5
8
9
10
11
13

15
18
22
2.4 Особливості формування математичних понять в 5-6 класах 28

Вступ

Глава 1
Основи методики вивчення математичних понять

1.1 Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупності істотних і несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають з потреби науки і не мають аналогів в реальному світі; вони володіють великою ступенем абстракції. В силу цього бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (або з потреби практики, або з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом і змістом. зміст - безліч істотних ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, до яких може бути застосовано дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом і змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і не включає суперечливих ознак, то обсяг - це не порожня множина, що важливо показати учням при введенні поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Значить, зміна одного тягне зміну іншого: якщо вміст збільшується, то обсяг зменшується.

Зміст поняття ототожнюється з його визначенням, а обсяг розкривається через класифікацію. Класифікація - поділ безлічі на підмножини, які задовольняють наступним вимогам:

o має проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути не пересічними;

o об'єднання всіх класів повинно давати все безліч;

o класифікація повинна бути безперервною (класами повинні бути найближчі видові поняття по відношенню до поняття, яке підлягає класифікації).

Виділяють наступні види класифікації:

1. За видозміненим ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть володіти декількома ознаками, тому можна класифікувати по-різному.

Приклад. Поняття «трикутник».

2. Дихотомический. Розподіл обсягу поняття на два видових поняття, одне з яких володіє даними ознакою, а інше немає.

приклад .

Виділимо мети навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми складаємо більш чітке уявлення про родове поняття.

1.2 Визначення математичних понять, первинні поняття, що пояснюють опис

визначити об'єкт - вибрати з його істотних властивостей такі і стільки, щоб кожне з них було необхідним, а все разом достатніми для відмінності цього об'єкта від інших. Результат цієї дії фіксується у визначенні.

ухвалою вважається таке формулювання, яка зводить нове поняття до вже відомих понять цієї ж області. Таке зведення не може тривати нескінченно, тому наука має первинні поняття , Які визначаються не явно, а побічно (через аксіоми). Список первинних понять неоднозначний, в порівнянні з наукою, в шкільному курсі первинних понять набагато більше. Основний прийом для роз'яснення, введення первинних понять - складання родоводів.

У шкільному курсі не завжди доцільно давати поняттям суворе визначення. Іноді достатньо сформувати правильне уявлення. Це досягається за допомогою пояс няющих описів - доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога відомості нового поняття до раніше вивченим. Засвоєння має бути доведено до такого рівня, щоб в подальшому, не кажучи опису, учень міг дізнатися об'єкт, що відноситься до даного поняття.

1.3 Способи визначення понять

за логічну структуру визначення діляться на кон'юнктівние (істотні ознаки з'єднуються союзом "і") і диз'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються союзом "або").

Виділення істотних ознак, зафіксованих у визначенні, і зафіксованих зв'язків між ними називається логіко-математичним аналізом визначення .

Існує підрозділ визначень на дескриптивні і конструктивні.

дескриптивні - описові або непрямі визначення, що мають, як правило, вид: «об'єкт називається ..., якщо він володіє ...». З таких визначень не слід факт існування даного об'єкта, тому всі подібні поняття вимагають докази існування. Серед них виділяють такі способи визначень понять:

· Через найближчий рід і видову відмінність. (Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого рівні. Родовим виступає поняття паралелограма, з якого визначається поняття виділяється за допомогою одного видового відмінності).

· Визначення-угоди - визначення, в яких властивості понять виражаються за допомогою рівності або нерівностей.

· Аксіоматичні визначення.У самій науці математиці використовуються часто, а в шкільному курсі рідко і для інтуїтивно ясних понять. (Площа фігури - величина, чисельне значення якої задовольняє умовам: S (F) 0; F 1 \u003d F 2 S (F 1) \u003d S (F 2); F \u003d F 1 F 2, F 1 F 2 \u003d S (F ) \u003d S (F 1) + S (F 2); S (E) \u003d 1.)

· Визначення через абстракцію.Вдаються до такого визначення поняття, коли інше важко або неможливо здійснити (наприклад, натуральне число).

· Визначення-заперечення- визначення, в якому фіксується не наявність властивості, а його відсутність (наприклад, паралельні прямі).

конструктивні (Або генетичні) - це визначення, в яких вказується спосіб отримання нового об'єкта (наприклад, сферою називається поверхня, отримана обертанням півкола навколо свого діаметра). Серед таких визначень іноді виділяють рекурсивні- визначення, що вказують деякий базисний елемент будь-якого класу і правило, за яким можна отримати нові об'єкти того ж класу (наприклад, визначення прогресії).

1.4 Методичні вимоги до визначення поняття

· Вимога науковості.

· Вимога доступності.

· Вимога сумірності (обсяг визначається поняття повинен бути дорівнює обсягу визначає поняття). Порушення цієї вимоги веде або до дуже широкого, або до дуже вузького визначення.

· Визначення не повинно містити порочного кола.

· Визначення повинні бути ясними, точними, не містити метафоричних виразів.

· Вимога мінімальності.

1.5 Введення понять в шкільному курсі математики

При формуванні понять необхідно організовувати діяльність учнів по засвоєнню двох основних логічних прийомів: підведення під поняття і виведення наслідків з факту належності об'єкта поняттю.

Дія підведення під поняття має наступну структуру:

1) Виділення всіх властивостей, зафіксованих у визначенні.

2) Встановлення логічних зв'язків між ними.

3) Перевірка наявності у об'єкта виділених властивостей і їх зв'язків.

4) Отримання висновку про належність об'єкта обсягом поняття.

виведення наслідків - це виділення істотних ознак об'єкта, що належить даному поняттю.

У методиці виділяють три шляхи введення понять :

1) Конкретно-індуктивний:

o Розгляд різних об'єктів як належать обсягом поняття, так і не належать.

o Виявлення істотних ознак поняття на основі порівняння об'єктів.

o Введення терміну, формулювання визначення.

2) Абстрактно-дедуктивний:

o Введення визначення вчителем.

o Розгляд особливих і приватних випадків.

o Формування вміння підводити об'єкт під поняття і виводити первинні слідства.

При введенні поняття першим шляхом учні краще розуміють мотиви введення, вчаться будувати визначення і розуміти важливість кожного слова в ньому. При введенні поняття другим шляхом економиться велика кількість часу, що теж важливо.

3) Комбінований . Використовується для більш складних понять математичного аналізу. На основі невеликого числа конкретних прикладів дається визначення поняття. Потім шляхом вирішення завдань, в яких варіюються несуттєві ознаки, і шляхом зіставлення даного поняття з конкретними прикладами триває формування поняття.

1.6 Основні етапи вивчення поняття в школі

У літературі виділяють три основних етапи вивчення понять в школі:

1. При введенні поняття використовується один з трьох вищевикладених способів. Під час даного етапу потрібно врахувати наступне:

· Перш за все, необхідно забезпечити мотивацію введення даного поняття.

· При побудові системи завдань на підведення під поняття забезпечити найбільш повний обсяг поняття.

· Важливо показати, що обсяг поняття - не порожнє безліч.

· Розкрити зміст поняття, працювати над істотними ознаками, виділяючи несуттєві.

· Крім знання визначення, бажано, щоб учні мали зорове уявлення про поняття.

· Засвоєння термінології і символіки.

Підсумком даного етапу є формулювання визначення, засвоєння якого - зміст наступного етапу. Засвоїти визначення поняття означає опанувати діями розпізнавання об'єктів, що належать поняттю, виведення наслідків з приналежності об'єкта поняттю, конструювання об'єктів, що відносяться до обсягу поняття.

2. На етапі засвоєння визначення триває робота над запам'ятовуванням визначення. Досягатися це може за допомогою наступних прийомів:

· Виписування визначень в зошит.

· Проказування, підкреслення або якась нумерація істотних властивостей.

· Використання контрприкладів для виконання правил сумірності.

· Підбір відсутніх слів у визначенні, відшукання зайвих слів.

· Навчання наводити приклади і контрприклади.

· Навчання застосування визначення в найпростіших, але досить характерних ситуаціях, так як багаторазове повторення визначення поза вирішення завдань неефективно.

· Вказати на можливість різних визначень, довести їх еквівалентність, але для запам'ятовування вибрати лише одне.

· Вчити конструювати визначення, використовувати для цього складання родоводів, роз'яснюючи логічну структуру; знайомити з правилами побудови визначення.

· Подібні пари понять давати в порівнянні й зіставленні.

Таким чином, кожне істотне властивість поняття, яке використовується у визначенні, на даному етапі робиться спеціальним об'єктом вивчення.

3.Следить етап - закріплення . Поняття можна вважати сформованим, якщо учні відразу впізнають його в завданні без всякого перебирання ознак, тобто процес підведення під поняття згорнутий. Досягти цього можна наступними шляхами:

· Застосування визначення в більш складних ситуаціях.

· Включення нового поняття в логічні зв'язки, відносини з іншими поняттями (наприклад, зіставлення родоводів, класифікацій).

· Бажано показати, що визначення дається не заради його самого, а для того, щоб воно «працювало» при вирішенні завдань і побудові нової теорії.

глава 2
Психолого-педагогічні особливості навчання математики в 5-6 класах

2.1 Особливості пізнавальної діяльності

Сприйняття. Школяр 5-6 класів володіє достатнім рівнем розвитку сприйняття. У нього високий рівень гостроти зору, слуху, орієнтування на форму і колір предмета.

Процес навчання висуває нові вимоги до сприйняття школяра. У процесі сприйняття навчальної інформації необхідні довільність і осмисленість діяльності учнів. Спочатку дитини приваблює сам предмет і в першу чергу його зовнішні яскраві ознаки. Але діти вже в змозі зосередитися і ретельно розглянути всі характеристики предмета, виділити в ньому головне, суттєве. Ця особливість проявляється в процесі навчальної діяльності. Вони можуть аналізувати групи фігур, впорядковувати предмети за різними ознаками, проводити класифікацію фігур по одному або двом властивостям цих фігур.

У школярів цього віку з'являється спостереження як спеціальна діяльність, розвивається спостережливість як риса характеру.

Процес формування поняття - поступовий процес, на перших стадіях якого важливу роль відіграє чуттєве сприйняття об'єкта.

Пам'ять. Школяр 5-6 класів здатний управляти своїм довільним запам'ятовуванням. Здатність до запам'ятовування (заучування) повільно, але поступово зростає.

У цьому віці пам'ять перебудовується, переходячи від домінування механічного запам'ятовування до змістового. При цьому перебудовується сама смислова пам'ять. Вона набуває опосередкований характер, обов'язково включається мислення. Тому необхідно учнів вчити правильно міркувати, щоб процес запам'ятовування базувався на розумінні пропонованого матеріалу.

Заодно з формою змінюється і зміст запам'ятовування. Стає більш доступним запам'ятовування абстрактного матеріалу.

Увага. Процес оволодіння знаннями, вміннями, навичками вимагає постійного і ефективного самоконтролю учнів, що можливо тільки при сформованості досить високого рівня довільної уваги.

Школяр 5-6 класів цілком може керувати своєю увагою. Він добре концентрує увагу в значущої для нього діяльності. Тому потрібно підтримувати інтерес школяра до вивчення математики. При цьому доцільно спиратися на допоміжні засоби (предмети, картинки, таблиці).

У школі на уроках увагу потребує підтримки з боку вчителя.

Уява. У процесі навчальної діяльності учень отримує багато описових відомостей. Це вимагає від нього постійного відтворення образів, без яких неможливо зрозуміти і засвоїти навчальний матеріал, Тобто відтворює уяву учнів 5-6 класів з самого початку навчання включено в цілеспрямовану діяльність, що сприяє його психічному розвитку.

При розвитку у дитини здатності керувати своєю розумовою діяльністю уява стає все більш керованим процесом.

У школярів 5-6 класів уява може перетворитися в самостійну внутрішню діяльність. Вони можуть програвати в розумі розумові завдання з математичними знаками, оперувати значеннями і смислами мови, поєднуючи дві вищі психічні функції: уяву і мислення.

Всі зазначені вище особливості створюють грунт для розвитку процесу творчої уяви, в якому велику роль відіграють спеціальні знання учнів. Ці знання складають основу для розвитку творчої уяви і в наступні вікові періоди життя школяра.

Мислення. Все більшого значення починає набувати теоретичне мислення, здатність встановлювати максимальну кількість смислових зв'язків в навколишньому світі. Школяр психологічно занурений в реальності предметного світу, образно-знакових систем. Досліджуваний в школі матеріал стає для нього умовою для побудови та перевірки своїх гіпотез.

У 5-6 класах у школяра виробляється формальне мислення. Школяр цього віку вже розмірковувати, не пов'язуючи себе з конкретною ситуацією.

Вчені вивчали питання про розумові можливості школярів 5-6 класів. В результаті досліджень виявилося, що розумові можливості дитини ширше, ніж передбачалося раніше, і при створенні відповідних умов, тобто при спеціальній методичній організації навчання, учень 5-6 класів може засвоїти абстрактний математичний матеріал.

Як видно з вищевикладеного, психічні процеси характеризуються віковими особливостями, знання і облік яких необхідні для організації успішного навчання і розумового розвитку учнів.

2.2 Психологічні аспекти формування понять

2.3 Деякі педагогічні особливості навчання математики в 5-6 класах

провідною ідеєю сучасної концепції шкільної освіти є ідея гуманізації, що ставить в центр процесу навчання учня з його інтересами і можливостями, що вимагає урахування особливостей його особистості. Головними напрямками математичної освіти є посилення загальнокультурного звучання і підвищення його значимості для формування особистості підростаючої людини. Основні ідеї, покладені в основу курсу математики 5-6 класу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам і можливостям дітей 10-12 років.

Курс математики 5-6 класів - важлива ланка математичної освіти і розвитку школярів. На цьому етапі закінчується в основному навчання рахунком на безлічі раціональних чисел, формується поняття змінної і даються перші знання про прийоми рішення лінійних рівнянь, триває навчання рішенню текстових завдань, удосконалюються і збагачуються вміння геометричних побудов і вимірювань. Серйозна увага приділяється формуванню вміння міркувати, робити прості докази, давати обгрунтування виконуваних дій. Паралельно закладаються основи для вивчення систематичних курсів стереометрії, фізики, хімії та інших суміжних предметів.

Курс математики 5-6 класів являє собою органічну частину всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням і розвитком ідей, реалізованих при навчанні математики в початковій школі, І, з іншого боку, служить подальшого вивчення математики в старших класах.

Триває розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числовий, алгебраїчної, функціональної, геометричній, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраическом, геометричному матеріалі.

В останнім часом істотно переглянута вивчення геометрії. метою вивчення геометрії в 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою і засобами математики. За допомогою побудов і вимірювань учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як пропозиція, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії розглядається в проблемному плані - учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричні факти, але ці факти стають математичними істинами тільки тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.

Таким чином, геометричний матеріал в цьому курсі може бути охарактеризований, як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організовується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, в ході якого найважливіші властивості геометричних фігур виходять за допомогою досвіду і здорового глузду.

Досить нової в курсі 5-6 класів є змістовна лінія « аналіз даних », Яка об'єднує в собі три напрямки: елементи математичної статистики, комбінаторики, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано самим життям. Його вивчення направлено на формування у школярів як загальної ймовірнісної інтуїції, так і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання в цій ланці - формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, представлення та аналізу інформації, навчання рішенню комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту і ймовірності випадкових подій.

Однак дана лінія присутня не в усіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів. Особливо докладно і яскраво представлена \u200b\u200bдана лінія в підручниках.

алгебраїчний матеріал, включений в курс математики 5-6 класів, є основою для систематичного вивчення алгебри в старших класах. Можна відзначити такі особливості вивчення цього алгебраїчного матеріалу:

1. Вивчення алгебраїчного матеріалу засноване на науковій основі з урахуванням вікових особливостей і можливостей учнів.

Серед умінь, яких навчає математика і яким всім вам потрібно вчитися, велике значення має вміння класифікувати поняття.

Справа в тому, що математика, як і багато інших наук, вивчає не поодинокі предмети або явища, а масові. Так, коли ви вивчаєте трикутники, то вивчаєте властивості будь-яких трикутників, а їх безліч. Взагалі обсяг будь-якого математичного поняття, як правило, нескінченний.

Для того щоб розрізняти об'єкти математичних понять, вивчити їх властивості, як правило, ці поняття ділять на види, класи. Адже, крім загальних властивостей, будь-математичне поняття має ще багатьма важливими властивостями, властивими не всім об'єктам цього поняття, а лише об'єктам деякого виду. так, прямокутні трикутники, Крім загальних властивостей будь-яких трикутників, мають багато властивостей, вельми важливими для практики, наприклад теоремою Піфагора, співвідношеннями між кутами і сторонами і т. д.

В процесі багатовікового вивчення математичних понять, в процесі їх численних застосувань в житті, в інших науках з їх обсягу були виділені якісь особливі види, що мають найбільш цікаві властивості, які найчастіше зустрічаються і застосовуються в практиці. Так, різних чотирикутників існує нескінченно багато, але в практиці, в техніці найбільше застосування мають лише певні їх види: квадрати, прямокутники, паралелограми, ромби, трапеції.

Розподіл обсягу деякого поняття на частини і є класифікація цього поняття. Більш точно під класифікацією розуміють розподіл об'єктів будь-якого поняття на взаємопов'язані класи (види, типи) по найбільш істотним ознаками (властивостями). Ознака (властивість), за яким про-диться класифікація (поділ) поняття на види (класи), називається підставою класифікації.

Правильно побудована класифікація поняття відображає найбільш істотні властивості і зв'язки між об'єктами поняття, допомагає краще орієнтуватися в безлічі цих об'єктів, дає можливість встановлювати такі властивості цих об'єктів, які найбільш важливі для застосування цього поняття в інших науках і життєвій практиці.

Класифікація поняття проводиться по одному або декільком найбільш істотних підставах.

Так, трикутники можна класифікувати за величиною кутів. Отримуємо такі види: гострокутні (всі кути гострі), прямокутні (один кут прямий, решта гострі), тупо-вугільні (один кут тупий, інші гострі). Якщо ж за основу поділу трикутників прийняти співвідношення між сторонами, то отримуємо такі види: різнобічні, рівнобедрені і правильні (рівносторонній).

Складніше, коли доводиться класифікувати поняття за кількома підставами. Так, якщо опуклі чотирикутники класифікувати по паралельності сторін, то по суті нам потрібно розділити все опуклі чотирикутники одночасно за двома ознаками: 1) одна пара протилежних сторін паралельна чи ні; 2) друга пара протилежних сторін паралельна чи ні. Отримуємо в результаті три види опуклих чотирикутників: 1) чотирикутники з не паралельними сторонами; 2) чотирикутники з однією парою паралельних сторін - трапеції; 3) чотирикутники з двома парами паралельних сторін - паралелограми.

Вельми часто виробляють класифікацію поняття поетапно: спочатку по одній підставі, потім деякі види ділять на підвиди з іншого підставі і т. Д. Прикладом може бути класифікація чотирикутників. На першому етапі їх ділять за ознакою опуклості. Потім опуклі чотирикутники ділять за ознакою паралельності протилежних, сторін. У свою чергу паралелограми ділять за ознакою наявності прямих кутів і т. Д.

При проведенні класифікації необхідно дотримуватися певних правил. Зазначимо головні з них.

1. В якості підстави класифікації можна брати лише загальний ознака всіх об'єктів даного поняття. Так, наприклад, не можна в якості підстави класифікації алгебраїчних виразів брати ознака розташування членів за ступенями якийсь змінної. Ця ознака не є загальним для всіх алгебраїчних виразів, наприклад для дрібних виразів або одночленним він не має сенсу. Цією ознакою володіють лише багаточлени, тому многочлени можна класифікувати по найвищого ступеня головною змінною.
2. Підставою для класифікації треба брати істотні властивості (ознаки) понять. Розглянемо знову поняття алгебраїчного виразу. Одним з властивостей цього поняття є те, що змінні, що входять до вираження алгебри, позначаються якимись літерами. Ця властивість є загальним, але не є суттєвим, бо від того, якою буквою позначена та чи інша змінна, характер вираження не залежить. Так, алгебраїчні вирази х + у і а + b - це по суті справи одне і те ж вираз. Тому класифікувати вирази за ознакою позначення змінних буквами не слід. Інша справа, якщо за основу класифікації алгебраїчних виразів взяти ознака виду дій, за допомогою яких змінні з'єднані, т. Е. Дії, які відбуваються над змінними. Цей загальний ознака досить істотний, і класифікація за цією ознакою буде правильною і корисною.
3. На кожному етапі класифікації можна застосовувати лише одне якусь підставу.Не можна одночасно класифікувати поняття за двома різними ознаками. Наприклад, не можна класифікувати трикутники відразу і по величині і по співвідношенню між сторонами, бо в результаті ми отримаємо класи трикутників, які мають загальні елементи (Наприклад, гострокутні і рівнобедрені або тупоугольние і рівнобедрений і т. Д.). Тут порушено наступну вимогу до класифікації: в результаті класифікації на кожному етапі одержувані класи (види) не повинні перетинатися.
4. В той же час класифікація по якого-небудь підстави повинна бути вичерпною і кожен об'єкт поняття повинен потрапити в результаті класифікації в один і тільки один клас.

Тому поділ всіх цілих чисел на позитивні і негативні невірно, бо ціле число нуль при цьому не потрапило ні в один з класів. Треба говорити так: цілі числа діляться на три класи - позитивні, негативні і число нуль.

Часто при класифікації понять явно виділяються лише деякі класи, а решта тільки маються на увазі. Так, наприклад, при вивченні алгебраїчних виразів зазвичай виділяють лише такі їх види: одночлени, многочлени, дробові вирази, ірраціональні. Але ці види не вичерпують всіх видів алгебраїчних виразів, тому така класифікація є неповною.

Повна правильна класифікація алгебраїчних виразів може бути проведена в такий спосіб.

На першому місці класифікації алгебраїчних виразів вони діляться на два класи: раціональні та нераціональні. На другому ступені раціональні вирази поділяються на цілі і дробові. На третьому щаблі цілі вирази поділяються на одночлени, многочлени і складні цілі вирази.

Цю класифікацію можна представити у вигляді такої

завдання 7

7.1. Чому не можна класифікувати раціональні числа по їх парності?

7.2. Встановіть, чи правильно зроблено поділ поняття:

а) Величини можуть бути рівними і нерівними.

б) Функції бувають зростаючі і спадні.

в) рівнобедреного трикутника можуть бути гострокутними, прямокутними і тупоугольного.

г) Прямокутники бувають квадрати і ромби.

7.3. Проведіть поділ поняття " геометрична фігура"По властивості займати частину площині і наведіть приклади кожного виду.

7.4. Побудуйте можливі схеми класифікації раціональних чисел.

7.5. Побудуйте схему класифікації наступних понять:

а) чотирикутник;

б) два кути.

7.6. Проведіть класифікацію таких понять:

а) трикутник і коло;

б) кути в окружності;

в) два кола;

г) пряма і окружність;

д) квадратні рівняння;

е) система двох рівнянь першого ступеня з двома невідомими.

Остенсівние определенія- це такі визначення, вводять поняття шляхом демонстрації, показаоб'ектов, які цим терміном позначаються.

Математика на відміну від інших наук вивчає навколишній світ з особливою боку. Будь-які математичні об'єкти це результат виділення з предметів і явищ кількісних і просторових св-в і відносин. Т.ч. математичні об'єкти реально не існують. Це ідеальні поняття, вони існують лише в мисленні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову. Більш того, при утворенні математичних понять крім абстрагування їм приписують такі св-ва, якими не володіє жоден реальний предмет.

Основні матем.понятія: точка, пряма, площина, мн-во, число, величина, арифметична дія.

Будь-яке матем.понятіе характеризується терміном, обсягом і змістом.

Термін - це слово або група слів, якими називають елементи деякої множини. Обсяг поняття - це мн-во всіх об'єктів, що позначаються одним і тим же терміном. Розрізняють істотні і несуттєві св-ва об'єктів. Св-во буде істотним, якщо воно притаманне об'єкту, і без нього об'єкт не може існувати. Несуттєві - відсутність яких не впливає на суттєві об'єкти.

а-поняття паралелограм; в-поняття прямокутник; √вс√а а родове для в; в-видове для а; з-поняття чотирикутник. √а с√с

Одне і те ж поняття наприклад паралелограм може бути родовим для поняття прямокутник або видовим для поняття чотирикутник.

Поняття рівнобедрений треуг. І прямокутний треуг. Чи не перебувають в родо-видових відношеннях. Існують відносини між поняттями як частини і цілого.

Наприклад, промінь це частина прямої, відрізок це частина прямої, дуга це частина окружності.

Якщо поняття знаходяться в родо-видових відношеннях, то між обсягом поняття і його змістом існує такий зв'язок: чим більше обсяг, тим менше його зміст і навпаки.

Визначення понять - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. У ньому вказують ті суттєві св-ва, які є достатніми для його розпізнавання. Визначення діляться на явні і неявні (непрямі). Явні визначення мають форму рівності, збіг двох понять.

Приклад: Параллелограммом зв. чотирикутник, сторони якого попарно паралельні. а є в; а- паралелограм (визначається поняття, по-чотирикутник, сторони якого попарно паралельні (що б поняття; а \u003d r + v

Визначається поняття \u003d родове поняття + видову відмінність

Родо-видове: Биссектрисой кута зв. промінь, що виходить з вершини кута і ділить кут навпіл / r-родове поняття: промінь; v-видове поняття: що виходить з вершини кута і ділить кут навпіл. У початковій школі явне визначення через рід і видову відмінність застосовують рідко. Приклад: Визначення парного числа, прямокутника, квадрата, множення.

Явні визначення можуть мати й іншу структуру: а) генетичні визначення. Трикутником наз.фігура, що складається з 3 точок, які не лежать на одній прямій, і 3 відрізків, послідовно їх соедіняющіх.Родовое поняття і спосіб побудови.

б) рекурентні (рекурсія-повернення) арифметичній прогресії наз.чісловая послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з постійною для даної послідовності числом d (різниця).

У початковій школі переважають неявні визначення. Неявні визначення бувають контекстуальні і остенсівние. Контекстуальні визначення - в цих визначеннях зміст нових понять розкривається через контекст, аналіз конкретної ситуації, яка описує сенс вводиться поняття. Приклад: 2 + х \u003d 5

2. Які Навчаються початкових класів запропоновані завдання:

1) Яка фігура зайва? Відповідь поясни.

Вступ

Поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, в тому числі - і математики.

Одне з перших математичних понять, з яким дитина зустрічається в школі, - поняття про число. Якщо це поняття не буде засвоєно, у яких навчають виникнуть серйозні проблеми при подальшому вивченні математики.

З самого початку зустріч з поняттями відбувається в учнів при вивченні різних математичних дисциплін. Так, починаючи вивчати геометрію, учні відразу ж зустрічаються з поняттями: точка, лінія, кут, а далі - з цілою системою понять, пов'язаних з видами геометричних об'єктів.

Завдання вчителя - забезпечити повноцінне засвоєння понять. Однак в шкільній практиці дана задача вирішується не так успішно, як того вимагають цілі загальноосвітньої школи.

«Головний недолік шкільного засвоєння понять - формалізм», --счітает психолог Н. Ф. Тализіна. Суть формалізму полягає в тому, що учні, правильно відтворюючи визначення поняття, тобто, усвідомлюючи його зміст, не вміють користуватися ним при вирішенні завдань на застосування цього поняття. Отже, формування понять - це важлива, актуальна проблема.

Об'єкт дослідження: процес формування математичних понять в 5-6 класах.

Мета роботи: розробити методичні рекомендації для вивчення математичних понять в 5-6 класах.

Завдання роботи:

1. Вивчити математичну, методичну, педагогічну літературу з даної теми.

2. Виявити основні способи визначення понять в підручниках 5-6 класів.

3. Визначити особливості формування математичних понять в 5-6 класах.

гіпотеза дослідження : Якщо в процесі формування математичних понять у 5-6 класах врахувати такі особливості:

· Поняття в більшості своїй визначаються за допомогою конструювання, і часто формування правильного уявлення про поняття в учнів досягається за допомогою пояснювальних описів;

· Вводяться поняття конкретно-індуктивним шляхом;

· Протягом усього процесу формування поняття велика увага приділяється наочності, то цей процес буде більш ефективним.

Методи дослідження:

· Вивчення методичної та психологічної літератури по темі;

· Порівняння різних підручників з математики;

· Дослідне викладання.

Основи методики вивчення математичних понять

Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупності істотних і несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають з потреби науки і не мають аналогів в реальному світі; вони володіють великою ступенем абстракції. В силу цього бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (або з потреби практики, або з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом і змістом. зміст - безліч істотних ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, до яких може бути застосовано дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом і змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і не включає суперечливих ознак, то обсяг - це не порожня множина, що важливо показати учням при введенні поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Значить, зміна одного тягне зміну іншого: якщо вміст збільшується, то обсяг зменшується.

o має проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути не пересічними;

o об'єднання всіх класів повинно давати все безліч;

o класифікація повинна бути безперервною (класами повинні бути найближчі видові поняття по відношенню до поняття, яке підлягає класифікації).

Виділяють наступні види класифікації:

1. За видозміненим ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть володіти декількома ознаками, тому можна класифікувати по-різному.

Приклад. Поняття «трикутник».

2. Дихотомический. Розподіл обсягу поняття на два видових поняття, одне з яких володіє даними ознакою, а інше немає.

приклад .

Виділимо мети навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми складаємо більш чітке уявлення про родове поняття.

Обидва види класифікації використовуються в школі. Як правило, спочатку дихотомический, а потім по видозміненій ознакою.