор“ означава „убедителна реч“). Самият той не е писал нищо. Всички негови мисли са записани от неговите ученици. В резултат на първата лекция, която изнесе, Питагор придоби 2000 ученици, които заедно със своите съпруги и деца образуваха огромно училище и създадоха държава, наречена „Велика Гърция“, която се основава на законите и правилата на Питагор, почитан като божествени заповеди. Той пръв нарича своите разсъждения за смисъла на живота философия (философия). Беше склонен към мистификация и демонстративно поведение. Веднъж Питагор се скрил под земята и научил за всичко, което се случва от майка си. След това, изсъхнал като скелет, той заяви пред общественото събрание, че е бил в Хадес и показа удивителна осведоменост за земните събития. За това трогнатите жители го признаха за Бог. Питагор никога не е плакал и като цяло е бил недостъпен за страсти и вълнения. Той вярваше, че идва от семе, което е по-добро от човешкото. Целият живот на Питагор е легенда, достигнала до нашето време и ни разказала за най-талантливия човек на древния свят.

IV. Формулировка и доказателство на Питагоровата теорема.

Формулировката на Питагоровата теорема ви е известна от курса по алгебра. Да си спомним за нея.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Тази теорема обаче е известна много години преди Питагор. 1500 години преди Питагор древните египтяни са знаели, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълен и са използвали това свойство за изграждане на прави ъгли при планиране на земя и изграждане на сгради. В най-старото китайско математическо и астрономическо произведение, достигнало до нас, „Жиу-би“, написано 600 години преди Питагор, наред с други изречения, свързани с правоъгълен триъгълник, се съдържа и Питагоровата теорема. Още по-рано тази теорема е била известна на индусите. Така че Питагор не е открил това свойство на правоъгълния триъгълник, той вероятно е първият, който го обобщава и доказва, пренася го от областта на практиката в областта на науката.

От древни времена математиците намират все повече и повече доказателства на Питагоровата теорема. Известни са над сто и петдесет. Нека си припомним алгебричното доказателство на Питагоровата теорема, познато ни от курса по алгебра. (“Математика. Алгебра. Функции. Анализ на данни” G.V. Дорофеев, М., “Bubblehead”, 2000).

Поканете учениците да си спомнят доказателството за чертежа и да го напишат на дъската.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Древните индуси, на които принадлежи това разсъждение, обикновено не са го записвали, а са придружавали рисунката само с една дума: „Виж“.

Нека разгледаме в съвременна презентация едно от доказателствата, принадлежащи на Питагор. В началото на урока си спомнихме теоремата за съотношенията в правоъгълен триъгълник:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Добавяме последните две равенства член по член:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

Въпреки привидната простота на това доказателство, то далеч не е най-простото. В края на краищата, за това беше необходимо да се начертае височина в правоъгълен триъгълник и да се разгледат подобни триъгълници. Моля, запишете това доказателство в бележника си.

V. Изложение и доказателство на теоремата, обратна на Питагоровата теорема.

Какво е обратното на тази теорема? (... ако условието и заключението са обърнати.)

Нека сега се опитаме да формулираме теоремата, обратната на Питагоровата теорема.

Ако в триъгълник със страни a, b и c равенството с 2 \u003d a 2 + b 2 е вярно, тогава този триъгълник е правоъгълен, а правият ъгъл е противоположен на страната c.

(Доказателство на обратната теорема на плакат)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Докажи:

ABC - правоъгълник,

Доказателство:

Да разгледаме правоъгълен триъгълник A 1 B 1 C 1,

където C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Тогава, според теоремата на Питагор, B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

Тоест B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC от трите страни на ABC - правоъгълник

C = 90°, което трябваше да се докаже.

VI. Консолидиране на изучения материал (устно).

1. Според плаката с готови рисунки.

Фиг.1: намерете AD, ако BD = 8, BDA = 30°.

Фигура 2: намерете CD, ако BE = 5, BAE = 45°.

Фигура 3: намерете BD, ако BC = 17, AD = 16.

2. Правоъгълен ли е триъгълникът, ако страните му са изразени с числа:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (не)	9 2 + 12 2 = 15 2 (да)	15 2 + 20 2 = 25 2 (да)

Как се наричат ​​тройките на числата в последните два случая? (Питагоров).

VI. Решаване на проблеми (писмено).

№ 9. Страната на равностранен триъгълник е равна на a. Намерете височината на този триъгълник, радиуса на описаната окръжност, радиуса на вписаната окръжност.

№ 14. Докажете, че в правоъгълен триъгълник радиусът на описаната окръжност е равен на медианата, прекарана към хипотенузата и равен на половината от хипотенузата.

VII. Домашна работа.

Т. 7.1, стр. 175-177, анализирайте теорема 7.4 (обобщена теорема на Питагор), № 1 (устно), № 2, № 4.

VIII. Резултати от урока.

Какво ново научихте в урока днес? …………

Питагор е бил преди всичко философ. Сега искам да ви прочета няколко от думите му, които са актуални в нашето време за вас и мен.

• Не вдигайте прах по пътя на живота.
• Правете само това, което в бъдеще няма да ви разстрои и няма да ви принуди да се покаете.
• Никога не прави това, което не знаеш, но научи всичко, което трябва да знаеш, и тогава ще водиш спокоен живот.
• Не затваряйте очи, когато искате да заспите, без да разбирате всичките си действия през изминалия ден.
• Научете се да живеете просто и без лукс.

Предмет: Теорема, обратна на Питагоровата теорема.

Цели на урока: 1) разгледайте теорема, обратна на теоремата на Питагор; приложението му в процеса на решаване на проблеми; консолидиране на Питагоровата теорема и подобряване на уменията за решаване на проблеми за нейното приложение;

2) развиват логическо мислене, творческо търсене, познавателен интерес;

3) да възпитава учениците в отговорно отношение към ученето, култура на математическата реч.

Тип урок. Урок за усвояване на нови знания.

По време на часовете

І. Организиране на времето

ІІ. Актуализация знания

Урок за менби сеиздирва сезапочнете с четиристишие.

Да, пътят на познанието не е гладък

Но знаем от ученически години

Повече мистерии, отколкото загадки

И няма ограничение за търсене!

И така, в последния урок научихте Питагоровата теорема. Въпроси:

За коя фигура е валидна Питагоровата теорема?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Формулирайте Питагоровата теорема.

Как ще бъде написана Питагоровата теорема за всеки триъгълник?

Какви триъгълници се наричат ​​равни?

Формулирайте признаци за равенство на триъгълници?

А сега нека направим малко самостоятелна работа:

Решаване на задачи по чертежи.

№1

(1 б.) Намерете: AB.

№2

(1 б.) Намерете: пр.н.е.

№3

( 2 б.)Намерете: AC

№4

(1 б.)Намерете: AC

№5 Дадено: ABCдромб

(2 b.) AB \u003d 13 cm

AC = 10 cm

Намери вд

Самопроверка #1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Изучаване нов материал.

Древните египтяни изграждали прави ъгли на земята по този начин: разделяли въжето на 12 равни части с възли, завързвали краищата му, след което въжето се опъвало на земята, така че да се образува триъгълник със страни 3, 4 и 5 дивизии. Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 деления, беше прав.

Можете ли да обясните правилността на тази преценка?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка въпросът е: ще бъде ли триъгълникът правоъгълен.

Поставяме проблема: как, без да правим измервания, да определим дали триъгълник с дадени страни е правоъгълен. Решаването на този проблем е целта на урока.

Запишете темата на урока.

Теорема. Ако сумата от квадратите на две страни на триъгълник е равна на квадрата на третата страна, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Независимо докажете теоремата (съставете план за доказателство според учебника).

От тази теорема следва, че триъгълник със страни 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числа, за които е валидно равенство се наричат ​​питагорови тройки. А триъгълниците, чиито дължини на страните са изразени чрез питагорови тройки (6, 8, 10), са питагорови триъгълници.

Консолидация.

защото , тогава триъгълникът със страни 12, 13, 5 не е правоъгълен триъгълник.

защото , то триъгълникът със страни 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (a, b, c)

( - не е)