Przesłanie na temat trygonometrii w medycynie. Trygonometria w otaczającym nas świecie i życiu człowieka

Trygonometria jest gałęzią matematyki, która bada funkcje trygonometryczne i ich zastosowanie w geometrii. Funkcje trygonometryczne służą do opisu właściwości różnych kątów, trójkątów i funkcji okresowych. Studiowanie trygonometrii pomoże ci zrozumieć te właściwości. Zajęcia szkolne i niezależna praca pomoże Ci poznać podstawy trygonometrii i zrozumieć wiele procesów okresowych.

Kroki

Naucz się podstaw trygonometrii

Zapoznaj się z pojęciem trójkąta. Zasadniczo trygonometria zajmuje się badaniem różnych relacji w trójkątach. Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Podczas nauki trygonometrii konieczne jest zapoznanie się z trójkątami i pojęciami pokrewnymi, takimi jak:

przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąt prostokątny;
kąt rozwarty - kąt większy niż 90 stopni;
kąt ostry to kąt mniejszy niż 90 stopni.

Naucz się rysować koło jednostkowe. Okrąg jednostkowy umożliwia skonstruowanie dowolnego trójkąta prostokątnego, tak aby przeciwprostokątna była równa jeden. Jest to przydatne podczas pracy z funkcjami trygonometrycznymi, takimi jak sinus i cosinus. Po opanowaniu koła jednostkowego możesz łatwo znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych dla określonych kątów i rozwiązać problemy, w których pojawiają się trójkąty o tych kątach.
- Przykład 1. Sinus kąta 30 stopni wynosi 0,50. Oznacza to, że długość ramienia leżącego naprzeciw danego kąta jest równa połowie długości przeciwprostokątnej.
- Przykład 2. Korzystając z tego stosunku, możesz obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta, w którym występuje kąt 30 stopni, a długość nogi przeciwnej do tego kąta wynosi 7 centymetrów. W tym przypadku długość przeciwprostokątnej wyniesie 14 centymetrów.
Zapoznaj się z funkcjami trygonometrycznymi. Istnieje sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych, które musisz znać, ucząc się trygonometrii. Funkcje te reprezentują relacje między różnymi bokami trójkąta prostokątnego i pomagają zrozumieć właściwości dowolnego trójkąta. Te sześć funkcji to:
- sinus (grzech);
- cosinus (cos);
- styczna (tg);
- sieczna (s);
- cosecans (cosec);
- cotangens (ctg).
Pamiętaj o relacjach między funkcjami. Podczas studiowania trygonometrii niezwykle ważne jest zrozumienie, że wszystkie funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane. Chociaż sinus, cosinus, tangens i inne funkcje są używane na różne sposoby, są one szeroko stosowane ze względu na fakt, że istnieją między nimi pewne relacje. Za pomocą tych relacji można łatwo zrozumieć koło jednostkowe. Naucz się korzystać z koła jednostkowego, a za pomocą relacji, które opisuje, będziesz w stanie rozwiązać wiele problemów.

Zastosowanie trygonometrii
1. Dowiedz się o głównych obszarach nauki wykorzystujących trygonometrię. Trygonometria jest przydatna w wielu gałęziach matematyki i innych nauk ścisłych. Trygonometrii można używać do znajdowania kątów i odcinków linii. Ponadto funkcje trygonometryczne mogą opisywać dowolny proces cykliczny.
  - Na przykład drgania sprężyny można opisać funkcją sinusoidalną.
2. Pomyśl o procesach wsadowych. Czasami abstrakcyjne pojęcia matematyki i innych nauk ścisłych są trudne do zrozumienia. Są jednak obecne w świecie zewnętrznym, co może ułatwić ich zrozumienie. Przyjrzyj się bliżej zjawiskom okresowym wokół ciebie i spróbuj połączyć je z trygonometrią.
  - Księżyc ma przewidywalny cykl około 29,5 dnia.
3. Wyobraź sobie, jak można badać naturalne cykle. Kiedy zrozumiesz, że w przyrodzie zachodzi wiele procesów okresowych, zastanów się, jak możesz je badać. Wyobraź sobie w myślach, jak wygląda obraz takich procesów na wykresie. Korzystając z wykresu, możesz napisać równanie opisujące obserwowane zjawisko. Tutaj z pomocą przychodzą funkcje trygonometryczne.
  - Wyobraź sobie przypływy i odpływy morza. Podczas przypływu poziom wody podnosi się do pewnego poziomu, a następnie przypływ jest niski i poziom wody spada. Po odpływie następuje przypływ i poziom wody się podnosi. Ten cykliczny proces może trwać w nieskończoność. Można to opisać funkcją trygonometryczną, taką jak cosinus.
Przestudiuj materiał z wyprzedzeniem
1. Przeczytaj odpowiednią sekcję. Niektórym trudno jest zrozumieć idee trygonometrii za pierwszym razem. Jeśli zapoznasz się z odpowiednim materiałem przed zajęciami, lepiej go przyswoisz. Staraj się częściej powtarzać studiowany temat - w ten sposób znajdziesz więcej związków między różnymi pojęciami i pojęciami trygonometrii.
  - Ponadto pozwoli z wyprzedzeniem zidentyfikować niejasne punkty.
2. Zachowaj zarys. Podczas gdy przeglądanie podręcznika jest lepsze niż nic, nauka trygonometrii wymaga powolnego, przemyślanego czytania. Podczas studiowania dowolnej sekcji prowadź szczegółową notatkę. Pamiętaj, że wiedza o trygonometrii jest gromadzona stopniowo i nowy materiał opiera się na tym, czego nauczyłeś się do tej pory, więc spisanie tego, czego się nauczyłeś, pomoże ci iść naprzód.
  - Między innymi zapisz pytania, które będziesz musiał zadać swojemu nauczycielowi później.
3. Rozwiąż zadania podane w podręczniku. Nawet jeśli trygonometria jest dla ciebie łatwa, musisz rozwiązywać problemy. Aby upewnić się, że naprawdę rozumiesz to, czego się nauczyłeś, spróbuj rozwiązać kilka problemów przed zajęciami. Jeśli będziesz miał z tym problem, sam ustalisz, czego dokładnie musisz się dowiedzieć podczas zajęć.
  - W wielu podręcznikach odpowiedzi do zadań podawane są na końcu. Z ich pomocą możesz sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś zadania.
4. Weź wszystko, czego potrzebujesz na zajęcia. Nie zapomnij o notatkach i rozwiązywaniu problemów. Te przydatne materiały pomogą ci odświeżyć to, czego już się nauczyłeś i posunąć się naprzód w nauce materiału. Wyjaśnij również wszelkie pytania, które masz podczas czytania podręcznika.

MIEJSKA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

"GIMNAZJUM №1"

„TRYGONOMETRIA W PRAWDZIWYM ŻYCIU”

projekt informacyjny

Zakończony:

Krasnow Jegor

Uczennica 9 klasy

Kierownik:

Borodkina Tatiana Iwanowna

Żeleznogorsk

Wstęp………………………………..……3

Znaczenie………………………….3

Cel ……………………………………………………………4

Zadania……………………………….4

1.4 Metody………………………………………………………...4

2. Trygonometria i historia jej rozwoju.............................5

2.1 Trygonometria i etapy formowania…………………….5

2.2 Trygonometria jako termin. Cecha ……………….7

2.3 Występowanie zatoki……………………….……………….7

2.4 Pojawienie się cosinusa…………………….……………….8

2.5 Pojawienie się tangensa i cotangensa……………………….9

2.6 Dalszy rozwój trygonometrii………………………..9

3. Trygonometria i prawdziwe życie……………………..……………...12

3.1.Nawigacja……………………………..…………………….....12

3.2 Algebra….……………………………..…………………….....14

3.3.Fizyka….……………………………..…………………….....14

3.4 Medycyna, biologia i biorytmy…..…………………….....15

3.5.Muzyka…………………………….…..……………………....19

3.6.Informatyka..…………………….…..……………………....21

3.7 Sfera budownictwa i geodezji…………………………....22

3.8 Trygonometria w sztuce i architekturze………………..…..22

Wniosek. ……………………………..…………………………..…..25

Referencje………………………….…………….……………27

Załącznik 1 .………………………………….…………….………………29

Wstęp

W nowoczesny świat znaczną uwagę przywiązuje się do matematyki, jako jednego z obszarów działalność naukowa i uczyć się. Jak wiemy, jednym ze składników matematyki jest trygonometria. Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych. Uważam, że temat ten jest, po pierwsze, istotny z praktycznego punktu widzenia. Kończymy szkołę i rozumiemy, że dla wielu zawodów znajomość trygonometrii jest po prostu niezbędna, ponieważ. pozwala mierzyć odległości do pobliskich gwiazd w astronomii, między punktami orientacyjnymi w geografii, sterować systemami nawigacji satelitarnej. Zasady trygonometrii są również wykorzystywane w takich dziedzinach, jak teoria muzyki, akustyka, optyka, analiza rynków finansowych, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, statystyka, biologia, medycyna (w tym ultrasonografia i tomografia komputerowa), farmacja, chemia, teoria liczb (i, jak w rezultacie kryptografia), sejsmologia, meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia i geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, budowa maszyn, grafika komputerowa, krystalografia.

Po drugie, znaczenie tematy „Trygonometria w prawdziwe życie„jest to, że znajomość trygonometrii otworzy nowe sposoby rozwiązywania różnych problemów w wielu dziedzinach nauki i ułatwi zrozumienie niektórych aspektów różnych nauk.

Od dawna istnieje praktyka, w której uczniowie trzykrotnie stykają się z trygonometrią. Możemy więc powiedzieć, że trygonometria składa się z trzech części. Części te są ze sobą powiązane i zależą od czasu. Jednocześnie są one zupełnie różne, nie mają podobnych cech zarówno pod względem znaczenia, jakie jest nadawane przy wyjaśnianiu podstawowych pojęć, jak i pod względem funkcji.

Pierwsza znajomość następuje w ósmej klasie. Jest to okres, w którym uczniowie uczą się: „Stosunki między bokami i kątami trójkąta prostokątnego”. W trakcie badania trygonometrii podaje się pojęcie cosinusa, sinusa i tangensa.

Kolejnym krokiem jest kontynuacja znajomości trygonometrii w klasie 9. Wzrasta poziom złożoności, zmieniają się sposoby i metody rozwiązywania przykładów. Teraz zamiast cosinusów i stycznych pojawia się koło i jego możliwości.

Ostatnim etapem jest klasa 10, w której trygonometria staje się bardziej złożona, zmieniają się sposoby rozwiązywania problemów. Wprowadzono pojęcie radianowej miary kąta. Przedstawiono wykresy funkcji trygonometrycznych. Na tym etapie uczniowie zaczynają rozwiązywać i uczyć się równań trygonometrycznych. Ale nie jak geometria. Aby w pełni zrozumieć trygonometrię, należy zapoznać się z historią jej powstania i rozwoju. Po poznaniu Tło historyczne i studiując działalność dzieł wielkich postaci, matematyków i naukowców, możemy zrozumieć, jak trygonometria wpływa na nasze życie, jak pomaga tworzyć nowe przedmioty, dokonywać odkryć.

cel moim projektem jest zbadanie wpływu trygonometrii na życie człowieka i rozwinięcie zainteresowania nią. Po rozwiązaniu tego celu będziemy mogli zrozumieć, jakie miejsce zajmuje trygonometria w naszym świecie, jakie praktyczne problemy rozwiązuje.

Aby osiągnąć ten cel, zidentyfikowaliśmy następujące elementy zadania:

1. Zapoznać się z historią powstania i rozwoju trygonometrii;

2. Rozważ przykłady praktycznego wpływu trygonometrii na różne dziedziny działalności;

3. Pokaż na przykładach możliwości trygonometrii i jej zastosowania w życiu człowieka.

Metody: Wyszukiwanie i zbieranie informacji.

1. Trygonometria i historia jej rozwoju

Co to jest trygonometria? Termin ten implikuje sekcję matematyki, która bada związek między różnymi kątami, bada długości boków trójkąta i tożsamości algebraiczne funkcji trygonometrycznych. Trudno sobie wyobrazić, że ta dziedzina matematyki występuje u nas Życie codzienne.

1.1 Trygonometria i etapy jej powstawania

Przejdźmy do historii jego rozwoju, etapów powstawania. Od czasów starożytnych trygonometria miała swoje początki, rozwijała się i przynosiła pierwsze rezultaty. Pierwsze informacje o powstaniu i rozwoju tego obszaru możemy znaleźć w zachowanych rękopisach Starożytny Egipt, Babilon, Starożytne Chiny. Badając 56. problem z papirusu Rhinda (II tysiąclecie pne), można zauważyć, że proponuje on znalezienie zbocza piramidy, której wysokość wynosi 250 łokci. Długość boku podstawy piramidy wynosi 360 łokci (ryc. 1). Ciekawe, że Egipcjanie w rozwiązaniu tego problemu jednocześnie stosowali dwa systemy pomiarowe - „łokcie” i „dłonie”. Dzisiaj, rozwiązując ten problem, znaleźlibyśmy tangens kąta: znając połowę podstawy i apotem (ryc. 1).

Kolejnym etapem był etap rozwoju nauki, który związany jest z astronomem Arystarchem z Samos, żyjącym w III wieku pne. mi. Traktat, który rozważa wielkości i odległości Słońca i Księżyca, postawił sobie konkretne zadanie. Wyrażało się to w potrzebie określenia odległości do każdego ciała niebieskiego. Do wykonania takich obliczeń należało obliczyć stosunek boków trójkąta prostokątnego o znanej wartości jednego z kątów. Arystarch uważał trójkąt prostokątny utworzony przez Słońce, Księżyc i Ziemię podczas kwadratury. Aby obliczyć wartość przeciwprostokątnej, która była podstawą odległości Ziemia-Słońce, korzystając z ramienia, które jest podstawą odległości Ziemia-Księżyc, o znanej wartości kąta zawartego (87 °), co jest równoznaczne z obliczeniem wartości kąt grzechu 3. Według Arystarcha wartość ta mieści się w przedziale od 1/20 do 1/18. Sugeruje to, że odległość od Słońca do Ziemi jest dwadzieścia razy większa niż od Księżyca do Ziemi. Wiemy jednak, że Słońce jest 400 razy dalej niż położenie Księżyca. Błędny osąd powstał z powodu niedokładności pomiaru kąta.

Kilka dekad później Klaudiusz Ptolemeusz w swojej Etnogeografii, Analemmie i Planisferium szczegółowo przedstawia trygonometryczne dodatki do kartografii, astronomii i mechaniki. Pokazano między innymi rzut stereograficzny, przestudiowano szereg zagadnień faktycznych, np.: ustalić wysokość i kąt ciała niebieskiego według jego deklinacji i kąta godzinowego. Z punktu widzenia trygonometrii oznacza to, że konieczne jest znalezienie boku trójkąta sferycznego zgodnie z pozostałymi 2 ścianami i przeciwległym kątem (ryc. 2)

Łącznie można zauważyć, że trygonometria była używana do:

Wyraźne ustalanie pory dnia;

Obliczanie zbliżającego się położenia ciał niebieskich, epizodów ich wschodów i zachodów, zaćmień Słońca i Księżyca;

Znalezienie współrzędnych geograficznych bieżącej lokalizacji;

Obliczanie odległości między megamiastami o znanych współrzędnych geograficznych.

Gnomon to starożytny mechanizm astronomiczny, obiekt pionowy (stela, kolumna, słup), który pozwala na podstawie najmniejszej długości jego cienia w południe określić wysokość kątową słońca (ryc. 3).

W ten sposób cotangens został nam przedstawiony jako długość cienia pionowego gnomona o wysokości 12 (czasem 7) jednostek. Zauważ, że w oryginalnej wersji te definicje były używane do obliczania zegara słonecznego. Styczną reprezentował cień padający z poziomego gnomona. Cosecans i secans są rozumiane jako przeciwprostokątne, które odpowiadają trójkątom prostokątnym.

1.2 Trygonometria jako termin. Charakterystyka

Po raz pierwszy specyficzny termin „trygonometria” pojawia się w 1505 r. Został opublikowany i użyty w książce niemieckiego teologa i matematyka Bartholomeusa Pitiscusa. Podczas gdy nauka była już wykorzystywana do rozwiązywania problemów astronomicznych, architektonicznych.

Termin trygonometria charakteryzuje się greckimi korzeniami. I składa się z dwóch części: „trójkąt” i „miara”. Studiując translację, możemy powiedzieć, że mamy przed sobą naukę, która bada zmiany w trójkątach. Pojawienie się trygonometrii związane jest z geodezją, astronomią i procesem budowlanym. Chociaż nazwa pojawiła się stosunkowo niedawno, wiele definicji i danych przypisywanych obecnie trygonometrii było znanych przed rokiem 2000.

1.3. Występowanie zatok

Przedstawienie sinusa ma długą historię. W rzeczywistości różne relacje między odcinkami trójkąta i koła (i zasadniczo funkcjami trygonometrycznymi) znaleziono wcześniej w III wieku. PNE. w dziełach słynnych matematyków starożytnej Grecji - Euklidesa, Archimedesa, Apoloniusza z Perge. W okresie rzymskim związki te dość regularnie badał już Menelaos (I wne), choć nie otrzymały one specjalnej nazwy. Na przykład współczesny sinus kąta α jest badany jako półcięciwa, na której spoczywa kąt środkowy wielkości α, lub jako cięciwa podwójnego łuku.

W następnym okresie matematyka była przez długi czas najszybciej kształtowana przez uczonych indyjskich i arabskich. Szczególnie w IV-V wieku specjalny termin pojawił się wcześniej w pracach astronomicznych słynnego indyjskiego naukowca Aryabhaty (476-ok. 550), którego imieniem nazwano pierwszego hinduskiego satelitę Ziemi. Nazwał ten segment ardhajiva (ardha-połowa, jiva-złamanie cięciwy, które przypomina oś). Później zakorzeniła się bardziej skrócona nazwa jiva. Matematycy arabscy w IX wieku. termin jiva (lub jiba) został zastąpiony arabskim słowem jaib (wklęsłość). Podczas przejścia arabskich tekstów matematycznych w XII wieku. słowo to zastąpiono łacińskim sinus (sinus-bend) (ryc. 4).

1.4. Pojawienie się cosinusa

Definicja i pojawienie się terminu „cosinus” ma charakter bardziej krótkoterminowy i ograniczony. Przez cosinus rozumie się „dodatkowy sinus” (lub inaczej „sinus dodatkowego łuku”; pamiętaj cosα= sin(90° - a)). Ciekawostką jest fakt, że pierwsze sposoby rozwiązywania trójkątów, które opierają się na relacji między bokami i kątami trójkąta, odkrył astronom z Starożytna Grecja Hipparch w II wieku pne. Badanie to zostało również przeprowadzone przez Klaudiusza Ptolemeusza. Stopniowo pojawiały się nowe fakty dotyczące związku między stosunkami boków trójkąta a jego kątami, zaczęto stosować nową definicję - funkcję trygonometryczną.

Znaczący wkład w powstanie trygonometrii wnieśli arabscy eksperci Al-Batani (850-929) i Abu-l-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998), którzy opracowali tablice sinusów i stycznych używając 10 'z dokładność do 1/604. Twierdzenie o sinusach było wcześniej znane indyjskiemu profesorowi Bhaskara (ur. 1114, rok śmierci nieznany) oraz azerbejdżańskiemu astrologowi i naukowcowi Nasireddinowi Tusi Mukhamedowi (1201-1274). Ponadto Nasireddin Tusi w swojej pracy „Praca nad kompletnym czworobokiem” opisał trygonometrię bezpośrednią i sferyczną jako niezależną dyscyplinę (ryc. 4).

1.5. Pojawienie się tangensa i cotangensa

Styczne powstały w związku z zakończeniem problemu ustalenia długości cienia. Styczna (a oprócz cotangensa) została ustalona w X wieku przez arabskiego arytmetyka Abul-Wafa, który opracował również oryginalne tabele do znajdowania stycznych i cotangensów. Ale te odkrycia przez długi czas pozostawały nieznane europejskim naukowcom, a styczne zostały ponownie odkryte dopiero w XIV wieku przez niemieckiego arytmetyka, astronoma Regimontana (1467). Argumentował twierdzenie o tangensach. Regiomontanus opracował również szczegółowe tabele trygonometryczne; Dzięki jego pracy trygonometria płaska i sferyczna stała się samodzielną dyscypliną także w Europie.

Określenie „styczny”, które pochodzi od łacińskiego tanger (dotykać), powstało w 1583 r. Tangens tłumaczy się jako „wpływający” (linia stycznych jest styczna do okręgu jednostkowego).
Trygonometria została rozwinięta w pracach wybitnych astrologów Mikołaja Kopernika (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) i Johannesa Keplera (1571-1630), a także matematyka Francois Vieta (1540-1603). , który całkowicie rozwiązał problem określenia absolutnie wszystkich składników płaskiego lub sferycznego trójkąta według trzech danych (ryc. 4).

1.6 Dalszy rozwój trygonometrii

Przez długi czas trygonometria miała wyłącznie formę geometryczną, tj. Dane, które obecnie formułujemy w definicjach funkcji trygonometrycznych, były formułowane i argumentowane przy wsparciu pojęć i stwierdzeń geometrycznych. Istniała jako taka jeszcze w średniowieczu, choć stosowano w niej niekiedy metody analityczne, zwłaszcza po pojawieniu się logarytmów. Być może maksymalne zachęty do tworzenia trygonometrii pojawiły się w połączeniu z rozwiązaniem problemów astronomicznych, które wzbudziły duże pozytywne zainteresowanie (na przykład w celu rozwiązania problemów ustalenia lokalizacji statku, prognozowania zaciemnienia itp.). Astrolodzy zajmowali się zależnościami między bokami i kątami trójkątów sferycznych. A arytmetyka starożytności z powodzeniem poradziła sobie z postawionymi pytaniami.

Od XVII wieku funkcje trygonometryczne były używane do rozwiązywania równań, zagadnień mechaniki, optyki, elektryczności, radiotechniki, w celu zobrazowania działań oscylacyjnych, propagacji fal, przemieszczeń różne elementy, do badania przemiennego prądu galwanicznego itp. Z tego powodu funkcje trygonometryczne zostały wszechstronnie i dogłębnie zbadane i stały się niezbędne dla całej matematyki.

Analityczna teoria funkcji trygonometrycznych została stworzona głównie przez wybitnego XVIII-wiecznego matematyka Leonharda Eulera (1707-1783) członka Akademii Petersburskiej Nauki. Ogromna spuścizna naukowa Eulera obejmuje znakomite wyniki dotyczące rachunku różniczkowego, geometrii, teorii liczb, mechaniki i innych zastosowań matematyki. To Euler jako pierwszy wprowadził dobrze znane definicje funkcji trygonometrycznych, zaczął rozważać funkcje dowolnego kąta i uzyskał wzory redukcyjne. Po Eulerze trygonometria przybrała formę rachunku różniczkowego: różne fakty zaczęto dowodzić formalnym zastosowaniem wzorów trygonometrycznych, dowody stały się znacznie bardziej zwięzłe, prostsze,

Tak więc trygonometria, która powstała jako nauka o rozwiązywaniu trójkątów, ostatecznie rozwinęła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Później część trygonometrii, która bada właściwości funkcji trygonometrycznych i zależności między nimi, zaczęto nazywać goniometrią (w tłumaczeniu – nauka o mierzeniu kątów, z gr. gwnia – kąt, metr – mierzę). Termin goniometria w Ostatnio praktycznie nie używany.

2. Trygonometria i życie rzeczywiste

Nowoczesne społeczeństwo charakteryzuje się ciągłymi zmianami, odkryciami, tworzeniem zaawansowanych technologicznie wynalazków, które poprawiają nasze życie. Trygonometria spotyka się i współdziała z fizyką, biologią, matematyką, medycyną, geofizyką, nawigacją, informatyką.

Zapoznajmy się po kolei z interakcjami w każdej branży.

2.1 Nawigacja

Pierwszym punktem wyjaśniającym nam zastosowanie i zalety trygonometrii jest jej związek z nawigacją. Przez nawigację rozumiemy naukę, której celem jest badanie i tworzenie najdogodniejszych i najbardziej użytecznych sposobów nawigacji. Naukowcy opracowują więc prostą nawigację, polegającą na budowaniu trasy z jednego punktu do drugiego, ocenianiu jej i wybieraniu najlepszej opcji spośród wszystkich oferowanych. Trasy te są niezbędne dla marynarzy, którzy podczas swojej podróży napotykają wiele trudności, przeszkód i pytań dotyczących przebiegu ruchu. Konieczna jest również nawigacja: piloci, którzy latają skomplikowanymi samolotami high-tech, orientują się, czasem w bardzo ekstremalnych sytuacjach; kosmonautów, których praca wiąże się z zagrożeniem życia, ze złożoną budową trasy i jej zagospodarowaniem. Przyjrzyjmy się bliżej następującym pojęciom i zadaniom. Jako zadanie możemy sobie wyobrazić następujący warunek: wiemy współrzędne geograficzne: szerokość i długość geograficzna między punktami A i B powierzchnia ziemi. Konieczne jest znalezienie najkrótszej ścieżki między punktami A i B wzdłuż powierzchni ziemi (promień Ziemi jest uważany za znany: R = 6371 km).

Możemy również przedstawić rozwiązanie tego problemu, a mianowicie: najpierw wyjaśnijmy, że szerokość geograficzna punktu M powierzchni ziemi jest wartością kąta utworzonego przez promień OM, gdzie O jest środkiem Ziemi, z płaszczyzną równika: ≤ , a na północ od równika szerokość geograficzną uważa się za dodatnią, a południową za ujemną. Za długość geograficzną punktu M przyjmujemy wartość kąta dwuściennego przechodzącego w płaszczyznach COM i SON. Przez C rozumiemy biegun północny Ziemi. Jako H rozumiemy punkt odpowiadający obserwatorium w Greenwich: ≤ (na wschód od południka Greenwich długość geograficzną uważa się za dodatnią, na zachód za ujemną). Jak już wiemy, najkrótsza odległość między punktami A i B na powierzchni Ziemi jest reprezentowana przez długość najmniejszego z łuków wielkiego koła łączącego punkty A i B. Taki łuk możemy nazwać ortodromem. W tłumaczeniu z języka greckiego termin ten jest rozumiany jako kąt prosty. W związku z tym naszym zadaniem jest wyznaczenie długości boku AB trójkąta sferycznego ABC, gdzie C jest rozumiane jako polis północna.

Ciekawym przykładem jest następujący. Przy tworzeniu trasy przez żeglarzy konieczna jest precyzyjna i żmudna praca. Tak więc dla wytyczenia kursu statku na mapie, którą sporządzono w rzucie Gerharda Mercatora w 1569 r., zaistniała pilna potrzeba określenia szerokości geograficznej. Jednak wyruszając w morze, w miejscach aż do XVII wieku nawigatorzy nie podawali szerokości geograficznej. Po raz pierwszy Edmond Gunther (1623) zastosował obliczenia trygonometryczne w nawigacji.

Za pomocą trygonometrii piloci mogli obliczyć błędy wiatru w celu najdokładniejszego i najbezpieczniejszego prowadzenia samolotu. Aby wykonać te obliczenia, zwracamy się do trójkąta prędkości. Ten trójkąt wyraża uformowaną prędkość lotu (V), wektor wiatru (W), wektor prędkość względem ziemi(Vp). PU – kąt toru jazdy, SW – kąt wiatru, KUV – kąt kierunku wiatru (rys. 5).

Aby zapoznać się z rodzajem zależności między elementami trójkąta nawigacyjnego prędkości, należy spojrzeć poniżej:

Vp \u003d V cos US + W cos SW; sin US = * sin SW, tg SW

Aby rozwiązać trójkąt nawigacyjny prędkości, stosuje się urządzenia liczące, które wykorzystują linijkę nawigacyjną i obliczenia mentalne.

2.2 Algebra

Kolejnym obszarem interakcji trygonometrii jest algebra. To właśnie dzięki funkcjom trygonometrycznym rozwiązywane są bardzo złożone równania i zadania wymagające dużych obliczeń.

Jak wiemy, we wszystkich przypadkach, w których konieczna jest interakcja z procesami okresowymi i oscylacjami, dochodzimy do użycia funkcji trygonometrycznych. Nieważne, co to jest: akustyka, optyka czy wahadło.

2.3 Fizyka

Oprócz nawigacji i algebry trygonometria ma bezpośredni wpływ i wpływ na fizykę. Przedmioty zanurzone w wodzie nie zmieniają w żaden sposób swojego kształtu ani objętości. Cały sekret tkwi w efekcie wizualnym, który zmusza naszą wizję do innego postrzegania tematu. Proste wzory trygonometryczne oraz wartości sinusa kąta padania i załamania półprostej dają prawdopodobieństwo obliczenia stałego współczynnika załamania światła, gdy wiązka światła przechodzi od kuli do kuli. Na przykład tęcza pojawia się, ponieważ światło słoneczne doświadcza załamania w kropelkach wody zawieszonych w powietrzu zgodnie z prawem załamania:

sinα / sinβ = n1 / n2

gdzie: n1 jest współczynnikiem załamania światła pierwszego ośrodka; n2 jest współczynnikiem załamania światła drugiego ośrodka; α-kąt padania, β-kąt załamania światła.

Wejście naładowanych pierwiastków wiatru słonecznego do górnych warstw atmosfery planet zależy od interakcji pole magnetyczne ląd z wiatrem słonecznym.

Siła działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w obszarze magnetycznym nazywana jest siłą Lorentza. Jest współmierna do ładunku cząstki i iloczynu wektorowego pola i prędkości cząstki.

Ujawniając praktyczne aspekty zastosowania trygonometrii w fizyce, podajemy przykład. To zadanie należy rozwiązać za pomocą wzorów trygonometrycznych i metod rozwiązywania. Warunki zadania: równia pochyła, którego kąt wynosi 24,5o, to ciało o masie 90 kg. Konieczne jest ustalenie, z jaką siłą ciało wywiera nacisk na płaszczyznę nachyloną (tj. jaki nacisk ciało wywiera na tę płaszczyznę) (ryc. 6).

Po wyznaczeniu osi X i Y przystąpimy do budowania rzutów sił na osie, korzystając najpierw ze wzoru:

ma = N + mg, następnie spójrz na obrazek,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N - mg cos24,50

podstawimy masę, stwierdzimy, że siła wynosi 819 N.

Odpowiedź: 819 N

2.4 Medycyna, biologia i biorytmy

Czwarty obszar, w którym trygonometria ma poważny wpływ i pomaga, to dwa obszary jednocześnie: medycyna i biologia.

Jedną z podstawowych właściwości przyrody żywej jest cykliczność większości zachodzących w niej procesów. Między ruchem ciała niebieskie i żywych organizmów na Ziemi istnieje związek. Organizmy żywe nie tylko wychwytują światło i ciepło Słońca i Księżyca, ale także posiadają różne mechanizmy, które dokładnie określają położenie Słońca, reagują na rytm pływów, fazy Księżyca i ruch naszej planety.

Rytmy biologiczne, biorytmy, to mniej lub bardziej regularne zmiany charakteru i intensywności procesów biologicznych. Zdolność do takich zmian w czynności życiowej jest dziedziczona i występuje u prawie wszystkich żywych organizmów. Można je zaobserwować w pojedynczych komórkach, tkankach i narządach, całych organizmach i populacjach. Biorytmy dzielą się na fizjologiczny, mające okresy od ułamków sekundy do kilku minut i środowiskowy, w czasie, zbiegając się z jakimś rytmem środowisko. Należą do nich rytmy dzienne, sezonowe, roczne, pływowe i księżycowe. Główny ziemski rytm jest dzienny, ze względu na obrót Ziemi wokół własnej osi, dlatego prawie wszystkie procesy w żywym organizmie mają dobową okresowość.

Pęczek czynniki środowiskowe na naszej planecie przede wszystkim reżim światła, temperatura, ciśnienie i wilgotność powietrza, pola atmosferyczne i elektromagnetyczne, pływy morskie, pod wpływem tej rotacji naturalnie się zmieniają.

Jesteśmy w siedemdziesięciu pięciu procentach wodą, a jeśli w czasie pełni księżyca wody oceanów podnoszą się 19 metrów nad poziom morza i rozpoczyna się przypływ, to woda w naszym ciele napływa również do górnych partii naszego ciała. I ludzie z wysokie ciśnienie krwi w tych okresach często obserwuje się zaostrzenia choroby, a przyrodnicy zbierający zioła lecznicze dokładnie wiedzą, w której fazie księżyca zbierać „wierzchołki – (owoce)”, aw której – „korzenie”.

Czy zauważyliście, że w pewne okresy Czy Twoje życie wykonuje niewytłumaczalne skoki? Nagle, nie wiadomo skąd – przelewają się emocje. Wzrasta wrażliwość, którą nagle można zastąpić całkowitą apatią. Twórcze i jałowe dni, szczęśliwe i nieszczęśliwe chwile, wahania nastroju. Należy zauważyć, że możliwości ludzkiego ciała zmieniają się okresowo. Wiedza ta leży u podstaw „teorii trzech biorytmów”.

Biorytm fizyczny - reguluje aktywność fizyczną. W pierwszej połowie cyklu fizycznego człowiek jest energiczny i osiąga najlepsze wyniki w swojej aktywności (druga połowa - energia ustępuje lenistwu).

Rytm emocjonalny - w okresach jego aktywności wzrasta wrażliwość, poprawia się nastrój. Osoba staje się pobudliwa na różne zewnętrzne kataklizmy. Jeśli ma dobry humor, buduje zamki w powietrzu, marzy o zakochaniu się i zakochuje się. Wraz ze spadkiem biorytmu emocjonalnego następuje spadek siły psychicznej, zanika pragnienie i radosny nastrój.

Inteligentny biorytm - zarządza pamięcią, zdolnością uczenia się, logiczne myślenie. W fazie aktywności następuje wzrost, aw fazie drugiej spadek aktywności twórczej, nie ma szczęścia i sukcesu.

Teoria trzech rytmów:

· Cykl fizyczny -23 dni. Decyduje o energii, sile, wytrzymałości, koordynacji ruchowej

Cykl emocjonalny - 28 dni. Państwo system nerwowy i nastrój

· Cykl intelektualny - 33 dni. definiuje kreatywność osobowości

Trygonometria występuje również w przyrodzie. Ruch ryb w wodzie odbywa się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej przypominającej wykres funkcji y=tgx.

Podczas lotu ptaka trajektoria trzepotu skrzydeł tworzy sinusoidę.

Trygonometria w medycynie. W wyniku badań przeprowadzonych przez studenta irańskiego Uniwersytetu w Shiraz, Wahida-Rezę Abbasiego, lekarzom po raz pierwszy udało się uporządkować informacje związane z czynnością elektryczną serca, czyli inaczej elektrokardiografią.

Formuła, nazwana Teheran, została zaprezentowana ogółowi naukowców na 14. Konferencji Medycyny Geograficznej, a następnie na 28. Konferencji Zastosowań Technologii Komputerowych w Kardiologii, która odbyła się w Holandii.

Formuła ta jest złożonym równaniem algebraiczno-trygonometrycznym, składającym się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii. Zdaniem lekarzy formuła ta znacznie ułatwia proces opisywania głównych parametrów pracy serca, przyspieszając tym samym postawienie diagnozy i rozpoczęcie właściwego leczenia.

Wiele osób musi wykonać EKG serca, ale niewielu wie, że EKG ludzkiego serca to wykres sinusoidalny lub cosinusowy.

Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów. Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Do tego wniosku doszli po serii eksperymentów, w których uczestnicy zostali poproszeni o przyjrzenie się świat przez pryzmaty zwiększające ten kąt.

Takie zniekształcenie doprowadziło do tego, że eksperymentalni nośniki pryzmatów postrzegali odległe obiekty jako bliższe i nie radzili sobie z najprostszymi testami. Niektórzy uczestnicy eksperymentów pochylali się nawet do przodu, próbując ustawić swoje ciała prostopadle do fałszywie odwzorowanej powierzchni ziemi. Jednak po 20 minutach przyzwyczaili się do zniekształconej percepcji i wszystkie problemy zniknęły. Okoliczność ta wskazuje na elastyczność mechanizmu, za pomocą którego mózg dostosowuje układ wzrokowy do zmieniających się warunków zewnętrznych. Co ciekawe, po zdjęciu pryzmatów przez pewien czas obserwowano efekt odwrotny - przeszacowanie odległości.

Wyniki nowego badania, jak można się spodziewać, zainteresują inżynierów projektujących systemy nawigacyjne dla robotów, a także specjalistów pracujących nad stworzeniem jak najbardziej realistycznych modeli wirtualnych. Możliwe są również zastosowania w medycynie, w rehabilitacji pacjentów z uszkodzeniem określonych obszarów mózgu.

2.5.Muzyka

Pole muzyczne oddziałuje również z trygonometrią.

przedstawiam waszej uwadze interesująca informacja o jakiejś metodzie, która dokładnie zapewnia związek między trygonometrią a muzyką.

Ta metoda analizy utworów muzycznych nazywana jest „geometryczną teorią muzyki”. Z jego pomocą główne struktury muzyczne i przekształcenia są tłumaczone na język współczesnej geometrii.

Każda nuta w środku nowa teoria jest reprezentowany jako logarytm częstotliwości odpowiedniego dźwięku (na przykład nuta „do” pierwszej oktawy odpowiada liczbie 60, oktawa liczbie 12). Akord jest zatem reprezentowany jako punkt o danych współrzędnych w przestrzeni geometrycznej. Akordy są pogrupowane w różne „rodziny”, które odpowiadają różnym typom przestrzeni geometrycznych.

Opracowując nową metodę, autorzy wykorzystali 5 znanych typów przekształceń muzycznych, które nie były wcześniej brane pod uwagę w teorii muzyki przy klasyfikacji sekwencji dźwiękowych - permutacja oktawowa (O), permutacja (P), transpozycja (T), inwersja (I) i zmiana liczności (C) . Wszystkie te przekształcenia, jak piszą autorzy, tworzą tzw. OPTIC-symetrie w przestrzeni n-wymiarowej i przechowują informacje muzyczne o akordzie – w jakiej oktawie są jego nuty, w jakiej kolejności są grane, ile razy się powtarzają , i tak dalej. Używając symetrii OPTIC, klasyfikuje się podobne, ale nie identyczne akordy i ich sekwencje.

Autorzy artykułu pokazują, że różne kombinacje tych 5 symetrii tworzą wiele różnych struktur muzycznych, z których część jest już znana w teorii muzyki (np. zasadniczo nowe koncepcje, które być może przyjmą kompozytorzy przyszłości.

Jako przykład autorzy podają geometryczną reprezentację różnych typów akordów czterech dźwięków - czworościanu. Kule na wykresie reprezentują rodzaje akordów, kolory kulek odpowiadają wielkości odstępów między dźwiękami akordów: niebieski - małe interwały, tony cieplejsze - bardziej "rzadkie" dźwięki akordów. Czerwona kula to najbardziej harmonijny akord z równymi odstępami między nutami, który był popularny wśród kompozytorów XIX wieku.

"Geometryczna" metoda analizy muzyki, zdaniem autorów badania, może doprowadzić do powstania zupełnie nowej instrumenty muzyczne i nowe sposoby wizualizacji muzyki, a także wprowadzanie zmian we współczesnych metodach nauczania muzyki i sposobach studiowania różnych stylów muzycznych (muzyka klasyczna, muzyka rozrywkowa, muzyka rockowa itp.). Nowa terminologia pozwoli także na głębsze porównanie twórczości muzycznej kompozytorów z różnych epok i przedstawienie wyników badań w wygodniejszej formie matematycznej. Innymi słowy, proponuje się wyodrębnienie ich matematycznej istoty z dzieł muzycznych.

Częstotliwości odpowiadające tej samej nucie w pierwszej, drugiej itd. oktawy odnoszą się do 1:2:4:8... Według legend, które pochodzą ze starożytności, pierwszymi, którzy próbowali to zrobić, byli Pitagoras i jego uczniowie.

Skala diatoniczna 2:3:5 (ryc. 8).

2.6.Informatyka

Trygonometria ze swoim wpływem nie ominęła informatyki. Tak więc jego funkcje mają zastosowanie do dokładnych obliczeń. Dzięki chwila obecna, możemy przybliżyć dowolną (w pewnym sensie „dobrą”) funkcję, rozszerzając ją na szereg Fouriera:

a0 + a1 sałata x + b1 grzech x + a2 sałata 2x + b2 grzech 2x + a3 sałata 3x + b3 grzech 3x + ...

Proces wybierania liczby w najbardziej odpowiedni sposób liczby a0, a1, b1, a2, b2, ..., można przedstawić w postaci takiej (nieskończonej) sumy przez prawie każdą funkcję w komputerze z wymaganą dokładnością .

Trygonometria odgrywa poważną rolę i pomaga w rozwoju iw procesie pracy z informacjami graficznymi. Jeśli potrzebujesz zasymulować proces, z opisem w formie elektronicznej, z obrotem określonego obiektu wokół określonej osi. Istnieje obrót o pewien kąt. Aby określić współrzędne punktów, będziesz musiał pomnożyć przez sinusy i cosinusy.

Jako przykład można przytoczyć Justina Windella, programistę i projektanta pracującego w Google Grafika Lab. Opublikował demo, które pokazuje przykład wykorzystania funkcji trygonometrycznych do tworzenia dynamicznych animacji.

2.7 Sfera budownictwa i geodezji

Ciekawą gałęzią, która współgra z trygonometrią, jest dziedzina budownictwa i geodezji. Długości boków i kątów dowolnego trójkąta na płaszczyźnie są połączone pewnymi relacjami, z których najważniejsze nazywane są twierdzeniami cosinus i sinus. Ze wzorów zawierających a, b, c wynika, że litery są reprezentowane przez boki trójkąta, które leżą odpowiednio naprzeciw kątów A, B, C. Wzory te uwzględniają trzy elementy trójkąta — długości boków i kąty - aby przywrócić pozostałe trzy elementy. Służą do rozwiązywania praktycznych problemów, na przykład w geodezji.

Cała „klasyczna” geodezja opiera się na trygonometrii. W rzeczywistości od czasów starożytnych geodetów fascynuje fakt, że „rozwiązują” trójkąty.

Proces wznoszenia budynków, torów, mostów i innych budynków rozpoczyna się od pomiarów i Praca projektowa. Bez wyjątku wszystkie pomiary na budowie wykonywane są przy pomocy przyrządów geodezyjnych, takich jak tachimetr i niwelator trygonometryczny. Dzięki niwelacji trygonometrycznej ustalana jest różnica wysokości między kilkoma punktami na powierzchni ziemi.

2.8 Trygonometria w sztuce i architekturze

Odkąd człowiek zaczął istnieć na ziemi, nauka stała się podstawą do poprawy życia codziennego i innych dziedzin życia. U podstaw wszystkiego, co tworzy człowiek, leżą różne kierunki w naukach przyrodniczych i matematycznych. Jednym z nich jest geometria. Architektura nie jest jedyną dziedziną nauki, w której stosuje się wzory trygonometryczne. Większość decyzji kompozycyjnych i konstrukcji rysunków odbywała się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Rozważmy przykład budowy jednej rzeźby przez francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

Proporcjonalny stosunek w konstrukcji posągu był doskonały. Kiedy jednak posąg został podniesiony na wysoki cokół, wyglądał brzydko. Rzeźbiarz nie wziął pod uwagę, że wiele detali jest perspektywicznie zredukowanych ku horyzontowi, a patrząc od dołu do góry, nie tworzy się już wrażenia jego idealności. Przeprowadzono wiele obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie celowania, czyli przybliżonym pomiarze na oko. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Zatem znając przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do ludzkich oczu oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania spojrzenia za pomocą tabeli, znajdując w ten sposób punkt widzenia (ryc. 9).

Na rycinie 10 sytuacja się zmienia, ponieważ posąg podnosi się na wysokość AC i HC wzrasta, możemy obliczyć cosinus kąta C, korzystając z tabeli znajdujemy kąt padania spojrzenia. W procesie możesz obliczyć AH, a także sinus kąta C, co pozwoli ci sprawdzić wyniki za pomocą głównego tożsamość trygonometryczna sałata 2 + grzech 2 za = 1.

Porównując pomiary AH w pierwszym i drugim przypadku, można znaleźć współczynnik proporcjonalności. Następnie otrzymamy rysunek, a następnie rzeźbę, po podniesieniu postać będzie wizualnie zbliżona do ideału.

Ikoniczne budynki na całym świecie zostały zaprojektowane z wykorzystaniem matematyki, którą można uznać za geniusz architektury. Niektóre znane przykłady takich budynków to Szkoła Dziecięca Gaudiego w Barcelonie, Mary Axe w Londynie, winiarnia Bodegas Isios w Hiszpanii i restauracja Los Manantiales w Argentynie. Projekt tych budynków nie był pozbawiony trygonometrii.

Wniosek

Po przestudiowaniu teoretycznych i stosowanych aspektów trygonometrii zdałem sobie sprawę, że ta gałąź jest ściśle powiązana z wieloma naukami. Na samym początku trygonometria była niezbędna do wykonywania i wykonywania pomiarów między kątami. Jednak później prosty pomiar kątów stał się pełnoprawną nauką badającą funkcje trygonometryczne. Możemy zidentyfikować następujące obszary, w których istnieje ścisły związek między trygonometrią a fizyką architektury, przyrody, medycyny i biologii.

Tak więc dzięki funkcjom trygonometrycznym w medycynie odkryto wzór serca, który jest złożoną równością algebraiczno-trygonometryczną, na którą składa się 8 wyrażeń, 32 współczynniki i 33 główne parametry, w tym możliwość dodatkowych błędnych obliczeń w przypadku arytmii . To odkrycie pomaga lekarzom zapewnić bardziej wykwalifikowaną i wysokiej jakości opiekę medyczną.

Zauważmy też. że cała klasyczna geodezja opiera się na trygonometrii. Ponieważ w rzeczywistości od czasów starożytnych geodeci zajmowali się „rozwiązywaniem” trójkątów. Proces budowy budynków, dróg, mostów i innych konstrukcji rozpoczyna się od prac geodezyjnych i projektowych. Wszystkie pomiary na budowie wykonywane są przy pomocy przyrządów geodezyjnych takich jak teodolit oraz niwelator trygonometryczny. Za pomocą niwelacji trygonometrycznej określa się różnicę wysokości między kilkoma punktami na powierzchni ziemi.

Zapoznając się z jej wpływem na inne obszary, możemy stwierdzić, że trygonometria aktywnie wpływa na życie człowieka. Połączenie matematyki ze światem zewnętrznym pozwala „zmaterializować” wiedzę uczniów. Dzięki temu możemy bardziej adekwatnie postrzegać i przyswajać wiedzę i informacje, których uczymy się w szkole.

Cel mojego projektu został pomyślnie zakończony. Badałem wpływ trygonometrii na życie i rozwój zainteresowania nią.

Aby osiągnąć ten cel, wykonaliśmy następujące zadania:

1. Zapoznaliśmy się z historią powstania i rozwoju trygonometrii;

2. Rozważane przykłady praktycznego wpływu trygonometrii na różne dziedziny działalności;

3. Pokazywał na przykładach możliwości trygonometrii i jej zastosowania w życiu człowieka.

Studiowanie historii powstania tej branży pomoże wzbudzić zainteresowanie wśród uczniów, ukształtować właściwy światopogląd i poprawić ogólną kulturę licealisty.

Ta praca przyda się uczniom szkół średnich, którzy nie widzieli jeszcze piękna trygonometrii i nie są zaznajomieni z obszarami jej zastosowania w otaczającym ich życiu.

Bibliografia

Glazer GI

Rybnikow K.A.

Bibliografia

JAKIŚ. Kołmogorow, AM Abramow, Yu.P. Dudnitsin i wsp. Podręcznik „Algebra i początki analizy” dla klas 10-11 instytucji edukacyjnych, M., Education, 2013.

Glazer GI Historia matematyki w szkole: klasa VII-VIII. - M.: Edukacja, 2012.

Glazer GI Historia matematyki w szkole: komórki IX-X. - M.: Edukacja, 2013.

Rybnikow K.A. Historia matematyki: podręcznik. - M .: Wydawnictwo Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego, 1994 I. - M.: absolwent szkoły, 2016. - 134 s.

Olechnik, S.N. Zagadnienia algebry, trygonometrii i funkcji elementarnych / S.N. Olechnik. - M.: Szkoła wyższa, 2013 r. - 645 s.

Potapow, M.K. Algebra, trygonometria i funkcje elementarne / M.K. Potapow. - M.: Szkoła wyższa, 2014 r. - 586 s.

Potapow, M.K. Algebra. Trygonometria i funkcje elementarne / M.K. Potapow, V.V. Aleksandrow, PI Pasiczenko. - M.: [nie określono], 2015. - 762 s.

Aneks 1

Ryc.1Obraz piramidy. Obliczanie nachylenia B / H .

Goniometr Seked

Ogólnie wygląda egipska formuła obliczania seked piramidy

Więc:.

Termin starożytnego Egiptu seked” oznaczało kąt nachylenia. Był w poprzek wysokości, podzielony na połowę podstawy.

„Długość piramidy po wschodniej stronie wynosi 360 (łokci), wysokość 250 (łokcie). Musisz obliczyć nachylenie wschodniej strony. Aby to zrobić, weź połowę 360, tj. 180. Podziel 180 przez 250. Otrzymujesz: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 łokieć. Zauważ, że jeden łokieć to 7 szerokości dłoni. Teraz pomnóż otrzymane liczby przez 7 w następujący sposób: „

Ryc.2Gnomon

Ryc.3 Wyznaczanie wysokości kątowej Słońca

Ryc.4 Podstawowe wzory trygonometrii

Ryc.5 Nawigacja w trygonometrii

Ryc.6 Fizyka w trygonometrii

Ryc.7 Teoria trzech rytmów

( Cykl fizyczny wynosi 23 dni. Określa energię, siłę, wytrzymałość, koordynację ruchową; Cykl emocjonalny trwa 28 dni. Stan układu nerwowego i nastrój; Cykl intelektualny - 33 dni. Określa zdolności twórcze jednostki)

Ryż. 8 Trygonometria w muzyce

Rys. 9, 10 Trygonometria w architekturze

wyrównaj=środek>

Trygonometria- mikrosekcja matematyki zajmująca się badaniem zależności między kątami i długościami boków trójkątów oraz tożsamościami algebraicznymi funkcji trygonometrycznych.
Istnieje wiele dziedzin, w których stosuje się funkcje trygonometryczne i trygonometryczne. Trygonometria lub funkcje trygonometryczne są wykorzystywane w astronomii, nawigacji morskiej i powietrznej, akustyce, optyce, elektronice, architekturze i innych dziedzinach.

Historia powstania trygonometrii

Historia trygonometrii, jako nauki o związku między kątami i bokami trójkąta i innych figury geometryczne obejmuje ponad dwa tysiąclecia. Większości z tych zależności nie da się wyrazić zwykłymi operacjami algebraicznymi, dlatego konieczne było wprowadzenie specjalnych funkcji trygonometrycznych, pierwotnie przedstawionych w postaci tablic numerycznych.
Historycy uważają, że trygonometria została stworzona przez starożytnych astronomów, a nieco później zaczęto ją stosować w architekturze. Z biegiem czasu zakres trygonometrii stale się rozszerzał, dziś obejmuje prawie wszystkie nauki przyrodnicze, technologii i wielu innych obszarach działalności.

Wczesne stulecia

Z matematyki babilońskiej jesteśmy przyzwyczajeni do mierzenia kątów w stopniach, minutach i sekundach (wprowadzenie tych jednostek do matematyki starożytnej Grecji przypisuje się zwykle II wieku pne).

Głównym osiągnięciem tego okresu był stosunek nóg i przeciwprostokątnych w trójkącie prostokątnym, nazwany później twierdzeniem Pitagorasa.

Starożytna Grecja

Ogólne i logicznie spójne przedstawienie relacji trygonometrycznych pojawiło się w geometrii starożytnej Grecji. Greccy matematycy nie wyodrębnili jeszcze trygonometrii jako odrębnej nauki, dla nich była to część astronomii.
Głównym osiągnięciem starożytnej teorii trygonometrycznej było rozwiązanie w ogólnej postaci problemu „rozwiązywania trójkątów”, czyli znajdowania nieznanych elementów trójkąta na podstawie trzech danych elementów (z których co najmniej jeden jest bokiem).
Stosowane problemy trygonometryczne są bardzo różnorodne – można np. wyznaczyć mierzalne wyniki działań na wymienionych wielkościach (np. suma kątów czy stosunek długości boków).
Równolegle z rozwojem trygonometrii płaskiej Grecy pod wpływem astronomii daleko posunęli trygonometrię sferyczną. W „Zasadach” Euklidesa na ten temat jest tylko twierdzenie o stosunku objętości kul o różnych średnicach, ale potrzeby astronomii i kartografii spowodowały, że szybki rozwój trygonometria sferyczna i dziedziny pokrewne - układy współrzędne niebieskie, teoria odwzorowań kartograficznych, technologie przyrządów astronomicznych.

Średniowiecze

W IV wieku, po śmierci starożytnej nauki, centrum rozwoju matematyki przeniosło się do Indii. Zmienili niektóre koncepcje trygonometrii, zbliżając je do współczesnych: na przykład jako pierwsi wprowadzili do użytku cosinus.

Pierwszym specjalistycznym traktatem o trygonometrii była praca naukowca z Azji Środkowej (X-XI wiek) „Księga kluczy nauki astronomii” (995-996). Cały kurs trygonometrii zawierał główne dzieło Al-Biruniego - „Kanon Mas'uda” (Księga III). Oprócz tablic sinusów (z krokiem 15") Al-Biruni podał tablice stycznych (z krokiem 1°).

Po przetłumaczeniu traktatów arabskich na łacinę w XII-XIII wieku wiele pomysłów matematyków indyjskich i perskich stało się własnością nauki europejskiej. Najwyraźniej pierwsze zaznajomienie Europejczyków z trygonometrią nastąpiło dzięki zij, którego dwa tłumaczenia powstały w XII wieku.

Pierwsza europejska praca poświęcona całkowicie trygonometrii jest często nazywana Czterema traktatami o akordach prostych i odwróconych przez angielskiego astronoma Richarda z Wallingford (około 1320 r.). Tablice trygonometryczne, często tłumaczone z arabskiego, ale czasami oryginalne, zawarte są w pracach wielu innych autorów z XIV-XV wieku. Następnie trygonometria zajęła miejsce wśród kursów uniwersyteckich.

nowy czas

Rozwój trygonometrii w czasach nowożytnych stał się niezwykle ważny nie tylko dla astronomii i astrologii, ale także dla innych zastosowań, przede wszystkim artylerii, optyki i nawigacji podczas dalekich podróży morskich. Dlatego po XVI wieku tematem tym zajmowało się wielu wybitnych uczonych, m.in. Mikołaj Kopernik, Johannes Kepler, Francois Viet. Kopernik poświęcił trygonometrii dwa rozdziały w swoim traktacie O obrotach sfer niebieskich (1543). Wkrótce (1551) pojawiły się 15-cyfrowe tablice trygonometryczne Retyka, ucznia Kopernika. Kepler opublikował astronomię optyczną (1604).

Vieta w pierwszej części swojego „Kanonu matematycznego” (1579) umieścił różne tablice, w tym trygonometryczne, aw drugiej części szczegółowo i systematycznie, choć bez dowodów, przedstawił trygonometrię płaską i sferyczną. W 1593 r. Vieta przygotował rozszerzone wydanie tego wielkiego dzieła.
Dzięki pracy Albrechta Dürera narodziła się sinusoida.

18 wiek

Dał nowoczesny wygląd trygonometrii. W traktacie Wprowadzenie do analizy nieskończoności (1748) Euler podał definicję funkcji trygonometrycznych równoważną współczesnej i odpowiednio zdefiniował funkcje odwrotne.

Euler za dopuszczalne uznał kąty ujemne i większe niż 360°, co umożliwiło wyznaczenie funkcji trygonometrycznych na całej osi liczb rzeczywistych, a następnie rozciągnięcie ich na płaszczyznę zespoloną. Kiedy pojawiło się pytanie o rozszerzenie funkcji trygonometrycznych na kąty rozwarte, znaki tych funkcji przed Eulerem były często wybierane błędnie; wielu matematyków uważało na przykład, że cosinus i tangens kąta rozwartego są dodatnie. Euler wyznaczył te znaki dla kątów w różnych ćwiartkach współrzędnych na podstawie wzorów redukcyjnych.
Euler nie studiował ogólnej teorii szeregów trygonometrycznych i nie badał zbieżności otrzymanych szeregów, ale uzyskał kilka ważnych wyników. W szczególności wyprowadził rozwinięcia potęg całkowitych sinusa i cosinusa.

Zastosowanie trygonometrii

Ci, którzy twierdzą, że trygonometria nie jest potrzebna w prawdziwym życiu, mają rację na swój sposób. Cóż, jakie są jego zwykle stosowane zadania? Zmierz odległość między niedostępnymi obiektami.
Ogromne znaczenie ma technika triangulacji, która umożliwia pomiar odległości do pobliskich gwiazd w astronomii, między punktami orientacyjnymi w geografii oraz sterowanie systemami nawigacji satelitarnej. Na uwagę zasługuje również zastosowanie trygonometrii w takich dziedzinach, jak technologia nawigacji, teoria muzyki, akustyka, optyka, analiza rynków finansowych, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, statystyka, biologia, medycyna (w tym ultrasonografia i tomografia komputerowa), farmacja, chemia, teoria liczb (a w konsekwencji kryptografia), sejsmologia, meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia i geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, inżynieria mechaniczna, grafika komputerowa, krystalografia itp.
Wniosek: trygonometria jest ogromnym pomocnikiem w naszym codziennym życiu.

Trygonometria w astronomii:

Potrzeba rozwiązywania trójkątów została po raz pierwszy odkryta w astronomii; dlatego przez długi czas trygonometria była rozwijana i badana jako jedna z gałęzi astronomii.

Tabele pozycji Słońca i Księżyca opracowane przez Hipparcha pozwoliły przewidzieć momenty początku zaćmień (z błędem 1-2 godzin). Hipparch jako pierwszy zastosował metody trygonometrii sferycznej w astronomii. Poprawił dokładność obserwacji, używając nici w instrumentach goniometrycznych - sekstantach i ćwiartkach - aby skierować gwiazdę na gwiazdę. Naukowiec sporządził katalog pozycji 850 ogromnych wówczas gwiazd, dzieląc je według jasności na 6 stopni (wielkości). Hipparch wprowadził współrzędne geograficzne - szerokość i długość geograficzną i można go uznać za twórcę geografii matematycznej. (ok. 190 pne - ok. 120 pne)

Kompletne rozwiązanie problemu wyznaczania wszystkich elementów trójkąta płaskiego lub sferycznego z trzech podanych elementów, ważne rozwinięcia sin nx i cos nx w potęgach cos x i sinx. Znajomość wzoru na sinusy i cosinusy wielu łuków umożliwiła Vietowi rozwiązanie równania 45 stopnia zaproponowanego przez matematyka A. Roomena; Viet wykazał, że rozwiązanie tego równania sprowadza się do podzielenia kąta na 45 równych części i że równanie to ma 23 dodatnie pierwiastki. Viet rozwiązał problem Apoloniusza za pomocą linijki i kompasu.
Rozwiązywanie trójkątów sferycznych jest jednym z zadań astronomii Oblicz boki i kąty dowolnego trójkąta sferycznego z trzech odpowiednio danych boków lub kątów za pomocą następujących twierdzeń: (twierdzenie o sinusie) (twierdzenie o cosinusie kątów) (twierdzenie o cosinusie o bokach).

Trygonometria w fizyce:

rodzaje zjawisk oscylacyjnych.

Oscylacja harmoniczna to zjawisko okresowej zmiany pewnej wielkości, w którym zależność od argumentu ma charakter funkcji sinus lub cosinus. Na przykład wielkość, która zmienia się w czasie w następujący sposób, zmienia się harmonicznie:

Gdzie x to wartość zmieniającej się wielkości, t to czas, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna oscylacji, to pełna faza oscylacji, r to początkowa faza oscylacji.

Drgania mechaniczne . Drgania mechaniczne

Trygonometria w przyrodzie.

Często zadajemy pytanie

Jeden z podstawowe właściwości
to mniej lub bardziej regularne zmiany charakteru i intensywności procesów biologicznych.
Podstawowy rytm ziemi- codziennie.

Trygonometria w biologii

Trygonometria odgrywa ważną rolę w medycynie. Z jego pomocą irańscy naukowcy odkryli formułę serca - złożoną równość algebraiczno-trygonometryczną, składającą się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii.

skala diatoniczna 2:3:5

Trygonometria w architekturze

Swiss Re Insurance Corporation w Londynie

Interpretacja

Podaliśmy tylko niewielką część tego, gdzie można znaleźć funkcje trygonometryczne.. Dowiedzieliśmy się

Udowodniliśmy, że trygonometria jest ściśle związana z fizyką, występuje w przyrodzie, medycynie. Można podać nieskończenie wiele przykładów okresowych procesów przyrody ożywionej i nieożywionej. Wszystkie procesy okresowe można opisać za pomocą funkcji trygonometrycznych i przedstawić na wykresach

Uważamy, że trygonometria znajduje odzwierciedlenie w naszym życiu i sferach

w których odgrywa ważną rolę, będzie się rozszerzać.

Dowiedziałem sięże trygonometria powstała z potrzeby mierzenia kątów, ale z czasem rozwinęła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.
Udowodniono
Myślimy

Wyświetl zawartość dokumentu
„Scenariusz telewizyjny Danilova”

Liceum MKOU „Nieniec” – internat im. AP Pyrerki"

Projekt edukacyjny

" "

Daniłowa Tatiana Władimirowna

Nauczyciel matematyki

Uzasadnienie trafności projektu.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych. Trudno to sobie wyobrazić, ale spotykamy się z tą nauką nie tylko na lekcjach matematyki, ale także w życiu codziennym. Być może nie zdajesz sobie z tego sprawy, ale trygonometria występuje w takich naukach jak fizyka, biologia, odgrywa ważną rolę w medycynie, a co najciekawsze, nawet muzyka i architektura nie mogłyby się bez niej obejść.
Słowo trygonometria pojawia się po raz pierwszy w 1505 roku w tytule książki niemieckiego matematyka Pitiscusa.
Trygonometria to greckie słowo i dosłownie oznacza pomiar trójkątów (trigonan - trójkąt, metreo - ja mierzę).
Pojawienie się trygonometrii było ściśle związane z geodezją, astronomią i budownictwem.

Uczeń w wieku 14-15 lat nie zawsze wie gdzie on pójdzie studiować i gdzie pracować.
W przypadku niektórych zawodów jego znajomość jest niezbędna, ponieważ. pozwala mierzyć odległości do pobliskich gwiazd w astronomii, między punktami orientacyjnymi w geografii, sterować systemami nawigacji satelitarnej. Zasady trygonometrii są również wykorzystywane w takich dziedzinach, jak teoria muzyki, akustyka, optyka, analiza rynków finansowych, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, statystyka, biologia, medycyna (w tym ultrasonografia i tomografia komputerowa), farmacja, chemia, teoria liczb (i, jak w rezultacie kryptografia), sejsmologia, meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia i geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, budowa maszyn, grafika komputerowa, krystalografia.

Definicja przedmiotu badań

3. Cele projektu.

problematyczne pytanie
1. Jakie koncepcje trygonometrii są najczęściej używane w prawdziwym życiu?
2. Jaką rolę odgrywa trygonometria w astronomii, fizyce, biologii i medycynie?
3. W jaki sposób architektura, muzyka i trygonometria są ze sobą powiązane?

Hipoteza

Testowanie hipotez

Trygonometria (z gr.trygon - trójkąt,metro - metr) -

Historia trygonometrii:

Starożytni ludzie obliczali wysokość drzewa, porównując długość jego cienia z długością cienia słupa, którego wysokość była znana. Gwiazdy obliczyły położenie statku na morzu.

Kolejny krok w rozwoju trygonometrii zrobili Indianie w okresie od V do XII wieku.

Sam termin cosinus pojawił się znacznie później w pracach naukowców europejskich po raz pierwszy pod koniec XVI wieku od tzw. sinus kąta dopełniającego dany kąt do 90°. „Dopełnienie sinusowe” lub (po łacinie) sinus completei zaczęto skracać jako sinus co lub co-sinus.

W XVII - XIX wieku. trygonometria staje się jednym z działów analizy matematycznej.

Znajduje duże zastosowanie w mechanice, fizyce i technice, zwłaszcza w badaniu ruchów oscylacyjnych i innych procesów okresowych.

Jean Fourier udowodnił, że każdy ruch okresowy można przedstawić (z dowolnym stopniem dokładności) jako sumę prostych oscylacji harmonicznych.

w system analizy matematycznej.

Gdzie stosuje się trygonometrię?

Obliczenia trygonometryczne są stosowane w prawie wszystkich dziedzinach życia człowieka. Na uwagę zasługuje zastosowanie w takich dziedzinach jak: astronomia, fizyka, przyroda, biologia, muzyka, medycyna i wiele innych.

Trygonometria w astronomii:

Potrzeba rozwiązywania trójkątów została po raz pierwszy odkryta w astronomii; dlatego przez długi czas trygonometria była rozwijana i badana jako jedna z gałęzi astronomii.

Osiągnięcia Viety w trygonometrii
Kompletne rozwiązanie problemu wyznaczania wszystkich elementów trójkąta płaskiego lub sferycznego z trzech podanych elementów, ważne rozwinięcia sin nx i cos nx w potęgach cos x i sinx. Znajomość wzoru na sinusy i cosinusy wielu łuków umożliwiła Vietowi rozwiązanie równania 45 stopnia zaproponowanego przez matematyka A. Roomena; Viet wykazał, że rozwiązanie tego równania sprowadza się do podzielenia kąta na 45 równych części i że równanie to ma 23 dodatnie pierwiastki. Viet rozwiązał problem Apoloniusza za pomocą linijki i kompasu.
Rozwiązywanie trójkątów sferycznych jest jednym z zadań astronomii Oblicz boki i kąty dowolnego trójkąta sferycznego z trzech odpowiednio danych boków lub kątów za pomocą następujących twierdzeń: (twierdzenie o sinusie) (twierdzenie o cosinusie kątów) (twierdzenie o cosinusie o bokach).

Trygonometria w fizyce:

W otaczającym nas świecie mamy do czynienia z okresowymi procesami, które powtarzają się w regularnych odstępach czasu. Procesy te nazywane są oscylacyjnymi. Zjawiska oscylacyjne o różnej naturze fizycznej podlegają powszechnym prawom i są opisywane tymi samymi równaniami. Są różne rodzaje zjawisk oscylacyjnych.

oscylacja harmoniczna- zjawisko okresowej zmiany wielkości, w której zależność od argumentu ma charakter funkcji sinus lub cosinus. Na przykład wielkość, która zmienia się w czasie w następujący sposób, zmienia się harmonicznie:

Gdzie x to wartość zmieniającej się wielkości, t to czas, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna oscylacji, to pełna faza oscylacji, r to początkowa faza oscylacji.

Uogólnione oscylacja harmoniczna w postaci różniczkowej x'' + ω²x = 0.

Drgania mechaniczne . Drgania mechaniczne zwane ruchami ciał, które powtarzają się dokładnie w tych samych odstępach czasu. Obraz graficzny Funkcja ta daje wizualną reprezentację przebiegu procesu oscylacyjnego w czasie. Przykładami prostych mechanicznych systemów oscylacyjnych są ciężarek na sprężynie lub wahadło matematyczne.

Trygonometria w przyrodzie.

Często zadajemy pytanie Dlaczego czasami widzimy rzeczy, których tak naprawdę nie ma?. Do badań proponuje się następujące pytania: „Jak wygląda tęcza? Zorza polarna?”, „Co to jest iluzje optyczne? „Jak trygonometria może pomóc odpowiedzieć na te pytania?”.

Teorię tęczy po raz pierwszy przedstawił w 1637 roku René Descartes. Wyjaśnił tęczę jako zjawisko związane z odbiciem i załamaniem światła w kroplach deszczu.

Aurora Borealis Wnikanie naładowanych cząstek wiatru słonecznego do górnych warstw atmosfery planet jest determinowane oddziaływaniem pola magnetycznego planety z wiatrem słonecznym.

Siła działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym nazywana jest siłą Lorentza. Jest proporcjonalny do ładunku cząstki i iloczynu wektorowego pola i prędkości cząstki.

Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia.

Ponadto biologia posługuje się takim pojęciem jak zatoka szyjna, zatoka szyjna oraz zatoka żylna lub jamista.

Trygonometria odgrywa ważną rolę w medycynie. Z jego pomocą irańscy naukowcy odkryli formułę serca - złożoną równość algebraiczno-trygonometryczną, składającą się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii.

Jeden z podstawowe właściwościŻywa przyroda to cykliczność większości zachodzących w niej procesów.

Rytmy biologiczne, biorytmy

Podstawowy rytm ziemi- codziennie.

Model biorytmów można zbudować za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Trygonometria w biologii

Jakie procesy biologiczne są związane z trygonometrią?

Rytmy biologiczne, biorytmy związane z trygonometrią

Model biorytmów można zbudować za pomocą wykresów funkcji trygonometrycznych. W tym celu należy podać datę urodzenia osoby (dzień, miesiąc, rok) oraz czas trwania prognozy

Ruch ryb w wodzie odbywa się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu.

Pojawienie się harmonii muzycznej

Według legend, które pochodzą ze starożytności, pierwszymi, którzy próbowali to zrobić, byli Pitagoras i jego uczniowie.

Częstotliwości odpowiadające tej samej nucie w pierwszej, drugiej itd. oktawy są powiązane jako 1:2:4:8…

skala diatoniczna 2:3:5

Trygonometria w architekturze

Szkoła dla dzieci Gaudiego w Barcelonie

Swiss Re Insurance Corporation w Londynie

Restauracja Felix Candela w Los Manantiales

Interpretacja

Podaliśmy tylko niewielką część tego, gdzie można znaleźć funkcje trygonometryczne. Dowiedzieliśmy się, że trygonometria powstała z potrzeby mierzenia kątów, ale z czasem rozwinęła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Uważamy, że trygonometria znajduje odzwierciedlenie w naszym życiu i sferach

w których odgrywa ważną rolę, będzie się rozszerzać.

Dowiedziałem sięże trygonometria powstała z potrzeby mierzenia kątów, ale z czasem rozwinęła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Udowodnionoże trygonometria jest ściśle związana z fizyką, występującą w przyrodzie, muzyce, astronomii i medycynie.

Myślimyże trygonometria znajduje odzwierciedlenie w naszym życiu, a obszary, w których odgrywa ważną rolę, będą się rozszerzać.

7. Literatura.

Program Maple6 implementujący obraz wykresów

„Wikipedia”

Studia.ru

„Biblioteka” Math.ru

Wyświetl zawartość prezentacji
„Danilova TV”

" Trygonometria w otaczającym nas świecie i życiu człowieka "

Cele badań:

Połączenie trygonometrii z prawdziwym życiem.

problematyczne pytanie 1. Jakie koncepcje trygonometrii są najczęściej używane w prawdziwym życiu? 2. Jaką rolę odgrywa trygonometria w astronomii, fizyce, biologii i medycynie? 3. W jaki sposób architektura, muzyka i trygonometria są ze sobą powiązane?

Hipoteza

Większość fizycznych zjawisk przyrody, procesów fizjologicznych, wzorców w muzyce i sztuce można opisać za pomocą trygonometrii i funkcji trygonometrycznych.

Co to jest trygonometria???

Trygonometria (z greckiego trygononu - trójkąt, metro - metr) - mikrosekcja matematyki, która bada związek między kątami i długościami boków trójkątów, a także tożsamości algebraiczne funkcji trygonometrycznych.

Historia trygonometrii

Początki trygonometrii sięgają starożytnego Egiptu, Babilonii i doliny Indusu ponad 3000 lat temu.

Słowo trygonometria pojawia się po raz pierwszy w 1505 roku w tytule książki niemieckiego matematyka Pitiscusa.

Po raz pierwszy metody rozwiązywania trójkątów oparte na zależnościach między bokami i kątami trójkąta odkryli starożytni greccy astronomowie Hipparch i Ptolemeusz.

Starożytni ludzie obliczali wysokość drzewa, porównując długość jego cienia z długością cienia słupa, którego wysokość była znana.

Gwiazdy obliczyły położenie statku na morzu.

Kolejny krok w rozwoju trygonometrii zrobili Indianie w okresie od V do XII wieku.

W różnica w stosunku do Greków ejtsy zaczął uwzględniać i wykorzystywać w obliczeniach nie cały akord MM  odpowiedni kąt środkowy, ale tylko jego połowa MP, czyli sinus  połowie środkowego rogu.

Sam termin cosinus pojawił się znacznie później w pracach naukowców europejskich po raz pierwszy pod koniec XVI wieku z tzw. « dodatek sinusoidalny » , tj. sinus kąta dopełniającego dany kąt do 90  . « Dodatek sinusoidalny » lub (po łacinie) sinus completei zostało skrócone jako sinus co lub co-sinus.

Wraz z sinusem Indianie wprowadzili do trygonometrii cosinus , a dokładniej, zaczęli używać w swoich obliczeniach linii cosinusowej. Znali też proporcje cos  = grzech(90  -  ) i grzech 2  + cos 2  = r 2 , a także wzory na sinus sumy i różnicy dwóch kątów.

W XVII - XIX wieku. staje się trygonometria

jeden z działów analizy matematycznej.

Znajduje doskonałe zastosowanie w mechanice,

fizyki i technologii, zwłaszcza podczas nauki

ruchy oscylacyjne i inne

procesy okresowe.

Viet wiedział o właściwościach okresowości funkcji trygonometrycznych, których pierwsze badania matematyczne były związane z trygonometrią.

Udowodniono, że każdy periodyk

ruch może być

przedstawiony (z dowolnym stopniem

dokładność) jako suma prosta

wibracje harmoniczne.

Założyciel analityczny

teorie

trygonometryczny Funkcje .

Leonharda Eulera

We „Wstępie do analizy nieskończoności” (1748)

traktuje sinus, cosinus itp. nie jak

linie trygonometryczne, wymagane

związane z kręgiem, ale jak

funkcje trygonometryczne, które

postrzegane jako związek

trójkąt prostokątny jako numeryczny

wielkie ilości.

Wykluczone z moich formuł

R to cały sinus, biorąc

R = 1 i uproszczone w ten sposób

sposób pisania i liczenia.

Rozwija doktrynę

o funkcjach trygonometrycznych

jakikolwiek argument.

W XIX wieku kontynuowany

rozwój teorii

trygonometryczny

Funkcje.

NI Łobaczewski

„Rozważania geometryczne”, pisze Łobaczewski, „są konieczne aż do początków trygonometrii, dopóki nie posłużą do odkrycia charakterystycznej właściwości funkcji trygonometrycznych… Stąd trygonometria staje się całkowicie niezależna od geometrii i ma wszystkie zalety analizy”.

Etapy rozwoju trygonometrii:

Trygonometria powstała z potrzeby mierzenia kątów.

Pierwszym krokiem w trygonometrii było ustalenie zależności między wielkością kąta a stosunkiem specjalnie skonstruowanych odcinków linii. Rezultatem jest umiejętność rozwiązywania płaskich trójkątów.

Konieczność zestawienia wartości wprowadzonych funkcji trygonometrycznych.

Funkcje trygonometryczne stały się niezależnymi obiektami badań.

W XVIII wieku. funkcje trygonometryczne zostały włączone

w system analizy matematycznej.

Gdzie stosuje się trygonometrię?

Trygonometria w astronomii

Potrzeba rozwiązywania trójkątów została po raz pierwszy odkryta w astronomii; dlatego przez długi czas trygonometria była rozwijana i badana jako jedna z gałęzi astronomii.

Trygonometria osiągnęła również znaczne wyżyny wśród średniowiecznych astronomów indyjskich.

Głównym osiągnięciem indyjskich astronomów była wymiana akordów

zatoki, które umożliwiały wejście różne funkcje powiązany

z bokami i kątami trójkąta prostokątnego.

Tak więc w Indiach położono początek trygonometrii.

jako doktryna wielkości trygonometrycznych.

Tabele pozycji Słońca i Księżyca opracowane przez Hipparcha pozwoliły przewidzieć momenty początku zaćmień (z błędem 1-2 godzin). Hipparch jako pierwszy zastosował metody trygonometrii sferycznej w astronomii. Poprawił dokładność obserwacji, wykorzystując gwinty w instrumentach goniometrycznych - sekstantach i ćwiartkach - do nakierowania gwiazdy na gwiazdę. Naukowiec sporządził katalog pozycji 850 ogromnych wówczas gwiazd, dzieląc je według jasności na 6 stopni (wielkości). Hipparch wprowadził współrzędne geograficzne - szerokość i długość geograficzną i można go uznać za twórcę geografii matematycznej. (ok. 190 pne - ok. 120 pne)

Hipparch

Trygonometria w fizyce

Drgania mechaniczne

Wibracje harmoniczne

Wibracje harmoniczne

oscylacja harmoniczna - zjawisko okresowej zmiany wielkości, w której zależność od argumentu ma charakter funkcji sinus lub cosinus. Na przykład wielkość, która zmienia się w czasie w następujący sposób, zmienia się harmonicznie:

Lub

Gdzie x to wartość zmieniającej się wielkości, t to czas, A to amplituda oscylacji, ω to częstotliwość cykliczna oscylacji, to pełna faza oscylacji, r to początkowa faza oscylacji.

Uogólniona oscylacja harmoniczna w postaci różniczkowej x'' + ω²x = 0.

Drgania mechaniczne

Drgania mechaniczne zwane ruchami ciał, które powtarzają się dokładnie w tych samych odstępach czasu. Graficzna reprezentacja tej funkcji daje wizualną reprezentację przebiegu procesu oscylacyjnego w czasie.

Przykładami prostych mechanicznych systemów oscylacyjnych są ciężarek na sprężynie lub wahadło matematyczne.

Wahadło matematyczne

Rysunek przedstawia oscylacje wahadła, które porusza się po krzywej zwanej cosinusem.

Trajektoria pocisku i rzuty wektorowe na osie X i Y

Z rysunku widać, że rzuty wektorów odpowiednio na osie X i Y są równe

υ x = υ o sałata α

υ y = υ o grzech α

Trygonometria w przyrodzie

Często zadajemy pytanie Dlaczego czasami widzimy rzeczy, których tak naprawdę nie ma?. Do badań proponuje się następujące pytania: „Jak wygląda tęcza? Zorza polarna?”, „Czym są złudzenia optyczne?” „Jak trygonometria może pomóc odpowiedzieć na te pytania?”.

iluzje optyczne

naturalny

sztuczny

mieszany

teoria tęczy

Tęcza powstaje w wyniku załamania światła słonecznego przez zawieszone w powietrzu kropelki wody prawo załamania:

Teorię tęczy po raz pierwszy przedstawił w 1637 roku René Descartes. Wyjaśnił tęczę jako zjawisko związane z odbiciem i załamaniem światła w kroplach deszczu.

grzech α / grzech β = n 1 /N 2

gdzie n 1 \u003d 1, n 2 ≈1,33 to odpowiednio współczynniki załamania światła powietrza i wody, α to kąt padania, a β to kąt załamania światła.

Zorza polarna

Penetracja naładowanych cząstek wiatru słonecznego do górnych warstw atmosfery planet jest determinowana oddziaływaniem pola magnetycznego planety z wiatrem słonecznym.

Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia.

Ponadto biologia posługuje się takim pojęciem jak zatoka szyjna, zatoka szyjna oraz zatoka żylna lub jamista.

Trygonometria odgrywa ważną rolę w medycynie. Z jego pomocą irańscy naukowcy odkryli formułę serca - złożoną równość algebraiczno-trygonometryczną, składającą się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii.

Jeden z podstawowe właściwościŻywa przyroda to cykliczność większości zachodzących w niej procesów.

Rytmy biologiczne, biorytmy to mniej lub bardziej regularne zmiany charakteru i intensywności procesów biologicznych.

Podstawowy rytm ziemi- codziennie.

Model biorytmów można zbudować za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Trygonometria w biologii

Jakie procesy biologiczne są związane z trygonometrią?

Trygonometria odgrywa ważną rolę w medycynie. Z jego pomocą irańscy naukowcy odkryli formułę serca - złożoną równość algebraiczno-trygonometryczną, składającą się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii.
Rytmy biologiczne, biorytmy są związane z trygonometrią.

Model biorytmów można zbudować za pomocą wykresów funkcji trygonometrycznych.

W tym celu należy podać datę urodzenia danej osoby (dzień, miesiąc, rok) oraz czas trwania prognozy.

Trygonometria w biologii

Ruch ryb w wodzie odbywa się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu.

Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej przypominającej wykres funkcji y=tgx.

Pojawienie się harmonii muzycznej

Według legend, które pochodzą ze starożytności, pierwszymi, którzy próbowali to zrobić, byli Pitagoras i jego uczniowie.

Odpowiednie częstotliwości

ta sama nuta w pierwszej, drugiej itd. oktawy są powiązane jako 1:2:4:8…

skala diatoniczna 2:3:5

Muzyka ma swoją własną geometrię

Czworościan różnych typów akordów czterech dźwięków:

niebieski - małe interwały;

cieplejsze tony – bardziej „rozładowane” dźwięki akordów; czerwona kula to najbardziej harmonijny akord z równymi odstępami między nutami.

sałata 2 C + grzech 2 C = 1

AC- odległość od szczytu posągu do oczu osoby,

JAKIŚ- wysokość pomnika,

grzech C jest sinusem kąta padania.

Trygonometria w architekturze

Szkoła dla dzieci Gaudiego w Barcelonie

Swiss Re Insurance Corporation w Londynie

y = f(λ)cos θ

z = f(λ)sin θ

Feliks Kandela Restauracja w Los Manantiales

Dowiedziałem sięże trygonometria powstała z potrzeby mierzenia kątów, ale z czasem rozwinęła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Udowodnionoże trygonometria jest ściśle związana z fizyką, występującą w przyrodzie, muzyce, astronomii i medycynie.

Myślimyże trygonometria znajduje odzwierciedlenie w naszym życiu, a obszary, w których odgrywa ważną rolę, będą się rozszerzać.

Trygonometria przeszła długą drogę w rozwoju. A teraz możemy śmiało powiedzieć, że trygonometria nie zależy od innych nauk, a inne nauki zależą od trygonometrii.

Masłowa T.N. „Podręcznik dla ucznia z matematyki”
Program Maple6 implementujący obraz wykresów
„Wikipedia”
Studia.ru
„Biblioteka” Math.ru
Historia matematyki od starożytności do początek XIX wieku w 3 tomach// wyd. AP Juszkiewicz. Moskwa, 1970 - tom 1-3 E. T. Bell Twórcy matematyki.
Poprzednicy współczesnej matematyki // wyd. SN Niro. Moskwa, 1983 AN Tichonow, DP Kostomarow.
Opowieści o matematyce stosowanej//Moskwa, 1979. AV Voloshinov. Matematyka i sztuka // Moskwa, 1992. Gazeta Matematyka. Dodatek do gazety z dnia 1.09.98.

Miejska budżetowa instytucja oświatowa

przeciętny Szkoła ogólnokształcąca №10

z dogłębną nauką poszczególnych przedmiotów

Projekt zrealizowali:

Pawłow Roman

uczeń klasy 10b

Kierownik:

nauczyciel matematyki

Boldyrewa N. A

Yelets, 2012

1. Wstęp.

3. Świat trygonometrii.

· Trygonometria w fizyce.

· Trygonometria w planimetrii.

· Trygonometria w sztuce i architekturze.

· Trygonometria w medycynie i biologii.

3.2 Graficzne przedstawienie transformacji „mało interesujących” funkcji trygonometrycznych na oryginalne krzywe (za pomocą program komputerowy„Funkcje i wykresy”).

· Krzywe we współrzędnych biegunowych (rozety).

· Krzywe we współrzędnych kartezjańskich (krzywe Lissajous).

· Ozdoby matematyczne.

4. Wniosek.

5. Lista referencji.

Cel projektu - rozwinięcie zainteresowania studiowaniem tematu "Trygonometria" w toku algebry i początek analizy przez pryzmat wartości użytkowej badanego materiału; rozbudowa reprezentacji graficznych zawierających funkcje trygonometryczne; zastosowanie trygonometrii w takich naukach jak fizyka, biologia. Odgrywa ważną rolę w medycynie, a co najciekawsze, nawet muzyka i architektura nie mogłyby się bez niej obejść.

Przedmiot badań - trygonometria

Przedmiot badań - stosowana orientacja trygonometrii; wykresy niektórych funkcji, używając wzorów trygonometrycznych.

Cele badań:

1. Rozważ historię powstania i rozwoju trygonometrii.

2. Pokazywać praktyczne zastosowania trygonometrii w różnych naukach na konkretnych przykładach.

3.Wyjaśnić na konkretnych przykładach możliwości wykorzystania funkcji trygonometrycznych, które pozwalają zamienić "mało ciekawe" funkcje w funkcje, których wykresy mają bardzo oryginalny wygląd.

Hipoteza - założenia: Połączenie trygonometrii ze światem zewnętrznym, znaczenie trygonometrii w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów, możliwości graficzne funkcji trygonometrycznych umożliwiają „materializację” wiedzy uczniów. Pozwala to lepiej zrozumieć istotną potrzebę wiedzy zdobytej w badaniu trygonometrii, zwiększa zainteresowanie studiowaniem tego tematu.

Metody badawcze - analiza literatury matematycznej na ten temat; wybór konkretnych zadań o charakterze aplikacyjnym na ten temat; symulacja komputerowa oparta na programie komputerowym. otwarta matematyka„Funkcje i wykresy” (Physicon).

1. Wstęp

„Jedno pozostaje jasne, że świat jest zorganizowany

straszne i cudowne”.

N. Rubcow

Trygonometria jest gałęzią matematyki, która bada związek między kątami i długościami boków trójkątów, a także algebraiczne tożsamości funkcji trygonometrycznych. Trudno to sobie wyobrazić, ale spotykamy się z tą nauką nie tylko na lekcjach matematyki, ale także w życiu codziennym. Być może nie zdajesz sobie z tego sprawy, ale trygonometria występuje w takich naukach jak fizyka, biologia, odgrywa ważną rolę w medycynie, a co najciekawsze, nawet muzyka i architektura nie mogłyby się bez niej obejść. Problemy z treścią praktyczną odgrywają istotną rolę w rozwijaniu umiejętności zastosowania w praktyce wiedzy teoretycznej zdobytej na studiach matematycznych. Każdy student matematyki jest zainteresowany tym, jak i gdzie wykorzystuje zdobytą wiedzę. Niniejsza praca daje odpowiedź na to pytanie.

2.Historia rozwoju trygonometrii.

Słowo trygonometria składał się z dwóch greckich słów: τρίγονον (trygon-trójkąt) oraz i μετρειν (metr - mierzyć) w dosłownym tłumaczeniu oznacza pomiar trójkąta.

Jest to zadanie - mierzenie trójkątów lub, jak się teraz mówi, rozwiązywanie trójkątów, czyli wyznaczanie wszystkich boków i kątów trójkąta według jego trzech znanych elementów (bok i dwa kąty, dwa boki i kąt lub trzy boki) – od starożytności była podstawą praktycznych zastosowań trygonometrii.

Jak każda inna nauka, trygonometria wyrosła z ludzkiej praktyki, w procesie rozwiązywania konkretnych problemów praktycznych. Pierwsze etapy rozwoju trygonometrii są ściśle związane z rozwojem astronomii. Ogromny wpływ na rozwój astronomii i ściśle z nią związanej trygonometrii wywarły potrzeby rozwijającej się nawigacji, która wymagała umiejętności prawidłowego określania kursu statku na pełnym morzu na podstawie położenia ciał niebieskich. Znaczącą rolę w rozwoju trygonometrii odegrała potrzeba kompilacji mapy geograficzne oraz ściśle z nią związaną konieczność prawidłowego wyznaczania dużych odległości na powierzchni ziemi.

Prace starożytnego greckiego astronoma miały fundamentalne znaczenie dla rozwoju trygonometrii w epoce jej powstania. Hipparch(połowa II wieku pne). Trygonometria jako nauka we współczesnym znaczeniu tego słowa była nieobecna nie tylko u Hipparcha, ale także u innych naukowców starożytności, ponieważ nadal nie mieli pojęcia o funkcjach kątów i nawet nie podnieśli kwestii związku między kąty i boki trójkąta w postaci ogólnej. Ale w istocie, używając znanych im środków elementarnej geometrii, rozwiązali problemy, którymi zajmuje się trygonometria. Jednocześnie głównym sposobem uzyskania pożądane wyniki istniała możliwość obliczania długości cięciw kołowych na podstawie znanych zależności między bokami trój-, cztero-, pięcio- i dziesięciokąta foremnego a promieniem okręgu opisanego.

Hipparch sporządził pierwsze tablice akordów, czyli tablice wyrażające długość cięciwy dla różnych kątów środkowych w okręgu o stałym promieniu. Były to w istocie tablice podwójnych sinusów połowy kąta środkowego. Jednak oryginalne tablice Hipparcha (jak prawie wszystko, co napisał) nie dotarły do nas, a wyobrażenie o nich możemy sobie wyrobić głównie z kompozycji „Wielka budowa” lub (w tłumaczeniu na arabski) „Almagest ” słynnego astronoma Klaudiusz Ptolemeusz który żył w połowie II wieku naszej ery. mi.

Ptolemeusz podzielił obwód na 360 stopni, a średnicę na 120 części. Uważał, że promień wynosi 60 części (60¢¢). Każdą z części podzielił na 60¢, każdą minutę na 60¢¢, każdą sekundę na 60 trzecich (60¢¢¢) itd., używając wskazanego podziału, Ptolemeusz wyraził bok sześciokąta foremnego wpisanego lub cięciwę odejmując łuk 60° w postaci 60 części promienia (60h), a bok kwadratu wpisanego lub cięciwę 90° zrównał z liczbą 84h51¢10². , równą średnicy koła, napisał na podstawie twierdzenia Pitagorasa: (akord a) 2 + (akord | 180-a |) 2 \u003d (średnica) 2, co odpowiada nowoczesnej formule sin2a + cos2a \u003d 1.

Almagest zawiera tablicę akordów o pół stopnia od 0° do 180°, która z naszego współczesnego punktu widzenia przedstawia tablicę sinusów dla kątów od 0° do 90° co ćwierć stopnia.

Podstawą wszystkich obliczeń trygonometrycznych wśród Greków było znane Hipparchowi twierdzenie Ptolemeusza: „prostokąt zbudowany na przekątnych czworokąta wpisanego w okrąg jest równy sumie prostokątów zbudowanych na przeciwległych bokach” (tj. iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków). Korzystając z tego twierdzenia, Grecy byli w stanie (za pomocą twierdzenia Pitagorasa) obliczyć cięciwę sumy (lub cięciwy różnicy) tych kątów lub cięciwę połowy danego kąta z cięciw dwóch kątów , tj. byli w stanie uzyskać wyniki, które teraz otrzymujemy za pomocą wzorów na sinus sumy (lub różnicy) dwóch kątów lub połowy kąta.

Nowe kroki w rozwoju trygonometrii są związane z rozwojem kultury matematycznej ludów Indie, Azja centralna i Europa (V-XII).

Ważny krok naprzód w okresie od V do XII wieku zrobili Hindusi, którzy w przeciwieństwie do Greków zaczęli uwzględniać i wykorzystywać w obliczeniach nie całą cięciwę MM¢ (patrz rysunek) odpowiedniego kąta środkowego, ale tylko jego połowa MP, czyli to, co teraz nazywamy linią sinusa połowy kąta środkowego.

Wraz z sinusem Indianie wprowadzili do trygonometrii cosinus, a dokładniej zaczęli wykorzystywać w swoich obliczeniach cosinus. (Sam termin cosinus pojawił się w pracach naukowców europejskich znacznie później po raz pierwszy pod koniec XVI wieku od tzw. 90 ° „Sinus dopełnienia” lub (po łacinie) sinus completei zaczęto skracać jako sinus co lub co-sinus).

Znały też stosunki cosa=sin(90°-a) i sin2a+cos2a=r2 , a także wzory na sinus sumy i różnicy dwóch kątów.

Kolejny etap w rozwoju trygonometrii związany jest z krajami

Azja Środkowa, Bliski Wschód, Zakaukazie (VII-XV wiek)

Rozwijająca się w ścisłym związku z astronomią i geografią matematyka środkowoazjatycka miała wyraźny „charakter obliczeniowy” i miała na celu rozwiązywanie stosowanych problemów geometrii pomiarowej i trygonometrii, a trygonometria została w dużej mierze uformowana w specjalną dyscyplinę matematyczną właśnie w pracach Naukowcy z Azji Środkowej. Wśród najważniejszych dokonanych przez nich sukcesów wymienić należy przede wszystkim wprowadzenie wszystkich sześciu prostych trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa, siecznej i cosecans, z których tylko dwie pierwsze znane były Grekom i Hindusom.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj słupa o określonej długości (a=12) dla j= 1°,2°,3°……

Abu-l-Wafażyjący w X wieku Chorasan (940-998) sporządził podobną „tabelę stycznych”, tj. obliczył długość cienia b=a×=a×tgj rzucanego przez poziomy słup o określonej długości (a =60) na pionowej ścianie (patrz rysunek).

Należy zauważyć, że same określenia „styczny” (w dosłownym tłumaczeniu – „dotykający”) i „cotangens” wywodzą się z łacina i pojawił się w Europie znacznie później (XVI-XVII w.). Naukowcy z Azji Środkowej nazwali odpowiednie linie „cieniami”: cotangens - „pierwszy cień”, styczna - „drugi cień”.

Abu-l-Wafa podał absolutnie dokładną geometryczną definicję stycznej w okręgu trygonometrycznym i dodał linie siecznej i cosecans do linii stycznej i cotangensa. Wyraził również (werbalnie) zależności algebraiczne między wszystkimi funkcjami trygonometrycznymi, aw szczególności dla przypadku, gdy promień koła jest równy jeden. Ten niezwykle ważny przypadek został rozpatrzony przez europejskich naukowców 300 lat później. Wreszcie Abu-l-Wafa sporządził tabelę sinusów co 10 centów.

W pracach naukowców z Azji Środkowej trygonometria przekształciła się z nauki służącej astronomii w specjalną dyscyplinę matematyczną o niezależnym zainteresowaniu.

Trygonometria oddziela się od astronomii i staje się niezależna nauka. Ta gałąź jest zwykle kojarzona z nazwiskiem matematyka z Azerbejdżanu Nasiraddin Tusi ().

Po raz pierwszy w nauce europejskiej harmonijne przedstawienie trygonometrii podano w książce „O trójkątach różnego rodzaju”, napisanej przez Johanna Müllera, lepiej znany w matematyce jako Regiomontana(). Uogólnia w nim metody rozwiązywania trójkątów prostokątnych i podaje tablice sinusów z dokładnością do 0,0000001. Jednocześnie godne uwagi jest to, że przyjął on, że promień koła jest równy, tj. wartości funkcji trygonometrycznych wyraził w ułamki dziesiętne, właściwie przechodząc od systemu liczb sześćdziesiętnych do systemu dziesiętnego.

Angielski uczony z XIV wieku Bradwardine() jako pierwszy w Europie wprowadził do obliczeń trygonometrycznych cotangens zwany „cieniem bezpośrednim” i styczną zwaną „cieniem odwróconym”.

U progu XVII wieku. W rozwoju trygonometrii nakreślono nowy kierunek - analityczny. Jeśli wcześniej uważano, że głównym celem trygonometrii było rozwiązywanie trójkątów, obliczanie elementów kształtów geometrycznych i doktryna funkcji trygonometrycznych opierała się na podstawa geometryczna, następnie w XVII-XIX wieku. trygonometria stopniowo staje się jednym z rozdziałów analizy matematycznej. Wiedziałem też o własnościach okresowości funkcji trygonometrycznych wietnamski, których pierwsze badania matematyczne były związane z trygonometrią.

Szwajcarski matematyk Jan Bernoulli () używał już symboli funkcji trygonometrycznych.

W pierwszej połowie XIXw. Francuski naukowiec J. Fouriera udowodnił, że każdy ruch okresowy można przedstawić jako sumę prostych oscylacji harmonicznych.

Ogromne znaczenie w historii trygonometrii miała praca słynnego petersburskiego akademika Leonharda Eulera(), nadał całej trygonometrii nowoczesny wygląd.

W swojej pracy „Wprowadzenie do analizy” (1748) Euler rozwinął trygonometrię jako naukę o funkcjach trygonometrycznych, nadał jej analityczną prezentację, wyprowadzając cały zestaw wzorów trygonometrycznych z kilku podstawowych wzorów.

Euler jest właścicielem ostatecznego rozwiązania kwestii znaków funkcji trygonometrycznych we wszystkich ćwiartkach koła, wyprowadzenia wzorów redukcji dla przypadków ogólnych.

Po wprowadzeniu do matematyki nowych funkcji - trygonometrycznych, celowe stało się postawienie kwestii rozszerzenia tych funkcji na nieskończoną serię. Okazuje się, że takie rozszerzenia są możliwe:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Serie te znacznie ułatwiają tworzenie tabel wielkości trygonometrycznych i znajdowanie ich z dowolnym stopniem dokładności.

W pracach ukończono analityczną konstrukcję teorii funkcji trygonometrycznych, zapoczątkowaną przez Eulera , Gaussa, Cauchy'ego, Fouriera i innych.

Obecnie trygonometria nie jest już uważana za niezależną gałąź matematyki. Jego najważniejsza część, doktryna funkcji trygonometrycznych, jest częścią bardziej ogólnej doktryny funkcji badanych w analizie matematycznej, zbudowanej z jednolitego punktu widzenia; druga część - rozwiązanie trójkątów - jest uważana za głowę geometrii.

3. Świat trygonometrii.

3.1 Zastosowanie trygonometrii w różnych naukach.

Obliczenia trygonometryczne są stosowane w prawie wszystkich dziedzinach geometrii, fizyki i inżynierii.

Ogromne znaczenie ma technika triangulacji, która umożliwia mierzenie odległości do pobliskich gwiazd w astronomii, między punktami orientacyjnymi w geografii oraz sterowanie systemami nawigacji satelitarnej. Na uwagę zasługuje zastosowanie trygonometrii w następujących dziedzinach: technologia nawigacji, teoria muzyki, akustyka, optyka, analiza rynków finansowych, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, statystyka, biologia, medycyna (w tym ultrasonografia), tomografia komputerowa, farmacja, chemia, liczba teoria, sejsmologia, meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia, geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, budowa maszyn, grafika komputerowa, krystalografia.

Trygonometria w fizyce.

Wibracje harmoniczne.

Kiedy punkt porusza się po linii prostej naprzemiennie w jednym lub drugim kierunku, wtedy mówią, że punkt tworzy fluktuacje.

Jednym z najprostszych rodzajów oscylacji jest ruch wzdłuż osi rzutu punktu M, który obraca się równomiernie wokół obwodu. Prawo tych oscylacji ma postać x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Zwykle zamiast tej częstotliwości bierze się pod uwagę częstotliwość cyklicznaw=, wskazując prędkość kątową obrotu wyrażoną w radianach na sekundę. W tych zapisach mamy: x=Rsałata(wt+A). (2)

Numer A zwany początkowa faza oscylacji.

Badanie wszelkiego rodzaju oscylacji jest ważne już z tego powodu, że bardzo często spotykamy się z ruchami oscylacyjnymi lub falami w otaczającym nas świecie i wykorzystujemy je z dużym powodzeniem (fale dźwiękowe, fale elektromagnetyczne).

Drgania mechaniczne.

Drgania mechaniczne to ruchy ciał, które powtarzają się dokładnie (lub w przybliżeniu) w regularnych odstępach czasu. Przykładami prostych układów oscylacyjnych są ciężarek na sprężynie lub wahadło. Weźmy na przykład ciężarek zawieszony na sprężynie (patrz ryc.) i popchnijmy go w dół. Kettlebell zacznie oscylować w górę iw dół..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Wykres wahań (2) uzyskuje się z wykresu wahań (1) przez przesunięcie w lewo

NA . Liczba a nazywana jest fazą początkową.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), gdzie l to długość wahadła, a j0 to początkowy kąt odchylenia. Im dłuższe wahadło, tym wolniej się kołysze (widać to wyraźnie na ryc. 1-7, dodatek VIII). Rysunek 8-16, Dodatek VIII wyraźnie pokazuje, jak zmiana początkowego odchylenia wpływa na amplitudę oscylacji wahadła, podczas gdy okres się nie zmienia. Mierząc okres drgań wahadła o znanej długości, można obliczyć przyspieszenie grawitacyjne Ziemi g w różnych punktach na powierzchni Ziemi.

Rozładowanie kondensatora.

Nie tylko wiele drgań mechanicznych zachodzi zgodnie z prawem sinusoidalnym. W obwodach elektrycznych występują oscylacje sinusoidalne. Tak więc w obwodzie przedstawionym po prawej stronie górny róg modeli, ładunek na okładkach kondensatora zmienia się zgodnie z prawem q \u003d CU + (q0 - CU) cos ωt, gdzie C to pojemność kondensatora, U to napięcie na źródle prądu, L to indukcyjność kondensatora cewki, https://pandia.ru/text/78 /114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=">Dzięki modelowi kondensatora dostępnemu w zakładce Funkcje i W programie Wykresy można ustawić parametry obwodu oscylacyjnego i zbudować odpowiadające im wykresy g(t) oraz I(t).Wykresy 1-4 wyraźnie pokazują, jak napięcie wpływa na zmianę natężenia prądu i ładunku kondensatora, podczas gdy jasne jest, że przy dodatnim napięciu ładunek również przyjmuje wartości dodatnie.Rysunek 5-8 w dodatku IX pokazuje, że gdy zmienia się pojemność kondensatora (gdy zmienia się indukcyjność cewki na ryc. 9-14 w dodatku IX) a pozostałe parametry pozostają niezmienione, zmienia się okres oscylacji, tj. zmienia się częstotliwość oscylacji prądu w obwodzie i zmienia się częstotliwość ładowania kondensatora.. (patrz załącznik IX).

Jak połączyć dwie rury.

Podane przykłady mogą sprawiać wrażenie, że sinusoidy występują tylko w połączeniu z oscylacjami. Jednak tak nie jest. Na przykład sinusoidy są używane podczas łączenia dwóch cylindrycznych rur pod kątem względem siebie. Aby połączyć dwie rury w ten sposób, musisz je przeciąć ukośnie.

Jeśli ukośnie rozłożysz rurę, zostanie ona ograniczona od góry sinusoidą. Można to sprawdzić, owijając świecę papierem, przecinając go ukośnie i rozkładając papier. Dlatego, aby uzyskać równomierne cięcie rury, można najpierw przeciąć blachę od góry wzdłuż sinusoidy i zwinąć ją w rurę.

teoria tęczy.

Teoria tęczy została po raz pierwszy podana 1637 przez René Descartesa. Wyjaśnił tęczę jako zjawisko związane z odbiciem i załamaniem światła w kroplach deszczu.

Tęcza powstaje, ponieważ światło słoneczne załamuje się w kropelkach wody zawieszonych w powietrzu zgodnie z prawem załamania:

gdzie n1=1, n2≈1,33 to odpowiednio współczynniki załamania powietrza i wody, α to kąt padania, a β to kąt załamania światła.

Zorza polarna

Penetracja naładowanych cząstek wiatru słonecznego do górnych warstw atmosfery planet jest determinowana oddziaływaniem pola magnetycznego planety z wiatrem słonecznym.

Siła działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym nazywana jest siłą Lorenz. Jest proporcjonalny do ładunku cząstki i iloczynu wektorowego pola i prędkości cząstki

Zagadnienia trygonometrii o treści praktycznej.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Wyznaczanie współczynnika tarcia.

Ciało o masie P leży na równi pochyłej o kącie nachylenia a. Ciało pod wpływem własnego ciężaru przyspieszyło drogę S w t sekund. Wyznacz współczynnik tarcia k.

Siła nacisku ciała na równi pochyłej = kPcosa.

Siła, która ciągnie ciało w dół, to F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Jeśli ciało porusza się po pochyłej płaszczyźnie, przyspieszenie wynosi a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; stąd 2)

Z równości (1) i (2) wynika, że g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Trygonometria w planimetrii.

Podstawowe wzory rozwiązywania problemów w geometrii za pomocą trygonometrii:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Stosunek boków i kątów w trójkącie prostokątnym:

1) Ramię trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi drugiej nogi i stycznej przeciwległego kąta.

2) Ramię trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi przeciwprostokątnej i sinusa kąta zawartego.

3) Ramię trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi przeciwprostokątnej i cosinusa kąta zawartego.

4) Ramię trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi drugiej nogi i cotangensa kąta zawartego.

Zadanie 1:Po bokach AB i CTrapez równoramiennyABCD punkty M iN w taki sposób, że liniaMN jest równoległa do podstaw trapezu. Wiadomo, że w każdym z utworzonych małych trapezówMBCN iAMND można wpisać okrąg, a promienie tych okręgów są równer iodpowiednio R. Znajdź podstawyAD iPNE.

Dany: ABCD-trapez, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, w trapezy MBCN i AMND można wpisać okrąg o promieniu odpowiednio r i R.

Znajdować: AD i pne.

Rozwiązanie:

Niech O1 i O2 będą środkami okręgów wpisanych w małe trapezy. Bezpośredni O1K||CD.

W ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Ponieważ ∆O2FD jest prostokątem, to O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Ponieważ AD=2DF=2R*ctg(α/2),

podobnie BC = 2r*tg(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), wtedy AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), znajdujemy odpowiedź.

Odpowiedź : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Zadanie 2:W trójkącie Strony znane z ABC B, c i kąt między medianą a wysokością wychodzącą z wierzchołka A. Oblicz pole trójkąta ABC.

Dany: ∆ ABC, AD-wysokość, AE-mediana, DAE=α, AB=c, AC=b.

Znajdować: S∆ABC.

Rozwiązanie:

Niech CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Z twierdzenia cosinusów w ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); aw ∆ACE, z twierdzenia cosinusowego c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Odejmując równości 2 od 1 otrzymujemy c²-b²=4xy*cosγ(3).

Skoro S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), to dzieląc 3 równości przez 4 otrzymujemy: (c²-b²)/S=4*ctgγ, ale ctgγ=tgαb, więc S∆ABC= ( c²- b²)/4*tgα.

Odpowiedź: (s²- b² )/4*tg α .

Trygonometria w sztuce i architekturze.

Architektura nie jest jedyną dziedziną nauki, w której stosuje się wzory trygonometryczne. Większość decyzji kompozycyjnych i konstrukcji rysunków odbywała się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Chcę podać przykład konstrukcji jednej rzeźby francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

Proporcjonalny stosunek w konstrukcji posągu był doskonały. Kiedy jednak posąg został podniesiony na wysoki cokół, wyglądał brzydko. Rzeźbiarz nie wziął pod uwagę, że wiele detali jest perspektywicznie zredukowanych ku horyzontowi, a patrząc od dołu do góry, nie tworzy się już wrażenia jego idealności. Przeprowadzono wiele obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie celowania, czyli przybliżonym pomiarze na oko. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Zatem znając przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do oczu osoby oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania wzroku za pomocą tabeli (możemy zrobić to samo z dolnym punktem widzenia), znajdując w ten sposób wizję punktową (ryc. 1)

Sytuacja się zmienia (ryc. 2), ponieważ podnosząc posąg na wysokość AC i HC wzrasta, możemy obliczyć cosinus kąta C, korzystając z tabeli znajdujemy kąt padania spojrzenia. W procesie możesz obliczyć AH, a także sinus kąta C, co pozwoli ci sprawdzić wyniki za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej cos 2+grzech 2za = 1.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trygonometria w medycynie i biologii.

Model biorytmu

Model biorytmów można zbudować za pomocą funkcji trygonometrycznych. Aby zbudować model biorytmów, należy wprowadzić datę urodzenia osoby, datę odniesienia (dzień, miesiąc, rok) oraz czas trwania prognozy (liczba dni).

Ruch ryb w wodzie występuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej przypominającej wykres funkcji y=tgx.

Formuła serca

W wyniku badania przeprowadzonego przez irańskiego studenta uniwersytetu Shiraz Wahid-Reza Abbasi, po raz pierwszy lekarze byli w stanie uporządkować informacje związane z czynnością elektryczną serca, czyli innymi słowy z elektrokardiografią.
Formuła, nazwana Teheran, została zaprezentowana ogółowi naukowców na 14. Konferencji Medycyny Geograficznej, a następnie na 28. Konferencji Zastosowań Technologii Komputerowych w Kardiologii, która odbyła się w Holandii. Formuła ta jest złożonym równaniem algebraiczno-trygonometrycznym, składającym się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadkach arytmii. Zdaniem lekarzy formuła ta znacznie ułatwia proces opisywania głównych parametrów pracy serca, przyspieszając tym samym postawienie diagnozy i rozpoczęcie właściwego leczenia.

Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów.

Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Ściśle mówiąc, idea „pomiaru kątów” nie jest nowa. Więcej artystów Starożytne Chiny rysował odległe obiekty wyżej w polu widzenia, nieco zaniedbując prawa perspektywy. Alhazen, arabski naukowiec żyjący w XI wieku, sformułował teorię określania odległości poprzez szacowanie kątów. Po długim zapomnieniu w połowie ubiegłego stulecia pomysł ten wskrzesił psycholog James Gibson, który swoje wnioski oparł na doświadczeniach z pilotami. lotnictwo wojskowe. Jednak po omówieniu teorii

znowu zapomniany.

3.2 Graficzne przedstawienie transformacji „mało interesujących” funkcji trygonometrycznych na oryginalne krzywe.

Krzywe we współrzędnych biegunowych.

Z. 16is. 19 Gniazda.

We współrzędnych biegunowych wybierany jest pojedynczy segment mi, biegun O i oś biegunowa Ox. Położenie dowolnego punktu M jest określone przez promień biegunowy OM i kąt biegunowy j utworzony przez wiązkę OM i wiązkę Ox. Liczba r wyrażająca długość OM pod względem mi(OM=re) oraz wartość liczbowa kąta j, wyrażona w stopniach lub radianach, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu M.

Dla dowolnego punktu innego niż O możemy założyć, że 0≤j<2p и r>0. Jednak podczas konstruowania krzywych odpowiadających równaniom postaci r=f(j) naturalne jest przypisanie zmiennej j dowolnych wartości (również ujemnych i przekraczających 2p), a r może okazać się być zarówno pozytywne, jak i negatywne.

Aby znaleźć punkt (j, r), rysujemy z punktu O promień tworzący z osią Ox kąt j i kreślimy na nim (dla r>0) lub na jego przedłużeniu w przeciwnym kierunku (dla r>0) odcinek ½ r ½e.

Wszystko zostanie znacznie uproszczone, jeśli najpierw skonstruujesz siatkę współrzędnych składającą się z koncentrycznych okręgów o promieniach e, 2e, 3e itd. (środek na biegunie O) i promieni, dla których j = 0 °, 10 °, 20 °, .. ,340°,350°; promienie te będą również odpowiednie dla j<0°, и при j>360°; na przykład przy j=740° i przy j=-340° trafimy w wiązkę, dla której j=20°.

Badanie tych wykresów pomaga program komputerowy Funkcje i wykresy. Korzystając z możliwości tego programu, badamy kilka interesujących wykresów funkcji trygonometrycznych.

1 .Rozważ krzywe określone równaniami:r=+grzech3J

I.r=sin3j (koniczyna ) (rys. 1)

II. r=1/2+sin3j (rys. 2), III. r=1+ sin3j (rys.3), r=3/2+ sin3j (rys.4) .

Krzywa IV ma najmniejszą wartość r=0,5, a płatki mają wygląd niedokończony. Tak więc, gdy a > 1, płatki koniczyny mają wygląd niedokończony.

2. Rozważ krzywegdy a=0; 1/2; 1;3/2

Przy a=0 (Rys. 1), przy a=1/2 (Rys. 2), przy a=1 (Rys. 3) płatki są gotowe, przy a=3/2 będzie pięć niedokończonych płatków., (Rys. 4).

3. Ogólnie krzywar=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), ponieważ w tym sektorze 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> pojedynczy płatek wymagałby "sektora" większego niż 360°.

Rysunek 1-4 pokazuje wygląd płatków z =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" wysokość="41 źródło=">.

4. Równania znalezione przez niemieckiego przyrodnika matematyka Habenicht Dla figury geometryczne występuje w świecie roślin. Na przykład równania r=4(1+cos3j) i r=4(1+cos3j)+4sin23j odpowiadają krzywym pokazanym na rysunku 1.2.

Krzywe we współrzędnych kartezjańskich.

Krzywe Lissajous.

Wiele interesujących krzywych można również skonstruować we współrzędnych kartezjańskich. Szczególnie interesujące są krzywe, których równania podane są w postaci parametrycznej:

Gdzie t jest zmienną pomocniczą (parametrem). Rozważmy na przykład krzywe Lissajous, scharakteryzowane w ogólnym przypadku równaniami:

Jeśli jako parametr t przyjmiemy czas, to figury Lissajous będą wynikiem dodania dwóch harmonicznych ruchów oscylacyjnych wykonanych we wzajemnie prostopadłych kierunkach. W ogólnym przypadku krzywa znajduje się wewnątrz prostokąta o bokach 2a i 2c.

Przyjrzyjmy się poniższym przykładom

I.x=sin3t; y=grzech 5t (rys.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (rys.2)

III. x=sin3t; y=grzech 4 t. (Rys. 3)

Krzywe mogą być zamknięte lub otwarte.

Np. zastąpienie równań I równaniami: x=sin 3t; y=sin5(t+3) zamienia krzywą otwartą w krzywą zamkniętą (rys. 4).

Ciekawe i osobliwe są linie odpowiadające równaniom postaci

Na= arcsin(sin k(x-A)).

Z równania y=arcsin(sinx) wynika:

1) i 2) sinus=sinx.

W tych dwóch warunkach funkcja y=x spełnia. Narysuj to w przedziale (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> będziemy mieli y=p-x, ponieważ sin( p-x )=sinx i w tym przedziale

. Tutaj wykres będzie reprezentowany przez odcinek BC.

Ponieważ sinx jest funkcją okresową o okresie 2p, linia przerywana ABC zbudowana w przedziale (,) będzie powtarzana w innych sekcjach.

Równanie y=arcsin(sinkx) będzie odpowiadać przerywanej linii z kropką https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

spełnia współrzędne punktów leżących jednocześnie nad sinusoidą (dla nich y>sinx) i poniżej krzywej y=-sinx, czyli „obszar rozwiązania” układu będzie się składał z obszarów zacieniowanych na rys. 1.

2. Rozważ nierówności

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Aby rozwiązać tę nierówność, najpierw budujemy wykresy funkcji: y=sinx; y=-sinx.

Następnie malujemy obszary, w których y>sinx i jednocześnie y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Ta nierówność spełni obszary zacieniowane na ryc. 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+)))<0

Przejdźmy do następnej nierówności:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+)))(y+arcsin(sin(x+))}<0

Aby rozwiązać tę nierówność, najpierw budujemy wykresy funkcyjne: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Zróbmy tabelę możliwych rozwiązań.

1 mnożnik ma znak	2 mnożnik ma znak	3 mnożnik ma znak	4 mnożnik ma znak

Następnie rozważamy i przemalowujemy rozwiązania kolejnych układów.

)| i |y|>|grzech(x-)|.

2) Drugi mnożnik jest mniejszy od zera, tj.gif" width="17" height="41">)|.

3) Trzeci czynnik jest mniejszy od zera, tj. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| i |y|>|sin(x+dyscypliny akademickie" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">dyscypliny akademickie, technologia, życie codzienne.

Zastosowanie programu do modelowania „Funkcje i wykresy” znacznie rozszerzyło możliwości prowadzenia badań, umożliwiło materializację wiedzy przy rozważaniu zastosowań trygonometrii w fizyce. Dzięki temu programowi przeprowadzono laboratoryjne badania komputerowe drgań mechanicznych na przykładzie drgań wahadła oraz uwzględniono drgania w obwodzie elektrycznym. Zastosowanie programu komputerowego umożliwiło zbadanie interesujących krzywych matematycznych zdefiniowanych za pomocą równania trygonometryczne oraz wykreślanie we współrzędnych biegunowych i kartezjańskich. Graficzne rozwiązanie nierówności trygonometrycznych doprowadziło do rozważenia interesujących ozdób matematycznych.

5. Spis wykorzystanej literatury.

1. ., Atanasow problemów matematycznych o treści praktycznej: Książka. dla nauczyciela.-M.: Edukacja, s.

2. Vilenkin w przyrodzie i technice: Książka. do czytania pozalekcyjnego komórki IX-X - M .: Edukacja, 5s (Świat wiedzy).

3. Gry i zabawy domowe. Państwo. wyd. fizyka i matematyka oświetlony. M, 9str.

4. Trygonometria Kozhurowa dla szkół technicznych. Państwo. wyd. techniczno-teoretyczny lit. M., 1956

5. Zarezerwuj. Dla lektura pozaszkolna matematyka w liceum. Państwo. pedagogiczny. wyd. min. Przysł. RF, M., s.

6. Trygonometria Tarakanowa. 10 komórek ..-M .: Drop, s.

7. O trygonometrii i nie tylko: poradnik dla uczniów klas 9-11. -M.: Edukacja, lata 1996-80.

8. Problemy Shapiro z treściami praktycznymi w nauczaniu matematyki. Książka. dla nauczyciela.-M.: Edukacja, 1990-96s.

Przesłanie na temat trygonometrii w medycynie. Trygonometria w otaczającym nas świecie i życiu człowieka

Kroki

Naucz się podstaw trygonometrii

Zastosowanie trygonometrii

Przestudiuj materiał z wyprzedzeniem

Historia powstania trygonometrii

Wczesne stulecia

Starożytna Grecja

Średniowiecze

nowy czas

18 wiek

Zastosowanie trygonometrii

Wyświetl zawartość dokumentu „Scenariusz telewizyjny Danilova”

Wyświetl zawartość prezentacji „Danilova TV”

Wyświetl zawartość dokumentu
„Scenariusz telewizyjny Danilova”

Wyświetl zawartość prezentacji
„Danilova TV”