좌표 방법을 주제로 한 프로젝트. 공간 좌표 방법

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프레젠테이션 슬라이드의 텍스트 내용: 교육 단지저자의 물리 및 수학 학교 - 61 번. 프로젝트 "수학 및 지리 좌표 방법"완료 : AFMSL No. 61 Yevlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir 형법의 7 B 및 7 C 수업 학생 머리: 고르보루코바 N.V.g. Bishkek - 2012 지구 표면 또는 평면의 임의 지점에서 물체의 위치를 결정하는 것은 주소를 결정하는 것입니다. 지리의 "주소" - 지리적 위도; 지리적 경도; 절대 높이 수학의 "주소" - 가로 좌표, 좌표 평면에서 한 점의 세로 좌표 프로젝트 목표: 지리 및 수학에서 개체의 "주소"를 결정하는 방법을 탐색하고 비교합니다. 프로젝트 목표: 다음 질문에 답하기 위해: "좌표" 개념을 처음 도입한 사람, 시기 및 이유는 무엇입니까? "의 개념 사이에 유전적 관계가 있습니까? 지리적 좌표"와 "좌표법"은 수학에서? 아니면 동음이의어인가요?좌표법의 영향을 받은 과학은 무엇인가요?직사각형 외에 어떤 다른 유형의 좌표계가 존재하고 현재 인간이 실제 활동에서 사용하고 있습니까? 기록 참조.V II - III 세기 BC. 이자형. 자오선과 평행선은 에라토스테네스의 지도에 처음 나타났습니다. 그러나 그들은 아직 좌표 그리드를 나타내지 않았습니다. 2세기의 에라토스테네스 지도. 기원전 이자형. 히파르코스는 처음으로 원을 360개의 부분으로 나누고 자오선과 평행선으로 지도에서 지구를 둘러쌀 것을 제안했습니다. 그는 적도의 개념을 소개하고 평행선을 그리고 극을 통해 자오선을 그렸습니다. 따라서 지도 제작 네트워크가 만들어지고 지리적 개체를 매핑할 수 있게 되었습니다. 히파르쿠스 클라우디우스 프톨레마이오스의 지도(기원전 190-168년)는 위대한 고대 천문학자와 지리학자들의 은하계를 완성했습니다. 그의 작품 "지리학 가이드"에서 그는 8000개가 넘는 책에 대해 설명했습니다. 지리적 개체지리적 좌표 표시: 위도와 경도. 1. 지리: "geo" - 지구, "grafo" - 내가 씁니다.2. 기하학: "geo" - 지구, "metreo" - 측정 보시다시피, 이 두 과학은 밀접하게 관련되어 있었으며, 이들의 출현은 실용적인 활동그 시대의 사람들. 지리적 위도와 경도가 도 단위로 측정되는 이유 지리적 위도는 적도에서 주어진 지점까지의 자오선 호의 크기입니다. 호가 선형 수량과 각도(도 및 라디안)로 측정된다는 것은 기하학 과정에서 알 수 있습니다. 지리적 경도는 자오선 0에서 지정된 지점까지의 평행 호의 크기입니다. 지리적 좌표는 수학적 개념임을 알 수 있습니다. 수학의 한 분야로서 대수학의 출현 9세기에 우즈베키스탄의 수학자이자 천문학자인 Muhammad al-Khwarizmi는 "Kitab al-jabr wal-muqabala"라는 논문을 썼습니다. 일반적인 규칙 1 차 방정식을 풀기 위해. "al-jabr"( "복원")이라는 단어는 부호의 변화와 함께 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 방정식의 부정적인 용어를 옮기는 것을 의미했습니다. 그로부터 새로운 과학은 대수학이라는 이름을 얻었습니다. 오랫동안 대수학과 기하학은 병렬로 발전했고 수학의 두 가지 분야를 대표했습니다. XIV 세기에. 프랑스 수학자 Nicolas Oresme는 지리 좌표와 유추하여 평면의 좌표를 도입할 것을 제안했습니다. 그는 평면을 직사각형 격자로 덮고 위도와 경도를 우리가 현재 가로좌표와 세로좌표라고 부르는 것을 제안했습니다. 이것은 좌표 방법과 연결된 대수학 및 기하학의 생성의 시작을 표시했습니다. 좌표 방법대수평면의 점은 한 쌍의 숫자로 표시됩니다. M (x; y) - 대수적 개체 직선은 방정식 y \u003d ax + vGeometry로 주어집니다. 평면의 점은 기하학적 개체입니다. Rene Descartes(1596 -1650) - 프랑스의 수학자, 철학자, 물리학자 및 생리학자 기하학, 현대 대수적 상징주의 및 방정식을 사용하여 곡선을 정의하는 방법은 함수 개념을 향한 결정적인 단계였습니다. 수학에서 가장 중요한 것은 바로 그 사람이었습니다. 해석기하학의 기초가 되는 좌표법을 만드는 데에 장점이 있다. 1. 데카르트에게는 오늘날 우리가 데카르트 좌표계라고 부르는 것이 아직 없다는 점에 유의해야 합니다. 데카르트는 나침반과 자의 구성을 위한 대수적 언어 문제로 번역하는 것으로 시작했습니다.2. 데카르트의 상당한 장점은 오늘날 사용되는 편리한 지정의 도입이었습니다. x, y, z - 미지수, a, b, c - 계수 및 도 지정.3. 현재 직교 좌표는 모든 방향에서 동일한 스케일을 갖는 직교 축이므로 O가 원점입니다. 수학과 지리학의 좌표계를 비교해보자.1. 지구 표면에서 물체의 위치를 결정하려면 경도와 위도의 2가지 좌표가 필요합니다.2. 평면에서 한 점의 위치를 결정하려면 가로 좌표와 세로 좌표의 2가지 좌표가 필요합니다.3. 평행선과 자오선은 서로 수직입니다.4. 축 OX 및 OY는 서로 수직입니다.5. 공간의 한 점을 결정하려면 세 번째 좌표가 필요합니다. 절대 높이(지리적); 수학에서의 응용.6. 적도와 본초 자오선은 표면을 나눕니다 지구 4 부분으로 7. 좌표축은 평면을 4부분으로 나누고 공간을 8부분으로 나눕니다. 극좌표 및 구면 좌표 극좌표계에는 극축인 t.O와 광선이 포함됩니다. 평면의 각 점은 한 쌍의 숫자 P(r; f), 물체의 방향과 극축 사이의 각도 및 물체까지의 거리에 해당합니다. 지리학에서 극좌표의 아날로그는 방위각입니다. 물체의 위치를 결정하려면 물체의 방향과 북쪽 방향 사이의 각도와 물체까지의 거리를 알아야 합니다. 공간상의 한 점의 위치를 결정해야 하는 경우 구면 좌표계를 사용하며, 이 방법은 항공 항법에 사용됩니다. 레이더는 3개의 좌표를 결정합니다. 항공기가 수평선 위로 보이는 각도 항공기 방향과 북쪽 방향 사이의 각도 CONCEPT MAPGeographyCartographyCoordinate system1. 직사각형 - 지리적 위도 - 지리적 경도 - 절대 높이2. 극지 - 방위각 - 물체까지의 거리 - 절대 높이 수학 대수 기하학 좌표 방법1. 직사각형 - 가로 좌표 - 세로 좌표 - 적용2. 극 - 회전 각도 - 원점에서 점까지의 거리 오일러 - 벤 다이어그램(직사각 좌표계의 경우) 오일러 - 벤 다이어그램(극좌표 시스템의 경우). 결론:1. "기하학"과 "지리학"이라는 단어는 고대 그리스에서 유래했으며 지구 표면에서 사람들의 실질적인 활동과 관련이 있습니다.2. 지리적 위도와 경도는 중심각에 대응하는 원의 호, 즉 수학적인 양이기 때문에 도 단위로 측정됩니다.3. 수학과 지리학에서는 직교좌표와 극좌표가 모두 사용됩니다.4. 직교 좌표계에서 축(적도 및 0 자오선, OX 및 OY 축)은 서로 수직이며 평면을 지리학의 경우 북반구, 남반구, 서반구 및 동반구와 I, II, III, IV 사분면의 4개 부분으로 나눕니다. 5. 평면에서 한 점의 위치는 지리학의 위도와 경도, 수학의 가로 좌표와 세로 좌표의 2가지 좌표로 표시됩니다.6. 공간에서 물체의 위치를 결정할 때 세 번째 좌표가 나타납니다. 지리학의 절대 높이와 수학의 적용입니다. 따라서 지리와 수학에서 "좌표"의 개념은 동음이의어가 아닙니다. 그들 사이에는 밀접한 유전적 연관성이 있습니다. 에 발생하여 고대 그리스당시의 실용적인 문제를 해결하기 위해 수학적 개념, 대수학과 기하학을 연결하여 수학의 새로운 분야를 만들었습니다. 좌표법 덕분에 대수와 기하학의 방법으로 풀 수 없었던 문제를 해결할 수 있게 되었습니다. 곡선과 표면을 공식의 형태로 기술하고, 대수식그래픽으로. 좌표 방법은 인간 활동의 다양한 분야에서 사용되어 우리가 관심 있는 대상의 "주소"를 결정하고 이동 궤적을 설명하는 데 도움이 됩니다. 문학:1. "지리학. 참고 자료"입니다. 에드. Maksakovsky.-M., "계몽", 1989.2. 프로카예프 V.G. "고등학교 수학 과정에서의 측정"-M., "계몽", 19653. Maslov A.V. "측지학" - M., Nedra, 19724. Znamensky M.A. "지상에서 작업 측정" - M., "Uchpedgiz", 1986.5. 젊은 수학자의 백과사전. 비교 L.P. Savin, - M., "교육학", 1985.6. https://www.10489.jpg7. https://www.dekart2d.gif8. https.//www.image100.jpg9. https.//www.edumedia-sciences.com10. https.//www.k08-latlon.gif 관심을 가져주셔서 감사합니다!

개별 슬라이드의 프레젠테이션 설명:

슬라이드 1개

슬라이드 설명:

저자의 물리학 및 수학 학교-Lyceum No. 61의 교육 단지. 프로젝트 "수학 및 지리 좌표 방법" 완료자: 영국 AFMSL No. 61의 7B 및 7C 학년 학생 Yevlashkov Daniil Littau Roman Khegai Vladimir Supervisor : 고르보루코바 N.V. 비슈케크 - 2012

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슬라이드 설명:

지구 표면 또는 평면상의 임의의 지점에서 물체의 위치를 결정하는 것은 주소를 결정하는 것입니다. 지리의 "주소" - 지리적 위도; 지리적 경도; 절대 높이. 수학의 "주소" - 가로 좌표, 좌표 평면에서 점의 세로 좌표

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슬라이드 설명:

프로젝트의 목적: 지리와 수학에서 물체의 "주소"를 결정하는 방법을 탐색하고 비교합니다.

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슬라이드 설명:

프로젝트 목표: 다음 질문에 답하기 위해: "좌표" 개념을 처음 도입한 사람, 시기 및 이유는 무엇입니까? 수학에서 "지리 좌표"와 "좌표 방법"의 개념 사이에 유전적 연결이 있습니까? 아니면 동음이의어인가요? 좌표 방법의 영향을 받은 과학은 무엇입니까? 직사각형 이외의 다른 유형의 좌표계가 존재하며 현재 인간이 실제 활동에서 사용하고 있습니까?

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역사 참조. II - III 세기 BC. 이자형. 자오선과 평행선은 에라토스테네스의 지도에 처음 나타났습니다. 그러나 그들은 아직 좌표 그리드를 나타내지 않았습니다.

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슬라이드 설명:

2세기에. 기원전 이자형. 히파르코스는 처음으로 원을 360개의 부분으로 나누고 자오선과 평행선으로 지도에서 지구를 둘러쌀 것을 제안했습니다. 그는 적도의 개념을 소개하고 평행선을 그리고 극을 통해 자오선을 그렸습니다. 따라서 지도 제작 네트워크가 만들어지고 지리적 개체를 매핑할 수 있게 되었습니다.

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슬라이드 설명:

9 슬라이드

슬라이드 설명:

위대한 고대 천문학자이자 지리학자인 클라우디우스 프톨레마이오스(190-168 BC)의 은하계를 완성했습니다. 8권의 책 "지리학 가이드"에서 그는 위도와 경도라는 지리적 좌표를 나타내는 8,000개 이상의 지리적 개체에 대한 설명을 제공했습니다.

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슬라이드 설명:

1. 지리: "geo" - 지구, "grafo" - 씁니다. 2. 기하학: "geo" - 지구, "metreo" - 측정합니다. 알 수 있듯이 이 두 학문은 서로 밀접하게 연관되어 있었으며, 그 출현은 당시 사람들의 실제적인 활동에 기인한 것입니다.

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슬라이드 설명:

지리적 위도와 경도가 도 단위로 측정되는 이유는 무엇입니까? 지리적 위도는 적도에서 주어진 지점까지의 자오선 호의 크기입니다. 기하학 과정에서 호는 선형 수량과 각도(도 및 라디안)로 측정된다는 것이 알려져 있습니다. 지리적 경도는 0 자오선에서 주어진 지점까지의 평행 호의 크기입니다. 지리적 좌표는 수학적 개념임을 알 수 있습니다.

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슬라이드 설명:

수학의 한 분야로서의 대수학의 출현. 9세기에 우즈베키스탄의 수학자이자 천문학자인 Muhammad al-Khwarizmi는 "Kitab al-jabr wal-muqabala"라는 논문을 저술하여 1차 방정식을 풀기 위한 일반적인 규칙을 제시했습니다. "al-jabr"( "복원")이라는 단어는 부호의 변화와 함께 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 방정식의 부정적인 용어를 옮기는 것을 의미했습니다. 그로부터 새로운 과학은 대수학이라는 이름을 얻었습니다. 오랫동안 대수학과 기하학은 병렬로 발전했고 수학의 두 가지 분야를 대표했습니다.

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슬라이드 설명:

XIV 세기에. 프랑스 수학자 Nicolas Oresme는 지리 좌표와 유추하여 평면의 좌표를 도입할 것을 제안했습니다. 그는 평면을 직사각형 격자로 덮고 위도와 경도를 우리가 현재 가로좌표와 세로좌표라고 부르는 것을 제안했습니다. 이것은 좌표 방법과 연결된 대수학 및 기하학의 생성의 시작을 표시했습니다.

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슬라이드 설명:

좌표 방법 대수 평면의 한 점은 한 쌍의 숫자로 표시됩니다. M(x;y) - 대수적 개체 직선은 방정식 y=ax+b로 표시됩니다. 기하학 평면의 한 점은 기하학적 개체입니다.

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슬라이드 설명:

르네 데카르트(1596-1650) 프랑스의 수학자, 철학자, 물리학자, 생리학자. 데카르트는 해석기하학, 현대 대수 상징주의의 창시자 중 한 사람이며 방정식을 사용하여 곡선을 정의하는 방법은 함수 개념을 향한 결정적인 단계였습니다. 수학에서 주요 장점은 분석 기하학의 기초가 된 좌표 방법의 생성에 속합니다.

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슬라이드 설명:

1. 데카르트에게는 오늘날 우리가 데카르트 좌표계라고 부르는 것이 아직 없다는 점에 유의해야 합니다. 데카르트는 나침반과 직선자로 구성하는 문제를 대수적 언어로 번역하는 것으로 시작했습니다. 2. 데카르트의 상당한 장점은 오늘날 사용되는 편리한 표기법의 도입이었습니다. x, y, z - 미지수, a, b, c - 계수 및 도 지정. 3. 현재 직교좌표는 모든 방향에서 동일한 축척을 갖는 직교축이며 t.O가 원점입니다.

17 슬라이드

슬라이드 설명:

수학과 지리학의 좌표계를 비교해 봅시다. 1. 지구 표면에서 물체의 위치를 결정하려면 경도와 위도의 2가지 좌표가 필요합니다. 2. 평면에서 한 점의 위치를 결정하려면 가로 좌표와 세로 좌표라는 두 가지 좌표가 필요합니다. 3. 평행선과 자오선은 서로 수직입니다. 4. 축 OX와 OY는 서로 수직입니다. 5. 공간의 한 점을 결정하려면 세 번째 좌표가 필요합니다. 절대 높이(지리적); 수학에서의 응용. 6. 적도와 자오선은 지구의 표면을 4부분으로 나눕니다. 7. 좌표축은 평면을 4부분으로, 공간을 8부분으로 나눕니다.

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슬라이드 설명:

극좌표 및 구면 좌표. 극좌표계에는 극축인 t.O와 빔이 포함됩니다. 평면의 각 점은 한 쌍의 숫자 P(r; f), 물체의 방향과 극축 사이의 각도 및 물체까지의 거리에 해당합니다. 지리학에서 극좌표의 아날로그는 방위각입니다. 물체의 위치를 결정하려면 물체의 방향과 북쪽 방향 사이의 각도와 물체까지의 거리를 알아야 합니다.

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슬라이드 설명:

공간에서 한 점의 위치를 결정해야 하는 경우 구면 좌표계가 사용됩니다. 이 방법은 항공 항법에 사용됩니다. 레이더의 도움으로 3개의 좌표가 결정됩니다. 직선에서 항공기까지의 최단 거리; 항공기가 수평선 위에서 보이는 각도; 항공기의 방향과 북쪽 방향 사이의 각도

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슬라이드 설명:

CONCEPT MAP 지리 지도 제작 좌표계 1. 직사각형 - 지리적 위도 - 지리적 경도 - 절대 높이 2. 극지 - 방위각 - 물체까지의 거리 - 절대 높이 수학 대수학 기하학 좌표 방법 1. 직사각형 - 가로 좌표 - 세로 좌표 - 적용 2. 극각 회전 - 원점에서 점까지의 거리

21 슬라이드

교육부 러시아 연방

시 커뮤니티 교육 기관"중학교 18번"

수필

기하학에 대하여

주제: 공간 좌표의 방법

11학년 "C" 학생이 완료

멜닉 로만

감독자

수학 교사 Baksheeva I.K.

비스크 - 2008

콘텐츠

소개……………………………………………………………..… 3.

1장.

제 2 장

벡터 ...........................................................................................................10

4. 3장

4.1. 입체 해법에 좌표법 적용

작업 ………………………………………………………..…………….. 19

결론. ............................................................................................................26

서지……………………………………………………... 27

소개

내 작업의 주제는 "공간 좌표의 방법"입니다. 이 주제는 다음과 같은 이유로 오늘날 모든 고등학생과 관련이 있습니다.

많은 검사 기하학적 문제를 분석적으로 해결할 수 있으므로 기하학에 대한 지식이 덜 필요하고 실행 시간이 크게 단축됩니다.

이 방법은 고등 수학 과정에서 연구되는 분석 기하학의 기초가 됩니다.

목적: 주제에 대한 지식을 체계화하고 응용 프로그램을 고려하십시오. 이 방법다양한 입체 문제를 해결할 때.
목표를 달성하기 위해 다음과 같은 작업:

적용 방법 :

분석 및 합성 방법,

비교 방법.

1장

1. 좌표 방법: 발전의 역사.

좌표법은 숫자나 기타 기호를 사용하여 점이나 물체의 위치를 결정하는 방법입니다.

점의 위치를 결정하는 숫자를 점의 좌표라고 합니다.

우리에게 잘 알려진 지리적 좌표는 지구 표면의 한 지점의 위치를 결정합니다. 지구의 표면위도와 경도의 두 좌표가 있습니다.

공간에서 한 점의 위치를 결정하려면 세 개의 숫자가 필요합니다. 예를 들어 위성의 위치를 결정하기 위해 지구 표면 위의 높이와 위성이 위치한 지점의 위도와 경도를 지정할 수 있습니다.

좌표 방법을 사용하면 숫자와 대수 연산만 사용하여 단일 도면 없이 학교 기하학의 거의 전체 과정을 표시할 수 있습니다. 예를 들어, 원은 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의할 수 있고, 직선은 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의할 수 있습니다. 따라서 이 방법의 도움으로 대수와 기하학의 완전히 다른 과학을 연결하는 것이 가능했습니다. 이러한 연결 설정은 본질적으로 수학의 혁명이었습니다. 그것은 수학을 하나의 과학으로 복원했습니다.

좌표법의 창시자는 프랑스의 철학자이자 수학자 르네 데카르트(1596-1650)로, 1637년에 출판된 데카르트의 위대한 철학 논문의 마지막 부분에서 좌표법과 기하학을 푸는 데 적용하는 방법에 대해 설명했습니다. 문제.

데카르트의 아이디어의 발전은 현재 분석 기하학이라고 불리는 특별한 수학 분야의 출현으로 이어졌습니다.

이름 자체는 이론의 주요 아이디어를 나타냅니다. 해석 기하학은 기하학적 문제를 수단에 의해 분석적으로(즉, 대수적으로) 해결하는 수학의 일부입니다.

해석 기하학의 창시자는 데카르트와 함께 뛰어난 프랑스 수학자 P. 페르마입니다. 좌표법을 사용하여 페르마는 2차 직선과 곡선을 연구했습니다. 3차원 공간에서 해석 기하학에 대한 연구는 A.Clero에 의해 18세기에 크게 발전했습니다. 평면 및 내부에서 명시적이고 일관되게 기하학을 분석합니다. 3차원 공간 L. 오일러는 1748년 교과서 "무한의 분석 소개"에서 말했습니다.

에 XIX세기에 기하학 개발에서 또 다른 단계가 취해졌습니다. 다차원 공간이 연구되었습니다. 이론의 창시자들을 위한 주요 아이디어는 데카르트의 기하학과의 유추였습니다. 그에게 평면 위의 한 점은 한 쌍의 숫자이고, 3차원 공간의 한 점은 세 개의 숫자입니다. 안에 신설 4차원 공간에서 한 점은 숫자의 4배입니다. 데카르트의 경우 - 평면 위의 원의 방정식, - 3차원 공간에서 공 표면의 방정식; 새로운 이론에서, 4차원 공간에서 구의 표면. 마찬가지로N - 차원 기하학은 평면, 선, 점 사이의 거리, 선 사이의 각도 등을 고려합니다.

다차원 기하학의 아이디어는 결국 수학에 확고하게 들어갔다XIX세기, 그러나 초기에더블 엑스수세기 동안 그들은 세 개의 공간 좌표에 네 번째 시간이 추가되는 특수 상대성 이론에 적용되었습니다. 따라서 후대 과학자들에 의해 발전된 데카르트의 기하학 개념은 현대 과학의 기초가 됩니다.

2. 공간상의 한 점의 좌표 .

그들은 공간의 한 점을 통해 세 쌍의 수직선을 그리고 각각의 방향을 선택하고 선분의 측정 단위를 선택하면 직사각형(직교) 좌표계가 주어진다고 말합니다. 좌표축 및 , 및 , 및 , 각각을 통과하는 평면을 호출합니다.좌표 평면 , , 로 표시됩니다.

공간에서 한 점의 좌표는 좌표축에 대한 이 점의 투영 좌표입니다.

점 좌표: , , , , , , .

우주에서는 따로 좌표축, 좌표 평면도 고려하는 것이 편리합니다. 두 축을 통과하는 평면. 다음과 같은 세 가지 비행기가 있습니다.

평면(축 및 )은 형식의 점 집합입니다. 여기서 및는 임의의 숫자입니다.

평면(축 및 )은 형식의 점 집합입니다. 여기서 및 는 임의의 숫자입니다.

공간의 모든 점 M에 대해 좌표로 사용할 세 개의 숫자를 찾을 수 있습니다.

첫 번째 숫자를 찾기 위해 점 M을 통해 좌표 평면에 평행한 평면을 그립니다(축에 수직엑스).이 평면과 축의 교차점(점 M 1 ) 이 축에 좌표가 있습니다. 이 숫자는 점 M의 좌표입니다. 1 축에서 - 호출횡좌표포인트 M.

두 번째 좌표를 찾으려면 점 M을 통해 평면에 평행한 평면을 그립니다(축에 수직와이), 축에서 발견 와이포인트 M 2 . 숫자 와이– 점 M 좌표차축에 2 와이-라고 한다 세로포인트 M.

유사한 구성을 수행하지만 z축에 수직인 점 M의 세 번째 좌표를 찾습니다. 결과 숫자 z가 호출됩니다. 아플리케포인트 M.

3. 공간에 인물 설정하기.

평면에서뿐만 아니라 공간의 좌표를 사용하면 점뿐만 아니라 숫자와 수치 비율을 사용하여 선, 표면 및 기타 점 집합을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 두 개의 좌표만 제공되고 세 번째 좌표가 임의적인 것으로 간주되는 경우 얻을 수 있는 점 집합을 봅시다.

(예: ), 축에 평행한 공간에서 직선을 정의합니다.

이러한 선의 모든 점은 동일한 가로 좌표와 세로 좌표를 갖습니다. 좌표는 모든 값을 사용할 수 있습니다.

에서 지정할 수 있는 방법을 보여주는 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

좌표 간의 방정식 및 기타 관계를 사용하여 다른 세트의 공간을 확보합니다.

하나). 방정식을 고려하십시오.

원점에서 한 점까지의 거리가 식으로 주어지기 때문에 기하학적 언어로 번역하면 비율은 좌표가 있는 점이 거리에 있음을 의미합니다.아르 자형 기원에서. 이것은 관계가 유지되는 모든 점의 집합이 공의 표면이라는 것을 의미합니다.아르 자형 .

2). 좌표가 관계식을 만족하는 점의 위치를 고려하십시오.

이 관계는 원점에서 한 점까지의 거리가 1보다 작다는 것을 의미하므로 필요한 집합은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 볼 내부에 있는 점 집합입니다.

제 2 장

1. 좌표 벡터에 대한 벡터의 분해. 벡터 좌표입니다.

기호로 표시되는 동일 평면이 아닌 벡터 , , , .

특별한 경우는 직사각형 직교 기준이며, 여기서 는 가로축의 단위 벡터이고, through는 세로축의 단위 벡터이고, through는 적용 축의 단위 벡터입니다. , , , .

이 근거와 기원영형 공간에서 직사각형 직교 좌표계를 정의합니다.

정리 1

모든 공간 벡터 좌표 벡터로 확장할 수 있습니다. 형태로 존재 -

여기서 팽창 계수는 고유하게 정의됩니다.

번호벡터의 좌표라고 합니다. . 영 벡터는 로 나타낼 수 있으므로 영 벡터의 모든 좌표는 영과 같습니다. .

2. 좌표의 벡터에 대한 선형 연산.

규칙 1

동일한 좌표 벡터는 각각 동일하고, 저것들. 벡터라면 그리고 가 같으면 , 그리고 .

규칙 2

두 개 이상의 벡터 합에 대한 각 좌표는 이러한 벡터에 해당하는 좌표의 합과 같습니다.

즉, 만약 그리고 -데이터 벡터인 경우 벡터에는 좌표가 있습니다.

규칙 3

두 벡터의 차이의 각 좌표는 이러한 벡터의 해당 좌표의 차이와 같습니다..

즉, 만약 그리고 - 주어진 벡터, 벡터는 좌표를 갖는다

규칙 4

숫자에 의한 벡터 곱의 각 좌표는 해당 숫자에 대한 벡터의 해당 좌표의 곱과 같습니다.

즉, 만약 - 주어진 벡터, - 주어진 숫자, 벡터는 좌표를 가집니다. .

예시.

, , 인 경우 벡터의 좌표를 찾습니다.

해결책.

벡터에는 좌표가 있고 벡터에는 좌표가 있습니다.

, 그 좌표는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. , , 따라서 벡터에는 좌표가 있습니다.

3. 벡터 좌표와 점 좌표 간의 연결.

정의.

끝이 주어진 점과 일치하고 시작이 원점과 일치하는 벡터를 호출합니다. 반경 벡터주어진 점.

반경 벡터

규칙 5

모든 점의 좌표는 반지름 벡터의 해당 좌표와 같습니다. ,.

규칙 6

벡터의 각 좌표는 해당 좌표의 끝과 시작 좌표 간의 차이와 같습니다.

4. 좌표의 두 벡터에 대한 공선성 조건.

좌표계에서 두 벡터가 좌표 및 와 함께 주어집니다.

규칙 7

벡터 그리고 각각의 좌표가 비례하는 경우에만 동일선상에 있습니다.

예시.

a) 벡터와 .

벡터 좌표는 해당 벡터 좌표에 비례합니다. 따라서 , 따라서 벡터는 동일선상에 있습니다.

b) 벡터와 .

벡터 좌표는 해당 벡터 좌표에 비례하지 않습니다. 예를 들어 벡터가 동일선상에 있지 않음을 의미합니다.

5. 좌표에서 가장 간단한 작업.

작업 1.

세그먼트 중간의 각 좌표는 해당 끝 좌표의 합계의 절반과 같습니다.

어디 , 및 .

,, ,

b) 좌표에 의한 벡터의 길이 계산.

벡터를 고려하십시오 ,

벡터의 길이는 다음 공식으로 계산됩니다. .

왜냐하면 ==, ==, ==, 그리고 평등에서 우리는 공식을 얻습니다. .

안에) 두 점 사이의 거리입니다.

임의의 두 점을 고려하십시오: 점과 점 . 거리를 표현하자디 점 사이 및 좌표를 통해.

벡터를 고려하십시오. 여기서 .

하지만 . 이런 식으로,점과 점 사이의 거리

공식에 의해 계산 .

6. 벡터의 스칼라 곱 및 좌표를 통한 벡터 간의 각도 계산.

1) 벡터의 내적

두 벡터의 스칼라 곱은 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인의 곱입니다.

저것들.- 매운.

0이 아닌 벡터의 스칼라 곱은 벡터 사이의 각도가 둔각인 경우에만 음수입니다.

저것들.- 멍청한.

모든 벡터 , , 및 임의의 숫자에 대해케이 평등은 사실입니다:

1. 0, 0에서 >0.

2. (변위법).

3. (분배법).

4. (연관법).

2) 좌표를 통해 벡터 사이의 각도 계산.

0이 아닌 벡터 사이의 각도 코사인그리고 공식에 의해 계산 ,

어디

7. 직선과 평면 사이의 각도 계산.

1) 선 사이의 각도.

이 문제를 해결하기 위해 직선의 방향 벡터 개념을 도입합니다.

정의.

0이 아닌 벡터는 직선 또는 a에 평행한 직선에 있는 경우 직선 a의 방향 벡터라고 합니다.

예시

벡터 및 라인 가이드ㅏ 그리고 비 , 각각.

정의.

선 사이의 각도는 이러한 선의 방향 벡터 사이의 각도입니다.

선 사이의 각도ㅏ 그리고 비 는 이 선의 방향 벡터 사이의 각도와 같고 .

2).선과 평면 사이의 각도.

정의.

선과 평면 사이의 각도는 주어진 선의 방향 벡터와 평면(법선)에 수직인 0이 아닌 벡터 사이의 각도입니다.

허락하다 , ( , a - 원하는 각도().

그 다음에

수단 .

3 장

입체 문제의 솔루션에 좌표 방법의 적용.

작업.1

피라미드 MABC의 바닥에는 직각 삼각형 ABC가 있습니다. ,교류=3, 기원전=5. 모서리 AM은 AC에 수직입니다. AM=4, . 피라미드의 부피를 찾으십시오.

해결책.

1) 소개하자면 직사각형 시스템에서 원점과 좌표. 우리는 가장자리를 따라 축을 지시합니다교류, 그리고 비행기 오 와이 피라미드 바닥을 따라알파벳.

이 좌표계에서: , , . 조건에 따라 , 그러면 점 M은 평면에 있습니다.xz 그리고 좌표가 있습니다 .

2) , .

피라미드의 높이를 찾으십시오. 지점에서 드롭중수직 중 디 비행기로 (알파벳), 그러면 , 왜냐하면 . 따라서 점 사이의 거리는중그리고 디같음, 왜냐하면 .

좌표 값 찾기지 주어진 좌표를 포함하는 점 사이의 거리 사용: , . , 즉. .

우리는 다음을 가지고 있습니다:

이후 피라미드의 높이는 와 같습니다. 따라서 .

대답: .

작업.2.

직육면체에서 , , . 찾다: 선 사이의 각도와 .

해결책.

1) 점을 원점으로 하는 좌표계를 도입하자. 축 , 및 는 각각 가장자리 , 및 를 따라 지정됩니다. 선 사이의 각은 에서 , 벡터 사이의 각은 에서 , 선 사이의 각은 벡터 사이의 각도와 같습니다. 예각인 경우 또는 인접하는 경우 사이의 각도 벡터는 둔각입니다.

이런 식으로,

2) 벡터와 벡터 사이의 각도를 계산해 봅시다.

점의 좌표를 사용하여 벡터의 좌표를 찾고 다음을 수행합니다.

, ,, .

그런 다음 벡터의 좌표와 .

===

따라서,

대답: .

작업 3.

단 직육면체. 선과 기본 평면 사이의 각도를 찾으십시오.

해결책.

1) 선과 평면 사이의 각도AB 1 에서- 이것은 선과 평면에 대한 투영 사이의 각도. 평면에 대한 법선과 선 사이의 각도는 90도를 보완합니다. 0, 그래서 .

따라서 선과 평면() 사이의 각도를 찾으려면 평면()에 대한 선과 법선 사이의 각도를 찾아야 합니다..

2) 점을 원점으로 하는 좌표계를 도입하자. 축 , 및 는 각각 가장자리 , 및 를 따라 지정됩니다.

포인트 좌표:

, , ,

ㅏ .

3) 평면()의 법선 좌표를 구합니다. 점의 좌표를 대입하여 평면 ()의 방정식을 작성합시다.ㅏ , 비 1 그리고 에서안에 평면 방정식 .

선형 방정식 시스템을 얻습니다.

따라서 평면 방정식 ()은 , 또는 , 형태를 가지며 법선 벡터는 좌표를 갖습니다.

수단

그리고 .

대답: .

두 가지 방법으로 문제를 해결하는 것을 고려하십시오.

작업 4. 1 방법: 기하학적.

갈비뼈에, 그리고. . 직선을 그려 봅시다 - 삼각형의 중간 선, 즉 그리고,

연구한 이론적 자료를 체계화하였다.

문제 해결 방법을 사용할 때 방법 적용의 특징이 드러났습니다.

작업을 수행하는 동안 몇 가지 어려움에 직면했습니다.

서지.

엘 .S.Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B.Kadomtsev, L.S.Kiselyova, E.G.Poznyak. 기하학, 10-11.M., 계몽, 2003.

V.N.리트비넨코. 초등 수학 워크샵. 스테레오메트리: 교과서.-M.: Verbum-M, 2000.

그들을.Gelfand, E.G. Glagoleva, A.A. Kirillov.좌표 방법.-M.: Nauka, 1968.

S.G.그리고리예프.벡터 대수학 및 분석 기하학. 고등 수학 교과서.-M .: 정보 및 구현 센터 "마케팅", 2000.

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A.V. 도로피예프.데카르트와 그의 기하학.//Mathematics, 1992, No. 4.

연방 교육청

고등의 주립 교육 기관 직업 교육
Vyatka State University for Humanities

수학 학부

수리분석학과 및 수학 교수법

최종 예선 작업

좌표 방법 배우기

기초 학교 기하학 과정에서

수행:

수학과 5학년 학생

골체바 올가 뱌체슬라보브나

과학 고문:

뮤직비디오 크루티키나

검토자:

후보자 교육학, 수학적 분석 및 MMM과 부교수 I.V. 시트니코바

국가에서 보호 승인 증명위원회

"___" __________2005 부서 M.V. 크루티키나

소개 .................................................................. . ........................................................................... ...... 삼

1장 이론적 근거본교에서 좌표법 사용 .................................................................................. ........................................................................... ........................................................... 5

1.1 학교 좌표 방법 연구의 주요 조항 ........................... 5

1.2 학교 교과서 분석 .................................................................................. ........................... 7

1.3 좌표 방식의 본질 ........................................................... ... ........................... 열한

제 2 장 좌표 방법을 연구하기 위한 방법론적 기초 .............................................................. 14

2.1 좌표 방법을 사용하여 문제를 해결하는 단계 ........................................................... ..... 14

2.2 좌표 방법을 가르치는 작업 .................................................................. .. 15

2.3 좌표 방식으로 해결되는 문제 유형 ........................................................... ..... 25

2.4 체험 교육 ........................................................................... ........................................... 서른

결론................................................. .................................................................. . 38

서지 목록 .................................................................................. ........................................................... 39

소개

기하학에서 적용 다양한 방법문제 해결은 합성(순전히 기하학적) 방법, 변환 방법, 벡터 방법, 좌표 방법 등입니다. 그들은 학교에서 다른 위치를 차지합니다. 합성법이 주된 방법으로 여겨지며, 그 외 좌표법은 대수학과 밀접한 관련이 있어 가장 높은 위치를 차지한다. 합성 방법의 우아함은 직관, 추측, 추가 구성의 도움으로 달성됩니다. 좌표 방법에는 이것이 필요하지 않습니다. 문제 해결은 대부분 알고리즘화되어 대부분의 경우 문제 자체의 검색 및 솔루션을 단순화합니다.

이 방법에 대한 연구는 학교 과정기하학. 그러나 좌표 방법으로 문제를 해결할 때 대수 계산 기술이 필요하고 고도의 독창성이 필요하지 않으며 이는 차례로 부정적인 영향을 미친다는 것을 잊어서는 안됩니다. 독창성재학생. 따라서 학생들이 좌표법을 사용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 학습할 수 있도록 하는 좌표법을 연구하는 방법론이 필요하지만 이 방법을 기하학적 문제를 해결하는 주요 방법으로 보여주지는 않습니다. 이것은 선택한 주제의 관련성을 결정합니다. "본교의 학교 기하학 과정에서 좌표 방법 연구".

이 작품의 연구 대상은 학생들이 기하학을 공부하는 과정이다.

연구 주제는 기초학파의 기하학 과정에서 좌표계의 방법론에 관한 연구이다.

작업의 목적은 학교 기하학 과정에서 좌표 방법을 연구하고 사용하는 방법론을 개발하는 것입니다.

가설: 다음과 같은 경우 학교 좌표 방법을 배우는 것이 더 효과적일 것입니다.

5-6 학년에서는 기본적인 기술과 능력을 형성하기 위해 전도 작업이 수행되었습니다.

평면 측정의 시스템 과정에서 학생들은 이 방법의 구조를 알게 됩니다.

방법의 개별 구성 요소를 형성하기 위해 사려 깊은 작업 시스템이 사용됩니다.

연구의 주제, 목적 및 가설은 다음 작업을 결정합니다.

1. 이 주제에 대한 수학 프로그램의 내용뿐만 아니라 기존 교과서 중 일부의 좌표 방법을 연구하기 위한 옵션 분석.

2. 특정 수학적 문제의 예에 대한 좌표 방법 및 적용 방법에 대한 설명.

3. 조정 방법을 성공적으로 숙달하는 데 필요한 기술 할당 및 이러한 기술을 구성하는 작업 선택.

4. 경험이 풍부한 검사.

작업의 목표를 달성하고 가설을 테스트하고 위의 작업을 해결하기 위해 다음과 같은 방법이 사용되었습니다.

수학 프로그램 분석, 교구, 교재좌표 방법에 관하여;

진행 상황 모니터링 교육 과정학생 활동을 위해.

주요 실험 거점은 중등학교 51호였다.

장 나

초등학교에서 좌표법을 사용하기 위한 이론적 토대

1.1 학교에서 좌표 방법을 연구하기위한 기본 조항

기하학 연구에 대수적 특성을 부여하는 좌표법은 기하학에 가장 많이 전이된다. 중요한 기능대수학 - 문제를 해결하는 방법의 균일성. 산술 및 기본 기하학에서 일반적으로 각 문제에 대한 특별한 해결 방법을 찾아야 하는 경우 대수 및 분석 기하학에서 솔루션은 모든 문제에 공통적인 계획에 따라 수행되며 모든 문제에 쉽게 적용 가능 . 대수학에 내재된 방법의 기하학으로의 전환 및 따라서 문제 해결 방법의 큰 일반성은 다음과 같습니다. 주요 가치좌표 방법.

좌표 방법의 또 다른 장점은 응용 프로그램에 의존할 필요가 없다는 것입니다. 심상복잡한 공간 이미지.

학교 기하학 과정에서 좌표 방법을 연구하기 위한 다음 목표는 구별할 수 있습니다.

학생들에게 제공 효과적인 방법문제를 해결하고 많은 정리를 증명합니다.

이 방법을 기반으로 대수와 기하학 사이의 긴밀한 연결을 보여줍니다.

학생들의 컴퓨팅 및 그래픽 문화 발전에 기여합니다.

학교에서 좌표 방법에 대한 연구와 다양한 수학적 문제를 해결하기 위한 응용 교육은 여러 단계로 진행됩니다. 첫 번째 단계에서는 5-6학년에서 잘 작동되고 기하학 과정에서 체계화된 주요 개념 장치가 도입됩니다. 5 학년에서 학생들은 좌표선에 대해 알게되며 나중에 음수를 공부할 때 좌표선에 보완됩니다. 그리고 이미 6학년 때 유리수 도입 후, 학생들은 좌표평면을 공부합니다. 두 번째 단계에서 학생들은 직선과 원의 방정식을 알게 됩니다. 이 개념은 서로 다른 실질적인 목적을 가진 대수학과 기하학에서 모두 공부하므로 학생들은 종종 그들 사이의 연결을 보지 못하므로 방법의 본질을 제대로 습득하지 못합니다. 따라서 클래스 VII 대수학 과정에서 주요 기능의 그래프는 일련의 점을 구성하여 도입되며 좌표는 기능의 분석 사양에서 계산됩니다. 기하학 과정에서 직선과 원의 방정식은 기하학적 특성을 기반으로 특정 속성을 갖는 점의 집합으로 도입됩니다 (2 점에서 등거리 - 직선의 경우 한 점에서 - 원). 문제 해결을 위해 좌표 방법 자체를 사용하는 방법을 배우는 것은 9학년 기하학 과정에서 이루어집니다. 이를 위해 먼저 방법을 적용하는 주요 단계를 설명한 다음 여러 문제의 예를 사용하여 좌표 방법을 직접 적용하는 방법을 보여줍니다.

그러나 문제를 해결하고 정리를 증명하는 주요 방법으로 좌표 방법을 취해서는 안됩니다. Sharygin I. F.는 자신의 기사에서 강한 학생과 약한 학생 모두에게 좌표 방법의 위험성에 대해 이야기합니다. 약한 학생들에 관해서는 “이 그룹의 대부분은 잘 계산하지 못하고 공식을 이해하고 기억하는 데 어려움을 겪는 아이들이 있습니다. 이러한 아이들에게 기하학은 일반적인 수학 발달의 단점을 보완할 수 있는 과목이 될 수 있습니다. 하지만 그 대신에 그들에게 추가적인 부담이 가중되고... 좌표 방식은 제쳐두고 기하학적 본질연구 중인 기하학적 상황. 주어진 특정 문제를 해결하는 집행자가 양육됩니다. 더도 말고 덜도 말고. 연구 수학자에게 필요한 기하학적 직관과 심지어 수학적 직관도 발달하지 않아 강한 학생들에게 위험을 초래합니다.

1.2 학교 교과서 분석

학교 기하학 과목은 아무리 구성이 되더라도 반드시 정리를 증명하고 문제를 푸는 다양한 방법을 포함한다는 것은 잘 알려진 사실이다. 그 중 기하변환법, 좌표법, 벡터법 등이 중요한 자리를 차지하고 있다. 이러한 방법은 서로 밀접하게 관련되어 있습니다. 중등학교 기하학 교과서의 저자가 공개한 개념에 따라 하나 또는 다른 방법이 지배적일 수 있습니다. 따라서 교과서에서 적극적인 역할은 좌표 방법으로 수행되며 이는 매우 유익합니다.

에 학교 커리큘럼수학의 좌표 방법에는 상대적으로 거의 주의를 기울이지 않습니다. 기하학 과정 연구 목표 섹션에는 "정리 증명 및 문제 해결... 기하 변환, 벡터 및 좌표 사용"이 명시되어 있습니다. 따라서 이 프로그램은 문제 해결 방법으로 좌표 방법을 연구하는 것을 목표로 하지 않습니다. 이 프로그램은 "기하학 과정을 공부한 결과 학생들은 좌표를 사용하여 간단한 표준 문제를 해결할 수 있어야 합니다."라고 명시되어 있습니다. 학생들이 정리를 증명하고 문제를 해결하기 위해 좌표 방법을 마스터하는 것에 대해서는 한마디도 말하지 않습니다. 강조점은 "단순한 표준 문제"에 있는 반면 좌표 방법은 비표준 및 다소 복잡한(다른 방법으로 해결되지 않는 경우) 문제를 해결할 때 이점을 더 잘 보여줍니다.

중등 수학 프로그램에 따라 중고등 학교좌표는 5학년에 처음 나타납니다. 동시에, 사람들은 직선상의 숫자 이미지와 점의 좌표에 대해 알게됩니다. 또한 교과서에 이러한 개념을 도입하는 방식도 다릅니다. 따라서 첫 번째 장의 다섯 번째 단락에있는 교과서에서 좌표 광선은 도움을 받아 미래에 자연수와 분수를 비교하고 덧셈과 뺄셈의 동작을 보여줍니다. 자연수. 교과서의 저자는 6학년 학생들에게 좌표선의 개념을 소개합니다. 교과서에는 "좌표 광선"에 대한 정의가 없습니다. 5학년 초에 저자들은 좌표선의 개념을 소개하지만, 6학년에서 발생하는 음수 연구까지는 좌표선인 좌표선의 오른쪽에만 작업이 진행됩니다. . 이것은 아직 필요하지 않은 이 좌표선의 다른 부분에 대한 질문이 발생할 수 있기 때문에 완전히 편리하지 않습니다. 일반적으로 교과서에는 좌표선(좌표선, 좌표평면)의 정의와 관련된 작업이 더 많이 포함되어 있으며 교과서보다 다른 개념을 소개하거나 숫자에 대한 연산을 고려할 때 참조하는 경우가 더 많습니다.

기하학 프로그램에 따르면 좌표는 다음 볼륨에서 연구됩니다. "좌표 평면. 주어진 좌표를 가진 평면의 두 점 사이의 거리 공식. 직선과 원의 방정식.

따라서 교과서에서는 별도의 장이 9 학년의 좌표에 전념합니다. 또한이 자료는 "벡터"주제를 연구 한 후 연구하지만 연구하기 전에 내적벡터. 주제를 고려하는 데 18시간이 할당됩니다. 이 교재에서는 벡터의 좌표, 원과 직선의 방정식을 연구하고 좌표의 가장 간단한 문제를 해결하는 좌표 방법을 별도의 장에서 강조합니다. 이 장에서는 학습 방법으로서 좌표 방법의 개념을 소개합니다. 기하학적 모양대수학의 도움으로. 학생들은 좌표계를 도입하여 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 저자는 방정식에 따라 그림을 구성하는 작업에 적용할 뿐만 아니라 증명을 위한 문제를 해결하고 기하 공식을 도출하는 데에도 좌표 방법을 마스터하도록 학생들을 가르치는 것을 목표로 합니다.

교과서의 기하학에 대한 다른 학교 교과서와 달리 좌표는 중심 위치 중 하나를 차지했습니다. "사변형"과 "피타고라스의 정리"라는 주제를 공부한 후 8학년부터 시작합니다. 주제 연구에 19시간이 할당됩니다. 평면상의 좌표 도입과 관련된 기본 개념, 원과 직선의 방정식을 고려한 후 곧바로 두 원의 교점, 직선과 원의 교점, 정의 등의 문제를 학습한다. 0 °에서 180 ° 사이의 모든 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트. 이것은 학생들에게 소개되는 좌표 방법의 첫 번째 응용 프로그램입니다.

대수학 과정에서 f(x)는 주어진 함수인 방정식 y=f(x)를 기반으로 이 방정식으로 정의된 곡선을 만들었습니다. 즉, 함수 y=f( x) . 따라서 그들은 말하자면 "대수학에서 기하학으로" 갔다. 기하학의 좌표 방법을 연구 할 때 우리는 반대 경로를 선택합니다. 일부 곡선의 기하학적 특성을 기반으로 방정식을 도출합니다. 즉, "기하학에서 대수학"으로 이동합니다. 교과서에 따르면 8학년, 교과서에 따르면 9학년에서는 직선과 원의 방정식을 고려한다. 동시에 주목받고 있다. 일반 개념"그림 방정식": "데카르트 좌표에서 평면에 있는 그림의 방정식은 두 개의 미지수 x와 y를 갖는 방정식으로, 그림의 임의의 점의 좌표로 충족됩니다. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 이 방정식을 만족하는 두 숫자는 그림의 어떤 점의 좌표입니다. 평면에 있는 도형의 방정식 일반보기 F(x, y)=0, 여기서 F(x, y)는 두 변수 x와 y의 함수입니다.

교과서는 기하학교 과정을 구성한다는 저자의 개념을 구현하고 있으며, 기존의 교과서에 비해 기하학적 문제를 해결하는 방법에 더 많은 관심을 기울입니다. 이 교재의 좌표 방법은 9학년의 끝에서 두 번째 주제이다. 그것을 공부할 때 학생들은 평면의 데카르트 좌표에 대해 알게되고 문제를 해결할 때 미래에 필요할 "평선 : 직선과 원"의 두 방정식을 고려하십시오. 이 과정에서 좌표 방식으로 문제를 해결하는 데 필요한 몇 가지 기술이 개발됩니다. 교과서에는 이 주제에 대한 이론적 자료가 비교적 적게 포함되어 있습니다. 따라서 예를 들어, 직선 방정식을 제외하고 유일하게 입증된 공식(그리고 x 1 ≠ x 2 및 y 1 ≠ y 2인 경우 한 가지 경우에만)은 점 사이의 거리에 대한 공식입니다. 교과서와 달리 세그먼트의 중간에 대한 공식 이론적 자료실제 작업에는 "좌표선의 점 A (-2.5)와 B (4.3)를 고려합시다. M이 AB의 중간점인 경우 점 M의 좌표를 찾으십시오. 따라서 학생들은 이 특정 경우를 고려하고 좌표 개념과 공식 점 사이의 거리.

그리고 벡터를 연구 한 후 "좌표 방법"단락이 고려됩니다. 여기에서 두 가지 분석 작업의 예를 사용하여 하나는 Apollonius의 원을 고려하고 다른 하나는 좌표계 선택에주의를 기울입니다. 이 방법으로 해결된 여러 문제를 제공했습니다. 이것들은 주로 점의 궤적을 찾는 것과 관련된 상당히 어려운 작업입니다.

1.3 좌표 방법의 본질

좌표 방법의 역사에서 조금.

현재 다양한 과학 분야의 매우 많은 전문가들이 평면에 직교 직교 좌표에 대한 아이디어를 이미 가지고 있습니다. 이러한 좌표를 사용하면 그래프를 사용하여 한 양의 다른 양에 대한 의존성을 시각적으로 묘사할 수 있기 때문입니다. . "데카르트 좌표"라는 이름은 이러한 좌표가 데카르트에 의해 발견되었다는 잘못된 생각으로 이어집니다. 사실 직교좌표는 우리 시대 이전부터 기하학에서 사용되어 왔습니다. 페르가의 알렉산드리아 학교 Apollonius(기원전 3-2세기에 살았던)의 고대 수학자는 실제로 직교 좌표를 사용했습니다. 그는 당시 잘 알려진 도움 곡선인 포물선, 쌍곡선 및 타원을 정의하고 연구했습니다.

Apollonius는 y 2 \u003d px(포물선) 방정식으로 설정했습니다.

(쌍곡선)

(p와 q가 양수인 타원)

물론 그는 이 방정식을 쓰지 않았다. 기하학적 모양, 그 당시에는 아직 대수적 상징이 없었기 때문에 기하학적 개념을 사용하여 방정식을 설명했습니다. 그의 용어로 2는 변이 y인 정사각형의 면적을 가지고 있습니다. px는 변이 p와 x인 직사각형의 면적입니다. 곡선의 이름은 이러한 방정식과 연관됩니다. 포물선은 그리스어로 평등을 의미합니다. 정사각형은 직사각형의 면적 px와 동일한 면적 y 2 를 갖습니다. 그리스어의 과장법은 초과를 의미합니다. 정사각형 y 2의 면적은 직사각형의 면적 px보다 큽니다. 그리스어의 타원은 단점을 의미합니다. 정사각형의 면적은 직사각형의 면적보다 작습니다.

데카르트는 기호 선택 규칙을 도입하여 직교 좌표계를 매우 중요하게 개선했습니다. 그러나 가장 중요한 것은 직교 좌표를 사용하여 평면에 해석 기하학을 구축하여 기하학과 대수학을 연결했다는 것입니다. 그러나 데카르트와 동시에 다른 프랑스 수학자 페르마도 분석 기하학을 구축했다고 말해야 합니다.

해석기하학의 중요성은 주로 기하학과 대수학 사이의 밀접한 관계를 확립했다는 사실에 있습니다. 데카르트 시대까지 수학의 이 두 가지 분야는 이미 도달했습니다. 높은 온도완전. 그러나 수천 년 동안 그들의 발전은 서로 독립적으로 진행되었으며, 해석 기하학이 등장할 즈음에는 그들 사이에 다소 약한 연결만 윤곽을 드러냈습니다.

좌표를 사용하면 숫자를 사용하여 공간이나 평면에서 임의의 점의 위치를 결정할 수 있습니다. 이를 통해 다양한 종류의 숫자를 "암호화"하여 숫자를 사용하여 기록할 수 있습니다. 좌표 간의 관계는 종종 한 점이 아니라 일부 점의 집합(집합)을 결정합니다. 예를 들어, 가로 좌표가 세로 좌표와 같은 모든 점, 즉 좌표가 방정식 x \u003d y를 충족하는 점을 표시하면 첫 번째 및 세 번째 좌표 각도의 이등분선인 직선을 얻습니다. .

때로는 "점 집합" 대신 "점의 자취"라고 말합니다. 예를 들어, 좌표가 x=y 관계를 만족하는 점의 궤적은 위에서 언급한 바와 같이 첫 번째와 세 번째 좌표각의 이등분선입니다. 한편으로는 대수와 다른 한편으로는 기하학 사이의 연결의 확립은 본질적으로 수학의 혁명이었습니다. 그것은 수학을 개별 부분 사이에 "중국의 벽"이 없는 단일 과학으로 복원했습니다.

좌표 방법의 본질

문제 해결 방법으로서 좌표법의 본질은 방정식으로 도형을 설정하고 좌표로 다양한 기하 관계를 표현함으로써 대수학을 통해 기하 문제를 해결할 수 있다는 것입니다. 반대로 좌표를 사용하면 대수 및 분석 관계와 사실을 기하학적으로 해석할 수 있으므로 대수 문제의 해결에 기하학을 적용할 수 있습니다.

좌표 방법은 보편적인 방법입니다. 그것은 대수와 기하학 사이의 긴밀한 연결을 제공하며, 결합될 때 분리되어 있으면 줄 수 없는 "풍부한 열매"를 제공합니다.

기하학의 학교 과정과 관련하여 어떤 경우에는 좌표 방법을 사용하여 순수한 기하학 방법보다 더 합리적이고 아름답게 증명을 작성하고 많은 문제를 해결할 수 있다고 말할 수 있습니다. 그러나 좌표 방법은 하나의 기하학적 복잡성과 관련이 있습니다. 하나의 동일한 문제는 좌표계의 하나 또는 다른 선택에 따라 다른 분석 표현을 받습니다. 그리고 충분한 경험을 통해서만 가장 적절한 좌표계를 선택할 수 있습니다.

제 2 장

좌표 방법을 가르치는 방법론적 기초

2.1 좌표계에 의한 문제 해결 단계

좌표 방법으로 대수 및 기하 문제를 해결하려면 3단계를 수행해야 합니다.

1) 문제를 좌표(분석) 언어로 번역합니다.

2) 분석 표현의 변환;

3) 역 번역, 즉 좌표 언어에서 문제가 공식화되는 언어로의 번역.

예를 들어, 대수 및 기하 문제를 고려하고 좌표 방법으로 해결할 때 이러한 3단계의 구현을 설명하겠습니다.

1번. 연립방정식의 해는 몇 개입니까?

1단계: 기하학 언어로, 이 문제에서는 이 방정식에 의해 주어진 숫자가 몇 개의 교차점을 갖는지 찾는 것이 필요합니다. 첫 번째는 원점과 반지름 1을 중심으로 하는 원의 방정식이고, 두 번째는 포물선의 방정식입니다.

2단계: 원과 포물선의 구성 그들의 교차점을 찾는 것.

3단계: 원과 포물선의 교차점 수는 제기된 질문에 대한 답입니다.

2번. 주어진 두 점으로부터의 거리가 각각 동일한 점 세트를 찾으십시오.

이 점을 A와 B로 지정합시다. 우리는 Ox 축이 직선 AB와 일치하도록 좌표계를 선택하고 점 A가 좌표의 원점 역할을합니다. AB = a라고 가정하면 선택한 좌표계에서 A(0,0) 및 ,0). 점 M(x, y)은 AM=MB이거나 AM 2= MB 2 인 경우에만 원하는 집합에 속합니다. 좌표 평면의 한 점에서 다른 점까지의 거리 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. 오전 2시 = 엑스 2 + 와이 2 , 메가바이트 2 =( 엑스 - ㅏ ) 2 + 와이 2 . 그 다음에 x 2 + y 2 \u003d (x-a) 2 + y 2

평등 x 2 + y 2 \u003d (x-a) 2 + y 2문제에 주어진 상황의 대수적 모델입니다. 이것으로 솔루션의 첫 번째 단계가 완료됩니다(문제를 좌표 언어로 번역).

두 번째 단계에서 결과 표현식이 변환되어 관계를 얻습니다.

세 번째 단계에서 방정식의 언어는 기하학적 언어로 번역됩니다. 결과 방정식은 Oy 축에 평행하고 점 A에서 거리만큼 떨어진 직선의 방정식입니다. 선분 AB에 수직 이등분선.

2.2 좌표 티칭 과제 방법

좌표 방법을 적용하는 능력을 개발하기 위한 방법론을 개발하려면 문제 해결의 논리적 구조가 해결자의 사고에 부과하는 요구 사항을 식별하는 것이 중요합니다. 조정 방법은 학생들이 이 방법을 실제로 적용하는 데 기여하는 기술과 능력을 제공합니다. 몇 가지 문제의 솔루션을 분석해 보겠습니다. 이 분석의 과정에서 우리는 문제 해결에서 좌표 방법을 사용하는 능력의 구성 요소인 기술을 강조할 것입니다. 이 기술의 구성 요소에 대한 지식은 요소별 구성을 허용합니다.

작업 번호 1. 에삼각형 ABC: AC=b, AB=c, BC=a, BD는 중앙값입니다. .

점 A가 좌표의 원점이 되도록 좌표계를 선택하고 축 Ox가 직선 AC가 되도록 합니다(그림 2).

(좌표계를 최적으로 선택하는 능력, 즉 이 점들의 좌표를 찾는 것이 가장 간단하도록).

선택한 좌표계에서 점 A, C 및 D의 좌표는 A(0,0), D(, 0) 및 C(b, 0)입니다.

(주어진 점의 좌표를 계산하는 능력). 점 B의 좌표를 x와 y로 표시합시다. 그런 다음 좌표로 주어진 두 점 사이의 거리를 찾는 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

x 2 + y 2 \u003d c 2, ( 엑스 - 비 ) 2 + 와이 2 = ㅏ 2 (1)

(좌표가 주어진 두 점 사이의 거리를 찾는 기능)

같은 공식으로 . (2)

공식 (1)을 사용하여 x와 y를 찾습니다.

그들은 평등합니다:

; .

(대수식의 변환을 수행하는 능력)

작업 번호 2.주어진 두 점에서 거리 제곱의 차이가 일정한 값인 점 세트를 찾습니다.

이 점을 A와 B로 지정합시다. Ox 축이 직선 AB와 일치하고 점 A가 좌표의 원점이 되도록 좌표계를 선택합니다.

AB=a라고 가정하고 선택한 좌표계에서 A(0,0), B(a,0).

점 M(x, y)은 AM 2 -MB 2 \u003d b 2인 경우에만 원하는 집합에 속합니다. 여기서 b는 상수입니다.

(기하학적 언어를 분석적 언어로 번역하여 도형의 방정식을 만드는 능력).

두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

, ,

(좌표로 주어진 점 사이의 거리를 계산하는 능력), 또는 이 방정식은 Oy 축에 평행하고 점 A에서 거리만큼 떨어진 직선의 방정식입니다.

(방정식 뒤에 있는 특정 기하학적 이미지를 볼 수 있는 기능)

이 문제를 해결하려면 위에 나열된 기술을 마스터해야 함을 쉽게 알 수 있습니다. 또한 위의 문제와 다른 문제를 해결하기 위해서는 특정 도형에 대한 방정식을 구성하는 능력의 반대인 특정 기하학적 이미지를 "방정식 이면을 볼 수" 있는 것이 중요합니다.

강조 표시된 기술은 훨씬 더 복잡한 문제를 해결하기 위한 기초입니다.

작업 번호 3.사다리꼴에서 더 작은 대각선은 밑변에 수직입니다. 반대 각의 합이 이고 밑이 b일 때 가장 큰 대각선을 찾으십시오.

좌표축을 더 작은 대각선과 밑면 중 하나를 따라 지정합시다(그림 3).

(좌표계를 최적으로 선택하는 기능).

그런 다음 점 A에는 좌표 (0,0), 점 B - (a,0), 점 C - (0,c), 점 D - (b,c)가 있습니다.

(주어진 점의 좌표를 찾는 능력)

하자 및 날카로운 모서리사다리꼴 ABCD에서 그 합은 . 더 큰 대각선 BD의 길이를 계산하려면 값 c를 찾아야 합니다. 2가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 첫 번째는 정삼각형우리가 찾은 공식에 의한 ABC. 직각 삼각형 ACD에서 두 번째 방법:. 따라서 우리는 그것을 얻었다

(1)

평등 (1)에서 우리는 비율을 찾습니다. 그것은 -와 같습니다. 왜냐하면 . 표현해 봅시다. 와 같으며, 이를 기반으로 종속성(1)을 사용하여 를 얻습니다.

(이미 알려진 수량으로 누락된 좌표를 표현하는 능력)

(좌표가 주어진 점 사이의 거리를 계산하는 기능)

그녀는 평등하다 .

따라서 특정 상황에서 좌표 방법을 적용하는 기능의 구성 요소는 다음과 같은 기술입니다.

1. 기하학적 언어를 한 유형의 문제에 대해서는 분석적 언어로, 다른 유형의 문제에는 분석적 언어를 기하학적 언어로 번역합니다.

2. 주어진 좌표에 따라 포인트를 계산합니다.

3. 주어진 점의 좌표를 찾습니다.

4. 좌표로 주어진 점 사이의 거리를 계산합니다.

5. 최적의 좌표계를 선택합니다.

6. 주어진 수치의 방정식을 만든다.

7. 방정식 뒤에 있는 특정 기하학적 이미지를 보기 위해

8. 대수 관계의 변환을 수행합니다.

이러한 기술은 좌표 방법을 구성하는 다음 작업의 예에서 수행할 수 있습니다.

1) 좌표로 점을 구성하는 작업;

2) 주어진 점의 좌표를 찾는 작업;

3) 좌표로 주어진 점 사이의 거리를 계산하는 작업;

4) 좌표계의 최적 선택을 위한 작업;

5) 특성 속성에 따라 도형의 방정식을 컴파일하는 작업;

6) 방정식에 따라 그림을 결정하는 작업;

7) 대수 평등의 변환에 관한 작업;

그러한 문제의 예를 들어 보겠습니다.

나 . 평면에 점의 구성.

학생들은 수학 자료를 공부할 때 5-6 학년에서 좌표선을 알게되고 좌표 평면에 대해 알게됩니다. 동시에 필요한 자료를 역학으로 제시하고 모든 종류의 일러스트레이션과 음향 효과를 사용하여 학생들에게 동기를 부여하고 좋은 시각 도구가 될 수있는 멀티미디어 프레젠테이션을 사용하는 것이 편리합니다. 한 가지 예는 교과서의 "Coordinate Method" 프레젠테이션 그림입니다. (부록 1 참조). 다음은 좌표평면 연구에 사용할 수 있는 문제의 몇 가지 예입니다. 다음 작업을 사용할 수 있습니다.

전체 학급과의 좌표로 포인트를 구성하는 기술을 연마합니다.

을 위한 추가 작업뒤처지는 학생;

연구 중인 주제에 대한 관심을 개발합니다.

1) 좌표평면에 점 A(7.2), B(-2.1), C(0.2)를 구성합니다.

2) 평면에 몇 개의 점을 표시하십시오. 임의의 좌표계를 그리고 그 안에서 주어진 점의 좌표를 찾습니다.

3) 앵커 포인트의 좌표로 모양을 만듭니다. 힌트: 절점은 그림을 구성하는 세그먼트의 끝으로 사용되는 점이라고 합니다. 좌표가 쉼표로 구분된 행에 기록된 점은 서로 순차적으로 연결됩니다. 좌표가 ";" 기호로 구분되면 해당 지점이 연결되지 않아야 합니다. 보조 요소를 표시하는 데 필요합니다.

A) 가자미(그림 4)

(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),

(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),

(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),

(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);

(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);

(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).

나) 그림에서 강조 표시된 점들의 좌표를 가장 두꺼운 점부터 시계 방향으로 구한다. (그림 5 및 6)

II .좌표계 선택 작업

좌표계의 선택은 좌표계를 적용할 때 매우 중요합니다.

예를 들어 "직각 삼각형의 빗변의 중점은 꼭짓점에서 등거리에 있다"라는 교과서에 나오는 문제를 생각해 봅시다.

좌표 방법을 적용하는 첫 번째 단계는 대수 계산이 더 간단해지도록 축과 좌표계를 선택하는 것입니다. 이 문제에 대한 좋은 좌표계 선택이 그림 7에 나와 있습니다. 따라서 좌표의 원점을 점 A에 놓고 이 점이 축의 양의 광선에 놓이도록 점 B와 C를 통해 축을 그립니다. 따라서 B(a,0) 및 C(0,b)입니다. 따라서 세그먼트의 중간에 대한 공식에 따르면 D(). 지금 , .

따라서 AD=BD입니다. 그리고 세그먼트 BC=CD의 중간의 정의에 의해 정리가 증명됩니다.

다른 방식으로 좌표계를 선택할 수 있습니다(그림 8, 그림 9). 축을 아주 무작위로 선택하면 쉬운 작업이 매우 어려운 작업으로 바뀔 수 있습니다. 그림 10에서 증명을 시작하려면 삼각형 ABC가 꼭짓점 A에서 직각을 갖는다는 것을 대수적으로 표현하는 방법을 찾아야 합니다. 할 수는 있지만 쉽지는 않을 것입니다.

따라서 6 학년부터 학생들에게 임의의 좌표계 선택 가능성에 대한 아이디어를 개발할 필요가 있습니다. 문제를 해결하는 과정에서 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다. 전도 작업을 위해 6학년 교과서에서 도면에서 점의 좌표를 찾고 축의 방향과 좌표의 원점을 변경하여 다양화하는 작업을 추천할 수 있습니다. (부록 1 참조)

1. 선분 AB의 길이는 5cm입니다. a) 세그먼트 끝의 좌표를 결정하는 것이 가장 쉬운 좌표계를 선택하십시오. b) 세그먼트 끝의 좌표가 A(-2.5.0), B(2.5.0)가 되도록 좌표계를 선택합니다.

2. 한 변이 2cm인 정사각형 ABCD를 만듭니다. 점 M - 정사각형의 중심을 표시하십시오. 좌표의 원점을 점 A, B, C, D에 순차적으로 놓고 각 좌표계의 점 M이 좌표(1; 1)를 갖도록 좌표축의 방향을 선택합니다. 단위의 경우 1cm 길이의 세그먼트를 가져옵니다.

3. 삼각형 ABC는 정변입니다(변 길이는 6cm). 정점의 좌표를 더 쉽게 결정할 수 있도록 좌표계를 선택합니다.

III . 점 사이의 거리

1) 점 M(a, c)은 원점과 점 A(4, 0)에서 각각 3, 4 cm 거리에 위치하여 점 M의 좌표를 구한다.

2) 직사각형 ABCD가 주어진다(AB=2cm, BC=4cm). 정점의 좌표가 A(-1,-2), B(-1,2), C(1,2), D(l,-2)가 되도록 좌표계를 선택하는 방법은 무엇입니까?

3) 삼각형 ABC의 변의 길이는 3, 4, 5cm이고 좌표계를 선택하고 그 안에 있는 삼각형 ABC의 꼭짓점 좌표를 결정합니다.

4) 사변형 ABCD의 꼭짓점 좌표는 A(-3.1), B(3.6), C(2.2), D(-4.3)이며 사변형의 종류를 설정합니다.

IV. 그림의 방정식 그리기

이 기술은 좌표법을 문제 해결에 적용할 때 필요한 기본 기술 중 하나이다.

1) 좌표계를 그립니다. 축에 Oxpoints A와 B를 표시하고 다음에 속하는 점의 좌표로 충족되는 관계를 기록하십시오. b) 빔 AB; c) 빔 BA;

2) 원점과 점 A(2,5)를 포함하는 직선의 방정식을 쓰시오.

3) 점 A(2.7)와 점 B(1.3)를 포함하는 직선의 방정식을 쓰십시오.

4) 좌표평면에 임의의 직선을 그리고 그 방정식을 구한다.

5) 꼭짓점 A(2.3), B(2.5), C(4.5), D(4.3)가 있는 직사각형의 점 좌표를 만족하는 관계를 작성하십시오.

6) 좌표가 부등식을 충족하는 평면의 점 집합은 무엇입니까? a) x≤3; b) -5≤x≤0; c)x>1; d)x<-2; e)≥2; f)≥0?

7) 좌표가 부등식 2≤x≤5 및 1≤y≤3을 만족하는 점들의 집합에 의해 형성되는 도형은?

8) 다음과 관련하여 점 A(2,-3), B(5.0), C(0.7)에 대칭인 점을 구성합니다. b) Oy 축; c) I 및 III 좌표 각도의 이등분선. 이 좌표를 기록하십시오.

9) 좌표축 중 어느 것이 대칭점 A(1.2), B(-7.2)인지 결정합니다.

10) 점 A(5,…), B(…,2)는 Ox 축에 대해 대칭입니다. 누락된 좌표를 기록합니다.

11) 병렬 전송으로 점 A(1.5), B(-2.3), C(3.0)의 이미지를 구성합니다. a) O(0.0)→K(3.0); 6)0(0.0)→M(2.3). 그들의 좌표를 기록하십시오.

12) 어떤 병렬 전송의 도움으로 점 M(-3.4)을 점 M1(2.4)에 매핑할 수 있습니까?

13) x 축에 대해 대칭인 y \u003d -3x + 1 및 y \u003d 2x + 3 점을 선에서 찾습니다.

14) 직선 y \u003d 4x-3이 좌표가 (3,4)인 벡터로 표시되는 직선의 방정식을 작성하십시오.

15) y \u003d 3x + 2 및 y \u003d -5x + 5 선에서 서로 5cm 거리에 있고 Ox 축과 평행한 직선에 속하는 점을 찾으십시오.

2.3 방법으로 해결되는 문제 유형 좌표

좌표 방법을 사용하면 두 가지 유형의 문제를 해결할 수 있습니다.

1. 좌표를 사용하여 방정식과 부등식을 기하학적으로 해석할 수 있으므로 기하학을 대수 및 분석에 적용할 수 있습니다. 함수의 그래픽 표현은 이러한 좌표 방법을 적용한 첫 번째 예입니다.

2. 도형을 방정식으로 정의하고 기하학적 관계를 좌표로 표현하여 대수학을 기하학에 적용합니다. 예를 들어, 주요 기하학적 양인 점 사이의 거리를 좌표로 표현하는 것이 가능합니다.

기하학 연구에서 좌표 방법의 역할 강화와 관련하여 그 형성 문제가 특히 중요합니다. 좌표 방법으로 해결되는 평면 측정 문제 중 가장 일반적인 문제는 다음 두 가지 유형입니다. 1) 그림의 요소, 특히 이러한 요소의 길이 간의 종속성을 정당화합니다. 2) 특정 속성을 만족하는 점들의 집합을 찾는 것.

첫 번째 유형의 작업 예는 다음과 같습니다.

“삼각형 ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD는 중앙값입니다.

그것을 증명 »

작업 : "주어진 두 점의 제곱 거리의 차이가 일정한 값인 각각의 점 세트 찾기"는 두 번째 유형의 작업의 예입니다.

이러한 문제에 대한 솔루션은 위에서 논의되었습니다.

외워야 하는 추가 공식이 많고, 학생들의 창의력 발달을 위한 전제 조건이 부족하다는 등 좌표 방식의 단점에도 불구하고, 일부 유형의 문제는 이 방식을 사용하지 않고는 풀기 어려운 문제가 있습니다. 따라서 좌표 방법에 대한 연구가 필요하지만 선택 수업에서이 방법에 대해 더 자세히 아는 것이 좋습니다. 다음으로, 우리는 선택 과목에 대한 여러 과제를 제시합니다.

예 1. 원의 지름에서 취한 점에서 그것에 평행한 현의 끝까지 거리의 제곱의 합이 일정함을 증명하십시오.

원의 중심을 원점으로 하는 직교 좌표계를 소개합니다. 현 MP가 Ox 축에 평행하고 점 A가 직경에 속한다고 하자(그림 11). 거리 OA를 로 표시하고 점 P에서 축 Ox까지의 거리를 b로 표시합니다. 그런 다음 점 A는 좌표(a, 0)를 갖습니다. 점 P와 M은 중심이 원점이고 반지름이 1인 원에 속하므로 좌표는 이 원의 방정식을 충족합니다. 이 방정식을 사용하여 점 P()와 M()의 좌표를 찾습니다. AM 2 + AP 2 가 변수 b에 의존하지 않음을 증명할 필요가 있습니다. 좌표로 두 점 사이의 거리를 찾는 공식을 사용하여 AM 2 및 AR 2를 찾습니다. 그들은 각각 평등하다. 그리고 , 그리고 유사한 것을 뺀 후의 합은 2а 2 +2와 같습니다. 이 숫자는 증명되어야 하는 변수 b에 의존하지 않습니다.

예 2. 사변형의 변의 길이의 제곱의 합은 대각선의 길이의 제곱의 합에 대각선의 중점 사이 거리의 4배 제곱을 더한 것과 같다는 것을 증명하십시오. (오일러의 정리)

솔루션: 그림 12와 같이 직교 좌표계를 도입하겠습니다.

점 A, B, C 및 D에 각각 좌표 (0,0), (d,0), (c,d) 및 (0,d)가 있다고 가정합니다. 따라서 점 L과 P의 좌표는 ()과 ()입니다. 좌표로 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하여 선분 길이의 제곱을 구해 봅시다.

광고 2 =; BC2= ; DC2=; AB2=;

교류 2 =; BD 2 =; LP 2 =.

우리가 찾은 값을 이용하여 증명해야 할 식을 적어봅시다.

AD 2 +BC 2 +DC 2 +AB 2 =AC 2 +BD 2 +4LP 2

+++=++4

대괄호를 열고 유사한 것을 제공하고 올바른 평등 0=0을 얻습니다. 이것은 사변형의 변의 길이의 제곱의 합이 대각선의 길이의 제곱의 합에 대각선의 중점 사이의 거리의 4배 제곱을 더한 것과 같다는 것을 의미합니다.

예 3. 원의 지름 AB와 CD는 수직입니다. 현 EA는 점 K에서 지름 CD와 교차하고, 현 EC는 점 L에서 지름 AB와 교차합니다. CK:KD가 2:1과 같으면 AL:LB는 3:1과 같습니다.

솔루션: 주어진 직경 AB 및 CD를 따라 축을 지시하는 직교 좌표계를 도입합니다(그림 13).

원의 반지름은 1로 간주됩니다. 그러면 점 A, B, C, D는 좌표를 갖습니다. (-1,0 ), (1,0 ), (0,-1 ), (0,1 ) 각각. CK:KD=2:1이므로 점 K는 좌표( 0 ,). 방정식이 있는 직선 AK와 방정식으로 주어진 원의 교점인 점 E의 좌표를 구합니다. 점 E에 좌표()가 있음을 알 수 있습니다. 점 L은 선 CE와 가로축의 교차점으로 점 L의 세로 좌표가 0임을 의미합니다.

점 L의 가로 좌표를 찾으십시오. 선 CE는 방정식으로 주어집니다. 점(, 0 ). 따라서 점의 좌표 L(, 0 ). AL:LB 비율을 구해봅시다. 그것은 증명해야 할 3과 같습니다.

1. 삼각형의 두 중선이 합동이면 삼각형은 이등변임을 증명하십시오.

2. 각 점에서 주어진 두 점까지의 거리 비율이 다음과 같은 점 P의 집합을 찾으십시오.

3. 점 C(a, c)를 중심으로 하고 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과 같은 형식을 가짐을 증명하십시오. (x-a) 2 + (y-c) 2 = 아르 자형 2

4. 선 사이의 각도 찾기 Zx-4y+6=0그리고 12x+5y+8=0

5. 점 A(-3.4)에서 직선까지의 거리를 결정합니다. y=x+2.

6. 정점의 좌표가 A(0.-2), B(6.2) 및 C(2.4)인 삼각형의 면적을 계산합니다.

7. 세 점 A, B, C는 점 B가 점 A와 C 사이에 있도록 직선 c에 주어집니다. 정삼각형 AMB와 BPC는 경계 a가 있는 동일한 반평면에 구성됩니다. 선분 RA의 중점, 선분 MC 및 점 B의 중점이 정삼각형의 꼭짓점임을 증명하십시오.

8. 꼭짓점 B와 삼각형 ABC 사이에 있는 임의의 점 P에 대해 평등이 참임을 증명하십시오.

AB 2 *RS+AC*VR-AP 2 *BC=BC*VR*RS.

9. 주어진 직사각형. 이 직사각형의 평면에 속하는 임의의 점에서 정점까지의 거리 제곱의 합은 이 점에서 직사각형의 변까지의 거리 제곱의 합의 두 배임을 증명하십시오.

10. 어떤 점 M을 지나는 직선이 점 A와 B에서 원과 교차하는 경우, 곱 MA * MB는 일정하고 선의 위치에 의존하지 않음을 증명하십시오.

11. 직사각형 ABCD가 주어진다. MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 인 점 집합 M을 구합니다. (답: 포인트 세트 리벤지 플레인)

12. 직사각형 ABCD가 주어진다. MA+MC=MB+MD인 점 집합 M을 찾으십시오. (답: 몇 개의 직선)

13. 직각 삼각형 ABC(ÐC=90°)가 주어집니다. 2PC 2 =RA 2 +PB 2 인 점 P의 집합을 찾으십시오. (답: 점 P의 집합은 빗변 AB의 중점 M을 포함하고 중앙값 CM에 수직인 직선입니다).

2.4 경험이 풍부한 강의

실험적 교습은 중학교 51학년 9학년 때 실시하였다. 개최되기 전에 수학 및 방법론적 문헌을 연구하고 선택 과목을 수행하는 방법론을 개발했습니다. 2개의 수업이 진행되었습니다. 이 수업에서는 기하학에 대한 연구를 교과서에 따라 수행하므로 이 방법론적 키트를 주요 이론 및 실습 소스로 선택했습니다.

I. 수업은 "좌표에서 가장 간단한 작업"이라는 주제로 진행되었으며, 어떤 학생들이 "벡터"라는 주제를 공부했는지 공부하기 전에 "벡터의 좌표" 개념을 익히고 중간에 대한 공식을 배웠습니다. 분절.

1과목: "좌표의 가장 단순한 문제"

수업의 교육 목표는 좌표와 시작 및 끝 좌표로 벡터의 길이를 계산하는 문제를 고려하는 것입니다. 다른 문제를 해결하는 데 어떻게 사용되는지 보여줍니다.

수업이 시작될 때 이전 수업에서 논의된 자료의 동화를 확인하고 새로운 자료를 설명하는 데 사용할 개념과 사실을 반복하기 위한 교육 작업을 수행하기 위해 구두 계산이 수행되었습니다.

구두 계산:

1. 점 A(-2, 3) 및 B(2, -4)의 좌표. 벡터 및 의 좌표를 찾습니다.

2. 점 M(5,-8)과 P(-3, 4)의 좌표. 점 O의 좌표를 찾으십시오(O는 세그먼트 MP의 중간점입니다).

3. СР는 원의 대각선입니다. C(-2, -1), P(5, 7). 원의 중심 좌표 - 점 E를 찾으십시오.

4. ABCD - 직사각형, AD=7, AB=5. AC를 찾습니다.

새로운 재료:

1) 좌표에 의한 벡터의 길이 계산.

공식의 유도는 피타고라스 정리를 기반으로 하고 좌표축의 두 점 사이의 거리가 공식(점의 경우, x축) 및 (점의 경우 ; 축 y). 벡터의 길이가 다음과 같다는 것을 보여줍시다. . 이 공식은 다음과 같은 경우에만 증명됩니다. 엑스≠0 및 ~에≠0, 다른 경우의 신뢰도는 학생들이 스스로 확인하도록 한다. 이것을 증명하기 위해 우리는 좌표 평면을 설정하고 원점이 원점인 벡터를 고려합니다(정리에 따르면 주어진 벡터와 같고 또한 고유한 벡터). 시작과 끝의 좌표로 벡터의 좌표를 찾는 공식을 사용하여 점 A의 좌표를 찾을 수 있습니다. 다음으로 피타고라스 정리를 사용하여 세그먼트 OA =의 길이를 찾습니다. 따라서 상처 길이, 즉 .

2) 두 점 사이의 거리.

이 공식을 찾는 것은 이전 공식의 사용을 기반으로 합니다. 포인트 М 1 ( x 1, y 1) 및 M2( x 2, y 2), 이 점들 사이의 거리를 찾아야 합니다. 벡터 M 1 M 2 를 고려하십시오. 그 좌표는 . 좌표로 벡터의 길이를 찾습니다. , M 1 과 M 2 사이의 거리는 벡터의 길이입니다. 이 공식을 도출한 후 공식을 작성하고 동등함을 보여줄 수 있습니다.

통합: 통합의 경우 이러한 공식을 적용하는 데 여러 작업이 사용됩니다.

1. 벡터의 길이를 구합니다. a) ; 비)

2. 꼭짓점이 좌표가 A(0.1), B(1, -4), C(5.2)인 삼각형 ABC의 중앙값 AM을 찾습니다.

3. OASV 평행사변형의 꼭짓점 A는 양의 반축 Ox에 있고 꼭짓점 B는 좌표 (b, c)를 가지며 OA=a입니다. a) 정점 C의 좌표를 찾으십시오. b) 측면 AC 및 대각선 CO. .

숙제 #939, 941

2과:"좌표의 가장 단순한 문제". (수업 - 통합)

수업의 일반적인 교육 목표 : "가장 간단한 작업"이 더 복잡한 문제를 해결하는 데 어떻게 사용되는지 보여주고 마지막 수업에서 얻은 지식의 동화를 확인합니다.

수업이 시작될 때 이전 수업에서 논의한 내용의 동화를 확인하기 위해 구두 수를 세었습니다.

구두 계산: 좌표 쓰기

●선의 중간점 ● 벡터 좌표

벡터 길이

점 M과 N 사이의 거리

문제 해결.

1. 삼각형 ABC가 이등변임을 증명하고 A(0.1), B(1.-4), C(5.2)이면 그 넓이를 구하십시오.

2. 사변형 MNPQ가 평행사변형임을 증명하고 N(6,1), P(7,4), Q(2,4), M(1,1)인 경우 대각선을 찾으십시오.

독립적 인 일.

숙제 #945, 948(a)

Ⅱ. 선택 과목.

선택 과정을 수행하기 위해 좌표 방법이 사용되는 솔루션에서 더 복잡한 비표준 작업이 많이 제안됩니다.

작업 1. 두 기업 A와 B는 한 제품에 대해 동일한 가격 m의 제품을 생산합니다. 그러나 기업 A에 서비스를 제공하는 함대는 보다 현대적이고 강력한 트럭을 갖추고 있습니다. 결과적으로 한 제품의 운송에 대한 운송 비용은 기업 A의 10 루블에 이릅니다. 1km 당, 기업 B 20 p. 1km 동안. 기업 간의 거리는 300km입니다. 제품을 구매할 때 소비자의 비용을 최소화하기 위해 판매 시장이 두 기업 사이에 지리적으로 얼마나 위치해야 하는지.

이 문제를 해결하기 위해 좌표 방법을 사용합니다. Ox 축이 점 A와 B를 통과하고 Oy 축이 점 A를 통과하도록 좌표계를 선택합니다. P를 임의의 점이라고 가정하고 s 1 및 s 2는 점에서 기업 A 및 B까지의 거리입니다(그림 1). 17). 그런 다음 A(0, 0), B(300, 0), P(x, y).

A 지점에서 물품을 배달할 때 비용은 동일합니다. 중 +10 에스 1 . B 지점에서 물품을 배달할 때 비용은 동일합니다. 중 +20 에스 2 . 점 P가 기업 A로부터 상품을 인도하는 것이 더 수익성이 있다면, 중 +10 에스 1 < 중 +20 에스 2 ,어디 에스 1 <2 에스 2 , 그렇지 않으면 우리는 얻는다 에스 1 >2 에스 2 .

따라서 점 A와 B의 운송 비용이 동일한 각 점에 대한 영역의 경계는 방정식을 충족하는 평면의 점 집합이 됩니다.

에스 1 =2 에스 2 (1)

s 1 과 2s 2 를 좌표로 표현하자면:

, .

(1)을 염두에 두고, 우리는 .

이것이 원 방정식입니다. 따라서 원의 내부 영역에 속하는 모든 점에 대해 B 점에서 화물을 가져오고 원의 바깥 부분으로 떨어지는 모든 점에 대해 A 점에서 화물을 가져오는 것이 더 유리합니다.

문제 2. 평면에 점 A와 B가 주어집니다. A에서 B보다 2배 더 멀리 떨어져 있는 점 M의 궤적을 찾으십시오.

좌표의 원점이 점 A에 있고 가로 좌표의 양의 반축이 AB를 따르도록 평면에서 좌표계를 선택합니다. 세그먼트 AB를 스케일 단위로 사용합시다. 점 A에는 좌표(0,0)가 있고 점 B에는 좌표(1,0)가 있습니다. 점 M의 좌표를 (x, y)로 표시합니다. 조건은 다음과 같이 좌표로 작성됩니다.

우리는 원하는 점의 궤적의 방정식을 얻었습니다. 이 방정식으로 설명되는 집합을 이해하기 위해 우리가 익숙한 형식을 취하도록 변환합니다. 두 게시물을 모두 제곱하고 대괄호를 확장하고 같은 용어를 인용하면 평등을 얻습니다. Zx 2 -8x + 4 + Zu 2 \u003d 0.

이 평등은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

또는 다음과 같이: . 이것은 점 (,0)을 중심으로 하고 반지름이 인 원의 방정식입니다. 이것은 점의 자취가 원이라는 것을 의미합니다.

문제 3. 삼각형 ABC가 주어집니다. 이 삼각형에 외접하는 원의 중심을 찾으십시오.

좌표의 원점으로 점 A를 취하고 가로축을 A에서 B로 향하게 합니다. 그러면 점 B는 좌표(c, 0)를 갖게 됩니다. 여기서 c는 선분 AB의 길이입니다. 점 C에 좌표(q, h)와 원하는 원의 중심 -(a, b)를 둡니다. 이 원의 반지름을 R로 표시합시다. 필요한 원의 점 А(0,0), В(с,0) 및 C(q,h)가 속하는 좌표를 좌표로 기록해 보겠습니다.

a 2 + b 2 \u003d R 2 ,

(c-a) 2 +b 2 \u003d R 2,

(q-a) 2 + (h-b) 2 \u003d R 2 .

이러한 각 조건은 원(a,b)의 중심에서 점 A(0,0), B(c,0), C(q,h)의 거리가 반지름과 같다는 사실을 나타냅니다. 이러한 조건은 원하는 원의 방정식(중심(a, b)과 반지름 R이 있는 원), 즉 (x-a) 2 + (y-b) 2 \u003d R 2를 작성한 다음 대신 이 방정식에서 방정식을 작성하면 쉽게 얻을 수 있습니다. x와 y는 이 원에 있는 점 A, B, C의 좌표를 대체합니다. 3개의 미지수가 있는 이 3개의 방정식 시스템은 쉽게 풀 수 있으며 다음을 얻습니다.

, ,

중심과 반지름의 좌표를 찾았으므로 문제가 해결되었습니다. 또한 문제를 해결할 때 그림을 그리는 데 의존하지 않았다는 점에 유의해야 합니다.

숙제 :

1. 평평한 바닥에 있는 사다리가 벽에 기대어 미끄러져 내려옵니다. 계단 한가운데에서 고양이가 움직이는 선은?

2. 정사각형에 원이 새겨져 있습니다. 원 위의 한 점에서 정사각형의 변까지의 거리 제곱의 합이 일정함을 증명하십시오.

수업에 대한 간략한 분석: 교재가 복잡하지 않고 얼마 전에 공부하고 구술에서 반복된 사실과 개념을 사용하기 때문에 학생들은 특히 수식을 도출할 때 첫 번째 수업에 적극적으로 수업에 참여했습니다. 또한 1과에서는 고정을 위해 계획한 과제를 모두 풀 수 있었고 과제 3은 특히 어려움을 겪으며 오랫동안 그림을 그리지 못하고 길이와 길이 구하는 공식에 혼란스러워 하였다. 벡터의 좌표. 다음 수업에서 수행된 독립적인 작업은 거의 모든 학생이 자료를 마스터했음을 보여주었습니다(이 수업의 26명의 학생 중 2명이 과제에 대처하지 못했습니다). 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용할 때 문제 번호 2에서 가장 많은 오류가 발생했습니다. 따라서 "좌표의 가장 간단한 문제"라는 주제는 이 수업의 대다수 학생들이 성공적으로 마스터했다고 가정할 수 있습니다.

결론

사용하기 매우 쉬운 좌표 방법은 다양한 수준의 문제를 해결하는 데 필요한 구성 요소입니다. 이 방법을 사용하면 학생들이 문제 해결 과정을 크게 단순화하고 단축할 수 있으므로 학교 수학 과정과 고등 교육 기관의 수학 연구 모두에 대한 추가 연구에 도움이 됩니다.

이 논문에서:

o "조정 방법"이라는 주제에 대한 여러 현재 학교 교과서를 분석했습니다.

o 좌표 방법으로 문제를 해결하는 좌표 방법, 유형 및 단계를 설명합니다.

o 이 방법을 익히는 데 필요한 기본 기술과 이를 구성하는 여러 작업을 강조합니다.

실험적 교습도 실시하여 학교기하학 교과목의 좌표법에 대한 연구가 필요하다는 가설을 확인하였다. 5-6 학년에서 기본 기술 및 능력 형성에 대한 교육 작업이 수행되고 시스템 평면법 과정에서 학생들이이 방법의 구조와 잘 계획된 시스템에 익숙해지면 더 효과적입니다. 작업은 메서드의 개별 구성 요소를 형성하는 데 사용됩니다.

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수업 실습에 추가된 이 프로젝트는 수학에 대한 부정적인 태도를 극복할 수 있는 독특한 기회를 제공합니다. 프로젝트의 본질은 참가자가 자신의 관점에서 범주 적으로 금지 된 수학적 행동을 수행 할 수 있다는 것입니다. 이는 정상적인 수업에서 가장 심각한 결과 (잡지의 잉크 듀스 등)를 수반합니다. 우리는 자연, 기술, 예술, 과학, 예를 들어 타원과 같은 모든 곳에서 2 차 곡선을 만납니다. 달걀 모양, 행성의 궤도, 다양한 건물의 건축 및 디자인, 철도 트랙의 굴곡 , 다리 건물입니다.

좌표 방법은 우리 삶에 어떤 영향을 미칩니 까? 문제 질문 1. 수학적 지식 시스템에서 "좌표 방법"의 위치는 무엇입니까? 2. 고대 수학자들이 기하학적 문제를 해결한 방법. 3. 2차 곡선이 수학적 공간을 확장하는 방법. 과목: 대수학, 기하학, 드로잉, 컴퓨터 과학. 프로젝트 참가자: 9학년 학생.

체계적인 작업: - 교육 주제의 기본 개념을 마스터합니다. - - 공식을 도출하고 곡선을 그리는 방법을 가르칩니다. - - 교육 주제 분야에서 연구를 수행하도록 가르친다. - 학생들이 수집한 정보를 인터넷에 배치할 수 있는 형태로 배열하는 방법을 가르칩니다.

1. ELLIPSE의 속성은 다른 "눈에 띄는" 곡선의 속성과 어떤 관련이 있습니까? 2. PARABOLA의 속성은 특정 실제 작업에 어떻게 적용됩니까? 3. HYPERBOLE의 속성은 특정 실제 작업에 어떻게 사용됩니까? 연구 프레젠테이션 결과: 프레젠테이션 프로젝트를 위해 다음이 개발되었습니다. 소개 프레젠테이션 프레젠테이션 평가 기준 ZIU 캘린더

1. L.S. Atanasyan "기하학": 7 - 9 셀을 위한 교과서. 2. "First of September" "Mathematics" 저널 보충 자료 3. Sharygin I.F. 시각적 기하학.-M.: 교육학, V. Hogarth, 아름다움 분석.-M.: 예술, Sarantsev G.I., 기하학적 변환 작업 모음.-M., 젊은 수학자의 백과사전 사전.- M.: 교육학, Vilenkin N.Ya. 등 수학 교과서의 페이지 뒤에 있습니다.-M .: 교육, 1985.