Pifagor teoremasi isbot bilan to'g'ridan-to'g'ri va teskari. "Teorema - Pifagor teoremasining teskarisi" darsi

Dars maqsadlari:

umumiy ta'lim:

• o‘quvchilarning nazariy bilimlarini (to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossalari, Pifagor teoremasi), ulardan masalalar yechishda foydalana olish malakalarini tekshirish;
• yaratish muammoli vaziyat, talabalarni teskari Pifagor teoremasining "kashfiyotiga" olib keling.

rivojlanmoqda:

• nazariy bilimlarni amaliyotda qo‘llash ko‘nikmalarini rivojlantirish;
• kuzatishlar davomida xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;
• xotira, e'tibor, kuzatishni rivojlantirish:
• kashfiyotlardan hissiy qoniqish orqali, matematik tushunchalarning rivojlanish tarixining elementlarini kiritish orqali o'quv motivatsiyasini rivojlantirish.

tarbiyaviy:

• Pifagor hayotini o'rganish orqali mavzuga doimiy qiziqishni rivojlantirish;
• o'zaro yordam va sinfdoshlarning bilimlarini o'zaro tekshirish orqali ob'ektiv baholashni rivojlantirish.

Dars shakli: sinf-dars.

Dars rejasi:

• Tashkiliy vaqt.
• Imtihon uy vazifasi. Bilimlarni yangilash.
• Pifagor teoremasi yordamida amaliy masalalarni yechish.
• Yangi mavzu.
• Bilimlarni birlamchi mustahkamlash.
• Uy vazifasi.
• Dars natijalari.
• Mustaqil ish (Pifagor aforizmlarini taxmin qilish bilan individual kartalar bo'yicha).

Darslar davomida.

Tashkiliy vaqt.

Uy vazifasini tekshirish. Bilimlarni yangilash.

O'qituvchi: Uyda qanday vazifani bajardingiz?

Talabalar: To'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomoni berilgan, uchinchi tomonni toping, javoblarni jadval shaklida joylashtiring. Romb va to'rtburchakning xossalarini takrorlang. Shart deb ataladigan narsani takrorlang va teoremaning xulosasi nima. Pifagorning hayoti va faoliyati haqida ma'ruzalar tayyorlang. Unga 12 tugun bog'langan arqonni keltiring.

O'qituvchi: Jadvalga muvofiq uy vazifasiga javoblarni tekshiring

(ma'lumotlar qora rangda, javoblar qizil rangda).

O'qituvchi: Bayonotlar doskaga yoziladi. Agar siz ular bilan rozi bo'lsangiz, tegishli savol raqamining qarshisidagi qog'oz varaqlarida "+", rozi bo'lmasangiz, "-" belgisini qo'ying.

Bayonotlar doskaga yoziladi.

1. Gipotenuza oyoqdan kattaroqdir.
2. so'm o'tkir burchaklar to'g'ri burchakli uchburchak 180 0 ga teng.
3. Oyoqlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni A Va V formula bo'yicha hisoblanadi S=ab/2.
4. Pifagor teoremasi barcha teng yonli uchburchaklar uchun to'g'ri.
5. To'g'ri burchakli uchburchakda 30 0 burchakka qarama-qarshi oyoq gipotenuzaning yarmiga teng.
6. Oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng.
7. Oyoq kvadrati gipotenuza va ikkinchi oyoq kvadratlarining farqiga teng.
8. Uchburchakning tomoni boshqa ikki tomonning yig'indisiga teng.

Ishlar o'zaro baholash orqali tekshiriladi. Bahsli bayonotlar muhokama qilinadi.

Nazariy savollarning kaliti.

Talabalar bir-birlarini quyidagi tizim bo'yicha baholaydilar:

8 ta toʻgʻri javob “5”;
6-7 ta toʻgʻri javob “4”;
4-5 ta toʻgʻri javob “3”;
4 dan kam to'g'ri javob "2".

O'qituvchi: O'tgan darsda nima haqida gaplashdik?

Talaba: Pifagor va uning teoremasi haqida.

O'qituvchi: Pifagor teoremasini tuzing. (Bir nechta o'quvchilar so'zlarni o'qiydilar, bu vaqtda 2-3 talaba doskada, 6 o'quvchi varaqlardagi birinchi partalarda isbotlaydi).

Kartochkalardagi magnit doskaga matematik formulalar yozilgan. Pifagor teoremasining ma'nosini aks ettiradiganlarni tanlang, bu erda A Va V - kateterlar, Bilan - gipotenuza.

1) c 2 \u003d a 2 + b 2	2) c \u003d a + b	3) 2 \u003d 2 dan 2 gacha
4) c 2 \u003d a 2 - 2 da	5) 2 \u003d c 2 da - a 2	6) 2 da 2 \u003d c 2 +

Doskada va dalada teoremani isbotlovchi o‘quvchilar tayyor bo‘lmasa, so‘z Pifagor hayoti va faoliyati haqida ma’ruza tayyorlaganlarga beriladi.

Dalada ishlayotgan maktab o‘quvchilari varaqalar topshirib, doskada ishlaganlarning dalillarini tinglaydilar.

Pifagor teoremasi yordamida amaliy masalalarni yechish.

O'qituvchi: Men sizga o'rganilgan teoremadan foydalangan holda amaliy topshiriqlarni taklif qilaman. Biz birinchi navbatda o'rmonga, bo'rondan keyin, keyin qishloqqa boramiz.

Vazifa 1. Bo'rondan keyin archa sinib ketdi. Qolgan qismining balandligi 4,2 m.Poydevordan yiqilgan tepagacha bo'lgan masofa 5,6 m.Bo'ron oldidan archa balandligini toping.

Vazifa 2. Uyning balandligi 4,4 m.Uy atrofidagi maysazorning kengligi 1,4 m. Narvon maysazorga qadam qo'ymasligi va uyning tomiga etib borishi uchun qancha vaqt qilish kerak?

Yangi mavzu.

O'qituvchi:(musiqa o'ynaydi) Ko'zlaringizni yuming, bir necha daqiqaga biz tarixga sho'ng'iymiz. Biz siz bilan birgamiz Qadimgi Misr. Bu erda kemasozlik zavodlarida misrliklar o'zlarining mashhur kemalarini qurishadi. Ammo yer tuzuvchilari ular Nil daryosining toshqinidan keyin chegaralari yuvilib ketgan er uchastkalarini o'lchaydilar. Quruvchilar ulug'vor piramidalar quradilar, ular bizni o'zlarining ulug'vorligi bilan hayratda qoldiradilar. Ushbu faoliyatning barchasida misrliklar to'g'ri burchaklardan foydalanishlari kerak edi. Ular bir-biridan bir xil masofada bog'langan 12 tugunli arqon yordamida ularni qanday qurishni bilishgan. Sinab ko'ring va siz qadimgi misrliklar kabi bahslashib, arqonlaringiz yordamida to'g'ri burchakli uchburchaklar quring. (Bu masalani yechib, yigitlar 4 kishidan iborat guruhlarda ishlaydi. Biroz vaqt o‘tgach, kimdir doskada planshetda uchburchak yasashini ko‘rsatadi).

Olingan uchburchakning tomonlari 3, 4 va 5. Agar siz bu tugunlar orasiga yana bitta tugun bog'lasangiz, uning tomonlari 6, 8 va 10 ga aylanadi. Har biri ikkitadan bo'lsa - 9, 12 va 15. Bu uchburchaklarning barchasi to'rtburchaklar, chunki .

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 va boshqalar.

To'g'ri burchakli uchburchak bo'lishi uchun uchburchak qanday xususiyatga ega bo'lishi kerak? (Talabalar teskari Pifagor teoremasini o'zlari shakllantirishga harakat qilishadi, nihoyat, kimdir muvaffaqiyatga erishadi).

Bu teorema Pifagor teoremasidan nimasi bilan farq qiladi?

Talaba: Shart va xulosa teskari.

O'qituvchi: Uyda siz bunday teoremalar nima deb atalishini takrorladingiz. Xo'sh, hozir nima qilyapmiz?

Talaba: Teskari Pifagor teoremasi bilan.

O'qituvchi: Dars mavzusini daftaringizga yozing. 127-betdagi darsliklaringizni oching, ushbu gapni yana bir bor o‘qing, daftaringizga yozing va isbotini tahlil qiling.

(Darslik bilan mustaqil ishlashning bir necha daqiqasidan so'ng, agar xohlasangiz, doskada bir kishi teoremani isbotlaydi).

1. Tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan uchburchak qanday nomlanadi? Nega?
2. Qanday uchburchaklar Pifagor uchburchagi deb ataladi?
3. Uy vazifangizda qanday uchburchaklar bilan ishladingiz? Va qarag'ay daraxti va narvon bilan bog'liq muammolarda?

Bilimlarni birlamchi mustahkamlash

.

Ushbu teorema uchburchaklar to'g'ri burchakli uchburchaklar yoki yo'qligini aniqlash kerak bo'lgan muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Vazifalar:

1) Agar tomonlari teng bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli yoki yo'qligini aniqlang:

a) 12.37 va 35; b) 21, 29 va 24.

2) Tomonlari 6, 8 va 10 sm boʻlgan uchburchakning balandliklarini hisoblang.

Uy vazifasi

.

127-bet: Teskari Pifagor teoremasi. 498-son (a, b, c) 497-son.

Dars natijalari.

Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?

Misrliklar teskari Pifagor teoremasidan qanday foydalanganlar?

U qanday vazifalar uchun ishlatiladi?

Siz qanday uchburchaklarni uchratdingiz?

Sizga nima ko'proq yoqadi va nimani eslaysiz?

Mustaqil ish (alohida kartalar bo'yicha amalga oshiriladi).

O'qituvchi: Uyda siz romb va to'rtburchakning xususiyatlarini takrorladingiz. Ularni sanab bering (sinf bilan suhbat bor). Oxirgi darsda biz Pifagorning ko'p qirrali shaxs ekanligi haqida gapirdik. U tibbiyot, musiqa va astronomiya bilan shug'ullangan, shuningdek, sportchi bo'lgan va qatnashgan. Olimpiya o'yinlari. Pifagor ham faylasuf edi. Uning ko‘pgina aforizmlari bugungi kunda ham biz uchun dolzarbdir. Endi siz ijro etasiz mustaqil ish. Har bir topshiriq uchun bir nechta javoblar beriladi, ularning yonida Pifagor aforizmlarining parchalari yoziladi. Sizning vazifangiz barcha vazifalarni hal qilish, olingan qismlardan bayonot berish va uni yozishdir.

Van der Vaerdenning fikricha, bu nisbat yuqori bo'lishi mumkin umumiy ko'rinish Miloddan avvalgi 18-asrda Bobilda ma'lum bo'lgan. e.

Miloddan avvalgi taxminan 400 yil. e., Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida. e. Evklidning "Elementlari" da Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isboti paydo bo'ldi.

So'zlash

Asosiy so'z algebraik harakatlar- oyoqlarining uzunliklari teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakda a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b), va gipotenuzaning uzunligi c (\displaystyle c), munosabat bajariladi:

.

Maydon-figura tushunchasiga murojaat qilgan holda ekvivalent geometrik formulani ham qo'llash mumkin: to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng. Bu shaklda teorema Evklid Prinsipiyasida tuzilgan.

Teskari Pifagor teoremasi- tomonlarning uzunliklari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lgan har qanday uchburchakning to'rtburchakligi haqidagi bayonot a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Natijada, ijobiy raqamlarning har qanday uchligi uchun a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Va c (\displaystyle c), shu kabi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), mavjud to'g'ri uchburchak oyoqlari bilan a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c).

Isbot

IN ilmiy adabiyotlar Pifagor teoremasining kamida 400 ta isboti qayd etilgan, bu uning geometriya uchun fundamental ahamiyati va natijaning elementarligi bilan izohlanadi. Dalillarning asosiy yo'nalishlari quyidagilardir: elementlarning nisbatlarini algebraik ishlatish - uchburchak (masalan, mashhur o'xshashlik usuli), maydon usuli, shuningdek, turli xil ekzotik isbotlar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).

Shu kabi uchburchaklar orqali

Evklidning klassik isboti gipotenuzaning balandligi bo'lgan kvadratni kesish natijasida hosil bo'lgan to'rtburchaklar orasidagi maydonlar tengligini aniqlashga qaratilgan. to'g'ri burchak oyoqlari ustidagi kvadratchalar bilan.

Isbot uchun ishlatiladigan konstruktsiya quyidagicha: to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak uchun C (\displaystyle C), oyoq ustidagi kvadratlar va gipotenuzaning ustidagi kvadratlar A B I K (\displaystyle ABIK) balandligi qurilmoqda C H (\displaystyle CH) va uni davom ettiruvchi nur s (\displaystyle s), gipotenuzaning ustidagi kvadratni ikkita to'rtburchakga bo'lish va . Isbot to'rtburchak maydonlarining tengligini o'rnatishga qaratilgan A H J K (\displaystyle AHJK) oyoq ustidagi kvadrat bilan A C (\displaystyle AC); gipotenuza ustidagi kvadrat bo'lgan ikkinchi to'rtburchak va boshqa oyoq ustidagi to'rtburchaklar maydonlarining tengligi xuddi shunday tarzda o'rnatiladi.

To'rtburchak maydonlarining tengligi A H J K (\displaystyle AHJK) Va A C E D (\displaystyle ACED) uchburchaklarning mos kelishi orqali o'rnatiladi △ A C K ​​(\displaystyle \uchburchak ACK) Va △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), har birining maydoni kvadratlar maydonining yarmiga teng A H J K (\displaystyle AHJK) Va A C E D (\displaystyle ACED) mos ravishda, quyidagi xususiyat bilan bog'liq: uchburchakning maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng, agar raqamlar umumiy tomoniga ega bo'lsa va uchburchakning balandligi teng bo'lsa umumiy tomoni to'rtburchakning boshqa tomonidir. Uchburchaklarning mos kelishi ikki tomonning (kvadratlarning tomonlari) va ular orasidagi burchakning (to'g'ri burchak va burchakdan tashkil topgan) tengligidan kelib chiqadi. A (\displaystyle A).

Shunday qilib, dalil gipotenuza ustidagi kvadrat maydoni to'rtburchaklardan tashkil topganligini aniqlaydi. A H J K (\displaystyle AHJK) Va B H J I (\displaystyle BHJI), oyoq ustidagi kvadratlar maydonlarining yig'indisiga teng.

Leonardo da Vinchining isboti

Hudud usuli Leonardo da Vinchi tomonidan topilgan dalilni ham o'z ichiga oladi. To'g'ri uchburchak bo'lsin △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) to'g'ri burchak C (\displaystyle C) va kvadratlar A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Va A B H J (\displaystyle ABHJ)(rasmga qarang). Yon tomonda bu dalilda H J (\displaystyle HJ) ikkinchisi, uchburchak tashqi tomondan qurilgan, mos keladi △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC), bundan tashqari, gipotenuzaga nisbatan ham, unga nisbatan balandlikka nisbatan ham aks etadi (ya'ni, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Va H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Streyt C I (\displaystyle CI) gipotenuzada qurilgan kvadratni ikkita teng qismga ajratadi, chunki uchburchaklar △ A B C (\displaystyle \uchburchak ABC) Va △ J H I (\displaystyle \uchburchak JHI) qurilishda tengdir. Dalil to'rtburchaklarning mos kelishini o'rnatadi C A J I (\displaystyle CAJI) Va D A B G (\displaystyle DABG), ularning har birining maydoni, bir tomondan, oyoqlardagi kvadratlarning yarmi va dastlabki uchburchak maydonining yig'indisiga, boshqa tomondan, uchburchakning yarmiga teng. gipotenuzdagi kvadrat va asl uchburchakning maydoni. Hammasi bo'lib, oyoqlar ustidagi kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisi gipotenuza ustidagi kvadrat maydonining yarmiga teng, bu Pifagor teoremasining geometrik formulasiga teng.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar texnikasidan foydalangan holda bir nechta dalillar mavjud. Xususan, Hardy oyoqlarning cheksiz o'sishini qo'llagan holda isbotlangan a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c), va asl to'rtburchak bilan o'xshashlikni saqlab qolish, ya'ni quyidagi differentsial munosabatlarning bajarilishini ta'minlash:

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

O'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan ulardan biri kelib chiqadi differensial tenglama c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), uning integratsiyasi munosabatni beradi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Ilova boshlang'ich sharoitlar a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) doimiyni 0 deb belgilaydi, bu teoremaning tasdiqlanishiga olib keladi.

Yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indisi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar tufayli yuzaga keladi.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar

Pifagor teoremasining muhim geometrik umumlashmasi Evklid tomonidan elementlarda berilgan, yon tomonlardagi kvadrat maydonlaridan ixtiyoriy o'xshash maydonlarga o'tgan. geometrik shakllar: oyoqlarda qurilgan bunday figuralarning maydonlarining yig'indisi gipotenuzada qurilgan ularga o'xshash figuraning maydoniga teng bo'ladi.

Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundan iboratki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlari kvadratiga va, xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Va C (\displaystyle C) uzunlikdagi oyoqlarda qurilgan a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) va gipotenuza c (\displaystyle c) Shunga ko'ra, munosabatlar mavjud:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\O‘ng strelka \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)C).

Chunki Pifagor teoremasiga ko'ra a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), keyin bajariladi.

Bundan tashqari, agar Pifagor teoremasidan foydalanmasdan isbotlash mumkin bo'lsa, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlaridagi uchta o'xshash geometrik figuralarning maydonlari uchun A + B = C (\display uslubi A+B=C), keyin Evklidning umumlashtirish isbotining teskarisini ishlatib, Pifagor teoremasining isbotini olishimiz mumkin. Misol uchun, agar gipotenuzada biz maydoni bilan boshlang'ich uchburchakka mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchak quramiz C (\displaystyle C), va oyoqlarda - maydonlari bo'lgan ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar A (\displaystyle A) Va B (\displaystyle B), keyin oyoqlardagi uchburchaklar boshlang'ich uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'ladi, ya'ni uchburchaklarning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng, shuning uchun A + B = C (\display uslubi A+B=C) va shunga o'xshash raqamlar uchun munosabatni qo'llash orqali Pifagor teoremasi olinadi.

Kosinus teoremasi

Pifagor teoremasi ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiy kosinus teoremasining maxsus holatidir:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ th = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

tomonlar orasidagi burchak qayerda a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b). Agar burchak 90 ° bo'lsa, u holda cos ⁡ th = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtiriladi.

Ixtiyoriy uchburchak

Pifagor teoremasini faqat tomonlarning uzunliklari nisbati asosida ishlaydigan ixtiyoriy uchburchakka umumlashtirish mavjud bo'lib, uni birinchi marta Sabiya astronomi Sobit ibn Kurra o'rnatgan deb ishoniladi. Unda tomonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchak uchun asosi yon tomonda bo'lgan teng yonli uchburchak. c (\displaystyle c), yon tomoniga qarama-qarshi bo'lgan asl uchburchakning tepasiga to'g'ri keladigan cho'qqi c (\displaystyle c) va burchakka teng asosdagi burchaklar th (\displaystyle \theta) qarama-qarshi tomon c (\displaystyle c). Natijada, asl uchburchakka o'xshash ikkita uchburchak hosil bo'ladi: birinchisi yon tomonlari bilan a (\displaystyle a), undan uzoqda yozilgan teng yonli uchburchakning yon tomoni va r (\displaystyle r)- yon qismlar c (\displaystyle c); ikkinchisi yon tomondan unga simmetrikdir b (\displaystyle b) ziyofat bilan s (\displaystyle s)- tomonning tegishli qismi c (\displaystyle c). Natijada, munosabatlar amalga oshiriladi:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

da Pifagor teoremasiga aylanadi th = p / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Nisbat hosil bo'lgan uchburchaklarning o'xshashligining natijasidir:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\O‘ng strelka \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus maydoni teoremasi

Evklid bo'lmagan geometriya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan olingan bo‘lib, Evklid bo‘lmagan geometriya uchun yaroqsiz – Pifagor teoremasining bajarilishi Yevklid parallelizmi postulatiga ekvivalentdir.

Evklid bo'lmagan geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari o'rtasidagi munosabatlar Pifagor teoremasidan boshqacha shaklda bo'lishi shart. Masalan, sferik geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning birlik sharning oktantini tutashgan uch tomoni ham uzunlikka ega. p / 2 (\displaystyle \pi /2), bu Pifagor teoremasiga ziddir.

Bundan tashqari, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriyada to'g'ri keladi, agar uchburchakning to'rtburchaklar bo'lishi talabi uchburchakning ikki burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa.

sferik geometriya

Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R (\displaystyle R)(masalan, uchburchakdagi burchak to'g'ri bo'lsa) tomonlari bilan a , b , c (\displaystyle a,b,c) tomonlar o'rtasidagi munosabatlar:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\o'ng)=\cos \left((\frac) (a)(R))\o'ng)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\o'ng)).

Bu tenglikni quyidagicha chiqarish mumkin alohida holat Barcha sferik uchburchaklar uchun amal qiladigan sferik kosinus teoremasi:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Qayerda ch (\displaystyle \operator nomi (ch) )- giperbolik kosin. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b - sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ g (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator nomi (sh) a\cdot \operator nomi (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Qayerda g (\displaystyle \gamma)- uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c (\displaystyle c).

Giperbolik kosinus uchun Teylor seriyasidan foydalanish ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2/2 (\displaystyle \operator nomi (ch) x\taxminan 1+x^(2)/2)) shuni ko'rsatish mumkinki, agar giperbolik uchburchak kamaysa (ya'ni qachon a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Va c (\displaystyle c) nolga moyil), keyin to'g'ri burchakli uchburchakdagi giperbolik munosabatlar klassik Pifagor teoremasining munosabatiga yaqinlashadi.

Ilova

Ikki o'lchovli to'rtburchaklar tizimlarda masofa

Pifagor teoremasining eng muhim qo'llanilishi to'rtburchaklar tizim koordinatalaridagi ikkita nuqta orasidagi masofani aniqlashdir: masofa s (\displaystyle s) koordinatali nuqtalar o'rtasida (a , b) (\displaystyle (a,b)) Va (c , d) (\displaystyle (c,d)) teng:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Kompleks sonlar uchun Pifagor teoremasi modul kompleks sonini topishning tabiiy formulasini beradi. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) uzunligiga teng

Mavzularni ko'rib chiqish maktab o'quv dasturi video darslar yordamida materialni o'rganish va o'zlashtirishning qulay usuli. Video o'quvchilar e'tiborini asosiy nazariy fikrlarga qaratishga va muhim tafsilotlarni o'tkazib yubormaslikka yordam beradi. Agar kerak bo'lsa, talabalar har doim video darsni qayta tinglashlari yoki bir nechta mavzularga qaytishlari mumkin.

Ushbu 8-sinf video darsi o'quvchilarga o'rganishga yordam beradi yangi mavzu geometriya bo'yicha.

Oldingi mavzuda biz Pifagor teoremasini o'rganib, isbotini tahlil qilgan edik.

Teskari Pifagor teoremasi deb ataladigan teorema ham mavjud. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.

Teorema. Agar uchburchak tenglikni qanoatlantirsa, to'g'ri burchakli bo'ladi: uchburchakning bir tomoni kvadratining qiymati boshqa ikki tomonning kvadratining yig'indisi bilan bir xil bo'ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, bizga ABC uchburchak berilgan bo‘lib, unda AB 2 = CA 2 + CB 2 tengligi to‘g‘ri bo‘ladi. Biz C burchagi 90 daraja ekanligini isbotlashimiz kerak. C 1 burchagi 90 gradus, C 1 A 1 tomoni CA va B 1 C 1 tomoni BC ga teng bo'lgan A 1 B 1 C 1 uchburchakni ko'rib chiqaylik.

Pifagor teoremasini qo'llagan holda, A 1 C 1 B 1 uchburchakdagi tomonlar nisbatini yozamiz: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Ifodani bilan almashtirish orqali teng tomonlar, biz A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 ni olamiz.

Teorema shartlaridan AB 2 = CA 2 + CB 2 ekanligini bilamiz. Keyin A 1 B 1 2 = AB 2 yozishimiz mumkin, bu A 1 B 1 = AB ekanligini bildiradi.

ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklarda uchta tomon teng ekanligini aniqladik: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Shunday qilib, bu uchburchaklar mos keladi. Uchburchaklar tengligidan kelib chiqadiki, C burchagi C 1 burchagiga teng va shunga mos ravishda 90 gradusga teng. Biz ABC uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchak ekanligini va uning burchagi C 90 daraja ekanligini aniqladik. Biz bu teoremani isbotladik.

Keyin muallif misol keltiradi. Faraz qilaylik, bizga ixtiyoriy uchburchak berilgan. Uning tomonlarining o'lchamlari ma'lum: 5, 4 va 3 birlik. Teoremadan Pifagor teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan bayonotni tekshiramiz: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Agar bayonot to'g'ri bo'lsa, berilgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Quyidagi misollarda, agar tomonlari teng bo'lsa, uchburchaklar ham to'g'ri burchakli bo'ladi:

5, 12, 13 birlik; 13 2 = 5 2 + 12 2 tengligi to'g'ri;

8, 15, 17 birlik; 17 2 = 8 2 + 15 2 tenglama to'g'ri;

7, 24, 25 birlik; 25 2 = 7 2 + 24 2 tenglama to'g'ri.

Pifagor uchburchagi tushunchasi ma'lum. Bu yon qiymatlari butun son bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak. Agar Pifagor uchburchagining oyoqlari a va c va gipotenuza b bilan belgilangan bo'lsa, bu uchburchakning tomonlari qiymatlarini quyidagi formulalar yordamida yozish mumkin:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

bu yerda m, n, k har qanday butun sonlar, va m qiymati n qiymatidan katta.

Qiziqarli fakt: tomonlari 5, 4 va 3 bo'lgan uchburchak Misr uchburchagi deb ham ataladi, bunday uchburchak qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan.

Ushbu video darsimizda biz Pifagor teoremasining teskarisi teorema bilan tanishdik. Dalilni batafsil ko'rib chiqing. Talabalar qaysi uchburchaklar Pifagor uchburchagi deb atalishini ham bilib oldilar.

Talabalar “Teorema, qarama-qarshi teorema Pifagorlar" mustaqil ravishda ushbu video darslik yordamida.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy: Pifagor teoremasini va Pifagor teoremasini teskarisini shakllantirish va isbotlash. Ularning tarixiy va amaliy ahamiyatini ko'rsating.

Rivojlanayotgan: e'tiborni, xotirani rivojlantirish, mantiqiy fikrlash o'quvchilar, mulohaza yuritish, taqqoslash, xulosa chiqarish qobiliyati.

Tarbiyaviy: mavzuga qiziqish va muhabbatni, aniqlikni, o'rtoqlar va o'qituvchilarni tinglash qobiliyatini rivojlantirish.

Uskunalar: Pifagor portreti, mustahkamlash uchun topshiriqlar yozilgan plakatlar, 7-9-sinf “Geometriya” darsligi (I.F.Sharygin).

Dars rejasi:

I. Tashkiliy vaqt - 1 min.

II. Uy vazifasini tekshirish - 7 min.

III. kirish o'qituvchilar, tarixiy ma'lumotlar - 4-5 min.

IV. Pifagor teoremasini shakllantirish va isbotlash - 7 min.

V. Pifagor teoremasiga teskari teoremani shakllantirish va isbotlash - 5 min.

Yangi materialni tuzatish:

a) og'zaki - 5-6 daqiqa.
b) yozma - 7-10 min.

VII. Uyga vazifa - 1 min.

VIII. Darsni yakunlash - 3 min.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

II. Uy vazifasini tekshirish.

p.7.1, No 3 (tayyor chizilgan bo'yicha taxtada).

Holati: To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi gipotenuzani 1 va 2 uzunlikdagi segmentlarga ajratadi. Shu uchburchakning oyoqlarini toping.

BC = a; CA=b; BA=c; BD = a 1; DA = b 1; CD = hC

Qo'shimcha savol: to'g'ri burchakli uchburchakdagi nisbatlarni yozing.

7.1-band, No 5. To'g'ri uchburchakni bir-biriga o'xshash uchta uchburchakka kesib tashlang.

Tushuntirish.

ASN ~ ABC ~ SVN

(talabalarning e'tiborini o'xshash uchburchaklarning tegishli uchlarini to'g'ri yozishga qaratish)

III. O'qituvchining kirish so'zi, tarixiy ma'lumotlar.

Ojiz odam bilishi bilan haqiqat abadiy qoladi!

Va endi Pifagor teoremasi uning uzoq yoshidagi kabi haqiqatdir.

Darsimni nemis yozuvchisi Chamissoning so‘zlari bilan boshlaganim bejiz emas. Bugungi darsimiz Pifagor teoremasi haqida. Keling, dars mavzusini yozamiz.

Sizning oldingizda buyuk Pifagorning portreti. Miloddan avvalgi 576 yilda tug'ilgan. 80 yil yashab, miloddan avvalgi 496 yilda vafot etdi. Qadimgi yunon faylasufi va o'qituvchisi sifatida tanilgan. U savdogar Mnesarxning o'g'li edi, uni tez-tez sayohatlarga olib borardi, buning natijasida bolada qiziqish va yangi narsalarni o'rganish istagi paydo bo'ldi. Pifagor - unga notiqlik uchun berilgan taxallusdir ("Pifagor" "ishontiruvchi nutq" degan ma'noni anglatadi). Uning o'zi hech narsa yozmagan. Uning barcha fikrlari shogirdlari tomonidan yozib olingan. O'zining birinchi ma'ruzasi natijasida Pifagor 2000 talaba orttirdi, ular o'z xotinlari va bolalari bilan birgalikda ulkan maktabni tashkil qildilar va Pifagor qonunlari va qoidalariga asoslangan "Buyuk Gretsiya" davlatini yaratdilar. ilohiy amrlar. U birinchi bo'lib hayotning mazmuni haqidagi mulohazalarini falsafa (falsafa) deb atagan. U tasavvuf va namoyishkorona xatti-harakatlarga moyil edi. Bir kuni Pifagor er ostiga yashirindi va sodir bo'layotgan hamma narsani onasidan bilib oldi. Keyin, skelet kabi qurib qolgan, u jamoat yig'ilishida Hadesda bo'lganligini e'lon qildi va erdagi voqealardan hayratlanarli xabardorligini ko'rsatdi. Buning uchun ta'sirlangan aholi uni Xudo deb bilishdi. Pifagor hech qachon yig'lamagan va umuman ehtiroslar va hayajonga kirishib bo'lmas edi. U odamnikiga qaraganda yaxshiroq urug'dan chiqqaniga ishongan. Pifagorning butun hayoti bizning davrimizga qadar etib kelgan va qadimgi dunyoning eng iste'dodli odami haqida gapirib bergan afsonadir.

IV. Pifagor teoremasini shakllantirish va isbotlash.

Pifagor teoremasining formulasi sizga algebra kursidan ma'lum. Keling, uni eslaylik.

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Biroq, bu teorema Pifagordan ko'p yillar oldin ma'lum bo'lgan. Pifagordan oldin 1500 yil davomida qadimgi misrliklar 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan uchburchak to'rtburchaklar ekanligini bilishgan va bu xususiyatdan erni rejalashtirish va binolarni qurishda to'g'ri burchaklarni qurish uchun foydalanganlar. Pifagordan 600 yil oldin yozilgan, bizgacha yetib kelgan eng qadimgi Xitoy matematik va astronomik asarida, to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq boshqa jumlalar qatorida, Pifagor teoremasi ham mavjud. Bundan oldinroq bu teorema hindlarga ma'lum edi. Shunday qilib, Pifagor to'g'ri burchakli uchburchakning bu xususiyatini kashf qilmagan, balki u birinchi bo'lib umumlashtirgan va isbotlagan, amaliyot maydonidan fan sohasiga o'tkazgan.

Qadim zamonlardan beri matematiklar Pifagor teoremasining ko'proq isbotlarini topdilar. Bir yuz ellikdan ortiq ma'lum. Keling, algebra kursidan bizga ma'lum bo'lgan Pifagor teoremasining algebraik isbotini eslaylik. (“Matematika. Algebra. Funksiyalar. Ma’lumotlarni tahlil qilish” G.V. Dorofeev, M., “Bubblehead”, 2000).

Talabalarni rasm uchun dalilni eslab qolishga va uni doskaga yozishga taklif qiling.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Bu fikrga tegishli bo'lgan qadimgi hindular odatda buni yozmaganlar, lekin rasmga faqat bitta so'z bilan hamrohlik qilganlar: "Qarang".

Keling, zamonaviy taqdimotda Pifagorga tegishli dalillardan birini ko'rib chiqaylik. Dars boshida biz to'g'ri burchakli uchburchakdagi nisbatlar teoremasini esladik:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Oxirgi ikkita tenglik muddatini atama bo'yicha qo'shamiz:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

Ushbu dalilning ko'rinadigan soddaligiga qaramay, u eng oddiy bo'lishdan uzoqdir. Axir, buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakda balandlikni chizish va shunga o'xshash uchburchaklarni ko'rib chiqish kerak edi. Iltimos, ushbu dalilni daftaringizga yozib qo'ying.

V. Teoremaning bayoni va isboti Pifagor teoremasiga qarama-qarshi.

Ushbu teoremaning teskarisi nima? (...agar shart va xulosa teskari boʻlsa.)

Keling, Pifagor teoremasining teskari teoremasini shakllantirishga harakat qilaylik.

Agar a, b va c tomonlari bo'lgan uchburchakda 2 \u003d a 2 + b 2 tengligi to'g'ri bo'lsa, u holda bu uchburchak to'g'ri burchakli va to'g'ri burchak c tomoniga qarama-qarshidir.

(Plakatda teskari teoremani isbotlash)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Isbot qiling:

ABC - to'rtburchaklar,

Isbot:

A 1 B 1 C 1 to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing,

bu erda C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Keyin, Pifagor teoremasiga ko'ra, B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

Ya'ni, ABC ning uch tomonida B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC - to'rtburchaklar

C = 90 °, bu isbotlanishi kerak edi.

VI. O'rganilgan materialni mustahkamlash (og'zaki).

1. Tayyor chizmalar bilan plakatga ko'ra.

1-rasm: BD = 8, BDA = 30° bo'lsa, ADni toping.

2-rasm: CD ni toping, agar BE = 5, BAE = 45 ° bo'lsa.

3-rasm: BC = 17, AD = 16 bo'lsa, BD toping.

2. Agar tomonlari raqamlar bilan ifodalansa, uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi:

5 2 + 6 2? 7 2 (yo'q)	9 2 + 12 2 = 15 2 (ha)	15 2 + 20 2 = 25 2 (ha)

Oxirgi ikki holatda sonlarning uchliklari nima deyiladi? (Pifagorchi).

VI. Muammoni hal qilish (yozma).

No 9. Teng yonli uchburchakning tomoni a ga teng. Bu uchburchakning balandligini, aylana radiusini, chizilgan aylana radiusini toping.

№ 14. To'g'ri burchakli uchburchakda aylana radiusi gipotenuzaga chizilgan medianaga va gipotenuzaning yarmiga teng ekanligini isbotlang.

VII. Uy vazifasi.

7.1-band, 175-177-betlar, 7.4-teoremani (umumlashtirilgan Pifagor teoremasi), 1-son (og‘zaki), 2-son, 4-sonni tahlil qiling.

VIII. Dars natijalari.

Bugun darsda qanday yangi narsalarni bilib oldingiz? …………

Pifagor birinchi navbatda faylasuf edi. Endi men sizga uning bizning davrimizda siz va men uchun dolzarb bo'lgan bir nechta so'zlarini o'qib chiqmoqchiman.

• Hayot yo'lida chang ko'tarmang.
• Kelajakda sizni xafa qilmaydigan va tavba qilishga majbur qilmaydigan narsani qiling.
• Hech qachon bilmagan ishni qilmang, balki bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani o'rganing, shunda siz tinch hayot kechirasiz.
• O'tgan kungi barcha harakatlaringizni tushunmasdan uxlashni xohlaganingizda ko'zingizni yummang.
• Oddiy va hashamatsiz yashashni o'rganing.

Mavzu: Pifagor teoremasiga teskari teorema.

Dars maqsadlari: 1) Pifagor teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani ko'rib chiqing; muammolarni hal qilish jarayonida uni qo'llash; Pifagor teoremasini mustahkamlash va uni qo'llash uchun muammolarni hal qilish ko'nikmalarini yaxshilash;

2) mantiqiy fikrlashni, ijodiy izlanishni, kognitiv qiziqishni rivojlantirish;

3) o'quvchilarni o'qishga mas'uliyatli munosabatda bo'lish, matematik nutq madaniyatini tarbiyalash.

Dars turi. Yangi bilimlarni o'rganish darsi.

Darslar davomida

І. Tashkiliy vaqt

ІІ. Yangilash bilim

Menga saboqbo'lardixohlaganquatrain bilan boshlang.

Ha, ilm yo‘li ravon emas

Lekin biz maktab yillaridan bilamiz

Topishmoqlardan ko'ra ko'proq sirlar

Va qidiruvning chegarasi yo'q!

Shunday qilib, oxirgi darsda siz Pifagor teoremasini o'rgandingiz. Savollar:

Pifagor teoremasi qaysi raqam uchun to'g'ri?

Qaysi uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi?

Pifagor teoremasini tuzing.

Har bir uchburchak uchun Pifagor teoremasi qanday yoziladi?

Qanday uchburchaklar teng deyiladi?

Uchburchaklar tenglik belgilarini tuzing?

Va endi bir oz mustaqil ish qilaylik:

Chizmalar bo'yicha masalalar yechish.

№1

(1 b.) Toping: AB.

№2

(1 b.) Toping: BC.

№3

( 2 b.)Toping: AC

№4

(1 b.)Toping: AC

№5 Berilgan: ABCDromb

(2 b.) AB \u003d 13 sm

AC = 10 sm

TopingD

O'z-o'zini tekshirish №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. O'qish yangi material.

Qadimgi misrliklar erga to'g'ri burchaklarni shunday qurishgan: ular arqonni tugunlar bilan 12 ta teng qismga bo'lishdi, uchlarini bog'lashdi, shundan so'ng arqon erga cho'zilgan, shunda tomonlari 3, 4 va uchburchak shakllangan. 5 ta bo'lim. 5 ta bo'linmali tomoniga qarama-qarshi yotqizilgan uchburchakning burchagi to'g'ri edi.

Ushbu hukmning to'g'riligini tushuntirib bera olasizmi?

Savolga javob izlash natijasida talabalar matematik nuqtai nazardan savol tug'ilishini tushunishlari kerak: uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladimi?

Biz muammoni qo'yamiz: o'lchovlarsiz, berilgan tomonlari bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli yoki yo'qligini qanday aniqlash mumkin. Ushbu muammoni hal qilish darsning maqsadi hisoblanadi.

Dars mavzusini yozing.

Teorema. Agar uchburchakning ikki tomoni kvadratlarining yig'indisi uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'lsa, u holda uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Teoremani mustaqil isbotlang (darslik bo‘yicha isbot rejasini tuzing).

Bu teoremadan kelib chiqadiki, tomonlari 3, 4, 5 bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli (Misr).

Umuman olganda, tenglik mavjud bo'lgan raqamlar Pifagor uchliklari deyiladi. Yon uzunliklari Pifagor uchlari (6, 8, 10) bilan ifodalangan uchburchaklar Pifagor uchburchagidir.

Mustahkamlash.

Chunki , u holda tomonlari 12, 13, 5 bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak emas.

Chunki , u holda tomonlari 1, 5, 6 bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.

№ 430 (a, b, c)

( - emas)