Историята на появата на питагоровата теорема. Питагорова теорема

Около храста

Историята на питагоровата теорема датира от векове и хилядолетия. В тази статия няма да се спираме на исторически теми. За интрига, нека просто кажем, че очевидно древните египетски жреци, които са живели повече от 2000 г. пр. н. е., са знаели тази теорема. За тези, които са любопитни, ето линк към статията в Wikipedia.

На първо място, за пълнота, бих искал да представя тук доказателството на питагоровата теорема, което според мен е най-елегантното и очевидно. На снимката по-горе са показани два еднакви квадрата: ляв и десен. От фигурата се вижда, че площите на запълнените фигури отляво и отдясно са равни, тъй като във всеки от големите квадрати са зарисувани по 4 еднакви правоъгълни триъгълника. Това означава, че небоядисаните (бели) зони отляво и отдясно също са равни. Обърнете внимание, че в първия случай площта на небоядисаната фигура е равна, а във втория - площта на небоядисаната област. Поради това, . Теоремата е доказана!

Как наричате тези номера? Не можете да го наречете триъгълници, защото четири числа не могат да образуват триъгълник по никакъв начин. И тук! Като гръм от ясно небе

Тъй като има такива четири числа, тогава трябва да има геометричен обект със същите свойства, отразени в тези числа!

Сега остава само да изберете някакъв геометричен обект за този имот и всичко ще си дойде на мястото! Разбира се, предположението беше чисто хипотетично и нямаше никакво потвърждение. Но какво ще стане, ако е!

Започна изброяването на обектите. Звезди, многоъгълници, правилни, неправилни, s прав ъгъли така нататък. Отново нищо не пасва. Какво да правя? И в този момент Шерлок получава втората си преднина.

Размерът трябва да се увеличи! Тъй като трите съответстват на триъгълник в равнината, това означава, че четирите съответстват на нещо триизмерно!

О, не! Отново изброяване на опции! И в три измерения има много, много повече всякакви геометрични тела. Опитайте се да ги повторите всички! Но не всичко е толкова лошо. Има също прав ъгъл и други улики! Какво имаме? Египетски четворки от числа (нека са египетски, трябва да ги наречете някак), прав ъгъл (или ъгли) и определен триизмерен обект. Приспадането проработи! И... вярвам, че сметливите читатели вече са разбрали това идваза пирамиди, в които в един от върховете и трите ъгъла са прави. Можете дори да им се обадите правоъгълни пирамидипо аналогия с правоъгълен триъгълник.

Нова теорема

И така, имаме всичко необходимо. Правоъгълни (!) Пирамиди, страна странични кракаи секанс фасета-хипотенуза... Време е да нарисуваме друга картина.

На снимката е показана пирамида с връх в началото на правоъгълни координати (пирамидата изглежда лежи отстрани). Пирамидата е образувана от три взаимно перпендикулярни вектора, нанесени от началото по протежение координатни оси... Тоест всяка странична страна на пирамидата е правоъгълен триъгълникс прав ъгъл в началото. Краищата на векторите определят равнината на сечение и образуват основната повърхност на пирамидата.

Теорема

Нека има правоъгълна пирамида, образувана от три взаимно перпендикулярни вектора, в които площите на страните-катета са равни -, а площта на страната-хипотенузата -. Тогава

Алтернативна формулировка: За тетраедрична пирамида, в която в един от върховете всички равнинни ъгли са прави, сумата от квадратите на страничните повърхности е равна на квадрата на основната площ.

Разбира се, ако обичайната питагорова теорема е формулирана за дължините на страните на триъгълниците, тогава нашата теорема е формулирана за площите на страните на пирамидата. Доказването на тази теорема в три измерения е много лесно, ако знаете малко за векторната алгебра.

Доказателство

Нека изразим площите чрез дължините на векторите.

където .

Представяме площта като половината от площта на паралелограма, изграден върху векторите и

Както знаете, кръстосаното произведение на два вектора е вектор, чиято дължина е числено равна на площта на паралелограма, изграден върху тези вектори.
Ето защо

Поради това,

Q.E.D!

Разбира се, като човек, който се занимава професионално с изследвания, това вече се е случвало в живота ми и то неведнъж. Но този момент беше най-яркият и запомнящ се. Изпитал съм цялата гама от чувства, емоции, преживявания на откривателя. От раждането на мисълта, кристализацията на идеята, намирането на доказателство – до пълното неразбиране и дори отхвърляне, че идеите ми се срещат с моите приятели, познати и, както ми се струваше тогава, с целия свят. Беше уникално! Сякаш се чувствах в кожата на Галилей, Коперник, Нютон, Шрьодингер, Бор, Айнщайн и много други откриватели.

Послеслов

В живота всичко се оказа много по-просто и по-прозаично. Закъснях... Но колко! Само на 18 години! Под ужасно продължително изтезание и не за първи път Google ми призна, че тази теорема е публикувана през 1996 г.!

Статия, публикувана от The Texas технически университет... Авторите, професионални математици, въведоха терминология (която, между другото, до голяма степен съвпада с моята) и също така доказаха обобщена теорема, която е валидна за пространство с всяко измерение, по-голямо от едно. Какво се случва в измерения, по-големи от 3? Всичко е много просто: вместо лица и области ще има хиперповърхности и многоизмерни обеми. И твърдението, разбира се, ще остане същото: сумата от квадратите на обемите на страничните лица е равна на квадрата на обема на основата, - просто броят на лицата ще бъде по-голям, а обемът на всеки от тях ще бъде равен на половината от произведението на генериращите вектори. Почти невъзможно е да си представим! Можете само, както казват философите, да мислите!

Изненадващо, след като научих, че такава теорема вече е известна, изобщо не се разстроих. Някъде в сърцето си подозирах, че е напълно възможно да не съм първият и разбрах, че трябва да съм винаги готов за това. Но емоционалното преживяване, което получих, запали в мен искра на изследовател, която, сигурен съм, никога няма да изгасне сега!

P.S.

Ерудиран читател в коментарите изпрати линк
Теоремата на Де Гуа

Извадка от Уикипедия

През 1783 г. теоремата е представена на Парижката академия на науките от френския математик Ж.-П. де Гуа, но преди това е било известно на Рене Декарт и преди него на Йохан Фулхабер, който вероятно го е открил за първи път през 1622 г. В по-общ вид теоремата е формулирана от Чарлз Тинсо (фр.) В доклад до Парижката академия на науките през 1774 г.

Така че закъснях не с 18 години, а поне с няколко века!

Източници на

Читателите посочиха някои полезни връзки в коментарите. Ето тези и някои други връзки:

Питагор от Самосвлезе в историята като един от най-забележителните интелектуалци на човечеството. В него има много необичайни неща и изглежда, че самата съдба му е подготвила специален житейски път.

Питагор създава своя собствена религиозна и философска школа и става известен като един от най-големите математици. Неговата интелигентност и интелигентност са стотици години изпреварили времето, в което е живял.

Питагор от Самос

Кратка биография на Питагор

Разбира се, кратка биография на Питагор няма да ни даде възможност да разкрием напълно тази уникална личност, но все пак ще подчертаем основните моменти от живота му.

Детство и младост

Датата на раждане на Питагор не е точно известна. Историците предполагат, че той е роден между 586-569 г. пр. н. е., на гръцкия остров Самос (оттук и прякорът му – „Самос“). Според една легенда на родителите на Питагор е предсказано, че синът им ще стане велик мъдрец и просветител.

Бащата на Питагор се казвал Мнесарх, а майка му е Партения. Главата на семейството се занимаваше с обработката на скъпоценни камъни, така че семейството беше доста заможно.

Възпитание и образование

Вече в ранна възрастПитагор проявява интерес към различни науки и изкуства. Първият му учител се казва Ермодамантес. Той положи в бъдещия учен основите на музиката, живописта и граматиката, а също така го принуди да запомни откъси от Одисея и Илиада на Омир.

Когато Питагор е на 18 години, той решава да отиде, за да придобие още повече знания и опит. Това беше сериозна стъпка в биографията му, но не й беше предопределено да се сбъдне. Питагор не можа да стигне до Египет, защото е затворен за гърците.

Оставайки на остров Лесбос, Питагор започва да изучава физика, медицина, диалектика и други науки от Терекид от Сирос. След като живее на острова няколко години, той иска да посети Милет, където все още живее известният философ Талес, който е създал първата философска школа в Гърция.

Много скоро Питагор става един от най-образованите и известни хорана своето време. След известно време обаче в биографията на мъдреца настъпват резки промени, откакто започна персийската война.

Питагор попада във вавилонски плен и живее в плен дълго време.

Мистицизъм и завръщане у дома

Поради факта, че астрологията и мистицизмът били популярни във Вавилон, Питагор се пристрастил към изучаването на различни мистични мистерии, обичаи и свръхестествени явления. Цялата биография на Питагор е пълна с всякакви търсения и решения, които така привличат вниманието му.

След като е бил в плен повече от 10 години, той неочаквано получава лично освобождаване от персийския цар, който е знаел от първа ръка за мъдростта на учения грък.

След като се освободи, Питагор веднага се връща в родината си, за да разкаже на своите сънародници за придобитите знания.

Школа на Питагор

Благодарение на обширните познания, постоянни и ораторско изкуство, той успява бързо да спечели слава и признание сред хората на Гърция.

В речите на Питагор винаги има много хора, които са изумени от мъдростта на философа и виждат в него почти божество.

Един от основните моменти в биографията на Питагор е фактът, че той създава школа, основана на собствените си принципи за разбиране на света. Наричаха го така: школата на питагорейците, тоест последователите на Питагор.

Имаше и собствен метод на преподаване. Например на учениците не беше позволено да говорят по време на час и не им беше позволено да задават въпроси.

Това позволи на учениците да култивират смирение, кротост и търпение.

За съвременен човек тези неща може да изглеждат странни, но не забравяйте, че по времето на Питагор самото понятие училищно обучениев нашето разбиранепросто не съществуваше.

математика

Освен с медицина, политика и изкуство, Питагор се занимава сериозно и с математика. Той успя да даде значителен принос за развитието.

Досега в училищата по целия свят най-популярната теорема е Питагоровата теорема: a 2 + b 2 = c 2. Всеки ученик помни, че „питагорейските панталони са равни във всички посоки“.

Освен това има "питагорова таблица", с която е било възможно да се умножават числа. Всъщност е така модерна масаумножение, само в малко по-различна форма.

Нумерология на Питагор

В биографията на Питагор има нещо забележително: през целия си живот той се интересуваше изключително от числата. С тяхна помощ той се опита да опознае същността на нещата и явленията, живота и смъртта, страданието, щастието и други. важни въпросибитие.

Той свързва числото 9 с постоянството, 8 със смъртта, а също така обръща голямо внимание на квадрата на числата. В този смисъл идеалното число беше 10. Питагор нарече десетте символа на Космоса.

Питагорейците са първите, които разделят числата на четни и нечетни числа. Четните числа според математика били женски, а нечетните мъжки.

В онези дни, когато науката като такава не съществуваше, хората научаваха за живота и световния ред, доколкото могат. Питагор, подобно на великия син на своето време, се опита да търси отговори на тези и други въпроси с помощта на числа и числа.

Философска доктрина

Ученията на Питагор трябва да бъдат разделени на две категории:

• Научен подход
• Религиозност и мистицизъм

За съжаление не всички произведения на Питагор са запазени. И всичко това се дължи на факта, че ученият практически не е правил никакви бележки, предавайки знания на учениците устно.

Освен факта, че Питагор е бил учен и философ, той с право може да се нарече религиозен новатор. В това Лев Толстой беше малко като него (публикувахме в отделна статия).

Питагор бил вегетарианец и насърчавал своите последователи да го правят. Той не разрешавал на учениците да ядат храна от животински произход, забранявал им да пият алкохол, да псуват и да се държат неприлично.

Интересно е също, че Питагор не е преподавал обикновените хоракоито се стремяха да придобият само повърхностни знания. Той приемал за ученици само онези, в които виждал избраните и просветени личности.

Личен живот

Изучавайки биографията на Питагор, може да се получи погрешно впечатление, че той не е имал време за личния си живот. Това обаче не е съвсем вярно.

Когато Питагор беше на около 60 години, на едно от представленията си той срещна красиво момиче на име Феана.

Те се ожениха и от този брак им се родиха момче и момиче. Така че изключителният грък беше семеен човек.

Смърт

Изненадващо, никой от биографите не може да каже със сигурност как е починал великият философ и математик. Има три версии за смъртта му.

Според първата Питагор е убит от един от учениците, на когото той отказва да преподава. В пристъп на гняв убиецът подпалил Академията на учения, където умрял.

Втората версия разказва, че по време на пожара привържениците на учения, желаейки да го спасят от смъртта, създали мост от собствените си тела.

Но най-разпространената версия за смъртта на Питагор се счита за смъртта му по време на въоръжения конфликт в град Метапонт.

Великият учен е живял над 80 години, като е починал през 490 г. пр.н.е. NS През дългия си живот той успя да направи много и с право се смята за един от най-забележителните умове в историята.

Ако ви е харесала биографията на Питагор - споделете я социални мрежи... Уведомете приятелите си за този гений.

Ако изобщо ви харесва кратки биографии, и просто - не забравяйте да се абонирате за сайт... При нас винаги е интересно!

Привиденцев Владислав, Фарафонова Екатерина

Проектна работа на ученици за математическа конференция

Изтегли:

Визуализация:

BOU TR PA "Троснянская средно училище"

Студентска математическа конференция, посветена на великия математик Питагор

(в рамките на Седмицата на математиката в училище)

История на питагоровата теорема

(проект)

Подготвени

ученици от 9 б

Фарафонова Екатерина и Привиденцев Владислав

Учителят Bilyk T.V.

януари - 2016г

цели:

• 1. Разширете знанията си за историята на математиката.
• 2. Запознайте се с биографичните факти от живота на Питагор, свързани с теоремата.
• 3. Да се ​​изучава историята на питагоровата теорема чрез митове, легенди от древността.
• 4. Разгледайте приложението на Питагоровата теорема при решаване на задачи от различни клонове на геометрията.

Планирайте.

1. Въведение

2. От историята на теоремата

3. Стихотворения за Питагор

4. Резултат

5. Заключение

Въведение.

Питагоровата теорема отдавна се използва широко в различни области на науката, технологиите и практически живот... Римският архитект и инженер Витрувий, гръцкият моралист Плутарх, гръцкият учен 11 век пишат за нея в своите трудове. Диоген Лаерций, математик от 5 век Прокъл и много други. Легендата, че в чест на своето откритие Питагор е принесъл в жертва бик или, както казват други, сто бика, послужи като повод за хумор в разказите на писатели и в стиховете на поети.

Поетът Хайнрих Хайне (1797-1856), известен със своите антирелигиозни възгледи и язвителна подигравка със суеверието, в едно от произведенията си осмива „доктрината“ за преселението на душите по следния начин:

"Кой знае! Кой знае! Душата на Питагор се настани, може би, беден човек - кандидат, който не успя да докаже питагоровата теорема и следователно се провали на изпита, докато неговите проверяващи са обитавани от душите на самите бикове, които Питагор някога е принесъл в жертва на безсмъртните богове, възхитени с откриването на неговата теорема." История Питагорова теоремазапочва много преди Питагор. През вековете са дадени множество различни доказателства на питагоровата теорема.

От историята на теоремата

Нека започнем с исторически преглед. древен Китай... Тук математическата книга Chu-pei привлича специално внимание. В тази работа се казва за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5: „Ако правият ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3 и височината е 4". В същата книга е предложена рисунка, която съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Басхара.

• Кантор (най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 32 + 42 = 52 вече беше известноегиптяни все още около 2300 г. пр.н.е д., по времето на царяАменемхат И (според папирус 6619 от Берлинския музей). Според Кантор, харпедонаптите или „въжените носилки“ са изграждали прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Много е лесно да се възпроизведе методът им на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия. Правият ъгъл ще бъде затворен между страните с дължина 3 и 4 метра. Харпедонаптите могат да твърдят, че техният начин на изграждане става излишен, ако използвате например дървения квадрат, използван от всички дърводелци. Наистина, има известни египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.

• Известно е малко повече за питагоровата теорема ввавилонски ... В един текст, датиращ отХамурапи , тоест до 2000 г. пр.н.е. пр. н. е. е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са знаели как да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи. Въз основа, от една страна, на настоящото ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга, на критично изследване на гръцки източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) направи следното заключение:"Заслугата на първите гръцки математици, като Талес, Питагор и питагорейците, не е откриването на математиката, а нейното систематизиране и обосноваване. В техните ръце изчислителните рецепти, базирани на неясни идеи, са се превърнали в точна наука."Геометрия сред индианците , подобно на египтяните и вавилонците, е тясно свързан с култа. Много вероятно е теоремата за квадрата на хипотенузата да е била известна в Индия още около 18 век пр.н.е. NS

• В първия руски превод на евклидовите „Елементи“, направен от Ф. И. Петрушевски, Питагоровата теорема е посочена, както следва:„В правоъгълни триъгълници квадратът от противоположната страна прав ъгъл, е равно на сумата от квадратите на страните, съдържащи прав ъгъл ".Сега е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е първият дал пълното му доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Принципи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите принадлежи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката няма почти никакви надеждни данни за живота на Питагор и неговите математически дейности. От друга страна, легендата съобщава дори за непосредствените обстоятелства, съпътстващи откриването на теоремата. Говори се, че в чест на това откритие Питагор принесъл в жертва 100 бика.

• Дълго време се смяташе, че преди Питагор тази теорема не е била известна и затова я наричали „питагоровата теорема“. Това име се е запазило и до днес. Сега обаче е установено, че тази най-важна теорема се намира във вавилонските текстове, написани 1200 години преди Питагор.
• Фактът, че триъгълник със страни 3, 4 и 5 е правоъгълник, е известен през 2000 г. пр.н.е. египтяните, които вероятно са използвали това съотношение, за да чертаят прави ъгли при изграждането на сгради. В Китай предложението за квадрата на хипотенузата е било известно поне 500 години преди Питагор. Тази теорема е била известна и в Древна Индия; това се доказва от изреченията, съдържащи се в Сутрите.

Питагор направи много важни открития, но най-голямата слава на учения донесе доказаната от него теорема, която сега носи неговото име. Наистина, в съвременни учебницитеоремата е формулирана по следния начин: „В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета“. - Как да напиша Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник ABC с катети a, b и хипотенуза c.

a 2 + b 2 = c 2

Смята се, че по времето на Питагор теоремата е звучала по различен начин: "Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху неговите крака." Наистина ли,с 2 - площ на квадрат, построен върху хипотенузата,а 2 и б 2 - площта на квадратите, изградени върху краката.

Вероятно фактът, посочен в Питагоровата теорема, е установен за първи път за равнобедрен правоъгълен триъгълник. Квадратът на хипотенузата съдържа четири триъгълника. И на всеки крак е изграден квадрат, съдържащ два триъгълника. Фигура 9 показва, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Стихотворения за Питагор.
Немският романист А. Шамисо, който в началото на Xl X век. Той участва в околосветско пътешествие на руския кораб "Рюрик", написа следните стихове:
Истината ще трае вечно, колко скоро
Познава я слаб човек!
А сега питагоровата теорема
Вярно, като своя далечен век.
Жертвата беше изобилна
На боговете от Питагор. Сто бика
Той даде на клане и изгаряне
За светлинния лъч, който идваше от облаците.
Затова винаги оттогава,
Малко истина се ражда в света,
Биковете реват, усещайки я след.
Те не могат да пречат на светлината,
И те могат само, като затворят очи, да треперят
От страха, който им е внушил Питагор

Да обобщим:
Ако ни е даден триъгълник
И освен това с прав ъгъл,
Тогава квадратът на хипотенузата
Винаги лесно ще намерим:
Издигаме краката в квадрат,
Намираме сбора на градусите
И то по толкова прост начин
Ще стигнем до резултата.

Тестът по геометрия наближава, а на тестове и изпити понякога има случаи, когато студентите, теглейки билет, си спомнят формулировката на теоремата, но забравят откъде да започнат доказателството. За да не ви се случи това, предлагам чертеж - референтен сигнал. Мисля, че ще остане в паметта ви за дълго време.

Иван Царевич отряза главата на змея и в него израснаха две нови. На математически език това означава: изразходван в Δ ABC височина CD , и се образуват два нови правоъгълни триъгълника ADC и BDC.

Заключение.

След изучаване на конструирания материал можем да заключим, че Питагоровата теорема е една от най-важните теореми на геометрията, защото може да се използва за доказване на много други теореми и решаване на много проблеми.

Питагор и школата на Питагор изиграха важна роля в подобряването на методите за решаване на научни проблеми: позицията за необходимостта от строги доказателства твърдо навлезе в математиката, което й придаде значението на специална наука.

Сега е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е първият, който даде пълното си доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Принципи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите принадлежи на самия Евклид.

Както виждаме, историята на математиката почти не е запазила достоверни конкретни данни за живота на Питагор и неговите математически дейности. От друга страна, легендата съобщава дори за непосредствените обстоятелства, съпътстващи откриването на теоремата. Много хора знаят сонета на немския писател Шамисо:

Истината ще трае вечно, колко скоро

Слаб човек го знае!

А сега питагоровата теорема

Вярно, както в неговия далечен век.

Жертвата беше изобилна

На боговете от Питагор. Сто бика

Той даде на клане и изгаряне

За светлинния лъч, който идваше от облаците.

Затова винаги оттогава,

Малко истина се ражда в света,

Биковете реват, усещайки, че я следва,

Те не могат да пречат на светлината,

И те могат само, като затворят очи, да треперят

От страха, който им е внушил Питагор.

Започваме нашия исторически преглед на питагоровата теорема с древен Китай.Тук математическата книга Chu-pei привлича специално внимание. Това есе казва така за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5:

„Ако прав инжекция разлагам На композитен части, тогава линия, свързване завършва неговата партита, ще 5, кога база има 3, а височина 4".

Много е лесно да се възпроизведе начина им на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия.

Правият ъгъл ще бъде затворен между страните с дължина 3 и 4 метра. В същата книга е предложена рисунка, която съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Басхара.

Кантор(най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 3I + 4I = 5I вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр. н. е., по времето на цар Аменемхат I (според папирус 6619 от Берлинския музей).

Според Кантор, харпедонаптите или „дърпането на въжето“ изграждат прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

Вавилонците знаеха малко повече за питагоровата теорема. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, т.е. до 2000 г. пр. н. е. е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник; от това можем да заключим, че в Месопотамия са знаели как да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи.

Геометрия в индианцие тясно свързан с култа. Много вероятно е теоремата за квадрата на хипотенузата да е била известна в Индия още около 8-ми век пр.н.е. Наред с чисто ритуалните предписания има и произведения от геометрично богословски характер, наречени Сулвасутри. В тези писания, датиращи от 4-ти или 5-ти век пр.н.е., се срещаме с изграждането на прав ъгъл с помощта на триъгълник със страни 15, 36, 39.

V средно аритметично вектеоремата на Питагор определя границата, ако не най-голямата възможна, то поне доброто математически познания. Характерен чертеж на питагоровата теорема, който сега понякога се превръща в ученици, например в професор, облечен в роба или мъж с цилиндър, в онези дни често се използва като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Евклидтази теорема гласи (буквален превод):

V правоъгълна триъгълник квадрат партита, опънат по-горе директен ъгъл, е равно на квадрати На страни, заключение прав инжекция.

латински превод на арабски текст Анариция(около 900 г. пр. н. е.) от Герхард Кремонски(12 век) гласи (преведено):

„В всякакви правоъгълна триъгълник квадрат, образован На страна, опънат по-горе директен ъгъл, е равно на сумата две квадрати, образован На две страни, заключение прав инжекция"

В Geometry Culmonensis (около 1400 г.) теоремата гласи така (преведено): "Така, квадрат квадрат, измерено На дължината страна, така същото страхотен как в две квадрати, който измерено На две партии неговия, прилежащи Да се директен ъгъл"

В руския превод на евклидовите „елементи“ питагоровата теорема е посочена по следния начин: „В правоъгълна триъгълник квадрат от партита, противоположно директен ъгъл, е равно на сумата квадрати от партита, съдържащи прав инжекция".

Както можете да видите, в различни странии различни езициима различни версии на формулировката на познатата ни теорема. Създаден в различно времеи на различни езици те отразяват същността на един математически модел, чието доказателство също има няколко варианта.

Доказателство за математическа теорема на Питагор

Градски научно-практическа конференция

"Започнете в науката"

Известни теореми (теорема на Питагор)

Раздел „Творческа сила

големи открития в математиката"

3.4 Приложение в мобилните комуникации …………………………………………………… .26

Заключение …………………………………………………………………………………………………………… 27

Литература ………………………………………………………………………………… ... 29

Въведение.

Трудно е да се намери човек, който да не свърже името на Питагор с питагоровата теорема. Може би дори тези, които в живота си са се сбогували с математиката завинаги, запазват спомените за „питагорейските панталони“. Причината за популярността на питагоровата теорема е триединна: ​​тя е простота – красота – значимост. Наистина, питагоровата теорема е проста, но не е очевидна. Тази комбинация от два противоречиви принципа й придава особена привлекателна сила, прави я красива. Но освен това, Питагоровата теорема е от голямо значение: тя се прилага в геометрията буквално на всяка стъпка, а фактът, че има около 500 различни доказателства на тази теорема (геометрични, алгебрични, механични и т.н.), свидетелства за нейната гигантска брой специфични реализации. Откриването на теоремата от Питагор е заобиколено от ореол от красиви легенди.

Днес питагоровата теорема се намира в различни конкретни проблеми и рисунки: както в египетския триъгълник в папируса от времето на фараона Аменемхат първия (около 2000 г. пр. н. е.), така и във вавилонските клинописни плочки от епохата на цар Хамураби ( XVIII в. пр. н. е.) и в древноиндийския геометрично-богословски трактат от 7-5 век. пр.н.е NS „Сулва сутра“ („Правилата на въжето“). В най-древния китайски трактат „Джоу-би Сюан Джин“, чието време на създаване не е известно точно, се посочва, че през XII век. пр.н.е NS китайците познавали свойствата на египетския триъгълник, а до VI век. пр.н.е NS - и обща форматеореми. Въпреки всичко това името на Питагор е толкова здраво слято с питагоровата теорема, че сега е просто невъзможно да си представим, че тази фраза ще се разпадне. Днес е общоприето, че Питагор е дал първото доказателство на теоремата, която носи неговото име. Уви, и от това доказателство не са оцелели никакви следи.

Според известния учен И. Кеплер, "геометрията притежава две съкровища - питагоровата теорема и златното сечение, и ако първото от тях може да се сравни с мярка злато, то второто - със скъпоценен камък ..." .

Питагоровата теорема е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Неговото значение се крие във факта, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат извлечени от него или с негова помощ.

Един американски математик, наш съвременник, от около 20 години събира различни методи за доказване на питагоровата теорема и сега неговата "колекция" съдържа около 300 различни доказателства. Това предполага, че древната теорема все още е актуална и интересна за хората.

V училищен курсгеометрия с помощта на Питагоровата теорема, се решават само математически задачи. За съжаление, въпросът за практическото приложение на питагоровата теорема не се разглежда.

Понастоящем е общопризнато, че успехът на развитието на много области на науката и технологиите зависи от развитието на различни области на математиката. Важно условие за повишаване на ефективността на производството е широкото въвеждане на математически методи в технологиите и Национална икономика, което включва създаването на нови, ефективни методикачествено и количествено изследване, което ви позволява да решавате проблемите, поставени от практиката.

Обект на изследване: Питагоровата теорема.

Предмет на изследване: различни тълкувания и методи за доказване на Питагоровата теорема, нейното приложение при решаване на практически задачи.

Изучавайки допълнителна литература по избраната тема, бяха предложени хипотези:

1) има и други тълкувания на питагоровата теорема;

2) Питагоровата теорема се използва за решаване на много практически проблеми .

Цел на изследването: след като внимателно проучи формулировката на питагоровата теорема, анализира доказателствата и използвайки обобщение, предложете други тълкувания на питагоровата теорема и също така разберете областите на приложение на питагоровата теорема.

За постигане на целта бяха поставени следните задачи:

1. Анализирайте историята на Питагоровата теорема.

2. Разгледайте различни методи за доказване и разгледайте други интерпретации на питагоровата теорема.

3. Покажи практическа употребатеоремата на Питагор.

В първата глава изследователска работаразгледайте историята на питагоровата теорема.

Във втората глава ще разгледаме различни начини за доказване на питагоровата теорема.

В трета глава ще разгледаме различни интерпретации на питагоровата теорема.

Ще разгледаме някои от класическите доказателства на Питагоровата теорема, познати от древни трактати. Също така е полезно да се направи това, защото съвременните училищни учебници предоставят алгебрично доказателство на теоремата. В същото време изначалната геометрична аура на теоремата изчезва безследно, тази нишка на Ариадна, която е довела древните мъдреци към истината, се губи и този път почти винаги се оказва най-краткият и винаги красив.

Глава 1. Историята на питагоровата теорема.

1.1. Биография на Питагор.

Великият учен Питагор е роден около 570 г. пр.н.е. NS на остров Самос. Бащата на Питагор е Мнезарх, резбар на скъпоценни камъни. Името на майката на Питагор не е известно. Според много древни свидетелства, момчето, което се роди, беше страхотно красиво и скоро показа необикновените си способности. Сред учителите на младия Питагор традицията назовава старейшините Хермодамант и Терекид от Сирос (въпреки че няма твърдо убеждение, че именно Хермодамант и Терекид са първите учители на Питагор). Младият Питагор прекарва цели дни в нозете на по-възрастния Ермодамант, слушайки мелодиите на китарата и хекзаметрите на Омир. Питагор запазва страстта към музиката и поезията на великия Омир през целия си живот. И като признат мъдрец, заобиколен от тълпа ученици, Питагор започна деня, като изпя една от песните на Омир. Ферекид е бил философ и е смятан за основател на италианската философска школа. Така, ако Хермодамант въведе младия Питагор в кръга на музите, то Терекид насочи ума си към Логоса. Ферекид насочи погледа на Питагор към природата и само в нея той посъветва да види своя първи и главен учител. Но както и да е, неспокойното въображение на младия Питагор много скоро се стеснява на малкия Самос и той заминава за Милет, където среща друг учен - Талес. Талес го съветва да отиде в Египет за знание, което Питагор направи.

През 548 г. пр.н.е. NS Питагор пристигна в Навкратис – колонията Самос, където се намираше, от кого да намери подслон и храна. След като изучава езика и религията на египтяните, той заминава за Мемфис. Въпреки препоръчителното писмо на фараона, хитрите жреци не бързаха да разкрият тайните си на Питагор, предлагайки му трудни изпитания. Но привлечен от жажда за знание, Питагор ги преодоля, въпреки че според разкопките египетските жреци не са могли да го научат на много, тъй като по това време египетската геометрия е била чисто приложна наука (задоволяване на нуждата на онова време от броене и измерване парцели). Затова, като научи всичко, което му дадоха жреците, той избяга от тях и се премести в родината си в Елада. Въпреки това, след като е направил част от пътуването, Питагор решава да пътува по суша, по време на което е заловен от Камбиз, царят на Вавилон, който се отправя към дома. Не бива да драматизирате живота на Питагор във Вавилон, тъй като великият владетел Кир е бил толерантен към всички пленници. Вавилонската математика несъмнено е била по-развита (пример за това е позиционната система на смятане) от египетската и Питагор имаше много да учи. Но през 530 г. пр.н.е. NS Кир тръгнал на поход срещу племената в Централна Азия... И, възползвайки се от суматохата в града, Питагор избяга в родината си. А на Самос по това време царува тиранинът Поликрат. Разбира се, Питагор не беше доволен от живота на придворен роб и се оттегли в пещерите в околностите на Самос. След няколко месеца претенции от Поликрат, Питагор се премества в Кротон. В Кротон Питагор създава нещо като религиозно-етично братство или таен монашески орден („питагорейци“), чиито членове се ангажират да водят така наречения питагорейски начин на живот. Това беше едновременно религиозен съюз, политически клуб и научно общество. Трябва да кажа, че някои от принципите, проповядвани от Питагор, са достойни за подражание и сега.

минаха 20 години. Славата на братството се разнесе по целия свят. Веднъж Кайлон идва при Питагор, богат човек, но зъл, който иска да се присъедини към братството пиян. Отказан, Кайлон започва битка с Питагор, възползвайки се от палежа на къщата му. При пожар питагорейците спасяват живота на своя учител с цената на собствената си, след което Питагор изпада в депресия и скоро се самоубива.

1.2. Историята на питагоровата теорема.

Обикновено откриването на питагоровата теорема се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор. Но проучване на вавилонските клинописни таблици и древни китайски ръкописи показа, че това твърдение е било известно много преди Питагор, може би хиляди години преди него. Заслугата на Питагор е, че той открива доказателството на тази теорема.

Теоремата на Питагор се нарича още „теорема за булката“. Факт е, че в "Началото" на Евклид се споменава и като "теорема на нимфата", просто рисунката му е много подобна на пчела или пеперуда, а гърците ги наричат ​​нимфи. Но когато арабите преведоха тази теорема, те помислиха, че нимфата е булка. Така излезе "теоремата за булката". Освен това в Индия го наричаха още „правилото на въжето“.

Нека започнем исторически преглед на произхода на теоремата от древен Китай. Тук математическата книга Chu-pei привлича специално внимание. В тази работа се казва за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5: „Ако правият ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3 и височината е 4". В същата книга е предложена рисунка, която съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Басхара.

Кантор (най-големият немски историк на математиката) смята, че равенството 32 + 42 = 52 е било известно на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д., по времето на крал Аменемхат I (според папирус 6619 от Берлинския музей). Според Кантор, харпедонаптите или „дърпането на въжето“ са изградили прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Много е лесно да се възпроизведе техния метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 м и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 м от единия край и 4 м от другия. Правият ъгъл ще бъде затворен между страните с дължина 3 и 4 метра. Харпедонаптите могат да твърдят, че техният начин на изграждане става излишен, ако използвате например дървения квадрат, използван от всички дърводелци. Наистина, има известни египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.

Известно е малко повече за вавилонската питагорова теорема. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, тоест до 2000 г. пр.н.е. пр. н. е. е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са знаели как да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи.

Геометрията сред индусите, както и сред египтяните и вавилонците, е тясно свързана с култа. Много вероятно е теоремата за квадрата на хипотенузата да е била известна в древна Индия още около 18 век. пр.н.е NS

В първия руски превод на евклидовите „Елементи“, направен, Питагоровата теорема е посочена по следния начин: „В правоъгълни триъгълници квадратът от страната, противоположна на правия ъгъл, е равен на сумата от квадратите от страните съдържащ правилния ъгъл."

Сега е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е първият дал пълното му доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Принципи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите принадлежи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката няма почти никакви надеждни данни за живота на Питагор и неговите математически дейности. От друга страна, легендата съобщава дори за непосредствените обстоятелства, съпътстващи откриването на теоремата. Говори се, че в чест на това откритие Питагор принесъл в жертва 100 бика.

Въз основа, от една страна, на настоящото ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга, на критично изследване на гръцки източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) направи следното заключение:

„Заслугата на първите гръцки математици, като Талес, Питагор и питагорейците, не е откриването на математиката, а нейното систематизиране и обосноваване. В техните ръце изчислителните рецепти, базирани на неясни представи, са се превърнали в точна наука."

Глава 2. Различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

2.1. Формулировки и особености на Питагоровата теорема.

Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, която установява връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Първоначално теоремата установява връзката между площите на квадратите, изградени върху хипотенузата и катетите на правоъгълния триъгълник: „В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на крака."

Алгебрична формулировка: "В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на дължините на краката."

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през c и дължините на катетите през a и b, получаваме: a2 + b2 = c2.

И двете твърдения на теоремата са еквивалентни, но второто твърдение е по-елементарно, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери без да се знае нищо за площта и да се измерват само дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Струва си да се отбележи, че формулировката на теоремата, дадена в училищния учебник, първоначално звучеше съвсем различно. Ето преводи на формулировките на Питагоровата теорема от различни източници:

1. В Евклид тази теорема казва: „В правоъгълен триъгълник квадратът на страна, опъната над прав ъгъл, е равен на квадратите от страните, които ограждат прав ъгъл“.

2. Латинският превод на арабския текст Annairitsi (около 900 г. сл. Хр.), направен от Герхард от Кремона (началото на 12 век), гласи: „Във всеки правоъгълен триъгълник квадратът, образуван от страната, опъната над правия ъгъл, е равен на сбора от два квадрата, образувани от двете страни, ограждащи прав ъгъл”.

3. В Geometria Gulmonensis (около 1400 г.) теоремата гласи следното: „И така, площта на квадрат, измерена по дългата страна, е толкова голяма, колкото тази на два квадрата, които са измерени от двете му страни, в непосредствена близост до прав ъгъл."

4. В първия руски превод на евклидовите „Елементи“, направен от гръцки („Евклидови начала на осем книги, съдържащи основата на геометрията“, Санкт Петербург, 1819 г.), Питагоровата теорема е посочена по следния начин: ъгълът е равен на сумата от квадратите на страните, съдържащи прав ъгъл."

Питагоровата теорема е частен случай на косинусовата теорема, която установява връзката между страните на произволен триъгълник, а питагоровата теорема също е известна не само на равнината, но и в пространството: „Квадратът на диагонала правоъгълен паралелепипедравен на сбора от квадратите на неговите измервания."

Обратното твърдение също е вярно (наречено теорема на обратната питагорова теорема): „За всяка тройка положителни числа a, b и c, така че a² + b² = c², има правоъгълен триъгълник с крака a и b и хипотенуза c."

Известно е обаче, че той е бил използван за решаване на различни проблеми много преди Питагор от древните египтяни, вавилонци, китайци, индуси и други древни народи.

Във втората глава разгледахме различни начини за доказване на питагоровата теорема. Питагор първо доказа само частен случай на теоремата: той разгледа равнобедрен правоъгълен триъгълник. Чертежът, който се използва за доказване на този случай, се нарича шеговито "питагорейски панталони" и добавя: във всички посоки са равни.

Опознаване различни начинидоказателство на Питагоровата теорема, забелязахме, че някои от тях се основават на свойството на еднакви пропорционални фигури, други на допълнение към равни фигури, а трети на свойството на фигури с еднакъв размер (имащи равни площи). В тази работа разгледахме само няколко начина за доказване известна теоремаобаче има много повече.

След като проучи историята на откриването на Питагоровата теорема, се оказа, че Питагор е открил не самата теорема, а нейното доказателство. Изследване различни методидоказателства на Питагоровата теорема, се оказа, че има огромен брой такива доказателства и те могат да бъдат разделени на следното:

§ доказателство чрез разширение

§ доказателство чрез разлагане

§ алгебричен метод на доказване

§ векторно доказателство

§ доказателство с помощта на сходство и др.

В трета глава разгледахме няколко елементарни примера за практически задачи, в които теоремата на Питагор се прилага в решението.

След като се изясни практическото значение на питагоровата теорема, се оказа, че теоремата има голямо приложение в Ежедневиетов различни сфери на човешката дейност: астрономия, строителство, мобилни комуникации, архитектура.

И така, в резултат на изследването открихме други интерпретации на питагоровата теорема и изяснихме някои области на приложение на теоремата. Събрахме и обработихме много материали от литературни източници и интернет по тази тема. Проучихме някои историческа информацияза Питагор и неговата теорема, разглеждано число исторически задачиотносно приложението на питагоровата теорема. В резултат на решаването на поставените задачи стигнахме до извода, че поставените от нас хипотези се потвърдиха. Да, наистина, с помощта на питагоровата теорема е възможно да се решават не само математически проблеми. Питагоровата теорема е намерила своето приложение в строителството и архитектурата, мобилните комуникации.

Резултатът от нашата работа е:

§ усвояване на умението за работа с литературни източници;

§ придобиване на умения за търсене правилния материалв интернета;

§ научихме се да работим с голямо количество информация, да подбираме необходимата информация.

Библиография.

1. Алексеев. Подготовка за изпит: учебно помагало, М., 2011.

2. Болтянски и равни фигури. М., 1956 г.

3. Наука на Ван дер Варден. математика Древен Египет, Вавилон и Гърция. М., 1959г.

4. Още веднъж за Питагоровата теорема // Учебно-методически вестник „Математика, No4, 2005г.

5., Справочник за ученици Яценко. М., 2008г.

6. Теорема на Питагор. М., 1960 г.

7. Няколко начина за доказване на Питагоровата теорема // Учебно-методически вестник Математика, бр.24, 2010г.

8. Изучаваме геометрия, М., 2007г.

9. Ткачева математика. М., 1994.

10. За Питагоровата теорема и методите за нейното доказателство Г. Глейзър, академик на Руската академия на образованието, Москва

11. Теорема на Питагор и питагорейските тройки глава от книгата на Д.В.Аносов "Поглед към математиката и нещо от нея"

12. Сайт за Питагоровата теорема с голям брой доказателства, материал, взет от книгата на В. Лицман.

13.http: // енциклопедия. ***** / bios / nauka / pifagor / pifagor. html

14.http: // moypifagor. ***** / използвайте. htm

15.http: // moypifagor. ***** / литература. htm