Se aplică raportul auriu. Raportul aur în natură, om, artă

ratia de aur este o manifestare universală a armoniei structurale. Se găsește în natură, știință, artă - în tot ceea ce o persoană poate intra în contact. Odată ce a făcut cunoștință cu regula de aur, omenirea nu a mai înșelat-o.

Definiție.
Cea mai capabilă definiție a raportului auriu spune că partea mai mică se referă la cea mai mare, cu cât este mai mare - la întreg. Valoarea sa aproximativă este 1, 6180339887. Într-o valoare procentuală rotunjită, proporțiile părților dintr-un întreg se raportează între 62% și 38%. Această relație în formele spațiului și timpului este valabilă.

Anticii au văzut în raportul auriu o reflectare a ordinii cosmice, iar Johannes Kepler a numit-o una dintre comorile geometriei. Știința modernă consideră raportul auriu ca „Simetrie asimetrică”, numindu-l în sens larg o regulă universală care reflectă structura și ordinea ordinii noastre mondiale.

Istorie.
Vechii egipteni aveau o idee despre proporțiile aurii, știau despre ele în Rusia, dar pentru prima dată raportul auriu a fost explicat de călugărul de pacioli de ceapă în cartea „Proporția divină” (1509), care se presupune că era ilustrat de Leonardo da Vinci. Pacioli a văzut treimea divină în secțiunea de aur: segmentul mic personifica fiul, cel mare - tatăl și întregul - duhul sfânt.

Numele matematicianului italian Leonardo Fibonacci este direct legat de regula secțiunii de aur. Ca urmare a rezolvării uneia dintre probleme, omul de știință a venit cu o succesiune de numere, acum cunoscută sub numele de seria Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. Kepler a atras atenția la relația acestei secvențe cu raportul auriu: „Este aranjat în așa fel încât cei doi membri mai tineri ai acestei proporții nesfârșite din sumă să dea al treilea membru și oricăror doi ultimi membri, dacă sunt adăugați, dau următorul Membru, și aceeași proporție este păstrată până la infinit. " Acum seria Fibonacci este baza aritmetică pentru calcularea proporțiilor secțiunii aurii în toate manifestările sale.

Numerele Fibonacci - diviziune armonică, o măsură a frumuseții. Raportul aur în natură, om, artă, arhitectură, sculptură, design, matematică, muzică https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci a dedicat, de asemenea, mult timp studierii trăsăturilor raportului auriu, cel mai probabil, termenul în sine îi aparține. Desenele sale ale unui solid stereometric, format din pentagone regulate, demonstrează că fiecare dintre dreptunghiurile obținute prin tăiere oferă raporturi de aspect în diviziune de aur.

În timp, regula raportului de aur s-a transformat într-o rutină academică și doar filosoful Adolf Zeising i-a dat o a doua viață în 1855. El a adus proporțiile secțiunii de aur la absolut, făcându-le universale pentru toate fenomenele lumii înconjurătoare. Cu toate acestea, „Estetica matematică” a atras multe critici.

Natură.
Fără a intra chiar în calcule, raportul auriu poate fi găsit cu ușurință în natură. Deci, raportul cozii și corpului șopârlei, distanța dintre frunzele de pe ramură, există un raport auriu și sub forma unui ou, dacă o linie condițională este trasată prin partea sa cea mai lată, se încadrează sub ea.

Omul de știință din Belarus Eduard Soroko, care a studiat formele diviziunilor de aur în natură, a remarcat că tot ceea ce crește și se străduiește să-și ocupe locul în spațiu este dotat cu proporțiile secțiunii de aur. În opinia sa, una dintre cele mai interesante forme este răsucirea spirală.
Chiar și Arhimede, acordând atenție spiralei, a derivat o ecuație bazată pe forma sa, care este încă utilizată în tehnologie. Mai târziu, Goethe a remarcat gravitația naturii către formele spiralate, numind spirala „Curba vieții”. Oamenii de știință moderni au descoperit că astfel de manifestări ale formelor spiralate din natură, cum ar fi coaja melcului, dispunerea semințelor de floarea soarelui, modelele păianjenului, mișcarea uraganului, structura ADN-ului și chiar structura galaxiilor conțin Fibonacci serie.

Om.
Designerii de modă și designerii de îmbrăcăminte fac toate calculele pe baza proporțiilor raportului auriu. Omul este o formă universală de testare a legilor raportului de aur. Desigur, din fire, nu toți oamenii au proporții ideale, ceea ce creează anumite dificultăți la selectarea hainelor.

Adolf Zeising, investigând proporționalitatea omului, a făcut o treabă extraordinară. El a măsurat aproximativ două mii de corpuri umane, precum și multe statui antice și a dedus că raportul auriu exprimă legea medie. La o persoană, aproape toate părțile corpului sunt subordonate acestuia, dar principalul indicator al raportului auriu este împărțirea corpului după punctul buricului.
În urma măsurătorilor, cercetătorul a constatat că proporțiile corpului masculin 13: 8 sunt mai apropiate de raportul auriu decât proporțiile corpului feminin - 8: 5.

Artă forme spațiale.
Artistul Vasily Surikov spunea: „Există o lege imuabilă în compoziție, când nu poți elimina sau adăuga nimic într-o imagine, nici măcar nu poți pune un punct suplimentar, aceasta este matematica reală”. Multă vreme, artiștii au respectat această lege în mod intuitiv, dar după Leonardo da Vinci, procesul de creare a unei picturi nu se mai poate face fără rezolvarea problemelor geometrice. De exemplu, Albrecht Durer a folosit o busolă proporțională inventată de el pentru a determina punctele secțiunii de aur.

Criticul de artă F.V. Kovalev, după ce a examinat în detaliu pictura lui Nikolai Ge „Alexander Sergeevich Pușkin în satul Mihailovski”, observă că fiecare detaliu al pânzei, fie că este un șemineu, o bibliotecă, un fotoliu sau poetul însuși, este strict inscripționat în proporții aurii. .

Cercetătorii raportului auriu studiază și măsoară neobosit capodoperele arhitecturii, susținând că au devenit astfel deoarece au fost create după canoanele aurii: în lista lor sunt marile piramide din Giza, Catedrala Maicii Domnului din Paris, St. Catedrala Vasile, Partenonul.
Și astăzi, în orice artă a formelor spațiale, încearcă să urmeze proporțiile secțiunii de aur, deoarece, potrivit criticilor de artă, facilitează percepția operei și formează un sentiment estetic pentru privitor.

Cuvânt, sunet și film.
Formularele sunt temporare? Du-te artele în felul lor ne demonstrează principiul diviziunii aurului. Cărturarii literari, de exemplu, au observat că cel mai popular număr de rânduri din poeziile din perioada târzie a operei lui Pușkin corespunde seriei Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Regula secțiunii de aur se aplică și în lucrările individuale ale clasicului rus. Deci, punctul culminant al „Reginei de pică” este scena dramatică a lui Hermann și a contesei, care se încheie cu moartea acesteia din urmă. Există 853 de linii în poveste, iar punctul culminant cade pe linia 535 (853: 535 = 1, 6) - acesta este punctul secțiunii de aur.

Muzicolog sovietic E. K. Rosenov constată acuratețea uimitoare a raportului raportului auriu în formele stricte și libere ale operelor lui Johann Sebastian Bach, care corespunde stilului gânditor, concentrat, verificat tehnic al maestrului. Acest lucru este valabil și pentru operele remarcabile ale altor compozitori, unde cea mai izbitoare sau neașteptată decizie muzicală revine, de obicei, la secțiunea de aur.
Regizorul de film Sergei Eisenstein a coordonat în mod deliberat scenariul filmului său „Battleship Potemkin” cu regula secțiunii de aur, împărțind banda în cinci părți. În primele trei secțiuni, acțiunea are loc pe navă, iar în ultimele două - în Odessa. Trecerea la scenele din oraș este mijlocul de aur al filmului.

Exemple de raport auriu. Cum ați obținut raportul auriu?

Deci, raportul auriu este raportul auriu, care este, de asemenea, o diviziune armonică. Pentru a explica acest lucru mai clar, să luăm în considerare unele dintre caracteristicile formularului. Și anume: forma este ceva întreg, dar întregul, la rândul său, constă întotdeauna din anumite părți. Este posibil ca aceste părți să aibă caracteristici diferite, cel puțin dimensiuni diferite. Ei bine, astfel de dimensiuni sunt întotdeauna într-un anumit raport, atât între ele, cât și în raport cu întregul.

Aceasta înseamnă, cu alte cuvinte, putem afirma că raportul auriu este raportul a două cantități, care are propria formulă. Utilizarea acestui raport atunci când creați o formă ajută la o face cât mai frumoasă și armonioasă posibil pentru ochiul uman.

Tatuajul în spirală are mult mai multă semnificație decât pare la prima vedere. Un astfel de model simplu este construit pe așa-numitul principiu al raportului auriu, care se găsește peste tot în natură. Mai mult, acest principiu a fost cunoscut din cele mai vechi timpuri, lucru confirmat de prezența sa la baza piramidelor egiptene.

Simbolismul tatuajelor în spirală

În tatuajele Ta-moco sau în aceleași modele celtice, spiralele sunt foarte frecvente și acest lucru nu este surprinzător. Absența unghiurilor drepte ale acestei figuri simbolizează o legătură cu natura, căreia nu îi plac unghiurile drepte, încearcă întotdeauna să le netezească. Un tatuaj în spirală înseamnă unitate cu natura, de regulă, un astfel de tatuaj este făcut de oameni calmi, judicioși.

Dar acesta este doar un sens general, de multe ori oamenii încearcă să afle despre semnificația unui tatuaj în spirală, de fapt, confundându-l cu alte tatuaje. Adesea, un tatuaj spiralat de carapace induce în eroare oamenii, așa este timpuri recente foarte popular. Un sens este complet diferit, se potrivește persoanelor închise, singuratici, care de obicei suportă un fel de șoc și nu vor să împărtășească despre el, iar un astfel de tatuaj este făcut în cinstea lui.

Destul de asemănător cu spirala este tatuajul val, care simbolizează dragostea față de mare sau tatuajul soarelui negru, al cărui sens am scris în detaliu.

Adesea, un tatuaj în spirală se face ca un talisman, deoarece este un simbol al naturii ciclice a vieții, transmite energia lumii și a existenței. Puteți aplica imaginea spiralei pe umeri, antebrațe, piept și spate. Tatuajul este mai potrivit pentru femei, deoarece o altă semnificație a tatuajului este principiul feminin.

Se crede că Pitagora a fost primul care a introdus conceptul secțiunii de aur. Lucrările lui Euclid au supraviețuit până în prezent (a construit pentagone regulate cu ajutorul secțiunii de aur, motiv pentru care un astfel de pentagon este numit „auriu”), iar numărul secțiunii de aur este numit după arhitectul antic grec Phidias . Adică, acesta este numărul nostru "phi" (notat cu litera greacă φ) și este egal cu 1,6180339887498948482 ... Firește, această valoare este rotunjită: φ = 1,618 sau φ = 1,62 și, în termeni procentuali, raportul auriu arată ca 62% și 38%.

Care este unicitatea acestei proporții (și, crede-mă, este)? Să încercăm mai întâi să ne dăm seama pe exemplul unui segment. Deci, luăm un segment și îl împărțim în părți inegale în așa fel încât partea sa mai mică să aparțină celui mai mare, la fel de mare întregului. Înțeleg că nu este încă foarte clar ce este ceea ce, voi încerca să ilustrez mai clar folosind exemplul segmentelor:

Deci, luăm un segment și îl împărțim în alte două, astfel încât segmentul mai mic a să se refere la segmentul mai mare b, în același mod în care segmentul b se referă la întreg, adică la întreaga linie (a + b ). Matematic, arată astfel:

Această regulă funcționează la nesfârșit, puteți împărți segmente cât doriți. Și vedeți cât de simplu este. Principalul lucru este să înțelegi o dată și atât.

Dar acum să luăm în considerare un exemplu mai complex, care apare foarte des, deoarece raportul auriu este încă reprezentat sub forma unui dreptunghi auriu (al cărui raport de aspect este φ = 1,62). Acesta este un dreptunghi foarte interesant: dacă „tăiem” un pătrat din acesta, vom obține din nou un dreptunghi auriu. Și de atâtea ori. Vedea:

Dar matematica nu ar fi matematică dacă nu ar exista formule în ea. Așadar, prieteni, acum va fi puțin „dureros”. Am ascuns soluția raportului de aur sub spoiler, există o mulțime de formule, dar nu vreau să las articolul fără ele.

Principiul raportului de aur. Crearea cu succes sau regula raportului de aur

Captarea momentului - acesta este tocmai momentul creării unui artist sau fotograf. Pe lângă inspirație, maestrul trebuie să urmeze reguli strict definite, care apar: contrast, plasare, echilibru, regula treimilor și multe altele. Dar regula secțiunii de aur este încă recunoscută ca o prioritate, este și regula treimilor.

Aproape complicat

Dacă, într-o formă simplificată, prezentăm baza regulii secțiunii de aur, atunci este de fapt divizarea momentului reprodus în nouă părți egale (trei pe verticală pe trei pe orizontală). Pentru prima dată, a fost introdus special de Leonardo da Vinci, construindu-și toate compozițiile în acest fel de grilă. El a confirmat practic că elementele cheie ale imaginii ar trebui concentrate în punctele de intersecție ale liniilor verticale și orizontale.

Regula raportului de aur în fotografie este supusă unor corecții. Pe lângă rețeaua cu nouă segmente, se recomandă utilizarea așa-numitelor triunghiuri. Principiul construcției lor se bazează pe regula treimilor. Pentru a face acest lucru, o diagonală este trasată de la punctul superior la cel inferior și de la punctul superior opus - o rază care împarte diagonala deja existentă la unul dintre punctele interioare de intersecție a rețelei. Elementul cheie al compoziției trebuie afișat în media triunghiurilor rezultate. Aici merită să faceți o remarcă: schema dată pentru construirea triunghiurilor reflectă doar principiul lor, ceea ce înseamnă că are sens să experimentați instrucțiunile date.

Cum folosesc o grilă și triunghiuri?

Regula raportului de aur în fotografie funcționează conform anumite normeîn funcție de ceea ce este descris pe ea.

Factorul orizont. Conform regulii de treimi, ar trebui să fie plasat de-a lungul liniilor orizontale. Mai mult, dacă obiectul imprimat este deasupra orizontului, atunci factorul trece prin linia de jos și invers.

Locația obiectului principal. Un aranjament clasic este un astfel de aranjament în care elementul central este situat la unul dintre punctele de intersecție. Dacă fotograful selectează două obiecte, atunci acestea ar trebui să fie în diagonală sau în puncte paralele.

Folosind triunghiuri. În acest caz, regula secțiunii de aur se abate de la canoane, dar doar puțin. Obiectul nu trebuie să fie situat în punctul de intersecție, ci este cât mai aproape de el în triunghiul mijlociu.

Direcţie. Acest principiu al fotografierii este utilizat în fotografia dinamică și constă în faptul că două treimi din spațiul imaginii ar trebui să rămână în fața obiectului în mișcare. Acest lucru va oferi efectul de a merge mai departe și de a indica ținta. În caz contrar, fotografia poate rămâne neînțeleasă.

Corectarea regulii raportului de aur

În ciuda faptului că regula treimilor din teoria actuală a compoziției este considerată un clasic, tot mai mulți fotografi tind să o abandoneze. Motivația lor este simplă: o analiză a picturilor realizate de artiști celebri arată că regula secțiunii de aur nu este respectată. Se poate argumenta cu această afirmație.

Luați în considerare binecunoscutul Gioconda, pe care îl citează oponenții utilizării regulii treimilor (uitând că da Vinci însuși a fost la originea utilizării sale practice). Argumentele lor sunt că maestrul nu a considerat necesar să aranjeze elementele cheie ale imaginii la punctele de intersecție, așa cum este cerut de imaginea clasică. Dar trec cu vederea factorul liniilor orizontale, conform căruia capul și trunchiul persoanei descrise sunt situate în așa fel încât silueta în ansamblu să nu „taie ochiul”. În plus, această lucrare folosește o spirală într-o măsură mai mare, care în majoritatea cazurilor este uitată de teoreticienii fotografiei. Astfel, este posibil să respingem afirmațiile despre aproape fiecare creație citată ca exemplu.

Se poate folosi regula raportului auriu sau o puteți abandona dacă doriți să subliniați dizarmonia compoziției. Cu toate acestea, este imposibil să argumentăm că nu este cheia în formarea unui obiect de artă.

Raportul aur în arhitectură. Cum ați obținut raportul auriu?

Este cel mai ușor să ne imaginăm proporția raportului de aur ca raportul a două părți ale aceluiași obiect de lungimi diferite, separate printr-un punct.

Pur și simplu, câte lungimi ale unui segment mic se vor potrivi în interiorul unuia mare sau raportul celui mai mare segment pe întreaga lungime a unui obiect liniar. În primul caz, raportul de aur este de 0,63; în al doilea, raportul de aspect este de 1,618034.

În practică, raportul auriu este doar o proporție, raportul segmentelor de o anumită lungime, laturile unui dreptunghi sau alte forme geometrice, caracteristicile dimensionale legate sau conjugate ale obiectelor reale.

Inițial, proporțiile aurii au fost deduse empiric folosind construcții geometrice. Există mai multe moduri de a construi sau de a obține proporții armonice:

Împărțirea clasică a uneia dintre laturile unui triunghi unghiular și construcția perpendicularelor și a arcelor secante. Pentru a face acest lucru, de la un capăt al segmentului, este necesar să restaurați o perpendiculară cu o înălțime de ½ din lungimea sa și să construiți triunghi dreptunghic ca în diagramă.
Dacă înălțimea perpendicularului este pusă deoparte pe ipotenuză, atunci cu o rază egală cu segmentul rămas, baza este tăiată în două segmente cu lungimi proporționale cu raportul auriu;
Prin metoda de construire a pentagramei lui Dürer, genialul grafician și geometru german. Astăzi cunoaștem metoda secțiunii aurii a lui Dürer, ca un mod de a construi o stea sau o pentagramă înscrisă într-un cerc, în care cel puțin patru segmente de proporție armonioasă;
În arhitectură și construcții, raportul auriu este adesea utilizat într-o formă îmbunătățită. În acest caz, o partiție a unui triunghi unghiular este utilizată nu de-a lungul piciorului, ci de-a lungul hipotenuzei, ca o schemă.

Pentru informația dumneavoastră! Spre deosebire de raportul clasic de aur, versiunea arhitecturală presupune un raport de aspect 44:56.

Dacă versiunea standard a raportului de aur pentru creaturi vii, pictură, grafică, sculpturi și clădiri antice a fost calculată ca 37:63, atunci raportul de aur în arhitectură de la sfârșitul secolului al XVII-lea a fost din ce în ce mai utilizat 44:56. Majoritatea experților consideră că schimbarea în favoarea unor proporții mai „pătrate” este răspândită în construcțiile înalte.

Mulți visează la un aspect ideal, dar nu toată lumea are o idee clară despre ce proporții pot fi considerate armonioase. Formula raportului auriu al feței este indisolubil legată de numărul 1.618 și de alte rapoarte. Deci, proporțiile frumuseții pot fi descrise după cum urmează:

raportul dintre înălțimea și lățimea feței ar trebui să fie egal cu 1,618;
dacă împărțiți lungimea gurii și lățimea aripilor nasului, obțineți 1,618;
la împărțirea distanței dintre pupile și sprâncene, se obține din nou 1.618;
lungimea ochilor trebuie să se potrivească cu distanța dintre ei, precum și cu lățimea nasului;
zonele feței de la linia părului la sprâncene, de la puntea nasului la vârful nasului, iar partea inferioară până la bărbie trebuie să fie egale;
dacă trageți linii verticale de la pupile până la colțurile buzelor, atunci veți obține trei zone egale în lățime.

Ar trebui înțeles că în natură coincidența tuturor parametrilor este destul de rară. Dar nu este nimic în neregulă cu asta. Acest lucru nu înseamnă deloc că fețele care nu corespund proporțiilor ideale pot fi numite urâte sau nu drăguțe. Dimpotrivă, „defectele” conferă uneori feței un farmec de neuitat.

Raportul de aur în compoziția desenului în paint.net
Din punct de vedere matematic, „Secțiunea de aur” poate fi descrisă după cum urmează - raportul dintre întreg și partea sa cea mai mare ar trebui să fie egal cu raportul dintre partea mai mare și cea mai mică. Să ilustrăm cu exemplul unui segment.

În cazul nostru, întregul segment B este împărțit în două părți - o A mai mare și una mai mică B. Apoi, dacă B / A este egal cu A / B, împărțirea segmentului se va efectua conform principiului numit „Secțiunea de aur”.
Nu pe deplin precis, dar aproape de raportul de aur, cum ar fi un raport de 2/3 sau 5/8. Numerele din astfel de rapoarte sunt adesea numite numere „aurii”.
De ce avem nevoie de aceste informații pentru a picta în paint.net? Raportul de aur este important pentru compoziție. Se crede că obiectele care conțin „raportul auriu” sunt percepute de oameni ca fiind cele mai armonioase. În astfel de proporții, artiștii celebri au ales dimensiunile gazdelor pentru picturile lor.
Să luăm în considerare o versiune simplificată a construirii „Secțiunii de aur” pentru compunerea unei imagini sau regula „Terțelor”. Regula a treia este că împărțim mental cadrul în trei părți orizontal și vertical și la punctele de intersecție a liniilor imaginare, plasăm cheia și detaliile importante ale desenului sau colajului nostru foto.

Principiul „raportului de aur” poate fi aplicat la decuparea unei imagini. De exemplu, un cadru format conform regulii „secțiunii aurii” dintr-o fotografie mare poate arăta astfel.

Raportul de aur în muzică. Metoda raportului de aur în operele muzicale

„Secțiunea de aur” este un concept destul de matematic, iar studiul său este sarcina științei. Aceasta este împărțirea unei anumite valori în două părți într-un astfel de raport încât partea cea mai mare se va raporta la cea mai mică, în ansamblu la cea mai mare. Acest raport se dovedește a fi egal cu numărul transcendental Ф = 1,6180339 ... cu proprietăți uimitoare.

Metoda secțiunii aurii este o căutare a valorilor unei funcții pe un interval dat. Aceasta metoda se bazează pe principiul împărțirii unui segment în așa-numitul raport auriu. Este cel mai utilizat pentru a căuta valori extreme atunci când rezolvă probleme legate de optimizare. În plus față de matematică, metoda Golden Ratio este utilizată într-o mare varietate de domenii, variind de la arhitectură, artă și terminând cu astronomie. De exemplu, celebrul regizor sovietic Sergei Eisenstein l-a folosit în filmul său „Battleship Potemkin”, iar Leonardo da Vinci - când a scris celebra „La Gioconda”.

Raportul auriu este folosit și în muzică. S-a dovedit că această proporție de aur se găsește foarte des în operele muzicale. La începutul secolului al XX-lea, la o întâlnire a Cercului muzical din Moscova, a fost făcut un mesaj care conținea informații despre aplicarea Raportului de aur în muzică. Membrii cercului muzical, compozitorii S. Rachmaninov, S. Taneyev, R. Glier și alții, au ascultat mesajul cu mare interes. Raport al muzicologului Rosenov E.K. „Legea raportului de aur în muzică și poezie” a pus bazele studiului legilor matematice asociate cu raportul de aur din muzică. El a analizat operele muzicale ale lui Mozart, Bach, Beethoven, Wagner, Chopin, Glinka și alți compozitori și a arătat că această „proporție divină” este prezentă în operele lor.

Culmea multor piese muzicale nu este localizată în centru, ci ușor deplasată spre sfârșitul piesei într-un raport de 62:38 - acesta este punctul raportului auriu. Doctor în istoria artei, profesorul L. Mazel a observat, în timp ce studia melodiile de opt măsuri ale lui Chopin, Beethoven, Scriabin, că în multe lucrări ale acestor compozitori culmea, de regulă, cade pe un ritm slab al cincilea, adică , pe punctul de raport auriu - 5/8. L. Mazel credea că practic fiecare compozitor - adept al stilului armonic, poate găsi o structură muzicală similară: cinci bare de urcare și trei bare de coborâre. Aceasta sugerează că metoda secțiunii de aur a fost utilizată în mod activ de compozitori, conștient sau inconștient. Probabil, un astfel de aranjament structural al culmilor conferă piesei muzicale un sunet armonios și o culoare emoțională.

Compozitorul și muzicologul L. Sabaneev a întreprins un studiu serios al operelor muzicale pentru manifestarea proporției de aur din ele. El a studiat aproximativ două mii de lucrări ale diferiților compozitori și a ajuns la concluzia că, în aproximativ 75% din cazuri, raportul auriu a fost prezent într-o piesă de muzică cel puțin o dată. El a remarcat cel mai mare număr de lucrări în care proporția de aur se găsește în rândul compozitorilor precum Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Scriabin (90%), Chopin ( 92%), Schubert (91%). El a studiat schițele lui Chopin cel mai atent și a ajuns la concluzia că raportul de aur a fost determinat în 24 din 27 de schițe. Numai în trei dintre schițele lui Chopin raportul de aur nu a fost găsit. Uneori, structura unei piese muzicale a inclus atât simetria, cât și raportul auriu. De exemplu, operele lui Beethoven sunt împărțite în părți simetrice, iar în fiecare dintre ele apare raportul auriu.

Deci, putem spune că prezența raportului de aur într-o piesă muzicală este unul dintre criteriile pentru armonia unei compoziții muzicale.

Orice persoană care, cel puțin indirect, a trebuit să se ocupe de geometria obiectelor spațiale în designul interior și arhitectura, este probabil foarte conștientă de principiul raportului auriu. Până de curând, în urmă cu câteva decenii, popularitatea secțiunii de aur era atât de mare încât numeroși susținători ai teoriilor mistice și structurii lumii o numesc regula armonică universală.

Esența proporției universale

Un alt lucru este surprinzător. Motivul atitudinii părtinitoare, aproape mistică, față de o dependență numerică atât de simplă a fost câteva proprietăți neobișnuite:

Un număr mare de obiecte ale lumii vii, de la virus la oameni, au proporții de bază ale corpului sau ale membrelor foarte apropiate de valoarea raportului auriu;
Dependența de 0,63 sau 1,62 este caracteristică numai ființelor biologice și unele varietăți de cristale, obiecte neînsuflețite, de la minerale la elemente de peisaj, au geometria secțiunii aurii extrem de rar;
Proporțiile aurii din structura corpului s-au dovedit a fi cele mai optime pentru supraviețuirea obiectelor biologice reale.

Astăzi, raportul auriu se găsește în structura corpului animalelor, a cochiliilor și a cojilor moluștelor, în proporțiile frunzelor, ramurilor, trunchiurilor și sistemelor radiculare într-un număr destul de mare de arbuști și ierburi.

Mulți adepți ai teoriei universalității secțiunii de aur au încercat în repetate rânduri să demonstreze faptul că proporțiile sale sunt cele mai optime pentru organismele biologice în condițiile existenței lor.

De obicei, structura cochiliei Astreae Heliotropium, una dintre moluștele marine, este dată ca exemplu. Carapace este o coajă de calcit înfășurată cu o geometrie care aproape coincide cu proporțiile raportului auriu.

Un exemplu mai clar și mai evident este un ou de pui obișnuit.

Raportul parametrilor principali, și anume, focalizarea mare și mică, sau distanțele de la punctele echidistante ale suprafeței la centrul de greutate, vor corespunde, de asemenea, raportului auriu. În același timp, forma cojii de ouă a păsării este cea mai optimă pentru supraviețuirea păsării ca specie biologică. În acest caz, puterea cojii nu joacă un rol major.

Pentru informația dumneavoastră! Raportul auriu, numit și proporția universală a geometriei, a fost obținut ca urmare a unui număr imens de măsurători practice și comparații ale dimensiunilor plantelor reale, păsărilor, animalelor.

Originea proporției universale

Vechii matematicieni greci Euclid și Pitagora știau despre raportul auriu al secțiunii. Într-unul dintre monumentele arhitecturii antice - piramida Cheops, raportul aspect-bază, elementele individuale și basoreliefurile pereților sunt realizate în conformitate cu proporția universală.

Metoda secțiunii de aur a fost folosită pe scară largă în Evul Mediu de artiști și arhitecți, în timp ce esența proporției universale a fost considerată unul dintre secretele universului și a fost ascunsă cu grijă de omul obișnuit de pe stradă. Compoziția multor picturi, sculpturi și clădiri a fost construită strict în conformitate cu proporțiile raportului auriu.

Pentru prima dată, esența proporției universale a fost documentată în 1509 de călugărul franciscan Luca Pacioli, care avea abilități matematice strălucitoare. Dar adevărata recunoaștere a avut loc după ce omul de știință german Zeising a efectuat un studiu cuprinzător al proporțiilor și geometriei corpului uman, sculpturi antice, opere de artă, animale și plante.

În majoritatea obiectelor vii, unele dimensiuni ale corpului respectă aceleași proporții. În 1855, omul de știință a concluzionat că proporțiile secțiunii aurii sunt un fel de standard pentru armonia corpului și a formei. Este, în primul rând, despre viețuitoare, pentru o natură moartă, raportul auriu este mult mai puțin comun.

Cum ați obținut raportul auriu?

Este cel mai ușor să ne imaginăm proporția raportului de aur ca raportul a două părți ale aceluiași obiect de lungimi diferite, separate printr-un punct.

Inițial, proporțiile aurii au fost deduse empiric folosind construcții geometrice. Există mai multe moduri de a construi sau de a obține proporții armonice:

Pentru informația dumneavoastră! Spre deosebire de raportul clasic de aur, versiunea arhitecturală presupune un raport de aspect 44:56.

Principalul secret al raportului auriu

Dacă manifestările naturale ale secțiunii universale în proporțiile corpurilor animalelor și ale oamenilor, baza tulpinii plantelor poate fi explicată în continuare prin evoluție și adaptabilitate la influență Mediul extern, atunci descoperirea secțiunii de aur în construcția caselor din secolele XII-XIX a fost o anumită surpriză. Mai mult, faimosul Partenon grecesc antic a fost construit în conformitate cu proporția universală, multe case și castele de nobili bogați și oameni bogați din Evul Mediu au fost construite în mod deliberat cu parametri foarte apropiați de raportul auriu.

Raportul aur în arhitectură

Multe dintre clădirile care au supraviețuit până în prezent indică faptul că arhitecții din Evul Mediu știau despre existența raportului auriu și, bineînțeles, la construirea casei, au fost ghidați de calculele și dependențele lor primitive, cu ajutorul dintre care au încercat să atingă puterea maximă. S-a manifestat în special dorința de a construi cele mai frumoase și armonioase case în clădirile reședințelor regalității, bisericilor, primăriilor și clădirilor cu o importanță socială deosebită în societate.

De exemplu, celebra Catedrală Notre Dame în proporțiile sale are multe secțiuni și lanțuri de dimensiuni corespunzătoare raportului auriu.

Chiar înainte de publicarea cercetării sale în 1855 de către profesorul Zeising, la sfârșitul secolului al XVIII-lea, faimoasele complexe arhitecturale ale spitalului Golitsyn și clădirea Senatului din Sankt Petersburg, Casa Pashkov și Palatul Petrovsky din Moscova au fost construit folosind proporțiile raportului auriu.

Desigur, casele cu respectarea strictă a regulii raportului de aur au fost construite mai devreme. Merită menționat monumentul arhitecturii antice a Bisericii Mijlocirii de pe Nerl, prezentat în diagramă.

Toate acestea sunt unite nu numai printr-o combinație armonioasă de forme și calitate superioară construcție, dar și, în primul rând, prezența raportului de aur în proporțiile clădirii. Frumusețea uimitoare a clădirii devine și mai misterioasă dacă ții cont de epocă, clădirea Bisericii Mijlocirii datează din secolul al XIII-lea, dar clădirea a primit aspectul său arhitectural modern la începutul secolului al XVII-lea ca rezultatul restaurării și restructurării.

Particularitatea raportului de aur pentru oameni

Arhitectura antică a clădirilor și caselor din Evul Mediu rămâne atractivă și interesantă pentru o persoană modernă din mai multe motive:

Stilul artistic individual în proiectarea fațadelor evită clișeul modern și matitatea, fiecare clădire este o operă de artă;
Utilizare masivă pentru decorarea și decorarea de statui, sculpturi, mulaje din stuc, combinații neobișnuite de soluții de construcție din diferite epoci;
Proporțiile și compozițiile clădirii atrag atenția asupra celor mai importante elemente ale clădirii.

Important! Atunci când proiectează o casă și dezvoltă aspectul, arhitecții medievali au aplicat regula raportului auriu, folosind inconștient particularitățile percepției subconștientului uman.

Psihologii moderni au demonstrat experimental că raportul auriu este o manifestare a dorinței inconștiente a unei persoane sau a unei reacții la o combinație sau proporție armonioasă în dimensiuni, forme și chiar culori. A fost realizat un experiment, în cadrul căruia un grup de oameni care nu erau familiarizați unul cu celălalt, nu aveau interese comune, profesii și grupe de vârstă diferite, li s-au oferit o serie de teste, printre care sarcina de a îndoaie o foaie de hârtie în cea mai optimă proporție a laturilor. Conform rezultatelor testului, sa constatat că în 85 de cazuri din 100, subiecții au fost îndoiți aproape exact de-a lungul raportului auriu.

Prin urmare, știința modernă consideră că fenomenul proporției universale este un fenomen psihologic și nu acțiunea oricărei forțe metafizice.

Utilizarea factorului universal al secțiunii transversale în designul și arhitectura modernă

Principiile aplicării raportului aur în ultimii ani au devenit extrem de populare în construcția de case private. Ecologia și siguranța materialelor de construcție au fost înlocuite de un design armonios și o distribuție corectă a energiei în interiorul casei.

Interpretarea modernă a regulii armoniei universale s-a răspândit mult timp dincolo de geometria obișnuită și forma unui obiect. Astăzi, regula este respectată nu numai de lanțurile dimensionale ale lungimii porticului și frontonului, de elementele individuale ale fațadei și de înălțimea clădirii, ci și de zona încăperilor, deschiderile ferestrelor și ușilor și chiar schema de culori a interiorului camerei.

Cea mai ușoară cale este de a construi o casă armonioasă pe o bază modulară. În acest caz, majoritatea departamentelor și camerelor sunt realizate sub formă de blocuri sau module independente, proiectate în conformitate cu regula raportului de aur. Este mult mai ușor să construiți o clădire sub forma unui set de module armonioase decât să construiți o singură cutie, în care majoritatea spațiilor fațadei și interioare trebuie să se încadreze în cadrul strict al proporțiilor raportului auriu.

Multe firme de construcții care proiectează gospodării private utilizează principiile și conceptele raportului de aur pentru a crește estimările și a crea o impresie de studiu aprofundat al structurii casei pentru clienți. De regulă, o astfel de casă este declarată ca fiind foarte confortabilă și armonioasă de utilizat. Raportul corect selectat dintre suprafețele camerei garantează confortul mental și sănătatea excelentă a proprietarilor.

Dacă casa a fost construită fără a lua în considerare raporturile optime ale raportului auriu, puteți reamenaja încăperile astfel încât proporțiile camerei să corespundă raportului pereților într-un raport de 1: 1,61. Pentru aceasta, mobilierul poate fi mutat sau pereții despărțitori suplimentari pot fi instalați în interiorul camerelor. În mod similar, dimensiunile deschiderilor ferestrelor și ușilor sunt modificate astfel încât lățimea deschiderii să fie de 1,61 ori mai mică decât înălțimea frunzei ușii. În același mod, se realizează planificarea mobilierului, a electrocasnicelor, a decorării pereților și a podelei.

Alegerea unei scheme de culori este mai dificilă. În acest caz, în loc de raportul obișnuit de 63:37, adepții regulii de aur au adoptat o interpretare simplificată - 2/3. Adică, fundalul principal de culoare ar trebui să ocupe 60% din spațiul camerei, nu mai mult de 30% este acordat culorii de umbrire, iar restul este atribuit diferitelor tonuri conexe, concepute pentru a spori percepția schemei de culori.

Pereții interiori ai camerei sunt împărțiți printr-o centură orizontală sau bordură la o înălțime de 70 cm, mobilierul instalat trebuie să fie proporțional cu înălțimea plafoanelor în funcție de raportul raportului auriu. Aceeași regulă se aplică distribuției lungimilor, de exemplu, dimensiunea canapelei nu trebuie să depășească 2/3 din lungimea peretelui, iar suprafața totală ocupată de mobilier se referă la aria camerei, ca 1: 1,61 .

Raportul auriu este dificil de masat în practică datorită unei singure valori a secțiunii transversale, prin urmare, atunci când proiectează clădiri armonioase, acestea recurg adesea la o serie de numere Fibonacci. Acest lucru vă permite să extindeți numărul opțiuni posibile proporțiile și formele geometrice ale principalelor elemente ale casei. În acest caz, o serie de numere Fibonacci, legate printr-o relație matematică clară, se numește armonic sau auriu.

În metoda modernă de proiectare a locuințelor bazată pe principiul raportului auriu, pe lângă seria Fibonacci, principiul propus de celebrul arhitect francez Le Corbusier este utilizat pe scară largă. În acest caz, înălțimea viitorului proprietar sau înălțimea medie a unei persoane este aleasă ca unitate de măsură de pornire prin care se calculează toți parametrii clădirii și interiorului. Această abordare vă permite să proiectați o casă nu numai armonioasă, ci și cu adevărat individuală.

Concluzie

În practică, conform recenziilor celor care au decis să construiască o casă conform regulii secțiunii de aur, o clădire bine construită este într-adevăr destul de convenabilă pentru a locui. Dar costul unei clădiri datorită proiectării individuale și utilizării materialelor de construcție de dimensiuni nestandardizate crește cu 60-70%. Și această abordare nu este nimic nou, deoarece majoritatea clădirilor din secolul trecut au fost construite exact sub caracteristicile individuale viitori proprietari.

Raportul de aur este o manifestare universală a armoniei structurale. Se găsește în natură, știință, artă - în tot ceea ce o persoană poate intra în contact. Odată ce a făcut cunoștință cu regula de aur, omenirea nu a mai înșelat-o.

Definiție

Cea mai încăpătoare definiție a raportului de aur spune că partea mai mică se referă la cea mai mare, la fel de mare la întregul. Valoarea sa aproximativă este 1,6180339887. Ca procentaj rotunjit, proporțiile părților dintr-un întreg se raportează între 62% și 38%. Această relație funcționează sub formele spațiului și timpului. Anticii au văzut în raportul auriu o reflectare a ordinii cosmice, iar Johannes Kepler a numit-o una dintre comorile geometriei. Știința modernă consideră raportul auriu ca „simetrie asimetrică”, numindu-l în sens larg o regulă universală care reflectă structura și ordinea ordinii noastre mondiale.

Istorie

Se crede că a introdus conceptul diviziunii aurului în utilizarea științifică Pitagora, filosof și matematician antic grec (sec. VI î.Hr.). Există o presupunere că Pitagora și-a împrumutat cunoștințele despre împărțirea de aur de la egipteni și babilonieni. Într-adevăr, proporțiile piramidei Cheops, a templelor, a basoreliefurilor, a obiectelor de uz casnic și a ornamentelor din mormântul lui Tutankhamon indică faptul că meșterii egipteni au folosit raporturile de diviziune aurie atunci când le-au creat. Arhitectul francez Le Corbusien a constatat că în relieful din templul faraonului Seti I din Abydos și în relieful care îl înfățișează pe faraonul Ramses, proporțiile figurilor corespund valorilor diviziunii aurii. Arhitectul Khesira, descris pe relieful unei scânduri de lemn din mormântul numelui său, ține în mâini instrumente de măsurare în care sunt fixate proporțiile diviziunii aurii.

Grecii erau geometri pricepuți. Chiar și aritmetica a fost învățată copiilor lor cu ajutorul forme geometrice... Pătratul pitagoric și diagonala acestui pătrat au stat la baza construirii dreptunghiurilor dinamice.

Platon(427 ... 347 î.Hr.) știau și despre divizia de aur. Dialogul său „Timeu” este consacrat punctelor de vedere matematice și estetice ale școlii pitagoreice și, în special, problemelor diviziunii de aur.

Fațada vechiului templu grecesc al Partenonului are proporții aurii. În timpul săpăturilor sale, au fost descoperite busole, care au fost folosite de arhitecți și sculptori din lumea antică. În busola de la Pompei (un muzeu din Napoli), proporțiile diviziunii aurii sunt, de asemenea, stabilite.

Orez. Compase antice ale raportului auriu

În literatura antică care a ajuns la noi, diviziunea de aur a fost menționată pentru prima dată în „Elemente”. Euclid... În a doua carte a Începuturilor, este dată construcția geometrică a diviziunii de aur. După Euclid, Gipsicles (sec. II î.Hr.), Pappus (sec. III d.Hr.) și alții s-au angajat în studiul diviziunii aurului.În Europa medievală, s-au familiarizat cu diviziunea aurului din traducerile în arabă a Elementelor lui Euclid. Traducătorul J. Campano din Navarra (sec. III) a făcut comentarii cu privire la traducere. Secretele diviziei de aur erau păzite cu gelozie, păstrate în secret strict. Ei erau cunoscuți doar de inițiați.

Au avut, de asemenea, o idee despre proporțiile de aur din Rusia, dar pentru prima dată raportul de aur a fost explicat prin călugăr Luca Pacioliîn cartea Proporția divină (1509), care ar fi fost ilustrată de Leonardo da Vinci. Pacioli a văzut treimea divină în secțiunea de aur: segmentul mic a personificat Fiul, cel mare - Tatăl și întregul - Duhul Sfânt. Potrivit contemporanilor și istoricilor științei, Luca Pacioli a fost un adevărat luminator, cel mai mare matematician al Italiei din perioada dintre Fibonacci și Galileo. Luca Pacioli a fost student al pictorului Piero della Francesca, care a scris două cărți, dintre care una se intitulează Despre perspectiva în pictură. Este considerat creatorul geometriei descriptive.

Luca Pacioli era foarte conștient de importanța științei pentru artă. În 1496, la invitația ducelui de Moreau, a venit la Milano, unde a ținut prelegeri de matematică. La acea vreme, Leonardo da Vinci lucra la curtea din Moro la Milano.

Numele matematicianului italian este direct legat de regula raportului de aur Leonardo Fibonacci... Ca urmare a rezolvării uneia dintre probleme, omul de știință a venit cu o succesiune de numere, acum cunoscută sub numele de seria Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. Kepler a atras atenția asupra relației acestei secvențe cu raportul auriu: „Este aranjat în așa fel încât cei doi termeni cei mai mici ai acestei proporții nesfârșite să se adauge la al treilea termen și orice ultimii doi termeni, dacă sunt adăugați, dau următorul termen, iar aceeași proporție rămâne la nesfârșit ". Acum seria Fibonacci este o bază aritmetică pentru calcularea proporțiilor raportului aur în toate manifestările sale.

Leonardo da Vinci De asemenea, a dedicat mult timp studierii trăsăturilor secțiunii de aur, cel mai probabil el fiind cel care deține termenul în sine. Desenele sale ale unui solid stereometric, format din pentagone regulate, demonstrează că fiecare dintre dreptunghiurile obținute prin tăiere oferă raporturi de aspect în diviziune de aur.

În timp, regula raportului de aur s-a transformat într-o rutină academică și doar un filozof Adolf Zeisingîn 1855 i-a redat a doua viață. El a adus proporțiile secțiunii de aur la absolut, făcându-le universale pentru toate fenomenele lumii înconjurătoare. Cu toate acestea, „estetica sa matematică” a atras multe critici.

Natură

Astronom al secolului al XVI-lea. Johannes Kepler numit raportul de aur una dintre comorile geometriei. El a fost primul care a atras atenția asupra semnificației raportului de aur pentru botanică (creșterea și structura plantelor).

Kepler a numit proporția de aur a continuării sale în sine „Este aranjat așa”, a scris el, „că cei doi termeni cei mai mici ai acestei proporții nesfârșite se adaugă la al treilea termen, iar orice ultimii doi termeni, dacă sunt adăugați, dau următorul termen, și aceeași proporție rămâne până la infinit ".

Construcția unui număr de segmente ale raportului de aur se poate face atât în sus (rând crescător), cât și în jos (rând descendent).

Dacă pe o linie dreaptă de lungime arbitrară, amânați segmentul m, lângă amânarea segmentului M... Pe baza acestor două segmente, construim o scară de segmente ale raportului auriu al seriilor ascendente și descendente.

Orez. Construirea unei scări de segmente ale raportului auriu

Orez. Cicoare

Fără a intra chiar în calcule, raportul auriu poate fi găsit cu ușurință în natură. Deci, raportul cozii și corpului șopârlei, distanța dintre frunzele de pe ramură, există un raport auriu și sub forma unui ou, dacă o linie condițională este trasată prin partea sa cea mai lată, se încadrează sub ea.

Orez. Șopârlă vivipară

Orez. Ou de pasăre

Mai mult Arhimede acordând atenție spiralei, el a derivat o ecuație bazată pe forma sa, care este încă utilizată în tehnologie. Mai târziu, Goethe a remarcat gravitația naturii către formele spirale, chemând spirala „curbei vieții”... Oamenii de știință moderni au descoperit că astfel de manifestări ale formelor spiralate din natură, cum ar fi coaja melcului, dispunerea semințelor de floarea-soarelui, modelele păianjenului, mișcarea uraganului, structura ADN-ului și chiar structura galaxiilor, conțin seria Fibonacci.

Designerii de modă și designerii de îmbrăcăminte fac toate calculele pe baza proporțiilor raportului auriu. Omul este o formă universală de testare a legilor raportului de aur. Desigur, din fire, nu toți oamenii au proporții ideale, ceea ce creează anumite dificultăți la selectarea hainelor.

În jurnalul lui Leonardo da Vinci, există un desen al unui bărbat gol înscris într-un cerc, în două poziții suprapuse. Pe baza cercetărilor arhitectului roman Vitruvius, Leonardo a încercat în mod similar să stabilească proporțiile corpului uman. Mai târziu, arhitectul francez Le Corbusier, folosind „Omul vitruvian” al lui Leonardo, și-a creat propria scară de „proporții armonice”, care a influențat estetica arhitecturii secolului XX. Adolf Zeising, investigând proporționalitatea omului, a făcut o treabă extraordinară. El a măsurat aproximativ două mii de corpuri umane, precum și multe statui antice și a dedus că raportul auriu exprimă legea medie. La o persoană, aproape toate părțile corpului sunt subordonate acestuia, dar principalul indicator al raportului auriu este împărțirea corpului după punctul buricului.

În urma măsurătorilor, cercetătorul a constatat că proporțiile corpului masculin 13: 8 sunt mai apropiate de raportul auriu decât proporțiile corpului feminin - 8: 5.

Arta formelor spațiale

Artistul Vasily Surikov spunea că „există o lege imuabilă în compoziție, când nimic nu poate fi eliminat sau adăugat într-o imagine, nici măcar un punct în plus nu poate fi pus, aceasta este matematică reală”. De mult timp, artiștii respectă această lege intuitiv, dar după Leonardo da Vinci, procesul de creare a unei picturi nu se mai poate face fără rezolvarea problemelor geometrice. De exemplu, Albrecht Durer pentru a determina punctele secțiunii de aur, a folosit o busolă proporțională inventată de el.

Criticul de artă FV Kovalev, după ce a examinat în detaliu pictura lui Nikolai Ge „Alexander Sergeevich Pușkin în satul Mihailovskoye”, observă că fiecare detaliu al pânzei, fie că este un șemineu, o bibliotecă, un fotoliu sau poetul însuși, este inscripționate strict în proporții aurii. Cercetătorii Golden Ratio studiază și măsoară neobosit capodoperele arhitecturii, susținând că au devenit astfel deoarece au fost create conform canoanelor aurii: în lista lor se află Marile Piramide din Giza, Catedrala Notre Dame, Catedrala Sf. Vasile, Partenonul .

Și astăzi, în orice artă a formelor spațiale, încearcă să urmeze proporțiile secțiunii de aur, deoarece, potrivit criticilor de artă, facilitează percepția operei și formează un sentiment estetic pentru privitor.

Goethe, poet, naturalist și artist (a pictat și a pictat în acuarele), a visat să creeze o învățătură unificată despre forma, formarea și transformarea corpurilor organice. El a introdus termenul în utilizarea științifică morfologie.

La începutul acestui secol, Pierre Curie a formulat o serie de idei profunde de simetrie. El a susținut că nu se poate lua în considerare simetria vreunui corp fără a lua în considerare simetria mediului.

Modelele de simetrie „aurie” se manifestă în tranzițiile de energie ale particulelor elementare, în structura unora compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genetice ale organismelor vii. Aceste tipare, așa cum s-a indicat mai sus, se află în structura organelor individuale ale unei persoane și ale corpului în ansamblu și se manifestă și în bioritmuri și în funcționarea creierului și a percepției vizuale.

Raportul auriu și simetria

Raportul de aur nu poate fi considerat de la sine, separat, fără o legătură cu simetria. Marele cristalograf rus G.V. Wolfe (1863 ... 1925) considera că raportul auriu este una dintre manifestările simetriei.

Diviziunea aurului nu este o manifestare a asimetriei, ceva opus simetriei. Conform conceptelor moderne, diviziunea aurului este o simetrie asimetrică. Știința simetriei include concepte precum staticși simetrie dinamică... Simetria statică caracterizează odihna, echilibrul și dinamica - mișcare, creștere. Deci, în natură, simetria statică este reprezentată de structura cristalelor, iar în artă caracterizează pacea, echilibrul și imobilitatea. Simetria dinamică exprimă activitate, caracterizează mișcarea, dezvoltarea, ritmul, este o dovadă a vieții. Simetria statică se caracterizează prin segmente egale, valori egale. Simetria dinamică se caracterizează printr-o creștere sau scădere a segmentelor și se exprimă în valorile secțiunii aurii a unei serii crescătoare sau descrescătoare.

Cuvinte, sunete și benzi de film

Formele de artă temporare în felul lor ne demonstrează principiul diviziunii de aur. Cărturarii literari, de exemplu, au observat că cel mai popular număr de rânduri din poeziile din perioada târzie a operei lui Pușkin corespunde seriei Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Muzicologul sovietic E.K. Rosenov remarcă acuratețea uimitoare a raportului de aur în formele stricte și libere ale operelor lui Johann Sebastian Bach, care corespund stilului gânditor, concentrat, verificat tehnic al maestrului. Acest lucru este valabil și pentru operele remarcabile ale altor compozitori, unde cea mai izbitoare sau neașteptată decizie muzicală revine, de obicei, la secțiunea de aur.

Regizorul de film Sergei Eisenstein a coordonat în mod deliberat scenariul filmului său „Battleship Potemkin” cu regula secțiunii de aur, împărțind banda în cinci părți. În primele trei secțiuni, acțiunea are loc pe navă, iar în ultimele două - în Odessa. Trecerea la scenele din oraș este mijlocul de aur al filmului.

Vă invităm să discutați subiectul în grupul nostru -

Fiecare persoană care se confruntă cu geometria obiectelor din spațiu este familiarizată cu metoda raportului auriu. Este folosit în artă, design interior și arhitectură. Chiar și în secolul trecut, raportul auriu s-a dovedit a fi atât de popular încât acum mulți susținători ai viziunii mistice a lumii i-au dat un nume diferit - regula armonică universală. Caracteristicile acestei metode ar trebui luate în considerare mai detaliat. Acest lucru vă va ajuta să aflați de ce este interesat de mai multe domenii de activitate simultan - artă, arhitectură, design.

Esența proporției universale

Principiul raportului auriu este doar o dependență de numere. Cu toate acestea, mulți sunt prejudiciați față de el, atribuind unele forțe mistice acestui fenomen. Motivul constă în proprietățile neobișnuite ale regulii:

Multe obiecte vii au proporțiile corpului și ale membrelor apropiate de citirile raportului auriu.
Dependențele 1,62 sau 0,63 determină raportul dimensiunilor numai pentru ființele vii. Obiectele legate de natura neînsuflețită corespund foarte rar cu semnificația regulii armonice.
Proporțiile aurii ale structurii corpului ființelor vii sunt o condiție esențială pentru supraviețuirea multor specii biologice.

Raportul auriu poate fi găsit în structura corpurilor diferitelor animale, trunchiuri de copaci și rădăcini de arbust. Susținătorii universalității acestui principiu încearcă să demonstreze că valorile sale sunt vitale pentru reprezentanții lumii vii.

Raportul auriu poate fi explicat folosind imaginea unui ou de pui. Raportul segmentelor din punctele coajei, la fel de îndepărtat de centrul de greutate, este egal cu raportul auriu. Cel mai important indicator al unui ou pentru supraviețuirea păsărilor este forma acestuia și nu puterea cojii.

Important! Raportul auriu este calculat pe baza măsurătorilor multor obiecte vii.

Originea raportului auriu

Regula universală era cunoscută matematicienilor Grecia antică... A fost folosit de Pitagora și Euclid. În celebra capodoperă arhitecturală - piramida Cheops, raportul dintre dimensiunile părții principale și lungimea laturilor, precum și basoreliefurile și detaliile decorative, corespund regulii armonioase.

Metoda secțiunii aurii a fost adoptată nu numai de arhitecți, ci și de artiști. Secretul proporției armonice a fost considerat unul dintre cele mai mari mistere.

Primul care a documentat proporția geometrică universală a fost călugărul franciscan Luca Pacioli. Abilitățile sale de matematică erau geniale. Raportul aur a primit o recunoaștere largă după publicarea rezultatelor studiilor privind raportul aur Zeising. El a studiat proporțiile corpului uman, sculpturi antice, plante.

Cum a fost calculat raportul auriu

Pentru a înțelege care este raportul auriu, o explicație bazată pe lungimile segmentelor vă va ajuta. De exemplu, în interiorul celui mare există mai multe mici. Apoi lungimile segmentelor mici se referă la lungimea totală a segmentului mare ca 0,62. O astfel de definiție ajută la a afla în câte părți o anumită linie poate fi împărțită astfel încât să corespundă regulii armonioase. Un alt plus al utilizării acestei metode este că puteți afla care ar trebui să fie raportul dintre cel mai mare segment și lungimea întregului obiect. Acest raport este de 1,62.

Astfel de date pot fi considerate proporțiile obiectelor măsurate. La început, au fost căutați, reluați empiric. Cu toate acestea, acum relațiile exacte sunt cunoscute, deci nu va fi dificil să construiți un obiect în conformitate cu acestea. Raportul auriu se găsește în următoarele moduri:

Construiți un triunghi unghiular. Împărțiți una dintre laturile sale, apoi desenați perpendiculare cu arcuri intersectate. Când efectuați calcule, ar trebui să construiți o perpendiculară de la un capăt al segmentului, egală cu ½ din lungimea sa. Apoi se completează un triunghi unghiular. Dacă marcați un punct pe hipotenuză care va arăta lungimea segmentului de linie perpendiculară, atunci o rază egală cu restul liniei va tăia baza în două jumătăți. Liniile rezultate se vor raporta între ele în funcție de raportul auriu.
Semnificațiile geometrice universale sunt obținute și într-un alt mod - prin construirea pentagramei Durer. Ea este o stea care este închisă într-un cerc. Conține 4 segmente, ale căror lungimi corespund regulii raportului auriu.
În arhitectură, proporția armonică este utilizată într-o formă modificată. Pentru a face acest lucru, un triunghi unghiular ar trebui împărțit la hipotenuză.

Important! Comparativ cu conceptul clasic al metodei Golden Ratio, versiunea arhitectului are un raport 44:56.

Dacă în interpretarea tradițională a regulii armonice pentru grafică, aceasta a fost calculată ca 37:63, atunci pentru structurile arhitecturale a fost folosit mai des 44:56. Acest lucru se datorează necesității de a construi clădiri înalte.

Secretul raportului auriu

Dacă în cazul obiectelor vii raportul auriu, manifestat în proporțiile corpului oamenilor și animalelor, poate fi explicat prin necesitatea adaptării la mediu, atunci utilizarea regulii proporțiilor optime în secolul al XII-lea pentru construcția de case a fost o noutate.

Partenonul, păstrat din timpul Greciei Antice, a fost ridicat folosind metoda secțiunii aurii. Multe castele ale nobililor din Evul Mediu au fost create cu parametri corespunzători regulii armonioase.

Raportul aur în arhitectură

Numeroasele clădiri antice care au supraviețuit până în prezent confirmă faptul că arhitecții din Evul Mediu erau familiarizați cu regula armonică. Dorința de a menține o proporție armonioasă în construcția de biserici, clădiri publice semnificative și reședințe regale este foarte vizibilă.

De exemplu, Catedrala Notre Dame a fost construită în așa fel încât multe dintre siturile sale corespund regulii raportului auriu. Puteți găsi multe piese de arhitectură din secolul al XVIII-lea care au fost construite în conformitate cu această regulă. Regula a fost aplicată și de mulți arhitecți ruși. Printre ei s-a numărat și M. Kazakov, care a creat proiecte pentru proprietăți și clădiri rezidențiale. El a proiectat clădirea Senatului și spitalul Golitsyn.

Bineînțeles, casele cu un astfel de raport de părți au fost ridicate chiar înainte de deschiderea regulii secțiunii de aur. De exemplu, astfel de clădiri includ Biserica Mijlocirii de pe Nerl. Frumusețea clădirii devine și mai misterioasă atunci când considerați că clădirea Bisericii de mijlocire a fost ridicată în secolul al XVIII-lea. dar aspect modern clădirea dobândită după restaurare.

În scrierile despre raportul auriu, se menționează că în arhitectură, percepția obiectelor depinde de cine observă. Proporțiile formate cu ajutorul raportului auriu dau cel mai calm raport dintre părțile structurii unele față de altele.

Un reprezentant izbitor al unui număr de clădiri care îndeplinesc regula universală este monumentul arhitectural Parthenon, ridicat în secolul al V-lea î.Hr. NS. Partenonul este amenajat cu opt coloane de-a lungul fațadelor mai mici și șaptesprezece de-a lungul celor mai mari. Templul a fost construit din marmură nobilă. Datorită acestui fapt, utilizarea coloranților este limitată. Înălțimea structurii se referă la lungimea sa 0,618. Dacă împărțiți Partenonul în funcție de proporțiile raportului auriu, veți obține anumite proeminențe ale fațadei.

Toate aceste structuri au o similaritate - armonia combinației de forme și calitatea excelentă a construcției. Acest lucru se datorează utilizării regulii armonice.

Importanța raportului de aur pentru oameni

Arhitectura clădirilor antice și a caselor medievale este destul de interesantă și pentru designerii moderni. Acest lucru se datorează următoarelor motive:

Datorită designului original al caselor, puteți evita timbrele enervante. Fiecare astfel de clădire este o capodoperă arhitecturală.
Aplicarea în masă a regulii pentru decorarea sculpturilor și statuilor.
Datorită respectării proporțiilor armonioase, ochiul este atras de detalii mai importante.

Important! Când au creat un proiect de construcție și au creat un aspect exterior, arhitecții din Evul Mediu au folosit proporții universale, bazându-se pe legile percepției umane.

Astăzi psihologii au ajuns la concluzia că principiul raportului auriu nu este altceva decât o reacție umană la un anumit raport de dimensiuni și forme. Într-un experiment, un grup de subiecți a fost rugat să plieze o bucată de hârtie astfel încât părțile să fie în proporții optime. În 85 din 100 de rezultate, oamenii au pliat foaia aproape exact conform regulii armonice.

Potrivit oamenilor de știință moderni, indicatorii raportului aur se referă mai mult la domeniul psihologiei, decât la caracterizarea legilor lumii fizice. Acest lucru explică de ce există un astfel de interes în el din partea hoaxerilor. Cu toate acestea, atunci când construiește obiecte conform acestei reguli, o persoană le percepe mai confortabil.

Folosind raportul auriu în design

Principiile utilizării unei proporții universale sunt din ce în ce mai utilizate în construcția caselor private. O atenție deosebită este acordată menținerii proporțiilor optime ale structurii. Se acordă multă atenție distribuției corecte a atenției în casă.

Interpretarea modernă a raportului auriu nu se mai referă doar la regulile geometriei și formei. Astăzi, principiul proporțiilor armonioase respectă nu numai dimensiunile detaliilor fațadei, zona camerelor sau lungimea frontoanelor, ci și paleta de culori folosită pentru a crea interiorul.

Este mult mai ușor să construiți o structură armonioasă pe o bază modulară. În acest caz, multe departamente și camere sunt executate ca blocuri separate. Acestea sunt proiectate în strictă conformitate cu regula armonică. Construirea unei clădiri ca un set de module separate este mult mai ușoară decât crearea unei singure cutii.

Multe firme angajate în construcția de case de țară, atunci când creează un proiect, respectă regula armonioasă. Acest lucru oferă clienților impresia că structura clădirii a fost elaborată în detaliu. Aceste case sunt de obicei descrise ca fiind cele mai armonioase și confortabile de utilizat. Cu alegerea optimă a zonelor camerei, locuitorii se simt calm psihologic.

Dacă casa a fost construită fără a lua în considerare proporțiile armonice, puteți crea un aspect care să fie aproape de raportul 1: 1,61 în ceea ce privește dimensiunea pereților. Pentru aceasta, sunt instalate partiții suplimentare în camere sau piese de mobilier sunt rearanjate.

În mod similar, dimensiunile ușilor și ferestrelor sunt modificate astfel încât deschiderea să aibă o lățime de 1,61 ori mai mică decât înălțimea.

Este mai dificil să alegi culorile. În acest caz, puteți observa valoarea simplificată a raportului auriu - 2/3. Fundalul principal de culoare ar trebui să ocupe 60% din spațiul camerei. Umbra de umbrire ocupă 30% din cameră. Suprafața rămasă este pictată cu tonuri apropiate unele de altele, sporind percepția culorii selectate.

Pereții interiori ai camerelor sunt împărțiți printr-o bandă orizontală. Este plasat la 70 cm de podea. Înălțimea mobilierului trebuie să fie în armonie cu înălțimea pereților. Această regulă se aplică și distribuției lungimilor. De exemplu, o canapea ar trebui să aibă dimensiuni care să fie de cel puțin 2/3 din lungimea peretelui. Suprafața camerei care este ocupată de piese de mobilier ar trebui să aibă, de asemenea, o anumită valoare. Ea se referă la suprafata totalaîntreaga cameră ca 1: 1.61.

Raportul aur este dificil de aplicat în practică datorită prezenței unui singur număr. De aceea. Proiectez clădiri armonioase, folosesc un număr de numere Fibonacci. Datorită acestui fapt, este oferită o varietate de opțiuni pentru formele și proporțiile detaliilor structurale. Seria numerelor Fibonacci este numită și aurie. Toate valorile corespund strict unei anumite relații matematice.

Pe lângă seria Fibonacci, în arhitectura moderna ei folosesc o altă metodă de proiectare - principiul stabilit de arhitectul francez Le Corbusier. La alegerea acestei metode, unitatea inițială de măsură este înălțimea proprietarului casei. Pe baza acestui indicator, sunt calculate dimensiunile clădirii și ale spațiilor interne. Datorită acestei abordări, casa se dovedește nu numai armonioasă, ci și capătă individualitate.

Orice interior va căpăta un aspect mai complet dacă se utilizează cornișe în el. Când utilizați proporții universale, puteți calcula dimensiunea acestuia. Indicatorii optimi sunt de 22,5, 14 și 8,5 cm. Cornisa trebuie instalată conform regulilor secțiunii aurii. Partea mică a elementului decorativ ar trebui să fie legată de partea mai mare, deoarece se referă la valorile adăugate ale celor două fețe. Dacă latura mare are 14 cm, atunci cea mică ar trebui să fie de 8,5 cm.

Puteți adăuga confortul camerei împărțind suprafețele peretelui folosind oglinzi de ipsos. Dacă peretele este împărțit de o bordură, înălțimea streașinii ar trebui scăzută din majoritatea rămasă a peretelui. Pentru a crea o oglindă cu lungimea optimă, aceeași distanță trebuie retrasă de bordură și streașină.

Concluzie

Casele construite conform principiului raportului auriu se dovedesc a fi foarte confortabile. Cu toate acestea, costul construirii unor astfel de clădiri este destul de ridicat, deoarece costul materialelor de construcție crește cu 70% datorită dimensiunilor lor atipice. Această abordare nu este deloc nouă, deoarece majoritatea caselor din secolul trecut au fost create pe baza parametrilor proprietarilor.

Datorită utilizării metodei secțiunii aurii în construcții și design, clădirile sunt nu numai confortabile, ci și durabile. Arată armonios și atractiv. Interiorul este, de asemenea, proiectat într-o proporție universală. Acest lucru vă permite să utilizați spațiul cu înțelepciune.

În astfel de camere, o persoană se simte cât se poate de confortabil. Puteți construi singură o casă folosind principiul raportului de aur. Principalul lucru este să calculați sarcinile pe elementele structurale și să alegeți materialele potrivite.

Metoda secțiunii aurii este utilizată în designul interior prin plasarea elementelor decorative de anumite dimensiuni în cameră. Acest lucru vă permite să adăugați confortul în cameră. Soluțiile de culoare sunt, de asemenea, alese în conformitate cu proporțiile armonice universale.

O persoană distinge obiectele din jurul său prin formă. Interesul pentru forma unui obiect poate fi dictat de necesitatea vitală sau poate fi cauzat de frumusețea formei. Forma, care se bazează pe o combinație de simetrie și raportul auriu, contribuie la cea mai bună percepție vizuală și la apariția unui sentiment de frumusețe și armonie. Întregul este întotdeauna format din părți, părți de dimensiuni diferite sunt într-o anumită relație între ele și cu întregul. Principiul raportului auriu este cea mai înaltă manifestare a perfecțiunii structurale și funcționale a întregului și a părților sale în artă, știință, tehnologie și natură.

Raportul auriu - proporția armonică

În matematică proporţie(Latin proportio) numesc egalitatea a două relații: A : b = c : d.

Segment de linie AB poate fi împărțit în două părți în următoarele moduri:

în două părți egale - AB : LA FEL DE = AB : Soare;

în două părți inegale în orice raport (astfel de părți nu formează proporții);

în acest fel când AB : LA FEL DE = LA FEL DE : Soare.

Aceasta din urmă este diviziunea de aur sau divizarea segmentului în raportul extrem și mediu.

Raportul auriu este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment se referă la partea mai mare la fel de mult ca și partea mai mare în sine la cea mai mică; sau cu alte cuvinte, un segment mai mic se referă la unul mai mare ca unul mai mare la orice

A : b = b : c sau cu : b = b : dar.

Orez. unu. Imagine geometrică a raportului auriu

Cunoașterea practică a raportului de aur începe cu împărțirea unui segment de linie dreaptă în raportul de aur folosind o busolă și o riglă.

Orez. 2.Împărțirea unui segment de linie dreaptă de-a lungul raportului auriu. Î.Hr. = 1/2 AB; CD = Î.Hr.

Din punct ÎN se restabilește o perpendiculară egală cu jumătate AB... Punct primit CU conectat printr-o linie la un punct DAR... Un segment este așezat pe linia rezultată Soare terminându-se cu un punct D... Segment de linie ANUNȚ transferat pe o linie dreaptă AB... Punctul rezultat Eîmparte segmentul ABîn raportul raportului auriu.

Segmentele raportului auriu sunt exprimate printr-o fracție irațională infinită AE= 0,618 ... dacă AB ia ca unitate, FI= 0,382 ... În scopuri practice, se folosesc deseori valori aproximative de 0,62 și 0,38. Dacă segmentul AB luate ca 100 de părți, atunci cea mai mare parte a segmentului este de 62, iar partea mai mică este de 38 de părți.

Proprietățile raportului auriu sunt descrise prin ecuația:

X 2 - X - 1 = 0.

Soluția la această ecuație:

Proprietățile raportului auriu au creat un halou romantic de mister și închinare aproape mistică în jurul acestui număr.

Al doilea raport auriu

Revista bulgară Otechestvo (nr. 10, 1983) a publicat un articol al lui Tsvetan Tsekov-Karandash „Despre al doilea raport de aur”, care rezultă din secțiunea principală și oferă un raport diferit de 44: 56.

Această proporție se găsește în arhitectură și apare și la construirea compozițiilor de imagini cu un format orizontal alungit.

Orez. 3. Construcția celui de-al doilea raport auriu

Împărțirea se realizează după cum urmează (vezi Fig. 3). Segment de linie ABîmpărțit în proporția raportului auriu. Din punct CU perpendicularul este restabilit CD... Rază AB există un punct D care este conectat printr-o linie la un punct DAR... Unghi drept ACDîmpărțit în jumătate. Din punct CU trasați o linie înainte de a trece linia ANUNȚ... Punct Eîmparte segmentul ANUNȚîn raport cu 56: 44.

Orez. 4.Împărțirea unui dreptunghi cu o linie de al doilea raport de aur

În fig. 4 arată poziția liniei celei de-a doua secțiuni aurii. Este situat în mijlocul dintre linia de secțiune aurie și linia de mijloc a dreptunghiului.

Triunghiul de Aur

Pentru a găsi segmentele raportului auriu al seriilor ascendente și descendente, puteți utiliza pentagramă.

Orez. cinci. Construirea unui pentagon și pentagramă obișnuite

Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit. Metoda construcției sale a fost dezvoltată de pictorul și graficianul german Albrecht Durer (1471 ... 1528). Lasa O- centrul cercului, A este un punct pe un cerc și E- mijlocul segmentului OA... Perpendicular pe rază OA restaurat la punctul respectiv O, intersectează cercul în punctul D... Folosind o busolă, amânăm segmentul pe diametru CE = ED... Lungimea laterală a unui pentagon regulat înscris într-un cerc este DC... Punerea segmentelor pe cerc DCși obținem cinci puncte pentru desenarea unui pentagon regulat. Conectăm colțurile pentagonului printr-o diagonală și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul auriu.

Fiecare capăt al stelei pentagonale este un triunghi auriu. Laturile sale formează un unghi de 36 ° în partea superioară, iar baza pusă deoparte pe latură îl împarte proporțional cu raportul auriu.

Orez. 6. Construirea triunghiului auriu

Tragem o linie dreaptă AB... Din punct DAR amânați un segment pe el de trei ori O valoare arbitrară, prin punctul obținut R trasează o perpendiculară pe linie AB, perpendicular pe dreapta și stânga punctului R amână segmentele O... Puncte obținute dși d 1 ne conectăm cu linii drepte cu un punct DAR... Segment de linie dd 1 pun deoparte pe linie Anunț 1, obținând un punct CU... Ea a despărțit linia Anunț 1 în proporția raportului auriu. Linii Anunț 1 și dd 1 este folosit pentru a construi un dreptunghi „auriu”.

Istoria raportului de aur

Se crede că conceptul de divizare a aurului a fost introdus în utilizarea științifică de către Pitagora, filosoful și matematicianul grec antic (secolul VI î.Hr.). Există o presupunere că Pitagora și-a împrumutat cunoștințele despre împărțirea de aur de la egipteni și babilonieni. Într-adevăr, proporțiile piramidei Cheops, a templelor, a basoreliefurilor, a obiectelor de uz casnic și a ornamentelor din mormântul lui Tutankhamon indică faptul că meșterii egipteni au folosit raporturile de diviziune aurie atunci când le-au creat. Arhitectul francez Le Corbusier a constatat că în relieful din templul faraonului Seti I din Abydos și în relieful care îl înfățișează pe faraonul Ramses, proporțiile figurilor corespund valorilor diviziunii aurii. Arhitectul Khesira, descris pe relieful unei scânduri de lemn din mormântul numelui său, ține în mâini instrumente de măsurare în care sunt fixate proporțiile diviziunii aurii.

Grecii erau geometri pricepuți. Chiar și aritmetica a fost învățată copiilor lor folosind forme geometrice. Pătratul pitagoric și diagonala acestui pătrat au stat la baza construirii dreptunghiurilor dinamice.

Orez. 7. Dreptunghiuri dinamice

Platon (427 ... 347 î.Hr.) știa și despre diviziunea aurului. Dialogul său „Timeu” este consacrat punctelor de vedere matematice și estetice ale școlii pitagoreice și, în special, problemelor diviziunii de aur.

Orez. opt. Compase antice ale raportului auriu

În literatura antică care a ajuns la noi, diviziunea de aur a fost menționată pentru prima dată în „Elementele” lui Euclid. În a doua carte a „Începuturilor” este dată construcția geometrică a diviziunii aurului. După Euclid, Gipsicles (sec. II î.Hr.), Pappus (sec. III d.Hr.) și alții au fost angajați în studiul diviziunii aurului. În Europa medievală cu divizia de aur ne-am întâlnit prin traducerile în arabă ale Elementelor lui Euclid. Traducătorul J. Campano din Navarra (sec. III) a făcut comentarii cu privire la traducere. Secretele diviziei de aur erau păzite cu gelozie, păstrate în secret strict. Ei erau cunoscuți doar de inițiați.

În timpul Renașterii, interesul pentru diviziunea aurului dintre oamenii de știință și artiști a crescut în legătură cu aplicarea sa atât în geometrie, cât și în artă, în special în arhitectură. Leonardo da Vinci, un artist și om de știință, a văzut că artiștii italieni aveau multă experiență empirică, dar putine cunostinte ... El a conceput și a început să scrie o carte despre geometrie, dar în acest moment a apărut o carte a călugărului Luca Pacioli, iar Leonardo și-a abandonat aventura. Potrivit contemporanilor și istoricilor științei, Luca Pacioli a fost un adevărat luminator, cel mai mare matematician al Italiei din perioada dintre Fibonacci și Galileo. Luca Pacioli a fost student al pictorului Piero della Francesca, care a scris două cărți, dintre care una se intitulează Despre perspectiva în pictură. Este considerat creatorul geometriei descriptive.

Luca Pacioli era foarte conștient de importanța științei pentru artă. În 1496, la invitația ducelui de Moreau, a ajuns la Milano, unde a ținut prelegeri de matematică. La acea vreme, Leonardo da Vinci lucra la curtea din Moro la Milano. În 1509, cartea lui Luca Pacioli Divine Proportion a fost publicată la Veneția cu ilustrații executate în mod strălucit, motiv pentru care se crede că au fost realizate de Leonardo da Vinci. Cartea era un imn captivant față de raportul auriu. Printre numeroasele virtuți ale raportului de aur, călugărul Luca Pacioli nu a omis să-și numească „esența divină” ca expresie a trinității divine Dumnezeu Fiul, Dumnezeu Tatăl și Dumnezeu Duhul Sfânt (s-a înțeles că segmentul mic este personificarea Dumnezeului Fiului, segmentul mai mare este Dumnezeul Tatălui și întregul segment - zeul spiritului sfânt).

De asemenea, Leonardo da Vinci a acordat multă atenție studiului diviziei de aur. El a făcut secțiuni ale unui corp stereometric format din pentagone regulate și de fiecare dată a primit dreptunghiuri cu raporturi de aspect în diviziune de aur. Prin urmare, el a dat acestei divizii un nume ratia de aur... Așa că este încă cel mai popular.

În același timp, în nordul Europei, în Germania, Albrecht Durer lucra la aceleași probleme. El schițează o introducere la primul proiect al unui tratat privind proporțiile. Scrie Durer. „Este necesar ca cel care poate face ceva, să-l învețe pe alții care au nevoie de el. Iată ce mi-am propus. "

Judecând după una dintre scrisorile lui Dürer, s-a întâlnit cu Luca Pacioli în timpul șederii sale în Italia. Albrecht Durer dezvoltă în detaliu teoria proporțiilor corpului uman. Dürer a atribuit un loc important în sistemul său de rapoarte raportului de aur. Înălțimea unei persoane este împărțită în proporții aurii de linia centurii, precum și de linia trasată prin vârfurile degetelor mijlocii ale mâinilor coborâte, partea inferioară a feței de gură etc. Busola proporțională a lui Dürer este cunoscută.

Marele astronom al secolului al XVI-lea. Johannes Kepler a numit Raportul de Aur una dintre comorile geometriei. El a fost primul care a atras atenția asupra semnificației raportului de aur pentru botanică (creșterea și structura plantelor).

Construcția unui număr de segmente ale raportului de aur se poate face atât în sus (rând crescător), cât și în jos (rând descendent).

Orez. nouă. Construirea unei scări de segmente ale raportului auriu

În secolele următoare, regula raportului de aur s-a transformat într-un canon academic, iar când, în timp, lupta cu rutina academică a început în artă, în căldura luptei „copilul a fost aruncat împreună cu apa” . Secțiunea aurie a fost „descoperită” din nou la mijlocul secolului al XIX-lea. În 1855, cercetătorul german al raportului auriu, profesorul Zeising, și-a publicat lucrarea „Aesthetic Research”. Cu Zeising, exact ce s-a întâmplat a fost ceea ce ar trebui să se întâmple inevitabil cercetătorului, care consideră fenomenul ca atare, fără nicio legătură cu alte fenomene. El a absolutizat proporția raportului auriu, declarându-l universal pentru toate fenomenele naturii și artei. Zeising a avut numeroși adepți, dar au existat și adversari care și-au declarat doctrina proporțiilor „estetică matematică”.

Orez. 10. Proporții aurii în părți ale corpului uman

Zeising a făcut o treabă extraordinară. El a măsurat aproximativ două mii de corpuri umane și a ajuns la concluzia că raportul aur exprimă legea statistică medie. Împărțirea corpului după punctul buricului este cel mai important indicator al raportului auriu. Proporțiile corpului masculin fluctuează în raportul mediu de 13: 8 = 1.625 și sunt oarecum mai apropiate de raportul auriu decât proporțiile corpului feminin, în raport cu care valoarea medie a proporției este exprimată în raportul de 8 : 5 = 1,6. La un nou-născut, raportul este 1: 1, până la vârsta de 13 ani este de 1,6, iar până la vârsta de 21 de ani este egal cu masculul. Proporțiile raportului auriu se manifestă și în raport cu alte părți ale corpului - lungimea umărului, antebrațului și mâinii, mâinii și degetelor etc.

Orez. unsprezece. Proporțiile aurii în figura umană

Zeising a testat validitatea teoriei sale pe statui grecești. În cele mai multe detalii, el a dezvoltat proporțiile lui Apollo Belvedere. Vazele grecești, structurile arhitecturale din diferite epoci, plantele, animalele, ouăle de păsări, tonurile muzicale și dimensiunile poetice au fost supuse cercetării. Zeising a dat o definiție a raportului auriu, a arătat cum este exprimat în segmente de linie și în numere. Când s-au obținut numerele care exprimă lungimile segmentelor, Zeising a văzut că acestea constituiau o serie Fibonacci, care putea fi continuată la nesfârșit într-o direcție sau alta. Următoarea sa carte a fost intitulată „Divizia de aur ca lege morfologică fundamentală în natură și artă”. În 1876, o carte mică, aproape o broșură, a fost publicată în Rusia, descriind această lucrare a lui Zeising. Autorul s-a refugiat sub inițialele Yu.F.V. În această ediție nu este menționată nicio pictură.

ÎN sfârșitul XIX- începutul secolului XX. au apărut o mulțime de teorii pur formaliste privind utilizarea raportului aur în operele de artă și arhitectură. Odată cu dezvoltarea designului și a esteticii tehnice, legea raportului de aur s-a extins la proiectarea mașinilor, a mobilierului etc.

Seria Fibonacci

Numele călugărului matematician italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci (fiul lui Bonacci), este conectat indirect cu istoria raportului de aur. A călătorit mult în est, a introdus Europa în cifrele indiene (arabe). În 1202 a fost publicată lucrarea sa matematică „Cartea Abacului” (tablou de numărare), în care au fost colectate toate problemele cunoscute la acea vreme. Una dintre sarcini a fost „Câte perechi de iepuri se vor naște dintr-o pereche într-un an”. Reflectând asupra acestui subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere:

Rândul numerelor 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. cunoscut sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea succesiunii numerelor este că fiecare dintre membrii săi, începând de la al treilea, este egal cu suma celor doi anteriori 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 etc., iar raportul numerelor adiacente din serie se apropie de raportul diviziunii aur. Deci, 21: 34 = 0,617 și 34: 55 = 0,618. Această relație este indicată de simbol F... Doar acest raport - 0,618: 0,382 - oferă o diviziune continuă a unui segment de linie dreaptă în proporție de aur, creșterea sau scăderea acestuia la infinit, atunci când segmentul mai mic se raportează la cel mai mare, cu cel mai mare la toate.

Fibonacci s-a ocupat și de nevoile practice ale tranzacționării: care este cea mai mică cantitate de greutăți pentru a cântări o marfă? Fibonacci demonstrează că următorul sistem de greutăți este optim: 1, 2, 4, 8, 16 ...

Raport auriu generalizat

Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic, dacă nu pentru faptul că toți cercetătorii diviziei de aur din lumea plantelor și a animalelor, ca să nu mai vorbim de artă, au ajuns invariabil la această serie ca expresie aritmetică legea diviziunii de aur.

Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Yu. Matiyasevich rezolvă a 10-a problemă a lui Hilbert folosind numerele Fibonacci. Există metode sofisticate pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și raportul auriu. În Statele Unite, chiar se creează Asociația Matematică Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963.

Unul dintre progresele în acest domeniu este descoperirea numerelor Fibonacci generalizate și a rapoartelor de aur generalizate.

Seria Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) și rândul „binar” de greutăți 1, 2, 4, 8, 16 ... la prima vedere sunt complet diferite. Dar algoritmii pentru construcția lor sunt foarte asemănători între ei: în primul caz, fiecare număr este suma numărului anterior cu el însuși 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., în al doilea - aceasta este suma celor două numere anterioare 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Este posibil să se găsească un general formula matematică din care și seria „binară” și seria Fibonacci? Sau poate această formulă ne va oferi noi seturi numerice cu câteva proprietăți unice noi?

Într-adevăr, să setăm parametrul numeric S, care poate lua orice valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Luați în considerare o serie de numere, S+ 1 din primii membri din care sunt unități, iar fiecare dintre cele ulterioare este egal cu suma a doi membri ai celui precedent și distanțat de cel anterior cu S pași. Dacă n-al doilea termen al acestei serii îl notăm cu φ S ( n), atunci primim formula generalăφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Evident, pentru S= 0 din această formulă obținem o serie "binară", pentru S= 1 - seria Fibonacci, pentru S= 2, 3, 4. noi serii de numere, care se numesc S-Numere Fibonacci.

ÎN vedere generala aur S-proporția este rădăcina pozitivă a ecuației de aur S-secțiuni x S + 1 - x S - 1 = 0.

Este ușor să arăți asta pentru S= 0, segmentul este împărțit în jumătate și când S= 1 - raportul clasic auriu familiar.

Relațiile vecinilor S-Numele Fibonacci cu precizie matematică absolută coincid în limită cu aurul S-proporții! Matematicienii în astfel de cazuri spun că aurul S-secțiunile sunt invarianți numerici S-Numere Fibonacci.

Fapte care susțin existența aurului S-secțiuni în natură, citează omul de știință din Belarus E.M. Patruzeci în cartea „Armonia structurală a sistemelor” (Minsk, „Știință și tehnologie”, 1984). Se pare, de exemplu, că aliajele binare bine studiate au proprietăți funcționale deosebite, pronunțate (stabil din punct de vedere termic, dur, rezistent la uzură, rezistent la oxidare etc.) numai dacă greutățile specifice ale componentelor inițiale sunt legate între ele. de unul din aur S-proporții. Acest lucru i-a permis autorului să prezinte o ipoteză că aurul S-secțiunile sunt invarianți numerici ai sistemelor de auto-organizare. Confirmată experimental, această ipoteză poate avea o importanță fundamentală pentru dezvoltarea sinergeticii, un nou domeniu al științei care studiază procesele din sistemele de auto-organizare.

Cu coduri aurii S-proporții, puteți exprima orice număr real ca suma gradelor de aur S-proporții cu coeficienți întregi.

Diferența fundamentală între această metodă de codare a numerelor este că bazele noilor coduri, care sunt aurii S-proporții, când S> 0 se dovedesc a fi numere iraționale. Astfel, noile sisteme de numere cu baze iraționale, așa cum ar fi, au pus „pe dos” ierarhia stabilită istoric a relațiilor dintre numerele raționale și iraționale. Faptul este că la început numerele naturale au fost „descoperite”; atunci relațiile lor sunt numere raționale. Și abia mai târziu - după descoperirea unor segmente incomensurabile de către pitagoreici - au apărut numere iraționale. De exemplu, în zecimale, pentare, binare și alte sisteme de numere poziționale clasice, numerele naturale - 10, 5, 2 - au fost alese ca un fel de principiu fundamental, din care au fost construite toate celelalte numere naturale, precum și numerele raționale și iraționale conform anumitor reguli.

Un fel de alternativă la metodele de numerotare existente este un nou sistem irațional, ca principiu fundamental, al cărui început este un număr irațional (care, ne reamintim, este rădăcina ecuației secțiunii de aur); alte numere reale sunt deja exprimate prin intermediul acestuia.

Într-un astfel de sistem numeric, orice numar naturalîntotdeauna reprezentabil sub forma unui finit - și nu infinit, așa cum am crezut anterior! - sumele gradelor oricărui aur S-proporții. Acesta este unul dintre motivele pentru care aritmetica „irațională”, care posedă o simplitate și eleganță matematică uimitoare, pare să fi absorbit cele mai bune calități ale aritmeticii binare clasice și „Fibonacci”.

Principiile modelării în natură

Tot ceea ce a luat o formă, s-a format, a crescut, a căutat să ocupe un loc în spațiu și să se păstreze. Această încercare își găsește implementarea în principal în două versiuni - creșterea sau răspândirea de-a lungul suprafeței pământului și răsucirea în spirală.

Cochilia este răsucită în spirală. Dacă îl desfaceți, obțineți o lungime puțin inferioară lungimii șarpelui. O coajă mică de zece centimetri are o spirală lungă de 35 cm. Spiralele sunt foarte frecvente în natură. Raportul auriu ar fi incomplet, dacă nu spirala.

Orez. 12. Spirala Arhimede

Forma învelișului ondulat în spirală a atras atenția lui Arhimede. El a studiat-o și a dedus ecuația spirală. Spirala extrasă din această ecuație poartă numele său. Creșterea pasului ei este întotdeauna uniformă. În prezent, spirala Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.

Chiar și Goethe a subliniat tendința naturii spre spirală. Aranjamentul elicoidal și spiralat al frunzelor pe ramurile copacilor a fost observat cu mult timp în urmă. Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, în conuri de pin, ananas, cactuși etc. Lucrarea comună a botanicilor și matematicienilor a aruncat lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în aranjamentul frunzelor pe o ramură (filotaxie), semințele de floarea soarelui, conurile de pin, seria Fibonacci se manifestă și, prin urmare, se manifestă legea secțiunii aurii. Păianjenul țese pânza în spirală. Un uragan se învârte în spirală. O turmă înspăimântată de reni se împrăștie în spirală. Molecula de ADN este răsucită într-o spirală dublă. Goethe a numit spirala „curba vieții”.

Printre ierburile de la marginea drumului crește o plantă de neuitat - cicoare. Să aruncăm o privire mai atentă la el. S-a format un proces din tulpina principală. Prima foaie este situată chiar acolo.

Orez. 13. Cicoare

Tragerea face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar este mai scurtă decât prima, face din nou o ejectare în spațiu, dar cu mai puțină forță, eliberează o frunză de o dimensiune chiar mai mică și scoate din nou. Dacă prima emisie este luată ca 100 de unități, atunci a doua este de 62 de unități, a treia este de 38, a patra este de 24 etc. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă raportului auriu. În creștere, cucerirea spațiului, planta a păstrat anumite proporții. Impulsurile creșterii sale au scăzut treptat proporțional cu secțiunea aurie.

Orez. paisprezece.Șopârlă vivipară

La o șopârlă, la prima vedere, sunt surprinse proporții plăcute pentru ochii noștri - lungimea cozii sale este la fel de legată de lungimea restului corpului, de la 62 la 38.

Atât în plantă, cât și în lumea animală, tendința formativă a naturii trece în mod constant - simetrie în ceea ce privește direcția de creștere și mișcare. Aici, raportul auriu apare în proporțiile părților perpendiculare pe direcția de creștere.

Natura a realizat împărțirea în părți simetrice și proporții aurii. În părți, se manifestă repetarea structurii întregului.

Orez. cincisprezece. Ou de pasăre

Marele Goethe, poet, naturalist și artist (a pictat și a pictat în acuarele), a visat să creeze o învățătură unificată despre forma, formarea și transformarea corpurilor organice. El a introdus termenul morfologie în utilizarea științifică.

Modelele de simetrie „aurie” se manifestă în tranzițiile de energie ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genetice ale organismelor vii. Aceste tipare, așa cum s-a indicat mai sus, se află în structura organelor individuale ale unei persoane și ale corpului în ansamblu și se manifestă și în bioritmuri și în funcționarea creierului și a percepției vizuale.

Raportul auriu și simetria

Diviziunea aurului nu este o manifestare a asimetriei, ceva opus simetriei Conform conceptelor moderne, diviziunea aurului este o simetrie asimetrică. Știința simetriei include concepte precum staticși simetrie dinamică... Simetria statică caracterizează odihna, echilibrul și dinamica - mișcare, creștere. Deci, în natură, simetria statică este reprezentată de structura cristalelor, iar în artă caracterizează pacea, echilibrul și imobilitatea. Simetria dinamică exprimă activitate, caracterizează mișcarea, dezvoltarea, ritmul, este o dovadă a vieții. Simetria statică se caracterizează prin segmente egale, valori egale. Simetria dinamică se caracterizează printr-o creștere sau scădere a segmentelor și se exprimă în valorile secțiunii aurii a unei serii crescătoare sau descrescătoare.