Визначення та знаки синуса, косинуса, тангенсу кута. Як запам'ятати значення косинусів і синусів основних точок числового кола Тригонометричне коло позитивне і негативне

Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти ( овочевий салаті воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого "борщового" прямокутника є чисто математичними поняттямиі ніколи не використовуються у рецептах приготування борщу.

Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.

У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.

Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.

Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному життіми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженняхЗаконів природи розкладання суми на доданки може знадобитися.

Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.

І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.

Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.

Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься при різних значенняхкута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).

Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.

Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.

Поява математики на планеті.

Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р.

Переглянув цікаве відео про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile. Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності під час своїх міркувань.

Це перегукується з моїми міркуваннями про .

Давайте детальніше розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики говорять, що сума послідовності залежить від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?

Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на непарне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, який дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про нескінченну послідовність, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченній послідовності з парною кількістю елементів.

Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності не залежить від кількості елементів у послідовності, що суперечить об'єктивно встановленому факту. Подальші міркування сумі нескінченної послідовності є хибними, оскільки засновані на хибній рівності.

Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного вираження, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все, вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб підсунути вам помилковий результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє переконати інших в правильності отриманого результату, так само, як коли то переконали вас.

Питання із залу: А нескінченність (як кількість елементів у послідовності S), вона парна чи непарна? Як можна змінити парність у того, що парності немає?

Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але всі точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парна чи непарна кількість днів ви прожили, але... Додавши всього один день на початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього такі самі, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.

А тепер по суті))) Припустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності має втратити парність. Ми цього не спостерігаємо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне чи непарне кількість елементів у нескінченної послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безвісти зникнути в нескінченності, як у рукаві шулера. Для цього випадку дуже хороша аналогія.

Ви ніколи не питали у зозулі, що сидить у годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається у зворотному напрямку тому, що ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, що обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки ми можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо лише засвідчити факт, що є обертання. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.

Тепер додамо друге обертове колесо, площина обертання якого паралельна площині обертання першого колеса, що обертається. Ми, як і раніше, не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в один бік або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності Sі 1-Sя за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математиці, не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "одночасність". Це потрібно буде намалювати.

середа, 7 серпня 2019 р.

Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо як приклад взяти безліч натуральних чисел, Розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "... багата теоретична основаматематики Вавилона не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системита доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

Насамкінець, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єктимовою математики. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

Минулого уроку ми з вами успішно освоїли (або повторили – кому як) ключові поняття всієї тригонометрії. Це тригонометричне коло , кут на колі , синус та косинус цього кута , а також освоїли знаки тригонометричних функцій за чвертями . Освоїли докладно. На пальцях можна сказати.

Але цього поки що мало. Для успішного практичного застосуваннявсіх цих простих понять нам потрібна ще одна корисна навичка. А саме – правильна робота з кутами у тригонометрії. Без цього вміння у тригонометрії – ніяк. Навіть у найпримітивніших прикладах. Чому? Та тому, що кут – ключова фігура, що діє, у всій тригонометрії! Ні, не тригонометричні функції, не синус з косинусом, не тангенс з котангенсом, а саме сам кут. Немає кута – немає і тригонометричних функцій, так…

Як правильно працювати з кутами на колі? Для цього нам треба залізно засвоїти два пункти.

1) Яквідраховуються кути на колі?

2) У чомувони вважаються (вимірюються)?

Відповідь перше запитання – і є тема сьогоднішнього уроку. З першим питанням ми детально розберемося тут і зараз. Відповіді на друге питання тут не дам. Бо він досить розгорнутий. Як і саме друге питання дуже слизьке, так.) Вдаватися в подробиці поки не буду. Це тема наступного окремого уроку.

Почнемо?

Як відраховуються кути на колі? Позитивні та негативні кути.

У тих, хто прочитав назву параграфа, можливо, вже волосся стало дибки. Як так?! Негативні кути? Хіба таке взагалі можливе?

До негативних числамми з вами вже звикли. На числовій осі їх зображати вміємо: праворуч від нуля позитивні, ліворуч від нуля негативні. Та й на градусник за вікном поглядаємо періодично. Особливо взимку, на мороз.) І грошики на телефоні в "мінус" (тобто. борг) іноді йдуть. Це все знайоме.

А що ж із кутами? Виявляється, негативні кути в математиці теж бувають!Все залежить від того, як відраховувати цей самий кут ... ні, не на числовій прямій, а на числового кола! Тобто на колі. Коло - ось він, аналог числової прямої в тригонометрії!

Отже, як же відраховуються кути на колі?Нічого не вдієш, доведеться нам для початку це саме коло намалювати.

Я намалюю ось таку гарну картинку:

Вона дуже схожа на картинки минулого уроку. Є осі, є коло, є кут. Але є й нова інформація.

Також я додав циферки 0, 90, 180, 270 і 360 на осях. Ось це вже цікавіше.) Що це за циферки? Правильно! Це значення кутів, відраховані від нашої нерухомої сторони, які потрапляють на координатні осі. Згадуємо, що нерухома сторона кута у нас завжди міцно прив'язана до позитивної півосі ОХ. І будь-який кут у тригонометрії відраховується саме від цієї півосі. Це базове початок відліку кутів треба пам'ятати залізно. А осі - вони ж під прямим кутом перетинаються, правда? Ось і додаємо по 90 ° у кожній чверті.

І ще додана Червона стрілочка. Із плюсом. Червона – це спеціально, щоб у вічі впадала. І на згадку добре врізалася. Бо це треба запам'ятати надійно.) Що означає ця стрілочка?

Так от виявляється, якщо наш кут ми будемо крутити по стрілочці з плюсом(проти годинникової стрілки, по ходу нумерації чвертей), то кут буде вважатися позитивним!Як приклад на малюнку показаний кут +45 °. До речі, зверніть увагу, що осьові кути 0, 90, 180, 270 і 360 також відмотані саме в плюс! За червоною стрілочкою.

А тепер подивимося на іншу картинку:

Тут майже все те саме. Тільки кути на осях пронумеровані у зворотний бік.За годинниковою стрілкою. І мають знак "мінус".) Ще намальована синя стрілочка. Також із мінусом. Ця стрілочка - напрямок негативного відліку кутів на колі. Вона нам показує, що якщо ми відкладатимемо наш кут по ходу годинникової стрілки, то кут вважатиметься негативним.Наприклад я показав кут -45°.

До речі, прошу зауважити, що нумерація чвертей ніколи не змінюється! Неважливо, в плюс чи мінус ми мотаємо кути. Завжди суворо проти годинникової стрілки.)

Запам'ятовуємо:

1. Початок відліку кутів – від позитивної півосі ОХ. Щогодини – "мінус", проти годинника – "плюс".

2. Нумерація чвертей завжди проти годинникової стрілки незалежно від напрямку обчислення кутів.

До речі, підписувати кути на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, щоразу малюючи коло – зовсім не обов'язкове. Це для розуміння суті зроблено. Але ці циферки обов'язково повинні бути присутніми у вашій головіпри розв'язанні будь-якої задачі з тригонометрії. Чому? Та тому, що ці елементарні знання дають відповіді на багато інших питань у всій тригонометрії! Самий головне питання – в яку чверть потрапляє кут, що нас цікавить? Хочете вірте, хочете ні, але правильна відповідь на це питання вирішує левову частку решти всіх проблем з тригонометрією. Цим важливим заняттям (розподілом кутів по чвертях) ми займемося в цьому ж уроці, але пізніше.

Величини кутів, що лежать на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° і 360 °), треба запам'ятати! Запам'ятати міцно, до автоматизму. Причому як плюс, так і мінус.

А ось із цього моменту починаються перші сюрпризи. І разом з ними і каверзні питанняна мою адресу, так...) А що буде, якщо негативний кут на колі збігається з позитивним?Виходить, що одну й ту саму точкуна колі можна позначити як позитивним кутом, і негативним???

Абсолютно вірно! Так і є.) Наприклад, позитивний кут +270 ° займає на колі те саме положення що негативний кут -90°. Або, наприклад, позитивний кут +45 ° на колі займе те саме положення що негативний кут -315°.

Дивимося на черговий малюнок і все бачимо:

Так само позитивний кут +150 ° потрапить туди ж, куди і негативний кут -210 °, позитивний кут +230 ° - туди ж, куди і негативний кут -130 °. І так далі…

І що тепер робити? Як саме рахувати кути, якщо можна і так і сяк? Як правильно?

Відповідь: по-різному правильно!Жоден із двох напрямів відліку кутів математика не забороняє. А вибір конкретного напряму залежить лише від завдання. Якщо у завданні нічого не сказано прямим текстом про знак кута (типу "визначте найбільший негативнийкут"і т.п.), то працюємо з найбільш зручними нам кутами.

Звичайно, наприклад, у таких крутих темах, як тригонометричні рівняннята нерівності напрям обчислення кутів може колосально впливати на відповідь. І у відповідних темах ми це підводне каміння розглянемо.

Запам'ятовуємо:

Будь-яку точку на колі можна позначити як позитивним, і негативним кутом. Будь-яким! Яким хочемо.

А тепер задумаємося ось над чим. Ми з'ясували, що кут 45 ° точно збігається з кутом -315 °? Як же я дізнався про ці 315° ? Чи не здогадуєтеся? Так! Через повний оборот.) 360°. Ми маємо кут 45°. Скільки не вистачає до повного обігу? Забираємо 45° від 360° – ось і отримуємо 315° . Мотаємо в негативну сторону - і отримуємо кут -315 °. Все одно незрозуміло? Тоді дивимося на картинку ще раз.

І так треба чинити завжди при переведенні позитивних кутів у негативні (і навпаки) – малюємо коло, відзначаємо приблизнозаданий кут, вважаємо, скільки градусів не вистачає до повного обороту, і мотаємо різницю, що вийшла, в протилежний бік. І все.)

Чим ще цікаві кути, що займають на колі те саме положення, як ви думаєте? А тим, що у таких кутів абсолютно однакові синус, косинус, тангенс та котангенс! Завжди!

Наприклад:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120 ° = cos (-240 °)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333° = ctg(-27°)

А ось це вже дуже важливо! Навіщо? Та все за тим самим!) Для спрощення виразів. Бо спрощення виразів – ключова процедура успішного вирішення будь-якихзавдань із математики. І з тригонометрії в тому числі.

Отже, з загальним правиломвідліку кутів на колі розібралися. Ну а коли ми тут заїкнулися про повні оберти, про чверті, то час уже покрутити і помалювати ці самі кути. Помалюємо?)

Почнемо поки що з позитивнихкутів. Вони простіші в малюванні будуть.

Малюємо кути в межах одного обороту (між 0 і 360).

Намалюємо, наприклад, кут 60 °. Тут все просто, жодних проблем. Малюємо координатні осі, коло. Можна прямо від руки, без жодного циркуля та лінійки. Малюємо схематично: у нас не креслення з вами Жодних ГОСТів дотримуватися не треба, не покарають.)

Можна (для себе) відзначити значення кутів на осях та вказати стрілочку у напрямку проти годинника.Адже ми ж у плюс відкладати збираємося?) Можна цього й не робити, але в голові пам'ятати треба.

І тепер проводимо другу (рухливу) сторону кута. В якій чверті? У першій, зрозуміло! Бо 60 градусів – це між 0° і 90°. Ось і малюємо у першій чверті. Під кутом приблизно 60 градусів до нерухомого боку. Як відрахувати приблизно 60 градусів без транспорту? Легко! 60 ° - це дві третини від прямого кута! Ділимо подумки першу чортвертинку кола на три частини, забираємо собі дві третини. І малюємо... Скільки у нас там за фактом вийде (якщо прикласти транспортир і поміряти) – 55 градусів або 64 – не має значення! Важливо, що все одно десь близько 60 °.

Отримуємо картинку:

От і все. І інструментів не знадобилося. Розвиваємо окомір! Цей непоказний малюнок буває незамінним, коли треба подряпати коло і кут на швидку руку, не особливо замислюючись про красу. Але при цьому подряпати правильно, Без помилок, з усією необхідною інформацією. Наприклад, як допоміжний засіб при розв'язанні тригонометричних рівнянь та нерівностей.

Намалюємо тепер кут, наприклад, 265 °. Прикидаємо, де він може розташовуватися? Ну, зрозуміло, що не в першій чверті і навіть не в другій: вони на 90 і на 180 градусів закінчуються. Можна зрозуміти, що 265° - це 180° плюс ще 85°. Тобто до негативної півосі ОХ (там, де 180°) треба додати приблизно 85 °. Або ще простіше здогадатися, що 265° не дотягує до негативної півосі OY (там, де 270°) якихось нещасних 5°. Одним словом, у третій чверті буде цей кут. Дуже близько до негативної півосі OY, до 270 градусів, але все-таки третьої!

Малюємо:

Повторюся, абсолютна точність тут не потрібна. Нехай насправді цей кут вийшов, скажімо 263 градуси. Але на найголовніше питання (яка чверть?)ми відповіли безпомилково. Чому це питання найголовніше? Та тому, що будь-яка робота з кутом у тригонометрії (неважливо, ми малюватимемо цей кут чи не будемо) починається з відповіді саме на це питання! Завжди. Якщо це питання проігнорувати чи пробувати відповісти подумки, то помилки майже неминучі, так… Воно вам треба?

Запам'ятовуємо:

Будь-яка робота з кутом (у тому числі і малювання цього самого кута на колі) завжди починається з визначення чверті, до якої потрапляє цей кут.

Тепер, я сподіваюся, ви вже безпомилково зобразите кути, наприклад, 182 °, 88 °, 280 °. У правильнихчвертях. У третій, першій та четвертій, якщо що…)

Четверта чверть закінчується кутом 360 °. Це один повний обіг. Ясний перець, що цей кут займає на колі те саме положення, що і 0° (тобто початок відліку). Але кути на цьому не закінчуються, так…

Що робити з кутами, більшими за 360°?

"А такі хіба бувають?"- Запитайте ви. Буває, ще як! Буває, наприклад, кут 444 °. А буває, скажімо, кут 1000 °. Будь-які кути бувають.) Просто візуально такі екзотичні кути сприймаються трохи складніше, ніж звичні нам кути в межах одного обороту. Але малювати та прораховувати такі кути теж треба вміти, так.

Для правильного малювання таких кутів на колі необхідно все те саме – з'ясувати, в яку чверть потрапляє цікавий для нас кут. Тут вміння безпомилково визначати чверть значно важливіше, ніж для кутів від 0° до 360°! Сама процедура визначення чверті ускладнюється лише одним кроком. Яким скоро побачите.

Отже, наприклад, нам треба з'ясувати, в яку чверть попадає кут 444°. Починаємо крутити. Куди? У плюс, зрозуміло! Кут нам дали позитивний! +444 °. Крутимо, крутимо… Крутанули на один оборот – дійшли до 360°.

Скільки там залишилося до 444?Вважаємо хвостик, що залишився:

444 ° -360 ° = 84 °.

Отже, 444 ° - це один повний оборот (360 °) плюс ще 84 °. Очевидно, це перша чверть. Отже, кут 444 ° потрапляє у першу чверть.Півсправи зроблено.

Залишилося тепер зобразити цей кут. Як? Дуже просто! Робимо один повний оберт за червоною (плюсовою) стрілкою і додаємо ще 84 °.

Ось так:

Тут я вже не став захаращувати малюнок – підписувати чверті, малювати кути на осях. Це все добро вже давно в голові має бути.)

Зате я "равликом" або спіралькою показав, як саме складається кут 444 ° з кутів 360 ° і 84 °. Пунктирна червона лінія – це повний оборот. До якого додатково прикручуються 84 ° (суцільна лінія). До речі, зверніть увагу, що якщо цей найповніший оборот відкинути, то це ніяк не вплине на положення нашого кута!

А це важливо! Положення кута 444° повністю збігаєтьсяіз положенням кута 84°. Ніяких чудес немає, то вже виходить.)

А чи можна відкинути не один повний оборот, а два чи більше?

А чому ні? Якщо кут величезний, то не просто можна, а навіть потрібно! Кут не зміниться! Точніше, сам кут за величиною, звичайно ж, зміниться. А ось його становище на колі - ніяк немає!) На те вони й повніобороти, що скільки екземплярів не додай, скільки не зменшуй, все одно будеш в одну і ту ж точку потрапляти. Приємно, правда?

Запам'ятовуємо:

Якщо до кута додати (відібрати) будь-яке цілечисло повних оборотів, положення вихідного кута на колі не зміниться!

Наприклад:

В яку чверть попадає кут 1000?

Ніяких проблем! Вважаємо, скільки повних обертів сидить у тисячі градусів. Один оборот - це 360 °, ще один - вже 720 °, третій - 1080 ° ... Стоп! Перебір! Значить, у куті 1000 ° сидить дваповного обороту. Викидаємо їх із 1000° і вважаємо залишок:

1000 ° - 2 · 360 ° = 280 °

Значить, положення кута 1000 ° на колі теж саме, Що і біля кута 280 °. З яким працювати вже набагато приємніше.) І куди ж потрапляє цей кут? У четверту чверть він потрапляє: 270 ° (негативна піввісь OY) плюс ще десяточка.

Малюємо:

Тут я вже не малював пунктирною спіралькою два повні оберти: аж надто довга вона виходить. Просто намалював хвостик, що залишився. від нуля, відкинувши Усезайві обороти. Ніби їх і не було зовсім.)

І ще раз. По-хорошому, кути 444 і 84, а також 1000 і 280 - різні. Але для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу ці кути – однакові!

Як ви бачите, для того щоб працювати з кутами, великими 360 °, треба визначити, скільки повних обертів сидить у заданому великому куті. Це і є той додатковий крок, який обов'язково треба попередньо проробляти при роботі з такими кутами. Нічого складного, правда?

Відкидання повних оборотів, звичайно, заняття приємне.) Але на практиці при роботі з дуже кошмарними кутами трапляються і труднощі.

Наприклад:

У яку чверть потрапляє кут 31240?

І що ж, багато разів будемо додавати по 360 градусів? Можна, якщо не горить особливо. Але ж ми не тільки складати можемо.) Ще й ділити вміємо!

Ось і поділимо наш величезний кут на 360 градусів!

Цією дією ми якраз і дізнаємось, скільки повних обертів заховано у наших 31240 градусах. Можна куточком поділити, можна (шепну на вушко:)) на калькуляторі.

Отримаємо 31240:360 = 86,777777.

Те, що число вийшло дрібним – не страшно. Нас же лише ціліобороти цікавлять! Отже, до кінця ділити і не треба.

Отже, у нашому кудлатому вугіллі сидить аж 86 повних обертів. Жах…

У градусах це буде86 · 360 ° = 30960 °

Ось так. Саме стільки градусів можна безболісно викинути із заданого кута 31240°. Залишиться:

31240 ° - 30960 ° = 280 °

Всі! Положення кута 31240 ° повністю ідентифіковано! Там же де і 280°. Тобто. четверта чверть.) Здається, ми вже зображували цей кут раніше? Коли кут 1000 ° малювали?) Там ми теж на 280 градусів вийшли. Збіг.)

Отже, мораль цієї байки така:

Якщо нам заданий страшний кут, то:

1. Визначаємо, скільки повних обертів сидить у цьому вугіллі. Для цього ділимо вихідний кут на 360 і відкидаємо дрібну частину.

2. Вважаємо, скільки градусів в отриманій кількості обертів. Для цього множимо число оборотів на 360.

3. Віднімаємо ці обороти від вихідного кута та працюємо зі звичним кутом у межах від 0° до 360°.

Як працювати з негативними кутами?

Не питання! Так само, як і з позитивними, тільки з однією єдиною відмінністю. Яким? Так! Крутити кути треба в зворотний бік, у мінус! По ходу годинникової стрілки.)

Намалюємо, наприклад, кут -200 °. Спочатку все як завжди для позитивних кутів - осі, коло. Ще синю стрілочку з мінусом зобразимо та кути на осях по-іншому підпишемо. Їх, звичайно, також доведеться відраховувати у негативному напрямку. Це будуть ті самі кути, що крокують через 90°, але відраховані у зворотний бік, в мінус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картинка стане ось такою:

Працюючи з негативними кутами часто виникає відчуття легкого подиву. Як так?! Виходить, що та сама вісь – це одночасно, скажімо, і +90° і -270°? Неї, щось тут нечисто ...

Та все чисто та прозоро! Адже ми вже в курсі, що будь-яку точку на колі можна обізвати як позитивним кутом, так і негативним! Цілком будь-яку. У тому числі і на якійсь із координатних осей. У нашому випадку нам потрібно негативнеобчислення кутів. Ось і відштовхуємо в мінус усі кути.)

Тепер намалювати правильно кут -200 ° не складно. Це -180 ° і мінусще 20 °. Починаємо мотати від нуля в мінус: четверту чверть пролітаємо, третю теж повз, доходимо до -180 °. Куди мотати двадцятку, що залишилася? Та все туди! По годинах.) Разом кут -200 ° потрапляє в другучверть.

Тепер ви розумієте, наскільки важливо залізно пам'ятати кути на осях координат?

Кути на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) треба пам'ятати саме для того, щоб безпомилково визначати чверть, куди потрапляє кут!

А якщо кут великий, з декількома повними обертами? Нічого страшного! Яка різниця, куди ці найповніші оберти крутити – у плюс чи мінус? Точка на колі не змінить свого становища!

Наприклад:

У яку чверть попадає кут -2000?

Все теж саме! Для початку вважаємо, скільки повних обертів сидить у цьому злом вугіллі. Щоб не косити в знаках, залишимо мінус поки в спокої і просто поділимо 2000 на 360. Отримаємо 5 з хвостиком. Хвостик нас поки що не хвилює, його трохи пізніше порахуємо, коли малюватимемо кут. Вважаємо п'ятьповних обертів у градусах:

5 · 360 ° = 1800 °

Ось. Саме стільки зайвих градусів можна сміливо викинути з нашого кута без шкоди здоров'ю.

Вважаємо хвостик, що залишився:

2000 ° - 1800 ° = 200 °

А ось тепер можна і про мінус згадати.) Куди мотатимемо хвостик 200 °? У мінус, звичайно! А нам негативний кут заданий.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Ось і малюємо кут -200 °, тільки вже без зайвих обертів. Щойно його малювали, але, так і бути, накаляю ще разок. Від руки.

Ясний перець, як і заданий кут -2000°, як і -200°, потрапляє в другу чверть.

Отже, мотаємо собі на кру… пардон… на вус:

Якщо заданий дуже великий негативний кут, то перша частина роботи з ним (пошук числа повних оборотів та їх відкидання) та сама, що і при роботі з позитивним кутом. Знак "мінус" на даному етапі рішення не відіграє жодної ролі. Враховується знак лише наприкінці, під час роботи з кутом, що залишився після видалення повних оборотів.

Як бачите, малювати негативні кути на колі не складніше, ніж позитивні.

Все те саме, тільки в інший бік! По годинах!

А ось тепер – найцікавіше! Ми розглянули позитивні кути, негативні кути, великі кути, маленькі повний асортимент. Також ми з'ясували, що будь-яку точку на колі можна обізвати позитивним та негативним кутом, відкидали повні оберти… Немає жодних думок? Повинно відкластися...

Так! Яку точку на колі не візьми, їй відповідатиме безліч кутів! Великих і не дуже, позитивних та негативних – усіляких! І різниця між цими кутами становитиме ціле кількість повних оборотів. Завжди! Так вже тригонометричне коло влаштоване, так...) Саме тому зворотназавдання - знайти кут за відомим синусом/косинусом/тангенсом/котангенсом - вирішується неоднозначно. І набагато складніше. На відміну від прямого завдання - по заданому кутку знайти весь набір його тригонометричних функцій. І на більш серйозних темах тригонометрії ( арки, тригонометричні рівнянняі нерівності ) Ми з цією фішкою зіштовхуватимемося постійно. Звикаємо.)

1. У яку чверть попадає кут -345°?

2. У яку чверть попадає кут 666°?

3. У яку чверть попадає кут 5555°?

4. У яку чверть попадає кут -3700?

5. Який знак маєcos999 °?

6. Який знак маєctg999 °?

І це вийшло? Прекрасно! Є проблеми? Тоді вам.

Відповіді:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Цього разу відповіді видано по порядку з порушенням традицій. Бо чвертей лише чотири, а знаків так і зовсім два. Особливо не розбіжишся ...)

У наступному уроці ми з вами поговоримо про радіани, про загадкове число пі, навчимося легко і просто переводити радіани в градуси і назад. І з подивом виявимо, що навіть цих простих знань та навичок нам буде вже цілком достатньо для успішного вирішення багатьох нетривіальних завдань із тригонометрії!

Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.

Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.

У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.

Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.

Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.

Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.

І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.

Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.

Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).

Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.

Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.

Поява математики на планеті.

Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р.

Переглянув цікаве відео про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile. Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності під час своїх міркувань.

Це перегукується з моїми міркуваннями про .

Давайте детальніше розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики говорять, що сума послідовності залежить від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?

Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на непарне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, який дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про нескінченну послідовність, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченній послідовності з парною кількістю елементів.

Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності не залежить від кількості елементів у послідовності, що суперечить об'єктивно встановленому факту. Подальші міркування сумі нескінченної послідовності є хибними, оскільки засновані на хибній рівності.

Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного вираження, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все, вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб підсунути вам помилковий результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє переконати інших в правильності отриманого результату, так само, як коли то переконали вас.

Питання із залу: А нескінченність (як кількість елементів у послідовності S), вона парна чи непарна? Як можна змінити парність у того, що парності немає?

Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але всі точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парна чи непарна кількість днів ви прожили, але... Додавши всього один день на початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього такі самі, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.

А тепер по суті))) Припустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності має втратити парність. Ми цього не спостерігаємо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне чи непарне кількість елементів у нескінченної послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безвісти зникнути в нескінченності, як у рукаві шулера. Для цього випадку дуже хороша аналогія.

Ви ніколи не питали у зозулі, що сидить у годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається у зворотному напрямку тому, що ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, що обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки ми можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо лише засвідчити факт, що є обертання. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.

Тепер додамо друге обертове колесо, площина обертання якого паралельна площині обертання першого колеса, що обертається. Ми, як і раніше, не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в один бік або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності Sі 1-Sя за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математиці, не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "одночасність". Це потрібно буде намалювати.

середа, 7 серпня 2019 р.

Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

Насамкінець, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

Різноманітні. Деякі їх - у тому, у яких чвертях косинус позитивний і негативний, у яких чвертях синус позитивний і негативний. Все виявляється просто, якщо знаєш, як обчислити значення даних функцій у різних кутах і знайомий із принципом побудови функцій на графіку.

Які значення косинуса

Якщо розглядати, то ми маємо наступне співвідношення сторін, яке його визначає: косинусом кута ає відношення прилеглого катета ВС до гіпотенузи АВ (рис. 1): cos a= НД/АВ.

За допомогою цього трикутника можна знайти синус кута, тангенс і котангенс. Синусом буде співвідношення протилежного до кута катета АС до гіпотенузи АВ. Тангенс кута знаходиться, якщо синус шуканого кута розділити на косинус того самого кута; підставивши відповідні формули знаходження синуса та косинуса, отримаємо, що tg a= АС/ВС. Котангенс, як зворотна до тангенсу функція, буде так: ctg a= НД/АС.

Тобто при однакових значеннях кута виявилося, що у прямокутному трикутнику співвідношення сторін завжди однакове. Здавалося б, зрозуміли, звідки ці значення, але чому виходять негативні числа?

Для цього потрібно розглядати трикутник в системі декартової координат, де присутні як позитивні, так і негативні значення.

Наочно про чверть, де яка

Що таке декартові координати? Якщо говорити про двовимірному просторі, ми маємо дві спрямовані прямі, які перетинаються в точці О - це вісь абсцис (Ох) та вісь ординат (Оу). Від точки Про напрямі розташовуються позитивні числа, а зворотний бік - негативні. Від цього, зрештою, безпосередньо залежить, у яких чвертях косинус позитивний, а яких, відповідно, негативний.

Перша чверть

Якщо розмістити прямокутний трикутник у першій чверті (від 0 до 90 про), де вісь х і у мають позитивні значення (відрізки АТ і ВО лежать на осях там, де значення мають знак "+"), то що синус, що косинус теж матимуть позитивні значення, і їм надано значення зі знаком «плюс». Але що відбувається, якщо перемістити трикутник у другу чверть (від 90 до 180 о)?

Друга чверть

Бачимо, що по осі у катет АТ набув негативного значення. Косинус кута aтепер має у відсотковому співвідношенні цю бік з мінусом, тому й підсумкове його значення стає негативним. Виходить, що те, в якій чверті позитивний косинус, залежить від розміщення трикутника в системі декартових координат. І в цьому випадку косинус кута набуває негативного значення. А ось для синуса нічого не змінилося, адже для визначення його знака потрібна сторона ВВ, яка залишилася в даному випадкузі знаком плюс. Підіб'ємо підсумок за першими двома чвертями.

Щоб з'ясувати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний (і навіть синус та інші тригонометричні функції), необхідно дивитися те що, який знак присвоєний тому чи іншому катету. Для косинуса кута aважливий катет АТ, для синусу - ОВ.

Перша чверть поки що стала єдиною, що відповідає питанням: «У яких чвертях синус і косинус позитивний одночасно?». Подивимося далі, чи ще збіги за знаком цих двох функцій.

У другій чверті катет АТ став мати негативне значення, отже, і косинус став негативним. Для синусу збережено позитивне значення.

Третя чверть

Тепер обидва катета АТ та ВВ стали негативними. Згадаймо співвідношення для косинуса та синуса:

Cos a = АТ/АВ;

Sin a = ВО/АВ.

АВ завжди має позитивний знак у цій системі координат, тому що не спрямована в жодну з двох визначених осями сторін. А ось катети стали негативними, а значить і результат для обох функцій теж негативний, адже якщо робити операції множення або поділу з числами, серед яких одне і одне має знак «мінус», то результат теж буде з цим знаком.

Підсумок на цьому етапі:

1) У якій чверті косинус позитивний? У першій із трьох.

2) У якій чверті синус позитивний? У першій та другій з трьох.

Четверта чверть (від 270 о до 360 о)

Тут катет АТ знову набуває знак "плюс", а значить і косинус теж.

Для синуса справи все ще «негативні», адже катет ВВ залишився нижчим від початкової точки О.

Висновки

Для того щоб розуміти, в яких чвертях косинус позитивний, негативний і т.д., потрібно запам'ятати співвідношення для обчислення косинуса: катет, що прилягає до кута, поділений на гіпотенузу. Деякі вчителі пропонують запам'ятати так: к(осинус) = (к) кутку. Якщо запам'ятати цей «чит», то автоматично розумієш, що синус – це ставлення протилежного до кута катета до гіпотенузи.

Запам'ятати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний, досить складно. Тригонометричних функцій багато, і всі вони мають свої значення. Але все-таки, як наслідок: позитивні значення для синуса - 1, 2 чверті (від 0 до 180 про); для косинуса 1, 4 чверті (від 0 до 90 про і від 270 про до 360 про). У решті чвертей функції мають значення з мінусом.

Можливо, комусь буде легше запам'ятати, де якийсь знак, за зображенням функції.

Для синуса видно, що з нуля до 180 про гребінь перебуває над лінією значень sin(x), отже, і функція тут позитивна. Для косинуса так само: у якій чверті косинус позитивний (фото 7), а який негативний видно по переміщенню лінії над і під віссю cos(x). Як наслідок, ми можемо запам'ятати два способи визначення знака функцій синус, косинус:

1. За уявним колом з радіусом рівним одиниці (хоча, насправді, не важливо, який радіус у кола, але в підручниках найчастіше наводять саме такий приклад; це полегшує сприйняття, але в той же час, якщо не обмовитися, що це не має значення, діти можуть заплутатися).

2. По зображенню залежності функції (х) від самого аргументу х, як на останньому малюнку.

За допомогою першого способу можна ЗРОЗУМІТИ, від чого залежить знак, і ми докладно роз'яснили це вище. Малюнок 7, побудований за цими даними, якнайкраще візуалізує отриману функцію та її знакопринадлежність.

Взагалі, це питання заслуговує на особливу увагу, але тут все просто: біля кута градусів і синус і косинус позитивні (дивись малюнок), тоді беремо знак «плюс».

Тепер спробуй на основі вищевикладеного знайти синус та косинус кутів: і

Можна схитрувати: зокрема для кута градусів. Бо якщо один кут прямокутного трикутникадорівнює градусам, то другий – градусам. Тепер набувають чинності знайомі тобі формули:

Тоді так, то й. Так, то й. З градусами все ще простіше: так якщо один із кутів прямокутного трикутника дорівнює градусам, то й інший теж дорівнює градусам, а отже такий трикутник рівнобедрений.

Значить, його катети рівні. А отже, рівні його синус і косинус.

Тепер знайди сам за новим визначенням (через ікс та ігорок!) синус та косинус кутів у градусів та градусів. Тут уже ніяких трикутників намалювати не вийде! Аж надто вони будуть плоскі!

У тебе мало вийти:

Тангенс і котангенс ти можеш знайти самостійно за формулами:

Зверніть увагу, що на нуль ділити не можна!

Тепер усі отримані числа можна звести до таблиці:

Тут наведено значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кутів І чверті. Для зручності кути наведені як у градусах, так і в радіанах (але ти тепер знаєш зв'язок між ними!). Зверніть увагу на 2 прочерки в таблиці: а саме у котангенсу нуля та тангенса градусів. Це недарма!

Зокрема:

Тепер давай узагальним поняття синус і косинус на довільний кут. Я розгляну тут два випадки:

1. Кут лежить у межах від до градусів
2. Кут більше градусів

Взагалі кажучи, я скривив трохи душею, говорячи про «дуже всі» кути. Вони бувають також негативними! Але цей випадок ми з тобою розглянемо в іншій статті. Спочатку зупинимося на першому випадку.

Якщо кут лежить у 1 чверті – то тут все зрозуміло, ми цей випадок уже розглянули і навіть намалювали таблиці.

Тепер же нехай наш кут більший за градуси і не більше ніж. Це означає, що він розташований або в 2, або в 3 або в 4 чверті.

Як ми чинимо? Та так само!

Давай розглянемо замість ось такого випадку...

...ось такий:

Тобто розглянемо кут, що лежить у другій чверті. Що ми можемо сказати про нього?

У точки, яка є точкою перетину променя і кола, як і раніше, має 2 координати (нічого надприродного, правда?). Це координати в.

Причому перша координата негативна, а друга – позитивна! Це означає що у кутів другої чверті косинус негативний, а синус - позитивний!

Дивно, правда? До цього ми ще жодного разу не стикалися з негативним косинусом.

Та й у принципі цього було, коли ми розглядали тригонометричні функції як відносини сторін трикутника. До речі, подумай, у яких кутах косинус дорівнює? А які рівні синус?

Аналогічно можна розглянути кути у всіх інших чвертях. Я лише нагадаю, що кут відлічується проти годинникової стрілки! (так як це показано на останньому малюнку!).

Звичайно, можна і відраховувати в інший бік, але підхід до таких кутів буде вже дещо інший.

Виходячи з наведених вище міркувань, можна розставити знаки у синуса, косинуса, тангенса (як ділений синус на косинус) і котангенса (як ділений косинус на синус) для всіх чотирьох чвертей.

Але ще раз повторюся, немає сенсу запам'ятовувати цей малюнок. Все, що тобі потрібно знати:

Давай ми з тобою трохи потренуємось. Дуже прості завдання:

З'ясувати, який знак мають такі величини:

Перевіримо?

1. градусів - це кут, більший і менший, а отже, лежить у 3 чверті. Намалюй будь-який кут у 3 чверті і подивися, який у нього гравець. Він виявиться негативним. Тоді.
   градусів – кут 2 чверті. Синус там позитивний, а косинус негативний. Плюс ділити на мінус – буде мінус. Значить.
   градусів - кут, більший та менший. Значить, він лежить у 4 чверті. У будь-якого кута четвертої чверті «ікс» буде позитивним, отже
2. З радіанами працюємо аналогічно: це кут другої чверті (оскільки і. Синус другої чверті позитивний).
   .
   , Це кут четвертої чверті. Там косинус позитивний.
   - Кут знову четвертої чверті. Там косинус позитивний, а синус негативний. Тоді тангенс буде меншим за нуль:

Може, тобі складно визначати чверті за радіанами. У такому разі ти завжди можеш перейти до градусів. Відповідь, зрозуміло, буде точно такою ж.

Тепер я хотів би дуже коротко зупинитися ще на якомусь моменті. Давай знову згадаємо основне тригонометричне тотожність.

Як я вже казав, з нього ми можемо висловити синус через косинус чи навпаки:

На вибір знака впливатиме лише та чверть, в якій знаходиться наш кут альфа. На останні дві формули існує маса завдань у ЄДІ, наприклад, таких:

Завдання

Знайдіть, якщо і.

Насправді це завдання на чверть! Дивись, як вона вирішується:

Рішення

Так, то підставимо сюди значення, тоді. Тепер справа за малим: розібратися зі знаком. Що нам для цього потрібно? Знати, у якій чверті знаходиться наш кут. За умовою завдання: . Яка це чверть? Четверта. Який знак косинуса у четвертій чверті? Косинус у четвертій чверті позитивний. Тоді і нам залишається вибрати знак "плюс" перед. тоді.

Я не буду зараз докладно зупинятись на таких завданнях, їх докладний розбір ти можеш знайти у статті «Новини». Я лише хотів вказати тобі на важливість того, який знак набуває та чи інша тригонометрична функція залежно від чверті.

Кути більше градусів

Останнє, що я б хотів відзначити в цій статті - це як бути з кутами, більшими за градуси?

Що це таке і з чим це можна їсти, щоб не вдавитися? Візьму, я скажемо, кут у градусів (радіан) і піду від нього проти годинникової стрілки.

На малюнку я намалював спіраль, але ти розумієш, що насправді у нас немає жодної спіралі: у нас є тільки коло.

То куди ми потрапимо, якщо стартуємо від певного кута і пройдемо повністю все коло (градусів чи радіан)?

Куди ми прийдемо? А прийдемо ми в той самий кут!

Це ж, звичайно, справедливо і для будь-якого іншого кута:

Взявши довільний кут і пройшовши повністю все коло, ми повернемося в той самий кут.

Що нам це дасть? А ось що: якщо, то

Звідки остаточно отримаємо:

Для будь-якого цілого. Це означає що синус та косинус є періодичними функціями з періодом.

Таким чином, немає жодної проблеми в тому, щоб знайти знак тепер уже довільного кута: нам достатньо відкинути всі «цілі кола», які вміщаються в нашому вугіллі і з'ясувати, в якій чверті лежить кут, що залишився.

Наприклад, знайти знак:

Перевіряємо:

1. У градусів уміщається рази по градусів (градусів):
   залишилося градусів. Це кут 4 чверті. Там синус негативний, отже
2. . градусів. Це кут 3 чверті. Там косинус негативний. Тоді
3. . . Бо, то – кут першої чверті. Там косинус позитивний. Тоді cos
4. . . Оскільки наш кут лежить у другій чверті, де синус позитивний.

Аналогічним чином ми можемо надходити для тангенсу та котангенсу. Однак насправді з ними ще простіше: вони також є періодичними функціями, тільки ось період у них у 2 рази менший:

Отже, ти зрозумів що таке тригонометричне коло і для чого воно потрібне.

Але в нас залишилося дуже багато питань:

1. А що таке негативні кути?
2. Як обчислювати значення тригонометричних функцій у цих кутах
3. Як за відомими значеннями тригонометричних функцій 1 чверті шукати значення функцій в інших чвертях (невже треба зубрити таблицю?!)
4. Як за допомогою кола спрощувати розв'язки тригонометричних рівнянь?

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Ну що ж, у цій статті ми з тобою продовжимо вивчення тригонометричного кола та обговоримо наступні моменти:

1. Що таке негативні кути?
2. Як обчислювати значення тригонометричних функцій у цих кутах?
3. Як за відомими значеннями тригонометричних функцій чверті 1 шукати значення функцій в інших чвертях?
4. Що таке вісь тангенсів та вісь котангенсів?

Жодних додаткових знань, окрім базових навичок роботи з одиничним колом (попередня стаття) нам не знадобиться. Ну що ж, приступимо до першого питання: що таке негативні кути?

Негативні кути

Негативні кути в тригонометріївідкладаються на тригонометричному колі вниз від початку, у напрямку руху годинникової стрілки:

Давай пригадаємо, як ми раніше відкладали кути на тригонометричному колі: Ми йшли від позитивного напрямку осі проти годинникової стрілки:

Тоді на малюнку побудований кут, рівний. Аналогічно ми будували всі кути.

Однак нічого нам не забороняє йти від позитивного спрямування осі за годинниковою стрілкою.

Ми теж будемо отримувати різні кути, але вони будуть вже негативними:

На наступній картинці зображено два кути, рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком:

Загалом правило можна сформулювати так:

• Ідемо проти годинникової стрілки – отримуємо позитивні кути
• Ідемо за годинниковою стрілкою - отримуємо негативні кути

Схематично правило зображено на цьому малюнку:

Ти міг би поставити мені цілком резонне запитання: ну кути нам потрібні для того, щоб вимірювати у них значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

То чи є різниця, коли в нас кут позитивний, а коли негативний? Я відповім тобі: як правило, є.

Однак ти завжди можеш звести обчислення тригонометричної функції від негативного кута до обчислення функції у вугілліпозитивному.

Подивися на таку картинку:

Я побудував два кути, вони рівні по абсолютного значенняале мають протилежний знак. Відзначимо для кожного з кутів синус і косинус на осях.

Що ми з тобою бачимо? А ось що:

• Синуси біля кутів і протилежні за знаком! Тоді якщо
• Косинуси біля кутів і збігаються! Тоді якщо
• Тому що:
• Тому що:

Таким чином, ми завжди можемо позбутися негативного знака всередині будь-якої тригонометричної функції: або просто знищивши його, як у косинуса, або поставивши його перед функцією, як синус, тангенс і котангенс.

До речі, згадай, як називається функція, у якої для будь-якого допустимого виконується: ?

Така функція називається непарною.

А якщо для будь-якого допустимого виконується: ? То в такому разі функція називається парною.

Таким чином, ми з тобою щойно показали, що:

Синус, тангенс та котангенс – непарні функції, а косинус – парна.

Таким чином, як ти розумієш, немає жодної різниці, чи ми шукаємо синус від позитивного кута або негативного: впоратися з мінусом дуже просто. Отже, нам не потрібні таблиці окремо для негативних кутів.

З іншого боку, погодься, було б дуже зручно знаючи лише тригонометричні функції кутів першої чверті, вміти обчислювати аналогічні функції для інших чвертей. Чи можна це зробити? Звичайно можна! У тебе є принаймні два шляхи: перший - будувати трикутник і застосовувати теорему Піфагора (так ми з тобою і відшукали значення тригонометричних функцій для основних кутів першої чверті), а другий - запам'ятавши значення функцій для кутів у першій чверті і якесь нескладне правило, вміти обчислювати тригонометричні функції для всіх інших чвертей.Другий спосіб позбавить тебе довгої метушні з трикутниками і з Піфагором, тому мені він бачиться перспективнішим:

Отже, даний спосіб(або правило) називається – формули приведення.

Формули наведення

Грубо кажучи, ці формули допоможуть тобі не запам'ятовувати таку таблицю (вона між іншим містить 98 чисел!) :

якщо ти пам'ятаєш ось цю (всього на 20 чисел):

Тобто ти зможеш не забивати собі голову непотрібними 78 числами! Нехай, наприклад, нам треба вирахувати. Зрозуміло, що у маленькій таблиці такого немає. Що ж нам робити? А ось що:

По-перше, нам знадобляться такі знання:

1. Синус та косинус мають період (градусів), тобто

   Тангенс (котангенс) мають період (градусів)

   Будь-яке ціле число

2. Синус і тангенс – функції непарні, а косинус – парна:

Перше твердження ми вже довели з тобою, а справедливість другого встановили нещодавно.

Безпосередньо правило приведення виглядає так:

1. Якщо ми обчислюємо значення тригонометричної функції від негативного кута – робимо його позитивним за допомогою групи формул (2). Наприклад:
2. Відкидаємо для синуса та косинуса його періоди: (по градусів), а для тангенсу – (градусів). Наприклад:
3. Якщо «куточок», що залишився, менше градусів, то завдання вирішене: шукаємо його в «малій таблиці».
4. Інакше шукаємо, у якій чверті лежить наш кут: це буде 2, 3 чи 4 чверть. Дивимося, який знак має потрібна функція в чверті. Запам'ятали цей знак!
5. Представляємо кут в одній з таких форм:

   (якщо у другій чверті)
   (якщо у другій чверті)
   (якщо у третій чверті)
   (якщо у третій чверті)
   
   (якщо у четвертій чверті)

   так, щоб кут, що залишився, був більше нуля і менше градусів. Наприклад:

   В принципі, не важливо, в якій із двох альтернативних форм для кожної чверті ти уявиш кут. на кінцевому результатіце не позначиться.

6. Тепер дивимося, що в нас вийшло: якщо ти вибрав запис через або градусів плюс мінус що-небудь, то знак функції змінюватися не буде: ти просто прибираєш або й записуєш синус, косинус або тангенс кута, що залишився. Якщо ж ти вибрав запис через градусів або градусів, то синус міняємо на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс - на тангенс.
7. Ставимо перед виразом знак із пункту 4.

Давай продемонструємо все вищесказане на прикладах:

1. Обчислити
2. Обчислити
3. Знай-ді-те зна-че-ня ви-ра-же-ня:

Почнемо по порядку:

1. Діємо згідно з нашим алгоритмом. Виділяємо ціле число кіл для:

   Загалом, робимо висновок, що в кут міститься повністю 5 разів, а скільки залишилося? Залишилось. Тоді

   Ну от зайве ми відкинули. Тепер знаємося зі знаком. лежить у 4 чверті. Синус четвертої чверті має знак мінус, його я і не повинен забути поставити у відповіді. Далі, подаємо згідно з однією з двох формул пункту 5 правил наведення. Я виберу:

   Тепер дивимося, що вийшло: у нас випадок із градусами, тоді відкидаємо та синус міняємо на косинус. І ставимо перед ним знак мінус!

   градусів – кут у першій чверті. Ми знаємо (ти мені обіцяв вивчити малу таблицю!!) його значення:

   Тоді отримаємо остаточну відповідь:

   Відповідь:

2. все те саме, але замість градусів - радіани. Нічого страшного. Головне пам'ятати, що

   Але можна і не замінювати радіани на градуси. Це питання твого смаку. Я нічого не змінюватиму. Почну знову-таки з відкидання цілих кіл:

   Відкидаємо – це два цілих кола. Залишилось обчислити. Цей кут знаходиться у третій чверті. Косинус третьої чверті негативний. Не забудемо поставити знак мінус у відповіді. можна уявити як. Знову згадуємо правило: у нас випадок цілого числа (або), тоді функція не змінюється:

   Тоді.
   Відповідь: .

3. . Потрібно зробити все те саме, але вже з двома функціями. Я буду трохи коротший: і градусів - кути другої чверті. Косинус другої чверті має знак «мінус», а синус – «плюс». можна уявити як: , а як, тоді

   Обидва випадки – «половинки від цілого». Тоді синус змінюється на косинус, а косинус – на синус. Причому перед косінусом стоїть знак «мінус»:

Відповідь: .

Тепер потренуйся самостійно на таких прикладах:

А ось і рішення:

1. 
   Спочатку позбавимося мінуса, винісши його перед синусом (оскільки синус - функція непарна!!!). Потім розглянемо кути:

   Відкидаємо цілу кількість кіл - тобто три кола ().
   Залишається обчислити: .
   Так само чинимо і з другим кутом:

   Видаляємо ціле число кіл - 3 кола () тоді:

   Тепер думаємо: в якій чверті лежить кут, що залишився? Він «не дотягує» до всього. Тоді яка то чверть? Четверта. Який знак косинуса четвертої чверті? Позитивний. Тепер уявимо. Оскільки віднімаємо ми з цілої кількості, то знак косинуса не міняємо:

   Підставляємо всі отримані дані у формулу:

   Відповідь: .

2. 
   Стандартно: прибираємо мінус із косинуса, користуючись тим, що.
   Залишилося порахувати косинус градусів. Заберемо цілі кола: . Тоді

   Тоді.
   Відповідь: .

3. Діємо, як у попередньому прикладі.

   Оскільки ти пам'ятаєш, що період у тангенсу – (або) на відміну від косинуса чи синуса, у яких він у 2 рази більший, то видалимо цілу кількість.

   градусів – кут у другій чверті. Тангенс другої чверті негативний, тоді не забудемо наприкінці про «мінус»! можна записати як. Тангенс змінюється котангенс. Остаточно отримаємо:

   Тоді.
   Відповідь: .

Ну що ж, лишилося зовсім небагато!

Вісь тангенсів та вісь котангенсів

Останнє, на чому мені хотілося б тут зупинитися - це двох додаткових осях. Як ми вже обговорювали, ми маємо дві осі:

1. Вісь - вісь косинусів
2. Вісь - вісь синусів

Насправді координатні осі у нас закінчилися, чи не так? Але як же бути з тангенсами і котангенсами?

Невже для них немає жодної графічної інтерпретації?

Насправді вона є, її ти можеш побачити на ось цій картинці:

Зокрема, за цими картинками можна сказати ось що:

1. Тангенс та котангенс мають однакові знаки по чвертях
2. Вони позитивні в 1 та 3 чверті
3. Вони негативні у 2 та 4 чверті
4. Тангенс не визначений у кутах
5. Котангенс не визначений у кутах

Навіщо ще потрібні ці картинки? Дізнаєшся на просунутому рівні, де я розповім, як за допомогою тригонометричного кола можна спрощувати розв'язання тригонометричних рівнянь!

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

У цій статті я опишу, як одиничне коло (тригонометричне коло)може стати в нагоді при вирішенні тригонометричних рівнянь.

Я можу виділити два випадки, коли вона може виявитися корисною:

1. У відповіді у нас не виходить «гарний» кут, але все ж таки треба проводити відбір коренів
2. У відповіді виходить занадто багато серій коренів

Жодних специфічних знань тобі не потрібно, крім знання теми:

Тему «тригонометричні рівняння» я намагався писати, не вдаючись до кола. Багато хто б мене за такий підхід не похвалив.

Але мені миліше формули, що тут поробиш. Однак у деяких випадках формул виявляється мало. Написати цю статтю мене мотивував наступним прикладом:

Розв'яжіть рівняння:

Ну що ж. Вирішити саме рівняння нескладно.

Зворотна заміна:

Звідси наше вихідне рівняння рівносильне аж чотирьом найпростішим рівнянням! Невже нам потрібно буде записувати 4 серії коренів:

У принципі, на цьому можна було б зупинитися. Але тільки не читачам цієї статті, яка претендує на якусь «ускладненість»!

Спочатку розглянемо першу серію коріння. Отже, береться одиничне коло, тепер давай нанесемо це коріння на коло (окремо для і для):

Зверни увагу: який кут вийшов між кутами та? Це кут. Тепер зробимо те саме для серії: .

Між корінням рівняння знову вийшов кут. А тепер сумісний ці дві картинки:

Що ми бачимо? А то всі кути між нашим корінням рівні. А що це означає?

Якщо ми стартуємо від кута і братимемо кути, рівні (для будь-якого цілого), то ми завжди потрапимо в одну з чотирьох точок на верхньому колі! Таким чином, 2 серії коренів:

Можна об'єднати в одну:

На жаль, для серій коріння:

Ці міркування вже не будуть справедливі. Зроби креслення та зрозумій, чому це так. Однак їх можна об'єднати наступним чином:

Тоді вихідне рівняння має коріння:

Що є досить короткою та лаконічною відповіддю. А про що говорить стислість і лаконічність? Про рівень твоєї математичної грамоти.

Це був перший приклад, у якому використання тригонометричного кола дало корисні плоди.

Другий приклад - рівняння, які мають «негарне коріння».

Наприклад:

1. Розв'яжіть рівняння.
2. Знайдіть його коріння, що належить проміжку.

Перша частина не являє собою нічого складного.

Оскільки ти вже знайомий із темою, то я дозволю собі бути коротким у моїх викладках.

тоді чи

Так ми знайшли коріння нашого рівняння. Нічого складного.

Складніше вирішити другу частину завдання, не знаючи, чому точно дорівнює арккосинус від мінус однієї чверті (це не табличне значення).

Однак ми можемо зобразити знайдені серії коренів на одиничному колі:

Що ми бачимо? По-перше, малюнок дав нам зрозуміти, в яких межах лежить арккосинус:

Ця візуальна інтерпретація допоможе нам знайти коріння, що належить відрізку: .

По-перше, до нього потрапляє саме число, потім (див. рис).

також належить відрізку.

Таким чином, одиничне коло допомагає визначити, в які межі потрапляють «негарні» кути.

У тебе мало залишитися принаймні ще одне питання: а як нам бути з тангенсами та котангенсами?

Насправді, для них теж є свої осі, щоправда, вони мають трохи специфічний вигляд:

В іншому ж спосіб поводження з ними буде таким самим, як із синусом і косинусом.

приклад

Дано рівняння.

• Розв'яжіть дане рівняння.
• Вкажіть коріння цього рівняння, яке належить проміжку.

Рішення:

Малюємо одиничне коло і відзначаємо на ньому наші рішення:

З малюнка можна зрозуміти, що:

Або навіть більше: так як, то

Тоді знайдемо коріння, що належить відрізку.

, (так як)

Надаю тобі самостійно переконатися, що іншого коріння, що належить проміжку, наше рівняння не має.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Головний інструмент тригонометрії – це тригонометричне коло,вона дозволяє вимірювати кути, знаходити їх синуси, косинуси та інше.

Є два способи вимірювати кути.

1. Через градуси
2. Через радіани

І навпаки: від радіан до градусів:

Щоб знайти синус та косинус кута потрібно:

1. Провести одиничне коло з центром, що збігається з вершиною кута.
2. Знайти точку перетину цього кута з колом.
3. Її «іксова» координата – це косинус шуканого кута.
4. Її «ігрекова» координата – це синус шуканого кута.

Формули наведення

Це формули, що дозволяють спростити складні висловлювання тригонометричної функції.

Ці формули допоможуть тобі не запам'ятовувати таку таблицю:

Підбиття підсумків

Ти навчився робити універсальну шпору з тригонометрії.

Ти навчився вирішувати завдання набагато легше і швидше і, найголовніше, без помилок.

Ти зрозумів, що тобі не треба зубрити жодні таблиці і взагалі мало що треба зубрити!

Тепер я хочу тебе почути!

Чи вдалося тобі розібратися із цією складною темою?

Що тобі сподобалось? Що не сподобалось?

Можливо, ти знайшов помилку?

Пиши у коментарях!

І удачі на іспиті!