피타고라스의 정리는 직접적이고 증명과 대화됩니다. 레슨 "정리 - 피타고라스 정리의 역수"

수업 목표:

일반 교육:

• 학생들의 이론적 지식(직각삼각형의 성질, 피타고라스 정리), 이를 문제 해결에 활용하는 능력을 테스트합니다.
• 창조한 문제가 있는 상황, 역피타고라스 정리의 "발견"으로 학생들을 안내합니다.

개발 중:

• 이론적 지식을 실제로 적용하는 기술 개발;
• 관찰로부터 결론을 도출하는 능력을 개발합니다.
• 기억력, 주의력, 관찰력 발달:
• 수학적 개념 개발 역사의 요소 도입을 통해 발견으로 인한 정서적 만족을 통한 학습 동기 개발.

교육적인:

• 피타고라스의 생활 활동에 대한 연구를 통해 주제에 대한 지속 가능한 관심을 키우는 것입니다.
• 상호 테스트를 통해 급우들의 지식에 대한 상호 지원 및 객관적인 평가를 촉진합니다.

수업 형식: 수업-수업.

강의 계획:

• 정리 시간.
• 시험 숙제. 지식을 업데이트 중입니다.
• 피타고라스 정리를 사용하여 실제 문제를 해결합니다.
• 새로운 주제.
• 지식의 기본 통합.
• 숙제.
• 강의 요약.
• 독립적인 작업(피타고라스의 격언을 추측하면서 개별 카드 사용)

수업 중.

정리 시간.

숙제를 확인 중입니다. 지식을 업데이트 중입니다.

선생님:집에서는 어떤 일을 했나?

재학생:직각 삼각형의 주어진 두 변을 사용하여 세 번째 변을 찾고 답을 표 형식으로 제시하십시오. 마름모와 직사각형의 속성을 반복합니다. 조건이라고 불리는 것과 정리의 결론이 무엇인지 반복하십시오. 피타고라스의 삶과 업적에 대한 보고서를 준비합니다. 12개의 매듭이 묶인 밧줄을 가져오세요.

선생님:표를 사용하여 숙제의 답을 확인하세요

(데이터는 검은색으로 강조표시되고 답변은 빨간색으로 표시됨)

선생님: 진술은 칠판에 기록됩니다. 동의한다면 해당 질문 번호 옆에 "+"를 표시하고, 동의하지 않으면 "-"를 표시하십시오.

성명서는 칠판에 미리 작성되어 있습니다.

1. 빗변은 다리보다 길다.
2. 합집합 날카로운 모서리직각삼각형의 값은 180 0입니다.
3. 다리가 있는 직각삼각형의 면적 ㅏ그리고 V공식으로 계산 S=ab/2.
4. 피타고라스의 정리는 모든 이등변삼각형에 적용됩니다.
5. 직각 삼각형에서 30 0 각도 반대편 다리는 빗변의 절반과 같습니다.
6. 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다.
7. 다리의 제곱은 빗변의 제곱과 두 번째 다리의 제곱의 차이와 같습니다.
8. 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합과 같습니다.

작업은 상호 검증을 통해 확인됩니다. 논란을 불러일으킨 발언들이 논의된다.

이론적 질문의 핵심.

학생들은 다음 시스템을 사용하여 서로 채점합니다.

8개의 정답 "5";
6-7 정답 "4";
4-5 정답 "3";
정답은 4개 미만 “2”입니다.

선생님:지난 수업에서 우리는 무엇에 관해 이야기했습니까?

학생:피타고라스와 그의 정리에 대하여.

선생님:피타고라스의 정리를 말해보세요. (여러 명의 학생이 공식을 읽고, 이때 2-3명의 학생이 칠판에 그것을 증명하고, 6명의 학생이 첫 번째 책상에서 종이에 그것을 증명합니다.)

자석보드에 수학공식이 카드에 적혀있습니다. 피타고라스 정리의 의미를 반영하는 것을 선택하세요. ㅏ 그리고 V – 다리, 와 함께 – 빗변.

1) c2 = a2 + b2	2) c = a + b	3) a 2 = 2에서 – 2에서
4) 2 = 2 – 2	5) 2 = c 2 – a 2	6) ㄱ 2 = ㄷ 2 + ㄷ 2

칠판과 현장에서 정리를 증명하는 학생들은 아직 준비가 되어 있지 않은 반면, 피타고라스의 삶과 업적에 대한 보고서를 준비한 학생들에게 바닥이 주어진다.

현장에서 일하는 학생들은 종이를 나눠주고 위원회에서 일했던 사람들의 증언을 듣습니다.

피타고라스 정리를 사용하여 실제 문제를 해결합니다.

선생님:나는 공부하고 있는 정리를 사용하여 실용적인 문제를 제시합니다. 우리는 먼저 폭풍이 지나간 후 ​​숲을 방문한 다음 교외 지역을 방문할 것입니다.

문제 1. 폭풍이 지나간 후 ​​가문비나무가 부러졌습니다. 나머지 부분의 높이는 4.2m이고, 바닥에서 쓰러진 꼭대기까지의 거리는 5.6m이며, 폭풍 전 가문비나무의 높이를 구합니다.

문제 2. 집의 높이가 4.4m, 집 주변 잔디밭의 폭이 1.4m인데, 사다리가 잔디밭을 방해하지 않고 집 지붕까지 닿도록 하려면 얼마나 오래 만들어야 합니까?

새로운 주제.

선생님:(음악 소리)눈을 감으세요. 몇 분 동안 우리는 역사 속으로 뛰어들 것입니다. 우리는 당신과 함께 있습니다 고대 이집트. 이곳 조선소에서 이집트인들은 유명한 선박을 건조합니다. 그러나 측량사들은 나일강 홍수 이후 경계가 휩쓸려간 토지 면적을 측정합니다. 건축업자들은 여전히 ​​그 웅장함으로 우리를 놀라게 하는 장대한 피라미드를 건설합니다. 이러한 모든 활동에서 이집트인들은 직각을 사용해야 했습니다. 그들은 서로 같은 거리에 묶인 12개의 매듭으로 된 로프를 사용하여 그것을 만드는 방법을 알고 있었습니다. 고대 이집트인처럼 생각하여 밧줄로 직각삼각형을 만들어 보세요. (이 문제를 해결하기 위해 사람들은 4명씩 그룹으로 작업합니다. 잠시 후 누군가가 보드 근처 태블릿에 삼각형 구성을 보여줍니다.)

결과 삼각형의 변은 3, 4, 5입니다. 이 매듭 사이에 매듭을 하나 더 묶으면 변은 6, 8, 10이 됩니다. 각각 두 개가 있으면 9, 12, 15입니다. 이 모든 삼각형은 직각이기 때문에

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 등.

삼각형이 직각이 되려면 어떤 성질을 가져야 합니까? (학생들은 스스로 역피타고라스 정리를 공식화하려고 시도하며 마침내 누군가가 성공합니다.)

이 정리는 피타고라스 정리와 어떻게 다른가요?

학생:조건과 결론이 장소가 바뀌었습니다.

선생님:집에서 당신은 그러한 정리가 무엇인지 반복했습니다. 그럼 우리는 지금 무엇을 만났나요?

학생: 역피타고라스 정리로.

선생님: 우리 공책에 수업 주제를 적어 봅시다. 교과서 127페이지를 펴고 이 진술을 다시 읽고 노트에 적고 증거를 분석하십시오.

(원하는 경우 교과서를 가지고 몇 분 동안 독립적으로 작업한 후 칠판에 있는 한 사람이 정리에 대한 증거를 제시합니다.)

1. 변의 3, 4, 5가 있는 삼각형의 이름은 무엇입니까? 왜?
2. 피타고라스 삼각형이라고 불리는 삼각형은 무엇입니까?
3. 숙제할 때 어떤 삼각형을 사용했나요? 소나무와 사다리의 문제는 어떻습니까?

지식의 기본 통합

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이 정리는 삼각형이 직각인지 확인해야 하는 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다.

작업:

1) 변의 길이가 같은 경우 삼각형이 직각인지 확인합니다.

a) 12, 37 및 35; b) 21, 29, 24.

2) 변의 길이가 6, 8, 10cm인 삼각형의 높이를 계산하세요.

숙제

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127페이지: 역피타고라스 정리. 498(a,b,c) 497호.

강의 요약.

수업에서 무엇을 새로 배웠나요?

역피타고라스 정리는 이집트에서 어떻게 사용되었나요?

어떤 문제를 해결하는 데 사용됩니까?

어떤 삼각형을 만났나요?

가장 기억에 남는 것과 좋아하는 것은 무엇인가요?

독립적인 작업(개별 카드를 사용하여 수행)

선생님:집에서는 마름모와 직사각형의 속성을 반복했습니다. 그것들을 나열하십시오 (학급과의 대화가 있습니다). 지난 수업에서 우리는 피타고라스가 어떻게 다재다능한 성격인지에 대해 이야기했습니다. 그는 의학, 음악, 천문학을 공부했으며 운동선수이기도 했습니다. 올림픽 게임. 피타고라스는 철학자이기도 했습니다. 그의 격언 중 상당수는 오늘날에도 여전히 우리에게 관련이 있습니다. 이제 당신은 공연 할 것입니다 독립적 인 일. 각 작업마다 여러 가지 답변 옵션이 제공되며 그 옆에는 피타고라스의 격언 조각이 기록되어 있습니다. 귀하의 임무는 모든 작업을 해결하고 수신된 조각에서 성명서를 작성하여 기록하는 것입니다.

Van der Waerden에 따르면 비율은 다음과 같을 가능성이 매우 높습니다. 일반적인 견해바빌론에서는 이미 기원전 18세기경에 알려졌습니다. 이자형.

기원전 400년경. BC, Proclus에 따르면 플라톤은 대수학과 기하학을 결합하여 피타고라스 삼중항을 찾는 방법을 제공했습니다. 기원전 300년경. 이자형. 피타고라스 정리의 가장 오래된 공리적 증명은 유클리드의 원소론에 등장했습니다.

제제

기본 제제에는 다음이 포함됩니다. 대수 연산- 두 다리의 길이가 같은 직각삼각형 a (\ 표시 스타일 a)그리고 b (\표시스타일 b)이고, 빗변의 길이는 다음과 같습니다. c (\디스플레이스타일 c)이면 다음 관계가 만족됩니다.

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그림의 면적 개념을 사용하여 등가의 기하학적 공식화도 가능합니다. 직각삼각형에서 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적은 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 합과 같습니다. 다리. 정리는 유클리드의 원소론에서 이런 형식으로 공식화됩니다.

역 피타고라스 정리- 변의 길이가 관계식에 의해 관련되어 있는 삼각형의 직사각형에 대한 설명 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). 결과적으로, 양수의 세 배마다 a (\ 표시 스타일 a), b (\표시스타일 b)그리고 c (\디스플레이스타일 c), 그렇게 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), 존재한다 정삼각형다리가 있는 a (\ 표시 스타일 a)그리고 b (\표시스타일 b)그리고 빗변 c (\디스플레이스타일 c).

증거

안에 과학 문헌피타고라스 정리에 대한 최소 400가지 증거가 기록되었으며, 이는 기하학에 대한 근본적인 중요성과 결과의 기본 특성으로 설명됩니다. 증명의 주요 방향은 다음과 같습니다: 삼각형 요소 간 관계의 대수적 사용(예: 인기 있는 유사성 방법), 면적 방법, 다양한 이국적인 증명(예: 미분 방정식 사용)도 있습니다.

비슷한 삼각형을 통해

유클리드의 고전적 증명은 빗변 위의 정사각형을 해부하여 형성된 직사각형 사이의 면적이 동일함을 확립하는 것을 목표로 합니다. 직각다리 위에 사각형이 있습니다.

증명에 사용된 구성은 다음과 같습니다: 직각을 갖는 직각삼각형의 경우 C (\디스플레이스타일 C), 다리 위의 정사각형 및 빗변 위의 정사각형 A B I K (\displaystyle ABIK)높이가 건축되고 있다 CH그리고 그것을 계속하는 광선 s (\디스플레이스타일 s), 빗변 위의 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누고 . 증명은 직사각형 면적의 동일성을 확립하는 것을 목표로 합니다. A H J K (\displaystyle AHJK)다리 위에 사각형이 있는 A C (\디스플레이스타일 AC); 빗변 위의 정사각형을 구성하는 두 번째 직사각형과 다른 쪽 다리 위의 직사각형의 면적이 같은 방식으로 설정됩니다.

직사각형 면적의 동일성 A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 A C E D (\displaystyle ACED)삼각형의 합동을 통해 성립 △ A CK ​​(\displaystyle\triangle ACK)그리고 △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), 각각의 면적은 사각형 면적의 절반과 같습니다. A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 A C E D (\displaystyle ACED)따라서 다음 속성과 관련하여 삼각형의 면적은 그림의 공통 변이 있고 삼각형의 높이가 다음과 같은 경우 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 공통면직사각형의 반대쪽입니다. 삼각형의 합동은 두 변(사각형의 변)과 그 사이의 각도(직각과 한 각도로 구성됨)의 동등성에서 비롯됩니다. A (\표시스타일 A).

따라서 증거는 직사각형으로 구성된 빗변 위의 정사각형 영역이 A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 B H J I (\displaystyle BHJI)는 다리 위의 정사각형 면적의 합과 같습니다.

레오나르도 다빈치의 증거

면적법에는 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci)가 발견한 증명도 포함되어 있습니다. 직각삼각형을 주어보자 △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)직각으로 C (\디스플레이스타일 C)그리고 정사각형 A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)그리고 A B H J (\displaystyle ABHJ)(그림 참조). 옆에 있는 이 증명에서 HJ (\displaystyle HJ)후자의 경우 외부 측면에 삼각형이 구성되어 합동입니다. △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), 또한 빗변과 빗변의 높이를 기준으로 반영됩니다 (즉, J I = B C (\displaystyle JI=BC)그리고 H I = A C (\displaystyle HI=AC)). 똑바로 CI (\displaystyle CI)빗변 위에 만들어진 정사각형을 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 왜냐하면 삼각형은 △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)그리고 △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)건설에서 동일합니다. 증명은 사각형의 합동을 확립합니다. CAJI (\displaystyle CAJI)그리고 D A B G (\displaystyle DABG), 각각의 면적은 한편으로는 다리 사각형 면적의 절반과 원래 삼각형 면적의 합과 같고 다른 한편으로는 절반 빗변의 정사각형 면적에 원래 삼각형의 면적을 더한 값입니다. 전체적으로 다리 위의 정사각형 면적의 합의 절반은 빗변 위의 정사각형 면적의 절반과 같으며 이는 피타고라스 정리의 기하학적 공식과 동일합니다.

무한소 방법에 의한 증명

미분 방정식 기술을 사용한 몇 가지 증명이 있습니다. 특히 하디는 극소량의 다리 증분을 사용한 증명으로 인정을 받았습니다. a (\ 표시 스타일 a)그리고 b (\표시스타일 b)그리고 빗변 c (\디스플레이스타일 c), 원래 직사각형과의 유사성을 유지합니다. 즉, 다음과 같은 미분 관계가 충족되도록 보장합니다.

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

변수를 분리하는 방법을 사용하면 변수로부터 파생될 수 있습니다. 미분 방정식 c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), 그의 통합은 관계를 제공합니다 c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). 애플리케이션 초기 조건 a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)상수를 0으로 정의하면 정리가 성립됩니다.

최종 공식의 2차 의존성은 삼각형의 변과 증분 사이의 선형 비례로 인해 나타나는 반면, 합은 서로 다른 변의 증분에 따른 독립적인 기여와 관련됩니다.

변형 및 일반화

세 면의 유사한 기하학적 모양

피타고라스 정리의 중요한 기하학적 일반화는 측면의 사각형 영역에서 임의의 유사한 영역으로 이동하는 요소의 유클리드에 의해 제공되었습니다. 기하학적 모양: 다리에 만들어진 도형의 면적의 합은 빗변에 만들어진 유사한 도형의 면적과 같습니다.

이 일반화의 주요 아이디어는 이러한 기하학적 도형의 면적이 선형 치수의 제곱, 특히 모든 변의 길이의 제곱에 비례한다는 것입니다. 따라서 면적이 비슷한 수치에 대해서는 A (\표시스타일 A), B (\표시스타일 B)그리고 C (\디스플레이스타일 C), 길이가 있는 다리 위에 세워짐 a (\ 표시 스타일 a)그리고 b (\표시스타일 b)그리고 빗변 c (\디스플레이스타일 c)따라서 다음 관계가 성립합니다.

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\오른쪽 화살표 \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

피타고라스의 정리에 따르면 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), 완료되었습니다.

또한, 피타고라스의 정리를 적용하지 않고도 직각삼각형의 변에 있는 세 개의 유사한 기하학적 도형의 넓이가 다음 관계를 만족한다는 것을 증명하는 것이 가능하다면 A + B = C (\displaystyle A+B=C), 유클리드의 일반화 증명의 역을 사용하여 피타고라스 정리의 증명을 유도할 수 있습니다. 예를 들어, 빗변에서 초기 삼각형과 합동인 직각 삼각형을 구성하면 다음과 같은 면적이 있습니다. C (\디스플레이스타일 C), 그리고 측면 - 면적이 있는 두 개의 유사한 직각 삼각형 A (\표시스타일 A)그리고 B (\표시스타일 B), 그러면 초기 삼각형을 높이로 나눈 결과 측면의 삼각형이 형성되는 것으로 나타났습니다. 즉, 삼각형의 두 작은 영역의 합은 세 번째 영역의 영역과 같습니다. A + B = C (\displaystyle A+B=C)그리고 유사한 도형에 대한 관계식을 적용하면 피타고라스의 정리가 도출됩니다.

코사인 정리

피타고라스 정리는 임의의 삼각형의 변의 길이를 연결하는 보다 일반적인 코사인 정리의 특별한 경우입니다.

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

두 변 사이의 각도는 어디입니까? a (\ 표시 스타일 a)그리고 b (\표시스타일 b). 각도가 90°이면 cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), 공식은 일반적인 피타고라스 정리로 단순화됩니다.

프리 트라이앵글

피타고라스의 정리를 임의의 삼각형으로 일반화한 것이 있는데, 변의 길이의 비율에만 작용하며, 사비안 천문학자 Thabit ibn Qurra가 처음으로 확립한 것으로 여겨집니다. 그 안에는 변이 있는 임의의 삼각형의 경우 변에 밑변이 있는 이등변삼각형이 들어맞습니다. c (\디스플레이스타일 c), 원래 삼각형의 꼭지점과 일치하는 꼭지점, 변 반대편 c (\디스플레이스타일 c)밑면의 각도는 각도와 같습니다. θ (\표시스타일 \theta ), 반대편 c (\디스플레이스타일 c). 결과적으로 원래 삼각형과 유사한 두 개의 삼각형이 형성됩니다. 첫 번째 삼각형은 측면이 있습니다. a (\ 표시 스타일 a), 새겨진 부분에서 가장 먼 쪽 이등변 삼각형, 그리고 r(\디스플레이스타일 r)- 측면 부분 c (\디스플레이스타일 c); 두 번째 - 측면에서 대칭으로 b (\표시스타일 b)측면과 함께 s (\디스플레이스타일 s)- 측면의 해당 부분 c (\디스플레이스타일 c). 결과적으로 다음 관계가 만족됩니다.

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

피타고라스의 정리로 변질 θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). 관계는 형성된 삼각형의 유사성의 결과입니다.

c a = a r , c b = b s ⇒ cr + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

면적에 관한 파푸스의 정리

비유클리드 기하학

피타고라스 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 파생되었으며 비유클리드 기하학에는 유효하지 않습니다. 피타고라스 정리의 충족은 유클리드 평행법 가정과 동일합니다.

비유클리드 기하학에서 직각 삼각형의 변 사이의 관계는 필연적으로 피타고라스의 정리와 다른 형태일 것입니다. 예를 들어, 구형 기하학에서 단위 구의 팔분원의 경계를 이루는 직각삼각형의 세 변은 모두 길이를 갖습니다. π / 2 (\displaystyle \pi /2), 이는 피타고라스의 정리와 모순됩니다.

더욱이 피타고라스의 정리는 삼각형이 직사각형이라는 요구 사항을 삼각형의 두 각도의 합이 세 번째 각도와 같아야 한다는 조건으로 대체하는 경우 쌍곡선 및 타원 기하학에서 유효합니다.

구형 기하학

반경이 있는 구의 직각 삼각형의 경우 R(\디스플레이스타일 R)(예를 들어 삼각형의 각도가 직각인 경우) 변 포함 a , b , c (\displaystyle a,b,c)양측의 관계는 다음과 같습니다.

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

이 평등은 다음과 같이 파생될 수 있습니다. 특별한 경우모든 구형 삼각형에 유효한 구형 코사인 정리:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

어디 ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- 쌍곡선 코사인. 이 공식은 모든 삼각형에 유효한 쌍곡선 코사인 정리의 특별한 경우입니다.

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

어디 γ(\디스플레이스타일\gamma)- 꼭지점이 측면과 반대인 각도 c (\디스플레이스타일 c).

쌍곡선 코사인에 대한 Taylor 시리즈 사용( ch ⁡ x ≒ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\about 1+x^(2)/2)) 쌍곡선 삼각형이 감소하면(즉, a (\ 표시 스타일 a), b (\표시스타일 b)그리고 c (\디스플레이스타일 c) 0이 되는 경향이 있음) 직각 삼각형의 쌍곡선 관계는 고전 피타고라스 정리의 관계에 접근합니다.

애플리케이션

2차원 직사각형 시스템의 거리

피타고라스 정리의 가장 중요한 적용은 직교 좌표계에서 두 점 사이의 거리를 결정하는 것입니다. s (\디스플레이스타일 s)좌표가 있는 점 사이 (a, b) (\displaystyle (a,b))그리고 (c, d) (\displaystyle (c,d))같음:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

복소수의 경우 피타고라스 정리는 복소수의 계수를 찾는 자연 공식을 제공합니다. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)길이와 같다

주제 고려 학교 커리큘럼비디오 강의를 이용하는 것은 자료를 공부하고 익히는 편리한 방법입니다. 비디오는 학생들이 주요 이론 개념에 집중하고 중요한 세부 사항을 놓치지 않도록 도와줍니다. 필요한 경우 학생들은 언제든지 비디오 강의를 다시 듣거나 여러 주제로 돌아갈 수 있습니다.

8학년을 위한 이 비디오 수업은 학생들의 학습에 도움이 될 것입니다. 새로운 주제기하학에서.

이전 주제에서는 피타고라스의 정리를 연구하고 그 증명을 분석했습니다.

역피타고라스 정리라고 알려진 정리도 있습니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

정리. 삼각형은 다음 등식을 가질 때 직각입니다. 삼각형의 한 변의 제곱 값은 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다.

증거. AB 2 = CA 2 + CB 2 가 성립하는 삼각형 ABC가 있다고 가정해 보겠습니다. 각도 C가 90도임을 증명해야 합니다. 각도 C 1이 90도이고, 변 C 1 A 1이 CA와 같고, 변 B 1 C 1이 BC와 같은 삼각형 A 1 B 1 C 1을 생각해 보세요.

피타고라스 정리를 적용하여 삼각형 A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2의 변의 비율을 씁니다. 표현을 다음과 같이 바꾸면 등변, A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2를 얻습니다.

정리의 조건에 따라 AB 2 = CA 2 + CB 2라는 것을 알 수 있습니다. 그런 다음 A 1 B 1 2 = AB 2라고 쓸 수 있으며, 이로부터 A 1 B 1 = AB가 됩니다.

우리는 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1에서 세 변이 동일하다는 것을 발견했습니다. A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. 그래서 이 삼각형들은 같습니다. 삼각형의 평등으로 인해 각도 C는 각도 C 1과 같고 따라서 90도와 같습니다. 우리는 삼각형 ABC가 직각이고 각도 C가 90도라는 것을 확인했습니다. 우리는 이 정리를 증명했습니다.

다음으로 저자는 예를 든다. 임의의 삼각형이 주어졌다고 가정해 봅시다. 측면의 크기는 5, 4 및 3 단위로 알려져 있습니다. 피타고라스 정리의 역정리인 5 2 = 3 2 + 4 2의 진술을 확인해 보겠습니다. 이 진술은 참입니다. 이는 이 삼각형이 직각임을 의미합니다.

다음 예에서 삼각형은 변의 길이가 같으면 직각삼각형이 됩니다.

5, 12, 13개 단위; 평등 13 2 = 5 2 + 12 2 는 참입니다;

8, 15, 17개 단위; 평등 17 2 = 8 2 + 15 2는 참입니다;

7, 24, 25개 단위; 평등 25 2 = 7 2 + 24 2는 참입니다.

피타고라스 삼각형의 개념이 알려져 있습니다. 이것은 변의 길이가 정수와 같은 직각삼각형입니다. 피타고라스 삼각형의 다리가 a와 c로 표시되고 빗변이 b로 표시되면 이 삼각형의 변의 값은 다음 공식을 사용하여 쓸 수 있습니다.

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

여기서 m, n, k는 임의입니다. 정수이고, m의 값은 n의 값보다 크다.

흥미로운 사실: 변이 5, 4, 3인 삼각형은 이집트 삼각형이라고도 불리며, 이러한 삼각형은 고대 이집트에서 알려졌습니다.

이번 영상에서 우리는 피타고라스의 정리와 반대되는 정리를 배웠습니다. 우리는 증거를 자세히 조사했습니다. 학생들은 또한 피타고라스 삼각형이라고 불리는 삼각형을 배웠습니다.

학생들은 “정리, 정리의 반대 Pythagoras'를 직접 이 비디오 튜토리얼을 사용하여 살펴보세요.

수업 목표:

교육적: 피타고라스 정리와 피타고라스 정리의 역정리를 공식화하고 증명합니다. 역사적, 실제적 중요성을 보여주십시오.

발달: 주의력, 기억력, 논리적 사고학생, 추론하고, 비교하고, 결론을 도출하는 능력.

교육적 : 주제에 대한 관심과 사랑, 정확성, 동지와 교사의 말을 듣는 능력을 배양합니다.

장비: 피타고라스의 초상화, 통합 작업이 포함된 포스터, 7-9학년을 위한 교과서 "기하학"(I.F. Sharygin).

강의 계획:

I. 조직적인 순간 – 1분.

II. 숙제 확인 – 7분

III. 소개교사, 역사적 배경 – 4-5분

IV. 피타고라스 정리의 공식화 및 증명 – 7분

V. 피타고라스 정리와 정리의 공식화 및 증명 – 5분.

새로운 자료 통합:

a) 경구 – 5-6분.
b) 서면 – 7~10분.

Ⅶ. 숙제 – 1분

Ⅷ. 수업 요약 – 3분

수업 중에는

I. 조직적인 순간.

II. 숙제를 확인 중입니다.

7.1, No. 3 (완성된 도면에 따라 보드에서).

상태: 직각삼각형의 고도는 빗변을 길이 1과 2의 세그먼트로 나눕니다. 이 삼각형의 다리를 찾으세요.

BC=a; CA = b; BA = c; BD=a1; DA = b 1 ; CD = hC

추가 질문: 직각삼각형 안에 비율을 쓰세요.

섹션 7.1, No. 5. 직각 삼각형을 세 개의 유사한 삼각형으로 자릅니다.

설명하다.

ASN ~ ABC ~ SVN

(유사한 삼각형의 해당 꼭지점을 올바르게 쓰는지 학생들의 주의를 환기시킴)

III. 교사의 소개 연설, 역사적 배경.

진실은 약한 사람이 알아차리는 순간 영원할 것입니다!

그리고 이제 그의 먼 시대와 마찬가지로 피타고라스의 정리가 사실입니다.

제가 독일 소설가 샤미소(Chamisso)의 말로 수업을 시작한 것은 우연이 아닙니다. 오늘 우리 수업은 피타고라스의 정리에 관한 것입니다. 수업의 주제를 적어 보겠습니다.

당신 앞에는 위대한 피타고라스의 초상화가 있습니다. 기원전 576년 출생. 그는 80세를 살고 기원전 496년에 세상을 떠났다. 고대 그리스 철학자이자 교사로 알려져 있습니다. 그는 종종 그를 여행에 데려가는 상인 Mnesarchus의 아들이었습니다. 덕분에 소년은 호기심과 새로운 것을 배우려는 열망을 키웠습니다. 피타고라스는 그의 뛰어난 웅변으로 인해 붙여진 별명이다(피타고라스는 말로 설득력이 있다는 뜻이다). 그 자신은 아무것도 쓰지 않았습니다. 그의 모든 생각은 그의 학생들에 의해 기록되었습니다. 첫 번째 강의의 결과로 피타고라스는 2000명의 학생을 얻었고, 그들은 그들의 아내와 아이들과 함께 거대한 학교를 형성하고 피타고라스의 법과 규칙에 기초하여 존경받는 "대그리스"라는 국가를 만들었습니다. 신성한 계명으로. 그는 인생의 의미에 대한 자신의 추론을 철학(철학)이라고 부른 최초의 사람이었습니다. 그는 신비화와 실증적 행동을 하는 경향이 있었습니다. 어느 날 피타고라스는 지하에 숨어 어머니로부터 일어나는 모든 일에 대해 배웠습니다. 그러다가 해골처럼 쇠약해진 그는 공개 집회에서 자신이 하데스에 갔다 왔다고 선언했으며, 세상사에 대한 놀라운 지식을 보여주었습니다. 이를 위해 감동받은 주민들은 그를 신으로 인식했습니다. 피타고라스는 결코 울지 않았으며 일반적으로 열정과 흥분에 접근할 수 없었습니다. 그는 자신이 사람의 씨앗보다 더 좋은 씨앗에서 나왔다고 믿었습니다. 피타고라스의 전 생애는 우리 시대로 내려와 고대 세계에서 가장 재능있는 사람에 대해 알려주는 전설입니다.

IV. 피타고라스 정리의 공식화 및 증명.

당신은 대수학 과정에서 피타고라스 정리의 공식화를 알고 있습니다. 그녀를 기억하자.

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

그러나 이 정리는 피타고라스보다 수년 전에 알려졌습니다. 피타고라스보다 1500년 전에 고대 이집트인들은 변의 3, 4, 5가 있는 삼각형이 직사각형이라는 것을 알았고 토지 계획과 건물 건설 시 직각을 구성하기 위해 이 속성을 사용했습니다. 피타고라스보다 600년 전에 쓰여진 중국의 가장 오래된 수학과 천문학 저작인 《지우비》에는 직각삼각형에 관한 여러 가지 제안 가운데 피타고라스의 정리가 담겨 있습니다. 이 정리는 더 일찍부터 힌두교도들에게 알려졌습니다. 따라서 피타고라스는 직각 삼각형의 이러한 속성을 발견하지 않았으며 아마도 그것을 일반화하고 증명하여 실천 분야에서 과학 분야로 옮긴 최초의 사람이었을 것입니다.

고대부터 수학자들은 피타고라스 정리에 대한 점점 더 많은 증거를 찾아왔습니다. 그 중 150개 이상이 알려져 있습니다. 대수학 과정에서 우리에게 알려진 피타고라스 정리의 대수적 증명을 기억합시다. (“수학. 대수학. 함수. 데이터 분석” G.V. Dorofeev, M., “Drofa”, 2000).

학생들에게 그림의 교정본을 기억하고 칠판에 쓰라고 합니다.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

가 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

이 추론을 하는 고대 힌두교인들은 대개 그것을 적지 않고 그림과 함께 "Look"이라는 단 한 단어만 붙였습니다.

피타고라스의 증명 중 하나를 현대적인 표현으로 고려해 보겠습니다. 수업 초반에 우리는 직각삼각형의 관계에 관한 정리를 기억했습니다.

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

마지막 두 등식을 용어별로 추가해 보겠습니다.

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

이 증명의 겉보기 단순성에도 불구하고, 이는 가장 단순한 것과는 거리가 멀습니다. 결국 이를 위해서는 직각 삼각형으로 높이를 그리고 유사한 삼각형을 고려해야 했습니다. 이 증거를 노트에 적어주세요.

V. 정리의 공식화 및 증명은 피타고라스 정리와 대화됩니다.

이 정리의 역이라고 불리는 정리는 무엇입니까? (...조건과 결론이 반대인 경우.)

이제 피타고라스 정리와 반대되는 정리를 공식화해 보겠습니다.

변 a, b 및 c가 있는 삼각형에서 동등성 c 2 = a 2 + b 2가 충족되면 이 삼각형은 직각이고 직각은 변 c와 반대입니다.

(포스터에 있는 역정리의 증명)

ABC, BC = 에이,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

입증하다:

ABC - 직사각형,

증거:

직각삼각형 A 1 B 1 C 1을 생각해 보세요.

여기서 C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

그런 다음 피타고라스 정리에 따라 B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2입니다.

즉, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC 세 변 ABC는 직사각형입니다.

C = 90°, 이는 입증이 필요한 것입니다.

6. 연구된 자료의 통합(구두).

1. 기성 도면이 포함된 포스터를 기반으로 합니다.

그림 1: ВD = 8, ВDA = 30°인 경우 AD를 찾습니다.

그림 2: BE = 5, BAE = 45°인 경우 CD를 찾습니다.

그림 3: BC = 17, AD = 16인 경우 BD를 찾습니다.

2. 변을 숫자로 표현하면 삼각형은 직사각형이다:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (아니요)	9 2 + 12 2 = 15 2 (예)	15 2 + 20 2 = 25 2 (예)

마지막 두 경우의 세 개의 숫자를 무엇이라고 합니까? (피타고라스).

6. 문제 해결(서면)

9 번. 정삼각형의 변은 a와 같습니다. 이 삼각형의 높이, 외접원의 반지름, 내접원의 반지름을 구하세요.

14번. 직각삼각형에서 외접원의 반지름은 빗변에 그려진 중앙값과 같고 빗변의 절반과 같다는 것을 증명하십시오.

Ⅶ. 숙제.

단락 7.1, pp. 175-177, 정리 7.4(일반화된 피타고라스 정리), No. 1(구술), No. 2, No. 4를 검토합니다.

Ⅷ. 강의 요약.

오늘 수업에서 무엇을 새로 배웠나요? .........

피타고라스는 무엇보다도 철학자였습니다. 이제 저는 우리 시대에도 여러분과 저에게 여전히 관련이 있는 그분의 말씀 중 몇 가지를 읽어드리고 싶습니다.

• 인생길에 먼지를 쌓지 마세요.
• 나중에 당신을 화나게 하지 않고 회개하도록 강요하지 않는 일만 하십시오.
• 모르는 일은 절대 하지 말고, 알아야 할 모든 것을 배우면 조용한 삶을 살게 될 것입니다.
• 지난 날의 모든 행동을 정리하지 않은 채 자고 싶을 때 눈을 감지 마십시오.
• 사치스럽지 않고 단순하게 사는 법을 배우십시오.

주제: 정리는 피타고라스의 정리와 반대입니다.

수업 목표: 1) 피타고라스 정리와 반대되는 정리를 고려하십시오. 문제 해결 과정에서의 적용; 피타고라스 정리를 통합하고 이를 적용하기 위한 문제 해결 능력을 향상시킵니다.

2) 논리적 사고, 창의적 검색, 인지적 관심을 개발합니다.

3) 학생들의 학습에 대한 책임감있는 태도와 수학적 언어 문화를 배양합니다.

수업 유형. 새로운 지식을 배우는 수업입니다.

수업 중에는

І. 정리 시간

ІІ. 업데이트 지식

나를 위한 교훈~일 것이다나는 원했다quatrain으로 시작하세요.

그렇다, 지식의 길은 순탄하지 않다

하지만 우리는 학창 시절부터 알고 있습니다.

답보다 더 많은 미스터리가 있습니다.

그리고 검색에는 제한이 없습니다!

그래서 지난 수업에서 피타고라스의 정리를 배웠습니다. 질문:

피타고라스의 정리는 어느 도형에 대해 참입니까?

어떤 삼각형을 직각삼각형이라고 하나요?

피타고라스의 정리를 말해보세요.

각 삼각형에 대해 피타고라스 정리를 어떻게 쓸 수 있나요?

어떤 삼각형을 동일하다고 부르나요?

삼각형의 평등에 대한 기준을 공식화 하시겠습니까?

이제 약간의 독립적인 작업을 수행해 보겠습니다.

도면을 사용하여 문제를 해결합니다.

№1

(1 b.) 찾기: AB.

№2

(1b.) 찾기: VS.

№3

( 2 비.)찾기: AC

№4

(1점)찾기: AC

№5 제공자: ABC디마름모

(2b.) AB = 13cm

AC = 10cm

찾기디

자가 테스트 1번. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. 공부하는 새로운 재료.

고대 이집트인들은 이런 식으로 땅에 직각을 만들었습니다. 그들은 밧줄을 매듭으로 12등분으로 나누고 끝을 묶은 다음 밧줄을 땅에 늘려서 변이 3, 4이고 삼각형이 형성되었습니다. 5개 부문. 5등분된 변의 반대편에 놓인 삼각형의 각도가 맞았습니다.

이 판결의 정확성을 설명할 수 있습니까?

질문에 대한 답을 검색한 결과, 학생들은 수학적 관점에서 다음과 같은 질문이 제기된다는 것을 이해해야 합니다. 삼각형은 직각이 될까요?

우리는 문제를 제기합니다. 측정을 하지 않고 주어진 변을 가진 삼각형이 직사각형인지 여부를 결정하는 방법입니다. 이 문제를 해결하는 것이 수업의 목표입니다.

공과 주제를 적어보세요.

정리. 삼각형의 두 변의 제곱의 합이 세 번째 변의 제곱과 같으면 그 삼각형은 직각삼각형입니다.

정리를 독립적으로 증명하십시오(교과서를 사용하여 증명 계획을 세우십시오).

이 정리에 따르면 변이 3, 4, 5인 삼각형은 직각(이집트)입니다.

일반적으로 동등성이 유지되는 숫자 , 피타고라스 삼중항이라고 합니다. 그리고 변의 길이가 피타고라스 삼중선(6, 8, 10)으로 표현되는 삼각형은 피타고라스 삼각형입니다.

강화.

왜냐하면 , 변의 길이가 12, 13, 5인 삼각형은 직각이 아닙니다.

왜냐하면 , 변이 1, 5, 6인 삼각형은 직각입니다.

№ 430 (a, b, c)

( - 아니다)