Історія появи теореми піфагору. теорема Піфагора

Навколо та близько

Історія теореми Піфагора йде у століття та тисячоліття. У цій статті ми не будемо докладно зупинятися на історичних темах. Для інтриги, скажімо лише, що, мабуть, цю теорему знали ще давньоєгипетські жерці, які жили понад 2000 років до нашої ери. Для тих, кому цікаво, ось посилання на статтю у Вікіпедії.

Насамперед, хочеться для повноти викладу навести тут доказ теореми Піфагора, який, на мою думку, є найбільш елегантним і очевидним. На малюнку вище зображено два однакові квадрати: лівий та правий. З малюнка видно, що ліворуч і праворуч площі зафарбованих фігур рівні, тому що в кожному з великих квадратів зафарбовано по 4 однакові прямокутні трикутники. А це означає, що і незафарбовані (білі) площі зліва та праворуч теж рівні. Помічаємо, що у першому випадку площа незафарбованої фігури дорівнює , тоді як у другому - площа незакрашенной області дорівнює . Таким чином, . Теорему доведено!

Як назвати ці числа? Трикутниками не назвеш, адже чотири числа не можуть утворити трикутник. І тут! Як грім серед ясного неба

Якщо є такі четвірки чисел, значить має бути геометричний об'єкт з такими ж властивостями, які відображені в цих числах!

Тепер залишилося тільки підібрати якийсь геометричний об'єкт під цю властивість, і все стане на свої місця! Звичайно, припущення було суто гіпотетичне, і жодного підтвердження не мало. Але якщо це так!

Почався перебір об'єктів. Зірки, багатокутники, правильні, неправильні, з прямим кутомі так далі і тому подібне. Знову нічого не підходить. Що робити? І в цей момент Шерлок отримує свою другу зачіпку.

Потрібно підвищити розмірність! Якщо трійці відповідають трикутник на площині, значить четвірці відповідає щось тривимірне!

О ні! Знову перебір варіантів! А в тривимірі набагато, набагато більше за всі геометричні тіла. Спробуй перебрати їх усі! Але не все так погано. Є ще прямий кут та інші зачіпки! Що ми маємо? Єгипетські четвірки чисел (хай будуть єгипетські, треба їх якось називати), прямий кут (або кути) і якийсь тривимірний об'єкт. Дедукція спрацювала! І... Гадаю, що зрозумілі читачі вже зрозуміли, що мова йдепро піраміди, у яких при одній з вершин всі три кути - прямі. Можна навіть назвати їх прямокутними пірамідамиза аналогією з прямокутним трикутником.

Нова теорема

Отже, у нас є все, що потрібно. Прямокутні (!) піраміди, бічні грані-катетиі січна грань-гіпотенуза. Настав час намалювати ще одну картинку.

На малюнку зображена піраміда з вершиною на початку прямокутних координат (піраміда ніби лежить на боці). Піраміда утворена трьома взаємно перпендикулярними векторами, відкладеними з початку координат вздовж координатних осей. Тобто кожна бічна грань піраміди – це прямокутний трикутникз прямим кутом на початку координат. Кінці векторів визначають січну площину і утворюють грань-основу піраміди.

Теорема

Нехай є прямокутна піраміда, утворена трьома взаємно-перпендикулярними векторами , у яких площі граней-катетов рівні - , і площа грані-гіпотенузи - . Тоді

Альтернативне формулювання: У чотиригранної піраміди, у якої при одній з вершин усі плоскі кути прямі, сума квадратів площ бічних граней дорівнює квадрату площі основи.

Зрозуміло, якщо звичайна теорема Піфагора формулюється для довжин сторін трикутників, наша теорема формулюється для площ сторін піраміди. Довести цю теорему у трьох вимірах дуже просто, якщо ви трохи знаєте векторну алгебру.

Доведення

Виразимо площі через довжини векторів.

де.

Площу представимо як половину площі паралелограма, побудованого на векторах і

Як відомо, векторний добуток двох векторів - це вектор, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах.
Тому

Таким чином,

Що і потрібно було довести!

Звичайно, як у людини, яка професійно займається дослідженнями, подібне в моєму житті вже траплялося, і не раз. Але цей момент був найяскравішим і незабутнім. Я відчув повну гаму почуттів, емоцій, переживань першовідкривача. Від зародження думки, кристалізації ідеї, знаходження доказу до повного нерозуміння і навіть неприйняття, яке зустріли мої ідеї у моїх друзів, знайомих і, як мені тоді здавалося, цілого світу. Це було унікально! Я ніби відчув себе в шкірі Галлілея, Коперника, Ньютона, Шредінгера, Бора, Ейнштейна та багатьох інших відкривачів.

Післямова

У житті все виявилося набагато простіше і прозаїчніше. Я запізнився... Але скільки! Всього лише 18 років! Під страшними тривалими тортурами і не з першого разу Google зізнався мені, що ця теорема була опублікована 1996 року!

Стаття опублікована видавництвом Техаського технічного університету. Автори, професійні математики, ввели термінологію (яка, до речі, багато в чому збіглася з моєю) і довели також узагальнену теорему справедливу для простору будь-якої розмірності більшої одиниці. Що ж станеться у розмірностях вищих, ніж 3? Все дуже просто: замість граней та площ будуть гіперповерхні та багатовимірні обсяги. А твердження, звичайно, залишиться тим самим: сума квадратів обсягів бічних граней дорівнює квадрату обсягу підстави, - просто кількість граней буде більшою, а обсяг кожної з них дорівнюватиме половині добутку векторів-утворюючих. Уявити це майже неможливо! Можна тільки, як кажуть філософи, подумати!

Що дивно, дізнавшись про те, що така теорема вже відома, я анітрохи не засмутився. Десь у глибині душі я підозрював, що цілком можливо, я був не перший, і розумів, що треба бути завжди готовим до цього. Але той емоційний досвід, який я здобув, запалив у мені іскру дослідника, яка, я певен, тепер уже не згасне ніколи!

P.S.

Ерудований читач у коментарях надіслав посилання
Теорема де Гуа

Витяг з Вікіпедії

У 1783 теорема була представлена ​​Паризької академії наук французьким математиком Ж.-П. де Гуа, проте раніше вона була відома Рене Декарту і до нього Йоганну Фульгабер (англ.), який, ймовірно, першим відкрив її в 1622 році. У більш загальному вигляді теорему сформулював Шарль Тінсо (фр.) у доповіді Паризької академії наук у 1774 році

Тож я запізнився не на 18 років, а як мінімум на кілька століть!

Джерела

Читачі вказали у коментарях кілька корисних посилань. Ось ці та деякі інші посилання:

Піфагор Самоськийувійшов в історію, як один із найвидатніших інтелектуалів людства. У його багато незвичайних речей і здається, що сама доля приготувала йому особливий життєвий шлях.

Піфагор створив власну релігійно-філософську школу і прославився, як один із найбільших математиків. Його розум і кмітливість на сотні років випереджали час, коли він жив.

Піфагор Самоський

Коротка біографія Піфагора

Звичайно, коротка біографія Піфагора не дасть нам можливості повною мірою розкрити цю унікальну особистість, але все ж таки головні моменти його життя ми висвітлимо.

Дитинство і юність

Дата народження Піфагора достеменно невідома. Історики припускають, що він народився між 586-569 роками. е., на грецькому острові Самос (звідси та її прізвисько – «Самоський»). Згідно з однією легендою, батькам Піфагора передбачили, що їхній син стане великим мудрецем та просвітителем.

Батька Піфагора звали Мнесарх, а мати – Партія. Глава сімейства займався обробкою дорогоцінного каміння, тому сім'я була досить забезпеченою.

Виховання та освіта

Вже у ранньому віціПіфагор виявляв інтерес до різних наук та мистецтва. Його першого вчителя звали Гермодамант. Він заклав у майбутнього вченого основи музики, живопису та граматики, а також змушував його напам'ять вивчати уривки з «Одіссеї» та «Іліади» Гомера.

Коли Піфагору виповнилося 18 років, він вирішив вирушити в , щоб отримати ще більше знань і набратися досвіду. Це був серйозний крок у його біографії, але йому не судилося здійснитися. Піфагор не зміг потрапити до Єгипту, тому що його було закрито для греків.

Зупинившись на острові Лесбос, Піфагор почав вивчати фізику, медицину, діалектику та інші науки Ферекіда Сіросського. Проживши на острові кілька років, він захотів відвідати Мілет, де жив ще відомий філософ Фалес, який утворив першу в Греції філософську школу.

Дуже скоро, Піфагор стає одним з найосвіченіших і відомих людейсвого часу. Проте згодом у біографії мудреця відбуваються різкі зміни, оскільки почалася перська війна.

Піфагор потрапляє у вавилонський полон, і тривалий час живе у неволі.

Містика та повернення додому

Через те, що у Вавилоні була популярна астрологія та містика, Піфагор пристрастився до вивчення різних містичних таїнств, звичаїв та надприродних явищ. Вся біографія Піфагора сповнена пошуку і рішень всіляких, які так привертали його увагу.

Пробувши в полоні більше 10 років, він зненацька отримує звільнення особисто від перського царя, який не з чуток знав про мудрість вченого грека.

Опинившись на волі, Піфагор відразу повертається до себе на батьківщину, щоб розповісти про набуті знання співвітчизникам.

Школа Піфагора

Завдяки широким знанням, постійному та ораторському мистецтву, йому вдається швидко здобути популярність та визнання серед жителів Греції.

На виступах Піфагора завжди присутня безліч людей, які дивуються мудрості філософа і бачать у ньому мало не божество.

Одним із головних пунктів біографії Піфагора є той факт, що він створив школу, засновану на його власних принципах світорозуміння. Вона і називалася: школа піфагорійців, тобто послідовників Піфагора.

Він мав і свою методику навчання. Наприклад, слухачам заборонялося розмовляти під час занять, і не дозволялося ставити будь-які питання.

Завдяки цьому учні могли виховувати у собі скромність, лагідність та терпіння.

Сучасній людині ці речі можуть здатися дивними, але не слід забувати, що за часів Піфагора самого поняття шкільного навчанняу нашому розумінніпросто не існувало.

Математика

Крім медицини, політики та мистецтва, Піфагор найсерйознішим чином займався математикою. Йому вдалося зробити вагомий внесок у розвиток.

Досі в школах усього світу найпопулярнішою теоремою вважається теорема Піфагора: a 2 + b 2 = c 2 . Кожен школяр пам'ятає, що «піфагорові штани, на всі боки рівні».

Крім цього, існує «таблиця Піфагора», за допомогою якої можна було перемножувати цифри. По суті, це сучасна таблицямноження просто трохи в іншому вигляді.

Нумерологія Піфагора

У біографії Піфагора є чудова річ: його все життя дуже цікавили числа. З їх допомогою він намагався пізнати природу речей та явищ, життя та смерті, страждань, щастя та інших важливих питаньбуття.

Цифру 9 він пов'язував із сталістю, 8 – зі смертю, а ще приділяв велику увагу квадрату чисел. У цьому сенсі досконалим числом було 10. Десятку Піфагор називав символом Космосу.

Піфагорійці першими розділили числа на парні та непарні. У парних чисел, на думку математика, був жіночий початок, а у непарних – чоловічий.

У ті часи, коли не існувало науки як такої, люди пізнавали життя та світоустрій як могли. Піфагор, як великий син свого часу, намагався шукати відповіді на ці та інші питання за допомогою цифр та чисел.

Філософське вчення

Вчення Піфагора слід розділити на дві категорії:

• Науковий підхід
• Релігійність та містика

На жаль, далеко не всі праці Піфагор вдалося зберегти. А все через те, що вчений практично не робив жодних записів, передаючи знання учням в усній формі.

Крім того, що Піфагор був ученим та філософом, його можна по праву назвати і релігійним новатором. У цьому на нього трохи схожий був Лев Толстой (ми публікували в окремій статті).

Піфагор був вегетаріанцем і спонукав до цього своїх послідовників. Він не дозволяв учням вживати їжу тваринного походження, забороняв їм пити спиртні напої, поганословити і поводитися непристойно.

Цікавим є і той факт, що Піфагор не навчав простих людей, які прагнули здобути лише поверхневі знання. Він приймав в учні лише тих, у кому бачив обраних та освічених індивідів.

Особисте життя

Вивчаючи біографію Піфагора, може скластися помилкове враження, що часу на особисте життя він не мав. Однак, це не зовсім так.

Коли Піфагору було близько 60 років, на одному зі своїх виступів він зустрів вродливу дівчину на ім'я Феана.

Вони одружилися, і від цього шлюбу у них народилися хлопчик та дівчинка. Тож видатний грек був сімейною людиною.

Смерть

Як це не дивно, але жоден із біографів не може однозначно сказати, яким чином помер великий філософ та математик. Існує три версії його смерті.

Згідно з першою, Піфагора вбив один із учнів, якого він відмовився навчати. У пориві гніву вбивця підпалив Академію вченого, де той і загинув.

Друга версія розповідає про те, що під час пожежі прихильники вченого, бажаючи врятувати його від смерті, створили міст із власних тіл.

Але найпоширенішою версією смерті Піфагора вважається його загибель під час збройного конфлікту у місті Метапонт.

Великий вчений прожив понад 80 років, померши в 490 р. до н. е. За своє довге життя він встиг зробити дуже багато, і його цілком справедливо вважають одним із найвидатніших розумів в історії.

Якщо вам сподобалася біографія Піфагора - поділіться нею соціальних мережах. Нехай про це генія дізнаються і ваші друзі.

Якщо ж вам взагалі подобаються короткі біографії, і просто – обов'язково підписуйтесь на сайт. З нами завжди цікаво!

Привиденців Владислав, Катерина Фарафонова

Проектна робота учнів до математичної конференції

Завантажити:

Попередній перегляд:

БОУ ТР ГО «Троснянська середня загальноосвітня школа»

Учнівська математична конференція, присвячена великому математику Піфагору

(у рамках Тижня математики у школі)

Історія теореми Піфагора

(проект)

Підготували

учні 9 б класу

Фарафонова Катерина та Привиденців Владислав

Вчитель Білик Т.В.

Січень – 2016р.

Цілі:

• 1.Розширити свої знання з історії математики.
• 2. Познайомитися з біографічними фактами із життя Піфагора, пов'язаними з теоремою.
• 3.Вивчити історію теореми Піфагора через міфи, легенди давнини.
• 4.Розглянути застосування теореми Піфагора під час вирішення завдань із різних розділів геометрії.

План.

1. Введення

2. З історії теореми

3. Вірші про Піфагора

4. Підсумок

5. Висновок

Вступ.

Теорема Піфагора здавна широко застосовувалася в різних галузях науки, техніки та практичного життя. Про неї писали у своїх творах римський архітектор та інженер Вітрувій, грецький письменник-мораліст Плутарх, грецький вчений ІІІ ст. Діоген Лаерцій, математик V ст. Прокл і багато інших. Легенда про те, що на честь свого відкриття Піфагор приніс у жертву бика або, як розповідають інші, сто бугаїв, послужила приводом для гумору в оповіданнях письменників та у віршах поетів.

Поет Генріх Гейне (1797-1856), відомий своїми антирелігійними поглядами та уїдливими глузуваннями над забобонами, в одному зі своїх творів висміює «вчення» про переселення душ таким чином:

"Хто знає! Хто знає! Душа Піфагора оселилася, можливо, бідняку ​​- кандидата, який не зумів довести теореми Піфагора і тому провалився на іспиті, тоді як у його екзаменаторах живуть душі тих самих бугаїв, яких колись Піфагор приніс у жертву безсмертним богам, зрадований відкриттям своєї теореми. Історія Піфагорової теоремипочинається задовго до Піфагора. Протягом століть було надано численні різні докази теореми Піфагора.

З історії теореми

Історичний огляд почнемо з стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: "Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4". У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

• Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 32 + 42 = 52 було відомо вжеєгиптянам ще близько 2300 до н. е.., за часів царяАменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад, малюнки, що зображують столярну майстерню.

• Дещо більше відомо про теорему Піфагора увавилонян . В одному тексті, що відноситься до часуХаммурабі , Т. е. до 2000 р. до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:"Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У їхніх руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."Геометрія у індусів , Як і в єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н. е.

• У першому російському перекладі евклідових "Початків", зробленому Ф. І. Петрушевським, теорема Піфагора викладена так:"У прямокутних трикутниках квадрат із боку, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут.Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх "Початків". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у "Початках" належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності. Натомість легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що на честь цього відкриття Піфагор приніс у жертву 100 бугаїв.

• Довгий час вважали, що до Піфагора ця теорема була відома і названа її тому «теоремою Піфагора». Ця назва збереглася досі. Проте в даний час встановлено, що ця найважливіша теорема зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 до Піфагора.
• Про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 та 5 є прямокутником, знали за 2000 років до н.е. єгиптяни, які, ймовірно, користувалися цим ставленням для побудови прямих кутів при спорудженні будівель. У Китаї пропозиція про квадрат гіпотенузи була відома принаймні за 500 років до Піфагора. Ця теорема була відома і в Стародавній Індії; про це свідчать пропозиції, що містяться у «Сутрах».

Піфагор зробив багато важливих відкриттів, але найбільшу славу вченому принесла доведена ним теорема, яка зараз має його ім'я. Справді, в сучасних підручникахтеорема сформульована так: "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". - Як записати теорему Піфагора для прямокутного трикутникаАВС з катетами а, b і гіпотенузою с.

а 2 + b 2 = з 2

Припускають, що за часів Піфагора теорема звучала інакше: " Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах " . Справді,з 2 – площа квадрата, побудованого на гіпотенузі,а 2 та b 2 – площі квадратів, збудованих на катетах.

Ймовірно, факт, викладений у теоремі Піфагора, спочатку був встановлений для рівнобедрених прямокутних трикутників. Квадрат, побудований на гіпотенузі, містить чотири трикутники. А на кожному катете побудований квадрат, що містить два трикутники. З малюнка 9 видно, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Вірші про Піфагора.
Німецький письменник-романіст А. Шаміссо, який на початку ХІХ ст. Брав участь у навколосвітній подорожі російським кораблем «Рюрік», написав такі вірші:
Буде вічною істина, коли
Її пізнає слабка людина!
І нині теорема Піфагора
Вірна, як і його далекий вік.
Багато було жертвопринесення
Багам від Піфагора. Сто бугаїв
Він віддав на заклання та спалення
За світла промінь, що прийшов із хмар.
Тому завжди відтоді,
Трохи істина народжується на світ,
Бики ревуть, її почуваючи, слідом.
Вони не в силах світла перешкодити,
А можуть лише, заплющивши очі, тремтіти
Від страху, що вселив у них Піфагор

Підбиваємо підсумок:
Якщо дано нам трикутник
І до того ж з прямим кутом,
То квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети у квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо
І таким простим шляхом
До результату ми прийдемо.

Наближається залік з геометрії, але в заліках і іспитах іноді бувають випадки, коли учні, витягнувши квиток, пам'ятають формулювання теореми, але забувають із чого почати доказ. Щоб цього не сталося з вами, пропоную рисунок – опорний сигнал. Думаю, він надовго залишиться у вашій пам'яті.

Відрубав Іван-царевич голову дракона, а в нього дві нові виросли. Математичною мовою це означає: провели в ΔАВС висоту CD , і утворилося два нових прямокутних трикутники ADC та BDC.

Висновок.

Після вивчення побудованого матеріалу можна зробити висновок, що теорема Піфагора - одна з найголовніших теорем геометрії тому, що з її допомогою можна довести багато інших теорем і вирішити безліч завдань.

Піфагор і школа Піфагора відіграли велику роль у вдосконаленні методів вирішення наукових проблем: математику твердо увійшло положення про необхідність суворих доказів, що й додало їй значення особливої ​​науки.

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх "Початків". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у "Початках" належить самому Евкліду.

Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності. Проте легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Багатьом відомий сонет німецького письменника-романіста Шаміссо:

Буде вічною істина, коли

Її пізнає слабка людина!

І нині теорема Піфагора

Вірна, як і в його далекий вік.

Багато було жертвопринесення

Багам від Піфагора. Сто бугаїв

Він віддав на заклання та спалення

За світла промінь, що прийшов із хмар.

Тому завжди з тих пір,

Трохи істина народжується на світ,

Бики ревуть, її почуваючи, слідом,

Вони не в силах світла перешкодити,

А можуть лише, заплющивши очі, тремтіти

Від страху, що вселив у них Піфагор.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо з стародавнього Китаю.Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, сполучна кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого.

Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор(найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3І + 4І = 5І була відома вже єгиптянам ще близько 2300 до н.е., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею).

На думку Кантора, гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дещо більше було відомо про теорему Піфагора вавилонянам. У одному тексті, який належить до часу Хаммураби, тобто. до 2000 року до нашої ери наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника; звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу, у випадках.

Геометрія у індусівбула тісно пов'язана із культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними приписами, існують і твори геометрично-теологічного характеру, звані Сульвасутри. У цих творах, які стосуються 4 чи 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута з допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні століттятеорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини в циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

У Евклідаця теорема говорить (дослівний переклад):

У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадратів на сторонах, укладають прямий кут.

Латинський переклад арабського тексту Аннаріція(близько 900 року до нашої ери), зроблений Герхардом Кремонським(12 століття) говорить (у перекладі):

«В всякому прямокутному трикутнику квадрат, освічений на осторонь, натягнутою над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів, освічених на двох сторонах, укладають прямий кут»

У Geometry Culmonensis (близько 1400 року) теорема читається так (у перекладі): «Отже, площа квадрата, виміряного по довжиною осторонь, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двом сторонам його, що примикає до прямому куті»

У російському перекладі евклідових «Початків», теорема Піфагора викладена так: «В прямокутному трикутнику квадрат з сторони, протилежної прямому кутку, дорівнює сумі квадратів з сторін, містять прямий кут».

Як бачимо, в різних країнахі різних мовахІснують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний часй у різних мовах, вони відбивають суть однієї математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

піфагор математика теорема доказ

Міська науково-практична конференція

«Старт у науку»

Знамениті теореми (теорема Піфагора)

Секція «Створювальна сила

великих відкриттів у математиці»

3.4 Застосування у мобільному связи……………………………………………………….26

Заключение……………………………………………………………………………………………27

Список литературы…………………………………………………………………………………...29

Вступ.

Важко знайти людину, яка має ім'я Піфагора не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Мабуть, навіть ті, хто у своєму житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають спогади про «піфагорові штани». Причина такої популярності теореми Піфагора трієдіна: це простота – краса – значимість. Насправді теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечливих почав і надає їй особливої ​​привабливої ​​сили, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має величезне значення: вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці, і той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних тощо), свідчить про величезну кількість її конкретних реалізацій. Відкриття теореми Піфагор оточене ореолом красивих легенд.

Сьогодні теорема Піфагора виявлена ​​в різних приватних завданнях і кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета першого (бл. 2000 до н.е.), і в вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н.е.). , та у давньоіндійському геометрично-теологічному трактаті VII – V ст. до зв. е. "Сульва сутра" ("Правила мотузки"). У найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-бі суань цзінь», час створення якого точно не відомий, стверджується, що у XII ст. до зв. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до зв. е. - І загальний виглядтеореми. Незважаючи на все це, ім'я Піфагора настільки міцно сплавилося з теоремою Піфагора, що просто неможливо уявити, що це словосполучення розпадеться. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім'я. На жаль, від цього доказу також не збереглося жодних слідів.

За висловом відомого вченого І. Кеплера, «геометрія володіє двома скарбами – теоремою Піфагора та золотим перетином, і якщо перше з них можна порівняти із мірою золота, то друге – з дорогоцінним каменем…».

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії.

Один американський математик, наш сучасник, близько 20 років збирав різні способи доказу теореми Піфагора, і зараз його колекція містить близько 300 різних доказів. Це говорить про те, що давня теорема актуальна та цікава людям досі.

У шкільному курсігеометрії з допомогою теореми Піфагора вирішуються лише математичні завдання. На жаль, питання практичного застосування теореми Піфагора не розглядається.

В даний час загальне визнання отримало те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки залежить від розвитку різних напрямів математики. Важливою умовою підвищення ефективності виробництва є широке впровадження математичних методів у техніку та народне господарство, Що передбачає створення нових, ефективних методівякісного та кількісного дослідження, які дозволяють вирішувати завдання, що висуваються практикою.

Об'єкт дослідження: теорема Піфагор.

Предмет дослідження: різні інтерпретації та методи підтвердження теореми Піфагора, її застосування під час вирішення практичних завдань.

Вивчаючи додаткову літературу з обраної теми, було висунуто гіпотези:

1) існують інші інтерпретації теореми Піфагора;

2) теорема Піфагора застосовується при вирішенні багатьох практичних завдань .

Мета дослідження: уважно вивчивши формулювання теореми Піфагора, проаналізувати докази та використовуючи узагальнення, запропонувати інші інтерпретації теореми Піфагора, а також з'ясувати сфери застосування теореми Піфагора.

Для досягнення мети було поставлено такі завдання:

1. Провести аналіз історії виникнення теореми Піфагора.

2. Дослідити різні способи доказу та розглянути інші інтерпретації теореми Піфагора.

3. Показати практичне застосуваннятеореми Піфагора.

У першому розділі дослідницької роботирозглядаємо історію виникнення теореми Піфагора.

У другому розділі ми розглянемо різні методи підтвердження теореми Піфагора.

У третій главі ми розглянемо різні інтерпретації теореми Піфагора.

Розглянемо деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що у сучасних шкільних підручниках надається алгебраїчний доказ теореми. При цьому безслідно зникає первозданная геометрична аура теореми, губиться та нитка Аріадни, яка вела древніх мудреців до істини, а цей шлях майже завжди виявлявся найкоротшим і завжди красивим.

Розділ 1. Історія виникнення теореми Піфагора.

1.1. Біографія Піфагора.

Великий учений Піфагор народився близько 570 р. до зв. е. на острові Самос. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр дорогоцінним камінням. А ім'я матері Піфагора невідоме. За багатьма античними свідченнями, хлопчик, що народився, був казково гарний, а незабаром виявив і свої неабиякі здібності. Серед вчителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта та Ферекіда Сіросського (хоча і немає твердої впевненості в тому, що саме Гермодамант та Ферекід були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари та гекзаметрів Гомера. Пристрасть до музики та поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи визнаним мудрецем, оточеним натовпом учнів, Піфагор починав день зі співу однієї з пісень Гомера. Ферекид був філософом і вважався засновником італійської школи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант увів юного Піфагора в коло муз, то Ферекід звернув його розум до логосу. Ферекід направив погляд Піфагора до природи і в ній одній радив бачити свого першого та головного вчителя. Але як би там не було, невгамовній уяві юного Піфагора дуже скоро стало тісно на маленькому Самосі, і він вирушає до Мілету, де зустрічається з іншим вченим – Фалесом. Фалес радить йому вирушити за знаннями до Єгипту, що Піфагор і зробив.

У 548 р. до зв. е. Піфагор прибув у Навкратіс – самоську колонію, де було, хто має притулок і їжу. Вивчивши мову та релігію єгиптян, він їде до Мемфісу. Незважаючи на рекомендаційний лист фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагору свої таємниці, пропонуючи йому складні випробування. Але спричинений прагненням до знань, Піфагор подолав їх усі, хоча за даними розкопок єгипетські жерці не багато чого могли його навчити, тому що в той час єгипетська геометрія була суто прикладною наукою (що задовольняла потребу того часу в рахунку та у вимірі земельних ділянок). Тому, навчившись усьому, що дали йому жерці, він, втікши від них, рушив на батьківщину в Елладу. Однак, пройшовши частину шляху, Піфагор вирішується на сухопутну подорож, під час якої його захопив у полон Камбіз, цар Вавилона, що прямував додому. Не варто драматизувати життя Піфагора у Вавилоні, тому що великий володар Кір був терпимий до всіх бранців. Вавилонська математика була, безперечно, більш розвиненою (прикладом цьому може бути позиційна система обчислення), ніж єгипетська, і Піфагору було чого повчитися. Але 530 р. до зв. е. Кір рушив у похід проти племен у Середньої Азії. І, користуючись переполохом у місті, Піфагор втік на батьківщину. А на Самосі на той час царював тиран Полікрат. Звичайно ж, Піфагора не влаштовувала життя придворної статі раба, і він пішов у печери на околицях Самоса. Після кількох місяців домагань з боку Полікрата Піфагор переселяється в Кротон. У Кротоні Піфагор заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордена («піфагорійці»), члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя. Це був одночасно і релігійний союз, політичний клуб, і наукове суспільство. Треба сказати, що деякі з принципів, що проповідуються Піфагором, гідні наслідування і зараз.

Минуло 20 років. Слава про братерство рознеслася по всьому світу. Одного разу до Піфагора приходить Кілон, людина багата, але зла, бажаючи п'яну вступити в братство. Отримавши відмову, Кілон розпочинає боротьбу з Піфагором, скориставшись підпалом його будинку. Під час пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителеві ціною своєю, після чого Піфагор засумував і незабаром наклав на себе руки.

1.2. Історія виникнення теореми Піфагора.

Зазвичай відкриття теореми Піфагора приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору. Але вивчення вавилонських клинописних таблиць та давньокитайських рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до Піфагора, можливо, за тисячоліття до нього. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він відкрив доказ цієї теореми.

Теорему Піфагора називають ще «теоремою нареченої». Справа в тому, що в «Початках» Евкліда вона ще називається, як «теорема німфи», просто її креслення дуже схоже на бджілку або метелика, а греки їх називали німфами. Але коли араби перекладали цю теорему, то подумали, що німфа – це наречена. Отак і вийшла «теорема нареченої». Крім цього, в Індії її ще називали «правилом мотузки».

Історичний огляд виникнення теореми почнемо з давнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: «Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4». У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 32 + 42 = 52 було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царя Аменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або «натягувачі мотузок», будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 та 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці з відривом 3м від кінця і 4 м від другого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад, малюнки, що зображують столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурабі, тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу, у випадках.

Геометрія в індусів, як і в єгиптян і вавилонян, була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Стародавній Індії вже близько 18 ст. до зв. е.

У першому російському перекладі евклідових «Початок», зробленому, теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат із боку, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут».

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності. Проте легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що на честь цього відкриття Піфагор приніс у жертву 100 бугаїв.

Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого – на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:

«Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку».

Глава 2. Різні методи підтвердження теореми Піфагора.

2.1. Формулювання та особливості теореми Піфагора.

Теорема Піфагора – одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника: "У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів".

Алгебраїчне формулювання: «У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів».

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a та b, отримуємо: a2 + b2 = c2.

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання є більш елементарним, воно не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.

Варто зазначити, що формулювання теореми дане в шкільному підручнику спочатку звучало зовсім не так. Наведемо переклади формулювань теореми Піфагора з різних джерел:

1. У Евкліда ця теорема говорить: «У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут».

2. Латинський переклад арабського тексту Аннаїріці (близько 900 р. н. е.), зроблений Герхардом Кремонським (початок 12 ст), говорить: «У кожному прямокутному трикутнику квадрат, утворений на боці, натягнутій над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів , Утворених на двох сторонах, що укладають прямий кут».

3. У Geometria Gulmonensis (близько 1400) теорема читається так: «Отже, площа квадрата, виміряного по довгій стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що примикають до прямого кута».

4. У першому російському перекладі евклідових «Початок», зробленому з грецької («Евклідових почав вісім книг, що містять в собі основу геометрії», Санкт-Петербург, 1819), теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат із боку, що протилежить прямому куті, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут».

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косінусів, що встановлює співвідношення між сторонами довільного трикутника, а також відома теорема Піфагора не тільки на площині, а й у просторі: «Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпедадорівнює сумі квадратів його вимірів».

Також вірне зворотне твердження (зване теоремою зворотної теоремі Піфагора): «Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такою, що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c».

Однак відомо, що вона застосовувалася для вирішення різних завдань задовго до Піфагора древніми єгиптянами, вавилонянами, китайцями, індусами та іншими древніми народами.

У другому розділі ми розглянули різні методи підтвердження теореми Піфагора. Піфагор спочатку був доведений лише окремий випадок теореми: ним розглядався рівнобедрений прямокутний трикутник. Креслення, яке використовують для доказу цього випадку, жартома називають «піфагорові штани» і додають: на всі боки рівні.

Знайомлячись з різними способамиДокази теореми Піфагора, помітили, що одні з них засновані на властивості рівноскладених фігур, інші – на доповненні до рівних фігур, а треті – на властивості рівновеликих фігур (що мають рівні площі). У цій роботі ми розглянули лише кілька способів підтвердження знаменитої теоремиОднак їх існує набагато більше.

Вивчивши історію відкриття теореми Піфагора, з'ясувалося, що Піфагор відкрив не саму теорему, та її доказ. Дослідивши різні методиДокази теореми Піфагора, виявилося, що таких доказів величезна кількість і розділити їх можна на наступні:

§ доказ методом добудови

§ доказ методом розкладання

§ алгебраїчний метод доказу

§ векторний доказ

§ доказ за допомогою подібності та ін.

У третьому розділі ми розглянули кілька елементарних прикладів практичних завдань, у яких під час вирішення застосовується теорема Піфагора.

З'ясувавши практичну значимість теореми Піфагора, виявилося, що теорема має велике застосування в повсякденному життіу різних сферах людської діяльності: астрономії, будівництві, мобільному зв'язку, архітектурі.

Отже, в результаті проведеного дослідження ми знайшли інші інтерпретації теореми Піфагора та з'ясували деякі сфери застосування теореми. Нами зібрано та оброблено багато матеріалу з літературних джерел та Інтернету на цю тему. Ми вивчили деякі історичні відомостіпро Піфагора та його теорему, розглянули ряд історичних завданьзастосування теореми Піфагора. Через війну вирішення поставлених завдань дійшли висновку, що висунуті нами гіпотези знайшли підтвердження. Так, справді, з допомогою теореми Піфагора можна вирішувати як математичні завдання. Теорема Піфагора знайшла своє застосування у будівництві та архітектурі, мобільному зв'язку.

Результатом нашої роботи є:

§ набуття навички роботи з літературними джерелами;

§ придбання навички пошуку потрібного матеріалув інтернеті;

§ ми навчилися працювати з великим обсягом інформації, відбирати потрібну інформацію.

Список літератури.

1. Алексєєв. Підготовка до ЄДІ: навчально-методичний посібник, М., 2011.

2. Болтянський та рівноскладені фігури. М., 1956.

3. Ван-дер-Варден наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилону та Греції. М., 1959.

4. Ще раз про теорему Піфагора / / Навчально-методична газета «Математика, № 4, 2005.

5. , Яценко довідник школяра. М., 2008.

6. Теорема Піфагора. М., 1960.

7. Декілька способів доказу теореми Піфагора // Навчально-методична газета Математика, № 24, 2010.

8. Вивчаємо геометрію, М., 2007.

9. Ткачова математика. М., 1994.

10. Про теорему Піфагора та способи її доказу Г. Глейзер, академік РАВ, Москва

11. Теорема Піфагора і трійки Піфагора глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»

12. Сайт про теорему Піфагора з великою кількістю доказів, матеріал узятий із книги В. Літцмана.

13. http://encyklopedia. *****/bios/nauka/pifagor/pifagor. html

14. http://moypifagor. *****/use. htm

15. http://moypifagor. *****/література. htm