Съобщение по темата за тригонометрията в медицината. Тригонометрията в света около нас и човешкия живот

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Тригонометричните функции се използват за описание на свойствата на различни ъгли, триъгълници и периодични функции. Изучаването на тригонометрията ще ви помогне да разберете тези свойства. Училищни дейности и самостоятелна работаще ви помогне да научите основите на тригонометрията и да разберете много периодични процеси.

стъпки

Научете основите на тригонометрията

Запознайте се с понятието триъгълник.По същество тригонометрията се занимава с изучаването на различни връзки в триъгълници. Триъгълникът има три страни и три ъгъла. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180 градуса. Когато изучавате тригонометрия, е необходимо да се запознаете с триъгълниците и свързаните с тях понятия, като например:

хипотенузата е най-дългата страна правоъгълен триъгълник;
тъп ъгъл - ъгъл над 90 градуса;
остър ъгъл е ъгъл, по-малък от 90 градуса.

Научете се да рисувате единична окръжност.Единичната окръжност позволява да се построи всеки правоъгълен триъгълник, така че хипотенузата да е равна на единица. Това е полезно при работа с тригонометрични функции като синус и косинус. След като усвоите единичната окръжност, можете лесно да намерите стойностите на тригонометричните функции за определени ъгли и да решите задачи, в които се появяват триъгълници с тези ъгли.
- Пример 1. Синусът на ъгъл от 30 градуса е 0,50. Това означава, че дължината на катета срещу дадения ъгъл е равна на половината от дължината на хипотенузата.
- Пример 2. Използвайки това съотношение, можете да изчислите дължината на хипотенузата на триъгълник, в който има ъгъл от 30 градуса, а дължината на катета срещу този ъгъл е 7 сантиметра. В този случай дължината на хипотенузата ще бъде 14 сантиметра.
Запознайте се с тригонометричните функции.Има шест основни тригонометрични функции, които трябва да знаете, когато изучавате тригонометрия. Тези функции представляват връзките между различните страни на правоъгълен триъгълник и ви помагат да разберете свойствата на всеки триъгълник. Тези шест функции са:
- синус (грях);
- косинус (cos);
- допирателна (tg);
- секуща (сек);
- косеканс (cosec);
- котангенс (ctg).
Запомнете връзките между функциите.Когато изучаваме тригонометрията, е изключително важно да разберем, че всички тригонометрични функции са взаимосвързани. Въпреки че синус, косинус, тангенс и други функции се използват по различни начини, те са широко използвани поради факта, че има определени връзки между тях. Тези взаимоотношения са лесни за разбиране с помощта единична окръжност. Научете се да използвате единичния кръг и с помощта на връзките, които описва, ще можете да решавате много проблеми.

Приложение на тригонометрията
1. Научете за основните области на науката, които използват тригонометрията.Тригонометрията е полезна в много клонове на математиката и други точни науки. Тригонометрията може да се използва за намиране на ъгли и отсечки. В допълнение, тригонометричните функции могат да опишат всеки цикличен процес.
  - Например, вибрациите на пружина могат да бъдат описани чрез синусоидална функция.
2. Помислете за груповите процеси.Понякога абстрактните концепции на математиката и другите точни науки са трудни за разбиране. Те обаче присъстват във външния свят и това може да ги направи по-лесни за разбиране. Погледнете по-отблизо периодичните явления около вас и се опитайте да ги свържете с тригонометрията.
  - Луната има предвидим цикъл от около 29,5 дни.
3. Представете си как могат да се изучават природните цикли.Когато разберете, че в природата има много периодични процеси, помислете как можете да изучавате тези процеси. Мислено си представете как изглежда изображението на такива процеси на графика. С помощта на графика можете да напишете уравнение, което описва наблюдаваното явление. Тук са полезни тригонометричните функции.
  - Представете си приливите и отливите на морето. При прилив водата се покачва до определено ниво, а след това приливът е нисък и нивото на водата спада. След отлив следва отново прилив и нивото на водата се повишава. Този цикличен процес може да продължи безкрайно дълго. Може да се опише с тригонометрична функция, като косинус.
Проучете материала предварително
1. Прочетете съответния раздел.На някои хора им е трудно да схванат идеите на тригонометрията от първия път. Ако се запознаете със съответния материал преди урока, ще го усвоите по-добре. Опитайте се да повтаряте изучавания предмет по-често - така ще откриете повече връзки между различни понятия и понятия от тригонометрията.
  - Освен това ще ви позволи предварително да идентифицирате неясни точки.
2. Поддържайте контур.Въпреки че преглеждането на учебник е по-добро от нищо, изучаването на тригонометрия изисква бавно, замислено четене. Когато изучавате който и да е раздел, водете подробна бележка. Не забравяйте, че знанията по тригонометрия се натрупват постепенно и нов материалсе основава на това, което сте научили досега, така че записването на това, което сте научили, ще ви помогне да продължите напред.
  - Освен всичко друго, запишете въпроси, които трябва да зададете на учителя си по-късно.
3. Решете задачите, дадени в учебника.Дори ако тригонометрията е лесна за вас, трябва да решавате задачи. За да сте сигурни, че наистина разбирате какво сте научили, опитайте да решите няколко задачи преди час. Ако имате проблеми с това, ще определите какво точно трябва да разберете по време на часовете.
  - В много учебници отговорите на задачите са дадени в края. С тяхна помощ можете да проверите дали сте решили правилно задачите.
4. Вземете всичко необходимо за класа.Не забравяйте вашите бележки и решаване на проблеми. Тези удобни материали ще ви помогнат да освежите това, което вече сте научили, и да продължите напред с изучаването на материала. Също така изяснете всички въпроси, които имате, докато четете учебника.

ОБЩИНСКО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

"ГИМНАЗИЯ №1"

„ТРИГОНОМЕТРИЯТА В РЕАЛНИЯ ЖИВОТ“

информационен проект

Завършено:

Краснов Егор

ученик от 9 клас

Ръководител:

Бородкина Татяна Ивановна

Железногорск

Въведение…………………………………………………………..……3

Уместност……………………………………………………….3

Цел……………………………………………………………4

Задачи………………………………………………………….4

1.4 Методи…………………………………………………………...4

2. Тригонометрията и историята на нейното развитие………………………………..5

2.1.Тригонометрия и етапи на формиране……………………….5

2.2 Тригонометрия като термин. Характеристика……………….7

2.3 Поява на синусите……………………….……………….7

2.4 Появата на косинус…………………….……………….8

2.5 Появата на тангенс и котангенс……………………….9

2.6 По-нататъшно развитие на тригонометрията……………………..9

3. Тригонометрия и реалния живот……………………..……………...12

3.1.Навигация……………………………..…………………….....12

3.2 Алгебра………………………………..…………………….....14

3.3.Физика…………………………………..…………………….....14

3.4 Медицина, биология и биоритми………………………15

3.5.Музика…………………………….…..……………………....19

3.6.Информатика..…………………….…..……………………....21

3.7 Сферата на строителството и геодезията……………………………....22

3.8 Тригонометрията в изкуството и архитектурата………………..…..22

Заключение. ……………………………..…………………………..…..25

Препратки.………………………….…………….……………27

Приложение 1 .………………………………….…………….…………………29

Въведение

IN модерен святзначително внимание се отделя на математиката, като една от областите научна дейности учат. Както знаем, един от компонентите на математиката е тригонометрията. Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции. Смятам, че тази тема е актуална на първо място от практическа гледна точка. Завършваме училище и разбираме, че за много професии познаването на тригонометрията е просто необходимо, защото. ви позволява да измервате разстояния до близките звезди в астрономията, между забележителности в географията, да управлявате сателитни навигационни системи. Принципите на тригонометрията се използват и в области като музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук и компютърна томография), фармацевтика, химия, теория на числата (и като резултат, криптография), сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография и геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машинно инженерство, компютърна графика, кристалография.

второ, уместносттеми „Тригонометрия в Истински живот„е, че познаването на тригонометрията ще открие нови начини за решаване на различни проблеми в много области на науката и ще опрости разбирането на някои аспекти на различни науки.

Отдавна е установена практика, при която учениците се сблъскват с тригонометрията три пъти. Така че можем да кажем, че тригонометрията има три части. Тези части са взаимосвързани и зависят от времето. В същото време те са абсолютно различни, нямат подобни характеристики както по отношение на значението, което се залага при обяснението на основните понятия, така и по отношение на функциите.

Първото запознанство се случва в 8 клас. Това е периодът, в който учениците изучават: „Съотношенията между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник“. В процеса на изучаване на тригонометрията е дадена концепцията за косинус, синус и тангенс.

Следващата стъпка е да продължите запознаването с тригонометрията в 9 клас. Нивото на сложност се увеличава, начините и методите за решаване на примери се променят. Сега на мястото на косинусите и тангенсите идва кръгът и неговите възможности.

Последният етап е 10-ти клас, в който тригонометрията става по-сложна, начините за решаване на задачи се променят. Въвежда се концепцията за радианова мярка на ъгъл. Въвеждат се графики на тригонометрични функции. На този етап учениците започват да решават и учат тригонометрични уравнения. Но не като геометрията. За да разберете напълно тригонометрията, трябва да се запознаете с историята на нейното възникване и развитие. След запознаване исторически фони изучавайки дейностите на произведенията на велики фигури, математици и учени, можем да разберем как тригонометрията засяга живота ни, как помага да създаваме нови обекти, да правим открития.

целмоят проект е да проуча влиянието на тригонометрията в човешкия живот и да развия интерес към нея. След като решим тази цел, ще можем да разберем какво място заема тригонометрията в нашия свят, какви практически проблеми решава.

За да постигнем тази цел, идентифицирахме следното задачи:

1. Запознайте се с историята на формирането и развитието на тригонометрията;

2. Разгледайте примери за практическото въздействие на тригонометрията в различни области на дейност;

3. Покажете с примери възможностите на тригонометрията и нейното приложение в човешкия живот.

Методи:Търсене и събиране на информация.

1. Тригонометрия и история на нейното развитие

Какво е тригонометрия? Този термин означава раздел в математиката, който изучава връзката между различните ъгли, изучава дължините на страните на триъгълник и алгебричните идентичности на тригонометричните функции. Трудно е да си представим, че тази област на математиката ни хрумва в Ежедневието.

1.1 Тригонометрия и етапите на нейното формиране

Нека се обърнем към историята на неговото развитие, етапите на формиране. От древни времена тригонометрията е започнала, развива се и показва първите резултати. Първите сведения за появата и развитието на тази област можем да видим в ръкописите, които се намират в древен Египет, Вавилон, Древен Китай. Чрез изследване на 56-та задача от папируса Ринда (2-ро хилядолетие пр. н. е.) може да се види, че тя предлага да се намери наклонът на пирамидата, чиято височина е 250 лакти. Дължината на страната на основата на пирамидата е 360 лакти (фиг. 1). Любопитно е, че при решаването на този проблем египтяните са използвали едновременно две системи за измерване - "лакти" и "длани". Днес, когато решаваме тази задача, бихме намерили тангенса на ъгъла: знаейки половината основа и апотема (фиг. 1).

Следващата стъпка беше етапът на развитие на науката, който се свързва с астронома Аристарх от Самос, живял през III век пр.н.е. д. Трактатът, който разглежда величините и разстоянията на Слънцето и Луната, си поставя конкретна задача. Тя се изразяваше в необходимостта да се определи разстоянието до всяко небесно тяло. За да се направят такива изчисления, беше необходимо да се изчисли съотношението на страните на правоъгълен триъгълник с известна стойност на един от ъглите. Аристарх разглежда правоъгълен триъгълник, образуван от Слънцето, Луната и Земята по време на квадратурата. За да изчислите стойността на хипотенузата, която е в основата на разстоянието от Земята до Слънцето, като използвате крака, който е в основата на разстоянието от Земята до Луната, с известна стойност на включени ъгъл (87 °), което е еквивалентно на изчисляване на стойността грях ъгъл 3. Според Аристарх тази стойност е в диапазона от 1/20 до 1/18. Това предполага, че разстоянието от Слънцето до Земята е двадесет пъти по-голямо, отколкото от Луната до Земята. Знаем обаче, че Слънцето е 400 пъти по-далеч от местоположението на Луната. Възникна погрешна преценка поради неточност в измерването на ъгъла.

Няколко десетилетия по-късно Клавдий Птолемей в своята „Етногеография, аналема и планисфериум“ предоставя подробно изложение на тригонометричните допълнения към картографията, астрономията и механиката. Освен всичко друго, показва се стереографска проекция, изучават се редица фактически въпроси, например: задаване на височина и ъгъл на небесно тяло според неговата деклинация и часови ъгъл. От гледна точка на тригонометрията това означава, че е необходимо да се намери страната на сферичния триъгълник според другите 2 лица и срещуположния ъгъл (фиг. 2)

Като цяло може да се отбележи, че тригонометрията е била използвана за:

Ясно определяне на времето от деня;

Изчисляване на предстоящото местоположение на небесните тела, епизоди на техния изгрев и залез, затъмнения на Слънцето и Луната;

Намиране на географските координати на текущото местоположение;

Изчисляване на разстоянието между мегаполисите с известни географски координати.

Гномонът е древен астрономически механизъм, вертикален обект (стела, колона, стълб), който позволява да се използва най-малката дължина на сянката му по обяд, за да се определи ъгловата височина на слънцето (фиг. 3).

Така котангенсът ни беше представен като дължината на сянката от вертикален гномон с височина 12 (понякога 7) единици. Обърнете внимание, че в оригиналната версия тези определения са използвани за изчисляване на слънчевия часовник. Допирателната беше представена от сянка, падаща от хоризонтален гномон. Косекансът и секантът се разбират като хипотенузи, които съответстват на правоъгълни триъгълници.

1.2.Тригонометрията като термин. Характеристика

За първи път специфичният термин "тригонометрия" се среща през 1505 г. Той е публикуван и използван в книгата на немския теолог и математик Бартоломеус Питискус. Докато науката вече е била използвана за решаване на астрономически, архитектурни проблеми.

Терминът тригонометрия се характеризира с гръцки корени. И се състои от две части: "триъгълник" и "мярка". Изучавайки превода, можем да кажем, че имаме наука, която изучава промените в триъгълниците. Появата на тригонометрията е свързана с геодезията, астрономията и строителния процес. Въпреки че името се появи сравнително наскоро, много от определенията и данните, които понастоящем се приписват на тригонометрията, бяха известни преди 2000 г.

1.3. Появата на синусите

Представянето на синуса има дълга история. Всъщност различни връзки между сегменти на триъгълник и кръг (и по същество тригонометрични функции) са открити по-рано през 3 век. пр.н.е. в трудовете на известни математици от древна Гърция - Евклид, Архимед, Аполоний от Перга. В римския период тези взаимоотношения вече са били доста редовно изследвани от Менелай (1 век сл. Хр.), въпреки че не са получили специално име. Съвременният синус на ъгъл α, например, се изучава като полухорда, върху която лежи централният ъгъл с големина α, или като хорда на удвоена дъга.

В последвалия период математиката дълго време се формира най-бързо от индийските и арабските учени. По-специално, през 4-5 век, специален термин възниква по-рано в трудовете по астрономия на известния индийски учен Арябхата (476-ок. 550), на когото е кръстен първият индуистки спътник на Земята. Той нарече сегмента ardhajiva (ardha-половина, jiva-разкъсване на тетивата, което прилича на ос). По-късно се вкоренява по-съкратеното име джива. Арабските математици през IX век. терминът jiva (или jiba) е заменен с арабската дума jaib (вдлъбнатост). По време на прехода на арабските математически текстове през XII век. тази дума е заменена с латинската sinus (sinus-bend) (фиг. 4).

1.4. Появата на косинуса

Дефинирането и появата на термина "косинус" е с по-краткосрочен и тесногръд характер. Под косинус се разбира "допълнителен синус" (или иначе "синус на допълнителна дъга"; помнете cosα= sin(90° - a)). Интересен факт е, че първите начини за решаване на триъгълници, които се основават на връзката между страните и ъглите на триъгълник, открити от астроном от Древна ГърцияХипарх през втори век пр.н.е. Това изследване е извършено и от Клавдий Птолемей. Постепенно се появиха нови факти за връзката между съотношенията на страните на триъгълника и неговите ъгли, започна да се прилага ново определение - тригонометричната функция.

Значителен принос за формирането на тригонометрията имат арабските експерти Ал-Батани (850-929) и Абу-л-Вафа, Мохамед-бин Мохамед (940-998), които съставиха таблици на синусите и тангенсите, използвайки 10 'с точност до 1/604. Синусовата теорема е известна преди това от индийския професор Бхаскара (р. 1114 г., годината на смъртта е неизвестна) и азербайджанския астролог и учен Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Освен това Насиреддин Туси в работата си „Работа върху пълния четириъгълник” описва пряката и сферичната тригонометрия като независима дисциплина (фиг. 4).

1.5. Появата на тангенс и котангенс

Допирателните възникнаха във връзка със заключението на проблема за установяване на дължината на сянката. Тангенсът (и освен котангенсът) е установен през 10 век от арабския аритметик Абул-Вафа, който съставя и оригиналните таблици за намиране на тангенси и котангенси. Но тези открития остават непознати за европейските учени дълго време и тангентите са преоткрити едва през 14 век от немския аритметик, астронома Регимонтан (1467 г.). Той аргументира теоремата за допирателната. Региомонтан също съставя подробни тригонометрични таблици; Благодарение на работата му равнинната и сферичната тригонометрия стават самостоятелна дисциплина и в Европа.

Обозначението "тангенс", което идва от латинското tanger (докосвам), възниква през 1583 г. Tangens се превежда като "засягащ" (линията на допирателните е допирателна към единичната окръжност).
Тригонометрията е доразвита в трудовете на изключителните астролози Николай Коперник (1473-1543), Тихо Брахе (1546-1601) и Йоханес Кеплер (1571-1630), както и в трудовете на математика Франсоа Виета (1540-1603) , който напълно реши задачата за определяне на абсолютно всички компоненти на плосък или сферичен триъгълник по три данни (фиг. 4).

1.6 По-нататъшно развитие на тригонометрията

Дълго време тригонометрията имаше изключително геометрична форма, т.е. данните, които понастоящем формулираме в дефинициите на тригонометричните функции, бяха формулирани и аргументирани с подкрепата на геометрични концепции и твърдения. Той съществува като такъв дори през Средновековието, въпреки че понякога в него се използват аналитични методи, особено след появата на логаритмите. Може би максималните стимули за формирането на тригонометрията се появиха във връзка с решаването на астрономически проблеми, които предизвикаха голям положителен интерес (например, за да се решат проблемите с установяването на местоположението на кораб, прогнозирането на прекъсване на тока и т.н.). Астролозите се занимаваха с връзката между страните и ъглите на сферичните триъгълници. И аритметиката на древността успешно се справи с поставените въпроси.

От 17 век тригонометричните функции се използват за решаване на уравнения, въпроси на механиката, оптиката, електричеството, радиотехниката, за да се покажат колебателни действия, разпространение на вълни, изместване различни елементи, за изследване на променлив галваничен ток и т.н. Поради тази причина тригонометричните функции са изчерпателно и задълбочено проучени и са станали основни за цялата математика.

Аналитичната теория на тригонометричните функции е създадена главно от изключителния математик от 18 век Леонхард Ойлер (1707-1783) член Петербургска академиянауки. Огромното научно наследство на Ойлер включва брилянтни резултати, свързани с смятането, геометрията, теорията на числата, механиката и други приложения на математиката. Ойлер пръв въведе добре познатите дефиниции на тригонометричните функции, започна да разглежда функциите на произволен ъгъл и получи формули за редукция. След Ойлер тригонометрията приема формата на смятане: различни факти започват да се доказват чрез официалното прилагане на тригонометрични формули, доказателствата стават много по-компактни, по-прости,

Така тригонометрията, която възниква като наука за решаване на триъгълници, в крайна сметка се развива в наука за тригонометричните функции.

По-късно частта от тригонометрията, която изучава свойствата на тригонометричните функции и връзките между тях, започва да се нарича гониометрия (в превод - наука за измерване на ъгли, от гръцки gwnia - ъгъл, metrew - измервам). Терминът гониометрия в напоследъкпрактически не се използва.

2. Тригонометрия и реалния живот

Модерно обществохарактеризиращ се с постоянни промени, открития, създаване на високотехнологични изобретения, които подобряват живота ни. Тригонометрията се среща и взаимодейства с физиката, биологията, математиката, медицината, геофизиката, навигацията, компютърните науки.

Нека да се запознаем по ред с взаимодействието във всяка индустрия.

2.1 Навигация

Първата точка, която ни обяснява използването и ползите от тригонометрията, е нейната връзка с навигацията. Под навигация разбираме науката, чиято цел е да изучава и създава най-удобните и полезни начини за навигация. И така, учените разработват проста навигация, която изгражда маршрут от една точка до друга, оценява го и избира най-добрия вариант от всички предложени. Тези маршрути са необходими на мореплавателите, които по време на своето пътуване се сблъскват с много трудности, препятствия и въпроси по хода на движение. Необходима е и навигация: пилотите, които управляват сложни високотехнологични самолети, се ориентират, понякога в много екстремни ситуации; космонавти, чиято работа е свързана с риск за живота, със сложното изграждане на маршрута и неговото развитие. Нека разгледаме по-подробно следните понятия и задачи. Като задача можем да си представим следното условие: знаем географски координати: географска ширина и дължина между точки A и B земната повърхност. Необходимо е да се намери най-краткият път между точките A и B по земната повърхност (радиусът на Земята се счита за известен: R = 6371 km).

Можем да представим и решение на този проблем, а именно: първо изясняваме, че географската ширина на точка M от земната повърхност е стойността на ъгъла, образуван от радиуса OM, където O е центърът на Земята, с равнината на екватора: ≤ , и на север от екватора, географската ширина се счита за положителна, а на юг е отрицателна. За дължина на точка M приемаме стойността на двустенния ъгъл, минаващ в равнините COM и SON. Под С имаме предвид Северния полюс на Земята. Като H разбираме точката, съответстваща на обсерваторията в Гринуич: ≤ (на изток от меридиана на Гринуич дължината се счита за положителна, на запад - отрицателна). Както вече знаем, най-късото разстояние между точки A и B на земната повърхност е представено от дължината на най-малката от дъгите на големия кръг, който свързва A и B. Можем да наречем този вид дъга ортодром. В превод от гръцки този термин се разбира като прав ъгъл. Поради това нашата задача е да определим дължината на страната AB на сферичния триъгълник ABC, където C се разбира като северен полис.

Интересен пример е следният. При създаването на маршрут от моряци е необходима прецизна и усърдна работа. И така, за определяне на курса на кораба върху картата, направена в проекцията на Герхард Меркатор през 1569 г., имаше спешна нужда да се определи географската ширина. Въпреки това, когато излизат в морето, на места до 17 век навигаторите не посочват географската ширина. За първи път Едмонд Гюнтер (1623) прилага тригонометрични изчисления в навигацията.

С помощта на тригонометрията пилотите могат да изчислят грешките на вятъра за най-точното и безопасно управление на самолета. За да извършим тези изчисления, се обръщаме към триъгълника на скоростите. Този триъгълник изразява образуваната въздушна скорост (V), вектор на вятъра (W), вектор земна скорост(Vp). PU - ъгъл на коловоза, SW - ъгъл на вятъра, KUV - ъгъл на курсов вятър (фиг. 5) .

За да се запознаете с вида на зависимостта между елементите на навигационния триъгълник на скоростите, трябва да погледнете по-долу:

Vp \u003d V cos US + W cos SW; sin US = * sin SW, tg SW

За решаване на навигационния триъгълник на скоростите се използват устройства за броене, които използват навигационната линийка и умствени изчисления.

2.2 Алгебра

Следващата област на взаимодействие на тригонометрията е алгебрата. Благодарение на тригонометричните функции се решават много сложни уравнения и задачи, които изискват големи изчисления.

Както знаем, във всички случаи, когато е необходимо да се взаимодейства с периодични процеси и колебания, се стига до използването на тригонометрични функции. Няма значение какво е: акустика, оптика или люлка на махало.

2.3 Физика

В допълнение към навигацията и алгебрата, тригонометрията има пряко влияние и въздействие във физиката. Когато предметите са потопени във вода, те не променят формата или обема си по никакъв начин. Пълната тайна е визуалният ефект, който принуждава зрението ни да възприема обекта по различен начин. Простите тригонометрични формули и стойностите на синуса на ъгъла на падане и пречупването на полулинията осигуряват вероятността за изчисляване на постоянен индекс на пречупване, когато светлинният лъч преминава от сфера в сфера. Например, дъга се появява, защото слънчева светлинаизпитва пречупване във водни капчици, суспендирани във въздуха, съгласно закона за пречупване:

sinα / sinβ = n1 / n2

където: n1 е коефициентът на пречупване на първата среда; n2 е коефициентът на пречупване на втората среда; α-ъгъл на падане, β-ъгъл на пречупване на светлината.

Навлизането на заредени елементи на слънчевия вятър в горните слоеве на атмосферата на планетите се определя от взаимодействието магнитно полеземя със слънчев вятър.

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитна област, се нарича сила на Лоренц. Той е съизмерим със заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата.

Разкривайки практическите аспекти на приложението на тригонометрията във физиката, даваме пример. Тази задачатрябва да се решава с помощта на тригонометрични формули и методи за решаване. Условия на задачата: наклонена равнина, чийто ъгъл е 24,5o, е тяло с маса 90 kg. Необходимо е да се установи с каква сила тялото упражнява натиск върху наклонената равнина (т.е. какъв натиск упражнява тялото върху тази равнина) (фиг. 6).

След като обозначихме осите X и Y, ще започнем да изграждаме проекции на силите върху осите, като първо използваме тази формула:

ma = N + mg, след това погледнете снимката,

X: ma = 0 + mg sin24,50

Y: 0 = N - mg cos24,50

заместваме масата, намираме, че силата е 819 N.

Отговор: 819 N

2.4 Медицина, биология и биоритми

Четвъртата област, в която тригонометрията има сериозно влияние и помощ, са две области едновременно: медицина и биология.

Едно от основните свойства на живата природа е цикличността на повечето процеси, протичащи в нея. Между движението небесни телаи живите организми на Земята има връзка. Живите организми не само улавят светлината и топлината на Слънцето и Луната, но също така имат различни механизми, които точно определят позицията на Слънцето, реагират на ритъма на приливите и отливите, фазите на Луната и движението на нашата планета.

Биологичните ритми, биоритмите, са повече или по-малко регулярни промени в характера и интензивността на биологичните процеси. Способността за такива промени в жизнената дейност се предава по наследство и се среща в почти всички живи организми. Те могат да се наблюдават в отделни клетки, тъкани и органи, цели организми и популации. Биоритмите се делят на физиологичен, с периоди от части от секундата до няколко минути и околната среда,по продължителност, съвпадаща с някакъв ритъм заобикаляща среда. Те включват дневни, сезонни, годишни, приливни и лунни ритми. Основният земен ритъм е ежедневен, поради въртенето на Земята около оста си, следователно почти всички процеси в живия организъм имат дневна периодичност.

Няколко фактори на околната средана нашата планета, на първо място, светлинният режим, температурата, налягането и влажността на въздуха, атмосферните и електромагнитните полета, морските приливи и отливи естествено се променят под въздействието на това въртене.

Ние сме седемдесет и пет процента вода и ако по време на пълнолуние водите на океаните се издигнат на 19 метра над морското равнище и започне приливът, тогава водата в тялото ни също се втурва в горните части на тялото ни. И хората с високо кръвно наляганеПрез тези периоди често се наблюдават обостряния на болестта и естествоизпитателите, които събират лечебни билки, знаят точно в коя фаза на луната да събират "върхове - (плодове)" и в кои - "корени".

Забелязали ли сте, че в определени периодиЖивотът ви прави ли необясними скокове? Изведнъж, от нищото - емоциите преливат. Повишава се чувствителността, която внезапно може да бъде заменена от пълна апатия. Творчески и безплодни дни, щастливи и нещастни моменти, промени в настроението. Отбелязва се, че възможностите на човешкото тяло периодично се променят. Това знание е в основата на "теорията за трите биоритъма".

Физически биоритъм – регулира физическата активност. През първата половина на физическия цикъл човек е енергичен и постига най-добри резултати в дейността си (втората половина - енергията отстъпва на мързела).

Емоционален ритъм - в периоди на неговата активност се повишава чувствителността, подобрява се настроението. Човек става възбудим към различни външни катаклизми. Ако има добро настроение, той строи замъци във въздуха, мечтае да се влюби и се влюбва. С намаляването на емоционалния биоритъм настъпва спад на умствената сила, желанието и радостното настроение изчезват.

Интелигентен биоритъм - той управлява паметта, способността за учене, логично мислене. Във фазата на активност има повишаване, а във втората фаза спад на творческата активност, няма късмет и успех.

Теория на трите ритъма:

· Физически цикъл -23 дни. Определя енергията, силата, издръжливостта, координацията на движението

Емоционален цикъл – 28 дни. състояние нервна системаи настроение

· Интелектуален цикъл – 33 дни. Определя креативностличности

Тригонометрията се среща и в природата. Движението на риба във вода се извършва според закона на синуса или косинуса, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение. При плуване тялото на рибата приема формата на крива, която наподобява графиката на функцията y=tgx.

По време на полета на птица траекторията на махането на крилата образува синусоида.

Тригонометрия в медицината. В резултат на проучване, проведено от студент от иранския университет в Шираз, Уахид-Реза Абаси, лекарите за първи път успяха да рационализират информацията, свързана с електрическата активност на сърцето или, с други думи, електрокардиографията.

Формулата, наречена Tehran, беше представена на широката научна общност на 14-ата конференция по географска медицина и след това на 28-ата конференция за приложението на компютърните технологии в кардиологията, проведена в Холандия.

Тази формула е сложно алгебрично-тригонометрично уравнение, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия. Според лекарите тази формула значително улеснява процеса на описване на основните параметри на дейността на сърцето, като по този начин ускорява диагностиката и започването на действителното лечение.

Много хора трябва да направят ЕКГ на сърцето, но малцина знаят, че ЕКГ на човешкото сърце е синус или косинус.

Тригонометрията помага на нашия мозък да определя разстоянията до обектите. Американски учени твърдят, че мозъкът оценява разстоянието до обектите чрез измерване на ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението. До това заключение се стигна след поредица от експерименти, в които участниците бяха помолени да погледнат Светътчрез призми, които увеличават този ъгъл.

Подобно изкривяване доведе до факта, че експерименталните носители на призми възприемат отдалечените обекти като по-близки и не могат да се справят с най-простите тестове. Някои от участниците в експериментите дори се навеждаха напред, опитвайки се да подравнят телата си перпендикулярно на неправилно изобразената земна повърхност. Но след 20 минути те свикнаха с изкривеното възприятие и всички проблеми изчезнаха. Това обстоятелство показва гъвкавостта на механизма, чрез който мозъкът адаптира зрителната система към променящите се външни условия. Интересно е да се отбележи, че след премахването на призмите известно време се наблюдава обратен ефект - надценяване на разстоянието.

Резултатите от новото проучване, както може да се очаква, ще представляват интерес за инженерите, проектиращи навигационни системи за роботи, както и за специалистите, които работят върху създаването на най-реалистичните виртуални модели. Възможни са приложения и в областта на медицината, при рехабилитация на пациенти с увреждане на определени области на мозъка.

2.5.Музика

Музикалното поле също взаимодейства с тригонометрията.

Представям на вашето внимание интересна информацияза някакъв метод, който точно осигурява връзка между тригонометрията и музиката.

Този метод за анализ на музикални произведения се нарича "геометрична теория на музиката". С негова помощ основните музикални структури и трансформации се превеждат на езика на съвременната геометрия.

Всяка бележка в рамките нова теориясе представя като логаритъм от честотата на съответния звук (нотата „до” на първата октава например съответства на числото 60, октавата на числото 12). Така хордата се представя като точка с дадени координати в геометричното пространство. Акордите са групирани в различни „семейства“, които съответстват на различни типове геометрични пространства.

При разработването на нов метод авторите са използвали 5 известни вида музикални трансформации, които преди това не са били взети под внимание в теорията на музиката при класифициране на звукови последователности - октавна пермутация (O), пермутация (P), транспозиция (T), инверсия (I) и кардиналност промяна (C) . Всички тези трансформации, както пишат авторите, образуват така наречените OPTIC-симетрии в n-мерното пространство и съхраняват музикална информация за акорда – в каква октава са нотите му, в каква последователност се свирят, колко пъти се повтарят , и така нататък. С помощта на OPTIC симетрии се класифицират подобни, но не идентични акорди и техните последователности.

Авторите на статията показват, че различни комбинации от тези 5 симетрии образуват много различни музикални структури, някои от които вече са известни в музикалната теория (последователност от акорди, например, ще бъде изразена с нови термини като OPC), докато други са фундаментално нови концепции, които може би ще бъдат възприети от композиторите на бъдещето.

Като пример авторите дават геометрично представяне на различни видове акорди от четири звука - тетраедър. Сферите на графиката представляват видовете акорди, цветовете на сферите съответстват на размера на интервалите между звуците на акордите: сини - малки интервали, по-топли тонове - по-"редки" звуци на акорди. Червената сфера е най-хармоничният акорд с равни интервали между нотите, който е бил популярен сред композиторите от 19 век.

„Геометричният“ метод за анализ на музиката, според авторите на изследването, може да доведе до създаването на принципно нови музикални инструментии нови начини за визуализиране на музиката, както и за извършване на промени в съвременните методи на преподаване на музика и начини за изучаване на различни музикални стилове (класическа, поп музика, рок музика и др.). Новата терминология също ще помогне за по-задълбочено сравняване на музикалните произведения на композитори от различни епохи и представяне на резултатите от изследванията в по-удобна математическа форма. С други думи, предлага се да се отдели тяхната математическа същност от музикалните произведения.

Честоти, съответстващи на една и съща нота в първата, втората и т.н. октави, се отнасят като 1:2:4:8... Според легендите, дошли от древността, първите, които се опитват да направят това, са Питагор и неговите ученици.

Диатонична гама 2:3:5 (фиг. 8).

2.6.Информатика

Тригонометрията със своето влияние не заобиколи компютърните науки. Така че неговите функции са приложими за точни изчисления. Благодарение на настоящ момент, можем да апроксимираме всяка (в известен смисъл „добра“) функция, като я разширим в ред на Фурие:

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

Процесът на избор на число по най-подходящия начин числата a0, a1, b1, a2, b2, ..., могат да бъдат представени под формата на такава (безкрайна) сума от почти всяка функция в компютър с необходимата точност .

Тригонометрията има сериозна роля и помощ при разработването и в процеса на работа с графична информация. Ако трябва да симулирате процес, с описание в електронен вид, с въртене на определен обект около определена ос. Има завъртане под определен ъгъл. За да определите координатите на точките, ще трябва да умножите по синуси и косинуси.

И така, можете да цитирате Джъстин Уиндел, програмист и дизайнер, работещ в Google Grafika Lab, като пример. Той публикува демонстрация, която показва пример за използване на тригонометрични функции за създаване на динамични анимации.

2.7 Сфера на строителството и геодезията

Интересен клон, който взаимодейства с тригонометрията, е областта на строителството и геодезията. Дължините на страните и ъглите на произволен триъгълник в равнината са свързани помежду си с определени отношения, най-важните от които се наричат косинусова и синусова теореми. Формулите, съдържащи a, b, c, предполагат, че буквите са представени от страните на триъгълника, които лежат съответно срещу ъглите A, B, C. Тези формули позволяват трите елемента на триъгълника - дължините на страните и ъгли - за възстановяване на останалите три елемента. Те се използват при решаване на практически проблеми, например в геодезията.

Цялата "класическа" геодезия се основава на тригонометрията. Тъй като всъщност от древни времена геодезистите са били очаровани от факта, че "решават" триъгълници.

Процесът на изграждане на сгради, писти, мостове и други сгради започва с проучване и проектантска работа. Без изключение всички измервания на строителна площадка се извършват с помощта на геодезически инструменти, като тотална станция и тригонометричен нивелир. С тригонометричната нивелация се установява разлика във височините между няколко точки на земната повърхност.

2.8 Тригонометрията в изкуството и архитектурата

От времето, когато човекът е започнал да съществува на земята, науката се е превърнала в основа за подобряване на ежедневието и други области на живота. В основата на всичко, което е създадено от човека, са различни направления в природните и математическите науки. Една от тях е геометрията. Архитектурата не е единствената област на науката, в която се използват тригонометрични формули. Повечето от композиционните решения и изграждането на чертежи се извършват именно с помощта на геометрията. Но теоретичните данни означават малко. Помислете за пример за изграждане на една скулптура от френския майстор от Златния век на изкуството.

Пропорционалното съотношение в конструкцията на статуята беше перфектно. Въпреки това, когато статуята беше издигната на висок пиедестал, тя изглеждаше грозна. Скулпторът не е взел предвид, че много детайли са намалени в перспектива към хоризонта, а когато се гледа отдолу нагоре, вече не се създава впечатление за неговата идеалност. Бяха направени много изчисления, така че фигурата от голяма височина да изглежда пропорционална. По принцип те се основават на метода на наблюдение, т.е. приблизително измерване с око. Въпреки това, коефициентът на разлика в определени пропорции направи възможно фигурата да се доближи до идеала. По този начин, знаейки приблизителното разстояние от статуята до гледната точка, а именно от върха на статуята до човешките очи и височината на статуята, можем да изчислим синуса на ъгъла на падане на погледа с помощта на таблицата, като по този начин намира гледната точка (фиг. 9).

На Фигура 10 ситуацията се променя, тъй като статуята е повдигната на височината AC и HC се увеличават, можем да изчислим косинуса на ъгъл C, използвайки таблицата, намираме ъгъла на падане на погледа. В процеса можете да изчислите AH, както и синуса на ъгъл C, което ще ви позволи да проверите резултатите с помощта на основния тригонометрична идентичност cos 2 а + грях 2 а = 1.

Чрез сравняване на измерванията на AH в първия и втория случай може да се намери коефициентът на пропорционалност. Впоследствие ще получим рисунка, а след това и скулптура, когато се повдигне, фигурата ще бъде визуално близка до идеала.

Емблематични сгради по света са проектирани с помощта на математика, която може да се счита за гения на архитектурата. Някои известни примери за такива сгради са детското училище Гауди в Барселона, Mary Axe в Лондон, винарната Bodegas Isios в Испания и ресторант Los Manantiales в Аржентина. Дизайнът на тези сгради не беше без тригонометрия.

Заключение

След като изучавах теоретичните и приложни аспекти на тригонометрията, разбрах, че този клон е тясно свързан с много науки. В самото начало тригонометрията беше от съществено значение за извършване и измерване на ъгли. По-късно обаче простото измерване на ъгли се превърна в пълноценна наука, която изучава тригонометричните функции. Можем да идентифицираме следните области, в които има тясна връзка между тригонометрията и физиката на архитектурата, природата, медицината и биологията.

И така, благодарение на тригонометричните функции в медицината е открита формулата на сърцето, която е сложно алгебрично-тригонометрично равенство, което се състои от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително възможността за допълнителни грешни изчисления в случай на аритмия . Това откритие помага на лекарите да предоставят по-квалифицирана и качествена медицинска помощ.

Нека също да отбележим. че цялата класическа геодезия се основава на тригонометрията. Тъй като всъщност от древни времена геодезистите са се занимавали с "решаване" на триъгълници. Процесът на изграждане на сгради, пътища, мостове и други конструкции започва с проучване и проектиране. Всички измервания на строителната площадка се извършват с помощта на геодезични инструменти като теодолит и тригонометричен нивелир. С тригонометричната нивелация се определя разликата във височините между няколко точки на земната повърхност.

Запознавайки се с нейното влияние в други области, можем да заключим, че тригонометрията активно влияе върху човешкия живот. Връзката на математиката с външния свят ви позволява да "материализирате" знанията на учениците. Благодарение на това можем по-адекватно да възприемаме и усвояваме знанията и информацията, които ни се преподават в училище.

Целта на моя проект е успешно изпълнена. Изучавах влиянието на тригонометрията в живота и развитието на интереса към нея.

За да постигнем тази цел, изпълнихме следните задачи:

1. Запознахме се с историята на формирането и развитието на тригонометрията;

2. Разгледани примери за практическото въздействие на тригонометрията в различни области на дейност;

3. Показа с примери възможностите на тригонометрията и нейното приложение в живота на човека.

Изучаването на историята на възникването на тази индустрия ще помогне да се събуди интерес сред учениците, да се формира правилният мироглед и да се подобри общата култура на гимназист.

Тази работа ще бъде полезна за ученици от гимназията, които все още не са видели красотата на тригонометрията и не са запознати с областите на нейното приложение в околния живот.

Библиография

Глейзър Г.И.

Рибников К.А.

Библиография

А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и началото на анализа" Учебник за 10-11 клас на образователни институции, М., Образование, 2013 г.

Глейзър Г.И.История на математиката в училище: VII-VIII клас. - М.: Образование, 2012.

Глейзър Г.И.История на математиката в училище: IX-X к. - М.: Образование, 2013.

Рибников К.А.История на математиката: Учебник. - М.: Издателство на Московския държавен университет, 1994 г И. - М.: висше училище, 2016. - 134 с.

Олечник, С.Н. Проблеми по алгебра, тригонометрия и елементарни функции / S.N. Олехник. - М.: Висше училище, 2013. - 645 с.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и елементарни функции / M.K. Потапов. - М.: Висше училище, 2014. - 586 с.

Потапов, М.К. Алгебра. Тригонометрия и елементарни функции / M.K. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. - М .: [не е посочено], 2015. - 762 с.

Приложение 1

Фиг. 1Изображение на пирамида. Изчисляване на наклона b / ч.

Гониометър Секед

Като цяло египетската формула за изчисляване на секеда на пирамидата изглежда така

Така:.

Древноегипетски термин seked” обозначава ъгъла на наклон. Беше по цялата височина, разделена на половината основа.

„Дължината на пирамидата от източната страна е 360 (лакти), височината е 250 (лакти). Трябва да изчислите наклона на източната страна. За да направите това, вземете половината от 360, т.е. 180. Разделете 180 на 250. Получавате: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 лакът. Обърнете внимание, че един лакът е равен на 7 ширини на ръцете. Сега умножете получените числа по 7, както следва: "

Фиг.2Гномон

Фиг.3 Определяне на ъгловата височина на слънцето

Фиг.4 Основни формули на тригонометрията

Фиг.5 Навигация в тригонометрията

Фиг.6 Физика в тригонометрията

Фиг.7 Теория на трите ритъма

(Физическият цикъл е 23 дни. Определя енергия, сила, издръжливост, координация на движението; Емоционалният цикъл е 28 дни. Състоянието на нервната система и настроението; Интелектуален цикъл - 33 дни. Определя творческите способности на индивида)

Ориз. 8 Тригонометрия в музиката

Фиг.9, 10 Тригонометрия в архитектурата

подравняване=център>

Тригонометрия- микросекция на математиката, която изучава връзката между ъглите и дължините на страните на триъгълниците, както и алгебричните тъждества на тригонометричните функции.
Има много области, в които се прилагат тригонометрията и тригонометричните функции. Тригонометрията или тригонометричните функции се използват в астрономията, морската и въздушна навигация, акустиката, оптиката, електрониката, архитектурата и други области.

Историята на създаването на тригонометрията

Историята на тригонометрията, като наука за връзката между ъглите и страните на триъгълника и др. геометрични формиобхваща две хилядолетия. Повечето от тези връзки не могат да бъдат изразени с помощта на обикновени алгебрични операции и затова беше необходимо да се въведат специални тригонометрични функции, първоначално представени под формата на числови таблици.
Историците смятат, че тригонометрията е създадена от древни астрономи, а малко по-късно започва да се използва в архитектурата. С течение на времето обхватът на тригонометрията непрекъснато се разширява, днес включва почти всички природни науки, технологии и редица други области на дейност.

Ранни векове

От вавилонската математика сме свикнали да измерваме ъгли в градуси, минути и секунди (въвеждането на тези единици в древногръцката математика обикновено се приписва на 2 век пр. н. е.).

Основното постижение на този период е съотношението на краката и хипотенузата в правоъгълен триъгълник, по-късно наречено Питагоровата теорема.

Древна Гърция

В древногръцката геометрия се появи общо и логически последователно представяне на тригонометричните отношения. Гръцките математици все още не са отделили тригонометрията като отделна наука, за тях тя е част от астрономията.
Основното постижение на древната тригонометрична теория беше решението в обща форма на проблема за "решаване на триъгълници", тоест намиране на неизвестни елементи на триъгълник въз основа на три дадени елемента (от които поне един е страна).
Приложните тригонометрични задачи са много разнообразни - например могат да се задават измерими резултати от операции върху изброените величини (например сбор от ъгли или съотношение на дължините на страните).
Паралелно с развитието на равнинната тригонометрия, гърците, под влиянието на астрономията, напредват много сферичната тригонометрия. В "Принципите" на Евклид по тази тема има само теорема за съотношението на обемите на топки с различни диаметри, но нуждите на астрономията и картографията предизвикаха бързо развитиесферична тригонометрия и сродни области - системи небесни координати, теорията на картографските проекции, технологиите на астрономическите инструменти.

Средна възраст

През IV век, след смъртта на древната наука, центърът на развитието на математиката се премества в Индия. Те промениха някои от концепциите на тригонометрията, като ги доближиха до съвременните: например, те бяха първите, които въведоха косинуса в употреба.

Първият специализиран трактат по тригонометрия е работата на средноазиатския учен (X-XI век) "Книгата на ключовете на науката астрономия" (995-996). Целият курс по тригонометрия съдържа основното произведение на Ал-Бируни - "Канонът на Масуд" (книга III). В допълнение към таблиците на синусите (със стъпка от 15 "), Ал-Бируни даде таблици на допирателните (със стъпка от 1 °).

След като арабските трактати са преведени на латински през XII-XIII век, много идеи на индийски и персийски математици стават достояние на европейската наука. Очевидно първото запознаване на европейците с тригонометрията се случи благодарение на zij, чиито два превода бяха направени през 12 век.

Първата европейска работа, посветена изцяло на тригонометрията, често се нарича Четирите трактата за директни и обърнати акорди от английския астроном Ричард от Уолингфорд (около 1320 г.). Тригонометричните таблици, често преведени от арабски, но понякога оригинални, се съдържат в произведенията на редица други автори от 14-15 век. След това тригонометрията зае своето място сред университетските курсове.

ново време

Развитието на тригонометрията в съвременните времена стана изключително важно не само за астрономията и астрологията, но и за други приложения, предимно артилерия, оптика и навигация по време на морски пътувания на дълги разстояния. Затова след 16 век много видни учени се занимават с тази тема, сред които Николай Коперник, Йоханес Кеплер, Франсоа Виет. Коперник посвещава две глави на тригонометрията в своя трактат „За въртенето на небесните сфери“ (1543 г.). Скоро (1551) се появяват 15-цифрени тригонометрични таблици на Ретик, ученик на Коперник. Кеплер публикува Оптична астрономия (1604).

Виета в първата част на своя "Математически канон" (1579) поставя различни таблици, включително тригонометрични, а във втората част дава подробно и систематично, макар и без доказателства, представяне на равнинната и сферичната тригонометрия. През 1593 г. Виета подготви разширено издание на това капитално произведение.
Благодарение на работата на Албрехт Дюрер се роди синусоида.

18-ти век

Той даде модерен облик на тригонометрията. В трактата „Въведение в анализа на безкрайностите“ (1748) Ойлер дава дефиниция на тригонометрични функции, еквивалентна на съвременната, и съответно дефинира обратни функции.

Ойлер счита за допустими отрицателни ъгли и ъгли, по-големи от 360°, което прави възможно определянето на тригонометрични функции върху цялата реална числова линия и след това тяхното разширяване до комплексната равнина. Когато възникна въпросът за разширяване на тригонометричните функции до тъпи ъгли, знаците на тези функции преди Ойлер често бяха избрани погрешно; много математици смятат, например, косинус и тангенс на тъп ъгъл за положителни. Ойлер определя тези знаци за ъгли в различни координатни квадранти въз основа на формули за редукция.
Ойлер не е изучавал общата теория на тригонометричните редове и не е изследвал сходимостта на получените редове, но е получил няколко важни резултата. По-специално, той извежда разширенията на целите степени на синус и косинус.

Приложение на тригонометрията

Тези, които казват, че тригонометрията не е необходима в реалния живот, са прави по свой начин. Е, какви са неговите обичайни приложни задачи? Измерете разстоянието между недостъпни обекти.
От голямо значение е техниката на триангулация, която позволява да се измерват разстоянията до близките звезди в астрономията, между ориентирите в географията и да се контролират сателитните навигационни системи. Също така трябва да се отбележи приложението на тригонометрията в области като навигационни технологии, музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук и компютърна томография), фармацевтика, химия, теория на числата (и, като следствие, криптография), сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография и геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машиностроене, компютърна графика, кристалография и др.
Заключение:тригонометрията е огромен помощник в нашето ежедневие.

Тригонометрия в астрономията:

Необходимостта от решаване на триъгълници е открита за първи път в астрономията; следователно дълго време тригонометрията се развива и изучава като един от клоновете на астрономията.

Таблиците на позициите на Слънцето и Луната, съставени от Хипарх, позволиха да се предвидят моментите на началото на затъмненията (с грешка от 1-2 часа). Хипарх е първият, който използва методите на сферичната тригонометрия в астрономията. Той подобри точността на наблюденията, като използва нишки в гониометрични инструменти - секстанти и квадранти - за насочване на звездата към звездата. Ученият състави каталог на позициите на 850 звезди, огромни по това време, разделяйки ги по яркост на 6 градуса (величини). Хипарх въвежда географските координати – географска ширина и дължина и може да се счита за основател на математическата география. (около 190 г. пр. н. е. - около 120 г. пр. н. е.)

Пълно решение на задачата за определяне на всички елементи на плосък или сферичен триъгълник от три дадени елемента, важни разширения на sin nx и cos nx по степени на cos x и sinx. Познаването на формулата за синусите и косинусите на множество дъги позволи на Виет да реши уравнението от 45-та степен, предложено от математика А. Роумен; Виет показа, че решението на това уравнение се свежда до разделянето на ъгъла на 45 равни части и че има 23 положителни корена на това уравнение. Виет решава задачата на Аполоний с линийка и пергел.
Решаването на сферични триъгълници е една от задачите на астрономията. Изчислете страните и ъглите на всеки сферичен триъгълник от три подходящо дадени страни или ъгли, като използвате следните теореми: (синусова теорема) (косинусова теорема за ъглите) (косинусова теорема за страните).

Тригонометрия във физиката:

видове колебателни явления.

Хармоничното трептене е явление на периодична промяна на някаква величина, при което зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

Където x е стойността на променящото се количество, t е времето, A е амплитудата на трептенията, ω е цикличната честота на трептенията, е пълната фаза на трептенията, r е началната фаза на трептенията.

Механични вибрации . Механични вибрации

Тригонометрия в природата.

Често задаваме въпрос

Един от фундаментални свойства
са повече или по-малко регулярни промени в характера и интензивността на биологичните процеси.
Основен земен ритъм- ежедневно.

Тригонометрия в биологията

Тригонометрията играе важна роля в медицината. С негова помощ ирански учени откриха формулата на сърцето - сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия.

диатонична гама 2:3:5

Тригонометрия в архитектурата

Swiss Re Insurance Corporation в Лондон

Интерпретация

Дадохме само малка част от това, където можете да намерите тригонометрични функции .. Разбрахме

Доказахме, че тригонометрията е тясно свързана с физиката, среща се в природата, медицината. Могат да се дадат безкрайно много примери за периодични процеси от живата и неживата природа. Всички периодични процеси могат да бъдат описани с тригонометрични функции и изобразени на графики

Смятаме, че тригонометрията се отразява в живота ни и в сферите

в които играе важна роля ще се разшири.

Открихче тригонометрията е оживена от необходимостта да се измерват ъгли, но с течение на времето се е превърнала в наука за тригонометричните функции.
Доказано
Мислим

Вижте съдържанието на документа
"Данилова Т.В.-сценарий"

MKOU „Ненецко средно училище - интернат на името на. А. П. Пирерки"

Образователен проект

" "

Данилова Татяна Владимировна

Учител по математика

Обосновка за уместността на проекта.

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции. Трудно е да си представим, но ние се сблъскваме с тази наука не само в часовете по математика, но и в ежедневието си. Може да не сте наясно с това, но тригонометрията се намира в такива науки като физика, биология, тя играе важна роля в медицината и най-интересното е, че дори музиката и архитектурата не биха могли без нея.
Думата тригонометрия се появява за първи път през 1505 г. в заглавието на книга на немския математик Питискус.
Тригонометрия е гръцка дума и буквално означава измерване на триъгълници (trigonan - триъгълник, metreo - измервам).
Възникването на тригонометрията е тясно свързано с геодезията, астрономията и строителството.

Ученик на 14-15 години не винаги знае къде ще отидеда уча и къде да работя.
За някои професии познаването му е необходимо, т.к. ви позволява да измервате разстояния до близките звезди в астрономията, между забележителности в географията, да управлявате сателитни навигационни системи. Принципите на тригонометрията се използват и в области като музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук и компютърна томография), фармацевтика, химия, теория на числата (и като резултат, криптография), сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография и геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машинно инженерство, компютърна графика, кристалография.

Определяне на предмета на изследване

3. Цели на проекта.

проблемен въпрос
1. Какви концепции на тригонометрията се използват най-често в реалния живот?
2. Каква роля играе тригонометрията в астрономията, физиката, биологията и медицината?
3. Как са свързани архитектурата, музиката и тригонометрията?

Хипотеза

Тестване на хипотези

Тригонометрия (от гръцки.тригонон - триъгълник,метро - метър) -

История на тригонометрията:

Древните хора са изчислявали височината на едно дърво, като са сравнявали дължината на сянката му с дължината на сянката на стълб, чиято височина е била известна. Звездите изчислиха местоположението на кораба в морето.

Следващата стъпка в развитието на тригонометрията е направена от индианците в периода от 5-ти до 12-ти век.

Самият термин косинус се появява много по-късно в трудовете на европейски учени за първи път в края на 16 век от т. нар. „комплементен синус“, т.е. синусът на ъгъла, който допълва дадения ъгъл до 90°. "Sine complement" или (на латински) sinus complementi започва да се съкращава като sinus co или co-sinus.

През XVII - XIX век. тригонометрията става една от главите на математическия анализ.

Намира голямо приложение в механиката, физиката и техниката, особено при изучаване на колебателни движения и други периодични процеси.

Жан Фурие доказва, че всяко периодично движение може да бъде представено (с всякаква степен на точност) като сума от прости хармонични трептения.

в системата на математическия анализ.

Къде се използва тригонометрията?

Тригонометричните изчисления се използват в почти всички области на човешкия живот. Трябва да се отбележи приложението в области като: астрономия, физика, природа, биология, музика, медицина и много други.

Тригонометрия в астрономията:

Постиженията на Виета в тригонометрията
Пълно решение на задачата за определяне на всички елементи на плосък или сферичен триъгълник от три дадени елемента, важни разширения на sin nx и cos nx по степени на cos x и sinx. Познаването на формулата за синусите и косинусите на множество дъги позволи на Виет да реши уравнението от 45-та степен, предложено от математика А. Роумен; Виет показа, че решението на това уравнение се свежда до разделянето на ъгъла на 45 равни части и че има 23 положителни корена на това уравнение. Виет решава задачата на Аполоний с линийка и пергел.
Решаването на сферични триъгълници е една от задачите на астрономията. Изчислете страните и ъглите на всеки сферичен триъгълник от три подходящо дадени страни или ъгли, като използвате следните теореми: (синусова теорема) (косинусова теорема за ъглите) (косинусова теорема за страните).

Тригонометрия във физиката:

В света около нас трябва да се справяме с периодични процеси, които се повтарят на редовни интервали. Тези процеси се наричат осцилаторни. Осцилаторните явления от различно физическо естество се подчиняват на общи закони и се описват с едни и същи уравнения. Има различни видове колебателни явления.

хармонично трептене- феноменът на периодична промяна на величина, при която зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

Генерализиран хармонично трептенев диференциална форма x'' + ω²x = 0.

Механични вибрации . Механични вибрациинаричат движения на тела, които се повтарят точно през едни и същи интервали от време. Графично изображениеТази функция дава визуално представяне на хода на колебателния процес във времето. Примери за прости механични осцилаторни системи са тежест върху пружина или математическо махало.

Тригонометрия в природата.

Често задаваме въпрос Защо понякога виждаме неща, които всъщност ги няма?. За изследване се предлагат следните въпроси: „Как се появява дъгата? Северно сияние?", "Какво е оптични илюзии? , „Как тригонометрията може да помогне да се отговори на тези въпроси?“.

Теорията за дъгата е дадена за първи път през 1637 г. от Рене Декарт. Той обясни дъгата като явление, свързано с отразяването и пречупването на светлината в дъждовните капки.

Aurora Borealis Проникването на заредени частици от слънчевия вятър в горната атмосфера на планетите се определя от взаимодействието на магнитното поле на планетата със слънчевия вятър.

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитно поле, се нарича сила на Лоренц. Той е пропорционален на заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата.

Американски учени твърдят, че мозъкът оценява разстоянието до обектите чрез измерване на ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението.

В допълнение, биологията използва такава концепция като каротиден синус, каротиден синус и венозен или кавернозен синус.

Тригонометрията играе важна роля в медицината. С негова помощ ирански учени откриха формулата на сърцето - сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия.

Един от фундаментални свойстваживата природа е цикличността на повечето процеси, протичащи в нея.

Биологични ритми, биоритми

Основен земен ритъм- ежедневно.

Моделът на биоритмите може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции.

Тригонометрия в биологията

Какви биологични процеси са свързани с тригонометрията?

Биологични ритми, биоритми, свързани с тригонометрията

Модел на биоритмите може да бъде изграден с помощта на графики на тригонометрични функции. За да направите това, трябва да въведете рождената дата на лицето (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата

Движението на риба във вода се извършва според закона на синуса или косинуса, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение.

Появата на музикална хармония

Според легендите, дошли от древността, първите, които се опитали да направят това, били Питагор и неговите ученици.

Честоти, съответстващи на една и съща нота в първата, втората и т.н. октавите са свързани като 1:2:4:8...

диатонична гама 2:3:5

Тригонометрия в архитектурата

Детско училище Гауди в Барселона

Swiss Re Insurance Corporation в Лондон

Ресторант Феликс Кандела в Лос Манантиалес

Интерпретация

Дадохме само малка част от това къде могат да се намерят тригонометричните функции. Разбрахме, че тригонометрията е оживена от необходимостта да се измерват ъгли, но с течение на времето се е превърнала в наука за тригонометричните функции.

Смятаме, че тригонометрията се отразява в живота ни и в сферите

в които играе важна роля ще се разшири.

Открихче тригонометрията е оживена от необходимостта да се измерват ъгли, но с течение на времето се е превърнала в наука за тригонометричните функции.

Доказаноче тригонометрията е тясно свързана с физиката, открита в природата, музиката, астрономията и медицината.

Мислимче тригонометрията намира отражение в живота ни и областите, в които тя играе важна роля, ще се разширят.

7. Литература.

Програма Maple6, която реализира изображението на графики

"Уикипедия"

Study.ru

Math.ru "библиотека"

Вижте съдържанието на презентацията
"Данилова Т.В."

" Тригонометрията в света около нас и човешкия живот "

Цели на изследването:

Връзката на тригонометрията с реалния живот.

проблемен въпрос 1. Какви концепции на тригонометрията се използват най-често в реалния живот? 2. Каква роля играе тригонометрията в астрономията, физиката, биологията и медицината? 3. Как са свързани архитектурата, музиката и тригонометрията?

Хипотеза

Повечето от физическите явления на природата, физиологичните процеси, моделите в музиката и изкуството могат да бъдат описани с помощта на тригонометрия и тригонометрични функции.

Какво е тригонометрия???

Тригонометрия (от гръцки trigonon - триъгълник, метро - метър) -микроразрез на математиката, който изучава връзката между ъглите и дължините на страните на триъгълниците, както и алгебричните идентичности на тригонометричните функции.

История на тригонометрията

Произходът на тригонометрията датира от древен Египет, Вавилония и долината на Инд преди повече от 3000 години.

Думата тригонометрия се среща за първи път през 1505 г. в заглавието на книга на немския математик Питискус.

За първи път методи за решаване на триъгълници, основани на зависимостите между страните и ъглите на триъгълника, са открити от древногръцките астрономи Хипарх и Птолемей.

Древните хора са изчислявали височината на едно дърво, като са сравнявали дължината на сянката му с дължината на сянката на стълб, чиято височина е била известна.

Звездите изчислиха местоположението на кораба в морето.

Следващата стъпка в развитието на тригонометрията е направена от индианците в периода от 5-ти до 12-ти век.

IN разлика от гърците ейци започна да разглежда и използва в изчисленията не целия акорд MM  съответния централен ъгъл, но само неговата половина MP, т.е. синус  половината от централния ъгъл.

Самият термин косинус се появява много по-късно в трудовете на европейски учени за първи път в края на 16 век от т.нар. « синусова добавка » , т.е. синус на ъгъла, допълващ дадения ъгъл до 90  . « Добавяне на синусите » или (на латински) sinus complementi стана съкратено като sinus co или co-sinus.

Заедно със синуса индийците въведоха в тригонометрията косинус , по-точно те започнаха да използват косинусовата линия в своите изчисления. Те също знаеха коефициентите cos  =грех(90  -  ) и грях 2  + cos 2  =r 2 , както и формули за синус на сбора и разликата на два ъгъла.

През XVII - XIX век. тригонометрията става

една от главите на математическия анализ.

Намира голямо приложение в механиката,

физика и технологии, особено при учене

осцилаторни движения и други

периодични процеси.

Виет знаеше за свойствата на периодичността на тригонометричните функции, чиито първи математически изследвания бяха свързани с тригонометрията.

Доказа, че всеки периодичен

движението може да бъде

представени (с всяка степен

точност) като сбор от прости

хармонични вибрации.

Основател аналитичен

теории

тригонометричен функции .

Леонард Ойлер

В "Въведение в анализа на безкрайното" (1748 г.)

третира синус, косинус и др. не като

тригонометрични линии, задължително

свързани с кръга, но как

тригонометрични функции, които

разглеждана като връзка

правоъгълен триъгълник като число

количества.

Изключено от моите формули

R е цял синус, като се вземе

R = 1 и опростено по този начин

начин на писане и смятане.

Развива доктрина

относно тригонометричните функции

всеки аргумент.

През 19 век продължава

развитие на теорията

тригонометричен

функции.

Н. И. Лобачевски

„Геометричните съображения“, пише Лобачевски, „са необходими до началото на тригонометрията, докато послужат за откриване на отличително свойство на тригонометричните функции ... Следователно тригонометрията става напълно независима от геометрията и има всички предимства на анализа.“

Етапи на развитие на тригонометрията:

Тригонометрията е оживена от необходимостта да се измерват ъгли.

Първите стъпки в тригонометрията бяха установяването на връзки между големината на ъгъла и съотношението на специално конструирани сегменти. Резултатът е способността за решаване на плоски триъгълници.

Необходимостта от таблично представяне на стойностите на въведените тригонометрични функции.

Тригонометричните функции се превърнаха в самостоятелни обекти на изследване.

През XVIII век. тригонометричните функции са активирани

в системата на математическия анализ.

Къде се използва тригонометрията?

Тригонометрия в астрономията

Тригонометрията също достига значителни висоти сред индийските средновековни астрономи.

Основното постижение на индийските астрономи беше замяната на акордите

синуси, което направи възможно навлизането различни функциисвързани

със страни и ъгли на правоъгълен триъгълник.

Така в Индия е положено началото на тригонометрията.

като учението за тригонометричните величини.

Хипарх

Тригонометрия във физиката

В света около нас трябва да се справяме с периодични процеси, които се повтарят на редовни интервали. Тези процеси се наричат осцилаторни. Осцилаторните явления от различно физическо естество се подчиняват на общи закони и се описват с едни и същи уравнения. Има различни видове колебателни явления, например:

Механични вибрации

Хармонични вибрации

Хармонични вибрации

хармонично трептене - феноменът на периодична промяна на величина, при която зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

или

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма x'' + ω²x = 0.

Механични вибрации

Механични вибрации наричат движения на тела, които се повтарят точно през едни и същи интервали от време. Графичното представяне на тази функция дава визуална представа за хода на колебателния процес във времето.

Примери за прости механични осцилаторни системи са тежест върху пружина или математическо махало.

Математическо махало

Фигурата показва трептенията на махалото, то се движи по крива, наречена косинус.

Траектория на куршума и векторни проекции по осите X и Y

От фигурата се вижда, че проекциите на векторите съответно на осите X и Y са равни на

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в природата

Често задаваме въпрос Защо понякога виждаме неща, които всъщност ги няма?. За изследване се предлагат следните въпроси: „Как се появява дъгата? Северно сияние?“, „Какво представляват оптичните илюзии?“ , „Как тригонометрията може да помогне да се отговори на тези въпроси?“.

оптични илюзии

естествено

изкуствени

смесен

теория на дъгата

Дъгата се образува поради факта, че слънчевата светлина се пречупва от водни капчици, окачени във въздуха закон на пречупване:

грях α / грях β =n 1 /н 2

където n 1 \u003d 1, n 2 ≈1,33 са индексите на пречупване на въздуха и водата, съответно, α е ъгълът на падане, а β е ъгълът на пречупване на светлината.

Северно сияние

Проникването на заредени частици от слънчевия вятър в горната атмосфера на планетите се определя от взаимодействието на магнитното поле на планетата със слънчевия вятър.

Американски учени твърдят, че мозъкът оценява разстоянието до обектите чрез измерване на ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението.

В допълнение, биологията използва такава концепция като каротиден синус, каротиден синус и венозен или кавернозен синус.

Тригонометрията играе важна роля в медицината. С негова помощ ирански учени откриха формулата на сърцето - сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия.

Един от фундаментални свойстваживата природа е цикличността на повечето процеси, протичащи в нея.

Биологични ритми, биоритмиса повече или по-малко регулярни промени в характера и интензивността на биологичните процеси.

Основен земен ритъм- ежедневно.

Моделът на биоритмите може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции.

Тригонометрия в биологията

Какви биологични процеси са свързани с тригонометрията?

Тригонометрията играе важна роля в медицината. С негова помощ ирански учени откриха формулата на сърцето - сложно алгебрично-тригонометрично равенство, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия.
Биологичните ритми, биоритмите са свързани с тригонометрията.

Модел на биоритмите може да бъде изграден с помощта на графики на тригонометрични функции.

За целта трябва да въведете рождената дата на лицето (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата.

Тригонометрия в биологията

При плуване тялото на рибата приема формата на крива, която наподобява графиката на функцията y=tgx.

Появата на музикална хармония

Според легендите, дошли от древността, първите, които се опитали да направят това, били Питагор и неговите ученици.

Съответстващи честоти

същата бележка в първи, втори и т.н. октавите са свързани като 1:2:4:8...

диатонична гама 2:3:5

Музиката има своя собствена геометрия

Тетраедър от различни видове акорди от четири звука:

синьо - малки интервали;

по-топли тонове - по-"разредени" акордови звуци; червената сфера е най-хармоничният акорд с равни интервали между нотите.

cos 2 C + грях 2 С = 1

AC- разстоянието от върха на статуята до очите на човек,

АН- височината на статуята,

грях Cе синус от ъгъла на падане.

Тригонометрия в архитектурата

Детско училище Гауди в Барселона

Swiss Re Insurance Corporation в Лондон

y = f(λ)cos θ

z = f(λ)sin θ

Феликс Кандела Ресторант в Лос Манантиалес

Открихче тригонометрията е оживена от необходимостта да се измерват ъгли, но с течение на времето се е превърнала в наука за тригонометричните функции.

Доказаноче тригонометрията е тясно свързана с физиката, открита в природата, музиката, астрономията и медицината.

Мислимче тригонометрията намира отражение в живота ни и областите, в които тя играе важна роля, ще се разширят.

Тригонометрията е изминала дълъг път в развитието си. И сега можем да кажем с увереност, че тригонометрията не зависи от други науки, а другите науки зависят от тригонометрията.

Маслова Т.Н. "Наръчник по математика за ученика"
Програма Maple6, която реализира изображението на графики
"Уикипедия"
Study.ru
Math.ru "библиотека"
История на математиката от древността до началото на XIXвек в 3 тома// изд. А. П. Юшкевич. Москва, 1970 г - том 1-3 Е. Т. Бел Създатели на математиката.
Предшественици на съвременната математика// изд. С. Н. Ниро. Москва, 1983 г А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
Разкази за приложната математика // Москва, 1979. А. В. Волошинов. Математика и изкуство // Москва, 1992. Вестник Математика. Приложение към вестника от 1.09.98 г.

Общинско бюджетно учебно заведение

средно аритметично общообразователно училище №10

със задълбочено изучаване на отделните предмети

Проектът е изпълнен от:

Павлов Роман

ученик от 10 б клас

Ръководител:

учител по математика

Болдирева Н. А

Елец, 2012 г

1. Въведение.

3. Светът на тригонометрията.

· Тригонометрия във физиката.

· Тригонометрия в планиметрията.

· Тригонометрията в изкуството и архитектурата.

· Тригонометрия в медицината и биологията.

3.2 Графични представяния на трансформацията на "малко интересни" тригонометрични функции в оригинални криви (използвайки компютърна програма„Функции и графики“).

· Криви в полярни координати (розетки).

· Криви в декартови координати (криви на Лисажу).

· Математически орнаменти.

4. Заключение.

5. Списък с литература.

Цел на проекта - развитие на интерес към изучаването на темата "Тригонометрия" в курса по алгебра и началото на анализ през призмата на приложната стойност на изучавания материал; разширяване на графични изображения, съдържащи тригонометрични функции; приложение на тригонометрията в такива науки като физика, биология. Играе важна роля в медицината и най-интересното е, че дори музиката и архитектурата не биха могли без него.

Обект на изследване - тригонометрия

Предмет на изследване - приложна ориентация на тригонометрията; графики на някои функции, използвайки тригонометрични формули.

Цели на изследването:

1. Помислете за историята на появата и развитието на тригонометрията.

2. Покажете практически приложения на тригонометрията в различни науки с конкретни примери.

3. Обяснете на конкретни примери възможностите за използване на тригонометрични функции, които позволяват превръщането на "малко интересни" функции във функции, чиито графики имат много оригинален вид.

Хипотеза – предположения: Връзката на тригонометрията с външния свят, значението на тригонометрията при решаването на много практически проблеми, графичните възможности на тригонометричните функции правят възможно "материализирането" на знанията на учениците. Това ви позволява да разберете по-добре жизненоважната необходимост от знания, придобити при изучаването на тригонометрията, повишава интереса към изучаването на тази тема.

Изследователски методи - анализ на математическа литература по темата; подбор на конкретни задачи с приложен характер по тази тема; компютърна симулация, базирана на компютърна програма. отворена математика"Функции и графики" (Physicon).

1. Въведение

„Едно остава ясно, че светът е устроен

ужасно и прекрасно."

Н. Рубцов

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава връзката между ъглите и дължините на страните на триъгълниците, както и алгебричните идентичности на тригонометричните функции. Трудно е да си представим, но ние се сблъскваме с тази наука не само в часовете по математика, но и в ежедневието си. Може да не сте наясно с това, но тригонометрията се намира в такива науки като физика, биология, тя играе важна роля в медицината и най-интересното е, че дори музиката и архитектурата не биха могли без нея. Задачите с практическо съдържание играят съществена роля за формиране на уменията за практическо приложение на придобитите теоретични знания при изучаването на математика. Всеки студент по математика се интересува как и къде се прилагат придобитите знания. Тази работа дава отговор на този въпрос.

2.История на развитието на тригонометрията.

Слово тригонометрия е съставен от две гръцки думи: τρίγονον (тригонон-триъгълник) и и μετρειν (метър - за измерване) в буквален превод означава измерване на триъгълник.

Това е тази задача - измерването на триъгълници или, както се казва сега, решението на триъгълници, т.е. определянето на всички страни и ъгли на триъгълник според неговите три известни елемента (страна и два ъгъла, две страни и ъгъл или три страни) - от древни времена е в основата на практическите приложения на тригонометрията.

Както всяка друга наука, тригонометрията е израснала от човешката практика, в процеса на решаване на конкретни практически проблеми. Първите етапи в развитието на тригонометрията са тясно свързани с развитието на астрономията. Голямо влияние върху развитието на астрономията и тясно свързаната с нея тригонометрия оказаха нуждите на развиващата се навигация, която изискваше способността за правилно определяне на курса на кораба в открито море по позицията на небесните тела. Значителна роля в развитието на тригонометрията изигра необходимостта от компилиране географски картии тясно свързаната необходимост от правилно определяне на големи разстояния на земната повърхност.

Трудовете на древногръцкия астроном са от основно значение за развитието на тригонометрията в ерата на нейното зараждане. Хипарх(средата на 2 век пр.н.е.). Тригонометрията като наука, в съвременния смисъл на думата, отсъства не само от Хипарх, но и от други учени от древността, тъй като те все още нямат представа за функциите на ъглите и дори не повдигат въпроса за връзката между ъглите и страните на триъгълник в общ вид. Но по същество, използвайки познатите им средства на елементарната геометрия, те решават проблемите, с които се занимава тригонометрията. В същото време основното средство за получаване желани резултатиимаше възможност за изчисляване на дължините на кръгови хорди въз основа на известните връзки между страните на правилен три-, четири-, пет- и десетоъгълник и радиуса на описаната окръжност.

Хипарх съставя първите таблици на хордите, тоест таблици, изразяващи дължината на хордата за различни централни ъгли в окръжност с постоянен радиус. По същество това бяха таблици с двойни синуси на половин централен ъгъл. Оригиналните таблици на Хипарх (както почти всичко, написано от него) обаче не са достигнали до нас и можем да си съставим представа за тях главно от съчинението „Великото строителство“ или (в превод на арабски) „Алмагест“. ” от известния астроном Клавдий Птолемейкойто е живял в средата на 2 век сл. н. е. д.

Птолемей раздели обиколката на 360 градуса, а диаметъра на 120 части. Той счита, че радиусът е 60 части (60¢¢). Той разделя всяка от частите на 60 ¢, всяка минута на 60 ¢ ¢, всяка секунда на 60 трети (60 ¢ ¢ ¢) и т.н., използвайки посоченото деление, Птолемей изразява страната на правилен вписан шестоъгълник или хорда, изваждайки дъга от 60 ° под формата на 60 части от радиуса (60h) и той приравнява страната на вписан квадрат или хорда от 90 ° на числото 84h51¢10², равно на диаметъра на кръг, той написа въз основа на питагоровата теорема: (акорд a) 2 + (акорд | 180-a |) 2 \u003d (диаметър) 2, което съответства на съвременната формула sin2a + cos2a \u003d 1.

Алмагестът съдържа таблица с хорди на половин градус от 0° до 180°, която от нашата съвременна гледна точка представлява таблица със синуси за ъгли от 0° до 90° на всяка четвърт от градуса.

Основата на всички тригонометрични изчисления сред гърците е теоремата на Птолемей, известна на Хипарх: "правоъгълник, изграден върху диагоналите на четириъгълник, вписан в окръжност, е равен на сбора от правоъгълниците, изградени от противоположните страни" (т.е. произведението на диагоналите е равно на сумата от произведенията на противоположните страни). Използвайки тази теорема, гърците са успели (с помощта на Питагоровата теорема) да изчислят хордата на сумата (или хордата на разликата) на тези ъгли или хордата на половината от даден ъгъл от хордите на два ъгъла , т.е. те са успели да получат резултатите, които сега получаваме, използвайки формулите за синус от сумата (или разликата) на два ъгъла или половин ъгъл.

Нови стъпки в развитието на тригонометрията са свързани с развитието на математическата култура на народите Индия, Централна Азияи Европа (V-XII).

Важна крачка напред в периода от 5-ти до 12-ти век направиха индусите, които за разлика от гърците започнаха да разглеждат и използват в изчисленията не цялата хорда MM¢ (виж чертежа) на съответния централен ъгъл, а само неговата половина MP, т.е. това, което сега наричаме линия на синуса на половината от централния ъгъл.

Заедно със синуса, индийците въведоха косинуса в тригонометрията, по-точно те започнаха да използват косинусовата линия в своите изчисления. (Самият термин косинус се появява много по-късно в трудовете на европейски учени за първи път в края на 16 век от т.нар. „допълнителен синус“, тоест синусът на ъгъла, който допълва даден ъгъл до 90 °. „Синусът на комплемента“ или (на латински) sinus complementi започва да се съкращава като синус ко или ко-синус).

Те също знаеха съотношенията cosa=sin(90°-a) и sin2a+cos2a=r2, както и формули за синуса на сбора и разликата на два ъгъла.

Следващият етап от развитието на тригонометрията е свързан със страните

Централна Азия, Близък изток, Закавказие (VII-15 век)

Развивайки се в тясна връзка с астрономията и географията, средноазиатската математика имаше подчертан "изчислителен характер" и беше насочена към решаване на приложни проблеми на измерването на геометрията и тригонометрията, а тригонометрията се оформи в специална математическа дисциплина до голяма степен именно в трудовете на учени от Централна Азия. Сред най-важните успехи, които постигнаха, на първо място трябва да отбележим въвеждането на всичките шест тригонометрични линии: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, от които само първите две бяха известни на гърците и индусите.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj на стълб с определена дължина (a=12) за j= 1°,2°,3°……

Абу-л-Вафаот Хорасан, живял през 10-ти век (940-998), съставил подобна "таблица на допирателните", т.е. изчислил дължината на сянката b=a×=a×tgj, хвърлена от хоризонтален стълб с определена дължина (a =60) върху вертикална стена (вижте чертежа).

Трябва да се отбележи, че самите термини "тангенс" (в буквален превод - "допиране") и "котангенс" произхождат от латинскии се появява в Европа много по-късно (XVI-XVII век). Учените от Централна Азия наричат съответните линии "сенки": котангенс - "първа сянка", тангенс - "втора сянка".

Абу-л-Вафа дава абсолютно точно геометрично определение на допирателната в тригонометрична окръжност и добавя линиите на секанса и косеканса към линиите на тангенса и котангенса. Той също така изрази (устно) алгебрични връзки между всички тригонометрични функции и по-специално за случая, когато радиусът на окръжност е равен на единица. Този изключително важен случай е разгледан от европейски учени 300 години по-късно. Накрая Абу-л-Вафа състави таблица на синусите на всеки 10 ¢.

В трудовете на средноазиатски учени тригонометрията се превръща от наука, обслужваща астрономията, в специална математическа дисциплина със самостоятелен интерес.

Тригонометрията се отделя от астрономията и става независима наука. Този клон обикновено се свързва с името на азербайджанския математик Насираддин Туси ().

За първи път в европейската наука е дадено хармонично представяне на тригонометрията в книгата "За триъгълниците от различни видове", написана от Йохан Мюлер, по-известен в математиката като Региомонтана().В него са обобщени методи за решаване на правоъгълни триъгълници и са дадени таблици на синусите с точност до 0,0000001. В същото време е забележително, че той приема радиуса на окръжността за равен, т.е. той изразява стойностите на тригонометричните функции в десетични дроби, всъщност преминавайки от шестдесетичната бройна система към десетичната.

Английски учен от 14 век Брадвардин ()той е първият в Европа, който въвежда в тригонометричните изчисления котангенс, наречен "директна сянка", и тангенс, наречен "обратна сянка".

На прага на XVII век. В развитието на тригонометрията се очертава ново направление – аналитично. Ако преди това основната цел на тригонометрията се смяташе за решаване на триъгълници, изчисляването на елементите на геометричните фигури и учението за тригонометричните функции се основаваше на геометрична основа, след това през XVII-XIX век. тригонометрията постепенно се превръща в една от главите на математическия анализ. Знаех и за свойствата на периодичността на тригонометричните функции виет, чиито първи математически изследвания са свързани с тригонометрията.

швейцарски математик Йохан Бернули ()вече използва символите на тригонометричните функции.

През първата половина на XIX век. френски учен Ж. Фуриедоказа, че всяко периодично движение може да бъде представено като сума от прости хармонични трептения.

От голямо значение в историята на тригонометрията беше работата на известния петербургски академик Леонхард Ойлер(), той даде модерен вид на цялата тригонометрия.

В своя труд "Въведение в анализа" (1748) Ойлер развива тригонометрията като наука за тригонометричните функции, дава й аналитично представяне, извеждайки целия набор от тригонометрични формули от няколко основни формули.

Ойлер притежава окончателното решение на въпроса за знаците на тригонометричните функции във всички четвъртини на кръга, извеждането на формули за редукция за общи случаи.

След въвеждането на нови функции в математиката - тригонометрични, стана целесъобразно да се повдигне въпросът за разширяването на тези функции в безкрайна серия. Оказва се, че такива разширения са възможни:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Тези серии правят много по-лесно съставянето на таблици с тригонометрични величини и намирането им с всякаква степен на точност.

Аналитичното изграждане на теорията на тригонометричните функции, започнато от Ойлер, беше завършено в работите , Гаус, Коши, Фурие и др.

Днес тригонометрията вече не се счита за самостоятелен дял от математиката. Най-важната му част, учението за тригонометричните функции, е част от по-общо учение за функциите, изучавани в математическия анализ, изградено от единна гледна точка; другата част - решението на триъгълниците - се счита за глава на геометрията.

3. Светът на тригонометрията.

3.1 Приложение на тригонометрията в различни науки.

Тригонометричните изчисления се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството.

От голямо значение е техниката на триангулацията, която позволява да се измерват разстоянията до близките звезди в астрономията, между ориентирите в географията и да се контролират сателитните навигационни системи. Трябва да се отбележи използването на тригонометрията в следните области: навигационни технологии, музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук), компютърна томография, фармацевтика, химия, число теория, сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография, геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машинно инженерство, компютърна графика, кристалография.

Тригонометрия във физиката.

Хармонични вибрации.

Когато една точка се движи по права линия последователно в една или друга посока, тогава казват, че точката прави флуктуации.

Един от най-простите видове трептения е движението по проекционната ос на точка М, която се върти равномерно около обиколката. Законът на тези трептения има формата x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Обикновено вместо тази честота се разглежда циклична честотаw=,показваща ъгловата скорост на въртене, изразена в радиани за секунда. В тези обозначения имаме: x=Рзащото (wt+а). (2)

Номер аНаречен началната фаза на трептенето.

Изследването на всякакъв вид трептения е важно още поради факта, че ние много често срещаме колебателни движения или вълни в света около нас и ги използваме с голям успех (звукови вълни, електромагнитни вълни).

Механични вибрации.

Механичните трептения са движения на тела, които се повтарят точно (или приблизително) на равни интервали. Примери за прости осцилационни системи са тежест върху пружина или махало. Вземете, например, тежест, окачена на пружина (вижте фиг.) и я натиснете надолу. Гирята ще започне да се люлее нагоре и надолу..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Графиката на колебание (2) се получава от графиката на колебание (1) чрез изместване наляво

На . Числото а се нарича начална фаза.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), където ле дължината на махалото, а j0 е началният ъгъл на отклонение. Колкото по-дълго е махалото, толкова по-бавно се люлее (това ясно се вижда на фиг. 1-7 приложение VIII). Фигура 8-16, Приложение VIII ясно показва как промяната в първоначалното отклонение влияе върху амплитудата на трептенията на махалото, докато периодът не се променя. Чрез измерване на периода на трептене на махало с известна дължина може да се изчисли ускорението на земната гравитация g в различни точки на земната повърхност.

Разреждане на кондензатора.

Не само много механични вибрации възникват според синусоидален закон. А в електрическите вериги възникват синусоидални трептения. Така че във веригата, изобразена вдясно горен ъгълмодели, зарядът на кондензаторните пластини варира според закона q \u003d CU + (q0 - CU) cos ωt, където C е капацитетът на кондензатора, U е напрежението при източника на ток, L е индуктивността на бобина, https://pandia.ru/text/78 /114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=">Благодарение на модела кондензатор, наличен във функциите и Програма за графики, можете да зададете параметрите на осцилаторната верига и да изградите съответните графики g (t) и I (t).Графики 1-4 ясно показват как напрежението влияе върху промяната в силата на тока и заряда на кондензатора, докато то ясно е, че при положително напрежение зарядът също приема положителни стойности Фигура 5-8 от Приложение IX показва, че когато капацитетът на кондензатора се промени (когато индуктивността на бобината се промени на Фиг. 9-14 от Приложение IX) и останалите параметри остават непроменени, периодът на трептене се променя, т.е. честотата на текущите колебания във веригата се променя и честотата на зареждане на кондензатора се променя .. (виж. Приложение IX).

Как да свържете две тръби.

Дадените примери могат да създадат впечатлението, че синусоидите възникват само във връзка с трептения. Обаче не е така. Например, синусоидите се използват при свързване на две цилиндрични тръби под ъгъл една спрямо друга. За да свържете две тръби по този начин, трябва да ги отрежете наклонено.

Ако разгънете тръба, нарязана наклонено, тогава тя ще бъде ограничена отгоре със синусоида. Това може да се провери, като обвиете свещта с хартия, срежете я под наклон и разгънете хартията. Следователно, за да получите равномерен разрез на тръбата, можете първо да изрежете металния лист отгоре по синусоидата и да го навиете на тръба.

теория на дъгата.

Теорията за дъгата е представена за първи път 1637 от Рене Декарт. Той обясни дъгата като явление, свързано с отразяването и пречупването на светлината в дъждовните капки.

Дъгата възниква поради факта, че слънчевата светлина се пречупва във водни капчици, окачени във въздуха, съгласно закона за пречупване:

където n1=1, n2≈1.33 са съответно показателите на пречупване на въздуха и водата, α е ъгълът на падане, а β е ъгълът на пречупване на светлината.

Северно сияние

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитно поле, се нарича сила Лоренц.То е пропорционално на заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата

Задачи по тригонометрия с практическо съдържание.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Определяне на коефициента на триене.

Тяло с тегло P е поставено върху наклонена равнина с ъгъл на наклон а. Тялото под въздействието на собственото си тегло е ускорило пътя S за t секунди. Определете коефициента на триене k.

Сила на натиск на тялото върху наклонена равнина =kPcosa.

Силата, която дърпа тялото надолу е F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Ако тялото се движи по наклонена равнина, тогава ускорението е a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF ; следователно 2)

От равенства (1) и (2) следва, че g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Тригонометрия в планиметрията.

Основни формули за решаване на задачи по геометрия чрез тригонометрия:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Съотношението на страните и ъглите в правоъгълен триъгълник:

1) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет и тангенса на срещуположния ъгъл.

2) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и синуса на включения ъгъл.

3) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и косинуса на включения ъгъл.

4) Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет и котангенса на включения ъгъл.

Задача 1:От страните AB и CD равнобедрен трапецABCD точки M иN по такъв начин, че линиятаMN е успореден на основите на трапеца. Известно е, че във всеки от образуваните малки трапециMBCN иAMND е възможно да се впише окръжност и радиусите на тези окръжности са равниr иR съответно. Намерете основаниеAD ипр.н.е.

дадени: ABCD-трапец, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, в трапеца MBCN и AMND може да се впише окръжност с радиус r и R съответно.

Намирам: и пр.н.е.

Решение:

Нека O1 и O2 са центрове на окръжности, вписани в малки трапеци. Директен O1K||CD.

В ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Тъй като ∆O2FD е правоъгълен, тогава O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Тъй като AD=2DF=2R*ctg(α/2),

по подобен начин BC = 2r*tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогава AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), намираме отговора.

Отговор : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача 2:В триъгълник ABC известни партии б, c и ъгълът между медианата и височината, излизаща от върха A. Изчислете площта на триъгълник ABC.

дадени: ∆ ABC, AD-височина, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Намирам: S∆ABC.

Решение:

Нека CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По закона за косинусите в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); и в ∆ACE, по косинусовата теорема c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Изваждайки равенства 2 от 1, получаваме c²-b²=4xy*cosγ(3).

Тъй като S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогава разделяйки 3 равенство на 4 получаваме: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαb, следователно S∆ABC= ( c²- b²)/4*tgα.

Отговор: (s²- b² )/4*tg α .

Тригонометрията в изкуството и архитектурата.

Архитектурата не е единствената област на науката, в която се използват тригонометрични формули. Повечето от композиционните решения и изграждането на чертежи се извършват именно с помощта на геометрията. Но теоретичните данни означават малко. Искам да дам пример за изграждането на една скулптура от френския майстор от Златния век на изкуството.

Пропорционалното съотношение в конструкцията на статуята беше перфектно. Въпреки това, когато статуята беше издигната на висок пиедестал, тя изглеждаше грозна. Скулпторът не е взел предвид, че много детайли са намалени в перспектива към хоризонта, а когато се гледа отдолу нагоре, вече не се създава впечатление за неговата идеалност. Бяха направени много изчисления, така че фигурата от голяма височина да изглежда пропорционална. По принцип те се основават на метода на наблюдение, т.е. приблизително измерване с око. Въпреки това, коефициентът на разлика в определени пропорции направи възможно фигурата да се доближи до идеала. По този начин, знаейки приблизителното разстояние от статуята до гледната точка, а именно от върха на статуята до очите на човек и височината на статуята, можем да изчислим синуса на ъгъла на падане на погледа, като използваме таблица (можем да направим същото с долната гледна точка), като по този начин намираме точковото зрение (фиг. 1)

Ситуацията се променя (фиг. 2), тъй като статуята е повдигната на височина AC и HC се увеличават, можем да изчислим косинуса на ъгъл C, използвайки таблицата, намираме ъгъла на падане на погледа. В процеса можете да изчислите AH, както и синуса на ъгъл C, което ще ви позволи да проверите резултатите, като използвате основната тригонометрична идентичност защото 2а+грях 2а = 1.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Тригонометрия в медицината и биологията.

Биоритъмен модел

Моделът на биоритмите може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции. За да изградите модел на биоритмите, трябва да въведете датата на раждане на дадено лице, референтната дата (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата (брой дни).

Движението на рибата във водата възниква според закона за синус или косинус, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение. При плуване тялото на рибата приема формата на крива, която наподобява графиката на функцията y=tgx.

Сърдечна формула

В резултат на проучване, проведено от студент от ирански университет Шираз Уахид-Реза Абаси,за първи път лекарите успяха да рационализират информацията, свързана с електрическата активност на сърцето или, с други думи, електрокардиографията.
Формулата, наречена Tehran, беше представена на широката научна общност на 14-ата конференция по географска медицина и след това на 28-ата конференция за приложението на компютърните технологии в кардиологията, проведена в Холандия. Тази формула е сложно алгебрично-тригонометрично уравнение, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия. Според лекарите тази формула значително улеснява процеса на описване на основните параметри на дейността на сърцето, като по този начин ускорява диагностиката и започването на действителното лечение.

Тригонометрията помага на нашия мозък да определя разстоянията до обектите.

Американски учени твърдят, че мозъкът оценява разстоянието до обектите чрез измерване на ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението. Строго погледнато, идеята за "измерване на ъгли" не е нова. Още артисти Древен Китайрисува отдалечени обекти по-високо в зрителното поле, донякъде пренебрегвайки законите на перспективата. Алхазен, арабски учен от 11 век, формулира теорията за определяне на разстоянието чрез оценка на ъгли. След дълго забрава в средата на миналия век, идеята е възродена от психолога Джеймс Гибсън, който базира заключенията си на базата на опит с пилоти. военна авиация. Въпреки това, след като говорим за теорията

отново забравен.

3.2 Графични представяния на трансформацията на "малко интересни" тригонометрични функции в оригинални криви.

Криви в полярни координати.

с. 16 е. 19 Гнезда.

В полярните координати се избира един сегмент д,полюс O и полярна ос Ox. Позицията на всяка точка M се определя от полярния радиус OM и полярния ъгъл j, образуван от лъча OM и лъча Ox. Числото r, изразяващо дължината на OM по отношение на д(OM=re) и числената стойност на ъгъла j, изразена в градуси или в радиани, се наричат полярни координати на точка М.

За всяка точка, различна от O, можем да приемем, че 0≤j<2p и r>0. Въпреки това, когато се конструират криви, съответстващи на уравнения под формата r = f (j), естествено е да се присвоят всякакви стойности на променливата j (включително отрицателни и тези, надвишаващи 2p), а r може да се окаже както положителни, така и отрицателни.

За да намерим точката (j, r), изтегляме лъч от точката O, сключващ ъгъл j с оста Ox, и нанасяме върху него (при r>0) или върху продължението му в обратна посока (за r>0) отсечката ½ r ½e.

Всичко ще бъде значително опростено, ако първо построите координатна мрежа, състояща се от концентрични окръжности с радиуси e, 2e, 3e и т.н. (с център на полюса O) и лъчи, за които j = 0 °, 10 °, 20 °, .. ,340°,350°; тези лъчи ще са подходящи и за j<0°, и при j>360°; например при j=740° и при j=-340° ще попаднем на лъч, за който j=20°.

Проучването на тези графики помага компютърна програма Функции и Графики. Използвайки възможностите на тази програма, ние изследваме някои интересни графики на тригонометрични функции.

1 .Разгледайте кривите, дадени от уравненията:r=а+грях3й

I. r=sin3j (Детелина ) (Фиг. 1)

II. r=1/2+sin3j (фиг. 2), III. r=1+ sin3j (фиг.3), r=3/2+ sin3j (фиг.4) .

Крива IV има най-малка стойност r=0.5 и венчелистчетата имат незавършен вид. Така, когато a > 1, венчелистчетата на трилистника изглеждат незавършени.

2. Разгледайте кривитекогато а=0; 1/2; 1;3/2

При a=0 (фиг. 1), при a=1/2 (фиг. 2), при a=1 (фиг. 3) венчелистчетата са завършени, при a=3/2 ще има пет незавършени венчелистчета., (фиг. .4).

3. Като цяло криватаr=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), защото в този сектор 0°≤≤180°.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> едно венчелистче ще изисква "сектор" по-голям от 360°.

Фигура 1-4 показва външния вид на венчелистчетата с =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" height="41 src=">.

4. Уравнения, открити от немски натуралист математик HabenichtЗа геометрични формиоткрити в растителния свят. Например, уравненията r=4(1+cos3j) и r=4(1+cos3j)+4sin23j съответстват на кривите, показани на фигура 1.2.

Криви в декартови координати.

Криви на Лисажу.

Много интересни криви могат да бъдат конструирани и в декартови координати. Особено интересни са кривите, чиито уравнения са дадени в параметрична форма:

Където t е спомагателна променлива (параметър). Например, разгледайте кривите на Lissajous, характеризиращи се в общия случай с уравненията:

Ако вземем времето като параметър t, тогава фигурите на Лисажу ще бъдат резултат от добавянето на две хармонични осцилаторни движения, извършени във взаимно перпендикулярни посоки. В общия случай кривата се намира вътре в правоъгълник със страни 2а и 2с.

Нека да разгледаме следните примери

I.x=sin3t; y=sin 5t (фиг.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (фиг.2)

III. x=sin3t; y=sin 4t (фиг. 3)

Кривите могат да бъдат затворени или отворени.

Например заместване на уравнения I с уравнения: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превръща отворена крива в затворена (фиг. 4)

Интересни и особени са линиите, съответстващи на уравнения на формата

при=arcsin(sin k(x-а)).

От уравнението y=arcsin(sinx) следва:

1) и 2) siny=sinx.

При тези две условия функцията y=x удовлетворява. Начертайте го на графика в интервала (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> ще имаме y=p-x, тъй като sin( p-x )=sinx и в този интервал

. Тук графиката ще бъде представена от сегмента BC.

Тъй като sinx е периодична функция с период 2p, прекъснатата линия ABC, построена в интервала (,), ще се повтори в други секции.

Уравнението y=arcsin(sinkx) ще съответства на прекъсната линия с точка https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

удовлетворява координатите на точки, които лежат едновременно над синусоидата (за тях y>sinx) и под кривата y=-sinx, т.е. "областта на решение" на системата ще се състои от области, защриховани на фиг. 1.

2. Разгледайте неравенствата

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

За да решим това неравенство, първо изграждаме графики на функции: y=sinx; y=-sinx.

След това рисуваме областите, където y>sinx и в същото време y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-синкс.

Това неравенство ще удовлетворява областите, защриховани на Фиг. 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+))))<0

Да преминем към следващото неравенство:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+))}<0

За да разрешим това неравенство, първо изграждаме функционални графики: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Нека направим таблица с възможните решения.

1 множител има знак	2 множител има знак	3 множител има знак	4 множител има знак

След това разглеждаме и боядисваме решенията на следните системи.

)| и |y|>|sin(x-)|.

2) Вторият множител е по-малък от нула, т.е.gif" width="17" height="41">)|.

3) Третият фактор е по-малък от нула, т.е. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+Учебни дисциплини" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">учебни дисциплини, технологии, ежедневие.

Използването на програмата за моделиране "Функции и графики" значително разшири възможностите за провеждане на изследвания, направи възможно материализирането на знания при разглеждане на приложенията на тригонометрията във физиката. Благодарение на тази програма бяха извършени лабораторни компютърни изследвания на механични трептения на примера на трептения на махалото и бяха разгледани колебания в електрическа верига. Използването на компютърна програма направи възможно изследването на интересни математически криви, дефинирани с помощта на тригонометрични уравненияи чертане в полярни и декартови координати. Графичното решение на тригонометричните неравенства доведе до разглеждането на интересни математически орнаменти.

5. Списък на използваната литература.

1. ., Атанасов на математически задачи с практическо съдържание: Кн. за учителя.-М .: Образование, с.

2. .Виленкин в природата и техниката: Кн. за извънкласно четене IX-X клетки - М .: Образование, 5s (Светът на знанието).

3. Битови игри и забавления. състояние. изд. физика и математика осветен М, 9ул.

4. .Кожуров тригонометрия за техникуми. състояние. изд. технико-теоретичен лит. М., 1956

5. Книга. За извънкласно четенематематика в гимназията. състояние. учебно-пед. изд. Мин. просв. RF, М., стр.

6. Тригонометрия на Тараканов. 10 клетки ..-M .: Bustard, p.

7. За тригонометрията и не само за нея: ръководство за ученици от 9-11 клас.-М .: Образование, 1996-80-те.

8. Задачи на Шапиро с практическо съдържание в обучението по математика. Книга. за учителя.-М .: Образование, 1990-96 г.

Съобщение по темата за тригонометрията в медицината. Тригонометрията в света около нас и човешкия живот

стъпки

Научете основите на тригонометрията

Приложение на тригонометрията

Проучете материала предварително

Историята на създаването на тригонометрията

Ранни векове

Древна Гърция

Средна възраст

ново време

18-ти век

Приложение на тригонометрията

Вижте съдържанието на документа "Данилова Т.В.-сценарий"

Вижте съдържанието на презентацията "Данилова Т.В."

Вижте съдържанието на документа
"Данилова Т.В.-сценарий"

Вижте съдържанието на презентацията
"Данилова Т.В."