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2.4 5-6 학년의 수학적 개념 형성의 특징 28

소개

1장
수학적 개념을 연구하는 방법의 기초

1.1 수학적 개념, 내용 및 범위, 개념 분류

개념은 객체의 필수 속성과 비필수 속성의 통합 집합에 대해 생각하는 형식입니다.

수학적 개념에는 고유한 특성이 있습니다. 이러한 개념은 종종 과학의 필요에서 발생하며 실제 세계에는 유사점이 없습니다. 그들은 높은 수준의 추상화를 가지고 있습니다. 이를 통해 학생들에게 연구 중인 개념의 출현을 보여주는 것이 바람직합니다(실습의 필요성 또는 과학의 필요성에서).

각 개념은 볼륨과 내용이 특징입니다. 콘텐츠 - 개념의 많은 필수 기능. 용량 - 이 개념을 적용할 수 있는 객체의 집합입니다. 개념의 범위와 내용 간의 관계를 고려하십시오. 내용이 현실과 일치하고 모순되는 기호가 포함되지 않은 경우 볼륨은 빈 세트가 아니며 개념을 소개할 때 학생들에게 보여 주는 것이 중요합니다. 내용은 볼륨을 완전히 결정하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것은 하나의 변화가 다른 하나의 변화를 수반한다는 것을 의미합니다. 콘텐츠가 증가하면 볼륨이 감소합니다.

개념의 내용은 그 정의로 식별되고, 볼륨은 분류를 통해 드러납니다. 분류 - 집합을 다음 요구 사항을 충족하는 부분 집합으로 나눕니다.

o 한 가지 기준으로 수행되어야 합니다.

o 클래스는 분리되어야 합니다.

o 모든 클래스의 합집합은 전체 집합을 제공해야 합니다.

o 분류는 연속적이어야 합니다(클래스는 분류 대상 개념과 관련하여 가장 가까운 종 개념이어야 함).

분류에는 다음과 같은 유형이 있습니다.

1. 수정된 기준으로. 분류할 객체는 여러 가지 특성을 가질 수 있으므로 다양한 방식으로 분류할 수 있습니다.

예시. "삼각형"의 개념.

2. 이분법적. 개념의 범위를 두 가지 종 개념으로 나누는 것 중 하나는 이 기능을 갖고 다른 하나는 그렇지 않습니다.

예시 .

분류 교육의 목적을 강조해 보겠습니다.

1) 논리적 사고의 발달;

2) 종의 차이를 연구하여 일반 개념에 대한 보다 명확한 아이디어를 형성합니다.

1.2 수학적 개념의 정의, 기본 개념, 설명을 명확히 하기

개체 정의 - 각각이 필요하고 이 개체를 다른 개체와 구별하기에 충분할 정도로 본질적 속성 중에서 선택합니다. 이 작업의 결과는 정의에 기록됩니다.

정의상 그러한 공식은 새로운 개념을 동일한 영역의 이미 알려진 개념으로 축소하는 것으로 간주됩니다. 그러한 감소는 무한정 계속될 수 없으므로 과학은 기본 개념 , 명시적으로 정의되지 않고 간접적으로(공리를 통해) 정의됩니다. 기본 개념 목록은 과학과 비교할 때 모호하며 학교 과정에는 훨씬 더 기본 개념이 있습니다. 기본 개념을 명확히하고 도입하는 주요 기술은 가계도 편집입니다.

학교 과정에서 개념을 엄격하게 정의하는 것이 항상 권장되는 것은 아닙니다. 때로는 올바른 아이디어를 형성하는 것으로 충분합니다. 이것은 다음과 같이 수행됩니다. 벨트 잔소리 설명 - 학생들에게 하나의 시각적 이미지를 불러일으키고 개념을 동화시키는 데 도움이 되는 문장을 사용할 수 있습니다. 새로운 개념을 이전에 연구한 개념으로 축소할 필요는 없습니다. 동화는 미래에 설명을 기억하지 않고도 학생이 이 개념과 관련된 대상을 인식할 수 있는 수준으로 가져와야 합니다.

1.3 개념을 정의하는 방법

에 의해 논리적 구조 정의는 결합(필수적 기능은 결합 "and"로 연결됨)과 이접(필수 기능은 결합 "또는"으로 연결됨)으로 나뉩니다.

정의에 고정된 필수 기능의 선택과 이들 간의 고정 연결을 정의의 논리적-수학적 분석 .

정의는 서술적 정의와 건설적 정의로 나뉩니다.

기술적인 - 일반적으로 "객체가 ...을 소유하면 ..."라는 형식을 갖는 설명적 또는 간접적 정의. 주어진 대상이 존재한다는 사실은 그러한 정의에서 따르지 않으므로 그러한 모든 개념에는 존재 증명이 필요합니다. 그 중 개념을 정의하는 다음과 같은 방법이 구별됩니다.

· 건너서 가장 가까운 속그리고 종 차이. (마름모는 평행 사변형이라고하며 두 개의 인접한면이 동일합니다. 평행 사변형의 개념은 일반적이며 정의되는 개념이 하나의 특정 차이점을 통해 구별됩니다).

· 정의-관례- 개념의 속성이 등식 또는 부등식을 사용하여 표현되는 정의.

· 공리적 정의.과학 자체에서 수학은 자주 사용되며 학교 과정에서는 직관적으로 명확한 개념을 위해 거의 사용되지 않습니다. (도형의 면적은 S(F) 0, F 1 = F 2 S(F 1) = S(F 2), F = F 1 F 2, F 1 조건을 만족하는 수치의 양입니다. F 2 = S(F ) = S(F 1) + S(F 2), S(E) = 1.)

다음을 통한 정의 추출.그들은 다른 것이 구현하기 어렵거나 불가능한 경우(예: 자연수) 개념의 그러한 정의에 의존합니다.

· 정의 부정- 속성의 존재가 아니라 속성의 부재(예: 평행선)가 기록되는 정의.

건설적인 (또는 유전적)은 새로운 물체를 얻는 방법을 나타내는 정의입니다(예: 구는 지름을 중심으로 반원을 회전시켜 얻은 표면입니다). 이러한 정의는 때때로 구별됩니다. 재귀적- 클래스의 일부 기본 요소를 나타내는 정의 및 동일한 클래스의 새 객체를 얻을 수 있는 규칙(예: 진행의 정의).

1.4 개념 정의를 위한 방법론적 요구사항

· 과학적 성격의 요구 사항.

· 접근성 요구 사항.

· commensurability(정의된 개념의 볼륨은 정의된 개념의 볼륨과 같아야 함)의 요구 사항. 이 요구 사항을 위반하면 매우 광범위하거나 매우 좁은 정의가 됩니다.

· 정의에는 악순환이 포함되어서는 안 됩니다.

· 정의는 명확하고 정확하며 은유적 표현이 없어야 합니다.

· 최소 요구 사항.

1.5 학교 수학 과정의 개념 소개

개념의 형성에서, 두 가지 기본 논리적 기술을 습득하기 위해 학생들의 활동을 조직하는 것이 필요합니다. 하나의 개념을 요약하고 대상이 개념에 속한다는 사실에서 결과를 도출하는 것입니다.

동작 합산 다음과 같은 구조를 가지고 있습니다.

1) 정의에 고정된 모든 속성의 선택.

2) 그들 사이에 논리적 연결을 설정합니다.

3) 객체에 선택된 속성과 연결이 있는지 확인합니다.

4) 개념의 범위에 대한 객체의 소속에 대한 결론을 얻습니다.

결과 도출 - 이 개념에 속하는 객체의 필수 특징을 선택하는 것입니다.

기술에는 세 가지 방법이 있습니다. 개념 소개 :

1) 특정 유도성:

o 개념의 범위에 속하거나 속하지 않는 다양한 대상에 대한 고려.

o 객체 비교를 기반으로 한 개념의 필수 기능 식별.

o 용어의 소개, 정의의 표현.

2) 추상 연역:

o 교사의 정의 소개.

o 특별하고 특별한 경우에 대한 고려.

o 대상을 개념으로 가져오고 주요 결과를 추론하는 능력의 형성.

첫 번째 방법으로 개념을 도입할 때 학생들은 도입 동기를 더 잘 이해하고 정의를 구축하는 방법을 배우고 각 단어의 중요성을 이해합니다. 두 번째 방법으로 개념을 도입할 때 많은 시간이 절약되는데, 이것도 중요하지 않습니다.

3) 결합 . 미적분학에서 보다 복잡한 개념에 사용됩니다. 개념의 정의는 소수의 구체적인 예를 기반으로 합니다. 그런 다음 미미한 특징이 달라지는 문제를 풀고, 이 개념을 구체적인 예와 비교함으로써 개념의 형성을 계속한다.

1.6 학교에서 개념을 공부하는 주요 단계

문헌에서 학교 개념 연구에는 세 가지 주요 단계가 있습니다.

1. 언제 개념의 도입 위의 세 가지 방법 중 하나가 사용됩니다. 이 단계에서 다음 사항을 고려해야 합니다.

· 우선 이 개념을 도입하게 된 동기를 제공할 필요가 있다.

· 개념을 요약하는 작업 시스템을 구성할 때 개념의 가장 완전한 범위를 제공하십시오.

· 개념의 범위가 빈집합이 아니라는 것을 보여주는 것이 중요합니다.

· 개념의 내용을 확장하고 중요하지 않은 부분을 강조하는 필수 기능을 작업합니다.

· 정의를 아는 것 외에도 학생들이 개념을 시각적으로 이해하는 것이 바람직합니다.

· 용어 및 기호의 동화.

이 단계의 결과는 정의의 공식화이며, 그 동화는 다음 단계의 내용입니다. 개념의 정의를 숙달한다는 것은 개념에 속하는 대상을 인식하고, 개념에 속하는 대상으로부터 결과를 도출하고, 개념의 범위와 관련된 대상을 구성하는 행위를 숙달하는 것을 의미합니다.

2. 무대에서 정의의 동화 정의를 암기하는 작업은 계속됩니다. 이것은 다음 기술을 사용하여 달성할 수 있습니다.

· 노트북에 정의 쓰기.

· 필수 속성의 발음, 밑줄 또는 번호 매기기.

· 공평성 규칙을 충족하기 위해 반례를 사용합니다.

· 정의에서 누락된 단어 선택, 불필요한 단어 찾기.

· 예와 반례를 제공하는 법을 배웁니다.

· 문제를 푸는 것 외에 정의를 반복적으로 반복하는 것은 효과가 없기 때문에 가장 단순하지만 오히려 일반적인 상황에서 정의를 적용하는 방법을 학습합니다.

· 다른 정의의 가능성을 표시하고, 동등성을 증명하되, 암기용으로 하나만 선택합니다.

· 정의를 구성하는 방법을 배우고, 이를 위해 가계도 편집을 사용하고, 논리적 구조를 설명합니다. 정의를 구성하는 규칙을 숙지합니다.

· 비교 및 ​​비교에서 유사한 개념 쌍을 제공합니다.

따라서 이 단계에서 정의에 사용된 개념의 각 필수 속성은 특별한 연구 대상이 됩니다.

3.다음 단계 - 앵커리지 ... 어떤 특징의 분류 없이 과제에서 학생들이 즉시 인식한다면, 즉 개념을 요약하는 과정을 최소화하면 개념이 형성된 것으로 간주할 수 있다. 이는 다음과 같은 방법으로 달성할 수 있습니다.

· 보다 복잡한 상황에서 정의의 적용.

· 논리적 연결에 새로운 개념의 포함, 다른 개념과의 관계(예: 가계도 비교, 분류).

· 정의가 그 자체로 주어지는 것이 아니라 문제를 해결하고 새로운 이론을 구축하는 데 "작동"하기 위해 주어진다는 것을 보여주는 것이 바람직합니다.

제 2 장
5-6학년 수학 교육의 심리학적 및 교육학적 특징

2.1 인지 활동의 특징

지각. 5-6 학년의 학생은 충분한 수준의 지각 발달을 가지고 있습니다. 그는 높은 수준의 시력, 청력, 물체의 모양과 색상에 대한 방향성을 가지고 있습니다.

학습 과정은 학생의 인식에 새로운 요구를 합니다. 인식하는 과정에서 교육 정보학생 활동의 자의성과 의미가 필요하다. 처음에 아이는 물체 자체에 끌리고 무엇보다도 외부의 밝은 표시에 끌립니다. 그러나 아이들은 이미 집중하고 신중하게 대상의 모든 특성을 고려하고 그 안에 필수적인 주요 사항을 강조 표시 할 수 있습니다. 이 기능은 프로세스에서 나타납니다. 학습 활동... 그들은 그림 그룹을 분석하고 다양한 기준에 따라 대상을 배열하고 이러한 그림의 하나 또는 두 가지 속성에 따라 그림을 분류할 수 있습니다.

이 시대의 학생들에게 관찰은 특별한 활동으로 나타나고 관찰은 성격 특성으로 발전합니다.

개념을 형성하는 과정은 점진적인 과정으로 대상에 대한 감각적 지각이 중요한 역할을 하는 첫 번째 단계입니다.

메모리. 5-6학년 학생은 자신의 임의 암기... 암기(암기)하는 능력은 느리지만 점차 증가합니다.

이 나이에 기억은 기계적 암기의 지배에서 의미적 암기로 넘어가면서 재건됩니다. 동시에 시맨틱 메모리 자체가 재구축됩니다. 그것은 간접적 인 성격을 얻습니다. 사고는 반드시 포함됩니다. 따라서 암기 과정이 제안 된 자료에 대한 이해를 기반으로 할 수 있도록 학생들에게 올바르게 추론하도록 가르 칠 필요가 있습니다.

형태와 함께 암기 내용도 변한다. 추상적인 자료를 암기하는 것이 더 쉬워집니다.

주목. 지식, 능력, 기술을 숙달하는 과정은 학생의 지속적이고 효과적인 자기 통제를 요구하며, 이는 충분할 때만 가능합니다. 높은 레벨임의주의.

5-6학년 학생은 주의 집중을 잘 조절할 수 있습니다. 그는 자신에게 의미 있는 활동에 잘 집중합니다. 따라서 수학 공부에 대한 학생의 관심을 유지하는 것이 필요합니다. 이 경우 보조 도구(사물, 그림, 테이블)에 의존하는 것이 좋습니다.

교실에서 학교에서 관심은 교사의 지원이 필요합니다.

상상력. 학습 활동 과정에서 학생은 많은 설명 정보를 받습니다. 이를 위해서는 이해하고 동화하는 것이 불가능한 이미지를 끊임없이 재창조해야합니다. 교육 자료, 즉. 훈련 초기부터 5-6학년 학생들의 상상력을 재창조하는 것은 그의 정신 발달에 기여하는 목적 있는 활동에 포함됩니다.

아이가 정신 활동을 통제하는 능력이 발달함에 따라 상상력은 점점 더 통제 가능해집니다.

5-6 학년 학생들의 경우 상상력이 독립적으로 변할 수 있습니다. 내부 활동... 그들은 마음에 수학적 기호를 가지고 정신적 작업을 수행하고 언어의 의미와 의미로 작동하여 두 가지 더 높은 정신적 기능인 상상과 사고를 결합할 수 있습니다.

위의 모든 기능은 학생들의 특별한 지식이 중요한 역할을 하는 창의적 상상력 과정의 발전을 위한 기반을 만듭니다. 이 지식은 학생의 삶의 다음 연령대에서 창의적 상상력 개발의 기초를 형성합니다.

생각. 이론적 사고, 즉 우리 주변 세계에서 의미론적 연결의 최대 수를 설정하는 능력이 점점 더 중요해지기 시작했습니다. 학생은 객관적인 세계인 비유적 기호 체계의 현실에 심리적으로 몰입합니다. 학교에서 공부한 자료는 그에게 그의 가설을 구성하고 테스트하는 조건이 됩니다.

5-6 학년에서 학생은 형식적 사고를 개발합니다. 이 연령대의 학생은 특정 상황에 연연하지 않고도 이미 추론할 수 있습니다.

과학자들은 5-6 학년 학생들의 정신 능력에 대한 질문을 연구했습니다. 연구 결과, 아동의 정신적 능력은 이전에 가정한 것보다 더 넓고 적절한 조건, 즉 특별한 방법론적 조직학습을 통해 5-6학년 학생은 추상적인 수학 자료를 동화할 수 있습니다.

위에서 본 바와 같이, 정신 과정성공적인 훈련의 조직에 필요한 연령 특성, 지식 및 고려 사항이 특징입니다. 정신 발달재학생.

2.2 개념 형성의 심리적 측면

2.3 5-6학년 수학 교육의 몇 가지 교육학적 특징

선도적인 아이디어 현대적인 개념 학교 교육인간화의 아이디어는 학생의 관심과 능력을 학습 과정의 중심에 두며 학생의 성격 특성을 고려해야 합니다. 수학 교육의 주요 방향은 일반적인 문화적 소리를 강화하고 성장하는 사람의 성격 형성에 대한 중요성을 높이는 것입니다. 5-6학년 수학 과정의 기본 아이디어는 내용의 일반적인 문화적 지향, 10-12세 어린이의 관심과 능력을 충족하는 자료에 대한 수학을 통한 학생의 지적 발달입니다.

5-6학년을 위한 수학 과정은 수학 교육과 학생들의 발달에 중요한 연결 고리입니다. 이 단계에서 유리수 집합에 대한 계산 교육이 주로 완료되고 변수 개념이 형성되고 선형 방정식 해결 방법에 대한 첫 번째 지식이 제공되며 단어 문제 해결 교육이 계속되고 기하학적 기술 구성 및 측정이 개선되고 풍부해집니다. 수행된 행동에 대한 정당성을 제공하기 위해, 단순한 증거를 만들고, 추론하는 능력의 형성에 진지한 주의를 기울입니다. 동시에, 입체 측정, 물리학, 화학 및 기타 관련 과목의 체계적인 과정 연구를 위한 기초가 마련됩니다.

5-6학년의 수학 과정은 전체의 유기적인 부분입니다. 학교 수학... 따라서 구성의 주요 요구 사항은 단일 이데올로기 적 기반으로 내용을 구조화하는 것이며, 한편으로는 수학 교육에서 구현되는 아이디어의 지속 및 개발입니다. 초등학교, 그리고 다른 한편으로는 고등학교에서 수학의 후속 연구를 제공합니다.

초등 수학 과정의 모든 내용 방법론적 라인의 개발은 계속됩니다: 수치, 대수, 기능, 기하학적, 논리적, 데이터 분석. 그것들은 수치적, 대수적, 기하학적 자료로 구현됩니다.

V 최근기하학의 연구는 실질적으로 수정되었습니다. 연구의 목적 기하학 5-6학년에서 주변 세계에 대한 인지는 수학의 언어이자 수단입니다. 구성 및 측정의 도움으로 학생들은 다양한 기하학적 패턴을 식별하고 이를 제안, 가설로 공식화합니다. 기하학의 증거 기반 측면은 문제가 있는 평면에서 고려됩니다. 학생들은 많은 기하학적 사실이 실험적으로 발견될 수 있지만 이러한 사실은 수학에서 채택된 수단에 의해 확립될 때만 수학적 진리가 된다는 아이디어를 배웁니다.

따라서, 기하학적 재료이 과정에서 시각적 활동 기하학으로 특징지을 수 있습니다. 교육은 경험과 상식을 통해 기하학적 인물의 가장 중요한 속성을 얻는 동안 공간 표현, 시각적 기술, 기하학적 지평 확장을 목표로 하는 지적이고 실용적인 활동의 과정으로 구성됩니다.

콘텐츠 라인 " 데이터 분석 », 수학적 통계의 요소, 조합론, 확률 이론의 세 가지 영역을 결합합니다. 이 자료의 도입은 삶 자체에 의해 결정됩니다. 그 연구는 학생들에게 일반적인 확률론적 직관과 데이터를 평가하는 구체적인 방법을 개발하는 것을 목표로 합니다. 이 링크의 주요 작업은 적절한 어휘를 형성하고 정보를 수집, 제시 및 분석하는 가장 간단한 기술을 가르치고, 열거함으로써 조합 문제를 해결하는 방법을 배우는 것입니다. 가능한 옵션, 무작위 사건의 빈도와 확률에 대한 기본 아이디어의 생성.

그러나 이 줄은 5-6학년을 위한 모든 현대 학교 교과서에 있는 것은 아닙니다. 이 행은 특히 교과서에 상세하고 생생하게 제시되어 있습니다.

대수학 5-6학년 수학 과정에 포함된 자료는 고등학교 대수학의 체계적인 학습을 위한 기초입니다. 이 대수 자료의 연구에서 다음과 같은 특징을 확인할 수 있습니다.

1. 대수 자료의 연구는 학생들의 연령 특성과 능력을 고려하여 과학적 근거를 기반으로 합니다.

수학이 가르치고 여러분 모두가 배워야 할 기술 중에서, 큰 중요성기술이 있다 나누다개념.

사실 수학은 다른 많은 과학과 마찬가지로 단일 대상이나 현상을 연구하는 것이 아니라 거대한... 그래서 삼각형을 연구할 때 삼각형의 속성을 연구하고 삼각형의 수는 무한합니다. 일반적으로 모든 수학적 개념의 범위는 원칙적으로 무한합니다.

수학적 개념의 대상을 구별하고 속성을 연구하기 위해 이러한 개념은 일반적으로 유형, 클래스로 나뉩니다. 실제로, 일반 속성 외에도 모든 수학적 개념에는이 개념의 모든 대상에 고유하지 않고 특정 종류의 대상에만 내재되어 있는 훨씬 더 중요한 속성이 있습니다. 그래서, 직각 삼각형, 삼각형의 일반적인 속성 외에도 연습에 매우 중요한 많은 속성이 있습니다. 예를 들어 피타고라스 정리, 각도와 측면의 비율 등

수세기 동안 수학적 개념을 연구하는 과정에서 삶, 다른 과학에서 수많은 적용 과정에서 볼륨에서 가장 자주 발견되고 사용되는 가장 흥미로운 속성을 가진 일부 특수 유형이 선택되었습니다. 실제로. 따라서 무한히 다양한 사각형이 있지만 실제로 기술에서는 정사각형, 직사각형, 평행 사변형, 마름모, 사다리꼴과 같은 특정 유형만 가장 많이 사용됩니다.

개념의 볼륨을 부분으로 나누는 것이 이 개념의 분류입니다. 보다 정확하게는 분류는 개념의 대상을 가장 필수적인 특성(속성)에 따라 상호 연관된 클래스(유형, 유형)로 배포하는 것으로 이해됩니다. 개념을 유형(클래스)으로 분류(구분)하는 속성(속성)을 기초분류.

개념의 올바르게 구성된 분류는 가장 필수적인 속성과 개념의 개체 간의 연결을 반영하고 이러한 개체 집합을 더 잘 탐색하는 데 도움이 됩니다. 다른 과학 및 일상 실습에서의 개념.

개념의 분류는 가장 중요한 근거 중 하나 이상에 따라 이루어집니다.

따라서 삼각형은 각도의 크기에 따라 분류할 수 있습니다. 예각(모든 모서리는 예각), 직사각형(한 모서리는 직선, 나머지는 날카로움), 둔각(한 모서리는 둔각, 나머지는 날카로움) 유형을 얻습니다. 삼각형을 나누는 기준으로 변 사이의 관계를 취하면 다용도, 이등변 및 일반 (등변) 유형을 얻습니다.

여러 가지 이유로 개념을 분류해야 할 때 더 어렵습니다. 따라서 볼록 사각형이 측면의 평행도에 따라 분류되는 경우 본질적으로 두 가지 기준에 따라 모든 볼록 사각형을 동시에 나눌 필요가 있습니다. 1) 한 쌍의 반대 측면이 평행하거나 그렇지 않습니다. 2) 마주보는 두 번째 쌍의 변이 평행하거나 그렇지 않습니다. 결과적으로 우리는 세 가지 유형의 볼록 사각형을 얻습니다. 1) 평행하지 않은 측면이 있는 사각형; 2) 한 쌍의 사각형 평행면- 사다리꼴; 3) 두 쌍의 평행면이 있는 사각형 - 평행사변형.

종종 개념은 단계적으로 분류됩니다. 먼저 한 가지 기준으로 일부 종은 다른 기준으로 아종으로 나뉩니다. 예를 들어 사각형의 분류가 있습니다. 첫 번째 단계에서 볼록성을 기준으로 나뉩니다. 그런 다음 볼록 사각형은 반대쪽의 평행도에 따라 나뉩니다. 차례로 평행 사변형은 직각 등의 존재 여부에 따라 나뉩니다.

분류를 수행할 때 특정 규칙을 따라야 합니다. 주요 내용을 표시해 보겠습니다.

1. 분류의 기초로 주어진 개념의 모든 대상에 대한 공통된 특징만을 취할 수 있습니다.따라서 예를 들어 분류 기준으로 불가능합니다. 대수 표현어떤 변수의 정도에 따라 항의 배열의 부호를 취합니다. 이 기능은 모든 대수식에 공통적인 것은 아닙니다. 예를 들어 분수식이나 단항식에는 적합하지 않습니다. 이 특성은 다항식만이 가질 수 있으므로 다항식은 다음과 같이 분류할 수 있습니다. 가장 높은 학위주요 변수.
2. 분류의 기초는 개념의 본질적 속성(속성)을 취해야 한다.대수적 표현의 개념을 다시 고려하십시오. 이 개념의 속성 중 하나는 대수식에 포함된 변수를 일부 문자로 표시한다는 것입니다. 이 속성은 일반적이지만 필수는 아니지만 표현식의 문자는 이 변수나 그 변수가 지정되는 문자에 따라 달라지지 않습니다. 따라서 대수적 표현 x + y그리고 a + b본질적으로 같은 표현입니다. 따라서 문자로 변수를 지정하여 표현식을 분류해서는 안 됩니다. 대수식 분류의 기초로 변수가 연결된 행동 유형의 속성, 즉 변수에 대해 수행되는 행동을 취하는 것은 또 다른 문제입니다. 이 공통 기능은 매우 필수적이며 이 기능을 기반으로 한 분류가 정확하고 유용할 것입니다.
3. 분류의 각 단계에서 한 종류의 기준만 적용할 수 있습니다.두 가지 다른 근거로 개념을 동시에 분류할 수는 없습니다. 예를 들어, 삼각형을 크기와 변 사이의 비율로 한 번에 분류하는 것은 불가능합니다. 공통 요소(예: 예각 및 이등변 또는 둔각 및 이등변 등). 여기에서 다음 분류 요구 사항을 위반합니다. 각 단계의 분류 결과, 결과 클래스(유형)가 겹치지 않아야 합니다.
4. 같은 시간에 어떤 이유로든 분류는 철저해야 하며 개념의 각 대상은 분류의 결과로 하나의 클래스로만 속해야 합니다.

따라서 정수 0이 클래스에 속하지 않기 때문에 모든 정수를 양수와 음수로 나누는 것은 올바르지 않습니다. 우리는 이렇게 말해야 합니다. 정수는 양수, 음수 및 숫자 0의 세 가지 클래스로 나뉩니다.

종종 개념을 분류할 때 일부 클래스만 명확하게 구분되고 나머지는 암시적입니다. 예를 들어, 대수식 연구에서 단항식, 다항식, 분수식, 비합리적 인 유형 만 일반적으로 구별됩니다. 그러나 이러한 유형은 모든 유형의 대수 표현을 소진하지 않으므로 그러한 분류는 다음과 같습니다. 불완전한.

대수 표현식의 완전한 올바른 분류는 다음과 같이 수행할 수 있습니다.

대수 표현 분류의 첫 번째 단계에서 합리성과 비합리성의 두 가지 클래스로 나뉩니다. 두 번째 단계에서 합리적인 표현은 전체와 분수로 나뉩니다. 세 번째 단계에서는 전체 표현식을 단항식, 다항식 및 복소수 전체 표현식으로 나눕니다.

이 분류는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

과제 7

7.1. 유리수를 패리티에 따라 분류할 수 없는 이유는 무엇입니까?

7.2. 개념의 분할이 올바른지 여부를 확인합니다.

a) 값은 같거나 같지 않을 수 있습니다.

b) 기능이 증가하고 감소합니다.

c) 이등변 삼각형은 예각, 직사각형 및 둔각이 될 수 있습니다.

d) 직사각형은 정사각형과 마름모입니다.

7.3. "라는 개념을 나누어 기하 도형"속성에 의해 비행기의 일부를 차지하고 각 유형의 예를 제공합니다.

7.4. 유리수에 대한 가능한 분류 체계를 구축합니다.

7.5. 다음 개념에 대한 분류 체계를 구축합니다.

a) 사각형

b) 두 모서리.

7.6. 다음 개념을 분류하십시오.

a) 삼각형과 원;

b) 원의 각;

c) 두 개의 원

d) 선과 원

e) 이차 방정식;

f) 2개의 미지수가 있는 1차 방정식 2개의 시스템.

명시 적 정의는이 용어로 지정된 대상을 보여주고 보여줌으로써 개념을 도입하는 정의입니다.

수학은 다른 과학과 달리 특별한 관점에서 우리 주변의 세계를 연구합니다. 어느 수학적 개체그것은 양적, 공간적 속성과 관계의 대상과 현상으로부터 분리된 결과이다. 저것. 수학적 개체는 실제로 존재하지 않습니다. 이것들은 이상적인 개념이며 사람의 생각과 수학적 언어를 형성하는 기호와 기호에만 존재합니다. 더욱이, 수학적 개념의 형성에서, 추상화에 더하여, 그것들은 실제 객체가 소유하지 않는 그러한 성도들과 함께 신용됩니다.

기본 수학 개념: 점, 선, 평면, 복수, 숫자, 값, 산술 연산.

모든 수학적 개념은 용어, 볼륨 및 내용이 특징입니다.

용어는 집합의 요소라고 하는 단어 또는 단어 그룹입니다. 개념의 범위는 동일한 용어로 지정된 모든 객체의 많은 부분입니다. 사물의 필수 속성과 비필수 속성을 구분합니다. Sv-in은 객체에 내재되어 있고 객체가 없으면 객체가 존재할 수 없는 경우 필수적입니다. 중요하지 않음 - 필수 개체에 영향을 미치지 않는 부재.

평행 사변형의 개념; 직사각형의 개념; √вс√а 및 일반 в; 에 대한 특정; c-사변형의 개념. √ с√с

예를 들어 평행사변형과 같은 동일한 개념은 직사각형 개념에 대해 일반적이거나 사각형 개념에 대해 구체적일 수 있습니다.

이등변 트뢰그의 개념. 그리고 직사각형 트러그. 그들은 속 특정 관계에 있지 않습니다. 부분과 전체로서의 개념 사이에는 관계가 있습니다.

예를 들어, 광선은 직선의 일부이고, 선분은 직선의 일부이며, 호는 원의 일부입니다.

개념이 속 관련 관계에 있는 경우 개념의 범위와 내용 사이에는 그러한 연결이 있습니다.

개념의 정의는 개념의 내용을 드러내는 논리적 작업입니다. 그것은 인식에 충분한 필수 sv-va를 나타냅니다. 정의는 명시적(explicit)과 암시적(implicit)(간접)으로 나뉩니다. 명시적 정의는 두 개념의 일치인 평등의 형태를 취합니다.

예: 평행사변형이 호출됩니다. 변이 쌍으로 평행한 사각형. 그러나 거기에 있습니다. a는 평행사변형(정의된 개념, b는 사변형, 측면이 쌍으로 평행함(정의 개념, a = r + v)

정의된 개념 = 일반 개념 + 종 차이

속별: 각의 이등분선이라고 합니다. 각도의 정점에서 나와 각도를 이등분하는 광선 / r-일반 개념: 광선; v-종의 개념: 각의 정점에서 나가서 각을 이등분합니다. 초등학교에서는 속과 종 구별에 대한 명시적인 정의가 거의 사용되지 않습니다. 예: 짝수, 직사각형, 정사각형, 곱셈의 정의.

명시적 정의는 다른 구조를 가질 수 있습니다. a) 유전적 정의. 삼각형은 하나의 직선 위에 있지 않은 3개의 점과 이들을 직렬로 연결하는 3개의 세그먼트로 구성된 도형입니다. 일반적인 개념 및 구성 방법.

b) 재귀(재귀-귀환) 산술 진행두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항과 같고 주어진 수열(차이)에 대한 숫자 d 상수에 더해지는 숫자 시퀀스라고 합니다.

초등학교에서는 묵시적 정의가 우선합니다. 암시적 정의는 문맥적이며 표면적입니다. 컨텍스트 정의 - 이러한 정의에서 새로운 개념의 내용은 컨텍스트, 도입되는 개념의 의미를 설명하는 특정 상황의 분석을 통해 드러납니다. 예: 2 + x = 5

2. 초등학교 학생들에게 다음과 같은 과제가 주어집니다.

1) 어떤 수치가 불필요한가? 답을 설명합니다.

소개

개념은 수학을 포함한 모든 학문적 주제의 내용에서 주요 구성 요소 중 하나입니다.

어린이가 학교에서 처음 접하는 수학적 개념 중 하나는 수의 개념입니다. 이 개념이 숙달되지 않으면 학생들은 수학의 추가 연구에서 심각한 문제를 겪을 것입니다.

처음부터 학생들은 다양한 수학 분야를 공부하면서 개념을 접하게 됩니다. 따라서 기하학을 연구하기 시작하면 학생들은 즉시 점, 선, 각도, 그리고 기하학적 개체의 유형과 관련된 전체 개념 시스템과 같은 개념을 접하게 됩니다.

교사의 임무는 개념의 완전한 동화를 보장하는 것입니다. 그러나 학교 실습에서는 이 문제가 일반 교육 학교의 목표만큼 성공적으로 해결되지 않습니다.

심리학자 NF Talyzina는 "학교에서의 개념 동화의 주요 단점은 형식주의입니다. 형식주의의 본질은 개념의 정의를 올바르게 재현하는 학생, 즉 그 내용을 실현하는 학생들이이 개념의 적용에 대한 문제를 해결할 때 사용하는 방법을 모른다는 것입니다. 따라서 개념의 형성이 중요하며, 실제 문제.

연구 대상: 5-6학년에서 수학적 개념을 형성하는 과정.

작업 목적: 5-6학년의 수학적 개념 연구를 위한 지침을 개발합니다.

작업 작업:

1. 이 주제에 대한 수학적, 방법론적, 교육학적 문헌을 연구합니다.

2. 5-6학년 교과서에서 개념을 정의하는 주요 방법을 식별합니다.

3. 5-6 학년에서 수학적 개념 형성의 특징을 결정하십시오.

연구 가설 : 5-6 학년에서 수학적 개념을 형성하는 과정에서 다음 기능을 고려한다면 :

· 대부분의 개념은 구성의 도움으로 결정되며 종종 설명 설명의 도움으로 학생들 사이에서 개념의 올바른 아이디어 형성이 달성됩니다.

· 개념은 구체적인 귀납적 방식으로 도입됩니다.

· 개념을 형성하는 과정에서 명확성에 많은 주의를 기울이면 이 과정이 더 효과적입니다.

연구 방법:

· 주제에 대한 방법론 및 심리학 문헌 연구;

· 수학에 관한 다른 교과서의 비교;

· 경험이 풍부한 교육.

수학적 개념을 연구하는 방법의 기초

수학적 개념, 내용 및 범위, 개념 분류

개념은 객체의 필수 속성과 비필수 속성의 통합 집합에 대해 생각하는 형식입니다.

수학적 개념에는 고유한 특성이 있습니다. 수학적 개념은 종종 과학의 필요성에서 발생하며 유사성이 없습니다. 현실 세계; 그들은 높은 수준의 추상화를 가지고 있습니다. 이를 통해 학생들에게 연구 중인 개념의 출현을 보여주는 것이 바람직합니다(실습의 필요성 또는 과학의 필요성에서).

각 개념은 볼륨과 내용이 특징입니다. 콘텐츠 - 개념의 많은 필수 기능. 용량 - 이 개념을 적용할 수 있는 객체의 집합입니다. 개념의 범위와 내용 간의 관계를 고려하십시오. 내용이 현실과 일치하고 모순되는 기호가 포함되지 않은 경우 볼륨은 빈 세트가 아니며 개념을 소개할 때 학생들에게 보여 주는 것이 중요합니다. 내용은 볼륨을 완전히 결정하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것은 하나의 변화가 다른 하나의 변화를 수반한다는 것을 의미합니다. 콘텐츠가 증가하면 볼륨이 감소합니다.

o 한 가지 기준으로 수행되어야 합니다.

o 클래스는 분리되어야 합니다.

o 모든 클래스의 합집합은 전체 집합을 제공해야 합니다.

o 분류는 연속적이어야 합니다(클래스는 분류 대상 개념과 관련하여 가장 가까운 종 개념이어야 함).

분류에는 다음과 같은 유형이 있습니다.

1. 수정된 기준으로. 분류할 객체는 여러 가지 특성을 가질 수 있으므로 다양한 방식으로 분류할 수 있습니다.

예시. "삼각형"의 개념.

2. 이분법적. 개념의 범위를 두 가지 종 개념으로 나누는 것 중 하나는 이 기능을 갖고 다른 하나는 그렇지 않습니다.

예시 .

분류 교육의 목적을 강조해 보겠습니다.

1) 논리적 사고의 발달;

2) 종의 차이를 연구하여 일반 개념에 대한 보다 명확한 아이디어를 형성합니다.

두 가지 유형의 분류가 학교에서 사용됩니다. 일반적으로 처음에는 이분법적이며 그 다음에는 수정된 특성에 따릅니다.